Fundamentos de Matematica

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Disciplina: Fundamentos da Matemática 
Prof. Dr. Antônio de Andrade e Silva UFPB – Tutor de EAD 
Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL 
 andrade@mat.ufpb.br 
 
Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br 
Site do Curso: www.mat.ufpb.br/ead 
Site da UFPBVIRTUAL: www.virtual.ufpb.br 
Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 
 
Carga horária: 60 horas Créditos: 04 
 
Ementa 
 
O Método Axiomático, Conjuntos, Conjuntos Parcialmente Ordenados, Axioma da Escolha e 
Aplicações, Números Naturais, Números Cardinais. 
 
Descrição 
 
Esta disciplina tem como objetivo levar o aluno a compreender os axiomas da Teoria dos Conjuntos, 
segundo “Zermelo-Fraenkel,” a ponto de aplicá-los em diferentes contextos tais como o axioma da escolha, 
modelagem de situações-problema envolvendo o princípio do máximo de Hausdorff, Lema de Zorn, 
conjuntos bem ordenados, construção dos números naturais, números cardinais. 
O programa da disciplina divide-se em seis unidades, das quais a primeira é responsável pela 
introdução do método axiomático e resultados utilizados em todo o texto. Em cada estudo específico, busca-
se a caracterização do objeto por meio de propriedades que possibilitem ao estudante estabelecer 
correspondências entre determinadas situações-problema da vida real e a espécie de função focalizada, 
objetivando sua utilização na construção de uma tradução matemática da respectiva situação. 
 
Objetivos 
 
Uniformizar o conhecimento da Teoria dos Conjuntos via métodos axiomáticos e aplicar os mesmos 
ao estudo dos conjuntos, axioma da escolha e números. Assim, servir como ferramenta importante em outras 
disciplinas tais como Álgebra, Análise e Equações Diferenciais. Além disso, tem como finalidade 
desenvolver habilidades e atitudes no aluno que lhe permitam acompanhar e se adaptar ao desenvolvimento 
no âmbito da educação, ciência e tecnologia. 
 
Objetivos Específicos 
 
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja apto a: 
 
	 Construir os axiomas da Teoria dos Conjuntos, compreender as suas diferentes representações e 
aplicá-los a problemas relacionados; 
	 Construir o conceito de relação de ordem, ter ideia clara das suas diferentes representações e 
aplicá-lo a problemas relacionados; 
	 Interpretar o Axioma da Escolha e utilizá-lo nas aplicações; 
	 Compreender o conceito de números naturais; 
	 Construir via o método axiomático o conjunto dos números naturais; 
	 Ler, interpretar e comunicar ideias matemáticas. 
 
 
Conhecimentos Prévios 
 
Noções Básicas de Conjuntos, Relações e Funções, Conjuntos Enumeráveis e Não-Enumeráveis. 
 
 
 
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Unidade I O Método Axiomático 
 
Introdução Histórica 
O Método Axiomático 
Características de um Sistema de Axiomas 
Independência de um Sistema de Axiomas 
 
Unidade II Conjuntos 
 
Introdução Histórica 
Conjunto 
Gráfico e Famílias 
Funções 
 
Unidade III Conjuntos Parcialmente Ordenados 
 
Ordem 
Isomorfismos 
Elementos Notáveis e Dualidade 
Conjuntos Bem Ordenados 
 
Unidade IV Axioma da Escolha e Aplicações 
 
Axioma da Escolha 
Aplicações, Princípio do Máximo de Hausdorff e Lema de Zorn 
Princípio da Boa Ordenação 
 
Unidade V Números Naturais 
 
Números Naturais 
Aritméticas dos Números Naturais 
 
Unidade VI Números Cardinais 
 
Conjuntos Equipotentes 
Números Cardinais 
Aritméticas dos Números Cardinais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidade I O Método Axiomático 
 
 
1. Situando a Temática 
 
Quando falamos que um objeto pertence a outro objeto, queremos dizer, simplesmente, que o 
primeiro deles depende do segundo. Situações de pertinência fazem-se presentes constantemente em nossa 
vida. Por exemplo, um ponto pertence a uma reta. 
A partir de agora, você está convidado a nos acompanhar neste passeio pelo mundo dos axiomas e 
postulados. Juntos analisaremos detalhadamente as caracterizações de um sistema de axiomas e a 
independência de um axioma. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
No nosso dia-a-dia, os axiomas e postulados aparecem com mais frequência na Geometria Plana. 
Considere, por exemplo, 
“Se uma linha reta intercepta duas outras linhas retas formando ângulos interiores no mesmo lado 
menor do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente se interceptarão no 
lado em que a soma é menor que dois ângulos retos.” 
Este e outros axiomas da Geometria Plana serão tratados nesta unidade. 
 
3. Conhecendo a Temática 
 
3.1 Introdução Histórica 
Nesta seção apresentaremos um pouco da história do surgimento do método axiomático na 
matemática. O leitor interessado em mais detalhes pode consultar Wilder, R. L., [6]. 
Nos textos de Geometria Plana, visto no ensino fundamental, encontramos dois grupos fundamentais 
de afirmações, um chamado de axiomas e outro chamado de postulados. Formalmente: 
 
Um axioma é uma afirmação que dispensa explicação, ou seja, é uma verdade universal. 
 
Exemplo 1.1. 
1. O todo é maior do que cada uma de suas partes. 
2. O todo é a soma de suas partes. 
3. Coisas iguais a uma outra coisa são iguais entre si. 
 
Um postulado é um fato geométrico simples e óbvio que podemos supor sua validade. 
 
Exemplo 1.2. 
1. Dois pontos distintos determinam uma e somente uma reta. 
2. Uma reta pode ser estendida indefinidamente. 
3. Se r é uma reta e P é um ponto fora de r, então existe uma única reta s paralela à reta r e passando por 
P. 
 
Um teorema é uma verdade que não se torna evidente senão por meio de uma prova. 
 
Observação 1.3. Um teorema é composto de duas partes: 
Hipótese - É o conjunto de suposições. 
Tese - É a consequência que o raciocínio deduz da hipótese, por meio de verdades já conhecidas. 
 
Exemplo 1.4. A soma dos ângulos internos de um triângulo vale dois ângulos retos. 
 
Um corolário é uma proposição que é uma consequência de um teorema previamante provado. 
 
 
 
4
Esses agrupamentos de axiomas e postulados já eram conhecidos em Aristóteles (384-321, a. C.) e 
em Euclides (330-260, a. C.) como noções comuns e postulados. A partir dessas afirmações e de um certo 
número de definições, Euclides demonstrou 465 teoremas em uma sequência lógica. Por exemplo, o quinto 
postulado de Euclides, em sua forma original, foi enunciado como: 
 
5E - Se uma linha reta intercepta duas outras linhas retas formando ângulos interiores no mesmo 
lado menor do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente se interceptarão 
no lado em que a soma é menor que dois ângulos retos. 
 
Proclus (Proclus Lycaeus, 412-485, d. C, filósofo grego) descreveu a controvérsia que estava se 
formando com relação a esse postulado mesmo nessa época, sendo ele próprio a favor da eliminação do 
postulado por classificá-lo de ingênuo, plausível e sem caráter de necessidade lógica. 
No período Renascentista inciou-se novo período de controvércias com relação ao quinto postulado a 
partir dos outros postulados, ou seja, domonstrá-lo a partir dos outros postulados e axiomas da geometria 
usando princípios da lógica. 
Duas retas distintas r e s, em Geometria Plana, são chamadas de paralelas se elas não se 
interceptam, isto é, r s∩ =∅ . Assim, atualmente, o quinto postulado de Euclides é enunciado como: 
 
5E - Dada uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma e somente uma reta s que contém P e é 
parelela à reta r. 
 
 
Figura 1. Geometria Euclidiana. 
 
Note que esse postulado afirma que retas paralelas existem. 
 
No século dezenove, Lobachevsky (Nikolai Ivanovich Lobachevsky, 1792-1856, matemático russo) 
em 1820, Gauss (Carl Friedrich Gauss 1777-1855, matemático alemão) e Bolyai (János Bolyai, 1802-1860, 
matemático húngaro) em1823, descobriam que poderiam obter uma teoria matemática "consistente" 
partindo de um postulado que afirma a existência de infinidade de retas paralelas contendo P. 
 
Postulado de Lobachwsky-Gauss-Bolyai - Dada uma reta r e um ponto P fora de r, existem pelo 
menos duas retas s e t que contém P e são paralelas à reta r. 
 
 
Figura 2. Geometria Hiperbólica. 
 
Riemann (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866, matemático alemão), descobriu uma nova 
geometria partindo de um postulado que nega a existência de retas paralelas. 
 
Postulado de Riemann - Duas retas nunca são paralelas. 
 
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Figura 3. Geometria Esférica. 
 
Com esses postulados temos três tipos de geometrias. Em cada uma dessas geometrias é claro que 
precisamos de muitos outros postulados. 
Hilbert (David Hilbert, 1862-1943, matemático alemão), em 1899, no seu célebre trabalho 
“Fundamentos da Geometria”, apresenta a ideia de que apenas um nome - axiomas - deve ser usado com 
relação às proposições fundamentais, e que certos termos básicos como ponto e reta são deixados 
completamente indefinidos. 
Embora esse trabalho de Hilbert seja reconhecido por muitos como sendo o primeiro a tratar de 
método axiomático em sua forma moderna, devemos reconhecer que ideias análogas também apareceram em 
trabalhos de outros estudiosos da época. 
Em 1882 apareceu a primeira edição do livro de Pasch (Moritz Pasch, 1843-1930, matemático 
alemão) “Vorlesungen über Neuere Geometrie.” Pasch baseou seu tratamento da geometria em um pequeno 
número de “conceitos nucleares” e “proposições nucleares” que são introduzidas respectivamente sem 
definição e sem demonstrações, mas que ele acredita ter uma base comum de aceitação pela nossa 
experiência. Depois que o sistema básico de proposições (axiomas) é introduzido, a dedução lógica das 
outras proposições do sistema são obtidas de forma rigorosa. Suas ideias foram descritas por ele mesmo 
como segue: 
“Na realidade, se a geometria deve ser dedutiva, a dedução deve ser independente do significado dos 
conceitos geométricos, da mesma forma que deve ser independente de diagramas; somente as relações 
especificadas nas proposições e definições empregadas podem ser usadas. Durante a demonstração é útil e 
correto, mas de modo algum necessário, pensar no significado dos termos; aliás, se for necessário proceder 
desse modo a ineficiência da prova está clara. Se, entretanto, um teorema é rigorosamente derivado de um 
conjunto de proposições (os axiomas), a demonstração tem um valor que transcende o objetivo inicial. Pois 
se substituirmos os termos geométricos nos axiomas por outros termos certos, proposições verdadeiras serão 
obtidas, então fazendo substituições análogas nos teoremas obteremos um novo teorema sem termos que 
repetir a demonstração”. 
 
3.2 O Método Axiomático 
Nesta seção apresentaremos alguns modelos axiomáticos que serão necessários para o 
desenvolvimetos destas notas. 
 
O modelo axiomático organiza as matérias (teorias) de um modo sistemático a partir de proposições 
primitivas e definições, procedendo ao desenvolvimento por via dedutiva. 
 
Um sistema de axiomas é uma coleção formada pelos termos indefinidos, axiomas e "teoremas." 
Agora, apresentaremos um sistema "parcial" de axiomas como uma amostra do modelo axiomático. 
 
Exemplo 2.1. O sistema de axiomas S da Geometria Euclidiana (plana): 
Termos indefinidos: Ponto e Reta. 
1E - Toda reta é uma coleção de pontos. 
2E - Existem pelo menos dois pontos. 
3E - Se P e Q são pontos distintos, então existe uma e somente uma reta contendo P e Q. 
4E - Se r é uma reta, então existe um ponto fora de r. 
5E - Dada uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma e somente uma reta s que contém P e é parelela à 
reta r. 
 
