Lista_de_Exercicios_Álgebra_Linear

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Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CETEC
Disciplina: GCET065 - Álgebra Linear
Professor: Andrêssa Lima
andressa.lima@ufrb.edu.br
Lista de Exerćıcios - Módulo I
1 Determine a matriz A = (aij)3×3 tal que aij =

−2 se i > j
1 se i = j
3 se io sistema associado a matriz ampliada:
a)

2 4
−4 −6
3 1
1 −1

b)
[
0 3 −1 −1 −1
5 2 0 −3 −6
]
7
c)

1 2 3 4
0 1 0 −2
0 0 1 3
−8 0 0 3

d)

3 0 1 −4 3
−4 0 4 1 −3
−1 3 0 −2 −9
0 0 0 −1 −2

46 Um sistema linear é dito homogêneo quando todos os termos independentes são nulos. Neste caso,
o sistema é sempre posśıvel pois possui pelo menos a solução trivial (0, 0, . . . , 0). Ou seja, só há
duas possibilidades para suas soluções.
• O sistema tem somente a solução trivial.
• O sistema tem uma infinidade de soluções além da solução trivial.
Resolva o sistema abaixo e observe que sempre que o sistema tem mais incógnitas que equações
pode ser garantido que o sistema homogêneo tenha soluções não triviais.
x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = 0
5x3 + 10x4 + 15x6 = 0
2x16x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 0
47 Encontre todos os menores e cofatores da matriz A.
a)
 1 −2 3
6 7 −1
−3 1 4

b)
1 1 2
3 3 6
0 1 4

48 Encontre os valores de λ com os quais detA = 0:
a) A =
[
λ− 2 1
−5 λ+ 4
]
b) A =
λ− 4 4 0
0 λ 2
0 3 λ− 1

c) A =
[
λ− 1 0
2 λ+ 1
]
d) A =
λ− 4 4 0
−1 λ 0
0 0 λ− 5

8
49 Mostre que as matrizes
A =
[
a b
0 c
]
e B =
[
d e
0 f
]
comutam se, e só se, ∣∣∣∣b a− c
e d− f
∣∣∣∣ = 0
50 Mostre que det(A) = 0 sem calcular o determinante diretamente.
1.)

−2 8 1 4
3 2 5 1
1 10 6 5
4 −6 4 −3

2.)

−4 1 1 1 1
1 −4 1 1 1
1 1 −4 1 1
1 1 1 −4 1
1 1 1 1 −4

51 Use determinantes para decidir se a matriz é invert́ıvel:
1.) A =
 2 5 5
−1 −1 0
2 4 3

2.) B =
 2 0 3
0 3 2
−2 0 −4

3.) C =
2 −3 5
0 1 −3
0 0 2

4.) D =
−3 0 1
5 0 6
8 0 3

52 Mostre que a matriz
A =
 cos θ senθ 0
−senθ cos θ 0
0 0 1

é invert́ıvel com qualquer valor de θ; em seguida encontre A−1 usando a matriz adjunta.
53 Seja
A =
a b c
d e f
g h i

Supondo que det(A) = −7, obtenha
1.) det(3A)
9
2.) det(A−1)
3.) det(2A−1)
4.) det((2A)−1)
5.) A =
a g d
b h e
c i f

54 Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas e calcule o posto e a nulidade.
(a)
 1 −2 3 −1
2 −1 2 3
3 1 2 3
 (b)
 0 1 3 −2
2 1 −4 3
2 3 2 −1
 (c)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1

55 Considere o seguinte sistema 
x− 2y + z = 7
2x− y + 4z = 17
3x− 2y + 2z = 14.
(x, y, z) = (2,−1, 4) é solução do sistema ?
56 Resolva os seguintes sistemas por escalonamento. Determine o posto da matriz de coeficientes e
o posto da matriz ampliada.
(a)
{
x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
(b)

2x + y − z = −6
x − y + 3z = 21
3x + 2z = 15
(c)
{
x − 2y + 3z = 0
2x + 5y + 6z = 0
(d)

x + 2y + 3z = 0
2x + y + 3z = 0
3x + 2y + z = 0
(e)

