Fernandez C S Bernades Jr N C - Introdução às funções de uma variável complexa (2008)

Prévia do material em texto

0 presente livro e uma introdu9ao 
a Analise Complexa e se destina 
a um curso de um semestre sobre 
fun96es de uma vari.ivel complexa. 
0 texto foi escrito de modo a poder ser 
utilizado tanto por alunos de Matem.itica 
quanto de Engenharia ou Fl'.sica, j.i que 
concilia uma exposicao rigorosa da teoria 
com v.irios exemplos e exercfcios de 
car.iter computacional. 
Os pre-requisitos para a leitura do livro 
sao as disciplinas C.ilculo I e II, uma vez 
que o leitor deve ter familiaridade com os 
conceitos de limite, continuidade, derivada 
e integral, com a no9ao de derivada parcial 
e com a no9ao de series numericas. 
Uma parte importante do livro sao seus 
mais de 200 exercfcios, que estao divididos 
em duas categorias: exercfcios resolvidos 
e propostos. Cabe observar que este e o 
primeiro texto sobre o assunto escrito em 
portugues que apresenta um mimero 
significativo de exercfcios resolvidos, 
cujas solu96es sao dadas de forma 
completa e sao apresentadas em um 
apendice no final do livro. 
TEXTOS UNIVERSITARIOS 
Cecilia S. Fernandez 
Nilson C. Bernardes Jr. 
lntroduftlO C/,d 
FunfOer:J de 
uma VaridreL 
Comp Lexa 
•II 
. �11SBM 
Introdu�ao as fun�oes de uma variavel complexa 
Copyright© 2008, Cecilia S. Fernandez e Nilson C. Bernardes Jr. 
Direitos reservados pela Sociedade Brasileira de Matematica. 
Cole�ao Textos Universitarios 
Comite Editorial 
Abdenago Alves de Barros 
Abramo Hefez 
Djairo Guedes de Figueiredo 
Roberto lmbuzeiro Oliveira (Editor-Chefe) 
Jose Alberto Cuminato 
Silvia Regina Costa Lopes 
Cap a 
Ana Luisa Passos Videira 
Sociedade Brasileira de Matematica 
Presidente: Hilario Alencar 
Vice-Presidente: Marcelo Miranda Viana da Silva 
Primeiro Secretario: Maria Aparecida Soares Ruas 
Segundo Secretario: Ronaldo Alves Garcia 
Tesoureira: Nancy Garcia 
Distribui�ao e vendas: 
Sociedade Brasileira de Matematica 
Estrada Dona Castorina, 110 - Jardim Botanico 
22460-320, Rio de Janeiro - RJ 
Telefones: (21) 2529-5073 / 2529-5095 
http://www.sbm.org.br 
ISBN: 978-85-85818-33-3 
FICHA CATALOGRAFICA PREPARADA PELA SEQ.AO DE TRATAMENTO DA 
INFORMAQAO DA BIBLIOTECA PROFESSOR ACHILLE BASSI - ICMC/USP 
F363i 
Fernandes, Cecilia S. 
Introdu�ao as f un�oes de uma variavel complexa I 
Cecilia S. Fernandez, Nilson C. Bernardes Jr. - 2. ed. 
Rio de Janeiro: SBM, 2008. 
224 p. (Cole�ao Textos Universitarios; 7) 
ISBN 978-85-85818-33-3 
1. Nfuneros complexos. 2. Fun�oes complexas. 3. No�oes 
basicas da Topologia no plano complexo. I. Bernardes 
Jr, Nilson C. II. Titulo. 
A nossa filha, 
Ana Cecilia. 
Prefacio 
Este livro esta baseado em notas escritas para a disciplina Funroes Complexas do Insti­
tuto de Matematica da Universidade Federal Fluminense (IM-UFF). Uma versao preliminar 
do livro foi aplicada em turmas de gradua9ao em matematica da UFF durante os anos de 
2002 e 2003. Este processo foi importante, pois permitiu testar sua receptividade entre os 
alunos e os colegas, e fazer diversas corre96es. 
Os pre-requisitos para a leitura deste livro sao as disciplinas Calculo I e II. 0 Ieitor deve 
ter familiaridade com os conceitos de limite, continuidade, derivada e integral, com a no9ao 
de derivada parcial e com a no9ao de series numericas. 
Pela sele9ao dos t6picos apresentados, nosso texto se destina a alunos de gradua9ao. 
0 texto foi escrito para ser usado tanto por alunos de matematica quanto por alunos de 
ffsica e de engenharia. Dessa forma, ele concilia uma exposi9ao rigorosa da teoria com 
varios exemplos e exercf cios de carater computacional. Compete ao professor selecionar o 
material de acordo com a sua turma. Em um curso mais te6rico, o professor pode apresentar 
as demonstra96es de modo completo e dar maior enfase aos exercfcios te6ricos. Ja em um 
curso mais pratico, o professor pode optar por esbor;ar ou ate omitir as demonstrar;oes mais 
tecnicas e sutis e dar maior enfase aos exemplos e exercfcios de carater computacional. 
Uma parte importante do nosso Iivro sao seus mais de 200 exercfcios, que estao divi­
didos em duas categorias: exercfcios resolvidos e exercfcios propostos. Cabe observar que 
e o primeiro texto sobre o assunto escrito em portugues que apresenta um numero signifi­
cativo de exercfcios resolvidos. As solu96es dos exercfcios resolvidos sao dadas de forma 
completa e sao apresentadas em um apendice no final do Iivro. Obviamente, gostarfamos 
que a busca dessas solu96es fosse feita somente ap6s um dedicado esfor90 na solu9ao de 
cada problema. 
As nota96es usadas neste livro sao usuais e nao devem gerar dificuldades para o leitor. 
Mencionamos apenas que A\B denota a diferen9a do conjunto A pelo conjunto B, ou seja, 
A\B = {x : x E A ex rt B}, que N denota o conjunto de todos os numeros naturais 
(incluindo o 0) e que N* = N\ { 0}. 
Terminamos agradecendo aos nossos colegas Dinamerico Pereira Pombo Junior e Ni­
valdo Nunes de Medeiros Junior, que leram toda a versao preliminar do livro e contribufram 
com valiosas sugestoes. Tambem somos gratos a diversos alunos da UFF que leram o nosso 
texto e notaram erros. Dentre estes alunos, mencionamos Alexandre Paiva Barreto, Lhaylla 
dos Santos Crissaf e Rodrigo Salomao. 
Os autores. 
Niter6i, junho de 2004. 
Pref acio da 2a edir;iio 
Estamos felizes com a excelente aceita9ao de nosso livro, chegando, dessa forma, a uma 
nova edi9ao que difere muito pouco da anterior. De fato, apenas seis pequenas altera96es 
foram feitas em todo o texto. 
Encorajamos os leitores a nos enviarem crfticas, sugest6es e/ou informa96es sobre even­
tuais erros. Todas elas serao muito bem-vindas ... 
Os autores. 
Setembro de 2008. 
Sumario 
1 Numeros Complexos 
1 Introduc;ao . . . . . . . . . . . . 
2 0 corpo dos m1meros complexos 
3 Conjugado e valor absoluto . 
4 A forma polar ... 
5 Extrac;ao de rafzes . 
6 A exponencial . . . 
7 Logaritmos . . . . 
8 Potencias complexas 
9 Exercfcios resolvidos 
10 Exercfcios propostos 
2 Fun�oes Complexas 
1 Introduc;ao . . . 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
Func;oes de uma variavel complexa . 
As func;oes racionais . . . . . . . . 
A func;ao exponencial e as func;oes trigonometricas 
As func;oes hiperb6licas . . 
Func;oes inversas a direita . 
Exercfcios resolvidos 
Exercfcios propostos . . . 
3 No�oes Basicas da Topologia do Plano Complexo 
1 Introduc;ao . . . . . . . . . . . . . . . . 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Conjuntos abertos e conjuntos fechados 
Seqilencias de m1meros complexos . 
Continuidade de .func;oes complexas 
Limites de func;oes complexas 
Conjuntos compactos 
Conjuntos conexos 
Exercfcios resolvidos 
Exercfcios propostos 
1 
2 
5 
9 
1 1
1 3 
1 5 
1 6 
1 7 
1 9 
22 
22 
22 
24 
26 
29 
30 
3 1 
32 
35 
35 
36 
38 
40 
43 
45 
46 
49 
49 
4 Fun�oes Analiticas 
1 Introdu91io . . . . . . . . . . . . . 
2 Derivac;ao complexa . . . . . . . . 
3 As equa96es de Cauchy-Riemann 
4 Fun96es analfticas . . . . . . . . . 
5 Ramos analfticos de fun96es inversas . 
6 Fun96es conformes 
7 Exercfcios resolvidos 
8 Exercfcios propostos 
5 Integra�ao Complexa e o Teorema de Cauchy 
1 Introduc;ao . . . . . . . . . . . . . . 
2 Integrais ao Jongo de caminhos . . . . . . . 
3 0 teorema de Cauchy - versao local . . . . 
4 A formula integral de Cauchy - versao local 
5 Aplica96es da f6rmula integral de Cauchy 
6 0 teorema de Cauchy - versao global . 
7 Regi6es simplesmente conexas 
8 Fun96es harmonicas . 
9 Exercfcios resolvidos 
10 Exercfcios propostos 
6 Series de Taylor e Series de Laurent 
1 Introduc;ao . . . . . . . . . . . 
2 Series de numeros complexos . 
3 Series de Taylor . . . . . . 
4 Series de Laurent . . . . . 
5 Zeros de fun96es analfticas 
6 Exercfcios resolvidos 
7 Exercfcios propostos . . . 
7 Singularidades Isoladas de Fun�oes Analiticas 
1 Introdu91io . . . . . . . 
2 Singularidades isoladas . 
3 Resfduos . . . . . . . . . 
4 Calculo de integrais reais 
5 Outras aplica96es de resfduos. 
6 Exercfcios resolvidos 
7 Exercfcios propostos . . . . . 
Epilogo. Sugestoes de Leitura 
Apendice. Solu�oes dos Exercicios Resolvidos 
Bibliografia 
Iodice de Nota�oes 
Iodice Remissivo 
52 
52 
53 
56 
60 
63 
66 
78 
79 
83 
83 
84 
97 
. 102 
. 108 
. 113 
. 117 
. 120 
125 
. 128 
134 
. 134 
135 
. 141 
. 149 
. 155 
. 158 
. 159 
164 
. 164 
. 165 
. 170 
. 176 
. 183 
. 188 
. 188 
192 
193 
219 
220 
222 
·1
Numeros Complexos 
1 Introdu�ao 
Os m'.imeros complexos surgiram no seculo 16, motivados pelo interesse em se calcular 
solu96es de equa96es polinomiais. Por um longo tempo, eles nao foram considerados como 
numeros legftimos, mas existentes apenas na imagina9ao humana. E interessante observar 
que ainda hoje chamamos o numero complexo i ·= R de "algarismo imaginario". 0
passo decisivo no sentido de formalizar o conceito de numero complexo foi a representa9ao 
geometrica <lesses numeros como pontos do piano. 0 primeiro matematico a ter uma visao 
clara de tal representa9ao e explora-la em suas investiga96es foi Gauss, conforme fica claro, 
embora de modo implfcito, em sua disserta9iio escrita em 1797. Todavia, Gauss expos ao 
publico suas ideias a esse respeito de modo explfcito apenas em 1831, com o prop6sito 
de introduzir os "inteiros Gaussianos". 0 corpo dos numeros complexos C foi finalmente 
definido de modo rigoroso por Hamilton em 1837.
A famosa formula de Bhaskara (seculo 12) 
x= 
-b± Jb2 -4ac 
2a 
para 0 calculo das solu96es da equa9ao do 2Q. grau 
ax2 + bx + c = 0 (a I= 0), 
que na verdade ja era conhecida pelos babilonios ha quase 2000 anos a.C., nos mostra que 
uma tal equa9ao sempre possui solu96es em C. Um fato notavel sobre os numeros com­
plexos e que toda equa9ao polinomial nao constante com coeficientes reais (ou complexos) 
possui pelo menos uma solu9ao em C. Este fato, conhecido como teorema fundamental da 
algebra, foi provado por Gauss em 1797. Apresentaremos uma demonstra�ao deste teorema 
no Capftulo 5.
2 Numeros Complexos Cap. 1 
Na Se9ao 2 definimos de modo rigoroso os numeros complexos e apresentamos suas 
propriedades aritmeticas basicas. Alem disso, definimos o algarismo imaginario i e ex­
plicamos como a defini9ao formal de numero complexo se relaciona com a representa9ao 
<lesses numeros na forma x + yi (x e y reais), que e a forma como normalmente trabalhamos 
com eles. 
Na Se9ao 3 definimos os conceitos de parte real, parte imaginaria, conjugado e valor 
absoluto de um numero complexo. Tambem estabelecemos diversas propriedades <lesses 
conceitos, incluindo a desigualdade triangular. 
Na Se9ao 4 definimos o conceito de argumento e apresentamos a forma polar de um 
numero complexo. 
