Física Clássica Vol. 1 (complementos)

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Volume 1
Capítulo 11
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
Todos os direitos reservados.
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Algumas regras do SI
Algumas regras de uso das unidades
 I. Os nomes das unidades, quando escritos por extenso, começam sempre pela letra minúscula, mesmo que sejam 
nomes de algum cientista. Por exemplo, a unidade básica kelvin vem do nome do físico inglês chamado Lord 
Kelvin. Há apenas duas exceções:
•	 a unidade de temperatura grau Celsius;
•	 quando uma sentença se inicia com o nome da unidade.
 II. Os símbolos das unidades são formados por letras minúsculas, a não ser que se trate do nome de um cientista. Por 
exemplo, o símbolo do kelvin é K.
 III. Quando os nomes das unidades são escritos por extenso, a formação do plural obedece às seguintes regras:
1a. ) Quando o nome da unidade é formado por uma única palavra, acrescentamos a letra s (mesmo que não esteja 
de acordo com as regras da gramática), a não ser que esse nome termine por s, x ou z. Nesse caso, a palavra 
não varia no plural. Por exemplo:
Singular Plural
metro metros
kelvin kelvins
decibel decibels
hertz hertz
2a. ) Quando o nome da unidade é uma palavra composta, temos os seguintes casos:
a) Se o elemento complementar do nome da unidade não é ligado a este por hífen, tanto o nome como o 
complemento recebem s. Por exemplo:
•	metros cúbicos
•	unidades astronômicas
b) Se os termos são compostos por multiplicação de unidades, ambos os nomes recebem s. Por exemplo:
•	ampère-hora → ampères-horas
c) Se o elemento complementar do nome da unidade estiver ligado a este por hífen ou preposição (sem repre-
sentar multiplicação), apenas o primeiro nome recebe a letra s. Por exemplo:
•	ano-luz → anos-luz
•	unidade de massa atômica → unidades de massa atômica
d) Quando a unidade é formada por divisão de outras unidades, o nome da unidade que está no denominador 
não recebe s. Por exemplo: no SI a unidade de velocidade é metro por segundo (m/s).O plural é: metros por 
segundo.
 IV. Os símbolos das unidades são invariáveis no plural. Por exemplo: 1 metro 5 1 m; 3 metros 5 3 m.
 V. Não é admitida a combinação de partes escritas por extenso com partes expressas por símbolo. Por exemplo, é 
errado escrever: metros/s ou m/segundo.
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Volume 1
Capítulo 12
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
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 1. (UF-PI) Um reservatório com capacidade para 
6 280 litros tem a forma de um cilindro circular reto. 
Se o raio da base desse reservatório mede 1 metro, 
sua altura, também em metros, mede: (Considere 
π 5 3,14.)
a) 1 c) 1,8 e) 2,3
b) 1,4 d) 2
 2. (UF-MG) Um recipiente cúbico, sem tampa, cujas 
arestas medem 4 dm, contém 56 litros de água. Ao 
lado desse recipiente, estão os seguintes sólidos, 
todos de aço maciço: 
•	 uma esfera de raio 23 dm; 
•	 um cilindro circular reto com raio da base 2 dm 
e altura 2 dm; 
•	 um paralelepípedo retangular de dimensões 3  dm, 
3 dm e 7 dm; e 
•	 uma pirâmide reta de altura 5 dm e de base qua-
drada com lado 12 dm. 
Qual desses sólidos, quando colocado no recipiente, 
não fará com que a água transborde? 
a) A pirâmide. c) O paralelepípedo.
b) O cilindro. d) A esfera. 
 3. (UC-MG) Uma garrafa tem a forma de um paralelepípedo 
retângulo, com base quadrada de lado 8 cm e 12,5 cm 
de altura. A capacidade da garrafa, em litros, é:
a) 0,80 d) 8,00
b) 0,13 e) 12,50
c) 1,25
 4. (U. E. Londrina-PR) Um recipiente cúbico tem 3,000 m 
de aresta, n é o número máximo de cubos de 3,01 mm 
de aresta que cabem no recipiente. A ordem de grandeza 
de n é:
a) 106 c) 108 e) 1010
b) 107 d) 109
 5. (UF-AM) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, 
com 6 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Quantos mL 
de cerveja cabem nessa lata?
a) 367,38 c) 250,33 e) 108,57
b) 339,12 d) 150,33
 6. (Mackenzie-SP) Um vazamento, em um navio tanque, 
provoca o aparecimento de uma mancha de óleo que 
tem forma circular e espessura constante de 2,5 cm, 
como na figura. O raio da mancha, t minutos depois 
do início do vazamento, é dado, em metros, pela 
relação r (t) t5 .5
Adotando π 5 3, o volume, em m3, de óleo vazado, 
após 4 minutos do início do vazamento, é:
a) 0,014 d) 0,02
b) 0,016 e) 0,012
c) 0,08
 7. (Vunesp-SP) A área da superfície da Terra é estima-
da em 510 000 000 km2. Por outro lado, estima-se 
que, se todo o vapor de água da atmosfera fosse 
condensado, o volume de líquido resultante seria de 
13 000  km3. Imaginando que toda essa água fosse 
colocada no interior de um paralelepípedo retângu-
lo, cuja área da base fosse a mesma da superfície da 
Terra, a medida mais próxima da altura que o nível 
da água alcançaria é:
a) 2,54 mm d) 2,54 m
b) 2,54 cm e) 0,254 km
c) 25,4 cm
 8. (Unifor-CE) Um recipiente tem a forma de um cilin-
dro circular reto com raio da base e altura medindo 
1,20 m e 1,80 m, respectivamente. Dispõe-se de um 
balde, cuja forma também é a de um cilindro circular 
reto e cujas dimensões são 12 cm no raio da base 
e 80 cm na altura. Pretendendo-se usar o balde para 
encher o recipiente de água, o número mínimo de 
vezes que se terá de encher o balde a fim de atingir 
o propósito é:
a) 225 d) 208
b) 215 e) 200
c) 212
 9. (UFF-RJ)
Uma das soluções encontradas para a escassez de 
água na região semiárida do nordeste brasileiro 
é a captação da água da chuva que escorre dos 
telhados das casas. A água captada é conduzida 
por meio de calhas para um reservatório com a 
forma de um cilindro circular reto.
Superinteressante, nº. 177, jun. 2002.
O reservatório citado tem altura aproximada de 
1,8 metro e capacidade para armazenar 16 000 litros 
da água da chuva. Considerando R o raio da base do 
reservatório, é correto afirmar que R2, em metro qua-
drado, é aproximadamente:
a) 1,4 b) 1,9 c) 2,8 d) 3,8 e) 7,8
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Exercícios
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Volume 1
Capítulo 13
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 10. (UF-PE) Em um hotel com 500 apartamentos, o 
consumo médio de água por apartamento é de cerca 
de 170 litros por dia. Qual a ordem de grandeza do 
volume que deve ter o reservatório do hotel, em 
metros cúbicos, para abastecer todos os apartamentos 
durante um dia de falta de água?
a) 101 c) 103 e) 105
b) 102 d) 104
 11. (U. F. Juiz de Fora-MG) Uma caixa de forma cúbica 
contém água. Após a retirada de 18 L, verifica-se que 
houve uma variação de 20 cm no nível do líquido. A 
capacidade total da caixa é, em litros:
a) 27 c) 20 e) 36
b) 30 d) 18
 12. (UFV-MG) Utilizando uma trena milimetrada (a menor 
divisão da escala é 1 milímetro), um estudante mede 
o comprimento de uma mesa. A trena, normalmente 
uma fita metálica com 10 m ou 20 m de compri-
mento, é usada principalmente para medir terrenos. 
Considerando a precisão do instrumento utilizado, 
a opção que representa a medida, em metros, feita 
pelo estudante com o número correto de algarismos 
significativos é: 
a) 1,234567 
b) 1,23456
c) 1,2345
d) 1,23 
e) 1,2
Áreas de figuras geométricas
Áreas
paralelogramo
b
h
a 5 b ? h
retângulo
b
h
a 5 b ? h
quadrado
b
b
 a 5 b ? b 5 b2
trapézio
b
h
B
A (b B)h2�
�
triângulo
h
b
A b h2�
�
círculo
R
a 5 π ? r2
(π  3,1416)
superfície externa da esfera
R
a 5 4 πr2
IL
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Volume 1
Capítulo 14
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Volumes
prisma e cilindro
h
V 5 a ? h
a 5 área da base
h 5 altura
cubo
a
a
a
V 5 a ? h
V 5 (a2) ? a 5 a3
esfera
R
V 43 R
35 π
pirâmide e cone
h
V A h3�
�
a 5 área da base
h 5 altura
IL
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Volume 1
Capítulo 51
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O cálculo diferencial e integral 
Devemos a Isaac Newton (1642‑1727) a criação do Cálculo Diferencial e Integral. Conforme nos conta a história, 
em 1666 uma grande peste assolou a Grã‑Bretanha. As escolas foram fechadas e Newton, que acabara de obter 
o título de bacharel na Universidade de Cambridge, refugiou‑se em sua casa na zona rural. Foi nesse período que 
ele elaborou uma teoria matemática que daria origem ao cálculo diferencial. Hoje sabemos que outro matemático, 
 Leibniz, também chegara, independentemente, às mesmas descobertas de Newton.
Apenas as quatro operações matemáticas são insuficientes para uma definição rigorosa da velocidade escalar ins‑
tantânea. Esse rigor só se tornou possível com o cálculo diferencial.
Cálculo da velocidade instantânea usando o limite 
O limite da velocidade escalar média, à medida que fazemos Δt tender a zero, é a velocidade escalar instantânea 
naquela posição da trajetória.
Simbolicamente se escreve:
v lim v
t 0 m
�
 ∆ →
Leia‑se: limite de velocidade média para Δt tendendo a zero.
Mais uma vez, chamamos sua atenção para o fato de dizermos que Δt tende a zero, o que não significa que ele 
será zero, apenas que queremos nos referir a intervalos de tempo sempre menores que o antecedente.
O cálculo de limites não é objeto de estudo nos cursos de Matemática do ensino médio. Seu estudo será realizado 
apenas em nível universitário. Ficaremos aqui com o conceito e alguns exemplos.
Neste exemplo vamos calcular uma velocidade escalar instantânea usando o conceito de limite.
Tomaremos dois instantes t1 e t2 muito próximos um do outro, isto é, o intervalo de tempo Δt é muito pequeno. As respectivas 
abscissas são s1 e s2.
Vamos usar, como exemplo, uma equação horária do 2o. grau em t:
s 5 2 1 3t 1 5t2 (unidades SI)
1o.) No instante t1 5 t, temos:
s1 5 2 1 3t1 1 5t
2
1 ⇒ s1 5 2 1 3t 1 5t
2
2o.) No instante t2 5 t 1 Δt, temos:
s2 5 2 1 3t2 1 5t
2
2 ⇒ s2 5 2 1 3(t 1 Δt) 1 5(t 1 Δt)
2
Desenvolvendo:
s2 5 2 1 3t 1 3 ? Δt 1 5(t
2 1 2 ? t ? Δt 1 Δt2) ⇒ s2 5 2 1 3t 1 3 ? Δt 1 5t
2 1 10 ? t ? Δt 1 5 ? Δt2 
A variação de abscissa no intervalo de tempo considerado é: 
Δs 5 s2 2 s1 5 3 ? Δt 1 10 ? t ? Δt 1 5 ? Δt
2
A velocidade escalar média fica:
v st
3 t 10 t t 5 t
m
2
� � � � � � �∆∆
∆ ∆ ∆
∆⇒ tt 3 10 t 5 t� � � � � ∆
Porém, o nosso objetivo é calcular a velocidade escalar instantânea usando o conceito de limite. Assim:
v lim v v lim (3 10t
t 0 m t 0
� � � �
 ∆ ∆→ →
⇒ 5 t)� ∆
O termo (5 ? Δt) tende a zero e resta:
v 5 3 1 10 ? t
Exemplo 1
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Capítulo 52
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Derivada: um processo prático para se chegar à velocidade escalar instantânea 
v lim v lim stt 0 m t 0
� �
 ∆ ∆
∆
∆→ → ( ) 
Esse limite é denominado derivada da abscissa s em relação ao tempo t.
Indicamos a derivada de s em relação a t por: ds
dt
Assim, podemos escrever:
v lim st
ds
dtt 0
� �
 ∆
∆
∆→ ou simplesmente: v
ds
dt5
Derivar uma equação horária de 1o. grau ou de 2o. grau em t é simplesmente calcular o limite acima. No entanto, 
em se tratando de equações polinomiais em t, existem regrinhas práticas que facilitam o cálculo dessa derivada, sem 
usarmos o processo do limite. A regra prática é a seguinte:
1o.) Em cada monômio da expressão polinomial, multiplica‑se o expoente pelo coeficiente.
2o.) Subtrai‑se uma unidade do expoente.
Conforme nossos exemplos mostraram, a derivada nos leva a outra equação horária, e não ao valor da velocidade 
num dado instante. Precisamos de um valor de tempo para substituir na equação horária da velocidade obtida.
Aceleração escalar instantânea 
A aceleração escalar instantânea α é o limite para o qual tende ∆∆
v
t
 quando Δt tende a zero e escreve‑se:
α lim vtt 0� ∆
∆
∆→
O limite de ∆∆
v
t
 quando Δt tende a zero é a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo.
α dvdt5
Exemplo: 
v 4t 3t 6t dv
dt
12t3 2 2� � � � � �⇒ ⇒α α 66t 6�
Mais uma vez constatamos que a derivada nos levou a uma outra equação horária. Precisamos do valor do tempo.
Vamos calcular a velocidade escalar instantânea, usando o cálculo de derivada.
a) s 4t v dsdt v (3 4)t v
3 3 1� � � � � ⇒ ⇒ ⇒ �� 12t2
b) s 5t 3t v dsdt v (5 2)t
2 2 1� � � � � � ⇒ ⇒ (3 1)t v 10t 31 1� � � � � ⇒
c) s 5 K (em que K é uma constante), ou seja, o móvel se encontra em repouso na posição K. Sua velocidade escalar vale zero. 
Donde se conclui que a derivada de uma constante vale zero.
 s 8,5 m v dsdt v 05 5 5⇒ ⇒
 Outro modo de se obter o mesmo resultado é fazendo:
 s 5 8,5t0 ⇒ v 5 (0 ? 8,5)t21 5 0
d) s 2 3t 5t 8t v dsdt v 0
2 3� � � � � � �⇒ ⇒ 3 10t 24t v 3 10t 24t2 2� � � � �⇒
Exemplo 2
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Capítulo 53
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Demonstração da equação horária das posições do MUV 
Como vimos, a equação horária da velocidade é dada, no movimento uniformemente variado, pela equação:
v 5 v0 1 α ? t (equação do 1
o. grau em t)
Sempre que derivamos uma função de grau n (para n > 1), obtemos outra função de grau (n 2 1).
A equação horária da velocidade é a derivada da equação horária de posição (abscissas). Ora, se a primeira é do 1o. 
grau em t, conclui‑se que esta outra é do 2o. grau em t.
Assim, vamos representá‑la por:
s 5 A 1 B ? t 1 C ? t2 (com A, B, C constantes e C  0)
Vamos determinar os significados físicos de cada parâmetro A, B, C. 
•	 Fazendo‑se t 5 0, teremos s 5 s0 e s 5 A.
Logo: A 5 s0
•	 Derivando‑se a equação proposta:
v ds
dt
v B 2C t� � � �⇒
•	 Identificando termo a termo com a equação:
v 5 v0 1 α ? t
podemos concluir:
B 5 v0
2C C 25 5α
α⇒
Voltando à equação proposta:
s 5 A 1 B ? t 1 C ? t2
s s v t 2 t0 0
2� � � � �α( )
Obtendo a aceleração escalar a partir da equação horária das posições
s s v t 2 t0 0
2� � � � �α
1a. derivada: 
ds
dt
0 v 22 t v v t (e0 0� � � � � � �
α α⇒ qquação horária da velocidade)
2a. derivada: 
dv
dt
0 dv
dt
(aceleração)� � �α α⇒
A aceleração escalar é derivada segunda da equação horária das posições.
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Volume 1
Capítulo 54
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É conhecida a equação horária das posições de um movimento:
s 5 5,0 1 2,0 ? t 2 0,50 ? t2 (unidades SI)
a) Vamos determinar, usando derivada, a equação horária da velocidade e a aceleração escalar.
v dsdt v 0 2,0 1,0t v 2,0 1� � � � � �⇒ ⇒ ,,0t (SI)
α α αdvdt 0 1,0 1,0 m/s
2� � � ��⇒ ⇒
b) Vamos classifi car o movimento para t1 5 3,0 s.
Para t1 5 3,0 s:
v1 5 2,0 2 1,0 ? 3,0 ⇒ v1 5 21,0 m/s
α ? v1 5 (21, 0) ? (21,0) 5 11,0
Logo, o movimento é retrógrado (v  0) e acelerado (α ? v  0).
Exemplo 3
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Volume 1
Capítulo 91
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Determinação da aceleração centrípeta para o caso do 
movimento circular uniforme
Na teoria, afirmamos que a aceleração centrípeta ac tem módulo dado por a c
2
R�
v
. Justificaremos agora essa 
afirmativa para o caso do movimento circular uniforme.
Consideremos, então, uma partícula em movimento uniforme sobre uma circunferência de raio R e centro C. Num 
instante t a partícula está no ponto A e tem velocidade vetorial v (fig. 1). Consideremos, em seguida, um instante 
t1 (com t1 . t) no qual a partícula está sobre o ponto A1 (diferente de A) com velocidade v1. Como o movimento é 
uniforme, temos | v | 5 | v1 |.
Façamos Δt 5 t1 2 t. A variação da velocidade vetorial (Δv ) no intervalo de tempo Δt está representada na figura 2. 
O triângulo EFG (fig. 2) é semelhante ao triângulo CAA1 (fig. 3) e assim:
∆v v
AA R1
� 1
A
C
R
v1
A1
θ
v
E F
G
v1
v
Δv
θ
A
C
R
R
A1
θ
Figura 1. Figura 2. Figura 3.
Para um intervalo de tempo “muito pequeno” (isto é, Δt → 0), podemos supor que A1 esteja muito próximo de 
A e o segmento AA1 tenha comprimento aproximadamente igual ao comprimento do arco AA1
� :
|AA | |AA1 1� � | 2
Mas, como o movimento é uniforme, temos:
|AA | | ( t)1
� | � �v ∆ 3
De 3 e 2 concluímos:
|AA | | ( t)1 � v | � ∆ 4
De 4 e 1 obtemos:
∆
∆
v
v
v
( t) R�
�
donde: 
∆
∆
v v
t R
2
� 5 (supondo Δt “pequeno”)
A aceleração vetorial instantânea a no instante t é dada por:
a vlim tt 0� ∆
∆
∆→
e, portanto: a vlim tt 0� ∆
∆
∆→
Il
u
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rA
ç
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Es
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Volume 1
Capítulo 92
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PArtE 
INtEGrANtE da obra Física Clássica, dos autores Caio sérgio Calçada e José luiz sampaio.
todos os direitos reservados.
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À medida que Δt aproxima-se de zero, a aproximação da relação 5 torna-se cada vez melhor e, portanto:
a vlim t
v
Rt 0
2
� �
 ∆
∆
∆→
Concluímos, então, que a aceleração vetorial instantânea do movimento circular uniforme tem módulo constante 
e dado por:
a
v
R
2
�
Por outro lado, analisando as fi guras 1, 2 e 3, percebemos que, à medida que A1 se aproxima de A, o ângulo θ 
diminui e Δv aproxima-se da direção perpendicular a v, o mesmo ocorrendo com a aceleração vetorial média ∆∆
v
t . No 
limite, a aceleração vetorial instantânea a é perpendicular a v e, portanto, tem a direção da reta que passa pelo ponto 
A e pelo centro da circunferência (fi g. 4).
A
C
a
v
Figura 4.
sE
tu
P
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Volume 1
Capítulo 111
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
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1. Aceleração angular 
Consideremos uma partícula em movimento circular de raio R. Se num instante t1 sua velocidade angular é ω1 e no ins-
tante t2 (posterior a t1) sua velocidade angular é ω2, a aceleração angular média (γm) entre os instantes t1 e t2 é dada por:
γ ω
ω ω
m
2 1
2 1t t t
� �
�
�
∆
∆
A aceleração angular instantânea (γ) é definida como sendo o limite da razão ∆∆
ω
t
 para Δt tendendo a zero:
γ ωlim tt 0� ∆
∆
∆→
Se γ for constante, teremos:
γ γ ω
ω ω
t t tm
2 1
2 1
� � �
�
�
∆
∆ 1
No SI temos:
unidade de rad/ss rad/s rad s
2 2γ � � � � �
A equação dimensional de γ é:
[γ] 5 T22
Sendo v1 e v2 as velocidades escalares nos instantes t1 e t2, respectivamente, a partir da equação 1 temos:
γ
ω ω
t t
v
R
v
R
t t
1
R
2 1
2 1
2 1
2 1
�
�
�
�
�
�
� 
vv v
t t R
2 1
2 1
�
�
�




α
α
� �� ��
ou: 
γ αR�
sendo α a aceleração escalar.
2. Movimento circular uniformemente variado (MCUV)
O movimento circular uniformemente variado não é periódico, uma vez que, sendo a aceleração linear não nula, 
cada volta é realizada em intervalos de tempo diferentes, não sendo possível definir período ou frequência para esse 
movimento.
No MCUV a aceleração angular média coincide com a aceleração angular instantânea.
Considere a figura ao lado, que representa um móvel realizando movimento circular 
uniformemente variado no sentido anti-horário, considerado positivo. Seja P0 a posição 
do móvel no instante t 5 0, caracterizada pela posição inicial s0 e pela velocidade linear 
inicial v0. As equações horárias da posição s e da velocidade v e a equação de Torricelli 
são as seguintes:
s s v t t20 0
2
� � � α
v 5 v0 1 αt
v2 5 v20 1 2αΔs
P
sP0
s0
C
R
0
φ
ω
ω0φ0 Se
TU
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Volume 1
Capítulo 112
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
Todos os direitos reservados.
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Considerando as grandezas angulares, sendo φ0 a posição angular inicial, ω0 a velocidade angular inicial e γ a 
aceleração angular, podemos obter as respectivas equações angulares dividindo as equações anteriores pelo raio R da 
trajetória ou por R2, no caso da última:
s
R
s
R
v
R t R
t
2 t
0 0
2
0 0� � � � � � 
α ϕ ϕ ω⇒ t2
2
�
γ
v
R
v
R R t t
0
0� �
� � � �⇒ ω γ
v
R
v
R 2 R
s
R 2
2
2
0
2
2
2
0
2� � � � � �α ω ω γ∆ ⇒ ∆∆ϕ
Exercícios
 1. A velocidade angular de um móvel em movimento 
circular aumenta uniformemente de 5,0π rad/s em 
t 5 0 para 12π rad/s em t 5 3,5 s. Determine:
a) a aceleração angular;
b) a equação horária da velocidade angular;
c) quantas voltas o corpo executa nesse intervalo de 
tempo.
Resolução:
a) Sendo ω0 5 5,0π rad/s e ω 5 12π rad/s, temos:
	 Δω 5 ω 2 ω0
	 Δω 5 12π 2 5,0π
	 Δω 5 7,0π rad/s
 em Δt 5 3,5 s
 A aceleração angular será:
 γ ωt�
∆
∆
 γ π7,03,5�
γ 5 2,0π rad/s2
b) A equação horária da velocidade angular obedece 
à forma ω 5 ω0 1 γt. Assim:
ω 5 5,0π 1 2,0πt
 O deslocamento angular descrito pode ser calcu-
lado pela equação de Torricelli:
 ω2 5 ω20 1 2γΔφ
 144π2 5 25π2 1 2 ? 2,0π ? Δφ
 Δφ  29,7π rad
 ou pela equação horária do espaço angular:
 ∆ϕ ω γt t20
2
� �
 ∆ϕ π
π5 3,5 2 (3,5)2
2
� � �
�
 Δφ  29,7π rad
 Por regra de três simples e direta:
 
1 volta 2,0 rad
n 29,
����
 ����
π
77 rad
n 29,72π
π
π} �
n  14,8 voltas
 2. Uma roda gira à razão de 10π rad/s, quando é des-
ligado o motor que a faz funcionar. A partir desse 
instante, a roda realiza um movimento circular uni-
formemente variado, parado em 20 s. Determine:
a) a aceleração angular da roda;
b) a equação horária da velocidade angular da roda, 
a partir do instante em que o motor foi desligado;
c) o número de voltas que a roda realiza, desde que 
o motor é desligado até parar.
 3. Uma partícula move-se sobre uma circunferência de 
raio 2,0 m com aceleração escalar constante e igual a 
6,0 m/s2. Calcule a aceleração angular do movimento.
Instruções para as questões 4 e 5:
O gráfico representa a velocidade angular, em fun-
ção do tempo, de uma polia que gira ao redor de 
um eixo.
� (rad/s)
20π
10 20 30 40
40π
60π
80π
0 t (s)
Se
TU
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Volume 1
Capítulo 113
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são pARTe 
INTeGRANTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
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 4. (UF-BA) A aceleração angular da polia é igual a:
a) 2π rad/s2 d) 100π rad/s2
b) 15π rad/s2 e) 200πrad/s2
c) 20π rad/s2
 5. (UF-BA) O número de voltas completas realizadas 
pela polia, de 0 a 40 s, é igual a:
a) 3,0 ∙ 102 d) 1,2 ∙ 103
b) 4,0 ∙ 102 e) 1,6 ∙ 103
c) 8,0 ∙ 102
 6. (UF-PE) A parte mais externa de um disco, com 0,25 m 
de raio, gira com uma velocidade linear de 15 m/s. 
O  disco começa então a desacelerar uniformemente 
até parar, em um tempo de 0,5 min. Qual o módulo 
da aceleração angular do disco em rad/s2?
 7. (Mackenzie-SP) O motor de um ventilador é ligado 
e, do repouso, seu eixo gasta 4,0 s para atingir uma 
velocidade cujo módulo permanecerá constante, pro-
porcionando um movimento periódico de 10 Hz. A 
aceleração angular média desse eixo, nos referidos 
4,0 s, foi:
a) 5,0 rad/s2 d) 20 rad/s2
b) 5,0π rad/s2 e) 20π rad/s2
c) 10 rad/s2
 8. (Aman-RJ) Um ponto material parte do repouso e se 
desloca em MUV sobre um plano horizontal em traje-
tória circular de 5 metros de raio. Após 10 segundos 
o ponto material percorreu 100 metros. A velocidade 
angular do ponto material nesse instante vale:
a) 16 rad ? s21 d) 2 rad ? s21
b) 4 rad ? s21 e) 0,4 rad ? s21
c) 20 rad ? s21
 9. (UF-PR) Um ventilador gira à razão de 900 rpm. Ao 
desligá-lo, seu movimento passa a ser uniformemente 
retardado, até parar após 75 voltas. Qual o tempo 
decorrido desde o movimento em que foi desligado 
até a sua parada completa?
 10. (Mackenzie-SP) Um disco inicia um movimento uni-
formemente acelerado a partir do repouso e, depois 
de 10 revoluções, a sua velocidade angular é de 
20 rad/s. Podemos concluir que a aceleração angular 
da roda em rad/s2 é aproximadamente igual a:
a) 3,5
b) 3,2
c) 3,0
d) 3,8
e) nenhuma das anteriores
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Volume 1
Capítulo 131
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
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Polia móvel com aceleração 
No sistema representado na figura 1, o bloco A está preso ao fio f1, o qual passa pelas polias P1 e P2; o bloco B está 
preso ao fio f2, o qual está preso ao eixo da polia P2. A polia P1 é uma polia fixa, isto é, ela pode girar, mas o seu eixo 
é fixo; a polia P2 é uma polia móvel, isto é, além de girar, o seu eixo pode movimentar-se. Suponhamos que os fios e 
as polias sejam ideais. Dependendo das massas de A e B, ao abandonarmos o sistema em repouso, podem ocorrer 
três situações:
1o.) o sistema permanece em repouso;
2o.) o bloco A sobe e o bloco B desce;
3o.) o bloco A desce e o bloco B sobe.
f2
P1
P2
A
B
f1
Figura 1.
Il
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A
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o
 A
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M
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tt
o
Porém, conforme veremos a seguir, desde que haja aceleração, as acelerações de A e B terão módulos diferentes.
consideremos inicialmente o sistema na posição da figura 2a e, apenas para fixar ideias, suponhamos que o blo-
co A esteja descendo e o bloco B esteja subindo, de modo que, após um intervalo de tempo Δt, o sistema esteja na 
posição da figura 2b.
X
(a) (b)
W
Z YdA
dB
A
A
B
B
Figura 2.
Sejam dA e dB os deslocamentos dos blocos A e B, respectivamente. observando a figura 2, percebemos que:
|dB| 5 XY 5 WZ
como o fio é ideal (e, portanto, inextensível), os trechos de fio XY e WZ que “desaparecem” do lado da polia 
móvel devem ter “ido” para o lado do bloco A, isto é:
|dA| 5 2|dB|
Portanto, para qualquer intervalo de tempo, o módulo do deslocamento de A será o dobro do módulo do deslo-
camento de B. Mas, como sabemos, a derivada do deslocamento nos dá a velocidade. Assim, sendo vA e vB as veloci-
dades dos blocos A e B num instante qualquer, devemos ter:
|VA| 5 2|VB|
Mas sabemos também que a derivada da velocidade é a aceleração. Portanto, sendo aA e aB as acelerações dos 
blocos A e B, temos:
| aA| 5 2| aB|
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Volume 1
Capítulo 132
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Isolemos as polias e os blocos como mostra a figura 3, onde T é a intensidade da tração no fio. Sendo aA e aB os 
módulos das acelerações dos blocos e supondo que o sistema tenha sido abandonado em repouso, consideraremos três 
casos.
2T
2T
PA
PB
TT
TT T
B
A
Figura 3.
1o. caso: O sistema permanece em repouso 
Nesse caso devemos ter t 5 PA e 2t 5 PB. Assim:
PB 5 2PA ou mB 5 2mA
onde mA e mB são as massas dos blocos A e B.
Se dermos um impulso ao bloco A ou ao bloco B, o sistema entrará em movimento, porém os dois blocos terão 
movimentos uniformes.
PB
PA
T
2T
BA
Figura 4.
2o. caso: m
B
 . 2m
A
 
Vimos no caso anterior que, para mB 5 2mA, o sistema fica em equilíbrio.
Assim, para mB . 2mA, o bloco B deve descer acelerado e o bloco A deve subir acelerado (supondo que o sistema 
tenha sido abandonado em repouso). Aplicando a Segunda lei de Newton a cada bloco, temos:
aB
aA
PB
PA
T
2T
BA
Figura 5.
T P m a
P 2T m a
A A A
B B B
� � �
� � �



essas duas equações, juntamente com a condição aA 5 2aB, resolvem o problema.
Il
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Capítulo 133
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OBservAçãO:
Ao resolvermos um problema desse tipo, podemos, se quisermos, não fazer a análise da relação entre as massas e 
simplesmente fazer uma das seguintes hipóteses:
1a.) aA tem sentido para baixo e aB tem sentido para cima.
2a.) aA tem sentido para cima e aB tem sentido para baixo.
A seguir, escrevemos as equações baseadas na hipótese feita, sem nos preocuparmos se a hipótese é correta ou não. 
Como ao escrevermos as equações usamos as acelerações em módulo, perceberemos no final do problema se a hipótese 
está correta ou não: se as acelerações obtidas forem positivas, a hipótese estará certa; se as acelerações forem negativas, 
a hipótese estará errada (mas isso não quer dizer que precisamos resolver novamente o problema, pois os módulos das 
acelerações estarão corretos).
3o. caso: m
B
 , 2m
A
 
como vimos, para mB 5 2mA, o sistema fica em equilíbrio. Assim, para mB , 2mA, o bloco A deve descer em mo-
vimento acelerado e o bloco B deve subir em movimento acelerado (supondo que o sistema tenha sido abandonado 
em repouso). Portanto, as equações que resolvem o problema são:
P T m a
2T P m a
a 2a
A A A
B B B
A B
� � �
� � �
�





aBaA
PB
PA
T
2T
BA
Figura 6.
exercícios
 1. O sistema representado na figura é formado por 
fios e polias ideais. A aceleração da gravidade tem 
módulo g 5 10 m/s2, a massa de A é mA 5 3,5 kg e 
a massa de B é mB 5 6,0 kg. Calcule os módulos das 
acelerações dos blocos A e B e o módulo da tração no 
fio ligado ao bloco A.
A
B
Resolução:
PB
PA
T
2T
BA
P m g 3,5 10 P 35 N
P m
A A A
B B
� � � � �
� �
⇒
g 6,0 10 P 60 NB� � �⇒



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Capítulo 134
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são PArte 
INteGrANte da obra Física Clássica, dos autores caio Sérgio calçada e José luiz Sampaio.
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Como 2mA . mB, a aceleração de A tem sentido para 
baixo e a aceleração de B tem sentido para cima. 
Apliquemos a Segunda Lei de Newton a cada bloco:
P T m a
2T P m a
ou
35A A A
B B B
� � �
� � �
�


TT 3,5 a (I)
2T 60 6,0 a (II)
A
B
� �
� � �


 2
1
Usando a condição aA 5 2aB na equação 1 , o sistema 
de equações anterior fica:
35 T 7,0 a2T 60 6,0 a
B
B
� � �
� � �


 2
3
Dividindo por 2 todos os termos da equação 2 , 
temos:
35 T 7,0 a
T 30 3,0 a
B
B
� � �
� � �


 4
3
Adicionando membro a membro essas duas últimas 
equações, temos:
35  30 5 10  aB ou aB 5 0,50 m/s
2
Como aA 5 2aB, obtemos: aA 5 2(0,50) ⇒ aA 5 1,0 m/s
2
Para obtermos o valor de T, substituímos os valores 
obtidos para as acelerações, em qualquer das equa-
ções anteriores. Por exemplo, substituímos o valor de 
aB na equação 4 :
T  30 5 3,0  aB 
T  30 5 3,0  0,50
T 5 31,5 N
 2. No sistema representado na figura, os fios e as polias 
são ideais. A aceleração da gravidade tem módulo 
10 m/s2, e as massas de A e B são respectivamente 
iguais a 3,0 kg e 8,0 kg. Calcule os módulos:
A
B
a) da aceleração de B;
b) da aceleração de A;
c) da tração no fio ligado ao bloco A.
 3. No sistema representado na figura, os fios e as polias 
são ideais e não há atrito entre o bloco A e a super-
fície de apoio. A aceleração da gravidade tem módulo 
10 m/s2 e as massas dos blocos A e B são respectiva-
mente iguais a 2,0 kg e 12 kg. Calcule os módulos:
Il
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A
rc
o
 A
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IS
M
o
tt
o
B
A
a) das acelerações dos blocos A e B;
b) da tração no fio ligado ao bloco A.
 4. Considere o sistema representado na figura, onde os 
fios e as polias são ideais. A aceleração da gravida-
de tem módulo 10 m/s2 e as massas de A e B são 
respectivamente iguais a 3,0 kg e 2,0 kg. Sendo aA 
e aB os módulos das acelerações dos blocos A e B, 
determine:
f1
f2
B
A
a) a relação entre aA e aB;
b) os valores de aA e aB;
c) o módulo da tração no fio ligado ao bloco A.
 5. (Fuvest-SP) Considere o esquema representado na 
figura abaixo. As roldanas e a corda são ideais. O corpo 
suspenso da roldana móvel tem peso P 5 500 N.
P
a) Qual o módulo da força vertical (para baixo) que o 
homem deve exercer sobre a corda para equilibrar 
o sistema?
b) Para cada 1 metro de corda que o homem puxa, de 
quanto se eleva o corpo suspenso?
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Volume 1
Capítulo 135
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são PArte 
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 6. (AFA-SP) Os corpos A e B da figura abaixo têm massa 
M e m, respectivamente. Os fios são ideais. A massa 
da polia e todos os atritos podem ser considerados 
desprezíveis. O módulo da aceleração de B é igual a:
B
A
g
a) mgM m c) 
2mg
M m
b) mg4M m d) 
2mg
4M m
 7. No sistema representado na figura, os fios e as polias 
são ideais, não há atrito e as massas dos blocos A, B e 
C são, respectivamente, iguais a 15 kg, 10 kg e 24 kg. 
A aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s2. 
Sendo aA, aB e aC os módulos das acelerações dos blo-
cos A, B e C, respectivamente, determine:
A B
C
A B
C
Il
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 A
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o
a) a relação entre aA, aB e aC;
b) os valores de aA, aB e aC;
c) o módulo da tração no fio que está ligado ao 
bloco A.
 8. O sistema esquematizado abaixo, em que os fios e 
as polias são ideais, é abandonado em repouso. São 
dados: g 5 10 m/s2; mA 5 1,0 kg; mB 5 6,0 kg. 
Determine as acelerações de A e B propondo que não 
haja atrito entre o bloco A e a superfície S.
6 kg
1 kg
S
g
B
A
 9. No sistema esquematizado abaixo, os fios e as polias 
são ideais e as massas dos blocos A, B e C são, respec-
tivamente, 4,0 kg, 16 kg e 8,0 kg. Supondo que o sis-
tema seja abandonado em repouso e que g 5 10 m/s2, 
determine o sentido do movimento e o módulo da 
aceleração de cada bloco.
A
B
C
g
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Capítulo 161
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1. Associação de molas em série 
Consideremos duas molas ideais, de constantes k1 e k2, associadas em série, como mostra a figura 1a. Se apli-
carmos ao conjunto uma força F, como indica a figura 1b, a deformação do conjunto será x. Chamamos de mola 
equivalente à associação uma única mola de constante elástica k que, sob a ação da mesma força F, sofre a mesma 
deformação x (fig. 2).
x
(a)
(b)
F
k1
k2
k1
k2
x
F
k
k
Figura 1.
Figura 2.
Vamos determinar o valor de k em função de k1 e k2. As molas de constantes k1 e k2 sofreram deformações x1 e x2 
tais que:
x 5 x1 1 x2 1
Como as molas são ideais, o esquema de forças é o da figura 3. Aplicando a Lei de 
Hooke a cada mola, temos:
F 5 k1 ? x1 e F 5 k2 ? x2
ou
x F
k1 1
5 e x Fk2 2
5 2
Aplicando a Lei de Hooke à mola equivalente (fig. 3), temos:
F 5 k ? x ou x Fk
5 3
Substituindo 3 e 2 em 1 , obtemos:
F
k
F
k
F
k1 2
� � ou 1k
1
k
1
k1 2
� � 4
A fórmula 4 pode ser ampliada para um número maior de molas. Se tivermos, 
por exemplo, associadas em série três molas ideais de constantes elásticas k1, k2 e k3, a 
constante k da mola equivalente será dada por:
1
k
1
k
1
k
1
k1 2 3
� � �
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Iz
 F
er
n
A
n
d
o
 r
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bI
o
k1
F
F
F
F
F
k2
Figura 3.
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Volume 1
Capítulo 162
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Exercícios
 2. Três molas ideais, de constantes elásticas k1 5 20 N/m, 
k2 5 30 N/m e k3 5 60 N/m, foram associadas em série.
a) Determine a constante elástica da mola equiva-
lente à associação.
b) Determine a deformação sofrida pela associação 
quando submetida a uma força de intensidade 
F 5 7,0 N.
 3. Duas molas ideais, de constantes elásticas iguais a 
80 N/m, foram associadas em série. Determine a cons-
tante elástica da mola equivalente à associação.
 4. Três molas ideais e idênticas foram associadas em série. 
Sendo k a constante elástica de cada mola, determine 
a constante elástica da mola equivalente à associação.
2. Associação de molas em paralelo 
Quando a associação é em paralelo, só tem interesse prático o caso de molas idênticas, isto é, molas que têm o 
mesmo comprimento natural e a mesma constante elástica.
Consideremos duas molas idênticas de constante elástica k1 cada uma, associadas em paralelo, como indica a fi-
gura 4. As molas são presas a um mesmo suporte S e a uma barra de massa desprezível, no centro da qual é aplicada 
a força F. Ao aplicarmos a força F no centro da barra, o sistema sofrerá uma deformação x (fig. 5), isto é, cada mola 
sofrerá a mesma deformação x. Seja k a constante elástica da mola equivalente. Sob a ação da mesma força F, deverá 
sofrer a mesma deformação x (fig. 6).
F
k1
S
k1
Figura 4.
F
x
k1 k1
k1 k1
Figura 5.
F
x
k
k
Figura 6.
Cada uma das duas molas da associação receberá uma força de intensidade F
2
 (fig. 7). Aplicando a Lei de Hooke 
a uma delas, temos:
F
2 k x1� � ou F 5 2k1 ? x 1
k1 k1
F
2
F
2
Figura 7.
IL
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 F
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1. Consideremos duas molas ideais, de constantes 
elásticas k1 5 3,0 N/m e k2 5 6,0 N/m, associadas 
em série. Determine a constante elástica da mola 
equivalente.
Resolução:
Sendo k a constante elástica da mola equivalente, 
temos:
1
k
1
k
1
k
1
3,0
1
6,01 2
� � � �
1
k
2,0 1,0
6,0�
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k 5 2,0 N/m
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Volume 1
Capítulo 163
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
Todos os direitos reservados.
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5. Três molas idênticas, de constante elástica 
k1 5 20 N/m cadauma, foram associadas em para-
lelo. Determine a constante elástica da mola equiva-
lente à associação.
Resolução:
k1 k1 k1
k
k 5 3k1 5 3 ? 20
k 5 60 N/m
 6. Cinco molas idênticas foram associadas em paralelo. 
Sabendo que a constante elástica de cada uma é 
80 N/m, determine a constante elástica da mola 
equivalente à associação.
 7. Duas molas idênticas foram associadas em paralelo. 
Determine a constante elástica de cada uma delas, 
sabendo que a constante elástica da mola equivalente 
é igual a 300 N/m.
 8. Uma mola ideal tem constante elástica 30 N/m. 
Cortamos essa mola ao meio e com as duas metades 
fazemos uma associação em paralelo. Determine a 
constante elástica da mola equivalente a essa asso-
ciação.
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 9. Calcule a constante elástica equivalente da associação 
abaixo, sabendo que k1 5 15 N/m e k2 5 20 N/m.
k2 k2 k2
k1 k1
F
 10. Duas molas de constantes elásticas 14 N/m e 6,0 N/m 
foram associadas em série. Calcule a constante elásti-
ca da mola equivalente à associação.
 11. Quatro molas idênticas, de constante elástica 60 N/m 
cada uma, foram associadas em paralelo. Calcule a 
constante elástica da mola equivalente à associação. 
 12. (Fatec-SP) Dispõe-se de duas molas idênticas e de 
um objeto de massa m. O objeto pode ser pendura-
do em apenas uma das molas ou numa associação 
delas mesmas, conforme a figura. O objeto provo-
cará uma deformação total:
(I)
m
(II)
m
(III)
m
Aplicando a Lei de Hooke à mola equivalente, temos:
F 5 k ? x 2
Comparando 1 e 2 , obtemos:
k ? x 5 2k1 ? x ou k 5 2k1 3
A fórmula 3 pode ser ampliada para um número maior de molas idênticas, associadas em paralelo. de modo 
geral, se tivermos n molas idênticas associadas em paralelo, sendo k1 a constante elástica de cada uma, a constante 
elástica da mola equivalente é dada por:
k 5 nk1
Exercícios
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Volume 1
Capítulo 164
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a) igual nos três arranjos.
b) maior no arranjo I.
c) maior no arranjo II.
d) maior no arranjo III.
 13. (Cesgranrio-RJ) Um corpo suspenso a uma mola ideal 
alonga-se de 12 cm (fig. a). Corta-se a mola no meio 
e suspende-se o mesmo corpo ao conjunto das duas 
metades, como na figura b. Cada uma dessas metades 
se acha alongada de:
Figura a. Figura b.
a) 3,0 cm d) 6,0 cm
b) 9,5 cm e) 12 cm
c) 24 cm
 14. (UF-MT) Dois corpos, A e B, estão ligados, conforme 
esquema abaixo, por duas molas, k1 e k2, idênticas e 
de massas desprezíveis. Sabe-se que os atritos com a 
superfície horizontal são desprezíveis e que o siste-
ma está oscilando, sendo, num dado instante, Δx1 a 
distensão não nula de k1 e Δx2 a distensão não nula 
de k2. Então 
∆
∆
x
x
2
1
 vale, em módulo:
k2k1
4,0 kg 2,0 kg
a) 12 d) 2
b) 1 e) 2 2
c) 2
 15. (Vunesp-SP) Dinamômetros são instrumentos desti-
nados a medir forças. O tipo mais usual é constituído 
por uma mola cuja deformação varia linearmente com 
a intensidade da força que a produz (Lei de Hooke). 
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Dois dinamômetros estão montados sobre uma mesa 
horizontal perfeitamente lisa, conforme mostra a 
figura. Quando o corpo de massa m é suspenso por um 
fio de massa desprezível à extremidade do dinamôme-
tro, a força que este indica é 5 N. Adote g 5 10 m/s2.
(I) (II)
m
a) Que força indicará o dinamômetro II?
b) Qual a massa do corpo suspenso?
 16. (Vunesp-SP) O gráfico da figura I mostra as elonga-
ções sofridas por duas molas, M1 e M2, em função da 
força aplicada a elas. Quando essas molas são disten-
didas, como mostra a figura II, sobre uma superfície 
horizontal perfeitamente lisa, a elongação sofrida por 
M2 é igual a 3,0 cm.
Figura I.
el
o
n
g
aç
ão
 (
cm
)
2
5 10 15 20 25
4
6
8
10
0
força (N)
M1
M2
M2M1
Figura II.
a) Qual é a intensidade da força que está distenden-
do a mola M2?
b) Qual a elongação sofrida por M1?
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Volume 1
Capítulo 171
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A força de Coriolis
Quando um corpo está em movimento em relação a um referencial que gira, além da força centrífuga há uma 
outra força fictícia sobre o corpo: é a força de Coriolis, que tem esse nome porque seu estudo foi feito pelo francês 
Gustave Gaspar Coriolis (1792-1843). Num referencial que gira, a força centrífuga existe tanto no caso em que o 
corpo está em repouso como no caso em que está em movimento, mas a força de Coriolis só aparece quando o corpo 
está em movimento. Não faremos o estudo matemático dessa força, pois sua complexidade está acima do nível do 
nosso curso. No entanto, daremos alguns exemplos para que você perceba seu efeito.
Na figura 1 representamos uma situação em que dois indivíduos, A e B, estão sobre uma plataforma que gira em 
relação ao solo, onde está o indivíduo C. Para simplificar, vamos supor que o indivíduo A esteja no centro da plataforma.
Figura 1.
A
B BC C
A
B
C
A
B
CA
O indivíduo A joga uma bola para B (fig. 1a). Porém, devido à rotação da plataforma, a bola não chega a B; quem 
a recebe é o indivíduo C. Nas figuras 1a e 1b, temos a trajetória da bola em relação ao observador C que está fixo no 
solo. Nas figuras 1c e 1d, representamos a trajetória da bola para os indivíduos A e B; para eles, é o indivíduo C que 
está girando, e a trajetória da bola é uma curva.
A diferença básica está no seguinte: a força centrífuga empurra a bola para fora, afastando-a radialmente do centro, en-
quanto a força de Coriolis torce sua trajetória lateralmente, provocando desvios na direção de sua velocidade vetorial (fig. 2).
Figura 2.
O
FCO
direção radial
trajetória encurvada
O garoto A vê a bola desenhar uma trajetória curva, entortada para a direita, e atribui o fato à existência de uma 
força fictícia, que é a força de Coriolis. Para o garoto A, o seu referencial está na plataforma girando e, portanto, não 
é um referencial inercial. Lembremo-nos de que o referencial inercial deverá estar em repouso ou em MRU. No caso, 
a plataforma está em MCU.
(a)
(b)
(c)
(d)
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Volume 1
Capítulo 172
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Vejamos alguns exemplos em que aparece a força de Coriolis:
•	 soltamos uma pedra da boca de um poço, bem no centro do seu círculo. esta não cairá no centro da água, lá 
no fundo do poço, mas baterá nas paredes laterais (fig. 3). A terra tem movimento de rotação e nesse caso o 
nosso referencial não é inercial. A força de Coriolis é a responsável pelo desvio de trajetória da pedra.
Figura 3.
•	 Qualquer objeto que despencar de uma altura razoável sofrerá a influência de Coriolis, e sua trajetória será 
desviada. Nos experimentos que Galileu teria feito na torre de Pisa, a força de Coriolis também desviou as balas 
de canhão. Porém, esse desvio foi muito pequeno, da ordem de alguns milímetros, e nem Galileu percebeu.
•	 A formação de ciclones tem sua explicação na força de Coriolis.
boca do poço
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G
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 1. (Fund. Carlos Chagas-SP) Nas corridas em circuito 
oval, as pistas são acentuadamente inclinadas. 
Suponha que uma pista tem 10 m de largura e um 
desnível de 6,0 m entre as margens externa e inter-
na. Um automóvel,nesta pista, pode descrever uma 
curva de raio 120 m sem depender de atrito. A máxi-
ma velocidade, em m/s, do automóvel nas condições 
descritas é:
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
(Adote: g 5 10 m/s2 e π  3.)
 2. (ITA-SP) Um funil que gira com velocidade angular 
uniforme em torno do seu eixo vertical de simetria 
apresenta uma superfície cônica que forma um ângu-
lo θ com a horizontal, conforme a figura. Sobre esta 
superfície, uma pequena esfera gira com a mesma 
velocidade angular mantendo-se a uma distância d do 
eixo de rotação.
Exercícios
Nestas condições, o período de rotação do funil é 
dado por:
a) 2 dg sen π θ
b) 2 dg cos π θ
c) 2 dg tan π θ
d) 2 2dg sen 2π θ
e) 2 d cos g tan π
θ
θ
g ω
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Volume 1
Capítulo 173
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 3. Considere o raio da Lua igual a 1,6 ∙ 106 m e o módu-
lo da aceleração da gravidade na superfície lunar 
igual a 1,6 m/s2.
A velocidade de um satélite rasante à Lua tem módu-
lo igual, em km/s, a:
a) 0,80 c) 3,2 e) 8,0
b) 1,6 d) 4,8
 4. (UF-ES) Um pêndulo é formado por uma esfera de 
massa m presa ao teto por um fio inextensível e de 
massa desprezível. Ele oscila livremente e, no ins-
tante em que sua velocidade é nula, o fio forma um 
ângulo θ com a vertical, conforme a figura. 
m
θ
Nesse instante a intensidade da força que traciona 
o fio é:
a) nula d) mg
b) mg sen θ	 e) mg cos θ
c) mg tg θ
 5. (OBF-Brasil) Em um pêndulo cônico temos uma corda 
de comprimento L e na sua extremidade um corpo de 
massa m, que realiza um movimento circular no plano 
(veja figura). Como consequência deste movimento, a 
corda descreve a figura de um cone, razão pela qual 
o pêndulo adquire esse nome. 
θ
R
L
O
C
v
P
m
Determine:
a) a velocidade angular ω do corpo em função do 
módulo da aceleração da gravidade g, do compri-
mento L e do ângulo θ de inclinação da corda;
b) o tempo para o corpo dar uma volta completa.
 6. (Unesp-SP) Um pequeno bloco de massa m é colocado 
sobre um disco giratório, plano e horizontal, inicial-
mente em repouso, a uma distância R do eixo do 
disco. O disco é então posto a girar com pequena ace-
se
tU
P
g
se
tU
P
g
leração angular, até que sua velocidade angular atinja 
um certo valor ω. A partir deste valor de velocidade 
angular, o bloco começa a deslizar sobre o disco. 
Representando por g o módulo da aceleração da gra-
vidade e considerando-se o instante em que o bloco 
está prestes a deslizar sobre o disco:
a) determine, em função desses dados, o módulo da 
força centrípeta Fc que atua sobre o bloco;
b) calcule, em função desses dados, o coeficiente de 
atrito estático μe entre o bloco e o disco.
 7. Nos estudos de Astronomia, definimos três velocida-
des, chamadas velocidades cósmicas, que são calcula-
das, no caso do planeta Terra, imaginando ausência da 
atmosfera (isto é, desprezando-se o efeito do ar) e não 
se considerando efeitos ligados à rotação do planeta.
A velocidade cósmica primeira é a velocidade de 
satelização, isto é, a velocidade com que deveríamos 
lançar um corpo, horizontalmente, do Pico do Everest 
(ponto culminante da Terra) para transformá-lo em 
um satélite rasante da Terra, em órbita circular e 
movimento uniforme.
A velocidade cósmica segunda é a velocidade de esca-
pe, que é a velocidade mínima de lançamento de um 
corpo, a partir da superfície terrestre, para que ele 
saia do campo gravitacional da Terra (vá para o infi-
nito) e seu valor é da ordem de 11,2 km/s.
A velocidade cósmica terceira é a velocidade mínima 
de lançamento de um corpo, a partir da superfície 
terrestre, para que ele saia do Sistema Solar e seu 
valor é da ordem de 45 km/s.
Terra
Pico do Everest
órbita do
satélite
rasante
C
vS
FG
se
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P
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Volume 1
Capítulo 174
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Calcule:
a) a velocidade cósmica primeira a partir dos seguin-
tes dados:
•	 raio da Terra: R 5 6,4 ? 106 m
•	 módulo da aceleração da gravidade junto à super-
fície terrestre: g 5 10 m/s2
b) o período de translação desse satélite rasante. 
Adote π 5 3.
 8. (Fuvest-SP) Um avião voa horizontalmente sobre o mar 
com velocidade constante de módulo v, a ser determi-
nado. Um passageiro, sentado próximo ao centro de 
massa do avião, observa que a superfície do suco de 
laranja, que está em um copo sobre a bandeja fixa ao 
seu assento, permanece paralela ao plano da bandeja.
Estando junto à janela e olhando numa direção per-
pendicular à da trajetória do avião, o passageiro nota 
que a ponta da asa esquerda do avião tangencia a 
linha do horizonte, como mostra a figura A. O piloto 
anuncia que, devido a um problema técnico, o avião 
fará uma curva de 180° para retornar ao ponto de 
partida. Durante a curva, o avião inclina-se para a 
esquerda, de um ângulo θ 5 30°, sem que haja alte-
rações no módulo de sua velocidade e na sua altura. O 
passageiro, olhando sempre na direção perpendicular 
à da velocidade do avião, observa que a ponta da asa 
esquerda permanece durante toda a curva apontando 
para um pequeno rochedo que aflora do mar, como 
representado na figura B. O passageiro também nota 
que a superfície do suco permaneceu paralela à ban-
deja e que o avião percorreu a trajetória semicircular 
de raio R (a ser determinado), em 90 s. Percebe, 
então, que com suas observações e alguns conheci-
mentos de Física que adquiriu no ensino médio, pode 
estimar a altura e a velocidade do avião.
NOTE E ADOTE
π 5 3; sen 30° 5 0,5; cos 30° 5 0,86; tg 30° 5 0,6;
módulo da aceleração da gravidade: g 5 10 m∙s–2.
Figura A.
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G
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Figura B.
As distâncias envolvidas no problema são grandes em 
relação às dimensões do avião.
a) Encontre uma relação entre v, R, g e θ, para a 
situação descrita.
b) Estime o módulo v da velocidade do avião, em 
km/h ou m/s.
c) Estime o valor da altura H, acima do nível do mar, 
em metros, em que o avião estava voando.
 9. (Unicamp-SP) As máquinas a vapor, que foram impor-
tantíssimas na Revolução Industrial, costumavam ter 
um engenhoso regulador da sua velocidade de rota-
ção, como é mostrado esquematicamente na figura 
abaixo. As duas esferas afastavam-se do eixo devido 
ao movimento angular e acionavam um dispositivo 
regulador da entrada de vapor, controlando assim 
a velocidade de rotação, sempre que o ângulo  θ 
atingia  30°. Considere hastes de massa desprezível 
e comprimento L 5 0,2 m, com esferas de massa 
m 5 0,18 kg em suas pontas, d 5 0,1 m e aproxime 
3  1,8. Adote g 5 10 m/s2.
ω
a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam 
sobre uma das esferas.
b) Calcule a velocidade angular ω para a qual θ 5 30°.
g
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Capítulo 211
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 Colisões
Vamos demonstrar que numa colisão elástica o coe� ciente de restituição (e) é igual a 1:
antes do choque depois do choque
vB
A vA
B
eixo
vA'
A vB'
B
eixo
Pela Conservação da Quantidade de Movimento, temos:
1 mAvA � mBvB � mAv'A � mBv'B
mAvA � mAv'A � mBv'B � mBvB
mA(vA � v'A) � mB(v'B � vB) 2
Num choque elástico há conservação de energia cinética:
m (v
2
m (v
2
m (v
2
A A
2
B B
2
A A
2�
�
�
�
�
�
) ) )' m (v
2
B B
2� ' )
mA (vA)
2 � mA (v'A)
2 � mB (v'B)
2 � mB(vB)
2
 m (v ) (v m (v ) (vA A
2
A
2
B B
2
B
2� � �' ') )    3
Façamos a divisão membro a membro da equação 3 pela equação 2 :
m (v ) (v
m v v
m (v )A A
2
A
2
A A A
B B
2�
�
�
'
'
')
( )
  (v
m v v
B
2
B B B
�
�
)
( )
 
