Matematica_para_Vestibulinho

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Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 1 
 
Matemática para Vestibulinho 
Prof. Wlad 
Conteúdo programático 
 
1. Conjuntos ............................................................................................................................. 02 
 
2.Números naturais, inteiros, racionais e irracionais.................................................................... 08 
 
3. Potenciação, radiciação........................................................................................................... 13 
 
4. Expressões algébricas............................................................................................................. 14 
 
5. Produtos notáveis e fatorações............................................................................................... 16 
 
6. Razões e proporções............................................................................................................... 17 
 
7. Regra de Três ......................................................................................................................... 20 
 
8. Porcentagem. Problemas de aplicações................................................................................... 23 
 
9. Equações de 1º e 2º graus. Problemas de aplicações................................................................ 27 
 
10. Sistemas de equações de 1º grau........................................................................................... 30 
 
11. Plano cartesiano ................................................................................................................... 32 
 
12. Função do 1º Grau ............................................................................................................... 33 
 
13. Função exponencial ............................................................................................................. 35 
 
14. Elementos fundamentais da geometria plana e semelhança de figuras planas........................ 37 
 
15. Relações métricas no triângulo retângulo.............................................................................. 43 
 
16. Razões trigonométricas ........................................................................................................ 46 
 
17. Áreas de figuras planas......................................................................................................... 50 
 
18. Sólidos Geométricos .......................................................................................................... 53 
 
19. Análise combinatória e probabilidade.................................................................................... 56 
20. Noções de estatística............................................................................................................ 58 
21. Lógica e seqüências ............................................................................................................. 63 
Anexos .................................................................................................................................... 67 
 
EDIÇÃO 2010 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 2 
 
1. CONJUNTOS 
1.1. Introdução 
 
 a) Conjunto 
 A noção de conjunto em Matemática é praticamente 
a mesma utilizada na linguagem cotidiana: 
agrupamento, classe, coleção. Por exemplo: 
 Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto; 
 Conjunto dos números inteiros pares; 
 Conjunto dos dias da semana; 
b) Elemento 
Cada membro ou objeto que entra na formação do 
conjunto. Assim: 
 V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto 
acima; 
 2, 4, 6 são elementos do segundo; 
 Sábado, Domingo do terceiro; 
 
c) Pertinência entre elemento e conjunto 
 Por exemplo, V é um elemento do conjunto das 
letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele 
conjunto. Enquanto que v não pertence. 
 Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe 
sejam entendidos (evidentes) por todos. 
Notação 
Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra 
ﾏaiúsIula A, B, C, … 
 
Elemento: Poヴ uﾏa letヴa ﾏiﾐúsIula a, H, I, ┝, ┞, z, … 
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é 
um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por: 
 
Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x 
não pertence a A) escrevemos: 
 
1.2. Representações de Conjuntos 
 
 
a) Extensão ou Enumeração 
 Quando o conjunto é representado por uma listagem 
ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos 
entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. 
Exemplos: 
 Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, 
Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana}; 
 Conjunto dos meses com menos de 31 dias: 
{fevereiro, abril, junho, setembro, novembro}; 
 Conjunto dos números pares inteiros maiores do 
que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 
20}. 
Observações: 
1. Na representação por extensão cada elemento 
deve ser escrito apenas uma vez; 
2. É uma boa prática adotar a separação dos 
elementos em conjuntos numéricos como 
sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões 
com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4}; 
3. Esta representação pode, também, ser adotada 
para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei 
de formação de seus elementos e colocando-se 
ヴetiIZﾐIias ﾐo fiﾐal: {ヲ, ヴ, ヶ, Β, ヱヰ, …}; 
4. Representação semelhante pode ser adotada para 
conjuntos finitos com um grande número de 
eleﾏeﾐtos: {ヰ, ヱ, ヲ, ン, …, ヱヰヰ}. 
b) Propriedade dos Elementos 
Representação em que o conjunto é descrito por uma 
propriedade característica comum a todos os seus 
elementos. Simbolicamente: 
A = {x | x tem a Propriedade P} 
e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a 
propriedade P. 
Exemplos: 
 A = {x | x é um time de futebol do Campeonato 
Brasileiro de 2006}; 
 B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. 
Último exemplo do item a) acima; 
 C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}. 
c) Diagrama de Euler-Venn 
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha 
fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura 
abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os 
elementos do conjunto. 
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Resumo teórico 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio 
Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia 
de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a 
existência de conjunto com apenas um elemento, 
chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem 
qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø). 
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um 
conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa. 
Exemplos de Conjuntos Unitários: 
 Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: 
{fevereiro}; 
 Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 
e menores do que 12: {11}; 
 Conjunto das vogais da palavra blog: {o}. 
Exemplos de Conjuntos Vazios: 
 { x | x > 0 e x < 0 } = Ø; 
 Conjunto dos meses com mais de 31 dias; 
 { x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø. 
Conjunto Universo 
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos 
envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é 
simbolizado pela letra U. 
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma 
equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R 
(conjunto dos números reais); se estamos interessados em 
determinar os deputados federais envolvidos com o 
mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos 
todos os deputados federais da atual legislatura. 
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através 
de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que 
estamos trabalhando, escrevendo: 
 
