cap01_prot_NOVO2009[1]

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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO, VOLUME 1 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 CAPÍTULO 1- CONCEITUAÇÃO E TIPOS DE PROTENSÃO 
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CAPÍTULO 1- CONCEITUAÇÃO E TIPOS DE PROTENSÃO 
 
1.1-INTRODUÇÃO 
 As estruturas de concreto armado e de concreto protendido hoje em dia já são 
consideradas como sendo do mesmo tipo, ou seja, são normalizadas por um mesmo 
documento (uma mesma norma) que usa especificações diferentes quando for o caso. Assim, 
a NBR 6118:2003 homologada no início de 2004 (Abril) já trata do “Projeto de estruturas de 
concreto” englobando o concreto simples (sem armadura), o armado (apenas com armadura 
passiva) e o protendido (em que pelo menos parte da armadura é ativa). Para se confeccionar 
uma peça tanto de um (concreto armado) quanto do outro (concreto protendido) os materiais 
utilizados são os mesmos: cimento, agregados graúdos e miúdos, água e aço conveniente 
disposto. A principal diferença entre ambos está no tipo de aço empregado assim como no 
procedimento construtivo. 
 Nos elementos fletidos de concreto armado a armadura longitudinal, composta 
geralmente de barras de aço, são simplesmente colocadas na estrutura e só passam a trabalhar 
quando o concreto começa a se deformar. Assim é preciso retirar o escoramento da estrutura 
de concreto armado para que, iniciada a deformação das fibras de concreto, a armadura, que 
tem aderência ao concreto, comece a se deformar e passe então a resistir aos esforços. Diz-se 
então que esta armadura é do tipo passiva, ou seja, só funciona depois de solicitada pela 
deformação advinda do concreto. Em elementos fletidos de concreto protendido, como será 
visto no próximo item, mesmo que não haja a retirada do escoramento, a armadura 
longitudinal principal, constituída por aço de protensão, é distendida por elementos (macacos 
de protensão) externos à estrutura entra em ação independente da movimentação do concreto. 
Assim a armadura de protensão é chamada de “ativa”. 
 
QUADRO 1.1-ARMADURA PASSIVA E ATIVA. 
ARMADURA CONCEITUAÇÃO 
PASSIVA Aquela cuja tensão só é mobilizada pela deformação do concreto que 
a ela está aderente. Ocorrem normalmente nas estruturas de concreto 
armado. 
ATIVA Independentemente do concreto da estrutura estar sob tensão e se 
deformar após a operação de protensão a armadura ativa passa a 
funcionar e posteriormente ou imediatamente a estrutura. Ocorrem 
nas estruturas de concreto protendido e precisam de meios externos 
para serem distendidas provocando a protensão. 
 
 Ainda que haja diferença no tipo de armadura empregada em um caso e outro as peças 
de concreto armado e protendido funcionam de mesma forma sendo, portanto errôneo 
imaginar que é necessário estabelecer regras de projeto e execução (Norma Técnicas) 
diferentes para os dois tipos de elementos. O protendido pode ser considerado como um 
“concreto armado” em que parte ou quase a totalidade da armadura é ativa. Esta posição já 
existia no CEB [1970] quando os dois tipos de estruturas já eram tratados por uma única 
Norma . Esta idéia foi defendida ROCHA [1964] quando cita no prefácio de sua obra “O fato 
de o concreto protendido ter sido introduzido no nosso curso de concreto armado é motivado 
pelo conceito atual que define o concreto protendido como um caso particular de um sistema 
construtivo mais geral denominado de concreto armado protendido”. Finalmente este 
conceito foi também aceito pelo meio técnico Brasileiro e como já foi escrito anteriormente 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO, VOLUME 1 
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 CAPÍTULO 1- CONCEITUAÇÃO E TIPOS DE PROTENSÃO 
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na nova versão da norma de concreto (que substitui a NB1 de 1982) estão presentes o 
concreto armado e o protendido (além do concreto simples). Alguns autores vão além destas 
assertivas e consideram as estruturas de concreto protendido não apenas como um processo 
construtivo, mas sim um sistema estrutural, pois introduz ações na estrutura modificando-as 
no seu comportamento. De qualquer maneira as estruturas de concreto protendido são 
consideradas como um avanço ou uma extensão das de concreto armado pois com elas 
podem-se usar tanto aços de maiores resistências assim como concreto de alto desempenho 
(CAD). 
 De acordo com a antiga norma de protendido a NBR 7197 (1978) a definição de uma 
uma peça como de concreto protendido, implica em estar submetida a um sistema de forças 
especialmente e permanentemente aplicadas, chamadas de forças de protensão, e tais que, em 
condições de utilização quando agirem simultaneamente com as demais ações de utilização 
impeçam, ou limitem, a fissuração do concreto. Normalmente só se considera o caso em que 
as forças de protensão são produzidas por armadura. 
 Na nova redação da norma NBR6118:2004 em seu item 3.1.4 tem-se a redação: – 
Considera-se que os elementos de Concreto Protendido: “São aqueles nos quais parte das 
armaduras são previamente alongadas por equipamentos especiais de protensão com a 
finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos 
da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU (estado 
limite de último)”. 
 Assim percebe-se que fica claro que normativamente o princípio do concreto 
protendido é: diminuir a fissuração do concreto através da introdução de tensões normais de 
compressão em regiões onde devido a outras ações existam tensões de tração. Como é sabido 
o concreto (simples) possui uma resistência à tração bem menor que à compressão (cerca de 
dez vezes menos), assim sua eficiência em peças fletidas é muito pequena, pois na região em 
que há tensão de tração devido à flexão, normalmente, sua função é desprezada ou pouco 
significativa. Desta forma quando se projeta uma peça em concreto protendido procura-se 
faze-lo de maneira que em todas regiões e nas diversas combinações de ação as tensões sejam 
somente de compressão ou de pequenos valores de tração. Pode-se imaginar, de uma maneira 
simplista e plagiando a oração de São Francisco que o projetista quando detalhe estruturas 
submetidas à flexão deve levar em conta para o concreto armado: Onde houver tração que se 
leve armadura; e no caso do protendido Onde houver tração que se leve a compressão. 
 Mas na redação da nova norma fica claro que os efeitos da protensão não se reduzem 
apenas as questões de serviço, também no estado limite último (em situações próximas ao 
colapso) há alguns benefícios como por exemplo o fato de se poder usar armaduras com 
tensão muito mais elevada que as passivas. 
 
QUADRO 1.2-BENEFÍCIOS DA PROTENSÃO. 
SITUAÇÃO CONCEITUAÇÃO 
SERVIÇO Impede ou limita a fissuração e os deslocamentos da estrutura. 
 
ÚLTIMA Permite o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU 
(estado limite de último) 
 
. Historicamente a idéia de protensão surgiu praticamente simultaneamente a do 
concreto armado como pode ser visto em AGOSTINI [1983]. Existiram patentes de 1886 e 
1888 requeridas por Jackson (Califórnia -USA) e Dohering (Alemanha) e cita-se ainda a 
experiência de Koenem (Berlim-Alemanha) que em 1906 aplicou a protensão para reduzir a 
 
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fissuração de elementos de piso em argamassa. Porém as primeiras tentativas esbarraram 
sempre na impossibilidade de se garantir tensões de compressão permanentes no concreto. Os 
efeitos da retração e da deformaçãolenta do concreto acabavam por anular o efeito do 
estiramento prévio da armadura. Somente após os estudos e ensaios feitos por Eugene 
Freyssinet, a partir de 1928, é que foi possível entender que seria necessário o uso de aços 
que permitiriam grandes deformações de estiramento, de sorte que mesmo que perdessem 
parte do estiramento, ao longo do tempo, ainda assim transfeririam esforços de compressão ao 
concreto. As grandes deformações do aço podem ser obtidas sem comprometer a aderência 
com concreto usando dispositivos (bainhas por exemplo) que evitam o contato entre ambos, 
aço de protensão e concreto, durante a distensão do primeiro e permitindo o limite de 
deformação de 0,1% seja mantido após consolidada a aderência entre os mesmos. 
 