' 4
Lembrando os produtos notáveis da Matemática:
( ) ) ) )
(
v (v (v v (v v
v
A
2
A
2
A A A A� � � � �' ' '
'BB
2
B
2
B B B B(v (v v (v v) ) ) )� � � � �' '



a equação 4 � ca:
( ) ( )
( )
(v v v v
v v
v vA A A A
A A
B B� �
�
�
�' '
'
' )) )
( )
 �
�
� � �
(v v
v v v v v
B B
B B
A A B
'
' ' '⇒ vvB ⇒
⇒ ⇒v v (v v
v v
vA B A B
A B
A
� � � � �
�
�
' '
' '
) vv 1 e 1B
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��� ��
� �⇒
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Capítulo 231
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1. Centro de gravidade 
Vamos demonstrar a seguinte propriedade:
Se a aceleração da gravidade g é a mesma em qualquer ponto de um corpo, seu centro de gravidade G 
coincide com seu centro de massa C.
Consideremos um sistema de n partículas de massas:
m1, m2, ... , mn
e pesos:
P1, P2, ... , Pn
Sejam
M 5 m1 1 m2 1 ... 1 mn
e
P 5 P1 1 P2 1 ... 1 Pn
Se esse sistema está numa região em que g é constante, então todos os pesos deverão ter a mesma direção e 
sentido.
y
0 x
G
x1
P1
P2
PnP
x2 xG xn
O centro de gravidade G é o ponto que tem a seguinte propriedade: aplicando-se o peso total P em G, seu torque 
deve ser igual à soma dos torques dos pesos de cada partícula. Tomando torques em relação a O:
MP 5 MP1 1 MP2 1 ... 1 MPn ⇒ P ? xG 5 P1 x1 1 P2 x2 1 … 1 Pn xn ⇒
⇒ Mg xG 5 m1 g x1 1 m2 g x2 1 …1 mn g xn ⇒ x
m x m x ... m x
MG
1 1 2 2 n n�
 � � � 
 1
Mas, como vimos no capítulo 22, a equação 1 nos dá a abscissa xC do centro de massa do sistema, isto é, xG 5 xC. 
Procedendo do mesmo modo, veremos que o mesmo ocorre para a ordenada y de C e para a cota z de C.
2. Teorema das três forças
Consideremos um corpo rígido em equilíbrio sob a ação de apenas três forças F1, F2 e F3. É fácil perceber que uma 
das possibilidades é que as três forças sejam paralelas, como no exemplo a seguir:
Figura 1.
d1
F1
F2
F3
d2
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F3 5 F1 1 F2
F1 d1 5 F1 d2
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Capítulo 232
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Suponhamos agora que duas delas (F1 e F2) tenham retas suportes que se cruzam em um ponto D, e a terceira (F3) 
tenha uma direção qualquer (fig. 2), de modo que a reta suporte de F3 está a uma distância d do ponto D.
Figura 2.
D
d
F1 F2
F3
Tomemos torques em relação ao ponto D. Se o corpo está em equilíbrio, a soma dos torques deve ser nula: 
MF1 1 MF2 1 MF3 5 0
F1 (0) 1 F2 (0) 1 F3 ? d 5 0 ⇒ F3 ? d 5 0 ⇒ d 5 0
Portanto, a reta suporte de F3 também passa por D, isto é, as três retas suportes são concorrentes em um único 
ponto D.
3. Conservação do momento angular
Momento de inércia 
Consideremos uma partícula de massa m em movimento circular não uniforme, 
sendo r o raio da trajetória (fig. 3). a força resultante F tem uma componente tan-
gencial Ft e uma componente centrípeta Fn. Num determinado instante, a partícula 
tem aceleração escalar α e aceleração angular γ, e vale a equação:
α 5 γ ? r ou γ αr (1)5 1
De acordo com a Segunda lei de Newton, temos:
Ft 5 m ? α 5 m ? γ ? r 2
Tomando como polo o centro E da circunferência, o torque de Fn é nulo. Portanto, o torque da força resultante é 
igual ao torque de Ft:
MF 5 MFt 5 Ft ? r 3
Introduzindo 2 em 3 , temos:
MF 5 Ft ? r 5 (m γ r)(r) ⇒ MF 5 (mr
2) γ 4
a equação 4 é análoga à equação da Segunda lei de Newton, com o termo mr2 representando um tipo de inér-
cia, chamado inércia rotacional ou momento de inércia, sendo representado por I:
I 5 mr2 5
Il
u
ST
ra
ç
õ
eS
: S
eT
u
P
E
m
r
Ft
Fn
F
Figura 3.
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Volume 1
Capítulo 233
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
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Desse modo, a equação 4 pode ser escrita:
MF 5 Iγ 6
Consideremos agora um corpo extenso formado por n partículas, de massas:
m1, m2, ..., mn
girando com aceleração angular γ em torno de um eixo E, de modo que as distâncias das partículas ao eixo são:
r1, r2, ..., rn
Os torques resultantes em cada partícula são:
M1, M2, ..., Mn
sendo:
M1 5 (m1r1
2)γ
M2 5 (m2r
2
2)γ
	 
Mn 5 (mnr
2
n)γ
Portanto, o torque total M sobre o corpo é:
M 5 M1 1 M2 1 ... 1 Mn 5 (m1r
2
1)γ 1 (m2r
2
2)γ 1 ... 1 (mnr
2
n)γ 5 (m1r
2
1 1 m2r
2
2 1 ... 1 mnr
2
n)γ
assim, o momento de inércia do corpo é dado por:
I 5 m1r
2
1 1 m2r
2
2 1 ... 1 mnr
2
n 7
e:
M 5 I ? γ 8
Na realidade, o número de partículas de um corpo extenso tende a infinito e a soma que aparece na equação 7 
torna-se uma soma com infinitos termos que só pode ser efetuada com o auxílio do Cálculo Integral.
O torque total M sobre o corpo é a soma do torque total das forças internas com o torque total das forças externas. 
Mas o torque total das forças internas é nulo, pois estas forças aparecem como pares de forças opostas. Portanto, o 
torque total sobre o corpo é igual ao torque total das forças externas.
Duas partículas A e B, de massas mA 5 3,0 kg e mB 5 5,0 kg, estão nas extremidades de uma barra de massa desprezível cujo 
comprimento é 4,0 m. Vamos determinar o momento de inércia do sistema quando:
a) ele gira em torno de um eixo E1, perpendicular à barra e passando pelo seu ponto médio (fig. 4);
b) ele gira em torno de um eixo E2 , ortogonal à barra, como ilustra a figura 5.
4,0 m0,5 m
E2
A B
Figura 5.
2,0 m
BA
2,0 m
E1
Figura 4.
a) I 5 mAr
2
A 1 mBr
2
B 5 (3,0 kg)(2,0 m)
2 1 (5,0 kg)(2,0 m)2 5 12 kg ? m2 1 20 kg ? m2 ⇒ I 5 32 kg ? m2
b) I 5 mAr
2
A 1 mBr
2
B 5 (3,0 kg)(0,5 m)
2 1 (5,0 kg)(4,5 m)2 5 0,75 kg ? m2 1 101,25 kg ? m2 ⇒ I 5 102 kg ? m2
Il
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Exemplo 1
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Capítulo 234
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O exemplo 1 ilustra dois fatos importantes. em primeiro lugar, o momento de inércia de um sistema depende do 
eixo de rotação. em segundo lugar, no caso b, vemos que a partícula próxima ao eixo contribui pouco para o mo-
mento de inércia total. a razão disso é que a distância (r) aparece elevada ao quadrado, enquanto a massa (m) está 
elevada à primeira potência.
Na tabela a seguir apresentamos alguns momentos de inércia, obtidos por meio do Cálculo Integral.
I 5 Mr2 
casca cilíndrica fina
I 12 M(R R1
2
2
2� � ) 
casca cilíndrica grossa
I 12 MR
2� 
cilindro maciço
I 14 MR
1
12 ML
2 2� � 
cilindro maciço
I 112 ML
2� 
cilindro maciço muito fino (r > 0)
I 13 ML
25 
cilindro maciço muito fino (r > 0)
I 23 MR
25 
casca esférica fina
I 25MR
25 
esfera maciça
I 12 MR
25 
casca cilíndrica fina
Tabela 1. Alguns momentos de inércia.
Raio de giração
Consideremos um corpo de massa M, girando em torno de um eixo E, com momento de inércia I. Imaginemos 
toda a massa do corpo concentrada em um ponto situado a uma distância k de E, de modo que essa “partícula ima-
ginária” tenha o mesmo momento de inércia do corpo:
I 5 Mk2 9
a distânciak é chamada raio de giração do corpo em relação ao eixo E.
Il
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Capítulo 235
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Por exemplo, consultando a tabela 1, observamos que o momento de inércia de uma esfera de raio R em relação 
a um eixo que passa por seu centro é:
I 25MR
25
Portanto, o raio de giração (k) da esfera em relação a esse eixo é calculado por:
2
5MR Mk k
2
5 R
2 25 5⇒
Energia cinética de rotação
Consideremos uma partícula de massa m em movimento circular, sendo R o raio da trajetória. Se, num determina-
do instante, sua velocidade escalar é v, sua energia cinética é dada por:
E 12 mvC
25
Figura 6.
R
v
ω
lembrando que a relação entre a velocidade escalar v e a velocidade angular ω é:
v 5 ω ? r
a energia cinética pode ser calculada por: 
E 12 m( R) E
1
2 (mR )C
2
C
2 2
 
 
 
 � �ω ω⇒ 10
Mas mr2 é o momento de inércia I da partícula. Portanto, a equação 10 transforma-se em:
E 12 IC
2� ω 11
Seguindo o mesmo raciocínio usado no cálculo do torque resultante, concluímos que a equação 11 vale também 
para um corpo extenso.
Se
Tu
P
Vamos determinar a energia cinética de rotação de um cilindro maciço, de massa M 5 30 kg e raio da 
base R 5 0,10 m, que gira em torno de um eixo que passa pelos centros de suas bases, com velocidade 
angular ω 5 8,0 rad/s.
Consultando a tabela 1, vemos que o momento de inércia do cilindro, para esse eixo, é:
I 12 MR
1
2 (30 kg)(0,10 m) I 0,15
2 2� � � ⇒ kg m2� 
Assim:
E 12 I
1
2 (0,15 kg m )(8,0 rad/s)C
2 2� � � ω 22 ⇒ EC 5 4,8 joules
Figura 7.
C
O
N
C
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G
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Exemplo 2
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Capítulo 236
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Exercícios
1. Na figura a representamos um sistema já analisado 
por nós no capítulo 13, considerando a polia como 
tendo massa desprezível. Agora vamos analisar o 
sistema supondo que a polia seja um disco (cilindro) 
homogêneo, de raio R 5 0,10 m e massa M 5 4,0 kg. 
São dados: mA 5 12 kg; mB 5 6,0 kg; g 5 10 m/s
2; 
hA 5 6 m.
B
A
hA
hB= 1 m
solo
R g
Figura a.
Desprezando o atrito da polia com o eixo, admitindo 
que o fio seja ideal e supondo que o sistema tenha 
sido abandonado na posição da figura, determine:
a) o módulo das acelerações dos blocos;
b) o módulo da aceleração angular da polia;
c) a velocidade de A ao atingir o solo.
Resolução:
Neste caso, pelo fato de a polia ter massa, as trações 
nos dois lados são diferentes (fig. b).
A
B
TB
TB
PB = mBg
PA = mAg
TA
TA
Figura b.
PA 5 mA ? g 5 (12 kg) ? (10 m/s
2) 5 120 N
PB 5 mB ? g 5 (6,0 kg) ? (10 m/s
2) 5 60 N
Consultando a tabela 1, vemos que o momento de 
inércia da polia é:
I 12 MR
1
2 (4,0 kg)(0,10 m) 0,02 kg
2 2� � � � m2
A relação entre a aceleração escalar α de cada bloco 
e a aceleração angular γ da polia é:
γ αR5
Il
u
ST
ra
ç
õ
eS
: M
a
rC
O
 a
. S
IS
M
O
TT
O
a) 1o. modo:
 Apliquemos a Segunda Lei de Newton a cada 
bloco:
 bloco A: mA g 2 TA 5 mAα ⇒ 
⇒ TA 5 mA g 2 mAα 1
 bloco B: TB 2 mB g 5 mBα ⇒ TB 5 mB g 1 mBα 2
 O torque total sobre a polia é:
 M 5 MA 2 MB 5 TAR 2 TBR 5 (TA 2 TB)R
 Assim: 
 
M I (T T )R 12 MR RA B
2� � �γ α⇒ ( )( ) ⇒
 ⇒ T T 12 MA B� � α 3
 Substituindo 1 e 2 em 3 :
 (m g m ) (m g m ) 12 MA A B B� � � �α α α ⇒
 ⇒
m m
m m M2
gA B
A B
α �
�
� �
 4
 Substituindo em 4 os valores dados, obtemos:
 
α 12 6
12 6 42
(10)� �
� �
⇒ α 5 3,0 m/s2
 2o. modo:
 Vamos aplicar a conservação da energia mecânica. 
Tomando como referencial de energia potencial o 
solo e observando que no início o sistema está 
em repouso, a energia mecânica inicial é:
 Ei 5 mAghA 1 mBghB 5
 Quando o bloco A atingir o solo, sua altura será 
nula e a altura de B será hB 1 hA. Nesse instante, 
as energias cinéticas dos blocos serão:
 
E 12 m v ; E
1
2 m vC A
2
C B
2
A B
5 5
 e a energia cinética de rotação da polia será:
 
E 12 I
1
2
1
2 MR
v
R
1
4 MvC
2 2
2
2
P
5 5 5ω ( )( )
 Portanto, a energia mecânica final é:
 E m g(h h ) 12 m v
1
2 m vf B B A A
2
B
2� � � � �
 1 14 Mv
2 6
 Como Ei 5 Ef, de 5 e 6 obtemos:
 
m gh m gh 12 m v
1
2 m vB B B A A
2
B
21 1 1 1
 
� � �14 Mv m gh m gh
2
A A B B ⇒
 ⇒








v 2
(m m )g
m m M2
h2 A B
A B
� �
� 
� �
AA
 7
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Volume 1
Capítulo 237
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 Por outro lado, de acordo com a equação de 
Torricelli, devemos ter:
 v2 5 2αhA 8
 Comparando 7 com 8 , concluímos:
 
α
m m
m m M2
gA B
A B
�
�
� �
b) γ αR
3,0 m/s
0,10 m
2
5 5 ⇒ γ 5 30 rad/s2
c) v2 5 2αhA 5 2(3,0 m/s
2)(6,0 m) ⇒ v 5 6,0 m/s
 2. O sistema esquematizado na figura é abandonado em 
repouso. Despreze os atritos e suponha fio ideal. As 
massas de A, de B e da polia são, respectivamente, 
4,0 kg, 5,0 kg e 2,0 kg.
BR
A
g
AAA
RRRRRR BB
g
Sabendo que R 5 20 cm e g 5 10 m/s2, determine:
a) o módulo da aceleração de cada bloco;
b) a aceleração angular da polia;
c) as trações no fio, no trecho ligado a A e no trecho 
ligado a B.
 3. Uma barra cilíndrica fina e homogênea, vinculada a 
um eixo que passa por sua extremidade A, é aban-
donada na posição horizontal, como ilustra a figura. 
Sabe-se que L 5 2,0 m e g 5 10 m/s2. Desprezando 
atritos, determine a velocidade angular da barra 
quando passa pela posição vertical.
g
L
A
M
a
rC
O
 a
. S
IS
M
O
TT
O
M
a
rC
O
 a
. S
IS
M
O
TT
O
 4. Bem longe da Terra, um satélite artificial cilíndrico, 
de massa 3 000 kg e raio da base R 5 4,0 m, está 
inicialmente em repouso. Num determinado instante, 
quatro foguetes idênticos são ligados, fazendo com 
que o satélite comece a girar, atingindo a velocidade 
angular ω 5 3,0 rad/s após 5,0 minutos. Qual a força 
desenvolvida por cada foguete?
 5. Uma força de intensidade F 5 12,0 N é aplicada 
a uma corda de massa desprezível enrolada em 
uma polia de raio R 5 30,0 cm e massa 4,50 kg. 
A polia, que estava em repouso, acelera uniforme-
mente, atingindo a velocidade angular 60,0 rad/s 
em 6,00 s.
Sabendo que o atrito no eixo da polia ocasiona um 
torque resistivo de módulo 1,2 N ? m, determine:
a) o momento de inércia da polia;
b) o raio de giração da polia;
c) a energia cinética rotacional da polia ao final dos 
6,00 s.
C
O
N
C
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G
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F
C
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Volume 1
Capítulo 238
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Rolamento 
No capítulo 11 estudamos a cinemática do movimento de rolamento. agora vamos analisar sua dinâmica, recor-
dando inicialmente alguns fatos vistos.
Na fi gura 8 representamos a seção transversal de um cilindro (ou esfera) de raio R que rola (sem deslizar) sobre 
uma superfície plana S.
A vA � 0
S
R
C
B
ω
vC
vB
Figura 8. Figura 9.
A
DS EFA
vC
Vimos que a velocidade do ponto de contato (A) é nula, enquanto a velocidade do ponto B é o dobro da veloci-
dade do centro de massa C:
vB 5 2vC
Vimos também que, sendo ω a velocidade angular do corpo que rola, temos:
v R ou
v
RC
C� � �ω ω 12
a partir da equação 12 , é possível demonstrar que:α γ γ
α
C
CR ou R� � � 13
sendo:
αC 5 aceleração escalar do centro de massa C
γ 5 aceleração angular do corpo que rola
Para que exista rolamento, é necessário que exista atrito entre o corpo que rola e a superfície S. Mas um fato 
importante é que, neste caso, a força de atrito (Fa) não realiza trabalho, pois não há deslocamento do ponto 
de aplicação dessa força. Outro modo de perceber isso é tomar dois pontos D e E muito próximos do ponto de 
contato A, como ilustra a fi gura 9. Observe que esses pontos têm deslocamentos perpendiculares à força de atri-
to Fa
 e, portanto, esta não realiza trabalho.
Se
Tu
P
Se
Tu
P
6. Um cilindro homogêneo de massa M e cujo raio da 
base é R é abandonado em repouso sobre uma super-
fície plana S, que forma ângulo θ com a horizontal, 
como ilustra a figura a.
Figura a.
C
O
N
C
eI
TO
G
ra
F
Supondo que o atrito seja suficiente para que o cilin-
dro role sem deslizar e que o coeficiente de atrito 
estático seja μe, determine:
a) o módulo da aceleração do centro de massa;
b) o módulo da aceleração angular;
c) a velocidade do centro de massa depois que este 
desceu uma distância vertical h;
d) o valor máximo de θ de modo que o cilindro role 
sem deslizar.
Resolução:
Na figura indicamos a força de atrito f, o peso Mg, as 
componentes do peso nas direções x e y (Mg sen θ e 
Mg cos θ) e a força normal FN.
Exercícios
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Capítulo 239
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s
 7. Uma esfera homogênea, de massa M e raio R, é aban-
donada no alto de um plano inclinado, como ilustra a 
figura.
h
g
C
ω
C
v � 0
ω � 0
B θ
vC
Supondo que o atrito seja suficiente para que a esfera 
role sem deslizar, determine, em função de M, R, g, 
h e θ:
a) o módulo da aceleração do centro de massa;
b) o módulo da aceleração angular;
Consultando a tabela 1, vemos que o momento de 
inércia de um cilindro em relação a um eixo que 
passa pelos centros de suas bases é:
I 12 MR
25
O peso e a força normal Fn têm retas suportes que 
passam pelo centro de massa. Portanto, o torque 
resultante em relação ao centro de massa é o tor-
que da força de atrito f. Representando por Tf esse 
torque, temos:
Tf 5 f ? R
a) 1o. modo:
 Sendo γ a aceleração angular do cilindro, temos:
 
T I f R 12 MR
2f
MRf
2� � � �γ γ γ⇒ ⇒
 Como a aceleração escalar (α) do centro de massa 
é dada por α 5 γR, temos:
 
α γ αR 2fMR R
2f
M f
M
25 5 5 5( ) ⇒
 Aplicando a Segunda Lei de Newton ao movimen-
to de translação do cilindro, temos:
Mg sen f M Mg sen M2 M� � � � � �α
α α⇒ ⇒
 
⇒ 23 (g sen )α � �
 Como vimos no capítulo 13, se não houvesse atri-
to, o cilindro deslizaria com aceleração g ? sen θ.
 Observe que o valor de α não depende nem da 
massa nem do raio do cilindro.
 2o. modo:
 Como a força de atrito não realiza trabalho, pode-
mos aplicar a conservação da energia mecânica. 
Tomando o plano β (fig. b) como referencial de 
alturas, a energia potencial gravitacional do 
cilindro é Mgh no início e nula no final.
Figura b.
θ
C
C'
R
h
v
v � 0
ω � 0
�
h
d
C
C'
θ
Figura c.
Il
u
ST
ra
ç
õ
eS
: S
eT
u
P
 Mgh 12 Mv
1
2 I (1)
2 2� � ω 1
 Mas: I 12 MR e
v
R
25 5ω
 Substituindo em 1 :
 
Mgh 12 Mv
1
2
1
2 MR
v
R
2 2
2
� � ( )( ) ⇒
 ⇒ v 43 gh
2 5 2
 Da figura c tiramos: h 5 d ? sen θ
 Substituindo em 2 :
 v 43 g(d sen ) v 2
2
3 g sen d (
2 2 � � θ θ⇒ ( ) 33) 3
 Mas, pela equação de Torricelli, devemos ter:
 v2 5 2 ? α ? d 4
 Comparando 3 com 4 , tiramos: α θ23 g sen� 
b) 
γ α
α θ
R
2
3 g sen
�
� 




⇒ γ 2g sen3R�
 θ
c) Tomemos a equação 2 obtida no item a:
 
v 43 gh v
4
3 gh
2 5 5⇒ ⇒ v 2 33 gh5
d) f R I f R 12 MR
2g sen
3R
2� � � �
 γ θ⇒ ( )( ) ⇒
 ⇒ f 13 Mg sen� θ 5
 Por outro lado:
 f  μe ? FN ⇒ f  μe ? Mg cos θ 6
 De 5 e 6 :
 
1
3 Mg sen Mg cos tg 3e eθ µ θ θ µ� � � ⇒
 Portanto, o maior valor de θ tal que o cilindro 
role sem deslizar é:
 
θmáx 5 arc tg 3μe
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Capítulo 2310
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c) os módulos da velocidade do centro de massa e 
da velocidade angular quando a esfera passa pelo 
ponto B;
d) o valor mínimo do coeficiente de atrito estático 
entre a esfera e o plano inclinado para que a esfe-
ra role sem deslizar.
 8. Uma bolinha maciça e homogênea, cujo raio é r, é 
abandonada no ponto mais alto de um cilindro de raio R 
fixo no solo, como ilustra a figura.
g
R θ
v � 0
Supondo que a bolinha role sem deslizar, determine o 
ângulo θ para o qual a bolinha perde o contato com 
o cilindro.
 9. Uma bolinha de raio r e massa m é abandonada em 
uma pista inclinada que termina em forma circular 
de raio R.
Se
Tu
P
RR
h
v = 0
B
g
Supondo que a bolinha role sem deslizar, determine, 
em função de R, r, m e g:
a) o valor mínimo de h de modo que a bolinha consi-
ga fazer o loop sem perder o contato com a pista;
b) o módulo da força normal exercida pela pista 
sobre a bolinha no ponto B, para o valor de h 
obtido no item a e supondo r ,, R.
 10. Um corpo redondo homogêneo (que pode ser um 
anel, um cilindro maciço ou uma esfera) tem massa 
M, raio R e momento de inércia I. Esse corpo é aban-
donado no alto de um plano inclinado com atrito e 
rola sem escorregar.
a) Determine a aceleração do centro de massa desse 
corpo em função de g, M, R, I e do ângulo θ de 
inclinação do plano.
b) Se um anel fino, um cilindro maciço e uma esfera 
maciça forem abandonados simultaneamente no 
alto do plano inclinado, qual chegará ao solo em 
primeiro lugar?
Se
Tu
P
Velocidade angular e torque vetoriais 
No estudo das rotações às vezes é interessante considerar a velocidade angular como um vetor que tem a mesma 
direção do eixo de rotação. Para mostrar como se obtém o sentido de 
�
, consideremos os exemplos da figura 10, em 
que uma bolinha tem trajetória circular num plano horizontal.
Curvamos a mão direita de modo a acompanhar o sentido do movimento e o polegar dá o sentido de 
�
.
O torque de uma força também pode ser considerado como uma grandeza vetorial. Sendo MF o torque de uma 
força F, sua direção é perpendicular ao plano determinado pela reta suporte da força e o polo (fig. 11). O sentido é 
obtido pela regra da mão direita, observando a tendência de rotação produzida pela força F.
r
m
eixo de rotação
(b)
�
�
 
r
m
(a)
eixo de rotação
�
�
Figura 10. Ilu
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x
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Volume 1
Capítulo 2311
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
Todos os direitos reservados.
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Figura 11.
polo
F
MF
polo
F
MF
Momento angular 
No estudo do movimento de translação estudamos uma importante grandeza, que é a quantidade de movimen-
to ou momento linear (Q). Para uma partícula de massa m e velocidade v, vimos que o momento linear é dado por:
Q 5 mv 14
No estudo das rotações usa-se uma grandeza análoga, denominada momento angular (L ). Consideremos um 
corpo girando em torno de um eixo com velocidade angular 
�
. Sendo I o momento de inércia do corpo em relação a 
esse eixo, o momento angular do corpo é definido por:
L 5 I ? 
�
 15
Como o momento de inércia é uma grandeza escalar positiva, da equação 15 concluímos que os vetores L e 
�
 
devem ter a mesma direção e o mesmo sentido.
Vimos que F 5 m ? a é uma forma simplificada da Segunda lei de Newton. Na realidade,Newton enunciou sua 
segunda lei na forma:
F Qt (16)5
∆
∆ 16
Sendo M o torque total de todas as forças que atuam num corpo, é possível demonstrar que há, para a rotação, 
uma equação análoga à equação 16 :
M Lt (17)5
∆
∆ 17
sendo L o momento angular do corpo.
Como a soma dos torques das forças internas é igual a zero, o momento total M que aparece na equação 17 é 
igual à soma dos torques das forças externas.
Princípio da Conservação do Momento Angular 
Observando a equação 17 , percebemos que, se M for nulo, teremos ∆∆
L
t 05 , o que significa que L 5 constante. 
Obtemos assim o Princípio da Conservação do Momento Angular:
Se a soma dos torques das forças externas que atuam em um corpo for nula, o momento angular do corpo é constante.
Figura 12.
(a) (b)
Se
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Volume 1
Capítulo 2312
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Vejamos alguns exemplos. Na figura 12 representamos uma patinadora sobre o gelo. Na figura 12a ela está giran-
do, com os braços abertos e com velocidade angular ωa. Seu momento angular é:
l 5 Ia ωa
sendo Ia seu momento de inércia. ao fechar os braços, algumas partículas de seus braços se aproximam do eixo de 
rotação e, assim, seu momento de inércia passa para um valor Ib tal que Ib , Ia. Consequentemente, sua velocidade an-
gular aumenta para um valor ωb, pois seu momento angular deve permanecer constante, já que não há torque externo.
l 5 Ia ωa 5 Ib ωb
embora o momento angular da patinadora fique constante, sua energia cinética de rotação aumenta ao encolher 
os braços, pois o trabalho muscular interno transforma-se em energia cinética, isto é, temos transformação de energia 
química em energia cinética.
Figura 13.
uma situação semelhante está representada na figura 13. a única força externa (desprezando o atrito) que atua 
na saltadora é seu peso P, que está aplicado em seu centro de gravidade. Portanto, o torque de P em relação ao cen-
tro de gravidade é nulo, o que acarreta a conservação do momento angular. Quando ela encolhe seu corpo, há uma 
diminuição do momento de inércia e um aumento da velocidade angular.
Na figura 14 ilustramos outra situação interessante. Na situação inicial da figura 14a a moça está sentada numa 
cadeira giratória que está em repouso. Porém, ela está segurando um eixo em torno do qual gira uma roda de bicicleta 
com momento angular Lr. Como a moça está em repouso, o momento angular total do sistema na situação inicial é 
igual ao momento angular da roda:
Li 5 Lr
Figura 14. (a) (b)
rotação
LM
2LR
repouso
rotação
LR 5 Li
repentinamente, a moça inverte o eixo de rotação (fig. 14b), de modo que agora o momento angular da roda 
é 2Lr, com sentido para baixo. Portanto, para manter constante a quantidade de movimento do sistema, a moça 
começa a girar no sentido oposto ao da roda, de modo que o momento angular da moça é LM e o momento angular 
final do sistema é Lf 5 LM 1 (2Lr), sendo Li 5 Lf.
Il
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2 Lr
Lf 5 Li
LM
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Volume 1
Capítulo 2313
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algo semelhante acontece (ou poderia acontecer) com um helicóptero inicialmente em repouso, com os motores 
desligados; nessas condições seu momento angular total é nulo. Suponhamos que num determinado instante suas 
pás A, B e C (fig. 15) comecem a girar no sentido anti-horário. Como isso ocorre por efeito de forças internas, o mo-
mento angular total deve permanecer constante, isto é, deve continuar a ser nulo e, para que isso ocorra, o helicópte-
ro deveria começar a girar no sentido oposto (horário). Para evitar esse desastre é que existem as hélices H na traseira.
Figura 15.
C
O
N
C
eI
TO
G
ra
F
 Para uma esfera maciça e homogênea, o momento 
de inércia é I 25 MR
25 . Portanto:
 
L I 25 MR
2
5 (20 kg)(0,10 m) (25 rad
2 25 5 5ω ω //s)
 L 5 2,0 kg ? m
2/s
 12. (UF-RN) Em revista de circulação nacional, uma 
reportagem destacou a reação da natureza às agres-
sões realizadas pelo homem ao meio ambiente. Uma 
das possíveis consequências citadas na reportagem 
seria o derretimento das geleiras dos polos, o que 
provocaria uma elevação no nível do mar. Devido 
ao movimento de rotação da Terra, esse efeito seria 
especialmente sentido na região do equador, causan-
do inundações nas cidades litorâneas que hoje estão 
ao nível do mar.
Levando-se em conta apenas esse efeito de redistri-
buição da água devido ao degelo, podemos afirmar que:
a) o momento de inércia da Terra, em relação ao seu 
eixo de rotação, aumentará.
b) a velocidade angular da Terra, em relação ao seu 
eixo de rotação, aumentará.
c) o período de rotação da Terra, duração do dia e da 
noite, diminuirá.
d) o momento angular da Terra, em relação ao seu 
centro de massa, diminuirá.
 13. Uma plataforma circular e homogênea, de massa 
M 5 400 kg e raio R 5 2,0 m, gira sem atrito em 
torno de um eixo que passa por seu centro com velo-
cidade angular constante ω0 5 1,5 rad/s. Na beirada 
da plataforma há uma pessoa de massa m 5 80 kg, 
11. Determine os módulos dos momentos angulares de:
a) uma partícula de massa m movendo-se em traje-
tória circular de raio R com velocidade escalar v;
b) uma esfera maciça e homogênea, de raio 
R 5 10 cm e massa M 5 20 kg, girando em torno 
de um eixo que passa por seu centro, com veloci-
dade angular ω 5 25 rad/s.
Resolução:
a) 
R
v
 O momento de inércia da partícula é I 5 mR2. 
Portanto:
 
L I (mR ) vR
25 5ω ( ) ⇒ L 5 mRv
b) 
ω
Se
Tu
P
Se
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Exercícios
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Capítulo 2314
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parada em relação à plataforma. Num determinado 
instante, a pessoa começa a caminhar em direção ao 
centro C da plataforma, parando a 50 cm deste. 
m
M
C
R
Calcule:
a) a velocidade angular (ω) final do sistema;
b) a energia cinética inicial do sistema;
c) a energia cinética final do sistema.
 14. Na situação do exercício anterior, a energia cinética 
do sistema aumentou. De onde veio a energia cinética 
adicional?
 15. Um jovem de massa 50 kg está inicialmente em repou-
so na beirada de uma plataforma circular, semelhante 
à do exercício 13, que também está inicialmente em 
repouso. A plataforma tem massa 250 kg, raio 2,0 m 
e pode girar sem atrito em torno de um eixo vertical 
que passa por seu centro.
Num determinado instante, o jovem começa a cami-
nhar pela beirada da plataforma, no sentido anti- 
horário (para quem olha de cima), com velocidade 
escalar 2,0 m/s em relação ao solo.
a) Qual o sentido da rotação adquirida pela plataforma?
b) Qual a velocidade angular adquirida pela plataforma?
c) Qual o trabalho realizado pelo jovem para colocar 
o sistema em movimento?
 16. Uma partícula de massa m 5 0,20 kg, presa à extre-
midade de um fio ideal, tem movimento circular 
uniforme, de raio r1 5 0,80 m e velocidade escalar 
v1 5 2,4 m/s, sobre uma mesa sem atrito. A partir 
de certo instante, uma pessoa passa a puxar o fio 
verticalmente, como mostra a figura, até que o raio 
da trajetória se reduza para r2 5 0,48 m. 
le
TT
er
a
 S
Tu
D
IO
F
m
r1
v1
Calcule:
a) a velocidade escalar final da partícula;
b) a energia cinética inicial da partícula;
c) a energia cinética final da partícula;
d) o trabalho realizado pela pessoa.17. Um disco, cujo momento de inércia é I1 5 70 kg ? m2/s, 
gira sem atrito em torno de um eixo vertical, com 
velocidade angular ω0 5 4,0 rad/s. Outro disco, cujo 
momento de inércia é I2 5 30 kg ? m
2/s e que inicial-
mente não estava girando, cai sobre o primeiro disco. 
Supondo que haja atrito entre os discos, depois de 
algum tempo ambos estarão girando com a mesma 
velocidade angular ω. 
I2
I1
�0
�
Calcule:
a) o módulo de ω;
b) a energia cinética inicial do sistema;
c) a energia cinética final do sistema.
 18. Na situação do exercício anterior houve diminuição 
de energia cinética. Por quê?
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 a
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Capítulo 241
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1. Elipse
Uma elipse é uma linha fechada e plana (toda contida em um único plano) que tem o aspecto da figura 1 e a 
seguinte propriedade: sendo P um ponto qualquer da elipse, tem-se:
PF1 1 PF2 5 constante 5 A1A2
Figura 1.
R S
P
A2A1
F1 F2
 Figura 2.
bba
a a
a
b
c c
C
F1 F2 A2A1
B2
B1
Assim, na figura 1 temos, por exemplo:
PF1 1 PF2 5 RF1 1 RF2 5 SF1 1 SF2 5 constante 5 A1A2
Na figura 2 apresentamos os elementos da elipse:
•	 F1 e F2 são focos da elipse;
•	 F1F2 é a distância focal, igual a 2c;
•	 A1A2 é o eixo maior, que mede 2a;
•	 B1B2 é o eixo menor, que mede 2b;
•	 C é o centro da elipse;
•	 CA2 (ou CA1) é o semieixo maior (que mede a);
•	 CB1 (ou CB2) é o semieixo menor (que mede b).
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo sombreado na figura 2, temos:
a2 5 b2 1 c2
A excentricidade de uma elipse é um número e definido por:
e ca�
sendo 0 , e , 1.
Para perceber o significado de excentricidade, observe a figura 3, na qual há duas elipses cujos eixos maiores têm 
a mesma medida mas distâncias focais diferentes. Na elipse superior a excentricidade é:
e 45 0,81 � �
e na elipse inferior a excentricidade é:
e 25 0,42 � �
isto é, e2 , e1.
Quanto menor a excentricidade, mais a elipse se aproxima de uma 
circunferência. Por isso alguns autores definem a circunferência como 
uma elipse de excentricidade nula (os focos F1 e F2 são coincidentes). 
Quanto maior a excentricidade, mais afilada é a elipse.
Il
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3
4 4
22
5 5
F2F1
F2F1
e1 � 
4
5
 � 0,8
2
5
e2 � � 0,4
 � 4,621
Figura 3.
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Volume 1
Capítulo 242
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Há um modo prático de desenhar uma elipse:
•	 sobre uma folha de papel fixamos dois alfinetes em pontos F1 e F2 
(que são os focos), de modo que F1F2 seja a distância focal desejada 
(figura 4);
•	 amarramos aos alfinetes uma linha cujo comprimento seja igual ao 
comprimento do eixo maior desejado;
•	 apoiando a ponta de um lápis na linha, de modo que ela fique estica-
da, e movimentando o lápis, conseguimos desenhar a elipse.
2. O experimento de Cavendish 
O valor de G foi determinado experimentalmente pela primeira vez em 1798, pelo inglês Henry Cavendish. Na 
figura 5 temos um esquema simplificado do dispositivo por ele usado. Duas bolas de massa m estão unidas por uma 
barra de massa desprezível, a qual está suspensa por uma fibra de quartzo. Um pequeno espelho está preso na barra. 
Uma lâmpada emite um feixe de luz que se reflete no espelho e atinge uma tela distante. Aproximando duas bolas de 
grandes massas iguais a M, as forças de atração entre as bolas provocarão uma pequena rotação θ da barra, a qual 
pode ser medida pelo deslocamento do ponto de luz na tela.
Figura 5. Figura 6.
M
M d
m
θ
m
posição de
equilíbrio
F
F
F
F
Cavendish usou um conhecido resultado experimental sobre a torção de fios (fig. 6): o torque total (MB) atuante 
na barra é proporcional à rotação θ produzida:
MB 5 k ? θ  1
sendo a constante k uma característica de cada fio. Se o comprimento da barra for L, temos:
MB 5 Fl 2
De 2 e 1 obtemos: 
F kL (3)�
θ 3
Mas, de acordo com a lei da Gravitação de Newton, temos:
F G Mm
d
(4)2� 4
 
P
F2F1
Figura 4.
A
le
x
 A
RG
O
zI
N
O
C
O
N
C
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tO
G
RA
F
C
O
N
C
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G
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Capítulo 243
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De 4 , tiramos: 
G kdMmL
2
� 
 θ
Desse modo, Cavendish obteve o valor de G.
3. Aceleração da gravidade no interior da Terra 
Campo gravitacional de uma casca esférica 
Consideremos uma casca esférica muito fina (figura 7a) cujo raio é R e cuja massa M está distribuída de modo 
uniforme. Usando o Cálculo Integral, Newton demonstrou que o campo gravitacional g produzido por essa casca tem 
as seguintes características:
R
C
d
g � GM
d2
g � 0
M
(a) (b)
R
1a.) em pontos externos à casca, o campo é igual ao que seria produzido por uma partícula de massa M situada no 
centro C da casca (fig. 7b):
g GM
d2
� 
2a.) em qualquer ponto interno o campo é nulo.
Campo gravitacional de uma esfera homogênea
Consideremos agora um corpo esférico, maciço e homogêneo, 
cujo raio é R e cuja massa é M. esse corpo pode ser imaginado como 
a superposição de um número infinito de cascas esféricas, como se 
fossem as camadas de uma cebola. Assim, o campo gravitacional no 
ponto B, situado a uma distância d do centro C, tal que d  R (fig. 8), 
tem intensidade dada por g GMd
.2� 
Calculemos, agora, a intensidade do campo gravitacional num 
ponto P, interno à esfera, situado a uma distância r do centro C 
(fig. 9). O ponto P é interno à região azul assinalada na figura e, por-
tanto, o campo gravitacional produzido em P pela região azul é nulo. 
Assim, o campo em P é o campo produzido pela região verde, isto é, 
pela esfera de raio r:
Figura 8.
R
M
B
d
g � GM
d2
Figura 9.
R
G P
r
g
Il
U
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RA
ç
õ
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et
U
P
Figura 7.
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Capítulo 244
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s
g Gm
r
(1)P 2 �   1
sendo m a massa da região verde, cujo volume é V 43 r .
3� π Sendo ρ a densidade da esfera, temos:
m V 4 r3 (2)
3
� � � �
 
ρ ρ π   2
Substituindo 2 em 1 , obtemos:
Figura 10.
g
0 rR
GM
R2
A
g G
r
m G
r
4 r
3 g
4 G
P 2 2
3
P 
 
 
� � � � �ρ π π⇒ ρρ3 r (3)
constante



��� ��
  3
A equação 3 é do primeiro grau. Portanto, o gráfico de g em função de r, para r  R, é o trecho retilíneo OA do 
gráfico apresentado na figura 10.
4. Efeito estilingue
Consideremos uma nave espacial contornando o planeta Vênus (fig. 11).
Figura 11.
Quando a nave está distante do planeta, a atração deste sobre ela é pequena, e quando a nave se afasta, a força 
vai diminuindo novamente. Podemos, então, tratar a interação entre a nave e o planeta como uma colisão elástica, 
pois há conservação da energia. Para facilitar os cálculos, vamos supor que a trajetória seja a da figura 12. A veloci-
dade de Vênus em relação ao Sol é aproximadamente vV 5 35 km/s. Suponhamos que a velocidade da nave quando 
está longe de Vênus seja v1 5 15 km/s. Na figura, as velocidades já estão com sinais em relação ao eixo adotado. A 
velocidade da nave quando estiver se afastando de Vênus e distante dele seráv2. Como a massa de Vênus é muito 
maior que a velocidade da nave, podemos supor que a velocidade do planeta não se altera durante a “colisão”. Como 
a colisão é elástica, o coeficiente de restituição é igual a 1:
Se
tU
P
C
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C
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tO
G
RA
F
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ia
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s
vV = 35 km/s
v1 = –15 km/s
v2 = ?
eixo
Figura 12.
e
v v
v v
35 v
35 15
V 2
V 1
2� � 
�
�
� � 
�
� �( ) ��
� �
�
� �
35 v
35 15 1 v 85 km/s
2
2⇒
Podemos ver que, sem necessidade de combustível, a velocidade da nave foi aumentada de 15 km/s para 85 km/s! 
esse efeito é chamado efeito estilingue. Contornando vários planetas em sua trajetória, uma nave pode atingir veloci-
dades que não alcançaria somente pela impulsão de foguetes (seria necessária uma enorme quantidade de combustível).
5. As marés 
No capítulo 22 vimos que a lua não gira exatamente em torno da terra; tanto a lua como a terra giram em tor-
no do centro de massa (CM) do sistema terra 1 lua, como ilustra a fi gura 13. Nessa fi gura, enquanto a lua vai da 
posição L para a posição L', o centro da terra vai da posição C para a posição C'. A trajetória do centro da terra é a 
circunferência vermelha, de centro CM.
Terra
LuaLua
L'
C'
C
CM
centro C
L
Figura 13.
acf
acf
acf
acf
acf
acf
acf
acf
Figura 14.
Para um referencial fi xo na terra, todos os pontos da terra terão uma aceleração centrífuga de mesmo módulo da 
centrípeta, como indica a fi gura 14. Para calcular essa aceleração, vamos usar a lei da Gravitação:
MT a
GM M
r a
GM
rcf
T L
2 cf
L
2� �
�
� 
 
 ⇒
Como r � 60R (fi g. 15), temos: 
a
GM
60R)cf
L
2�
 
 (
Portanto, para um observador fi xo na terra, cada molécula de água de massa m experimentará uma força centrí-
fuga (fi g. 16) dada por:
F m a
GM m
60R)cf c
L
2� � �
�
 
 
 (
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Capítulo 246
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ML
B
R
A
C CM
MT
ML
r – R = 59R
r = 60R
r + R = 61R
Figura 15.
FcfFcf FB
FP
FQ
FA
Fcf
B A
Fcf
P
Q
Figura 16.
Além da força centrífuga, cada molécula sofrerá uma atração gravitacional da lua. Vamos calcular as atrações 
FA e FB, da fi gura 16:
F
GM m
59R)A
L
2�
�
 
 (
 e F
GM m
61R)B
L
2�
�
 
 (
Sabendo que a massa da lua é Ml 5 7,36 · 10
22 kg, o raio da terra é R 5 6,38 · 106 m e G 5 6,67 · 1011 no SI, temos:
F
GM m
59R)
6,67 10 7,36
A
L
2
11
�
�
� � 
 �
(
( )( 10 )m
59)(6,38 10
346 1
22
6 2
� 
�
�
 
 ( )[ ] � 00 m
7 � �
F
GM m
60R)
6,67 10 7,3
cf
L
2
11
�
�
� � 
 �
(
( )( 66 10 )m
60)(6,38 10
335
22
6 2
� 
�
�
 
 ( )[ ] � 110 m
7 � �
F
GM m
(61R)
6,67 10 7,36
B
L
2
11
�
�
� � 
 �( )( 10 )m
61) 6,38 10
324 1
22
6 2
� 
�
�
 
