Lista_Probabilidade_Gabarito

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO - UFRRJ
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR - IM
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIAS E LINGUAGENS - DTL
ESTATÍSTICA BÁSICA - IM458
PROF. BRUNO JACCOUD br.jaccoud@gmail.com
Probabilidade
Questão 1: Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os eventos A = faces iguais, B =
cara na primeira moeda e C = coroa na segunda e terceira moedas.
Solução 1: Considere K = Cara e C = Coroa.
Espaço Amostral:
Ω = {(KKK), (KKC), (KCK), (CKK), (KCC), (CKC), (CCK), (CCC)}
A = {(KKK), (CCC)}
B = {(KKK), (KKC), (KCK), (KCC)}
C = {(KCC), (CCC)}
Questão 2: Na urna I há 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8 azuis. Na urna II há 3 bolas vermelhas e 5
brancas. Lança-se um dado equilibrado. Se sair 3 ou 6, escolhe-se uma bola da urna I; caso contrário,
escolhe-se uma bola da urna II. Calcule a probabilidade de:
a) sair uma bola vermelha.
b) sair uma bola branca.
c) sair uma boa azul.
Solução 2: Sejam os eventos:
V : sair uma bola vermelha.
B : sair uma bola branca.
A: sair uma boa azul.
I: sortear da urna I.
II: sortear da urna II.
P (I) = P (3 ou 6) = 2
6
P (II) = P (1, 2, 4 ou 5) = 4
6
a)
P (V ) = P (V |I) · P (I) + P (V |II) · P (II)
=
5
16
· 2
6
+
3
8
· 4
6
=
17
48
1
b)
P (B) = P (B|I) · P (I) + P (B|II) · P (II)
=
3
16
· 2
6
+
5
8
· 4
6
=
23
48
c)
P (A) = P (A|I) · P (I) + P (A|II) · P (II)
=
8
16
· 2
6
+ 0 · 4
6
=
1
6
Questão 3: Considere um baralho com 52 cartas numeradas, 13 para cada um dos naipes (ouros,
copas, espada e paus). Seja o experimento de retirar uma carta aleatoriamente, observando seu naipe,
número e/ou cor (vermelha ou preta). Sejam os seguintes eventos:
A: a carta retirada é um ás;
V : a carta retirada é vermelha e
E: a carta retirada é de espada.
Calcule:
a) P (A) ,P (V ) e P (E).
b) P (A ∩ V ) ,P (A ∩ E) e P (V ∩ E).
c) P (A ∪ V ) ,P (A ∪ E) e P (V ∪ E).
d) P (A|V ) . Os eventos A e V são independentes ?
e) P (V |E). Os eventos V e E são independentes ?
Solução 3:
a) Existem quatro ases em um baralho de 52 cartas. Assim
P (A) =
4
52
=
1
13
.
Metade as cartas (as de naipe ouros e copas) são vermelhas. Assim,
P (V ) =
26
52
=
1
2
.
Cada naipe tem 13 cartas. Assim, P(E) = 13/52 = 1/4.
P (E) =
13
52
=
1
4
.
b) Há duas cartas que são, ao mesmo tempo, ases e vermelhas (ás de ouros e ás de copas).
Assim,
P (A ∩ E) = 2
52
=
1
26
.
2
c) Há somente uma carta que é, ao mesmo tempo, ás e de espada. Assim, P(A Ç E) = 1/52.
d) Nenhuma carta é, ao mesmo tempo, vermelha e de espada. Assim, P(V Ç E) = 0, ou seja, os
eventos V e E são mutuamente exclusivos.
e)
P (A ∪ V ) = P (A) + P (V )− P (A ∩ V ) = 1
13
+
1
2
− 1
26
=
(2 + 13 + 1)
26
=
16
26
=
8
13
.
P (A ∪ E) = P (A) + P (E)− P (A ∩ E) = 1
13
+
1
4
+
1
52
=
(4 + 13 + 1)
26
=
18
26
=
9
26
.
P (V ∪ E) = P (V ) + P (E)− P (V ∩ E) = 1
2
+
1
4
− 0 = (2 + 13 + 1)
26
=
16
26
=
8
13
.
f) P (A|V ) = P(A∩V )P(V ) =
1/26
1/2
= 1
3
. Ou seja, como, das 26 cartas vermelhas, duas são ases, então
P (A|V ) = 2/26 = 1/13.
Como P (A|V ) = P (A), os eventos A e V são independentes.
g) P (V |E) = P(V ∩E)P(E) =
0
1/4
= 0. Ou seja, como nenhuma carta de espada é vermelha, então
P (V |E) = 0.
Como P (V |E) 6= P (V ), os eventos V e E não são independentes.
Questão 4: No lançamento simultâneo de 2 dados, considere as faces voltadas para cima e determine:
a) Espaço Amostral Ω.
b) Evento E1: números cuja soma é igual a 5.
c) Evento E2: números iguais.
d) Evento E3: números cuja soma é um número par.
e) Evento E4: números ímpares nos 2 dados.
f) Evento E5: número 2 em pelo menos 1 dos dados.
g) Evento E6: números cuja soma é menor que 12.
h) Evento E7: números cuja soma é maior que 12.
i) Evento E8: números divisores de 7 nos 2 dados.