1.2-TIPOS DE CONCRETO PROTENDIDO QUANTO À ADERENCIA E 
EXECUÇÃO 
 Uma primeira classificação de elementos protendidos pode ser obtida considerando o 
mecanismo de aderência entre a armadura de protensão (chamada de armadura ativa) e o 
concreto. Desta forma têm-se os seguintes tipos de concreto protendido: 
• Com aderência inicial (também chamado de pré-tração)- a aderência entre a 
armadura e o concreto é iniciada quando do lançamento do mesmo 
• Com aderência posterior (também chamado de pós-tração)- a aderência entre a 
armadura e o concreto é iniciada posteriormente a execução da protensão quando 
o concreto já está endurecido 
• Sem aderência (também chamado de pós-tração)– neste caso a armadura só estará 
solidária ao concreto junto (e através) às ancoragens. 
Para que fique mais fácil o entendimento descreve-se o procedimento de execução de vigas 
com cada um dos sistemas. 
 
1.2.a- Viga executada com concreto protendido com aderência inicial 
 Este tipo de protensão é usado, normalmente, para peças pré-moldadas. Para fabricar a 
viga indicada na figura 1.1, usa-se uma pista de protensão com um berço (que nada mais é do 
que uma forma de fundo com grande comprimento) apoios rígidos e macaco de protensão 
(figuras 1.2 e 1.3). 
 
Figura 1.1 – Perspectiva esquemática de viga calha fabricada com protensão com 
aderência inicial 
 
Na figura 1.2 estão mostrados os principais elementos de uma pista de protensão. 
 
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A seqüência de operações neste caso é a seguinte: 
a) posicionam-se, inicialmente, os fios de protensão que são ancorados (extremidade 
afixada) em um dos apoios rígidos, por exemplo, o do lado esquerdo; 
b) através de um macaco que reage contra o apoio à direita estira-se a armadura de 
protensão que pode ser composta de fios ou cordoalhas. Após alcançar o estiramento 
necessário as extremidades da armadura de protensão são ancoradas no apoio da direita; 
 
Figura 1.2 Pista de protensão -Execução de viga calha protendida com aderência 
inicial 
c) o carro indicado na figura 1.3 lança o concreto, vibra-o e dá o acabamento da 
superfície superior. A partir deste instante o concreto entre em contato com a armadura 
iniciando o processo de aderência. Daí o nome de aderência inicial ou pré-tensão, pois a 
armadura já estava tensionada quando do lançamento do concreto. 
Figura 1.3 Etapas da execução da viga calha e detalhe da ancoragem da armadura 
 
d) depois de transcorrido o tempo suficiente para que o concreto curado e já tenha 
resistência adequada promove-se à retirada da ancoragem de um dos apoios. A armadura 
 
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tenta retornar ao comprimento que tinha antes da distensão provocando compressão no 
concreto em virtude de estar aderente ao mesmo. 
 
Na figura 1.3 além das etapas pode ser visto também o detalhe da ancoragem da 
armadura que é feita com o auxilio, por exemplo, de um cone composto por três elementos 
(ver figura 1.3-e) e que permite a passagem da armadura no centro do mesmo. O cone ao ser 
introduzido no orifício do apoio (também tronco cônico) vai se fechando em torno da 
armadura provocando a ancoragem da mesma no apoio. 
Percebe-se que a pista de protensão poderá ter a extensão que se desejar sendo 
possível até a execução de diversas peças do mesmo tipo simultaneamente, bastando para isso 
colocar forma intermediarias como é mostrado na figura 1.4, ou simplesmente, como no caso 
de lajes alveolares, cortar-se através de serra especial um segmento da pista que passa a ser 
um elemento. Desta maneira o comprimento de armadura “perdido” é pequeno, pois para um 
grande comprimento de peça apenas o trecho s (ver a figura 1.4) entre as seções extremas da 
primeira e última peça até os apoios indeslocaveis é que acabam sendo não aproveitados após 
a retirada da ancoragem. Também neste tipo de protensão não é necessário o uso de 
elementos de ancoragens (cones, placa de ancoragem e outros mais) nos elementos de 
concreto propriamente ditos. 
 
peça 2peça 1 peça 3
forma intermediária
s
 
Figura 1. 4 – Execução simultânea de diversas peças no mesmo berço 
 
Na figura 1.5 mostra-se também como seria o esforço de protensão devido a duas 
armaduras situadas em um mesmo nível, distante “e” do centro de gravidade da seção 
transversal nas situações a1 e b1. Executando a protensão da maneira descrita anteriormente 
tem-se um momento de protensão uniforme igual a Mp=2.F.e ao longo do elemento (Figura 
1.5 a2). Imaginando o elemento trabalhando bi apoiado e submetido a uma ação uniforme o 
diagrama de momento fletor das ações atuantes nele varia com a equação de uma parábola do 
segundo grau indicado por M0 (Figura 1.5 a3). Assim o diagrama resultante de momento 
(Mp+o) (protensão e ação externa) está indicado em 1.5 a3, apresentando um momento grande 
intensidade próximo dos apoios (Mae). Para evitar isto, antes da concretagem, são colocados 
tubos de plástico (fazendo o papel de bainhas) envolvendo a armadura em um pequeno trecho 
(no caso o treco s da figura 1.5) em umas armaduras, junto ao apoio, fazendo com que o 
momento de protensão fique com o aspecto apresentado em 1.5 b2, e o diagrama final 
apresente valores máximos de mesma ordem de grandeza tanto no meio do vão quanto no 
apoio (Mbe). De qualquer modo pode-se notar que neste tipo de protensão não é fácil obter um 
diagrama de momentos (de protensão) com a variação parabólica, pois, em princípio, o valor 
de “e” não pode variar. 
 
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6 
a) peça 1
e 2F2F
b) peça 2
F eF FF
trecho s trecho s
a1) diagrama de M
a2) diagrama de M
a3) diagrama de M
p
o
p+o
b1) diagrama de M
p+o
ob2) diagrama de M
b3) diagrama de M
Mae Mbe
p
 
Figura 1 5 – Peças com aderência inicial com aderência em todo comprimento (peça 1) 
e com trechos (s para uma armadura) sem aderência (peça 2) 
 
 Chama-se ainda a atenção que na verdade o esforço de protensão não se introduz 
pontualmente como é sugerido no raciocínio anterior, é preciso ainda considerar que nas 
extremidades dos elementos existe uma introdução gradual da protenssão. Maiores detalhes 
são apresentados no capítulo 3. 
 
