Lista de exercícios resolvidos 10 Condução com geração

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PME3398 – Fundamentos de Termodinâmica e Transferência de Calor 
Professores Bruno Carmo e Antonio Pacífico 
 
Lista de exercícios resolvidos 10 – Condução com geração 
 
1- Seja a condução unidimensional em uma parede plana composta. Sua superfície externa está 
exposta a um fluido a 25 °C, com um coeficiente convectivo de 1000 W/(m2⋅K). Na parede 
intermediária B há geração uniforme de calor a uma taxa !qB , enquanto não existe geração nas 
paredes A e C. As temperaturas nas interfaces são T1 = 261 °C e T2 = 211 °C. Supondo 
resistências de contato desprezíveis nas interfaces, determine a taxa volumétrica de geração 
de calor !qB e a condutividade térmica kB. 
 
2- Uma parede plana de espessura L = 4 cm possui condutividade térmica k = 20 W/(m⋅K). Uma 
reação química ocorre dentro da parede, resultando em uma geração de calor uniforme a uma 
taxa !egen = 10
5 W/m³. Entre a parede e a camada isolante existe um aquecedor de espessura 
desprezível que gera um fluxo de calor !qs = 16 kW/m². O lado oposto da parede está em 
contato com água a uma temperatura T∞ = 40 °C. Um sensor de temperatura localizado na 
parede em contato com a água marca Ts = 90 °C. Pede-se: 
a. O coeficiente de transferência de calor por convecção 
entre a parede e a água; 
b. Mostre que a distribuição permanente de temperatura 
possui a forma T(x) = ax² + bx + c e determine os 
valores e unidades de a, b e c. A origem de x é 
mostrada na figura; 
c. Determine a posição e o valor da temperatura máxima 
na parede; 
d. Esta posição pode ser encontrada sem conhecer os 
valores de a, b e c, mas sabendo que T(x) é uma 
função quadrática? Justifique. 
3- Considere uma tubulação de água de comprimento L = 17 m, raio interno r1 = 15 cm, raio 
externo r2 = 20 cm e condutividade térmica k = 14 W/(m⋅K). Gera-se calor uniformemente no 
cano por um aquecedor elétrico de 25 kW. As superfícies interna e externa da tubulação estão 
a T1 = 60 °C e T2 = 80 °C, respectivamente. Pede-se: 
a. A equação da distribuição de temperatura em função do raio do cano (entre r1 e r2) 
específica para as condições deste enunciado; 
b. A temperatura do cano na sua superfície média [r = (r1 + r2)/2]; 
c. A temperatura calculada no item (b) é a temperatura máxima? Justifique. 
4- Rejeitos radioativos são colocados em um recipiente esférico de parede delgada. Os rejeitos 
geram energia térmica de forma não uniforme de acordo com a relação !q = !qo [1− (r / ro)
2 ] , na 
qual !q é a taxa local de geração de energia por unidade de volume, !qo é uma constante e ro é 
o raio do recipiente. Condições de regime estacionário são mantidas pela imersão do 
recipiente em um líquido que se encontra a T∞ e 
fornece um coeficiente convectivo h uniforme. 
Determine a distribuição de temperaturas, T(r), no 
interior do recipiente. Expresse o seu resultado 
em termos de !qo , ro, T∞, h e da condutividade 
térmica k dos rejeitos radioativos. 
PME3398 – Fundamentos de Termodinâmica e Transferência de Calor
Professores Bruno Carmo e Antonio Pacífico
Soluções da Lista de Exercícios 10
1) Condução em regime permanente em parede plana, com geração em B e sem geração em A
e C. Fazendo um balanço de energia em B, por unidade de área:
2 ˙q
B
L
B
= q001 + q
00
2
˙q
B
= (q001 + q
00
2)/(2LB)
PROBLEM 3.84 
 
KNOWN: Composite wall with outer surfaces exposed to convection process. 
 