3x − y = 1
2y − 5z = −11
z − t = −1
x + y + z + t = 10
57 Determine os valores de α para os quais o sistema{
αx+ y = 1
x+ αy = 1
(a) não tenha solução; (b)tenha uma solução; (c)tenha uma infinidade de soluções.
58 Determinar para que valores de a e b o sistema
x − y + z = a
2x − y + 3z = 2
x + y + bz = 0
admite infinitas soluções.
10
59 Determine o valor de k para que o sistema
x + y + z = 0
x + 2y + kz = 2
kx + 2y + z = −2
seja:
(a) Posśıvel e determinado.
(b) Imposśıvel.
(c)Posśıvel e indeterminado.
60 Dado o sistema linear 
mx + y − z = 4
x + my + z = 0
x − y = 2
Discuta a solução do sistema de acordo com o valor de m.
61 Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos termos
independentes, bi, são todos nulos.
(a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?
(b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogêneo
2x − 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
tenha uma solução distinta da solução trivial (x = y = z = 0).
62 Utilize o método de Gauss para resolver o sistema
x + y − z = 0
2x + y + z = 1
3x − y + z = 1
63 Encontre uma equação que relacione a, b e c tal que o sistema linear
x+ 2y − 3z = a
2x+ 3y + 3z = b
5x+ 9y − 6z = c
seja compat́ıvel para quaisquer valores de a, b e c que satisfaçam a equação.
64 Considere a matriz
A =
 1 1 0
2 1 0
3 3 1
 .
(a) Encontre a inversa de A;
(b) Use a matriz inversa encontrada no item anterior para resolver o sistema AX = B, onde
X =
 x
y
z
 e B =
 1
0
1
 .
11
65 Considere a matriz
A =
 −1 1 2
1 0 −2
−6 4 13
 .
(a) Encontre a inversa de A;
(b) Use a matriz inversa encontrada no item anterior para resolver o sistema AX = B, onde
X =
 x
y
z
 e B =
 −2
0
3
 .
66 Resolva os sistemas, usando a regra de Cramer.
(a)

y + 2z = 1
2x + 4y + z = 0
x + 2y = 1
(b)

x + y = 1
2x + z = 1
x + 2y + 2z = −1
67 Sejam X1 e X2 soluções para o sistema linear homogêneo AX = 0. Mostre que para todo λ, β ∈ R
temos que λX1 + βX2 é, ainda, solução do sistema AX = 0.
68 Seja AX = B (B ̸= 0) um sistema compat́ıvel, isto é, seja posśıvel. Mostre que se Xp é uma
solução particular para o sistema não-homogêneo AX = B e Xh é uma solução para o sistema
homogêneo associado AX = 0, então X = Xp +Xh é solução do sistema linear AX = B.
69 Um caixa contendo moedas de 1, 5 e 10 centavos contém 13 moedas com um valor total de 83
centavos. Quantas moedas de cada tipo há na caixa ?
70 Recorra à Regra de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes
(a)
 1 1 0
2 3 1
1 6 0
 (b)

1 2 4 3
1 1 3 3
0 3 0 0
0 2 2 2

71 Sabendo que o det
 1 2 4
1 3 9
1 −1 1
 = 12, calcule os seguintes determinantes:
(a)det
 10 20 40
1 3 9
1 −1 1
 (b)det
 2 4 8
2 6 18
2 −2 2
 (c)det
 1 2 4
1 3 9
2 2 10

72 Utilize a propriedade dos determinantes para provar que
(a)det
 1 1 2
2 −1 1
3 0 3
 = 0 (b)det
 a2 ab ac
ab b2 bc
ac bc c2
 = 0.
73 Verifique as seguintes igualdades:
1.) det
 b+ c c+ a a+ b
b′ + c′ c′ + a′ a′ + b′
b′′ + c′′ c′′ + a′′ a′′ + b′′
 = 2det
 a b c
a′ b′ c′
a′′ b′′ c′′
;
12
2.) det

a 1 1 1 1 1
a a+ 1 2 2 2 2
a a+ 1 a+ 2 3 3 3
a a+ 1 a+ 2 a+ 3 4 4
a a+ 1 a+ 2 a+ 3 a+ 4 5
a a+ 1 a+ 2 a+ 3 a+ 4 a+ 5
 = a6.
74 Usando a regra de Cramer resolva os seguintes sistemas de equações:
(a)
{
x+ y = 2
2x− y = 1
(b)