1.2.b- Viga executada com concreto protendido com aderência posterior 
As vigas construídas com aderência posterior seguem, normalmente, a seguinte ordem 
de execução mostrada na figura1.6: 
• Etapa 1 - montagem do escoramento, das formas e da colocação das armaduras 
passivas (armaduras normais feitas com barras de aço comum) e bainhas 
estanques (não permitem a penetração do concreto dentro delas) com cabos em 
seu interior (no detalhe 1 podem ser vistos a bainha, os cabos que são compostos, 
neste caso de cordoalhas de 7 fios de aço de protensão). A bainhas, em geral, tem 
seção circular e são corrugadas para prevenir seu amassamento nas fases de 
execução e possibilitar uma melhor aderência calda de cimento (a ser introduzida 
posteriormente) e bainha. Em alguns casos os cabos (conjunto de cordoalhas 
dentro de uma bainha) poderão ser enfiados posteriormente embora o usual seja a 
colocação das bainhas já com os cabos dentro delas. 
• Etapa 2- O concreto é lançado, porém sem entrar em contato com a armadura de 
protensão pois a bainha o impede (não há aderência entre a armadura de 
protensão e o concreto no momento do lançamento do concreto, daí o nome de 
aderência posterior ...à concretagem). 
• Etapa 3- Após o endurecimento do concreto e alcançada resistência mínima, para 
tanto, é efetivada a protensão, normalmente através de macacos hidráulicos que se 
apóiam nas faces da viga e distendem a armadura de protensão. Assim, o concreto 
é comprimido pelo apoio dos macacos e simultaneamente o aço de protensão é 
distendido. Normalmente (dependendo de como a peça foi projetada) após a 
 
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protensão do último cabo a viga não estará mais em contato com o escoramento 
pois ela (protensão) cria um efeito de flexão com curvatura contrária à que existe 
devido à ação de peso próprio. Por este motivo é interessante, controlar no ponto 
de maior deformação da viga (neste caso no meio do vão) se há a separação da 
face inferior da viga da forma (retirando as formas laterais para verificar este 
fato). Após a protensão de um cabo ele pode ser ancorado, com procedimento 
similar ao discutido no caso anterior, considerando apenas um conjunto de peças, 
geralmente, de maiores dimensões como a mostrada no detalhe e explicadas na 
figura 1.7 e detalhas no capítulo 9. 
• Etapa 4 – Injeção de calda de cimento nas bainhas. A bainha é projetada para 
alojar os cabos com uma certa folga de maneira que, durante a protensão, seja 
permitido seu deslocamento, após a protensão e ancoragem dos cabos torna-se 
interessante o preenchimento do espaço vazio entre a armadura e bainha com 
calda de cimento para estabelecer, após o endurecimento da mesma) a aderência 
entre armadura e concreto (no caso cordoalhas-bainha que por sua vez já estão 
aderentes ao concreto). Este operação melhora também a proteção da armadura 
quanto à corrosão. Se não se efetuar a injeção de nata de cimento tem-se uma viga 
de concreto protendido sem aderência. São deixados orifícios junto aos elementos 
que compõem a ancoragem nas extremidades dos cabos, de maneira que se pode 
injetar, sobre pressão a calda de cimento por uma extremidade e quando a mesma 
purgar pela outra extremidade se assegurar que os espaços vazios entre 
cordoalhas e interior da bainha estão devidamente preenchidos. É importante 
destacar que mesmo que haja uma grande retração da nata de cimento o 
corrugamento das bainhas permite a transmissão de ações entre o concreto e face 
da bainha ondulada. para se aprofundar neste assunto recomenda-se a leitura de 
LEOHNARDT [1983] no seu capítulo 5. Nesta obra mostra-se também que a 
aderência da nata de cimento com a armadura depende fundamentalmente do 
formato em hélice das cordoalhas (conjunto de fios) pois existe neste caso um 
efeito “saca-rolhas” que faz com que haja uma maior superfície de contato além 
de um engrenamento mecânico. Alguns comentários complementares são feitos 
no capítulo 3. 
 
 
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Detalhe 1 cordoalha
Bainha
Cabo
ETAPA 1 - MONTAGEM DAS FORMAS E ARMAÇÃO
Cabo
C2
C1 detalhe 1
Bainha
ETAPA 2 - CONCRETAGEM
Cabo
C2
C1
detalhe 1
Bainha
ETAPA 3 - PROTENSÃO E ANCORAGEM
Macaco
C2
C1
ETAPA 5- ACABAMENTO EXTREMIDADES DOS CABOS
C2
C1
de 7 fios
Tubo para injetar nata na bainha
ETAPA 4 - INJEÇÃO DE NATA DE CIMENTO
Bomba
C2
C1
Detalhe 2
Detalhe 2
Nicho
 
Figura 1 .6- Etapas de protensão de uma viga executada com concreto protendido com 
aderência posterior 
 
• Etapa 5 – Corte das extremidades dos cabos, rebatimento das mesmas e 
preenchimento dos nichos usados para a protensão. 
• Etapa 7 – Retirado do escoramento. 
 
1.2.c- Viga executada com concreto protendido sem aderência 
 As primeiras obras em concreto protendido no Brasil foram executadas com protensão 
não aderente. A ponte do Galeão – Rio de Janeiro, segundo CAUDURO [1996], maior obra 
em extensão na época em concreto protendido e a primeira aplicação do processo 
FREYSSINET*∗, projetada pelo próprio em 1949, utiliza-se de cabos com 12 fios lisos de φ= 
5 mm, pintados com tinta betuminosa e envolvidos por duas ou três camadas de papel 
resistente (Kraft). A tinta betuminosa além de impedir o contato do concreto protegia a 
armadura de corrosão e permita que após o endurecimento do concreto o cabo pudesse ser 
tensionado. Apenas em 1956 iniciou-se a enrolar os cabos com fitas plásticas usando ainda o 
betume para pintura dos cabos e, finalmente em 1958, começaram a serem fabricadas bainhas 
metálicas de chapa metálica de 0,3 mm, similares às usadas hoje em dia, costuradas em 
hélices. 
 
∗ Eugene Freyssinet –engenheiro Francês que em 1928 mostrou que era necessário o uso de aços de grande 
resistência para promover a protensão sendo considerado porisso o pai da protensão. 
 
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 Há também a possibilidade de se executar a protensão sem promover aderência entre 
a armadura usando bainhas convencionais. Basta neste caso não se fazer a injeção de nata de 
cimento. Porém, esta maneira não se tem nenhuma vantagem a não ser evitar uma de etapa de 
execução e haveria uma grande possibilidade de corrosão da armadura ativa, pois o aço 
solicitado sob tensão de grande intensidade pode sofrer uma corrosão muito rápida. O mais 
comum é usar cabos, na verdade uma cordoalha envolta em graxa e encapada com capa 
plástica protetora como pode ser visto na figura 7. Desta forma a capa faz a função da bainha 
isolando o concreto do cabo e a graxa além de preencher os vazios entre cabo e capa plástica 
ajuda na fase de protensão permitindo o seu estiramento ao diminuir bastante o atrito na 
superfície do cabo. Segundo CAUDURO [1996] o coeficiente de atrito reduz-se de 0,24 para 
cordoalha-bainha metálica para 0,07 para cordoalha engraxada. 
C2 C2
Cabos
Cabos
A
A
capa plástica cordoalha
graxa para proteção
ancoragem
CORTE AA
 
Figura 1 7 viga em concreto protendido com cabos com cordoalhas engraxadas 
 
 A cordoalha engraxada, disponibilizada no mercado há pouco tempo aqui no Brasil 
pela mesma fabricante do aço de protensão, permite simplificar a execução de peças 
protendidas, porém o funcionamento em serviço das peças com aderência é melhor e há um 
pequenoaumento de resistência, no estado limite último, quando se usa peças com aderência. 
 Também há de se notar que se por ventura houver a ruptura da ancoragem ou o corte 
da armadura ativa a protensão da cordoalha engraxada o efeito de protensão do cabo 
desaparece por completo. 
 