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Observação 2.2. O sistema de axiomas S da Geometria Plana (Euclidiana): 
1. Ponto e reta desempenham o mesmo papel que as variáveis em equações algébricas, por exemplo, 
2 2 2( ) ,x y x xy yx y+ = + + + 
com x e y representando qualquer objeto (número, matriz, etc.) de um certo conjunto especificado. 
2. Note que o axioma 1E estabelece uma relação entre os termos indefinidos ponto e reta. 
3. Vamos provar, com um exemplo, que o sistema de axiomas S não é adequado para a Geometria 
Plana. Seja C um cidade com duas bibliotecas distintas 
1 2{ , },C b b= 
Em que os termos indefinidos são: “livro = ponto” e “biblioteca = reta”. Note que, o axioma 3E não é 
satisfeito, enquanto os outros o são. 
4. Seja Z uma comunidade (um tetraedro) formada de quatro pessoas ( vértices) 
{ , , , }Z a b c d= 
e seis clubes (arestas) 
ab, ac, ad, bc, bd e cd, 
 onde os termos indefinidos são:”pessoa = ponto” e “clube = reta.” Então todos os axiomas são satisfeitos. 
 
Teorema 2.3. Todo ponto pertence a pelo menos duas retas distintas. 
 
Prova. Seja P um ponto qualquer. Pelo axioma 2E existe um ponto Q distinto de P. Pelo axioma 3E existe 
uma e somente uma reta r contendo P e Q. Além disso, pelo axioma 4E existe um ponto R fora de r. 
Novamente, pelo axioma 3E existe uma reta s contendo P e R. Finalmente, pelo axioma 1E temos que 
r s≠ , com r s { }P∩ = . … 
 
 
Figura 4. Esboço da Prova 
 
Corolário 2.4. Toda reta contém pelo menos um ponto. 
 
Prova. Pelo axioma 2E existe um ponto P e pelo Teorema 2.3 existem duas retas distintas r e s contendo P. 
Agora, suponhamos, por absurdo, que exista uma reta t sem pontos. Então, por definição, r e s são paralelas à 
reta t. Como P está fora de t temos, pelo axioma 5 ,E que existe uma e somente uma reta u contendo P e 
paralela à reta t, o que é uma contradição. … 
 
Teorema 2.5. Toda reta contém pelo menos dois pontos. 
 
Prova. Seja r uma reta qualquer. Pelo Corolário 2.4, r contém um ponto P e pelo Teorema 2.3, existe uma 
reta s distinta de r contendo P. Logo, existe um ponto Q tal que 
( e ) ou ( e ).Q r Q s Q r Q s∈ ∉ ∉ ∈ 
Se Q r∈ , o Teorema está provado. Se Q s∈ , então, pelo axioma 4E existe um ponto R fora de s. Assim, 
temos duas possibilidades: se R r∈ , o Teorema está provado. Se R r∉ , então, pelo axioma 5E existe uma 
e somente uma reta t contendo R e paralela à reta s. 
Afirmação. r t∩ ≠∅ . 
De fato, se ,r t∩ =∅ , então a reta t é paralela à reta r. Logo, r e s são retas contendo P e paralelas à reta t, o 
 
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que contradiz o axioma 5E . Seja X r t∈ ∩ . Então X é distinto de P, pois P t∉ . Portanto, r contém pelo 
menos dois pontos P e X. … 
 
 
Figura 5. Esboço da Prova. 
 
Corolário 2.6. Toda reta fica completamente determinada por quaisquer dois de seus pontos que 
sejam distintos. 
 
Prova. Seja r uma reta qualquer. Então, pelo Teorema 2.5, a reta r contém dois pontos distintos P e Q. 
Portanto, pelo axioma 3E , a reta r é completamente determinada pelos pontos P e Q. … 
 
Teorema 2.7. Existem pelo menos quatro pontos distintos. 
 
Prova. Pelo axioma 2E existem pelo menos dois pontos distintos P e Q. Pelo axioma 3E existe uma única 
reta r contendo P e Q. Além disso, pelo axioma 4E existe um ponto R fora de r e, pelo axioma 5E , existe 
uma reta s contendo R e paralela à reta r. Finalmente, pelo Teorema 2.5, s contém um ponto X distinto de R. 
Portanto, existem pelo menos quatro pontos P, Q, R e X. … 
 
 
Figura 6. Esboço da Prova. 
 
Teorema 2.8. Existem pelo menos seis retas distintas. 
 
Prova. Pela prova do Teorema 2.7, existe uma reta r contendo P e Q; uma reta s paralela à reta r contendo 
pontos distintos R e S. Logo, pelo axioma 3E existem retas u e v contendo Q e S; P e R, respectivamente. 
Note que, Q v∉ , pois se ,Q v∈ então v r= e ,R r∈ o que é impossível. De modo inteiramente análogo, 
prova-se que S v∉ e , .P R u∉ Novamente, pelo axioma 3E existem retas t e x contendo P e S; Q e R, 
respectivamente. Observe que Q t∉ e .S x∉ Portanto, r, s, t, u, v e x são retas distintas.8
 
Figura 7. Esboço da Prova. 
 
Note, nas provas dos resultados acimas, que as Figuras nos ajudam a memorizar os vários símbolos 
( , , , )r P Q … bem como, seus significados de maneira mais fácil. Não obstante, nenhum significado especial 
foi dado aos termos “ponto” e “reta,” e, consequentemente, são válidas se substituirmos pessoas por pontos e 
duas pessoas por reta. Além disso, é claro que não provamos acima todos os teoremas possíveis. 
Finalizaremos esta seção apresentado mais um exemplo de sistema de axiomas para definirmos um 
“corpo”. 
 
Exemplo 2.9. O sistema axiomas F formado por um conjunto não vazio K de objetos (estruturas 
algébricas). 
 
Termos indefinidos: Elementos. 
O conjunto K é munido com duas operações binárias: 
: :
e
( , ) ( , ) ,
K K K K K K
a b a b a b a b
+ × → • × →
+ •6 6 
chamadas adição e multipicação, tais que os seguintes axiomas são satisfeitos: 
1F - Sejam , , , .a b c d K∈ Se ,a c e b d= = então ,a b c d e a b c d+ = + • = • isto é, as operações + e • 
estão bem definidas. 
2F - ( ) ( ) ,a b c a b c+ + = + + para todos , , .a b c K∈ 
3F - Existe 0 K∈ tal que 0 0 ,a a a+ = + = para todo .a K∈ 
4F - Para cada a K∈ , existe a K− ∈ tal que ( ) ( ) 0.a a a a+ − = − + = 
5F - ,a b b a+ = + para todos , .a b K∈ 
6F - ( ) ( ) ,a b c a b c• • = • • para todos , , .a b c K∈ 
7F - Existe 1 K∈ tal que 1 1 ,a a a• = • = para todo .a K∈ 
8F - O elemento 0 é diferente do elemento 1, isto é, K contém pelo menos dois elementos. 
9F - Para cada {0}a K∈ − existe 1 .a K− ∈ tal que 1 1 1,a a a a− −• = • = 
10F - ,a b b a• = • para todos , .a b K∈ 
11F - ( ) ,a b c a b a c• + = • + • para todos , , .a b c K∈ 
12F - ( ) ,a b c a c b c+ • = • + • para todos , , .a b c K∈ 
 
Teorema 2.10. Sejam , .a x K∈ Então 0a x a x+ = ⇒ = e 0 0 0a a• = • = . 
 
Prova. Pelo axioma 4 ,F 0 ( ) .a a= − + Logo, 0 ( ) ( ).a a x= − + + Assim, pelo axioma 2 ,F 
0 ( ) ( ) (( ) )a a x a a x= − + + = − + + e pelos axiomas 4 3,F e F 0 0 .x x= + = Finalmente, pelo axioma 3F , 
1 1 0.= + Logo, pelo axioma 1,F 1 (1 0).a a• = • + Assim, pelos axiomas 11 7 ,F e F 0.a a a= + • 
Portanto, 0 0.a • = … 
 
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3.3 Caracterização de um Sistema de Axiomas 
Quando os termos indefinidos e os axiomas forem selecionados, como poderemos garantir que o 
sistema de axiomas obtido é adequado aos propósitos para que foi estabelecido? Se, por exemplo, ele foi 
estabelecido para servir de base para os fundamentos da Geometria Plana, então desejaríamos saber de 
alguma maneira se de fato os axiomas estabelecidos são suficientes. Outra questão que poderíamos abordar, 
é sobre a “independência” dos axiomas; algum dos axiomas pode ser provado a partir dos outros, e caso isto 
ocorra, não deveríamos enunciá-lo como um teorema para ser depois demonstrado? 
A experiência tem mostrado, entretanto, que uma questão mais fundamental é a seguinte: o sistema 
implica teoremas contraditórios? Se isto ocorre, então é claro que alguma coisa está errada, e teremos então 
que eliminar este defeito antes de abordarmos qualquer outro aspecto. Consideraremos portanto esta questão 
em primeiro lugar. 
Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é consistente se ele não implicar teoremas 
contraditórios. Caso contrário, diremos que Σ é inconsistente. 
 
Observação 3.1. Como cada axioma é implicado pelo sistema, temos, em particular, que um sistema 
de axiomas consistentes não pode ter axiomas contraditórios. 
 
Exemplo 3.2. Se acrescentarmos o axioma, 6E - “Existe no máximo três pontos,” ao sistema de 
axiomas S, então o sistema S é inconsistente, pois, contradiz o Teorema 2.7, “Existem pelo menos quatro 
pontos.” 
 
Seja Σ um sistema de axiomas. Uma interpretação de Σ é uma atribuição de significados aos termos 
indefinidos do sistema, de modo que os axiomas se tornem simultaneamente proposições verdadeiras para 
todos os valores variáveis (por exemplo, pontos e retas no sistema S). 
 
Exemplo 3.3. O conjunto Z de quatro moedas (de vértices de um tetraedro) é uma interpretação 
para o sistema S da Observação 2.2, onde moeda = ponto e par de moedas = reta (vértice = ponto e aresta 
= reta). 
 
Exemplo 3.4. O conjunto dos números reais  é uma interpretação para o sistema F do Exemplo 
2.9. 
 
Seja Σ um sistema de axiomas. Um modelo para Σ é o resultado de uma interpretação. Assim, o 
conjunto dos números reais  é um modelo do sistema de axiomas F, e a coleção de quatro moedas (vértices) 
Z é também um modelo para o sistema S. Em geral, quando fazemos uma interpretação I de um sistema de 
axiomas Σ, o modelo resultante da interpretação será representado por M(I). 
Para alguns modelos de um sistema de axiomas Σ, alguns axiomas do sistema podem ser verdadeiros 
por vacuidade, isto é, axiomas da forma “se ..., então ...” ( p q→ ), que chamaremos de “axiomas 
condicionais,” podem ser verdadeiros quando interpretados simplesmente, porque a parte condicional “se ...” 
não é satisfeita pelo modelo. 
 
Exemplo 3.5. Sejam p a sentença “dois ângulos opostos pelo vértice” e q a sentença “dois ângulos 
congruentes.” Então comprove intuitivamente a tabela da sentença p → q sendo verdadeira se pudermos 
desenhar o diagrama dos ângulos, caso contrário falsa. 
 
p q p → q (-p) ∨ q 
V V V V 
V F F F 
F V F V 
F F V V 
 
Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é satisfatório se ele admitir uma interpretação. 
 
 
 
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Exemplo 3.6. Os sistemas de axiomas S e F da Observação 2.2 e do Exemplo 2.9, respectivamentes, 
são satisfatórios. 
 
Vamos determinar um método de verificarmos a consistência de um sistema de axiomas Σ. Para isso, 
vamos relembrar dois princípios da lógica clássica (Aristoteliana). Seja p uma sentença (ou proposição). 
Então: 
1. Princípio da contradição. Se p é verdadeira, então ∼p é falsa, isto é, dadas duas proposições 
contraditórias uma delas é falsa. 
2. Princípio do terceiro excluído. p ou ∼p é sempre verdadeira, isto é, dadas duas proposições 
contraditórias uma delas é sempre verdadeira. 
 
Exemplo 3.7. Seja p a proposição “hoje é quarta-feira.” O princípio da contradição vale, pois hoje 
não pode ser ambos quarta-feira e quinta-feira. O princípio do terceiro excluído afirma p ou ∼p é sempre 
verdadeira. 
 
