Mentiras, disputas e traição

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Mentiras, disputas e traição:
Resolução de equações algébricas
Universidade Federal de Campina Grande
Disciplina: Tópicos de História da Matemática
Alunos: Eli Azevedo e Rafael Macedo
Orientação: Prof. Dr. Daniel Cordeiro
Equações do 3° e 4° grau - O método de Tartaglia e Cardano, os Números Negativos e os Números Imaginários.
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Girolamo Cardano (1501 – 1576)
Médico, matemático, astrônomo, astrólogo, filósofo e um jogador compulsivo. Ficou famoso por ter curado um bispo inglês de uma doença estranha, mas foi um fiasco como astrólogo: previu vida longa para um rei inglês que morreu no ano seguinte. 
Com importantes contribuições na Álgebra, na hidrodinâmica, na mecânica e na geologia. 
Mais de 200 trabalhos sobre Medicina, Matemática, Física, Filosofia, Religião e Música.
Seu hábito de jogar e trapacear, levou-o a formular as primeiras regras da Teoria da Probabilidade, tendo escrito por volta de 1564 o livro Liber de Ludo Aleae (Livro sobre jogos de azar), que só veio a ser publicado em 1663.
Ars Magna (A Grande Arte), em 1545
Obra-prima do Renascimento e considerada um dos três maiores tratados científicos do período.
Primeira obra a conter métodos de resolução de equações de 3° grau (do tipo x³ + ax = b, com a e b positivos) e do 4° grau.
Também é nessa obra que os números complexos surgem pela primeira vez.
“desbocado, espião, melancólico, traidor, invejoso, solitário, obsceno, desonesto, incomparavelmente vicioso e portador de total desprezo pela religião”. – (Garbi, 2010)
Nicolo Fontana “tartaglia” (1499 – 1557)
Matemático por autoformação.
Com importantes contribuições na aritmética, geometria, álgebra, balística e estática.
Foi o primeiro tradutor italiano dos Elementos de Euclides.
Devido a participações com sucesso em torneios de Matemática, muitos populares na época, adquiriu uma reputação notável e um promissor matemático.
Quesiti et inventioni diverse em 1546
Sua primeira obra se refere à balística, principalmente aplicação da Matemática ao tiro de artilharia, descrevendo novos métodos e instrumentos balísticos e desenvolvendo as primeiras tabelas de tiro.
Nova Scientia em 1537
Forma dialogada e inúmeras notas autobiográficas de caráter geral. A maioria dizia respeito a questões de engenharia e arte militar, mas abordavam também questões matemáticas.
 “Se minha barba não escondesse minhas cicatrizes, eu pareceria um monstro” (Garbi, 2010).
Como surgiu a amizade de 
cardano e tartaglia?
Antônio Maria Fior tentou adquirir notoriedade valendo-se da descoberta do seu professor e escolheu Tartaglia como alvo e desafiou para um embate de resoluções de problemas.
“mobilizei todo o entusiasmo, a aplicação e a arte de que fui capaz, objetivando encontrar uma regra para a solução daquelas equações, o que consegui a 10 de fevereiro de 1535” - Tartaglia
x³ + px + q = 0				x³ + px² + q = 0		
	