 ( ( )[ ] � 00 m
7 � �
Desse modo, as forças resultantes em A e B (fi g. 17) são:
F'A 5 FA  Fcf � 11 ? 10
7 ? m
F'B 5 Fcf  FB � 11 ? 10
7 ? m
Coincidentemente, F'A e F'B têm quase o mesmo módulo, produzindo duas marés altas em A e B.
Observe que a diferença FA  FB, no caso da lua, é 22 · 10
7m. Se você fi zer os cálculos da diferença FA  FB para 
o caso do Sol no lugar da lua, levando em conta que a distância entre a terra e o Sol é 23 400R, observará que o 
resultado será aproximadamente 9 · 107m, isto é, cerca de 2,3 vezes menor que no caso da lua.
F'B
F'P
F'Q
F'A
B A
P
Q
Figura 17.
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Volume 1
Capítulo 251
Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
Todos os direitos reservados.
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1. Alguns fatos relacionados com a pressão atmosférica 
A pressão atmosférica atua em todos os objetos próximos da superfície da Terra 
e, como vimos, a pressão ao nível do mar é:
1 atm  1 kgf/cm2
Assim, o nosso corpo suporta uma força de aproximadamente 1 kgf para cada 
cm2. Como suportamos isso? Acontece que nossas células têm uma pressão interna 
que equilibra essa pressão externa do ar. A situação é parecida com a de uma bexiga 
cheia de ar: a pressão do ar interno compensa a pressão externa. É análoga também 
à situação de uma residência, por exemplo, que tenha uma janela de vidro de área 
A 5 1 m2. Supondo a pressão atmosférica igual a 1 atm, isto é, p  105 N/m2, a for-
ça que o ar externo faz sobre o vidro é igual a 105 N, o que equivale ao peso de um 
objeto de massa 10 toneladas. Por que o vidro não quebra? A resposta é que dentro 
da casa também há ar, com a mesma pressão, de modo que há equilíbrio (fig. 2).
Porém, como veremos no capítulo 27, os ventos podem diminuir a pressão ex-
terna; assim, se o vento for muito “forte”, a pressão externa fica muito menor que 
a interna e o vidro pode quebrar. É o que ocorre com frequência por ocasião dos 
tornados, tão comuns no hemisfério norte.
p � 1 atm p � 1 atm
A � 1 m2
ar externo ar interno
Figura 2.
Você pode verificar facilmente o efeito descrito acima fazendo o experimento a seguir:
 
ar
Figura 1.
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o
Pegue uma garrafa de plástico vazia e sem tampa (fig. a). A pressão do ar externo é equilibrada pela pressão do ar interno, e 
a garrafa não se deforma. 
Se você jogar uma pequena quantidade de água quente dentro da garrafa, o ar interno vai se aquecer e dilatar, de modo que 
um pouco de ar sairá da garrafa.
A seguir, tampe a garrafa e coloque-a dentro de um recipiente com água muito fria (ponha alguns cubos de gelo). O ar inter-
no, ao esfriar, vai se contrair, diminuindo a pressão interna. A pressão externa, então, ficará maior que a interna, e a garrafa será 
“amassada” (fig. b).
Figura a. 
Garrafa de 
plástico vazia 
e sem tampa. 
Figura b. Garrafa de 
plástico deformada 
com pressão externa 
maior que a interna. Fo
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Experimento
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Volume 1
Capítulo 252
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Os hemisférios de Magdeburg 
um experimento que ficou famoso foi realizado em 1654 pelo alemão otto von guericke. otto havia inventa-
do uma bomba capaz de retirar o ar de dentro dos recipientes (bomba de vácuo). ele construiu então duas cascas 
semiesféricas, de bronze, cada uma com diâmetro de 55 cm. essas semiesferas foram encostadas uma na outra e a 
seguir, por um orifício, sua bomba retirou quase todo o ar de dentro do conjunto. desse modo, a pressão atmosférica 
externa comprimiu as duas semiesferas com uma força tão intensa que dois conjuntos de oito cavalos só conseguiram 
separá-las depois de muito esforço.
esse experimento ficou conhecido na história da Ciência como “os hemisférios de Magdeburg”, porque guericke 
era prefeito dessa cidade.
Figura 3. Ilustração de 1672 feita por Otto von Guericke, mostrando seu experimento.
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Os conta-gotas e a seringa 
No volume 2, no estudo da Termologia, veremos que, quando 
a temperatura se mantém constante, há a seguinte relação entre 
a pressão e o volume ocupado por uma certa massa de gás (lei de 
Boyle):
(pressão) ? (volume) 5 constanteisso significa que:
•	 quando o volume aumenta, a pressão diminui;
•	 quando o volume diminui, a pressão aumenta.
essa constatação nos ajuda a compreender o funcionamento de 
um conta-gotas (fig. 4).
Quando apertamos a “borrachinha” do conta-gotas, expulsamos um pouco do ar contido no tubinho. A seguir, 
mergulhamos sua extremidade no líquido e soltamos a borrachinha. Ao fazer isso, aumentamos o volume do ar no 
interior do conta-gotas, o que provoca (de acordo com a lei de Boyle) a diminuição de sua pressão, a qual fica menor 
que a pressão do ar externo. Assim, a pressão externa “empurra” o líquido para dentro do conta-gotas.
 
ar
Figura 4.
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Capítulo 253
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do mesmo modo, podemos entender o que acontece com o líquido na seringa (fig. 5).
ar
Figura 5.
Aspiradores
No estudo dos gases, veremos que a pressão depende tam-
bém do número de moléculas do gás. desse modo, mantendo 
constante a temperatura e o volume, quanto menor for o nú-
mero de moléculas, menor será a pressão. 
Nos aspiradores usados na limpeza doméstica (fig. 6) há 
um ventilador que “empurra” o ar interno para a parte de 
“trás”do aspirador. Com isso, ele diminui o número de mo-
léculas do ar interno, provocando uma redução na pressão, 
que fica, então, menor que a pressão do ar externo. desse 
modo, a pressão atmosférica “empurra”o ar para dentro do 
aparelho.
Sifão
Você já deve ter visto uma cena como a mostrada na fi-
gura 7, em que se retira combustível do tanque de um auto-
móvel. Primeiramente, o motorista aspira pela borracha (como 
um canudinho de tomar refrigerante) até o combustível che-
gar à sua boca. em seguida, tapa a extremidade com o dedo, 
levando-a a uma posição abaixo do nível do líquido. Assim, o 
combustível vai passando do tanque para o recipiente externo.
este é um procedimento bastante comum, mas deve ser 
realizado somente por adultos.
Para entender isso, observemos a figura 8. os pontos A e 
B, estando no mesmo nível, têm a mesma pressão, que é a 
pressão atmosférica. Assim, a pressão no ponto C do líquido 
será dada por:
p p dgh p dgh
p
C B atm
atm
� � � �
↓
A
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Figura 6.
C
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Figura 7.
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Capítulo 254
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patm
patm
A
B
C
Figura 8.
Portanto, na extremidade C do tubo, a pressão do líquido é maior que a pressão atmosférica. desse modo, o líqui-
do sai pela extremidade inferior, esvaziando o recipiente.
2. Pressão sanguínea 
o coração é um músculo que se contrai e se di-
lata periodicamente. durante a contração (sístole), o 
sangue é “empurrado” para as artérias. depois de cir-
cular pelo corpo, o sangue retorna pelas veias ao co-
ração, nele penetrando durante a dilatação (diástole).
em condições normais, ao sair do coração e en-
trar nas artérias, o sangue tem uma sobrepressão de 
aproximadamente 120 mmhg na sístole e 80 mmhg 
na diástole, dando uma média de 100 mmhg de so-
brepressão (isto é, acima da pressão atmosférica).
No século xViii, quando começaram as primeiras 
pesquisas sobre a pressão sanguínea, foi feito o experi-
mento mostrado na figura 9. uma agulha foi introdu-
zida na artéria que passa pelo braço, no mesmo nível 
do coração. essa agulha foi ligada a um fino tubo de 
vidro (cânula) e, assim, mediu-se a altura hS da coluna 
de sangue, obtendo-se aproximadamente 130 cm. Sa-
bendo que a densidade do mercúrio é dM 5 13,6 g/cm
3 
e a densidade do sangue é dS 5 1,055 g/cm
3, podemos 
calcular a altura equivalente de mercúrio (hM):
d h d h h
d
d hM M S S M
S
M
S 
 
 
 
� � � � �⇒ �� 1,05513,6 (130 cm)  10cm 5 100 mm
hM  100 mmhg
esse experimento é chamado de canulação.
Nas veias, a pressão é bem mais baixa. Quando o sangue retorna ao coração, chega com uma sobrepressão média 
praticamente nula, isto é, uma pressão absoluta média igual à pressão atmosférica.
Quando fazemos canulação na artéria em outros pontos do corpo, o resultado depende da posição da pessoa. Se 
ela estiver deitada (fig. 10), em qualquer ponto a sobrepressão (média) será praticamente a mesma: 130 cm de sangue 
(ou 100 mmhg). Mas, se ela estiver de pé (fig. 11), devemos levar em conta a lei de Stevin. Na situação da figura 11, 
temos as alturas das colunas de sangue: hC 5 120 cm e h 5 40 cm.
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artéria
Figura 9.
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Por isso, quando uma pessoa que estava deitada se levanta muito depressa, provoca rápida diminuição da pressão 
arterial no cérebro, o que pode causar momentânea diminuição do fluxo sanguíneo do cérebro (até que o organismo 
se adapte à nova situação); desse modo, ela pode sentir uma pequena tontura.
Consideremos novamente a situação da figura 11. Sendo pCo a sobrepressão arterial no coração e pCe a sobrepres-
são arterial no cérebro, de acordo com a lei de Stevin, temos:
pCo 5 pCe 1 dSgh ou pCe 5 pCo 2 dSgh
em que dS é a densidade do sangue.
130 130 130
Figura 10. Sobrepressão deitado. 
P
250 90 130
hC
h
HC
Figura 11. Sobrepressão em pé.
Quando uma pessoa em posição vertical tem aceleração a para cima (fig. 12), ela sente uma aceleração da gravi-
dade g, cujo módulo é: 
g' 5 g 1 a
desse modo, poderemos chegar a uma situação em que:
pCe 5 pCo 2 dSg'h 5 0
Assim, haverá uma falta de fluxo sanguíneo no cérebro, e a pessoa poderá desmaiar.
Figura 12.
a
g g
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Volume 1
Capítulo 256
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são PArTe 
iNTegrANTe da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José luiz Sampaio.
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Medida da pressão sanguínea com esfi gmomanômetro 
Para medir a pressão arterial, os médicos usam um esfi gmomanômetro (do grego sphygmos, que signifi ca “pal-
pitação”, “pulsação”). esse aparelho é formado por uma bolsa que pode encher-se de ar por meio de uma pequena 
bomba de borracha. o médico enrola a bolsa no braço do paciente, na altura do coração. em seguida, ele vai bom-
beando ar até que a compressão da bolsa impeça a passagem do sangue pela 
artéria. Com um estetoscópio, ele poderá ouvir o ruído do sangue quando 
volta a fl uir. o médico vai, então, vagarosamente, soltando o ar da bolsa.
Quando a pressão da bolsa (que é lida no manômetro) se torna ligeiramen-
te menor que a pressão sistólica (máxima), o sangue consegue passar de modo 
turbulento durante as sístoles, mas não durante as diástoles. isso produz um 
ruído periódico que pode ser ouvido pelo estetoscópio. 
o médico continua, então, a soltar o ar. Quando a pressão na bolsa fi ca 
igual à pressão diastólica (mínima), a artéria fi ca aberta durante todo o ciclo do 
coração, e, embora haja um ruído, ele agora não é periódico, mas contínuo.
Para adultos saudáveis (e que não estejam fazendo esforço), a sobrepressão 
máxima está em torno de 120 mmhg e a mínima em torno de 80 mmhg, 
que as pessoas falam, simplifi cadamente,“12 por 8”. Nesse caso, é usada a 
unidade centímetro de mercúrio.
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Figura 13. Médica verifica a pressão 
arterial do paciente.
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Volume 1
Capítulo 2
CAPÍTULO 2 – Introdução à Mecânica
 1. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um trem todo construído 
de acrílico transparente passa por uma estação fer-
roviária com velocidade constante. Um dos vagões 
está ocupado por um cientista que faz experimentos 
de queda livre com uma bolinha. Essas experiências 
consistem em deixar a bolinha cair e medir, a interva-
los de tempo bem precisos, a posição da bolinha com 
relação ao piso do trem. Na estação, um outro cien-
tista observava a atuação de seu colega. As figuras 
que melhor indicam a trajetória da bolinha, como foi 
observada pelos dois cientistas, no trem e na estação, 
respectivamente, são:
a) 
trem estação
b) 
trem estação
c) 
trem estação
d) 
trem estação
e) 
trem estação
 2. (U. F. ABC-SP) Era 6 de agosto de 1945, 8 h 15 min da 
manhã, no Japão, quando o Enola Gay, um bombardei-
ro B-29 norte-americano, lançou, contra a cidade de 
Hiroshima, o primeiro ataque atômico da história da 
humanidade, despejando sobre a cidade uma bomba 
atômica de 4 500 kg. A cidade foi arrasada, e 70 mil 
pessoas morreram nos primeiros segundos após a 
explosão. Até hoje, o número de mortos decorrentes 
dessa operação está sendo contabilizado, e já ultrapas-
sou 250 mil. Lançada a bomba, a tripulação do B-29 
assume tática evasiva, que permite seu retorno à base.
Supondo-se que a tripulação não realizasse a mano-
bra evasiva e mantivesse o voo em trajetória reta e 
horizontal com velocidade constante e, levando-se em 
conta a resistência do ar sobre o artefato nuclear, bem 
como o fato de que essa bomba não possuía sistema 
próprio de propulsão, a situação que melhor descreve a 
trajetória da bomba entre os instantes t0 (lançamento) 
e t (momento da explosão), relativamente ao solo, é:
a) 
t
t
t0
b) 
t
t
t0
c) 
t
t
t0
d) 
t
t
t0
e) 
t
t
t0
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Volume 1
Capítulo 2
 3. No interior de um trem, em movimento retilíneo e 
uniforme, sem janelas (não se pode ver o exterior), 
um estudante de Física pretendia descobrir o sentido 
de movimento do trem quando este já estava em 
movimento há algum tempo. Lembrou-se do pêndu-
lo. Com uma borracha amarrada ao cadarço do tênis, 
improvisou um pêndulo. Amarrou-o no teto e obteve 
qual dos resultados abaixo?
a) movimento
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b) movimento
c) movimento
d) movimento
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Volume 1
Capítulo 3
CAPÍTULO 3 – Velocidade escalar
 1. (Fuvest-SP) Um marinheiro, no topo de um mastro 
vertical, abandona uma luneta que está inicialmente 
a uma distância L do mastro e a uma altura H da base 
do mastro no convés. Sabe-se que o navio se move 
com velocidade V0 constante relativamente à costa 
e que a resistência do ar é desprezível. A distância 
entre a base do mastro e a luneta, no momento em 
que esta chega ao convés, é: 
(Nota: g é o módulo da aceleração da gravidade.)
a) �L
2HV
g
2 0
2
 c) �L V 2Hg0 e) L
b) V 2Hg0 d) �V
2H
g L0
 2. (UF-PE) Um terremoto normalmente dá origem a dois 
tipos de ondas, s e p, que se propagam pelo solo com 
velocidades distintas. No gráfico abaixo, está repre-
sentada a variação no tempo da distância percorrida 
pelas ondas a partir do epicentro do terremoto.
x (km)
500
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
1000
1500
2000
2500
0
t (min)
s p
Com quantos minutos de diferença essas ondas atin-
girão uma cidade situada a 1 500 km de distância 
do ponto 0?
a) 1,0 b) 2,0 c) 3,0 d) 4,0 e) 5,0
 3. (Fuvest-SP) O gráfico representa a posição (s) em 
função do tempo (t) de dois carrinhos de autorama, 
A e B, que descrevem uma mesma trajetória retilínea. 
A variação do espaço para o carrinho A é linear, 
enquanto a do carrinho B segue uma curva parabólica.
A
B
s (cm)
10
�50
10 20
20
90
0 t (s)
Qual o intervalo de tempo entre os dois encontros 
dos carrinhos?
a) 5 s
b) 10 s
c) 20 s
d) 40 s
e) Indeterminado.
 4. (U. F. São Carlos-SP) Três amigos, Antônio, Bernardo 
e Carlos, saíram de suas casas para se encontrar 
numa lanchonete. Antônio realizou metade do 
percurso com velocidade escalar média de 4 km/h 
e a outra metade com velocidade escalar média de 
6 km/h. Bernardo percorreu o trajeto com veloci-
dade escalar média de 4 km/h durante metade do 
tempo que levou para chegar à lanchonete e a outra 
metade do tempo fez com velocidade escalar média 
de 6 km/h. Carlos fez todo o percurso com veloci-
dade escalar média de 5 km/h. Sabendo-se que os 
três saíram no mesmo instante de suas casas e per-
correram exatamente as mesmas distâncias, pode-se 
concluir que:
a) Bernardo chegou primeiro, Carlos em segundo e 
Antônio em terceiro.
b) Carlos chegou primeiro, Antônio em segundo e 
Bernardo em terceiro.
c) Antônio chegou primeiro, Bernardo em segundo e 
Carlos em terceiro.
d) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio che-
gou depois.
e) os três chegaram juntos à lanchonete.
(Fuvest- SP) Texto para as questões 5 e 6:
Em uma caminhada, um jovem consome 1 litro de 
O2 por minuto, quantidade exigida por reações que 
fornecem a seu organismo 20 kJ/minuto (ou 5 “calo-
rias dietéticas”/minuto). Em dado momento, o jovem 
passa a correr, voltando depois a caminhar.
O gráfico representa seu consumo de oxigênio em 
função do tempo.
consumo
de O2
(�/min) 1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
t (min)
 5. Por ter corrido, o jovem utilizou uma quantidade de 
energia a mais, do que se estivesse apenas caminha-
do durante todo o tempo, aproximadamente, de:
a) 10 kJ d) 420 kJ
b) 21 kJ e) 480 kJ
c) 200 kJ
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Volume 1
Capítulo 3
 6. Entre os instantes t1 � 3 min e t2 � 12 min, o jovem 
correu com velocidade escalar constante v percorren-
do 100 m para cada litro de oxigênio consumido. O 
valor de v em km/h é:
a) 2,0
b) 3,6
c) 7,2
d) 10,0
e) 12,0
 7. (Fund. Carlos Chagas-SP) Numa linha férrea as esta-
ções “Azambuja” e “Gaspar” distam 120 km, uma 
da outra. O gráfico abaixo representa a posição em 
função do tempo, para uma locomotiva que passa por 
“Azambuja”, no instante t � 2,0 h, dirigindo-se para 
“Gaspar”.
x (km)
t (h)
60
120
180
240
0 2,0 4,0 6,0 8,0
O intervalo de tempo entre a passagem pelas duas 
estações, em horas, é igual a:
a) 2,0
b) 2,5
c) 3,0
d) 3,5
e) 4,0
 8. Considere um trilho retilíneo tal que em uma das 
extremidades está o ouvido de uma pessoa. Na outra 
extremidade, é dada uma martelada.
O som produzido pela martelada se propaga no ar com 
velocidade de módulo v1 e, no trilho, com velocidade 
de módulo v2, sendo v2 � v1.
A pessoa ouve os dois sons separados por um inter-
valo de tempo T.
O comprimento L do trilho é dado por:a) �
�
L
v v T
v v
1 2
2 1
 d) �
�
L
v v T
v v
1 2
2 1
b) �
�
L
2v v T
v v
1 2
2 1
 e) �
�
L
v v T
v v
1 2
2 1
c) �
�
L
2v v T
v v
1 2
2 1
 9. (Efomm-RJ) O sistema G.P.S. (Global Positioning 
System) permite localizar um receptor em qualquer 
lugar da Terra por meio de sinais emitidos por saté-
lites simultaneamente. A figura mostra uma situação 
na qual os satélites A e B emitem sinais para um 
receptor R localizado na reta AB, tangente à superfí-
cie da Terra no ponto O, onde AO � 4OB.
satélite
satélite
A
O B
R
x
Terra
Os sinais provenientes de A e B são emitidos com a velo-
cidade da luz no vácuo cujo módulo é de 3,0 � 105 km/s 
e atingem o receptor R em 4,0 � 10�2 s e 6,0 � 10�2 s, 
respectivamente.
A distância entre o satélite A e o ponto O é:
a) 1,4 � 104 km
b) 1,8 � 104 km
c) 2,4 � 104 km
d) 1,0 � 105 km
e) 1,2 � 106 km
 10. (Unifesp-SP) Por motivos técnicos, um reservatório 
de água na forma de um cilindro circular reto (reser-
vatório 1), completamente cheio, será totalmente 
esvaziado e sua água será transferida para um segun-
do reservatório, que está completamente vazio, com 
capacidade maior do que o primeiro, também na 
forma de um cilindro circular reto (reservatório 2). 
Admita que a altura interna h (t), em metros, da 
água no reservatório 1, t horas a partir do instante 
em que se iniciou o processo de esvaziamento, pôde 
ser expressa pela função � �
�
h (t) 15t 120t 12 .
a) Determine quantas horas após o início do pro-
cesso de esvaziamento a altura interna da água 
no reservatório 1 atingiu 5 m e quanto tempo 
demorou para que esse reservatório ficasse com-
pletamente vazio.
b) Sabendo que o diâmetro interno da base do reser-
vatório 1 mede 6 m e o diâmetro interno da base 
do reservatório 2 mede 12 m, determine o volume 
de água que o reservatório 1 continha inicialmen-
te e a altura interna H, em metros, que o nível da 
água atingiu no reservatório 2, após o término do 
processo de esvaziamento do reservatório 1.
LU
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Volume 1
Capítulo 3
 11. (ITA-SP) Considere que, num tiro de revólver, a bala percorre trajetória retilínea com velocidade v constante, desde o 
ponto inicial P até o alvo Q. Mostrados na figura, o aparelho M1 registra simultaneamente o sinal sonoro do disparo 
e o do impacto da bala no alvo, o mesmo ocorrendo com o aparelho M2. Sendo vS a velocidade do som no ar, então 
a razão entre as respectivas distâncias dos aparelhos M1 e M2 em relação ao alvo Q é:
M1 Q
90°
P
Visto de cima.
M2
v
a) 
vS(v 2 vS)
(v2 2 vS
2) b) 
�
�
v (v v)
(v v )
S S
2
S
2 c) 
�
�
v(v v )
(v v )
S
S
2 2 d) 
�
�
v (v v )
(v v )
S S
2
S
2 e) 
�
�
v (v v )
(v v )
S S
2
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Volume 1
Capítulo 4
CAPÍTULO 4 – Movimento uniforme
 1. (U. F. Campina Grande-PB) Numa aula experimental, 
um grupo de estudantes deixa bolhas de uma mistura 
de álcool e água caírem através de um longo tubo 
preenchido com óleo de soja comum. Constroem uma 
tabela na qual registram a posição de uma das bolhas 
em função do tempo, reproduzida abaixo:
Posição s (cm) Tempo t (s)
0 0,0
5,0 10,0
10,0 20,0
15,0 30,0
20,0 40,0
0 5,0
10
15
20
a) Calcule a velocidade escalar da bolha em m/s.
b) Classifique o movimento admitindo que a regula-
ridade da tabela se mantenha.
c) Escreva a equação horária do movimento em uni-
dades SI.
d) Construa o gráfico s 5 f (t).
 2. (Vunesp-SP) Dois amigos, correndo sobre uma mesma 
pista retilínea e em sentidos opostos, avistam-se 
quando a distância que os separa é de 150 metros. 
Um está correndo com velocidade escalar constante 
de 5,0 m/s e o outro com velocidade escalar cons-
tante de 7,5 m/s. Que distância cada um percorrerá 
desde o instante em que se avistam até o instante em 
que um passa pelo outro?
 3. (Fuvest-SP) Dois corredores, A e B, partem de um 
mesmo ponto de uma pista circular de 140 m de 
comprimento com velocidades escalares constantes 
e de módulos iguais a 8,0 m/s e 6,0 m/s, respecti-
vamente.
a) Se partirem em sentidos opostos, após quanto 
tempo A e B vão se encontrar pela primeira vez?
b) Se partirem no mesmo sentido, após quanto 
tempo o corredor A estará com uma volta de van-
tagem sobre B?
 4. (UF-BA) Três veículos, A, B e C, trafegam num mesmo 
sentido, sobre uma pista retilínea, com velocidades 
constantes. Num determinado instante, C vem à fren-
te, a 80 m de B, e este, 60 m à frente de A. O veículo 
A leva 6,0 s para ultrapassar o veículo B e 1,0 s após 
encontra-se ultrapassando o veículo C.
Determine, em m/s, a velocidade escalar de B em 
relação a C.
 5. (Fuvest-SP) Um homem correndo ultrapassa uma 
composição ferroviária, com 100 metros de com-
primento, que se move vagarosamente no mesmo 
sentido. A velocidade escalar do homem é o dobro da 
velocidade escalar do trem. Em relação à Terra, qual 
a distância percorrida pelo homem, desde o instante 
em que alcança a composição até o instante em que 
a ultrapassa?
a) 50 m
b) 100 m
c) 150 m
d) 200 m
e) 250 m
 6. (OPF-SP) Duas bolas de dimensões desprezíveis se 
aproximam uma da outra, executando movimentos 
retilíneos e uniformes. Sabe-se que as bolas pos-
suem velocidades de módulos 2,0 m/s e 3,0 m/s e 
que, no instante t 5 0, a distância entre elas é de 
15,0 m.
2,0 m/s 3,0 m/s
A Bt � 0
15,0 m
Podemos afirmar que, quando houver a colisão, a bola 
de maior módulo de velocidade terá percorrido uma 
distância de:
a) 5,0 m
b) 6,0 m
c) 7,5 m
d) 9,0 m
e) 10,0 m
 7. (OBF-Brasil) Dois corredores, I e J, partem do 
mesmo ponto de uma pista circular de raio igual 
a 25,0 m com velocidades escalares constantes 
de módulos iguais a 6,0 m/s e 4,0 m/s, respec-
tivamente. Quanto tempo leva para que eles se 
encontrem pela primeira vez, considerando-se que 
eles partem em sentidos opostos? E se partirem no 
mesmo sentido? Adote π 5 3.
a) 15,0 s e 75,0 s
b) 75,0 s e 15,0 s
c) 15,0 s e 80,0 s
d) 80,0 s e 15,0 s
e) 15,0 s e não se encontram.
SE
TU
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Volume 1
Capítulo 4
 8. Dois atletas percorrem a pista circular da figura em sentidos opostos. Num dado instante t0 5 0 se encontraram no 
ponto A e, a seguir, no instante t1 5 T, se encontraram no ponto B e o terceiro encontro ocorreu no ponto C, no 
instante t2 5 100 s. A pista circular apresenta um comprimento total de 700 m e o arco AC, medido no sentido anti- 
horário, tem 200 m.
B
A
C
Admitindo que as velocidades escalares permaneceram constantes, determine:
a) o módulo da velocidade v1 do mais rápido e o módulo da velocidade v2 do mais lento;
b) o módulo da velocidade relativa de um atleta em relação ao outro no instante t1 5 T;
c) o instante T. Justifique a sua resposta.
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Volume 1
Capítulo 5
CAPÍTULO 5 – Movimento uniformemente variado
 1. As partículas A e B percorrema mesma trajetória 
retilínea, no mesmo sentido, com aceleração escalar 
constante α 5 5,0 m/s2. Num determinado instante 
a distância que as separa é de 12 m e a partícula A 
possui velocidade escalar 5,0 m/s, e a partícula B, 
3,0 m/s.
A B
12 m
Analise as afirmações e julgue se estão certas ou 
erradas, justificando a sua resposta.
 I. Para um referencial em B, a partícula A se aproxi-
ma de B em MRU, com velocidade de 2,0 m/s.
 II. Para um referencial em A, a partícula B se afasta 
de A em MRU.
 III. Para um referencial em B, a partícula A está em 
MUV.
 IV. A partícula A deverá alcançar a partícula B em 
6,0 s, a contar do instante em que se encontram 
na figura.
Do que se afirmou, estão corretas, apenas, as afir-
mativas:
a) I, II e III c) I e IV e) IV
b) II e III d) I e III
 2. Existe na Disneyland um brinquedo em que a pessoa 
fica sentada em um banco dentro de uma cabina que 
se move verticalmente, presa por um cinto de seguran-
ça. A cabina parte do repouso e acelera verticalmente 
para baixo com aceleração de módulo igual a 1,2 g, em 
que g é o módulo da aceleração da gravidade.
Uma moeda estava em repouso na perna da pessoa a 
uma distância H 5 2,25 m do teto da cabina.
Quando a cabina acelera, a moeda se destaca da perna 
da pessoa e vai colidir com o teto da cabina após um 
intervalo de tempo T.
No instante em que a moeda chega ao teto, ela tem uma 
velocidade com módulo v1 em relação ao teto. Nesse 
instante, a cabina tem uma velocidade com módulo v2 
em relação a um referencial fixo no solo terrestre. Adote 
g 5 10,0 m/s2 e despreze o efeito do ar. Os valores 
de T, v1 e v2 são:
a) T1 5 1,5 s; v1 5 3,0 m/s; v2 5 15,0 m/s
b) T1 5 1,0 s; v1 5 3,0 m/s; v2 5 18,0 m/s
c) T1 5 1,5 s; v1 5 3,0 m/s; v2 5 18,0 m/s
d) T1 5 2,5 s; v1 5 6,0 m/s; v2 5 15,0 m/s
e) T1 5 2,5 s; v1 5 6,0 m/s; v2 5 18,0 m/s
 3. (ITA-SP) Um automóvel a 90 km/h passa por um 
guarda num local em que a velocidade máxima é de 
60 km/h. O guarda começa a perseguir o infrator com 
a sua motocicleta, mantendo aceleração constante 
até que atinge 108 km/h em 10 s e continua com essa 
velocidade até alcançá-lo, quando lhe faz sinal para 
parar. Pode-se afirmar que:
a) o guarda levou 15 s para alcançar o carro.
b) o guarda levou 60 s para alcançar o carro.
c) a velocidade do guarda ao alcançar o carro era de 
25 m/s.
d) o guarda percorreu 750 m desde que saiu em per-
seguição até alcançar o motorista infrator.
e) o guarda o alcançou em 2,0 min.
 4. (PUC-RJ) Os vencedores da prova de 100 m rasos são 
chamados de homem/mulher mais rápidos do mundo. 
Após o disparo e acelerando de maneira constante, 
um bom corredor atinge a velocidade escalar máxi-
ma de 12,0 m/s a 36,0 m do ponto de partida. Esta 
velocidade é mantida por 3,5 s. A partir deste ponto 
o corredor desacelera também de maneira constante 
com aceleração escalar a 5 21,0 m/s2 completando a 
prova em aproximadamente 11,5 s. É correto afirmar 
que a aceleração escalar nos primeiros 36,0 m, a dis-
tância percorrida nos 3,5 s seguintes e a velocidade 
escalar final do corredor ao cruzar a linha de chegada 
são, respectivamente:
a) 2,0 m/s2; 42,0 m; 10,0 m/s.
b) 2,0 m/s2; 38,0 m; 21,6 m/s.
c) 2,0 m/s2; 72,0 m; 32,4 m/s.
d) 4,0 m/s2; 36,0 m; 10,8 m/s.
e) 4,0 m/s2; 38,0 m; 21,6 m/s.
 5. Dois carros A e B têm seus movimentos representa-
dos esquematicamente no gráfico espaço 3 tempo a 
seguir.
s
t0 t1
carro A
carro B
O carro B parte do repouso e tem movimento unifor-
memente variado. 
No instante t1, as velocidades escalares dos carros A e 
B são, respectivamente, iguais a vA e vB. A razão 
v
v :
B
A
a) não está determinada. d) vale 2.
b) vale 12 . e) é maior que 2.
c) vale 1.
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Volume 1
Capítulo 5
 6. (Vunesp-SP) Numa viagem, um motorista passa pela 
placa mostrada na figura 1, quando sua velocidade 
escalar é 30 m/s. Aciona os freios nesse instante e, 
mantendo uma desaceleração constante até chegar 
à lombada, passa pela placa mostrada na figura 2, 
quando sua velocidade escalar é 20 m/s.
Lombada
a
400 m
Lombada
a
150 m
Figura 1. Figura 2.
Pode-se afirmar que, para chegar da primeira placa 
à lombada, ele demorou um intervalo de tempo, em 
segundos, de:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
 7. (AFA-SP) Considere um móvel deslocando-se numa 
trajetória horizontal e descrevendo um movimento 
retilíneo uniformemente acelerado e retrógrado. A 
alternativa que contém o gráfico que melhor repre-
senta o movimento descrito pelo móvel é
a) espaço
tempo0
 
b) velocidade escalar
tempo0
c) espaço
tempo0
d) aceleração escalar
tempo
0
 8. (UF-RJ) Dois móveis, (1) e (2), partem do repouso 
de um mesmo ponto e passam a se mover na mesma 
estrada. O móvel (2), no entanto, parte 3,0 s depois 
do móvel (1). A figura abaixo representa, em gráfico 
cartesiano, como suas velocidades escalares variam 
em função do tempo durante 18,0 s a contar da par-
tida do móvel (1).
v (m/s)
3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0
18,0
0 t (s)
(1)
(1)
(2)
(2)
a) Calcule as acelerações escalares dos móveis (1) e 
(2) depois de iniciados os seus movimentos.
b) Verifique se, até o instante t 5 18,0 s, o móvel 
(2) conseguiu alcançar o móvel (1). Justifique sua 
resposta.
 9. (U. F. Santa Maria-RS) Um carro se desloca com velo-
cidade escalar constante num referencial fixo no solo. 
O motorista percebe que o sinal está vermelho e faz 
o carro parar. O tempo de reação do motorista é de 
fração de segundo. Tempo de reação é o tempo decor-
rido entre o instante em que o motorista vê o sinal 
vermelho e o instante em que ele aplica os freios. 
Está associado ao tempo que o cérebro leva para pro-
cessar as informações e ao tempo que levam os impul-
sos nervosos para percorrer as células nervosas que 
conectam o cérebro aos membros do corpo. Considere 
que o carro adquire uma aceleração escalar negativa 
constante até parar. O gráfico que pode representar 
o módulo da velocidade do carro (v) em função do 
tempo (t), desde o instante em que o motorista per-
cebe que o sinal está vermelho até o instante em que 
o carro atinge o repouso, é:
a) v
t
b) v
t
SE
TU
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Capítulo 5
c) v
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d) v
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e) v
t
 10. (U. F. Viçosa-MG) Uma motocicleta movia-se numa ave-
nida quando seu motociclista percebeu que o semáforo 
do cruzamento logo adiante estava fechado. O motoci-
clista freou, mas não conseguiu parar antes do cruza-
mento, atingindo um automóvel. Baseado nos danos 
causados nos veículos, técnicos da polícia estimaram 
que a motocicleta estava a 36 km/h no momento da 
colisão. A 50 metros do local do acidente foi encontrada 
uma marca no asfalto, que corresponde ao local em que 
o motociclista pisou desesperadamente no freio.
Sabendo-se que os freios da motocicleta conseguem 
produzir uma aceleração escalar, praticamente cons-
tante, de módulo igual a 8,0 m/s2, a perícia confir-
mou que a velocidade escalar da motocicleta, imedia-
tamente antes da freada, era de: 
a) 90 km/h c) 30 m/s
b) 180 km/h d) 45 m/s
 11. (Unesp-SP) Um veículo A, locomovendo-se com velo-
cidade escalar constante, ultrapassa um veículo B, no 
instante t 5 0, quando B está começando a se movi-
mentar. Os veículos percorrem trajetórias retilíneas e 
paralelas.
v (m/s)
10
2 4 6 8 10
20
30
40
50
0
t (s)
A
B
Analisando-se o gráfico, pode-se afirmar que:
a) B ultrapassou A no instante t 5 8 s, depois de 
percorrer 160 m.
b) B ultrapassou A no instantet 5 4 s, depois de 
percorrer 160 m.
c) B ultrapassou A no instante t 5 4 s, depois de 
percorrer 80 m.
d) B ultrapassou A no instante t 5 8 s, depois de 
percorrer 320 m.
e) B ultrapassou A no instante t 5 4 s, depois de 
percorrer 180 m.
 12. (Vunesp-SP) Na pista de skate da praia de Pajuçara, 
um garoto desliza, a partir do repouso, descrevendo 
um movimento retilíneo uniformemente acelerado, 
cujo gráfico da posição, em função do tempo, está na 
figura. O gráfico tem vértice em t 5 0.
s (m)
t (s)4,00
20
A correspondente função horária, em unidades SI, é 
dada por:
a) S 5 20 1 20 ? t 2 5,0 ? t2
b) S 5 20 2 20 ? t 2 2,5 ? t2
c) S 5 20 2 1,25 ? t2
d) S 5 20 2 2,5 ? t2
e) S 5 20 2 5,0 ? t2
 13. Uma partícula desloca-se, em trajetória retilínea, com 
equação horária dos espaços dada por:
s 5 2,0t3 2 16,0 (SI)
No instante t1, a partícula passa pela origem dos 
espaços.
No instante t1, a velocidade escalar vale v1 e a acele-
ração escalar vale α1.
Os valores de v1 e α1 são dados por:
a) v1 5 24,0 m/s e α1 5 12,0 m/s
2.
b) v1 5 6,0 m/s e α1 5 24,0 m/s
2.
c) v1 5 6,0 m/s e α1 5 12,0 m/s
2.
d) v1 5 12,0 m/s e α1 5 12,0 m/s
2.
e) v1 5 24,0 m/s e α1 5 24,0 m/s
2.
 14. Um ponto material está em movimento obedecendo à 
seguinte função horária das posições:
s 5 2,0t3 1 4,0t 2 4,0 (SI)
Calcule, usando apenas dois algarismos significativos:
a) a velocidade escalar média entre os instantes t1 5 0 
e t2 5 2,0 s;
b) a velocidade escalar nos instantes t1 5 0 e t2 5 2,0 s;
c) a aceleração escalar no instante t2 5 2,0 s.
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Volume 1
Capítulo 6
CAPÍTULO 6 – Movimento vertical no vácuo
 1. Do alto de um edifício de altura h, abandonamos uma 
pedra, a partir do repouso, com a intenção de deter-
minarmos a altura do edifício. Por questões técnicas, 
foi medido apenas o intervalo de tempo decorrido a 
partir da metade do percurso, ou seja, h2 (final), 
para o qual se obteve 1,0 s. Despreze a resistência do 
ar, adote g 5 10 m/s2 e faça a seguinte aproximação: 
�2 1,4.
Determine a altura do edifício.
 2. (PUC-RJ) Um objeto é arremessado do solo, verti-
calmente para cima, com uma velocidade escalar 
v1 5 10,0 m/s. Após um intervalo de tempo ∆t 5 1,0 s, 
um segundo objeto é também arremessado do mesmo 
ponto que o primeiro, verticalmente para cima e com a 
mesma velocidade escalar v2 5 10,0 m/s.
Indique a altura em metros (m) do ponto onde ocorre-
rá a colisão entre os objetos. Considere g 5 10,0 m/s2.
a) 0 c) 3,75 e) 10,0
b) 1,00 d) 4,00
 3. De uma altura H foi abandonada uma esferinha de 
chumbo e simultaneamente foi lançada do solo uma 
segunda bolinha de chumbo com uma velocidade 
inicial de módulo 2g H sendo g o módulo da 
aceleração da gravidade local. As esferinhas foram 
posicionadas numa mesma reta vertical, de tal 
maneira que ocorreu uma colisão entre ambas numa 
altura h. 
v0
H
solo
Determine, em função de v0 e g:
a) o instante da colisão (admitindo t 5 0 no instante 
do lançamento);
b) o valor de h.
 4. Retome a questão anterior, porém vamos lançar ver-
ticalmente a esferinha do solo com uma velocidade 
inicial desconhecida, que provisoriamente chamare-
mos de v0. Determine, em função de H e de g:
a) o valor de v0 para que a colisão entre as duas 
esferinhas ocorra exatamente no ponto médio, ou 
seja, na altura 5h H2 ;
b) o valor dos módulos das velocidades das esferi-
nhas imediatamente antes da colisão.
 5. (OBF-Brasil) Deixa-se cair livremente, a partir do 
repouso, de uma altura de 200 metros, um objeto 
pesado (a força de resistência do ar é desprezível). 
Desejando-se dividir em duas partes esta altura, de 
maneira que os tempos de percurso sejam iguais 
e considerando-se a aceleração da gravidade com 
módulo igual a 10 m/s2, teremos, medindo de cima 
para baixo:
a) 40 m e 160 m
b) 50 m e 150 m
c) 75 m e 125 m
d) 100 m e 100 m
e) 160 m e 40 m
 6. De um mesmo ponto, do alto de uma torre de 100 m 
de altura, abandona-se, do repouso, primeiramente um 
corpo A e, 1,0 s depois, um outro corpo B. Desprezando-
se a resistência do ar e adotando-se g 5 10,0 m/s2, a 
distância entre esses corpos será de 15,0 m após o corpo 
B ter percorrido a distância de:
a) 2,0 m c) 4,0 m e) 6,0 m
b) 3,0 m d) 5,0 m
 7. (ITA-SP) Do alto, você deixa cair verticalmente uma 
pedra, a partir do repouso, sobre um lago, mede o 
tempo de 9,20 s para a pedra atingir o lago e observa 
que o ruído do impacto somente foi ouvido 1,20 s 
após ter sido vista a colisão da pedra com o lago. 
Estas informações lhe permitem concluir que:
a) a velocidade do som no ar tem módulo superior a 
3,53 ∙ 102 m∙s21.
b) a velocidade do som no ar tem módulo igual a 
3,53 ∙ 102 m∙s21.
c) você está a uma altura de 423 m acima do nível 
do lago.
d) você está a uma altura inferior a 423 m acima 
do nível do lago e a velocidade do som no ar tem 
módulo inferior a 3,53 ∙ 102 m∙s21.
e) você está a uma altura superior a 423 m acima do 
nível do lago.
Dado: g 5 9,80 m/s2.
 8. (U. F. Viçosa-MG) Uma bola A é solta de uma altura de 
45,0 m e cai verticalmente. Um segundo depois, outra 
bola, B, é arremessada verticalmente para baixo. 
Sabendo-se que a aceleração da gravidade no local 
tem módulo 10,0 m/s2 e desprezando-se a resistência 
do ar, a velocidade com que a bola B deve ser arre-
messada, para que as duas atinjam o solo no mesmo 
instante, é:
a) 12,5 m/s c) 75,0 m/s e) 0,75 m/s
b) 7,50 m/s d) 1,25 m/s
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Volume 1
Capítulo 6
 9. A partir de uma mesma altura H, dois projéteis, A e B, 
são lançados verticalmente com velocidades de mesmo 
módulo 30,0 m/s. O efeito do ar é desprezível e a 
aceleração da gravidade tem módulo g 5 10,0 m/s2. O 
projétil A é lançado verticalmente para baixo e gasta 
um tempo T para atingir o solo. O projétil B é lançado 
verticalmente para cima e gasta um tempo 2T para 
atingir o solo.
H
solo
30,0 m/s
g � 10,0 m/s2
A B
30,0 m/s
O valor de H:
a) não está determinado.
b) é 35,0 m. 
c) é 45,0 m.
d) é 180 m.
e) é 360 m.
 10. (ITA-SP) Em um local onde o efeito do ar é despre-
zível e a aceleração da gravidade é constante, foi 
realizada uma experiência de lançamento vertical de 
um corpo. Quando o corpo foi lançado com velocidade 
escalar inicial v0, a altura máxima atingida foi H. Se 
o mesmo corpo for lançado com velocidade escalar 
inicial igual a 2v0 , sua velocidade escalar, ao atingir 
a altura H, será:
a) v0 c) 
v
4
0 e) 
v
3
0
b) 
v
2
0 d) v 30
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Volume 1
Capítulo 7
CAPÍTULO 7 – Diagramas horários
 1. (ITA-SP) No arranjo mostrado a seguir, do ponto A 
largamos com velocidade nula duas pequenas bolas 
que se moverão sob a influência da gravidade em um 
plano vertical, sem rolamento ou atrito, uma pelo 
trecho ABC e a outra pelo trecho ADC. As partes AD 
e BC dos trechos são paralelas e as partes AB e DC 
também. Os vértices B de ABC e D de ADC são sua-
vemente arredondados para que cada bola não sofra 
uma brusca mudança na sua trajetória.
A
C
B
D
Pode-se afirmar que:
a) a bola que se move pelo trecho ABC chega ao 
ponto C primeiro.
b) a bola que se move pelo trecho ADC chega ao 
ponto C primeiro.
c) asduas bolas chegam juntas ao ponto C, mas com 
velocidades diferentes.
d) a bola de maior massa chega primeiro (e se tive-
rem a mesma massa, chegam juntas).
e) Como as duas bolas deverão chegar com a mesma 
velocidade final, certamente deverão chegar jun-
tas, independentemente de sua massa.
(Sugestão dos autores: represente, num mesmo 
diagrama cartesiano, as velocidades escalares dos 
dois movimentos, lembrando que para uma mesma 
inclinação da pista as bolinhas terão a mesma ace-
leração escalar.)
 2. Em uma corrida olímpica de 100 m rasos, em uma 
pista plana e horizontal, dois atletas A e B descre-
vem trajetórias retilíneas e paralelas. Os gráficos 
a seguir representam as velocidades escalares dos 
atletas em função do tempo, desde o início até o 
final da corrida.
v (m/s)
4,0
12,5
0 t (s)
atleta A
 