Exemplo 3.8. Seja A um conjunto e P(x) uma propriedade “a qual é significativa para cada 
elemento x em A.” O princípio do terceiro excluído afirma ou existe um x A∈ tal que P(x) é verdadeira ou 
ao contrário, para todo x A∈ , P(x) é falsa. 
 
Seja Σ um sistema de axiomas. Uma Σ-proposição é uma proposição que pode ser expressa com 
base nos termos indefinidos e universais de Σ. 
 
Exemplo 3.9. Os axiomas e teoremas de Σ são Σ-proposição. 
 
Vamos enunciar mais dois princípios da lógica aplicados ao sistema de axiomas Σ. 
 
I. Todas as proposições implicadas pelos axiomas de Σ, são verdadeiras para todos os modelos de Σ. 
 
II. O princípio da contradição se aplica a todas as proposições sobre um modelo de Σ, desde que elas 
sejam Σ-proposições cujos termos técnicos tenham os siginificados dados na interpretação. 
 
Sejam Σ um sistema de axiomas e I uma interpretação de Σ. Uma (Σ,I)-proposicão é o resultado de 
atribuirmos aos termos técnicos em uma Σ-proposição seus significados em I. Assim, os princípios (I) e (II) 
podem ser enunciados como seguem: 
 
I. Toda (Σ,I)-proposição, tal que a correspondente Σ-proposição é implicada por Σ, é verdadeira para 
M(I). 
II. (Σ,I)-proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras para M(I). 
 
Teorema 3.10. Seja Σ um sistema de axiomas. Se Σ é satisfatório, então ele é consistente. 
 
Prova. Suponhamos, por absurdo, que Σ seja inconsistente. Então existem duas Σ-proposições contraditórias 
em Σ. Logo, pelo princípio (I), essas proposições podem ser vistas como (Σ,I)-proposições e são ambasverdadeiras para M(I), o que contradiz o princípio (II). Portanto, Σ é um sistema consistente. … 
 
Observação 3.11. Seja Σ um sistema de axiomas. A existência de uma interpretação em Σ garante a 
sua consistência. 
 
Exemplo 3.12. A interpretação  garante a consistência do sistema de axiomas F do Exemplo 2.9. 
 
Sejam Σ um sistema de axiomas satisfatório e 1, , nA A… os axiomas de Σ. Diremos que um axioma 
jA é independente em Σ se o sistema de axiomas 
( ) ( ), 1, , ,j jA A j nΣ− + =∼ … 
for satisfatório. 
 
11
Observação 3.13. Sejam Σ um sistema de axiomas e 1, , nA A… os axiomas de Σ. Se jA for provado 
pelo sistema de axiomas jAΣ− , então jA não é independente. Neste caso, todo modelo que satisfaça 
jAΣ − satisfaz necessariamente jA (prove isso!). Portanto, não podemos achar uma interpretação para 
jAΣ − , que não seja interpretação de jA . 
 
Exemplo 3.14. O axioma 5E do sistema de axiomas S da Observação 2.2 é independente. 
 
Solução. Seja 6E o seguinte axioma: “existe uma reta r e um ponto P fora de r tal que não existe nenhuma 
reta s contendo P e paralela à reta r.” 
Afirmação. 6E = ∼ 5E e (S - 6E ) + 6( )E∼ é um sistema de axiomas satisfatório. 
De fato, seja T o conjunto dos vértices de um triângulo equilátero, onde “vértice = ponto” e “aresta = reta.” 
Então T é uma interpretação para (S - 6E ) + 6( )E∼ . Portanto, (S - 6E ) + 6( )E∼ é um sistema de axiomas 
satisfatório e 5E é independente em S. … 
 
Exemplo 3.15. O axioma 9F do sistema axiomas F do Exemplo 2.9 é independente. 
 
Solução. Sejam 13F o axioma: “para cada {0}a K∈ − , não existe 1a K− ∈ tal que 1 1 1a a a a− −• = • = .” 
Afirmação. 13F = 9F∼ e (F - 13F ) + 13( )F∼ é um sistema de axiomas satisfatório. 
De fato, o conjunto dos números inteiros ℤ, com as operações usuais de adição e multiplicação, é uma 
interpretação para (F - 13F ) + 13( )F∼ . Portanto, (F - 13F ) + 13( )F∼ é um sistema de axiomas satisfatório e 
9F é independente em F. … 
 
Exemplo 3.16. O axioma 5F do sistema axiomas F do Exemplo 2.9 não é independente. 
 
Solução. Vamos desenvolver ( ) (1 1)a b+ +i de duas maneiras: Pelos axiomas 11F , 7F e 2F , obtemos 
(a + b)•(1 + 1) = (a + b)•1 + (a + b)•1 = (a + b) + (a + b) = a + (b + a) + b. 
Por outro lado, pelos axiomas 12F , 7F e 2F , obtemos 
(a + b)•(1 + 1) = a•(1 + 1) + b•(1 + 1) = (a + a) + (b + b) = a + (a + b) + b. 
Logo, 
a + (b + a) + b = a + (a + b) + b. 
Portanto, pelos axiomas 3F , 4F e 2F , obtemos 
[0 ( )] 0 ( ) [ ( ) ] ( )
( ) [ ( ) ] ( ) [0 ( )] 0 ,
a b a b a a a b b b
a a b a b b b a b a
+ = + + + = − + + + + + −
= − + + + + + − = + + + = + 
que é o resultado desejado. … 
 
Sabemos que com o sistema axiomas S não podemos provar todos os teoremas da Geometria Plana 
(Euclidiana). Na realidade vimos uma interpretação para o sistema S com apenas um número finito de 
pontos. É claro que isto não deveria ocorrer se fosse um sistema adequado para o estudo da Geometria Plana. 
Agora, vamos iniciar a noção de completividade de um sistema de axiomas, com a ideia de serem os 
axiomas desses sistemas suficientes para provarmos todos os teoremas, podemos afirmar que se 
encontrarmos um teorema tal que, tanto ele como sua negação não podem ser provados no sistema, então 
esse “teorema” é um candidato a um novo axioma do sistema. 
 
Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é independente se todos os axiomas de Σ o são. 
 
Exemplo 3.17. O sistema axiomas F do exemplo 2.9 não é independente. 
 
Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é completo se não existir uma Σ-proposição p tal que 
 
12
p seja um axioma independente em Σ + p, isto é, os sistemas de axiomas Σ + p e Σ + ∼p sejam satisfatórios. 
 
Observação 3.18. Seja Σ um sistema de axiomas. Vimos que Σ é completo se for impossível 
adicionar-lhe um novo axioma independente. Neste caso os termos indefinidos devem permanecer os 
mesmos. 
 
Exemplo 3.19. O sistema de axiomas S da Observação 2.2 não é completo. Pois se 6E é o axioma: 
“existem no máximo quatro pontos,” então S + 6E e S + 6( )E∼ são satisfatórios, um vez que, o primeiro 
admite a interpretação das quatro moedas e o segundo admite a interpretação da Geometria Plana. 
 
Sejam Σ um sistema de axiomas e 1M , 2M dois modelos para Σ. Diremos que 1M é isomorfo a 
2M se existir uma função bijetora de 1M sobre 2M que preserva as Σ-proposições. 
 
Exemplo 3.20. Seja S′ = S + 6E um sistema de axiomas, onde S é o sistema de axiomas da 
Observação 2.2. Então os modelos 1M = M( 1I ) e 2M = M( 2I ), onde 1I = vértices do tetraedro e 2I = 
coleção de quatro moedas, para S′ são isomorfos. 
 
Com a definição de isomorfismo à nossa disposição, podemos determinar um método que nos 
permita verificar a completividade de um sistema de axiomas. Este método baseia-se no seguinte conceito: 
Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é categórico se quaisquer dois modelos para Σ são 
isomorfos com relação a Σ. 
 
Teorema 3.21. Seja Σ um sistema de axiomas. Se Σ é categórico, então ele é completo. 
 
Prova. Suponhamos, por absurdo, que Σ não seja completo. Então existe uma Σ-proposição p tal que Σ + p e 
Σ + (∼p) sejam satisfatórios. Logo, existe uma interpretação 1I para Σ + p e 2I para Σ + (∼p), 
respectivamente. Como Σ é categórico, temos que existe uma função bijetora 
1 2: ( ) ( )M I M Iϕ → 
que preserva Σ-proposições, o que é uma contradição, pois p é verdadeira em M( 1I ) e falsa em M( 2I ). … 
 
4. Avaliando o que foi construído 
 
Vimos, nesta unidade, que o método axiomático possui as seguintes vantagens: primeiro é a 
“economia” que obtemos quando um sistema de axiomas Σ possui muitos modelos em diferentes ramos da 
matemática; pois um único teorema em Σ fornece um teorema em cada intepretação; sem que seja necessário 
uma prova especial uma vez que o teorema foi provado no sistema Σ. Outra grande vantagem do método 
axiomático que merece especial atenção é o caráter de definição implícita. Embora a origem e o 
desenvolvimento matemático podem ocorrer por linhas inteiramente diversas, uma vez o conceito 
estabelecido, a sua caracterização axiomática é extremamente vantajosa. Por exemplo, o desenvolvimento do 
sistema de números reais, que forma os fundamentos da moderna Análise, evoluiu vagarosamente durante 
muitos séculos. 
Atualmente, como veremos neste texto, podemos dar uma definição axiomática precisa e estudarmos 
suas propriedades através de teoremas baseados nos axiomas. Muitos outros conceitos matemáticos se 
desenvolveram de modo análogo. 
 
 
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13
Unidade II Conjuntos 
 
1. Situando a Temática 
 
A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 por Cantor (Georg 
Cantor, 1845-1918, matemático alemão) e aperfeiçoada no início do século XX por outros 
matemáticos, entre eles, Zermelo (Ernst Zermelo, 1871-1956, matemático alemão), Skolem (Thoralf 
Albert Skolem, 1887-1963, matemático norueguês), Fraenkel (Adolf Fraenkel, 1891-1965, matemático 
alemão), Gödel (Kurt Gödel, 1906-1978, matemático austríaco), von Neumann (John von Neumann, 
1903-1957, matemático húngaro), entre outros. 
O que se estuda deste assunto no ensino fundamental, é tão somente uma introdução 
elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de 
relações, funções, análise combinatória, probabilidades, etc. 
Nesta unidade vamos nos dedicar ao estudo dos conjuntosvia método axiomático. 
 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 
É comum na Teoria dos Conjuntos, se ouvirem frases como: 
 
(...) um “conjunto” é qualquer coleção, dentro de um todo de objetos definidos e distinguíveis, 
chamados de elementos ou membros, de nossa intuição ou pensamento. 
G. Cantor (1895). 
 
(...) por “conjunto” nada mais do que um objeto do qual se sabe não mais e quer-se saber não mais 
do que aquilo que se segue dos postulados. 
J. von Neumann (1928). 
 
Esta e outras afirmações sobre definições de conjuntos vão ser contornadas via método axiomático, 
em que “conjunto” é um termo indefinido. 
 
 
3. Conhecendo a Temática 
 
3.1 Introdução Histórica 
É importante observar que o matemático usa a palavra “definição” em um sentido diferente daquele 
do dicionário, ou seja, quando um matemático dá uma definição, pretende-se que não será um mero 
sinônimo que o leitor possa saber o significado, mas um critério para identificação; uma “caracterização” da 
coisa definida. 
Um paradoxo ou antinomia é uma contradição entre duas proposições ou princípios. Tomando 
uma abordagem informal ou ingênua que qualquer coleção de objetos é um conjunto, podem ocorrer os 
seguintes fatos: 
 
1) Se A é o conjunto de todos os animais da terra, então A A∉ . 
2) Se ℕ é o conjunto de todos os “números naturais,” então ∉N N . 
3) Se B é o conjunto de todas as coisas abstratas, então B B∈ . 
4) Se C é o conjunto de todos os conjuntos, entãoC C∈ . 
 
Vamos apresentar os paradoxos de Russell (Bertrand Arthur William Russell, 1872-1970, 
matemático e filósofo inglês). 
 
