Lógica matemática

Prévia do material em texto

Lógica matemática 
Apresentação 
Olá! Bem-vindo(a) à disciplina Lógica matemática. 
Esta é a disciplina de Lógica matemática e o objetivo de estudá-la é o de ajudar a desenvolver a capacidade de raciocinar 
logicamente, a se perceber intuitivamente os argumentos válidos e os não válidos e a aprimorar e desenvolver o 
raciocínio lógico matemático através da análise crítica dos argumentos. 
Aula 1: Introdução a Lógica Matemática 
Apresentação 
Nesta aula, será apresentada a noção inicial de lógica matemática. Além disso, procuraremos identificar a importância 
da Lógica Matemática e sua contribuição às disciplinas correlatas. 
Objetivos 
• Apresentar a noção inicial de lógica matemática; 
• Identificar a importância da lógica matemática e sua contribuição às disciplinas correlatas. 
Exemplos 
 
Exemplo 1 
Se uma caixa contém 5 lápis e 6 canetas, quantos objetos devemos retirar, no mínimo, dessa caixa para termos certeza 
de que retiramos dois da mesma natureza? 
a) 2 objetos 
b) 3 objetos 
c) 4 objetos 
Resposta 
A resposta correta são 3 objetos. Observe que, se o primeiro objeto escolhido for um lápis e o segundo for uma caneta, 
na terceira escolha teremos obrigatoriamente a repetição de um dos objetos e, portanto, teremos dois objetos da mesma 
espécie. 
 
Fácil, não? Utilizamos a lógica para solucionar nosso problema. 
Exemplo 2 
Marina foi, ao mesmo tempo, a vigésima quinta melhor classificada e a vigésima quinta pior classificada de um 
concurso. Quantos concorriam ao exame? 
 
Resposta 
Vamos raciocinar: se existem 24 pessoas na frente de Marina, 24 pessoas atrás de Marina e mais um, logo existem 49 
concorrentes. 
Viu, mais uma vez recorremos à lógica para chegarmos à resposta correta! 
 
Exemplo 3 
Se em uma corrida de 400 metros rasos você consegue ultrapassar o segundo colocado exatamente quando já tinha 
percorrido 150 metros, qual é a sua posição na corrida nesse exato momento? 
 
Resposta 
Sua posição aos 150 metros é de segundo lugar, pois, na sua frente, ainda existe um competidor. 
 
Esperamos que com esses três exemplos simples tenhamos alcançado o nosso objetivo. E, nesse exato momento, 
gostaríamos de propor dois outros problemas para você. 
Preparado? 
Problema 1 
Quantas pessoas, no mínimo, deve haver em uma sala para termos a certeza de que pelo menos duas fazem aniversário 
no mesmo mês? 
Resposta 
 
É necessário que haja 13 pessoas, pois, na pior das hipóteses, as 12 pessoas podem fazer aniversário uma em cada 
mês. No entanto, a décima terceira pessoa, com certeza, fará aniversário em algum mês do ano, e será a segunda 
pessoa a fazê-lo. 
Problema 2 
 
Uma lesma resolve escalar uma pilha de 10 tijolos. Durante a manhã, ela consegue subir três tijolos, mas, durante a 
noite, a lesma escorrega dois tijolos. Quantas manhãs e quantas noites a lesma vai demorar para chegar ao topo da 
pilha de tijolos? 
Uma lesma resolve escalar uma pilha de 10 tijolos. Durante a manhã, ela consegue subir três tijolos, mas, durante a noite, 
a lesma escorrega dois tijolos. Quantas manhãs e quantas noites a lesma vai demorar para chegar ao topo da pilha de 
tijolos? 
No primeiro dia Durante a manhã, a lesma subiu os tijolos 1, 2, 3 e, à noite escorregou os tijolos 2 e 3. Como resultado 
da sua posição, no final do primeiro dia, ela ficou no tijolo 1. 
No segundo dia, a lesma subiu mais um tijolo. Durante a manhã, a lesma subiu os tijolos 2, 3 e 4 e, à noite, escorregou os 
tijolos 3 e 4. Como resultado da sua posição no final do segundo dia, ela ficou no tijolo 2. 
No terceiro dia, subiu mais 1. A lesma está no tijolo 3. Durante a manhã sobe os tijolos 3, 4 e 5 e, à noite, escorrega os 
tijolos 4 e 5. 
No quarto dia, subiu mais 1. A lesma está no tijolo 4. Durante o dia, sobe os tijolos 4, 5 e 6 e, à noite, desce os tijolos 5 e 
6. 
No quinto dia subiu mais 1. A lesma está no tijolo 5. Durante o dia sobe os tijolos 5, 6 e 7 e à noite desce os tijolos 6 e 7. 
No sexto dia, subiu mais 1. A lesma está no tijolo 6. Durante o dia, sobe os tijolos 6, 7 e 8 e, à noite desce os tijolos 7 e 
8. 
No sétimo dia, subiu mais 1. A lesma está no tijolo 7. Durante o dia, sobe os tijolos 7, 8 e 9 e, à noite desce os tijolos 8 e 
9. 
 
No oitavo: Durante a manhã, sobem os tijolos 8, 9 e 10. Bem, nesse momento, a lesma chega no topo. Voltando para a 
pergunta inicial: Quantas manhãs e quantas noites a lesma vai demorar para chegar ao topo da pilha de tijolos? A 
resposta é(são): 8 manhãs e 7 noites. 
Aula 2: Proposições Simples e Compostas 
Apresentação 
Nesta aula, trataremos das noções iniciais da lógica matemática cujas noções básicas são muito importantes para o 
entendimento de todo o curso no qual identificaremos e representaremos uma proposição, determinaremos o valor 
lógico de uma proposição simples e composta e construiremos a tabela-verdade de uma proposição. 
Objetivos 
• Identificar e representar uma proposição; 
• Determinar o valor lógico de uma proposição simples; 
• Determinar valores lógicos de proposições compostas; 
• Construir a tabela verdade de uma proposição. 
Proposição. 
Chama-se sentença ou proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido 
completo. 
Exemplo 
• Maria é uma aluna aplicada. 
• Aracaju é a capital de Sergipe. 
• 2+4 > 2 
As proposições são geralmente indicadas pelas letras latinas minúsculas: p q r s. 
A Lógica Matemática adota como regra fundamental do pensamento dois princípios: Princípio da Não 
Contradição e o princípio do Terceiro Excluso. 
 