v (m/s)
12,0
0 t (s)
atleta B
10
3
Podemos afirmar que:
a) os atletas cruzam a linha de chegada com veloci-
dades escalares iguais.
b) no instante t 5 3,0 s, o atleta A tem aceleração 
escalar maior que o atleta B.
c) em nenhum instante os atletas terão velocidades 
escalares iguais e não nulas.
d) os atletas cruzam a linha de chegada no mesmo 
instante.
e) em nenhum instante os atletas terão acelerações 
escalares iguais.
 3. (Unifesp-SP) Em uma manhã de calmaria, um 
Veículo Lançador de Satélite (VLS) é lançado verti-
calmente do solo e, após um período de aceleração, 
ao atingir a altura de 100 m, sua velocidade linear 
é constante e de módulo igual a 20,0 m/s. Alguns 
segundos após atingir essa altura, um de seus 
conjuntos de instrumentos desprende-se e move-
-se livremente sob a ação da força gravitacional. 
A figura fornece o gráfico de velocidade vertical, 
em m/s, do conjunto de instrumentos desprendido 
como função do tempo, em segundos, medido no 
intervalo entre o momento em que ele atinge a 
altura de 100 m até o instante em que, ao retornar, 
toca o solo.
v (m/s)
y
0 t (s)2 4
a) Determine a ordenada y do gráfico no instante 
t 5 0 s e a altura em que o conjunto de instru-
mentos se desprende do VLS.
b) Calcule, através dos dados fornecidos pelo gráfico, 
a aceleração gravitacional do local e, considerando 
52 1,4, determine o instante no qual o con-
junto de instrumentos toca o solo ao retornar.
 4. Uma esfera (1) foi lançada verticalmente para 
cima com velocidade inicial de módulo 20 m/s. 
Simultaneamente, outra esfera (2) foi abandonada 
em repouso de uma altura H 5 40 m, na mesma 
direção de lançamento da esfera (1). Em um deter-
minado instante T ocorreu a colisão de ambas. 
solo
y
g
1
2
v0
�
H � 40 m
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Volume 1
Capítulo 7
Adotando g 5 10 m/s2 e orientando a trajetória para 
cima, faça o que se pede:
a) Escreva as equações horárias das velocidades dos 
dois movimentos e construa o gráfico da velocida-
de em função do tempo até o instante T.
b) Determine o instante T.
c) Determine as velocidades v1 e v2 das esferas (1) e 
(2), respectivamente, no instante do encontro.
 5. Um móvel possuía uma velocidade escalar constante v 
e num dado instante t1, após ter percorrido uma dis-
tância d, freou com aceleração constante de módulo a 
até parar completamente num instante T. O diagrama 
mostra a velocidade em função do tempo. São conhe-
cidos: o módulo da aceleração e a distância d. 
v
ve
lo
ci
d
ad
e
v
0 t
tempo
t1 T
A velocidade escalar v, para que o tempo total T seja 
mínimo, vale:
a) � �v a d
b) 5v ad
c) v 5 a2 ∙ d
d) � �v a d2
e) � �v 3a d2
 6. (PUC-PR) O gráfico representa as posições de dois 
móveis A e B em função do tempo, numa mesma tra-
jetória.
x (m)
4
2 4 6 8
8
12
16
0 t (s)
A
B
a) Em que instante eles se encontram?
b) Escreva suas equações horárias de espaço.
 7. A figura representa o gráfico da velocidade escalar em 
função do tempo de determinado movimento. Sabe-se 
que no instante t0 5 0 o móvel partia da origem das 
abscissas.
v (m/s)
2,0
2,0 4,0 6,0
4,0
6,0
0 t (s)
A
B C
D
a) Para cada trecho do gráfico, classifique o movi-
mento.
b) Para cada trecho do gráfico, calcule a aceleração 
escalar.
c) Para cada trecho do gráfico, calcule a variação de 
posição (deslocamento) e, a seguir, determine a 
posição do móvel relativa a t1 5 2,0 s, t2 5 4,0 s 
e t3 5 6,0 s.
d) Esboce os diagramas horários de posição e da ace-
leração desse movimento.
 8. (Unesp-SP) A figura representa o gráfico velocidade 3 
tempo do movimento retilíneo de um móvel.
v (m/s)
15
10 20 30 40 50
30
0 t (s)
a) Qual o deslocamento total desse móvel?
b) Esboce o gráfico posição 3 tempo corresponden-
te, supondo que o móvel partiu da origem.
 9. (U. F. Campina Grande-PE) É dever de todo/a 
cidadão/ã respeitar as regras de trânsito, a vida 
própria e a dos outros, o que não faz um motorista 
alcoolizado à direção. Como exemplo, considere um 
motorista viajando a 72 km/h que, observando o 
sinal vermelho, aplica instantaneamente os freios, e 
para em 10 segundos, justamente na borda da faixa 
de pedestres. Suponha que, num outro dia, come-
tendo a imprudência de consumir bebida alcoólica e 
dirigir e viajando à mesma velocidade e exatamente 
na mesma estrada e no mesmo ponto, ele observa a 
mudança de cor do sinal para o vermelho. Acontece 
que agora ele demora 0,20 segundo até aplicar os 
freios. Considerando-se que o carro freie com a 
mesma aceleração escalar anterior, pode-se afirmar 
que avança sobre a faixa de pedestre
a) 1,0 m d) 5,0 m
b) 4,0 m e) 6,0 m
c) 2,0 m
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Volume 1
Capítulo 7
 10. (U. F. São Carlos-SP) O diagrama mostra como varia a 
posição em função do tempo t para uma partícula que 
se desloca em trajetória retilínea.
s
t1 t2A t
B
C
D
E
F
G
t3 t4 t5 t6
Os trechos AB, CDE e FG são arcos de parábola com 
vértices em A, D e G, respectivamente. Os trechos BC 
e EF são retilíneos.
v
t1 t20 tt3 t4 t5 t6
a) No local indicado, construa o gráfico velocidade 
escalar 3 tempo.
b) Classifique o movimento nos intervalos de tempo 
de t2 a t3 e de t5 a t6.
 11. (Fuvest-SP) A velocidade escalar de uma ciclista que 
descreve uma trajetória retilínea varia em função do 
tempo conforme o gráfico da figura a seguir.
v (m/s)
2,0
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
4,0
6,0
0 t (s)
8,0
Desprezando-se qualquer efeito devido ao tamanho 
da ciclista e sabendo-se que a parte curva do grá-
fico é um arco de parábola com vértice no instante 
t 5 1,0 s, responda os quesitos que se seguem:
a) Calcule a aceleração escalar no instante t0 5 0.
b) Calcule o valor aproximado do deslocamento esca-
lar entre os instantes t0 5 0 e t1 5 2,0 s.
 12. (Mackenzie-SP) Entre duas determinadas estações de 
uma das linhas do metrô de São Paulo, o trem percor-
re a distância de 900 m no intervalo de tempo t, com 
velocidade escalar média de 54,0 km/h. O gráfico I 
abaixo representa a velocidade escalar do trem nesse 
percurso, em função do tempo, e o gráfico II, a posi-
ção em função do tempo.
v
0 tt t
3
2t
3
Gráfico I.
SR
s
0 tt
SS
SB � 900 m
t
3
2t
3
A
R
S
B
Gráfico II.
Considerando-se que os trechos AR e SB do gráfico 
II são arcos de parábola e o trecho RS é um seg-
mento de reta, os valores de SR e SS são, respecti-
vamente:
a) 125 m e 775 m d) 250 m e 650 m
b) 200 m e 700 m e) 300 m e 600 m
c) 225 m e 675 m
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Capítulo 8
CAPÍTULO 8 – Vetores
 1. (Mackenzie-SP) O vetor resultante da soma de 
��
AB, ��
BE e 
��
CA é:
a) 
��
AE d) 
��
CE
b) 
��
AD e) 
��
BC
c) 
��
CD
C
EA
B D
 2. Dois vetores perpendiculares têm módulos que estão 
na razão 3 : 4. Calcule os módulos desses vetores, 
sabendo que sua resultante tem módulo 40.
 3. (U. E. Londrina-PR) Dados os vetores U, V, X, Y e 
W de mesmo módulo, qual das relações abaixo está 
correta?
W
Y
X
V
60° 120°U
a) U 1 W 5 Y d) X 1 Y 1 V 5 U
b) X 1 W 5 U e) U 1 V 1 Y 5 W
c) X 1 Y 5 U
 4. Consideremos dois vetores de módulos 12 cm e 7 cm. 
O módulo da resultante desses vetores não pode ser:
a) 19 cm d) 8 cm
b) 5 cm e) 4 cm
c) 10 cm
 5. Na figura, considere que cada divisão do “quadricula-
do” tem medida 1 e que os vetores i e j são perpen-
diculares entre si. Represente os vetores a, b, c, d e e 
em função de i e j.
d
j
i
ba
e
c
 6. Na figura, temos representados os vetores a, b e c. 
Qual a alternativa correta?
b
a
c
a) a 1 c 5 b d) b 1 c 5 a
b) a 1 b 5 c e) a 1 c 5 c 1 b
c) a 1 b 1 c 5 0
 7. (Mackenzie-SP) Com seis vetores de módulos iguais 
a 8 u, construiu-se o hexágono regular. O módulo do 
vetor resultante desses seis vetores é: 
a) 40 u c) 24 u e) zero
b) 32 u d) 16 u
 8. Considerando o conjunto de vetores representados, 
verifique quais das sentenças são verdadeiras (V) ou 
falsas (F).
y z
v
u
w
x
s
a) y 1 z 5 s d) s 2 x 5 u 1 v
b) x 1 w 5 2( y 1 z ) e) u 1 v 1 s 1 x 5 0
c) y 1 w 1 z 5 2x f) 2u 1 x 1 y 1 z 2 v 5 0
 9. (UF-CE) Analisando a disposição dos vetores 
��
BA, 
��
EA, ��
CB, 
��
CD e 
��
DE conforme figura, assinale a alternativa 
que contém a relação vetorial correta:
a) � � � �
�� �� �� �� ��
CB CD DE BA EA
b) � � � �
�� �� �� �� ��
BA EA CB DE CD
c) � � � �
�� �� �� �� ��
EA DE CB BA CD
d) � � � �
�� �� �� �� ��
EA CB DE BA CD
e) � � � �
�� �� �� �� ��
BA DE CB EA CD
B
A
C D
E
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Capítulo 9
CAPÍTULO 9 – Cinemática vetorial
 1. Consideremos um sistema cartesiano ortogonal Oxy, 
fixado em um plano horizontal. Uma partícula sai 
da origem do sistema, dirige-se em linha reta para o 
ponto A (veja a figura) e, em seguida, dirige-se para 
o ponto B, também em linha reta. 
y (m)
24
10
0 x (m)
A
B
Sabendo que a partícula gasta 2,0 segundos para ir de 
O até B, calcule para essa viagem os módulos:
a) da distância percorrida;
b) do vetor de deslocamento;
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média.
 2. Uma partícula move-se com velocidade escalar cons-
tante sobre uma circunferência de raio R 5 10 m, 
gastando 24 segundos para completar uma volta. Para 
um intervalo de tempo Δt 5 8,0 segundos, calcule os 
módulos:
a) da distância percorrida;
b) do vetor deslocamento;
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média.
 3. Dê o valor verdadeiro (V) ou falso (F) às sentenças:
a) Num movimento uniforme a velocidade escalar é 
constante.
b) Num movimento uniforme a velocidade vetorial é 
constante.
c) Num movimento uniforme a velocidade vetorial é 
constante em módulo.
d) Num movimento retilíneo uniforme a velocidade 
vetorial é constante.
e) O único movimento em que a velocidade vetorial 
é constante é o movimento retilíneo uniforme.
f) Em um movimento uniforme cuja trajetória é uma 
parábola, a velocidade vetorial é constante.
 4. (PUC-SP) Se a velocidade vetorial de um ponto mate-
rial é constante e não nula, sua trajetória:
a) é uma parábola.
b) pode ser retilínea, mas não necessariamente.
c) deve ser retilínea.
d) é uma circunferência.
e) pode ser uma curva qualquer.
 5. Dois automóveis A e B movem-se sobre trajetórias circu-
lares concêntricas, de raios RA 5 100 m e RB 5 200 m. 
R
A
R
B
Sabendo que os dois automóveis têm a mesma velocida-
de escalar v 5 10 m/s, calcule:
a) o módulo da aceleração centrípeta de A;
b) o módulo da aceleração centrípeta de B.
 6. Uma partícula move-se em trajetória circular de 
centro O, com movimento uniformemente acelerado, 
tendo velocidade escalar v0 5 4,0 m/s no instante 
t 5 0. A figura representa a aceleração vetorial ins-
tantânea a no instante t 5 2,0 s. 
O
a
θ
Sabendo que |a | 5 26 m/s2, θsen = 513 e 5θcos
12
13 , 
calcule:
a) o módulo da aceleração tangencial;
b) o módulo da aceleração centrípeta no instante 
t 5 2,0 s;
c) a velocidade escalar no instante t 5 2,0 s;
d) o raio da trajetória.
 7. Assinale a proposição verdadeira:
a) Em um movimento uniforme, a aceleração é nula.
b) Em um movimento uniformemente variado, a ace-
leração é constante.
c) No movimento circular uniformemente variado, a 
aceleração centrípeta tem módulo constante.
d) No movimento retilíneo uniformemente variado, a 
aceleração centrípeta é nula.
e) No movimento uniforme, a velocidade é constante.
 8. (UF-CE) Um automóvel entra numa curva de 200 m 
de raio, de uma estrada cujas condições permitem 
uma aceleração centrípeta máxima de apenas 2 m/s2 
sem que aconteça derrapamento. Determine a maior 
velocidade, em km/h, com que o automóvel pode ser 
conduzido na curva, sem derrapar.
SE
TU
P
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Volume 1
Capítulo 9
 9. Uma partícula tem movimento circular e uniforme. 
Podemos afirmar que:
a) a aceleração vetorial é constante.
b) o módulo da velocidade vetorial é constante.
c) o módulo da aceleração vetorial é nulo.
d) a velocidade vetorial é constante.
e) a velocidade vetorial tem seu sentido para o cen-
tro da trajetória.
 10. (U. E. Londrina-PR) Uma pista é constituída por três 
trechos: dois retilíneos, AB e CD, e um circular, BC, 
conforme esquema. 
LU
IZ
 F
ER
N
A
N
D
O
 R
U
BI
O
A B
C
D
CC
A BB
CC
D
AAA
Se um automóvel percorrer toda a pista com veloci-
dade escalar constante, o módulo da sua aceleração 
será:
a) nulo em todos os trechos.
b) constante, não nulo, em todos os trechos.
c) constante, não nulo, nos trechos AB e CD.
d) constante, não nulo, apenas no trecho BC.
e) variável apenas no trecho BC.
 11. (UF-PI) Uma partícula descreve um movimento circular 
uniforme de raio r 5 1,0 m. No instante t 5 0, sua 
velocidade v0 e sua aceleração a0 apontam nas direções 
indicadas na figura. Dois segundos depois, a partícula 
tem pela primeira vez velocidade v 5 v0 e aceleração 
a 5 a0.
v0
a0
Os módulos de v0 (em m/s) e de a0 (em m/s
2) são res-
pectivamente:
a) π π2 e 2
2
 d) π π4 e 8
2
b) π π4 e 16
2
 e) π π2 e
2
c) π π2 e 4
2
 12. (AFA-SP) As figuras representam pontos que indicam 
as posições de um móvel, obtidas em intervalos de 
tempos iguais.
I II
III IV
Em quais figuras o móvel apresenta aceleração não 
nula?
a) Apenas em I, III e IV.
b) Apenas em II e IV.
c) Apenas em I, II e III.
d) Em I, II, III e IV.
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Volume 1
Capítulo 10
CAPÍTULO 10 – Composição de movimentos
 1. Um avião sobrevoa um aeroporto, com seu eixo apon-
tado para o norte e com velocidade 120 km/h em 
relação ao ar. Os instrumentos do aeroporto registram 
um ventode 50 km/h em relação ao solo, de oeste 
para leste. Calcule:
a) o módulo da velocidade do avião em relação ao 
solo;
b) a distância percorrida pelo avião, em relação ao 
solo, em 12 min.
 2. A velocidade das águas de um rio é 5,0 m/s em 
relação às margens. Um barco parte de um ponto X 
em uma das margens, com seu eixo perpendicular à 
correnteza, atingindo um ponto Y na outra margem, 
cuja distância ao ponto X é 390 metros. Sabendo que 
a travessia durou 30 segundos, calcule o módulo da 
velocidade do barco em relação às águas.
 3. A correnteza de um rio retilíneo e de margens para-
lelas tem velocidade 5,0 m/s em relação às margens. 
Um barco sai de uma das margens em direção à outra, 
com velocidade 13 m/s em relação à água, de modo 
que a direção de seu movimento é perpendicular à 
correnteza. Sabendo-se que a distância entre as mar-
gens é 48 m, pede-se:
a) a velocidade do barco em relação às margens;
b) o ângulo que o eixo do barco deve fazer com a 
direção normal às margens;
c) o tempo de travessia.
 4. (Vunesp-SP) Um homem, em pé sobre uma plata-
forma que se move horizontalmente para a direita 
com velocidade constante v � 4,0 m/s em relação 
ao solo, observa que, ao inclinar de 45º um tubo 
cilindro oco, permite que uma gota de chuva, que cai 
verticalmente com velocidade c constante em relação 
ao solo, atravesse o tubo sem tocar em suas paredes. 
Determine o valor de c.
LU
IZ
 F
ER
N
A
N
D
O
 R
U
BI
O
v
c
 5. (Fuvest-SP) Pedro atravessa a nado, com velocidade 
constante, um rio de 60 m de largura e margens para-
lelas, em 2 minutos. Ana, que boia no rio e está parada 
em relação à água, observa Pedro, nadando no sentido 
sul-norte, em uma trajetória retilínea, perpendicular 
às margens. Marta, sentada na margem do rio, vê que 
Pedro se move no sentido sudoeste-nordeste, em uma 
trajetória que forma um ângulo θ com a linha perpen-
dicular às margens. As trajetórias, como observadas 
por Ana e por Marta, estão indicadas nas figuras a 
seguir, respectivamente por PA e PM.
A
N
S
O L
P
Trajetória vista por Ana.
M
P
θ
Trajetória vista por Marta.
Se o ângulo θ for tal que � � )(θ θcos 35 sen 45 , 
qual o valor do módulo da velocidade:
a) de Pedro em relação à água?
b) de Pedro em relação à margem?
c) da água em relação à margem?
 6. (U. F. São Carlos-SP) O submarino navegava com 
velocidade constante, nivelando a 150 m de profun-
didade, quando seu capitão decide levar lentamente a 
embarcação à tona, sem contudo abandonar o movi-
mento à frente. Comunica a intenção ao timoneiro, 
que procede ao esvaziamento dos tanques de lastro, 
controlando-os de tal modo que a velocidade de subi-
da da nave fosse constante.
LU
IZ
 F
ER
N
A
N
D
O
 R
U
BI
O
vx
vy
Se a velocidade horizontal antes da manobra era de 
18,0 km/h e foi mantida, supondo que a subida tenha 
se dado com velocidade constante de 0,9 km/h, o des-
locamento horizontal que a nave realizou, do momento 
em que o timoneiro iniciou a operação até o instante 
em que a nau chegou à superfície, foi, em m, de:
a) 4 800 c) 2 500 e) 1 200
b) 3 000 d) 1 600
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Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
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Volume 1
Capítulo 11
CAPÍTULO 11 – Cinemática angular
 11. Um disco contendo um orifício próximo à sua borda 
gira defronte a uma fonte de luz, à razão de 10 vol-
tas por segundo. Um pulso de luz passa pelo orifício, 
reflete-se num espelho situado a uma distância d do 
disco e passa pelo mesmo orifício após o disco ter 
completado uma volta.
 
d
disco
espelho
pulso v v v
�
A
LE
X
 A
RG
O
ZI
N
O
Sabendo que a velocidade da luz nesse meio é 
v � 300 000 km/s, podemos afirmar que a distância d 
vale:
a) 1 500 km d) 300 000 km
b) 30 000 km e) 3 000 000 km
c) 15 000 km
 12. (UE-MS) A figura mostra a polia A, de raio RA � 10,0 cm, 
ligada à polia B, de raio RB � 5,0 cm, por uma correia 
que não desliza enquanto gira.
M
A
RC
O
 A
. S
IS
M
O
TT
O
RA
RB
Baseando-se nesses dados, analise as afirmativas:
 I. A velocidade tangencial da polia A é exatamen-
te igual à metade da velocidade tangencial da 
polia B.
 II. Se o período da polia A for igual a 1,0 s, o período 
da polia B será 0,5 s.
 III. A velocidade angular da polia A (ωA) é igual à 
velocidade angular da polia B (ωB).
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) 
correta(s):
a) I apenas. d) I e III apenas. 
b) II apenas. e) I, II e III.
c) III apenas.
 13. (Mackenzie-SP) Um automóvel, cujos pneus têm diâ-
metro externo de 52 cm, percorre, com velocidade 
constante, 483,6 m em 1 minuto. Desprezando sua 
deformação, o período do movimento de rotação des-
ses pneus é:
a) 0,1 s
b) 0,2 s
c) 0,3 s
d) 0,4 s
e) 0,5 s
(Adote π � 3,1.)
 14. (Vunesp-SP) Satélites de órbita polar giram numa 
órbita que passa sobre os polos terrestres e que 
permanece sempre em um plano fixo em relação às 
estrelas. Pesquisadores de estações oceanográficas, 
preocupados com os efeitos do aquecimento global, 
utilizam satélites desse tipo para detectar regular-
mente pequenas variações de temperatura e medir 
o espectro da radiação térmica de diferentes regiões 
do planeta. Considere o satélite a 5 298 km acima da 
superfície da Terra, deslocando-se com velocidade de 
5 849 m/s em uma órbita circular. Estime quantas 
passagens o satélite fará pela linha do equador em 
cada período de 24 horas.
Utilize a aproximação π � 3,0 e suponha a Terra 
esférica, com raio de 6 400 km.
 15. (U. F. Uberlândia-MG) Em 10 de setembro de 2008, 
foi inaugurado na Europa o maior acelerador de par-
tículas (LHC), que é capaz de acelerar prótons, em 
um anel de raio 4,5 km, até uma velocidade próxima 
da luz. 
Assuma que o movimento do próton seja descrito 
pela mecânica newtoniana e que possua a velocida-
de da luz (3,0 � 108 m/s). Considerando-se π � 3,0, 
marque para as alternativas abaixo (V ) verdadeira, 
(F) falsa.
(1) O próton gastará um tempo menor que 1,0 � 10�8 s 
para dar uma volta completa no anel.
(2) A frequência de rotação do próton no interior do 
anel será 1,0 � 105 rotações por segundo.
(3) A velocidade angular do próton será 1,0 � 105 rad/s.
(4) O período de rotação do próton será 9,0 � 10�5 s.
Estão corretas apenas:
a) 1 e 4
b) 1 e 3
c) 2 e 3
d) 2 e 4
e) 1, 2 e 4
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Volume 1
Capítulo 11
 16. (Unifesp-SP) O eletrocardiograma é um dos exames 
mais comuns da prática cardiológica. Criado no início 
do século XX, é utilizado para analisar o funciona-
mento do coração em função das correntes elétricas 
que nele circulam. Uma pena ou caneta registra 
a atividade elétrica do coração, movimentando-se 
transversalmente ao movimento de uma fita de papel 
milimetrado, que se desloca em movimento uniforme 
com velocidade de 25 mm/s. A figura mostra parte de 
uma fita de um eletrocardiograma.
se
tu
p
Sabendo-se que a cada pico maior está associada uma 
contração do coração, a frequência cardíaca dessa 
pessoa, em batimentos por minuto, é:
a) 60 d) 95
b) 75 e) 100
c) 80 
 17. (UnB-DF) Considere um satélite em órbita geoesta-
cionária distante 35 900 km da superfície terrestre, 
que 6 500 km é um valor aproximado do raio da Terra 
e adote para o número π um valor aproximado de 3. 
Para um intervalo de tempo de 6 h o satélite percorre 
uma distância mais próxima de:
a) 6 500 km d) 63 600 km
b) 35 900 km e) 65 600 km
c) 60 000 km
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Volume 1
Capítulo 12
CAPÍTULO 12 – Leis de Newton
 1. (Vunesp-SP) Um bloco de massa mA desliza no solo 
horizontal, sem atrito, sob ação de uma força constan-
te, quando um bloco de massa mB é depositado sobre 
ele. Após a união, a força aplicada continua sendo a 
mesma, porém a aceleração dos dois blocos fica reduzi-
da à quarta parte da aceleração que o bloco A possuía. 
Pode-se afirmar que a razão entre as massas 
m
m
A
B
 é:
a) 13 b) 
4
3 c) 
3
2 d) 1 e) 2
 2. Consideremos uma partícula em movimento retilíneo 
sob a ação de apenas duas forças, F1 e F2 como mostra a 
figura. 
F1F2
Sabendo que F1 5 50 N e F2 5 30 N, diga se cada uma 
das sentenças a seguir é verdadeira ou falsa.
a) A partícula pode estar em movimento acelerado 
para a direita.
b) A partícula pode estar em movimento retardado 
para a esquerda.
c) A partícula pode estar em movimento uniforme.
d) A partícula certamente está em movimento acele-
rado para a direita.
 3. A Terceira Lei de Newton diz que: “A uma ação cor-
responde uma reação de módulo igual à ação, porém 
de sentido contrário”. No caso de um corpo em queda 
livre, dizemos que ele está sujeito apenas:
a) à força de atração da Terra.
b) à força de atração da Terra e à força de reação, de 
modo que a resultante fornece aceleração g.
c) à força de atração da Terra, porque é desprezível a 
força de reação.
d) à força de reação proveniente da ação da força da 
Terra.
e) às forças de ação e reação, que, agindo sobre o 
corpo, se anulam.
 4. (UC-MG) Um corpo de peso P 5 25 N está apoiado 
sobre uma superfície horizontal, conforme a figura. 
N
P
M
a
rc
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
Lembrando a Terceira Lei de Newton, podemos afir-
mar que:
a) a força de ação do corpo é anulada pela reação da 
superfície.
b) a força de reação da superfície é maior que 25 N.
c) a força de reação da superfície é menor que 25 N.
d) a força de reação da superfície depende da resis-
tência da mesa.
e) a reação da superfície sobre o corpo é igual a 
25 N.
 5. (Fuvest-SP) Uma força de 1 newton (1 N) tem a ordem 
de grandeza do peso de: 
a) um homem adulto.
b) uma criança recém-nascida.
c) um litro de leite;
d) uma xicrinha cheia de café.
e) uma moeda de um centavo.
 6. (UF-RJ) Uma pessoa idosa, de 68 kg, ao se pesar, o faz 
apoiada em sua bengala, como mostra a figura. Com 
a pessoa em repouso, a leitura da balança é de 650 N. 
Considere g 5 10 m/s2.
Le
tt
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 S
tu
d
io
a) Supondo que a força exercida pela bengala sobre 
a pessoa seja vertical, calcule o seu módulo e 
determine o seu sentido.
b) Calcule o módulo da força que a balança exerce 
sobre a pessoa e determine a sua direção e o seu 
sentido.
 7. Um homem de massa m 5 80 kg está em repouso, 
segurando-se em um fio ideal, preso ao teto de um 
aposento, como mostra a figura. Adote g 5 10 m/s2.
Le
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 S
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Volume 1
Capítulo 12
a) Calcule a intensidade da tração no fio.
b) Suponha agora que o homem esteja subindo pelo 
fio em movimento acelerado, cuja aceleração tem 
módulo a 5 0,50 m/s2. Qual a intensidade da tra-
ção no fio?
c) Suponha agora que o homem esteja escorregando 
pelo fio em movimento acelerado, cuja aceleração 
tem módulo a 5 3,0 m/s2. Qual a intensidade da 
tração no fio?
 8. Consideremos dois blocos, A e B, inicialmente em 
repouso sobre uma superfície plana e horizontal sem 
atrito, encostados um no outro. A partir de deter-
minado instante, aplica-se ao conjunto uma força 
horizontal F, como ilustra a figura. As massas de A e 
B são respectivamente iguais a 7,0 kg e 5,0 kg. 
F
A B
Sabendo que a força exercida pelo bloco A sobre o 
bloco B tem intensidade 30 N, calcule:
a) o módulo da aceleração do conjunto;
b) o módulo de F.
 9. (UF-ES) Dois corpos de massa m1 e m2 estão sobre um 
plano horizontal sem atrito, e a força F atua direta-
mente sobre m1, conforme a figura. 
F
1 2
A intensidade da força que o corpo 1 exerce sobre o 
corpo 2 vale:
a) F
b) 
m
m F
2
1
c) 
m
m F
1
2
 
d) 
�
�
m
m m F
1
1 2
e) 
�
�
m
m m F
2
1 2
 10. A figura representa dois blocos, A e B, de massa res-
pectivamente iguais a 8,0 kg e 6,0 kg, inicialmente 
em repouso sobre um plano horizontal sem atrito. A 
partir de determinado instante, aplicamos ao conjunto 
as forças horizontais F1 e F2 de intensidades F1 5 41 N 
e F2 5 13 N, como ilustra a figura. 
F1 F2A B
Calcule:
a) o módulo da aceleração adquirida pelo conjunto;
b) o módulo da força que um bloco exerce sobre o 
outro.
 11. Os blocos A e B, representados na figura, têm massas 
de 8,0 kg e 5,0 kg, respectivamente. O fio é ideal e 
não há atritos. 
F
A B
Sabendo que a tração no fio tem intensidade T 5 32 N, 
calcule:
a) o módulo da aceleração do sistema;
b) o módulo da força horizontal F.
 12. Dois blocos, A e B, de massas respectivamente iguais a 
4,0 kg e 6,0 kg, estão inicialmente em repouso sobre 
um plano horizontal sem atrito, ligados por um fio 
ideal. A partir de determinado instante, aplicam-se 
aos blocos as forças horizontais F1 e F2, de intensidades 
F1 5 75 N e F2 5 50 N, como mostra a figura.
F1F2
A B
Calcule:
a) o módulo da aceleração do conjunto;
b) o módulo da tração no fio.
 13. (UF-AL) Uma força horizontal F, de intensidade 20 N, 
puxa três corpos presos entre si por dois fios.
F
1
�o B �o A
23
Desprezam-se os atritos entre os corpos e a super-
fície horizontal de apoio. As massas dos corpos 1 e 
3 são, respectivamente, m1 5 3,0 kg e m3 5 2,0 kg. 
A tração no fio A tem valor 14 N. Nessas condições, 
determine:
a) a aceleração do sistema;
b) a tração no fio B.
 14. (UF-RN) Uma corrente consistindo de sete anéis, cada 
um com massa de 200 gramas, está sendo puxada ver-
ticalmente, para cima, com aceleração constante de 
2,0 m/s2. A força para cima no anel do meio é: (Adote 
g 5 10 m/s2.)
a) 16,8 N d) 2,4 N 
b) 9,6 N e) 1,6 N
c) 8,4 N
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Volume 1
Capítulo 12
 15. Dois blocos, A e B, de massas mA 5 5,0 kg e 
mB 5 3,0 kg, estão ligados por um fio ideal. Aplica-se 
ao bloco B uma força vertical F, como mostra a figu-
ra, de modo que o conjunto sobe verticalmente, em 
movimento acelerado. A intensidade de F é 112 N e a 
aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2. 
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F
A
B g
Calcule:
a) o módulo da aceleração do sistema;
b) o módulo da tração no fio.
 16. Dois blocos, A e B, de massas respectivamente iguais 
a 3,0 kg e 4,0 kg, descem em movimento acelerado, 
empurrados por uma força F de intensidade F 5 14 N, 
como mostra a figura.
A
B
F
g
Sendo g 5 10 m/s2, calcule:
a) o módulo da aceleração do sistema;
b) o módulo da força que o bloco A exerce sobre o 
bloco B.
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Volume 1
Capítulo 13
CAPÍTULO 13 – Aplicação das leis de Newton
 10. Um corpo de massa m 5 20 kg está pendurado em um 
dinamômetro, o qual está fixo no teto de um elevador. 
A aceleraçãoda gravidade tem módulo g 5 10 m/s2. 
Determine a marcação do dinamômetro quando o ele-
vador sobe em movimento acelerado, cuja aceleração 
tem módulo a 5 2,5 m/s2.
m
 11. Consideremos um corpo de massa m 5 15 kg pendu-
rado em um dinamômetro, o qual está preso no teto 
de um elevador. A aceleração da gravidade tem inten-
sidade g 5 10 m/s2. Um indivíduo dentro do elevador 
observa que a marcação do dinamômetro é 180 N.
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M
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m
a) Calcule o módulo da aceleração do elevador.
b) O que podemos dizer sobre o movimento do ele-
vador?
 12. Um homem de massa mH 5 80 kg está sobre uma 
balança de molas, a qual está fixa no piso de um 
elevador, como mostra a figura. A massa do eleva-
dor juntamente com a balança é mE 5 520 kg. O 
conjunto está inicialmente em repouso. A partir de 
determinado instante, aplica-se ao teto do elevador 
uma força vertical T, de modo que o elevador começa 
a subir com movimento acelerado, cuja aceleração 
tem módulo a 5 2,0 m/s2.
T
Calcule:
a) a intensidade de T; b) a indicação da balança.
 13. (ITA-SP) No teto de um elevador temos um corpo de 
peso 16 N preso a um dinamômetro que acusa 20 N. 
A aceleração local da gravidade vale 10 m/s2. A inten-
sidade da aceleração do elevador é:
a) zero c) 5,0 m/s2 e) 0,40 m/s2
b) 2,5 m/s2 d) 10,0 m/s2
 14. (ITA-SP) Em relação à situação do teste anterior, 
podemos afirmar que o elevador está:
a) subindo com velocidade constante.
b) em repouso.
c) subindo em movimento acelerado.
d) descendo em movimento acelerado.
e) subindo em movimento acelerado ou descendo em 
movimento retardado.
 15. O esquema representa dois corpos, A e B, de pesos 
respectivamente iguais a 40 N e 15 N, presos às 
extremidades de um fio ideal f que passa por uma 
polia também ideal. O corpo A está apoiado sobre 
uma plataforma horizontal. Calcule o módulo da força 
exercida pela plataforma sobre o corpo A.
A
B
f
 16. No sistema representado na figura, o fio e a polia são 
ideais, a massa do bloco A é 9,0 kg e a tração no fio 
tem módulo 36 N. 
B
A
Supondo g 5 10 m/s2 e desprezando o atrito, calcule:
a) o módulo da aceleração do bloco A;
b) a massa do bloco B.
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Volume 1
Capítulo 13
 17. No sistema representado na figura, os blocos A, B e C 
têm massas respectivamente iguais a 9,0 kg, 6,0 kg e 
5,0 kg. Os fios e as polias são ideais e a aceleração da 
gravidade tem módulo 10 m/s2. 
C
B
A
Desprezando o atrito, calcule:
a) o módulo da aceleração no bloco B;
b) o módulo da tração no fio preso ao bloco A;
c) o módulo da tração no fio preso ao bloco C.
 18. No sistema representado na figura, os blocos A e B 
têm massas 2,0 kg e 3,0 kg, respectivamente. O fio 
e a polia são ideais e g 5 10 m/s2. Uma força hori-
zontal F de intensidade 60 N é aplicada ao bloco B. 
Desprezando o atrito, calcule o módulo da aceleração 
do bloco A.
B
A
F
 19. O sistema representado na figura é abandonado em 
repouso no instante t 5 0. Os blocos A e B têm 
massas respectivamente iguais a 8,0 kg e 2,0 kg. 
B
A
9 m
18 m
Sabendo que g 5 10 m/s2 e desprezando o atrito, 
calcule:
a) o instante em que o bloco B atinge o solo;
b) a velocidade do bloco B ao atingir o solo.
 20. Os blocos A e B na figura têm massas respectivamente 
iguais a 14 kg e 6,0 kg. O fio e a polia são ideais e não 
há atrito. No instante t 5 0, o bloco A tem velocidade 
v0 de módulo 12 m/s, como representado na figura. 
Sendo g 5 10 m/s2, determine o instante em que a 
velocidade do bloco A se anula.
B
A
30 m
v0
 21. Um bloco de massa M 5 80 kg está preso em uma das 
extremidades de um fio ideal que passa por uma polia 
também ideal e é puxada, conforme a figura, por um 
indivíduo de massa m 5 60 kg, de modo que tanto 
o indivíduo como o bloco sobem em movimento ace-
lerado. Sabendo que g 5 10 m/s2 e que o módulo da 
aceleração do indivíduo é 4,0 m/s2, calcule o módulo 
da aceleração do bloco.
 22. (ITA-SP) No sistema esquematizado são desprezíveis o 
atrito, o momento de inércia da roldana e a massa do 
fio que liga as massas m1 e m2. Sabe-se que m1  m2 
e que a aceleração da gravidade local é g. 
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Volume 1
Capítulo 13
A tensão T no fio e a aceleração a da massa m1 são, 
respectivamente, dadas por:
a) 
( )
�
�
�
�
�
T
2m m g
m m ; a
m m g
m m
1 2
1 2
1 2
1 2
b) 
( )
�
�
�
�
�
T
m m g
m m ; a
m m g
m m
1 2
1 2
1 2
1 2
c) ( ) ( )� � � ��T m m g; a
m m g
m m1 2
1 2
1 2
d) ( ) ( )� � � �T m m g; a m m gm1 2 1 21
e) ( ) ( )� � � �T m m g; a m m gm1 2 1 21
 23. (F. M. Pouso Alegre-MG) Na montagem abaixo, um 
indivíduo de massa 70 kg mantém suspenso um bloco 
B de massa 30 kg através de um fio ideal que passa 
por uma polia também ideal. 
iL
U
St
ra
Ç
Õ
eS
: M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
B
Sendo g 5 10 m/s2, calcule as intensidades:
a) da tração no fio;
b) da força que o chão exerce no indivíduo.
 24. (PUC-SP) O esquema representa dois corpos, A e B, 
de massas respectivamente iguais a 8,0 kg e 2,0 kg, 
ligados por um fio inextensível e de massa desprezí-
vel. No instante t 5 0, os corpos estão em repouso 
na posição indicada no esquema. Nesse instante 
abandona-se o sistema, que assume movimento devi-
do à tração exercida por B. Despreze as forças de 
atrito e suponha que a aceleração da gravidade tem 
intensidade 10 m/s2. 
B
solo
A
M N
1 m
5 m
O tempo que A leva para ir de M até N é:
a) 1,0 s
b) 2 s
c) 2,0 s
d) 5 s
e) 3,0 s
 25. (Fuvest-SP) A figura abaixo representa esquematica-
mente um elevador E com massa 800 kg e um contra-
peso B, também de 800 kg, acionados por um motor 
M. A carga interna do elevador é de 500 kg. 
E
M
B
Calcule a força exercida pelo motor através do cabo, 
em cada um dos casos a seguir: (Adote: g 5 10 m/s2.)
a) o elevador sobe com velocidade constante;
b) o elevador sobe com movimento acelerado, cuja 
aceleração é 0,50 m/s2.
 26. (FEI-SP) Um carrinho de massa 100 kg está sobre tri-
lhos e é puxado por dois homens que aplicam forças 
F1 e F2, conforme a figura abaixo. 
45º
30º
F1
F2
Qual é a aceleração do carrinho, sendo dados |F1| 5 
5 |F2| 5 20 N?
a) 0,31 m/s2
b) 510 m/s
2
c) 610 m/s
2
d) 0,5 m/s2
e) 0,6 m/s2
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os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são Parte 
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Volume 1
Capítulo 13
 27. Um bloco de massa 6,0 kg está inicialmente em repou-
so sobre uma superfície plana e horizontal sem atrito. 
A partir de determinado instante, aplicamos ao bloco 
uma força constante F, como mostra a figura, cuja 
intensidade é F 5 200 N. São dados: g 5 10 m/s2, 
sen q 5 0,40 e cos q 5 0,90.
θ F
A partir do instante de aplicação de F, calcule:
a) o módulo da força normal exercida pela superfície 
horizontal sobre o bloco;
b) o módulo da aceleração do bloco.
 28. Consideremos um bloco de massa m 5 12 kg, inicial-
mente em repouso sobre um plano horizontal sem 
atrito, num local em que g 5 10 m/s2. A partir de 
determinado instante, aplicamos ao bloco uma força F 
de direção e sentido constantes, como indica a figura. 
(Dados: sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80.)
θ
F
a) Calcule a máxima intensidadeque pode ter a força 
F, de modo que o bloco não perca o contato com o 
plano horizontal.
b) Para a intensidade máxima de F, obtida no item a, 
calcule a aceleração do bloco.
 29. Um bloco de massa m 5 4,0 kg está inicialmente em 
repouso sobre uma superfície plana e horizontal sem 
atrito, num local em que g 5 10 m/s2. A partir de 
determinado instante, aplicamos ao bloco uma força F 
de direção e sentido constantes, como mostra a figura.
F
30º
a) Calcule a máxima intensidade que pode ter a força 
F de modo que o bloco não perca o contato com a 
superfície horizontal.
b) Para a intensidade máxima de F, obtida no item a, 
calcule a aceleração do bloco.
 30. Consideremos dois blocos, A e B, de massas res-
pectivamente iguais a 20 kg e 10 kg, inicialmente 
em repouso sobre um plano horizontal sem atrito, 
encostados um no outro. A partir de determinado 
instante, aplicamos ao bloco A uma força constante 
F, de intensidade F 5 60 N, como mostra a figura. São 
dados: g 5 10 m/s2, sen θ 5 0,40 e cos θ 5 0,90.
F
A
B
θ
Calcule as intensidades:
a) da aceleração do sistema;
b) da força exercida pelo bloco A sobre o bloco B;
c) das forças normais exercidas pelo plano horizontal 
sobre os blocos A e B.
 31. (Fuvest-SP) Uma pessoa pendurou um fio de prumo 
no interior de um vagão de trem e percebeu, quando 
o trem partiu do repouso, que o fio se inclinou em 
relação à vertical. Com auxílio de um transferidor, a 
pessoa determinou que o ângulo máximo da inclina-
ção, na partida do trem, foi 14o. 
14º
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
Nessas condições:
a) represente, na figura acima, as forças que agem na 
massa presa ao fio.
b) indique, na figura acima, o sentido de movimento 
do trem.
c) determine a aceleração máxima do trem.
(Note e adote: tg 14o 5 0,25; aceleração da gravidade 
na Terra: g 5 10 m/s2.)
 32. Um veículo move-se sobre uma estrada plana hori-
zontal, com movimento acelerado, de aceleração a. 
De um ponto D de sua traseira pende um fio ideal de 
comprimento b, o qual arrasta uma bolinha de massa 
m. São dados: g 5 10 m/s2, b 5 1,3 m e h 5 0,50 m. 
Calcule o máximo valor de a, de modo que a bolinha 
não perca o contato com a estrada.
C
o
n
C
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Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
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Volume 1
Capítulo 13
 33. Consideremos um veículo que se move sobre uma estra-
da plana horizontal, em movimento retilíneo unifor-
memente acelerado cuja aceleração é a 5 8,1 m/s2. No 
teto do veículo está preso um pêndulo simples que se 
mantém em repouso em relação ao veículo. Determine 
o ângulo formado pelo pêndulo com a direção vertical. 
É dado g 5 10 m/s2.
 34. (Fuvest-SP) O mostrador de uma balança, quando 
um objeto é colocado sobre ela, indica 100 N, como 
esquematizado em A.
C
o
n
C
ei
to
g
ra
f
(A)
(B)
Se tal balança estiver desnivelada, como se observa 
em B, seu mostrador deverá indicar, para esse mesmo 
objeto, o valor de:
a) 125 N c) 100 N e) 75 N
b) 120 N d) 80 N
 35. Uma partícula é lançada com velocidade inicial v0 
sobre um plano inclinado sem atrito, conforme mostra 
a figura, numa região em que a aceleração da gravida-
de tem módulo g 5 10 m/s2. São dados v0 5 12 m/s 
e sen q 5 0,30.
A
B
v0
θ
a) Determine o módulo da aceleração da partícula 
durante a subida.
b) Determine o intervalo de tempo decorrido desde 
o instante em que a partícula é lançada até o 
instante em que ela para.
c) Sendo B o ponto do plano inclinado em que a 
partícula para, determine a distância AB.
 36. Os blocos A e B da figura têm massas respectivamente 
iguais a 20 kg e 30 kg. O fio e a polia são ideais e não 
há atrito. 
A
θ
B
(sen θ � 0,60 e cos θ � 0,80 )
Adotando g 5 10 m/s2, calcule:
a) o módulo da aceleração do bloco A;
b) o módulo da tração no fio;
c) o módulo da força exercida pelo fio sobre a polia.
(Sugestão: Lembre-se de que a 1 q 5 180o ⇒ 
⇒ cos a 5 2cos θ.)
 37. No sistema representado a seguir, os blocos A e B têm 
massas respectivamente iguais a 7,0 kg e 3,0 kg. O fio 
e a polia são ideais e a aceleração da gravidade tem 
módulo g 5 10 m/s2. 
B
θ α
A
(sen θ � 0,50 e sen α � 0,60)
Desprezando o atrito, calcule:
a) o módulo da aceleração do bloco A;
b) o módulo da tração no fio.
 38. (UF-GO) Um bloco desliza sobre um plano horizontal 
sem atrito com velocidade constante v0. Em seguida, 
ele sobe uma rampa de inclinação q, também sem 
atrito, até parar no ponto C da figura. A distância BC 
percorrida ao longo da rampa é:
B
C
θ
v0
a) q 
v
2 g tg
0
2
 d) q
v
g sen
0
2
b) q 
v
2 g cos
0
2
 e) q 
v
2 g sen
0
2
c) q
2v
g sen
0
2
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Volume 1
Capítulo 13
 39. (UF-BA) Um garoto puxa um carrinho de massa 2,0 kg 
com velocidade de 10 m/s, por uma rampa de inclinação 
de 30o, conforme a figura. Ao atingir a altura h 5 15 m, 
o barbante se rompe. Sabendo que g 5 10 m/s2, calcule 
o intervalo de tempo entre o instante do rompimento do 
barbante e a chegada do carrinho até a base da rampa. 
Despreze o atrito.
Le
tt
er
a
 S
tU
D
io
30º
h 5 15 m
 40. (Mackenzie-SP) Os corpos A e B da figura abaixo, 
cujas massas são respectivamente iguais a 2,0 kg e 
4,0 kg, sobem a rampa em movimento uniforme, devi-
do à força F paralela ao plano inclinado. Despreze os 
atritos e adote g 5 10 m/s2. 
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
30º
A
B
F
A intensidade da força que A exerce em B é:
a) 2,0 N d) 30 N
b) 3,0 N e) 40 N
c) 20 N
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Volume 1
Capítulo 14
CAPÍTULO 14 – Lançamento oblíquo
 1. Considerando o lançamento horizontal de uma par-
tícula nas proximidades da superfície da Terra e no 
vácuo, analise cada sentença e diga se é verdadeira 
ou falsa:
a) A velocidade vetorial da partícula é constante.
b) A velocidade vetorial da partícula tem módulo 
constante.
c) A velocidade vetorial da partícula tem direção 
variável.
d) A aceleração vetorial da partícula tem direção 
constante.
e) A aceleração vetorial da partícula tem módulo 
constante.
f) A aceleração vetorial da partícula é constante.
g) O ângulo formado entre a velocidade vetorial e a 
aceleração vetorial é constante.
 2. Uma partícula é lançada horizontalmente, com veloci-
dade v0, de ponto O situado a uma altura h em relação 
ao solo, numa região em que a aceleração da gravidade 
tem módulo g. 
v0
v
g
A
h
O
Calcule, em função de h, g e v0:
a) o alcance horizontal;
b) o módulo da velocidade v com que a partícula 
atinge o solo.
 3. Uma partícula é lançada horizontalmente, com velo-
cidade v0, de um ponto O situado 500 m acima do solo 
(suposto horizontal), numa região em que a acelera-
ção da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2. Sabendo 
que o alcance horizontal do lançamento é a 5 300 m, 
calcule |v0|. (Despreze os efeitos do ar.)
 4. (UF-GO) Uma esfera que rola sobre uma mesa hori-
zontal, abandona essa mesa com uma velocidade 
horizontal v0 e toca o solo após 1 s. Sabendo que a 
distância horizontal percorridapela bola é igual à 
altura da mesa e considerando g 5 10 m/s2, a veloci-
dade v0 é de:
a) 1,25 m/s d) 5,00 m/s
b) 10,00 m/s e) 2,50 m/s
c) 20,00 m/s
 5. Numa das margens de um rio, cuja largura é 850 m, 
é instalado um canhão de modo que sua boca esteja 
45 m acima do solo (veja figura). Os projéteis dispara-
dos pelo canhão abandonam sua boca com velocidade 
horizontal v0. Para que valores de v0 o projétil atinge 
a outra margem? (Adote g 5 10 m/s2 e despreze a 
resistência do ar.)
C
o
n
C
ei
to
g
rA
F
 6. Uma partícula é lançada horizontalmente, com velo-
cidade v0, numa região em que g 5 10 m/s
2. Seja v 
a velocidade dessa partícula num instante qualquer 
após o lançamento (antes de atingir o solo). Calcule 
|v0|, sabendo que 2,0 s após o lançamento temos 
= 53 | |0v v . (Despreze os efeitos do ar.)
 7. Um helicóptero voa horizontalmente com velocidade 
constante de módulo 180 km/h a uma altura de 80 m 
acima do teto de um automóvel, perseguindo o auto-
móvel que se move a 144 km/h. Num determinado 
instante, desprende-se do helicóptero um parafuso 
que acaba atingindo o automóvel. Determine o ângu-
lo θ no momento em que o parafuso se solta. (Adote 
g 5 10 m/s2.)
C
o
n
C
ei
to
g
rA
F
144 km/h
180 km/h
80 m
θ
 8. (OPF-SP) Esta questão se refere à figura abaixo.
C
o
n
C
ei
to
g
rA
F
Sabe-se que não há atrito em qualquer parte do movi-
mento. Uma bola é solta a partir do repouso, sempre 
da mesma posição no plano inclinado. A bola rola 
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Volume 1
Capítulo 14
sobre o plano e sobre a mesa, caindo livremente, e 
um estudante, com uma cesta, recolhe-a sem deixar 
cair no chão. Ele posiciona a cesta como indica o 
desenho, e a bola cai exatamente em seu interior. A 
partir desse fato, ele garante que, se colocasse a cesta 
a uma distância horizontal 2d da mesa, seria necessá-
rio alterar também o valor de y. Qual das alternativas 
abaixo corresponde ao novo valor de y?
a) y
b) 2y
c) 3y
d) 4y
e) Impossível resolver o problema.
 9. Um indivíduo aponta sua espingarda para uma boli-
nha B, presa por um fio F a um suporte S, de modo 
que o cano da espingarda fique na horizontal. No 
exato instante em que a bola abandona o cano da 
espingarda, o fio F se parte e a bolinha cai. Adotando 
g 5 10 m/s2 e desprezando os efeitos do ar, determi-
ne a velocidade com que a bala abandona o cano da 
espingarda de modo que a bala atinja a bolinha no 
instante em que esta atinge o solo.
g F
B
S
80 cm
80 m
A
le
x
 A
rg
o
zi
n
o
 10. Uma superfície plana S está inclinada em relação ao 
solo, com ângulo de inclinação θ 5 64o. De um ponto 
O, situado 180 metros acima do solo, uma partícula 
é lançada com velocidade horizontal v0, cujo módulo 
é v0 5 15 m/s, conforme mostra a figura. Seja B o 
ponto onde a partícula atinge a superfície. Supondo 
g 5 10 m/s2 e desprezando os efeitos do ar, calcule a 
altura h do ponto B. (Se necessário, consulte a tabela 
trigonométrica neste CD.)
v0
g
10 m
180 m
h
A
B
D
S
O
θ
 11. (U. F. Viçosa-MG) Desprezada a resistência do ar, a 
opção que representa corretamente a(s) força(s) que 
atua(m) sobre uma bola de futebol após ter sido chu-
tada é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
le
tt
er
A
 S
tu
d
io
 12. (Mackenzie-SP) Um balão (aeróstato) sobe vertical-
mente com velocidade constante de 10 m ? s21. Ao 
atingir a altura de 40 m, seu piloto lança horizon-
talmente uma pedra com velocidade de 30 m ? s21. 
Adote g 5 10 m/s2. A distância da vertical, que passa 
pelo ponto de lançamento, ao ponto em que a pedra 
atinge o solo é:
a) 40 m
b) 80 m
c) 120 m
d) 240 m
e) 360 m
 13. Uma partícula é lançada de um ponto O situado 
80 m acima do solo, com velocidade v0 cujo módulo 
é 50 m/s e com ângulo de tiro θ (veja a figura). São 
dados: g 5 10 m/s2, sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80. 
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Volume 1
Capítulo 14
A partícula atinge um muro vertical situado a 280 m 
do ponto O. Determine a altura h do ponto B onde a 
partícula atinge o muro. (Despreze os efeitos do ar.)
280 m
80 m
h � ?
B
O θ
v0
 14. (E. E. Mauá-SP) Calcule a velocidade mínima com que 
o veículo M deve atingir o ponto A da rampa AO para 
não cair no rio. São dados:
sen 0,26; sen 0,04
cos 0,97; cos
2
2
θ θ
θ θ
5 5
5 0,94
g 9,8 m/s2
5
5