1.2.d- Viga executada com protensão exterior e sem aderência 
 Quando se executas pontes ou reforços de estruturas pode ser vantajoso usar a 
protensão a partir de cabos externos que não terão desta forma aderência perfeita com o 
concreto ao longo dos seus comprimentos como mostra a figura 1.8. SDão usadas nestas 
situações desviadores, ou seja pontos em que há contato entre a armadura (cabos) e a peça. 
 
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10
C2 C2
Cabos
Cabos"Desviador"
A
A
corte AA
Transversina
Figura 1.8 viga em concreto protendido com cabos externos não aderentes 
 
 
1.2.d- Definições da Norna Brasileira para os diversos tipos de protensão 
 
 Os diversos tipos de protensão quanto a aderência são definido pela NBR 6118 nos 
itens 3.1.7 a 3.1.9 da seguinte forma: 
• Concreto com armadura ativa pré-tracionada (protensão com aderência inicial): 
Concreto protendidole em que o pré-alongamento da armadura ativa é feito 
utilizando-se apoios independentes do elemento estrutural, antes do lançamento do 
concreto, sendo a ligação da armadura de protensão com os referidos apoios desfeita 
após o endurecimento do concreto; a ancoragem no concreto realiza-se só por 
aderência. 
 
• Concreto com armadura ativa pós-tracionada (protensão com aderência 
posterior):Concreto protendido em que o pré alongamento da armadura (ativa de 
protensão) é realizado após o endurecimento do concreto, utilizando-se, como 
apoios, partes do próprio elemento estrutural, criando-se posteriormente aderência 
com o concreto de modo permanente, através da injeção das bainhas. 
 
• Concreto com armadura ativa pós-tracionada sem aderência (protensão sem 
aderência) Concreto protendido oem que o pré alongamento da armadura ativa é 
realizado após o endurecimento do concreto, sendo utilizado como apoios, partes do 
próprio elemento estrutural, mas não sendo criada aderência com o concreto, 
ficando a armadura ligada ao concreto apenas em pontos localizados. 
 
Fazendo um resumo dos tipos de protensão em relação a aderência e a operação de 
protensão com a concretagem constrói-se o quadro 1.1. 
 
QUADRO 1.3 – PRINCIPAIS TIPOS DE PROTENSÃO QUANTO A ADERENCIA 
EM RELAÇÃO A CONCRETAGEM E CARACTERÍSTICAS 
Quanto à aderência Quanto à concretagem Característica 
Aderência inicial pré-tração (antes) Cabos retos – pré-fabricação 
 
Aderência posterior pós-tração (após) Cabos curvos – moldada no local pré-
fabricação 
Sem aderência pós-tração (após) Cabos curvos – moldada no local e 
unidades individuais 
 
 
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1.3 - TIPOS DE CONCRETO PROTENDIDO QUANTO A INTENSIDADE DE 
PROTENSÃO 
 Segundo a NBR 6118:2004 os tipos de protensão quanto a sua intensidade 
relacionam-se com a durabilidade das peças e a maneira de se evitar a corrosão da armadura e 
portanto estão ligados os estados limites de serviço referentes à fissuração. No caso de 
armadura ativa o risco de corrosão é maior que as armaduras passivas devido a intensidade de 
tensão atuante na primeira, assim os cuidados a serem tomados quanto a fissuração em peças 
de concreto protendido são maiores que em peças de concreto armado. 
 Os tipos de protensão definidos são: protensão completa, protensão limitada e 
protensão parcial. A escolha do tipo de protensão a ser empregada em um projeto é feita em 
função do tipo de construção ou da agressividade do meio ambiente, conforme pode ser visto 
no capítulo 7. De uma maneira geral para elementos com aderência posterior recomenda-se 
para ambientes com fraca e moderada agressividade o uso de protensão parcial e para 
ambientes com agressividade forte e muito forte recomenda-se a protensão limitada. Para a 
protensão com aderência inicial para ambiente com fraca agressividade recomenda-se 
protensão parcial, para ambiente com moderada agressividade a protensão limitada e 
finalmente protensão completa para ambientes com agressividade forte e muito forte. 
 Definido o tipo de protensão a se empregar diversas condições, referentes a estados de 
serviço (chamados antigamente de estados de utilização) ligados à fissuração deverão ser 
verificados. Além da intensidade da protensão o uso de concreto com uma resistência à 
compressão mínima e cobrimentos devem ser atendidos (itens 7.4.2 e 7.4.6A da NBR 6118) 
comentados detalhadamente no capítulo 7. 
 Curiosamente pela antiga norma de protendido a NBR 7197 acrescentava-se às 
exigências anteriores a de que em estruturas de pontes ferroviárias ou vigas de ponte rolantes 
só seria admitida protensão com aderência. Tal assertiva não é mais citada na nova norma. A 
protensão sem aderência, ainda segundo a NBR 6197 só poderia ser empregado em casos 
especiais e sempre com protensão completa. A nova norma é omissa a condições especiais 
para a protensão sem aderência. Isto mostra que com o avanço de estudos e disponibilidade 
de dados experimentais as limitações em serviço, por serem função da durabilidade e as 
análises dependerem de observações feitas ao longo do tempo, vão sendo mudadas e o 
projetista deve estar atento a estas mudanças. 
 
1.4 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO CONCRETO PROTENDIDO 
 As estruturas de concreto protendido, em diversas situações são mais econômicas que 
as executadas com outros materiais. Em relação as estruturas de madeira e de aço apresentam 
sempre a vantagem de necessitarem, usualmente, manutenção mais simples e mais barata. Em 
relação às de concreto armado as protendidas têm a fissuração impedida ou mais controlada 
na região tracionada dos trechos fletidos. 
Para entender a economia das estruturas em concreto protendido pode-se usar um 
estudo do custo do aço estrutural. Neste estudo serão comparados os aços CA25, CA50, 
CA60, CP170 e CP175 (os três primeiros usados em peças de concreto armado e os dois 
últimos em peças de concreto protendido). Imaginando apenas o custo do aço sendo dado por 
quilo de matéria prima chega-se ao gráfico apresentado na figura 1.9, que poderia levar à 
conclusão enganosa, ou seja, que o aço que tem preço menor por quilo é o mais barato. O 
melhor é analisar o custo da força desenvolvida por cada um. Assim, 1 kg de CA25 será 
capaz de desenvolver uma força proporcional a sua tensão de escoamento (no caso 
1,25x25=31.25 kN). Ao dividir o custo do kg do aço pela tensão (proporcional à força) chega-
se ao preço necessário para desenvolver a força em questão ou a tensão (são proporcionais). 
 
