Métodos Quantitativos Aplicados

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FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
Métodos Quantitativos aplicados
SUMÁRIO
MÉTODOS QUANTITATIVOS 
APLICADOS
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Métodos Quantitativos aplicados
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Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017SUMÁRIO
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul 
do Estado do Espírito Santo, com unidades em 
Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova 
Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, des-
tacando-se pela oferta de cursos de gradua-
ção, técnico, pós-graduação e extensão, com 
qualidade nas quatro áreas do conhecimen-
to: Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, sem-
pre primando pela qualidade de seu ensino 
e pela formação de profissionais com cons-
ciência cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto 
grupo de Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 institui-
ções avaliadas no Brasil, apenas 15% conquistaram 
notas 4 e 5, que são consideradas conceitos 
de excelência em ensino.
Estes resultados acadêmicos colocam 
todas as unidades da Multivix entre as 
melhores do Estado do Espírito Santo e 
entre as 50 melhores do país.
 
MissÃo
Formar profissionais com consciência cida-
dã para o mercado de trabalho, com ele-
vado padrão de qualidade, sempre mantendo a 
credibilidade, segurança e modernidade, visando 
à satisfação dos clientes e colaboradores.
 
visÃo
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconheci-
da nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
GRUPO
MULTIVIX
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SUMÁRIO
BiBliotEca MultiviX (dados de publicação na fonte)
As imagens e ilustrações utilizadas nesta apostila foram obtidas no site: http://br.freepik.com
Oliveira, Janaína Giovani Noronha de.
Métodos Quantitativos Aplicados / Janaína Giovani Noronha de Oliveira. – Serra: Multivix, 2018.
EditoRial
FaculdadE capiXaBa da sERRa • MultiviX
Catalogação: Biblioteca Central Anisio Teixeira – Multivix Serra
2018 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei.
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Diretora Acadêmica
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do Conselho Editorial)
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Multivix Educação a Distância
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Pedagógico
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Semipresencial
Gestão de Materiais Pedagógicos e Metodologia
Direção EaD
Coordenação Acadêmica EaD
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Aluno (a) Multivix,
Estamos muito felizes por você agora fazer parte 
do maior grupo educacional de Ensino Superior do 
Espírito Santo e principalmente por ter escolhido a 
Multivix para fazer parte da sua trajetória profissional.
A Faculdade Multivix possui unidades em Cachoei-
ro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova Venécia, 
São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. Desde 1999, 
no mercado capixaba, destaca-se pela oferta de 
cursos de graduação, pós-graduação e extensão 
de qualidade nas quatro áreas do conhecimento: 
Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, tanto na mo-
dalidade presencial quanto a distância.
Além da qualidade de ensino já comprova-
da pelo MEC, que coloca todas as unidades do 
Grupo Multivix como parte do seleto grupo das 
Instituições de Ensino Superior de excelência no 
Brasil, contando com sete unidades do Grupo en-
tre as 100 melhores do País, a Multivix preocupa-
-se bastante com o contexto da realidade local e 
com o desenvolvimento do país. E para isso, pro-
cura fazer a sua parte, investindo em projetos so-
ciais, ambientais e na promoção de oportunida-
des para os que sonham em fazer uma faculdade 
de qualidade mas que precisam superar alguns 
obstáculos. 
Buscamos a cada dia cumprir nossa missão que é: 
“Formar profissionais com consciência cidadã para o 
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança 
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e 
colaboradores.”
Entendemos que a educação de qualidade sempre 
foi a melhor resposta para um país crescer. Para a 
Multivix, educar é mais que ensinar. É transformar o 
mundo à sua volta.
Seja bem-vindo!
APRESENTAÇÃO 
DA DIREÇÃO 
EXECUTIVA
Prof. Tadeu Antônio de Oliveira Penina 
diretor Executivo do Grupo Multivix
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SUMÁRIO
 > FIGURA 1 - Mão com diversos dados 15
 > FIGURA 2 - Lápis no bilhete de loteria 16
lista dE FiGuRas
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lista dE taBElas
 > QUADRO 1 - Sumarização 27
 > QUADRO 2 - Sumarização 28
 > QUADRO 3 - Sumarização 34
 > QUADRO 4 - Sumarização 35
 > QUADRO 5 - Produtos Disponibilizado 45
 > QUADRO 6 - Distribuição Discreta 55
 > QUADRO 7 - Área sob a curva da Normal Padrão 64
 > QUADRO 8 - Área sob a curva da Normal Padrão 71
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SUMÁRIO
suMÁRio
1UNIDADE
2UNIDADE
1 MEtodoloGia dE pEsQuisa Quantitativa aplicada 11
1.1 CONCEITOS BÁSICOS 11
1.1.1 MÉTODOS ESTATÍSTICOS 12
1.1.2 DEFINIR O PROBLEMA 13
1.1.3 COLETAR OS DADOS 14
1.1.4 ORGANIZAÇÃO DOS DADOS 18
1.1.5 TRATAMENTO E APRESENTAÇÃO DOS DADOS 18
conclusÃo 20
2 EstatÍstica dEscRitiva 22
2.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 22
2.1.1 MÉDIA 22
2.1.2 MEDIANA 27
2.1.3 MODA 29
2.2 MEDIDAS DE DISPERSÃO 30
2.2.1 AMPLITUDE 30
2.2.2 DESVIO-PADRÃO 31
2.2.3 VARIÂNCIA 34
2.2.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 34
conclusÃo 36
3 noÇÕEs dE pRoBaBilidadE 38
3.1 INTRODUÇÃO À TEORIA DAS PROBABILIDADES 38
3.1.1 CONCEITOS PROBABILÍSTICOS 38
3.1.2 ESPAÇO AMOSTRAL 38
3.2 PROBABILIDADE 40
3.2.1 TABELA DE CONTINGÊNCIA 43
3.2.2 EVENTOS INDEPENDENTES 45
3.2.3 TEOREMA DE BAYES 45
conclusÃo 49
3UNIDADE
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4 vaRiÁvEis alEatÓRias discREtas E contÍnuas. 
distRiBuiÇÃo dE pRoBaBilidadE. valoR EspERado E vaRiÂncia 51
4.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 51
4.1.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 52
4.1.1.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 55
4.1.1.2 DISTRIBUIÇÃO POISSON 57
4.2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 58
4.2.1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 61
conclusÃo 65
5 intERvalo dE conFianÇa E tEstE dE HipÓtEsEs 67
5.1 INTRODUÇÃO 67
5.2 INTERVALO DE CONFIANÇA 67
5.2.1 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL 68
5.2.2 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL 73
5.2.3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS 74
5.2.4 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DUAS PROPORÇÕES POPULACIO-
NAIS 75
5.3 TESTE DE HIPÓTESES 77
5.3.1 TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA POPULACIONAL 78
5.3.2 TESTE DE HIPÓTESESPARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL 81
conclusÃo 83
6 anÁlisE dE coRRElaÇÃo E REGREssÃo 85
6.1 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 85
6.2 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 85
6.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO 89
6.4 RETA DE REGRESSÃO LINEAR 89
conclusÃo 92
GlossÁRio 93
REFERÊncias 94
4UNIDADE
5UNIDADE
6UNIDADE
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SUMÁRIO
iconoGRaFia
ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
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OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Definir as etapas para 
realização de uma 
pesquisa.
> Analisar se um 
problema é 
coerente ou não 
para a aplicação 
das ferramentas 
estatísticas.
> Identificar se os dados 
foram coletados de 
maneira adequada.
> Explicar como 
apresentar uma 
análise estatística.
UNIDADE 1
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SUMÁRIO
1 MEtodoloGia dE 
pEsQuisa Quantitativa 
aplicada 
1.1 CONCEITOS BÁSICOS
A metodologia de pesquisa pode ser entendida como a aplicação das ferramentas 
estatísticas na compreensão da população em estudo. Podemos definir a estatística 
como um conjunto de ferramentas e técnicas destinadas a coletar, sintetizar, orga-
nizar, sumarizar, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos 
realizados em qualquer área do conhecimento humano. 
Um ponto importante ao se trabalhar com a estatística é entender o seu significado 
e a sua área de atuação. Assim sendo, a estatística pode definida, segundo o Dicioná-
rio Aurélio, como o “ramo das matemáticas aplicadas cujos princípios decorrem da 
teoria das probabilidades e que tem por objeto o estudo, bem como o agrupamento 
metódico de séries de fatos ou de dados numéricos”.
Martins (2017), por sua vez, define a estatística como a “ciência dos dados – uma ciên-
cia para o produtor e o consumidor de informações numéricas. Ela envolve coleta, 
classificação, sumarização, organização, análise e interpretação de dados”.
Portanto, é possível inferir que a estatística atua diretamente na disciplina de méto-
dos quantitativos, fornecendo métodos para coleta, organização, descrição, análise e 
interpretação de dados, almejando a utilização deles no processo de tomada de de-
cisão. Assim, a estatística também compreende um conjunto de métodos utilizados 
para a obtenção de dados, sua organização em tabelas e gráficos, e a análise destes 
a fim de inferir sobre a população em estudo, minimizando gastos e tempo, além de 
manter a precisão. 
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O vocábulo “estatística” teve origem da palavra “status”, ou seja, “estado” em 
latim. A data precisa do seu surgimento não é indicada, todavia sabe-se 
que era amplamente utilizada pelo Imperador César Augusto na taxação de 
impostos e alistamento militar. Há indícios da estatística desde 3000 anos 
a.C., com a realização de censos, como o citado no quarto livro do Antigo 
Testamento, quando é feita uma referência a uma instrução dada a Moisés 
para que realizasse um levantamento dos homens de Israel que fossem aptos 
a guerrear.
Mesmo sendo prática coletar dados sobre colheitas, delimitar impostos devido ao es-
paço ocupado e dimensionar a população humana e de animais, desde os egípcios, 
hebreus, caldeus e gregos, só em 1797 a palavra “statistics” apareceu na Enciclopédia 
Britânica, cunhada pelo acadêmico alemão Gotfried Achenwall (1719-1772).
1.1.1 MÉTODOS ESTATÍSTICOS
Após entender o que estatística pode significar, é preciso saber como aplicá-la de 
forma eficiente, almejando obter, ao final do processo de pesquisação, uma estima-
tiva condizente com a realidade, minimizando os custos e mantendo a precisão da 
informação. Para a realização de uma pesquisa eficaz, é necessário seguir algumas 
etapas, por exemplo:
1. definir o problema; 
2. coletar os dados;
3. organizar e tratar os dados;
4. sumarizar e apresentar os dados.
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1.1.2 DEFINIR O PROBLEMA
Essa é a primeira fase do processo de aplicação de uma pesquisa estatística. Ela surge 
da necessidade de o profissional no mercado de trabalho solucionar um problema 
emergente, ou mesmo da curiosidade em estimar ou inferir sobre alguma variável de 
interesse. 
Nesse ponto, é imprescindível que o pesquisador tenha ciência de que a variável é a 
característica determinante para o foco da análise estatística, ou seja, é possível estu-
dar, por exemplo, o número de gols que um time fará na próxima partida; qual a esti-
mativa da nota dos alunos na próxima prova; ou se o lançamento de uma marca terá 
sucesso imediato no mercado atual. Assim, definir a variável, isto é, a característica a 
ser estudada, é tão importante quanto definir o que será estudado dela. 
Variável é o nome atribuído à característica abordada no estudo estatístico, podendo 
variar de uma pessoa para a outra, de um item para o outro e de um momento para 
o outro.
As variáveis normalmente são abreviadas ou denotadas por uma letra do alfabeto, ou 
seja, x, y, etc. Elas se dividem, de acordo com a sua característica predominante, em 
(1) qualitativas e (2) quantitativas.
variáveis qualitativas
São as variáveis cujos valores são expressos por atributos, ou seja, qualidades. Exem-
plo: a cor da pele, o estado civil, o sexo etc. As variáveis qualitativas podem ser subdi-
vidas em nominais e ordinais.
variáveis quantitativas
São aquelas cujos valores são expressos por números, indicando a mensuração de 
alguma quantidade específica. Por exemplo: o peso, a altura, a idade etc. As variáveis 
quantitativas podem ser subdivididas em: 
- contínuas: são aquelas por meio das quais é obtido como resposta um intervalo, ou 
seja, permite a utilização de números decimais. 
- discretas: são aquelas por meio das quais é obtido como resposta um número inteiro.
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Projeto é um esforço temporário empreendido para criar um produto, serviço 
ou resultado exclusivo.
Para saber se uma variável é contínua ou discreta, pergunte se ela pode ter metade. 
Por exemplo, “peso” é uma variável contínua, pois entre 5 e 6 quilos existem os gra-
mas. E “computador” é discreta, pois entre 1 e 2 computadores não há nada, ou seja, 