Na Se9ao 5 consideramos o problema de extra9ao de rafzes de numeros complexos. 
Mostramos que todo numero complexo nao nulo possui exatamente n rafzes n-esimas dis­
tintas, para cada n E N*, e exibimos uma formula para o calculo dessas rafzes. 
Nas Se96es 6 e 7 introduzimos os conceitos de exponencial e de logaritmo para numeros 
complexos, e estabelecemos algumas de suas propriedades. 
Na Se9ao 8 definimos e estudamos as potencias com expoentes complexos. 
2 0 corpo dos numeros complexos 
Definimos o corpo dos numeros complexos como sendo o conjunto 
C = {(x, y) : x E � e y E �}, 
com as seguintes opera96es de adiriio e multiplicariio: se z = (x, y) e w = (a, b) perten­
cem a C, entao 
z+w=(x+a,y+b) e zw=(xa-yb,xb+ya). (I) 
Os elementos de C sao chamados de numeros complexos. Denotamos o numero complexo 
(0, 0) simplesmente por 0 e o numero complexo (1, 0) simplesmente por 1. Para cada 
z = (x, y) EC, definimos 
-z = (-x,-y) e z-1 = (x2 :y2' x2-:y2) sez "=I 0. 
0 numerO z-l tambem e denotado por � OU 1/ Z. z 
Proposh;ao 1. As seguintes propriedades se verificam para quaisquer z, w, t EC: 
(a) z + (w + t) = (z + w) + t (associatividade da adiriio). 
§2 0 corpo dos numeros complexos 3 
(b) z + w = w + z ( comutatividade da adirao ). 
(c) 0 + z = z (elemento neutro). 
(d) z + (-z) = 0 (elemento oposto). 
( e) z (wt) = ( zw) t ( associatividade da multiplicarao ). 
(f) zw = wz (comutatividade da multiplicarao). 
(g) lz = z (elemento unidade). 
(h) zz-1 = 1 se z -=f. 0 (elemento inverso). 
(i) z(w + t) = zw + zt (distributividade da multiplicarao em relarao a adirao). 
Demonstra�ao. Todas as propriedades acima decorrem diretamente das definic;oes das 
operac;oes de adic;ao e multiplicac;ao em C. Por esta razao, provaremos apenas o item (a) e 
deixaremos os demais como exercfcio (veja EP 1). 
(a): Se z = (x, y), w = (a, b) e t = (c, d) , entao 
z + ( w + t) = ( x, y) + (a + c, b + d) = ( x + (a + c) , y + ( b + d)) 
= ((x +a)+ c, (y + b) + d) = (x +a, y + b) + (c, d) 
=(z+w)+t, 
onde usamos a associatividade da adic;ao de m1meros reais. • 
Tendo definido as operac;oes de adic;ao e multiplicac;ao em C, definimos as operac;oes 
de subtrarao e divisao da maneira usual: dados z, w EC, 
z -w = z + (-w) e !._ = zw-1 sew -=f. 0. 
w 
Alem disso, a potenciarao tambem e definida da maneira usual: 
.io = 1 ' zn = z · · · z e z-n = z-1 · · · z-1 se z -=f. 0 (n 2: 1). 
..._,._.., "---......--" . 
n-vezes n-vezes 
Decorre da Proposic;ao 1 que diversas propriedades das operac;oes aritmeticas de numeros 
reais sao validas para numeros complexos. Por exemplo, a soma e o produto de duas frac;oes 
zifw1 e z2/w2 de numeros complexos podem ser obtidos pelas formulas 
4 Numeros Complexos Cap. 1 
exatamente como ocorre no caso real (veja EP 3). Destacamos outras propriedades nos 
exercf cios ER 1 e EP 2. 
Um conjunto no qual estao definidas uma operai;ao de adii;ao e uma operai;ao de multi­
plicai;ao satisfazendo as propriedades mencionadas na Proposii;ao I e chamado um corpo. 
Por esta razao e que chamamos C de corpo dos numeros complexos. Isto tambem explica 
por que muitas vezes JR e chamado corpo dos numeros reais e Q e chamado corpo dos 
numeros racionais. A Teoria dos Corpos e um ramo da Algebra Abstrata, e assim esta fora 
do objetivo do presente livro. Aqui, Q, JR e C serao OS unicos corpos que nos encontraremos. 
0 leitor certamente lembra de ter visto no ensino mectio os numeros complexos como 
sendo os "nlimeros" da forma 
x+yi, 
onde x e y sao numeros reais e i e um "algarismo imaginario'', que satisfaz a estranha 
igualdade i2 = -1. Vejamos como obter tal representai;ao dos numeros complexos. Pri­
meiramente, denotamos o numero complexo (x, 0), com x E JR, simplesmente por x. Note 
que isto esta de pleno acordo com o que ja fizemos com o elemento neutro 0 e o elemento 
unidade 1 (0 = (0, 0) e 1 = (1, 0)). Em outras palavras, fazemos a seguinte conveni;ao: 
x = (x, 0) para todo x E JR. (2) 
Dessa forma, passamos a ver JR como um subconjunto de C, ou seja, todo numero real e 
considerado um numero complexo. A princf pio, a inclusao JR c C pode gerar uma certa 
ambigtiidade: dados x E JR e a E JR, o que entendemos por 
x +a e xa? 
A soma e o produto dos numeros reai� x e a ou a soma e o produto dos numeros complexos 
x e a ? A resposta e que tanto faz, uma vez que os valores sao os mesmos. De fato, 
(x, 0) +(a, 0) = (x +a, 0) = x +a 
e 
(x, O)(a, 0) = (xa - 0 · 0, x · 0 + 0 ·a) = (xa, 0) :=;; xa, 
por (I) e nossa conveni;ao (2). Agora, note que (0, 1)2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1, 
ou seja, o numero -1 possui uma "raiz quadrada" em C! 0 numero complexo (0, 1) e 
denotado por i e e chamado de algarismo imagindrio. Assim, temos a propriedade basica 
do algarismo imaginario: 
i2 = -1. (3) 
Finalmente, dado um numero complexo qualquer z = (x, y), temos 
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1), 
§3 Conjugado e valor absoluto 5 
isto e, 
z = x + yi. (4) 
Logo, o par (x, y) e a expressao x + yi representam o mesmo numero complexo. A ex­
pressao (4) e chamada aforma algebrica de z; essa e a forma na qual os numeros complexos 
sao usualmente denotados. 
Sempre que tomarmos um mimero complexo na forma z = x + yi assumiremos impli­
citamente que X e ySao numeros reais. 
Observamos que com a forma algebrica nao precisamos nos preocupar em memorizar 
as defini9oes de z + we zw dadas em (l). De fato, basta usarmos algumas das propriedades 
da adi9ao e da multiplica9ao em C ja apresentadas: se z = x + yi e w = a+ bi sao numeros 
complexos, entao 
z + w = (x + yi) +(a+ bi) = x +a+ yi +bi= (x +a)+ (y + b)i 
e 
zw = (x + yi)(a +bi) = xa + yia + xbi + ybi2 = (xa - yb) + (xb + ya)i. 
3 Conjugado e valor absoluto 
Dado um numero complexo z = x + yi, definimos a parte real e a parte imagindria de 
z por 
Re z = x e Im z = y, 
respectivamente. Quando Re z = 0, dizemos que z e imagindrio puro. 
Como um numero complexo z = x +yi e o par ordenado (x, y), podemos representa-lo 
graficamente como o ponto do piano cartesiano de abscissa x e ordenada y, ou como o vetor 
que liga a origem a este ponto (Figura I). Neste contexto, chamamos o piano cartesiano de 
piano complexo, o eixo dos x de eixo real e o eixo dos y de eixo imagindrio. 
Imz 
y z = (x,y) 
x Rez 
Figura 1 
6 Numeros Complexos Cap. I 
Abaixo indicamos as interpretai;oes graficas da adii;ao e da subtrai;ao de numeros com­
plexos. 
_ z+w 
Figura 2 
Definimos o conju gado de um numero complexo z 
complexo 
z = x - yi. 
x + yi como sendo o numero 
Graficamente, z e o ponto do piano complexo obtido atraves da reflexao de z em relai;ao ao 
eixo real (Figura 3). 
Proposi�ao 2. As segu i ntes propried ades se verific am para qu ai squer z, w E C: 
(a) z = z, z ± w = z ±w e zw = z w. 
(b) z/w = z/w sew =f. 0. 
(c) z + z = 2 Re z e z - z = 2i Im z. 
(d) z E IR.see somente se z = z. 
(e) z e imagi ndr io puro see somente se z = -z. 
Demonstra�ao. Provaremos apenas que z + w = z + w e deixaremos a demonstrai;ao das 
demais propriedades ao Jeitor (veja EP 6). De fato, se z = x + yi e w =a+ bi, entao 
z + w = (x +a)+ (y + b)i = (x +a) - (y + b)i = z + w. • 
Atraves da noi;ao de conjugado, podemos deduzir a expressao do inverso de um numero 
complexo z = x + yi =f. 0 da seguinte maneira: 
-1 ( 1 ) ( x+YI ) 
= 
x - yi 
z = 
x + yi x + yi x2 + y2 
x 
+ 
-y . 
x2 + y2 x2 + y2 i. 
§3 Conjugado e valor absoluto 
0 valor absoluto (ou modulo) de um numero complexo z = x + yi e definido por 
lzl = Jx2 + y2. 
7 
Graficamente, o numero real lzl nos da o comprimento do vetor correspondente a z no 
piano complexo (Figura 3). Mais ainda, lz - wl ea distancia entre os pontos do piano que 
representam z e w. 
Figura 3 
Proposi�ao 3. As seguintes propriedades se verificam para quaisquer z, w E <C: 
(a) Rez :SI Rezl :S lzl e Imz :SI Imzl :S lzl. 
(b) lzl2 = zz, lzl = lzl e lzwl = lzllwl. 
(c) lz/wl = lzl/lwl sew -=J 0. 
(d) lz + wl :S lzl + lwl. 
(e) lz + wl 2:: llzl - lwll· 
A desigualdade (d) e conhecida como desigualdade triangular. 
Demonstra�ao. Provaremos apenas as duas ultimas propriedades, deixando as demais para 
o leitor (veja EP 9). 
(d): Afirmamos que 
lz + wl2 = lzl2 + 2 Re(zw) + lwl2. 
Com efeito, 
lz+wl2 = (z+w){z+w) = (z+w)(z+w) 
= ZZ + ZW + WZ + WW = ZZ + ZW + ZW + WW 
= lzl2 + 2Re(zw) + lwl2, 
(5) 
8 Numeros Complexos Cap. I 
onde usamos o item (b) e a Proposi9ao 2. Como 
lzl2 + 2 Re(zw) + lwl2 ::; lzl2 + 2lzwl + lwl2 
= lzl2 + 2lzllwl + lwl2 = (lzl + lwl)2 
(pelos itens (a) e (b)), segue de (5) que 
lz + wl2 ::; (lzl + lwl)2. 
Extraindo as rafzes quadradas de ambos os )ados da desigualdade acima obtemos a desi­
gualdade desejada. 
(e): Pela desigualdade triangular, 
lzl = l(z + w) - wl::; lz + wl +I - wl = lz + wl + lwl, 
don de 
lz +wl � lzl - lwl. 
Trocando os papeis de z e w na desigualdade acima, obtemos 
lz + wl � lwl - lzl. 
Como llzl - lwll = lzl - lwl se lzl � lwl e llzl - lwll = lwl - lzl se lwl � lzl, vemos que 
em qualquer caso, lz + wl � llzl - lwll· • 
Se z -=f. 0, a Proposi9ao 3(b) implica que 
(6) 
Em particular, z-1 = z se lzl = 1. A identidade (6) mostra como z e z-1 se comparam 
graficamente: z-1 aponta na dire9ao de z e
' 
tern valor absoluto 1/lzl (Figura 4). 
z 
z 
Figura 4 
§4 Aforma polar 
4 A forma polar 
9 
Consideremos um m1mero complexo z = x + yi i- 0. Seja Bo o angulo que o eixo real 
positivo forma com o vetor correspondente a z no sentido anti-horario (Figura 5). 
z 
Figura 5 
Como cos Bo = x/lzl e sen Bo = y/lzl, temos que 
z = lzl(cosBo + isenBo). 
Assim, e sempre possf vel representar z na forma 
z = lzl(cosB + isenO), (7) 
onde B E JR. Uma tal representac;ao e chamada uma representarao polar de z. Se B E 
� satisfaz (7), dizemos que B e um argumento de z. Assim, Bo e um argumento de z. 
Entretanto, qualquer B da forma Bo+ 2k7r, com k E Z, tambem satisfaz (7). Em particular, 
z possui infinitos argumentos. Por outro Jado, se B satisfaz (7) entao cos() = cos Bo e 
sen B = sen B0, o que implica que B = Bo + 2k7r para algum k E Z. Assim, o conjunto 
arg z de todos os argumentos de z e dado por 
argz ={Bo+ 2krr: k E Z}. 