10 mA
M
O
B
5 mθ
lu
iz
 F
er
n
A
n
d
o
 r
u
Bi
o
 15. (I. E. Itajubá-MG) Um projétil de massa m é lançado 
com velocidade inicial v0 fazendo certo ângulo com a 
horizontal. A componente horizontal de sua veloci-
dade será, considerando h a altura máxima:
a) v0
b) 2v0
c) v 2gh0
2
d) 2v 2gh0
2
e) 2gh
 16. (UF-PR) Uma bola é lançada, a partir do solo, com uma 
velocidade cuja componente horizontal vale 45 m/s e 
cuja componente vertical vale 20 m/s. Determine sua 
velocidade 2 segundos após o lançamento. (Considere 
g 5 10 m/s2 e despreze a resistência do ar.)
 17. (Mackenzie-SP) Da aresta superior do tampo retan-
gular de uma mesa de 80 cm de altura, um pequeno 
corpo é disparado obliquamente, com velocidade 
inicial de módulo 5,00 m/s, conforme mostra a figura 
abaixo. O tampo da mesa é paralelo ao solo e o plano 
da trajetória descrita, perpendicular a ele.
Despreze a resistência do ar e considere: sen α 5 0,60; 
cos α 5 0,80; g 5 10 m/s2.
C
o
n
C
ei
to
g
rA
F
d
80 cm
α
v0
Sabendo que o corpo tangencia a aresta oposta, pode-
mos afirmar que a distância d é de:
a) 0,60 m c) 1,20 m e) 3,20 m
b) 0,80 m d) 1,60 m
 18. (AFA-SP) Uma bola de basquete descreve a trajetória 
mostrada na figura após ser arremessada por um jovem 
atleta que tenta bater um recorde de arremesso.
le
tt
er
A
 S
tu
d
io
2,0 m
5,0 m
x
A bola é lançada com uma velocidade de 10 m/s e, 
ao cair na cesta, sua componente horizontal vale 
6,0 m/s. Despreze a resistência do ar e considere 
g 5 10 m/s2. Pode-se afirmar que a distância hori-
zontal (x) percorrida pela bola desde o lançamento 
até cair na cesta, em metros, vale:
a) 3,0 b) 6,0 c) 4,8 d) 3,6
 19. (Cesgranrio-RJ) Um corpo é lançado da origem de um 
sistema cartesiano ortogonal, com velocidade v0, em 
uma direção que forma um ângulo θ com a horizon-
tal, θ π 0 2 . A trajetória descrita, em relação a 
um observador parado na origem, é uma parábola.
O alcance do lançamento é 10 m e a altura máxima 
atingida pelo corpo é 5,0 m.
v0
y (m)
5,0 10
5,0
0 x (m)
θ
Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se 
a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, determine 
a intensidade da velocidade de lançamento v0. Adote 
55 2,2.
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Volume 1
Capítulo 14
 20. (Mackenzie-SP) Seja T o tempo total de voo de um 
projétil disparado a 60º com a horizontal, e seja 
v0y  5 200 m/s o valor da componente vertical da 
velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar e 
considerando a aceleração da gravidade g 5 10 m/s2, 
os valores da componente vertical da velocidade nos 
instantes t 5 T e 5t T2 são, respectivamente:
a) zero; zero d) 200 m/s; 200 m/s
b) zero; 200 m/s e) 200 m/s; 100 m/s
c) 200 m/s; zero
 21. Na figura estão desenhados os vetores velocidade ins-
tantânea de uma partícula, nos instantes 0, 2 s, 4 s, 
6 s e 8s. Em qual das alternativas melhor se descreve 
o movimento da partícula?
t � 0
t � 2 s
t � 4 s
t � 6 s
t � 8 s
O
a) É um movimento retilíneo uniforme.
b) É um movimento retilíneo uniformemente variado.
c) É o movimento de um corpo lançado obliquamente.
d) É um movimento circular com velocidade angular 
constante.
 22. (Vunesp-SP) A atleta brasileira Daiane dos Santos 
teve seu salto “duplo twist carpado” analisado por 
pesquisadores do Laboratório de Biofísica da Escola 
de Educação Física da USP. Nesse estudo, verificou-se 
que, na última parte do salto, o seu centro de massa 
descreveu uma parábola, que a componente vertical 
da velocidade inicial da atleta foi de 5,2 m/s e que 
ela levou 1 s para percorrer uma distância horizontal 
de 1,3 m até atingir o chão.
Adotando g 5 10 m/s2, determine o ângulo inicial 
aproximado do salto.
α sen α cos α
15o 0,26 0,97
30o 0,50 0,87
45o 0,71 0,71
60o 0,87 0,50
75o 0,97 0,26
90o 1,00 0,00
 23. Um canhão dispara projéteis com velocidade v0, num 
local em que a aceleração da gravidade tem módulo 
g. Determine o ângulo de tiro θ para o qual o alcance 
horizontal é igual à altura máxima.
 24. Duas partículas, A e B, são lançadas simultaneamen-
te, de um mesmo ponto O do solo (suposto plano 
e horizontal), com velocidades vA e vB indicadas na 
figura (o eixo Ox é horizontal e o eixo Oy é perpen-
dicular ao solo). Desprezando a resistência do ar, 
podemos afirmar que:
vA vB
y
O x
a) ambas atingirão o solo no mesmo ponto.
b) ambas atingirão o solo no mesmo instante.
c) as alturas máximas atingidas por ambas serão 
diferentes.
d) o alcance da partícula A será maior que o alcance 
da partícula B.
e) elas atingirão suas alturas máximas em instantes 
diferentes.
 25. Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola 
parada de forma que ela alcance a maior distância 
possível. No chute, a bola atinge o campo a uma 
distância de 40 m. Despreze a resistência do ar e 
considere g 5 10 m/s2.
a) Qual o ângulo de tiro do chute do goleiro?
b) Qual a intensidade do vetor velocidade inicial da 
bola?
c) Qual a altura máxima atingida pela bola?
 26. Um canhão dispara projéteis com velocidade de 
módulo v0 e ângulo de tiro θ, tal que seu alcance 
horizontal seja máximo. Sabendo que os projéteis 
permanecem no ar durante 4,0 segundos e que 
g 5 10 m/s2, determine:
a) o valor de v0;
b) o alcance horizontal.
 27. (Vunesp-SP) Em uma partida de futebol, a bola é 
chutada a partir do solo descrevendo uma trajetória 
parabólica cuja altura máxima e o alcance atingido 
são, respectivamente, h e s. Desprezando o efeito do 
atrito do ar, a rotação da bola e sabendo que o ângulo 
de lançamento foi de 45o em relação ao solo horizon-
tal, calcule a razão s/h.
 28. (UF-RN) A experiência ilustrada na figura a seguir é 
realizada na superfície da Terra. Nessa experiência, 
uma pessoa lança uma pequena esfera no mesmo 
instante em que um objeto que estava preso no teto 
é liberado e cai livremente. A esfera, lançada com 
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Volume 1
Capítulo 14
velocidade v0, atinge o objeto após um tempo tg. 
Se repetirmos, agora, essa mesma experiência num 
ambiente hipotético, onde a aceleração local da gra-
vidade é nula, o tempo de colisão entre a esfera e o 
objeto será t0.
le
tt
er
A
 S
tu
d
io
d
h
esfera sendo 
lançada
objeto
Considerando desprezível a resistência do ar nessas 
experiências, pode-se afirmar que:
a) 5 5t t dv0 g 0
b) 5 5t t hv0 g 0
c) � �t t dv0 g 0
d) � �t t hv0 g 0
 29. De um ponto O situado 300 m acima do solo, lança-se 
horizontalmente uma partícula com velocidade vA. 
No mesmo instante, outra partícula é lançada verti-
calmente para cima, de um ponto O' situado no solo, 
com velocidade v0 cujo módulo é 50 m/s, conforme 
mostra a figura. Sabe-se que as partículas chocam-se 
em um ponto M. 
M
O
O'
300 m
120 m
v0
v'0
Adotando g 5 10 m/s2 e desprezando os efeitos do 
ar, calcule: 
a) o tempo decorrido desde o lançamento até o cho-
que das partículas;
b) a altura do ponto M;
c) o módulo de v0.
 30. (FAAP-SP) Uma partícula é lançada obliquamente 
num plano vertical da origem O de um referencial car-
tesiano Oxy com velocidade de módulo 10 m/s, a qual 
faz com o eixo Ox um ângulo de 60o. No mesmo ins-
tante, é lançada verticalmente para cima uma outra 
partícula do ponto (100; 40 3 ) onde as coordenadas 
são dadas em metros. Admitindo desprezíveis a resis-
tência do ar e a curvatura da superfície terrestre e 
considerando g 5 10 m/s2, determinar:
a) o tempo decorrido desde o instante dos lançamen-
tos até o instante do encontro;
b) o módulo da velocidade da partícula lançada ver-
ticalmente para que consiga encontrar a outra.
(Sugestão dos autores: Suponha que o eixo Ox seja para-
lelo ao solo e esteja a mais de 1 830 m acima do solo.)
 31. Para a situação da questão anterior, determine as 
coordenadas do ponto de encontro.
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Volume 1
Capítulo 15
CAPÍTULO 15 – Força de atrito
 1. Dois blocos, A e B, estão em repouso, encostados um 
no outro e apoiados sobre uma superfície plana hori-
zontal, numa região em que g 5 10 m/s². As massas 
de A e B são respectivamente iguais a 3,0 kg e 2,0 kg, 
e o coeficiente de atrito dinâmico entre cada bloco e 
a superfície horizontal é μd 5 0,40. A partir de certo 
instante, aplicam-se aos blocos as forças horizontais 
F1 e F2, conforme mostra a figura.
A B
F1 F2
Sendo 80 N e 30 N, respectivamente, os módulos de F1 
e F2, calcule, após iniciado o movimento, os módulos:
a) da força de atrito exercida sobre o bloco A;
b) da força de atrito exercida sobre o bloco B;
c) da aceleração dos blocos;
e) da força exercida pelo bloco A sobre o bloco B.
 2. (UF-PE) No sistema representado na figura abaixo, 
dois blocos têm massas iguais e estão ligados por 
um fio de massa desprezível. Na superfície do plano 
inclinado, o bloco desloca-se sem atrito. O coeficiente 
de atrito cinético entre o plano horizontal e o bloco 
é 0,4, e o atrito na roldana da corda, desprezível.
30º
M
A
RC
O
 A
. S
IS
M
O
TT
O
Sendo g 5 10 m/s², a aceleração de cada bloco vale, 
em m/s²:
a) 5 d) 0,4
b) 10 e) 0,87
c) 0,5
 3. (Cefet-PR) Uma pessoa puxa, com velocidade cons-
tante, uma caixa de peso P sobre uma superfície 
horizontal, como indica a figura a seguir.
LE
TT
ER
A
 S
Tu
D
IO
F
θ
Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre a 
caixa e a superfície é μ, o módulo da força F exercida 
pela pessoa é dado por:
a) F 5 μ(P  μ  sen θ)
b) F P senP cos
θ
µ θ�
�
� �
c) F P cos sen( )µθ µ θ� � �
d) F sen cosP
θ µ θ
�
� �
e) F 5 P(μ  cos θ  sen θ)
 4. O sistema esquematizado na figura é abandonado em 
repouso. 
B
A g MA
RC
O
 A
. S
IS
M
O
TT
O
A massa de A é 6,0 kg, a massa de B é 8,0 kg, os fios 
e as polias são ideais, g 5 10 m/s² e o coeficiente 
de atrito entre A e a superfície horizontal é 0,40. 
Determine:
a) a aceleração de A;
b) a aceleração de B;
c) a tração no fio ligado a A.
 5. (UFF-RJ) Um pano de prato retangular, com 60 cm 
de comprimento e constituição homogênea, está em 
repouso sobre uma mesa, parte sobre sua superfície, 
horizontal e fina, e parte pendente, como mostra a 
figura. 
C
O
N
C
EI
TO
G
RA
F
�
Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre 
a superfície da mesa e o pano é igual a 0,50 e que o 
pano está na iminência de deslizar, pode-se afirmar 
que o comprimento � da parte sobre a mesa é:
a) 40 cm c) 15 cm e)30 cm
b) 20 cm d) 60 cm
M
A
RC
O
 A
. S
IS
M
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Volume 1
Capítulo 15
 6. O sistema esquematizado na figura é abandonado 
em repouso. O fio e a polia são ideais, a massa de A 
é 6,0 kg, a massa de B é 4,0 kg e o coeficiente de 
atrito entre B e o plano inclinado é 0,05. São dados: 
g 5 10 m/s², sen θ 5 0,60, cos θ 5 0,80. 
AB
θ
g
Determine:
a) o módulo da aceleração de cada bloco;
b) a tração no fio.
 7. (Cesesp-PE) Dois blocos de massa M1 e M2 são ligados 
por uma corda leve e inextensível que passa por um 
pino fixo e liso, conforme mostra a figura. O coefi-
ciente de atrito estático entre o bloco 2 e a mesa 
horizontal é μ. 
M
2
M
1
Se M2 5 4M1, o menor valor possível de μ para que os 
blocos não entrem em movimento deve ser:
a) 4,50
b) 0,45
c) 0,20
d) 0,65
e) 0,25
 8. Um bloco A, de massa 4,0 kg, está sobre um bloco 
B, de massa 8,0 kg, o qual está sobre uma superfície 
plana horizontal, sem atrito, numa região em que 
g 5 10 m/s². O coeficiente de atrito estático entre 
o bloco A e o bloco B é μe 5 0,20. Calcule a máxima 
intensidade de uma força horizontal F que pode ser 
aplicada sobre o bloco A, de modo que o conjunto se 
mova sem que A escorregue sobre B.
A
B
F
 9. (PUC-SP) No sistema representado na figura, as polias 
e os fios são ideais, o peso de A é 20 N e o peso de B 
é 10 N. O coeficiente de atrito entre A e a superfície 
horizontal é igual a 0,2. 
C
A
B
g
Para que o sistema fique em equilíbrio, o peso de C 
deve ficar no intervalo:
a) 3 N a 5 N d) 12 N a 28 N
b) 6 N a 8 N e) 30 N a 45 N
c) 8,5 N a 11 N
 10. (Fuvest-SP) Um bloco de massa m, montado sobre 
rodas (para tornar o atrito desprezível), parte do 
repouso em A e leva um tempo t0 para atingir B. A 
massa das rodas é desprezível. Retirando-se as rodas, 
verifica-se que o bloco, partindo do repouso em A, 
leva um tempo 2t0 para atingir B.
g A
B α
h
a) Determine o valor de t0.
b) Determine o valor do coeficiente de atrito entre o 
plano e o bloco (sem rodas), em função de α.
 11. Sobre um plano inclinado são abandonados dois blo-
cos, A e B, ligados por um fio ideal, como mostra a 
figura. As massas de A e B são respectivamente iguais 
a 4,0 kg e 6,0 kg. Os coeficientes de atrito dinâmico 
entre os blocos A e B e o plano inclinado são, respec-
tivamente, μA 5 0,25 e μB 5 0,50. 
IL
u
ST
RA
ç
õ
ES
: M
A
RC
O
 A
. S
IS
M
O
TT
O
A sen θ � 0,60
cos θ � 0,80
B
θ
Sabendo que g 5 10 m/s², calcule:
a) o módulo da aceleração do conjunto;
b) o módulo da tração no fio.
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Volume 1
Capítulo 15
 12. Considere a situação do exercício anterior. Calcule a 
intensidade da tração no fio, supondo μA 5 μB 5 0,50.
 13. Os blocos B e C estão inicialmente em repouso apoia-
dos sobre a superfície horizontal S. A massa de B é 
10 kg, a massa de C é 5,0 kg, o coeficiente de atrito 
entre C e B é 0,20, o coeficiente de atrito entre B e S 
é 0,05 e g 5 10 m/s². Aplicamos sobre o bloco C uma 
força horizontal F, de intensidade 5,0 N.
C
B
S
F
a) O bloco C deslizará sobre B?
b) O bloco B deslizará sobre S?
 14. No sistema representado na figura, o fio e a polia são 
ideais e a massa do bloco A é 20 kg. Adote g 5 10 m/s², 
suponha que o coeficiente de atrito estático entre o bloco 
A e o plano inclinado é μ 5 0,25 e admita que o sistema 
tenha sido abandonado em repouso.
BA
sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80
θ
a) Determine os valores da massa de B para os quais 
o sistema permanece em repouso.
b) Para que valor da massa de B a força de atrito 
entre o bloco A e o plano inclinado é nula?
 15. Um bloco A, de massa m 5 10 kg, está sobre um 
carro B, o qual desce por uma rampa sem atrito, como 
mostra a figura, sem que A escorregue sobre B. São 
dados: g 5 10 m/s², sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80. 
Calcule as intensidades da força normal e da força de 
atrito exercidas pelo carro sobre o bloco A.
IL
u
ST
RA
ç
õ
ES
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A
RC
O
 A
. S
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M
O
TT
O
B
A
θ
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Volume 1
Capítulo 18
CAPÍTULO 18 – Trabalho e energia cinética
 1. Um corpo de massa 2,0 kg move-se sobre uma super-
fície horizontal cujo coeficiente de atrito é μ. Sob 
o corpo atua uma força horizontal que varia com a 
posição do corpo, como indica o gráfico abaixo:
F
v
10 110 x (m)
F (N)
5
10 110
25
0 x (m)
Quando o corpo se encontrava na posição x1 5 10 m, sua 
velocidade escalar era 10 m/s e, na posição x2 5 110 m, 
era 20 m/s. Pode-se afirmar que o coeficiente de atrito 
μ vale:
a) 0,175 d) 0,75
b) 0,275 e) 0,85
c) 1,75
 2. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um corpo de massa 0,20 kg 
escorrega pela pista em forma de arco de circunferência 
de raio R 5 4,0 m, partindo do repouso no ponto A.
R
g
R
A
B
30°
Ao passar pelo ponto mais baixo B, sua velocidade é 
de 6,0 m/s. No trecho AB o trabalho das forças resis-
tentes ao movimento é, em joules,
a) 21,6 d) 20,20
b) 20,80 e) 20,10
c) 20,40
 3. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um bloco desliza, a partir 
do repouso no ponto A, ao longo de uma pista ABC 
sem atrito, e depois passa pela região horizontal CD, 
onde fica sujeito a uma força de atrito de coeficiente 
0,50 entre as superfícies de contato.
y (m)
2,0
B
C
A
D
6,0
0 x
A distância percorrida pelo bloco, desde o ponto C até 
parar, vale, em metros,
a) 12 d) 4,0
b) 8,0 e) 2,0
c) 6,0
 4. (ITA-SP) O arranjo de polias da figura é preso ao teto 
para erguer uma massa de 24 kg, sendo os fios inexten-
síveis e desprezíveis as massas das polias e dos fios.
24 kg
F
M
a
rc
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
Desprezando os atritos, determine:
a) o valor do módulo da força F necessário para equi-
librar o sistema;
b) o valor do módulo da força F necessário para 
erguer a massa com velocidade constante;
c) a força (F ) que realiza maior trabalho, em módu-
lo, durante o tempo T em que a massa está sendo 
erguida com velocidade constante.
 5. (U. F. São Carlos-SP) Para a coleta de entulho de cons-
trução, tornou-se comum o uso de caçambas.
c
o
n
c
ei
to
g
ra
f
Suponha que uma dessas caçambas cheia de entu-
lho tenha massa total de 5,0 toneladas. Atrelada 
ao braço do guindaste, este necessita de 40 s para 
posicionar a caçamba sobre o caminhão, a 80 cm do 
solo. Admitindo-se que a aceleração da gravidade tem 
módulo igual a 10 m/s2, a potência, em W, necessária 
para que o guindaste leve a caçamba do solo para sua 
posição sobre o caminhão vale:
a) 6,0 ? 102 d) 1,2 ? 103
b) 8,0 ? 102 e) 2,0 ? 103
c) 1,0 ? 103
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Volume 1
Capítulo 18
 6. No esquema temos uma mola helicoidal vertical, 
com a base fixada no solo. Uma pequena esfera de 
massa m 5 2,0 kg é abandonada, a partir do repou-
so, da posição de 2,0 m acima da mola, como mostra 
a figura. 
2,0 m
g
Lu
iz
 f
er
n
a
n
d
o
 r
u
bi
o
No local, a gravidade tem módulo g 5 10 m/s2 e a 
mola tem constante elásticak 5 2,0 ? 102 N/m e é 
considerada ideal. Determine:
a) a deformação na mola quando a bolinha atingir 
sua máxima velocidade;
b) a máxima deformação na mola.
 7. (ITA-SP) Um corpo movimenta-se numa superfície 
horizontal sem atrito, a partir do repouso, devido à 
ação contínua de um dispositivo que lhe fornece uma 
potência mecânica constante. Sendo v sua velocidade 
após certo tempo t, pode-se afirmar que:
a) a aceleração do corpo é constante.
b) a distância percorrida é proporcional a v2.
c) o quadrado da velocidade é proporcional a t.
d) a força que atua sobre o corpo é proporcional a t .
e) a taxa de variação temporal da energia cinética 
não é constante.
 8. (Fuvest-SP) A usina hidrelétrica de Itaipu possui 
20 turbinas, cada uma fornecendo uma potência elé-
trica útil de 680 MW, a partir de um desnível de água 
de 120 m. No complexo, construído no rio Paraná, as 
águas da represa passam em cada turbina com vazão 
de 600 m3/s.
a) Estime o número de domicílios, N, que deixariam 
de ser atendidos se, pela queda de um raio, uma 
dessas turbinas interrompesse sua operação entre 
17 h 30 min e 20 h 30 min, considerando que o 
consumo médio de energia, por domicílio, nesse 
período, seja de 4 kWh.
b) Estime a massa M, em kg, de água do rio que entra 
em cada turbina, a cada segundo.
c) Estime a potência mecânica da água P, em MW, 
em cada turbina.
NOTE E ADOTE:
Densidade da água 5 103 kg/m3
1 MW 5 1 megawatt 5 106 W
1 kWh 5 1 000 W ? 3 600 s 5 3,6 ? 106 J
Os valores mencionados foram aproximados 
para facilitar os cálculos.
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Volume 1
Capítulo 19
CAPÍTULO 19 – Energia e potência
 1. (Fuvest-SP)
C
o
n
C
ei
to
g
ra
f
Um pequeno cata-vento do tipo Savonius, como o 
esquematizado na figura, acoplado a uma bomba 
d’água, é utilizado em uma propriedade rural. A potên-
cia útil P (W) desse sistema para bombeamento de água 
pode ser obtida pela expressão P 5 0,1 ∙ A ∙ v3, em que 
A (m2) é a área total das pás do cata-vento e v (m/s), 
a velocidade do vento. Considerando um cata-vento 
com área total das pás de 2 m2, velocidade do vento de 
5 m/s e água sendo elevada de 7,5 m na vertical, calcule:
a) a potência útil P do sistema;
b) a energia E necessária para elevar 1 L de água;
c) o volume V1 de água bombeado por segundo;
d) o volume V2 de água, bombeado por segundo, se a 
velocidade do vento cair pela metade.
NOTE E ADOTE
Densidade da água 5 1 g/cm3.
Aceleração da gravidade g 5 10 m/s2.
 2. (ITA-SP) Um pêndulo, composto de uma massa M 
fixada na extremidade de um fio inextensível de 
comprimento L, é solto de uma posição horizontal.
Em dado momento do movimento circular, o fio é 
interceptado por uma barra metálica de diâmetro 
desprezível, que se encontra a uma distância x na 
vertical abaixo do ponto O. Em consequência, a massa 
M passa a se movimentar num círculo de raio L 2 x, 
conforme mostra a figura.
OL
x
L � x
g
Determine a faixa de valores de x para os quais a 
massa do pêndulo alcance o ponto mais alto deste 
novo círculo.
 3. (IME-RJ) Um bloco de 4 kg e velocidade inicial de 
2 m/s percorre 70 cm em uma superfície horizontal 
rugosa até atingir uma mola de constante elástica 
200 N/m. A aceleração da gravidade é 10 m/s2 e o 
bloco comprime 10 cm da mola até que sua velocida-
de se anule.
Admitindo que durante o processo de compressão da 
mola o bloco desliza sem atrito, o valor do coeficiente 
de atrito da superfície rugosa é:
a) 0,15
b) 0,20
c) 0,25
d) 0,30
e) 0,35
 4. (UF-PE) Um objeto de 2,0 kg é lançado a partir do 
solo na direção vertical com uma velocidade inicial 
tal que o mesmo alcança a altura máxima de 100 m. 
O gráfico mostra a dependência da força de atrito Fa, 
entre o objeto e o meio, com a altura. Determine a 
velocidade inicial do objeto, em m/s.
fo
rç
a 
d
e 
at
ri
to
 F
a 
 (N
)
20 40 60 80 100
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0
altura h (m)
 5. (UE-CE) Um carrinho de montanha-russa tem veloci-
dade igual a zero na posição 1, indicada na figura, e 
desliza no trilho, sem atrito, completando o círculo 
até a posição 3.
h
1
2
3
R � 24 m
v � 0
g
A menor altura h, em metros, para o carro iniciar o 
movimento sem que venha a sair do trilho na posição 
2 é:
a) 36 m
b) 48 m
c) 60 m
d) 72 m
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Os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste CD são PARTE 
INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
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Volume 1
Capítulo 19
 6. (UF-PB) Uma esfera metálica está suspensa por um 
fio com massa desprezível. A esfera, inicialmente em 
repouso, é largada de uma posição em que o fio faz 
um ângulo de 60° com a vertical, conforme a figura.
60°
g
Considerando que o fio tem 0,4 m de comprimento, 
conclui-se que a esfera atinge o ponto mais baixo de 
sua trajetória com uma velocidade de:
a) 6 m/s c) 1 m/s e) 3 m/s
b) 4 m/s d) 2 m/s
 7. (AFA-SP) A figura representa uma pista pertencente ao 
plano vertical. O raio R da parte circular vale 4,0 m. 
Um corpo parte do repouso no ponto A. 
B A
R
g
Desprezando-se o atrito e a resistência do ar, ado-
tando-se g 5 10 m/s2 e considerando-se que, em 
B, a força que comprime o móvel contra a pista tem 
intensidade igual a 14 da de seu peso, pode-se afir-
mar que o módulo de sua velocidade em B vale, em 
m/s, aproximadamente:
a) 7,1 b) 3,2 c) 5,5 d) 6,3
 8. (ITA-SP) No plano inclinado, o corpo de massa m 
é preso a uma mola de constante elástica k, sendo 
barrado à frente por um anteparo. Com a mola no seu 
comprimento natural, o anteparo, de alguma forma, 
inicia seu movimento de descida com uma aceleração 
constante a. Durante parte dessa descida, o antepa-
ro mantém contato com o corpo, dele se separando 
somente após um certo tempo.
Lu
iz
 f
er
n
a
n
d
o
 r
u
bi
o
α
m
k
anteparo
g
Desconsiderando quaisquer atritos, podemos afirmar 
que a variação máxima do comprimento da mola é 
dada por:
a) 
[mg sen m a(2g sen a)]
k
α α� �
b) 
[mg cos m a(2g cos a)]
k
α α� �
c) 
[mg sen m a(2g sen a)]
k
α α� �
d) 
m(g sen a)
k
α �
e) mg sen
k
α
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Volume 1
Capítulo 20
CAPÍTULO 20 – Quantidade de movimento e impulso
 1. (Cefet-PR) Analise as afirmativas a seguir com relação 
a um corpo de massa (m), percorrendo uma circunfe-
rência de raio (R), com movimento uniforme.
 I. O corpo possui aceleração de módulo constante e 
diferente de zero.
 II. A quantidade de movimento do corpo é constante 
durante todo o movimento.
 III. A energia cinética permanece constante durante 
todo o movimento.
Sobre elas, podemos concluir que:
a) Somente as afirmativas I e II são corretas.
b) Somente as afirmativas I e III são corretas.
c) Somente as afirmativas II e III são corretas.
d) Todas as afirmativas são corretas.
e) Todas as afirmativas são incorretas.
 2. Uma partícula tem energia cinética E e momento 
linear cujo módulo é Q. Sendo v o módulo da veloci-
dade da partícula, podemos afirmar que:
a) v 2EQ� d) v
2Q
E�
b) v E2Q� e) v
QE
2�
c) v Q2E�
 3. Sejam m, v, E e Q, respectivamente, as medidas no 
Sistema Internacional de unidades da massa, da velo-
cidade, da energia cinética e da quantidade de movi-
mento de uma partícula, num dado instante. Dentre 
as várias relações entre essas medidas, apresentadas 
nas alternativas, a correta é:
a) Qm2E
2
� d) 2Q2 5 mE
b) Qv 5 E e) 2Qv 5 E
c) Qm E
2
�
 4. (UE-RJ) Na rampa de saída de um supermercado, 
uma pessoa abandona, no instante t 5 0, um 
carrinho de compras de massa 5,0 kg, que adqui-
re aceleração constante. Considere cada um dos 
três primeiros intervalos de tempo do movimento, 
iguais a 1,0 s. No primeiro e no segundo intervalo 
de tempo, o carrinho percorre, respectivamente, 
0,5 m e 1,5 m. Calcule:
a) a distância percorrida pelo carrinho no terceiro 
intervalo de tempo;
b) o módulo do momento linear do carrinho no ins-
tante t 5 3,0 s.
 5. (Unifor-CE) O chute em uma bola é uma interação que 
ocorre durante um intervalo de tempo muito peque-
no. Ao cobrar uma falta, o pé do Ronaldinho Gaúcho 
exerce uma força sobre a bola que é representada no 
gráfico abaixo.
F (N)
1
1 2
2
3
0 t (ms)
O impulso sofrido pela bola no intervalo de 0 a 2 ms 
tem módulo igual a:
a) 0,001 kg ∙ m/s d) 0,004 kg ∙ m/s
b) 0,002 kg ∙ m/s e) 0,005 kg ∙ m/s
c) 0,003 kg ∙ m/s
 6. (Unifesp-SP) Uma menina deixa cair uma bolinha de 
massa de modelar que se choca verticalmente com 
o chão e para; a bolinha tem massa 10 g e atinge o 
chão com velocidade de 3,0 m/s. Pode-se afirmar que 
o impulso exercido pelo chão sobre essa bolinha é 
vertical, tem sentido para:
a) cima e módulo 3,0 ? 1022 N ? s.
b) baixo e módulo 3,0 ? 1022 N ? s.
c) cima e módulo 6,0 ? 1022 N ? s.
d) baixo e módulo 6,0 ? 1022 N ? s.
e) cima e módulo igual a zero.
 7. Uma bola de futebol, de massa 0,30 kg, é abandonada 
de uma certa altura, atingindo o solo com velocidade 
v1 (figura a), tal que v1 5 10 m/s. Após um curto 
intervalo de tempo Dt 5 0,1 s (durante o qual ocorre 
a colisão), a bola abandona o solo com velocidade v2 
(figura b), cujo módulo é 8,0 m/s.
v2
v1
g
 Figura a. Figura b.
a) Calcule o impulso da resultante das forças que 
atuam na bola durante a colisão.
b) Supondo g 5 10 m/s2, calcule o impulso do peso 
da bola durante a colisão.
c) Calcule o impulso da força que o solo exerce na 
bola durante a colisão.
d) Calcule o valor médio da força que o solo exerce 
na bola durante a colisão.
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Volume 1
Capítulo 20
 8. (UFF-RJ) Duas bolas de mesma massa, uma feita 
de borracha e outra feita de massa de modelar, são 
largadas de uma mesma altura. A bola de borracha 
bate no solo e retorna a uma fração de sua altura 
inicial, enquanto a bola feita de massa de mode-
lar bate e fica grudada no solo. Assinale a opção 
que descreve as relações entre as intensidades dos 
impulsos IB e IM exercidos, respectivamente, pelas 
bolas de borracha e de massa de modelar sobre o 
solo, e entre as respectivas variações de energias 
cinéticas DEB e DEM das bolas de borracha e de 
massa de modelar devido às colisões, desprezando 
os impulsos dos pesos:
a) IB , IM e DEB . DEM
b) IB , IM e DEB , DEM
c) IB . IM e DEB . DEM
d) IB , IM e DEB , DEM
e) IB 5 IM e DEB , DEC
 9. (UF-PA) Considere um balanço de comprimento L, 
bem mais leve do que uma criança de massa M, e 
um pai que a empurra, soltando o balanço, como é 
comum, na vertical, sua posição mais baixa. Sendo g 
o módulo da aceleração gravitacional, a intensidade 
do impulso que ele deve dar para que a criança se 
eleve até uma inclinação α, como está ilustrado a 
seguir, será expressa por:
a) αM gL sen
b) 2M (1 cos ) gL� α
c) M 2gL(1 – cos )α
d) M sen gLα
e) αM gL(3 2 cos )�
Le
tt
er
a
 S
tu
d
io
a
 10. Na figura representamos um automóvel de massa 
1 000 kg que inicialmente se move ao longo da rua R 
com velocidade de v1. Ao chegar a uma esquina, ele 
faz a curva e entra na rua S com velocidade v2, sendo 
|v1| 5 15 m/s e |v2| 5 10 m/s.
C
o
n
C
ei
to
g
ra
f
S
R
v2
v1
a) Determine a variação da quantidade de movimen-
to do automóvel ao fazer a curva.
b) Determine o valor médio da resultante das forças 
que atuam no automóvel durante a curva, supon-
do que esta tenha sido feita em 1,2 s.
 11. (U. F. Uberlândia-MG) Um corpo de 10,0 kg desloca- 
se em uma trajetória retilínea, horizontal, com uma 
velocidade de módulo 3,0 m/s, quando passa a atuar 
sobre ele uma força resultante F, cujo módulo varia 
de acordo com o gráfico, formando um ângulo reto 
com a direção inicial do movimento. Se F é a única 
força que atua sobre o corpo e se sua direção e sen-
tido permanecem constantes, analise as seguintes 
afirmações e responda de acordo com o código que 
se segue.
F (N)
4,0 6,0
10,0
0
t (s)
 I. A energia cinética do corpo no instante t 5 6,0 s 
é de 125 J.
 II. O trabalho realizado pela força F no intervalo 
entre t 5 0 e t 5 6,0 s vale 80,0 J.
 III. A quantidade de movimento do corpo no instante 
t 5 6,0 s tem módulo igual a 70,0 kg ∙ m/s.
a) Apenas I e II são corretas.
b) Apenas I é correta.
c) Apenas II e III são corretas.
d) Apenas I e III são corretas.
e) I, II e III são corretas.
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Capítulo 20
 12. (Unifesp-SP) Uma xícara vazia cai de cima da mesa 
de uma cozinha e quebra ao chocar-se com o piso 
rígido. Se essa mesma xícara caísse, da mesma altu-
ra, da mesa da sala e, ao atingir o piso, se chocasse 
com um tapete felpudo, ela não se quebraria. Adote 
g 5 10 m/s2.
a) Por que no choque com piso rígido a xícara se que-
bra e no choque com o piso fofo (do tapete) não?
b) Suponha que a xícara caia sobre o tapete e pare, 
sem quebrar. Admita que a massa da xícara seja 
0,10 kg, que ela atinja o solo com a velocidade de 
2,0 m/s e que o tempo de interação do choque 
seja de 0,50 s. Qual será a intensidade média da 
força exercida pelo tapete sobre a xícara? Qual 
seria essa força, se o tempo de interação fosse 
0,010 s?
 13. (UF-PA) Um vaso de flores caiu da janela de um 
apartamento, no alto de um edifício de quatro anda-
res, espatifando-se na calçada. Nos comentários dos 
transeuntes que passavam pelo local, sobre o perigo 
do fato, as observações eram de que, pela altura da 
queda, o vaso teria chegado ao solo com seu peso 
bastante aumentado. Com base na relação entre os 
conceitos de Impulso e Quantidade de Movimento, 
analise as afirmativas seguintes:
 I. O peso do vaso aumenta na razão direta da altura 
de queda.
 II. O vaso chegou ao solo com o mesmo peso.
 III. No choque, o impulso do solo sobre o vaso ocorre 
num tempo muito pequeno e, consequentemente, 
a força reativa é elevada, o que resulta na quebra 
do vaso.
 IV. A força reativa do solo não depende do tempo de 
impacto.
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) I e II 
b) II e III 
c) I e III
d) II e IV
e) I e IV
 14. (UF-RN) Alguns automóveis dispõem de um eficiente 
sistema de proteção para o motorista, que consiste de 
uma bolsa inflável de ar. Essa bolsa é automaticamen-
te inflada, do centro do volante, quando o automóvel 
sofre uma desaceleração súbita, de modo que a cabeça 
e o tórax do motorista, em vez de colidirem com o 
volante, colidem com a bolsa. A figura a seguir mos-
tra dois gráficos da variação temporal da força que 
age sobre a cabeça de um boneco que foi colocado no 
lugar do motorista. Os dois gráficos foram registrados 
em duas colisões de testes de segurança. A única 
diferença entre essas colisões é que, na colisão I, se 
usou a bolsa e, na colisão II, ela não foi usada.
F (N)
200
1 2 3 4
400
600
800
0
t (s)
II (sem a bolsa de ar)
I (com a bolsa de ar)
Da análise desses gráficos, conclui-se que a explica-
ção para o sucesso da bolsa como equipamento de 
proteção é:
a) A bolsa diminuio intervalo de tempo da desa-
celeração da cabeça do motorista, diminuindo, 
portanto, a força média que atua sobre a cabeça.
b) A bolsa aumenta o intervalo de tempo da desa-
celeração da cabeça do motorista, diminuindo, 
portanto, a força máxima que atua sobre a cabeça.
c) A bolsa diminui o impulso total transferido para 
a cabeça do motorista, diminuindo, portanto, a 
força máxima que atua sobre a cabeça.
d) A bolsa diminui a variação total de momento line-
ar transferida para a cabeça do motorista, dimi-
nuindo, portanto, a força média que atua sobre a 
cabeça.
e) Com a bolsa ou sem a bolsa, a intensidade da força 
média que atua sobre a cabeça é a mesma, porém, 
com a bolsa o impulso aplicado na cabeça é menor.
 15. (UF-SC) Dois patinadores, um homem e um menino, 
de massas respectivamente iguais a 60 kg e 30 kg, 
estão de pé, de frente um para o outro, em repouso, 
sobre uma superfície de gelo, lisa, plana e horizon-
tal. Quando um empurra o outro, o homem adquire 
velocidade de módulo 0,3 m/s em relação ao gelo.
Le
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 S
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Volume 1
Capítulo 20
Considerando desprezível o atrito entre os patins 
dos patinadores e o gelo, verifique quais das pro-
posições a seguir são corretas e dê como resposta 
a soma dos números que antecedem as proposições 
corretas.
(01) A distância entre os patinadores, 2,0 s após se 
separarem, é 1,8 m.
(02) A energia mecânica do sistema homem-menino 
se conserva.
(04) As forças que o homem e o menino fazem um 
sobre o outro são conservativas.
(08) A força externa resultante sobre o sistema 
homem-menino é nula.
(16) Como a massa do homem é maior que a do meni-
no, a quantidade de movimento do sistema tem 
o mesmo sentido que a quantidade de movimen-
tos do homem.
(32) As forças internas que atuam no sistema homem- 
menino não alteram a quantidade de movimento 
total do sistema.
 16. (Vunesp-SP) Uma garota e um rapaz, de massas 50 kg 
e 75 kg, respectivamente, encontram-se parados em 
pé, sobre patins, um em frente ao outro, num assoalho 
plano e horizontal. Subitamente, a garota empurra 
o rapaz aplicando sobre ele uma força horizontal de 
intensidade média 60 N durante 0,50 s.
a) Qual o módulo do impulso da força aplicada pela 
garota?
b) Desprezando-se quaisquer forças externas, quais 
os módulos das velocidades da garota e do rapaz 
depois da interação?
 17. Um foguete de massa 800 000 kg está inicialmente 
em repouso em relação ao Sol, numa região do espa-
ço longe da Terra (figura a). O foguete lança, então, 
num curto intervalo de tempo, um jato de gás (figura 
b) de massa 10 000 kg e cuja velocidade é 2 000 m/s. 
C
o
n
C
ei
to
g
ra
f
Figura a.
Figura b.
Calcule:
a) a massa do foguete após o lançamento do gás;
b) a velocidade do foguete após o lançamento do jato 
de gás.
 18. (Fuvest-SP) Num espetáculo de fogos de artifício, um 
rojão, de massa m0 5 0,5 kg, após seu lançamento, 
descreve no céu a trajetória indicada na figura.
y (m)
10
10 20 30 40 50 60 70 80
20
30
40
50
60
0
x (m)
g
P
No ponto mais alto de sua trajetória (ponto P), o 
rojão explode, dividindo-se em dois fragmentos, A e 
B, de massas iguais a 
m
2
0 . Logo após a explosão, a 
velocidade horizontal de A, vA, é nula, bem como sua 
velocidade vertical. A massa do explosivo pode ser 
considerada desprezível. Adote g 5 10 m/s2.
a) Determine o intervalo de tempo t0, e m segundos, 
transcorrido entre o lançamento do rojão e a 
explosão no ponto P.
b) Determine a velocidade horizontal vB, do fragmen-
to B, logo após a explosão, em m/s.
c) Considerando apenas o que ocorre no momento da 
explosão, determine a energia E0 fornecida pelo 
explosivo aos dois fragmentos A e B, em joules.
 19. (UF-PE) Um rapaz de 59,0 kg está parado sobre um 
par de patins no instante em que ele pega um paco-
te de 1,0 kg que foi jogado em sua direção. Depois 
de apanhar o pacote, o rapaz recua com velocidade 
0,3 m/s. Qual a velocidade horizontal do pacote, 
em m/s, imediatamente antes de ele ser apanhado? 
Despreze o atrito do solo com os patins.
 20. Uma bola abandonada de certa altura tem sua quan-
tidade de movimento alterada durante a colisão com 
o solo. Mas a quantidade de movimento não deveria 
se conservar?
 21. (UF-ES) Um pequeno vagão de massa M trafega com 
velocidade constante v0 numa trajetória reta e horizontal 
entre um alto-forno e um depósito. No caminho, uma 
pedra de massa m cai verticalmente dentro do vagão.
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
M
m
v0
⇓
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Capítulo 20
Após a pedra ter caído, desprezando-se o atrito, a 
nova velocidade do conjunto é:
a) )(1 mM 0v�
b) )(1 mM 0v�
c) MM m 0�( ) v
d) )(1 mM
1
0v�
�
e) )(1 Mm 0v�
 22. (Unicamp-SP) No episódio II do filme Guerra nas 
Estrelas, um personagem mergulha em queda livre, 
caindo em uma nave que se deslocava horizontalmen-
te a 100 m/s com os motores ligados. O personagem 
resgatado chegou à nave com uma velocidade de 
6 m/s na vertical. Considere que a massa da nave é 
de 650 kg, a do personagem resgatado de 80 kg e a 
do piloto de 70 kg.
a) Quais as componentes horizontal e vertical da 
velocidade da nave imediatamente após o resgate?
b) Qual foi a variação da energia cinética total nesse 
resgate?
 23. (UF-PB) Há 67 anos, lamentavelmente, foi lançada 
sobre Hiroshima uma bomba atômica cujo princípio 
físico é o da fissão nuclear. Nesse processo, um núcleo 
atômico pesado divide-se em núcleos menores libe-
rando grande quantidade de energia. Suponha que 
o núcleo de um determinado átomo parte-se em três 
pedaços de mesma massa movendo-se com velocida-
des iguais em módulo (v1 5 v2 5 v3 5 v) nas direções 
indicadas na figura.
v3v0
v2
v1
Considere a massa total após a divisão igual à massa 
inicial.
A velocidade v0 do núcleo antes da divisão tem módu-
lo igual a:
a) 3v c) v e) v
3
b) 2v d) v2
 24. (Fuvest-SP) A partícula neutra conhecida como 
méson K 0 é instável e decai, emitindo duas partícu-
las, com massas iguais, uma positiva e outra negati-
va, chamadas, respectivamente, méson π1 e méson 
π2. Em um experimento, foi observado o decaimento 
de um K 0, em repouso, com emissão do par π1 e 
π2. Das figuras a seguir, qual poderia representar as 
direções e sentidos das velocidades das partículas π1 
e π2 no sistema de referência em que o K 0 estava em 
repouso?
a) d) 
b) e) 
c) 
 25. (FEI-SP) Uma partícula de massa m 5 10 kg e veloci-
dade constante |v1| 5 20 m/s choca-se com o antepa-
ro no ponto A, passando a ter a velocidade constante 
|v2| 5 20 m/s. Sendo α
π
6 rad� e sabendo-se que o 
contato da partícula com o anteparo durou 10 s, qual 
a força média F que a partícula aplicou ao anteparo?
α α
v1
A
v2
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Volume 1
Capítulo 21
CAPÍTULO 21 – Colisões
 1. Um projétil de massa 20,0 gramas e velocidade hori-
zontal v 5 400 m/s atinge um bloco de madeira de 
massa M 5 9,98 kg, inicialmente em repouso e preso 
por fios ideais a um suporte, como ilustra a figura. 
v
M
m
M
a
rc
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
Sendo g 5 10 m/s2, sabendo que o projétil fica 
incrustado no bloco, calcule:
a) a velocidade do conjuntobloco 1 projétil logo 
após o impacto;
b) a altura máxima atingida pelo conjunto, em rela-
ção à posição inicial.
 2. Imagine que um corpo A de massa mA 5 2,0 kg é 
lançado com velocidade v0 5 4 m/s num plano hori-
zontal liso, colidindo com uma esfera B de massa 
mB 5 5,0 kg. A esfera, inicialmente parada e suspen-
sa por um fio flexível e inextensível de comprimento 
L e fixo em O, atinge a altura hB 5 0,20 m após a 
colisão. Dado: g 5 10 m/s2.
M
a
rc
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
L
hBmB
mA
B
O
v0
A
g
a) Qual a velocidade vB da esfera B imediatamente 
após a colisão?
b) Qual o módulo e o sentido da velocidade vA do 
corpo A após a colisão?
 3. (Unifesp-SP) No quadriculado da figura estão repre-
sentados, em sequência, os vetores quantidade de 
movimento da partícula A antes e depois de ela coli-
dir elasticamente com a partícula B, que se encontra-
va em repouso.
O vetor quantidade de movimento da partícula B após 
o choque está melhor representado por:
a) c) e) 
b) d) 
 4. (Vunesp-SP) Uma partícula A, com quantidade de 
movimento de módulo qA 5 10 kg ∙ m/s, move-se 
ao longo do eixo x em direção a uma partícula B em 
repouso. Após a colisão perfeitamente elástica, a par-
tícula A toma a direção dada pelo vetor quantidade de 
movimento pA apresentado na figura.
y
0 x2 kg � m/s
2 kg � m/s
pA
Reproduza o reticulado em seu caderno, incluindo o 
vetor pA.
a) Desenhe nesse reticulado o vetor quantidade de 
movimento qA da partícula A, antes da colisão, 
identificando-o.
b) Desenhe, no mesmo reticulado, o vetor quanti-
dade de movimento pB da partícula B, depois da 
colisão, identificando-o.
 5. (Fuvest-SP) Sobre a parte horizontal da superfície 
representada na figura, encontra-se parado um corpo 
B de massa M, no qual está presa uma mola ideal de 
comprimento natural L0 e constante elástica k. Os coe-
ficientes de atrito elástico e dinâmico, entre o corpo 
B e o plano, são iguais e valem μ. Um outro corpo A, 
também de massa M, é abandonado na parte inclinada. 
O atrito entre o corpo A e a superfície é desprezível. 
h0
L0
g
B
A
M
a
rc
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
Determine:
a) a máxima altura h0, na qual o corpo A pode ser 
abandonado, para que após colidir com o corpo B, 
retorne até a altura original h0.
b) o valor da deformação X da mola, durante a coli-
são, no instante em que os corpos A e B têm a 
mesma velocidade, na situação em que o corpo A 
é abandonado de uma altura H . h0. (Despreze o 
trabalho realizado pelo atrito durante a colisão.)
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os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste cD são Parte 
integrante da obra Física Clássica, dos autores caio Sérgio calçada e José Luiz Sampaio.
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Volume 1
Capítulo 21
 6. (ITA-SP) Uma massa m1 com velocidade inicial v0 
colide com um sistema massa-mola m2 e constante 
elástica k, inicialmente em repouso sobre uma super-
fície sem atrito, conforme ilustra a figura. Determine 
o máximo comprimento de compressão da mola, con-
siderando desprezível a sua massa.
m1 k
m2
v0
 7. (Unicamp-SP) Um experimento interessante pode ser 
realizado abandonando-se de certa altura uma bola 
de basquete com uma bola de pingue-pongue (tênis 
de mesa) em repouso sobre ela, conforme mostra a 
figura a. Após o choque da bola de basquete com 
o solo, e em seguida com a bola de pingue-pongue, 
esta última atinge uma altura muito maior do que sua 
altura inicial.
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a
rc
o
 a
. S
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M
o
tt
o
v
v
80 cm
Figura a. Figura b.
a) Para h 5 80 cm, calcule a velocidade com que a 
bola de basquete atinge o solo. Despreze a resis-
tência do ar.
b) Abandonadas de uma altura diferente, a bola de 
basquete, de massa M, reflete no solo e sobe com 
uma velocidade de módulo v 5 5,0 m/s. Ao subir, 
ela colide com a bola de pingue-pongue que está 
caindo também com v 5 5,0 m/s, conforme a 
situação representada na figura b. Considere que, 
na colisão entre as bolas, a energia cinética do sis-
tema não se conserva e que, imediatamente após 
o choque, as bolas de basquete e pingue-pongue 
sobem com velocidades de v’b 5 4,95 m/s e 
v’p 5 7,0 m/s, respectivamente. A partir da sua 
própria experiência cotidiana, faça uma estima-
tiva para a massa da bola de pingue-pongue, e, 
usando esse valor e os dados acima, calcule a 
massa da bola de basquete.
 8. (Mackenzie-SP) A figura mostra dois blocos, A e B, 
de mesma massa igual a 5 kg e com velocidades 
iniciais 20 m/s e 6 m/s, respectivamente. O bloco 
A se movimenta durante 4 segundos para atingir o 
plano perfeitamente liso. Uma vez no plano liso, A 
colide centralmente com B. Supondo que o coeficien-
te de restituição é 0,2 e que o coeficiente de atrito 
entre o bloco A e o plano rugoso é 0,2, determine 
as velocidades dos blocos após a colisão. (Adote 
g 5 10 m/s2.)
rugoso
20 m/s 6 m/s
liso
A B
 9. A figura mostra a situação inicial de três esferas A, B 
e C, de mesmo raio e massas respectivamente iguais 
a 3m, m e 3m, as quais estão sobre uma superfície 
horizontal plana e sem atrito. As esferas A e C estão 
em repouso e a esfera B tem velocidade inicial v0. 
v0
B CA
3m 3mm
Supondo que as colisões entre as esferas sejam elás-
ticas, determine:
a) o número de colisões que ocorrem;
b) as velocidades das esferas após a última colisão.
 10. (IME-RJ) A figura abaixo mostra um hemisfério oco 
e liso, cujo plano equatorial é mantido fixo na hori-
zontal. Duas partículas, X e Y, de massas mX e mY, são 
largadas no mesmo instante, de dois pontos diametral-
mente opostos, A e B, situados na borda do hemisfério. 
As partículas colidem no ponto C e, após a colisão, a 
partícula X atinge uma altura máxima R2 , enquanto 
Y atinge uma altura máxima R3 , onde R é raio do 
hemisfério. Determine o coeficiente de restituição do 
choque.
C
X Y
R
A B
 11. (Mackenzie-SP) Observe o esquema. Suponha que a 
esfera A seja abandonada na posição em que θ 5 90º. 
g
L
θ
B
A
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Volume 1
Capítulo 21
São dados:
– massa de A 5 4,0 kg
– massa de B 5 2,0 kg
– L 5 1,8 m; g 5 10 m/s2
– coeficiente de atrito entre B e o plano horizontal 5
5 0,20
– coeficiente de restituição do choque entre A e B 5
5 0,50
Após a colisão, o bloco B percorre no plano horizontal 
uma distância igual a:
a) 3 m d) 5 m
b) 6 m e) 4 m
c) 9 m
 12. Em um estacionamento de supermercado, um moto-
rista distraído deixa seu automóvel colidir fron-
talmente com um carrinho de compras de massa 
m 5 20 kg, que está parado. A massa do automóvel 
é M 5 1 200 kg, a velocidade do automóvel antes da 
colisão é 40 km/h, e o coeficiente de restituição da 
colisão é e 5 0,9. Calcule os valores aproximados das 
velocidades do automóvel e do carrinho, logo após a 
colisão.
 13. (UF-PI) Um garoto lança, com velocidade de módulo 
2v, uma bola de tênis contra a parte traseira de um 
caminhão que anda com velocidade de módulo v. A 
bola toca o caminhão perpendicularmente à sua tra-
seira, e tem velocidade inicial no mesmo sentido da 
velocidade do caminhão, conforme figura.
Considere o choque perfeitamente elástico e a massa 
da bola muito menor que a do caminhão. Analise 
as afirmativas e em seu caderno classifique-as em V 
(verdadeira) ou F (falsa).
 I. A bola, após tocar o caminhão, retorna com velo-
cidade 2v na direção perpendicular à superfície da 
traseira do caminhão.
 II. A bola, após tocar o caminhão, retorna com velo-
cidade v na direção perpendicular à superfície da 
traseira do caminhão.
 III. A bola, após tocar o caminhão, retorna com velo-
cidade v2 na direção perpendicular à superfície 
da traseira do caminhão.
 IV. A bola tocao caminhão e cai perpendicularmente 
ao chão.
 14. Um corpo é largado de uma altura de 20 m; sabendo 
que o coeficiente de restituição entre o corpo e o solo 
é 0,50, a nova altura atingida pelo corpo é de:
a) 4,5 m c) 4,0 m e) 15 m
b) 5,0 m d) 10 m
(Fund. Carlos Chagas-SP) Enunciado para as questões 
de números 15 a 18.
Dois carros, A e B, de massas iguais a 1,0 kg, são rigi-
damente ligados por uma haste H de massa desprezí-
vel. O carro C tem massa igual a 0,50 kg. No instante 
t 5 0, o carro C tem velocidade nula e os carros A e 
B têm velocidade cujo módulo é v0 5 4,0 m/s, como 
ilustra a figura. Despreze as forças de atrito entre os 
carros e a superfície horizontal.
 15. Supondo que a colisão entre A e C seja perfeitamente 
inelástica, a velocidade do sistema após a colisão terá 
módulo igual a:
a) 0,31 m/s c) 2,5 m/s e) zero
b) 3,2 m/s d) 3,0 m/s
 16. Se a colisão entre A e C fosse perfeitamente elástica, 
mas a ulterior colisão entre C e B fosse perfeitamente 
inelástica, a velocidade final do sistema teria módulo 
igual a:
a) 0,31 m/s c) 2,5 m/s e) zero
b) 3,2 m/s d) 3,0 m/s
 17. Na questão anterior, entre a colisão de A com C e a 
colisão de C com B, as velocidades de A e C foram, 
respectivamente, em m/s:
a) 2,4 e 4,8 d) 6,4 e 4,8
b) 6,4 e 2,4 e) 2,4 e 6,4
c) 4,8 e 2,4
 18. Se as colisões entre A e C e entre C e B fossem perfei-
tamente elásticas, após a segunda colisão (C com B), 
a velocidade de C seria:
a) 2,4 m/s c) 1,6 m/s e) zero
b) 2,0 m/s d) 1,4 m/s
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Volume 1
Capítulo 21
 19. (Fuvest-SP) Uma caixa C, parada sobre uma super-
fície horizontal, tem em seu interior um bloco B, 
que pode deslizar sem atrito e colidir elasticamen-
te com ela. O bloco e a caixa têm massas iguais, 
sendo mC 5 mB 5 20 kg. Na situação representada 
na figura, no instante t 5 0, é dado um empurrão 
na caixa, que passa a se mover, sem atrito, com 
velocidade inicial v0 5 15 cm/s.
c
o
n
c
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to
g
ra
f
O bloco e a parede esquerda da caixa colidem no 
instante t1 5 2 s, passando o bloco, depois, a colidir 
sucessivamente com as paredes direita e esquerda da 
caixa, em intervalos de tempo Δt iguais.
a) Determine os intervalos de tempo Δt.
b) Construa os gráficos a seguir:
• Quantidade de movimento QC da caixa em função 
do tempo t;
• Quantidade de movimento QB do bloco em fun-
ção do tempo t;
• Energia total E do sistema em função do tempo t.
Em todos os gráficos, considere pelo menos quatro 
colisões e indique valores e unidades nos eixos 
verticais.
0
QC (caixa)
10 20 t (s)
0
QB (bloco)
10 20 t (s)
t (s)0
E
10 20
 20. Uma partícula é lançada horizontalmente, com velo-
cidade horizontal v0 cujo módulo é 20 m/s, num local 
em que g 5 10 m/s2, como a figura ilustra. Nessa 
figura, PM representa uma parede vertical e lisa. Se 
não houvesse a parede, a partícula atingiria o solo 
(suposto plano e horizontal) no ponto R. No entanto, 
o que ocorre é que a partícula colide (não inelastica-
mente) com a parede no ponto N, indo atingir o solo 
no ponto S. 
11,25 m
20 m
S RM
solo
N
P
g
v0
Desprezando a resistência do ar e supondo que o 
choque seja elástico, determine:
a) as distâncias MR e NM;
b) a distância SM. Compare esse valor com o obtido 
no item a para MR.
 21. Retome a situação do problema anterior. Supondo que 
a colisão da partícula com a parede tenha coeficiente 
de restituição e 5 0,80, determine a distância SM.
 22. (Fuvest-SP) A figura ilustra dois anteparos paralelos, 
colocados perpendicularmente com relação ao solo. Uma 
esfera é lançada do ponto A, com velocidade inicial v de 
20 m/s perpendicular a S1. A esfera colide sucessiva-
mente com S1 e S2, através de choques elásticos. 
S1 S2
A
1 m
v
Pedem-se:
a) o tempo que leva a esfera para atingir novamente 
o anteparo S1;
b) a que altura h, relativamente ao ponto inicial A, a 
esfera se encontra, após 0,5 s do lançamento.
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Volume 1
Capítulo 21
Enunciado para as questões 23 e 24.
Uma bolinha é abandonada num ponto A, 4,0 m 
acima do ponto B onde a bolinha colide elasticamen-
te com a superfície inclinada S, que não tem atrito. 
Adote g 5 10 m/s2.
A
B
α
β
g
 23. Determine o valor de α para o qual, logo após a coli-
são, a velocidade da bolinha tem direção horizontal.
 24. Supondo α 5 30º, determine a maior altura atingida 
pela bolinha, em relação ao plano horizontal β, após 
a colisão.
 25. (ITA-SP) A figura mostra uma bola de massa m que 
cai com velocidade v1 sobre a superfície de um supor-
te rígido, inclinada de um ângulo θ em relação ao 
plano horizontal. 
m
α
θ
v1
v2
Sendo e o coeficiente de restituição para esse impac-
to, calcule o módulo da velocidade v2 com que a bola 
é ricocheteada, em função de v1, θ e e. Calcule tam-
bém o ângulo α.
 26. Uma partícula A, com massa 2,0 kg e velocidade v0, 
de módulo 25 m/s, move-se sobre uma superfície 
horizontal sem atrito (fig. a). Em repouso, sobre a 
mesma superfície, há uma partícula B. Ocorre uma 
colisão entre A e B e, após a colisão, verifica-se que 
a partícula B tem velocidade vB sobre a reta r e a 
partícula A tem velocidade vA sobre a reta s, que é 
perpendicular a r (fig. b).
r
A
B
Figura a.
v0
r
s
A
B
Figura b.
vB
vA
Sabendo que vA 5 20 m/s e vB 5 7,5 m/s, determine 
a massa de B.
 27. Sobre uma mesa de bilhar, uma bola A, com velocida-
de v0, choca-se com uma bola B, parada e idêntica a A 
(fig. a). No instante em que ocorre o choque, a linha 
reta que une os centros das bolas forma um ângulo 
de 60º com a direção de v0 (fig. b).
a) Antes do choque b) Instante do choque
r
B
A
r
B
60º
Av0
Sabe-se que v0 5 8,0 m/s e que o choque é elástico. 
Sendo vA e vB as velocidades de A e B após o choque e 
desprezando o atrito entre as bolas, determine:
a) o ângulo formado entre vB e a reta r, após o 
choque;
b) o ângulo formado entre vA e a reta r, após o 
choque;
c) vA;
d) vB.
Enunciado para as questões 28 e 29.
(ITA-SP) Três bolas idênticas A, B e C, tendo cada 
uma massa igual a 0,20 kg, estão sobre uma mesa 
sem atrito. Inicialmente as bolas B e C estão paradas 
(figura I) e a bola A tem velocidade v0, de modo que 
as retas x e y são perpendiculares. A Figura II ilustra 
o momento da colisão das bolas. Sabe-se que a colisão 
é elástica e que v0 5 2,0 m/s.
y
x
A
B
C
v0
Figura I.
y
x
A
B
C
Figura II.
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Volume 1
Capítulo 21
 28. Os módulos das velocidades das bolas A, B e C após o 
choque são, respectivamente, em metros por segundo:
A B C
a) 0,66 0,66 0,66
b) 2,0 1,0 1,0
c) 0,40 1,38 1,38
d) 1,38 0,40 0,40
e) 1,0 2,0 1,0
 29. Da configuração de velocidades abaixo, qual deve 
representar o que ocorre com as bolas após o choque?
a) vB
vC
vA
b) vB
vC
vA
c) vB
vC
vA
d) vB
vC
vA
 30. (ITA-SP) Um objeto de massa m é projetado no ar a 
45º do chão horizontal com uma velocidade v. No 
ápice de sua trajetória, este objeto é interceptado 
por um segundo objeto, de massa M e velocidade 
V, que havia sido projetado verticalmente do chão. 
Considerando que os dois objetos “se colam” e 
desprezandoqualquer tipo de resistência aos movi-
mentos, determine a distância d do ponto de queda 
dos objetos em relação ao ponto de lançamento do 
segundo objeto.
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Volume 1
Capítulo 23
CAPÍTULO 23 – Estática dos corpos rígidos
 19. Em uma pizzaria, o funcionário vai colocar a pizza 
no forno usando o instrumento indicado na figura. 
Supondo que g 5 10 m/s2 e que a massa da pizza 
seja 1,0 kg, determine, desprezando a massa do 
instrumento, as intensidades e os sentidos das for-
ças exercidas pelo funcionário nos pontos A e B do 
instrumento.
Le
tt
er
a
 S
tu
d
io
0,5 m 1,5 m
pizza
A
B
 20. (Fuvest-SP) Em uma academia de musculação, uma 
barra B, com 2,0 m de comprimento e massa de 
10 kg, está apoiada de forma simétrica em dois supor-
tes S1 e S2, separados por uma distância de 1,0 m, 
como indicado na figura.
Lu
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a
n
d
o
 r
u
bi
o
0,5 m 0,5 m 0,5 m 0,5 m
M
S1
g
0,10 mS2
B
EE
Para a realização de exercícios, vários discos, de dife-
rentes massas M, podem ser colocados em encaixes, 
E, com seus centros a 0,10 m de cada extremidade 
da barra. O primeiro disco deve ser escolhido com 
cuidado, para não desequilibrar a barra. Dentre os 
discos disponíveis, cujas massas estão indicadas abai-
xo, aquele de maior massa e que pode ser colocado 
em um dos encaixes, sem desequilibrar a barra, é o 
disco de:
a) 5 kg d) 20 kg
b) 10 kg e) 25 kg
c) 15 kg
 21. Um bloco C homogêneo e de massa 16 kg está apoiado 
em uma barra homogênea de massa 8 kg, a qual, por 
sua vez, está apoiada em dois suportes S1 e S2. Calcule 
a intensidade das forças exercidas pelos suportes 
sobre a barra.
Se
tu
p60 cm 20 cm
S1 S2
C
 22. (U. F. Santa Maria-RS) Para auxiliar a descompactação 
no ato de revirar a terra, um agricultor é visto em um 
determinado instante com uma pá na horizontal. Essa 
pá, de comprimento d e massa M, tem uma quantida-
de de terra de massa m. 
Le
tt
er
a
 S
tu
d
io
m
d1 d2
A
Se um agricultor segura a pá na horizontal pelo cen-
tro de gravidade dela e pela extremidade A, separados 
pela distância d1, o módulo da força mínima aplicada 
pelo agricultor no centro de gravidade é:
a) mg
d d
d Mg
1 2
1
�
�



b) Mg  (d1  d2) mg
c) Mg
d d
d mg
1 2
1
�
�



d) Mg  (d1  d2) mg
e) mg
d d
d Mg
1 2
1
�
�



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Volume 1
Capítulo 23
 23. (Unicamp-SP) Um freio a tambor funciona de acordo 
com o esquema da figura a seguir. A peça de borracha 
B é pressionada por uma alavanca sobre um tambor 
cilíndrico que gira junto com a roda. A alavanca é 
acionada pela força F e o pino no ponto C é fixo. O 
coeficiente de atrito cinético entre a peça de borra-
cha e o tambor é μc 5 0,40.
30 cm
B
100 cm
tambor
F
C
Lu
iz
 F
er
n
a
n
d
o
 r
u
bi
o
a) Qual é o módulo da força normal que a borracha 
B exerce sobre o tambor quando F 5 750 N? 
Despreze a massa da alavanca.
b) Qual é o módulo da força de atrito entre a borra-
cha e o tambor?
c) Qual é o módulo da força aplicada pelo pino sobre 
a alavanca no ponto C ?
 24. (UF-PA) Nos tempos em que o transporte de carga 
ainda não se beneficiava do atual desenvolvimento 
tecnológico, o próprio homem costumava transportar 
cargas nos ombros por meio de arranjos como o da 
figura seguinte:
Le
tt
er
a
 S
tu
d
io
BA
M
1,0 m 1,0 m
Considerando que o apoio da barra no ombro do 
homem ocorre apenas no ponto M, e que as massas 
das cargas A e B valem, respectivamente, 20 kg e 
40 kg, é correto afirmar que: (Aceleração da gravida-
de: g 5 10 m/s2.)
a) deslocando a carga A em direção ao ponto M, 
pode-se manter o equilíbrio de rotação da barra 
em torno desse ponto.
b) o homem poderá equilibrar a barra, reduzindo o 
comprimento dos cabos de sustentação da carga B.
c) a força vertical que o ombro do homem suporta é 
igual a 60 N.
d) ao caminhar 10 m sobre um piso horizontal, a 
força vertical aplicada pelo homem sobre a barra 
realiza trabalho de 600 J.
e) deslocando-se a carga B de 0,5 m em direção ao 
ponto M, o torque sobre a barra será nulo.
 25. (Mackenzie-SP) Sobre uma barra homogênea, de 
seção transversal constante e peso 800 N, uma crian-
ça caminha de A para B. A barra tem 10 m de com-
primento e está apoiada em A e B. O gráfico a seguir 
mostra a variação da reação no apoio B em função da 
distância x. 
 
A B
10 m
x
a
Le
x
 a
rg
o
zi
n
o
Se
tu
p
RB (N)
400
10
700
0 x (m)
A massa da criança é: (Adote g 5 10 m/s2.)
a) 30 kg d) 45 kg
b) 35 kg e) 50 kg
c) 40 kg
Enunciado para as questões 26 e 27:
Uma barra homogênea, de seção reta constante e 
peso 640 N, está disposta horizontalmente sobre dois 
apoios A e B, como ilustra a figura. 
A B C
D E
3,0 m 12 m
5,0 m
x
g
a
Le
x
 a
rg
o
zi
n
o
Uma pessoa de peso 800 N caminha sobre a barra, da 
esquerda para a direita, sendo C o ponto mais próxi-
mo da extremidade E que a pessoa consegue atingir 
sem que a barra gire.
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Capítulo 23
 26. Para o momento em que a pessoa está em C, determi-
ne as intensidades da:
a) força exercida pelo apoio A sobre a barra;
b) força exercida pelo apoio B sobre a barra.
 27. Determine o valor de x.
 28. A figura representa o instante em que uma vela 
cilíndrica e homogênea, de comprimento 12,0 cm e 
apoiada num suporte S, é acesa.
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
6,0 cm
S
3,0 cm g
Sabendo que a vela queima à razão de 1 mm a 
cada 10 segundos, depois de quanto tempo a vela 
tombará?
 29. Dois blocos idênticos A e B estão apoiados em uma 
superfície horizontal S com atrito, comprimindo 
uma lâmina rígida L que não encosta em S. Na 
extremidade superior da lâmina aplicamos uma 
força horizontal F cuja intensidade é crescente, 
a partir de zero. Qual dos dois blocos se moverá 
primeiramente?
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
S
A B
g
F
 30. (Fuvest-SP) Três cilindros iguais, A, B e C, cada um 
com massa M e raio R, são mantidos empilhados, com 
seus eixos horizontais, por meio de muretas laterais 
verticais, como mostra a figura. 
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
A
B C
Desprezando qualquer efeito de atrito, determine, em 
função de M e g:
a) o módulo da força FAB que o cilindro A exerce 
sobre o cilindro B;
b) o módulo da força FPB que o piso exerce sobre o 
cilindro B;
c) o módulo da força FMC que a mureta exerce sobre 
o cilindro C.
 31. Para a situação da questão anterior, qual a inten-
sidade da força que o cilindro B exerce sobre o 
cilindro C?
 32. Na figura a seguir representamos a seção transversal 
de um cilindro homogêneo de peso 100 N apoiado em 
duas superfícies planas sem atrito.
Se
tu
p
g
A
60°θ
B
Determine as intensidades das forças exercidas no 
cilindro pelas superfícies planas, nos pontos de con-
tato A e B, nos seguintes casos:
a) θ 5 30°
b) θ 5 40°
 33. No sistema em equilíbrio esquematizado a seguir, 
AD é uma barra homogênea, de peso 40 N, articu-
lada em A e segura em D pelo fio ideal CD. O peso 
do bloco B é 200 N e sabe-se que sen θ 5 0,60 e 
cos θ 5 0,80.
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
B
45ºAθ
D
C
g
B
45ºAθ
D
C
g
Sendo F a força exercida pela articulação A na barra,determine as intensidades de:
a) tração no fio CD;
b) componente vertical de F;
c) componente horizontal de F;
d) F
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os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte 
integrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
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Volume 1
Capítulo 23
 34. Uma barra homogênea, de comprimento L e peso 
400 N, suporta o bloco B como ilustra a figura. A 
barra está articulada em A e a distância AC é igual 
a 2L3 . Sabe-se que sen θ 5 0,80, cos θ 5 0,60 e 
que a maior tração que o fio horizontal f pode 
suportar sem se romper é 450 N.
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
A
θ
C
B
g
f
a) Determine o maior valor que o peso de B pode ter 
de modo que o fio f não se rompa.
b) Nas condições do item a, determine as compo-
nentes vertical e horizontal da força feita pela 
articulação A na barra.
 35. No sistema em equilíbrio esquematizado a seguir, a 
barra AE é homogênea e está apoiada numa superfície 
horizontal S lisa. O peso do bloco B é 720 N, a cons-
tante elástica da mola é 1,8  104 N/m, sen θ 5 0,80, 
cos θ 5 0,60 e as distâncias AC, CD e DE são iguais.
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
A
θ
C
S
D
B
E
g
Determine:
a) a deformação da mola;
b) o peso da barra;
c) a força exercida por S sobre a barra.
 36. Na figura a seguir representamos a seção transversal 
de um semicilindro homogêneo, de raio R 5 40,0 cm
e peso 10,8 N, apoiado numa superfície horizontal 
S com atrito. Sobre o semicilindro está apoiada 
uma barra cilíndrica e homogênea, de comprimento 
120 cm e peso 55,0 N, articulada em A. São dados: 
sen θ 5 0,800 e cos θ 5 0,600.
A
S
R
98,0 cm
g θ
Determine os valores do coeficiente de atrito estático 
entre o semicilindro e a superfície S para os quais o 
semicilindro fica em repouso.
Texto para as questões de números 37 a 39 :
Alguns veículos têm tração apenas nas rodas diantei-
ras, outros apenas nas rodas traseiras e outros ainda 
têm um dispositivo que faz com que as quatros rodas 
sejam tracionadas.
Como vimos no estudo do atrito (Capítulo 15), quan-
do um veículo de tração dianteira está acelerando, as 
forças de atrito têm os sentidos indicados na figura a 
e quando um veículo de tração traseira está aceleran-
do as forças de atrito têm os sentidos indicados na 
figura b. Se as rodas não estão tracionadas (fig. c) ou 
o veículo está sendo freado (fig. d), as forças de atrito 
têm sentido oposto ao do movimento. As forças de 
atrito nas rodas tracionadas são muito mais intensas 
que nas rodas livres.
C
o
n
C
ei
to
g
ra
F
Figura a.
Figura b.
Figura c.
Figura d.
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Volume 1
Capítulo 23
 37. Quando um automóvel está acelerado (figs. a e b), a 
parte da frente do automóvel levanta um pouco. Por 
quê?
 38. Quando um automóvel está brecando (fig. d), a parte 
da frente abaixa um pouco. Por quê?
 39. Um automóvel cujo centro de gravidade é G move-se 
em uma estrada plana e horizontal, sendo o coefi-
ciente de atrito estático entre os pneus e a estrada 
igual a 0,70. São dados: h 5 0,50 m; d1 5 1,5 m; 
d2 5 2,0 m; g 5 10 m/s
2.
C
o
n
C
ei
to
g
ra
F
Determine a aceleração máxima desse automóvel nos 
seguintes casos:
a) a tração é nas quatro rodas;
b) a tração é dianteira;
c) a tração é traseira.
 40. Um portão de peso 400 N e cujo centro de gravidade 
está em seu centro geométrico, está preso a duas arti-
culações e um fio ao longo do qual a tração é 150 N. 
São dados: sen θ 5 0,60 e cos θ 5 0,80.
2,0 m
3,6 m
q
Determine:
a) a componente horizontal da força exercida pela 
articulação inferior sobre o portão;
b) a componente horizontal da força exercida pela 
articulação superior sobre o portão;
c) a soma das componentes verticais exercidas pelas 
articulações sobre o portão.
 41. (FEI-SP) Um portão homogêneo, de espessura cons-
tante e peso P 5 600 N, está montado conforme 
indica a figura, sendo desprezíveis os atritos em 
seus apoios. Determinar a intensidade das reações 
nos apoios.
0,1 m 0,8 m
1,2 m 1,5 m
 42. Uma barra homogênea de peso 100 N está em equilí-
brio, apoiada em duas superfícies planas e sem atrito, 
como ilustra a figura. São dados: sen 37° 5 0,60 e 
cos 37° 5 0,80.
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
B
A
θ
g
37º
D
a) Faça em seu caderno um diagrama representando 
as forças que atuam na barra.
b) Determine o ângulo θ.
c) Determine as intensidades das forças exercidas 
pelas superfícies sobre a barra, nos pontos A e D.
 43. Na figura a seguir representamos uma esfera homo-
gênea, de centro C e peso 20 N, presa a um fio ideal 
f e comprimindo um bloco de peso 6 N contra uma 
parede vertical. Existe atrito entre o bloco e a parede, 
mas não há atrito entre a esfera e o bloco. São dados: 
R 5 5 cm; d 5 20 cm.
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
d
f
R R
θ
g
Determine os valores do coeficiente de atrito está-
tico entre o bloco e a parede, para os quais há 
equilíbrio.
C
o
n
C
ei
to
g
ra
F
C
o
n
C
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to
g
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Volume 1
Capítulo 25
CAPÍTULO 25 – Fluidostática: lei de Stevin
 1. (U. F. Santa Maria-RS) A figura representa um tubo em 
forma de U, com água e petróleo, cujas densidades são 
respectivamente, 1 000 kg/m3 e 800 kg/m3. Sabendo 
que h 5 4 cm e que a aceleração da gravidade tem 
módulo 10 m/s2, a pressão causada pelo petróleo na 
interface A vale, em Pa:
a) 320
b) 400
c) 8 000
d) 1 000
e) 3 200
C
o
n
C
ei
to
g
ra
f
A B
petróleo
água
g
h
 2. (Vunesp-SP) Uma pessoa, com o objetivo de medir a 
pressão interna de um botijão de gás contendo buta-
no, conecta à válvula do botijão um manômetro em 
forma de U, contendo mercúrio. Ao abrir o registro R, 
a pressão do gás provoca um desnível de mercúrio no 
tubo, como ilustrado na figura.
C
o
n
C
ei
to
g
ra
f
R
A
B
104 cm
Considere a pressão atmosférica dada por 105 Pa, o 
desnível h 5 104 cm de Hg e a seção do tubo 2 cm2. 
Adotando a massa específica do mercúrio igual a 
13,6 g/cm3, e g 5 10 m/s2, calcule:
a) a pressão do gás, em pascal;
b) a força que o gás aplica na superfície do mercúrio 
em A.
 Advertência: este experimento é perigoso. Não 
tente realizá-lo.
 3. (UF-BA) A camada gasosa que envolve a Terra exerce 
pressão sobre a superfície terrestre e sobre todos os 
corpos nela situados. Segundo Evangelista Torricelli, 
a pressão atmosférica, ao nível do mar, equivale a 
760 mmHg. Com base nessas informações, se um 
barômetro indica, para a pressão atmosférica, o 
valor de 70 cmHg, é possível que esse instrumento 
esteja situado:
a) em uma estação meteorológica qualquer.
b) no alto de uma montanha.
c) em um posto salva-vidas à beira-mar.
d) em um navio ancorado num ponto qualquer.
e) no terraço de um prédio de três andares, construído 
numa cidade litorânea.
 4. (UF-PA) Em um documentário de TV, João tomou 
conhecimento de que a pressão atmosférica diminuiu 
com a altitude. Por essa razão, o interior das aerona-
ves é mantido em certo nível de pressurização para 
conforto dos passageiros. O gráfico a seguir mostra a 
variação da pressão do ar externo com a altura acima 
do nível do mar. Sabendo que, durante o voo, é man-
tida uma diferença de 0,4 atmosfera entre as pressões 
interna e externa à aeronave, pela análise do gráfico, 
concluiu-se que a pressão interna a 8 000 metros dealtitude, em atmosfera, é igual a:
se
tu
p
h (m)
6 000
8 000
10 000
12 000
0,2 0,4 0,8 1,00 p (atm)
a) 0,2 d) 0,8
b) 0,4 e) 1,0
c) 0,6
 5. (Enem-MEC) A adaptação dos integrantes da seleção 
brasileira de futebol à altitude de La Paz foi muito 
comentada em 1995, por ocasião de um torneiro, 
como pode ser lido no texto abaixo:
A seleção brasileira embarca hoje para La Paz, capi-
tal da Bolívia, situada a 3 700 metros de altitude, 
onde disputará o torneio Interamérica. A adapta-
ção deverá ocorrer em um prazo de 10 dias, apro-
ximadamente. O organismo humano, em altitudes 
elevadas, necessita desse tempo para se adaptar, 
evitando-se, assim, risco de colapso circulatório.
Adaptado de: Placar, fev. 1995.
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Volume 1
Capítulo 25
A adaptação da equipe foi necessária principalmente 
porque a atmosfera de La Paz, quando comparada à 
das cidades brasileiras, apresenta:
a) menor pressão e menor concentração de oxigênio.
b) maior pressão e maior quantidade de oxigênio.
c) maior pressão e maior concentração de gás carbô-
nico.
d) menor pressão e maior temperatura.
e) maior pressão e menor temperatura.
 6. (Fuvest-SP) Quando você toma refrigerante com um 
canudinho, o líquido sobe porque:
a) a pressão atmosférica cresce com a altura, ao 
longo do canudo.
b) a pressão do interior de sua boca é menor que a 
atmosférica.
c) a densidade do refrigerante é menor que a do ar.
d) a pressão hidrostática no corpo é a mesma em 
todos os pontos em um plano horizontal.
 7. (Covest-PE) Se o fluxo sanguíneo não fosse ajustado 
pela expansão das artérias, para uma pessoa em pé a 
diferença de pressão arterial entre o coração e a cabeça 
seria de natureza puramente hidrostática. Nesse caso, 
para uma pessoa em que a distância entre a cabeça e o 
coração vale 50 cm, qual o valor em mmHg dessa dife-
rença de pressão? (Considere a densidade do sangue 
igual a 103 kg/m3 e a densidade do mercúrio igual a 
13,6 ? 103 kg/m3.)
 8. (Unicamp-SP) Suponha que o sangue tenha a mesma 
densidade que a água e que o coração seja uma 
bomba capaz de bombeá-lo a uma pressão de 
150 mm de mercúrio acima da pressão atmosféri-
ca. Considere uma pessoa cujo cérebro está 50 cm 
acima do coração e adote, para simplificar, que 
1 atm 5 750 mm de mercúrio.
a) Até que altura o coração consegue bombear o 
sangue?
b) Suponha que essa pessoa esteja em outro planeta. A 
que aceleração gravitacional máxima ela pode estar 
sujeita para que ainda receba sangue no cérebro?
 9. (U. F. São Carlos-SP) Quando efetuamos uma trans-
fusão de sangue, ligamos a veia do paciente a uma 
bolsa contendo plasma, posicionada a uma altura h 
acima do paciente. Considerando g 5 10 m/s2 e que 
a densidade do plasma seja 1,04 g/cm3, se uma bolsa 
de plasma for colocada 2 m acima do ponto da veia 
por onde se fará a transfusão, a pressão do plasma ao 
entrar na veia será:
a) 0,0016 mmHg d) 15,6 mmHg
b) 0,016 mmHg e) 156 mmHg
c) 0,156 mmHg
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Volume 1
Capítulo 26
CAPÍTULO 26 – Fluidostática – Princípio de 
Arquimedes
 1. Um garoto segura uma bexiga cheia de gás hélio, 
como ilustra a figura. São dados: dHe 5 densidade do
hélio 5 0,17 kg/m3; dar 5 densidade do ar 5 1,20 kg/m
3; 
V 5 volume da bexiga 5 10 L; g 5 10 m/s2.
tH
In
K
st
o
C
K
/g
et
tY
 IM
a
g
es
Desprezando as massas do fio que o garoto segura 
e da borracha de que é feita a bexiga, calcule a 
intensidade da força exercida pelo garoto sobre a 
bexiga.
 2. Na figura a representamos uma situação em que um 
recipiente X contém água até uma abertura A. O reci-
piente Y está vazio e sobre uma balança graduada em 
quilogramas assinalando zero.
X A
Figura a.
X A
Y
lu
IZ
 f
er
n
a
n
D
o
 r
u
BI
o
C
X A
Y
C
X A
Y
Figura b.
Um corpo homogêneo C é colocado no líquido de 
modo que ele flutua, com a parte imersa corres-
pondendo a 80% do seu volume. Ao colocar o corpo 
na água, uma parte dela sai pela abertura, caindo 
no recipiente Y; a balança passa a marcar 0,40 kg. 
Sabe-se que g 5 10 m/s2 e que a densidade da água 
é dL 5 1,0  10
3 kg/cm3. Calcule:
a) a intensidade do empuxo exercido sobre o corpo;
b) a massa do corpo;
c) o volume do corpo;
d) a densidade do corpo.
 3. Uma placa de madeira cuja densidade é 0,60 g/cm3 
tem as dimensões indicadas na figura a. Essa placa 
é colocada a flutuar na água e uma pessoa de massa 
60 kg sobe nela (fig. b). Calcule o valor da altura x 
da parte emersa, sabendo que a densidade da água 
é 1,0 g/cm3.
2,0 m
Figura a.
1,0 m
10 cm
a
le
X
 a
rg
o
ZI
n
o
x
 Figura b.
 4. Um corpo de densidade dC e volume V flutua em um 
líquido de densidade dL. O volume submerso (VS) é 
dado por:
C
o
n
C
eI
to
g
ra
f
VS
a) VS 5 (dC  dL)  V d) V
V
d dS C S
�
�
b) V
d
d VS
L
C
� � e) VS 5 dC  dL  V
c) V
d
d VS
C
L
� �
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Volume 1
Capítulo 26
 5. Para a situação da questão anterior, supondo que 
dC 5 0,60 g/cm
3 e dL 5 0,80 g/cm
3, podemos afirmar 
que o volume da parte submersa é:
a) 60% de V. 
b) 80% de V. 
c) 20% de V.
d) 75% de V.
e) 70% de V.
 6. Como podemos verificar se o leite desnatado é mais 
ou menos denso que o leite integral, sem fazer as 
medidas?
 7. Uma barra cilíndrica e homogênea, de comprimento 
2,0 metros, está parcialmente mergulhada na água, 
como mostra a figura, tendo uma de suas extremi-
dades presa a uma articulação e podendo girar livre-
mente em torno dela. Sabendo que a densidade da 
água é 1,0 g/cm3, calcule a densidade da barra, sendo 
x 5 0,4 m.
Il
u
st
ra
ç
õ
es
: C
o
n
C
eI
to
g
ra
f
 8. (Vunesp-SP) Na extremidade inferior de uma vela 
fixa-se um cilindro de chumbo. A vela é acesa 
e imersa em água, conforme o esquema abaixo, 
ficando inicialmente em equilíbrio. Suponhamos 
que não escorra cera fundida enquanto a vela 
queima. 
Nestas condições, enquanto a vela queima:
a) x permanece constante e y diminui.
b) x aumenta e y diminui.
c) o valor da relação xy permanece constante.
d) x chega a zero antes de y.
e) depois de certo tempo, a vela tende a tombar para 
o lado.
 9. Um recipiente cilíndrico de paredes finas (fig. a), 
cuja área da base é 500 cm2, contém água até uma 
altura de 20 cm. Um corpo cilíndrico e homogêneo, 
de área da base 100 cm2, altura 10 cm e densidade 
0,80 g/cm3 (fig. b), é colocado dentro da água do 
recipiente de modo que na posição de equilíbrio 
(fig. c) fica parcialmente submerso. 
Figura a.
20 cm
500 cm2
Figura b.
100 cm2
10 cm
Figura c.
x
y
Sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm3, 
calcule:
a) a massa do corpo;
b) o volume do corpo que fica submerso;
c) a altura x da parte emersa;
d) o novo valor ( y) da altura da água.
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Capítulo 26
 10. Um recipiente A, de paredes finas e área da base 
400 cm2, contém água até uma altura 8,0 cm. 
Consideremosainda uma lata B, de massa 400 g e 
área da base 100 cm2, e um corpo esférico C, de volu-
me 80 cm3 e massa 200 g.
Il
u
st
ra
ç
õ
es
: C
o
n
C
eI
to
g
ra
f
Façamos as seguintes operações:
 I. A lata B é colocada a flutuar na água.
 II. O corpo C é colocado dentro da lata.
 III. O corpo C é retirado da lata e jogado dentro 
d’água.
Calcule os valores de x, y e z sabendo que a densidade 
da água é 1,0 g/cm3.
 11. Um recipiente cilíndrico de paredes finas e área da 
base 80 cm2 contém água até uma altura de 4,0 cm 
(fig. a). Um corpo cilíndrico e homogêneo (fig. b), 
cuja área da base é 50 cm2 e cuja massa é 400 g, 
é colocado a flutuar na água do recipiente (fig. c). 
Suponha que a densidade da água seja 1,0 g/cm3.
Figura a.
Figura b.
80 cm2
4,0 cm
50 cm2
10 cm
Figura c.
x
y
a) Calcule o volume (VA) da água contida no recipiente.
b) Calcule o volume (VS) da parte submersa do corpo.
c) Calcule os valores de x e y.
d) Nesse caso, o volume submerso é igual ao volume 
do líquido deslocado?
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Volume 1
Capítulo 26
 12. É dado um tubo em U com ramos verticais (fig. a), 
cilíndricos e iguais, cuja seção transversal tem área 
A 5 20,0 cm2. O tubo contém mercúrio e, em um 
dos ramos, uma quantidade de água de massa 260 g. 
Abandona-se na água, em repouso, um corpo (C) maci-
ço e homogêneo, de volume 24,0 cm3 (fig. b).
Figura a.
Figura b.
As densidades do mercúrio, da água e do corpo são, 
respectivamente, 13,6 g/cm3, 1,0 g/cm3 e 7,3 g/cm3. 
Estabelecido o equilíbrio, pergunta-se:
a) Que fração do volume do corpo está contida na 
água?
b) Qual é o valor do desnível h entre as superfícies 
livres dos dois líquidos?
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INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
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Volume 1
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO À FÍSICA
Exercícios
 1. d
 2. Como os sólidos são maciços e de aço, todos afundam 
na água. O volume do recipiente cúbico é: 
V0 5 (4 dm)
3 5 64 dm3
O volume de água contido no recipiente é:
V1 5 56  5 56 dm
3
V0 2 V1 5 64 dm
3 2 56 dm3 5 8 dm3
Portanto, para que não haja transbordamento de 
água, o volume (V ) do sólido colocado no recipiente 
deve ser tal que:
V < 8 dm3
Esfera:
V 43 R
4
3 (3,14)( 2)
4(3,14)(3 3 3� π � � 22)3 8
Cilindro:
V R H (3,14)( 2) ( 2)2 2
�
� π � � (3,14)(2)(1,41) 8
Paralelepípedo:
V 3 3 7
�
� 3 7 (3)(2,65) 7,94 8
Pirâmide:
V 1
� �
�
� �
33 ( 12) ( 5) 4 5 4(2,24) 8
2 � ��
Resposta: c.
 3. a
 4. d
 5. b
 6. H 5 2,5 cm 5 2,5 ? 1022 m; π 5 3
V R H 3 t5 (2,5 10 )
(3)(2,5)(1
2
2
2� � �
�
�π ( ) ⋅
00 )
25 t 3 10 t
2
3
�
�� �
t 5 4 min ⇒ V 5 3 ? 1022(4) 5 12 ? 1023 5 0,012 m3
Resposta: e.
 7. b
 8. a
 9. c
 10. V 5 (500)(170 ) 5 85 ? 103  5 85 m3
A ordem de grandeza de 85 é 102.
Resposta: b.
 11. 
k
k
20 cm
Lu
iz
 F
er
n
a
n
d
o
 r
u
bi
o
V 18 18 10 cm
V k (20)
3 3
2
� � �
�
�


k2(20) 5 18 ? 103 ⇒ k2 5 900 ⇒ k 5 30 cm
V 5 k3 5 (30 cm)3 5 27 ? 103 cm3 5 27 
Resposta: a.
 12. c
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA 
Exercícios complementares
 1. Supõe-se que no vagão fechado a resistência do ar 
seja desprezível.
Para o referencial no trem a bolinha está em queda 
livre vertical.
Para o referencial no solo (estação) a trajetória é 
parabólica.
Resposta: c.
 2. Como se considera a resistência do ar, a bomba perde 
velocidade horizontal.
Resposta: c.
 3. Como o movimento é retilíneo e uniforme, o pêndulo 
não sofre inclinação.
A posição b ocorre no movimento acelerado.
A posição c ocorre no movimento retardado.
A posição a ocorre em duas situações: MRU ou repouso. 
Na realidade, não existe nenhum modo de se deter-
minar o sentido do MRU pois o trem não tem janelas. 
Resposta: a.
CAPÍTULO 3 – VELOCIDADE ESCALAR 
Exercícios complementares
 1. A questão deve ser resolvida com o referencial no 
navio. No instante em que a luneta se desprende, sua 
velocidade é nula e ela é acelerada verticalmente pela 
gravidade. Logo, ao tocar o solo do navio, a distância 
ao mastro é L.
Resposta: e.
 2. A onda s atinge a posição x 5 1 500 km no instante 
ts 5 3,0 min. A onda p atinge a posição x 5 1 500 km 
no instante tp 5 5,0 min.
Então:
Δt 5 5,0 min 2 3,0 min ⇒ Δt 5 2,0 min
Resposta: b.
 3. O encontro de A com B se dá no cruzamento dos dois 
gráficos, o que ocorre duas vezes:
t1 5 10 s e t2 5 20 s
Logo: Δt 5 20 s 2 10 s ⇒ Δt 5 10 s
Resposta: b.
 4. d 
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 5. Por ter corrido, o gráfico, a partir do instante t1 5 2 min, 
deslocou-se para cima e no instante t2 5 13 min 
retornou à posição 1 L/min. A área é numericamente 
igual ao consumo (C ).
C área do trapézio (B b) h2
N
� �
� �
C (11 9) 12 C 10 L de O2�
� �
�⇒
1 L de O2 ------- 20 kJ
10 L de O2 ------- x 5 200 kJ
Resposta: c.
 6. Consumo entre t1 5 3 min e t2 5 12 min:
C 5 10 ? 2 ⇒ C 5 20 L de O2
Distância percorrida:
1 L ------- 100 m
20 L ------ d
d 5 2 000 m 5 2,0 km
v st
2,0 km
10 min
2,0
10
km
min
60� � � �∆∆ ( ) min1 h( ) ⇒
⇒ v 5 12 km/h
Resposta: e.
 7. c
 8. L v t t Lv1 1 1 1
� � �∆ ∆⇒
L v t t Lv2 2 2 2
� � �∆ ⇒ ∆
v v T t t T Lv
L
v2 1 1 2 1 2
� � � � �⇒ ∆ ∆ ⇒
T
Lv Lv
v v
L(v v )
v v
2 1
1 2
2 1
1 2
�
�
�
�
�
�
L
T v v
v v
1 2
2 1
�
� �
�
Resposta: d.
 9. c
 10. 
a) Seja T o instante em que h 5 5 m:
15T 120
T 12 5
�
�
�
15T 2 120 5 5(T 2 12)
15T 2 120 5 5T 2 60
10T 5 60 ⇒ T 5 6,0 h
Seja t2 o instante em que esvaziou:
15t 120
t 12 0
2
2
�
�
� ⇒ t2 5 8,0 h
b) reservatório 1 reservatório 2
h0
6 m 12 m
Hf
Lu
iz
 F
er
n
a
n
d
o
 r
u
bi
o
1o. ) Cálculo de h0 (altura inicial em 1):
h 0 1200 12 10 m0 �
�
�
�
2o. ) Volume inicial em (1):
V d4 h1
2
0� �
π ⋅
V 64 101
2
� �π ⋅ ⇒ V1 5 90 p m
3
3o. ) Volume final em (2) e cálculo de Hf:
V D4 H
6
4
10 12
4
Hf
2
f
2 2
f�
� � � � � � �π ⇒ π π
Logo: Hf 5 2,5 m
 11. Consideremos o triângulo retângulo construído a partir 
da figura abaixo:
d1
P Q
d1
M1
M2
d2
d2
F
F alvo
P: local do tiro (posição inicial)
M1: primeiro detector de som
M2: segundo detector de som
v: velocidade do projétil
vs: velocidade do som
Quando o projétil atingiu o alvo em Q, o som ainda 
caminhava e sua “frente de onda” estava em F (veja 
na figura).
Considerações:
1o. ) para que M1 detecte ao mesmo tempo o som do dis-
paro e o som do impacto no alvo, devemos impor:
FM1 5 QM1 5 d1 5 vS ? Dt1 1
2o. ) para que M2 detecte ao mesmo tempo o som do 
disparo e o som do impacto, devemos impor:
FM2 5 QM2 5 d2 5 vS ? Dt2 2
Certamente teremos: Δt2 . Δt1
Na figura temos:
PF 1 2d1 5 PQ 3
PF 1 d2 5 PM2 4
O trecho PQ foi percorrido pelo projétil:
PQ 5 v ? T 5
Ao mesmo tempo T o som chegou a F:
PF 5 vS ? T 6
Usando as equações 3 , 5 e 6 :
vs ? T 1 2d1 5 v ? T
2d1 5 v ? T 2 vs ? T
2d1 5 T(v 2 vs)
d
T(v v )
21
s�
�
 7
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Para obtermos uma relação com d2, temos de usar 
o Teorema de Pitágoras:
(PM2)
2 5 (PQ)2 1 (QM2)
2
Substituindo as equações 4 , 5 e 2 , vem:
(PF 1 d2)
2 5 (v ? T)2 1 (d2)
2
Usando agoraa equação 6 :
(vS ? T 1 d2)
2 5 (v ? T)2 1 (d2)
2
v T 2v T d d v T dS
2 2
S 2 2
2 2 2� � � � � � � � 22
2
d
v T v T
2 v T
T(v v
2
2 2
S
2
S
2�
� � �
� �
�
� SS
2
S
)
2 v 
8
A razão 
d
d
1
2



 pedida se obtém com as equações 
7 e 8 :
d
d
T(v v )
2
T(v v )
2v
(v v )1
2
S
2
S
2
S
S�
�
�
�
� ��
�
v
(v v )
S
2
S
2
O termo do lado direito poderia ter sido simplifi-
cado, mas a resposta não seria encontrada.
Resposta: a.
CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO UNIFORME
Exercícios complementares
 1. a) v = st
∆
∆
v 5,0 010,0 0
10,0 5,0
20,0 10,0�
�
�
� �
�
20,0 0
40,0 0�
�
�
⇒
⇒ v 5 0,50 cm/s
b) O movimento é uniforme.
c) s 5 s0 1 v ? t
 s 5 0 1 0,50t ⇒ s 5 0,50t (unidades do SI)
d) 
Se
tu
ps (cm)
10
20
20,0 40,00 t (s)
 2. 1o. ) vrel 5 |v1| 1 |v2| 5 12,5 m/s
2o. ) v = st 12,5
150
t t 12,0 srel � �
∆
∆ ⇒ ∆ ⇒ ∆
3o. ) d 5 |v|Dt
 d1 5 5,0 ? 12,0 (m) ⇒ d1 5 60 m
 d2 5 7,5 ? 12,0 (m) ⇒ d2 5 90 m
 3. a) Em sentidos opostos. Tomando o referencial em B, 
o móvel A terá uma velocidade relativa de:
 vrel 5 8,0 m/s 1 6,0 m/s 5 14 m/s
 Δsrel 5 vrel ? Δt1
 140 5 14 ? Δt1 ⇒ Δt1 5 10 s
b) No mesmo sentido.
 vrel 5 8,0 m/s 2 6,0 m/s 5 2,0 m/s
 Δsrel 5 vrel ? Δt2
 140 5 2,0 ? Δt2 ⇒ Δt2 5 70 s
 4. 110 m/s
 5. d
 6. Vamos resolver por equação horária:
sA 5 s0 1 vA ? t
Orientando a trajetória para a direita e tomando em 
A a origem das abscissas:
sA 5 0 1 2,0t ⇒ sA 5 2,0t (SI)
sB 5 s0 1 vB ? t
vB 5 23,0 m/s; s0 5 15,0 m
sB 5 115,0 2 3,0t (SI)
No encontro: sA 5 sB
2,0te 5 15,0 t2 3,0te
te 5 3,0 s
se 5 2,0te 5 2,0 ? 3,0 5 6,0 m
A bola B terá percorrido |Ds| tal que:
|Ds| 5 15,0 2 6,0 ⇒ |Ds| 5 9,0 m
Resposta: d.
 7. a
 8. 
a) A distância d1 percorrida pelo mais rápido até o 
segundo encontro no ponto C é:
 d1 5 700 1 AC�
 d1 5 700 m 1 200 m ⇒ d1 5 900 m
 Então:
 v
d
t v
900 m
100 s1
1
1� �∆ ⇒ ⇒ v1 5 9,0 m/s
 A distância d2 percorrida pelo mais lento é o arco AC�
medido no sentido horário:
 d2 5 700 2 AC� ⇒ d2 5 700 2 200 ⇒ d2 5 500 m
 Então:
 v
d
t v
500 m
100 s2
2
2� �∆ ⇒ ⇒ v2 5 5,0 m/s
b) Como eles estão em sentidos opostos:
 vrel 5 |v1| 1 |v2|
 vrel 5 9,0 m/s 1 5,0 m/s ⇒ vrel 5 14,0 m/s
c) vrel ? Δt 5 Δsrel
 14 ? T 5 700 ⇒ T 5 50 s (metade do tempo gasto 
até o segundo encontro em C).
CAPÍTULO 5 – MOVIMENTO UNIFORMEMENTE 
VARIADO
Exercícios complementares
 1. I. Correta. Tomando-se o referencial em B:
 αrel 5 αA 2 αB 5 5,0 m/s
2 2 5,0 m/s2 5 0
 Logo, o movimento é retilíneo e uniforme.
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 vrel 5 vA 2 vB 5 5,0 m/s 2 3,0 m/s 5 2,0 m/s
 Concluindo: se aproxima de B com velocidade de 
2,0 m/s, em MRU.
 II. Errada. Também se aproxima de A, em MRU.
 III. Errada. 
 αrel 5 0; logo, é MRU.
 IV. Correta.
 Δsrel 5 vrel ? Δt (é um MRU)
 12 5 2,0 ? Δt ⇒ Δt 5 6,0 s
Resposta: c.
 2. ac 5 aceleração da cabina em relação ao referencial 
no solo
am 5 aceleração da moeda em relação ao referencial 
no solo
ac 5 1,2 ? g; am 5 g; ambas são verticais para baixo
arel 5 ac 2 am 5 1,2 ? g 2 1,0 ? g
arel 5 0,2 ? g
A velocidade relativa inicial da moeda com referencial 
no elevador é zero.
1o. ) s (v ) t
a
2 trel rel
rel 2� � � �( )∆
 2,25 5 0 1 0,1 ? g ? T2
 Sendo g 5 10 m/s2 ⇒ T 5 1,5 s
2o. ) Cálculo da velocidade v1 da moeda ao atingir o 
teto, com o referencial no teto:
 vrel 5 v0 1 (arel) ? t
 ⇓
 v1 5 0 1 (0,2 ? g) ? T
 v1 5 0,2 ? 10,0 ? 1,5 ⇒ v1 5 3,0 m/s
3o. ) Cálculo da velocidade v2 da cabina, com o referen-
cial no solo:
 v2 5 v0 1 (ac) ? t
 v2 5 0 1 1,2 ? g ? T
 v2 5 1,2 ? 10,0 ? 1,5 ⇒ v2 5 18,0 m/s
Resposta: c.
 3. d
 4. a
 5. Nos instantes t 5 0 e t 5 t1, os carros A e B ocupam 
a mesma posição e, portanto, entre 0 e t1, temos:
DsB 5 DsA ⇒ vm(B) 5 vm(A)
Como A está em movimento uniforme:
vm(A) 5 vA (constante)
Como B está em movimento uniformemente variado, 
temos:
v
v v
2
v
2m
0 B B
(B)
(B)�
�
�
Portanto: 
v
2 v
B
A� ⇒ 
v
v 2
B
A
�
Resposta: d.
 6. Sendo a aceleração escalar constante, o movimento é 
uniformemente variado:
s
t
v v
2
0 f�
�∆
∆
250
T
30 20
2�
� ⇒ T 5 10 s
Resposta: a.
 7. No movimento retrógrado a velocidade escalar é nega-
tiva. No movimento acelerado a velocidade deve ter o 
mesmo sinal. 
Concluindo, no movimento retrógrado e acelerado: 
v , 0 e α , 0
Resposta: d.
 8. a) α ∆∆1
1v
t
18 m/s
12 s� � ⇒ a1 5 1,5 m/s
2 
 α
∆
∆2
2v
t
18 m/s
9,0 s� � ⇒ a1 5 2 m/s
2
b) DS1 
N
5 área do triângulo 5 b h2
�
 s 18 242 216 m1 �
� �∆
 DS2 
N
5 área do triângulo 5 b h2
�
 s 15 302 225 m2 �
� �∆
 Concluindo, o móvel (2) alcançou e ultrapassou o 
móvel (1).
 