Princípio Não Contradição 
 
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula2.html#collapse01-01
Princípio do Terceiro Excuso 
 
Atividade 
1. Classifique as seguintes proposições em verdadeiro ou falso: 
a) 5 é um número inteiro. 
b) Brasília é capital do Brasil. 
c) √2 é um número inteiro. 
Gabarito 
a) Verdadeiro / b) Verdadeiro / c) Falso 
Valores lógicos das proposições 
Chama-se valor lógico de uma proposição p a verdade se p é verdadeira e a falsidade se p é falsa. 
Utilizaremos as letras V e F conforme p seja verdadeira ou falsa, respectivamente. 
VALORES LÓGICOS DAS PREPOSIÇÕES 
V = Verdadeiro 
F = Falso 
 
Atenção 
Toda a proposição assume um único dos valores verdadeiro (V) ou falso (F). 
Descreveremos, agora, sobre as Proposições Simples e Proposições Compostas. 
Preposições Simples 
A Proposição Simples é aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Veja os 
exemplos abaixo: 
p: Mário é professor. 
p: Pauo é médico. 
Preposições Compostas 
á a Proposição Composta é aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. 
p: Mário é professor e Pauo é médico. 
p: Mário é professor ou Pauo é médico. 
Note que as proposições r e s utilizam os conectivos e e ou. A seguir, você aprenderá um pouco mais sobre conectivos. 
Conectivos 
Conectivos são palavras que usamos para formar novas proposições a partir de outras. Veja outros conectivos: 
Conectivo de Negação 
NÃO 
Exemplo: 
s: Mário não é professor. 
 
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula2.html#collapse01-02
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula2.html#collapse01-03
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula2.html#collapse01-04
Conectivo Condicional 
Se.. Então 
Exemplo: 
p: Se Mário é professor, então Pedro é médico. 
 
Conectivo Bicondicional 
Se e somente se 
Exemplo: 
r: Mário é professor se e somente se Pedro é médico. 
 
Podemos também enunciar a proposição s das seguintes maneiras: 
a) Não é verdade que Mário é professor. 
b) É falso que Mário é professor. 
Usamos a nomenclatura V(p) para representar valor lógico da proposição p. 
 
Cada proposição pode assumir um dos dois valores V ou F. 
Vejamos 3 exemplos de proposições e seus 
 
Vejamos 3 exemplos de proposições e seus respectivos valores lógicos. 
 
A Tabela Verdade é um dispositivo usadopara determinar o valor lógico de proposições compostas a partir dos 
valores lógicos das proposições simples que a constituem. 
Observe que cada proposição pode assumir um dos dois valores V ou F e, portanto, se tivermos duas proposições 
simples p e q, podemos formular as seguintes possibilidades que formarão a Tabela Verdade: 
 
Atividade 
Determine o valor lógico (V ou F ) para cada uma das seguintes proposições. 
a) O número 23 não é primo. 
b) Salvador é a capital da Bahia. 
c) 2 > 1/3 
d) 0,333…. É uma dízima periódica simples. 
e) Todo número cujo algarismodas das unidades é 0 ou 5 édivisívelor 5. 
f) O sistema binário só utiliza os algarismos 0 e 1. 
g) -5 > -2 
h) Todo número primo é ímpar. 
i) Não existe nenhum número par que seja primo. 
j) O produto de dois números inteiros é um número inteiro. 
 
Gabarito 
a) Falso / b) Verdadeiro / c) Verdadeiro / d) Verdadeiro / e) Verdadeiro / f) Verdadeiro / g) Falso / h) Falso / i) Falso / 
j) Verdadeiro 
Neste estágio iniciaremos as operações lógicas sobre proposições. Vejamos, então, o que vem a ser uma proposição 
(p) e a negação da mesma (~p): 
OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PREPOSIÇÕES 
p = proposições 
~p = negação da proosição 
Chama-se negação da proposição p, representada por ~p, a proposição que tem o valor lógico oposto a p, ou seja: 
 
A Tabela Verdade abaixo nos mostra tal situação com clareza: 
 
Veja os exemplos abaixo: 
 
Conjunção de duas proposições. Chama-se conjunção de duas proposições, aqui representadas por p e q (e 
representamos por p q), a proposição composta que será verdadeira apenas quando as proposições p e q forem 
ambas verdadeira e falsa em todos os demais casos. 
A tabela ao lado ajudará você a entender melhor esta situação: 
 
Veja os exemplos a seguir: 
 
 
 
 
Aula 3: Tautologias, contradições e contingências 
Apresentação 
Nesta aula, identificaremos uma Tautologia, uma Contradição e uma Contingência. 
Objetivos 
• Identificar uma Tautologia; 
• Identificar uma Contradição; 
• Identificar uma Contingência. 
Tautologia 
A Tautologia é toda a proposição composta cuja última coluna de sua Tabela Verdade seja constituída apenas do valor 
lógico V. Veja algumas tautologias: 
 
 
Atenção 
Na verdade as duas proposições escolhidas como exemplo são os dois princípios mencionados nas aulas anteriores. 
Uma proposição cujo valor lógico é a falsidade (F) é representada por se p então q, no caso em que p é verdadeira e q 
é falsa e, nos demais casos, a verdade (V). 
Proposição Condicional 
 
Proposição Bicondicional 
 
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula3.html#collapse01-01
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula3.html#collapse01-02
Atividade 
1. A proposição a seguir é tautológica? 
 
a) Sim 
b) Não 
 
Gabarito 
Deve-se iniciar a tabela pelas proposições simples. 
A última coluna foi obtida observando a primeira coluna com a quarta coluna. 
 
