Aula 04 Equações do Movimento em Duas e Três Dimensões

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Disciplina: Física Teórica Experimental I
Aula 04: Equações do Movimento em Duas e Três
Dimensões
Apresentação
Nesta aula, trataremos do estudo da Dinâmica. Como já foi dito, a Dinâmica se preocupa em estudar o movimento se
atentando a causa, estudar o movimento do corpo caracterizando as forças que agem sobre ele de modo a poder se
caracterizar o movimento.
Objetivos
• Reconhecer o que são os movimentos em duas e três dimensões;
• Identi�car o que é o lançamento de projéteis;
• Reconhecer o que é o movimento circular uniforme.
Nesta aula, damos continuidade aos estudos dos movimentos, que se iniciou na aula passada e iremos estudar um pouco mais
de cinemática.
Vamos ver os movimentos em duas e três dimensões, ou seja, aqueles que não seguem uma reta, ou seja, não podem ser
descritos com apenas um eixo de coordenadas.
São movimentos muito comuns no nosso dia a dia, como: a brincadeira de roda das crianças, os jogos de futebol, peixes
nadando, os aviões da esquadrilha da fumaça etc.
Veremos os seguintes movimentos...
Os movimentos em duas e três dimensões , de forma geral.
O Lançamento de Projéteis: movimento em duas dimensões que apresenta a forma de uma parábola.
Movimento Circular Uniforme: movimento em duas dimensões que apresenta a forma de uma circunferência.
1
Video
Observe cada um desses movimentos através de um vídeo <galeria/aula4/anexo/video1.mp4> . Preste atenção em alguns dos
movimentos que convivemos no nosso dia a dia classi�cados e analisados pela Física.
Os movimentos em duas e três dimensões
Vetores Unitários
Para descrevermos os movimentos em duas e três dimensões, usaremos a notação dos vetores unitários.
Vamos relembrar?
Saiba mais
Assista ao vídeo Física – Vetores unitários <https://www.youtube.com/watch?v=xHbnoy0RHeI&list=PLC638D0B880F77D56&
index=34> , da Academia Khan antes de continuar.
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/aula4.html
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Os vetores unitários são vetores que possuem as direções e sentidos dos eixos cartesianos, porém, o módulo, de cada um deles,
é uma unidade.
Apresentamos, na �gura, os eixos, os vetores unitários.
Vetor em duas dimensões:
Saiba mais
Antes de continuar, aprenda a descrever um vetor em duas dimensões através dos vetores unitários <galeria/aula4/anexo
/doc1.pdf> e, também, algumas operações matemáticas com eles.
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/galeria/aula4/anexo/doc1.pdf
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Vetor em três dimensões:
A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z. O vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z:
r = x + y + zÎ Ĵ K̂
Saiba mais
Antes de continuar, aprenda a descrever um vetor em duas dimensões através dos vetores unitários <galeria/aula4/anexo
/doc2.pdf> e, também, algumas operações matemáticas com eles.
Vetor Posição e Vetor Deslocamento em movimentos em duas e
três dimensões
Após lermos sobre vetores unitários, podemos começar nosso estudo sobre o movimento.
A diferença entre os movimentos em duas e três dimensões está, apenas, na quantidade de coordenadas necessárias para
descrevê-los.
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/galeria/aula4/anexo/doc2.pdf
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Os movimentos em duas dimensões ocorrem em um plano, e,
portanto, dois eixos cartesianos (x, y) bastam para descrevê-
los completamente, enquanto que os movimentos em três
dimensões ocorrem no espaço e, só podemos descrevê-lo
usando três coordenadas (x, y, z).
Porém, os conceitos que se aplicam em duas dimensões são
os mesmos que se aplicam em três dimensões.
 Eixos cartesianos (x, y)  Coordenadas (x, y, z)
Por isso, faremos uma descrição detalhada dos movimentos em três dimensões e, as conclusões que chegaremos podem ser
usadas para os movimentos em duas dimensões, lembrando-se, sempre, que esses ocorrem em um plano e, portanto, não há
necessidade do eixo z, assim, a componente z k será sempre igual a zero e, então, pode ser desprezada.
Vetor Posição em movimentos em duas e três dimensões
Dado um movimento em três dimensões, a posição de um ponto na curva desse movimento ao longo do tempo é representada
pelo vetor , onde x é a projeção do vetor r no eixo x, y é a projeção do vetor r no eixo y e z é a projeção do
vetor r no eixo z.