Paradoxo Lógico (1902). Seja 
{ : }R A C A A= ∈ ∉ . 
 
 
14
Então: 
1. R R∈ . 
2. R R∉ . 
 
Solução. (1) R R∈ é impossível, pois se R R∈ , então, por definição, R R∉ , o que é uma contradição. (2) 
R R∉ é impossível, pois se R R∉ , então, por definição, R R∈ , o que é uma contradição. Portanto, 
R R R R∈ ⇔ ∉ , 
o que contradiz o princípio do terceiro excluído. … 
 
Paradoxo Semântico (1906, atribuído por Russell a G. G. Berry). Seja T = {x : x é um número 
inteiro positivo que pode ser descrito por uma frase com menos de vinte palavras da língua portuguesa}. 
Então existe um inteiro positivo 0x tal que 
1. 0x T∉ . 
2. 0x T∈ . 
 
Solução. Suponhamos que as palavras da língua portuguesa estejam catalogadas em um dicionário. Então T 
é finito, pois um dicionário contém apenas um número finito de palavras e o número de frases envolvendo 
menos de vinte palavras é finito. Assim, existem inteiros positivos que são maiores do que todos os outros 
inteiros positivos de T. Portanto, existe um menor inteiro positivo 0x que é maior do que todos os inteiros 
positivos de T. Então 0x T∉ . Por outro lado, como 0x = menor inteiro positivo que não pode ser 
descrito por uma frase com menos de vinte palavras da língua portuguesa (19 palavras) temos que 
0x T∈ , o que contradiz o princípio do terceiro excluído. … 
 
Com o surgimento dos paradoxos houve muita controvérsia por parte dos matemáticos da época. 
Mas, com o trabalho de Dedekind (Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916, matemático alemão) em 
1888 mostrando que os nossos “números naturais” podem ser construídos por meio da teoria elementar dos 
conjuntos: 
0 , 1 { }, 2 { ,{ }},=∅ = ∅ = ∅ ∅ … , 
a teoria passou a ser aceita. 
Enunciaram-se, em 1905, várias correntes para contornar os paradoxos, as quais podemos classificar 
em três grupos: Axiomático, Logicista e Intuicionista. 
A primeira axiomatização da Teoria dos Conjuntos foi dada por Zermelo em 1908, com certas 
modificações em 1922 devidas a Skolem e Fraenkel. No sistema de axiomas ZF os termos indefinidos e 
relações indefinidas são: Conjunto e Pertinência. 
 
3.2 Conjuntos 
Embora a ideia intuitiva de conjunto dada, no curso de Matemática Elementar, seja suficiente para 
os nossos propósitos, uma exposição geral da Teoria dos Conjuntos requer mais precisão, pois a não 
axiomatização da Teoria dos Conjuntos nos leva a várias contradições. Sendo assim, nesta seção iniciaremos 
o estudo formal da Teoria dos Conjuntos segundo Zermelo-Fraenkel. 
Intuitivamente um conjunto é uma coleção de objetos A tal que dado qualquer objeto X é possível 
determinar se X A∈ ou se X A∉ . 
As letras a,b,c,… serão usadas somente para indicar elementos e A, B, C,… elementos ou conjuntos. 
Assim, se x é um conjunto e existe um conjunto A tal que x A∈ , diremos que x é um elemento. Além disso, 
uma sentença do tipo 
: ( , , )x y z p x y z∀ ∃ ∀ . 
Lê-se “para cada x existe um y tal que, para cada z, p(x,y,z) é verdadeira,” sua negação é 
: ( , , )x y z p x y z∃ ∀ ∃ ∼ . 
Lê-se “existe um x para cada y tal que, existe z, p(x,y,z) é falsa.” Note que na negação mantivemos a ordem 
das variáveis. 
 
 
 
15
Sejam A e B dois conjuntos. Diremos que A e B são iguais se, e somente se, eles têm os mesmos 
elementos. Em símbolos, 
[ e ]A B x x A x B x B x A= ⇔∀ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ . 
Esta definição implica a seguinte propriedade: 
[ e ]x A A B x B∈ = ⇒ ∈ . 
Essa propriedade é nosso primeiro axioma. 
 
1ZF - Axioma da extensão. [ ]x A e x y y A∈ = ⇒ ∈ . 
 
Sejam A e B dois conjuntos. Diremos que A está contido em B ou A é um subconjunto de B se 
qualquer elemento de A é um elemento de B, em símbolos, 
[ ]A B x x A x B⊆ ⇔∀ ∈ ⇒ ∈ . 
Neste caso, A B= significa que A B⊆ e B A⊆ . 
Se A B⊆ e A B≠ ( A B∼ = ), diremos que A está contido propriamente em B ou A é um 
subconjunto próprio de B e denotaremos por A B⊂ . 
 
Teorema 2.1 Sejam A, B e C três conjuntos. Então: 
1. A A= . 
2. A B B A= ⇒ = . 
3. e A B B C A C= = ⇒ = . 
4. A A⊆ . 
5. e A B B A A B⊆ ⊆ ⇒ = 
6. e A B B C A C⊆ ⊆ ⇒ ⊆ . 
 
Prova. Vamos provar apenas o item (3). 
[ e ]A B x x A x B x B x A= ⇔∀ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ 
e 
[ e ]B C x x B x C x C x B= ⇔∀ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ . 
Pela primeira e terceira dessas afirmações, obtemos 
[ ]x x A x C A C∀ ∈ ⇒ ∈ ⇔ ⊆ . 
Pela segunda e quarta dessas afirmações, obtemos 
[ ]x x C x A C A∀ ∈ ⇒ ∈ ⇔ ⊆ . 
Portanto, A C= . … 
 
2ZF - Axioma da construção de conjuntos. Seja P(x) uma propriedade ou uma afirmação com relação a 
x, a qual pode ser expressa inteiramente em termos dos símbolos 
, , , , , , , colchetes e variáveis livres , , , , , ,x y z A B C∈ ∨ ∧ ∼ ⇒ ∃ ∀ … 
Então existe um conjunto C que consiste de todos os elementos x que satisfazem P(x) e denotaremos por 
{ : ( )}C x P x= 
e lê-se: “o conjunto de todos os elementos x que satisfazem a propriedade P(x).” 
 
Observação 2.2. 
1. O axioma 2ZF é também conhecido como Axioma da separação, Axioma da compreensão, ou ainda, 
Axioma de especificação. Esse axioma é na verdade uma “família” de axiomas, pois para cada 
propriedade P(x) temos um axioma. 
2. Note que o axioma 1ZF , garante que o conjunto C é unicamente determinado, pois se D é o conjunto de 
todos os elementos x que satisfazem P(x), então qualquer elemento de C é um elemento de D e vice-
versa. Portanto, C D= . 
3. Em geral, a propriedade P(x) é uma fórmula. 
 
 
16
4. O axioma 2ZF nos permite formar o conjunto de todos os “elementos” x que satisfazem P(x), mas não 
o conjunto de todas os “conjuntos” x que satisfazem P(x). Assim, eliminamos todos os paradoxos 
lógicos. 
5. O axioma 2ZF admite somente as afirmações P(x) que podem ser escritas inteiramente em forma de 
símbolos 
, , , , , , , colchetes e variáveis livres , , , , , ,x y z A B C∈ ∨ ∧ ∼ ⇒ ∃ ∀ … 
Assim, eliminamos todos os paradoxos semânticos. 
 
Sejam A e B dois conjuntos. A união ou a reunião de A e B é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem a A ou a B ou a ambos. Em símbolos, 
{ : ou }A B x x A x B∪ = ∈ ∈ . 
Assim, 
[ ou ]x x A B x A x B∀ ∈ ∪ ⇔ ∈ ∈ . 
A interseção de A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a ambos os conjuntos A e B. Em 
símbolos, 
{ : e }A B x x A x B∩ = ∈ ∈ . 
Assim, 
[ e ]x x A Bx A x B∀ ∈ ∩ ⇔ ∈ ∈ . 
Note que pelo axioma 2ZF , os conjuntos A∪B e A∩B, estão bem definidos. 
O conjunto universal U é um conjunto que tem a propriedade de conter como subconjuntos todos 
os conjuntos em pauta. 
O conjunto vazio ∅ é o conjunto sem nenhum elemento. A existência do conjunto vazio será dada 
pelo axioma 9ZF . Note que se existem dois conjuntos A e B sem elementos, então A B= . De fato, 
[ ]x x A x B∀ ∈ ⇒ ∈ , 
é uma afirmação verdadeira, pois é uma implicação com um antecedente falso (confira Exemplo 3.5 da 
unidade I). De modo inteiramente análogo, prova-se a outra inclusão. 
Sejam A e B dois conjuntos. Diremos que A e B são disjuntos se eles não têm elementos em comum. 
Em símbolos, 
A B∩ =∅ . 
O complementar de A é o conjunto de todos os elementos que não pertencem a A. Em símbolos, 
{ : }A x x A′ = ∉ . 
Assim, 
[ ]x x A x A∀ ∈ ′⇔ ∉ . 
A diferença de A e B é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B. Em símbolos, 
{ : e }A B x x A x B− = ∈ ∉ . 
Assim, 
[ e ]x x A B x A x B∀ ∈ − ⇔ ∈ ∉ . 
Note que A B A B− = ∩ ′ e, pelo axioma 2ZF , o conjunto A B− está bem definido. 
É instrutivo observar que o relacionamento entre os conjuntos pode ser representado graficamente 
por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, quando a linha fechada é um círculo, chamaremos de 
diagrama de Venn. 
 
Teorema 2.5. Sejam A, B e C três conjuntos. Então: 
1. eA A U∅⊆ ⊆ . 
2. eA A B B A B⊆ ∪ ⊆ ∪ . 
3. eA B A A B B∩ ⊆ ∩ ⊆ , 
4. A B A B B A B A⊆ ⇔ ∪ = ⇔ ∩ = 
5. ( ) e ( )A A B A A A B A∪ ∩ = ∩ ∪ = . 
6. ( ) e ( )A B A B A B A B∪ ′ = ′∩ ′ ∩ ′ = ′∪ ′ . (Lei de De Morgan) 
7. ( ) ( ) e ( )A B C A B C A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ∩ ∩ = ∩ ∩ 
 
 
17
Prova. Vamos provar apenas uma afirmação do item (6). 
( )[ ( ) ( ) ou x A e x B x A B ]x x A B x A B x A x B∀ ∈ ∪ ′⇔ ∉ ∪ ⇔ ∉ ∉ ⇔ ∈ ′ ∈ ′⇔ ∈ ′∩ ′ , 
que é o resultado desejado. … 
 
3.3 Gráficos e Famílias 
Seja a um elemento. Então, pelo axioma 2ZF , obtemos o conjunto 
{ } { : }a x x a= = . 
Assim, a é o único elemento do conjunto { }a . 
Sejam a e b elementos. Então, pelo axioma 2ZF , obtemos o conjunto 
{ , } { : ou }a b x x a x b= = = . 
De modo inteiramente análogo, obtemos os conjuntos 
{ , , }, { , , , }a b c a b c d 
e, assim por diante. Isto motiva o axioma. 
 
3ZF - Axioma do par (não ordenado). Se a e b são elementos, então { , }a b é um elemento. 
 
Observação 3.1 
1. O axioma 3ZF é equivalente a: dados dois conjuntos quaisquer existe um conjunto ao qual eles 
pertencem. Mais precisamente, dados dois conjuntos quaisq uer A e B, existe um conjunto C tal que 
[ ou ]x x C x A x B∀ ∈ ⇔ = = 
2. É claro que { , } { }a a a= . Assim, fazendo a b= no axioma 3ZF , obtemos “se a é um elemento, então 
{ }a é um elemento”, ou seja, existem conjuntos unitários. Em particular, ∅ e { }∅ são conjuntos 
distintos. Neste caso, existe uma ”infinidade” de conjuntos. 
3. Note que a A∈ se, e somente se, { }a A⊆ . 
4. Se A é um conjunto, então 
{ : }x x A A∈ = . 
 
Teorema 3.2. Se { , } { , }x y u v= , então [ e ] ou [ e ]x u y v x v y u= = = = . 
 
