Lista 5 Geometria e Álgebra

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Universidade Federal do Maranhão - UFMA
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia - CCET
Departamento de Matemática
Disciplina: Algebra Linear Professor: Geilson Reis
Lista 2
Questão 1. Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
a) T : R2 → R2, T (x, y) = (2x− y, 0).
b) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (x− 1, y + z).
c) T : R2 → R2, T (x) = (xy, y).
d) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (|x|, y + z).
e) T : R2 → R2, T (x, y) = (x− y, y)
f) T : R2 → R2, T (x, y) = (x, αy), α ∈ R
Questão 2. Seja E um espaço vetorial sobre R. Dado α ∈ R chama-se Homotetia determinada por α a
aplicaçãoHα : E→ E tal que Hα(u) = αu, ∀u ∈ E. Mostre que Hα é um operador linear de E.
Questão 3. Seja E = C([0, 1]) o espaço vetorial das funções continuas de [0, 1] em [0, 1]. Mostrar que
é um operador linear a aplicação T : E → E definida por T (f(t)) = f(t)ϕ(t), ∀f ∈ E onde ϕ(t) é um
elemento fixo de E.
Questão 4. Seja E um espaço vetorial sobre R, dado w ∈ E, chama-se translação definida por w a
aplicação Tw : E→ E definida por Tw(u) = u+ w, ∀ ∈ E. Mostre que se w 6= 0, então T não é Linear.
Questão 5. Seja T : R2 → R2 um operador linear e sabendo que T (1, 2) = (3,−1) e T (0, 1) = (1, 2).
Encontre T (x, y), onde (x, y) é um vetor arbitrário do R2
Questão 6. Seja E = R2.Mostre que a função T : R2 → R2 definida por T (x, y) = c(x, y), ∀c ∈ R é
uma transformação linear. Quando c > 0, T é chamado de operador semelhança.
Questão 7. Seja T : E→ E uma transformação linear. Mostre que a transformação linear T é injetiva
se, e somente se, Ker(T ) = {0}
Questão 8. Sejam E , F espaços vetoriais sobre R e T : E→ F uma transformação linear. Mostre que
Im(T ) é um subespaço de F e ker(T ) é um subespaço de E.
Questão 9. Determine uma transformação linear T : R3 → R4 tal que
Im(T ) = [(1, 0, 0,−1), (0, 1, 1, 0)] .
Universidade Estadual do Maranhão
Departamento de Matemática e Informática
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof.: Geilson Reis
5ª Lista
Questão 10. Para cada uma das transformações lineares T dadas, encontre uma base e a dimensão do
núcleo e da imagem de T. a) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x+2y−3z, 2x+5y−4z, x+4y+ z).
b) T : R4 → R3, definida por T (x, y, z, t) = (x+ 2y + 3z + 2t, 2x+ 4y + 7z + 5t, x+ 2y + 6z + 5t).
c) T : R3 → R2, definida por T (x, y, z) = (x+ y + z, 2x+ 2y + 2z).
d) T : R3 → R2, definida por T (x, y, z) = (x+ y, y + z).
e) T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (x− y, y)
f) T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (x+ y, x− y)
Questão 11. Qual é a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0)?
a) Determine T (1, 0) e T (0, 1).
b) Qual é a transformação linear S : R3 → R2 tal que S(3, 2, 1) = (1, 1), S(0, 1, 0) = (0,−2) e S(0, 0, 1) =
(0, 0) ?
Questão 12. Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3 respecti-
vamente e
[T ]αβ =

2 0
1 1
0 −1

a) Ache T.
b) Se S(x, y) = (2y, x− y, x), ache [S]αβ .
c) Ache uma base γ de R3 tal que
[T ]αγ =

1 0
0 0
0 1

Questão 13. Considere a transformação a) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
a) Determine uma base do núcleo de T.
b) Dê a dimensão da imagem de T.
c) T é sobrejetora? Justifique.
Questão 14. Determinar o operador linear do R2 cuja matriz em relação à base B = {(1, 2), (0, 5)} é
[T ]αβ =
 3 1
2 −1

Bons Estudos!
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