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12
O gráfico da figura 1.10 apresenta esta situação mostrando que na verdade os aços de maiores 
tensões limites são os mais econômicos (os de menor custo por força desenvolvida). 
Custo (em R$) do kg do aço 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1
Categoria dos aços
Va
lo
r d
o 
kg
 e
m
 R
$
CA25
CA50
CA60
CP175
CP190
 
Figura 1 9 Gráfico com custos das diversas categorias do aço 
 
Um argumento que poderiaainda ser usado está no fato que os aços de protensão nem 
sempre alcançam a máxima tensão devido às perdas imediatas e ao longo do tempo sofridas 
nos sistemas protendidos. Porém há outras vantagens, advindas da protensão, como por 
exemplo, a diminuição da fissuração que compensam estas perdas e que não são encontradas 
nos sistemas de concreto armado. Esta discussão é feita com mais detalhes no anexo I. 
Custo em R$ por tensão (emdaN/cm2) 
desenvolvida
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 50 100 150 200
 
Figura 1 .10 Custo da tensão desenvolvida pela armadura 
 Pode-se dizer que em diversas situações, principalmente em peças fletidas, o 
concreto protendido apresenta custo mais baixo que estruturas similares sendo que as 
principais vantagens que acabam contribuindo para isto são estruturas: 
• Mais leves que as similares em concreto armado (devido ao controle da 
fissuração) 
• Com grande durabilidade com pequenos custos de manutenção (o controle da 
fissuração do concreto aumenta a resistência ao ataque de agentes agressivos na 
armadura). 
 
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13
• Com boa resistência ao fogo. 
• Que são adequadas ao uso de pré-moldagem (devidos as características de peso 
menor e controle de fissuração) e portanto com o uso mais efeiciente do material 
concreto. 
• Apresentando menores deformações que as estruturas similares, fletidas, em 
concreto armado. 
• Com maior controle da propriedade dos materiais aço e concreto. Como o aço e o 
concreto são colocados sob carga durante a protensão (principalmente o aço que 
recebe tensões próximas ao seu escoamento) costuma-se afirmar que a estrutura 
protendida se apresenta com a resistência de seus materiais testada. 
• Que fazem parte de uma tecnologia bastante conhecida nos grandes centros do 
país e basta se ter uma equipe de montagem de cabos, unidades de protensão e 
execução de protensão para complementar os trabalhos das equipes de confecção 
de estruturas de concreto.que existem em todo país 
No anexo I são discutidas mais detalhadamente as vantagens dos elementos em 
concreto protendido. 
As desvantagens dos sistemas em protendido são aquelas mesma que existem (neste 
caso com menor intensidade) nas estruturas de concreto armado: 
• Peso final relativamente alto (comparado às estruturas metálicas e de madeira) 
• Necessidade de escoramento e tempo de cura para peças moldadas no local 
• Condutibilidade alta de calor e de som 
• Dificuldade, em algumas situações para execução de reformas 
• Necessidade de colocação de elementos específicos: bainhas, cabos etc 
 
 
1.5 CONCEITOS BÁSICOS USADOS PARA O CÁLCULO DE PEÇAS 
PROTENDIDAS 
 Os procedimentos de cálculo empregados para a análise de peças em concreto 
protendido estão ligados à própria historia do mesmo. No início de sua aplicação quando se 
desejava apenas evitar as tensões normais de tração na seção transversal e a teoria de estado 
limite último (especialmente a ruptura) ainda não estava sendo usada, bastava o uso da teoria 
da resistência dos materiais para se conhecer esforços solicitantes e deslocamentos. 
A partir da década de 50 quando paulatinamente considerou-se que bastava controlar a 
abertura das fissuras do concreto e estudar também a seção transversal no estado limite último 
a armadura de protensão passou a ter duas funções. Em serviço para combinações de ações se 
evita a fissura ou apenas se controla a sua abertura com a introdução dos esforços de 
protensão da armadura ativa. Neste caso as hipóteses usadas desde o princípio do cálculo de 
concreto protendido podem ser usadas sem nenhuma modificação. No caso do estado limite 
último a teoria técnica do concreto armado pode ser usada para o concreto protendido desde 
que se considere na armadura a tensão decorrente da tração de protensão como é visto no 
capítulo 6. 
Finalmente lançando mão do processo construtivo de se efetuar a protensão através de 
cabos curvos pode-se considerar a introdução da protensão através de uma ação equivalente 
que passa a ser um procedimento de cálculo simples e eficaz para peças hiperestáticas. Neste 
item introduzem-se alguns conceitos usados para empregar a teoria da resistência dos 
materiais assim como a do cabo equivalente. A teoria técnica do concreto armado faz parte de 
outra obra do autor e será abordada resumidamente em outros capítulos com a adaptação 
necessária apara o emprego em peças de concreto protendido. Em todas as situações 
 
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 CAPÍTULO 1- CONCEITUAÇÃO E TIPOS DE PROTENSÃO 
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14
analisadas neste item a força de protensão ao longo cabo é considerada constante (e também 
ao longo do tempo), ou seja, despreza-se as perdas ao longo do mesmo (e no decorrer do 
tempo), e nos capítulos posteriores indica-se como estes cálculos podem ser feitos. 
 
1.5a Tensões Normais na seção transversal decorrentes da flexão usando a resistência 
dos materiais 
 Para verificar as condições de serviço (fissuração, deformação excessiva) é preciso 
conhecer o que acontece na peça sob as condições em utilização, ou seja, com as ações que 
realmente vão ocorrer com maior freqüência e não as esporádicas ou que levarão a estrutura 
ao colapso e que possivelmente nunca ocorrerão. Assim para verificar a fissuração de peças 
em concreto protendido em serviço costuma-se calcular as tensões normais máximas em cada 
seção transversal. As hipóteses empregadas para tanto são (lembrar que valem para ações em 
serviço): 
• Vale a lei de Hooke para os materiais aço e concreto (relação linear entre tensão e 
deformação). 
• Vale a superposição de efeitos. Os deslocamentos são pequenos e não interferem 
nos esforços internos. 
• A seção plana da seção transversal permanece plana após a deformação. 
• O material da seção transversal é homogêneo. 
A última hipótese pode ser empregada, pois macroscopicamente falando o concreto pode ser 
considerado um material homogêneo e isótropo enquanto o aço de protensão poderá ser 
considerado como uma ação externa. Assim, com todas estas condições e considerando ainda 
que a intensidade da tensão de tração, quando houver, pode ser resistida pelo concreto a teoria 
técnica da resistência dos materiais pode ser empregada. 
 
 Desta forma em uma seção transversal S, submetida a um momento fletor M as 
tensões máximas e mínimas devido o efeito da protensão de um cabo curvo com uma forca de 
protensão P (considerada constante ao longo do mesmo), cuja inclinação da tangente ao 
mesmo na seção é dado por α (Figura 1 11) gerando os esforços internos isostáticos: 
 
Cortante de protensão Vp = P.senα (1.1) 
 
Normal de protensão Np = P.cosα (1.2) 
 
Momento Fletor isostático de protensão Mp = Np . e (1.3) 
 
Com 
 P- Força resultante de protensão atuando no concreto devido ao efeito de protensão de 
um ou um conjunto de cabos. 
 e – a excentricidade do cabo de protensão, ou seja a distância do centro de gravidade 
do(s) cabo(s) ao centro de gravidade da seção. 
 
