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PME3398 – Fundamentos de Termodinâmica e Transferência de Calor Professores Bruno Carmo e Antonio Pacífico Lista de exercícios resolvidos 10 – Condução com geração 1- Seja a condução unidimensional em uma parede plana composta. Sua superfície externa está exposta a um fluido a 25 °C, com um coeficiente convectivo de 1000 W/(m2⋅K). Na parede intermediária B há geração uniforme de calor a uma taxa !qB , enquanto não existe geração nas paredes A e C. As temperaturas nas interfaces são T1 = 261 °C e T2 = 211 °C. Supondo resistências de contato desprezíveis nas interfaces, determine a taxa volumétrica de geração de calor !qB e a condutividade térmica kB. 2- Uma parede plana de espessura L = 4 cm possui condutividade térmica k = 20 W/(m⋅K). Uma reação química ocorre dentro da parede, resultando em uma geração de calor uniforme a uma taxa !egen = 10 5 W/m³. Entre a parede e a camada isolante existe um aquecedor de espessura desprezível que gera um fluxo de calor !qs = 16 kW/m². O lado oposto da parede está em contato com água a uma temperatura T∞ = 40 °C. Um sensor de temperatura localizado na parede em contato com a água marca Ts = 90 °C. Pede-se: a. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e a água; b. Mostre que a distribuição permanente de temperatura possui a forma T(x) = ax² + bx + c e determine os valores e unidades de a, b e c. A origem de x é mostrada na figura; c. Determine a posição e o valor da temperatura máxima na parede; d. Esta posição pode ser encontrada sem conhecer os valores de a, b e c, mas sabendo que T(x) é uma função quadrática? Justifique. 3- Considere uma tubulação de água de comprimento L = 17 m, raio interno r1 = 15 cm, raio externo r2 = 20 cm e condutividade térmica k = 14 W/(m⋅K). Gera-se calor uniformemente no cano por um aquecedor elétrico de 25 kW. As superfícies interna e externa da tubulação estão a T1 = 60 °C e T2 = 80 °C, respectivamente. Pede-se: a. A equação da distribuição de temperatura em função do raio do cano (entre r1 e r2) específica para as condições deste enunciado; b. A temperatura do cano na sua superfície média [r = (r1 + r2)/2]; c. A temperatura calculada no item (b) é a temperatura máxima? Justifique. 4- Rejeitos radioativos são colocados em um recipiente esférico de parede delgada. Os rejeitos geram energia térmica de forma não uniforme de acordo com a relação !q = !qo [1− (r / ro) 2 ] , na qual !q é a taxa local de geração de energia por unidade de volume, !qo é uma constante e ro é o raio do recipiente. Condições de regime estacionário são mantidas pela imersão do recipiente em um líquido que se encontra a T∞ e fornece um coeficiente convectivo h uniforme. Determine a distribuição de temperaturas, T(r), no interior do recipiente. Expresse o seu resultado em termos de !qo , ro, T∞, h e da condutividade térmica k dos rejeitos radioativos. PME3398 – Fundamentos de Termodinâmica e Transferência de Calor Professores Bruno Carmo e Antonio Pacífico Soluções da Lista de Exercícios 10 1) Condução em regime permanente em parede plana, com geração em B e sem geração em A e C. Fazendo um balanço de energia em B, por unidade de área: 2 ˙qBLB = q001 + q 00 2 ˙qB = (q001 + q 00 2)/(2LB) PROBLEM 3.84 KNOWN: Composite wall with outer surfaces exposed to convection process. FIND: (a) Volumetric heat generation