Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear - Vetores LI e LD

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RESULTADOS: 
i. Um conjunto A de vetores de um espaço vetorial V será LI se quando 
escrevemos o vetor nulo de V como combinação linear dos vetores de A a 
única solução é a trivial, ou seja, todos os escalares iguais a zero, caso 
contrário o conjunto A será LD. 
ii. Dimensão de Espaços Vetoriais: 
( )dim dim dimP 1n nR n M m n m n n=  =  = + 
iii. Se um Espaço Vetorial V tem dimensão n. Então qualquer subconjunto A de 
V com mais de n vetores é LD. 
 
1) Classificar os seguintes subconjuntos de 2R em LI ou LD. 
 
a) ( ) 1,3 
SOLUÇÃO: 
( ) 1,3A = 
( ) ( )1,3 0,0 0a a=  = , portanto A é LI. 
b) ( ) ( ) 1,3 , 2,6 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) 1,3 , 2,6A = 
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
1,3 2,6 0,0
2 1
2 1,3 1 2,6 2 2, 6 6 0,0
a b
a b
+ =
= −  =
− + = − + − + =
 
Portanto o conjunto A é LD. 
c) ( ) ( ) 2, 1 , 3,5− 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2, 1 , 3,5
2, 1 3,5 0,0
2 3 , 5 0,0
2 3 0
5 0 2
A
a b
a b a b
a b
a b
= −
− + =
+ − + =
+ =

− + =
 
2 
 
( )
2 3 0( )
2 10 0( )
( ) ( ) 2 2 3 10 0 13 0 0
( ) 2 3 0 0 2 0 0
0 0
a b I
a b II
I II a a b b b b
I a a a
a b
+ =

− + =
+  − + + =  =  =
 + =  =  =
=  =
 
Portanto o conjunto A é LI. 
 
d) ( ) ( ) ( ) 1,0 , 1,1 , 3,5− 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( ) 1,0 , 1,1 , 3,5A = − 
A 2dim 2R = e A tem mais de 2 vetores, portanto, o conjunto A é LD. 
 
2) Classificar os seguintes subconjuntos de 3R em LI ou LD. 
a) ( ) 2, 1,3− 
SOLUÇÃO: 
( ) 
( ) ( )
( ) ( )
2, 1,3
2, 1,3 0,0,0
2 , ,3 0,0,0 0
A
a
a a a a
= −
− =
− =  =
 
Portanto o conjunto A é LI. 
b) ( ) ( ) 1, 1,1 , 1,1,1− − 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1, 1,1 , 1,1,1
1, 1,1 1,1,1 0,0,0
, , , , 0,0,0 , , 0,0,0
0 0
0
0 0 0
0
A
a b
a a a b b b a b a b a b
a b a b b
a b
a b a a a
a b
= − −
− + − =
− + − =  − − + + =
− =  =  =

− + =
 + =  + =  =
= =
 
Portanto o conjunto A é LI. 
c) ( ) ( ) ( ) 2, 1,0 , 1,3,0 , 3,5,0− − 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2, 1,0 , 1,3,0 , 3,5,0
2, 1,0 1,3,0 3,5,0 0,0,0
2 3 , 3 5 ,0 0,0,0
2 3 0( )
3 5 0( )
2( ) ( ) 2 3 5 2 3 0
2 6 10 2 3 0
5 13 0
A
a b c
a b c a b c
a b c I
a b c II
II I a b c a b c
a b c a b c
b c
= − −
− + − + =
− + − + + =
− + =

− + + =
+  − + + + − + =
− + + + − + =
+ =
 
3 
 
( )
( )
13 5 5 13 13.5 65 65 0
28
( ) 2 13 3.5 0 2 13 15 0 2 28 14
2
14 13 5
b c
I a a a a
a b c
= −  =  − + = − + =
 − − + =  + + =  = −  = − = −
= −  = −  =
 
Portanto o conjunto A é LD. 
d) ( ) ( ) ( ) 2,1,3 , 0,0,0 , 1,5,2 
SOLUÇÃO: 
Como o conjunto ( ) ( ) ( ) 2,1,3 , 0,0,0 , 1,5,2 contém o vetor nulo ele é LD. 
e) ( ) ( ) ( ) 1,2, 1 , 2,4, 2 , 1,5,2− − 
Como o vetor ( )2,4, 2− é combinação linear dos outros dois vetores, isto é,
( ) ( ) ( )2,4, 2 2 1,2, 1 0 1,5,2− = − + estes vetores são LD. 
f) ( ) ( ) ( ) 1, 1, 2 , 2,1,1 , 1,0,3− − − 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1, 1, 2 , 2,1,1 , 1,0,3
1, 1, 2 2,1,1 1,0,3 0,0,0
2 , , 2 3 0,0,0
2 0( )
0 ( )
2 3 0( )
( ) 2 0 3 0( )
( ) 2 3 0 3 0( )
3( ) ( ) 3 3 3 0 9
A
a b c
a b c a b a b c
a b c I
a b a b II
a b c III
I a a c a c IV
III a a c a c V
IV V a c a c
= − − −
− − + + − =
+ − − + − + + =
+ − =

