Analise das tensões em 3D

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Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Resistência dos Materiais II Período: 2020:01 
Professor: Sebastião Simão da Silva 
ANÁLISE TRIDIMENSIONAL DE TENSÕES 
1 – INTRODUÇÃO – Conceitos iniciais 
Tensores → Interpretação matemática de conceitos físicos (independentemente do sistema de 
coordenadas). 
Componentes → são a representação do tensor em um sistema de coordenadas. 
Meio contínuo → conjunto infinito de partículas que formam parte de um sólido, de um fluído 
ou de um gás e que será estudado a nível macroscópico. 
 
Figura 01: Esquema tensor-componentes. 
2 – FORÇAS DE CORPO E DE FORÇAS DE SUPERFÍCIE 
Forças de corpo → Agem sobre elementos de volume ou de massa dentro do corpo. Ação se 
exerce a distância. Ex.: Força de gravidade. 
Forças de superfície → atuam sobre o contorno do volume material considerado. Forças de 
contato agindo sobre o corpo nas superfícies de contorno dele. Ex.: cargas pontuais ou 
distribuídas sobre a superfície de um corpo. 
 
 
 
 
Figura 02: Forças de corpo e de superfície sobre um corpo. 
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 3 – TENSOR DE TENSÃO 
Consideremos o caso particular de um volume material constituído por um tetraedro elementar 
situado ao redor de uma partícula arbitrária P do interior do meio contínuo. Posicionemos P no 
origem do sistema de coordenadas, conforme Figura 3. 
 
As áreas das faces do tetraedro 
são: 
 
 
Figura 03: Tetraedro. 
Na Figura 4 se introduz os vetores de superfície em cada uma das faces do tetraedro associando-
os aos seus correspondentes vetores normais. 
 
 
 
Figura 04: Tetraedro com forças de superfícies nas suas faces. 
# Teorema do valor médio: dada uma função contínua e diferenciável no interior de um domínio, 
a função alcança seu valor médio no interior desse domínio. 
 
 
Figura 05: Teorema do valor médio. 
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Considerando o equilíbrio das forças, isto é, pela segunda lei de Newton: 
 
E tendo em conta o teorema do valor médio: 
 
Introduzindo Si = niS e V = 1/3(Sh). 
 
Se o tetraedro se contrair para o ponto O, isto é h → 0, conforme Figura 4: 
 
 
Figura 06: Tetraedro com forças de superfícies e de corpo médias. 
Assim, o limite da expressão para o equilíbrio das forças torna-se: 
 
O vetor de força de superfície t(1) pode ser dado em função das suas componentes cartesianas 
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Figura 07: Decomposição do vetor t(1). 
Os vetores de força de superfície t(2) e t(3) também podem ser dados em função das suas 
componentes cartesianas 
 
 
 
Figura 08: Decomposição dos vetores t(2) e t(3). 
Resultando nas seguintes expressões: 
 
 
 
Relação entre o tensor de tensões [σ] e o vetor de superfície t: 
 
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Resultando em: 
 
4 – TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO 
 
Figura 09: Componentes normal e tangencial do vetor de força de superfície num ponto P em um plano 
de normal unitária n. 
As componentes do vetor de forças de superfície são dados por: 
 
Os tensores de projeção podem ser expressos por: 
 
O vetor unitário na direção da tensão de cisalhamento é dado por: 
 
O valor escalar da componente normal do vetor de forças de superfície é dado por: 
 
O valor escalar da componente cisalhante do vetor de forças de superfície é dado por: 
 
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5 – TENSÕES PRINCIPAIS E DIREÇÕES DAS DIREÇÕES PRINCIPAIS 
O tensor de tensão de Cauchy é um tensor de segunda ordem simétrico de modo que ele pode 
se diagonalizar em uma base ortonormal e o autovalores dele são números reais. 
Para os autovalores λ e seus coorespondentes autovetores v: 
 
 
6 – PARTES ESFÉRICAS E DESVIADORAS DO TENSOR DE TENSÃO 
O tensor de tensão pode ser dividido em: 
 
Tensor esférico σsph (ou tensor de tensão hidrostática ou tensor de tensão normal média)→ 
define o estado hidrostático de tensão. Tende a mudar o volume do corpo sob tensão. 
 
Tensor desviador de tensão σ’ → é um indicador do quão longe de um estado hidrostático um 
estado de tensão está. Tende a distorcer o volume do corpo sob tensão. 
 
Mudanças de variável na equação característica: 
 
 
 
Figura 10: Diagonalização do tensor de tensões. 
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7 – CÍRCULO DE MOHR EM TRÊS DIMENSÕES 
Foi introduzido por Otto Mohr em 1882. 
O círculo de Mohr é uma representação gráfica bidimensional do estado de tensão em um 
ponto. 
É diferente a forma do círculo de Mohr para estados de tensão em 2D e 3D; 
Pode-se construir facilmente o cículo de Mohr conhecendo-se as três tensões principais. Com 
ele pode-se discriminar estados de tensões possíveis sobre os planos e determinar valores 
máximos de tensões tangenciais, etc. 
 
Figura 11: Valores máximos e médios das tensões normais e de cisalhamento. 
Ilustra tensões principais e tensões de cisalhamento máxima bem como tensões de 
transformações; 
É uma opção útil para compreender rapidamente a relação entre as tensões para um dado 
estado de tensão. 
Pode-se demonstrar que todo ponto no interior do domínio entre os semicírculos (região cinza 
da figura abaixo) é factível (no sentido que os correspondentes valores de  e  correspondem 
a estados de tensões que passam sobre um certo plano passa pelo ponto P). 
 
Figura 12: Domínio admissível das tensões no círculo de Mohr em 3D.