Lista Álgebra Linear

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Universidade Federal de Santa Catarina
Disciplina: Álgebra Linear - MTM3421
7a Lista de exerćıcios
Assunto: Transformações lineares, núcleo e imagem de uma transformação linear
Profa.: Virǵınia Silva Rodrigues
Nessa lista de exerćıcios, N(T ) = Ker(T ), N(F ) = Ker(F ), N(S) = Ker(S) e N(H) = Ker(H).
1) Determine qual(is) das seguintes aplicações são transformações lineares:
(i) f : R2 → R2 definida por F (x, y) = (x+ y, x− y);
(ii) g : R2 → R definida por g(x, y) = xy;
(iii) h : M2(R)→ R definida por
h
([
a b
c d
])
= det
[
a b
c d
]
= ad− bc;
(iv) f : R→ R definida por f(x) = |x|;
(v) F : R3 → R3 definida por F (x, y, z) = (2x− y, 0, 0);
(vi) F : R3 → R3 definida por F (x, y, z) = (2x2 + 3y, x, z).
2) Mostre que as seguintes aplicações do plano no plano são transformações lineares:
(i) Dilatação (contração) F : R2 → R2 definida por F (x, y) = α(x, y), onde α ∈ R;
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X F : R2 → R2 definida por F (x, y) = (x,−y);
(iii) Reflexão na origem F : R2 → R2 definida por F (x, y) = (−x,−y);
(iv) Rotação de um ângulo θ Rθ : R2 → R2 definida por Rθ(x, y) = (x cos θ−ysen θ, y cos θ+xsen θ).
3) Seja a aplicação T : R2 → R3 definida por T (x, y) = (x+ ky, x+ k, y). Verifique em que caso(s)
T é linear: (i) k = x, (ii) k = 1 e (iii) k = 0.
4) Seja F : R3 → R3 o operador (lembre que um operador linear é uma transformação linear de
um espaço nele mesmo) definido na base canônica por F (1, 0, 0) = (2, 3, 1), F (0, 1, 0) = (5, 2, 7) e
F (0, 0, 1) = (−2, 0, 7). Determine a transformação linear F (x, y, z), onde (x, y, z) é um vetor qualquer
de R3.
5) Seja T : R3 → R2 uma transformação linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e
T (1, 0, 0) = (3, 4). Determinar: (i) T (x, y, z), (ii) v ∈ R3 tal que T (v) = (−3,−2) e (iii) v ∈ R3 tal que
T (v) = (0, 0).
6) Ache a transformação linear T : R2 → R2 dada por uma rotação de um ângulo de 45◦ (anti-
horária) seguida de uma dilatação de
√
2.
7) Seja a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1,−2) = (0,−1, 0).
Determinar: (i) T (x, y), (ii) N(T ) e Im(T ), (iii) T é injetora? T é sobrejetora?
8) Considere a transformação linear F : R3 → R2 dada por F (x, y, z) = (x−y−z, 2z−x). Determine
N(F ), uma base para o núcleo e sua dimensão.
9) Para cada transformação linear abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem
(sugestão: use o Teorema do núcleo e imagem):
(i) F : R3 → R dada por F (x, y, z) = x+ y − z;
(ii) F : R2 → R2 dada por F (x, y) = (2x, x+ y);
(iii) F : R3 → R4 dada por F (x, y, z) = (x− y − z, x+ y + z, 2x− y + z,−y);
(iv) F : M2(R)→M2(R) dada por F (X) = MX +X, onde
M =
(
1 1
0 0
)
.
10) Seja F : R3 → R3 definida por F (1, 0, 0) = (1, 1, 0), F (0, 0, 1) = (0, 0, 2) e F (0, 1, 0) = (1, 1, 2).
Determine uma base de cada um dos subespaços: N(F ), Im(F ), N(F ) ∩ Im(F ), N(F ) + Im(F ).
11) Dê, se posśıvel, exemplos de transformações lineares T, S, L,H que satisfazem:
(i) T : R3 → R2 sobrejetora;
(ii) S : R3 → R2 com N(S) = {(0, 0, 0)};
(iii) L : R3 → R2 com Im(L) = {(0, 0)};
(iv) H : R3 → R3 com N(H) = {(x, y, z) ∈ R3 : z = −x}.
12) Seja T : R4 → R3 a transformação linear tal que T (1, 0, 0, 0) = (1,−2, 1), T (0, 1, 0, 0) =
(−1, 0,−1), T (0, 0, 1, 0) = (0,−1, 2) e T (0, 0, 0, 1) = (1,−3, 1).
(i) Determinar o núcleo e a imagem de T ;
(ii) Determinar bases para o núcleo e a imagem de T ;
(iii) Verificar o teorema do núcleo e imagem.
13) Mostre que cada um dos operadores lineares abaixo são isomorfismos.
(i) F (x, y, z) = (x− 3y − 2z, y − 4z, z);
(ii) F (x, y, z) = (x, x− y, 2x+ y − z).
14) Sejam V e W espaços vetoriais. Então dimV = dimW se, e somente se, V e W são isomorfos.
Respostas de alguns exerćıcios:
1) (i) sim, (ii) não, (iii) não, (iv) não, (v) sim e (vi) não; 3) (iii) é linear; 4) F (x, y, z) = (2x +
5y − 2z, 3x + 2y, x + 7y + 7z); 5) (i) T (x, y, z) = (3x − y − z, 4x − y − z), (ii) v = (1, 6 − z, z), z ∈ R
e (iii) v = (0,−z, z), z ∈ R; 7) (i) T (x, y) = (2x + y, 3x + 2y,−2x − y), (ii) N(T ) = {(0, 0)} e
Im(T ) = {(x, y,−x) : x, y ∈ R}, (iii) T é injetora, T não é sobrejetora; 8) N(F ) = {(2y, y, y) : y ∈ R},
BN(F ) = {(2, 1, 1)} e dim(N(F )) = 1; 9) (i) Base do núcleo: {(1, 0, 1), (−1, 1, 0)} e dim(N(F )) = 2,
base da imagem: {1} e dim(Im(F )) = 1; (iii) Base do núcleo: { } ou ∅ e dim(N(F )) = 0, base
da imagem: {(1, 1, 2, 0), (−1, 1,−1,−1), (−1, 1, 1, 0)} e dim(Im(F )) = 3; (iv) Base do núcleo: { } e
dim(N(F )) = 0, Im(F ) = M2(R); 12) (i) N(T ) = {(3y, y, 0,−2y) : y ∈ R} e Im(T ) = R3.