Nesta época, Cardano acreditava na impossibilidade de uma solução geral para as equações do 3° grau e estava escrevendo o livro Pratica Arithmeticae Generalis quando soube da novidade sobre Tartaglia e pediu-lhe que revelasse a solução da equação para que fosse publicada no seu livro.
1536, depois de anos de trocas de farpas, Cardano implorou, sob juramento de segredo, a revelação das cobiçadas fórmulas.
Tartaglia cedeu, afirmando que se não acreditasse em um homem que fazia tais juramentos sobre o Evangelho, ele mesmo deveria ser considerado uma pessoa perversa e desumana.
Solução em forma de poema, cifrada e misteriosa.
Mais conversações, mais juras, mais promessas e revelação total.
juramentos, promessas e mentiras
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LUDOVICO FERRARI (1522 – 1538)
Menino de recados de Cardano.
Aprendeu latim, grego e matemática.
Comprou a briga com Tartaglia depois da publicação de Ars Magna.
Tartaglia tentou um debate com Cardano. Ferrari tomou as dores.
Tartaglia percebeu a superioridade do desafiante, fugiu no primeiro dia carregando uma covarde e humilhante derrota e dando a fama para Ferrari.
Ganhou vários prêmios, foi convidado para ser tutor do filho do imperador e tornou-se assessor do governador de Milão.
Morreu envenenado pela própria irmã.
Pai da Solução das equações do 4° Grau
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Pai da Solução das equações do 4° Grau
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Pai da Solução das equações do 4° Grau
Ferrari observou a equação
Procurou reagrupar os termos de modo que nos dois lados da igualdade houvesse polinômios quadrados perfeitos. Se tal reagrupamento fosse possível, seriam extraídas as raízes quadradas, cair-se-ia em equações do 2° grau e o problema estaria resolvido.
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Passos para a solução da equação geral do 4° grau
Método perfeito;
Bastante trabalhoso;
Mérito de resolução apenas com operações algébricas.
	1 - Toma-se a equação geral e faz-se a transformação do tipo x = y + m de modo a transformar numa equação sem o termo de 3º grau e com a variável y.
	2 - Reagrupam-se seus termos de modo a fazer com que ambos os lados da igualdade sejam quadrados perfeitos. Cai-se numa equação de 3º grau com a variável u.  
	3 - Resolve-se a equação em u pelo método de Cardano. 
	4 - Obtém-se u. Calcula-se w. 
	5 - Com u e w , extrai-se as raízes quadradas dos dois lados da igualdade e obtém-se 4 valores possíveis de y. Soma-se m a y e finalmente obtém-se as 4 raízes da equação geral.
	
	Complementando os quadrados perfeitos com ux² + w, temos:
	Igualando os discriminantes de ambos os polinômios a zero, temos:
	, resolúvel algebricamente pelo método de Cardano. Com soluções .
	, e 
	, temos:
	Assim:
 
ou
 
	, temos:
	Assim:
 
ou
 
	
	, temos:
	Assim:
 
ou
 
	Ou seja, as raízes são sempre: - 3, -2, 1 e 4.
	O que existe de diferente são as 3 maneiras de se reagrupar os termos da equação de modo a ter-se quadrados perfeitos em ambos os lados:
	As 3 são equivalentes à equação original 
Rafael Bombelli (1526 - 1572)
Matemático e engenheiro hidráulico.
Pioneiro em determinar as regras algébricas dos números negativos e dos números complexos.
Um texto independente que pudesse ser lido por aqueles sem um alto nível de treinamento matemático seria benéfico.
“...pessoa nascida para fazer a História: corajoso, pertinaz e sempre disposto a pensar coisas novas.” – (Garbi, 2010)
L’Algebra parte Maggiore dell’ Arithmetica em 1572
Escreveu como calcular com números negativos.
“Mais vezes mais faz mais
Menos vezes menos faz mais
mais vezes menos faz menos
menos vezes mais faz menos
8 vezes mais 8 faz mais 64
Menos 5 vezes menos 6 faz mais 30
Menos 4 vezes mais 5 faz menos 20
Mais 5 vezes menos 4 faz menos 20”
Também é nessa obra que os números complexos surgem pela primeira vez.
Ars Magna (A Grande Arte), em 1545
“Impossível encontrar dois números cuja a soma é 10 e o produto 40.” - CARDANO
“..tão sutil quanto inútil..”
Foram as equações do 3° grau e não as do 2° grau que desencadearam todo o desenvolvimento teórico na área
A Teoria dos Números Complexos
 e 
x = 4, constatada por simples observação.
 = 
 = 
 e 
Assim, 
“...pensamento rude...”
 
 
 
(a + b