− + =  =
− + + =
 + − =  − =

 − + + =  − + =
+  − + − + =  3 3 0 8 0 0
( ) 3.0 0 0
( ) 0
0
a c a c a a
IV c c
II b
a b c
− − + =  =  =
 − =  =
 =
= = =
 
Portanto estes vetores são LI. 
g) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,2, 1 , 1,0,0 , 0,1,2 , 3, 1,2− − 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( ) ( ) 1,2, 1 , 1,0,0 , 0,1,2 , 3, 1,2A = − − 
A 3dim 3R = e A tem mais de 3 vetores, portanto, o conjunto A é LD. 
 
3) Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes a 2P são LD? 
a) 2 2 22 , 4 4 , 2x x x x x x+ − − − + + 
SOLUÇÃO: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2
2 , 4 4 , 2
2 4 4 2 0
2 4 4 2 0
2 4 0( )
0( )
4 2 0( )
A x x x x x x
a x x b x x c x x
a b a b c x a b c x
a b I
a b c II
a b c III
= + − − − + +
+ − + − − + + + =
− + − + + − + + =
− =

− + =
− + + =
 
4 
 
( ) 2 4 2
( ) 2 0 0
( ) 2 4 2 0 2 2 0
1 2 1
I a b a b
II b b c b c c b
III b b c b c c b
b a c
 =  =
 − + =  + =  = −

 − + + =  + =  = −
=  =  = −
 
Portanto estes vetores são LD. 
b) 2 2 21 2 , ,x x x x x− + − 
SOLUÇÃO: 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1 2 , ,
1 2 0
1 2 0
2 0
0
0 0
2 0 0
0
A x x x x x
a x x b x x cx
a ax ax bx bx cx
a a b x a b c x
a
a b b
a b c c
a b c
= − + −
− + + − + =
− + + − + =
+ − + + − + =
=

− + =  =
 − + =  =
= = =
 
Portanto estes vetores são LI. 
c) 2 2 2 21 3 ,2 ,1 2 3 , 2 3x x x x x x x x+ + − − + − − + + 
SOLUÇÃO: 
A 2dim 3P = e este subconjunto tem mais de 3 vetores, portanto, este subconjunto é LD. 
d) 2 21, 2x x x x− + + 
SOLUÇÃO: 
 2 21, 2A x x x x= − + + 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
1 2 0
2 0
2 0
0
2 0 0
0
0
a x x b x x
ax ax a bx bx
a b x a b x a
a
a b b
a b
a b
− + + + =
− + + + =
+ + − + + =
=

− + =  =
 + =
= =
 
Portanto estes vetores são LI. 
4) Quais dos seguintes conjuntos de 4R são LD? 
a) ( )( )( ) 2,1,0,0 1,0,2,1 1,2,0, 1A = − − 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( ) 2,1,0,0 , 1,0,2,1 , 1,2,0, 1A = − − 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2,1,0,0 1,0,2,1 1,2,0, 1 0,0,0,0
2 , 2 ,2 , 0,0,0,0
a b c
a b c a c b b c
+ + − − =
+ − + − =
 
2 0( )
2 0 ( )
2 0( )
0( )
a b c I
a c a b II
b III
b c IV
+ − =

+ =  =

=
 − =
 
5 
 
( ) 0
( ) 0 0 0
( ) 2 0 0 0
0
III b
IV c c
II a a
a b c
 =
 − =  =
 +  =  =
= = =
 
Logo, o conjunto A é LI. 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1,0, 1 , 1,1,1,1 , 1,2,0,1 , 1,2,1,0A = − − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0,1,0, 1 1,1,1,1 1,2,0,1 1, 2,1,0 0,0,0,0
, 2 2 , , 0,0,0,0
0( )
2 2 0 ( )
0( )
0( )
( ) ( ) 0 0 0
( ) 0 0
( ) 0 0
0
a b c d
b c d a b c d b d a b c
b c d I
a b c d a b II
b d III
a b c IV
III I c c
IV a b a b
I b d b d
a b d c
− + + − + =
− + + + + + − + + =
− + =

+ + + =  =

+ =
− + + =
  − =  =
 − + + =  =
 − + =  = −
= = −  =
 
1 0 1a b c d= =  =  =− 
Logo, o conjunto A é LD.