FIND: (a) Volumetric heat generation and thermal conductivity for material B required for special 
conditions, (b) Plot of temperature distribution, (c) T1 and T2, as well as temperature distributions 
corresponding to loss of coolant condition where h = 0 on surface A. 
 
SCHEMATIC: 
 
 
LA = 30 mm 
LB = 30 mm 
LC = 20 mm 
kA = 25 W/m�K 
kC = 50 W/m�K
ASSUMPTIONS: (1) Steady-state, one-dimensional heat transfer, (2) Negligible contact resistance at 
interfaces, (3) Uniform generation in B; zero in A and C. 
 
ANALYSIS: (a) From an energy balance on wall B, 
 
 in out g stE E E E� � � � � � 
 
 1 2 Bq q 2qL 0cc cc� � � � 
 
 � �B 1 2 Bq q q 2Lcc cc �� . (1) 
To determine the heat fluxes, ccq1 and ccq2 , construct thermal circuits for A and C: 
 
 
� � � �1 1 A Aq T T 1 h L kfcc � � � � � �2 2 C Cq T T L k 1 hfcc � � 
� �1 2
1 0.030 m
q 261 25 C
25 W m K1000 W m K
cc � �
��
§ ·
¨ ¸¨ ¸
© ¹
$ � �2 2
0.020 m 1
q 211 25 C
50 W m K 1000 W m K
cc � �
� �
§ ·
¨ ¸¨ ¸
© ¹
$ 
� � 21q 236 C 0.001 0.0012 m K Wcc � �
$ � � 22q 186 C 0.0004 0.001 m K Wcc � �
$ 
2
1q 107, 273 W mcc 
2
2q 132,857 W mcc 
 
Using the values for 1qcc and 2qcc in Eq. (1), find 
 � �2 6 3Bq 106,818 132,143 W m 2 0.030 m 4.00 10 W m � u u� . < 
 
To determine kB, use the general form of the temperature (Eq. 3.40) and heat flux distributions in wall B, 
 2B B1 2 x B 1
B B
q q
T(x) x C x C q (x) k x C
2k k
cc � � � � � �
ª º
« »
¬ ¼
� �
 (2,3) 
 
there are 3 unknowns, C1, C2 and kB, which can be evaluated using three conditions, 
Continued... 
Para determinar os fluxos q001 e q002 , construímos os circuitos térmicos para as paredes A e C.
PROBLEM 3.84 
 
KNOWN: Composite wall with outer surfaces exposed to convection process. 
 
FIND: (a) Volumetric heat generation and thermal conductivity for material B required for special 
conditions, (b) Plot of temperature distribution, (c) T1 and T2, as well as temperature distributions 
corresponding to loss of coolant condition where h = 0 on surface A. 
 
SCHEMATIC: 
 
 
LA = 30 mm 
LB = 30 mm 
LC = 20 mm 
kA = 25 W/m�K 
kC = 50 W/m�K
ASSUMPTIONS: (1) Steady-state, one-dimensional heat transfer, (2) Negligible contact resistance at 
interfaces, (3) Uniform generation in B; zero in A and C. 
 
ANALYSIS: (a) From an energy balance on wall B, 
 
 in out g stE E E E� � � � � � 
 
 1 2 Bq q 2qL 0cc cc� � � � 
 
 � �B 1 2 Bq q q 2Lcc cc �� . (1) 
To determine the heat fluxes, ccq1 and ccq2 , construct thermal circuits for A and C: 
 
 
� � � �1 1 A Aq T T 1 h L kfcc � � � � � �2 2 C Cq T T L k 1 hfcc � � 
� �1 2
1 0.030 m
q 261 25 C
25 W m K1000 W m K
cc � �
��
§ ·
¨ ¸¨ ¸
© ¹
$ � �2 2
0.020 m 1
q 211 25 C
50 W m K 1000 W m K
cc � �
� �
§ ·
¨ ¸¨ ¸
© ¹
$ 
� � 21q 236 C 0.001 0.0012 m K Wcc � �
$ � � 22q 186 C 0.0004 0.001 m K Wcc � �
$ 
2
1q 107, 273 W mcc 
2
2q 132,857 W mcc 
 
