Medidas de Tendência Central

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Estatística Básica
Medidas de Tendência Central
Prof. Bruno Jaccoud
br.jaccoud@gmail.com
�
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
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mailto:br.jaccoud@gmail.com
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http://lattes.cnpq.br/8959870527607708
https://www.researchgate.net/profile/Bruno-Jaccoud
Resumo dos Dados
Medidas de Resumo
I O resumo de dados por meio de tabelas, gráficos e distribuição de frequência
fornece muito mais informações sobre o comportamento de uma variável do que
a tabela original de dados;
I Já vimos como resumir conjuntos de dados provenientes de variáveis
qualitativas e quantitativas utilizando tabelas e gráficos;
I É possível resumir ainda mais estas informações, apresentando um ou alguns
poucos valores que sejam representativos da série toda;
I Para variáveis aleatórias quantitativas pode-se utilizar, além das tabelas e
gráficos, medidas que resumem o conjunto de dados.
Características importantes de qualquer conjunto de dados
I Centro;
I Variação;
I Distribuição;
I Valores atípicos
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Resumo dos Dados
Medidas de Resumo
I Quando utilizamos um só valor, obtemos uma redução drástica das informações
sugeridas pelo conjunto de dados;
I Suponha que os dados observados na amostra sejam representados por:
x1, x2, . . . , xn
onde, n representa o tamanho da amostra.
I Com os elementos desta amostra podemos encontrar números que resumem as
principais características da amostra.
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Medidas de Resumo
Medidas de Tendência Central
I Média;
I Mediana;
I Moda.
Medidas de Dispersão
I Amplitude;
I Quantis;
I Variância;
I Desvio Padrão;
I Coeficiente de variação.
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Medidas de Tendência Central
O que são?
I Medidas em torno das quais as observações se distribuem;
I É um valor no centro, ou meio, do conjunto de dados
I As medidas de tendência central (ou medidas de posição, ou
ainda ou medidas de centro) mais estudadas são:
I Média;
I Mediana;
I Moda.
I Recebem esse nome as medidas que caracterizam a
localização do centro da amostra (Tendência Central), pois
representam os fenômenos pelo seus valores médios, em torno
dos quais tendem a concentrar-se os dados.
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Medidas de Tendência Central
Média Aritmética
Dados não Agrupados
Representa a soma das observações individuais dividida pelo número
de observações da amostra.
Definição:
Sejam x1, x2, . . . , xn, sendo “n” o tamanho da amostra X . A média
aritmética simples de X pode ser representada por:
x̄ =
x1 + x2 + . . . + xn
n
=
∑n
i=1 xi
n
=
1
n
n∑
i=1
xi
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Medidas de Tendência Central
Média Aritmética
Exemplo:
Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embalados em
caixas rotuladas como contendo 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um
lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores
98, 102, 100, 100, 99, 97, 96, 95, 99, 100.
Para essas caixas, o número médio de parafusos será dado por?
Solução:
Observe que n = 10 e que aplicando a formulação descrita anteriormente, teremos:
x̄ =
98 + 102 + 100 + 100 + 99 + 97 + 96 + 95 + 99 + 100
10
=
986
10
= 98, 6 parafusos
Importante!
Observe que os dados apresentados no exemplo possuem valores próximos, e assim, a
média aritmética pode ser utilizada como representativa da série toda.
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Medidas de Tendência Central
Média Aritmética
Dados Agrupados
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequên-
cia usaremos a média aritmética dos valores
x1, x2, . . . , xn
ponderados pelas respectivas frequências absolutas
f1, f2, . . . , fn
Assim temos:
x̄ =
x1f1 + x2f2 + . . . + xnfn
n
=
∑n
i=1 xi fi
n
=
1
n
n∑
i=1
xi fi
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Medidas de Tendência Central
Média Aritmética
Exemplo:
Voltemos ao exemplo anterior e determine a média aritmética simples
considerando os seguintes valores amostrais.
98,102,100,100,99,97,96,95,99,100
Solução:
xi fi xi fi
95 1 95
96 1 96
97 1 97
98 1 98
99 2 198
100 3 300
102 1 102
x̄ =

98 + 102 + 100 + 100 + 99 + 97 + 96 + 95 + 99 + 100
10
=
986
10
= 98, 6
98 + 102 + (3 × 100) + (2 × 99) + 97 + 96 + 95
10
=
986
10
= 98, 6
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Medidas de Tendência Central
Média Aritmética
Média para Intervalos de Classe
No caso de variáveis contínuas resumidas em tabelas de frequência com intervalos de
classe, a média pode ser aproximada, calculando-se o ponto médio de cada classe
PM(xi ) =
lim inf + lim sup
2
e supor que os valores dentro de cada classe sejam iguais ao ponto médio. Nesse caso,
ficamos com a mesma situação para o caso discreto, onde a média é calculada com
pares (xi , fi ) ou (xi , fri ).