Logo, temos uma tautologia. 
2. A proposição a seguir é tautológica? 
 
a) Sim 
b) Não 
 
Gabarito 
Mais uma vez,chamamosasua atenção para o resultado da última couna obtido pela terceira 
e quarta colunas, resutando, assimem outra proposição tautológica. 
 
Contradição 
Contradição é toda a preposição composta cuja última coluna seja constituída apenas da falsidade. Portanto, se 
negarmos uma tautologia obteremosuma contradição. 
Veja alguns exemplos de contradição. 
A proposição é uma contradição. Observe: 
 
Outra proposição composta que é uma contradição é 
 
Contingência 
Agora chegou o momento mais simples. O que é a proposição composta chamada de contingência? 
 
Que tal você tentar? Começaremos a próxima aula apresentando essas duas tabelas que, com certeza, coincidirá com a 
sua! E, logo depois, trataremos da implicação lógica. Até breve! 
 
Aula 4: Implicação Lógica 
Apresentação 
Nesta aula, começaremos resolvendo o exercício sobre contingência deixado e então trataremos da implicação lógica. 
Objetivos 
• Identificar e representar uma Implicação; 
• Analisar uma Implicação usando Tabela verdade. 
Introdução 
Estamos de volta com as duas tabelas da última aula. 
Na tabela abaixo temos uma contingência, pois a última coluna é constituída de valores lógicos V e F, isto é, não é nem 
uma tautologia, nem uma contradição. 
p → ~p 
p ~p p → ~p 
V →F F 
F V V 
 
Vamos a proposição p ∨ q → p 
 
p q p ∨ q p ∨ q ↔ p 
V V V V 
V F V V 
F V V F 
F F F V 
 
Você já deve ter percebido que tudo fica mais simples quando você constrói seu próprio conhecimento, não? 
Implicação lógica 
Uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...) , 
se Q(p,q,r,......) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,.....) é verdadeira (V). 
Vamos construir em uma mesma tabela as proposições p ∧ q , p ∨ q, p ↔ q. observe: 
p q p ∧ q p ∨ q q ↔ p 
V V V V V 
V F F V F 
F V F V F 
F F F F V 
Para facilitar o nosso trabalho ,observe que destacamos em negrito na primeira linha da tabela os primeiros elementos 
das colunas 3,4 e 5. Claro que nos objetivamos com isso reforçar o fato de que a proposição p ∧ q só é verdadeira na 
primeira linha e que as outras duas proposições p ∨ q acompanham o valor lógico , ou seja , também são verdadeiras, 
isso significa que a primeira proposição implica cada uma das outras duas. 
Podemos escrever da seguinte forma o que foi mencionado acima: 
p ∧ q ⇒ p ∨ q e p ∧ q ⇒ p ↔ q 
Você deve ter notado que utilizamos o símbolo => para indicar implicação lógica. Como temos certeza ,que como nós 
você está cada vez mais motivado , aprofundaremos mais um pouco os nossos conhecimentos , procurando aproveitar 
tudo o que a tabela nos proporciona. 
As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes Regras de inferência: 
Adição 
p ⇒ p ∨ q e q ⇒ p ∨ q 
Gostaríamos de chamar a atenção para não perdermos de vista que, quando p é V, p v q é V e, quando q é V, p v q 
também é V. 
Simplificação 
p ∧ q ⇒ p e p ∧ q 
Vamos, agora, em uma única tabela, considerar as seguintes proposições: 
p ↔ q, p → q, q → p 
p q p ↔ q p → q q → p 
V V V V V 
V F F F V 
F V F V F 
F F V V V 
 
Quais foram as suas conclusões? Temos certeza que você já está apto para indicar que: 
p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p 
Vamos formar a tabela-verdade da proposição: (p q) ~p e aumentar, ainda mais, nossos conhecimentos: 
p q p ∨ q ~p (p ∨ q) ∧ ~p 
V V V F F 
V F V F F 
F V V V V 
F F F V F 
 
Agora fica fácil, não? Observamos que a proposição composta acima é verdadeira somente na terceira linha e então 
subsiste a implicação lógica: 
(p ∨ q) ∧ ~p ⇒ q e (p ∨ q) ∧ ~p ⇒ p (denominadas Regra do Silogismo disjuntivo) 
Nesse momento faremos mais um pouco de esforço para aumentar ainda mais nossos conhecimentos, uma vez que 
estamos caminho firme e certo na aquisição do conhecimento necessário ao êxito do curso. 
Considere a tabela da seguinte proposição: (p → q) ∧ p 
p q p → q (p → q) ∧ p 
V V V V 
V F F F 
F V V F 
F F V F 
 
Está ficando cada vez mais fácil, não? 
Então você observou que a proposição dada só é verdade na primeira linha e aí , nesta linha, a proposição “q” também é 
verdadeira (V). Logo , temos a seguinte implicação lógica conhecida pelo nome de Regra Modus ponens, não estranhe os 
nomes , procure lembrar que esses nomes são oriundos do Latim, e que logo estaremos familiarizados com eles. 
(p → q) ∧ p ⇒ q 
Vamos a mais uma das implicações lógicas essa conhecida pelo nome de Regra Modus tollens. 
Para tal vamos construir as tabelas-verdade das proposições: 
''(p → q) ∧ ~q e ''~p'' 
p q p → q ~q (p → q) ∧ ~q) ~p 
V V V F F F 
V F F V F F 
F V V F F V 
F F V V V V 
 