não existe meio computador.
VARIÁVEL
QUALITATIVA
Nominal Ordinal Discreta Contínua
QUANTITATIVA
1.1.3 COLETAR OS DADOS
Após definir o problema de pesquisação, é imprescindível uma coleta de dados cons-
ciente e íntegra. Essa coleta pode se dar por meio de questionários aplicados, obser-
vação, experimentação ou pesquisa bibliográfica.
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SUMÁRIO
FIGURA 1 - MÃO COM DIVERSOS DADOS
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
Como é extremamente raro se ter acesso a toda a população base do estudo, é im-
portante selecionar uma amostra representativa dela, mantendo suas características.
A amostragem pode ser realizada por meio de várias técnicas diferentes. Dentre elas, 
destacam-se a (1) Amostragem Casual ou Aleatória Simples; (2) Amostragem Estrati-
ficada e (3) a Sistemática.> A Amostragem Aleatória Simples é aquela na qual todos os elementos da popula-
ção têm a mesma chance de compor a amostra. É a mais utilizada dentre as técnicas 
de amostragem.
O sorteio de qualquer loteria é um exemplo de amostragem aleatória simples, 
na qual todos os possíveis números possuem a mesma probabilidade de 
serem sorteados.
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FIGURA 2 - LÁPIS NO BILHETE DE LOTERIA
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
Para esse tipo de amostragem, é essencial ter uma amostra pequena e 
moderada, pois quando o número de elementos é muito grande, esse tipo 
de sorteio torna-se muito trabalhoso. Nesse caso, utiliza-se uma tabela de 
números aleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são 
distribuídos ao acaso nas linhas e colunas.
> A Amostragem Estratificada é aquela na qual a população base da pesquisação é 
subdividida em estratos, ou seja, subpopulações. Nesse tipo de amostragem, é im-
prescindível considerar todos os estratos, extraindo uma amostra com elementos 
proporcionais ao número de elementos contidos nos estratos da população.
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SUMÁRIO
Para formar uma amostra com 10% dos elementos de uma população 
composta por 64 homens e 36 mulheres, tem-se que selecionar 
aleatoriamente 6 homens e 4 mulheres, conforme ilustrado na tabela.
sEXo populacÃo 10 % aMostRa
Masc. 64 6,4 6
Femin. 36 3,6 4
total 100 10,0 10
É importante salientar que os componentes da população são numerados de 01 a 
100, sendo de 01 a 64 homens e de 65 a 100 mulheres, para, posteriormente, realizar 
o sorteio casual com urna ou tabela de números aleatórios.
> A Amostragem Sistemática é realizada quando os elementos da população já estão 
ordenados, não havendo a necessidade de construir um sistema de referência. Nesse 
tipo de amostragem, a seleção dos elementos que a compõem fica a critério do pes-
quisador, como os prédios de uma rua, prontuários médicos etc.
Suponhamos uma rua com 80 casas, das quais desejamos obter uma amostra 
formada por 20 casas para uma pesquisa de opinião. Podemos, nesse caso, 
usar o seguinte procedimento: como 
80
40
4= , escolhemos por sorteio casual 
um número de 1 a 4, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a 
amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 4 em 
4. Assim, suponhamos que o número sorteado fosse 2, a amostra seria: 2ª casa, 
6ª casa, 10ª casa, 14ª casa etc.
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1.1.4 ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Após a coleta dos dados, é essencial organizá-los a fim de se realizar corretamente 
uma análise estatística. Essa organização dos dados pode ser feita por meio de grá-
ficos ou tabelas, não sendo preciso, necessariamente, escolher um entre os tipos de 
apresentação dos dados, uma vez que, na maioria das análises estatísticas, é impor-
tante a exploração de mais de um método.
A coleta dos dados que sustentam os gráficos e tabelas em qualquer análise esta-
tística pode se dar de forma direta ou indireta. Sendo a coleta direta aquela na qual 
os dados são obtidos por meio de elementos informativos de registro obrigatório, ou 
seja, decorrentes de registros escolares, médicos ou dados gerados pelo próprio pes-
quisador por meio de questionários. E a coleta é indireta quando provém de inferên-
cias, ou seja, conclusões com base em elementos previamente conhecidos. Esse tipo 
de coleta normalmente tem como referência uma coleta direta.
1.1.5 TRATAMENTO E APRESENTAÇÃO DOS DADOS
Para se trabalhar com grandes conjuntos de dados, é necessário inicialmente agru-
pá-los, organizando-os em tabelas visando à melhor apresentação e explanação da 
variável pesquisada. A essa tabela damos o nome de “tabela de frequências”, uma vez 
que nela é possível sintetizar os dados coletados de forma direta ou indireta, incluin-
do tanto o número de vezes que eles aparecem na pesquisa quanto o percentual que 
representam no conjunto da obra. 
As tabelas de frequências podem resumir dados oriundos de variáveis contínuas ou 
discretas, nas quais são apresentados os dados agrupados em classes ou apresenta-
dos de modo pontual, respectivamente. Essa representação não é rígida e engessada, 
dependendo basicamente dos dados considerados e do interesse da pesquisa. 
As tabelas de frequências podem ser utilizadas na sumarização das variáveis qualita-
tivas ou quantitativas, dependendo do foco da pesquisa.
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SUMÁRIO
Pode-se construir uma tabela de frequências dos dados distribuídos em 
classes mesmo quando a variável é discreta.
Segundo a ABNT (Associação Brasileira de Normas e Técnicas), para apresentar 
os dados depois de dispostos em uma tabela, esta deve conter: (1) Título; (2) 
Cabeçalho; (3) Coluna Indicadora; (4) Corpo e (5) Fonte. O Título precede a 
tabela e explica, suscintamente, o dado em estudo, podendo, também, indicar 
o tempo ou lugar a que os dados se referem. No Cabeçalho e na Coluna 
indicadora, são especificados o conteúdo de cada coluna e os valores que os 
dados podem assumir, respectivamente. No Corpo da tabela, são apresentadas 
as frequências de ocorrência dos dados de acordo com cada conteúdo. E a 
Fonte explicita a entidade e/ou o pesquisador(es) que forneceram os dados.
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CONCLUSÃO
Nesta unidade, vimos algumas técnicas de análise e elaboração de uma pesquisa, 
além de conceitos como variáveis e estatística. Foi possível concluir que a organização 
correta, assim como a tabulação dos dados são imprescindíveis para a apresentação 
e análise deles. Também vimos que, para a realização de qualquer pesquisação esta-
tística e fundamentação de análise de dados, é essencial o conhecimento prévio do 
tipo de variável abordada, além de saber como e quais tipos de análises são possíveis 
extrair desses dados.
Portanto, é possível, pela compreensão dos temas abordados neste capítulo, funda-
mentar as teorias e conceitos estudados na disciplina de Métodos Quantitativos.
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Métodos Quantitativos aplicados
SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Identificar as 
medidas de 
tendência central e 
de dispersão.
> Aplicar as 
ferramentas 
que auxiliam 
no processo 
de otimização, 
organização e 
apresentação dos 
dados.
UNIDADE 2
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2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
A estatística descritiva é a mais conhecida das subdivisões da disciplina de métodos 
de previsão por ser responsável pela sumarização e apresentação dos dados, visan-
do facilitar o estudo da população por meio de gráficos, tabelas, médias e índices. É 
responsável pelas estatísticas que circulam em jornais, revistas e mídia em geral. Essa 
área da estatística é responsável por tratar dos procedimentos utilizados na organiza-
ção, sumarização e apresentação dos dados numéricos.
Becker (2015) afirma que “quase sempre estaremos tratando de estatísticas amos-
trais, ou seja, calculadas em amostras concretas, embora nosso interesse informacio-
nal seja o de generalização”.
A estatística descritiva pode ser resumida nas etapas de (1) definição do problema; (2) 
planejamento;(3) coleta de dados; (4) apresentação dos dados e (5) descrição dos dados.
2.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
São medidas estatísticas que possibilitam estimar a localização de uma variável por 
meio do banco de dados que a compõe, ou seja, medidas capazes de sintetizar a 
tendência central em torno de um único valor. Essas medidas são distribuídas em (1) 
média, (2) mediana e (3) moda.
Martins & Domingues (2017) afirmam que as medidas de tendência central visam a 
“determinação e o cálculo de medidas que ofereçam o posicionamento da distribui-
ção dos valores de uma variável que desejamos analisar”.
2.1.1 MÉDIA
A média aritmética é a ideia que ocorre à maioria das pessoas quando se fala em 
“média”. É a mais importante entre as medidas de tendência central, tanto pelas pro-
priedades matemáticas que possui (única medida de tendência central que considera 
todos os elementos do banco de dados no que tange à quantidade e magnitude) 
quanto por ser capaz de indicar o equilíbrio entre os elementos do banco de dados.
A média aritmética, comumente chamada apenas de média, pode ser assimilada a 
uma balança analógica, ou seja, quando inserimos ou retiramos valores em uma das 
23
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SUMÁRIO
“bandejas”, temos que recalcular um novo “ponto de equilíbrio”, em outros termos, 
uma nova média. Porém, se inserimos valores ou retiramos valores no centro da “ba-
lança”, o equilíbrio se mantém e não há necessidade de novos cálculos.
Quando alguém fala sobre um conjunto de dados, tanto pode estar se referindo a 
uma amostra como a uma população, conforme abordado no capítulo 1. Utilizamos 
o símbolo µ para indicar a média de uma população e o símbolo para representar a 
média de uma amostra. 
A média da população também é obtida dividindo a soma dos dados pelo núme-
ro de elementos da população. Não calculamos µ porque, em geral, temos apenas 
uma amostra da população. Mas a média da amostra é uma estimativa da média da 
população. Às vezes, a média pode ser um número diferente de todos os da série de 
dados que ela representa, por isso costuma-se dizer que a média aritmética não tem 
existência concreta
Existem diversas conotações para o cálculo da média. Autores 
como Castro (2003) e Meyer (1983) apresentam as médias 
aritmética, geométrica, harmônica, quadrática e ponderada – 
esta última podendo ser aritmética, harmônica ou geométrica. 
É possível, ainda, estabelecer uma relação entre essas medidas, sendo a 
média aritmética menor que a geométrica, que por sua vez é menor que a 
harmônica, quando todas elas são positivas.
Nesta disciplina, abordaremos apenas a média aritmética por ser a mais aplicada. 
A média ponderada é abordada como um caso particular da média aritmética.
A média aritmética é a mais comum entre as médias. Para estimá-la, basta somar 
todos os elementos do banco de dados e dividir pela quantidade de elementos soma-
dos. Ela é amplamente utilizada nas mais diversas áreas do conhecimento e aplicada 
em qualquer área do mercado de trabalho, pois, apesar da simplicidade dos cálculos, 
permite realizar uma estimativa real do equilíbrio entre os elementos do banco de 
dados. É dada por 
x
x
n
i
i l
n
= −
∑ , sendo: x a notação atribuída à média;
xi
i l
n
=
∑ a soma dos i-ésimos elementos do banco de dados;
o número de elementos do banco de dados.
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Martins & Domingues (2017) apresentam em sua literatura que a média “é a mais co-
mum e a mais intuitiva das medidas de posição”. Além da “facilidade” apresentada em 
seus cálculos, a média possui propriedades bastante interessantes. As principais são: (1) 
a média aritmética de um conjunto de números sempre pode ser calculada, sejam os 
dados oriundos de variáveis contínuas ou discretas; (2) para um determinado conjunto 
de dados, a média aritmética é única; (3) a média é sensível a (ou afetada por) todos 
os elementos do banco de dados, portanto, se um valor é modificado, a média tam-
bém se modifica; (4) Somando (ou subtraindo) uma constante em todos os elementos 
do banco de dados, a média também fica aumentada (ou diminuída) dessa mesma 
constante; e (4) Multiplicando (ou dividindo) por uma constante todos os elementos 
do banco de dados, a média também fica multiplicada (ou dividida) dessa constante.
Exemplo 1: 2 4 6 8
2 4 6 8
4
5, , e ( )⇒ + + + =
(substituindo o 8 pelo 80) ⇒( )⇒ = + + + =2 4 6 80 2 4 6 80
4
23, , e x
Exemplo 2: (2, 4, 6 e 8) ⇒ = + + + =x 2 4 6 8
4
5
(somando 1 unidade em cada número) ⇒ (3, 5, 7 e 9) ⇒ x = + + + =3 5 7 9
4
6
Exemplo 3: (2, 4, 6 e 8) ⇒ x = + + + =2 4 6 8
4
5
(multiplicando por 2 cada número) ⇒ (4, 8, 12 e 16) ⇒ x =
+ + +
=
4 8 12 16
4
10
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SUMÁRIO
A média ponderada é a ordenação da média aritmética, ou seja, é a soma 
do produto entre os elementos do banco de dados e o número de vezes que 
cada um deles ocorre dividido pelo total de elementos. Formalmente, é dada 
por x
x f
f
p
i
i l
n
i
i
i l
n=
=
−
∑
∑