Por exemplo, 
. � 7r . 7r � 
-h -h 
1 + i = v 2 (cos '4 + i sen '4) e 1 + i = v :.:: (cos -4- + i sen -4-) 
sao representac;oes polares domimerol+i;note quearg(l+i) = {rr/4+21m: k E Z}. 0 
tinico argumento de z que pertence ao intervalo (-rr, rr] e chamado o argumento principal 
de z e e denotado por Arg z. Por exemplo, 
A . 7r ( ) 
3rr ( ) rg i = 2, Arg -1 - i = -4 e Arg -2 = rr. 
JO Numeros Comple.xos 
A identidade 
z = lzl (cos Arg z + i senArg z ) 
e chamada aforma polar de z. 
Se jam 
z = I z I (cos 0 + i sen 0) e w = Jw I (cos Vi + i sen Vi) 
Cap. I 
(8) 
representa96es polares de dois numeros complexos nao nulos z e w. Vamos agora obter 
representa96es polares para z-1 e zw. Por (6), 
z-1 = lzJ-1 [cos(-0) + i sen(-0)]. (9) 
Alem disso, 
zw = JzJJwJ (cosO + isenO) (cosVi + isenVi) 
= JzllwJ[ (cosOcosVi - senOsenVi) + i(cosOsenVi + senOcosVi)], 
donde conclufmos que 
zw = Jzl lwl[cos(O + Vi) + i sen(O +Vi)]. (10) 
Esta igualdade nos da a interpreta9ao grafica do produto de dois numeros complexos: zw 
tern valor absoluto lzl lwl e tern 0 + Vi como um argumento (Figura 6). Definindo 
-A={-a;aEA} e A + B={a + b;aEAebEB} (A,BcC), 
decorre das formulas (9) e (10) que 
arg(z-1) = -argz e arg(zw ) = argz + argw. (11) 
Porem, nao e sempre verdade que Arg( z-1) = -Arg z nem que Arg ( zw ) = Arg z + 
Arg w (veja ER 9). De (9) e ( 10) obtemos que 
zn = Jzln[cos(nO) + i sen(nO)] para todo n E Z. (12) 
No caso em que lzl = 1, a igualdade (12) nos diz que 
(cos 0 + i sen Ot = cos ( nO) + i sen ( nO). (13) 
Esta-igualdade e conhecida como af6rmula de De Moivre. 
§5 Extrar;ii.o de rafzes 11 
z 
Figura 6 
5 Extra�ao de raizes 
Dados um numero complexo we um numero natural n 2 1, dizemos que z EC e uma 
raiz n-esima de w se 
Sew == 0, e claro que z = 0 e a unica solu�ao da equa�ao Zn = w. Logo, 0 numero 0 
possui uma unica raiz n-esima que e o pr6prio 0. Veremos a seguir que sew -:f:. 0 entao 
existem exatamente n solu�oes distintas da equa�ao zn = w. 
Teorema 4. Fixe n E N*. Toda numero complexo niio nulo w possui exatamente n rafzes 
n-esimas complexas distintas, a saber, 
n�[ (Arg(w) + 2k7r ) . (Arg(w) + 2k7r)] 
y rw I cos + i sen , n n 
onde k = 0, 1, . . . , n - 1. 
(14) 
Demonstra�ao. Para cada k E Z, denotemos por zk o numero complexo dado em (14). 
Escreva w = I w I (cos 7./; + i sen 7./;), onde 7./; = Arg w. N 6s es ta mos procurando todos os 
numeros complexos z = I z I (cos() + i sen 0) para os quais e verdade que 
Pela formula (12), a equa�ao acima se transforma em 
lzln[cos(nO) + isen(nO)J = lwl(cos7./; + iseri7./;), 
o que equivale a dizer que 
lzln = jwl, cos(nO) =cos 7./; e sen(nO) =sen 7/J. 
12 Numeros Complexos Cap. I 
A primeira condii;ao e satisfeita precisamente quando iz l = \/iWT. enquanto as duas 
ultimas sao satisfeitas quando ne = 'l/J + 2k7r com k E Z, isto e, (} = 1/J+;,k'lr com k E Z. 
Assim, as rafzes n-esimas dew sao os numeros zk para k E Z. Fazendo k = 0, 1, ... , n - 1 
obtemos distintas rafzes n-esimas dew. Entretanto, os demais valores de k nos dao apenas 
repetii;oes das rafzes zo, z1,... , Zn-l · De fato, tome k E Z arbitrario. Escreva 
Como 
k = qn + r com q E Z e 0 ::::; r < n. 
,,p + 2k7r 
= 
,,p + 2(qn + r)rr 
= 
'l/J + 2rrr + 2qrr, 
n n n 
vemos que Zk =Zr E {zo, z1, ... , Zn-1}. • 
A raiz n-esima dew obtida fazendo k = 0 em (14) e chamada a raiz n-esima principal 
dew. A notai;ao y'W e reservada para esta raiz. Note que esta notai;ao e coerente com a 
notai;ao \/iWT que indica a unica raiz real positiva de lwl . Portanto, 
ylW = vlwf [cos (Ar! w) + i sen (Ar! w)] . (15) 
Como a unica raiz n-esima do zero e o pr6prio zero, convencionamos que V'o = 0. 0 
sfmbolo ..;w tambem e usado em lugar de rw. 
Observe que todas as n rafzes n-esimas de w possuem o mesmo m6dulo, a saber, \fiWT. 
Logo, elas sao representadas por n pontos sabre a circunferencia com centro na origem e 
raio \fiWT. Alem disso, estes pontos estao igualmente espa9ados ao longo desta circun­
ferencia devido a relai;ao de seus argumentos. Como exemplo, consideremos as rafzes 
cubicas de 8. Pelo Teorema 4, elas sao OS numeros 
( 2krr 2krr) Zk = 2 cos-
3
- + isen -3- para k = 0, 1, 2. 
Calculando, obtemos zo = 2, z1 = - 1 + iv'3 e z2 = - 1 - iv'3. Temos que zo, z1 e z2 
dividem a circunferencia de centro (0, 0) e raio 2 em tres partes congruentes (Figura 7). 
2 
Figura 7 
§6 A exponencial 13 
6 A exponencial 
Nasso objetivo nesta sec;ao e definir a exponencial ez de um numero complexo z e 
derivar algumas de suas propriedades. 
Lembremos do Calculo que a expansao em serie de Taylor de et para t real e 
t2 t3 t4 et = 1 + t + - + - + - + · · · . 
2! 3! 4! 
Substituindo t par iy (y E JR) nesta serie e computando formalmente (sem nos preocupar­
mos com qualquer significado preciso de convergencia), obtemos 
i . y2 . y3 y4 e Y = 1 + iy - - - i - + - + · · · 
2! 3! 4! 
= (i - y2 + y4 - y6 + ... ) + i (y - y3 + y5 - y7 + ... ) 
2! 4! 6! 3! 5! 7! 
. 
Essas duas ultimas series devem novamente nos trazer Iembranc;as do Calculo - elas sao 
as expans6es em serie de Taylor de cosy e de sen y, respectivamente. Em outras palavras, 
eiY = cosy + i sen y parece uma boa interpretac;ao para eiY. Al em disso, coma es+t = e8 et 
se s, t E JR, e natural esperarmos que ex+iy = ex eiY. Motivados por estas considerac;oes, 
damos a seguinte definic;ao: dado um numero complexo z = x+yi, definimos a exponencial 
de z por 
ez = ex (cos y + i sen y). 
A notac;ao expz e freqtientemente usada em lugar de ez. Com z = iy obtemos af6rmula 
de Euler: 
eiy = cos y + i sen y. 
Como exemplo, 
Vemos diretamente da definic;ao que 
lezl = eRez e arg(ez) = {Im z + 2br : k E Z}. (16) 
Em particular, ez -:f. 0 para todo numero complexo z. A formula (12) implica diretamente 
que 
( ez)n = enz (17) 
para quaisquer z E Ce n E Z. Em particular, ( ez ) -1 = e-z para todo z E C. Se z = x +yi 
e w =a+ bi sao dais numeros complexos, a formula (10) nos mostra que 
ez ew = [ex (cosy + i sen y) ][ea (cos b + i sen b )] 
= ex+a[cos(y + b) + isen(y + b)] = ez+w . 
14 N1imeros Complexos Cap. I 
Em outras palavras, 
(18) 
para todo z, w E C. 
E interessante obsevarmos que, ao contrario do que acontece no caso real, e possfvel 
termos ez = ew com z -:/=- w. Por exemplo, e0 = e27ri = 1. A proposi9ao abaixo esclarece 
por completo esse fenomeno. 
Proposi�ao 5. Para quaisquer z, w E C, temos que 
ez = ew see somente se z = w + 2k7ri para algum k E Z. 
Demonstra�ao. Escreva z = x + yi e w = a+ bi com x, y, a, b E R Se ez = ew, isto e, 
ex (cos y + i sen y) = ea (cos b + i sen b), 
entao ex= ea (donde x =a) e y = b + 2k7r para algum k E Z. Daf, z = w + 2k7ri, como 
desejado. 
Reciprocamente, se z = w + 2k7ri com k E Z, entao 
ez = ew+2k7ri = ew e2k7ri = ew {cos 2k7r + i sen 2k7r) = ew. • 
Na Se9ao 4 vimos que todo numero complexo nao nulo z tern uma representac;ao polar 
z = r (cos e + i sen 8)' onde r = I z I e e e um argumento de z. Com a noc;ao de exponencial 
esta igualdade pode ser escrita de uma forma mais economica, a saber, 
(19) 
Observemos tarribem que as n rafzes n-esimas de um numero complexo nao nulo w 
(dadas por (14)) podem ser escritas da seguinte maneira: 
. ( Arg(w)+2kir ) 
�e2 n parak=0,1, ... ,n-1. 
Em particular, as n rafzes n-esimas do numero I (conhecidas como as razzes n-esimas da 
unidade) silo dadas por 
2ktri 
(k = e-n- para k = 0, 1, ... , n -1. 
Notemos tambem que as n rafzes n-esimas dew podem ser obtidas multiplicando-se a raiz 
n-esima principal y'W de w pelas rafzes n-esimas da unidade. De fato, 
. ( Arg(w)+2h ) 
� e2 n = (k \/W (k = 0, 1, ... , n - 1). 
Por exemplo, sen = 2 entao (o = 1 e (1 = -1. Logo, as rafzes quadradas dew silo 
Vw e -y'W. 
§7 Logaritmos 15 
7 Logaritmos 
Relembremos que um numero reals e dito o logaritmo natural (ou o logaritmo na base 
e) de um numero real positivo t (em sfmbolos, s = ln t) quando e8 = t. Imitando este 
conceito, dizemos que um numero complexo w e um logaritmo de um numero complexo 
nao nulo z se ew = z. 
Existe uma diferen�a muito importante entre o caso real e o caso complexo. Enquanto 
no caso real todo numero positivo possui um unico logaritmo, veremos a seguir que todo 
numero complexo nao nulo possui uma infinidade de logaritmos. Denotamos par log z o 
conjunto de todos os logaritmos do numero complexo z =I 0. Assim, para todo numero 
complexo nao nulo z, 
log z = { w E C : ew = z}. (20) 
Vamos agora determinar log z. Sew = ln lzl + iB com(} E arg z, entao ew = e1n izlei8 = 
lzlei8 = z. Por outro Jada, suponhamos w E log z. Entao ew = z, o que equivale a dizer 
que 
eRew = lewl = lzl e Im w = Arg z + 2k7r para algum k E Z, 
donde w = ln lzl + iB com(} E arg z. Portanto, 
log z = {ln lzl + iB : (} E arg z} 
= {ln lzl + i(Arg z + 2k7r) : k E Z}. (21) 
Fazendo k = 0 em (21) obtemos 0 logaritmo principal de Z, que e denotado par Log z. 
Assim, 
Logz = ln lzl +iArgz. (22) 
Par (21) e (22), 
log z = {Log z + 2k7ri : k E Z}. (23) 
Notemos que Logx = lnx para todo numero real positivo x. De agora em diante, escreve­
remos Log x em vez de ln x quando x for um numero real positivo. Como exemplo, temos 
que 
Log(-1) = 7ri, Log(e2i) = 2 + � i, Log(l + i) =Log v'2 + � i. 
Definindo 
A - B = {a - b : a E A e b E B} e mA ,= {ma : a E A} 
para A, B c Ce m E Z, temos a seguinte 
16 Numeros Complexos Cap. I 
Proposi�ao 6. Dados dois numeros complexos nao nulos z1 e z2, temos que: 
(a) log(z1z2) = log z1 +log z2. 
(c) log(zfl) = mlogz1 para todo m E Z*. 
Demonstra�ao. Provaremos (a) e deixaremos (b) e (c) ao leitor (veja EP 19). 
(a): Tomemos w E log z1 +log z2. Entao, w = w1 + w2 com w1 E log z1 e w2 E log z2. 