Importante!
Devemos lembrar que isso é uma aproximação, pois estamos perdendo informação
ao assumir que todos os valores de uma classe sejam iguais. Portanto, deverá haver
alguma diferença entre esta média aproximada e a média que seria calculada com os
valores originais.
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Medidas de Tendência Central
Média Aritmética
Exemplo:
Determine a média considerando os seguintes valores amostrais.
Classes xi fi fri
4 ` 8 6 10 0,278
8 ` 12 10 12 0,333
12 ` 16 14 8 0,222
16 ` 20 18 5 0,139
20 ` 24 22 1 0,028∑
— 36 1
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Medidas de Tendência Central
Média Aritmética
Solução:
Classes xi fi fri
4 ` 8 6 10 0,278
8 ` 12 10 12 0,333
12 ` 16 14 8 0,222
16 ` 20 18 5 0,139
20 ` 24 22 1 0,028∑
— 36 1
1
n
n∑
i=1
xi fi
Considerando os pontos médios de cada classe, a média é
calculada por:
x =
1
36
× (6× 10 + 10× 12 + 14× 8 + 18× 5 + 22× 1)
=
404
36
= 11, 22
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Medidas de Tendência Central
Média Aritmética
I Vantagens
I Medida não viesada1;
I A média tende a ser mais consistente do que outras medidas de
centro.
I Desvantagens
I Sensível à valores extremos;
I Medida não resistente.
1Viesado significa algo com viés, com alguma tendência para seguir determinado
caminho ou agir de certa maneira
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Medidas de Tendência Central
Mediana
A média aritmética é, talvez, a medida mais usada. Contudo, ela pode conduzir a erros
de interpretação. Em muitas situações, a mediana é uma medida mais adequada.
A mediana é uma medida de centro que é o valor do meio, quando os dados são
arranjados de maneira ordenada.
É o valor cuja posição separa o conjunto de dados em duas partes iguais.
Quando as observações são ordenadas em ordem crescente, vamos denotar a menor
observação por x(1), a segunda por x(2), e assim por diante, obtendo-se
x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n−1) ≤ x(n)
Estas observações ordenadas são chamadas de estatísticas de ordem.
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Medidas de Tendência Central
Estatística de Ordem
Exemplo:
Por exemplo, se cinco observações de uma variável forem
x1 = 8, x2 = 4, x3 = 3, x4 = 8, x5 = 7,
então,
3 ≤ 4 ≤ 7 ≤ 8 ≤ 8
E as estatísticas de ordem são:
x(1) = 3, x(2) = 4, x(3) = 7, x(4) = 8, x(5) = 8.
Nesse exemplo, a mediana (Md) = 7, pois é o valor que separa o conjunto de dados
em duas partes iguais.
Mas note que o número de observações é ímpar . Caso fosse par , a mediana seria a
média aritmética das duas observações centrais.
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Medidas de Tendência Central
Mediana
Definição:
A mediana da variável X pode ser definida como:
Md(X ) =

X( n+12 ) , se n ímpar
X( n2 ) + X( n2 +1)
2
, se n par
Exemplo:
Noexemplo anterior, se tivéssemos
3 ≤ 4 ≤ 7 ≤ 8 ≤ 8 ≤ 9
Então
Md(X) =
x(3) + x(4)
2
=
7 + 8
2
= 7, 5.
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Medidas de Tendência Central
Mediana
Qual a mediana?
a) Número ímpar de elementos
2 4 6 7 11
Md(x) = 7
b) Número par de elementos
2 4 7 9 11 13
Md(x) =
7 + 9
2
= 8
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Medidas de Tendência Central
Mediana
Exemplo:
Considere o mesmo conjunto de dados do primeiro exemplo:
98,102,100,100,99,97,96,95,99,100
Solução:
Colocando em ordem crescente em forma de tabela, teremos:
Ordem x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)
No de Parafusos 95 96 97 98 99 99 100 100 100 102
Como observado, o número de amostras é par, então:
n = 10→ Md(X) =
X( 102 )
+ X( 102 +1)
2
=
X(5) + X(6)
2
=
99 + 99
2
= 99 parafusos
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Medidas de Tendência Central
Mediana
Mediana para Intervalos de Classe
Para o caso de variáveis contínuas (agrupados em classes), deve-se seguir os seguintes
procedimentos:
1o: Calcula-se a ordem
n
2
. Como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou
ímpar.
2o: Pela Fi identifica-se a classe que contém a mediana (classe md).