Um exemplo numérico:
r⃗ = x + y   + zî ĵ k̂
(t) = x   + y   + z  r→ î ĵ k̂ (t) = 3   + 5   + 7  r→ î ĵ k̂
Atenção
Durante a aula, iremos abordar assuntos que foram exempli�cados pelo professor neste documento <galeria/aula4/anexo
/doc3.pdf> . Os exemplos estão numerados e você deverá checá-los de acordo com o número correspondente.
Vetor Deslocamento em movimentos em duas e três dimensões
Observe que o vetor tem início sempre na origem dos eixos coordenados e que, para cada posição na curva ao longo
do tempo um vetor � ⃗(�) associado a ela.
vetor   r→
Vetor Posição em t1: 
Vetor Posição em t2: 
Com duas posições no tempo, podemos calcular o vetor deslocamento (∆�).
Podemos veri�car facilmente este fato, observando a Figura.
Nela, estão representados dois vetores posição em intervalos de tempo diferentes.
(t1) =   +   +  r→ x1 î y1 ĵ z1k̂
(t2) =   +   +  r→ x2 î y2 ĵ z2k̂
Atenção
Nos movimentos em uma dimensão que vimos nas aulas 2 e 3, descrevemos o deslocamento como: ∆�=(� −� ). Em três
dimensões, faremos uma analogia.
∆�=�(� )−�(� )=(� �+� �+� �)−(� �+� �+� �), fazendo o cálculo:
∆�=(� −� )�+(� −� )�+(� −� )� ou
∆�=∆� �+∆� �+∆� �
Leia o exemplo numérico 1.
2 12 1 2 2 2 1 1 1
2 1 2 1 2 1
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/galeria/aula4/anexo/doc3.pdf
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/galeria/aula4/anexo/doc3.pdf
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/galeria/aula4/anexo/doc3.pdf
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https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/galeria/aula4/anexo/doc3.pdf
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/galeria/aula4/anexo/doc3.pdf
Vetor Velocidade Média em duas e três dimensões
Em uma dimensão, a velocidade média é:
Ou seja, é igual ao deslocamento do móvel em um determinado intervalo de tempo dividido por esse intervalo de tempo.
= / ∆ tV ⃗  M ∆s
→
Saiba mais
Em três dimensões, a interpretação do vetor velocidade medida é a mesma que em uma dimensão. Isto é: a razão entre o vetor
deslocamento em um determinado intervalo de tempo e esse intervalo de tempo. Matematicamente, temos � =∆�/∆� que em
termos vetoriais, nos diz que o vetor velocidade média possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento. O
vetor velocidade média também pode ser expresso através dos vetores unitários: ��=(∆�/∆�)�+(∆�/∆�)�+(∆�/∆�)�.
�
Outra forma de interpretamos a equação para o vetor velocidade média é:
=V
→
M
( ( )− ( ))r→ t2 r→ t1
( − )t2 t1
Que explica o fato do vetor velocidade média só necessitar dos pontos inicial e �nal do movimento para ser obtido.
Em duas dimensões:
= (∆x/ ∆ t)    + (∆y/ ∆ t) V→M î ĵ
Atenção
Checar exemplo numérico 2.
Vetor Velocidade Instantânea em duas e três dimensões
Podemos reescrever, mais uma vez, o vetor velocidade média como:
Pensando na �gura do vetor velocidade média, vemos que ele encontra-se na reta secante que passa pelos pontos descritos
pelos vetores posições �(�) e �(� + ∆�).
E para obtermos o vetor velocidade instantânea?
Para obtermos o vetor velocidade instantânea temos que ir diminuindo o valor de ∆�, progressivamente, até que ele assuma um
valor in�nitamente pequeno.
E como fazemos isso?
Fazemos isso usando o operador matemático limite quando ∆t tende a zero, estudado em Cálculo I e visto na aula 2.