Com certeza acertou outra vez,não? Claro que a implicação lógica é: 
(p → q) ∧ ~q ⇒ ~p 
Essa tabela nos mostra que: 
''~p'' implica ''p → q'', isto é: ~p ⇒ p → q 
Leia com atenção as principais regras de implicação. 
p ⇒ p ∨ q Adição 
p ∧ q ⇒p ou p ∧ q ⇒ q Simplificação 
(p ∨ q) ∧ ~p ⇒ q ou (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p Silogismo Disjuntivo 
(p → q) ∧ p ⇒ q Modus ponens 
(p → q) ∧ ~q ⇒ ~p Modus tolens 
(p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → r Silogismo hipotético 
P ∧ ~p → f Principio da inconsistência 
 
 
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula4.html
Aula 5: Equivaléncia Lógica 
Apresentação 
Nesta aula, identificaremos e representaremos uma Equivalência lógica, bem como construiremos uma demonstração 
de Equivalência lógica usando Tabela verdade. 
Objetivos 
• Identificar e representar uma Equivalência Lógica. 
• Construir demonstração de Equivalência lógica usando Tabela Verdade. 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
Atenção para não confundir a Implicação Lógica com a Equivalência Lógica. 
Uma proposição P(p,q,r,....) é logicamente equivalente ou simplesmente equivalente a uma proposição Q(p,q,r,.....) se 
as Tabelas Verdade de ambas as proposições são rigorosamente iguais. 
Utilizaremos, para indicar tal fato, a notação P(p,q,r,....) ↔ Q(p,q,r,.....). Então, você já concluiu que, se as duas 
proposições forem ambas tautológicas ou ambas contradições, elas são equivalentes. 
Você, cada vez mais, domina os conteúdos e isso nos motiva ainda mais, a continuar nessa jornada solidária em busca 
do saber. 
p ⇒ p ∨ q Adição 
p ∧ q ⇒ p ou p ∧ q ⇒ q Simplificação 
(p ∨ q) ∧ ~p ⇒ q ou (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p Silogismo Disjuntivo 
(p → q) ∧ p ⇒ q Modus ponens 
(p → q) ∧ ~q ⇒ ~p Modus tolens 
(p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → r Silogismo hipotético 
p ∧ ~p → f Principio da inconsistência 
Exemplo 1: 
Regra da dupla negação: as proposições ~ ~p e p são equivalentes. Para demonstrar tal fato, basta mostrarmos que 
ambas as proposições apresentam a mesma Tabela Verdade. Logo: 
p ~p ~ ~p 
V F V 
F V F 
Exemplo 2: 
As proposições ~p → p e p são equivalentes, isto é, ambas apresentam a mesma Tabela Verdade. Logo, vamos 
mostrar que ~p → p ↔ p. 
p ~p ~p → p 
V F V 
F V F 
Exemplo 3: 
As proposições p → q e ~p v q são logicamente equivalentes. Vejamos, mais uma vez a Tabela Verdade. 
p q p → q ~p ~p v q 
V V V F V 
V F F F F 
F V V V V 
F F V V V 
 
p → q Se Marcos é alto, então Regina é esforçada. 
~p v q Marcos não é alto ou Regina é esforçada. 
Lembre-se: Simbolicamente podemos indicar: p → q ↔ ~p v q 
Exemplo 4: 
As condicionais p → p ∧ q e p → q são logicamente equivalentes, reforçando que apresentam Tabelas Verdade 
idênticas. Veja: 
p q p ∧ q p → p ∧ q p → q 
V V V V V 
V F F F F 
F V V V V 
F F V V V 
 
Lembre-se: Simbolicamente podemos indicar: p → p ↔ p → q 
Exemplo 5: 
A bicondicional p ↔ q e a disjunção (p ∧ q) V (~ p ∧ ~q) são logicamente equivalentes; portanto, mostremos que 
apresentam a mesma Tabela Verdade. 
p q p ↔ q p ∧ q ~p ~q ~p ∧ ~q (p ∧ q) v (~p ∧ ~q) 
V V V V F F F V 
V F F F F V F F 
F V F F V F F F 
F F V F V V V V 
 
Observando a terceira e a última coluna, concluímos que: p → q ↔ (p ∧ q) V ( ~p ∧ ~q) 
Já estamos nos aproximando do término desta aula. Rápido, não? Mas, antes, vejamos mais uma importante 
Equivalência Lógica. 
Exemplo 6: 
A bicondicional p ↔ q e a conjunção (p → q) ∧ ( q → p ) são logicamente equivalentes. Mostremos, então, que as 
Tabelas Verdade são idênticas. 
p q p → q q → p p ↔ q (p → q) ∧ (q → p) 
V V V V V V 
V F F V F F 
F V V F F F 
F F V V V V 
 
Na tabela, mostramos que a bicondicional e a conjunção são logicamente equivalentes. Assim, chegamos ao término 
de mais uma etapa no nosso processo de aquisição de conhecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 6: Tautologias e Equivalência Lógica 
Apresentação 
Nesta aula, determinaremos as proposições recíprocas, contrárias e contrapositivas de determinada proposição, além 
de determinar a negação conjunta e disjunta de duas proposições. 
Objetivos 
• Determinar as proposições recíprocas, contrárias e contrapositivas de determinada proposição. 
• Determinar a negação conjunta e disjunta de duas proposições 
Introdução 
Iniciaremos, neste momento, uma breve abordagem dos conceitos de Tautologia e Equivalência Lógica. Para isso, 
enunciaremos um teorema e deixaremos a demonstração para que você pense um pouco. 
P (p, q,r, . . .) ↔ Q (p, q, r…) 
se e somente se a bicondicional: 
P (p, q,r, . . .) ↔ Q (p, q, r…) 
é tautológica. 
Exemplo: 
Vamos mostrar que a bicondicional (p ∧ ~q) → c) ↔ (p → q) em que c é uma proposição lógica cujo valor lógico é F, 
é tautológica. Portanto, se a bicondicional é tautológica, teremos uma equivalência lógica. 
Lembre-se: para provar que uma proposição é tautológica, devemos mostrar que sua última coluna só possui o valor 
V. 
p q ~q c p∧~q (p∧~q)→ c p→q (p∧~q)→ c)↔(p→q) 
V V F F F V V V 
V F V F V F F V 
F V F F F V V V 
F F V F F V V V 
 