 
 
 
 
 
Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A 
pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B 
pertence a A: 
 
 
Observações: 
1. A título de ilustração: O A invertidona expressão 
aIiﾏa sigﾐifiIa さpaヴa todoざ; 
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a 
noção de ordem não interfere na igualdade de 
conjuntos; 
3. É evidente que para A ser diferente de B é 
suficiente que um elemento de A não pertença a B 
ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, 
c, d}. 
 
 
Subconjunto 
Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, 
e somente se, todo elemento x pertencente a A também 
pertence a B: 
 
 
onde a notação sigﾐifiIa さA Y suHIoﾐjuﾐto de Bざ 
ou さA está Ioﾐtido eﾏ Bざ ou さA Y paヴte de Bざ. A leitura da 
ﾐotação ﾐo seﾐtido iﾐveヴso Y feita Ioﾏo さB IoﾐtYﾏ Aざ. 
 
 Observe que a abertura do sinal de inclusão fica 
seﾏpヴe diヴeIioﾐado paヴa o Ioﾐjuﾐto さﾏaioヴざ. Na foヴﾏa de 
diagrama é representado como: 
 
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Resumo teórico 4 
 
Exemplos: 
 {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
 Ø C {a, b}; 
 {a, b} C {a, b}; 
 {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, oﾐde ¢ sigﾐifiIa さﾐão está 
Ioﾐtidoざ, uﾏa vez ケue o eleﾏeﾐto H do pヴiﾏeiヴo 
conjunto não pertence ao segundo. 
Observe que na definição de igualdade de conjuntos está 
explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-
versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em 
A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais 
devemos provar que: 
 
Propriedades da Inclusão 
Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as 
seguintes propriedades: 
1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer 
conjunto; 
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio 
(propriedade Reflexiva); 
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade 
Anti-Simétrica); 
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é 
subconjunto de um outro e este é subconjunto de 
um terceiro, então o primeiro é subconjunto do 
terceiro (propriedade Transitiva). 
Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das 
demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, 
provar a primeira: 
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um 
subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um 
elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. 
Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a 
sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está 
contido em D é sempre verdadeira. 
Conjunto das Partes 
Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E - P(E) - o 
conjunto formado por todos os subconjuntos de E: 
Exemplos: 
 Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, 
{a.c}. {b,c}, {a,b,c}} 
 Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}}; 
 Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}. 
Observações: 
1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, 
que os elementos de P(E) são conjuntos; 
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos 
símbolos pertence (não pertence) e contido (não 
contido); 
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e 
{{a}} é um subconjunto de P(A); 
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de 
elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2
n(E)
. A 
propriedade é válida para conjuntos finitos; 
5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2
3
, n(B) 
= 2 e n(P(B)) = 4 = 2
2
 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2
1
. 
 
 
1.3. Operações entre conjuntos 
 
►União :  
 
 Conjunto união são todos os elementos dos 
conjuntos relacionados. 
 