Using the values for 1qcc and 2qcc in Eq. (1), find 
 � �2 6 3Bq 106,818 132,143 W m 2 0.030 m 4.00 10 W m � u u� . < 
 
To determine kB, use the general form of the temperature (Eq. 3.40) and heat flux distributions in wall B, 
 2B B1 2 x B 1
B B
q q
T(x) x C x C q (x) k x C
2k k
cc � � � � � �
ª º
« »
¬ ¼
� �
 (2,3) 
 
there are 3 unknowns, C1, C2 and kB, which can be evaluated using three conditions, 
Continued... 
q
00
1 = (T1 � T1)/(1/h+ LA/kA)
q
00
1 = (261� 25)/(1/1000 + 0,030/25)
q
00
1 = 107273W/m
2
PROBLEM 3.84 
 
KNOWN: Composite wall with outer surfaces exposed to convection process. 
 
FIND: (a) Volumetric heat generation and thermal conductivity for material B required for special 
conditions, (b) Plot of temperature distribution, (c) T1 and T2, as well as temperature distributions 
corresponding to loss of coolant condition where h = 0 on surface A. 
 
SCHEMATIC: 
 
 
LA = 30 mm 
LB = 30 mm 
LC = 20 mm 
kA = 25 W/m�K 
kC = 50 W/m�K
ASSUMPTIONS: (1) Steady-state, one-dimensional heat transfer, (2) Negligible contact resistance at 
interfaces, (3) Uniform generation in B; zero in A and C. 
 
ANALYSIS: (a) From an energy balance on wall B, 
 
 in out g stE E E E� � � � � � 
 
 1 2 Bq q 2qL 0cc cc� � � � 
 
 � �B 1 2 Bq q q 2Lcc cc �� . (1) 
To determine the heat fluxes, ccq1 and ccq2 , construct thermal circuits for A and C: 
 
 
� � � �1 1 A Aq T T 1 h L kfcc � � � � � �2 2 C Cq T T L k 1 hfcc � � 
� �1 2
1 0.030 m
q 261 25 C
25 W m K1000 W m K
cc � �
��
§ ·
¨ ¸¨ ¸
© ¹
$ � �2 2
0.020 m 1
q 211 25 C
50 W m K 1000 W m K
cc � �
� �
§ ·
¨ ¸¨ ¸
© ¹
$ 
� � 21q 236 C 0.001 0.0012 m K Wcc � �
$ � �22q 186 C 0.0004 0.001 m K Wcc � �
$ 
2
1q 107, 273 W mcc 
2
2q 132,857 W mcc 
 
Using the values for 1qcc and 2qcc in Eq. (1), find 
 � �2 6 3Bq 106,818 132,143 W m 2 0.030 m 4.00 10 W m � u u� . < 
 
To determine kB, use the general form of the temperature (Eq. 3.40) and heat flux distributions in wall B, 
 2B B1 2 x B 1
B B
q q
T(x) x C x C q (x) k x C
2k k
cc � � � � � �
ª º
« »
¬ ¼
� �
 (2,3) 
 