Se
tu
p
v (m/s)
24
30
2
1
3,0 180 t (s)
 9. b
 10. c
 11. a
 12. Como o vértice da parábola corresponde ao ponto de 
inversão do movimento e este corresponde a t 5 0, 
temos: v0 5 0
Ainda, da leitura do gráfico:
t 5 0 ⇒ S0 5 20 m
A equação horária, provisoriamente, é:
s s v t 2 t S 20 2 t0 0
2 2� � � � � � �α α⇒
Substituamos o seguinte par de valores:
t 5 4,0 s ↔ s 5 0
0 20 2 (4,0)
2� � �α
8,0 20 208,0 2,5 m/s
2� � � � � � � �α ⇒ α ⇒ α
Finalmente, a equação horária fica:
S 5 20 2 1,25 ? t2 (unidades SI)
Resposta: c.
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5
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 13. 1o. ) t 5 t1 ⇒ s 5 s1 5 0
 2,0t31 2 16,0 5 0
 t31 5 8,0 ⇒ t1 5 2,0 s
2o. ) v dsdt 6,0t (SI)
2� �
 t1 5 2,0 s ⇒ v1 5 24,0 m/s
3o. ) α dvdt 12 t (SI)1 � � �
 t1 5 2,0 s ⇒ α1 5 24,0 m/s
2
Resposta: e.
 14. a) s 5 2,0t3 1 4,0t 2 4,0 (SI)
 t1 5 0 ⇒ s1 5 0 1 0 2 4,0 ⇒ s1 5 24,0 m
 t2 5 2,0 s ⇒ s2 5 2,0 ? (2,0)
3 1 4,0 ? 2,0 2 4,0 ⇒
 ⇒ s2 5 20 m
 Δs 5 s2 2 s1
 Δs 5 (20) 2 (24,0) 5 24 m
 Δt 5 t2 2 t1 5 2,0 s
 v st
24 m
2,0 sm � �
∆
∆ ⇒ vm 5 12 m/s
b) v dsdt (derivada)�
 v 5 6,0t2 1 4,0 2 0
 v 5 6,0t2 1 4,0
 t1 5 0 ⇒ v0 5 0 1 4,0 ⇒ v0 5 4,0 m/s
 t2 5 2,0 s ⇒ v2 5 6,0 ? (2,0)
2 1 4,0
 v2 5 24 1 4,0 ⇒ v2 5 28 m/s
c) α ⇒ α ⇒ αdvdt 12t 0 12t� � � �
 para t2 5 2,0 s ⇒ α2 5 12 ? 2,0 ⇒ α2 5 24 m/s
2
CAPÍTULO 6 – MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO
Exercícios complementares
 1. 
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
h
A
B
t0 � 0
tB � T
�t � 1 s
tC � (T � 1)
h
2
h
2
C
∆s 12 g t
2� � �
De A até B:
h
2
1
2 g T
2� � � 1
De A até C:
h 12 g (T 1)
2� � � � 2
De 1 e 2 vem:
g T 12 g (T 1)
2 2� � � � �
2gT g(T 1)2 2� �
2T2 5 T2 1 2T 1 1
T2 2 2T 2 1 5 0
T 2 82�
�
⇒T 2 2 22 T 1 21 1�
� � � ou
T2 , 0 (descartado)
Voltando à equação 2 :
)(h 12 g 1 2 1
2
� � � � �
g 5 10,0 m/s2
h 5,0(2 2) 5,0(2 1,4)2 2� � �� ⇒ h  57,8 m
 2. α ↑⊕h h v t 2 t0 0
2� � �
h1 5 10,0t 2 5,0t
2
h2 5 10,0(t 2 1,0) 2 5,0(t 2 1,0)
2
h1 5 h2
10,0t1 2 5,0t
2
1 5 10,0t1 2 10,0 2 5,0(t
2
1 2 2,0t1 1 1,0)
25,0t21 5 210,0 2 5,0t
2
1 1 10,0t1 2 5,0
10,0t1 5 15,0 ⇒ t1 5 1,5 s
hE 5 10,0 ? 1,5 2 5,0(1,5)
2 (m)
hE 5 15,0 2 11,25 (m) ⇒ hE 5 3,75 m
Resposta: c.
 3. a) H2g
b) 3H4
 4. a) g H�
b) zero e g H�
 5. A (tA � 0)
B (tB � T)
h1
h2
C (tC � 2T)
g � 10 m/s2 (MUV)
1o. ) ∆ αs v t 2 t0
2� �
 AB: h g2 T1
2�
 AC: h h g2 (2T) 4
gT
21 2
2
2
� � �
 h1 1 h2 5 4h1 ⇒ h2 5 3h1
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INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
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e 
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çõ
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Volume 1
2o. ) H 5 h1 1 h2 5 4h1
 h H4
200
4 (m) 50 m1 � � �
 h2 5 3h1 5 150 m
Resposta: b.
 6. 1o. ) Em 1,0 s de queda, o corpo A percorreu uma dis-
tância d dada por:
 ∆ αs v t 2 t0
2� �
 d 10,02 (1,0) (m) 5,0 m
2� �
2o. ) Após 1,0 s de queda,o corpo A tem uma velocida-
de vA dada por:
 v 5 v0 1 αt
 vA 5 0 1 10,0 ? 1,0 (m/s) ⇒ vA 5 10,0 m/s
3o. ) No instante em que B foi abandonado, temos:
 
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
pB
5,0 m
A
vB � 0
vA � 10,0 m/s
 Adotando-se o instante em que B foi abandonado 
como origem dos tempos, temos:
 � � �s s v t 2 t0 0
2α
 sA 5 5,0 1 10,0t 1 5,0t
2 (SI)
 sB 5 5,0t
2 (SI)
4o. ) A condição do exercício é que:
 sA 2 sB 5 15,0 m
 5,0 1 10,0t1 1 5,0t
2
1 2 5,0t
2
1 5 15,0
 10,0t1 5 10,0 ⇒ t1 5 1,0 s
5o. ) A distância percorrida por B é dada por:
 sB 5 5,0t
2
 dB 5 5,0(1,0)
2 (m) ⇒ dB 5 5,0 m
Resposta: d.
 7. 1o. ) t 2Hgq �
 t
2H
gq
2 �
 H
gt
2
q
2
�
 
⇒H 9,80 (9,20)2 H 414,74 m
2
�
� �
2o. ) O módulo da velocidade do som é dado por:
 ∆ ⇒v
H
t
414,74
1,20 v 345,62 m/ssom som� � �
Resposta: d.
 8. 1o. ) O tempo de queda da bola A é dado por:
 ∆ αs v t 2 t0
2� �
 ⇒45,0 10,02 t t 3,0 sA
2
A� �
2o. ) Como a bola B é lançada 1,0 s depois, seu tempo 
de queda deve ser igual a 2,0 s, para que chegue 
ao solo no mesmo instante em que chega a bola A.
 Assim, temos:
 ∆ αs v t 2 t0
2� �
 45,0 v 2,0 10,02 (2,0)0
2
B
� � � �
 2,0v0B 5 25,0 ⇒ v0B 5 12,5 m/s
Resposta: a.
 9. Quando o projétil B voltar ao ponto de lançamento, ele 
terá uma velocidade vertical para baixo com módulo 
30,0 m/s e gastará um tempo T para chegar ao solo.
Como o tempo total de B é 2T, então ele deve gastar 
um tempo T para chegar ao ponto mais alto e retornar 
ao ponto de partida.
v v t (MUV)0� � α ↓⊕
130,0 5 230,0 1 10,0T
10,0T 5 60,0 ⇒ T 5 6,0 s
Para a descida do móvel A:
∆s v t 2 t (MUV)0
2� � α ↓⊕
H 30,0 6,0 10,02 (6,0) (m)
2� � �
H 5 180 1 180 (m) ⇒ H 5 360 m
Resposta: e.
 10. 1o. ) 
H
v � 0�
v0
 v2 5 v
2
0 1 2aDs
 02 5 v20 2 2gH
 H
v
2g
0
2
� 1
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Volume 1
2o. ) 
H
v'
�
2v0 � v'0
v � 0
3o. ) Substituindo 1 em 2 , vem:
 

v' 4v 2g
v
2g
2
0
2 0
2
� �
 v' 3v2 0
2� ⇒ v' v 30�
Resposta: d.
CAPÍTULO 7 – DIAGRAMAS HORÁRIOS
Exercícios complementares
 1. Na figura representamos as funções de velocidade 3 
tempo de cada um dos movimentos.
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
pvelocidade
v1
t1 t2A
D
B
CC
tempo
área (ABC t2) � área (ADC t1)
São paralelos, no gráfico: AB e DC e ainda AD e BC.
Em ambos os movimentos a distância percorrida é a 
mesma, pois a figura inicialmente dada é um paralelo-
gramo. Logo, a área sob o gráfico ADC é numericamente 
igual à área sob o gráfico ABC. Resta explicar por que o 
tempo para percorrer AB é maior que de percorrer DC: 
observemos que a área sob DC deve ser igual à área 
sob AB, o que nos leva a ter um maior intervalo de 
tempo no deslocamento AB.
v'2 5 v'20 1 2aDs
v'2 5 (2v0)
2 1 2 ? (2g) ? H
v'2 5 4v20 2 2gH 2
Essa explicação praticamente soluciona a questão, 
empurrando o tempo t2 para a direita de t1.
Resposta: b.
 2. a) Falsa: vA 5 12,5 m/s e vB 5 12,0 m/s
b) Falsa. De 0 a 4,0 s:
 α
∆
∆A
A 2 2
v
t
12,5
4,0 (m/s ) 3,125 m/s� � �
 De 0 a 103 s:
 αB
B 2 2
v
t
12,0
10
3
(m/s ) 3,6 m/s� � �
�
�
 Portanto, αB . αA.
 
v (m/s)
12,0
12,5
T 4,00
A
B
vA � vB
t (s)10
3
c) vA 5 v0 1 αAt
 12,0 5 3,125T ⇒ T 5 3,84 s
d) Correta: Ds 5 Área (v ? t)
 100 (T T 4,0) 12,52A A� � �
 2TA 2 4,0 5 16,0 ⇒ TA 5 10,0 s
 )(100 T T 103 12,02B B� � �
 2T 103
50
3B � �
 ⇒2T 603 T 10,0 sB B� �
 Sendo TA 5 TB, a corrida termina empatada.
e) Falsa. Quando os movimentos forem uniformes, 
ambas as acelerações escalares serão nulas.
Resposta: d.
 3. a) 1o. ) A ordenada y corresponde à velocidade escalar 
no instante t 5 0 e, de acordo com o texto:
 y 5 20,0 m
 2o. ) O conjunto de instrumentos se desprende do 
VLS no instante t 5 2,0 s.
 Do instante t 5 0 até o instante t 5 2,0 s, o 
VLS percorreu uma distância d dada por:
 d 5 vDt 5 20,0 ? 2,0 (m) 5 40 m
 H 5 H0 1 d 5 (100 1 40) m ⇒ H 5 140 m
b) 1o. ) | | g
| v|
tα � �
∆
∆
 ⇒g 20,02,0 (m/s ) g 10 m/s
2 2� �
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 2o. ) No instante t 5 4,0 s, o instrumento está na 
altura H1 tal que:
 H1 5 100 m 1 Ds1
 
v (m/s)
20,0
2 40 t (s)
 Ds1 5 área (v ? t)
 ∆s (4,0 2,0) 20,02 (m) 60 m1 � � �
 H1 5 160 m
 3o. ) Cálculo do tempo T a partir do instante t 5 4,0 s:
 ∆s v t 2 t (MUV)0
2� � α ↓⊕
 160 102 T
2�
 T 16 2 T 4 2 s 5,6 s2 � � � �⇒
 Portanto, o instante pedido é:
 Tf 5 4,0 s 1 5,6 s ⇒ Tf 5 9,6 s
 4. a) v 5 v0 1 αt
Esfera (1): lançada com velocidade v0 5 20 m/s:
v1 5 20 2 10t (em unidades do SI)
Esfera (2): abandonada em repouso:
v2 5 210t (em unidades do SI)
Diagramas horários:
Figura 1: esfera (1).
v (m/s)
20,0
v1
T0 t (s)
Figura 2: esfera (2).
v (m/s)
v2
T
0 t (s)
b) Determinação do instante de colisão:
 y y v t g2 t0 0
2� � � � �
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
 Esfera (1): lançada a partir do solo com velocidade 
escalar inicial 120 m/s:
 y1 5 0 1 20 ? t 2 5,0 ? t
2 (em unidades do SI)
 Esfera (2): abandonada a 40 m de altura, com 
velocidade inicial nula:
 y2 5 40 1 0 2 5,0 ? t
2 (em unidades do SI)
 No encontro, teremos y1 5 y2:
 120 ? t 2 5,0 ? t2 5 40 2 5,0 ? t2
 Sendo T o instante do encontro, teremos:
 20T 5 40 ⇒ T 5 2,0 s
c) Retomando as equações de velocidade e substi-
tuindo-se o tempo por T 5 2,0 s:
 v1 5 20 2 10t ⇒ v1 5 20 2 10 ? 2,0 ⇒ v1 5 0
 v2 5 210t ⇒ v2 5 210 ? 2,0 ⇒ v2 5 220 m/s
 5. a
 6. a) tE 5 2 s b) sA 5 3t; sB 5 4 1 t
 7. a) Trecho AB: a velocidade escalar é positiva e cres-
cente. Logo, o movimento é progressivo e ace-
lerado. Como o gráfico da velocidade é retilíneo, 
concluímos que se trata de um MUV.
 Trecho BC: a velocidade escalar é constante e 
diferente de zero. Trata-se de um MU. Sendo essa 
velocidade positiva, o movimento é progressivo.
 Trecho CD: a velocidade escalar é positiva, porém 
decresce uniformemente (linearmente). Trata-se 
de um MUV, de aceleração escalar negativa. Logo, 
é um movimento progressivo e retardado.
b) Trecho AB: � � �tg 4,02,0ABα θ ⇒
 ⇒ aAB 5 12,0 m/s
2
 Trecho BC: é um MU, portanto, aBC 5 0.
 Trecho CD: � � � �tg 6,02,0CDα θ ⇒
 ⇒ aCD 5 23,0 m/s
2
c) Trecho AB: DsAB 
N
5 área do trapézio 5 DsAB 5 8,0 m.
 Como o móvel partiu da origem, no instante 
t1 5 2,0 s, sua posição é sB 5 8,0 m.
 Trecho BC: DsBC 5 
N
 área do retângulo ⇒ DsBC 5 12 m
 	 	DsBC 5 sC 2 sB ⇒ 12 5 sC 2 8,0 ⇒ sC 5 20 m 
(posição no instante t2 5 4,0 s)
 Trecho CD: DsCD 5 
N
 área do triângulo ⇒ DsCD 5 6,0 m
	 	DsCD 5 sD 2 sC ⇒ 6,0 5 sD 2 20 ⇒ sD 5 26 m 
(posição no instante t3 5 6,0 s)
d) Diagramas horários de aceleração e velocidade:
 Nos movimentos uniformemente variados, os gráfi-
cos de posição em função do tempo serão parabó-
licos (trechos AB e CD). No movimento uniforme 
(BC), o gráfico será retilíneo e oblíquo.
 As duas parábolas terão concavidade dada pelas 
respectivas acelerações:
	 •	trecho	AB	⇒ aAB . 0 ⇒ concavidade para cima;
	 •	trecho	CD	⇒ aCD , 0 ⇒ concavidade para baixo.
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Volume 1
α (m/s 2)
2,0
�3,0
0
t (s)
A B
B C
C D
Figura 1. Gráfico da aceleração 3 tempo.
s (m)
4,0
2 4 6 8
8,0
12
16
20
24
28
0
t (s)
A
B
C
D
Figura 2. Gráfico da posição 3 tempo.
Observação: o ponto D é vértice da parábola, 
pois corresponde ao instante em que a veloci-
dade é nula.
 8. a) Ds 5 750m
b) 
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
s (m)
30 50
450
750
0 t (s)
 9. v (m/s)
10
20
0 t (s)
 v (m/s)
10,20,2
20
0 t (s)
Δs 5 área (v ? t)
∆s 10 202 (m) 100 m1 �
� �
∆s 10,2 0,2 202 (m) 104 m2 � � �( )
x 5 Ds2 2 Ds1 5 4,0 m
Resposta: b.
 10. a) v
t1 t2
t3 t4 t5
t60 t
b) 1) a :
1) MUV
2) progressivo (v 0)
3)
2 3t t �
rretardado (v 0 e 0)� �α




 2) a :
1) MUV
2) retrógrado (v 0)
3) r
5 6t t �
eetardado (v 0 e 0)� �α




 11. a) Sendo v 2 f (t) do 2o grau (o gráfico é parabólico), 
e função a 2 f (t) é do 1o grau e, portanto:
 α
α α
m
0 f
2�
�
 A partir do instante t 5 4,0 s a aceleração escalar 
é nula:
 ∆∆
v
t
0
2
8,0
4,0 2
0 0�
�
�
α α
⇒ ⇒
b) O deslocamento é medido pela área sob o gráfico 
(v 3 t), onde cada quadrado representa um des-
locamento de 0,5 m. O número aproximado de 
quadrados é 13,5.
	 Ds 5 13,5 ? 0,5 m
 Ds 5 6,7 m
 12. A velocidade escalar média é dada por:
∆
∆ ⇒ ⇒v
s
t
54,0
3,6
900
tm � � t 5 60 s
 No gráfico v 5 f (t), a área mede o deslocamento 
escalar:
)(
900
t t3 v
2
1
�
�
1 800 5 (60 1 20)v1 ⇒ v1 5 22,5 m/s
Entre os instantes 0 e t3 , temos: 
SR 
N
5 área (v ? t)
S
t
3 v
2 S
20 22,5
2 (m)R
1
R�
�
� �
( )
⇒
SR 5 225 m
Entre os instantes t3 e 
2
3 t, temos:
∆s v t31� �
⇒S 225 22,5 603S � � � SS 5 675 m
Resposta: c.
a0 5 4,0 m/s
2
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CAPÍTULO 8 – VETORES
Exercícios complementares
 1. d
 2. Como a
b
| |
| |
3
4 ,5 podemos fazer: |a | 5 3x e |b | 5 4x
R
b
a
Assim: |a |2 1 |b |2 5 |R |2
(3x)2 1 (4x)2 5 402
Donde tiramos x 5 8. Portanto, |a | 5 24 e |b | 5 32.
 3. b
 4. 12 2 7 < R < 12 1 7 ⇔ 5 < R < 19
Resposta: e.
 5. a 5 3i 1 4j; b 5 23i 1 2j; c 5 23i 2 2j; d 5 3i; 
e 5 22j
 6. d
 7. b
 8. a) F
b) V
c) V
d) F
e) F
f) V
 9. d
CAPÍTULO 9 – CINEMÁTICA VETORIAL
Exercícios complementares
 1. a) 34 m
b) 26 m
c) 17 m/s
d) 13 m/s
 2. a) p203 m
b) 10 3 m
c) p56 m/s
d) 5 34 m/s
 3. a) V
b) F
c) V
d) V
e) V
f) F
 4. c
 5. a) 1,0 m/s2
b) 0,50 m/s2
 6. a) 10 m/s2
b) 24 m/s2
c) 24 m/s
d) 24 m
 7. d
 8. 72 km/h
 9. b
 10. d
 11. c
 12. c
CAPÍTULO 10 – COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
Exercícios complementares
 1. a) 130 km/h
b) 26 km
 2. 12 m/s
 3. a) 12 m/s
b) q  23°
c) 4,0 s
 4. 4,0 m/s
 5. a) 0,50 m/s
b) 0,83 m/s
c) 0,67 m/s
 6. b
CAPÍTULO 11 – CINEMÁTICA ANGULAR
Exercícios
 2. a) 20,50p rad/s2
b) w 5 10p 2 0,50pt (SI)
c) 50
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 3. 3,0 rad/s2
 4. a
 5. c
 6. 2,0 rad/s2
 7. b
 8. b
 9. 10 s
 10. b
Exercícios complementares
 11. c
 12. b
 13. b
 14. 14
 15. a
 16. b
 17. d
CAPÍTULO 12 – LEIS DE NEWTON
Exercícios complementares
 1. )( ⇒ ⇒
⇒ ⇒
F m a m m a4 4m m m
3m m
m
m
1
3
A A B A A B
A B
A
B
� � � � � � �
� �
Resposta: a.
 2. a) V
b) V
c) F
d) F
 3. a
 4. e
 5. d
 6. p 5 mg 5 (68 kg) (10 m/s2) 5 680 N
a) 
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
P
FB
FM
 FB 1 FN 5 P ⇒ FB 1 650 ⇒ 680 ⇒ FB 5 30 N
b) FN
 FN 5 650 N
 7. a) 800 N
b) 840 N
c) 560 N
 8. a) 6,0 m/s2
b) 72 N
 9. e
 10. a) 2,0 m/s2
b) 25 N
 11. a) 4,0 m/s2
b) 52 N
 12. a) 2,5 m/s2
b) 60 N
 13. a) 2,0 m/s2
b) 4,0 N
 14. Cada anel tem massa m0 5 200 gramas 5 0,200 kg. 
Portanto, o peso de cada anel é: 
P0 5 m0 ? g 5 (0,200 kg)(10 m/s
2) 5 2,0 N
a
Fanel
do
meio
P � 4P0
F
g
Supondo movimento acelerado para cima, temos:
F 2 4P0 5 (4m0) ? a
F 2 4(2,0) 5 (4)  ? (0,200)(2,0 m/s2)
F 2 8,0 5 1,6
F 5 9,6 N
Resposta: b.
 15. a) Podemos considerar todo o conjunto formando 
um único corpo de massa m 5 mA 1 mB, isto é, 
m 5 8,0 kg (fig. a). Esse corpo tem peso P: 
 P 5 m ? g 5 (8,0) ? (10) ⇒ P 5 80 N
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Volume 1
 
a
F
P
m
 Figura a.
Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos:
F 2 P 5 m ? a
112 2 80 5 8,0 ? a
a 5 4,0 m/s2
b) Consideremos agora as forças que 
atuam em cada bloco (fig. b). 
Sejam PA e PB os pesos de A e B;
a tração no fio tem intensidade T.
 Aplicando a Segunda Lei de Newton 
ao bloco A (e observando que o 
movimento é acelerado para cima), 
temos:
 T 2 PA 5 mA ? a
 T 2 50 5 (5,0) ? (4,0)
 T 5 70 N
 Poderíamos, também, ter aplicado a 
Segunda Lei de Newton ao bloco B:
 F 2 T 2 PB 5 mB ? a
 112 2 T 2 30 5 (3,0) ? (4,0)
 T 5 70 N
 16. a) 12 m/s2 b) 8,0 N
CAPÍTULO 13 – APLICAÇÃO DAS LEIS DE NEWTON
Exercícios
 2. a) 1,0 m/s2
b) 2,0 m/s2
c) 36 N
 3. a) 12 m/s2; 6,0 m/s2 b) 24 N
 4. 
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
2T
4T
2T
T
T T
PA
PB
f1 f2
X
B
A
Y
mA 5 3,0 kg; mB 5 2,0 kg; g 5 10 m/s
2; PA 5 30 N; 
PB 5 20 N
Figura b.
a
F
T
T
PB
PA
B
A
Se o sistema estivesse em equilíbrio, deveríamos ter:
PA 5 T e PB 5 4T
Isto é: PB 5 4PA e mB 5 4mA (equilíbrio)
Como neste caso temos mA 5 3,0 kg e mB 5 2,0 kg, 
concluímos que mB , 4mA e, portanto, A deve descer 
com aceleração de módulo aA e B deve subir com 
aceleração de módulo aB.
a) Sejam aX e aY os módulos das acelerações das polias 
X e Y e usando o raciocínio desenvolvido para a 
polia móvel, concluímos que, nesse caso, aA 5 2aX 
e aX 5 2aY. Mas aY 5 aB. Portanto: aA 5 4aB.
b) Como A deve descer temos PA . T e como B deve 
subir devemos ter 4T . PB. Ficamos então com o 
sistema de equações:
 
P T m a
4T P m a
a 4a
A A A
B B B
A B
� � �
� � �
�




 
ou
30 T 3,0 a
4T 20 2,0 a
A
B
� � �
� � �
a 4aA B�




Substituindo 3 em 1 , ficamos com o novo sis-
tema:
30 T 12 a
4T 20 2,0 a
B
B
� � �
� � �



Resolvido esse novo sistema, obtemos aB 5 2,0 m/s
2 
e T 5 6,0 N
Substituindo em 3 , obtemos aA 5 8,0 m/s
2.
c) T 5 6,0 N
 5. a) 250 N
b) 0,5 m
 6. b
 7. 
A B
C
TT
T T
2T
PC
B
T
T
2T
PC
A
T
T
C
dC
dA dB
mA 5 15 kg; mB 5 10 kg; mC 5 24 kg;
g 5 10 m/s2; PC 5 240 N
1
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Volume 1
a) Para fixar ideias, podemos supor que o siste-
ma foi abandonado em repouso. Depois de um 
intervalo de tempo Dt, o bloco A deslocou-se dA 
para a direita, enquanto o bloco B deslocou-se 
dB para a esquerda. Nesse mesmo intervalo de 
tempo, o deslocamento do bloco C (para baixo) 
é dC, dado por:
 d
d d
2C
A B�
�
 A mesma relação vale para os módulos das veloci-
dades e os módulos das acelerações:
 a
a a
2C
A B�
�
 1
b) e c)
 T m a
T m a
P 2T m a
A A
B B
C C C
� �
� �
� � �




⇒
T 15 a
T 10 a
240 2T 24a
A
B
� �
� �
� � CC
A
B
a T15
a T10




⇒
⇒
�
�
a 240 2T24C �
�






 Substituindo 2 , 3 e 4 em 1 :
 240 2T24
T
15
T
10
2
� �
�
∴ T 5 60 N
 Colocando o valor de T em 2 e 3 , obtemos 
aA 5 4,0 m/s
2 e aB 5 6,0 m/s
2. Substituindo em 
1 , tiramos aC 5 5,0 m/s
2.
 8. 
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
A
B
2T
2T
T
A
B
2T
2T
T
PB
mA 5 1,0 kg; mB 5 6,0 kg; g 5 10 m/s
2; PB 5 60 N
Se, num intervalo de tempo Dt, o bloco A tem um 
deslocamento dA para a direita, o eixo da polia móvel 
também tem um deslocamento dA para baixo. Mas, 
como a polia móvel é envolvidapor dois ramos de 
fio, o bloco B, nesse intervalo de tempo, desce uma 
distância dB tal que:
dB 5 2dA
2
3
4
A mesma relação vale entre as acelerações:
aB 5 2aA 1
2T m a
P T m a
2T (1,0A A
B B B
� �
� � �
�


⇒
)) a
60 T (6,0)(2a )
A
A
�
� �



Resolvendo o sistema formado pelas equações 2 e 3 
obtemos:
aA 5 4,8 m/s
2; aB 5 9,6 m/s
2; T 5 2,4 N
 9. 
Se
tu
pT
PA
A
T
PC
C
2T
PB
B
mA 5 4,0 kg; mB 5 16 kg; mC 5 8,0 kg;
g 5 10 m/s2
PA 5 40 N; PB 5 160 N; PC 5 80 N
Suponhamos que A e C subam com acelerações de 
módulos aA e aC, respectivamente. Assim, B deve des-
cer com aceleração de módulo aB. Usando o mesmo 
raciocínio do exercício 7, concluímos que:
a
a a
2 ou a a 2aB
A C
A C B�
�
� � 1
T P m a
T P m a
P 2T m
A A A
C C C
B
� � �
� � �
� � BB B
A
a
T 40 (4,0)(a )
T
�
� �



⇒ �� �
� �
80 (8,0)(a )
160 2T (16)(a )
C
B




Das equações 2 , 3 e 4 tiramos:
a T 404,0 ;
a T 808,0 ;
a 160 2T
A
C
B
� �
� �
� �116
Substituindo 5 , 6 e 7 em 1 :
( )T 404,0 T 808,0 2 160 2T16� � � � � �
Resolvendo esta equação, obtemos: T 5 64 N
Substituindo esse valor de T nas equações 5 , 6 e 
7 tiramos:
aA 5 6,0 m/s
2; aC 5 22,0 m/s
2; aB 5 2,0 m/s
2
2
3
2
3
4
5
6
7
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Volume 1
O fato de aC resultar negativa significa que nossa 
hipótese inicial sobre o movimento de C estava erra-
da. Assim, C deve descer com aceleração de módulo 
2,0 m/s2.
Exercícios complementares
 10. 250 N
 11. a) 2,0 m/s2
b) É acelerado para cima ou retardado para baixo.
 12. a) Consideremos o elevador e o homem 
formando um único corpo, cuja massa 
é M 5 mH 1 mE, isto é, M 5 600 kg. 
O  peso desse corpo tem módulo 
P 5 M ? g ou P 5 6 000 N. 
 Aplicando a Segunda Lei de Newton 
(lembrando que o elevador está subin-
do com movimento acelerado), temos:
 T 2 P 5 M ? a
 T 2 6 000 5 600 ? 2,0 ⇒	 T 5 7 200
b) O peso do homem tem módulo PH dado por:
 PH 5 mH ? g 5 80 ? 10 ⇒ PH 5 800 N
 Observando que o sistema 
tem movimento acelerado 
para cima, apliquemos a 
Segunda Lei de Newton ao 
homem:
 FN 2 PH 5 mH ? a
 FN 2 800 5 80 ? 2,0 ⇒
	 ⇒	 FN 5 960 N
 M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
FN
 13. b
 14. e
 15. 25 N
 16. a) 4,0 m/s2
b) 6,0 kg
 17. 

P m g 9,0 10 P 90 N
P m g 5,0 10 P 50 N
A A A
C C C
� � � � �
� � � � �
O peso do bloco B se anula com a normal. Observando 
que PA . PC, apliquemos a Segunda Lei de Newton a 
cada bloco:
T
P
M
Se
tu
p
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
PH
FN
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
C
B
T
T
PC
FN
PA
PB
T'
T'
A
=
=
Figura a.




P T' m a
T' T m a
T P m a
A A
B
C C
� � �
� � �
� � �
 ou 
90 T' 9,0 a
T' T 6,0 a
T 50 5
� � �
� � �
� � ,,0 a�




Adicionando membro a membro as igualdades 1 , 2 
e 3 , obtemos:
90 2 50 5 20 ? a
a 5 2,0 m/s2
Poderíamos, também, ter usado o artifício de ima-
ginar o sistema “esticado” (fig. b). Aplicando a 
Segunda Lei de Newton, temos:
PA 2 PC 5 (mA 1 mB 1 mC) ? a
90 2 50 5 (9,0 1 6,0 1 5,0) ? a
a 5 2,0 m/s2
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
PCPA
CBA
Figura b.
b) Substituindo o valor de a na equação 1 , temos:
 90 2 T' 5 9,0 ? 2,0 
 T' 5 72 N
c) Substituindo o valor de a na equação 3 , temos:
 T 2 50 5 5,0 ? 2,0
 T 5 60 N
 18. 8,0 m/s2
 19. a) 3,0 s
b) 6,0 m/s
 20. 4,0 s
 21. 0,50 m/s2
 22. a
 23. a) 3,0 ? 102 N
b) 4,0 ? 102 N
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 24. 
M
a
rC
o
 a
. S
iS
M
o
tt
o
A
B
1 m
T
T
A
B
T
T
PB
WM N
MN 5 5 m; MW 5 1 m; WN 5 4 m
No trecho MW (enquanto o bloco B não encosta no 
solo) o bloco A tem MUV de aceleração a:
PB 5 (mA 1 mB) ⇒ 20 5 (8,0 1 2,0) ? a ⇒ a 5 2,0 m/s
2
s 2 s0 5 v0t 1 
1
2 at
2 ⇒ MW 5 12 at
2
1 ⇒
⇒ 1 5 12 (2,0)t
2
1 ⇒ t1 5 1,0 s
No ponto W o bloco A terá velocidade vw 5 2,0 m/s.
O trecho WN será percorrido com MUV num intervalo 
de tempo:
∆t WNv
4
2,0 s 2,0 sw
� � �
Portanto, o tempo total para o percurso MN é:
Dt' 5 t1 1 Dt 5 (1,0 1 2,0) s 5 3,0 s
Resposta: e.
 25. a) 5,0 ? 103 N
b) 6,05 ? 103 N
 26. a
 27. a) 140 N
b) 30 m/s2
 28. 
Se
tu
p
Fx
F
P
θ
Fy
FN
a) Temos, então:
 P 5 m 5 12 ? 10
 P 5 120 N
 
F F cos F 0,80
F F sen F 0,60
x
y
� � �
� � �
θ
θ



 Enquanto o bloco se mantiver em contato com o 
plano horizontal, teremos:
 Fy 1 FN 5 P
 Imaginemos agora que a intensidade de F vai aumen-
tando a partir de zero. À medida que aumenta a 
intensidade de F, aumenta a intensidade de Fy e, 
portanto, diminui a intensidade de FN. Há, então, 
um valor de F para o qual Fy 5 P e FN 5 0; nesse 
caso, o bloco ainda está em contato com o plano 
horizontal, mas não o comprime.
 A partir daí, qualquer aumento de F fará com que 
o bloco adquira movimento para cima, perdendo o 
contato com o plano horizontal. Assim, para que o 
bloco não perca o contato com o plano horizontal, 
o valor máximo de F é aquele para o qual:
 Fy 5 P
 F ? 0,60 5 120
 ou F 5 200 N
 Portanto, Fmáximo 5 200 N
b) A resultante das forças que agem no bloco é Fx. 
Mas para F 5 Fmáximo, teremos:
 Fx 5 F ? 0,80 5 200 ? 0,80
 Fx 5 160 N
 Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos:
 Fx 5 m ? a
 160 5 12 ? a
 a  13 m/s
2
 29. a) 80 N
b) 10 3 m/s2
 30. 
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
pF1
F2
F
PA
θ
FN
A
F3A
PB
FN
B
F3 A
θ θ



m 20 kg; m 10 kg; F 30 N
sen 0,40; cos 0,90; g 10 m/s
A B
2
� � �
� � �
F1 5 F ? cos q 5 54 N; F2 5 F ? sen q 5 24 N
a) F1 (mA 1 mB) ? a ⇒ 54 5 30 ? a ⇒ a 5 1,8 m/s
2
b) F3 5 mB ? a 5 (10)(1,8) ⇒ F3 5 18 N
c) FNA 5 F2 1 PA 5 F2 1 mA ? g 5 224 N
 FNB 5 PB 5 mB ? g 5 100 N
 31. a) 
T
P
14°
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Volume 1
b) v
c) 2,5 m/s2
 32. 24 m/s2
 33. 39o
 34. d
 35. a) 3,0 m/s2
b) 4,0 s
c) 24 m
 36. a) 2,4 m/s2
b) 72 N
c) 72 10
5 N
 37. a) 1,7 m/s2 b) 23,1 N
 38. No trecho BC o movimento é retardado. Assim, se 
considerarmos a velocidade positiva, a aceleração será 
negativa: a 5 2g sen q. No ponto B a velocidade é 
vB 5 v0 e no ponto C a velocidade é vC 5 0. Aplicando 
a equação de Torricelli para o trecho BC, temos:
v v 2a BC 0 v 2g(sen ) BCC
2
B
2
0
2� � � �( ) ⇒ ( )θ
BC
v
2g sen
0
2
⇒
⇒ � θ
Resposta: e.
 39. 
O
B
h
A
s (m)s0
θ
Adotemos um eixo de espaços orientado para cima 
com origem no ponto O. Como a aceleração tem sen-
tido para baixo, temos:
a 5 2g sen q 5 [210(0,5)] m/s2 5 25,0 m/s2
No instante t 5 0, o carrinho está no ponto A (cujo 
espaço é s0) e tem velocidade v0 5 10 m/s. Do triân-
gulo OAB, tiramos:
OA s hsen
15
0,5 m 30 m0� � � �θ
Equação horária do espaço:
⇒s s v t 12 at s 30 10t 2,5t0 0
2 2� � � � � � 1
Quando o carrinho atingir a base da rampa, teremos 
s 5 0. Substituindo em 1 :
0 5 30 1 10t 2 2,5t2 ⇒ t2 2 4,0t 2 12 5 0 ⇒
⇒ t 5 6,0 s ou t 5 22,0 s 
Portanto: Dt 5 6,0 s
 40. c
CAPÍTULO 14 – LANÇAMENTO OBLÍQUO
Exercícios complementares
 1. a) F c) V e) V g) F
b) F d) V f) V 
 2. a) A v 2hg0� b) v v 2gh0
2� �
 3. 30 m/s
 4. d
 5. O valor mínimo de v0 corresponde ao alcance:
A 5 50 1 850 \ A 5 900 m
Equações horárias de x e y:
x 5 v0t
y 5 5,0t2
Cálculo do tempo de queda (y 5 h 5 45 m):
45 5 5,0t2 ⇒ t2 5 9 ⇒ t 5 3,0 s
Para x 5 A 5 900 m, vem: 
900 5 v '0 ? 3,0 ou v '0 5 300 m/s
Como esse v '0 é o valor mínimo, teremos:
v0> 300 m/s
 6. ∆∆ ⇒ ∆ ∆g
v v gt = ( t)�
Dt 5 2,0 s ⇒ Dv 5 g(2,0) ⇒ |Dv| 5 10(2,0) ⇒ 
⇒ |Dv| 5 20 m/s
|v |2 5 |v0|
2 1 |Dv |2
| | 53 | |0v v� . Portanto:
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
v
�v
v0
5
3 | | | |
25
9 v v0
2
0
2 2
0
2
0
2| |v v v( ) ⇒� � � �∆ 220
16
9 v 20
4
3 v 20
2
0
2 2
0
⇒
⇒ ⇒ ⇒� �
 7. Tudo se passa como se o automóvel estivesse parado 
e o helicóptero tivesse velocidade v0 dada por:
v0 5 (180 km/h) 2 (144 km/h) 5 36 km/h 5 10 m/s
θ
v0
h
A
v0 5 15 m/s
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Volume 1
h 5 80 m
⇒ ⇒h g2 t 80
10
2 t t 4,0 s
2 2� � �
A 5 (v0)(t) 5 (10 m/s)(4,0 s) 5 40 m
tg hA
80 m
40 m 2θ � � �
q 5 arc tg 2  63,4o
 8. 
A
A' � 2A
t'
t
y'
y
O
(t � 0)
v0
A 5 v0t; A' 5 v0t'
A' 5 2A ⇒ v0 t' 5 2(v0t) ⇒ t' 5 2t 1
y g2 t
2�
y' g2 (t')
g
2 (2t)
g
2 (4t ) 4y
2 2 2� � � �
Resposta: d.
 9. h 5 80 cm 5 0,80 m
O tempo de queda é dado por:
⇒ ⇒h g2 t 0,80
10
2 t t 0,4 s
2 2� � �
A 80m
A v t 80 v t 80 v (0,4)0 0 0
�
�
� �



⇒ ⇒ ⇒
⇒ v0 5 200 m/s
 10. 
10
A C
B
S
180 � y
θ
O
x � 10
x (m)x
y (m)
y
180
v0
Adotemos um sistema de coordenadas com origem O 
como mostra a figura. As equações horárias de x e y são:
x 5 15t; y 5 5,0t2
Considerando o triângulo retângulo ABC, temos:
θtg BC
AC
180 y
x 10
180 5,0t
15t 10
2
� �
�
�
� �
�
Mas, q 5 64o e, consultando a tabela deste CD, obte-
mos tg q 5 tg 64o  2,0. 
Assim: 2,0 180 5,0t15t 10
2
� �
�
Resolvendo esta última equação, obtemos as raízes 
t' 5 4,0 e t" 5 210. Desprezando a raiz negativa, 
temos t 5 4,0 s.
t 5 4,0 s ⇒ y 5 5,0t2 5 (5,0)(4,0)2 ⇒ y 5 80 m
h 5 180 2 y 5 180 2 80 ⇒ h 5 100 m
 11. e
 12. 
x
v0
v0
O
v0
v0
O
d
40 m
y
x
y
Se
tu
p
No instante em que é lançada, a pedra tem veloci-
dade vertical v0y 5 10 m/s (a do balão) e horizontal 
v0x 5 30 m/s.
A equação horária de y é:
y 5 v0yt 2 5,0t
2
y 5 10t 2 5,0t2
Cálculo do instante em que a pedra chega ao solo:
y 5 240 m
240 5 10t 2 5,0t2 ⇒ t2 2 2,0t 2 8,0 5 0
Resolvendo: t 5 4,0 s
A equação horária de x é: 
x v t
x 30t
0x
�
�



A distância d vale: 
d 5 30 ? 4,0 ⇒ d 5 120 m
Resposta: c.
 13. 45 m
 14. Dados: sen θ 5 0,26; cos θ 5 0,97; sen2 θ 5 0,07; 
cos2 θ 5 0,94; g 5 9,8 m/s2
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inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
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Lu
iz
 F
er
n
a
n
d
o
 r
u
bi
o
10 m
5 m
x
y
v0
v0x 5 v0 ? cos q 5 v0 ? 0,97
v0y 5 v0 ? sen q 5 v0 ? 0,26
Equações horárias de x e y:
y v t 4,9t y 0,26v t 4,9t
x v
0
2
0
2
y
� � � �
�
⇒
00 0x
t x 0,97v t� �⇒
Para x 5 10 m: 
10 5 0,97v0t ⇒ t
10
0,97v0
�
Para y 5 25 m: 
5 0,26v 100,97v 4,9
100
0,94v0 0 0
2� � � �
� � � �5 2,68 521,3v
521,3
v 7,680
2
0
2⇒
v20 5 67,9 ⇒	 v0 5 8,24 m/s
 15. v 2gH (equação de Torricelli)y �
vH
vH
v0
vy
vy � 0
H
Se
tu
p
v0
2 5 vy
2 1 vH
2 ⇒
⇒ vH
2 5 v0
2 2 vy
2 ⇒
⇒ ⇒v v vH 0
2
y
2� �
⇒ v v 2ghH 0
2� �
Resposta: d.
 16. 45 m/s
 17. c
 18. b
 19. 11 m/s
 20. c
 21. c
 22. 75o
 23. A v sen 2g
v (2 sen cos )
g
0
2
0
2
�
�
�
� � �θ θ θ
H
v
2g
(v sen )
2g
v sen
2g
0
2
0
2
0
2 2
y� �
 �
�
�θ θ
A H
v (2 sen cos )
g
v sen
2g
0
2
0
2 2
� �⇒ ⇒
⇒
θ θ θ
2 cos
1
sen sen
cos 4 tg 4
θ θ θ
θ θ� � �2 ⇒ ⇒
Portanto: θ 5 arc tg 4  76o
 24. b
 25. a) 45o
b) 4 30 m/s 
c) 12 m
 26. a) 20 2 m/s
b) 80 m
 27. 4
 28. a
 29. a) 6,0 s
b) 120 m
c) 20 m/s
 30. v0 5 velocidade inicial da partícula A 5 10 m/s
v0' 5 velocidade inicial da partícula B
θ 5 60o; g 5 10 m/s2
y
100 x
40 3
v0
O
θA
B
v'0
v0x
v0y
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
Figura a.
a) Para a partícula lançada obliquamente:
 
v v sen 60 10 32
v 5,0 3 m/s
v
0 0
o
0
0
y
y
x
� � �
�
� vv cos 60 10 12
v 5,0 m/s
0
o
0x
� �
�
( )
 100 5 (v0x)(t) ⇒ 100 5 (5,0)(t) ⇒ t 5 20 s
b) Representando os deslocamentos na ausência 
de gravidade, o encontro ocorreria no ponto C 
(fig. b).
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O
θ
B
D
C
v'0
dB
dA
v0y
v0x
 Figura b.
 θ ⇒ θ60º tg 3� �
 DCOD tg
DC
100 3 DC 100 3 m� � �θ ⇒ ⇒
 Lembrando que DB 40 3 m� , temos:
 BC DC DB 100 3 40 3 BC 60 3 m� � � � �⇒
 BC (v')(t) 60 3 v' (20)0 0� �⇒ ⇒
 ⇒	 v'0 5 3 3 m/s
 31. As duas partículas terão, devido à gravidade, o mes-
mo deslocamento d para baixo, dado por:
d g12 t
2�
Assim: | | 12 (10)(20) | | 2000 m
2d d� �⇒
O ponto de encontro (E) terá ordenada dada por:
100 3 2000 1827 m� �� , como ilustra a figura c.
O
D
C
d � gt2
y (m)
100
E (100; 100 � 2 000)
60°
x (m)
100 3
3
2 000 m
1
2
Figura c.
CAPÍTULO 15 – FORÇA DE ATRITO
Exercícios complementares
 1. a) 12 N
b) 8,0 N
c) 6,0 m/s²
d) 50 N
 2. c
 3. c
 4. a) 2,0 m/s²
b) 1,0 m/s²
c) 36 N
 5. a
 6. 0,16 m/s²
 7. e
 8. 12 N
 9. d
 10. a) αAB d
h
sen� �
 Quando não há atrito, sabemos que a aceleração 
é a1 5 g ? sen a.
 Portanto, usando a equação horária do MUV, 
temos (lembrando que v0 5 0):
 � � � � �s s v t 12 t d
1
2 t0 0
2
1 0
2α ⇒ α ⇒
 
⇒ ⇒
⇒
h
sen
1
2 (g sen ) t
t
2h
g
0
2
0
2
α α� �
�
� ssen
t 1sen
2h
g2 0α α⇒ �
b) Retirando as rodas haverá atrito e, nesse caso, 
aproveitando o resultado do exercício 50 do livro, 
a aceleração é α2 5 g ? (sen α 2 μ ? cos α). Usando 
a equação horária do MUV:
 
s s v t 12 t d
1
2 t
h
se
0 0
2
2
2� � � � �α α⇒ ⇒
⇒ nn
1
2 g(sen cos )t
2
α α µ α� �
1
 Mas t 5 2t0, e assim:
 t 4t
8h
g sen
2
0
2
2� � � α
 Substituindo em 1 :
 
h
sen
g (sen cos )
2
8h
g sen2α
α µ α
α�
� �
�
�
⇒⇒
⇒ ⇒1 4 (sen cos )sen�
� �α µ α
α
 ⇒ sen a 5 4 ? sen a 2 4 ? μ ? cos a ⇒
 ⇒ 4μ cos a 5 3 sen a ⇒ 3 sen4cos
3
4 tgµ
α
α α�
�
�
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 11. sen q 5 0,60 ⇒ cos q 5 0,80; g 5 10 m/s²; μA 5 0,25; 
μB 5 0,50
mA 5 4,0 kg; PA 5 40 N; PxA 5 PA ? sen q 5 24 N; 
PyA 5 PA ? cos q 5 32 N
mB 5 6,0 kg; PB 5 60 N; PxB 5 PB ? sen q 5 36 N; 
PyB 5 PB ? cos q 5 48 N
FatA 5 F1 5 μA ? NA 5 μA ? PyA 5 8,0 N
FatB 5 F2 5 μB ? NB 5 μB ? PyB 5 24 N
A
T
F1Px A iLu
St
ra
ç
õ
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: S
et
u
p
B
T
F2Px B
PxA 2 T 2 F1 5 mA ? a ⇒ 24 2 T 2 8,0 5 4,0 ? a ⇒ 
⇒ 16 2 T 5 4,0 ? a 1
PxB 1 T 2 F2 5 mB ? a ⇒ 36 1 T 2 24 5 6,0 ? a ⇒ 
⇒ 12 1 T 5 6,0 ? a 2
a) Somando membro a membro as equações 1 e 2 , 
obtemos:
 28 5 10 ? a ⇒ a 5 2,8 m/s2
b) Substituindo em 1 :
 16 2 T 5 4,0 ? 28 ⇒ T 5 4,8 N
 12. Seguindo o mesmo raciocínio do exercício anterior, 
obtemos T 5 0. No entanto podemos obter essa res-
posta sem cálculos, usando a conclusão do exercício 
50 do livro. Lá vimos que um bloco de massa m, 
abandonado num plano inclinado, cujo coeficiente 
de atrito é μ, desliza com aceleração a dada por 
a 5 g ? (sen q 2 μ ? cos q), isto é, a aceleração não 
depende da massa. Neste exercício temos μA 5 μB e, 
portanto, mesmo sem o fio, os dois blocos deslizam 
com a mesma aceleração. Assim, T 5 0.
 13. a) Não. b) Não.
 14. a) 8,0 kg < mB < 16 kg
b) 12 kg
 15. O conjunto A 1 B move-se pela rampa sem atrito, 
como se fosse um único corpo. Portanto, de acordo 
com o que vimos na teoria do plano inclinado, o con-
junto A 1 B tem aceleração acuja direção é paralela 
à rampa, cujo sentido é para baixo (fig. a) e cujo 
módulo é dado por:
a 5 g ? sen q 5 10(0,60) ⇒ a 5 6,0 m/s2
θ
a
Figura a.
Sobre o bloco A atuam pelo menos duas forças, ambas 
verticais: o peso P e a força normal FN exercida pelo 
carro (fig. b). Mas a aceleração a pode ser decomposta 
em uma componente horizontal ax e uma componente 
vertical ay (fig. c). Existindo a componente horizon-
tal ax, deve haver uma força horizontal: é a força 
de atrito Fat (fig. d). Se não houvesse essa força de 
atrito, o bloco A escorregaria sobre B.
P 5 m ? g 5 10(10) ⇒ P 5 100 N
A
FN
P
Figura b. 
ax
ay a
θ
Figura c. 
FN
Fat
P
Figura d.
Da figura c tiramos:
a a cos (6,0)(0,80) a 4,8 m/s
a
x x
2� � � �θ ⇒
yy y
2a sen (6,0)(0,60) a 3,6 m/s� � � �θ ⇒



Aplicando a Segunda Lei de Newton para a direção 
horizontal e para a direção vertical, temos:
P F m a
F m a
N y
at x
� � �
 � �



 ⇒ 
100 F 10(3,6)
F 10(4,8)
N
at
� �
 �



 ⇒
⇒ 
F 64 N
F 48 N
N
at
 �
 �



CAPÍTULO 16 – FORÇA ELÁSTICA
Exercícios
 2. a) 10 N/m b) 0,70 m
 3. 40 N/m
 4. k3
 6. 400 N/m
 7. 150 N/m
 8. A mola original, cuja constante é 30 N/m, pode ser 
imaginada como a associação em série de duas molas 
iguais de constante k1 cada.
⇒ ⇒1k
1
k
1
k
1
30
2
k k 60 N/m1 1 1 1
� � � �
Essas duas molas, associadas em paralelo, terão uma 
constante equivalente k' dada por k' 5 2k1 5 120 N/m.
 9. 20 N/m
 10. 4,2 N/m
 11. 240 N/m
 12. c
 13. A mola original de constante k pode ser imaginada 
como a associação em série de duas molas idênticas 
de constante k1 cada.
iL
u
St
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u
p
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⇒1k
1
k
1
k k 2k1 1 1
� � �
Associando as duas partes em paralelo, a constante 
equivalente será:
k' 5 2k1 5 2(2k) 5 4k
Na primeira experiência, temos:
⇒F kx x Fk 12 cm� � �
Na segunda experiência, temos:
F k'x' x' Fk'
F
4k
1
4
F
k
1
4 12
� � � � �
�
⇒ ( )
ccm 3 cm( ) �
Resposta: a.
 14. F 5 k1(Dx1) 5 k2(Dx2). Mas k1 5 k2. Portanto: 
Dx1 5 Dx2.
Resposta: b.
 15. a) As duas molas, estando em série, suportam forças 
de mesma intensidade: 5 N.
b) ⇒F P mg m Fg
5 N
10 m/s 0,5 kg2� � � � �
 16. a) No gráfico vemos que, para a mola M2, quando a 
elongação é 3,0 cm, a intensidade da força é 15 N.
b) Estando as molas em série, devem suportar forças 
de mesma intensidade. Assim, a intensidade da 
força em M1 também é 15 N; para essa intensidade, 
o gráfico nos dá uma elongação de 8 cm.
CAPÍTULO 17 – MOVIMENTO PLANO COM 
TRAJETÓRIA CURVA
Exercícios
 1. a
 2. 
x
y
θθ
θ
Fx
Fy
F
P
Na direção de y:
Fy 5 P 5 mg 1
Na direção de x, a força Fx faz o papel de força cen-
trípeta:
ωF F mvR m Rx cp
2
2� � � � �
Sendo R 5 d, temos:
Fx 5 m ? w
2 ? d 2
Das equações 1 e 2 e da figura, temos:
tg
F
F tg
m d
m g
x
y
2
θ θ ω� � � �⇒ ⋅ ⇒
⇒ ⇒g tgd
g tg
d
2ω θ ω θ� � � � 3
Sendo � �2T T
2ω π ⇒ πω 4
De 3 e 4 , tiramos que:
T 2 dg tg� �π θ
Resposta: c.
 3. b
 4. e
 5. a) 
θ
θ
T
P
Tx
Ty
C
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
1) Ty 5 P 5 mg
2) Tx 5 Fcp 5 mw
2R
3) sen = RL R L senθ θ⇒ �
4) tg
T
T
m R
mg
x
y
2
θ ω� �
 
ω θ ω θ θθ
2
2R
g tg L sen g
sen
cos� � � �⇒
 ω2 gL cos� θ ⇒ ω θ
g
L cos�
b) 2T
g
L cos
π
θ� ⇒ T 2
L cos
g� π
θ
 6. FN
Fat
P
m C
R
a) A expressão do módulo da força centrípeta é:
 
Fc 5 mw
2R
b) A força de atrito que o disco aplica no bloco desem-
penha o papel de resultante centrípeta.
 Estando o bloco na iminência de deslizar, a força 
de atrito está solicitada ao máximo (é igual à 
força de atrito de destaque).
 Fat 5 μe mg 5 mw
2R
 µ ω Rge
2
�
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 7. 
FG
vS
C
a) A força gravitacional que a Terra aplica no corpo 
lançado faz o papel de resultante centrípeta:
 FG 5 Fcp
 mg
mv
R
S
2
�
 v gR 10 6,4 10 (m/s)S
6� � � �
 vS 5 8,0 ? 10
3 m/s ⇒ vS 5 8,0 km/s
b) ∆∆
πv st
2 R
TS � �
 8,0 10 2 3 6,4 10T
3
6
� � � � �
 T 6 64 108,0 10 (s)
5
3�
� �
�
 T 4800 s
4800
60 min� � ⇒ T 5 80 min
 8. a) Durante a curva, o avião pode ser representado 
como fazemos a seguir.
Sy
Sx
H
R B
C
rochedo
mar
P
S
θ
θ
A
 � força da gravidade (peso)P
 � força da sustentação do arS
 A força de sustentação S, aplicada pelo ar, é per-
pendicular às asas do avião.
 A componente vertical Sy equilibra o peso, e a 
componente horizontal Sx faz o papel de resul-
tante centrípeta.
 No triângulo retângulo destacado, temos:
 tg
S
S
F
P tg
mv
R
mg
x
y
cp
2
θ θ� � �⇒ ⇒ tg
v
gR
2
θ �
b) O avião descreve um arco de comprimento pR 
(meia-volta) em 90 s e, portanto:
 ∆∆
π
∆ ⇒v
s
t
R
t
3R
90
R
30 R 30v (SI)� � � � �
 Substituindo-se o valor de R na expressão de tg θ, 
vem:
 tg vg 30 v 0,6
2
θ �
� �
�
 v 5 0,6 ? 10 ? 30 (m/s)
 v 5 180 m/s 5 648 km/h
c) O valor do raio da curva fica determinado por: 
 R 5 30v
 R 5 30 ? 180 (m) ⇒ R 5 5 400 m
 Retomando-se a figura anterior e considerando-se 
o triângulo retângulo ABC, calculamos a altura H 
do avião.
 tg
H
R 0,6
H
5400 Hθ � � �⇒ ⇒ H 5 3 240 m
 9. a) 
P
F
m
 � peso do corpo aplicado pela TerraP
 � força aplicada pela hasteF
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
b) ω 30 rad/s 5,5 rad/s� �
CAPÍTULO 18 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA 
Exercícios complementares
 1. O trabalho de F se calcula pela área do trapézio for-
mado entre x1 e x2 e sob o gráfico da força:
ö N5 área do trapézio 5 (B b) h
2
� � 
ö ö(25 5,0) 1002 2000 J�
� �
�⇒
Usando o TEC entre x1 e x2:
ö ö
ö
F atr
2
2
1
2
F at
m v
2
m v
2
F
� �
�
�
�
�
⇒
⇒ x cos 180° m v2
m v
2
2
2
1
2
� � �
�
�
�∆
Substituindo-se os valores dados e obtidos:
2000 (F ) 100 2,0 202
2,0 10
2 300at
2 2
� � � � � � �
100 ? (Fat) 5 1 700 ⇒ Fat 5 17 N
Sendo:
F m g
F
m g
17
2,0 10 0,85at
at� � � �
�
�
�
�µ µ µ⇒ ⇒
Resposta: e.
 2. c
 3. b
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 4. a) F 5 60 N
b) F 5 60 N
c) öp 5 öF (módulos iguais)
 5. c
 6. a) 0,10 m
b) 0,40 m
 7. Como a potência é constante, a potência instantânea 
é igual à potência média:
P P tm� �
ö
∆ 1
Usando o Teorema da Energia Cinética (TEC):
ö m v2
m v
2
2
0
2
� � �
�
Mas:
v0 5 0 ⇒ ö
mv
2
2
� 2
Substituindo-se 2 em 1 , vem:
P mv2t
2
� pois Δt 5 t 2 0 5 t
Logo: ( )v 2Pm t2 � � 3
No lado direito da equação 3 , temos:
2P
m constante k� �
Então: v2 5 k ? t
Resposta: c.
 8. a) Calculemos, inicialmente, a energia que deixará de 
ser produzida por uma turbina, em 3 horas:
 ΔE 5 P1 ? Δt ⇒ ΔE 5 680 ? 10
3 (kW) ? 3,0 (h)
 ΔE 5 2,04 ? 106 kWh
 Cada domicílio consome E1 5 4,0 kWh. Portanto, 
N domicílios consumirão:
 ΔE 5 N ? E1
 N
E
E
2,04 10
4,01
6
� � �∆ ⇒
 ⇒ N 5 5,1 ? 105 domicílios
b) A turbina recebe uma vazão de 600 m3/s.
 
