AP3-MetDet1-2019-1-Gabarito-Online

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AP3 – Métodos Determińısticos I – 2019.1
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais:
I
1. Você está recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questões e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluções.
2. Confira se o Caderno de Questões corresponde à disciplina em que deverá realizar a prova.
Caso contrário verifique com o aplicador a solução cab́ıvel.
3. Após a conferência e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questões no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões,
preencha (pintando os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF,
o código da disciplina (indicado no cabeçalho da próxima folha) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. É expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexão à Internet durante a aplicação da prova. Qualquer irregularidade será reportada
pelo aplicador à Direção do Polo e à Coordenação para aplicação das sanções devidas.
8. Ao término da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questões e rascunhos.
Orientações para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das resoluções
das questões nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluções de forma clara, leǵıvel e organizada. Não se esqueça de numerá-las
de acordo com as questões.
3. As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção. Por-
tanto, quaisquer anotações feitas fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho, serão
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalização e a correção.
Orientação espećıfica:
I1. É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo comotambém qualquer material que sirva de consulta.
ATENÇÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Métodos Determińısticos I – 16/06/2019
Código da disciplina EAD 06075
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
• É expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para cálculo como também qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material considerado
para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste espaço,
mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
Questão 1 (2.0 pt) Em uma vila, todos os habitantes adultos assistem televisão ou ouvem rádio.
Para cada adulto que não assiste televisão, há dois adultos que assistem. Um quarto dos adultos
que assistem televisão não ouvem rádio. Se 50 habitantes adultos desta vila ouvem rádio, quantos
adultos habitam esta vila?
Para que sua solução seja aceita, você deve representar a situação descrita por meio de
um diagrama de Venn e deve justificar cuidadosamente sua solução.
Resposta: Vamos representar a situação por meio do diagrama abaixo, e vamos representar cada
“pedaço”por uma variável. Repare que os adultos que assistem televisão são dados por x + y e os
que não assistem são dados por z.
Como para cada adulto que não assiste televisão, há dois adultos que assistem, temos que x+y = 2z,
logo z = x+y2 .
Métodos Determińısticos I AP1 3
Por outro lado, um quarto dos adultos que assistem televisão, isto é x+y4 , não ouvem rádio. Assim,
x = x+y4 , logo 4x = x + y e, portanto, 3x = y.
Mas 50 habitantes adultos desta vila ouvem rádio, logo y + z = 50. Como z = x+y2 , temos,
y + x+y2 = 50. Temos então 2y + x + y = 100 e então x + 3y = 100. Como y = 3x, temos
x + 9x = 100, logo 10x = 100. Com isso, x = 10, logo y = 3 · 10 = 30 e z = 10+302 = 20.
(Este texto é comum às questões 2 a 4 e a seguir.)
Um certo páıs adotou, como moeda, a merrequinha (abreviada mq$). Sobre todos os salários
pagos neste páıs, incide um imposto de 15% sobre o salário bruto. Porém, caso o salário bruto seja
superior a mq$10.000,00, há um imposto adicional de 5% sobre o que exceder este valor. Denote
por x o valor do salário bruto em mq$, e por i(x) o imposto incidente, também em mq$.
Questão 2 (1.0 pt) Determine o imposto cobrado sobre um salário de mq$5.000,00 e sobre um
salário de mq$20.000,00. Isto é, calcule i(5.000) e i(20.000).
Resposta: Sobre um salário de mq$5.000,00 incidirá apenas o imposto de 15%. Assim,
i(5.000) = 15% · 5.000 = 15100 · 5.000 = 15 · 50 = 750.
Sobre o salário de mq$20.000,00, incidirá o imposto de 15% sobre o total e mais 5% sobre o que
excede 10.000. Assim,
i(20.000) = 15%·20.000+5%·(20.000−10.000) = 15100 ·20.000+
5
100 ·10.000 = 15·200+5·100 = 3.500.
Questão 3 (1.0 pt) Dê a expressão de i(x) quando 0 6 x 6 10.000 e quando x > 10.000.
Resposta: Quando 0 6 x 6 10.000, temos como imposto
i(x) = 15% · x = 15100 · x =
3x
20 .
Quando x > 10.000, temos como imposto
i(x) = 15% · x + 5%(x− 10.000) = 15x100 +
5(x− 10.000)
100 =
= 3x20 +
x− 10.000
20 =
4x− 10.000
20 =
x− 2.500
5 .
Questão 4 (1.0 pt) Esboce o gráfico da função i, tendo o valor x do salário bruto no eixo hori-
zontal e o valor de i(x) no eixo vertical.
Resposta: A expressão função que dá o valor i(x) do imposto a partir do salário x é:
i(x) =
{
3x
20 , se 0 6 x 6 10.000
x−2.500
5 , se x > 10.000.
Em cada pedaço, a função é afim, logo podemos traçar seu gráfico conhecendo dois pontos de cada
um destes pedaços:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 4
i(0) = 0; i(10.000) = 3 · 10.00020 = 1.500.
i(10.000) = 10.000− 2.5005 = 1.500; i(20.000) = 3.500.