and thermal conductivity for material B required for special conditions, (b) Plot of temperature distribution, (c) T1 and T2, as well as temperature distributions corresponding to loss of coolant condition where h = 0 on surface A. SCHEMATIC: LA = 30 mm LB = 30 mm LC = 20 mm kA = 25 W/mK kC = 50 W/mK ASSUMPTIONS: (1) Steady-state, one-dimensional heat transfer, (2) Negligible contact resistance at interfaces, (3) Uniform generation in B; zero in A and C. ANALYSIS: (a) From an energy balance on wall B, in out g stE E E E� � � � � � 1 2 Bq q 2qL 0cc cc� � � � � �B 1 2 Bq q q 2Lcc cc �� . (1) To determine the heat fluxes, ccq1 and ccq2 , construct thermal circuits for A and C: � � � �1 1 A Aq T T 1 h L kfcc � � � � � �2 2 C Cq T T L k 1 hfcc � � � �1 2 1 0.030 m q 261 25 C 25 W m K1000 W m K cc � � § · ¨ ¸¨ ¸© ¹ $ � �2 2 0.020 m 1 q 211 25 C 50 W m K 1000 W m K cc � � § · ¨ ¸¨ ¸© ¹ $ � � 21q 236 C 0.001 0.0012 m K Wcc � $ � � 22q 186 C 0.0004 0.001 m K Wcc � $ 2 1q 107, 273 W mcc 2 2q 132,857 W mcc Using the values for 1qcc and 2qcc in Eq. (1), find � �2 6 3Bq 106,818 132,143 W m 2 0.030 m 4.00 10 W m � u u� . < To determine kB, use the general form of the temperature (Eq. 3.40) and heat flux distributions in wall B, 2B B1 2 x B 1 B B q q T(x) x C x C q (x) k x C 2k k cc � � � � � �ª º« »¬ ¼ � � (2,3) there are 3 unknowns, C1, C2 and kB, which can be evaluated using three conditions, Continued... Para determinar os fluxos q001 e q002 , construímos os circuitos térmicos para as paredes A e C. PROBLEM 3.84 KNOWN: Composite wall with outer surfaces exposed to convection process. FIND: (a) Volumetric heat generation and thermal conductivity for material B required for special conditions, (b) Plot of temperature distribution, (c) T1 and T2, as well as temperature distributions corresponding to loss of coolant condition where h = 0 on surface A. SCHEMATIC: LA = 30 mm LB = 30 mm LC = 20 mm kA = 25 W/mK kC = 50 W/mK ASSUMPTIONS: (1) Steady-state, one-dimensional heat transfer, (2) Negligible contact resistance at interfaces, (3) Uniform generation in B; zero in A and C. ANALYSIS: (a) From an energy balance on wall B, in out g stE E E E� � � � � � 1 2 Bq q 2qL 0cc cc� � � � � �B 1 2 Bq q q 2Lcc cc �� . (1) To determine the heat fluxes, ccq1 and ccq2 , construct thermal circuits for A and C: � � � �1 1 A Aq T T 1 h L kfcc � � � � � �2 2 C Cq T T L k 1 hfcc � � � �1 2 1 0.030 m q 261 25 C 25 W m K1000 W m K cc � � § · ¨ ¸¨ ¸© ¹ $ � �2 2 0.020 m 1 q 211 25 C 50 W m K 1000 W m K cc � � § · ¨ ¸¨ ¸© ¹ $ � � 21q 236 C 0.001 0.0012 m K Wcc � $ � � 22q 186 C 0.0004 0.001 m K Wcc � $ 2 1q 107, 273 W mcc 2 2q 132,857 W mcc Using the values for 1qcc and 2qcc in Eq. (1), find � �2 6 3Bq 106,818 132,143 W m 2 0.030 m 4.00 10 W m � u u� . < To determine kB, use the general form of the temperature (Eq. 3.40) and heat flux distributions in wall B, 2B B1 2 x B 1 B B q q T(x) x C x C q (x) k x C 2k k cc � � � � � �ª º« »¬ ¼ � � (2,3) there are 3 unknowns, C1, C2 and kB, which can be evaluated using three conditions, Continued... q001 = (T1 � T1)/(1/h+ LA/kA) q001 = (261� 25)/(1/1000 + 0,030/25) q001 = 107273W/m 2 PROBLEM 3.84 KNOWN: Composite wall with outer surfaces exposed to convection process. FIND: (a) Volumetric heat generation and thermal conductivity for material B required for special conditions, (b) Plot of temperature