Daf, e'll! = ew1ew2 = z1z2, ou seja, w E log(z1z2). Tomemos agora w E log(z1z2). Entao, 
por (21), w =Log lz1z2I + iB com(} E arg(z1z2). Por ( l l ), (} = B1 + B2 com B1 E arg z1 
eB2 E argz2. Assim,w = (Loglz1I +iB1) + (Loglz2I +iB2) E logz1 +logz2.• 
Terminamos esta se�ao observando que nao e sempre verdade que Log(z1z2) =Log z1 -I 
Log z2, nem que Log(zi/ z2) = Log z1 - Log z2 e nem que Log(zfl) = m Log z1 (veja 
ER9). 
8 Potencias complexas 
Relembremos que se t e um m1mero real positivo e a e um m1mero real arbitrario, e 
usual definirmos a potencia ta pela formula 
Ao tentarmos imitar esta defini�ao no contexto dos m1meros complexos, com o objetivc 
de definirmos a potencia z>- onde z e um numero complexo nao nulo e >. e um numerc 
complexo arbitrario, n6s nos deparamos com o seguinte problema: z tern uma infinidade de 
logaritmos ! Qual deles devemos usar? A resposta: todos eles. Mais precisamente, para cada 
w E log z, o m1mero complexo e>-w e chamado a >.-potencia de z associada ao logaritmc 
w. Se w = Log Z, entao 0 m1mero complexo e>-w e chamado a >.-potencia principal dt. 
z. Para denotarmos esta .X-potencia especial de z, usaremos a nota�ao familiar z>-. Assim 
neste livro, z>- denotara exclusivamente a .X-potencia principal de z, isto e: 
Como exemplo, temos que 
( ·) l l Log(-i) l( _.,..; ) _.,..; y'2 - iv'2 -z 2 = e2 = e2 2 = e 4 = . 
2 
(24) 
§9 Exercicios resolvidos 17 
Como todo logaritmo dez e da forma Log z + 2k7ri com k E Z, segue que as >.-potencias 
de Z Sao OS numeros da forma 
(25) 
com k E Z. Analisaremos a seguir dois casos que merecem um comentario especial. Pri­
meiramente, vejamos o que ocorre quando >. e um numero inteiro; digamos >. = n. Como 
e2k1r>..i = 1 para todo k E Z, segue.de (25) que todas as >.-potencias de z se reduzem ao 
numero complexo zn, a n-esima potencia usual de z definida na Se9ao 2. Com efeito, 
ja que n Log z e um logaritmo de zn (Proposi9ao 6(c)). Vejamos agora o que ocorre quando 
>. = I/n com n E N*. Segue de (25) que o conjunto das >.-potencias de z coincide com o 
conjunto das rafzes n-esimas de z apresentadas no Teorema 4, ja que: 
Em particular, 
2k1r>..i ;.. ( 2k7ri) (Log z) e z =exp -- exp --
n n 
[Log lzl . (Arg(z) + 2k7r)] =exp + i 
n n 
(L nli':ll I) 
[· (Arg(z) + 2k7r)] 
= exp og y I z I exp i 
n 
\lj;f exp [i ( Arg(z� + 2k7r)] . 
1 
z1i=V'z. (26) 
Embora seja verdade que z>..+µ = z>..zµ (veja ER 10), outras "regras de exponencia9ao" 
nao sao validas em geral. Por exemplo, nao e sempre verdade que (zw)>.. = z>..w>.. e nem 
que (zA)µ = z>..µ (veja EP 23). 
9 Exercicios resolvidos 
ER 1. Sejam z e w dois numeros complexos nao nulos. Mostre que: 
(a) Se zw = 1, entao w = z-1 e z = w-1. 
ER 2. Sejam z = 2 + 3i e w = 4 - 3i. Coloque os seguintes numeros complexos na forma 
algebrica: 
z2+zw, Im(w2)+iRe(w2) e 5z/w. 
18 
ER 3. Mostre que se z = x + yi e w = a + bi =/= 0, entao 
ER 4. Mostre que: 
z ax + by ay - bx . - - + i 
w - a2 + b2 a2 + b2 · 
(a) I (2:Z + 5)( v'2 - i) I = v'3 l2z + 51 para todo z E C. 
(b) (-1 + i)7 = -8(1 + i). 
(c) (1+iv'3)-10=2-11(-l +iv'3). 
Numeros Complexos Cap. I 
ER 5. Descreva geometricamente o conj unto S dos numeros complexos z que satisfazem a 
condi�ao lz - ll = 2lz + 11-
ER 6. Prove que as solu�oes da equa�ao quadratica 
az2 + bz + c = 0, 
onde a, b, c E Ce a =!= 0, sao dadas pela formula quadratica usual, isto e, par 
-b ± Jb2 - 4ac 
z=------
2a 
Use esta formula para encontrar as solu�oes de z2 + 4z + 5 = 0. 
ER 7. E verdade que � = ( ffe)2 para todo z EC? 
ER 8. Determine os valores de z tais que exp(2z - 1) = 1. 
ER 9. De exemplos mostrando que e possfvel termos: 
(a) Arg(z-1) =/= - Arg z. 
(b) Arg(zw) =/= Argz + Argw. 
(c) Log(zw) =/= Logz + Logw. 
(d) Log(z/w) =/= Logz -Logw. 
(e) Log(z2) =/= 2 Log z. 
ER 10. Mostre que z·A+µ = z>. zµ para quaisquer z, >., µ E C com z =/= 0. 
§I 0 Exercicios propostos 
10 Exercicios propostos 
EP 1. Conclua a demonstra9ao da Proposi9ao I. 
EP 2. Sejam z, w E C. Mostre que se zw = 0, entao z = 0 ou w = 0. 
EP 3. Sejam z1, z2, w1, w2 EC com w1 -=f. 0 e w2 -=f. 0. Mostre que 
z1 z2 z1 w2 + z2w1 z1 z2 z1 z2 
-+-= e ---
w1 W2 W1W2 W1 W2 W1W2 
19 
EP 4. Se z = 1 - i e w = 4i, expresse os seguintes m1meros complexos na forma x + yi: 
(a) 3z + iwz - zw 3 . 
(b) 2lwl + (1 - i)z + l z2 1. 
(c) (w + z)j(w - z). 
(d) Im(zw2) + 16i Re(zw-1 ) . 
(e) 5isen(Argw) + zcos(Arg(3z)). 
EP 5. Mostre que a identidade 1 + z + · · · + zn = (1 - zn+l )/ (1 - z) vale para todo n E N 
e para todo z E C com z -=f. 1. 
EP 6. Conclua a demonstra9ao da Proposi9ao 2. 
EP 7. Prove e de o significado geometrico da identidade 
l z + wl2 + l z -wl
2 
= 2lzl
2 
+ 2lwl
2 (z, w E q. 
EP 8. Dados dais numeros complexos nao nulos z e w, mostre que l z + wl = lzl + Jwl se 
e somente sew = tz para algum t > 0. 
EP 9. Conclua a demonstra9ao da Proposi9ao 3. 
EP 10. Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do piano complexo: 
(a) {z EC: l z - ll = l z - ii}. 
(b) {z EC: l z - lJ = Rez}. 
(c) {z EC: Im(z2) > O}. 
(d) {z EC: Re(l/z) < 1/2}. 
20 
(e) {z E <C: lz - 41 > lzl}. 
(f) {z E <C: I Argz - Argil < 7r/6}. 
(g) {z E <C: I Arg(z - i)I < 7r/6}. 
EP 11. Compute: 
(a) As rafzes quadradas de 1 - i\1'3. 
(b) As rafzes cubicas de -27. 
( c) As rafzes de ordem 4 de -1. 
Numeros Complexos Cap. I 
EP 12. Mostre que a igualdade vfiW = Jzy'W nao e necessariamente verdadeira para z e 
w quaisquer em <C. Confirme, porem, que esta formula e valida se z OU w for um numero 
real nao negativo. 
EP 13. Ache as solrn;oes das seguintes equac;oes: 
(a) z2 - 4iz - 4 - 2i = 0. 
(b) iz4 - (2 + 4i)z2 - i = 0. 
EP 14. Prove que v'2 lzl 2:'.: I Re zl + I Im zl para todo z E <C. 
EP 15. Para que numeros complexos z f. 0 temos que Vz/E = z/lzl ? 
EP 16. Sejam z e w dois numeros complexos nao nulos. Mostre que 
Re(zw) = lzllwl se e somente se argw = argz. 
EP 17. Seja c E <C com lei < 1. Mostre que lz +cl :::; ll + czl se e somente se lzl :::; 1, 
com igualdade ocorrendo se e somente se lzl = 1. 
EP 18. Prove que e-lzl :::; lezl :::; elzl para todo z E <C. 
EP 19. Conclua a demonstrac;ao da Proposic;ao 6. 
EP 20. Verifique que 
Log(l - z2) = Log(l - z) + Log(l + z) quando lzl < 1. 
0 que podemos dizer de Log[(l - z)/ (1 + z)] para tais valores de z? 
EP 21. Expresse os seguintes numeros complexos na forma x + yi: 
(a) Log( -e3) +ii. 
(b) (-l)iLog(-i). 
§I 0 Exerc{cios propostos 
EP 22. Calcule todas as >.-potencias de z quando: 
(a) z = ie'IT e >. = i. 
(b) z = 1 e >. = 2 - i. 
EP 23. De exemplos mostrando que e possf vel termos: 
(a) (zw)A =I zAwA. 
(b) (zA)µ =I zAµ. 
21 
2 
Funr;oes Complexas 
1 Introdu�ao 
Tendo estudado o corpo dos numeros complexos no Capftulo I, vamos agora iniciar o 
estudo das funroes complexas de uma varidvel complexa, isto e, das fun96es f : A --+ C 
cujo domfnio A esta contido em C. Tais fun96es constituem o principal objeto de estudo de 
nosso Iivro e serao o centro de nossas aten96es por todos os capftulos que se seguem. 
Na Sec;ao 2 relembramos alguns conceitos importantes sobre fun96es e introduzimos as 
fun96es complexas de uma variavel complexa, assim coma algumas no96es basicas asso­
ciadas a tais fun96es. 
Nas Se96es 3, 4 e 5 apresentamos exemplos importantes de fun96es complexas de uma 
variavel complexa, a saber: as fun96es racionais, as fun96es polinomiais, a func;ao expo­
nencial, as fun96es trigonometricas e as fun96es hiperb61icas. Alem disso, estabelecemos 
algumas propriedades destas fun96es. 
Na Sec;ao 6 introduzimos o conceito de func;ao inversa a direita e definimos a func;ao 
raiz quadrada principal e a func;ao logaritmo principal. 
2 Fun�oes de uma variavel complexa 
Comecemos relembrando alguns conceitos basicos sobre fun96es. Dados dois conjun­
tos A e B, uma funrao f de A em B e uma regra de correspondencia que associa a cada 
elemento a de A um elemento f (a) de B, chamado o valor de f em a. As nota96es 
f : A --+ B e f : a E A i-+ f (a) E B sao usadas para indicar que f e uma tal func;ao. 0 
conjunto A e chamado o dom(nio de f e o conjunto B e chamado o contradom(nio de f. Se 
SC A, definimos a imagem de S por f como sendo o conjunto f (S) = {f(a) : a ES}. 0 
conj unto J (A) e chamado a imagem def. Quando J (A) = B, dizemos que J e sobrejetiva. 
§2 Funr;oes de uma varitivel complexa 23 
Se f ( ai) -=/:- f ( a2) sempre que ai -=/:- a2 (a1, a2 E A), dizemos que f e injetiva. Finalmente, 
f e dita ser bijetiva quando e injetiva e sobrejetiva. 
Se f : A� Be g : C � D sao func;:oes tais que f(A) c C, definimos a composta de 
g com f como sendo a furn;ao g o f : A � D dada por 
(go J)(a) = g(f(a)) para todo a EA. 
Se f : A � B e bijetiva, entao existe uma uni ca func;:ao h : B � A tal que ( h o f) (a) = a 
para todo a EA e (f o h)(b) = b para todo b EB. Tal func;:ao he chamada a inversa def 
e e denotada por 1-1. 
No presente livro estamos interessados em func;:oes f : A � C cujo domfnio A e um 
subconjunto de C. Uma tal func;:ao e chamada de funfO.o complexa de uma variavel com­
plexa. Assim, a menos que se diga explicitamente o contrario, sempre que considerarmos 
uma func;:ao f : A � C assumiremos implicitamente que A c C. 
E comum definirmos uma func;:ao complexa de uma variavel complexa simplesmente 
dando uma expressao explfcita dos valores da func;:ao, como, por exemplo, f (z) = 
(2z + 1)/(z2 + 1) e g(z) = z/Rez. Nesse caso, convencionamosque o domfnio da 
func;:ao e 0 COnjunto de todos OS numeros complexos para OS quais a expressao dada tern 
sentido. Nos exemplos acima, temos que o domfnio de f e C\ { -i, i} e o domfnio deg e 
{z EC.: Rez-=/:- O}. 
Dadas duas func;:oes f : A � C e g : B � C e dado um numero complexo c, definimos 
as func;:oes multiplo cf, soma f + g, diferenfa f - g,produto Jg e quociente f /g por 
(cf)(z) = cf(z), (f ± g)(z) = f(z) ± g(z), 
(fg)(z) = f(z)g(z) e (f /g)(z) = f(z)/g(z). 