Assim, temos o gráfico abaixo:
Questão 5 (2.0 pt) Resolva o sistema abaixo e determine os pares de valores (x, y) que são solução
do sistema. {
9x2 − 8y2 = 9
9x2 + 16y2 + 54x = 63
Resposta: Multiplicando a primeira equação por 2, temos{
18x2 − 16y2 = 18
9x2 + 16y2 + 54x = 63
e, somando as duas equações, obtemos
27x2 + 54x = 81.
Podemos simplificar dividindo por 27, e obteremos
x2 + 2x = 3,
que equivale a
x2 + 2x− 3 = 0,
cujas ráızes são x = −3 e x = 1.
Para x = 1, substituindo na primeira equação do sistema dado, temos
9 · 12 − 8y2 = 9 ∴ 9− 8y2 = 9 ∴ −8y2 = 0 ∴ y = 0.
Assim, (x, y) = (1, 0) é uma solução do sistema.
Para x = −3, substituindo na primeira equação do sistema dado, temos
9 · (−3)2 − 8y2 = 9 ∴ 81− 8y2 = 9 ∴ 8y2 = 72 ∴ y2 = 9 ∴ y = 3 ou y = −3.
Assim, (x, y) = (−3, 3) e (x, y) = (−3,−3) são outras duas soluções do sistema.
Logo, o conjunto solução do sistema é dado por
S = {(1, 0), (−3,−3), (−3, 3)}.
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(Este texto é comum às questões 6 a 8 e a seguir.)
Considere que as funções de demanda e de oferta de um determinado produto são dadas, respecti-
vamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 5P2 − 5,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em
milhões de unidades.
Questão 6 (1.0 pt) Qual é o preço máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo
mesmo)? E qual é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)?
Resposta: Encontramos o preço máximo do produto, valor acima do qual não há demanda pelo
mesmo, verificando quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que
D(P ) = 0 ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0
⇔ P 2 − 4P − 5 = 0
⇔ P = −1 ou P = 5.
Como preço é um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que é P = 5. Assim, o preço máximo do produto é R$5,00.
Encontramos o preço ḿınimo do produto, valor abaixo do qual não há oferta do mesmo, verificando
quando temos a oferta igual a zero. Neste caso, temos que
Q(P ) = 0 ⇔ 5P2 − 5 = 0
⇔ 5P2 = 5
⇔ P = 5 · 25 = 2.
Assim, o preço ḿınimo do produto, valor abaixo do qual não há oferta para ele, é R$2,00.
Questão 7 (1.0 pt) Que equação você deve resolver para descobrir qual é o preço de equiĺıbrio
para este produto? Resolva a equação que você especificou e determine qual é o preço de equiĺıbrio
para este produto. Quais são os valores da demanda e da oferta para este preço?
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Métodos Determińısticos I AP1 6
Resposta: Para encontrar o preço de equiĺıbrio, vamos igualar as funções demanda, D, e oferta, Q.
D(x) = Q(x) ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 5P2 − 5
⇔ −2P 2 + 8P + 10 = 5P − 10
⇔ −2P 2 + 3P + 20 = 0
⇔ 2P 2 − 3P − 20 = 0
⇔ P =
−(−3)±
√
(−3)2 − 4 · 2 · (−20)
2 · 2
⇔ P = 3±
√
169
4 =
3± 13
4
⇔ P = 4 ou P = −104 .
Como preço é um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que é P = 4. Assim, o preço de equiĺıbrio é de R$ 4,00.
A demanda e a oferta correspondentes a este preço é de D(P ) = Q(P ) = 5·42 − 5 = 5, isto é, 5
milhões de unidades.
Questão 8 (1.0 pt) Esboce em um mesmo gráfico as curvas de demanda e de oferta deste produto,
destacando os pontos onde a oferta ou a demanda são iguais a zero, os pontos de equiĺıbrio e o ponto
de demanda máxima.
Resposta: Já vimos, na questão anterior, que D(5) = 0, Q(2) = 0 e D(4) = Q(4) = 5. Repare
que o ponto de equiĺıbrio será então (4, 5).
O gráfico da função oferta Q é uma reta, pois ela é uma função de polinomial 1o grau. E, como já
conhecemos dois de seus pontos (2, 0) e (4, 5), podemos esboçar a reta.
O gráfico da função demanda D é uma parábola. Já conhecemos as duas ráızes −1 e 5. O vértice
(xv, yv) desta parábola representa o ponto de demanda máxima, e suas coordenadas são dadas por
xv = −
b
2a = −
4
2 · (−1) = 2
yv = −
∆
4a = −
42 − 4 · (−1) · 5
4 · (−1) = −
36
−4 = 9.
Assim, o vértice é o ponto (2, 9).
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Métodos Determińısticos I AP1 7
Esboçando as funções, temos
Mas já vimos que os preços para os quais há demanda e oferta satisfazem 2 6 P 6 5, assim,
podemos esboçar o gráfico das funções apenas para estes valores de P , como abaixo:
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RASCUNHO
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Polo:
Atenção!
• Resoluções feitas nesta folha não serão corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.