, sendo xp a notação atribuída à média ponderada e fi a 
frequência do i-ésimo elemento do banco de dados, ou seja, o número de 
vezes que ele aparece.
(2, 2, 2, 2 , 4, 4, 4, 6, 8 e 8) 
x xp =
+ + +
= =
+ + + + + + + + +
=
4 2 3 4 1 6 2 8
10
4 2
2 2 2 2 4 4 4 6 8 8
10
. . . .
, e 44 2,
(Média ponderada) (Média aritmética)
Ao organizarmos os dados em tabelas, a média aritmética e a média ponderada se 
confundem muito, não havendo, nessa literatura, distinção entre elas, pois a ponde-
rada é tratada apenas como uma organização da aritmética.
Portanto, para os dados organizados em tabelas de frequências, a média é 
dada por x
x f
f
i
i l
n
i
i
i l
n=
=
=
∑
∑

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Os resultados dos lançamentos de um dado, 25 vezes, foram organizados na 
tabela 2.1.
QUADRO 1 - SUMARIZAÇÃO
CLASSES DADOS FA FR FA FR
1 1 6 24% 6 24%
2 2 2 8% 8 32%
3 3 4 16% 12 48%
4 4 4 16% 16 64%
5 5 4 16% 20 80%
6 6 5 20% 25 100%
total - 25 100% - -
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
A partir dessa tabela, é possível calcular a média por:
x x x x x x x= + + + + + =1 6 2 2 3 4 4 4 5 4 6 5
25
3 52,
Quando os dados estão agrupados em classes, temos que, primeiramente, calcular 
o ponto médio de cada classe, indicado por xi e dado por 
maior menor−
2
 da classe, 
como apresentado no próximo exemplo.
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SUMÁRIO
Vinte amigos resolveram participar da Mini-Maratona do Brasil. A distância que 
os atletas têm de percorrer é de 20 km, tendo realizado para tal vários treinos. 
No último, as distâncias percorridas foram as seguintes (em km), organizadas 
na tabela 2.2:
QUADRO 2 - SUMARIZAÇÃO
CLASSES DADOS FA FR FA FR XI
1 0 ├ 5 3 15% 3 15% 2,5
2 5 ├ 10 7 35% 10 50% 7,5
3 10 ├ 15 6 30% 16 80% 12,5
4 15 ├ 20 4 20% 20 100% 17,5
total - 20 100% - - -
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
A partir dessa tabela, é possível calcular a média por:
x = + + + =2 5 3 7 5 7 12 5 6 17 5 4
20
10 25
, . , . , . , .
,
2.1.2 MEDIANA
A mediana de um conjunto ordenado de valores, indicada por x1 , é definida como 
o valor que divide o banco de dados em dois subconjuntos do mesmo tamanho, ou 
seja, com a mesma quantidade de elementos em cada lado. Portanto, se “n” (núme-
ro de elementos) é ímpar, a mediana é ovalor central do conjunto. Caso contrário, a 
mediana é a média dos valores centrais do conjunto.
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Exemplo 1: Para um banco de dados com o número total de elementos ímpar, 
ou seja, (3, 5, 8, 4, 6) a mediana é dada por:
Primeiro, ordenam-se os dados: (3, 4, 5, 6, 8)
Posteriormente, basta selecionar o elemento central, ou seja, a mediana, neste 
caso, é o número 5.
Exemplo 2: Para um banco de dados com o número total de elementos par, 
ou seja, (3, 5, 2, 8, 4, 6) a mediana é dada por: 
Primeiro, ordenam-se os dados: (2, 3, 4, 5, 6, 8)
Posteriormente, basta calcular a média dos elementos centrais, ou seja, a 
mediana, neste caso, é dada por x =
+
=
4 5
2
4 5,
Para os dados agrupados em classes, a mediana é dada por x l h
md fa anterior
fa da classe
i i
 = +
− ( )
( )