there are 3 unknowns, C1, C2 and kB, which can be evaluated using three conditions, 
Continued... 
q
00
2 = (T2 � T1)/(1/h+ LC/kC)
q
00
2 = (211� 25)/(1/1000 + 0,020/50)
q
00
2 = 132857W/m
2
Usando estes valores, encontramos o valor de q̇
B
:
q̇
B
= (107273 + 132587)/(2⇥ 0,030) = 3,99⇥ 106 W/m3
Para encontrar k
B
, usamos a forma geral da distribuição de temperaturas numa parede com
geração aplicada à parede B,
T (x) = � q̇B
2k
B
x
2 + C1x+ C2
Aplicando as condições de contorno T (�L
B
) = T1 e T (+LB) = T2, obtemos
C1 =
T2 � T1
2L
B
, C2 =
q̇
B
2k
B
L
2
B
+
T1 + T2
2
) T (x) = q̇BL
2
2k
B
✓
1� x
2
L
2
B
◆
+
T2 � T1
2
x
L
B
+
T1 + T2
2
Calculamos então a expressão do fluxo de calor,
q
00
x
(x) = �k
B
dT
dx
= �k
B
✓
� q̇B
k
B
x+ C1
◆
= q̇
B
x� C1kB = q̇Bx�
T2 � T1
2L
B
k
B
,
e usamos um dos pontos onde conhecemos o valor do fluxo, por exemplo q00
x
(+L
B
) = q002 ,
132857 = 3,99⇥ 106 ⇥ 0,030� 211� 261
2⇥ 0,030 kB ) kB = 15,8W/(m ·K)
2) a. O fluxo de calor total que emerge pela face da parede em contato com a água, q00
t
é dado
por q00
t
= q00
s
+ q000L. Nesta face o balanço de energia, então, será dado por:
q
00
t
= h (T
s
� T1) ) q00
s
+ q000L = h (T
s
� T1) ) h =
q
00
s
+ q000L
T
s
� T
infty
h =
16000 + 105 ⇥ 0,04
90� 40 = 400W/(m
2
.K)
b. A equação diferencial para este caso é:
k
d2T
dx2
+ q000 = 0
Cuja solução é:
T (x) = �q
000
2k
x
2 + bx+ c
De onde fica claro que a solução é do tipo T (x) = ax2 + bx+ c.
Determinando os coeficientes a, b e c:
a = �q
000
2k
= � 10
5
220
= �2500 °C/m2
Para x = 0 ) T (x = 0) = T (0) = T
s
= 90 °C, logo, c = 90 °C.
Para x = L ) �k
✓
dT
dx
◆
x=L
= �q00
s
. Assim1,
k
✓
�q
000
L
k
+ b
◆
= q00
s
) b = 1
k
(q00
s
+ q000L) =
1
20
⇥
�
16000 + 105 ⇥ 0,04
�
= 1000 °C/m
c. Para polinômios do 2o grau, a coordenada para pontos de máximo (ou mínimo) é:
x
extr
= �b/(2a) = 1000/[2⇥ (�2500)] = 0,2m = 20 cm
Mas x = 20 cm localiza-se fora da parede. Assim, T
máx
ocorre para x = L:
T
máx
= T (x = L) = �2500L2 + 1000L+ 90
T
máx
= �2500⇥ 0,042 + 1000⇥ 0,04 + 90 = 126 °C
d. O sentido de q00
s
(x = L) se dá no sentido negativo da coordenada x. Assim, em x = L
isso indica que a temperatura no sentido positivo de x. Se a é negativa, o gráfico de T (x) é
semelhante ao da figura (A) abaixo, que mostra T
máx
em x = L. Se a é positiva, o gráfico de
T (x) deve ser semelhante ao da figura (B), que é incompatível com o sentido da transferência
de calor na superfície da parede em contato com a água. Assim, a distribuição de temperatura
1
b também poderia ter sisdo calculado por:
�k
✓
dT
dx
◆
x=0
= �h (T
s
� T1) ) k(a⇥ 0 + b) = h (Ts � T1) ) b =
400
20
· (90� 40) = 1000 °c/m
deve ser como indicado na figura (A), onde T
máx
ocorre somente em x = L, e assim, esta fica
determinada sem utilização de valores numéricos de a, b ou c.
.
sq’’(0)
.
sq’’(L)