x+ 2y + z = 4
3x− y − 2 = 0
−x− y + 3z = 1
.
75 Seja V = R2 e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte
forma:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e λ(x, y) = (0, λy).
Verifique se é um espaço vetorial.
76 Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de
multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
a) O conjunto de todos os pares da forma (x, 0) com as operações usuais de R2.
b) R3 com a soma usual e a seguinte multiplicação por escalar:
λ(x, y, z) = (λ2x, λ2y, λ2z).
c) O conjunto de todas as matrizes 2× 2 da forma[
a 0
0 b
]
com as operações usuais de adição e produto por escalar.
d) O conjunto de todas as funções reais f definidas em cada ponto da reta real e tais que f(1) = 0,
V = {f : R → R; f(1) = 0} com as operações usuais:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (λf)(x) = λf(x)
e) O conjunto de todos os números reais positivos, com a adição ⊕ definida por x⊕ y = xy, e a
multiplicação por escalar ⊙ definida por α⊙ x = xα.
f) O conjunto de todas as matrizes A = (aij)m×n tais que aij > 0, com a adição ⊕ definida por
A⊕B = (aijbij)m×n, e a multiplicação por escalar ⊙ definida por λ⊙A = λ⊙(aij) = (aλij)m×n.
g) O conjunto de todos os vetores em R2 com xy ≥ 0.
h) O conjunto de todos os vetores em R2 com x ≥ 0, y ≥ 0.
i) O conjunto R2, com a operação usual de adição, mas com a multiplicação por escalar definida
por:
αv = α(x, y) = (αx, y).
13
j) O conjunto R2, com a operação usual de multiplicação por escalar, mas adição definida por:
v + u = (x, y) + (t, w) = (x+ t+ 1, y + w + 1).
k) O conjunto dos polinômios na variável t de grau n com as operações de soma e produto por
escalar definidos por
(a0 + a1t+ · · ·+ ant
n) +⊕(b0 + b1t+ . . . bntn) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ · · ·+ (an + bn)t
n
λ⊗ (a0 + a1t+ · · ·+ ant
n) = (λa0) + (λa1)t+ · · ·+ (λan)t
n
77 Qual o único espaço vetorial que possui um único elemento? Justifique sua resposta. %
78 Você considera posśıvel existir um espaço vetorial real formado por exatamente dois vetores dis-
tintos? Explique o seu racioćınio.
79 Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço
de V .
a) W = {(x, y, z) ∈ R3| y = 0, x = z}
b) W = {(x, y, z) ∈ R3| y = −x, z = 2x}
c) W = {(x, y, z) ∈ R3| ax+ by + cz = 0; a, b, c ∈ R}
d) W = {(x, y, z, t) ∈ R4| x+ y = 0 e z − t = 0}
e) W = {(x, y, z, t) ∈ R4| 2x+ y − t = 0 e z = 0}
f) W =
{
f ∈ F(R)| lim
x→0
f(x) = ∞
}
g) W = {f ∈ F(R)| f(−x) = f(x)}
h) W = {f ∈ F(R)| f(−x) = −f(x)}
i) W = {f ∈ F(R)| f ′(x) ≥ 0}
j) W = {f ∈ F(R)| f(x) + f ′(x) = 0}
k) W =
{
A ∈ M2×2(R)| A =
[
a b
c d
]
; ad ≥ bc
}
l) W =
{[
a b
c d
]
∈ M2×2(R)| a+ b = 0 e c = −d
}
m) W = {X ∈ Mn×1(R)| AX = 0n×1}, onde A ∈ Mn×n(R).