Notemos que 0 domfnio de cf e A, OS domfnios de f ± g e f g sao iguais a A n B e 0 
domfnio de f /g e o conjunto {z EA n B: g(z) -=/:- O}. Tambem definimos o conjugado f 
e o modulo Ill de J por 
f(z) = f(z) e IJl(z) = IJ(z)I (z EA). 
Por exemplo, se f: C � C e dada por f(z) = z2, entao 
J(z) = z2 = z2 = (x2 -y2) -2xyi e IJl(z) = lz21 = lzl2 = x2 + y2
, 
para todo z = x + yi E C. 
Muitas vezes e conveniente expressarmos uma func;:ao f : A � C em termos de sua 
parte real e de sua parte imaginaria, isto e, representarmos f na forma 
f = u +iv, 
24 
on de 
Funroes Complexas 
u(z) = Re[f(z)] e v(z) = Im [f (z)] (z EA). 
Cap. 2 
Note queue v sao fun9oes reais em A. Se escrevermos z = (x, y) com x, y E JR, podemos 
considerar u e v como fun9oes reais de duas variaveis reais: 
u(z) = u(x, y) e v(z) = v(x, y). 
Por exemplo, se f : C �Ce dada por f (z) = z + 1, entao as partes real e imaginaria def 
sao u(z) = u(x, y) = x + 1 e v(z) = v(x, y) = y. 
Dados uma fun9ao f : A � C e um subconjunto S de A, dizemos que f e limitada em 
S se existe uma constante M > 0 tal que 
lf(z)I � M para todo z E S. 
Por exemplo, a fun9ao f : C � C dada por f(z) = z2 e limitada em {z EC: lzl � 1}, 
mas nao e limitada em C. 
No estudo das fun90es reais de uma variavel real, consideravel enfase e dada a visua­
liza9ao geometrica das fun90es atraves de seus graficos. Embora tal visualiza9ao tenha 
limita96es, ela nos ajuda a desenvolver nossa intui9ao e a compreender muitos conceitos 
importantes (como os de derivada e integral, por exemplo). Ja para fun9oes complexas 
de uma variavel complexa, os graficos em questao sao subconjuntos de C2, que e natural­
mente identificado ao espa90 4-dimensional IR4. Assim, perdemos a capacidade de desenhar 
tais graficos. Todavia, podemos freqiientemente melhorar nossa compreensao de uma dada 
fun9ao f : A � C se analisarmos como f transforma certas figuras geometricas, como 
retas, cfrculos, discos, etc. Exploraremos essa ideia nos exercfcios (veja ER 2 e ER 3, por 
exemplo). 
3 As fun�oes racionais 
Umafanrao racional e uma fun9ao do tipo 
f(z) = 
ao + a1z + · · · + anzn 
bo + b1z + · · · + bmzm 
onde OS coeficientes ao, a1, ... , an e bo, b1, ... , bm sao numeros complexos. 0 domfnio de 
f e o conjunto de todos os elementos de C nos quais o denominador de f nao se anula. 
Uma fun9ao racional da forma 
(l) 
§3 As funroes racionais 25 
e chamada umafanriio polinomial. Se an =f. 0 em (1), dizemos que f e uma fun9ao polino­
mial de grau n. Observamos que nao e atribufdo grau a fun9ao polinomial nula f (z) = 0. 
Vejamos algumas fun96es racionais especiais: 
a) Funroes constantes: Sao as fun96es da forma 
f (z) = c, 
onde c e uma constante complexa. Sec= 0, temos afanriio nu/a. 
b) Translaroes: Sao as fun96es da forma 
f(z)=z+b, 
onde be uma constante complexa. Se b = 0, temos afanrao identidade. 
c) Rotaroes: Sao as fun96es da forma 
f(z) = az, 
onde a e uma constante complexa de modulo 1. 
d) Homotetias: Sao as fun96es da forma 
f(z) = az, 
onde a e uma constante real nao nula. Dizemos que f e uma dilatarao se a > 1 e uma 
contrariio se 0 < a < 1. 
e) Funriio inversiio: Ea fun9ao 
f(z) = 1/z. 
f) Funriio n-esima potencia: E a fun9ao 
onde n EN*. 
Dada uma fun9ao f: A--+ C e dado um numero z0 EA, dizemos que z0 e um zero de 
f (ou uma raiz def) se f (z0) = 0. Por exemplo, i/2 e o unico zero da fun9ao f (z) = 2z+i 
e os zeros da fun9ao polinomial g(z) = z2 + 4z + 5 sao os numeros -2 - i e -2 + i (veja 
ER 6 do Capftulo 1). 
Proposi�ao 1. Seja f(z) = a0 + a1z + · · · + anzn umafanrao polinomial. Se z0 E C e 
uma raiz de f, entiio z - z0 e um fator def, isto e, existe umafunrao polinomial g tal que 
f (z) = (z - zo)g(z) para todo z EC. 
26 Funfi5es Complexas Cap. 2 
Demonstra-;ao. Por hip6tese, 
f(zo) = ao + a1zo + · · · + anz0 = 0. 
Portanto, 
f(z) = f(z) - f (zo) 
= a1(z - zo) + a2(z2 - z5) + · · · + an(zn - z0). (2) 
Agora, 
zk - z� = (z - zo)(zk-l + zk-2zo + · · · + zz�-2 + z�-1) 
para todo inteiro k � 1. Substituindo estas igualdades em (2) e colocando (z - z0) em 
evidencia, vemos que f (z) = (z - z0)g(z), onde g ea furn;ao polinomial 
( ) ( ) ( n-1 n-2 n-2 n-1) • g z = a1 + a2 z + zo +···+an z + z zo + · · · + zz0 + z0 . 
Proposi-;ao 2. Toda funfii.O polinomial de grau n � 0 possui no maxima n razzes. 
Demonstra-;ao. A prova sera feita por induc;ao sobre n. Como toda func;ao polinomial 
de grau zero nao possui rafzes, o resultado e obvio para n = 0. Suponhamos o resultado 
verdadeiro para um certo n � 0 e seja f uma func;ao polinomial de grau n + 1. Vamos 
pro var que f possui no maxi mo n + 1 rafzes. Se f nao possui raf zes, nada temos a fazer. 
Digamos que f possui pelo menos uma raiz e seja z0 uma raiz de f. Pela Proposic;ao I, 
existe uma func;ao polinomial g tal que 
f (z) = (z - zo)g(z) para todo z E C. 
Como f tern grau n + 1, temos que g tern grau n. Pela hip6tese de induc;ao, g possui no 
maximo n rafzes. Como as rafzes de f sao exatamente z0 e as rafzes de g, conclufmos que 
f possui no maximo n + 1 rafzes, como desejado. • 
Provaremos mais tarde que toda func;ao polinomial de grau n � 1 possui pelo menos 
uma raiz em C. Este fato e conhecido como o teorema fundamental da algebra. 
4 A fun�ao exponencial e as fun�oes trigonometricas 
Afunfii.O exponencial ea func;ao exp: <C -t <C dada por 
exp z = ez. 
§4 Afunr;iio exponencial e as funr;oes trigonometricas 27 
Como I ez I = ex para todo z = x + yi E C, vemos que 
exp z -:j; 0 para todo z E C. (3) 
Uma outra propriedade importante da func;:ao exponencial e que ela e peri6dica de perf odo 
27ri, isto e, 
exp(z + 27ri) = exp z para todo z E C. (4) 
Outras propriedades da func;:ao exponencial sao dadas pelas formulas (17) e (18) do 
Capftulo 1. Note que a func;:ao exponencial complexa estende a func;:ao exponencial real. 
Paray E �. como eiy = cosy + i sen ye e-iy = cosy - i sen y, segue que 
cosy= --
2--
e sen y = --2-i--
Portanto, e natural definirmos afunrao cosseno e afunrao seno de uma variavel complexa 
por 
cosz= ----
2 
e senz = ----
2i 
(z E C). 
As quatro outras func;:oes trigonometricas sao definidas em termos das fimc;:oes cosseno e 
seno pelas relac;:oes usuais. Assim, 
senz 
tgz= -- e 
cosz 
1 
secz = -­
cosz 
estao definidas para todo z E C ta! que cos z -:j; 0, e 
cosz 1 
cotgz = -- e cscz = --
senz senz 
(5) 
(6) 
estao definidas para todo z E C ta! que sen z -:j; 0. Note que as func;:oes trigonometricas 
complexas estendem as correspondentes func;:oes reais. 
As definic;:oes (5) e (6) nos conduzem a perguntar quais sao os zeros da func;:ao cos z e 
da func;:ao senz. A resposta e dada pela seguinte 
Proposi�ao 3. Temos que 
cosz = 0 see somente se z = 7r/2 + k7r com k E Z 
e 
senz = 0 see somente se z = k7r com k E Z. 
Em particular, os zeros do cosseno e do seno complexos sao os zeros do cosseno e do seno 
reais, respectivamente. 
28 Fun�oes Complexas Cap. 2 
Demonstra�ao. Comecemos relembrando que o cosseno hiperb61ico e o seno hiperb6lico 
de um numero real y sao definidos por 
eY + e-Y eY -e-Y 
cosh y = 
2 
e senh y = 
2 , 
respectivamente. Seja z = x + yi E C. Entao, 
ou seja, 
e-y+xi + ey-xi 
cosz = cos(x + yi) = 
2 
e-Y(cosx + isenx) + eY(cosx -isenx) 
= 
2 ( eY + e-Y) ( eY -e-Y) 
= (cos x) 
2 
- i (sen x) . 
2 , 
cos z = cos(x + yi) = cos x cosh y -i sen x senh y. 
De modo analogo obtemos que 
sen z = sen(x + yi) = sen x cosh y + i cos x senh y. 
Por (7), cos z = 0 se e somente se 
cosxcoshy = 0 e senxsenhy = q: 
.(7)(8) 
(9) 
Como cosh y > 0, a primeira igualdade em (9) e valida exatamente quando cos x = 0, 
ou seja, x = 7r /2 + k7r com k E Z. Substituindo este valor de x, vemos que a segunda 
igualdade em (9) equivale a senh y = 0, o que ocorre exatamente quando y = 0. Portanto, 
cos z = 0 se e somente se z = 7r /2 + k7r com k E Z. 0 caso da fun�ao sen z se prova de 
modo analogo, usando a formula (8). • 
A maioria das propriedades validas para as fun�oes trigonometricas reais permanecem 
validas no caso complexo. Por exemplo, temos a seguinte 
Proposi�ao 4. Para quaisquer 7, w EC, temos: 
(a) sen2 z + cos2 z = 1. 
(b) sen(-z) = - sen z. 
(c) cos(-z) =cos z. 
(d) sen(z + w) = senzcosw + coszsenw. 
(e) cos(z + w) = coszcosw -senzsenw. 
§5 As funroes hiperb61icas 
Demonstra�ao. (a): De fato, 
= 1. 
4 4 
Deixamos a demonstra9�io dos demais itens ao leitor (veja EP 10). • 
29 
Etitretanto, ha diferen9as entre o caso real e o caso complexo. Por exemplo, sabemos 
que as fun9oes cosseno e seno sao limitadas em R De fato, I cos ti :::; 1 e I sen ti :::; 1 para 
todo t E R Contudo, elas nao sao limitadas em <C, pois 
e 
I 
e-Y + eY 
I 
e-Y + eY 
I cos(yi) I = 
2 
= 
2 
--+ +oo quando y --+ +oo 
I 
e-Y -eY 
I 
eY -e-Y 
I sen(yi) I = 
2i 
� 
2 
--+ +oo quando y --+ +oo. 
5 As fun�oes hiperb6licas 
Definimos a funr;;ao cosseno hiperb6lico e a funr;;ao seno hiperb6lico de uma variavel 
complexa par 
respectivamente. 
ez + e-z ez -e-z 
cosh z = 
2 
e senh z = 
2 
( z E <C), 
As demais fun9oes hiperb6licas sao definidas pelas rela96es usuais. Assim, 
h 
senhz 1 
tg z = --
h
- e sech z = --
h
-
para todo z E <C com cash z -=/=- 0, e 
cos z cos z 
coshz 1 
cotghz = --
h
- e cschz = --
h
-
sen z sen z 
para todo z E <C com senh z -=/=- 0. 
Proposi�ao 5. Temos que 
coshz = 0 see somente se z = (1/2 + k)7ri com k E Z 
30 Funroes Complexas Cap. 2 
e 
senh z = 0 se e somente se z = bri com k E Z. 
Demonstra�ao. Como 
eiiz + e-iiz 
cos(iz) = 
2 
e-z + ez 
--- = coshz, 
2 
segue da Proposir;ao 3 que os zeros de coshz sao os numeros z tais que iz = (1/2 + k)7r 
com k E Z, ou seja, sao os m1meros da forma (1/2 + k)7ri com k E Z. 0 caso da funr;ao 
senh z se prova de modo analogo, usando o fato de que 
eiiz _ e-iiz 
sen(iz) = . 