. 
, 
sendo li o limite inferior da classe mediana, h a amplitude da classe mediana, md o 
elemento mediano – dado por 0 5, vezes o número de elementos do banco de dados, 
Fa anterior( ) a frequência acumulada da classe anterior e Fa da classe ( ) a frequência sim-
ples da classe mediana.
De acordo com a tabela 2.2, a mediana é dada por:
número de elementos do banco de dados
elemento
 
 .
2
20
2
10
0=
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SUMÁRIO
Como a quantidade de elementos do banco de dados é par, a mediana é dada pela 
média entre o 10º e o 11º elementos, que está entre a segunda e a terceira classe, 
portanto:
2 5 ├ 10 7 35% 10 50% 7,5
3 10 ├ 15 6 30% 16 80% 12,5
x
x
i
i
= +
−





=
10 5
10 10
6
10
 i
�
2.1.3 MODA
A moda de um conjunto de valores, indicada por mo , é definida como sendo “o valor 
(ou os valores) do conjunto que mais se repete”, ou seja, o(s) elemento(s) em maior 
evidência, com maior frequência. É importante ressaltar que a moda, ao contrário 
da mediana e da média, não necessariamente é única, ou seja, um conjunto pode 
ter mais de uma moda, ou mesmo ser amodal, isto é, sem moda. Se ela existir, será 
representada por mo.
Exemplo 1: Para os dados: (3, 5, 8, 4, 6)
 Não há moda, ou seja, é amodal.
Exemplo 2: Para os dados: (3, 5, 2, 3, 4, 6)
 Primeiro, ordenam-se os dados: (2, 3, 3, 4, 5, 6)
 A moda é o número 3, pois aparece mais que os demais.
Exemplo 3: Na tabela 2.1, a moda é o número 1, pois aparece 6 vezes, ou seja, 
tem a maior frequência.
30
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2.2 MEDIDAS DE DISPERSÃO
São medidas estatísticas que possibilitam estimar a organização de uma variável 
com base no banco de dados que a compõe, ou seja, medidas capazes de sintetizar a 
dispersão dos dados em torno de um único valor. Essas medidas são distribuídas em 
(1) amplitude, (2) desvio-padrão, (3) variância e (4) coeficiente de variação. Com essas 
medidas, podemos inferir se os valores estão relativamente próximos ou distantes.
2.2.1 AMPLITUDE
A mais simples das medidas de dispersão é a amplitude, indicada por “h”, e definida 
como sendo a diferença entre os valores extremos do conjunto, ou seja, o maior me-
nos o menor elemento do banco de dados.
Exemplo 1: Para os dados: (3, 5, 8, 4, 6)
 A amplitude é dada por h= − =8 3 5
Exemplo 2: Na tabela 2.1, a amplitude é dada por h= − =20 0 20 .
Essa medida, apesar da facilidade e de ser muito utilizada na construção de 
tabelas de frequências, não explica a organização dos dados, uma vez que 
apenas é capaz de exprimir o “comprimento” dos elementos do banco de 
dados, não fazendo qualquer inferência sobre a quantidade de elementos, ou 
mesmo sobre a relevância destes na dispersão dos dados.
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SUMÁRIO
2.2.2 DESVIO-PADRÃO
É a mais utilizada entre as medidas de dispersão, pois indica a oscilação média de 
cada elemento do banco de dados até a média, ou seja, até o ponto de equilíbrio 
entre todos os elementos do banco de dados. Portanto, o desvio-padrão pode ser 
entendido como a média das médias das distâncias de cada elemento até a média. 
O desvio-padrão é indicado por s quando é amostral e σ quando é populacional, e 
estimado por s
x x
n
i
i l
n
=
−( )
−
=
∑
2
1
 e σ =
−( )
=
∑ x x
n
i
i l
n 2
 para a amostra e a população, res-
pectivamente.
O desvio-padrão possui propriedades bastante úteis, como: (1) ele está sempre na 
mesma unidade de medida da média, que, por sua vez, é a mesma unidade de medi-
da dos dados que compõem a variável em estudo; (2) quanto menor o desvio-padrão, 
melhor é a organização dos dados, ou seja, mais regular, mais estável, mais homogê-
nea e confiável é a variável estudada; (3) se o desvio-padrão é zero, então não exis-
te variabilidade no processo, ou seja, todos os dados são iguais; (4) somando-se (ou 
subtraindo-se) uma constante qualquer em todos os elementos do banco de dados, 
não há nenhum impacto no desvio-padrão, ou seja, ele não se altera; e (5) multipli-
cando-se (ou dividindo-se) todos os valores do banco de dados por uma constante 
(diferente de zero), o desvio-padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.
32
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Exemplo 1: Para o dados (2, 4, 6 e 8), vimos anteriormente que a média é 5, 
portanto, o desvio-padrão é dado por:
s =
−( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=
3 6 5 6 7 6 9 6
4 1
2 58
2 2 2 2
,
(somando 1 unidade em cada número) ⇒ (3, 5, 7 e 9) ⇒
s =
−( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=
3 6 5 6 7 6 9 6
4 1
2 58
2 2 2 2
,
Exemplo 2: (2, 4, 6 e 8) ⇒ s =
−( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=
2 5 4 5 6 5 8 5
4 1
2 58
2 2 2 2
,
multiplicando por 2 cada número) ⇒ (4, 8, 12 e 16) ⇒
s =
−( ) + −( ) + −( ) + +( )
−
=
4 10 8 10 12 10 16 10
4 1
5 16
2 2 2 2
,
Para os dados organizados em tabelas de frequências, o desvio-padrão é dado 
por
s
f x x
f
i l
n
i l
n=
−( )
−
=
=
∑
∑
1 1
2
1
1