Prova. Há dois casos a serem considerados: 
1. Casoo . Se x y= , então, pelo axioma 1ZF , { , } { }x y x= . Portanto, por hipótese, x u v y= = = . 
2. Casoo . Se x y≠ , então, pelo xioma 1ZF , [ ou ]x u x v= = e [ ou ]y u y v= = . Se x u= e 
{ , } { , }y u y u v∈ = , então y v= , pois x y≠ . Se x v= e { , } { , }y v y u v∈ = , então y u= , pois x y≠ . 
Portanto, em qualquer caso, [ e ] ou [ e ]x u y v x v y u= = = = . … 
 
Sejam a e b elementos. O conjunto {{ },{ , }}a a b chama-se par ordenado. Em símbolos, 
( , ) {{ },{ , }}a b a a b= . 
 
Observação 3.3. ( , ) {{ },{ , }} {{ },{ , }}b a b b a b a b= = . Neste caso, fica clara a distinção entre os 
pares ordenados ( , )a b e ( , )b a . 
 
Teorema 3.4. Se ( , ) ( , )a b c d= , então ea c b d= = . 
 
Prova. Por definição, obtemos 
{{ },{ , }} {{ },{ , }}a a b c c d= . 
Então, pelo Teorema 3.2, 
 
 
18
[{ } { } e { , } { , }] ou [{ } { , } e { , } { }]a c a b c d a c d a b c= = = = . 
Se { } { }a c= e { , } { , }a b c d= , então a c= e, pelo Teorema 3.2, [ e ] ou [ e ]a c b d a d b c= = = = . 
Assim, a c= e b d= ou b c a d= = = . Se { } { , }a c d= e { , } { }a b c= , então a c d= = , pois 
, { , }c d c d∈ . Por outro lado, b c= , pois { , }b a b∈ . Portanto, a b c d= = = . … 
 
Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano de A e B é o conjunto de todos os pares 
ordenados ( , )a b , onde a A∈ e b B∈ . Em símbolos, 
{( , ) : e } { : ( , ), para algum e }A B a b a A b B x x a b a A b B× = ∈ ∈ = = ∈ ∈ . 
 
Teorema 3.5. Sejam A, B, C e D quatro conjuntos. Então: 
1. ( ) ( ) ( )A B C A B A C× ∩ = × ∩ × . 
2. ( ) ( ) ( )A B C A B A C× ∪ = × ∪ × . 
3. ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D× ∩ × = ∩ × ∩ . 
 
Prova. Vamos provar apenas o item (3). 
( , ) [( , ) ( ) ( ) ( , ) e ( , )
( e ) e ( e )
( e ) e ( e )
e ( , ) ( ) ( )],
x y x y A B C D x y A B x y C D
x A y B x C y D
x A x C y B y D
x A C y B D x y A C B D
∀ ∈ × ∩ × ⇔ ∈ × ∈ ×
⇔ ∈ ∈ ∈ ∈
⇔ ∈ ∈ ∈ ∈
⇔ ∈ ∩ ∈ ∩ ⇔ ∈ ∩ × ∩
 
que é o resultado desejado. … 
 
Um gráfico é qualquer conjunto de pares ordenados ( , )x y de U U× , isto é, qualquer subconjunto 
de U U× . Se G é um gráfico, então o gráfico inverso 1G− de G definido como 
1 {( , ) : ( , ) }G y x x y G− = ∈ . 
O domínio do gráfico G é o conjunto 
Dom( ) { : tal que ( , ) }G x y x y G= ∃ ∈ . 
E a imagem do gráfico G é o conjunto 
Im( ) { : tal que ( , ) }G y x x y G= ∃ ∈ . 
Note que se A e B são conjuntos, então A×B é um gráfico. 
 
Sejam G e H dois gráficos. Então o gráfico G HD é definido como 
{( , ) : tal que ( , ) e ( , ) }G H x y z x z H z y G= ∃ ∈ ∈D . 
 
Teorema 3.6. Sejam G, H e J três gráficos. Então: 
1. ( ) ( )G H J G H J=D D D D . 
2. 1 1( )G G− − = . 
3. 1 1 1( )G H H G− − −=D D . 
4. 1Dom( ) Im( )G G−= e 1Im( ) Dom( )G G−= . 
5. Dom( ) Dom( )G H H⊆D e Im( ) Im( )G H G⊆D . 
 
Prova. Vamos provar apenas o item (3). 
1
1 1 1 1
( , ) [( , ) ( ) ( , ) tal que ( , ) ( , )
tal que ( , ) ( , ) ( , ) ],
x y x y G H y x G H z y z H e z x G
z x z G e z y H x y H G
−
− − − −
∀ ∈ ⇔ ∈ ⇔ ∃ ∈ ∈
⇔ ∃ ∈ ∈ ⇔ ∈
D D
D 
que é o resultado desejado. … 
 
Seja I um conjunto não vazio. Se a cada elemento i I∈ associarmos um conjunto iA , então o 
conjunto 
{ } { : }i i I iA A i I∈ = ∈ , 
 
 
19
chama-se família de conjuntos (indexada), e I chama-se conjunto de índices para a família. Observe que 
qualquer conjunto C cujos elementos são conjuntos pode ser convertido para uma família de conjuntos pelo 
autoíndice, ou seja, usaremos o conjunto C ele próprio como conjunto de índices e associaremos a cada 
elemento do conjunto o conjunto que o representa. Em símbolos, 
{ } { : }A CA A A C∈ = ∈ . 
Note que a família de conjuntos 
{1,2},{3,4},{5,6}, ,{2 1,2 },n n−… … 
pode ser considerada como uma família de conjuntos indexada pelo conjunto dos números naturais N , em 
que {2 1,2 }nA n n= − , para todo n∈N . Portanto, 
{ } { : }n n nA A n∈ = ∈N N 
 
Observação 3.7. Formalmente, uma família { }i i IA ∈ é um gráfico G, cujo Dom( )G I= e 
{ : ( , ) }iA x i x G= ∈ . 
 
Exemplo 3.8. Se {1,2}I = , 1 { , }A a b= e 2 { , }A c d= , então 
{ } {(1, ), (1, ), (2, ), (2, )}i i IA G a b c d∈ = = . 
 
Seja { }i i IA ∈ uma família de conjuntos. A união dos conjuntos iA é o conjunto de todos os 
elementos que pertencem a pelo menos um conjunto iA da família. Em símbolos, 
{ : , com }i ii I A x i I x A∈ = ∃ ∈ ∈∪ , 
ou ainda, 
{ : , para algum }i ii I A x x A i I∈ = ∈ ∈∪ . 
A interseção dos conjuntos iA é o conjunto de todos os elementos que pertencem a todas os conjuntos iA 
da família. Em símbolos, 
{ : , }i ii I A x i I x A∈ = ∀ ∈ ∈∩ , 
ou ainda, 
{ : , para todo }i ii I A x x A i I∈ = ∈ ∈∩ . 
 
4ZF - Axiomade subconjunto. Qualquer subconjunto de um conjunto é um conjunto. 
 
Observação 3.9. Sejam A e B dois conjuntos. Já vimos, no item (3) do Teorema 2.5, que 
A B A∩ ⊆ . Portanto, pelo axioma 4ZF , A B∩ é um conjunto. 
 
5ZF - Axioma da união. Se C é um conjunto de conjuntos, então 
{ : , para algum }
A C
A x x A A C∈ = ∈ ∈∪ 
é um conjunto. 
 
Observação 3.10. Sejam A e B dois conjuntos. Então, pelo axioma 3ZF , { , }A B é um conjunto. 
Assim, por definição, 
{ , }
{ : , para algum { , }}
X A B
X x x X X A B A B∈ = ∈ ∈ = ∪∪ . 
Portanto, pelo axioma 5ZF , A B∪ é um conjunto. 
 
Exemplo 3.11. Seja G um gráfico. Mostre que se G é um conjunto, então Dom( )G e Im( )G são 
conjuntos. 
 
 
20
Solução. Primeiro note que , ( , )a b a b∈∪ . Seja x Dom( )G∈ . Então existe y tal que ( , )x y G∈ . Logo, 
( , )x y G∈∪ , pois os elementos de G são conjuntos. Em particular, { }x G∈∪ . De modo inteiramente 
análogo, ( )x G∈∪ ∪ . Portanto, Dom( ) ( )G G⊆ ∪ ∪ , ou seja, Dom( )G é um conjunto. … 
 
Seja A um conjunto. O conjunto das potências de A é o conjunto de todos os subconjuntos de A. 
Em símbolos, 
( ) 2 { : }AA X X A= = ⊆P . 
Note que pelo axioma 4ZF , ( )AP é o conjunto de todos os subconjuntos X que satisfazem a propriedade 
X A⊆ . Portanto, pelo axioma 2ZF , o conjunto ( )AP está bem definido. 
 
6ZF - Axioma das potências. Se A é um conjunto, então ( )AP é um conjunto. 
 
Exemplo 3.12. Se {1,2}A = , então ( )AP { ,{1},{2}, }A= ∅ é um conjunto. 
 
Observação 3.13. Se A é um conjunto, então, pelo axioma 4ZF e 2ZF , 
{ : e ( )}B X X A P X= ⊆ . 
é um conjunto. Assim, se X B∈ , então ( )X A∈P . Logo, ( )B A⊆P . Portanto, pelos axiomas 6ZF e 
4ZF , B é um conjunto, ou seja, se A é um conjunto e ( )P X é uma propriedade de X, então o conjunto de 
todas os subconjuntos de A é um conjunto. 
 
Teorema 3.14. Se A e B são conjuntos, então A B× é um conjunto. 
 
Prova. Note, pelos axiomas 5ZF e 6ZF , que ( )A B∪P é um conjunto. Novamente, pelo axioma 6ZF , 
( ( ))A B∪P P é um conjunto. 
Afirmação. ( ( ))A B A B× ⊆ ∪P P . Portanto, pelo axioma 4ZF , A B× é um conjunto. 
De fato, seja ( , )x y A B∈ × . Então x A B∈ ∪ e y A B∈ ∪ . Logo, { }x A B⊆ ∪ e { , }x y A B⊆ ∪ . 
Assim, { },{ , } ( )x x y A B∈ ∪P . Portanto, 
{{ },{ , }} ( ( )) ( , ) ( ( ))x x y A B x y A B⊆ ∪ ⇒ ∈ ∪P P P P , 
ou seja, ( ( ))A B A B× ⊆ ∪P P . … 
 
Observação 3.15. Se A e B são conjuntos, então, pelo axioma 4ZF , qualquer gráfico G de A B× é 
um conjunto. 
 
3.4 Funções 
O conceito de função é um dos mais básicos em toda a Matemática. Assim, nesta seção, vamos 
apresentar formalmente o conceito de função via gráfico. 
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função de A em B é um subconjunto f de A B× que satisfaz às 
seguintes condições: 
 
1F - Para cada x A∈ , existe y B∈ tal que ( , )x y f∈ . 
2F - Se 1( , )x y f∈ e 2( , )x y f∈ , então 1 2y y= . 
 
Notação: :f A B→ e ( , ) ( )x y f y f x∈ ⇔ = ou x y6 . Neste caso, diremos que ( )y f x= é o 
valor que f assume no elemento (no ponto) x. Além disso, a imagem de f pode, também, ser denotada por 
{ : }xf x A∈ ou { }x x Af ∈ , em outras palavras, uma função f é uma família de conjuntos, em que A é o 
conjunto de índices. 
 
 
21
Observação 4.1. Cada x A∈ possui uma imagem unicamente determinada por y B∈ . Além disso, 
a condição 2F afirma que a função f está bem definida, ou seja, elementos iguais possuem imagens iguais. 
 
Teorema 4.2. Sejam A e B dois conjuntos e f um gráfico. Então :f A B→ é uma função se, e 
somente se, 
1. A condição 2F está satisfeita. 
2. Dom( )f A= . 
3. Im( )f B⊆ . 
 