2't 
e-z - e
z 
--- = isenhz.• 
2i 
Vejamos algumas propriedades das fun96es hiperb6licas: 
Proposi�ao 6. Para quaisquer z, w EC, temos: 
(a) cosh2 z -senh2 z = 1. 
(b) senh(-z) = -senh z. 
(c) cosh(-z) = coshz. 
(d) senh(z + w) = senhzcoshw + coshzsenhw. 
(e) cosh(z + w) = cosh z cosh w + senh z senh w. 
Deixamos a demonstrar;ao desta proposir;ao ao leitor (veja EP 13). 
6 Fun�oes inversas a direita 
Dada uma fun9ao f : A -+ <Ce dado um subconjunto B de f (A), dizemos que uma 
funr;ao g : B -+ A e uma inversa a direita de J em B se 
J(g(w)) = w para todo w EB; 
no caso em que B = f (A), dizemos simplesmente que g e uma inversa a direita def. E 
interessante observar que toda funr;ao f : A -+ <C possui pelo menos uma inversa a direita 
em quaiquer B c f (A). De fato, as inversas a direita de f em B podem ser facilmente 
obtidas da seguinte maneira: Para cada w E B, escolha qualquer zw E A tal que f (zw) = 
w, e defina g(w) = Zw. 
§7 Exercfcios resolvidos 31 
Por exemplo, as fun96es 
g(z) = ./Z e h(z) = -./Z (z EC) 
sao inversas a direita da fun9ao f : C --+ C dada por f(z) = z2. A fun9ao g e chamada 
funr;ao raiz quadrada principal. Definindo 
m(z) = { ..fZ se z EC e Im z 2: 0 
-../Z se z E C e Im z < 0 
obtemos uma outra inversa a direita de f. Como o lei tor ja percebeu, existem im1meras 
"fun96es raiz quadrada". 
Consideremos agora a fun9ao f: C--+ C dada por f(z) = ez. A fun9ao 
L(z) = Logz (z E C\{O}) 
e uma inversa a direita def, chamada funr;ao logaritmo principal. Mais geralmente, para 
todo k E Z, a fun9ao 
Lk(z) =Log z + 2bri (z EC\ {O}) 
e uma inversa a direita de f. Assim, vemos que tambem existem inumeras "fun96es loga­
ritmo". 
Concluf mos esta se9ao observando que se g e uma inversa a direita de uma fun9ao · 
f: A--+ C em um subconjunto B de f(A), entao g e injetiva em B. De fato, se w1, w2 EB 
e g(wi) = g(w2), entao 
7 Exercicios resolvidos 
ER 1. Prove que se z0 EC e uma raiz de uma fun9ao polinomial f (z) = ao + a1z + · · · + 
anzn com coeficientes ao, a1, ... , an reais, entao zo tambem e uma raiz def. 
ER 2. Mostre que a fun9ao f ( z) = ez transform a a reta vertical R = { z E C : Re z = a} 
no cfrculo C = {z EC: lzl =ea } e transforma a reta horizontal S = {z EC: Imz = b} 
na semi-reta L = {z EC: z = reib com r > O}. 
ER 3. Mostre que a fun9ao f(z) = (1 - z)/(1 + z) transforma o disco D = {z E C : 
lzl < 1} no semi-planoH = {w EC: Rew> O}. 
ER 4. Dada uma fun9ao f : A --+ C e dado um ponto zo E A, dizemos que zo e um ponto 
.fixo def se f (zo) = zo. Determine todos os pontos fixos da fun9ao 
f ( z) = 
z2 + 2z . 
z2 + 1 
32 Fun�oes Complexas 
ER 5. Mostre que 
I cos zl2 = cos2 x + senh2 y e I sen zl2 = sen2 x + senh2 y 
para todo z = x + yi E C. 
ER 6. Mostre que 
I cos zl � I cos xi e I senzl � I sen xi 
para todo z = x + yi E C. 
ER 7. Ache todas as rafzes da equa\:ao senh z = i. 
ER 8. Se jam A = { z E C : Re z > 0} e f : A --+ C a fun\:ao dada par 
f (z) = Log(z2 + 1). 
(a) Prove que f e uma fun\:ao injetiva. 
(b) Determine sua imagem B = f (A). 
(c) Calcule sua inversa 1-1 : B --+ A. 
8 Exercicios propostos 
EP 1. Determine o domfnio de cada uma das seguintes fun\:6es: 
(a) f(z) = (ez + e-z)/(z2 + :z2). 
(b) g(z) = (z2 + 5z)/(ez - 1). 
(c) h(z) = Log(ez - e-z). 
(d) k(z) = (zcosz)/(z4 + 3z2 - 4). 
Cap. 2 
EP 2. Expresse as partes real e imaginaria das seguintes fun\:6es coma fun\:6es das variaveis 
reais x e y: 
(a) f (z) = z3 + iz2. 
(b) g(z) = zez - zez. 
(c) h(:t) = iz 2 - 2z2 + i .. 
(d) k(z) = z Log z para Re z > 0. 
§8 Exerdcios propostos 33 
EP 3. Sejam f : A -t C e g : A -t C fun96es. Mostre que se f e g sao limitadas em um 
subconjunto S de A, entao f + g e f g tambem sao limitadas em S. 
EP 4. Seja D = {z E C : lzl < 1} e tome c E D. Mostre que a fun9ao f(z) = 
(z + c)/(1 + cz) satisfaz f (D) = D. 
(Sugestao: use o EP 17 do Capftulo 1.) 
EP 5. Determine J(S), onde S = {z EC: 0 < lzl < r} e J(z) = e11z. 
EP 6. Seja Luma reta no piano complexo. Determine a imagem de L pela fun91io f (z) = 
vz quando: 
(a) Le horizontal. 
(b) L e vertical. 
(c) Le dada pela equa9ao y = xvf3 (x, y E JR). 
EP 7. Considere a fun9ao f(z) = 1/z. Determine a imagem dos seguintes conjuntos por 
f: 
(a) {z EC: lz - 21 = l}. 
(b){z EC: lz - ll = 1} \ {O}. 
(c) {z EC: Re z > 1}. 
EP 8. Determine a imagem do triangulo com vertices em 3 + 4i, -3 + 4i e -5i pela fun9ao 
f(z)=z+5i. 
EP 9. Determine a imagem do conj unto { z E C : Re z > 0} pelas seguintes fun96es: 
(a) f (z) = 2iz - i. 
(b) g(z) = i/z - 1. 
EP 10. Conclua a demonstra91io da Proposi9ao 4. 
EP 11. Mostre que a imagem do disco D = {z EC: lzl :S 1} pela fun9ao f(z) = ez esta 
contida no anel A= {w EC: 1/e :S lwl :Se}. 
(Sugestao: use EP 18 do Capftulo 1.) 
EP 12. Mostre que a imagem do disco D = {z EC: lzl :S 1} pela fun9ao f(z) = cos z 
(resp. f (z) =sen z) esta contida no disco D' = { w EC: lwl :S (e2 + 1)/(2e)}. 
EP 13. Demonstre a Proposi9ao 6. 
34 
EP 14. Ache todas as rafzes das equa�6es: 
(a) cosh z = 1/2. 
(b) senhz = 1. 
(c) coshz = -2. 
EP 15. Prove que 
Funroes Complexas 
senh(iz) = isenz e cosh(iz) = cosz 
para todo z E C. 
EP 16. Determine os pontos fixos das seguintes fun�6es: 
(a) f (z) = (1 - i)z + 2. 
(b) g(z) = z + i. 
(c) h(z) = zez. 
Cap.2 
EP 17. Qua! e o maior m1mero de pontos fixos que uma fun�ao polinomial f (z) = a0 + 
aiz + . . . + anzn. de grau n � 2 pode ter? 
EP 18. Exiba uma inversa a direita da fun�ao f : C --T C dada por f ( z) = z3. 
EP 19. Exiba uma inversa a direita g da fun�ao f : C --T C dad a por f ( z) = z4 satisfazendo 
g(-1) = (V2 + iV2)/2. 
3 
No9i5es Basicas da Topologia 
do Plano Complexo 
1 Introdu�ao 
Neste capftulo vamos apresentaralgumas definic;oes e alguns resultados basicos da topo­
logia usual de <C que sao indispensaveis para uma discussao cuidadosa da teoria de func;oes 
de uma variavel complexa. Nosso objetivo maior aqui e o de organizar os pre-requisitos de 
topologia necessarios para futuras referencias, e nao o de oferecer um aprofundamento no 
ass unto. 
Na Sec;ao 2 introduzimos e estudamos os conceitos de conjunto aberto, conjunto fe­
chado, interior, aderencia, fronteira, ponto de acumulac;ao e conjunto limitado. 
Na Sec;ao 3 apresentamos alguns conceitos e resultados basicos envolvendo seqi.iencias 
de numeros complexos. Tambem estabelecemos o teorema de Bolzano-Weierstrass no caso 
complexo. 
Nas Sec;6es 4 e 5 estudamos as noc;oes de continuidade e de limite de func;6es com­
plexas. Estabelecemos varias propriedades importantes e analisamos a continuidade de 
algumas func;oes concretas, incluindo a func;ao argumento principal z r-+ Arg z, que de­
sempenhara um papel importante no estudo de ramos de logaritmos. 
Na Sec;ao 6 definimos a noc;ao de conjunto compacto. Estabelecemos uma caracterizac;ao 
importante destes conjuntos por meio de seqi.iencias e, usando esta caracterizac;ao, obtemos 
varias propriedades que se farao necessarias nos pr6ximos capftulos. 
Na Sec;ao 7 introduzimos os conceitos de conjunto conexo, conjunto totalmente desco­
nexo e componente conexa, e apresentamos algumas propriedades envolvendo estas noc;oes. 
36 No�oes Bdsicas da Topologia do Plano Complexo 
2 Conjuntos abertos e conjuntos fechados 
Para cada zo E C e cada numero real r > 0, definimos 
b. ( zo, r) = { z E C : I z - zo I < r}, 
b. ( zo, r) = { z E C : I z - zo I S r}, 
b.*(zo,r) = {z EC: 0 < lz - zol < r}, 
C ( zo, r) = { z E C : I z - zo I = r}. 
Cap. 3 
Os conjuntos b.(zo, r), b.(z0, r) e b. * (z0, r) sao chamados, respectivamente, de disco aberto, 
disco fechado e disco aberto deletado de centro zo e raio r. 0 conjunto C(zo, r) e o cfrculo 
de centro zo e raio r. 
Um subconjunto A de Ce dito ser um conjunto aberto se, para cada z E A, existe s > 0 
tal que b.(z, s) c A. Intuitivamente, dizer que A e aberto significa dizer que sempre que 
A contem um ponto z, A tambem contem todos os pontos suficientemente pr6ximos de z. 
Um subconjunto A de C e dito ser um conjunto fechado se o seu complementar C\A e um 
conjunto aberto. 
Alguns exemplos de subconjuntos abertos de C sao o conjunto vazio 0, o piano com­
plexo C, o disco aberto b.(z0,r), o disco aberto deletado b.*(z0,r) e o semi-piano 
{z EC: Rez > O}. E alguns exemplos de subconjuntos fechados de C sao o conjunto 
· vazio 0, o piano complexo C, o disco fechado b.(zo, r ), o cfrculo C(zo, r) e o semi-piano 
{z EC: Rez 2:'.: O}. 
Observamos que os conceitos de conjunto aberto e de conjunto fechado nao sao concei­
tos opostos um ao outro. Um conjunto pode ser s6 aberto, s6 fechado, aberto e fechado ou 
nem aberto e nem fechado. Por exemplo, 0 e C sao abertos e fechados ao mes mo tempo. J a 
o conjunto 'A = { z E C : 0 s Re z s 1 e 0 < Im z < 1} nao e aberto e nem fechado. 
Vejamos algumas propriedades dos conjuntos abertos: 
Proposi�ao 1. A uni<io de uma coler;lio arbitrdria de conjuntos abertos e um conjunto 
aberto. A interser;lio de uma coler;lio finita de conjuntos abertos e um conjunto aberto. 
Deixamos a demonstra9ao desta proposi9ao ao leitor (veja EP 1). 
Tomando-se complementares de uni5es e complementares de interse9oes na Proposi-
9ao I e usando as leis de De Morgan, obtemos as seguintes propriedades dos conjuntos 
fechados (veja EP 1): 
Proposi�ao 2. A interser;lio de uma coler;lio arbitrdria de conjuntos fechados e um conj unto 
fechado. A unilio de uma coler;ao finita de conjuntos fechados e um conjunto fechado. 
Seja A um subconjunto de C. Dizemos que z E C e um ponto interior de A se existe 
s > 0 tal que b.(z, s) c A. 0 conjunto de todos os pontos interiores de A e chamado o 
§2 Conjuntos abertos e conjuntos fechados 37 
interior de A e e denotado por Int A. Dizemos que z E C e um ponto aderente de A se 
b.. ( z' s) nA i= 0 para todo s > 0. 0 conj unto de todos OS pontos aderentes de A e chamado 0 
Jecho de A (ou a aderencia de A) e e denotado por A. Por exemplo, Int b..(zo, r) = b..(zo, r) 
e b..(zo,r) = b..(zo,r). 
