Tema 3 módulo 2 Cálculo de volumes

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…MÓDULO 2
 Calcular movimentos de terra associados às obras em vias de transporte
CÁLCULO DE VOLUMES
Cálculo da terraplenagem
07:32
Aprendemos sobre as operações de terraplenagem e como lidar com a movimentação de solos calculando as áreas
das seções e convertendo os solos entre os estados in situ, solto e compactado. Agora, vamos aplicar esses
conhecimentos diretamente ao projeto de terraplenagem.
Diversos são os procedimentos de cálculo que poderão ser mobilizados com vistas à determinação dos volumes
de cortes e aterros. Geralmente, os volumes de cortes ou aterros são calculados para os prismas compreendidos
entre duas seções transversais consecutivas, os quais são denominados interper�s.
 Cálculo de volumes em uma seção média.
O cálculo do volume é elaborado a partir das áreas das seções transversais, pela aplicação do método da média das
áreas:
V =
Ω
1
+Ω
2
2
⋅ d
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que d é o espaçamento entre duas seções subsequentes. Considerando que é uma constante igual a 20m, a
fórmula passa a ser o seguinte:
V = (Ω
1
+ Ω
2
) ⋅ 10
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora imagine que existam três seções, , , (exatamente equidistante das outras duas seções) e . Se d é a
distância entre as seções extremas, a fórmula do prismoide é dada por esta outra fórmula:
Ω
1
Ω
2
Ω
3
 Detalhes de seções de corte (acima) e de aterro (abaixo) e seus parâmetros para cálculos de áreas.
V =
d
6
(Ω
1
+ Ω
2
+ Ω
3
)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para calcularmos cada uma das áreas das seções transversais, é necessário empregar outras fórmulas. O caso
particular em que a seção é calculada por meio de bases retas é dado pela fórmula abaixo:
, em que b e h são as dimensões do trapézio e n é a inclinação do talude (n/1).
Para a seção de corte, adota-se entre n = 2/3 a n = 1; para a seção de aterro, n = 3/2.
A = b. h + n. h
2
DISTRIBUIÇÃO DE MATERIAIS
Para decidirmos sobre o projeto de terraplenagem de uma rodovia, é necessário calcularmos os volumes de cortes e
aterros existentes, considerando ainda as classi�cações quanto à di�culdade extrativa, os fatores de homogeneização
e os critérios para seleção. Entretanto, é particularmente importante a decisão sobre a distribuição do material a ser
escavado, ou seja, de�nir toda a origem e o destino dos materiais envolvidos na terraplenagem, seus volumes, sua
classi�cação e as correspondentes distâncias médias de transporte.
De�ne-se a distância média de transporte (DMT) de um volume escavado pela expressão:
Em que:
 = volumes parciais escavados
 = distâncias de transporte parciais
 = volume total escavado
DMT =
∑ v
i
d
i
∑ v
i
v
i
d
i
∑ v
i
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por outro lado, em terraplenagem, de�ne-se como momento de transporte o produto do volume escavado pela
distância segundo a qual esse volume é transportado. O numerador da expressão do cálculo de DMT indica, então, o
momento de transporte total de distribuição:
MT = ∑ v
i
d
i
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção
O custo de construção de uma rodovia depende, dentre outros fatores, da forma como a distribuição de
material é realizada. Assim, o projeto de terraplenagem deverá indicar a melhor distribuição de terras, de
sorte que a distância média de transporte e, consequentemente, o custo das operações de terraplenagem
sejam reduzidos a valores mínimos.
Para isso, é necessário recorrer a métodos grá�cos para se atingir uma adequada distribuição de materiais
na terraplenagem. Sabendo disso, vamos agora aprender o chamado diagrama de Brückner, junto com as
considerações teóricas a seguir.
DIAGRAMA DE BRÜCKNER
A metodologia de Brückner, em termos de sua �nalidade e seus respectivos produtos, se consubstancia por meio da
elaboração de instrumentos especí�cos, compreendendo, principalmente, o diagrama de Brückner e quadros
auxiliares.