= =  V
→
M
∆ r
→
∆t
(t)−  (t+∆t)r→ r→
∆t
v     =       +       +      lim
∆t→0
∆r
∆t
lim
∆t→0
∆x
∆t
l̂ lim
∆t→0
∆y
∆t
Ĵ lim
∆t→0
∆z
∆t
k̂
Então, o vetor velocidade instantânea torna-se derivada do vetor posição , matematicamente escrito como:2
Outra forma de escrevermos o vetor velocidade instantânea é:
Em duas dimensões:
V =   =     +   +d r
→
dt
d  x→ î
dt
d  x→ ĵ
dt
d  z→ k̂
dt
= Vx  + Vy    + Vz   V
→
Î Ĵ K̂
V  =     =     +    dr
dt
dx
−→
î
dt
dy
−→
ĵ
dt
= Vx + VyV
→
Î Ĵ
Saiba mais
Para concluirmos a primeira parte da aula, leia sobre Vetor Aceleração Instantânea em Duas e Três Dimensões e Aceleração
Média em Duas e Três Dimensões <galeria/aula4/anexo/doc4.pdf> . Checar exemplo numérico 3!
Lançamento de Projéteis
Você conhece ou já ouviu falar no jogo Angry birds?
É um ótimo exemplo do que será abordado nesta parte da aula: lançamento de projéteis – movimento em duas dimensões que
apresenta a forma de uma parábola.
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/aula4.html
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Talvez o tipo de movimento chamado de Lançamento de Projéteis seja o mais comum em nosso dia a dia.
Nos esportes ele é predominante, temos o basquete, o futebol, o vôlei, o golfe, o lançamento de dardo, o salto com vara, o
beisebol, o polo, entre tantos outros.
E quando ocorreram os primeiros estudos acerca deste movimento?
A importância de descrever esse movimento tem origem bélica. Um exemplo são as catapultas, que foram desenvolvidas no início
do século IV a. c. na Grécia.
Praticamente, todos os aparatos bélicos seguem o princípio do lançamento de projéteis: canhões, mísseis, armas de fogo,
bombas e granadas de mão ao serem lançadas, além de uma in�nidade de outras armas.
Dica
Para �xarmos bem o conceito de Lançamento de Projéteis, vamos aproveitar esse jogo, disponibilizado no site Mc Graw Hill
Education <//highered.mheducation.com/olcweb/cgi/pluginpop.cgi?it=swf::800::600::/sites/dl/free/0072482621/78778
/Gravity_Nav.swf::Gravity%20Variations%20Interactive&FUIComponentClass=[type+Function]&FScrollBarClass=[type+Function> .
O objetivo é fazer com que a bola do canhão acerte o alvo e você poderá mudar o cenário, ângulo do canhão e a velocidade do
tiro. É experimental, repare que a gravidade varia de acordo com o cenário escolhido.
Antes de começarmos o estudo sobre o lançamento de projéteis, é necessário, esclarecer
que todas as conclusões que serão obtidas, levam em conta que a resistência do ar é
desprezível.
O lançamento de projéteis trata-se de um movimento em um plano, de�nido por um vetor velocidade V(t) e um vetor aceleração
constante que é dado pelo vetor aceleração da gravidade (- g j).
Assim, escrevendo os vetores acima em notação de vetores unitários, temos:
V = Vx i + Vy j
a = −g j
O plano xy, o vetor velocidade inicial v , o vetor aceleração da gravidade, a trajetória do objeto, o ângulo entre o vetor V e o eixo x,
a altura máxima H e o alcance R, são mostrados na �gura.