 
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15
S
AV
A
B
A
S
B
P
P
N =Pcos
V =Psen
P
P
detalhe 1
detalhe 1da seção S
do cabo
e
e
cento de gravidade 
h
yi
sy
trecho curvo
 
 
 
Figura 1.11- Ações solicitantes (isostáticas) devido o efeito de protensão em uma seção S 
 
As tensões normais máximas ocorrem junto aos pontos mais afastados do centro de 
massa (cg) da seção e portanto situados junto à borda inferior e superior dadas por: 
 
BORDA SUPERIOR 
ss
pp
s W
M
W
eN
A
N ±−= .σ (1.4a) 
 
BORDA INFERIOR 
ii
pp
i W
M
W
eN
A
N m.+=σ (1.4b) 
 
Com os seguintes significados: 
 σi eσs – tensões normais no concreto junto à borda inferior e superior respectivamente 
 Np – Esforço normal de protensão na seção dado por P.cosα. Como o valor de α é, 
em geral, pequeno costuma-se confundir Np com P (força de protensão no cabo). 
 e- Excentricidade do cabo na seção. Distância entre o centro de gravidade do cabo e o 
da seção transversal. 
 A- Área da seção transversal de concreto (em geral a seção geométrica Bruta) que 
pode ser, em geral, considerada igual a área da seção geométrica. 
 Wi e Ws – módulo de resistência da seção em relação à borda inferior e superior da 
seção. Dado pela razão entre a inércia à flexão (I) (relativa ao eixo central) e a distância do 
centro de gravidade da seção a borda inferior (yi) e superior (ys) respectivamente. 
Assim: 
 
i
i y
IW = (1.5a) 
 
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16
s
s y
IW = (1.5b) 
 
 M – soma dos momentos fletores na seção devido às ações atuantes (peso próprio, 
carga acidental, sobrecarga permanente etc) para a verificação requerida. 
Np . e – Momento fletor isostático de protensão, refere-se ao efeito da força de 
protensão estar excêntrica em relação ao centro de gravidade (cg) da peça e assim para 
reduzi-la (força de protensão) a este ponto (cg) é preciso considerar este momento. No 
capítulo 12 do segundo volume deste trabalho vê-se que no caso de peças hiperestáticas é 
preciso também considerar outro efeito que é o “momento hiperestático de protensão”. 
Para a utilização das fórmulas 1a e 1b introduz-se a convenção, usada 
internacionalmente para elementos de concreto na qual para as tensões de compressão é 
atribuído o sinal positivo e, ao contrário, para as tensões de tração. Pode-se usar para tanto 
uma regra mnemônica dada a seguir: 
 
• TENSÃO DE COMPRESSÃO → BOA PARA O CONCRETO → SINAL POSITIVO 
 
• TENSÃO DE TRAÇÃO → RUIM PARA O CONCRETO → SINAL NEGATIVO 
 
A estas convenções somam-se as largamente empregadas no Brasil que o momento fletor 
de sinal positivo causa tração nas fibras abaixo do cg da viga e de compressão nas fibras 
acima do cg e ao contrário para o momento negativo. Nas fórmulas 1 os sinais das tensões 
normais devido ao momento isostático de protensão já estão de acordo com as regras 
descritas. Os sinais das tensões devido o momento M dependerão de seu sinal por isso o 
símbolo ± e m em cada das expressões indicando a possibilidade do sinal a se empregar 
puder ser negativo ou positivo. 
 
1.5b. Consideração da protensão através de uma ação equivalente 
 Uma outra forma de considerar o efeito da protensão está em considerar o diagrama 
de corpo livre da viga de concreto separando-o do cabo de protensão (neste caso curvo) e 
verificando o efeito que nela ocorre. 
Considerando a ação de um cabo curvo com uma força de protensão P aplicada nas 
extremidades (neste caso no cg da peça) da viga e que provocará quando for estirado uma 
ação u (contato cabo-concreto) que pode ser substituída por uma ação distribuída atuando ao 
longo de l e com direção vertical, ou seja, com intensidade constante (perdas são desprezadas) 
de up. Fazendo o equilíbrio na vertical obtém-se: 
 
 2P senα = up . l (1.6) 
 
Considerando que a curva do cabo em questão seja uma parábola do segundo grau o valor de 
sen α é dado por 
Sen α = ( ) ( )22 2/2
.2
l+e
e
 (1.7) 
 
Considerando que o valor de e na presença de l seja pequeno a expressão (3) fica 
 
 
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17
 Sen α = 2/
.2
l
e
 (1.8) 
 
Substituindo em (1.5) em (1.3) tem-se: 
 up = 2
..8
l
eP
 (1.9) 
 
 O significado de cada um dos elementos empregados nas fórmulas 1.3 a 1.6 pode ser 
facilmente entendido a partir da inspeção da figura 1.12. 
 O fato de se considerar o cabo parabólico não invalida os resultados, que seriam 
praticamente os mesmos para um cabo com a trajetória, por exemplo, circular desde que os 
valores do ângulo α sejam pequenos (a discussão dos tipos de curvas usadas e as 
considerações geométricas das mesmas são feitas no capítulo 4). 
P P a) b) c)
P
e
PP
R
L
2
g+q
d)
p p-(g+q)
e) f)P P P P
 
Figura 1.12 – Consideração do carregamento equivalente up que traduz o efeito da 
flexão da protensão. 
 
Chama-se a atenção que o uso deste procedimento, ao se considerar a força de protensão 
constante ao longo do cabo, permite diversas simplificações nos cálculos principalmente de 
peças hiperestáticas. Em seguida, no quadro 1.2, são agrupadas as principais expressões e 
convenções deste capítulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
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18
QUADRO 1.4 – PRINCIPAIS EXPRESSÕES E CONVENÇÕESUSADAS NO 
CAPÍTULO 1 
Esforços Solicitantes de protensão 
Cortante Vp = P.senα (1.1) 
 
Normal Np = P.cosα (1.2) 
 
Momento Fletor Mp = Np . e (1.3) 
 
Tensão normal 
tensão de compressão boa para o concreto sinal positivo 
 
tensão de tração ruim para o concreto sinal negativo 
 
borda superior 
 
 ss
pp
s W
M
W
eN
A
N ±−= .σ 
(1.4a) 
 
 
 
borda inferior 
ii
pp
i W
M
W
eN
A
N m.+=σ (1.4b) 
 
 
Características Geométricas 
Módulo de flexão inferior 
i
i y
IW = (1.5a) 
 
Módulo de flexão superior 
s
s y
IW = (1.5b) 
 
Ação equivalente de protensão 
Taxa da ação 
up = 2
..8
l
eP
 
(1.9) 
 
 
1.6 EXEMPLOS NUMÉRICOS 
Para ilustrar os conceitos introduzidos são resolvidos a seguir três exemplos 
numéricos. 
 
1.6.a Exemplo numérico 1 
Calcular a força de protensão necessária na seção do meio vão, para a viga dada na 
figura 1.13 de maneira que a tensão normal na seção fique entre o intervalo de 0 a 17,5 MPa . 
Considerar que além do peso próprio poderá atuar na viga uma carga acidental de 17 kN/m. 
Considerar três situações: a) excentricidade do cabo nula, cabo passando pelo cg e a análise 
com a força de protensão na seção; b) excentricidade do cabo igual a 70 cm, cabo passando 
abaixo do cg na seção e a análise com a força de protensão na seção; c) excentricidade do 
cabo igual a 70 cm, cabo passando abaixo do cg na seção e a análise com a ação equivalente 
de protensão 
 