Prova. Suponhamos que :f A B→ seja uma função. Então, por definição, 2F está satisfeita. Além disso, 
[ Dom( ) tal que ( , ) ( , ) ]x x f y x y f x y A B x A∀ ∈ ⇒∃ ∈ ⇒ ∈ × ⇒ ∈ . 
Por outro lado, 
[ tal que ( , ) Dom( )]x x A y B x y f x f∀ ∈ ⇒∃ ∈ ∈ ⇒ ∈ . 
Logo, Dom( )f A= . Finalmente, 
[ Im( ) tal que ( , ) ( , ) ]y y f x x y f x y A B y B∀ ∈ ⇒∃ ∈ ⇒ ∈ × ⇒ ∈ . 
Assim, Im( )f B⊆ . 
Reciprocamente, 
( , ) [( , ) Dom( ) e Im( ) e ( , ) ]x y x y f x f y f x A y B x y A B∀ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ × . 
Portanto, f A B⊆ × . Agora, dado x Dom( )f A∈ = , existe y tal que ( , )x y f∈ . Como Im( )y f B∈ ⊆ 
temos que y B∈ . Portanto, a condição 1F está satisfeita, ou seja, :f A B→ é uma função. … 
 
Corolário 4.3. Seja :f A B→ uma função e C um conjunto qualquer tal que Im( )f C⊆ .Então 
:f A C→ é uma função. 
 
Prova. Suponhamos que :f A B→ seja uma função. Então a condição 2F está satisfeita e Dom( )f A= . 
Além disso, Im( )f C⊆ implica que :f A C→ é uma função. … 
 
Sejam :f A B→ e :g B C→ duas funções quaisquer. Diremos que o diagrama 
 
Figura 8. Diagrama de flechas. 
comuta se h g f= D . 
 
Teorema 4.4. Sejam A e B dois conjuntos e :f A B→ uma função. Então: 
1. : ( ) ( )F A B→P P definida por ( ) ( )F X f X= é uma função, com 
( ) { : ( ), para algum }f X y y f x x X B= = ∈ ⊆ 
2. : ( ) ( )G B A→P P definida por 1( ) ( )G Y f Y−= é uma função, com 
1( ) { : ( ) }f Y x f x Y A− = ∈ ⊆ 
Em particular, se f é bijetora, então F é bijetora, com inversa G. 
 
Prova. Vamos provar apenas o item (1). Primeiro lembramos que: para cada X A⊆ e Y B⊆ , obtemos 
( ) { : ( ), para algum }f X y y f x x X B= = ∈ ⊆ 
e 
1( ) { : ( ) }f Y x f x Y A− = ∈ ⊆ . 
Assim, 
 
 
22
[ Dom( ) tal que ( , ) ( ) ( ) ( )]X X F Y X Y A B X A∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ × ⇒ ∈P P P . 
Por outro lado, 
[ ( ) ( ) ( ) tal que ( , ) Dom( )]X X A Y F X f X B X Y F X F∀ ∈ ⇒∃ = = ⊆ ∈ ⇒ ∈P 
Logo, Dom( ) ( ).F A=P É claro que Im( ) ( )F B⊆P . Finalmente, 
1 2 1 2( , ) e ( , )X Y F X Y F Y Y∈ ∈ ⇒ = , 
pois 
( )1 2[ ( ) tal que ( ) y Y f X ]y y Y f X x X y f x∀ ∈ = ⇔∃ ∈ = ⇔ ∈ = . 
Portanto, : ( ) ( )F A B→P P é uma função. … 
 
Sejam { }i i IA ∈ uma família de conjuntos e 
ii I
A A∈=∪ . 
O produto cartesiano dos iA é o conjunto 
{ : é uma função de em , onde ( ) , }i ii I A f f I A f i A i I∈ = ∈ ∀ ∈∏ 
É conveniente representar os elementos f do produto cartesiano por { }i i If a ∈= ou ( )i i If a ∈= , em que 
( )ia f i= , para todo i I∈ . Note que se iA A= , para todo i I∈ , então ii I A∈∏ é simplesmente o 
conjunto de todas as funções com domínio I e contradomínio A. 
 
Observação 4.5. Se jA =∅ , para algum j I∈ , então 
ii I
A∈ = ∅∏ , 
pois não existe função :f I A→ tal que ( ) jf j A∈ =∅ . 
 
 
Exemplo 4.6. Se {1,2}I = , 1 { , }A a b= e 2 { , }A c d= , então 
1 2{ : é uma função de {1,2} em { , , , }, onde (1) e (2) }ii I A f f a b c d f A f A∈ = ∈ ∈∏ . 
Logo, 
 
 i f(i) i f(i) i f(i) i f(i) 
 1 a 1 a 1 b 1 b 
 2 c 2 d 2 c 2 d 
 
Portanto, podemos identificar o produto cartesiano ii I A∈∏ com os quatro pares ordenados 
{( , ), ( , ), ( , ), ( , )}.a c a d b c b d 
Neste caso, 
1 2ii I
A A A∈ = ×∏ 
 
Se 
{ }i i I ii If a A∈ ∈= ∈∏ , 
diremos que iA é a i-ésima componente do produto cartesiano ii I A∈∏ e i ia A∈ é a i-ésima 
coordenada da família. 
Seja ii IA A∈=∏ . Para cada j I∈ fixado, definimos uma função jp de A em jA por 
( ) ({ } ) , { }j j i i I j i i Ip f p a a f a A∈ ∈= = ∀ = ∈ . 
A função jp chama-se j-ésima projeção de A sobre jA . Em particular, se cada iA ≠ ∅ , então cada jp é 
uma função sobrejetora. 
 
 
 
23
Teorema 4.7 (Existência do Produto Cartesiano). Seja { }i i IA ∈ uma família de conjuntos. Então 
existe um conjunto P e uma família de funções { : }i i i Ip A A ∈→ com a seguinte propriedade universal: 
dados qualquer conjunto C e qualquer família de funções { : }i i i Ig C A ∈→ , existe uma única função 
:f C P→ tal que i ip f g=D , para todo i I∈ . Além disso, P é unicamente determinado, a menos de 
bijeção. 
 
Prova. (Existência) Sejam ii IP A∈=∏ e ip as projeções canônicas sobre as i-ésimas componentes. 
Então dado um conjuntoC e as funções :i ig C A→ , definimos :f C P→ por ( ) cf c g= , em que 
( ) ( )c i ig i g c A= ∈ , para todo i I∈ . Assim, 
( )( ) ( ( )) ( ) ( ),i i i c ip f c p f c p g g c i I= = = ∀ ∈D , 
ou seja, i ip f g=D , para todo i I∈ . 
Agora, seja :g C P→ outra função tal que i ip g g=D , para todo i I∈ . Então, para um c C∈ 
fixado, obtemos por definição de ip , 
( )( ) ( ( )( )) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ), .i i i cg c i p g c i p g c g c g i f c i i I= = = = = ∀ ∈D 
Logo, ( ) ( )g c f c= , para todo c C∈ . Portanto, f g= , ou seja, f é única. 
(Unicidade) Sejam Q um conjunto qualquer e { : }i i i Ih Q A ∈→ uma família de funções com a 
mesma propriedade universal. Então vamos primeiro considerar o diagrama abaixo. 
 
 
Figura 9. Unicidade do produto cartesiano 
 
No diagrama (a) fizemos C Q= e no diagrama (b) fizemos C P= . Logo, 
ei i i ip f h h g p= =D D . 
Assim, 
( ) ( )i i i ip h g p f g p f g= = =D D D D D . 
Mas, pela comutatividade do diagrama (c), temos que :PI P P→ é a única função tal que 
,i P ip I p i I= ∀ ∈D . 
Portanto, Pf g I=D . Por um argumento simétrico, prova-se que Qg f I=D . … 
 
Sejam A e B conjuntos quaisquer. Vamos denotar por AB ou ( , )A BF o conjunto de todas as 
funções com domínio A e contradomínio B, isto é, 
{ : é uma função de em }AB f f A B= . 
Vamos denotar o conjunto {0,1} por 2 {0,1}= . Sejam A um conjunto e B um subconjunto de A. A função 
característica de B em A é a função : 2B Aχ → definida por 
0, se
( )
1, se .B
x B
x
x B
χ ∈⎧= ⎨ ∉⎩ 
Note que a função característica é sobrejetora se, e somente se, B ≠ ∅ e B A≠ , pois ( )A B A B•= ∪ − . 
 
 
 
 
24
Teorema 4.8. Se A é um conjunto, então existe uma correspondência biunívoca entre ( )AP e 2A . 
Portanto, 2A é um conjunto. Confira o axioma 7ZF . 
 
Prova. Consideremos a função : ( ) 2AF A →P definida por ( ) BF B χ= . Note que F está bem definida, 
pois dados , ( )B C A∈P , 
( ) ( )B CB C F B F Cχ χ= ⇒ = ⇒ = . 
A função F é injetora, pois dados , ( )B C A∈P , 
( ) ( ) { : ( ) 0} { : ( ) 0}B C B CF B F C x A x x A x B Cχ χ χ χ= ⇒ = ⇒ ∈ = = ∈ = ⇒ = . 
Finalmente, a função F é sobrejetora, pois dado 2Af ∈ , existe 
1(0) { : ( ) 0} ( )B f x A f x A−= = ∈ = ∈P 
tal que ( )Bf F Bχ= = . … 
 
Note que se B é um conjunto qualquer e se todo elemento de B for substituído por um objeto de um 
domínio qualquer A, então B continua sendo um conjunto ou, equivalentemente, se alguma regra f, quando 
aplicada ao conjunto A, tem a “cara” de uma função, então existe um conjunto ( )f x . Mais precisamente 
temos o seguinte axioma. 
 
7ZF - Axioma da substituição. Seja ( , )P x y a seguinte afirmação: para qualquer x existe um único y tal 
que ( , )P x y é verdadeira. Então para qualquer conjunto A, existe um conjunto B tal que, para qualquer 
x A∈ , existe y B∈ para que ( , )P x y seja verdadeira. 
 
Observação 4.9. 
1. O axioma 7ZF é equivalente a: para qualquer conjunto A, existe uma função f tal que Dom( )f A= e 
( )y f x= , para todo x A∈ , ou seja, a partir de um conjunto velho criamos um conjunto novo ( )f A . 
Note que 
( ) { : ( , ) é verdadeira}f x y B P x y= ∈ . 
2. Se { }i i IA ∈ é uma família de conjuntos, então a função : { }i i If I A ∈→ definida por ( ) if i A= é 
claramente sobrejetora. Logo, pelo axioma 7ZF , { }i i IA ∈ é um conjunto. Portanto, pelo axioma 6ZF , 
ii I
A A∈=∪ é um conjunto. 
3. Se I e A são dois conjuntos e :f I A→ é uma função, então, pelo axioma 4ZF , f é um conjunto, pois f 
é um subconjunto de I A× . Isto prova que nossa definição de função é legítima. 
 
Teorema 4.10. Seja { }i i IA ∈ uma família de conjuntos. Então o produto cartesiano 
ii I
P A∈=∏ 
é um conjunto. 
 
Prova. Pelo item (3) da Observação 4.9, a função 
: ii If I A A∈→ =∪ 
é um conjunto. Como ( )P I A⊆ ×P temos, pelos axiomas 6ZF e 4ZF , que P é um conjunto. … 
 
5. Avaliando o que foi construído 
Vimos nesta unidade que o enfoque axiomático da Teoria dos Conjuntos tem como objetivo 
contornar os paradoxos. Introduzimos os elementos básicos da Teoria dos Conjuntos através dos sete 
primeiros axiomas. Além disso, definimos as operações com conjuntos: união, interseção, complementar, 
diferença, gráficos, famílias, produto cartesiano e algumas propriedades algébricas. 
 
 
25
 No Moodle 
 
 
 
 
 
 
Não perca tempo. Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à resolução das tarefas relacionadas 
ao assunto desta unidade. Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser sequencial, continuado e o 
sucesso no estudo axiomático da Teoria dos Conjuntos que virão pela frente depende dos conhecimentos 
dos axiomas apresentados nesta unidade. 
Reúna-se com colegas para discutir temas estudados. Procure os Tutores para esclarecer algum 
tópico que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! 
 