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SUMÁRIO
Exemplo 1: Os resultados dos lançamentos de um dado, 25 vezes, foram 
organizados na tabela 2.1.
QUADRO 3 - SUMARIZAÇÃO
CLASSES DADOS FA FR FA FR
1 1 6 24% 6 24%
2 2 2 8% 8 32%
3 3 4 16% 12 48%
4 4 4 16% 16 64%
5 5 4 16% 20 80%
46 6 5 20% 25 100%
total - 25 100% - -
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
A partir dessa tabela, é possível calcular o desvio por:
s =
−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −6 1 3 52 2 2 3 52 4 3 3 52 4 4 3 52 4 5 3 522 2 2 2. , . , . , . , . ,(( ) + −( )
−
=
2 2
5 6 3 52
25 1
1 87
. ,
,
Quando os dados estão agrupados em classes, temos que primeiramente calcular o 
ponto médio de cada classe, indicado por xi , e dado por 
maior menor−
2
 da classe, 
como apresentado na tabela 3.2.
Exemplo 2: Vinte amigos resolveram participar da Mini-Maratona do Brasil. A distân-
cia que os atletas têm de percorrer é de 20 km, tendo realizado para tal vários treinos. 
No último, as distâncias percorridas foram as seguintes (em km), organizadas na ta-
bela 2.2.
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QUADRO 4 - SUMARIZAÇÃO
CLASSES DADOS FA FR FA FR X1
1 0 ├ 5 3 15% 3 15% 2,5
2 5 ├ 10 7 35% 10 50% 7,5
3 10 ├ 15 6 30% 16 80% 12,5
4 15 ├ 20 4 20% 20 100% 17,5
Total - 20 100% - - -
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
A partir dessa tabela, é possívelcalcular o desvio por:
s =
−( ) + −( ) + −( ) + −3 2 5 10 25 7 7 5 10 25 6 12 5 10 25 4 17 5 102 2 2. , , . , , . , , . , ,225
20 1
4 99
2( )
−
= ,
2.2.3 VARIÂNCIA
A Variância é definida como “a média dos quadrados dos desvios em relação à média 
aritmética”; indicada por s2 quando é amostral e σ 2 quando é populacional e esti-
mada por s
x x
n
i
i
n
2
2
1
1
=
−( )
−
=
∑
 e σ 2
2
1=
−( )
=
∑ x x
n
i
i
n
 para a amostra e a população, respecti-
vamente.
Como medida de dispersão, a variância tem a desvantagem de apresentar unidade 
de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados, ou seja, se os dados 
apresentados estão em metros, a variância retorna a resposta em metros ao quadrado.
2.2.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
O coeficiente de variação, indicado por CV , e dado por CV
s
x
= , ou seja, pelo quo-
ciente entre o desvio-padrão e a média aritmética, expressa a variabilidade presente 
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no banco de dados, excluindo a influência da ordem de grandeza da variável. Essa é a 
melhor medida de dispersão no que tange à comparação entre dois ou mais grupos 
justamente por ser capaz de analisar a dispersão em termos relativos a seu valor mé-
dio. Becher (2015) apresenta em sua bibliografia que “o coeficiente de variação é po-
sitivo e adimensional”, ou seja, ele analisa as variáveis na mesma ordem de grandeza.
Um determinado banco está precisando comparar dois fundos de aplicação. 
Sabendo que o fundo A apresenta média de aplicação em torno de 100 reais 
e desvio-padrão equivalente a 10 reais e o fundo B apresenta média e desvio-
padrão de aplicação em torno de 1000 e 100, respectivamente, é possível 
afirmar que os dois fundos são igualmente confiáveis para o banco, uma vez 
que o coeficiente de variação de ambos é o mesmo, ou seja:
CVA = =
10
100
0 1, e CVB = =
100
1000
0 1,
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CONCLUSÃO
As medidas da Estatística Descritiva permitem organizar os dados e buscar informa-
ções sobre a sua localização e organização em relação ao todo. As medidas de ten-
dência central indicam a localização do banco de dados e as medidas de dispersão 
indicam a organização dele em relação ao seu centro.
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OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Relacionar eventos 
probabilísticos;
> Calcular as chances 
de ocorrência de um 
determinado evento;
> Definir o que é 
probabilidade e 
como ela se aplica.
UNIDADE 3
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3 NOÇÕES DE 
PROBABILIDADE
3.1 INTRODUÇÃO À TEORIA DAS PROBABILIDADES
A teoria das probabilidades é uma importante área da ciência que permite ao pro-
fissional no mercado de trabalho calcular percentuais, trabalhar com estimativas e 
realizar predições em toda e qualquer área do conhecimento. Essa “teoria” nasce na 
Idade Média com os tradicionais jogos de azar existentes na Corte. Fenômenos trata-
dos como eventos probabilísticos são aqueles cujas chances de incertezas podem ser 
mensuradas, ou seja, jogos de cartas e dados, lançamentos de moedas, assim como a 
maioria dos jogos esportivos.
3.1.1 CONCEITOS PROBABILÍSTICOS
Antes de começar a realizar os cálculos probabilísticos, é necessário entender alguns 
conceitos que envolvem os estudos das probabilidades. A princípio, é importante 
reconhecer o que é um espaço amostral, ou seja, um conjunto formado por todos os 
resultados possíveis a ser analisado em um experimento aleatório. Com o reconhe-
cimento do espaço amostral, é possível definir um evento aleatório, considerando 
como experimento todo e qualquer resultado que sugere a incerteza antes da obser-
vação, ou seja, fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições seme-
lhantes, apresentam resultados imprevisíveis (acaso). Podendo definir com o evento, 
enfim, esses resultados dos experimentos.
3.1.2 ESPAÇO AMOSTRAL
Para realizar um cálculo probabilístico, é essencial entender o que é o espaço amos-
tral (Ω), pois ele limita o espaço de interesse da investigação, permitindo ao pesqui-
sador de toda e qualquer área do conhecimento fazer inferências sobre o todo com 
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base na parte estudada. A definição do espaço amostral varia de acordo com o even-
to de interesse da investigação, podendo ser caracterizado por: (1) mesmo evento 
repetidas vezes, ou (2) eventos distintos, ou (3) eventos aleatórios. 
Se tivermos o mesmo evento repetidas vezes, como no lançamento de um dado 
ou de uma moeda, ou mesmo nas possibilidades de filhos de um casal ou de peças 
defeituosas em uma linha de produção, o espaço amostral (Ω) é dado pelas possibili-
dades do evento elevado ao número de repetições realizadas, por exemplo:
No lançamento de uma moeda quatro vezes, temos duas possibilidades, sendo (k) 
indicando que o lançamento da moeda resultou em cara e (c) resultou em coroa, 
portanto o espaço amostral (Ω) é dado por:
(c, c, c, c),
(c, k, k, c),
(k, c, c, c),
(k, k, k, c),
(c, c, c, k),
(c, k, c, k),
(k, c, c, k),
(k, k, c, k),
(c, c, k, c),
(c, k, k, k),
(k, c, k, c),
(k, k, k, k),
(c, k, c, c),
(c, c, k, k),
(k, k, c, c),
(k, c, k, k),
Ou seja, Ω = ( ) = =( )possibilidades repetições 2 164
Entretanto, se tivermos eventos distintos, como no lançamento de um dado e uma 
moeda, o espaço amostral (Ω) é dado pelo produto da quantidade de possibilidades 
de cada evento, por exemplo:
No lançamento de uma moeda e um dado, temos duas possibilidades da moeda 
(cara ou coroa) e seis possibilidades do dado (os números inteiros de 1 a 6), portanto 
o espaço amostral (Ω) é dado por:
(k, 1), (k, 2), (k, 3), (k, 4), (k, 5), (k, 6),
(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6),
Ou seja, Ω = ( ) ⋅( ) = =possibilidades possibilidades 2 6 12.
Se tivermos eventos aleatórios, como o número de funcionários ausentes em um 
dia de trabalho ou mesmo o número de caminhões presentes em uma determinada 
rota, não há um modelo matemático que simplifique a mensuração dos elementos 
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que compõem esse espaço amostral, é preciso utilizar o princípio fundamental da 
contagem.
Os eventos que compõem o espaço amostral podem ser classificados de acordo com 
a sua ocorrência. Os eventos nos quais cada elemento do banco de dados pode ocor-
rer com a mesma probabilidade são chamados de eventos equiprováveis.
Os eventos são classificados como mutuamente exclusivos se eles não puderem ocor-
rer simultaneamente, ou seja, A∩B=∅.
Conjunto ⇒ é uma coleção de objetos, itens ou serviços que possuem característica(s) 
comum(ns).
Espaço Amostral ⇒ (Ω) é qualquer conjunto de todos os possíveis resultados de um 
experimento aleatório.
Experimento ⇒ é todo e qualquer resultado que sugere a incerteza antes da obser-
vação.
Evento Aleatório ⇒ (E) é qualquer subconjunto de um espaço amostral.
Eventos Equiprováveis ⇒ são aqueles eventos nos quais todos os elementos do banco 
de dados têm a mesma probabilidade de ocorrência.
3.2 PROBABILIDADE
A probabilidade de realização de um evento A é dada pelo quociente entre o núme-
ro de ocorrências de A pelo número de eventos possíveis, ou seja:
P A númerode ocorrência de A
espaço amostral
( ) = ( )
 