 A  B = { x  A ou x  B } 
 
Exemplo 1: 
Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4,} e B = {0, 2, 4, 5} a 
união desses dois conjuntos é : 
 
A  B = { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A  B 
 
 
Exemplo 2: 
Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união 
desses conjuntos é: 
A  B = { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 } 
nesse caso podemos dizer que A  B = B 
 
 
 
 
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Resumo teórico 5 
 
► Intersecção:  
 
 Os elementos que fazem parte do conjunto 
intersecção são os elementos comuns aos conjuntos 
relacionados. 
 A  B = { x  A e x  B } 
 
Exemplo 1: 
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 8}, se 
pedimos a intersecção deles teremos: 
 
A  B = { 2, 3 } , dizemos ケue A さiﾐteヴざ B é igual a 2 e 
3. 
 
 
 
 
 
 
A  B 
Exemplo 2: 
Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se 
pedirmos a intersecção deles teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B  C = { } ou B  C =  
 
então B e C são conjuntos distintos. 
 
 
►Diferença entre dois conjuntos. 
 
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou 
diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos 
de A que não pertencem a B. 
 
O conjunto diferença é representado por A - B 
 
Exemplo 1: 
 
A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 8 } a diferença dos conjuntos é: 
 
 
 
A – B 
 
A – B = { 1, 2 } 
 
 
 
 
 
 
B – A 
 
B – A = { 8 } 
 
 
 
Exemplo 2: 
A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {8, 9, 10} a diferença dos conjuntos 
é: 
 
A – B = { 1, 2, 3, 4, 5 } 
 
 
Exemplo 3: 
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}a diferença dos conjuntos é: 
 
A – B =  
 
 
 
►Complementar 
 
 Dados dois conjuntos A e B em que A  B, chamamos 
de complementar de A em B 
 
, o conjunto formado pelos elementos de que pertencem a 
B que não pertencem a A 
 
 A  B  = B - A 
 
 
 
 
 
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Resumo teórico 6 
 
 
Exemplo 1: 
A = { 1, 2 , 3} e B = { 1, 2, 3, 4, 5} então = B – A = { 4, 
5} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
1. Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5} e B = { 2, 3, 7} e C = { 2, 4, 6} , 
determine: 
 
a) A  B 
 A  B = { 1, 2, 3, 4 , 5}  { 2, 3, 7} = { 1, 2, 3, 4 , 5, 7} 
 
b) A  B 
 A B = { 1, 2, 3, 4 , 5}  { 2, 3, 7} = { 2, 3} 
 
c) ( A  B )  ( B  C ) 
 A  B = { 1, 2, 3, 4 , 5, 7} 
 B  C = { 2, 3, 7 } 
 
 ( A  B )  ( B  C ) 
 { 1, 2, 3, 4 , 5, 7}  { 2, 3, 7 } = { 2, 3, 4, 7 } 
 
2. Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5 }, B = { 2, 3, 6} e C = { 1, 2, 4 }, 
encontre: 
 
a) B – C 
 B – C = { 2, 3, 6 } – { 1, 2, 4 } = { 3, 6 } 
 
b) 
 
 A - C = { 1, 2, 3, 4 , 5} - { 1, 2, 4 } = { 3, 5 } 
 
 
 
 
 
 
 
► Número de elementos da união de 
conjuntos 
 
 Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e 
n(B) o número de elementos do conjunto B, temos: 
 
 
 n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ) 
 
 
 
 
 
Exemplo1: 
 
 
 n(A) = 5 
 
 n (B) = 5 
 
 n(A  B ) = 2 
 
 
 
Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), então 
 
n ( A  B ) = 5 + 5 – 2. Logo n ( A  B ) = 8 
 
 
 
 
 
Exemplo2: 
 
 
 n(A) = 3 
 
 n (B) = 4 
 
 n(A  B ) =  
 
 
 
Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), então 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
1. Determine n (D  M ) sendo D = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
e M = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 } 
 
 
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Resumo teórico 7 
 
 
 n(D) = 8 
 
 n (M) = 8 
 
 n(A  B ) = 4 
 
 
 
Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), então 
 
n ( A  B ) = 8 + 8 – 4. Logo n ( A  B ) = 12 
 
 
2. Em uma universidade, 80% dos alunos lêem o jornal A e 
60% o jornal B. Sabendo que todo aluno lê pelo menos um 
dos jornais, qual o percentual de alunos que lêem ambos 
os jornais? 
 