distribution, (c) T1 and T2, as well as temperature distributions corresponding to loss of coolant condition where h = 0 on surface A. SCHEMATIC: LA = 30 mm LB = 30 mm LC = 20 mm kA = 25 W/mK kC = 50 W/mK ASSUMPTIONS: (1) Steady-state, one-dimensional heat transfer, (2) Negligible contact resistance at interfaces, (3) Uniform generation in B; zero in A and C. ANALYSIS: (a) From an energy balance on wall B, in out g stE E E E� � � � � � 1 2 Bq q 2qL 0cc cc� � � � � �B 1 2 Bq q q 2Lcc cc �� . (1) To determine the heat fluxes, ccq1 and ccq2 , construct thermal circuits for A and C: � � � �1 1 A Aq TT 1 h L kfcc � � � � � �2 2 C Cq T T L k 1 hfcc � � � �1 2 1 0.030 m q 261 25 C 25 W m K1000 W m K cc � � § · ¨ ¸¨ ¸© ¹ $ � �2 2 0.020 m 1 q 211 25 C 50 W m K 1000 W m K cc � � § · ¨ ¸¨ ¸© ¹ $ � � 21q 236 C 0.001 0.0012 m K Wcc � $ � � 22q 186 C 0.0004 0.001 m K Wcc � $ 2 1q 107, 273 W mcc 2 2q 132,857 W mcc Using the values for 1qcc and 2qcc in Eq. (1), find � �2 6 3Bq 106,818 132,143 W m 2 0.030 m 4.00 10 W m � u u� . < To determine kB, use the general form of the temperature (Eq. 3.40) and heat flux distributions in wall B, 2B B1 2 x B 1 B B q q T(x) x C x C q (x) k x C 2k k cc � � � � � �ª º« »¬ ¼ � � (2,3) there are 3 unknowns, C1, C2 and kB, which can be evaluated using three conditions, Continued... q002 = (T2 � T1)/(1/h+ LC/kC) q002 = (211� 25)/(1/1000 + 0,020/50) q002 = 132857W/m 2 Usando estes valores, encontramos o valor de q˙B: q˙B = (107273 + 132587)/(2⇥ 0,030) = 3,99⇥ 106W/m3 Para encontrar kB, usamos a forma geral da distribuição de temperaturas numa parede com geração aplicada à parede B, T (x) = � q˙B 2kB x2 + C1x+ C2 Aplicando as condições de contorno T (�LB) = T1 e T (+LB) = T2, obtemos C1 = T2 � T1 2LB , C2 = q˙B 2kB L2B+ T1 + T2 2 ) T (x) = q˙BL 2 2kB ✓ 1� x 2 L2B ◆ + T2 � T1 2 x LB + T1 + T2 2 Calculamos então a expressão do fluxo de calor, q00x(x) = �kB dT dx = �kB ✓ � q˙B kB x+ C1 ◆ = q˙Bx� C1kB = q˙Bx� T2 � T1 2LB kB, e usamos um dos pontos onde conhecemos o valor do fluxo, por exemplo q00x(+LB) = q002 , 132857 = 3,99⇥ 106 ⇥ 0,030� 211� 261 2⇥ 0,030 kB ) kB = 15,8W/(m · K) 2) a. O fluxo de calor total que emerge pela face da parede em contato com a água, q00t é dado por q00t = q00s + q000L. Nesta face o balanço de energia, então, será dado por: q00t = h (Ts � T1)) q00s + q000L = h (Ts � T1)) h = q00s + q 000L Ts � Tinfty h = 16000 + 105 ⇥ 0,04 90� 40 = 400W/(m 2.K) b. A equação diferencial para este caso é: k d2T dx2 + q000 = 0 Cuja solução é: T (x) = �q 000 2k x2 + bx+ c De onde fica claro que a solução é do tipo T (x) = ax2 + bx+ c. Determinando os coeficientes a, b e c: a = �q 000 2k = � 10 5 220 = �2500 °C/m2 Para x = 0) T (x = 0) = T (0) = Ts = 90 °C, logo, c = 90 °C. Para x = L) �k ✓ dT dx ◆ x=L = �q00s . Assim1, k ✓ �q 000L k + b ◆ = q00s ) b = 1 k (q00s + q 000L) = 1 20 ⇥ �16000 + 105 ⇥ 0,04� = 1000 °C/m c. Para polinômios do 2o grau, a coordenada para pontos de máximo (ou mínimo) é: xextr = �b/(2a) = 1000/[2⇥ (�2500)] = 0,2m = 20 cm Mas x = 20 cm localiza-se fora da parede. Assim, Tmáx ocorre para x = L: Tmáx = T (x = L) = �2500L2 + 1000L+ 90 Tmáx = �2500⇥ 0,042 + 1000⇥ 0,04 + 90 = 126 °C d. O sentido de q00s (x = L) se dá no sentido negativo da coordenada x. Assim, em x = L isso indica que a temperatura no sentido positivo de x. Se a é negativa, o gráfico de T (x) é semelhante