∅ ∆∆ ∆ ∅ ∆
∆
V
t V t 600 1,0
V
� � � � �
�
⇒ ⇒
⇒ 6600 m3
 A densidade da água é 1 000 kg/m3. Logo: 
 M 5 600 ? 103 kg ou M 5 6,0 ? 105 kg
c) Cálculo da potência da turbina:
 P t
M g h
t
p� �
� �ö
∆ ∆
 Usando Δt 5 1,0 s, temos M 5 6,0 ? 105 kg
 P 6,0 10 10 1201,0 P 720 10
5
6� � � � � �⇒ W ⇒
 ⇒ P 5 720 MW
CAPÍTULO 19 – ENERGIA E POTÊNCIA
Exercícios complementares
 1. a) P 5 0,1 ? A ? v3
 Sendo A 5 2 m2 e v 5 5 m/s, vem:
 P 5 0,1 ? 2 ? (5)3 (W) ⇒ P 5 25 W
b) 1) Como a densidadeda água é de 1 kg/L, o volu-
me de 1 L corresponde a uma massa de 1 kg.
 2) E 5 mgh (sem acréscimo de energia cinética)
 E 5 1 ? 10 ? 7,5 (J) ⇒ E 5 75 J
c) ∆ ∆P
E
t
mgh
t� �
 Sendo m 5 μ ? V, vem:
 P Vt gh� µ ∆
 Vt z (vazão)1∆ �
 P 5 μz1gh
 µ ⇒z
P
gh z
25
1 10 10 7,5 m /s1 1 3
3� �
� � �
 ⇒z 257,5 10 m /s z
10
3 10 m /s1
4 3
1
4 3� � � �� �
 z 13 10 m /s z
1
3 L/s1
3 3
1� � �
� ⇒
 Em 1 s ⇒ V 13 L1 �
d) Se a velocidade do vento for reduzida à metade, 
então a potência será reduzida à sua oitava parte, 
pois esta é proporcional a v3. Logo a vazão tam-
bém ficará dividida por 8.
 z
z
8
1
24 L/s2
1� �
 Em 1 s, temos V 124 L2 �
 2. 
P
C
A
B
xmín
L � xmín
y � 2xmín � L
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
1o. ) A condição limite para completar a circunferência 
(x 5 xmín) é que, no ponto mais alto da trajetória, 
a força de tração no fio se anule e o peso faça o 
papel de resultante centrípeta:
 P 5 Fcp
 mg
mv
L x
B
2
mín
�
�
 v2B 5 g(L 2 xmín)
2o. ) Conservação da energia mecânica entre os pontos 
A e B:
 EB 5 EA (referência em B)
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INTEGRANTE da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
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Volume 1
 mv
2 mg(2x L)
B
2
mín� �
 
g(L x )
2 g(2x L)
mín
mín
�
� �
 L 2 xmín 5 2(2xmín 2 L)
 L 2 xmín 5 4xmín 2 2L
 5xmín 5 3L
 x 3L5mín �
 Sendo x , L, a faixa de variação é:
 3L5 x L� �
 3. c
 4. v0 5 50 m/s
 5. c
 6. d
 7. 
P
C
B
FN �
P
4
FN 1 P 5 FcpB
mg
4 mg
mv
R
B
2
� �
5
4 gR vB
2�
v
5gR
2
5 10 4,0
2 (m/s)B � �
� �
v 2002 (m/s)
10
2 2 (m/s)B � �
v 5 2 m/s 7,1 m/sB � �
Resposta: a.
 8. No instante T em que o corpo perde o contato com o 
anteparo, ele tem uma velocidade escalar v1, a mola 
está deformada de x1 e sua aceleração tem módulo a.
1o. ) Equação de Torricelli:
 v21 5 v
2
0 1 2ax1 ⇒ v
2
1 5 2ax1 1
2o. ) PFD: Pt 2 Fe 5 ma
 mg sen α 2 kx1 5 ma
 
kx m(gsen a)
x
m(gsen a)
k
1
1
� �
�
�
α
α
⇒
⇒ 2
3o. ) A partir do instante T, vale a conservação da ener-
gia mecânica:
 
vA � v1
vB � 0
α m
h
A
B
m
 h 5 (x2 2 x1) ? sen α
 EB 5 EA (referência em B)
 
kx
2
kx
2 mg(x x ) sen
mv
2
2
2
1
2
2 1
1
2
� � � �α
 
kx
2
k
2
m
k
(gsen a)
mg x
m(
2
2 2
2
2
2
� � � �
� �
α
ggsen a)
k sen
m
2 2am
(gsen
α α
α
�
�
�
�




aa)
k ⇒
 
⇒ kx2
m
2k (gsen a)
mgx sen m
2
2 2
2
2
� � �
� �
α
α 22
2
g
(gsen a)
k sen
m a
(gsen a)
α α
α
�
� �
�
�
kk ⇒
 ⇒
kx
2 x mg sen
m
k (gsen a)
(gsen a)
2 gse
2
2
2
2
� �
� �
�
�
α
α α nn aα �



⇒
 
⇒ kx2 x mgsen
m
k (gsen a)
( 1)(g
2
2
2
2
� �
� �
�
α
α ssen a)2
α � ⇒
 
kx
2 x mgsen
m
2k (gsen a)
2
2
2
2
2� � � �α α ⇒
 ⇒ x 2k mgsen x
m
k
(gsen a)2
2
2
2
2
2� � � �α α( ) 00
 x
2mgsen
k
4m g sen
k
4m
k
(gsen
2 2 2
2
2
2
 � 
 � � � 
α α α aa)
2
2
 x
mgsen
k
m
k g sen (gsen a)
2 2 2� � � �
α α α
 x
mgsen
k
m
k 2agsen a
2� � �
α α
 x
mgsen m a(2gsen a)
k�
� �α α
Resposta: c.
CAPÍTULO 20 – QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
E IMPULSO
Exercícios complementares
 1. b
 2. a
 3. E Q2m 2E
Q
mC
2
C
2
� �⇒
Resposta: a.
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Volume 1
 4. a) 
v0 � 0
t � 0 t � 1 s t � 2 s t � 3 s
v
0 0,5 1,0 1,5 2,0 x s (m)
0,5 m
1,5 m d3
 Num movimento uniformemente variado, as dis-
tâncias percorridas em intervalos de tempo iguais 
e consecutivos formam uma progressão aritmética.
 d3 2 1,5 5 1,5 2 0,5 ⇒ d3 5 2,5 m
b) x 5 0,5 1 1,5 1 2,5 ⇒ x 5 4,5 m
 
� �
�
� �
�
v xt
v v
2
4,5
3
v 0
2
v 3,0 m/s
m
0
∆ ⇒ ⇒
⇒
 Q 5 m ? v 5 (5,0 kg)(3,0 m/s) ⇒
 ⇒ Q 5 15 kg ? m/s
 5. b
 6. m 5 10 g 5 1022 kg
I 5 mv 5 (1022 kg)(3,0 m/s) ⇒ I 5 3,0 ? 1022 N ? s
Como a força normal tem sentido para cima, seu 
impulso também tem sentido para cima.
Resposta: a.
 7. 
R
IP
P
FN Q2
IF
Q1
N
a) 
( )( )
( )( )



Q 0,30 10 3,0 kg m/s
Q 0,30 8,0 2,4 kg m/s
1
2
� � �
� � �
 |DQ| 5 3,0 1 2,4 5 5,4 kg ? m/s
 |IR| 5 |DQ| 5 5,4 N ? s
b) |IP| 5 P ? (Dt) 5 (0,30)(10)(0,1) 5 0,3 ? N ? s
c) IR 5 IFN 1 IP
 |IR| 5 |IFN| 2 |IP| ⇒ 5,4 5 IFN 2 0,3 ⇒
 ⇒ IFN 5 5,7 ⇒ IFN 5 5,7 N ? s
d) IFN 5 FN ? (Dt) ⇒ 5,7 5 FN ? (0,1) ⇒ FN 5 57 N
 8. c
 9. Suponhamos que o impulso tenha sido aplicado num 
curto intervalo de tempo, de modo que, após a apli-
cação do impulso, o balanço esteja praticamente na 
vertical e a velocidade da criança seja v0.
v0
v � 0
α
L
A
B
L
x
h
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
I mv v Im0 0� �⇒ 1
x 5 L cos a
h 5 L 2 x 5 L 2 L cos a 5 L(1 2 cos a)
Entre os pontos A e B podemos aplicar a conservação 
da energia mecânica:
( )
( )
⇒ α ⇒
⇒ α
mv
2 Mgh v 2gh 2gL 1 cos
v 2gL 1 cos
0
2
0
2
0
� � � �
� �
� � �I Mv M 2gL 1 cos0 ( )α
Resposta: c.
 10. a) 5 13 10 kg m/s 1,8 10 kg m/s3 4� � � ��
b) 25 136 10 N 1,5 10 N
3 4� ��
 11. 
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
v0
v0
vy
v
t � 0 t � 6,0 s
F
Figura a.
F (N)
0 4,0
10,0
6,0 t (s)
Figura b.
O impulso é numericamente igual à área da região 
sombreada na figura b:
( )( ) ⇒I 6,0 2,0 10,02 I 40 N s�
�
� �
I 5 mvy ⇒ 40 5 10,0vy ⇒ vy 5 4,0 m/s
v2 5 v20 1 v
2
y 5 (3,0)
2 1 (4,0)2 ⇒ v 5 5,0 m/s
v0
vy
v
Figura c.
( )( ) ⇒E mv2
10,0 5,0
2 E 125 JC
2 2
C� � �
ö ö� � � � �m2 v v
10,0
2 5,0 3,0 80 J
2
0
2 2 2( ) ( ) ( )  ⇒
Q 5 m ? v 5 (10,0)(5,0) ⇒ Q 5 50 kg ? m/s
Portanto: I (V); II (V); III (F)
Resposta: a.
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Volume 1
 12. a) Essa situação é análoga à do air bag tratada no 
capítulo 18. Assim, a resposta é: “no choque com 
o piso fofo, o deslocamento até parar é maior e, 
portanto, a força média é menor”.
b) 
P
F
 Sendo F o valor médio da força exercida pelo piso 
sobre a xícara, temos:
 I 5 (F 2 P)(Dt) 5 |DQ| ⇒ (F 2 P)(Dt) 5 mv0 ⇒
 ⇒	(F 2 1,0)(0,50) 5 (0,10)(2,0) ⇒ F 5 1,4 N
 13. b
 14. b
 15. mH 5 60 kg; mM 5 30 kg; vH 5 0,3 m/s
mHvH 5 mMvM ⇒ (60)(0,3) 5 (30) ? vM ⇒ vM 5 0,6 m/s
A velocidade relativa de afastamento entre o homem 
e o menino tem módulo v dado por:
v 5 vH 1 vM 5 0,3 m/s 1 0,6 m/s 5 0,9 m/s
Assim, 2,0 segundos após se separarem, a distância 
entre eles é:
d 5 v ? (Dt) 5 (0,9 m/s)(2,0 s) 5 1,8 m
A energia mecânica do sistema não é conservada, pois 
inicialmente não havia energia cinética e depois há. Essa 
energia cinética que apareceu veio da energia química 
armazenada nos corpos das duas pessoas. Portanto, as 
forças exercidas entre elas não são conservativas.
A quantidade de movimento do sistema é nula tanto 
antes como depois do empurrão. Assim:
(01) V; (02) F; (04) F; (08) V; (16) F; (32) V
Resposta: 41.
 16. a) 30 N ? s b) 0,60 m/s; 0,40 m/s
 17. a) m 5 800 000 kg 2 10 000 kg 5 790 000 kg
b) (10 000 kg)(2 000 m/s) 5 (790 000 kg)v ⇒
	 ⇒	v  25,3 m/s
y y v t at2 0 45 5,0t t0 0
0
2
2
y
� � � � �
�
⇒ ⇒ 3 s�
 18. a) O tempo de descida é 3 s. O tempo de subida é 
igual ao tempo de descida:
 
T0 5 3 s
b) x x v T 60 v 30
0
x 0 x� � � �� ⇒ ⇒ vx 5 20 m/s
 m v
m
2 v
m
2 v 20
v
20 x
0
A
0
0
B
B
X
� � � � �
�
⇒ ⇒
 ⇒	 vB 5 40 m/s
c) E 12
m
2 v
1
2 m v0
0
B
2
0 x
2� � � �
 E 12
0,5
2 40
1
2 0,5 200
2 2� � �( )( ) ( )( ) ⇒
 ⇒	 E0 5 100 J
P 5 mg 5 (0,10 kg)(10 m/s2) 5 10 N
v0 5 2,0 m/s; v 5 0; Dt 5 0,50 s
 19. 18 m/s
 20. A quantidade de movimento do sistema bola-Terra se 
conserva. Assim, após a colisão, a Terra recua com 
uma velocidade pequena demais para ser observada.
 21. c
 22.Antes:
y
x
nave
Av1
v2
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
mN 5 650 kg 1 70 kg 5 720 kg; mA 5 80 kg
v1 5 100 m/s; v2 5 6 m/s
Qx 5 mN ? v1 5 72 ? 10
4 kg ? m/s
Qy 5 mA ? v2 5 4,8 ? 10
2 kg ? m/s
Depois:
T
vx
vy
vx
mT 5 mN 1 mA 5 800 kg
Q'x 5 mT ? vx 5 800vx
Q'y 5 mT ? vy 5 800vy
a) Qx 5 Q’x ⇒ 7,2 ? 10
4 5 800vx ⇒	 vx 5 90 m/s
 Qy 5 Q’y ⇒ 4,8 ? 10
2 5 800vy ⇒ vy 5 0,6 m/s
v
90
0,6
 v2 5 (0,6)2 1 (9,0)2 ⇒ v  90 m/s
b) E 12 720 100
1
2 80 6 E 3,60 10 Ji
2 2
i
6� � �( )( ) ( )( ) ⇒ �
 ( )( ) ⇒E 12 800 90 E 3,24 10 Jf
2
f
6�� �
	 DE 5 Ef 2 Ei  23,6 ? 10
5 J
 23. e
 24. a
 25. 
π
6 rad 30º�
|Q1| 5 |Q2| 5 mv 5 (10)
(20) 5 200 kg ? m/s
O triângulo é equilá-
tero.
30°
30°
Q2
∆Q
Q1
F
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Portanto: |DQ| 5 |Q1| 5 |Q2| 5 200 kg ? m/s
F t Q F Qt
200
10 F 20 N� � � � �∆ ∆
∆
∆( ) ⇒ ⇒
CAPÍTULO 21 – COLISÕES
Exercícios complementares
 1. a) 0,80 m/s b) 3,2 cm
 2. a) 2,0 m/s 
b) 1,0 m/s; para a esquerda
 3. 
�
QA
Q'A
Q'A
QB
QA 5 Q'A 1 QB ⇔ QB 5 QA 2 Q'A
Resposta: b.
 4. a) e b)
 
pA
pB
qA
qA 5 pA 1 pB
 5. a) Durante a colisão, as forças que atuam em B são o 
peso, a normal, a força de atrito e a força elástica. 
Para que o corpo A volte à altura h0, não deve trans-
ferir energia mecânica a B, isto é, este deve ficar em 
repouso. Para que isso aconteça, devemos ter:
 
FA
FN
FE
B
P
 
F F F F kx Mg
x
E A, máx E N� � �
�
⇒ ⇒ ⇒
⇒
µ µ
µMMg
k
 Pela conservação da energia mecânica:
 Mgh kx2 x
2Mgh
k0
2
2 0� �⇒ 2
 De 1 e 2 :
 µ ⇒ µ
2Mgh
k
M g
k h
Mg
2k
0
2 2 2
2 0
2
� �
 Portanto, o valor máximo de h0 é 
µ Mg
2k .
2
1
b) No instante em que atinge a mola, A tem veloci-
dade vA dada por:
 ⇒MgH
Mv
2 v 2gH
A
2
A� �
 Pela conservação da quantidade de movimento, 
sendo v a velocidade comum, temos:
 ( ) ⇒Mv 2M v v v2
2gH
2A
A� � �
 Pela conservação da energia mecânica:
 
Mv
2
2M v
2
kX
2 M 2gH
2M
2gH
2
A
2 2 2 2
� � �
�
( ) ⇒ ( )
( )) ⇒2 2kX�
 6. A compressão será máxima no instante em que os 
dois blocos tiverem a mesma velocidade v. Pela con-
servação da quantidade de movimento:
m m v m v v
m v
m m1 2 1 0
1 0
1 2
� � �
�( ) ⇒
Pela conservação da energia mecânica:
kx
2
m m
2 v
m v
2
kx
2
m
2
1 2 2 1 0
2
2
1
�
�
�
�
�
⇒
⇒
��
�
�
m
2
m v
m m
m v
2
2 1
2
0
2
1 2
2
1 0
2( ) ( )


⇒
⇒ ⇒
⇒
kx
m v
m m m v
kx m v
2 1
2
0
2
1 2
1 0
2
2
1 0
�
�
�
� 22 1
2
0
2
1 2
m v
m m� � ⇒
⇒ 

kx m v 1
m
m m
m v
2
1 0
2 1
1 2
1 0
2
� �
�
�
� �
m m m
m m kx
mm v
m m
1 2 1
1 2
2 1 2 0
2
1
� �
�
�
�
⇒
22
⇒
⇒	 x v
m m
R m m0
1 2
1 2
�
�( )
 7. a) h 5 80 cm 5 0,80 m
 v' 2gH 2 10 0,80� � ( )( ) ⇒ v' 5 4,0 m/s
b) Mv 2 mv 5 Mv'b 1 mv'p
 M(5,0) 2 m(5,0) 5 M(4,95) 1 m(7,0) ⇒ M 5 240 m
 No site da Confederação Brasileira de Tênis de 
Mesa, há a informação de que a massa de uma 
bola de pingue-pongue é de m 5 2,7 g, isto é, 
m  3 g. Portanto:
 M 5 240 m  240(3 g) ⇒	 M  720 g
 8. 1,2 m/s; 4,8 m/s
 9. a) 2 b) v v v
4 ; 4 ; 2 .
0 0 0�
 10. Um pouco antes da colisão, as duas partículas terão 
velocidades de sentidos opostos, mas de mesmo módulo:
v v 2gRX Y� �
vx vyX Y
X MgHk�
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Após a colisão, as alturas máximas atingidas por X e 
Y são, respectivamente, R2 e 
R
3 . Portanto, logo após 
a colisão, X e Y terão velocidades de módulos:
v ' 2g R2x � e v ' 2g
R
3y �
Como a altura máxima atingida por X após a colisão 
( )R2 é maior que a atingida por Y ( )R3 , concluímos que, 
logo após a colisão, o sentido de v 'x é para a esquerda. 
Porém, pelo enunciado não temos condições de decidir 
se o sentido de v 'y é para a esquerda ou para a direita. 
Assim, após a colisão há duas possibilidades:
X XY
Y
R
3
R
3
R
2
R
2
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
(I) (II)
Analisemos as duas possibilidades.
Possibilidade (I):
pouco antes do choque
X Y2gR 2gR
pouco após o choque
X Y
2gR
2
2gR
3
Sendo e o coeficiente de restituição, temos:
e
2gR
2
2gR
3
2gR 2gR
2gR
2
2gR
3
2 2gR
�
�
�
�
�
�
1
2
1
3
2
3 2
2 3
2
3 2
6
2�
�
�
�
�
�
�
( )( )
( )( )
3 2
2 6
3 2 6
2 6 6
18 12
12�
� � � � � �
( )( ) ( )9 2 4 3
12
3 2 2 3
12 0,64�
�
� � �
Possibilidade (II):
pouco antes do choque
X Y2gR 2gR
pouco após do choque
X Y
2gR
2
2gR
3
e
2gR
2
2gR
3
2gR 2gR
�
�
�
Desenvolvendo os cálculos do mesmo modo que foi 
feito para a possibilidade (I), chegamos a:
e 3 2 2 312 0,065�
� �
Assim, o problema tem duas respostas: e  0,64 ou 
e  0,065.
 11. c
 12. 40 km/h; 76 km/h
 13. I (F); II (F); III (F); IV (V)
 14. b
 15. b
 16. b
 17. e
 18. e
 19. a) 4,0 s
b) QC (kg � m/s)
0 2
3
6 10 14 18 t (s)
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
 
QB (kg � m/s)
0 2
3
6 10 14 18 t (s)
 
E (J)
0,225
180 t (s)
 20. a) 10 m; 6,25 m b) 10 m
 21. 8,0 m
 22. a) 0,10 s b) 1,25 m
 23. Como o plano é liso 
e o choque é elás-
tico, o ângulo de 
incidência deve ser 
igual ao ângulo de 
reflexão. Portanto: 
a 5 45º. α � 45º
45º
B QB
A
45º
horizontal
QA
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Volume 1
 24. H 5 4,0 m; g 5 10 m/s2. 
Sendo va a velocidade da bolinha ao atingir S, temos:
( )( ) ⇒v 2gH 2 10 4 4 5 v 4 5 m/sa a� � � �
α � 30º
B
A
S
30º
30º
30º
β
P
va
vdH
h
Sendo vd a velocidade da bolinha logo após a colisão, 
como não há atrito e o choque é elástico, temos:
v v 4 5 m/sd a� �
A componente vertical de vd tem módulo:
0
30º
vdvy
vx
( )( ) ⇒v v sen 30º 4 5 12 v 2 5 m/sy d y� � � �
Sendo h a altura máxima em relação ao plano β, temos:
0 v 2gh h
v
2g
2 5
2 10y
2 y
2 2
� � � �⇒ ( )( ) ⇒ h 5 1,0 m
 25. Supondo que não haja atrito entre a bola e a superfície, 
a componente x da velocidade v1 não se altera. Como 
não foi dado o valor do coeficiente de restituição (e), 
não sabemos se a componente y de v1 se altera ou não.
θ
x
θ
α
y
βv1
v2
As componentes y de v1 e v2 são:
v1y 5 v1 cos q e v2y 5 v2 cos	b
Mas b 1 a 5 90º. Assim: cos b 5 sen a e:
v2y 5 v2 sen a
e
v
v
v sen
v cos sen
ev co2
1
2
1
1y
y
� � �
α
θ α⇒
ss
v2
θ
 1
As componentes de v1 e v2 na direção x são iguais:
v v v sen v cos
cos
v
1 2 1 2
1
x x
� �
�
⇒ ⇒
⇒
θ α
α ssenv2
θ
2
Lembrando que sen2 a 1 cos2 a 5 1, usando as igual-
dades 1 e 2 , temos:
e v cos
v
v sen
v
1
2
1
2 2
2
2
1
2 2
2
2
θ θ
� � ⇒
⇒ ( ) ⇒
⇒
v v e cos sen
v v e c
2
2
1
2 2 2 2
2 1
2
� �
�
 θ θ
oos sen2 2 θ θ�
Dividindo membro a membro as igualdades 1 e 2 :
sen
cos e
cos
sen
α
α
θ
θ� � 3
Mas: αα α
sen
cos tg� e 
θ
θ θ θ
cos
sen
1
tg cotg� �
Assim, a igualdade 3 fica:
tg a 5 e ? cotg q ou a 5 arc tg (e ? cotg q)
 26. vO 5 25 m/s; vA 5 20 m/s; vB 5 7,5 m/s
mA 5 2,0 kg
QO 5 mAvO; QA 5 mAvA; QB 5 mBvB
QO 5 mAvO 5 (2,0)(25) ⇒ QO 5 50 kg ? m/s
QA 5 mAvO 5 (2,0)(20) ⇒ QA 5 40 kg ? m/s
QB 5 mBvB 5 mB ? (7,5)
Q2O 5 Q
2
A 1 Q
2
B ⇒ 50
2 5 402 1 Q2B ⇒ QB 5 30 kg ? m/s
QB 5 mB(7,5) ⇒ 30 5 mB(7,5) ⇒	 mB 5 4,0 kg
0
QA
QB
QO
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
 27. a) Se não há atrito entre as bolas, a força que uma 
exerce na outra deve ser normal no ponto de con-
tato. Mas sabemos que, em uma esfera, a normal 
que passa pelo ponto de contato passa também 
pelo centro. Concluímos, então, quea bola B, 
após o choque, deve mover-se ao longo da reta s, 
formando ângulo de 60º com r.
(a) Antes do choque.
A
B
rvO
(b) No instante do choque.
A
B
r
60º
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Volume 1
(c) Depois do choque.
A
B
r
s
60º
�
vB
vA
b) Como as bolas são idênticas, o choque é elástico e 
uma das bolas estava inicialmente parada, deve-
mos ter:
 θ 1 60º 5 90º ou θ 5 30º
c) QO 5 m(8); QA 5 m(vA); QB 5 m(vB)
 No triângulo retângulo sombreado da figura d 
temos:
 cos 30º
Q
Q
3
2
mv
m(8)
A
O
A� �⇒ ⇒
 ⇒ v 4 3 m/sA �
 
QO
30º
60º
QB
QA
 Figura d.
d) No triângulo sombreado da figura d temos:
 sen 30º
Q
Q
1
2
mv
m(8)
B
O
B� �⇒ ⇒ vB 5 4 m/s
 28. c
 29. d
 30. 
vx
v
vy
45º
Figura a.
v v v 22y x� �
A altura máxima h atingida pelo objeto de massa m 
é dada por:
( )⇒ ⇒0 v 2gh 0 v 22 2gh h v4gy2
2 2
� � � � �
Logo após a colisão, o conjunto tem velocidade v1 de 
componentes v1x e v1y (fig. b). Impondo a conservação 
da quantidade de movimento na vertical, temos:
MV m M v v MVM m1 1y y� � � �( ) ⇒
v1
v1
v1y
x
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
Figura b.
Impondo a conservação da quantidade de movimento 
na horizontal:
mv M m m v 22 M m
mv 2
2 M
x 1 1
1
x x
x
� � � � � �
�
�
( ) ⇒ ( ) ⇒
⇒
v v
v m( )
Calculemos o tempo t decorrido entre o momento do 
choque e o momento em que o conjunto chega ao solo.
VO
sO
s
v v MVM m
s h v4g ; a g
O y
O
2
� �
�
� � � �




s s v t a2 t 0
v
4g
MV
M m tO O
2
2
� � � � �
 � 
�⇒ g2 t
2 ⇒
( ) ( )⇒ ⇒g2 t MVM m t v4g 02 2� � � �
( )
( )⇒ t
MV
M m
M V
M m
4 g2
v
4g
2 g2
2 2
2
2
�
�
�
�
� � �
Desprezando o sinal “menos” antes da raiz, temos:
t
MV
M m
M V
M m
v
2
g
2 2
2
2
�
�
�
�
�( )
Assim:
d v t1x� ( )( ) ⇒
⇒ d mv 22g M m
MV
M m
M V
M m
v2 2
2
2
�
� �
�
�
�( ) ( ) 22( )
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Volume 1
CAPÍTULO 23 - ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS
Exercícios
 2. a) 4,0 m/s2
b) 20 rad/s2
c) TA 5 24 N; TB 5 20 N
 3. ω 3gL�
 4. 15 N
 5. a) 0,36 kg ? m2
b) 2
5 m
c) 648 J
 7. a) θa 57 gsen� 
b) γ θ57
gsen
R�
 
c) ωv 10gh7 ;
1
R
10gh
7� �
d) µ θ27 tge �
 8. θ arccos 1017 54°� �
 9. a) h 5 2,7 (R 2 r);
b) F 177 mgN �
 10. a) θa gsen
1 IMR2
�
�
b) A esfera.
 12. a
 13. a) 2,0 rad/s
b) 1 260 J
c) 1 680 J
 14. Do trabalho realizado pela pessoa.
 15. a) Horário. 
b) 0,40 rad/s
c) 140 J
 16. a) 4,0 m/s c) 1,6 J
b) 0,576 J d) 1,024 J
 17. a) 2,8 rad/s
b) 560 J
c) 392 J
 18. O atrito entre os discos provocou dissipação de ener-
gia mecânica.
Exercícios complementares
 19. FA 5 30 N (para baixo)
FB 5 40 N (para cima)
 20. Quando a barra estiver na iminência de rotação, a 
força de compressão em S1 é nula.
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
S2
Mgmg
0,5 m 0,4 m
FN
Considerando S2 como polo, temos:
mg(0,5) 5 Mg(0,4) ⇒ 10(0,5) 5 M(0,4) ⇒
⇒ M 5 12,5 kg
Entre as alternativas apresentadas, a maior massa 
que é menor ou igual a 12,5 kg é 10 kg.
Resposta: b.
 21. F1 5 60 N; F2 5 180 N
 22. c
 23. FN
100 cm
30 cm
FAFx
Fy F
BC
a) Considerando o ponto C como polo, temos:
 FN ? (30) 5 F ? (100) ⇒ FN(30) 5 750(100) ⇒ 
⇒ FN 5 2 500 N
b) FA 5 μFN 5 (0,40)(2 500 N) 5 1 000 N 
c) Fx 5 FA 5 1 000 N
 
C Fx
FCFy
 Fy 1 F 5 FN ⇒ Fy 1 750 5 2 500 ⇒
 ⇒ Fy 5 1 750 N
 F2C 5 F
2
x 1 F
2
y 5 (1 000)
2 1 (1 750)2
 FC 5 2 016 N  2,0 ? 10
3 N
 24. e
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Volume 1
 25. 
10 cm
5 cm
x
BA
RA
PC PB
RB
RB (N)
400
300
700
10
10
θ
0 x (m)
PB 5 800 N
PC 5 mC ? g 5 mC ? 10 5 10 mC
Considerando o ponto A como polo, temos:
RB(10) 5 PC ? x 1 PB(5)
RB(10) 5 10 mC ? x 1 800(5)
RB 5 mC ? x 1 400
θ ⇒m tg 30010 30 m 30 kgC C� � � �
Resposta: a.
 26. a) zero b) 1 440 N
 27. 4,0 m
 28. 10 min
 29. F
FAFA
FBFBA B
Supondo a barra em equilíbrio, temos:
FA 5 FB 1 F ⇒ FA . FB ⇒ A move-se antes.
 30. a) Para calcularmos o módulo de FAB vamos isolar 
o cilindro A, lembrando que |FAB| 5 |FBA|, pois 
são forças do tipo ação e reação, e que as forças 
trocadas entre A e B e entre A e C têm a mesma 
intensidade (F) devido à simetria do sistema. Para 
o equilíbrio do cilindro A, na vertical, vem:
 2F cos 30° 5 P
 2F 32 Mg�
 F
Mg
3
�
 Racionalizando:
 F F| | | | 3 Mg3AB� �
 
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
A
P
PFF
F
centro do
cilindro A
F
30º 30º
b) O módulo da força que o piso exerce sobre o 
cilindro B tem o mesmo valor da força que o piso 
exerce sobre o cilindro C. Chamando essa força de 
FN e analisando o sistema, vem:
 
A
P
B
P
C
P
FN
FMCFMB
FN
 Do equilíbrio na vertical, temos:
 2FN 5 3P
 2FN 5 3Mg
 Assim: F F| | | | 3Mg2N PB� �
c) Para o cálculo de FMC vamos isolar o cilindro C e 
ainda observar que a força de contato entre B e C 
é nula, pois as forças aplicadas pelo cilindro A ten-
dem a afastá-los. Do equilíbrio na horizontal, vem:
 FMC 5 F cos 60°
 Substituindo pelo valor de F encontrado:
 ⇒F 33 Mg
1
2 F
3
6 MgMC MC� � �
 
C
60º
F
FN
FMC
 31. zero
 32. a) 
C
A
B
60º30º
FA
P
FB
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Volume 1
 
C
60º
30º
FA
�P
P
FB
No triângulo retângulo sombreado, temos:
F P cos 30° (100 N) 32 50 3 NA � � � �( )
F P sen 30° (100 N) 12 50 NB � � � �( )
b) 
C
60º40º
FA
P
FB
 
60º
60º
40º
80º
40º
FA
�P
P
FB
FB
 
 Apliquemos a Lei dos Senos ao triângulo som-
breado:
 ⇒
F
sen60°
F
sen40°
P
sen80°
A B� �
 ⇒ ⇒
F
0,866
F
0,643
100 N
0,985
A B� �
 ⇒ FA  88 N e FB  65 N
 33. a) 
45º�
�
P
A
Ty
Tx
Fx
Fy
PB
2d
2d
d d
 P 5 40 N; PB 5 200 N
 sen θ 5 0,60; cos θ 5 0,80
 Tx 5 T cos θ 5 T(0,80)
 Ty 5 T sen θ 5 T(0,60)
 Tomando torques em relação ao ponto A, temos:
 Tx ? 2d 5 P ? d 1 PB ? 2d 1 Ty ? 2d ⇒
 ⇒ T(0,80)(2) 5 40 1 200(2) 1 T(0,60)(2) ⇒
 ⇒ 1,6T 2 1,2T 5 440 ⇒ T 5 1 100 N
b) Ty 5 T(0,60) 5 (1 100 N)(0,60) 5 660 N
 Fy 5 P 1 Ty 1 PB 5 40 N 1 660 N 1 200 N ⇒
 ⇒ Fy 5 900 N
c) Tx 5 T(0,80) 5 (1 100 N)(0,80) 5 880 N
 Fx 5 Tx 5 880 N
d) F2 5 F2x 1 F
2
y 5 (880)
2 1 (900)2 ⇒ F  1 260 N
 34. a) 600 N
b) V 5 1 000 N; H 5 450 N 
 35. a) 5,0 cm
b) 280 N
c) 540 N
 36. θ e α são complementares. Portanto:
sen 0,800
cos 0,600
sen 0,600
cos
θ
θ
α�
�
�{ ⇒ αα 0,800�{
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
b
y
h � y
h � 98 cm
d
α
α
θ
θ
�
PB
R
A
F
L
2
y 5 R cos α 5 (40 cm) (0,800) 5 32 cm
h 2 y 5 98 cm 2 32 cm 5 66 cm
cos h yd 0,600
66
d d 110 cmθ �
�
� �⇒ ⇒
L 5 120 cm; L2 60 cm� ; PB 5 55 N
b L2 sen (60 cm)(0,800) 48 cm� � �θ
Tomando momentos em relação a A:
F ? d 5 PB ? b ⇒ F(110) 5 (55)(48) ⇒ F 5 24 N
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Volume 1
Fx
F Fy
α
�
Fy 5 F ? sen θ 5 (24 N)(0,800) 5 19,2 N
Fx 5 F ? cos θ 5 (24 N)(0,600) 5 14,4 N
FA
FN
PC
Fy
Fx
PC 5 10,8 N
FN 5 Fy 1 PC 5 19,2 N 1 10,8N 5 30 N
FA 5 Fx 5 14,4 N
FA < μe ? FN ⇒ 14,4 < μe (30) ⇒
⇒ μe > 0,48
 37. Quando o motorista acelera aumenta a força de atri-
to, que tem o mesmo sentido do movimento, aumen-
tando o torque no sentido horário.
 38. Quando o motorista breca, aumente a força de atrito 
contrária ao movimento, produzindo um torque no 
sentido anti-horário.
 39. a) d1 � 1,5 m
d2 � 2,0 m
h � 0,50 m
g � 10 m/s 2
v
G
d1
h
d2
P
f1
f2
F2 F1
 f1 e f2 são as forças de atrito.
 F1 e F2 são as forças normais.
 Quando a aceleração for máxima, as forças de atri-
to terão seu valor máximo:
 f1 5 μe ? F1 e f2 5 μe ? F2 
 F1 1 F2 5 P
 f1 1 f2 5 μe ? F1 1 μe ? F2 5 μe (F1 1 F2) 5
 5 μe ? P 5 μe m ? g
 f1 1 f2 5 m ? amáx ⇒ μe mg 5 m ? amáx ⇒
 ⇒ amáx 5 μe ? g 5 (0,70) ? (10 m/s
2) ⇒
 ⇒ amáx 5 7,0 m/s
2
b) Neste caso não há tração nas rodas traseiras, e as 
forças de atrito nelas (que se opõem ao movimen-
to) têm intensidades desprezíveis em comparação 
com as forças de atrito nas rodas com tração. 
Assim, na figura, temos: f2 5 0
 F1 1 F2 5 P ⇒ F2 5 P 2 F1 1
 f1 5 μF1 2
 Tomando torques em relação a G:
 f1 h 1 F1 d1 1 f2d2 3
 Substituindo 1 e 2 em 3 : 
	 μe F1 h 1 F1 d1 5 (P 2 F1) d2 ⇒
 ⇒ (0,70) ? (F1) ? (0,50) 1 F1 ? (1,5) 5
 5 P ? (2,0) 2 F1 (2) ⇒ F1  0,52P
 f1 5 μeF1  (0,70) (0,52P)  0,364P 5 
 5 (0,364)mg
 f1 5 m ? amáx ⇒ (0,364)mg 5 m ? amáx ⇒
 ⇒ amáx  (0,364) ? (10 m/s
2) ⇒ amáx  3,64 m/s
2
c) Fazendo f1 5 0 e procedendo do mesmo modo que 
no item anterior obtemos:
 
amáx  3,33 m/s
2
 40. 
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: S
et
u
p
2,0 m
1,8 m 1,8 m
H2
PV2
H1
V1 Ty
T
�
Tx
f 5 400 N; Tx 5 120 N; Ty 5 90 N
a) H2 5 198 N
b) H1 5 78 N
c) Este portão é um sistema indeterminado, pois não 
temos condições de determinar os valores de V1 e 
V2. Sabemos apenas que V1 1 V2 5 310 N.
 41. Neste caso o portão está apoiado verticalmente ape-
nas no encaixe inferior E1. Assim, no encaixe superior 
não há força vertical, há apenas a força horizontal H2.
H2
H1
V1
E1
E2
H1 5 H2 5 250 N
V1 5 600 N
 42. a) 
P
37º
37º
53º
37º53º
53º
B
A
D
G FD
FA
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b) 
37º
P
FA
FD
c) sen 37°
F
P 0,60
F
100 F 60 N
A A
A� � �⇒ ⇒
cos 37°
F
P 0,80
F
100 F 80 N
D D
D� � �⇒ ⇒
 43. μe > 0,6
CAPÍTULO 25 – FLUIDOSTÁTICA – LEI DE STEVIN
Exercícios complementares
 1. b
 2. a)  2,4 ? 105 Pa b) 48 N
 3. b
 4. d
 5. a
 6. b
 7.  37 mmHg
 8. a) 2 m
b) 40 m/s2
 9. Nesta questão devemos supor que a pergunta é: “qual 
a sobrepressão do plasma?”. 
Resposta: e.
CAPÍTULO 26 – FLUIDOESTÁTICA – PRINCÍPIO DE 
ARQUIMEDES
Exercícios complementares
 1.  0,1 N
 2. a) O líquido que foi para o recipiente Y é o liquido 
deslocado cuja massa é mL 5 0,40 kg. Mas sabe-
mos que a intensidade do empuxo é igual ao peso 
do líquido deslocado. Assim:
 E 5 PL 5 mL ? g 5 (0,40 kg) ? (10 m/s
2)
 E 5 4,0 N
b) Estando o corpo em equilíbrio, o peso (PC) deve 
ter a mesma intensidade do empuxo (E), o qual é 
igual ao peso do líquido deslocado:
 PC 5 E 5 PL ⇒ PC 5 PL ⇒ mC 5 mL
 Como mL 5 0,40 kg, temos:
 mC 5 0,40 kg
c) O volume da parte imersa é 80% do volume do corpo:
 VL 5 80% de VC 5 0,80VC
 Portanto, o volume da parte emersa é 20% do 
volume do corpo:
 V1 5 20% de VC 5 0,20VC
 Sendo dL 5 1,0 ? 10
3 kg/m3 e mL 5 0,40 kg, temos:
 
⇒
⇒
� �
�
� � �
V
m
d
0,40 kg
1,0 10 kg/m
V 4,0 10 m
L
L
L
3 3
L
4 3
 Assim:
 
V 0,80V V
V
0,80
4,0 10 m
0,L C C
L
4 3
� � � �
�
⇒ 880
V 5,0 10 mC
4 3 � � �
d) d
m
V
0,40 kg
5,0 10 m d 0,80 10 kg/C
C
C
4 3 C
3� �
�
� �� ⇒ mm3
 3. 
10 cm
y
x
v 5 (2,0 m) ? (1,0 m) ? (0,10 m) 5 0,20 m3
d 5 0,60 g/cm3 5 6,0 ? 102 kg/m3
M 5 dV 5 (6,0 ? 102 kg/m3) ? (0,20 m3) 5 120 kg
m 5 60 kg
M' 5 M 1 m 5 180 kg
P' 5 M' ? g
VS 5 (2,0 m) ? (1,0 m)y 5 (2,0)y
dA 5 1,0 g/cm
3 5 1,0 ? 103 kg/m3
E 5 P' ⇒ dAVSg 5 M'g ⇒ (10
3) ? (2,0) ? (y) 5 180 ⇒ 
⇒ y 5 0,09 m 5 9 cm
x 5 10 cm 2 9 cm ⇒ x 5 1 cm
 4. c
 5. d
 6. Observamos que a nata flutua no leite e, portanto, a 
densidade da nata é menor que a densidade do leite 
desnatado. Portanto, o leite desnatado é mais denso.
 7. L (2,0) cos
y (0,4) cos
L y (1,6) c
�
�
� � �
θ
θ
oos θ




S
2,0 m
1,6 m
0,4 m
�
L � y
L
y
L � y
2
L
2
E
PB
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36
os complementos de teoria, leitura e exercícios complementares deste Cd são parte 
inteGrante da obra Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio.
todos os direitos reservados.
Re
sp
os
ta
s 
e 
re
so
lu
çõ
es
Volume 1
Sendo A a área da seção reta da barra, temos:



V A(2,0)
V A(1,6)
B
L
�
�
Tomando o ponto S como polo dos momentos, temos:
( )E L y2 P L2B� �
E(L 2 y) 5 PBL
E(1,6) cos q 5 PB(2,0) cos	q
4E 5 5PB
4dLVLg 5 5dBVBg
4(1) ? A(1,6) 5 5dB ? A(2,0)
dB 5 0,64 g/cm
3
 8. 
x
y
e
área A
Pb
iL
u
St
ra
ç
õ
eS
: L
u
iz
 F
er
n
a
n
d
o
 r
u
bi
o
P 5 E
dPb ? A ? e ? g 1 dv ? A(x 1 y) ? g 5 da ? A(e 1 y) ? g ⇒
⇒ dPb ? e 1 dv(x 1 y) 5 da(e 1 y) ⇒
⇒ (dPb 2 da)e 1 dv ? x 5 (da 2 dv) ? y
Da última igualdade, notamos que, quando x 5 0, y  0.
Resposta: d.
 9. a) 800 g c) 2 cm
b) 800 cm3 d) 21,6 cm
 10. O volume da água é:
V0 5 (400 cm
2)(8,0 cm) 5 3 200 cm3
I. dLVL 5 mmC
 (1)(VL) 5 400
 VL 5 400 cm
3
 O volume até a superfície livre da água passa a 
ser:
 V1 5 V0 1 VL 5 (3 200 1 400) cm
3 5 3 600 cm3
 Mas: V1 5 A ? x
 3 600 5 400 ? x
 x 5 9,0 cm
II. Ao colocarmos o corpo C dentro de B, a massa do 
corpo passa a ser 600 g:
 dLV'L 5 mC
 (1) V'L 5 600
 V'L 5 600 cm
3
 O volume até a superfície livre passa a ser:
 V2 5 (3 200 1 600) cm
3 5 3 800 cm3
 Mas: V2 5 A ? y
 3 800 5 400 ? y
 y 5 9,5 cm
III. VL 5 400 cm
3
 VC 5 80 cm
3
 O volume até a superfície livre da água é:
 V3 5 V0 1 VL 1 VC
 V3 5 (3 200 1 400 1 80) cm
3
 V3 5 3 680 cm
3
 Mas: V3 5 A ? z
 3 680 5 400 ? z
 z 5 9,2 cm
 11. a) 320 cm3 c) x 5 9 cm; y 5 1 cm
b) 400 cm3 d) Não.
 12. 
VA
VM
VA
VM
a) 

V V V 24 cm
V 24 V
A M C
3
A M
� � �
� �
 dAVA 1 dVM 5 dCVC
 1(24 2 VM) 1 13,6 VM 5 (7,3)(24)
 VM 5 12 cm
3
 Portanto, VA 5 12 cm
3, isto é, metade do volume 
fica submerso na água.
b) 
h
h2
h1
h
h2
h1
2
 Como a densidade da água é 1,0 g/cm3 e há 
260 gramas de água, o volume da água é:
 VA 5 260 cm
3
 Assim: 
 h1 ? A 5 260 1 12
 h1 ? (20) 5 272
 h1 5 13,6 cm
 Pela Lei de Stevin:
 dM ? h2 5 dA ? h1
 (13,6)(h2) 5 (1) ? 13,6 ⇒ h2 5 1,0 cm
 Assim: h 5 h1 2 h2 5 (13,6 2 1,0) cm
 h 5 12,6 cm
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	CAPA
	Complementos de teoria
	CAPÍTULO 1 – Introdução à Física
	CAPÍTULO 5 – Movimento uniformemente variado
	CAPÍTULO 9 – Cinemática vetorial
	CAPÍTULO 11 – Cinemática angular
	CAPÍTULO 13 – Aplicação das leis de Newton
	CAPÍTULO 16 – Força elástica
	CAPÍTULO 17 – Movimento plano em trajetória curva
	CAPÍTULO 21 – Colisões
	CAPÍTULO 23 – Estática dos corpos rígidos
	CAPÍTULO 24 – Gravitação
	CAPÍTULO 25 – Fluidostática: lei de Stevin
	Exercícios complementares
	CAPÍTULO 2 – Introdução à Mecânica
	CAPÍTULO 3 – Velocidade escalar
	CAPÍTULO 4 – Movimento uniforme
	CAPÍTULO 5 – Movimento uniformemente variado
	CAPÍTULO 6 – Movimento vertical no vácuo
	CAPÍTULO 7 – Diagramas horários
	CAPÍTULO 8 – Vetores
	CAPÍTULO 9 – Cinemática vetorial
	CAPÍTULO 10 – Composição de movimentos
	CAPÍTULO 11 – Cinemática angular
	CAPÍTULO 12 – Leis de Newton
	CAPÍTULO 13 – Aplicação das leis de Newton
	CAPÍTULO 14 – Lançamento oblíquo
	CAPÍTULO 15 – Força de atrito
	CAPÍTULO 18 – Trabalho e energia cinética
	CAPÍTULO 19 – Energia e potência
	CAPÍTULO 20 – Quantidade de movimento e impulso
	CAPÍTULO 21 – Colisões
	CAPÍTULO 23 – Estática dos corpos rígidos
	CAPÍTULO 25 – Fluidostática: lei de Stevin
	CAPÍTULO 26 – Fluidostática – Princípio de Arquimedes
	Respostase resoluções
	CAPÍTULO 1 – Introdução à Física
	CAPÍTULO 2 – Introdução à Mecânica
	CAPÍTULO 3 – Velocidade escalar
	CAPÍTULO 4 – Movimento uniforme
	CAPÍTULO 5 – Movimento uniformemente variado
	CAPÍTULO 6 – Movimento vertical no vácuo
	CAPÍTULO 7 – Diagramas horários
	CAPÍTULO 8 – Vetores
	CAPÍTULO 9 – Cinemática vetorial
	CAPÍTULO 10 – Composição de movimentos
	CAPÍTULO 11 – Cinemática angular
	CAPÍTULO 12 – Leis de Newton
	CAPÍTULO 13 – Aplicação das leis de Newton
	CAPÍTULO 14 – Lançamento oblíquo
	CAPÍTULO 15 – Força de atrito
	CAPÍTULO 16 – Força elástica
	CAPÍTULO 17 – Movimento plano em trajetória curva
	CAPÍTULO 18 – Trabalho e energia cinética
	CAPÍTULO 19 – Energia e potência
	CAPÍTULO 20 – Quantidade de movimento e impulso
	CAPÍTULO 21 – Colisões
	CAPÍTULO 23 – Estática dos corpos rígidos
	CAPÍTULO 25 – Fluidostática: lei de Stevin
	CAPÍTULO 26 – Fluidostática – Princípio de Arquimedes