0 0
https://highered.mheducation.com/olcweb/cgi/pluginpop.cgi?it=swf::800::600::/sites/dl/free/0072482621/78778/Gravity_Nav.swf::Gravity%20Variations%20Interactive&FUIComponentClass=[type+Function]&FScrollBarClass=[type+Function
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https://highered.mheducation.com/olcweb/cgi/pluginpop.cgi?it=swf::800::600::/sites/dl/free/0072482621/78778/Gravity_Nav.swf::Gravity%20Variations%20Interactive&FUIComponentClass=[type+Function]&FScrollBarClass=[type+Function
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https://highered.mheducation.com/olcweb/cgi/pluginpop.cgi?it=swf::800::600::/sites/dl/free/0072482621/78778/Gravity_Nav.swf::Gravity%20Variations%20Interactive&FUIComponentClass=[type+Function]&FScrollBarClass=[type+Function
https://highered.mheducation.com/olcweb/cgi/pluginpop.cgi?it=swf::800::600::/sites/dl/free/0072482621/78778/Gravity_Nav.swf::Gravity%20Variations%20Interactive&FUIComponentClass=[type+Function]&FScrollBarClass=[type+Function
https://highered.mheducation.com/olcweb/cgi/pluginpop.cgi?it=swf::800::600::/sites/dl/free/0072482621/78778/Gravity_Nav.swf::Gravity%20Variations%20Interactive&FUIComponentClass=[type+Function]&FScrollBarClass=[type+Function
https://highered.mheducation.com/olcweb/cgi/pluginpop.cgi?it=swf::800::600::/sites/dl/free/0072482621/78778/Gravity_Nav.swf::Gravity%20Variations%20Interactive&FUIComponentClass=[type+Function]&FScrollBarClass=[type+Functionhttps://highered.mheducation.com/olcweb/cgi/pluginpop.cgi?it=swf::800::600::/sites/dl/free/0072482621/78778/Gravity_Nav.swf::Gravity%20Variations%20Interactive&FUIComponentClass=[type+Function]&FScrollBarClass=[type+Function
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Atenção
Observe que o movimento do eixo x é um movimento uniforme, pois o vetor aceleração só tem componente no eixo y (o vetor
aceleração da gravidade tem módulo de aproximadamente 9,8 m/s , a direção do eixo y e o sentido contrário ao eixo y) e,
portanto, a velocidade nesse eixo é constante. Já o movimento no eixo y um movimento de queda livre ou de lançamento vertical
(a = - g).
2
Equações dos eixos
Vamos descrever as equações para cada um dos eixos do movimento?
Clique nos botões para ver as informações.
Movimento Uniformemente Variável com a aceleração da gravidade.
� pode ser encontrado através da projeção do vetor � no eixo �:
� =� ��� �
Então:
�=� +� �−¹⁄� �� (neste caso � =0) e � =� −��
�(�)= (� ��� �)� −¹⁄�∙��
� (�)=(� ��� �)� −��
Eixo y 
0� 0
0� 0
0 0�
2
0 � 0�
0
2
� 0
Movimento Uniforme com velocidade constante igual a �
� pode ser encontrado através da projeção do vetor � no eixo x:
� =� ��� �
Então:
�=� +� � e � = (neste caso � =0)
�(�)=(� cos�)�
Eixo x 
0�
0� 0
0� 0
0 0� 0� 0
0
Com essas equações podemos obter as equações da trajetória, da altura máxima e do alcance!
Equação da Trajetória para o Lançamento de Projéteis
A equação da trajetória é a equação que descreve a curva do lançamento de projéteis.
Essa curva está contida no plano xy e, portanto, temos que expressar y em função de x.
Como encontrar a equação da trajetória?
Substituindo o tempo na equação de y(t).
Como expressar o tempo?
Explicitando-o na equação de x(t).
Saiba mais
x(t)o
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/aula4.html#collapse01-01
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/aula4.html#collapse01-01
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/aula4.html#collapse01-01
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/aula4.html#collapse01-02
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/aula4.html#collapse01-02
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/aula4.html#collapse01-02
Altura Máxima
A altura máxima está relacionada com o eixo y e, como vimos na aula 3, ela ocorre quando � =0. Então, temos:�
 (t) = (   sen a) − gtVy V0
0 = (  sen a) − gt e t =V0 (   sen a)V0 g
Esse valor para t será substituído na equação da posição para o eixo y.
Reescrevendo:
y =   se αV0
2 n2
2g
Atenção
Observando a expressão encontrada para a altura máxima, vemos que para o mesmo projétil, variando o ângulo de lançamento, a
maior altura que ele pode assumir acontece quando sen α = 1 (lembre-se que o seno varia de – 1 a 1), ou seja, quando α = 90°.
Equação para o Alcance
O Alcance de um projétil é a distância que ele percorreu, isto é, o valor de x(t) ao �nal de sua trajetória.
Nas próximas imagens, você poderá observar uma interpretação conceitual do movimento de um
projétil.
1. O projétil é lançado com uma velocidade V e inicia sua trajetória de subida.
2. Leva um tempo t1 para chegar à altura máxima.
3. Após atingir a altura máxima, inicia sua trajetória de descida.
4. Leva um tempo t para chegar ao solo.2
Quando calculamos a equação da altura máxima, encontramos o tempo de subida do projétil.
Agora, temos que multiplica-lo por dois para obter o tempo total da trajetória.