Portanto, as proposições “p ∧ ~q → c” e “p → q” são equivalentes, simbolicamente Temos: 
p ∧ ~q → c ↔ p → q 
Iniciaremos uma breve abordagem das proposições associadas a uma condicional. Dada a condicional p → 
q , chamam-se proposições associadas a p → q as três proposições condicionais seguintes que contêm p e q: 
1. Proposição recíproca de p → q : q → p 
2. Proposição contrária de p → q: ~p → ~q 
3. Proposição contrapositiva de p → q: ~q → ~p 
 
Você já deve ter concluído, então, que a condicional p → q e a sua contrapositiva ~q → ~p são equivalentes. 
No exemplo abaixo, temos a contrapositiva da condicional. Observe: 
 
Acreditamos que já está na hora de organizar as idéias. Olhando a tabela, podemos notar duas equivalências. 
Uma delas é p → q ↔ ~q → ~p e a outra é q → p ↔ ~p → ~q 
Você deve estar ansioso para verificar se está entendendo esta aula, certo? Então, a melhor maneira é propor um 
exercício para que você possa se autoavaliar. Vamos lá? Confiamos em você! 
Atividade 
Determine: 
a) A contrapositiva de q → ~p 
b) A contrapositiva de ~q → p 
c) A contrapositiva da contrária de p → q 
Gabarito 
a) ~ ~ p → ~q ; portanto, no final teremos: p → ~q 
b) ~p → ~~q; portanto, no final teremos: ~p → q 
c) ~p → ~q portanto, a contrapositiva será: ~~q → p E no final você encontrou q → p 
2 - Devemos, sempre, buscar algo mais e, portanto, proporemos uma nova série de exercícios. 
Determine: 
a) A recíproca da contrapositiva de ~p → ~q 
b) A contrapositiva de ~p → q 
c) A contrapositiva da recíproca de p → ~q 
d) A contrapositiva de p → ~q 
Gabarito 
Vejamos a solução de cada uma delas. 
a) Começamos com a contrapositiva de ~p → ~q , que é , ~~q → ~~p e portanto q → p. Como o exercício pede a 
recíproca , então teremos: p → q. 
b) A contrapositiva de ~p → q é ~q → ~~p e daí teremos : ~q → p 
c) Comecemos pela recíproca de p → ~q que é ~q → p.Agora determinemos a contrapositiva, que é ~p → ~~q ou seja 
~p → q. 
d) A contrapositiva de p → ~q é ~~q → ~p ou seja q → ~p. 
Negação conjunta de duas proposições 
Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente pela notação “p ↓ q” 
, que se lê : “nem p e nem q”, e cujo valor lógico é definido pela seguinte tabela-verdade. 
p q p↓q 
V V F 
V F F 
F V F 
F F V 
Observe que a negação conjunta só é verdadeira quando as duas proposições são falsas. 
Negação disjunta de duas proposições 
Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não p ou não q”, isto é, simbolicamente ~p ∨ ~q. 
A negação disjunta de duas proposições p e q também se indica pela notação p ↑ q. Portanto, temos: 
 p ↑ q ↔ ~p ∨ ~q ⇒ Esta proposição é falsa somente no caso em que p e q são ambas verdadeiras , então , a tabela-
verdade de “p ↑ q” é a seguinte: 
p q p ↑ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F V 
 
Os símbolos ↓ e ↑ são chamados “conectivos de SCHFFER”. 
Aula 7: Noções de Álgebra Booleana 
Apresentação 
A álgebra booleana utiliza váriáveis e constantes formando um conjunto discreto e finito. Os valores das variáveis e 
constantes podem asumir somente dois valores: sim/não, verdade/falso, 1/0.Identificar o Conjunto numérico binário. 
Nesta aula associaremos os valoreslógicos estudados, verdadeiro e falso, ao zero e um e construiremos Tabela 
verdade usando o conjunto binário 0 e 1. 
Objetivos 
• dentificar o conjunto numérico binário. 2. Associar os valores lógicos estudados, verdadeiro e falso, ao 0 
(zero) e 1 (um). 3. Construir Tabela Verdade usando o conjunto binário 0 e 1. 
Introdução 
A álgebra booleana utiliza variáveis e constantes formando um conjunto discreto e finito. Os valores das variáveis e 
constantes podem assumir somente dois valores: Sim/não, verdade/falso ou 1/0. 
 
George Boole 
Foi um matemático inglês que propôs os princípios básicos dos circuitos digitais de computadores. Estes foram 
projetados e construídos baseados na álgebra que leva o seu nome: Álgebra Booleana. 
A álgebra booleana utiliza variáveis e constantes formando um conjunto discreto e finito. Os valores das variáveis 
e constantes podem assumir somente dois valores: verdadeiro-falso. 
Em 1938, Claude Shannon sugeriu que a Álgebra Booleana poderia ser usada para solucionar problemas relativos ao 
projeto de circuitos de comutação de relés. 
 