Proposi�ao 3. Para todo subconjunto A de C, temos que: 
(a) Int A e aberto e Int A c A. 
(b) A e aberto se e somente se A= Int A. 
(c) A efechado e Ac A. 
( d) A e fechado se e somente se A = A. · 
Demonstra�ao. Provaremos os itens (c) e (d), e deixaremos os demais para o leitor 
(veja EP 4). 
(c): Se z EA entao a interser;ao b..(z, s) n A e nao vazia (pois contem o ponto z) qualquer 
que seja s > 0. Isto mostra que A C A. Provemos agora que A e um conjunto fechado. 
Dado z <f. A, a defini9ao de fecho nos diz que existe s > 0 ta! que b..(z, s) n A = 0, ou seja, 
b..(z, s) c C\A. Portanto, C\A e aberto e A e fechado. 
(d): Se A = A entao A e fechado pelo item (c). Suponhamos A fechado. Ja sabemos que 
A c A. Por outro lado, suponhamos z </. A. Como C\A e aberto (pois A e fechado ), existe 
s > 0 tal que b..(z, s) c C\A, ou seja, b..(z, s) n A= 0. Portanto, z <f. A. Isto prova que 
A c A e conclui a demonstra9ao. • 
Dado um subconjunto A de C, definimos afronteira de A como sendo o conjunto 
FrA = AnC\A. 
Assim, z E Fr A se e somente se 
b..(z, s) n Ai= 0 e b..(z, s) n (C\A)-/= 0 para todo s > 0. 
Note que o conjunto Fr A e fechado em vista das Proposi9oes 2 e 3(c). Por exemplo, 
Fr b.. ( zo, r) = Fr b.. ( zo, r) = C ( zo, r), Fr b.. * ( zo, r) = C ( zo, r) U { zo} e Fr { z E C : 
Rez > O} = {iy: y E JR}. 
Seja A um subconjunto de C. Dizemos que z E C e um ponto de acumulariio de A se 
b.. * (z, s) n A i= 0 para todo s > 0. E claro que todo ponto de acumula9ao de A e um ponto 
aderente de A. A recfproca e falsa em geral. Por exemplo, se A = { zo} ( onde zo E C) 
entao z0 e um ponto aderente de A mas nao e um ponto de acumula9ao de A. Se z E A e z 
38 Noroes Basicas da Topologia do Plano Complexo Cap. 3 
nao e um ponto de acumula¥ao de A, dizemos que z e um ponto isolado de A; isto significa 
dizer que existe r > 0 tal que b.(z, r) n A= {z}. 
Um subconjunto A de C e dito ser limitado se existe r > 0 tal que A c .6.(0, r). 
Caso contrario, dizemos que A e ilimitado. Por exemplo, os discos b.(z0, r) e b.(z0, r) sao 
conjuntos Iimitados. Ja a faixa { z E C : 1 ::; Im z ::; 2} e um conjunto ilimitado. 
3 Seqiiencias de numeros complexos 
Uma seqUencia em um conjunto A ( aqui A nao e necessariamente um subconjunto 
de C) e uma fun¥ao com valores em A definida em N*. Dada uma seqtiencia 
cp: N* -t A, escrevendo Xn = cp( n) podemos ver cp co mo uma regra de correspondencia 
que lista, em uma determinada ordem (a saber, x1, x2, x3, ... ), os elementos de sua 
imagem. 0 n-esimo elemento da listagem, Xn , e chamado de n-esimo termo da seqtiencia 
cp. Escrevemos (x1,x2,x3, ... ) ou (xn)nEN* ou simplesmente (xn), para indicar a se­
qtiencia cp. 
Dada uma seqtiencia (xn)nEN- em A, uma subseqUencia de (xn)nEN* e uma seqtiencia 
da forma (xnk)kEN* com n1 < n2 < n3 < · · · . 
Observamos que e comum encontrarmos seqiiencias da forma (xn)n2:k. onde k E Z 
com k "I 1. Consideramos uma tal seqtiencia como sendo a mesma que a seqtiencia 
( Xn+k-1 )nEN* · 
Agora, fixemos nossa aten¥ao em seqtiencias de numeros complexos. Dada uma seqtien­
cia (zn) em C, dizemos que (zn) e convergente se existe z E C ta! que a seguinte proprie­
dade se verifica: para todo f. > 0, existe N = N ( f.) E N* ta! que 
lzn - zl < f. sempre que n � N. 
Intuitivamente, isto significa que os termos Zn estao tao pr6ximos de z quanto se queira 
desde que n seja suficientemente grande. Se existe um tal numero complexo z, entao ele e 
unico. Ele e chamado 0 limite da seqtiencia (zn). Escrevemos Zn -t z OU z = lim Zn n�+oo 
quando (zn) e uma seqtiencia convergente com limite z. Caso contrario, escrevemos 
Zn -!+ z. Uma seqtiencia que nao e convergente e dita ser divergente. Claramente, 
in 
Como exemplo, consideremos a seqtiencia(zn) dada por Zn= -- · Temos que z1 = i/2, 
n+l 
z2 = -1/3, z3 = -i/4, ... . Note que, a medida que n cresce, Zn se aproxima de 0. De 
fato Zn -t 0, ja que 
lzn - OI = -- - 0 = -- -t 0. I 
in 
I 
1 
n+l n+l 
§3 Seqiiencias de numeros complexos 39 
Dizemos que uma seqilencia (zn) em <C e limitada se {Zn : n E N*} e um conj unto 
limitado. Nao e diffcil verificar que toda seqilencia convergente de m.lmeros complexos e 
uma seqilencia limitada, mas nao reciprocamente (veja EP 6). 
Proposi�ao 4. Uma sequencia de numeros complexos (zn) e convergente e tern limite z se 
e somente se ambas as sequencias de numeros reais (Re zn) e (Im Zn) sfio convergentes e 
tern Re z e Im z coma seus respectivos limites. 
A proposi9ao acima e conseqilencia das desigualdades 
I Rezn - Rezl :S lzn - zl, I Imzn - Imzl :S lzn - zl e 
lzn - zl :SI Rezn - Rezl +I Imzn - Imzl. 
Os detalhes da demonstra9ao sao deixados a cargo do leitor. 
A algebra de limites de seqilencias complexas e essencialmente a mesma da de limiies 
de seqilencias reais. Com a Proposi9ao 4 e os correspondentes resultados para seqi.iencias 
reais, podemos deduzir facilmente as propriedades apresentadas na seguinte: 
Proposi�ao 5. Sejam (zn) e (wn) sequencias em <C com Zn--+ z e Wn--+ w. Entfio: 
(a) czn --+ cz para todo c E <C. 
(b) Zn± Wn--+ Z ±We ZnWn--+ ZW. 
Zn Z 
(c) ---+ - sew -=f. 0. 
Wn W 
Vejamos mais dois resultados uteis sobre limites de seqilencias: 
Proposi�ao 6. Suponhamos que (Zn) e uma sequencia em <C com Zn --+ z . Entfio 
lim Znk = z para toda subsequencia (znk) de (zn)· 
k---t+oo 
Deixamos a demonstra9ao desta proposi9ao ao leitor (veja EP 9). 
Proposi�ao 7. Sejam A c <C e z E <C. Temos que z E A se e somente se existe uma 
sequencia (zn) em A tal que Zn --+ z. 
Demonstra�ao. Suponhamos que (zn) e uma seqilencia em A ta! que Zn --+ z. Dados > 0, 
existe NE N* ta! que lzn - zl < s para todo n 2:: N. Logo, Zn E �(z, s) n A para todo 
n 2:: N, o que implica que �(z, s) n A# 0. Portanto, z EA. 
Reciprocamente, suponhamos que z E A. Para cada n E N*, a interse9ao � ( z, 1 / n) n A 
e nao vazia, donde podemos tomar um ponto Zn E �(z, 1/n) n A. Obtemos assim uma 
seqilencia (zn) em A que satisfaz lzn - zl < 1/n para todo n EN*. Daf, Zn --+ z. • 
40 No(:6es Bdsicas da Topologia do Plano Complexo 
Relembremos agora um resultado importante sabre seqtiencias de m1meros reais: 
Toda sequencia limitada de numeros reais possui uma subsequencia conver­
gente. 
Cap. 3 
Este resultado e conhecido coma teorema de Balzano-Weierstrass e sua demonstra<;:ao pode 
ser encontrada em Iivros de Analise Real (veja [4] ou [7], por exemplo). Mostraremos a 
seguir que o mesmo resultado vale para seqtiencias de m1meros complexos. 
Teorema 8 (Teorema de Balzano-Weierstrass). Toda sequencia limitada de numeros com­
plexos possui uma subseqiiencia convergente. 
Demonstra�ao. Seja (zn) uma seqtiencia limitada de mlmeros complexos. Entao, (Re zn) 
e uma seqtiencia limitada de numeros reais. Pelo teorema de Balzano-Weierstrass (caso 
real), existe uma subseqtiencia (Re Znk ) de (Re Zn ) que converge para um certo xo E R 
Agora, (Im Znk ) tambem e uma seqtiencia limitada de numeros reais . Logo, existe uma 
subsequencia (Im Znk1 ) de (Im Znk ) que converge para um certo Yo E IR. Pela Proposi<;:ao 6, 
(Re Znk1 ) converge para xo. Par conseguinte, a Proposi<;:ao 4 garante que Znk1 --+ zo, onde 
zo = xo + iyo E C. • 
4 Continuidade de fun�oes complexas 
Sejam f : A --+ C uma fun<;:ao e z0 um ponto de A. Dizemos que f e continua em zo 
se, para todo E > 0, existe o = o(E, z0) > 0 tal que 
ou seja, 
lf(z) - f(zo)I < E sempre que z EA e lz - zol < o, 
J[A n b.(zo, o)] c b.(f (zo), E) 
(Figura I). Escrevemos o(E, z0) para enfatizar que o mlmero o depende, em geral, de Ee de 
zo. Dizcmos que f e descontlnua em zo se f nao e continua em zo. Isto significa dizer que 
existe algum E > 0 com a seguinte propriedade: para todo o > 0, existe z E A ta! que 
lz - zol < o mas lf(z) - f(zo)I 2: E. 
Se f e continua em todos os pontos de seu domf nio A, dizemos que f e uma funftio 
continua. Mais geralmente, se S c A, dizemos que f e continua em S se f Is e uma 
fun<;:ao continua, onde !Is e a restri<;:ao def ao conjunto S. 
§4 Continuidade de funr;oes complexas 41 
Figura 1 
A defini9ao de continuidade tern uma reformula9ao muito util em termos de seqiiencias. 
Teorema 9. Uma funfiiD f: A -+ C e continua em um ponto zo de A se e somente se, para 
toda sequencia (zn) em A convergindo para zo, a seqiiencia imagem (! (zn)) converge 
para f(zo). 
Demonstra�ao. Suponhamos que f e continua em zo e seja (zn) uma sequencia em A tal 
que Zn -+ z0• Vamos mostrar que f (zn) -+ f (zo). Fixemos E > 0. Pela defini9ao de 
continuidade, existe 8 > 0 tal que f(A n b.(zo, 8)) c b.(f(zo), E) . Como Zn -+ z0, existe 
N E N* ta! que Zn E b.(zo, 8) sempre que n � N. Assim, f(zn) E b.(f (zo), E) sempre 
que n � N, provando o que querfamos. 
Para provarmos a recfproca, vamos supor que f e descontfnua em z0 e vamos construir 
uma seqiiencia (zn) em A ta! que Zn -+ zo mas f (zn) -/+ f (zo). Pela descontinuidade 
de f em z0, existe E > 0 tal que, para cada n E N*, existe Zn E An b.(z0, l/n) com 
f (zn) ti. b.(f (zo), E) . Observe que (zn) e uma seqiiencia em A que satisfaz lzn -zol < l/n 
para todo n E N*, implicando que Zn -+ zo. Por outro !ado, como lf(zn) - f(zo)I � E 
para todo n E N*, temos que f(zn)-/+ f(zo). • 
Como aplica9ao da Proposi9ao 5 e do Teorema 9, temos que toda fun9ao racional e uma 
fun9ao contf nua. 
A Proposi9ao 5 e o Teorema 9 tomam simples as demonstra96es dos seguintes resulta­
dos que listam propriedades importantes das fun96es contfnuas: 
Proposi�ao 10. Suponhamos que as funf6es f : A -+ C e g : A -+ C sii.o ambas contfnuas 
em um ponto zo E A. Entii.o as funf6es cf, onde c e um numero complexo, f, If I, f + g, 
f - g, f g, e se g(zo) f. 0, f jg sii.o todas cont(nuas em zo . Em particular, se f e g sii.o 
funf6es contfnuas, entii.o todas as funf6es listadas acima sii.o contfnuas. 
Proposi�ao 11. Uma funfao f: A -+ C e continua em um ponto zo se e somente se as 
funf6es Ref e Im f sao cont(nuas em zo. 