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19
3000 cm 70
180
 
Figura 1.13- Viga e seção transversal para o exemplo numérico 
Resolução 
 Caso a 
• Cálculo das característicasgeométricas: 
A= 0,7 x l,80 = 1,26 m2 
 Wi= Ws = 
6
80,17,0 2x
= 0,378 m3 
• Cálculo dos momentos atuantes 
O concreto protendido quando se verifica a fissuração (este é o caso) é comum 
considerar as situações de momento máximo e mínimo pois, há sempre o perigo, 
no caso de se considerar apenas o valor máximo do momento, de se introduzir 
protensão que pode provocar, quando da atuação do momento mínimo, excesso de 
compressão ou mesmo tração excessiva na borda oposta à posição do cabo. 
Costuma-se dizer que a solução em protendido, quando existe, está sempre entre 
dois valores e portanto não se pode usar nem protensão de menos nem de mais. 
No caso em questão tem-se: 
Mmáx = Mg + Mq 
 Mmin = Mg 
 
Onde Mmáx , Mmin , Mg , Mq são momento máximo, mínimo, devido à carga 
permanente e devido à carga acidental respectivamente. Os valores dos momentos 
máximos e mínimos são dados por: 
 Mmáx = mkN
xxxx .5456
8
3017
8
302580,17,0 22 =+ 
 Mmin = mkN
xxx .3543
8
302580,17,0 2 = 
 
Análise de tensões (usando as expressões 1.4a e 1.4b e lembrando que neste caso 
e=0. 
 
BORDA SUPERIOR 
 
Momento máximo → 
378,0
5456
378,0
0.
26,1
+−= pps
NNσ 
Momento mínimo → 
378,0
3150
378,0
0.
26,1
+−= pps
NNσ 
 
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Analisando as expressões anteriores percebe-se que o risco de uma compressão 
excessiva é maior de ocorrer para a primeira expressão ficando assim fácil de 
estabelecer os limites tanto dela (primeira expressão) quanto da segunda. 
Momento máximo → 17500
378,0
5456
378,0
0.
26,1
≤+−= pps
NNσ → Np ≤ 3.863 kN (A) 
Momento mínimo → 0
378,0
75,3543
378,0
0.
26,1
≥+−= pps
NNσ → Np ≥ -11.802 kN (B) 
 
BORDA INFERIOR 
 Usando o mesmo raciocínio que o parágrafo anterior 
Momento máximo → 0
378,0
5456
378,0
0.
26,1
≥−+= ppi
NNσ → Np ≥18.186 kN (C) 
Momento mínimo → 500.17
378,0
3543
378,0
0.
26,1
≤−+= ppi
NNσ → Np ≤33.860 kN (D) 
 
Os sinais das tensões foram considerados com as regras descritas nos itens 
anteriores. A análise do problema deve ser feita através do eixo orientado 
representado na figura 1.14. 
18.186 kN
O
C
33.860
D
3.863
A
-11.802
B
 
Figura 1 .14- Eixo orientado com as condições que atendem as inequações de tensão 
 
Pela observação do eixo orientado apresentado na Figura 1.14 que mostra as 
diversas condições (A, B, C e D) que devem ser atendidas simultaneamente 
conclui-se que o problema em questão não tem solução, ou seja, não é possível 
aplicar uma protensão centrada que faça com que as tensões normais na seção do 
meio fiquem entre 0 e 17,50 MPa. 
 
Caso b 
 
Neste caso deve ser considerada e excentricidade da protensão (e=0,70 m) cujo 
efeito pode ser visto na Figura 1.15. A força de protensão colocada abaixo cg 
provoca encurtamento nas fibras inferiores e tração nas superiores. 
 
 
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21
 
Figura 1 15 – Efeito da protensão excêntrica. 
 
BORDA SUPERIOR 
Momento máximo→ 500.17
378,0
5456
378,0
70,0.
26,1
≤+−= pps
NNσ → Np≥-2.896 kN (A) 
Momento mínimo → 0
378,0
3543
75,3543
378,0
70,0.
26,1
≥+−= pps NNσ → Np ≤ 8.857 kN (B) 
 
BORDA INFERIOR 
Momento máximo → 0
378,0
5456
378,0
70,0.
26,1
≥−+= ppi
NNσ → Np ≥5.456 kN (C) 
Momento mínimo → 500.17
378,0
3543
378,0
070.
26,1
≤−+= ppi NNiσ Np≤10.158kN (D) 
A análise do problema deve ser feito através do eixo orientado representado na 
figura 1.16 
 
10.158 kN
O
-2.896 kN 5456 8.857
A C B D
 
Figura 1 .16- Eixo orientado com as condições de força P (em kN) que atendem as 
inequações de tensão 
 
Pela observação do eixo orientado apresentado na Figura 1 .16 chega-se a solução de 
N=5457 kN o menor valor que atende todas as diversas condições (A, B, C e D). 
 
 Caso c 
Neste caso deve a excentricidade da protensão (e=0,70 m) será considerada como 
uma carga equivalente de intensidade ul como pode ser visto na Figura 1 21.. A 
 
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22
força de protensão colocada abaixo cg provoca encurtamento nas fibras inferiores 
e tração nas superiores. 
 
u
P
PP
P P
e
L
 
Figura 1 17 – Efeito da protensão excêntrica. 
 
Momento de protensão 
 
 up = 230
70,0..8 pN 
 
 Mp = 70,0.308
3070,08
8
30
2
22
p
pp N
x
xxxNxu =+= 
 Assim, a análise a ser feita a partir deste ponto é a mesma que foi feita no item anterior e 
com mesmos valores chegando-se na mesma resposta que o item B. Mostra-se desta forma 
que o procedimento do carregamento equivalente é o mesmo que o da resistência dos 
materiais. 
 
1.6.b Exemplo numérico 2 
Determinar o intervalo possível de excentricidades para a força de protensão Np=1800 
kN pode ter para que a tensão normal uma seção transversal fique entre o intervalo de -265 a 
1750 MPa, considerando com as características geométricas: A=0,5099 m2; yi=1,074 m; 
h(altura da seção)=1,80 m; Ws=0,2857 m3 ; para os valores de momentos máximo e mínimo 
os valores de 1800 kN.m e -1000 kN.m respectivamente. 
Resolução 
Cálculo das características geométricas 
 Como h = yi + ys então 1,80m= 1,074m + ys → ys =0,726m 
Usando 1.5b 
s
s y
IW = tem-se 
726,0
2857,0 I= → I =0,2074 m4 
Usando 1.5a 
i
i y
IW = tem-se 
074,1
2074,0=iW → Wi =0,1931 m3 
Determinação do valor da excentricidade “e” da força de protensão. 
 Considera-se que a excentricidade “e” e desta forma tem o sinal positivo, bastando 
agora verificar as condições de tensão para a borda superior e inferior para a situação de 
máximo e mínimo momento fletor. 
 
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BORDA SUPERIOR 
Momento máximo→ 500.17
2857,0
1800
2857,0
.1800
5099,0
800.1 ≤+−= esσ → e ≥ -1,217 m (A) 
Momento mínimo → 650.2
2857,0
1000
2857,0
.1800
5099,0
800.1 −≥−−= esσ → e ≤ 0,425 m (B) 
 
BORDA INFERIOR 
Momento máximo→ 650.2
1931,0
1800
1931,0
.1800
5099,0
800.1 −≥−+= eiσ → e ≥ 0,336 m (C) 
Momento mínimo → 500.17
1931,0
1000
1931,0
.1800
5099,0
800.1 ≤++= esσ → e ≤ 0,9431 m (D) 
A análise do problema deve ser feito através do eixo orientado representado na 
figura 1.18 
0,724
S
-1,217 m
0,425
0,9431,074
0,336
A
B
D
C
 
Figura 1.18 – Efeito da protensão excêntrica. 
 