n) W = {A ∈ Mn×n(R)| aij = 0; i ̸= j}.
o) W = {A ∈ Mn×n(R)| AB = BA}, onde B é uma matriz fixa.
14
p) W = {p(x) ∈ Pn; p(0) = 0}.
q) W = {p(x) ∈ Pn; p(0) = p(1)}.
r) W = {a+ bx+ cx2 ∈ P2; a+ b+ c = 1}.
s) W = {(x, y) ∈ R2|x+ y = 0}.
t) W = {(x, y) ∈ R2|x− y = 0}.
80 Mostre que U = {A ∈ Mn×n| At = A} é um subespaço de Mn×n(R).
81 Considere o espaço vetorial V = F(R;R). Fixada a função g : R −→ R, mostre que o conjunto
F1 = {f ∈ F(R;R)|f(g(x)) = f(x)} é um subespaço vetorial de F(R;R).
82 Mostre que o conjunto das funções cont́ınuas C([a, b],R) tais que
b∫
a
f(x)dx = 0
é um subespaço vetorial de F(R,R).
83 Em cada item a seguir, determine os subespaços U ∩ W , U + W de um espaço vetorial V e o
conjunto de geradores de cada subespaço encontrado:
1.) V = R4, U = {(x, y, z, t) ∈ R4| x+ y = t− z = 0} e W = {(x, y, z, t) ∈ R4| z = t = 0}
2.) V = R3, U = {(x, y, z) ∈ R3| x = 0} e W = {(x, y, z) ∈ R3| y + x+ z = 0}
3.) V = R2, U = {(x, y) ∈ R2| y = 0} e W = {(x, y) ∈ R2| x = 2y}
4.) V = M2×2(R), U =
{[
a 0
0 b
]
| a, b ∈ R
}
e W =
{[
0 c
0 d
]
| c, d ∈ R
}
84 Considere os subespaços U,W do R3 definidos por:
U = {(x, y, z) ∈ R3| x = y = 0} e W = {(x, y, z) ∈ R3| x+ y + z = 0}.
Mostre que R3 = U ⊕W .
85 Considere os subespaços U,W do R3 definidos por:
U = {(x, y, z) ∈ R3| y = x = z} e W = {(x, y, z) ∈ R3| z = 0}.
Mostre que R3 = U ⊕W .
86 Considere os subespaços U,W do R3 definidos por:
15
U = {(x, y, z) ∈ R3| x = 0} e W = {(x, y, z) ∈ R3| y = 0}.
É posśıvel afirmar que R3 = U ⊕W? Justifique.
87 Quais dos vetores abaixo são combinação linear de
x1 = (4, 2,−3), x2 = (2, 1,−2) e x3 = (−2,−1, 0)?
1.) (1, 1, 1)
2.) (4, 2,−6)
3.) (−2,−1, 1)
4.) (−1, 2, 3)
88 Considere os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 2, 1) e w = (−3, 2, 7) em R3. Obtenha números α, β tais
que w = αu+ βv. Quantas soluções admite este problema?
89 Faça o que se pede em cada item:
i) Determine os vetores u, v ∈ R4 sabendo que as coordenadas de u são todas iguais, a última
coordenada de v é igual a 3 e u+ v = (1, 2, 3, 4).
ii) Escreva o vetor u = (1,−3, 10) como combinação linear dos vetores v1 = (1, 0, 0), v2 =
(1, 1, 0) e v3 = (2,−3, 5).
iii) Determine uma condição para que w = (a, b, c) seja uma combinação linear de u = (1,−3, 2)
e v = (2,−1, 1).
iv) Mostre que a matriz D =
[
4 −4
−6 16
]
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
A =
[
1 2
3 4
]
, B =
[
−1 2
3 −4
]
e C =
[
1 −2
−3 4
]
.
v) Escreva a matriz D =
[
3 1
1 −1
]
como combinação linear das matrizes
A =
[
1 1
1 0
]
, B =
[
0 0
1 1
]
e C =
[
0 2
0 −1
]
.
vi) Expresse o polinômio v(t) = t2 + 4t − 3 sobre R como combinação linear dos polinômios
p1(t) = t2 − 2t+ 5, p2(t) = 2t2 − 3t e p3(t) = t− 3.