Sistema binário 
Sistema binário ou de base 2 é um sistema de numeração em que todas as quantidades são representadas apenas pelos 
símbolos 0 e 1, que serão associados ao verdadeiro e falso estudados anteriormente. 
Álgebra de Boole 
Álgebra de Boole é um sistema algébrico que consiste do conjunto {0,1}; duas operações binárias chamadas OR (ou 
conectivo) (operador: +) e AND (E conectivo) (.) e uma operação unitária NOT ( ~ negação). 
Operadores da Álgebra Boleana 
Os três principais operadores da álgebra booleana são os operadores NOT, AND e OR. 
O resultado do operador unitário NOT sobre uma variável é a inversão ou negação do valor da variável. 
A ~A 
0 1 
1 0 
 
O operador AND aplicado em A e B é representado pelo símbolo A·B. 
O resultado da aplicação desse operador sobre variáveis booleanas é igual a 1 somente se todas as variáveis forem 
iguais a 1. Caso contrário, o resultado é 0. O operador AND é conhecido como produto lógico. 
 
O operador OR aplicado em A e B é representado pelo símbolo A+B. O resultado da aplicação desse operador sobre 
variáveis booleanas é igual a 1 se pelo menos uma das variáveis for igual a 1. Caso contrário, o resultado é 0. O 
operador OR é conhecido como soma lógica. 
 
Na lógica Booleana, o 0 (zero) representa falso, enquanto o 1 (um) representa verdadeiro. Assim, podemos construir 
tabelas verdades utilizando os dígitos 0 e 1. 
 
 
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula7.html#collapse01-01
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula7.html#collapse01-02
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula7.html#collapse01-03
Veja o exemplo: 
p q p ∧ q ~(p ∧ q) 
1 1 1 0 
1 0 0 1 
0 1 0 1 
0 0 0 1 
Noções iniciais de Portas Lógicas 
Para se trabalhar com os valores 0 e 1, V e F e torná-los algo que possa ser aplicado, precisamos utilizar as chamadas 
Portas Lógicas. 
Imagine que uma porta lógica é uma máquina que possui entradas e saídas. Os bits entram, são processados de acordo 
com a função da máquina em questão e saem em forma de resultado. 
 
A porta lógica NOT está associada ao operador NOT. Ela é como inversor, porque inverte o bit de entrada ou, ainda, 
se o bit de entrada for um, o bit de saída será zero e vice-versa. 
 
A porta lógica AND está associada ao operador AND. Ela possui dois bits de entrada e um de saída. Para que o bit de 
saída seja verdadeiro (valor 1), ambos os bits de entrada devem ser verdadeiros. 
 
A porta lógica OR está associada ao operador OR e pretende indicar escolha. A porta OR possui dois bits de entrada e 
um de saída. Para que o bit de saída tenha o valor um (verdadeiro), pelo menos um dos bits de entrada precisa ser 
verdadeiro. 
 
Aula 8: Argumentos 
Apresentação 
A álgebra booleana utiliza váriáveis e constantes formando um conjunto discreto e finito. Os valores das variáveis e 
constantes podem asumir somente dois valores: sim/não, verdade/falso, 1/0.Identificar o Conjunto numérico binário. 
Nesta aula associaremos os valores lógicos estudados, verdadeiro e falso, ao zero e um e construiremos Tabela verdade 
usando o conjunto binário 0 e 1. 
Objetivos 
• Verificar a validade de um Argumento. 
Introdução 
Um argumento é uma asserção em que dado conjunto de proposições p1, p2, p3.....pn denominadas premissas , produz 
(tem como conseqüência) outra proposição Q , denominada conclusão. Tal argumento é indicado por p1, p2, p3.....pn → Q 
Um argumento p1, p2, p3.....pn → Q é verdadeiro se Q é verdadeiro sempre que todas as premissas p1, p2, p3.....pn são 
verdadeiras ; caso contrário , o argumento é falso. 
Um argumento é uma afirmação, isto é, tem um valor veritativo. 
 
Se um argumento é falso, ele é denominado um sofisma. 
 
 
Se um argumento é verdadeiro, ele é denominado válido. 
Critério de validade de um argumento 
O argumento p1, p2, p3.....pn é válido se e somente se a proposição xxx é uma tautologia 
Chegou a hora de organizarmos os nossos pensamentos. Observe o exemplo. Mostraremos que é válido o seguinte 
argumento: 
p, p→ q ↦ q 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
As premissas do argumento figuram nas colunas 1 e 3, e ambas são verdadeiras (V) no caso (linha) 1. 
A conclusão do argumento aparece na coluna 2 e, também, é verdadeira no caso (linha) 1. Logo, o argumento dado é 
válido. 
Mostraremos que o seguinte argumento é um sofisma. 
p → q, q ↦ p 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Um princípio fundamental do raciocínio lógico afirma que: 
“Se p implica q e q implica r, então, p implica r”, isto é, o argumento seguinte é válido: 
p → q, q → r ↦ p → r ► Lei do silogismo 
p q r p → q q → r p → r [(p → q) ∧ (q → r)]→(p → r) 
V V V V V V V 
V V F V F F V 
V F V F V V V 
V F F F V F V 
F V V V V V V 
F V F V F V V 
F F V V V V V 
F F F V V V V 
 
Temos uma tautologia. Portanto, o argumento é válido. 
Mostraremos que o seguinte argumento é um sofisma. 
p → q, ~p ↦ ~q 
p q ~p ~q p → q (p → q) ∧ ~p [(p → q) ∧ ~p] → ~q 
V V F F V F V 
V F F V F F V 
F V V F V V F 
F F V V V V V 
 
a proposição [(p → q) ∧ ~p] → ~q não é uma tautologia, como vemos na tabela abaixo. 
Observe que, para construir a última coluna da tabela, olhamos da penúltima coluna para a anterior a ela e, aí, 
obtemos a última como mencionamos anteriormente. 
Atividade 
Que tal mais um exercício? Boa ideia, não? 
Determinaremos a validade do seguinte argumento. 
• 6 não é par, então 5 não é primo. 
• Mas 6 é par. 
• Conclusão : 5 é primo. 
 