3o: Utiliza-se a fórmula:
Md(X) = lMd +
(n
2
−
∑
fant.
)
h
fMd
I lMd : limite inferior da classe mediana;
I n: tamanho da amostra ou número de
elementos;
I
∑
fant.: soma das frequências anteriores
à classe mediana;
I h: amplitude da classe mediana;
I fMd : frequência da classe mediana.
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Medidas de Tendência Central
Mediana
Exemplo:
Determine a mediana considerando os seguintes valores amostrais.
Classes fi Fi
35 ` 45 5 5
45 ` 55 12 17
55 ` 65 18 35
65 ` 75 14 49
75 ` 85 6 55
85 ` 95 3 58∑
58 —
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Medidas de Tendência Central
Mediana
Solução:
Classes fi Fi
35 ` 45 5 5
45 ` 55 12 17
55 ` 65 18 35
65 ` 75 14 49
75 ` 85 6 55
85 ` 95 3 58∑
58 —
Md(X) = lMd +
( n
2
−
∑
fant.
)
h
fMd
Primeiramente devemos verificar o valor de
n
2
=
58
2
= 29.
Agora, devemos procurar na coluna das frequências acumuladas (Fi ), qual das classes
em que o 29o elemento está incluído. Vemos neste caso que é na 3a classe.
Aplicando então os valores na formulação para a Mediana, teremos:
∑
fant. = 17
fMd = 18
lMd = 55
Md(X) = 55 +
29 − 17
18
× 10 = 55 +
128
18
= 55 + 6, 667 = 61, 667.
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Medidas de Tendência Central
Mediana
I Vantagens
I Medida resistente;
I Não é influenciada pela presença de valores extremos.
I Desvantagens
I É uma medida viesada.
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Medidas de Tendência Central
Média Vs Mediana
Exemplo:
Considere os seguintes dados amostrais:
X1 = {1, 2, 3, 4, 5}
Calculando a média e mediana teremos, respetivamente:
I Média Amostral:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5)
5
= 3.
I Mediana Amostral: {1, 2, 3 , 4, 5} = 3
Agora, se os dados são:
X2 = {1, 2, 3, 4, 45}
Calculando a média e mediana teremos, respetivamente:
I Média Amostral:
(1 + 2 + 3 + 4 + 45)
5
= 11.
I Mediana Amostral: {1, 2, 3 , 4, 45} = 3
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Medidas de Tendência Central
Média Vs Mediana
Observação1:
Logo, a média amostral foi profundamente influenciada por um único
valor, e o mesmo não aconteceu com a mediana amostral.
Observação2:
A mediana amostral é menos influenciada que a média por observa-
ções aberrantes (“outliers”).
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Medidas de Tendência Central
Moda
I A moda de um conjunto de dados é a observação que aparece
com maior frequência no conjunto;
I Um conjunto pode ser unimodal , bimodal ou multimodal ;
I Caso todos os valores tenham a mesma frequência, não é
possível determinar a moda do conjunto de valores, conjunto
amodal .
Definição:
É definida como a realização mais frequente do conjunto de valores
observados X .
Para distribuições simples (sem agrupamento em classes), a identi-
ficação da Moda é facilitada pela simples observação do elemento
que apresenta maior frequência, basta ordená-los para uma melhor
visualização.
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Medidas de Tendência Central
Moda
Qual a moda?
a) 2 5 7 9 13 15 22
amodal
b) 16 19 19 21 21 21 23 27
Mo(x) = 21 → unimodal
c) 2 7 7 13 15 15 22
Mo(x) = {7,15} → bimodal
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Medidas de Tendência Central
Moda
Qual a moda?
ótimo bom bom péssimo bom bom ótimo
ótimo bom ótimo bom ótimo bom bom
ótimo bom péssimo bom péssimo bom péssimo
bom bom bom bom ótimo bom péssimo
ótimo ótimo bom péssimo — — —
Solução:
Mo(x) = bom → unimodal
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Medidas de Tendência Central
Moda
Exemplo:
Considere o mesmo conjunto de dados do exemplo da caixa de
parafusos:
98,102,100,100,99,97,96,95,99,100
Solução:
Colocando em ordem crescente em forma de tabela, teremos:
Ordem x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)
No de Parafusos 95 96 97 98 99 99 100 100 100 102
Como observado, o valor 100, é o mais frequente, aparecendo 3
vezes, logo:
Mo(X) = 100 parafusos
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Medidas de Tendência Central
Moda
Moda para Intervalos de Classe
Para o caso de variáveis contínuas (agrupados em classes), deve-se seguir os seguintes
procedimentos:
1o: Identifica-se a classe modal, ou seja, aquela que possuir maior frequência.