Solução 
Como todos os alunos lêem pelo menos um jornal, 
 
 n ( A  B )= 100% . Então: 
 
 n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B) 
 100% = 80% + 60% – n(A  B) 
 n(A  B) = 140% - 100% 
 n(A  B) = 40%Matemática 
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Resumo teórico 8 
 
2. NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, 
RACIONAIS E IRRACIONAIS. 
 
 
 2.1.Conjunto dos Números Naturais ( ) 
 
 = { 0,1,2,3,4,.. } 
 
 *= { 0,1,2,3,4,.. } 
 
 
 O conjunto dos números é fechado em relação as 
operações de adição e multiplicação; isto é a adição de 
dois números naturais é um outro número natural e a 
multiplicação de dois números naturais terá como 
resultado também um número natural. 
 
 
Representação geométrica dos números naturais 
 
 
 
 
 
 
2.2. Números inteiros ( ) 
 
 = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ...} 
 
 
Subconjuntos de 
 
 * = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } 
 + = { 0, 1, 2, 3, ... } 
 *+ = { 0, 1, 2, 3, ... } 
 - = { ..., -4, -3, -2, -1, 0 } 
 *- = { ..., -4, -3, -2, -1 } 
 
 Representação geométrica dos números inteiros 
 
 
2.3. Conjunto dos Números Racionais ( ) 
 Todo número que pode ser escrito na forma de fração 
 
 = x | x = 
a
b
 , a  ; b  e b ≠ ヰ 
 
 Inteiro: - 10, − 10
1
 , + 6, +
6
1
 
 Decimal exato: 0,1 ; 
1
10
 ; 1,32 = 
132
100
 
 Dízima periódica: 
a) 0,777... = 
7
9
 
 
b) 1,666 ... = 1 + 0,666... = 0,666... = 
6
9
 = 
2
3
 
1 + 
2
3
 = 
3 + 2
3
 = 
5
3
 
 
c) 0, 366... = 
36− 3
90
 = 
33
90
 = 
11
30
 
 
Cuidado! : Nem todo número racional é inteiro. 
 
Ex.: 
層匝 = 0,5 é racional mas não é inteiro! 
 
 
 
2.4. Conjunto dos Números Irracionais ( I ) 
 
 Os números irracionais apresentam infinitas casas 
decimais e não periódicas, são números que não podem ser 
escritos na forma de uma fração. 
Exs:  , 2 , 3 ,  , etc... 
 
Obs.: As raízes quadradas de números que não são 
quadrados perfeitos são também chamadas de números 
irracionais. 
 
 
2.5. Números Reais ( ) 
 
 A união dos conjuntos dos números racionais e 
irracionais chama-se conjunto dos números, que será 
indicado por ざ ざ 
 = { números racionais}  { números irracionais } 
 
 
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Resumo teórico 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1.(SENAI 2008) Num jantar de comemoração, no final do 
ano passado, todos os participantes resolveram pedir o 
mesmo prato e a mesma sobremesa. No final do jantar 
pagaram um total de R$ 450,00 pelo prato principal e R$ 
250,00 pela sobremesa. Se cada sobremesa custou R$ 5,00 
a menos do que o prato principal, então o grupo era 
formado por 
a. 20 pessoas. 
b. 30 pessoas. 
c. 40 pessoas. 
d. 50 pessoas. 
e. 60 pessoas. 
 
2.(Trajano 2007) A roda-gigante de um parque de diversões 
tem dezoito cadeiras, igualmente espaçadas ao longo do 
seu perímetro e move-se no sentido anti-horário, isto é, no 
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura, as letras A, B, C, ... e R indicam as posições em 
que as cadeiras ficam cada vez que a roda-gigante pára. 
Com a roda-gigante parada, Bruna senta-se na cadeira que 
está na posição A, posição mais baixa da roda-gigante. A 
roda-gigante move-se de uma volta e pára. Nesse 
momento, a letra relativa à posição da cadeira ocupada por 
Bruna é 
(A) D. 
(B) I. 
(C) K. 
(D) P. 
(E) R. 
 