 Ω
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SUMÁRIO
Portanto, a probabilidade pode ser resumida como o quociente entre o que 
se “quer” e o que se “tem”. Nela, primeiro determina-se o que é possível “ter” e 
depois retira-se o que se “quer do que se tem”, não podendo “querer mais do 
que se tem”, ou seja:
Martins & Domingues (2017) definem a probabilidade como a “teoria que provê, re-
gula, a possibilidade de acerto de que os resultados obtidos com a amostra refletem 
os resultados da população”. Assim, é possível inferir que a probabilidade é uma esti-
mativa para a população com base na amostra em estudo.
Existem duas restrições à aplicação da definição da probabilidade clássica: (1) todos 
os eventos possíveis devem ter a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja, os 
eventos devem ser equiprováveis; e (2) deve-se ter um número finito de eventos pos-
síveis.
Para qualquer evento E de um espaço amostral Ω: 0 ≤ P (E) ≤ 1;
P (Ω) = 1;
P (A^C) = 1-P (A), sendo AC o evento complementar ao evento A;
As operações com os eventos utilizam as mesmas propriedades matemáticas, ou seja:
Associativa ⇒ (A ∩ B) ∩ C=A ∩ (B ∩ C)
 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ Cw)
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Comutativa ⇒ A ∩ B = B ∩ A
 A ∪ B = B ∪ A
Distributiva ⇒ (A ∩ B) ∪ C=(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
 (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Absorção ⇒ A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
 A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B
Modulares ⇒ A A∩ =Ω
 A A∪ =Ω
 A A∩∅ =
 A A∪∅ =
Lei de De Morgan ⇒ A A∪∅ =
 A B A B∪ = ∩
Dupla negação ⇒ A A=
Portanto, a união de dois eventos A e B, indicada por A ∪ B, é o evento que contém 
todos os elementos de A e todos os elementos de B.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A∩B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B), se A e B são mutuamente exclusivos;
A interseção de dois eventos A e B, indicada por A ∩ B é o evento que contém todos 
os elementos comuns a A e B.
P(A ∩ B) = P (B) . P (A|B)
Sendo P(A│B) a probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade de A ocorrer 
sabendo que o evento B ocorreu.
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SUMÁRIO
Dois ou mais eventos podem ser classificados como mutuamente exclusivos 
quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Por exemplo, 
no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” 
são mutuamente exclusivos, já que, a realização de um deles implica 
necessariamente a não realização do outro.
Portanto, em eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro 
se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize.
Eventos mutuamente exclusivos não é a mesma coisa de eventos independentes, 
uma vez o primeiro é utilizado quando apenas um dos eventos pode ocorrer, excluin-
do qualquer probabilidade de ocorrência do outro, e o segundo é utilizado quando a 
ocorrência de um dos eventos não afeta a ocorrência do outro.
3.2.1 TABELA DE CONTINGÊNCIA
As tabelas de contingência são aplicadas na avaliação do relacionamento das cate-
gorias com respeito aos grupos de acordo com dois modos, independência ou ho-
mogeneidade, ou seja, eventos com dupla entrada.
A aplicação de tabela de contingência dois por dois é dada quando n elementos 
selecionados aleatoriamente de uma população são classificados em duas catego-
rias. Depois de os elementos serem classificados, um tratamento é aplicado e alguns 
elementos são examinados novamente e classificados nas duas categorias. O que al-
meja-se saber é: O tratamento alterou significativamente a proporção de objetos em 
cada uma das duas categorias?
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Suponha que em uma amostra de 2000 produtos disponibilizados 
ao mercado, sejam 800 refrigerantes e 1200 cervejas, dos quais 5 e 10 
apresentaram algum tipo de defeito, respectivamente, no rótulo da 
embalagem, no volume líquido ou qualquer outro tipo de avaria. A segui, uma 
tabela de contingencia para melhor visualizar estes dados. 
QUADRO 5 - PRODUTOS DISPONIBILIZADO
CERVEJA REFRIGERANTE TOTAL
BoM 1190 795 1985
dEFEito 10 5 15
total 1200 800 2000
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Tendo como base essa tabela, é possível estimar que a probabilidade de essa empre-
sa disponibilizar um produto (dentre cervejas e/ou refrigerantes) no mercado com 
algum tipo de defeito é dada por:
P defeito( ) = =� ,15
2000
0 0075
Logo, apenas 0,75% dos produtos disponibilizados por essa empresa apresentam al-
gum tipo de defeito.
De maneira geral, portanto, uma tabela de contingência é uma representação dos 
dados, um processo de organizar a informação correspondente a dados bivariados, 
isto é, podem ser classificados segundo dois critérios.
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SUMÁRIO
3.2.2 EVENTOS INDEPENDENTES
Um ou mais eventos pode(m) ser classificado(s) como independente(s) quando a rea-
lização de um dos eventos não afeta a probabilidade de ocorrência do outro e vice-
-versa.
Quando dois eventos são independentes a P (A ∩ B) = P (A). P (B).
3.2.3 TEOREMA DE BAYES
A probabilidade condicional, ou seja, as chances de um evento A ocorrer dado que 
outro evento B ocorreu, é dada por:
P A B
P A B
P B
|( ) = ∩( )( )
para P B( ) >0
O Teorema de Bayes propõe que se os eventos E1,E2,…,En são partições do espaço 
amostral Ω, então:
P E B
P B E P E
P Bi
i i
|
| .
( )
( ) = ( ) ( )
Recorrendo à lei de probabilidade total é possível inferir que:
P E B
P B E P E
P B E P Ei
i i
j j
|
| .
| . ( )
( ) = ( ) ( )( )∑
Seja B1,B2,…,Bn um conjunto de eventos mutuamente exclusivos cuja união forma o 
espaço amostral Ω. Seja E outro evento no mesmo espaço amostral Ω, tal que P(E) > 
0, então:
P E P E B P E B P E B P E B
P E P B P E B
N( ) = ∩( ) + ∩( ) + ∩( ) + + ∩( )
( ) = ( ) ( )
1 2 3
1 1
...
. | ++ ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( )P B P E B P B P E B P E B P B Bn n n2 2 3 3| | ... | |
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Portanto,
P E P B P E Bi i( ) = ( ) ( )∑ . |
Suponha que você é o responsável pela qualidade na linha de produção 
de uma grande marca de bebidas. Você está ciente de que não é possível 
“experimentar” todos os produtos antes de disponibilizá-lo ao mercado, uma 
vez que ninguém compraria uma bebida já provada, e que o processo de 
fabricação é composto por etapas, por interferências dos funcionários, por 
equipamentos (que podem estar ou não muito bem regulados) e por uma 
série de outros fatores controláveis ou não, como até uma simples umidade 
excessiva no ambiente de fabricação devido ao período chuvoso. Com isso, 
você é capaz de suspeitar que um determinado lote, devido à variabilidade 
inerente ao processo, apresente um percentual de itens não conformes maior 
que o permitido pelos órgãos fiscalizadores?” 
Se a empresa aqui citada produzir dois lotes com duas mil unidades em cada lote 
por semana, distribuídas entre 1000 cervejas, 600 refrigerantes e 400 sucos por lote, 
com aproximadamente 0,2%, 0,1% e 0,15% de itens defeituosos por lote, respectiva-
mente, podemos utilizar a teoria das probabilidades para responder questões como:
a. Qual o percentual de refrigerantesdistribuídos semanalmente?
b. Qual a probabilidade de o consumidor adquirir um suco?
c. Dentre as cervejas, qual a probabilidade de o consumidor adquirir uma cerveja 
com defeito?
d. Dentre os sucos, qual a probabilidade de o consumidor adquirir um suco sem 
defeito do primeiro lote?
e. Sabendo que foi adquirido um produto com defeito, qual a probabilidade de 
ser um suco?
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SUMÁRIO
Para responder a essas questões, utilizamos a probabilidade clássica para o item (a), a 
união de probabilidades para o item (b), a probabilidade condicional para o item (c) 
e o Teorema de Bayes para o item (d), ou seja:
a. P refrigerante( ) = = =1200
4000
0 30 30, %
b. P suco( ) = + = =400
2000
400
2000
0 40 40, %
Observe que, neste caso, tanto faz se o consumidor adquirir um suco do primeiro ou 
do segundo lote, independentemente da ordem de ocorrência do evento.
c. P defeito cerveja
P cerveja com defeito
P cerveja
|( ) = =( ��� �� )
( )
,0 2.. , *
, %
1000 0 2 1000
1000 1000
400
2000
0 20 20
+
+
= = =
d. P sucosemdefeitodoprimeirolote suco� � � � � |( ) =
=
+
= =
0 5 0 2 0 85
0 5 0 2 0 85 0 5 0 2 0 85
0 0850
0 1700
0 5
, . , . ,
, . , . , , . , . ,
,
,
,
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e) P (suco/defeito) =
=
+ +
=
2 0 5 0 2 0 15
2 0 5 0 2 0 15 0 5 0 3 0 1 0 5 0 5 0 2
.( , . , . , )
.( , . , . , , . , . , , . , . , )
00 0150
0 0800
0 1875
,
,
,=
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SUMÁRIO
CONCLUSÃO
A probabilidade pode ser resumida como o quociente entre o que se “quer” e o que 
se “tem”. Nela, primeiro determina-se o que é possível “ter” e depois retira-se o que se 
“quer do que se tem”, não podendo “querer mais do que se tem”, ou seja:
50
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OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Descrever distribuições 
estatísticas, suas 
aplicações e diferenças;
> Aplicar as distribuições 
estatísticas de forma 
consciente no mercado 
de trabalho;
> Discutir a aplicabilidade 
das medidas de 
tendência central e 
dispersão de acordo 
com a classificação da 
distribuição em estudo. 
UNIDADE 4
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Métodos Quantitativos aplicados
SUMÁRIO
4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
DISCRETAS E CONTÍNUAS. 
DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADE. VALOR 
ESPERADO E VARIÂNCIA
Ao realizar um estudo estatístico, ou mesmo utilizar as ferramentas disponíveis na 
disciplina Métodos Quantitativos Aplicados, é preciso primeiramente reconhecer o 
tipo de variável abordada no estudo para então saber quais procedimentos estatísti-
cos são coerentes e válidos. Assim, saber reconhecer o tipo de variável analisada é de 
suma importância para a realização de inferências coerentes com a realidade. Por-
tanto, nessa unidade iremos abordar o estudo dessas variáveis e como o comporta-
mento de cada uma delas afeta nas medidas de localização e organização dos dados. 
4.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
Antes de realizar qualquer tipo de estudo é preciso primeiramente definir a natureza 
da variável à qual se almeja fazer inferências, pois cada variável aleatória se enquadra 
em um determinado modelo estatístico. Ou seja, assim como na matemática temos 
as funções para nortear o comportamento das variáveis que estudamos – como as 
retas, as parábolas e as hipérboles e outras – na estatística temos os modelos probabi-
lísticos que suprem a mesma característica, ou seja, norteiam o comportamento das 
variáveis estudadas. A estes modelos damos o nome de funções paramétricas, pois 
eles parametrizam o comportamento das variáveis envolvidas no estudo estatístico.
Saber reconhecer o tipo de variável que está sendo abordado no estudo é de suma 
importância nas mais diversas áreas do conhecimento científico e social, uma vez 
que no âmbito da disciplina Métodos Quantitativos nem sempre podemos garan-
tir que os dados analisados são numéricos. Assim, é imprescindível primeiramente 
analisar o banco de dados para verificar a viabilidade de transformá-los em dados 
numéricos, visando facilitar a estimativa das medidas estatísticas.
52
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Segundo Becker (2015), “uma variável aleatória é tão somente uma medida numéri-
ca associada a eventos aleatórios”. Assim, um evento aleatório para qualquer x real é 
uma função real definida no espaço amostral Ω, tal que (X ≤ x), sendo Ω um espaço 
amostra e p a probabilidade de ocorrência deste evento.
Loesch (2012) afirma que os modelos de distribuições teóricas são classificados em 
discretas e contínuas, de acordo com o seu domínio. Portanto é possível definir como 
variáveis aleatórias discretas as funções para as quais é possível associar um único 
número real a cada evento de uma partição do espaço amostral. E uma variável alea-
tória contínua as funções para as quais é possível associar infinitos valores a um inter-
valo (a; b), sendo que para valores que não pertencem ao intervalo no qual se limita o 
experimento, a probabilidade de ocorrência é zero.
4.1.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
São variáveis aleatórias discretas aquelas variáveis cujos dados podem ser mensura-
dos apenas dentro do conjunto dos números naturais. Se desejamos estudar a qui-
lometragem rodada por um determinado veículo, este tipo de variável não pode ser 
tratado como variável discreta, uma vez que entre percorrer 1 quilômetro ou dois 
quilômetros, o veículo pode percorrer metros e centímetros. Ou seja, há inúmeras 
unidades de medidas entre 1 e 2 quilômetros. Por outro lado, se o estudo almeja 
estudar o número de veículos nas estradas, este tipo de variável é classificado como 
variável aleatória discreta, pois não existe meio carro na via. 
Assim, ou temos um, dois ou três veículos, não sendo possível dividir um veículo ao 
meio. Portanto, é possível definir uma variável aleatória discreta como uma variável 
na qual são atribuídas probabilidades a eventos cujo espaço amostral não permite 
sub-unidades. Sendo a função acumulada da variável aleatória discreta, indicada por 
F(x) = P(X ≤ xi), ou seja, a probabilidade da variável aleatória assumir valores menor ou 
igual a xi. 
É possível ainda estudar o comportamento desta variável de acordo com a sua locali-
zação média. Assim, valor esperado, ou seja a esperança matemática de uma variável 
discreta, indicado por E(x) = μ, definidas por uma P(X), é igual ao valor médio da va-
riável, ou seja,
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Métodos Quantitativos aplicados
SUMÁRIO
E x x p x x p x x p x x p xn n( ) = + ( ) + ( ) +…+1 1 2 2 3 3. ( ) . . . ( )
E x x p x
i
n
i i( ) =
=
∑
1
. ( )
O valor esperado, indicado por E(x) = μ, é a média de 
uma variável discreta.
A variância, ou seja, a medida estatística que concentra as probabilidades em torno 
da média é indicada por Var(x) ou σ2, e dada por:
Var(x) = E(x2)-[E(x)]2,
Sendo E(x) o valor esperado, e E(x2) dada por:
E(x2)=x1
2.p(x1)+x2
2.p(x2)+x3
2.p(x3 )+...+xn
2.p(xn)
E x x p x
i
n
i i
2
1
2( ) =
=
∑ . ( )
O desvio-padrão, indicado por DP(x)=σ, é a raiz da variância, ou seja:
DP x Var x( ) = ( )
Realizar análises estatísticas só é possível sobre distribuições que sejam uma função 
densidade de probabilidade (f.d.p). Umaou mais variáveis são uma f.d.p. quando 
a soma de todas as probabilidades que compõem o evento em estudo é igual a 1, 
ou seja, 100%. Nesse sentido, uma ou mais variáveis podem ser classificadas como 
f.d.p. quando:
i
n
i np x p x p x p x p x
=
∑ ( ) = + ( ) + ( ) +…+ =
1
1 2 3 1( ) � ( )
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Existem situações no cotidiano das análises sobre Métodos Quantitativos Aplicados 
nas quais o interesse da investigação se concentra na abordagem de variáveis bidi-
mensionais, ou seja, variáveis aleatórias nas quais pode haver a interseção de duas 
variáveis para descrever o comportamento conjuntamente. A este tipo de variáveis, 
indicadas pelo par ordenado (X; Y) com respectivas probabilidades em p(x, y) pode-
mos estimar o valor esperado.
Assim, o valor esperado da distribuição conjunta, indicado por E(X, Y), é dado pela 
multiplicação entre cada valor atribuído à variável X, com cada valor associado a va-
riável Y e sua respectiva probabilidade conjunta, ou seja:
E X Y x y p x y
i
n
j
m
i j i j,� . . ( , )( ) =
= =
∑∑
1 1
Portanto,
E(X,Y)=a.d.p(a,d)+b.d.p(b,d)+c.d.p(c,d)+a.e.p(a,e)+b.e.p(b,e)+
+c.e.p(c,e)+a.f.p(a,f)+b.f.p(b,f)+c.f.p(c,f)
Para a tabela de distribuição a seguir:
QUADRO 6 - DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
X
Y
a b c P(Y)
d
e
f
P(a,d) P(b,d) P(c,d)
P(a,e) P(b,e) P(c,e)
P(a,f) P(b,f) P(c,f)
P(d)
P(e)
P(f)
P(X) P(a) P(b) P(c) 1
Fonte: Elaborado pelo autor.
Seja o vetor aleatório (X, Y) representado pela tabela a seguir. A priori, temos que 
completar a tabela de distribuições de modo que as somas das probabilidades con-
juntas sejam equivalentes às probabilidades marginais.
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Métodos Quantitativos aplicados
SUMÁRIO
X\Y 0 1 2 Total
- 1 0,00 0,00 0,10
0 0,20 0,20
1 0,10
Total 0,50 0,30 1,00
Assim:
X\Y 0 1 2 Total
- 1 0,00 0,00 0,10 0,10
0 0,10 0,20 0,20 0,50
1 0,10 0,30 0,00 0,40
Total 0,20 0,50 0,30 1,00
Calculando então a Var(x), temos que:
E(x) = -1.0,10 + 0.0,50 + 1.0,40
E(x) = 0,30
E(x2) = (–1)2.0,10 + 02.0,50 + 12.0,40
E(x2) = 0,50
Como:
Var(x) = E(x2) – E(x)2
Var(x) = 0,50 – 0,302
Var(x) = 0,41
4.1.1.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
A distribuição Binomial é aquela cujos eventos acontecem ou não, ou seja, eventos 
para os quais existem apenas duas probabilidades de respostas possíveis. Esse tipo de 
evento é classificado como dicotômico, ou seja, evento para o qual as probabilidades 
de respostas se restringem a sim ou não. Portanto, em uma distribuição binomial na 
qual os eventos possuem apenas a probabilidade de sucesso ou falha, são denotadas 
por X~Bin(n;p), onde n é o número de amostragens (tentativas) e p é a probabilidade 
de sucesso do experimento.
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Para eventos aleatórios quaisquer, na distribuição binomial não é diferente. Portanto, 
é possível estimar o ponto de equilíbrio e a oscilação média da distribuição, ou seja, 
o seu valor esperado. Logo, o valor esperado (ou média da distribuição binomial) e a 
variância são dados por: E(x) = μ = n.p e Var(x)= σ2 = np.(1 – p) respectivamente, sendo 
n a quantidade de elementos da amostra e p a probabilidade de interesse do evento. 
Assim, a probabilidade de ocorrência de um determinado evento na distribuição bi-
nomial é dada por:
P X x
n
x
p px n x=( ) = 