26
Unidade III Conjuntos Parcialmente Ordenados 
 
1. Situando a Temática 
 
Com os conhecimentos dos axiomas básicos da Teoria dos Conjuntos estudaremos os problemas de 
aplicações ordinárias de matemática tais como: relação de ordem, conjuntos parcialmente ordenados, 
elementos maximais e minimais, maior e menor elemento, supremo e ínfimo de um conjunto. Além disso, 
estudaremos reticulados e conjuntos bem ordenados. 
Já vimos que a ideia intuitiva de uma “coleção ordenada de elementos” era significativa para 
qualquer coleção A quando A era um conjunto. Nesta unidade, porém, estaremos interessados nos conceitos 
formais de conjuntos parcialmente ordenados e suas consequências. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
Da mesma forma que o conjunto de todos os números reais R é o modelo para todos os conceitos 
nos cursos de Análise Real, o conceito de conjuntos parcialmente ordenados pode ser utilizado como 
eficiente ferramenta de modelagem em diversas situações-problema, principalmente aquelas que possuem 
como objetivo a limitação de determinados conjuntos. Vejamos um exemplo de uma situação dessa natureza. 
Mostraremos a Lei Arquimediana (Archimedes de Syracuse, 287 a. C.-212 a. C., matemático, físico, 
engenheiro, inventor e astrônomo grego): 
Supondo que o conjunto de todos os números reais R , com a ordem usual, seja completo, 
mostraremos que dados ,a b∈R , com 0a > , existe n∈Z tal que na b> . 
 
Em bem pouco tempo estaremos aptos a efetuar os cálculos necessários à obtenção da resposta a essa 
questão. 
 
3. Conhecendo a Temática 
 
 
3.1 Ordem 
 
Seja A um conjunto. Diremos que uma relação ≤ sobre A é uma pré-ordem se as seguintes 
condições são satisfeitas: 
1. x x≤ , para todo x A∈ . (reflexividade) 
2. Se x y≤ e y z≤ , então x z≤ , para todos , ,x y z A∈ . (transitividade) 
Se uma pré-ordem ≤ sobre A satisfaz a condição: 
3. Se x y≤ e y x≤ , então x y= , (antissimétrica) 
diremos que ≤ é uma ordem (parcial) sobre A. 
Se uma pré-ordem ≤ sobre A satisfaz a condição: 
4. x y≤ ou y x≤ , para todos ,x y A∈ , (x e y são comparáveis) 
diremos que ≤ é uma ordem total (ordem linear) sobre A. 
 
Notações: 
• y x≥ significa que x y≤ . 
• x y< significa que x y≤ e x y≠ . 
• y x> significa que x y< . 
A notação x y≤ lê-se “x é menor do que ou igual a y ou x precede y. 
 
Exemplo 1.1. Seja Q o conjunto de todos os números racionais. Dados ,r s∈Q , diremos que r 
divide s em Q se existir n∈Z tal que s nr= . Para ,r s∈Q , definimos 
r s≤ , se e somente se, r divide s. 
Então ≤ é uma pré-ordem sobre Q , mas não é uma ordem, pois r r≤ − e r r− ≤ , com r r≠ − . 
 
 
27
Um conjunto parcialmente ordenado (poset – partially ordered set) é um conjunto A munido de 
uma ordem ≤, em símbolos, o par ordenado ( , )A ≤ . 
Sejam A um poset e B é um subconjunto de A. Então A induz uma ordem parcial sobre B do seguinte 
modo: 
, [ sobre ]x y B x y x y A∀ ∈ ≤ ⇔ ≤ . 
Ou, equivalentemente, se R é uma ordem sobre A, então 
( )0RR B B= ∩ × 
é uma ordem sobre B. Neste caso, diremos que 0R é a ordem induzida por R. 
Sejam A um poset e B um subconjunto de A. Diremos que B é um subconjunto totalmente 
ordenado ou uma cadeia de A se a ordem induzida por A for total. Em particular, se quaisquer dois 
elementos de A são comparáveis, isto é, x y≤ ou y x≤ , para todos ,x y A∈ , diremos que A é um 
conjunto totalmente ordenado ou ordenado linearmente. Assim, um conjunto A é totalmente ordenado se 
uma e apenas uma das condições ocorre: 
,x y A∀ ∈ [ x y< , x y= ou x y> ] (Lei da Tricotomia). 
 
Observação 1.2. O conjunto de todos os números reais R , com a ordem usual, é totalmente 
ordenado. Consequentemente, os subconjuntos N , Z e Q , com a ordem induzida, são totalmente 
ordenados. Em particular, se N é munido com a ordem r divide s em N , então o conjunto 
0 1 2{2 ,2 ,2 , }C = … 
é uma cadeia de N (prove isto!). 
 
Exemplo 1.3. Sejam A um conjunto e ( )AP o conjunto das potências. Para , ( )X Y A∈P , 
definimos 
X Y X Y≤ ⇔ ⊆ . 
Mostre que ≤ é uma ordem sobre ( )AP , chamada ordenação pela inclusão. Note que esta ordem não é 
total. No entanto, se C é uma cadeia de ( )AP , então X Y≤ ou Y X≤ , para todos ,X Y C∈ . 
 
Solução. Para provar que ≤ é uma ordem, confira o Teorema 2.1 da Unidade II. Finalmente, se 
{ } ( )X x A= ∈P e { } ( )Y y A= ∈P , com x y≠ , então X e Y não são comparáveis. … 
 
Sejam A um poset e ,a b A∈ fixados. O segmento inicial de A determinado por a é o conjunto 
{ : }aS x A x a= ∈ < . 
O segmento final de A determinado por a é o conjunto 
{ : }aS x A a x= ∈ < . 
O intervalo aberto de A determinado por a e b é o conjunto 
] , [ { : } a ba b x A a x b S S= ∈ < < = ∩ . 
O intervalo fechado de A determinado por a e b é o conjunto 
[ , ] { : }a b x A a x b= ∈ ≤ ≤ . 
 
Teorema 1.4. Seja A um poset. Se P é um segmento inicial de A e Q um segmento inicial de P, então 
Q é um segmento incial de A. 
 
Prova. Note, pela hipótese, que existem a A∈ e b P∈ tais que 
{ : } e { : }P x A x a Q x P x b= ∈ < = ∈ < , 
respectivamente. Seja 
{ : }bS x A b x= ∈ < 
Então, por definição, bS é um segmento inicial de A. 
Afirmação. bQ S= . 
De fato, é claro que bQ S⊆ . Por outro lado, se bx S∈ , então ex A x b∈ < . Como b P∈ temos que 
 
28
x P∈ , pois b a< . Assim, x Q∈ , pois ex b x P< ∈ . Portanto, bS Q⊆ . … 
 
Seja A um poset. Um corte de A é um par ordenado (E, D) de subconjuntos não vazios de A com as 
seguintes propriedades: 
1. eE D A E D∩ =∅ = ∪ . 
2. Se ea E x a∈ ≤ , então x E∈ . 
3. Se ea D a x∈ ≤ , então x D∈ . 
Seja A um poset. Diremos que A é um poset finito se o conjunto A for “finito”. A cardinalidade do 
conjunto A chama-se comprimento do poset. 
Seja A um poset finito. Um diagrama de linha ou um diagrama de Hasse, (Helmut Hasse, 1898-
1979, matemático alemão) para o conjunto A é um digrama em que os elementos de A são representados por 
vértices e as comparações entre dois elementos ,a b A∈ é representado por uma aresta, com a seguinte 
convenção: um elemento a está abaixo de um elemento b, se e somente se, a b< e não existe { , }c a b∉ tal 
que a c b< < . 
 
Exemplo 1.5. Sejam { , , , , , }A a b c d e f= e {1,2,3,4,5,6}B = dois conjuntos ordenados, pelos 
diagramas de Hasse, confira Figura 10. Então: 
1. Os subconjuntos { , , }a b c e { , , , }a b e f são cadeias de A, pois quaisquer dois elementos são 
comparáveis, enquanto o subconjunto {1,2,3,4,6} não é uma cadeia de B, por exemplo, 2 e 3 não são 
comparáveis. 
2. Note que { , , }eS a b d= é um segmento inicial de A. Enquanto, 5 {1}S = é um segmento inicial de B. 
3. Se { , , }E a b c= e { , , }D d e f= , então (E, D) é um corte de A. 
 
 
Figura 10. Diagrama de Hasse. 
 
Exemplo 1.6 (Poset Coroa). Seja {1,2, , 2 }A n= … , com 1n > , um conjunto. Dado a A∈ , 
definimos 
e 1 , {1,2, , 1}, 2 e 1 2a a n a a n a n n n n≤ + + ≤ + ∀ ∈ − ≤ ≤… . 
Mostre que A é um poset, mas não é totalmente ordenado. Confira diagrama de Hasse dado pela Figura 11, 
com 5n = : 
 
 
Figura 11. Diagrama de Hasse. 
 
 
 
29
3.2 Isomorfismos 
 
É importante lembrar que todos os resultados sobre funções vistos no curso de Matemática 
Elementar podem ser usados em tudo que segue. 
 
Sejam A, B dois posets e :f A B→ uma função. Diremos que f é crescente ou preserva ordem se 
, [ ( ) ( )]x y A x y f x f y∀ ∈ ≤ ⇒ ≤ . 
Diremos que f é estritamente crescente se 
, [ ( ) ( )]x y A x y f x f y∀ ∈ < ⇒ < . 
Diremos que f é um isomorfismo se f for bijetora e crescente: 
, [ ( ) ( )]x y A x y f x f y∀ ∈ ≤ ⇔ ≤ . 
 
Exemplo 2.1. Seja R o conjunto de todos os números reais com a ordem usual. Então: 
1. A função :f →R R definida por ( ) 3 4f x x= + é um isomorfismo, pois f é claramente bijetora e 
, [ 3 3 3 4 3 4 ( ) ( )]x y x y x y x y f x f y∀ ∈ ≤ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + ⇔ ≤R , 
ou seja, f preserva ordem. 
2. A função :f →R R definida por ( ) 3 4f x x= − + não é um isomorfismo, pois f é claramente bijetora, 
mas 
, [ 3 3 3 4 3 4 ( ) ( )]x y x y x y x y f x f y∀ ∈ ≤ ⇔ − ≥ − ⇔ − + ≥ − + ⇔ ≥R , 
ou seja, f não preserva ordem. 
 
Teorema 2.2. Sejam A, B dois posets e :f A B→ uma função. Se f é um isomorfismo, então 
, [ ( ) ( )]x y A x y f x f y∀ ∈ < ⇒ < . 
 
Prova. Dados ,x y A∈ , se x y< , então x y≤ . Logo, por hipótese, ( ) ( )f x f y≤ . Portanto, 
( ) ( )f x f y< , pois se ( ) ( )f x f y= , então, pela injetividade de f, x y= , o que é impossível. 
Reciprocamente, se ( ) ( )f x f y< , então ( ) ( )f x f y≤ . Logo, por hipótese, x y≤ . Portanto, 
x y< , pois se x y= , então, pela definição de função, ( ) ( )f x f y= , o que é impossível. … 
 
Teorema 2.3. Sejam A, B dois posets e :f A B→ uma função bijetora. Então f é um isomorfismo 
se, e somente se, f e 1f − são funções crescentes. 
 
Prova. Como f é bijetora temos que 
1[( )( ) ]x A f f x x−∀ ∈ =D . 
Agora, dados ,z w B∈ , existem únicos ,x y A∈ tais que ( )z f x= e ( )w f y= . Logo, 
1 1 1 1( )( ) ( )( ) ( ) ( )z w x y f f x x y f f y f z f w− − − −≤ ⇔ ≤ ⇒ = ≤ = ⇒ ≤D D . 
Logo, 1f − é crescente. 
Reciprocamente, como f é crescente temos que 
, [ ( ) ( )]x y A x y f x f y∀ ∈ ≤ ⇒ ≤ . 
Por outro lado, dados ,x y A∈ , obtemos 
1 1( ) ( ) ( )( ) ( )( )f x f y x f f x f f y y− −≤ ⇒ = ≤ =D D . 
Portanto, f é um isomorfismo. … 
 
Teorema 2.4. Sejam A, B e C três posets: 
1. A função identidade :AI A A→ é um isomorfismo. 
2. Se :f A B→ é um isomorfismo, então 1 :f B A− → é um isomorfismo. 
3. Se :f A B→ e :g B C→ são isomorfismos, então :g f A C→D é um isomorfismo. 
 