Gabarito 
 
~p → ~q, ~p ↦ q 
Então , teremos a seguinte tabela-verdade: 
p q ~p ~q ~p → ~q 
V V F F V 
V F F V V 
F V V F F 
F F V V V 
Como as premissas ~p → ~q e p são ambas verdadeiras (V) no caso (linha) 2, cuja conclusão q é falsa (F), segue-se que 
o argumento dado não é válido. 
Podemos chegar à mesma conclusão construindo a Tabela Verdade da proposição. 
[(~p → ~q) ∧ p] → q 
 
Constatamos que ela não é uma tautologia. 
 
 
Aula 9: Sentenças 
Apresentação 
Nesta aula, identificaremos conjuntos universo e solução de sentenças abertas e determinaremos que valor ou valores 
da variável tornam a sentença aberta uma proposição verdadeira. 
Objetivos 
• Identificar conjuntos universo e solução de sentenças abertas. 
• Determinar que valor ou valores da variável tornam a sentença aberta uma proposição verdadeira. 
Introdução 
Como você foi nos dois exercícios? Imagino que tenha acertado novamente. O mérito é seu. Estudou e se esforçou, 
então o êxito é garantido. Nesta aula, abordaremos sentenças. 
p1,p2,p3,.....pn 
p1,p2,p3,.....pn ↦ Q 
Então, vamos lá! 
SENTENÇAS 
Considere a forma abaixo: 
 
 
A exemplo da anterior não podemos considerar como proposição, pois não sabemos quem é campeão. Portanto, não 
podemos lhe atribuir um valor lógico, lembra? (V ou F). 
Uma sentença aberta se torna uma proposição quando inserimos um nomena lacuna 
Exemplo 
Marina é bonita. 
Senna é campeão. 
Para isso, é necessário considerar um universo U que é o conjunto onde os elementos serão escolhidos para 
transformar a sentença aberta em proposição. 
Numa sentença aberta, a vaga pode ser substituída por uma letra representativa de um elemento qualquer do universo, 
que denominamos variável. 
Y é bonita. 
Observe que não podemos classificar a sentença em verdadeira ou falsa. Sabe por quê? Porque depende do valor 
escolhido para a variável Y no universo estipulado U. Quando esse valor de Y é escolhido, podemos classificar a 
sentença em falsa ou verdadeira. Veja um 
Exemplo 
U: Conjunto dos escritores. E a sentença aberta: X é escritor. 
Temos: 
• A proposição “Érico Veríssimo é escritor.” é verdadeira. 
• A proposição “O jogador de futebol Ronaldo é escritor.” é falsa. 
As proposições abertas correspondem a sentenças interrogativas ou imperativas. 
Exemplo 
“X é a capital do Brasil.” é equivalente a: 
• Qual é a cidade que é a capital do Brasil? INTERROGATIVA 
• Cite o nome da capital do Brasil. IMPERATIVA 
Podemos, ainda, considerar uma proposição aberta como uma pergunta. 
Exemplo 
“Qual o valor ou os valores da variável que tornam a sentença aberta uma proposição verdadeira? 
Indicamos por p ( x ) uma sentença aberta na variável x. 
Sendo U o universo, temos que: 
• Se a ∈U, então V(p(a)) = V ou V(p(a)) = F 
• Se a ∈U, e V(p(a)) = V, então você pode dizer que a satisfaz ou verifica p(x). 
Considere as sentenças abertas em Z.: 
X + 3 =9 
Observe que basta resolver a equação: 
x + 3 = 9 
x = 9 - 3 
 x = 6 
Logo, 6 é o valor da variável que torna a sentença verdadeira. 
X -2< 3 
Basta resolvermos a inequação x - 2 < 3 
x - 2 < 3 
x < 3 + 2 
x < 5 
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula9.html#collapse01-01
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula9.html#collapse01-02
Observe que qualquer valor inteiro menor que 5 torna a sentença aberta em uma proposição verdadeira. 
3x- 4 = 11 
Basta resolver a equação do primeiro grau 3x - 4 = 11. 
3x - 4 = 11 → 3x = 11 + 4 → 3x = 15 → x = 15 → x = 5, 
Portanto, o valor 5 torna a sentença aberta em uma proposição verdadeira 
X é divisor do número 4 
Devemos observar que os números que dividem o número 4 são: 1, -1, 2, -2, 4 e -4. 
Qualquer um desses 6 valores tornam a sentença aberta em proposição verdadeira 
Critério de validade de um argumento 
O argumento p1, p2, p3.....pn é válido se e somente se a proposição p1∧p2∧p3.....∧pn ↦ Q é uma tautologia 
Chegou a hora de organizarmos os nossos pensamentos. Observe o exemplo. Mostraremos que é válido o seguinte 
argumento: 
p, p→ q ↦ q 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
As premissas do argumento figuram nas colunas 1 e 3, e ambas são verdadeiras (V) no caso (linha) 1. 
A conclusão do argumento aparece na coluna 2 e, também, é verdadeira no caso (linha) 1. Logo, o argumento dado é 
válido. 
Mostraremos que o seguinte argumento é um sofisma. 
p → q, q ↦ p 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Um princípio fundamental do raciocínio lógico afirma que: 
“Se p implica q e q implica r, então, p implica r”, isto é, o argumento seguinte é válido: 
p → q, q → r ↦ p → r ► Lei do silogismo 
p q r p → q q → r p → r [(p → q) ∧ (q → r)]→(p → r) 
V V V V V V V 
V V F V F F V 
V F V F V V V 
V F F F V F V 
F V V V V V V 
F V F V F V V 
F F V V V V V 
F F F V V V V 
 
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula9.html#collapse01-03
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/lomtvc/aula9.html#collapse01-04
Temos uma tautologia. Portanto, o argumento é válido. 
Mostraremos que o seguinte argumento é um sofisma. 
p → q,~p ↦ ~q 
p q ~p ~q p → q (p → q) ∧ ~p [(p → q) ∧ ~p] → ~q 
V V F F V F V 
V F F V F F V 
F V V F V V F 
F F V V V V V 
 
a proposição [(p → q) ∧ ~p] → ~q não é uma tautologia, como vemos na tabela abaixo. 
Observe que, para construir a última coluna da tabela, olhamos da penúltima coluna para a anterior a ela e, aí, 
obtemos a última como mencionamos anteriormente. 
Atividade 
Que tal mais um exercício? Boa ideia, não? 
Determinaremos a validade do seguinte argumento. 
6 não é par, então 5 não é primo. 
Mas 6 é par. 
Conclusão : 5 é primo. 
 