 −( ) −. . 1
sendo 
n
x





 a combinação de n elementos x a x, ou seja: 
n
x
n
n x x





 =
−( )
!
!. !
, e p a pro-
babilidade de sucesso.
Suponha que historicamente 10% dos alunos de uma determinada instituição de 
ensino superior são reprovados na disciplina Métodos Quantitativos Aplicados. Admi-
tindo que este percentual é real (correto), para determinar a probabilidade de que 
dois alunos entre 10 selecionados ao acaso sejam reprovados, temos:
n=10
p=0,10
x=2
P X x
n
x
p px n x=( ) = 




 −( ) −. . 1
P X =( ) = 




 ( )2 132 0 1 0 9
2 11. , . ,
P(X=2)=0,2448
Portanto, a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente dois alunos entre os 10 
que venham a ser reprovados na disciplina é de, aproximadamente, 25%.
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SUMÁRIO
4.1.1.2 DISTRIBUIÇÃO POISSON
Uma outra distribuição amplamente conhecida no âmbito do estudo estatístico é 
a distribuição Poisson. Essa distribuição é comumente denotada por X~Poisson(�), 
sendo � a taxa média. 
Portanto, quando a natureza da variável envolvida na análise estatística tem como 
interesse uma variável aleatória cujo número de sucessos observados num intervalo 
contínuo como por exemplo, no tempo, no espaço ou mesmo em uma determina-
da região delimitada, tais como pessoas por metro quadrado, chamada por minuto, 
quantidade de defeitos por dia etc, estamos trabalhando com variáveis distribuídas 
dentro das características da Poisson.
Assim, a probabilidade de ocorrência de um determinado evento com distribuição 
Poisson é dada por:
P X x e
x
x
=( ) =
−λ λ.
!
Também é possível aplicar a distribuição Poisson quando a amostra é considerada 
suficientemente grande, ou seja, com n > 30 e tenhamos um evento de natureza bi-
nomial, sendo � = n.p.
Um posto de gasolina recebe em média 10 carros por hora. Para estimar a probabili-
dade de que em uma hora selecionada aleatoriamente sejam recebidos, exatamen-
te, 5 carros, basta aplicar a fórmula P X x e
x
x
=( ) =
−λ λ.
!
 sendo � =10 e x = 5, então:
P X e=( ) =
−
5 10
5
10 5.
!
P(X = 5) = 0,0378
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Portanto, 3,78% é a probabilidade de que em uma hora selecionada aleatoriamente, 
sejam recebidos exatamente 5 carros neste posto.
4.2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Ao contrário da distribuição discreta, uma variável aleatória qualquer pode ser classi-
ficada como contínua se seu espaço amostral é composto por infinitos valores dentro 
de um limite, ou seja, se os seus resultados podem ser classificados dentro do con-
junto dos números reais. Assim, uma função f(x) à qual são associadas probabilidades 
aos infinitos valores da variável aleatória X abordada no estudo estatístico é classifi-
cada como variável aleatória contínua. Ou seja, uma variável aleatória é classificada 
como contínua quando uma variável aleatória X assume infinitos valores em um de-
terminado intervalo (a, b), sendo a probabilidade igual a zero para valores fora deste 
intervalo, e a soma de todas as possíveis probabilidades contidas neste intervalo é 
igual a um.
Assim, para as variáveis contínuas temos:
• f(x) 0,≥ ∀ ∈x R
• f x dx( ) =
−∞
+∞
∫ 1
• P a x b f x dx
a
b
( ) ( )≤ ≤ = ∫
O valor esperado, ou seja, a esperança matemática de uma variável aleatória contínua 
X assumir os infinitos valores do intervalo (a,b), é indicado por E(x)=μ. 
Assim,
E x x f x dx
a
b
( ) = ( )∫ .
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SUMÁRIO
E a variância, ou seja, a medida estatística que concentra as probabilidades em torna 
da média é indicada por Var(x) ou σ2, e dada por:
Var(x) = E(x2) – [E(x)]2,
sendo E(x) o valor esperado, e E(x2) dada por:
E x x f x dx
a
b
2 2( ) = ( )∫ .
Entretanto, é necessário que as variáveis aleatórias contínuas com função densidade 
de probabilidade conjunta f(x, y) satisfaçam:
• f x y,� ,( ) ≥ 0 para todo x y R,� �( )∈ 2
•R R
f x y dxdy∫ ∫ ( ) =,� 1
Sendo o valor esperado da distribuição conjunta, indicado por E(X, Y), é dado por:
E X Y x y f x y dxdy
R R
,� . . ,�( ) = ( )∫ ∫
E a covariância tanto para as variáveis contínuas quanto para as variáveis discretas é 
indicada por Cov (X, Y) e indica a relação estatística presente entre as variáveis anali-
sadas. Assim a covariância é dada por:
Cov(X,Y) = E(X,Y) – E(X).E(Y)
Além do fato que o coeficiente de correlação das variáveis contínuas ou discretas, 
indicado por ρX,Y, é dado por:
ρ
σ σX Y X Y
Cov X Y
,
( ,� )
.
=
Sendo –1≤ ρX,Y ≤ 1, e indica a medida estatística que mensura a relação entre as variá-
veis X e Y.
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Independente da classificação da variável aleatória como discreta ou contínua, sendo 
a e b constantes e x e y variáveis aleatórias, valem as propriedades:
Var(x)=σ2
Var(a)=0
Var(ax) = a2.Var(x)
Var(a ± bx) = b2.Var(x)
Var(ax ± by)=a2.Var(x) = b2.Var(y) ± 2.a.b.Cov(x,y)
Uma outra relação importante de se verificar ao se estudar duas variáveis aleatórias, 
contínuas ou não, é a independência entre elas. Duas variáveis aleatórias são inde-
pendentes se a multiplicação das distribuições marginais for equivalente a distribui-
ção conjunta, ou seja:
p(x).p(y) = p(x,y) para distribuição discreta;
f(x).f(y) = f(x,y) para distribuição contínua.
O tempo de processamento de uma chamada telefônica é uma variável aleatória 
contínua, com função densidade de probabilidade dada por:
f x x x
c c
( ) = −( ) ≤ ≤




1
8
4 0 4
0
,
, . .
������
�������� ������������
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SUMÁRIO
O tempo é mensurado em minutos. Assim, para determinar o tempo médio de uma 
chamada telefônica, basta resolver:
0
4 1
8
4 1 33∫ −( ) =x x dx. ,
Portanto, o tempo médio de duração de uma chamada telefônica é 1,33 minutos.
4.2.1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Para alguns, a distribuição mais importante da família de distribuições paramétricas, 
para outros, a distribuição mais usada, mas sem dúvida, para todos, a distribuição que 
fundamenta as análises estatísticas mais comumente utilizadas é a distribuição Normal. 
Denotada por X~Normal(μ;σ2) sendo o valor esperado, ou seja, a média da distribuição 
Normal e a variância são dadas por: E(x) = μ e Var(x)= σ2 respectivamente, a distribui-
ção Normal fundamenta a grande maioria das análises que conhecemos no dia a dia. 
Por exemplo, é comum escutar dois estudantes resumindo a média como o quocien-
te entre a soma de todos os elementos e a quantidade de elementos; todavia, esse 
fato só é válido se estivermos trabalhando com variáveis que seguem uma distribui-
ção Normal.
A distribuição Normal faz parte da família das distribuições contínuas e é determina-
da por:
f x e
x
( ) =
−
−




1
2 2
1
2
2
πσ
µ
σ , para −∞ ≤ ≤ +∞x
A distribuição Normal apresenta estas propriedades: 
1. possui a forma de um sino; 
2. é simétrica em relação à média μ; 
3. é assintótica em relação ao eixo de x; 
4. é unimodal e tem achatamento proporcional ao desvio padrão ou variância;
5. a média, a moda e a mediana são iguais.
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FIGURA 3 - DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018
Uma vez que o cálculo da área abaixo da curva é a integral da f.d.p. nos limites dese-
jados, e este cálculo normalmente é longo, a área sob a curva pode ser simplificada 
pela transformação z
x
=
− µ
σ
 (sendo z uma variável aleatória com distribuição Normal 
com média zero e variância 1, e x uma variável aleatória com distribuição Normal 
com média μ e variância σ2). A área total limitada pela curva normal e pelo eixo das 
abscissas é 1u.a. (uma unidade de área), ou seja, 100%, sendo as áreas sob a curva 
limitadas pela distância entre o desvio padrão e a média. Observe essa área na tabela 
a seguir:
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QUADRO 7 - ÁREA SOB A CURVA DA NORMAL PADRÃO
Fonte: Costa (2012)
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Assim, a parte interna da tabela indica a probabilidade de ocorrência do evento e a 
primeira coluna indica o número inteiro e a primeira casa decimal do escore calcu-
lado a partir da estatística de teste da distribuição Normal. A primeira linha indica a 
segunda casa decimal da mesma estatística de teste, ou seja, z x= −µ
σ
.
O salário semanal manicures segue uma distribuição normal com média de $ 50,00, 
com desvio padrão de $ 5,00. Para estimar a probabilidade de uma manicure selecio-
nada aleatoriamente ter salário semanal entre $40,00 e $55,00 temos que:
P(40<x<55)
P z40 50
5
55 50
5
−
< <
−





P(-2<z<1)
0,4772 + 0,3413 = 0,8185
Portanto, aproximadamente 81,85% das manicures têm salários semanais entre 
$40,00 e $55,00.
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SUMÁRIO
CONCLUSÃO 
As distribuições de probabilidade descrevem o comportamento do banco de dados, 
podendo elas serem de natureza contínua ou discreta. Classificamos como discre-
tas as variáveis aleatórias cujos comportamento são pontuais, e como contínuas, as 
variáveis aleatórias cujos comportamentos são intervalar. As distribuições discretas 
ainda podem ser classificadas como binomiais ou Poisson, sendo a binomial quan-
do o evento ocorre ou não, e a Poisson, quando estamos interessados em estimar 
a quantidade em um determinado período. Em relação às distribuições contínuas, 
vimos a distribuição Normal, que é centrada na média e oscila de acordo com o des-
vio-padrão da variável abordada no estudo.
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OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
UNIDADE 5
> Construir intervalos de 
confiança para a média 
e para a proporção, 
tanto para uma quanto 
para duas populações 
envolvidas no estudo.
> Testar as conjecturas sobre 
a média e a proporção, 
tanto para uma quanto 
para duas populações 
envolvidas no estudo
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SUMÁRIO
5 INTERVALO DE CONFIANÇA 
E TESTE DE HIPÓTESES
Olá! Nesta unidade veremos como fazer conjecturas sobre uma determinada variável 
podendo manter a precisão da análise estatística, ou seja, utilizaremos as ferramen-
tas disponíveis em Métodos Quantitativos para estimar valores que predizem o com-
portamento de uma determinada população. Imagine a possibilidade de que você 
nunca erre em fazer uma estimativa sobre uma determinada variável de interesse? 
Então, a partir da construção de intervalos de confiança você conseguirá manter a 
confiabilidade no processo e controlar a probabilidade de erro, além de poder fazer 
inferências sobre a variável estudada.
5.1 INTRODUÇÃO
Você já parou para observar que, nas prateleiras dos supermercados, nem todas as 
bebidas que deveriam vir com 1 litro têm exatamente 1 litro? Isso acontece porque o 
processo e enchimento é automatizado e às vezes fica uma gotinha a mais ou a me-
nos no tubo de enchimento. Assim, para não cometer erros de estimação, construí-
mos intervalos de confiança que nos permitem estar sempre certos acerca de uma 
determinada