3.(Trajano 2007) Quando estava lendo uma reportagem 
sobre a sua banda favorita, Paula observou que havia um 
borrão de tinta no texto, como é mostrado a seguir: 
 
Curiosa, Paula determinou que o número de ingressos 
oferecidos para a área vip foi 
 
(A) 260. 
(B) 400. 
(C) 540. 
(D) 760. 
(E) 910. 
 
4.(Trajano 2007) Uma equipe de reportagem parte em um 
Iaヴヴo eﾏ diヴeção a “aﾐtos, paヴa IoHヴiヴ o eveﾐto さMúsiIa 
Boa “ó ﾐa Pヴaiaざ. Partindo da cidade de São Paulo, o veículo 
deslocou-se com uma velocidade constante de 54 km/h, 
durante 1 hora. Parou em um mirante, por 30 minutos, para 
gravar imagens da serra e do movimento de automóveis. A 
seguir, continuaram a viagem para local do evento, com o 
veículo deslocando-se a uma velocidade constante de 36 
km/h durante mais 30 minutos. A velocidade escalar média 
durante todo o percurso foi, em m/s, 
de:................................ 
 
(A) 10 m/s. (D) 36 m/s. 
(B) 12 m/s. (E) 42 m/s. 
(C) 25 m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumo teórico 10 
 
5.(Trajano 2007) Eduardo e Mônica estavam brincando de adivinhações com números inteiros positivos. 
 
 
 
Ao ouvir a resposta de Mônica, Eduardo imediatamente revelou o número original que Mônica havia pensado. 
O número que Mônica havia pensado era um 
(A) divisor de 12. 
(B) divisor de 15. 
(C) divisor de 24. 
(D) múltiplo de 5. 
(E) múltiplo de 12. 
 
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Resumo teórico 11 
 
6.(Cotil 2002) As infrações de transito são classificadas de 
acordo com o quadro ao lado. Se um condutor de 
automóvel cometer as seguintes infrações: uma grave, duas 
medias e 1 leve, quantos pontos seriam registrados na sua 
carteira de motorista? E qual seria o valor total pago dessas 
multas em reais? 1 UFIR = R$ 1,0641 fonte: Receita 
Federal 
 
 
Infrações Pontos Multa 
Gravíssima 7 180 UFIRs 
Grave 5 120 UFIRs 
Média 4 80 UFIRs 
Leve 3 50 UFIRs 
↘ PROBLEMAS COM FRAÇÕES 
 
6.(Cotil 2005) O medo de atentado terrorista forçou a 
idealização de um plano de segurança para os jogos 
Olímpicos de 2004 de Atenas. A segurança reforçada contou 
com milhares de homens e mulheres, sendo 
5
9
 policiais , 
1
3
 
militares , segurança particulares e voluntários e outros 5 
mil homens eram da guarda costeira. O total de homens 
que participaram da segurança em Atenas 2004 foi de : 
a) 15 mil 
b) 25 mil 
c) 30 mil 
d) 45 mil 
e) 50 mil 
 
7.(Cotil 2005) O judô olímpico é um dos esportes mais 
premiados do Brasil. O primeiro judoca brasileiro a 
conquistar o ouro foi Aurélio Miguel, em 1998. Para quem 
na pratica o esporte, entender aquele empurra-empurra, 
agarra-aguarra e golpes rápidos não é muito fácil. Para 
compreender um pouco mais da dinâmica desse esporte, 
um caminho é aprender a matemática que envolve o 
sistema de pontuação dos golpes, conforme a tabela 
abaixo: 
 
Golpe Valor Punição Valor 
Ippon 1 ponto Shidô 1/8 ponto 
Waza-ari 1/2 ponto Chui 1/4 ponto 
Yuko 1/4 ponto Keikoku 1/2 ponto 
Koka 1/8 ponto Hansoku-make 1 ponto 
 
Acompanhe a descrição de uma luta entre um japonês e um 
coreano. 
 
 O lutador japonês obteve: um koka, um yoko, um waza-
ari e três shidô 
 
 O coreano teve o seguinte desempenho: um waza-ari, dois 
koka, um Chuí,um shidô e um yoko. 
 