42 No�oes Bdsicas da Topologia do Plano Complexo Cap. 3 
Proposi�ao 12. Suponhamos que f: A-+ Ce g: B-+ C scwfunroes com f(A) c B. Se 
f e contfnua em Zo e g e contfnua em WO = j (zo), entiio a composta go j e contfnua em 
zo . Em particular, se f e g silo funroes contfnuas, entiio g o f e contfnua. 
Deixamos as demonstra96es destas tres proposi95es para o leitor (veja EP 12). 
Se <p: IR -+ IR e uma fun9ao continua, entao a Proposi9ao 12 nos permite concluir que 
as fun95es z t-t cp(Rez) e z t-t cp(Imz) sao continuas. Assim, h(z) =ex, k(z) =cosy 
e €(z) = sen y, onde z = x + iy E C, sao exemplos de fun95es continuas. Portanto, pela 
Proposi9ao I 0, a fun9ao exponencial z t-t ez = ex cosy + iex sen y tambem e uma fun9ao 
continua. Dai segue a continuidade das seis fun95es trigonometricas e das seis fun95es 
hiperb61icas. De modo analogo, a fun9ao 
f(z) = Arcsen C�I) (1) 
e continua em C\ { 0}, uma vez que a fun9ao <p : [-1, 1] -+ IR dada por cp( t) = Arcsen t e 
continua (relembremos que para t E [-1, 1], Arcsen t e o unico numero x E [-7r /2, 7r /2] 
satisfazendo sen x = t). 
Vamos agora analisar a continuidade da fun9ao argumento principal. 
Proposi�ao 13. Afunrao e : C\ {O} -+ IR definida porO(z) = Arg z e contfnua no conjunto 
D = C\] - oo, OJ e descontfnua em todos os pontos do intervalo J - oo, O[. 
Demonstra�ao. Seja f : C\ {O} -+ IR a fun9ao dada em (1). Segue da defini9ao de 
argumento principal que podemos expressar O(z), para z = x + iy, da seguinte forma: 
{ J(z) 
e(z) = 7r - f(z) 
-'Tr - f (z) 
sex 2: 0 
se x < 0 e y 2: 0 
sex< 0 e y < 0. 
(2) 
Pela continuidade de f, vemos de (2) que e e claramente continua nos conjuntos abertos 
{z ED : x > O}, {z ED: x < 0 e y > O} e {z ED : x < 0 e y < O}. Por (2), devemos 
ter maior aten9ao nos pontos de D cuja parte real e igual a zero. Com efeito, tomemos 
zo = :ro + iyoE D com xo = 0 e Yo > 0. Para z = x + iy E D com y > 0, temos 
que IB(z) - e(zo)I = lf(z) - J(zo)I sex 2: 0, e IB(z) - e(zo)I = 17r-:- f(z) - 7r/21 = 
17r/2 - f(z)I = IJ(z) -J(zo)I sex< 0. Em outras palavras, 
IB(z) -B(zo) I = If (z) - f (zo) I, 
para toclo z E D com Im z > 0. Pela continuidade de f em z0, segue en tao que e e continua 
em zo. 0 caso em que zo = Xo + iyo com xo = 0 e Yo < 0 e tratado de modo analogo. 
Portanto, e e continua em todos OS pontos de D. 
§5 Limit es de funr;oes complexas 43 
Finalmente, se zo = xo + iyo com xo E ] - oo, O[ e y0 = 0, entao e e descontfnua em 
zo. De fato, a seqliencia (zn) dada par Zn = xo - i/n converge para z0, mas de (2) vemos 
que 
B(zn) = -7r - f(zn) -7 -7r - f(zo) = -7r =f. 7r = B(zo). 
Pelo Teorema 9, () e descontfnua em zo. • 
5 Limites de fun�oes complexas 
Sejam f : A -7 C uma func;ao e z0 um ponto de acumulac;ao de A. Dizemos que a 
func;ao f tern o m1mero complexo w0 coma seu limite em z0 se, para todo E > 0, existe 
0 = o(E, zo) > 0 ta) que 
ou seja, 
lf(z) - wol < E sempre que z EA e 0 < lz - zol < o, 
![An Ll *(z0, o)] c Ll(wo, E). 
Note que se existe um m1mero complexo w0 satisfazendo a defini<;ao acima, entao ele e 
unico. Escrevemos lim f (z) = Wo OU f (z) -7 Wo quando Z -7 ZQ para expressar que O 
z-tzo 
limite de f em zo existe e tern valor w0 . Note tambem que de acordo com a defini<;ao dada, 
s6 tern sentido escrever lim f (z) = w0 quando zo e ponto de acumula<;ao do domfnio de f. 
z-+zo 
Se quisessemos considerar a mesma defini<;ao no caso em que isso nao ocorresse, entao todo 
numero complexo seria limite de f em z0 ! De fato, se zo nao e um ponto de acumula<;ao do 
domfnio A def, existe r > 0 ta! que An Ll*(z0, r) = 0. Assim, dado E > 0, existe o > 0 
(a saber, 0 = r) ta! que f[A n Ll*(zo, o)] = 0 c Ll(w, E) seja qua! for 0 numero complexo 
w. 
De acordo com a definic;ao dada, temos que 
lim f(z) = wo � lim lf(z) - wol = 0. 
z-+zo z-+zo 
(3) 
A equiva!encia acima e muito util, pois o calculo de um limite complexo pode ser facilitado 
quando o transformamos num limite real. Para exemplificar a utilizac;ao de (3), vamos 
verificar que 
lim [z + 1 + z Log z] = l. 
z-+0 
Para z =f. 0, temos que 
l(z + 1 + z Log z) - II = lz + z Logzl = lz + z Log lzl + iz Aig zl 
::; lzl +I lzl Log lzl I+ lzl I Arg zl ::; lzl +I lzl Log lzl I + 7rlzl. 
44 Nor;oes Bdsicas da Topologia do Plano Complexo Cap. 3 
Nao e diffcil ver que a ultima expressao tende a 0 quando z ---+ 0, pois com a regra de 
L'Hopital podemos calcular o limite real lim t Log t: 
t-to+ 
L t C1 
lim t Logt - lim 
og 
= lim --- _t_1_ t�o+ -t-2 t-tO+ t-to+ - � 
lim t = 0. 
t-to+ 
As no96es de continuidade e de limite de flm96es estao intimamente ligadas, como nos 
mostra a seguinte: 
Proposi�ao 14. Sejam A c C e z0 E A. Se z0 e um ponto de acumularao de A, entiio uma 
funrao f: A ---+ Ce continua em zo se e somente se lim f (z) existe e e igual a f (zo). 
z-tzo · 
Deixamos a demonstra9ao desta proposi9ao ao leitor (veja EP 13). 
0 pr6ximo resultado nos apresenta varias propriedades importantes de limites de 
fun96es: 
Proposi�ao 15. Suponhamos que as funroes f: A ---+ Ce g: A ---+ C satisfazem f ( z) ---+ wo 
e g(z) ---+ w0 quando z ---+ z0, onde z0 e um ponto de acumularao de A. Entiio, quando 
z ---+ zo, temos que: 
(a) Ref (z) ---+Re woe Im f (z) ---+Im wo. 
(b) cf (z) ---+ cwo para qualquer c EC. 
(c) f (z) ± g(z) ---+ wo ± w0 e f (z)g(z) ---+ wow0. 
f (z) wo , ( d) -
(
-
) 
---+ -, se w0 =F 0. g Z Wo 
(e) f(z) ---+woe IJ(z)I ---+ lwol· 
Tambem deixamos a demonstra9ao desta proposi9ao ao leitor (veja EP 13). 
Aqui estao alguns exemplos de limites calculados com a ajuda dos resultados ja apre­
sentados: 
lim(2z2 - 5z + 3) = O; 
z-tl 
1. z2 + ez cos z + i 
im -----­
z-70 z + 1 + z Log z 
lim(z2 + ez cos z + i) 
z-tO 
--------- = l + i; 
lim ( z + l + z Log z) 
z-tO 
1. z3 - 4iz2 - 4z 1. z(z - 2i)2 
im = im = lim z = 2i. 
z-t2i· (z - 2i)2 z-t2i (z - 2i)2 z-t2i 
§6 Conjuntos compactos 45 
6 Conjuntos compactos 
Um subconjunto A de C e dito ser um conjunto compacto quando A e fechado e limi­
tado. Como exemplo, todo subconjunto finito de C e compacto. Todo disco fechado b.. ( z, r) 
tambem e um conjunto compacto. 0 pr6ximo resultado caracteriza os conjuntos compactos 
de C por meio de seqiiencias. 
Teorema 16. Um subconjunto A de C e compacto se e somente se toda seqiiencia em A 
tern uma subseqiiencia que converge para um ponto de A. 
Demonstra�ao. Suponhamos que A e um conjunto compacto e seja (zn) uma seqiiencia em 
A. Como A e limitado, (zn) e uma sequencia limitada em C. Logo, o teorema de Bolzano­
Weierstrass (Teorema 8) afirma que (zn) tern uma subseqiiencia (znk) que converge para 
um certo z EC. Como A e fechado, z E A pela Proposi9ao 7. 
Suponhamos agora que toda seqi.iencia em A possui uma subseqi.iencia que converge 
para um ponto de A. Temos que A e limitado e fechado. Com efeito, se A fosse ilimitado, 
para cada n E N*, existiria Zn E A ta! que Jznl > n. A seqiiencia (zn) em A nao teria 
subseqiiencia convergente, ja que toda subseqiiencia seria ilimitada. Agora, se A nao fosse 
fechado, existiria z E A ta! que z <I. A. Como z E A, pela Proposi9ao 7, existiria uma 
seqiiencia (zn) em A tal que Zn -t z. Note que toda subseqiiencia de (zn) convergiria para 
z, que nao pertence ao conjunto A.• 
0 pr6ximo resultado nos diz que a imagem de um conjunto compacto por uma fun9ao 
continua e um conjunto compacto. 
Teorema 17. Seja f: A -t C umafunrfw continua. Se K C A e um conjunto compacto, 
entfio f (K) e um conjunto compacto. 
Demonstra�ao. Seja ( Wn) um a seqiiencia em f ( K). En tao, para cada n E N*, existe 
Zn E K ta! que f(zn) = Wn. Obtemos assim uma seqiiencia (zn) em K. Como Ke 
compacto, o Teorema 16 garante que (zn) tern uma subseqi.iencia (znk) que converge para 
um certo z0 EK. Pelo Teorema 9, 
provando que (wn) tern uma subseqiiencia que converge para um ponto de f(K) . Pelo 
Teorema 16, f(K) e compacto. • 
Vamos agora provar que se um conjunto compacto K. esta contido em um conjunto 
aberto U, entao "K esta a uma distancia positiva do complementar de U". 
Teorema 18. Suponhamos K C U C C com K compacto e U aberto. Entfio, existe r > 0 
tal que b..(z, r) CU para todo z EK. 
46 No�oes Bdsicas da Topologia do Plano Complexo Cap. 3 
Demonstra�ao. Suponhamos que nenhum r > 0 tern a propriedade desejada. Vamos 
chegar a uma contradi9ao. Tomando r = I/n com n E N*, vemos que existem Zn E K 
e Wn E ti.(zn, l/n) com Wn E C\U. Como Ke compacto, a seqtiencia (zn) tern uma 
subsequencia (znk) que converge para um certo z0 EK. Temos que 
quando k -+ +oo, o que mostra que Wnk -+ z0' tambem. Como ( Wnk) e uma seqtiencia 
no fechado C\U, segue da Proposi9ao 7 que z0 E C\U, o que implica que z0 � K, uma 
contradi9ao. • 
Conclufmos esta se9ao com mais um resultado importante sobre conjuntos compactos. 
Teorema 19 (Teorema de Cantor). Se (Kn) e uma sequencia de conjuntos compactos nao 
00 
vazios em C satisfazendo Ki � K2 � · · · , entiio n Kn =f. 0. 
n=i 
Demonstra�ao. Para cada n E N*, tomemos Zn E Kn. Obtemos assim uma seqtiencia (zn) 
em Ki. Como Ki e compacto, (zn) tern uma subseqtiencia (zni) que converge para um 
certo zo E K1. Se provarmos que zo E Kn para todo n � 2, teremos o resultado desejado. 
Fixemos entao n � 2. Existe jo E N* tal que n10 � n. Como Kn � Knio � Kni para 
todo j � jo. segue que Znj E Kn sempre que j � jo. Como Znj -+ zo e Kn e fechado, 
conclufmos que z0 E Kn. Isto prova o teorema. • 
Se no teorema acima supusermos os Kn 's apenas fechados ou apenas limitados nao 
teremos a conclusao desejada. Como exemplo, consideremos os conjuntos 
An = { z E C : Jzl � n} e Bn = { z E C : 0 < lzl � 1 / n} 
para n E N*. Temos que cada An e fechado e ilimitado, e cada Bn e limitado e nao fechado. 
00 00 
Observe que n An= n Bn = 0. 
n=l n=i 
7 Conjuntos conexos 
Seja A um subconjunto de C. Uma cisao de A e uma decomposi9ao A = V U W com 
V n W = 0 e V n W = 0. Dizemos que A e um conjunto