Majoração e minoração

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Majorac¸a˜o e Minorac¸a˜o
Diego Lu´ıs
14 de Setembro de 2015
1 Majorac¸a˜o
Definic¸a˜o 1 Sejam x ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x e´ majo-
rante de A se x ≥ a ∀a ∈ A.
Definic¸a˜o 2 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A e´ majorado se
admitir majorantes.
Exemplo 1 O intervalo ] −∞, 1] e´ majorado; e o nu´mero 1 e´ um de seus
majorantes.
2 Minorac¸a˜o
Definic¸a˜o 3 Sejam x ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x e´ mino-
rante de A se x ≤ a ∀a ∈ A.
Definic¸a˜o 4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A e´ minorado se
admitir minorantes.
Exemplo 2 O intervalo [1,+∞[ e´ minorado, e o nu´mero 1 e´ um dos seus
minorantes.
3 Cojunto Limitado
Definic¸a˜o 5 Se A e´ majorado e minorado, diz-se que A e´ um conjunto li-
mitado.
Exemplo 3 A = {x ∈ R : x2 < 1} e´ minorado e tem o nu´mero -1 como o seu
minorante, mas tambe´m e´ majorado e tem o nu´mero 1 como seu majorante.
Portanto, A e´ limitado.
Lema 1 Se a ≤ c ≤ b enta˜o |a| ≥ |c| ou |b| ≥ |c| para a, b, c ∈ R.
Prova: em a ≤ c ≤ b note que se c < 0 enta˜o a ≤ c < 0 e |a| ≥ |c|.
se c ≥ 0 teremos 0 ≤ c ≤ b e da´ı |c| ≤ |b|.
Portanto |a| ≥ |c| ou |b| ≥ |c|.
Teorema 1 A e´ limitado se, e somente se, ∃M > 0, |x| ≤M , ∀x ∈ A.
prova:(=⇒) Se A e´ um conjunto limitado, enta˜o e´ majorado e minorado,
sejam a e b, dois elementos de R, respectivamente minorante e majorante de
2
A, tem-se que a ≤ x ≤ b ∀x ∈ A. e´ fa´cil notar, pelo lema 1, que |a| ≥ |x|
ou |b| ≥ |x|. Para concluir a primeira parte desta demonstrac¸a˜o basta tomar
M = max{|a|, |b|}.
(⇐=) dado M > 0 tal que |x| < M ∀x ∈ A, temos que M > max{−x, x},
ou seja, M > −x e M > x, assim −M < x < M . Tomando -M e M como
minorante e majorante, respectivamente, conclu´ımos que A e´ limitado.
Definic¸a˜o 6 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que β e´ o supremo de A
quando β for o menor majorante de A. Representamos por β = sup{A}. Se
β ∈ A dizemos que β e´ o ma´ximo de A e denotamos por β = max{A}.
Definic¸a˜o 7 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que α e´ o ı´nfimo de A
quando α for o maior minorante de A. Representamos por α = inf{A}. Se
α ∈ A dizemos que α e´ o mı´nimo de A e denotamos por α = min{A}.
Exemplo 4 No exemplo 3 note que -1, ale´m de ser um minorante do con-
junto A, e´ ı´nfimo de A, ou seja inf{A}=-1. Analogamente, o nu´mero 1, ale´m
de ser um majorante de A, e´ o supremo do conjunto A, ou seja sup{A}=1.
O conjunto A na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo: para provar isto basta supor,
por absurdo, que A admite ma´ximo e mı´nimo e tomar xm = min{A}, temos
que xm ∈ (−1, 1), tome x = −1+xm2 , ou seja, x e´ a me´dia aritme´tica entre
-1 e xm, e´ fa´cil notar que x ∈ (−1, 1) e ainda x < xm. Um absurdo, pois
xm = min{A}. Este absurdo e´ proveniente da hipo´tese de que A admite
elemento mı´nimo. De modo ana´logo podemos concluir que A tambe´m na˜o
admite elemento ma´ximo.
Teorema 2 Todo Conjunto majorado tem supremo.
Teorema 3 Todo conjunto minorado tem ı´nfimo.
prova: Seja X um subconjunto majorado de R, pelo teorema 2, X ad-
mite supremo, seja b=sup{X} tem-se x 6 b ∀x ∈ X, tome Y = {−x;x ∈ X}
como x 6 b enta˜o −b 6 −x, o que podemos concluir facilmente que -b e´ o
ı´nfimo de Y.
Teorema 4 Seja A um subconjunto de R. Enta˜o β = sup{A} se, e somente
se, β e´ majorante de A e ∀� > 0, ∃x ∈ A : x > β − �. Analogamente,
α = inf{A} se, e somente se, α e´ minorante de A e ∀� > 0, ∃x ∈ A:
x < α + �.
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Prova para o supremo:(=⇒) De fato, se β e´ o supremo de A enta˜o β
e´ um majorante de A, caso contra´rio, se β na˜o fosse majorante, enta˜o na˜o
seria o supremo, uma vez que, por definic¸a˜o, todo supremo e´ majorante.
se β = sup{A} basta tomar � > 0 suficientemente grande para que x > β− �.
Caso contra´rio, se tive´ssemos x ≤ β − �,∀x ∈ A, enta˜o β na˜o seria mais o
supremo de A, pois x ≤ β − � < β.
(⇐=) Se β e´ majorante de A e ∃� > 0 tal que x > β − � enta˜o de fato
β = sup{A}, caso na˜o fosse, teriamos β1 tal que β1 ≤ β onde β1 = sup{A},
assim, em x > β − �, tomemos � = β − β1 < 0 enta˜o x > β − (β − β1) isso
quer dizer que x > β1. Uma contradic¸a˜o, pois se β1 fosse o supremo de A,
enta˜o β1 ≥ x.
Prova para o ı´nfimo:(=⇒) Se α na˜o fosse minorante de A, tambe´m na˜o
seria ı´nfimo, uma vez que para ser ı´nfimo, deve-se ser o maior dos minoran-
tes. Tomando � > 0 suficientemente grande temos x < α+�. Caso contra´rio,
se x ≥ α + � ter´ıamos α < α + � ≤ x e α na˜o seria mais o ı´nfimo de A.
(⇐=) Se α e´ um minorante de A e ∃� > 0 tal que x < α + � enta˜o de
fato α e´ ı´nfimo de A. Caso contra´rio, ter´ıamos α1 tal que α < α1 ≤ x
onde α1 = inf{A}, em x < α + � basta tomar � = α1 − α e teremos que
x < α+ (α1−α) da´ı teremos que x < α1. Um absurdo, pois se α1 e´ o ı´nfimo
de A, o que deveria ocorrer era x > α1;∀x ∈ A.
Refereˆncia
SA´, Ana; LOURO, Bento. Ana´lise Matema´tica I: Teoria e Exerc´ıcios.
Dispon´ıvel em<http://www.mat.uc.pt/ alma/aulas/matematica2/sebentas/
am1.pdf>. Acesso em 13 de Setembro de 2015.
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