 
30
Prova. Vamos provar apenas o item (3). É fácill verificar que g fD é uma função bijetora. 
, [ ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( )]x y A x y f x f y g f x g f y g f x g f y∀ ∈ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤D D . 
Portanto, g fD é um isomorfismo. … 
 
Sejam A e B dois posets. Diremos que A e B são isomorfos se existir um isomorfismo :f A B→ e 
denotaremos por A B� . O Teorema 2.4, prova que a relação ser isomorfo é uma relação de equivalência. 
Note que os conjuntos A e B dados no Exemplo1.5, não são isomorfos, pois eles têm diagramas de 
Hasse diferentes. No entanto, é fácil exibir uma correspondência biunívoca entre eles. Portanto, é pertinente 
lembrar de que apenas a existência de uma função bijetora entre dois posets, em geral, não é suficiente para 
concluirmos que os conjuntos são isomorfos. 
 
Exemplo 2.5. O conjunto de todos os números reais R , com a ordem usual, e o intervalo aberto 
] 1,1 [I = − , com a ordem induzida de R , são isomorfos. 
 
Solução. É fácil verificar que as funções :f I →R e 1 :f I− →R definidas por 
( )
1
xf x
x
= − e 
1( )
1
xf x
x
− = + 
são crescentes. Portanto, pelo Teorema 2.3, R e I são isomorfos. … 
 
 
3.3 Elementos Notáveis e Dualidade 
 
 
Seja A um poset. Um elemento M A∈ chama-se um elemento maximal deA se nenhum dos 
elementos de A é estritamente maior do que M. Em símbolos, 
[ ]x A M x M x∀ ∈ ≤ ⇒ = . 
Ou, equivalentemente, não existe elemento x A∈ , com M x< . Analogamente, um elemento m A∈ 
chama-se um elemento minimal de A se nenhum dos elementos de A é estritamente menor do que m. Em 
símbolos, 
[ ]x A x m m x∀ ∈ ≤ ⇒ = . 
Ou, equivalentemente, não existe elemento x A∈ , com x m< . 
 
 
Exemplo 3.1. Seja {2,3,4,5,7,8,9,12,15,16,24}A = um conjunto ordenado pelo diagrama de 
Hasse (confira Figura 12). Então 7, 9, 15, 16 e 24 são elementos maximais, enquanto 2, 3, 5 e 7 são 
elementos minimais. 
 
 
Figura 12. Diagrama de Hasse. 
 
 
31
Exemplo 3.2. Sejam A um conjunto não vazio e ( ) { , }B A A= − ∅P ordenado pela incluão. Então 
os elementos minimais de B são os subconjuntos unitários, enquanto os elementos maximais de B são os 
subconjuntos { }A a− , para todo a A∈ . Quando { , , }A a b c= , por meio do diagrama de Hasse, verifique o 
resultado. 
 
 
Seja A um poset. Um elemento M A∈ chama-se o maior elemento de A se 
[ ]x A x M∀ ∈ ≤ . 
Analogamente, um elemento m A∈ chama-se o menor elemento de A se 
[ ]x A m x∀ ∈ ≤ . 
Observe que, se o maior ou o menor elemento, existir, ele é único. Além disso, todo menor (maior) elemento 
é um elemento minimal (maximal), mas não reciprocamente. 
 
Exemplo 3.3. O conjunto A do Exemplo 3.1 não tem maior e nem menor elemento. 
 
Exemplo 3.4. Seja {2,3,4,5, , , }A n= … … , ordenado por x divide y em A. Então A não tem menor 
elemento, pois 2 não divide 3, mas tem infinitos elementos minimais, a saber, os números primos. Note que A 
não tem maior elemento e nem elementos maximais. 
 
Sejam A um poset e B um subconjunto de A. Uma cota superior de B em A é um elemento a A∈ 
tal que 
[ ]x B x a∀ ∈ ≤ . 
Analogamente, uma cota inferior de B em A é um elemento a A∈ tal que 
[ ]x B a x∀ ∈ ≤ . 
Denotaremos por 
( ) { : é uma cota superior de }S B a A a B= ∈ 
e 
( ) { : é uma cota inferior de }s B a A a B= ∈ . 
 
Observação 3.5. 
1. Note que cada elemento b B∈ é uma cota superior de ( )s B , pois x b≤ , para todo ( )x s B∈ . 
Analogamente, cada elemento c B∈ é uma cota inferior de ( )S B , pois c x≤ , para todo ( )x S B∈ 
2. É importante notar a diferença entre menor (maior) elemento de B e cota inferior (superior) de B, pois 
o primeiro deve pertencer a B, enquanto o segundo não necessita pertencer a B. 
 
Sejam A um poset e B uma subconjunto de A. O supremo de B em A é o elemento b A∈ que 
satisfaz as seguintes condições: 
1. ( )b S B∈ . (b é uma cota superior de B) 
2. Se ( )x S B∈ , então b x≤ . (b é a menor das cotas superiores de B) 
Analogamente, o ínfimo de B em A é o elemento a A∈ que satisfaz as seguintes condições: 
1. ( )a s B∈ . (a é uma cota inferior de B) 
2. Se ( )x s B∈ , então x a≤ . (a é a maior das cotas inferiores de B) 
Denotaremos o supremo de B em A por sup ( )A B ou simplesmente sup( )B e o ínfimo de B em A por 
inf ( )A B ou simplesmente inf( )B . Note que, se o supremo (o ínfimo) existir, ele é único. 
 
Exemplo 3.6. Sejam A o conjunto do Exemplo 3.1 e {2,3,4,8,12}B = um subconjunto de A. Então 
( ) {16,24}S B = , mas sup( )B não existe em A. Agora, sejam {2,3,4,8,12,16}C = e 
{2,3,4,8,12,24}D = subconjuntos de A. Então sup ( ) {16}C B = e sup ( ) {24}D B = . Portanto, o supremo 
(ínfimo) depende do conjunto. 
 
 
32
Exemplo 3.7. Sejam ( )AP o conjunto das partes de A, ordenado pela inclusão, { }i i IB B ∈= um 
subconjunto de ( )AP . Mostre que sup( ) ii IB B∈=∪ e inf( ) ii IB B∈=∩ . 
 
Solução. É claro que ( )ii I B S B∈ ∈∪ , pois cada i ii IB B∈⊆∪ . Por outro lado, se C é qualquer elemento 
de ( )S B , então iB C⊆ , para todo i I∈ . Logo, ii I B C∈ ⊆∪ . Assim, ii I B∈∪ é a menor das cotas 
superiores. Portanto, sup( ) ii IB B∈=∪ . … 
 
Exemplo 3.8. Sejam A um poset. Mostre que ( )s A∅ = . 
 
Solução. É claro que ( )s A∅ ⊆ . Por outro lado, 
[ ]y x A x y∀ ∈∅ ∈ ⇒ ≤ , 
caso contrário, 
y∃ ∈∅ tal que x ≰ y. 
o que é impossível. Portanto, ( )A s⊆ ∅ e inf( )∅ é o maior elemento de ( )s ∅ . Assim, se A possui um 
maior elemento a A∈ , então inf( )a = ∅ . De modo análogo, se A possui um menor elemento b A∈ , então 
sup( )b A= . … 
 
Seja A um poset. Se R é uma ordem sobre A, então é fácil verificar que 1R− também é uma ordem 
sobre A, a qual é chamada de ordem inversa. Neste caso, existe um isomorfismo entre o conjunto de todas 
as ordens R sobre A e o conjunto de todas as ordens inversas 1R− sobre A. 
Se intercalarmos ∪ e ∩ ; R e 1R− ; A e ∅ , etc., em qualquer afirmação sobre conjuntos, a nova 
afirmação é chamada de dual da original. Este conceito de dualidade é de grande importância ecônomica na 
prova dos teoremas, pois provando um teorema sabemos que o dual do teorema é também verdadeiro. 
 
Teorema 3.9. Sejam A poset e B um subconjunto de A. Então ( ( ))B S s B⊆ . Afirmação dual: 
( ( ))B s S B⊆ . 
 
Prova. Dado x B∈ , obtemos y x≤ , para todo ( )y s B∈ . Portanto, por definição, ( ( ))x S s B∈ , ou seja, 
( ( ))B S s B⊆ . … 
 
Lema 3.10. Sejam A poset e B um subconjunto de A. Suponhamos que ( )s B tenha um supremo em 
A. Então B tem um ínfimo em A e inf( ) sup( ( ))B s B= . Afirmação dual: Suponhamos que ( )S B tenha um 
ínfimo em A. Então B tem um supremo em A e sup( ) inf( ( ))B S B= . 
 
Prova. Pondo sup( ( ))a s B= em A. Seja b B∈ . Então x b≤ , para todo ( )x s B∈ . Logo, b é uma cota 
superior de ( )s B . Assim, por definição, a b≤ . Portanto, a é uma cota inferior de B, pois b é arbitrário. Por 
outro lado, se d é qualquer cota inferior de B, então ( )d s B∈ e d a≤ , pois sup( ( ))a s B= . Portanto, 
inf( )a B= . … 
 
Seja A um poset. Diremos que A é (condicionalmente) completo se qualquer subconjunto não vazio 
B de A que é limitado superiormente ( ( )S B ≠ ∅ ) tem um supremo em A. 
 
Teorema 3.11. Seja A um poset. Então as seguintes condições são equivalentes: 
1. Qualquer subconjunto não vazio de A que é limitado superiormente possui um supremo em A. 
2. Qualquer subconjunto não vazio de A que é limitado inferiormente possui um ínfimo em A. 
 
Prova. (1 2)⇒ Seja B uma subconjunto não vazio de A que seja limitado inferiormente. Então ( )s B ≠ ∅ . 
 
33
Como cada elemento de B é uma cota superior de ( )s B temos que ( )s B é limitado superiormente. Assim, 
por hipótese, ( )s B possui um supremo em A. Portanto, pelo Lema 3.10, B possui um ínfimo em A. 
A recíproca é a afirmação dual. … 
 
Exemplo 3.12 (Lei Arquimediana). Suponhamos que o conjunto de todos os números reais R , 
com a ordem usual, seja completo. Mostre que dados ,a b∈R , com 0a > , existe n∈Z tal que na b> . 
 
Solução. Suponhamos, por absurdo, que na b≤ , para todo n∈Z . Então 
{ : }B na n= ∈Z 
é um subconjunto não vazio e limitado superiormente em R . Logo, por hipótese, sup( )c B= existe. 
Assim, na c≤ , para todo n∈Z , de modo que ( 1)m a c+ ≤ , para todo m∈Z . Portanto, 
,ma c a m≤ − ∀ ∈Z , 
o que é uma contradição, pois c a c− < . … 
 
Observação 3.13. O Exemplo 3.12, prova que 
[ , ( 1) [
n
na n a
•
∈
= +∪
Z
R , 
é uma união disjunta de intervalos, onde a∈R , com 0a > . Neste caso, dado b∈R , existe (um único) 
q∈Z tal que 
, com 0b qa r r a= + ≤ < . 
 
Seja A um poset. Diremos que A é um reticulado se sup{ , }a b e inf{ , }a b existem, para todos 
,a b A∈ . Quando lidamos com reticulados é conveniente escrevermos sup{ , }a b a b= ∨ e 
inf{ , }a b a b= ∧ . 
 
Exemplo 3.14. Seja ( )AP o conjunto das partes de A, ordenado pela inclusão. Mostre que ( )AP 
é um reticulado. 
 
Solução. Dados , ( )X Y A∈P , é fácil verificar que sup{ , }X Y X Y= ∪ e inf{ , }X Y X Y= ∩ . Portanto, 
( )AP é um reticulado. … 
 
Proposição 3.15. Sejam A um reticulado e , , ,a b c d A∈ . Então: 
1. a a b≤ ∨ e b a b≤ ∨ . 
2. a b a∧ ≤ e a