2o: Utiliza-se a fórmula:
Mo(X) = lMo +
∆1
∆1 + ∆2
h
I lMo : limite inferior da classe modal;
I ∆1: diferença entre a frequência da
classe modal e a imediatamente anterior
(fi − fi−1);
I ∆2: diferença entre a frequência da
classe modal e a imediatamente posterior
(fi − fi+1);
I h: amplitude da classe modal.
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Medidas de Tendência Central
Moda
Exemplo:
Determine a moda considerando os seguintes valores amostrais.
Classes fi Fi
0 ` 1 3 3
1 ` 2 10 13
2 ` 3 17 30
3 ` 4 8 38
4 ` 5 5 43∑
43 —
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Medidas de Tendência Central
Moda
Solução:
Classes fi Fi
0 ` 1 3 3
1 ` 2 10 13
2 ` 3 17 30
3 ` 4 8 38
4 ` 5 5 43∑
43 —
Mo(X) = lMo +
∆1
∆1 + ∆2
h
Observando as frequências simples (fi ), vemos que na 3a
classe, a frequência é igual a 17, sendo esta então definida
como sendo a classe modal .
Aplicando então os valores na formulação para a Moda,
teremos:
∆1 = 17− 10 = 7
∆2 = 17− 8 = 9
lMo = 2
Mo(X) = 2 +
(
7
7 + 9
)
× 1 = 2 + 0, 4375 = 2, 4375.
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Medidas de Tendência Central
Moda
I Vantagens
I Resistente à valores extremos;
I É a única medida de centro que pode ser usada para dados
qualitativos.
I Desvantagens
I É uma medida viesada.
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Medidas de Tendência Central
Análise de Dados
I Podem ser utilizadas conjuntamente para auxiliar a análise dos
dados;
I Ou, em determinadas situações uma delas pode ser mais
conveniente do que a outra:
I No caso de haver um ou mais dados que se afastam do geral das
observações (valores discrepantes ou outliers) a média passa a ser
uma medida de tendência central inadequada, sendo a mediana
uma medida mais indicada;
I No caso de conjuntos multimodais ou amodais, a média ou a
mediana são mais indicadas para representar a tendência central.
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Medidas de Tendência Central
Análise de Dados
I A média é utilizada:
I desejamos obter a medida de posição que possui a maior
estabilidade;
I houver necessidade de tratamento algébrico posterior.
I A mediana é utilizada:
I desejamos obter o ponto que divide a distribuiçãoem partes iguais;
I há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a
média;
I a variável em estudo é salário.
I A moda é utilizada:
I quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de
posição;
I quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da
distribuição.
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Medidas de Tendência Central
Análise de Dados
Exemplo:
Novamente vamos voltar ao exemplo da caixa de parafusos. Porém considerando que
uma das caixas com 1 parafusos na realidade tivesse 45 parafusos, sendo o conjunto
de dados apresentado como abaixo:
98, 102, 100, 45, 99, 97, 96, 95, 99, 100
Os valores centrais para esse conjunto de dados serão:
Ordem x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)
No de Parafusos 45 95 96 97 98 99 99 100 100 102
Solução:
I x̄ =
98 + 102 + (2× 100) + (2× 99) + 97 + 96 + 95 + 45
10
=
931
10
= 93, 1
I md(X) =
x(5) + x(6)
2
=
98 + 99
2
= 98, 5
I mo(X) = 99 & 100 (Bimodal)
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Medidas de Tendência Central
Análise de Dados
I Ao inserir um valor atípico no conjunto de dados utilizado, pode
perceber que:
I A média foi bastante influenciada, passou de 98,6 para 93,1
parafusos, se tornando inadequada;
I O conjunto passou a ser bimodal , o que também torna a utilização
da moda inapropriada;
I A mediana foi a medida que menos sofreu influência do valor
atípico, sendo a mais adequada nesse caso.
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Posição Relativa das medidas centrais
Simetria de Dados
I Um conjunto de dados é dito simétrico se os dados se
distribuem igualmente ao redor da média;
I Pode-se dizer que um conjunto de dados é simétrico quando a
média, mediana e moda são dadas pelo mesmo valor;
I O conhecimento da simetria de um conjunto auxilia a
interpretação do mesmo.
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Posição Relativa das medidas centrais
Simetria de Dados
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Posição Relativa das medidas centrais
Simetria de Dados
Mediana
Média
Moda
Média, Mediana, Moda
Mediana
Média
Moda
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Bibliografia
BUSSAB, W. O., MORETTIN, P. A. Estatística básica. São Paulo, 9ª ed., 2017.
MORETTIN, L.G., Estatística Básica: Probabilidade e Inferência. São Paulo: Pearson, 2009.
CLARK, J.; DOWNING, D. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2002.
STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 2001.
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