Para construirmos o diagrama de Brückner, é necessário calcular as chamadas ordenadas de Brückner, isto é,
volumes de cortes e aterros acumulados sucessivamente, seção a seção, considerando-se positivos os volumes de
cortes e negativos os de aterros. Nas seções mistas, o volume a considerar em cada estaca deve ser o excedente em
corte ou aterro. Adota-se um volume acumulado inicial arbitrário, em geral um volume grande, de modo a operar-se
apenas com valores acumulados positivos.
O preenchimento dessa planilha obedece a uma sequência de cálculo, conforme apresentado a seguir:
1. Registrar a quilometragem e/ou o estaqueamento completo do trecho.
2. Designar, relativamente à estaca ou à quilometragem da rodovia, os
elementos geradores do serviço de implantação: cortes, aterros,
empréstimos etc.
3. Registrar a área, em corte ou em aterro, da seção transversal
correspondente à estaca enfocada. Devem ser empregados os métodos de
cálculo já apresentados. Consideram-se em separado os tópicos
relacionados com o rebaixamento dos cortes em solo, os encontros de
pontes, os acessos e as interseções, bem como as situações de seção
mista.
4. Registrar a soma das áreas relativas às seções transversais
relacionadas a cada par de estacas sucessivas, na coluna devida.




5. Registrar a semidistância correspondente a cada um dos pares de
estacas sucessivas focalizadas nas colunas anteriores.
6. Calcular os volumes pertinentes à execução dos cortes e aterros,
multiplicando a área das seções e a semidistância correspondente a cada
um dos pares de estacas sucessivas. Referente aos cortes, o volume
geométrico (total) de cada componente deve ser calculado pelo método de
média das áreas, sendo posteriormente distribuídos nas três categorias de
materiais. Relativamente aos volumes de aterro, o fator de empolamento
deve, igualmente, ser determinado por meio dos estudos geotécnicos,
sendo que, ordinariamente, esses fatores se situam entre 1,20 e 1,30.
7. Registrar valores de compensação lateral, colocando-se a soma
algébrica dos volumes de cortes e os volumes de aterro, atribuindo-se a
estes últimos o sinal negativo.
8. Registrar o volume de bota-fora.
9. Registrar as ordenadas de Brückner, correspondentes à soma algébrica
dos valores lançados, marcando-se sempre os valores de aterros com o
sinal negativo.
As ordenadas de Brückner calculadas são plotadas em grá�cos, geralmente sobre uma cópia do per�l longitudinal do
projeto. Nas abcissas, é marcado o estaqueamento. Os pontos marcados são unidos por uma linha que sintetiza o
diagrama de Brückner.
A distribuição de terras deve ser feita pela escolha criteriosa de linhas horizontais de compensação (LT) que
interceptam ramos ascendentes (cortes) e descendentes (aterros).





TEORIA NA PRÁTICA
(Adaptada de Antas et al, 2010) Vamos analisar, a seguir, as ordenadas do diagrama de Brückner:
 Tabela adaptada de Antas et al, 2010.
Calcule o número de cortes e de aterros que ocorrerão no trecho de solo cujas ordenadas do diagrama de
Brückner estão descritas acima, assim como seus respectivos volumes.
Estaca Volume (m³) Estaca Volume (m³)
0 1000 60 600
10 1400 70 400
20 1600 80 400
30 1600 90 600
40 1400 100 700
50 1100 110 700
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Objeto com interação.
Vamos nos reportar sempre à sequência de�nida no tópico Diagrama de Brückner, que estudamos.
Neste caso, já temos os volumes de cada estaca, então não é necessário seguirmos os passos de 1 a
8.
Assim, vamos utilizar uma planilha eletrônica para plotar o grá�co entre as estacas 0 a 110 da rodovia.