1.6.c Exemplo numérico 3 
Considerando a seção transversal do problema anterior, a mesma força de protensão Np e 
uma excentricidade de e=0,37m qual devem ser os momentos máximos e mínimos de maneira 
que as tensões estejam no intervalo de –2,65 e 17,50 MPa. 
 
Determinação do valor dos momentos máximos e mínimos. 
 Basta montar as equações de tensão agora com o valor da excentricidade e=0,37m. 
BORDA SUPERIOR 
Momento máximo→500.17
2857,02857,0
37,01800
5099,0
800.1 1 ≤+×−= Msσ → M1≤1859 kN.m (A) 
Momento mínimo → 650.2
2857,02857,0
37,01800
5099,0
800.1 2 −≥−×−= Msσ →M2≥ -2031kN.m (B) 
 
BORDA INFERIOR 
Momento máximo→ 650.2
1931,01931,0
37,01800
5099,0
800.1 3 −≥−×+= Miσ → M3 ≤ 4657 kN.m (C) 
 
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Momento mínimo → 500.17
1931,01931,0
37,01800
5099,0
800.1 4 ≤−×−= Msσ → M4≤-2031kN.m (D) 
A análise do problema deve ser feito através do eixo orientado representado na 
figura 1.17 
4657 kN.m
O
-2031 -1099 1859
M M M M3142
 
Figura 1.19 – Efeito da protensão excêntrica. 
Resultando assim nos momentos mínimo de M=-1099 kN.m e momento máximo 
M=1859 kN.m. 
 
1.7 CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 
O cálculo das características geométricas de uma seção transversal típica de viga pré-
moldada de concreto protendido como a dada na figura 1.20 pode ser feito considerando-a 
compostas pelos retângulos e triângulos numerados na mesma figura (do lado direito). 
Assim, a seção passa a ser composta de diversos elementos cujos valores das áreas, posições 
dos centros de gravidades e inércias são conhecidos. Basta aplicar os conhecimentos de 
mecânica e resolver o problema, usando a tabela 1.1 apresentada a seguir cujas operações são 
listadas: 
1) Separar a seção em diversos elementos numerando-os. Os elementos devem 
ser retângulos ou triângulos; 
2) Calcular a área de cada elemento fazendo a somatória que representa a área da 
seção toda; 
3) Indicar a coordenada (y) do cg de cada elemento referendada a um eixo 
horizontal (x). É interessante, como no caso em questão usar o eixo que passa 
pela borda superior; 
4) Efetuar o produto Ay que corresponde ao momento estático em relação ao eixo 
x e somando as parcelas do mesmo; 
 
 
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Figura 1.20.- Seção Transversal para o exemplo de cálculo de características 
geométricas com cotas dadas em cm. 
5) Determinar a coordenada ys do cg fazendo ∑
∑=
A
Ay
ys , que para a tabela resulta 
ys= =
0 3703
0 5099
0 726,
,
, m e assim yi=1,90-0,726=1,074 m. 
 6) Cálculo da distância entre o cg de cada elemento ao cg da peça efetuando a 
operação y’=y-ys; 
7) Efetuar o produto Ay’ que corresponde ao momento estático em relação ao 
eixo central x’ (que passa pelo cg) e somando as parcelas do mesmo que 
deverá ser aproximadamente igual a zero; 
8) Nesta etapa calcula-se a parcela do “transporte”do teorema dos eixos paralelos 
para o momento de inércia em que Ix=Ix0+ A.(y’)2 fazendo-se o produto da 
coluna 7 pela 3 e promovendo a somatória das diversas parcelas. Na fórmula 
anterior Ix é o momento de inércia à flexão de toda a seção em relação ao eixo 
horizontal x’ que passa pelo cg da peça; 
 
TABELA 1.1 - CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 
1 2 3 4 6 7 8 9 
P A 
(m2) 
y 
(m) 
Ay 
(m3) 
y`=y-ys 
(m) 
Ay` 
(m3) 
Ay`2 
(m4) 
Ix0 
(m4) 
1 1x0,16=0,16 0,08 0,0128 -0,646 -0,1034 0,0668 (1x0,163)/12=3,41x10-4 
2 0,425x0,09=0,038 0,19 0,0072 -0,536 -0,0205 0,0110 (0,425x0,093)/18=1x10-5 
3 0,15x1,44=0,216 0,88 0,1900 0,154 0,0333 0,0051 (0,15x1,443)/12=3,7310-2 
4 2x0,1252/2=0,015 1,55 0,0243 0,824 0,0129 0,0106 (2x0,1254/36=1,35x10-5 
5 0,4x0,2=0,08 1,70 0,1360 0,974 0,0779 0,0759 (0,2x0,203)/12=2,66x10-4 
Σ 0,5099 - 0,3703 - 0,0002 0,1694 0,03796 
 
Ix0 – a soma das parcelas do momento de inércia à flexão de cada elemento em relação ao 
eixo x passando pelo cg do elemento em questão. 
9) Cálculo do momento de inércia de cada elemento em relação ao eixo x que 
passa pelo próprio cg (do elemento) Como a seção foi dividida em retângulos e 
 
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triângulos as fórmulas a se empregar são I = 
12
. 3hb
 e I =
36
. 3hb
 
respectivamente.em que b é a base e h a altura do elemento. 
10) Finalmente nesta etapa pode-se efetuar o cálculo da inércia total da seção em 
relação ao eixo central x usando o teorema dos eixos paralelos chegando-se a 
Ix=0,1694+0,03796=0,2074 m4, calculando em seguida os valores dos módulos 
de inércia .2857,0
726,0
2074,0 ==sW m3 e 1931,0074,1
2074,0 ==iW m3. 
 
Uma outra maneira de se determinar as características da seção é usar um programa de 
desenho do tipo CAD (desenho auxiliado por computador) que permite o cálculo de 
características geométricas a partir de polígonos fechados. Isto é feito desenhando-se a seção 
com linhas poligonais (em geral comando polilinha) selecionando a figura como região e 
finalmente usando o comando de propriedades de massas. No caso de seções vazadas como a 
mostrada na figura 1.21 às vezes é preciso o uso de um “rasgo” na seção para que se forme 
uma região envolta em apenas um polígono. Há alguns programas que permitem tirar da 
figura formada pela poligonal mais externa a poligonal mais interna evitando o uso do rasgo. 
Finalmente existem procedimentos matemáticos que permitem através das coordenadas da 
figura polignonal obter-se qualquer característica geométrica como e para tanto a seção 
precisa ser definida, como por exemplo a da figura 1.21, pelas coordenadas dos 21 vértices 
indicados. 
 
Figura 1 21- Consideração dos vértices para usar o programas do tipo desenho 
auxiliado por computador CAD. 
 
 
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PFEIL, WALTER- Concreto Protendido, Livros Técnicos e Científicos Editora S. A.- Rio 
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CHOLFE, LUIZ – Concreto Protendido- Apostila Escola de Engenharia Mackenzie – 
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CHOLFE, LUIZ, BONILHA LUCIANA – Concreto Protendido Teoria e Prática- Apostila 
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ROCHA, ADERSON MOREIRA - “Novo Curso Prático de Concreto Armado - Concreto 
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