Gabarito 
 
~p → ~q, ~p ↦ q 
Então, teremos a seguinte tabela-verdade: 
p q ~p ~q ~p → ~q 
V V F F V 
V F F V V 
F V V F F 
F F V V V 
 
Como as premissas ~p → ~q e p são ambas verdadeiras (V) no caso (linha) 2, cuja conclusão q é falsa (F), segue-se 
que o argumento dado não é válido. 
Podemos chegar à mesma conclusão construindo a Tabela Verdade da proposição. 
[(~p → ~q) ∧ p] → q 
 
Constatamos que ela não é uma tautologia. 
Aula 10: Quantificadores 
Apresentação 
Eventualmente, precisamos quantificar sentenças abertas. Dessa forma, nesta aula, faremos um breve estudo sobre os 
quantificadores e aprenderemos a negar uma proposição com os mesmos. 
Objetivos 
• Identificar e aplicar os quantificadores a sentenças abertas. 
• Negar proposição com quantificadores. 
• Determinar contraexemplos. 
Introdução 
QUANTIFICADOR UNIVERSAL 
O símbolo pode ser lido como: 
• Para todo x. 
• Qualquer que seja x. 
Exemplo 
. A sentença nos indica que para todo número natural a sua soma com 1 é sempre 
um número natural. Outra leitura é: Todo número natural admite sucessor,ou seja, existe um número natural 
consecutivo dele. 
 
Exemplo 
se o último algarismo de x for 0 ou 5 , então x é divisível por 5. 
A sentença define que todo número inteiro que termina pelo algarismo 0 ou 5 é sempre divisível por 5 , fato já 
bastante conhecido nosso. 
Exemplo 
a proposição nos indica que para qualquer valor real do número x a 
expressão expressão é sempre positiva. Podemos olhar para essa expressão como sendo uma função 
quadrática, e pode ser interpretada como: não importa o valor real de x que você atribua 
a função sempre assumirá um valor positivo, ou seja, nunca f(x) será negativo ou zero. 
QUANTIFICADOR EXISTENCIAL 
O símbolo pode ser lido como: 
1. Existe x tal que. 
2. Para algum elemento x. 
Exemplo 
 
A proposição acima nos indica que a equação x+5 = 3 no conjunto dos números inteiros admite solução. Quer dizer, 
existe um inteiro que, adicionado ao número 5, dá como resultado 3. Lógico que o número inteiro em questão é o -2. 
 
A proposição acima nos indica que existe um par de números inteiros ordenados de tal modo que a soma deles dois é 
igual a 3 e que o primeiro elemento é o dobro do segundo. Facilmente podemos constatar que esse par é (2,1). Se por 
acaso você encontrar dificuldade de identificar esse par é suficiente imaginar um sistema de duas equações: x + y = 3 e 
x = 2y. Fácil, não? 
NEGAÇÃO DE PREPOSIÇÕES CONTENDO QUANTIFICADORES 
Claro que os quantificadores podem ser precedidos do símbolo de negação. Por exemplo, no universo H dos seres 
humanos, as expressões: 
 
 
 
Valem, sempre, as equivalências a seguir: 
 
Exemplo 
A negação da proposição: “Todo morador do condomínio é boa pessoa” é a proposição. 
Qual a negativa dessa proposição? 
“Existe pelo menos um morador no condomínio que não é boa pessoa.” 
Exemplo 
A negação da proposição: “Existe pelo menos um aluno da turma que está reprovado.” 
Qual a negativa dessa proposição? 
“Nenhum aluno da turma está reprovado.” 
Vamos dar uma olhada no que vem a ser um contraexemplo. 
Em lógica, sempre que desejamos mostrar que algo nem sempre é verdade, basta apresentar um exemplo em que o 
fato não acontece. 
Vamos apresentar alguns exemplos: 
Exemplo 
1) Todo número natural primo é ímpar. 
Contraexemplo: 
O número natural 2 é par e é um número primo. 
2) 
Contraexemplo: O zero é um número real e o módulo dele é 0 e, portanto, não é positivo. 
Portanto, para mostrarmos que uma proposição da forma 
p(x) é falsa, basta mostrar que a sua negação é verdadeira. 
 
Vamos clarear nossas idéias! 
Sendo R o conjunto dos númerosreais, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: 
Solução: Falsa, pois |−5| = 5 ≠ −5 
Solução : Verdadeira . Temos três valores reais que satisfazem essa equação 
são eles : x=0 ,x=-1 e x = 1. Para obtermos esses resultados é suficiente resolvermos a equação x3-x=0 , que é 
equivalente a equação x ( x – 1)= 0. 
Solução: A proposição nos diz que existe um número real cujo módulo é zero. 
Isto é verdadeiro, o próprio zero. 
Solução: Verdadeira. Para constatarmos isso basta resolver a inequação x 
+1> x, que nos fornece 1 >0, que é sempre verdadeiro 
Solução : Basta resolver a equação e teremos : 2 = 0, portanto falsa 
Solução : Falsa. Basta exibir um contra-exemplo. Por exemplo: 2² ≠ 2