Diagrama de Brückner
09:15
 Grá�co: Ramos ascendentes representam cortes; ramos descendentes representam aterros.
Elaborado por: Giuseppe Miceli Junior.
Do grá�co, temos um ramo descendente (da estaca 20 à estaca80), com um aterro de 1200m³, e dois
ramos ascendentes (da estaca 0 à estaca 20; da estaca 80 à estaca 100) com cortes de 600m³ e
300m³, respectivamente.
Agora, vamos utilizar o diagrama para encontrar os trechos a serem compensados. Vamos estudar de
novo o diagrama abaixo:
 Elaborado por: Giuseppe Miceli Junior.
Sequências de cortes e aterros ou vice-versa são facilmente identi�cadas como “ondas” que surgem
após traçarmos linhas de compensação horizontais. Essas “ondas” possuem um trecho ascendente e
outro descendente.
Olhando o grá�co acima, podemos traçar duas linhas de compensação: uma na ordenada 1000m³, nos
dois pontos em que cruza o diagrama; e outra na ordenada 700m².
Vejamos, a seguir, outro grá�co, dividindo as ondas em trechos de aterro e de corte:
 Elaborado por: Giuseppe Miceli Junior.
As duas setas marcam as compensações que serão necessárias:
• O corte da estaca 0 até a estaca 25 de 600m³ vai ser compactado no aterro da estaca 25 até a
estaca 50.
• O corte da estaca 75 até a estaca 110 de 300m³ vai ser compactado no aterro da estaca 55 até a
estaca 75.
• Há ainda uma quantidade de 300m³ entre a estaca 50 e a estaca 55, que será extraída de uma
caixa de empréstimo para ser aterrada e compactada.
MÃO NA MASSA
1. Calcule a seção transversal de corte (n = 1) de uma rodovia, como a seguir,
considerando duas faixas de 3,5m e h = 3,0m.
Comentário
A alternativa correta é "A".
Considerando a fórmula: , em que b e h são as dimensões do trapézio e n é
a inclinação do talude (n/1).
Então, substituindo, temos:
A = b. h + n. h
2
A = 2 × 3, 5 × 2 + (1) ⋅ 3
2
= 14 + 9 = 23m
2
23m²A)
24m²B)
25m²C)
26m²D)
27m²E)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma rodovia com b = 22,2m em pista dupla é construída sobre aterro. A altura média
do corte é de 2m. Calcule o volume de terraplenagem por cada estaca (intervalo de 20m)
dessa rodovia, considerando a seção transversal ao longo de uma estaca como a seguir:
Comentário
A alternativa correta é "E".
A inclinação do talude de corte é 1. Considerando a fórmula: , temos o
seguinte desenvolvimento:
A = b. h + n. h
2
A = 22, 2. 2, 0 + (1). 2
2
= 44, 4 + 4 = 48, 4m
2
928m³A)
938m³B)
948m³C)
958m³D)
968m³E)
Se a seção é de 48,4m², então basta multiplicar por 20m para saber o volume compactado
que será aplicado na pista por quilômetro.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
V = 48, 4m
2
× 20m = 968m
3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Calcule a seção transversal de corte (n = 0,8) de uma rodovia, como a seguir,
considerando duas faixas de 3,6m, dois acostamentos de 3,40m e h = 3,0m.
Comentário
17,9m²A)
18,8m²B)
19,6m²C)
20,4m²D)
21,2m²E)
A alternativa correta é "E".
Considerando a fórmula: , em que b e h são as dimensões do trapézio e n é
a inclinação do talude (n/1).
Então, substituindo, temos:
A = b. h + n. h
2
A = 2 × (3, 6 + 3, 4) + (0, 8). 3
2
= 14 + 9 × 0, 8 = 21, 2m
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Se temos uma rodovia em que a seção na estaca 0 tem , na estaca 20,
, e na estaca 40, . O volume das terras da rodovia da
estaca 0 à estaca 40 é de:
A
0
= 10, 50m
2
A
20
= 257, 2m
2
A
40
= 60, 52m
2
Comentário
A alternativa correta é "A".