.
sq’’(L) .
sq’’(0)
Aqui, transferência de calor
e inclinação são incompatíveis
inclinação
máx
(A)
inclinação
mín
(B)
Note que outra maneira de argumentar seria: Em regime permanente o sentido do fluxo de
calor não pode ser da direita para a esquerda em nenhum lugar, porque o limite esquerdo da
parede é isolado. Se isto fosse verdade (fluxo de calor da direita para a esquerda) então deveria
haver acúmulo de energia em algum lugar, contradizendo o regime permanente. Deste modo, a
temperatura deve diminuir continuamente da esquerda para a direita e, assim, T
máx
ocorre em
x = L.
3) Para realização dos cálculos envolvidos neste exercício, antes é necessário conhecer a taxa
de geração volumétrica de energia:
q
000 =
Q̇
V
=
4Q̇
⇡ (D22 �D21)L
=
4⇥ 25⇥ 103
⇡ ⇥ (0,42 � 0,32)⇥ 17 = 26,75 kW/m
3
a. Equação diferencial (difusão do calor 1D, regime permanente, com geração de energia):
1
r
d
dr
✓
r
dT
dr
◆
+
q
000
k
= 0
Condições de contorno:
1. T (r1) = T1 = 60 °C;
2. T (r2) = T2 = 80 °C.
Voltando à solução da equação diferencial:
r
dT
dr
= �q
000
r
2
2k
+ C1 )
dT
dr
= �q
000
r
2k
+
C1
r
) T (r) = �q
000
r
2
4k
+ C1 ln r + C2
Aplicando as condições de contorno:
60 = �26,75⇥ 10
3 ⇥ 0,152
4⇥ 14 + C1 ln 0,15 + C2 80 = �
26,75⇥ 103 ⇥ 0,22
4⇥ 14 + C1 ln 0,2 + C2
Resolvendo, C1 = 98,58; C2 = 257,8. Assim:
T (r) = �26,75⇥ 10
3
r
2
4⇥ 14 + 98,58 ln r + 257,8 = �477,7r
2 + 98,58 ln r + 257,8
b. No plano central r
c
= (r1 + r2)/2 = 17,5 cm.
T (r
c
) = �477,7⇥ 0,1752 + 98,58 ln 0,175 + 257,8 = 71,3 °C
c. Na condição de máxima temperatura, (dT/dr) = 0, assim,
�q
000
r
2k
+
98,58
r
= 0 ) 26,75⇥ 10
3
r
2⇥ 14 =
98,58
r
) r
T
máx
= 0,321m = 32,1 cm
Portanto T
máx
só ocorreria para um raio maior que o limite físico do exercício (20 cm). Logo
a temperatura calculada no item (b) não é a temperatura máxima; a temperatura
máxima ocorre para r = r2 = 20 cm.
4) Trata-se de um caso de condução unidimensional com geração em geometria esférica, com
condutividade térmica constante. A forma apropriada da equação de difusão do calor é
1
r
2
d
dr
✓
r
2dT
dr
◆
= � q̇
k
= � q̇o
k
"
1�
✓
r
r
o
◆2#
Integrando em r:
Z
d
dr
✓
r
2dT
dr
◆
dr =
Z
� q̇o
k
✓
r
2 � r
4
r
2
o
◆
dr ) r2dT
dr
= � q̇o
k
✓
r
3
3
� r
5
5r2
o
◆
+ C1
Integrando mais uma vez em r:
Z
dT
dr
dr =
Z 
� q̇o
k
✓
r
3
� r
3
5r2
o
◆
+
C1
r
2
�
dr ) T (r) = � q̇o
k
✓
r
2
6
� r
4
20r2
o
◆
� C1
r
+ C2
Aplicamos agora as condições de contorno:
•
dT
dr
����
r=0
= 0 (simetria):
dT
dr
����
r=0
= � q̇o
k
✓
0
3
� 0
3
5r2
o
◆
+
C1
02
= 0 ) C1 = 0
• �kdT
dr
����
r=r
o
= h[T (r
o
)� T1] : �
q̇
o
k
✓
r
o
3
� r
3
o
5r2
o
◆
= h

� q̇o
k
✓
r
2
o
6
� r
4
o
20r2
o
◆
+ C2 � T1
�
) C2 =
2r
o
q̇
o
15h
+
7q̇
o
r
2
o
60k
+ T1
Portanto, a distribuição de temperaturas é
T (r) = T1 +
2r
o
q̇
o
15h
+
q̇
o
r
2
o
k
"
7
60
� 1
6
✓
r
r
o
◆2
+
1
20
✓
r
r
o
◆4#