Solução 4:
a) Ω = {(1, 1).(1, 2), (1, 3)...(6, 6)} e número de eventos do espaço amostral: n(Ω) = 6·6 = 36.
b) E1 = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)}; n(E1) = 4.
c) E2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}; n(E2) = 6.
d) E3 =
{(1, 1); (1, 3); (1, 5); (2, 2), (2, 4), (2, 6); (3, 1), (3, 3), (3, 5)
(4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
3
n(E3) = 18.
e) E4 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}; n(E4) = 9.
f) E5 = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)};
n(E5) = 11.
g) E6 = Ω− {(6, 6)}; n(E6) = 35.
h) E7 = ∅; n(E7) = 0
i) E8 = {(1, 1)}; n(E8) = 1
Questão 5: Um casal planeja ter 3 filhos. Determine os eventos:
a) os 3 são do sexo feminino.
b) pelo menos 1 é do sexo masculino.
c) os 3 do mesmo sexo.
Solução 5: O casal planeja ter 3 filhos: Seja M = masculino e F = feminino.
Espaço amostral:
Ω = {(M,M,M), (M,M,F ), (M,F,M), (F,M,M), (M,F, F ), (F,M,F ), (F, F,M), (F, F, F )}.
n(Ω) = 8.
a) Ea = {(F, F, F )} → n(Ea) = 1.
b) Eb = {(M,M,M), (M,M,F ), (M,F,M), (F,M,M), (M,F, F ), (F,M,F ), (F, F,M)} → n(Eb) = 7.
c) Ec = {(M,M,M), (F, F, F )} → n(Ec) = 2.
Questão 6: Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Escolhe-se ao acaso uma bolinha e
observa-se o seu número. Determine os seguintes eventos:
a) o número escolhido é ímpar.
b) o número escolhido é maior que 15.
c) o número escolhido é multiplo de 5.
d) o número escolhido é multiplo de 2 e de 3.
e) o número escolhido é primo.
f) o número escolhido é par e multiplo de 3.
g) o número escolhido é ímpar e multiplo de 7.
Solução 6: Espaço amostral:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
n(Ω) = 20
4
a) Ea = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19→ n(Ea) = 10.
b) Eb = {16, 17, 18, 19, 20} → n(Eb) = 5.
c) Ec = {5, 10, 15, 20} → n(Ec) = 4.
d) Ed = {6, 12, 18} → n(Ed) = 3.
e) Ee = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} → n(Ee) = 8.
f) Ef = {6, 12, 18} → n(Ef ) = 3.
g) Eg = {7} → n(Eg) = 1.
Questão 7: Qual a probabilidade de ocorrer o número 5 no lançamento de um dado?
Solução 7:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(Ω) = 6
E = 5→ n(E) = 1
P (E) =
n(E)
n(Ω)
=
1
6
Questão 8: Qual a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado?
Solução 8: E = {2, 4, 6} → n(E) = 3 =⇒ P (E) = n(E)
n(Ω)
3
6
=
1
2
.
Questão 9: Um disco tem uma face branca e a outra azul. Se o disco for lançado 3 vezes, qual a
probabilidade de a face azul ser sorteada pelo menos uma vez?
Solução 9: Lançamento 3 vezes.
Espaço amostral:
Ω = {(B,B,B), (B,B,A), (B,A,B), (A,B,B), (B,A,A), (A,B,A), (A,A,B), (A,A,A)}.
n(Ω) = 8
Evento ocorrer a face azul (A) pelo menos uma vez:
EA = {(B,B,A), (B,A,B), (A,B,B), (B,A,A), (A,B,A), (A,A,B), (A,A,A)}
n(EA) = 7
Questão 10: Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de tevê que habitualmente assistem,
obteve-se o seguinte resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assis-
tem a outros canais, distintos de A e B. Escolhida uma pessoa ao acaso, determine a probabilidade de
que ela assista:
a) ao canal A
b) ao canal B.
c) ao canal A ou ao canal B.
5
Solução 10:
Espaço amostral: n(Ω) = 500.
Evento assistir canal A: n(A) = 280.
Evento assistir canal B: n(B) = 250.
Evento assistir canais diferentes de A e B: n(∼ A e ∼ B) = 70.
Evento assistir canais A e B:
n(A ∩B) = [n(A) + n(B)]− [n(S)− n(∼ A e ∼ B)]
= (280 + 250)− (500− 70)
= 530˘430 = 100.
a) P (A) =
280
500
=
28
50
= 0, 56.
b) P (B) =
250
500
=
25
50
= 0, 5.
c) P (A ∩B) = 100
500
=
10
50
= 0, 2.
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
=
28
50
+
25
50
− 10
50
=
43
50
6