A fórmula do volume de um prismoide é dada por:
Substituindo pelos valores de d e das áreas, temos:
V =
d
6
(A
0
+ A
20
+ A
40
)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
43763m³A)
40563m³B)
38363m³C)
35163m³D)
33063m³E)
V =
40×20
6
(10,50 + 257,2 + 60,52)
V = 43763m
3
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5. (Adaptada de ANTAS et al. 2010) São dadas as ordenadas do diagrama de Brückner a
seguir:
 Extraído de Antas, et al. Estradas - Projeto geométrico e de terraplenagem. 1ª edição.
Rio de Janeiro-RJ: Interciência, 2010 adaptado por Giuseppe Miceli Junior.
Pode-se dizer que haverá um bota-fora na estaca:
Estaca Volume (m³) Estaca Volume (m³)
0 700 60 1450
10 700 70 1500
20 500 80 1450
30 450 90 1300
40 600 100 1100
50 1000 110 1100
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
50A)
60B)
70C)
80D)
90E)
Comentário
A alternativa correta é "A".
Vamos elaborar o diagrama de Brückner abaixo, traçando suas duas linhas de compensação:
 Elaborado por: Giuseppe Miceli Junior.
As duas setas marcam as compensações que serão necessárias:
• O corte da estaca 0 até a estaca 30 de 250m³ vai ser compactado no aterro da estaca
30 até a estaca 45.
• O corte da estaca 55 até a estaca 70 de 400m³ vai ser compactado no aterro da estaca
70 até a estaca 110.
• Há ainda uma quantidade de 400m³ entre a estaca 45 e a estaca 55 que será destinada
a um bota-fora. Dentre essas estacas, a única que responde ao problema é a estaca 50,
marcada com retângulo no grá�co.
6. (Adaptada de ANTAS et al. 2010) São dadas as áreas das seções a seguir:
Estaca Corte m² Aterro m²
90 339,46
91 274,73
92 218,26
Pode-se dizer que, ao �nal, teremos:
Estaca Corte m² Aterro m²
93 156,38
94 106,6
95 76,8
96 23,15
97 9,66 10,28
98 3,12 28,23
99 46,18
100 50,26
101 78,84
102 124,16
103 148,27
104 169,48
105 195,36
106 188,46
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Comentário
A alternativa correta é "A".
Compensação de corte e aterro de cerca de 14500m³A)
Compensação de corte e aterro de cerca de 9500m³B)
Bota-fora de 4500m³C)
Necessidade de empréstimo de 14500m³D)
Bota-fora de 9500m³E)
Diagrama de Brückner
08:03
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O momento de transporte de duas movimentações de terra, uma de 500t ao longo de
20km e outra de 200t ao longo de 10km, corresponde a:
12000tkmA)
10000tkmB)
8000tkmC)
5000tkmD)
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
O momento de transporte total de distribuição é dado pela fórmula:
Substituindo pelos dados do problema, temos:
MT = ∑ v
i
d
i
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MT = 500 × 20 + 200 × 10 = 12000 tkm
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Para se conseguir um projeto de terraplenagem mais econômico sugere-se:
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Uma das formas mais interessantes de prover um projeto de terraplenagem mais econômico é
locar cortes e aterros sucessivos, de forma que os momentos de transporte sejam os mínimos
possíveis. …
1000tkmE)
Encaminhar todo o excedente para bota-fora, sem considerar a necessidade de aterros.A)
Compensar sempre cortes e aterros sucessivos, minimizando momentos de transporte.B)
Maximizar os momentos de transporte em todas as movimentações de terra.C)
Maximizar as distâncias médias de transporte, principalmente entre cortes e aterros
distantes.
D)
Maximizar a ocorrência de bota-foras e de caixas de empréstimos.E)