vii) Mostre que os polinômios 1− t, (1− t)2, (1− t)3 e 1 geram P3(R).
viii) Mostre que os polinômios 1 + t, 1− t2, t+ 2t2 geram P2(R).
16
ix) Mostre que 1, cos(2x) ∈ ger[sen2x, cos2x].
90 Forneça um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R3.
1.) U = {(x, y, z) ∈ R3| x− 2y = 0}
2.) V = {(x, y, z) ∈ R3| x+ z = 0 e x− 2y = 0}
3.) W = {(x, y, z) ∈ R3| x+ 2y − 3z = 0}
4.) U ∩ V
5.) V +W
91 Verifique se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial real M2×2(R):
I =
[
1 0
0 1
]
, A =
[
1 1
0 0
]
, B =
[
0 0
1 1
]
e C =
[
0 1
1 2
]
.
92 Em cada item a seguir, determine se os vetores dados são LI ou LD, justificando sua resposta.
1.) u = 1− 3t+ 2t2 − 3t3 e v = −3 + 9t− 6t2 + 9t3.
2.) u = t3 + 4t2 − 2t+ 3, v = −t3 + 6t2 − t+ 4 e w = 3t3 + 8t2 − 8t+ 7
3.) u = (1,−2, 1), v = (2, 1,−1) e w = (7,−4, 1).
93 Seja V o espaço de funções de R em R. Mostre que f, g, h ∈ V são LI, sabendo que
f(t) = sen t, g(t) = cos t, e h(t) = t.
94 Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 × 2 sobre R. Determine se as matrizes A,B,C ∈ V são
LD, sabendo que A =
[
1 1
1 1
]
, B =
[
1 0
0 1
]
e C =
[
1 1
0 0
]
.
95 Supondo que u, v, e w são vetores LI, mostre que os vetores u+ v, u− v, e u− 2v + w são LI.
96 Determine:
1.) se u = (1, 1, 1), w = (1, 2, 3) e v = (2,−1, 1) formam uma base para o espaço vetorial R3.
2.) se u = (1, 1, 1, 1), w = (1, 2, 3, 2), v = (2, 5, 6, 4) e t = (2, 6, 8, 5) formam uma base para o
espaço vetorial R4.
97 Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 × 2 sobre R. Determine se as matrizes A =
[
1 1
0 0
]
,
B =
[
0 1
1 0
]
, C =
[
0 0
1 1
]
e D =
[
0 0
0 1
]
formam uma base de V .
98 Ache uma base e a dimensão do subespaço W de R3, onde:
17
1.) W = {(x, y, z) ∈ R3| y + x+ z = 0};
2.) W = {(x, y, z) ∈ R3| y = x = z};
3.) W = {(x, y, z) ∈ R3| z = 3x};
4.) W = {(x, y, z, t) ∈ R4| 2x+ y − t = 0 e z = 0}.
99 Ache uma base e a dimensão do subespaço W = ger[(1,−4,−2, 1), (1,−3,−1, 2), (3,−8,−2, 7)]
de R4.
100 Seja W = ger[(1, 2,−1, 3, 4), (2, 4,−2, 6, 8), (1, 3, 2, 2, 6), (1, 4, 5, 1, 8), (2, 7, 3, 3, 9)]. Ache um sub-
conjunto dos vetores que formam uma base de W .
101 Ache uma base e a dimensão de U , W , U ∩W e U+W , onde U = {(x, y, z, t) ∈ R4| y + z + t = 0}
e W = {(x, y, z, t) ∈ R4| x+ y = 0; z = 2t}.
102 No espaço vetorial R3 consideremos os subespaços vetoriais: U = {(x, y, z)|x+ y = 4x− z = 0},
V = {(x, y, z)|3x− y − z = 0}, S = [(1,−1, 2), (2, 1, 1)] e T = [(0, 1,−1), (1, 2, 1)]. Determine as
dimensões de cada um dos seguintes subespaços U, S, T, V, S + T, S ∩ T.
103 Suponha que (1, 1) e (−1, 1) formam uma base de R2. Exprima cada um dos vetores (1, 0) e (0, 1)
como combinação linear dessa base.
104 Ache uma solução não-trivial para o sistema homogêneo:

x+ 2y + 3z + 4t = 0
2x+ y + z − t = 0
3x− 2y + z − 2t = 0
e, a partir dáı,
obtenha uma combinação linear nula dos vetores
v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 1,−2), v3 = (3, 1, 1), v4 = (4,−1, 2),
na qual os coeficientes não são todos iguais a zero.
105 Mostre que os polinômios 1, x−1, e x2−3x+1 formam uma base de P2(R). Exprima o polinômio
2x2 − 5x+ 6 como combinação linear dos elementos dessa base.
106 Encontre uma base para o plano π : x− 2y+3z = 0 em R3. Em seguida, encontre uma base para
a interseção desse plano com o plano x0y.
107 Sejam V um espaço vetorial, B = {v1, v2, ..., vn} uma base de V e c1, c2, ..., cn escalares não nulos.
Prove que B1 = {c1v1, c2v2, ..., cnvn} também é um base de V .
108 Seja B = {v1, v2, ..., vn} uma base para um espaço vetorial V . Prove que
{v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3, . . . , v1 + v2 + v3 + . . .+ vn, }
é uma base para V .
109 Seja X = {u, v, w} um conjunto LI de vetores de um espaço vetorial V . Prove que é LD o conjunto
Y = {u+ v − 3w, u+ 3v − w, v + w} .
18
110 Consideremos o subespaço vetorial de M3(R) constitúıdo das matrizes simétricas. Determine uma
base desse subespaço.
111 Seja V o espaço vetorial dado por V = {x ∈ R | x > 0} cujas operações de adição⊕ e multiplicação
por esclares ⊙ são assim definidas:
⊕ : x⊕ y = xy, ∀ x, y ∈ V e ⊙ : α⊙ x = xα, ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ R.
Mostre que o conjunto {2} é uma base de V .
112 SejamU e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n, respectivamente. Considere o espaço
vetorial U × V cuja adição e multiplicação por escalares são dadas por:
+ : (u1, v1) + (u2, v2) = (u1 + u2, v1 + v2) e · : β(u, v) = (βu, βv).
Supondo que U = {u1, u2, ..., un} e V = {v1, v2, ..., vn} são bases de U e de V , respectivamente,
prove que
B = {(u1, 0), (u2, 0), (u3, 0), ..., (un, 0), (0, v1), (0, v1), ..., (0, v1)}
é uma base de U × V .
113 Em cada item a seguir, encontre as coordenadas dos vetores p e q com relação à base B:
1.) p(x) = 1 + 2x− x2 e q(x) = 4− 10x− x2, B = {1 + x, x+ x2, 1 + x2};
2.) p(x) = 1 + 2x− x3 e q(x) = −7− 10x2 − x3, B = {1, 1− x, 1− x2, 1− x3}.
114 Encontre as coordenadas do vetor A =
[
1 −1
2 0
]
em relação à base:
B =
{[
1 0
0 1
]
;
[
0 1
0 0
]
;
[
0 0
2 0
]
;
[
0 0
1 2
]}
.
115 Encontre as coordenadas dos vetores A =
[
1 2
3 4
]
e C =
[
3 4
6 4
]
, em relação à base:
B =
{[
1 0
0 0
]
;
[
1 1
0 0
]
;
[
1 1
1 0
]
;
[
1 1
1 1
]}
.
116 Encontre a matriz de mudança da base B = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3)} para base canônica do R3.
117 No espaço R3 consideremos as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} relacionadas da seguinte
maneira:
(i)g1 = e1 + e3 (ii)g2 = 2e1 + e2 + e3 (iii)g3 = e1 + 2e2 + e3.
1.) Determine a matriz de mudança de B para C e de C para B.
2.) Se as coordenadas de um vetor u em relação à base B são 1, 1 e 2, quais são as coordenadas
desse vetor em relação à base C?
19
118 No espaço R3 consideremos as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} relacionadas da seguinte
maneira:
(i)g1 = e1 + e2 − e3 (ii)g2 = 2e2 + e3 (iii)g3 = 3e1 + e3.
1.) Determine a matriz de mudança de B para C e de C para B.
2.) Se as coordenadas de um vetor u em relação à base B são 1, 2 e 3, quais são as coordenadas
desse vetor em relação à base C?
3.) se [v]γ =
 2
3
−1
, encontre [v]β.
119 A matriz de mudança de uma base B1 do R2 para a base B = {(1, 1), (0, 2)} desse mesmo espaço
é
[
1 0
2 3
]
. Determine a base B1.
120 A matriz de mudança da base C1 = {1 + t, 1− t2} para base C, ambas do mesmo subespaço de
P2(R), é
[
1 2
1 −1
]
. Determine a base C.
121 Considere as bases coordenadas β = {1, 1 + t, 1 + t2} e γ = {1, t, 1− t2} de P2(R).
1.) Encontre as matrizes [I]βγ e [I]γβ.
2.) Se [v]β =
 1
−4
6
, encontre v e determine [v]γ.
3.) Se [v]γ =
 8
−1
3
, encontre v e determine [v]β.
122 Considere o seguinte subespaço de M2×2:
W =
{[
x y
z t
]
;x− y − z = 0
}
.
1.) Mostre que β =
{[
1 1
0 0
]
,
[
1 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e γ =
{[
1 0
1 0
]
,
[
0 −1
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
são
bases de W .
2.) Encontre as matrizes de mudança de base.
3.) Encontre uma base θ de W tal que a matriz 1 1 0
0 0 2
0 3 1