Agora, temos que calcular x(t), onde t é o tempo total da trajetória.
x(t)  =  (   cos  α)tV0
x(t)  =  (   cos  α).  2    =   =  RV0 (  sen α)V0 g 2.  .  cos α . sen αV0
2
g
Lembre-se que (cos α sen α) = sen 2α, logo:
R  =   2  sen 2αV0
2
g
Saiba mais
Observando a expressão encontrada para o Alcance de um mesmo projétil, enquanto variamos o ângulo de lançamento, vemos
que ele é máximo quando sen 2α = 1 (lembre-se que o seno varia de – 1 a 1), ou seja, quando 2α = 90 ou α = 45 .0 0
Movimento Circular Uniforme (MCU)
É difícil encontrarmos um movimento circular uniforme real na natureza. Em sua grande maioria, ele ocorre com o auxílio de um
motor.
É o caso dos relógios, rodas gigantes e outros brinquedos de parque de diversão etc.
Atenção
Os movimentos dos planetas, satélites etc., podem ser aproximados para circular e uniforme, contudo, sabemos que são elípticos
e que os satélites arti�ciais, com o tempo, saem de sua orbita circular e uniforme.
Na prática...
O movimento circular uniforme é um movimento em que o módulo do vetor velocidade é constante e sua trajetória é uma
circunferência ou um arco de circunferência.
Através da demonstração ao lado, vemos que o vetor velocidade sofre alteração de direção e sentido. Como já estudamos, para
variar o vetor velocidade o movimento tem que ter um vetor aceleração .4
Saiba mais
Antes de continuar, leia sobre Módulo do Vetor Velocidade e Equação Angular do MCU <galeria/aula4/anexo/doc5.pdf> .
Alguns conceitos
O que é um movimento periódico?
É um movimento que se repete de tempos em tempos. O de tempo necessário para a repetição do movimento é chamado de
ciclo ou período.
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon662/aula4.html
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Então, a de�nição de período é o tempo necessário para dar uma volta completa, o que equivale, em uma circunferência, ao
tempo para percorrer o seu comprimento, que é:
Como o movimento é uniforme, o período é constante. No SI o período é expresso em s.
Já a grandeza frequência, é de�nida como o número de voltas que um objeto em movimento circular é capaz de completar em
uma unidade de tempo.
Outra forma de representarmos a frequência é através do período.
Assim:
f  =  1/T
E como consequência:
T   =  1/f
Atenção
A frequência, no SI, é expressa em: 1/s = Hertz (Hz)Outra unidade usada é o rpm (rotações por minuto). Checar exemplo número
6.
Aceleração Centrípeta
Como o vetor velocidade, no movimento circular uniforme, varia sua direção e seu sentido, temos que ter um vetor aceleração.
Observe o movimento do brinquedo ao lado.
Esse vetor aceleração é chamado vetor aceleração centrípeta (a ), devido as suas características:0
Seu módulo é constante, pois ele não altera o módulo do vetor velocidade.
Sua direção é radial, perpendicular à velocidade.
Seu sentido é para o centro da circunferência.
Notas
O módulo do vetor aceleração centrípeta é:
=   /Rac  V 2
Atenção
Para a consolidação de seu estudo, resolva a Lista de exercícios <galeria/aula4/anexo/doc6.pdf> . Não se esqueça de conferir o
gabarito ao �nal do documento!
Notas
Duas e três dimensões1
Os movimentos em duas e três dimensões são aqueles em que é necessário usar dois ou três eixos de coordenada,
respectivamente, para descrevê-los. Os exemplos clássicos que analisaremos, são de movimentos em duas dimensões, pois em
três dimensões, para serem analisados, tornam-se muito complexos.
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Derivada do vetor posição2
O vetor velocidade instantânea é igual à inclinação da reta tangente ao vetor posição.
x(t)3
Vetor aceleração4
Vamos estudar, primeiro, a periodicidade do movimento circular uniforme e, deixaremos o vetor aceleração para mais tarde.
Referências
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v.1
TIPLER, Paul A. Física para cientistas e engenheiros. 4ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. v.1
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Sears e Zemansky. Física, I: Mecânica. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2006. v.1
Próxima aula
• A Dinâmica, parte da Física que estuda as causas dos movimentos;
• O conceito de Força.
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