ao da figura (A) abaixo, que mostra Tmáx em x = L. Se a é positiva, o gráfico de T (x) deve ser semelhante ao da figura (B), que é incompatível com o sentido da transferência de calor na superfície da parede em contato com a água. Assim, a distribuição de temperatura 1b também poderia ter sisdo calculado por: �k ✓ dT dx ◆ x=0 = �h (Ts � T1)) k(a⇥ 0 + b) = h (Ts � T1)) b = 400 20 · (90� 40) = 1000 °c/m deve ser como indicado na figura (A), onde Tmáx ocorre somente em x = L, e assim, esta fica determinada sem utilização de valores numéricos de a, b ou c. . sq’’(0) . sq’’(L) . sq’’(L) . sq’’(0) Aqui, transferência de calor e inclinação são incompatíveis inclinação máx (A) inclinação mín (B) Note que outra maneira de argumentar seria: Em regime permanente o sentido do fluxo de calor não pode ser da direita para a esquerda em nenhum lugar, porque o limite esquerdo da parede é isolado. Se isto fosse verdade (fluxo de calor da direita para a esquerda) então deveria haver acúmulo de energia em algum lugar, contradizendo o regime permanente. Deste modo, a temperatura deve diminuir continuamente da esquerda para a direita e, assim, Tmáx ocorre em x = L. 3) Para realização dos cálculos envolvidos neste exercício, antes é necessário conhecer a taxa de geração volumétrica de energia: q000 = Q˙ V = 4Q˙ ⇡ (D22 �D21)L = 4⇥ 25⇥ 103 ⇡ ⇥ (0,42 � 0,32)⇥ 17 = 26,75 kW/m 3 a. Equação diferencial (difusão do calor 1D, regime permanente, com geração de energia): 1 r d dr ✓ r dT dr ◆ + q000 k = 0 Condições de contorno: 1. T (r1) = T1 = 60 °C; 2. T (r2) = T2 = 80 °C. Voltando à solução da equação diferencial: r dT dr = �q 000r2 2k + C1 ) dT dr = �q 000r 2k + C1 r ) T (r) = �q 000r2 4k + C1 ln r + C2 Aplicando as condições de contorno: 60 = �26,75⇥ 10 3 ⇥ 0,152 4⇥ 14 + C1 ln 0,15 + C2 80 = � 26,75⇥ 103 ⇥ 0,22 4⇥ 14 + C1 ln 0,2 + C2 Resolvendo, C1 = 98,58; C2 = 257,8. Assim: T (r) = �26,75⇥ 10 3r2 4⇥ 14 + 98,58 ln r + 257,8 = �477,7r 2 + 98,58 ln r + 257,8 b. No plano central rc = (r1 + r2)/2 = 17,5 cm. T (rc) = �477,7⇥ 0,1752 + 98,58 ln 0,175 + 257,8 = 71,3 °C c. Na condição de máxima temperatura, (dT/dr) = 0, assim, �q 000r 2k + 98,58 r = 0 ) 26,75⇥ 10 3r 2⇥ 14 = 98,58 r ) rTmáx = 0,321m = 32,1 cm Portanto Tmáx só ocorreria para um raio maior que o limite físico do exercício (20 cm). Logo a temperatura calculada no item (b) não é a temperatura máxima; a temperatura máxima ocorre para r = r2 = 20 cm. 4) Trata-se de um caso de condução unidimensional com geração em geometria esférica, com condutividade térmica constante. A forma apropriada da equação de difusão do calor é 1 r2 d dr ✓ r2 dT dr ◆ = � q˙ k = � q˙o k " 1� ✓ r ro ◆2# Integrando em r:Z d dr ✓ r2 dT dr ◆ dr = Z � q˙o k ✓ r2 � r 4 r2o ◆ dr ) r2dT dr = � q˙o k ✓ r3 3 � r 5 5r2o ◆ + C1 Integrando mais uma vez em r:Z dT dr dr = Z � q˙o k ✓ r 3 � r 3 5r2o ◆ + C1 r2 � dr ) T (r) = � q˙o k ✓ r2 6 � r 4 20r2o ◆ � C1 r + C2 Aplicamos agora as condições de contorno: • dT dr ���� r=0 = 0 (simetria): dT dr ���� r=0 = � q˙o k ✓ 0 3 � 0 3 5r2o ◆ + C1 02 = 0 ) C1 = 0 • �kdT dr ���� r=ro = h[T (ro)� T1] : � q˙o k ✓ ro 3 � r 3 o 5r2o ◆ = h � q˙o k ✓ r2o 6 � r 4 o 20r2o ◆ + C2 � T1 � ) C2 = 2roq˙o 15h + 7q˙or2o 60k + T1 Portanto, a distribuição de temperaturas é T (r) = T1 + 2roq˙o 15h + q˙or2o k " 7 60 � 1 6 ✓ r ro ◆2 + 1 20 ✓ r ro ◆4#
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