seja a matriz de mudança de base de θ para a base β, ou seja, [I]θβ.
20
0.1 Transformações lineares
123 Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
1.) f1 : R2 → R2 dada por f1 (x, y) = (x+ y, x− y).
2.) f2 : R2 → R dada por f2 (x, y) = xy.
3.) f3 : M2 (R) → R dada por f3 (A) = det (A).
4.) f4 : P2 → P3 dada por f4 (ax
2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + cx.
5.) f5 : R → R dada por f5 (x) = |x|.
6.) f6 : R3 −→ R2, f6(x, y, z) = (x2, y)
7.) f7 : R2 −→ R3, f7(x, y) = (x+ y, x, 0)
8.) f8 : R3 −→ R, f8(x, y, z) = 2x− 3y + 4z
9.) f9 : V −→ V, f9(v) = −v em que V é um espaço vetorial qualquer.
10.) f10 : R2 −→ M2(R), f10(x, y) =
[
x+ 2y 0
1 y
]
11.) f11 : R3 −→ M2(R), f11(x, y, z) =
[
x+ 1 0
z y
]
12.) f12 : R3 −→ R4, f12(x, y, z) = (2x+ y, 3y − 8z, y + z, 4x)
13.) f13 : R −→ R2, f13(x) = (x, x+ 2)
14.) f14 : R3 −→ R, f14(x, y, z) = |x+ y + z|
15.) f15 : P3(R) −→ P2(R), f15(xt3 + yt2 + zt+ w) = (x+ w)t2 + (x− 2z + 4y)
16.) f16 : P3(R) −→ M2(R), f16(xt3 + yt2 + zt+ w) =
[
x+ y y
−z w + z
]
17.) f17 : M2(R) −→ R3, f17
(
x y
z w
)
= (x+ y, x− 2y, z − 3w)
18.) f18 : M2(R) −→ R, f18(A) = det(A)
19.) f19 : Mn(R) −→ R, f19(A) = tr(A)
20.) f20 : Mn(R) −→ Mn, f20(A) = AB −BA, onde B é uma matriz n× n fixa.
21.) f21 : C3 → C4, f21 (x, y, z) = (x+ y + z, x− iz, 2x+ y + (1− i) z, 3x+ 2y + (2− 1) z).
22.) f22 : Pn (R) → Pn (R) dada por f22 (p) = p′. (Pn (R) é o espaço dos polinômios de grau ≤ n.)
21
23.) f23 : R2 −→ R2, f23(x, y) = (x. cos θ − y. sin θ, y. cos θ + x. sin θ)
24.) T : P2 → P2 dada por T (a0 + a1x+ a2x
2) = a0 + a1(x+ 1) + a2(x+ 1)2.
25.) T : F(R) → F(R), sendo T (f(x)) = f(x) + 1.
124 Mostre que se T : V → W é uma transformação linear, então:
• T (0V ) = 0W
• T (u− v) = T (u)− T (v), quaisquer que sejam u e v em V .
125 Responda as seguintes questões:
(a) Qual a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0)?
(b) Determine T (0, 1) e T (1, 0).
(c) Qual a transformação linear S : R3 → R2 tal que S (3, 2, 1) = (1, 1), S (0, 1, 0) = (0,−2) e
S (0, 0, 1) = (0, 0)?
(d) Determine P : R2 → R2 tal que P = S ◦ T .
126 No plano uma rotação anti-horária de 45º é seguida por uma expansão pelo fator
√
2. Determine
a transformação linear que representa essa transformação no plano.
127 Determine a transformação linear do plano que consiste de uma reflexão em torno da reta y = x.
128 Considere a base B = {(1, 2, 1), (2, 9, 0), (3, 3, 4)} do R3 e seja T : R3 → R2 a transformação linear
tal que
T (1, 2, 1) = (1, 0) T (2, 9, 0) = (−1, 1) T (3, 3, 4) = (0, 1).
Encontre uma fórmula para T (x, y, z) e use essa fórmula para obter T (7, 13, 7).
129 Determine o núcleo e a imagem para as seguintes transformações lineares. Determine também
bases para esses espaços e suas dimensões.
(a) T1 : R2 → R2 , T1 (x, y) = (3x− y,−3x+ y)
(b) T2 : R2 → R3, T2 (x, y) = (x+ y, x, 2y)
(c) T3 : M2 (R) → R2, T3
([
a b
c d
])
= (a− b, a+ b)
(d) T4 : P1 → R3, T4 (ax+ b) = (a, 2a, a− b)
130 Seja T : R4 → R3 a transformação linear tal que T (e1) = (1,−2, 1), T (e2) = (−1, 0,−1),
T (e3) = (0,−1, 2) e T (e4) = (1,−3, 1), onde B = {e1, e2, e3, e4} é a base canônica de R4.
(a) Determine o núcleo e a imagem de T
(b) Determine bases para o núcleo e a imagem.
22
131 Seja {v1, . . . , vn} uma base para um espaço vetorial V e seja T : V −→ V uma transformação
linear. Prove que, se T (v1) = v1, T (v2) = v2, . . . , T (vn) = vn, então T é a transformação identidade
em V .
132 Determine:
(a) uma transformação linear T : R3 → R3 cujo núcleo é gerado por (1, 2,−1) e (1,−1, 0).
(b) uma transformação linear T : R3 → R2 cujo núcleo é gerado pelo vetor (1, 0,−1).
(c) uma transformação linear T : R3 → R4 cuja imagem é gerada por (1, 3,−1, 2) e (2, 0,−1, 1).
133 A expressão geral de um funcional linear f : R3 −→ R é f(x, y, z) = ax + by + cz. Dados os
vetores u = (1, 2, 3), v = (−1, 2, 3) e w = (1,−2, 3), determine a, b e c de tal modo que se tenha
f(u) = 1, f(v) = 0 e f(w) = 0.
134 Seja T : R4 −→ R3 a transformação linear dada pela fórmula
T (x, y, z, w) = (4x+ y − 2z − 3w, 2x+ y + z − 4w, 6x− 9z + 9w).
Em cada caso decida se o vetor está em Im(T ):
(a)(0, 0, 6) (b)(1, 3, 0) (c)(2, 4, 1)
135 Seja T : P2 −→ P3 a transformação linear definida por T (p(x)) = xp(x). Em cada caso, decida se
o vetor está em Nuc(T ):
(a)x2 (b)0 (c)1 + x
136 Descreva o núcleo e a imagem:
• da projeção ortogonal sobre o plano xz;
• da projeção ortogonal sobre o plano yz;
• da projeção ortogonal sobre o plano definido pela equação y = x.
137 Verdadeiro ou Falso:
• Se v for um vetor não nulo em V , então existe exatamente uma transformação linear T :
V → W tal que T (v) = −T (v).
• Se o núcleo de uma transformação linear T : P3 → P3 for 0, então T é um isomorfismo.
• Qualquer transformação linear de M3 × 3 em P9 é um isomorfismo.
• Existe alguma matriz P de tamanho 2 × 2 tal que T : M2×2 → M2×2 definida por T (A) =
AP − PA seja um isomorfismo.
• Existe alguma transformação linear T : P4 → P4 tal que o núcleo de T seja isomorfo à
imagem de T .
138 Para cada uma das transformações lineares abaixo• Encontre uma base e a dimensão para o núcleo;
23
• Encontre uma base e dimensão para a imegem;
• Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
1.) T : R2 → R3 definida por T (x, y) = (2y, x− y, x).
2.) T : P2(R) → P2(R) definida por T (a+ bt+ ct2) = a+ c+ (b− c)t2.
3.) T : M2×2(R) → R definida por T
([
a b
c d
])
= a+ d.
4.) T : M3×1(R) → M3×1(R) definida por T (X) = AX, onde 1 1 −1
0 −1 2
1 0 1
 e X =
 x
y
z
 .
5.) T : P2(R) → P2(R) definida por T (p) = p′, onde p′ é a derivada de p.
139 Encontre um isomorfismo entre o espaço vetorial de todas as matrizes 3× 3 simétricas e o R6.
140 Encontre dois isomorfismos diferentes entre o espaço de todas as matrizes 2× 2 e R4.
141 Mostre que o espaço vetorial R2 é isomorfo ao subespaço S ⊆ R3 definido por
S = {(x, y, z) ∈ R3/x− y + 2z = 0}.
142 Seja A =
 −1 −2 0
0 −1 1
1 0 0
. Quais são os autovalores e autovetores de A de um espaço vetorial:
real e complexo.
143 Suponha que λ1 e λ2 sejam autovalores e diferentes de zero de T : R2 → R2. Mostre que:
1.) Os autovalores v1 e v2 correspondentes são LI.
2.) T (v1) e T (v2) são LI.
144 Seja T : V → V um operador linear tal que 0 é um autovalor de T . Mostre que T não é injetora.
145 Sejam A =
 1 2 1
0 −1 1
0 0 −1
 e B =
 1 3 1
0 2 0
0 0 3
 matrizes inverśıveis.
1.) Calcule AB e BA e observe que estes produtos são diferentes.
2.) Encontre os autovalores de AB e os de BA. O que você observa?
146 Encontre a transformação linear T : R2 → R2, tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados aos
autovetores (3y, y) e (−2y, y) respectivamente.
24
147 Ache os autovalores e os autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
1.) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2y, x);
2.) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x+ y, 2x+ y);
3.) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z)
4.) T : P2 → P2, com T (ax2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b
148 Prove que se A for uma matriz quadrada, então A e At têm os mesmos autovalores.
Seja A =
 1 3 3
3 1 3
−3 −3 −5
. Determinar o polinômio caracteŕıstico e o polinômio minimal de A.
149 Determine os autovalores e os autovetores do operador linear T do R3 dado por:
1.) T (1, 0, 0) = (2, 0, 0), T (0, 1, 0) = (2, 1, 2), T (0, 0, 1) = (3, 2, 1);
2.) T (1, 0, 0) = (0, 0, 0), T (0, 1, 0) = (0, 0, 0), T (0, 0, 1) = (5,−1, 2).
150 Mostre que os autovetores de uma matriz triangular (ou diagonal) são os elementos da diagonal
principal.
151 Os vetores (1, 1) e (2,−1) são autovetores de um operador linear T : R2 → R2, associados a λ1 = 5
e λ2 = −1, respectivamente. Determinar a imagem do vetor (4, 1) por esse operador.
152 Calcule os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares:
1.) T : R2 → R2 dado por T (x, y) = (x+ 2y, x);
2.) T : M2×2(R) → M2×2(R) dado por
T
([
a b
c d
])
=
[
a a+ b
c c+ d
]
153 Quais são os autovalores e os autovetores do operador derivada D : P2 → P2?
154 Para quais valores de c ∈ R as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
1.) A =
 1 1 1
0 0 1
0 0 c

2.) B =
 1 1 c
0 0 1
0 0 1

25
Considere
A =

1 1 0 1
1 1 0 1
0 0 3 0
1 1 0 1
 .
Determine uma matriz B tal que B−1AB seja diagonal. Tal matriz B é única? Por quê?
155 Considere a matriz A =
[
5/4 −3/4
−3/4 5/4
]
. Existe n ∈ N tal que An = I? Justifique sua resposta.
156 Encontre uma matriz A tal que A3 = B, com
B =
 1 −2 −2
0 1 0
0 2 3

157 Prove que se λ for um autovalor de uma matriz invert́ıvel A com autovetor associado x, então 1/λ
é um autovalor de A−1 com autovetor associado x.
26
	Transformações lineares