Qual o total de pontos do lutador japonês e do coreano, 
respectivamente? 
 
a) 
1
2
 e 
9
8
 
 
b) 
10
8
 e 
5
8
 
 
c) 
4
8
 e 
7
8
 
 
d) 
2
8
 e 
5
8
 
 
e) 
4
8
 e 
5
8
 
 
 
8.(Cotil 2006) No COTIL , a alunos carentes são oferecidas 
bolsa-trabalho, cujo valor varia a cada ano. Depois de uma 
rigorosa avaliação, alguns alunos são beneficiados e 
prestam serviço à escola em horário oposto ao que 
estudam. Em um determinado ano, um estudante recebeu 
uma bolsa. Descubra quanto recebeu, sabendo que no final 
do mês ele gastou 
4
5
 do total e, em seguida, enviou mais 
1
6
 , restando-lhe..apenas..R$.7,00. 
 
a) R$ 150,00 d) R$ 240,00 
b) R$ 180,00 e) R$ 270,00 
c) R$ 210,00 
 
 
9.(Cotil 2006) As epidemias que afetam os animanis 
preocupam não só o Brasil, como também a humanidade. 
Um fazendeiro da região Centro-Oeste do Brasil possuía um 
rebanho de gado para corte e, num certo mês do ano, viu 
seu rebanho ser dizimado por uma dessas epidemias. Na 
primeira semana perdeu 
1
3
 do rebanho; na segunda 
semana, perdeu 
1
6
 ; na terceira1
9
 ; na quarta 
1
12
 , 
sobrando apenas 792 cabeças de gado. Quantas cabeças do 
rebanho ele perdeu? 
 
 
10.(Cotil 2007) Os desertos avançam. O total de áreas 
atingidas por seca dobrou em trinta anos. Só na China, as 
áreas desérticas avançaram 10.000 quilômetros quadrados 
por ano, o equivalente ao território do Líbano. A Área total 
da Terra é de aproximadamente 510 milhões de km
2
. Sabe-
se que 
3
4
 da superfície da Terra são cobertos por água e 
1
3
 
do restante é coberto por desertos. A área dos desertos, em 
milhões de quilômetros quadrados corresponde a 
aproximadamente: 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 12 
 
 
a) 127,5 
b) 170 
c) 42,5 
d) 420,5 
e) 425 
 
 
11.(PSS-SEE/SP) Um professor de uma escola de música vai 
comprar um livro para cada um dos 270 alunos. 
Pesquisando 
preços na internet, encontrou o seguinte: 
• No site A, o preço de cada livro era R$ 16,75. 
• No site B, o preço de cada livro era R$ 25,00, e na compra 
de dois livros o terceiro era cortesia. 
 
Qual a melhor opção para o professor? 
a) O site A, pois economizaria R$ 2.227,50 em relação ao 
que pagaria no site B. 
b) O site A, pois economizaria R$ 1.215,00 em relação ao 
que pagaria no site B. 
c) O site B, pois economizaria R$ 225,50 em relação ao que 
pagaria no site A. 
d) O site B, pois economizaria R$ 22,50 em relação ao que 
pagaria no site A. 
e) O site B, pois economizaria R$ 2,25 em relação ao que 
pagaria no site A. 
3.(PSS-SEE/SP) Um professor de Matemática apresentou o 
seguinte problema aos seus alunos: 
 
さRoHeヴto Ioﾏpヴou ケuatヴo Haヴヴas de IhoIolate e dividiu 
igualmente aos seus cinco amigos. Qual a fração da barra 
ケue Iada uﾏ ヴeIeHeヴá?ざ 
 
Dois alunos responderam da seguinte maneira à questão do 
professor: 
Aluno A: Cada um receberá 
3
4
 + 
1
20
 
 
Aluno B: Cada um receberá a fração 
4
5
 
 
Considerando as resoluções dos alunos, assinale a 
alternativa correta: 
 
a) O aluno A acertou, pois dividiu as quatro barras em 4 
partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5 amigos. O 
aluno B também acertou, pois dividiu as barras em 5 partes 
iguais, representando 
4
5
 
 
b) O aluno A errou, respondendo com uma adição de 
frações cuja soma não corresponde à resposta correta. 
O aluno B acertou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, 
representando 
4
5
 
 
c) O aluno A errou, respondendo com uma adição de 
frações cuja soma não corresponde à resposta correta. 
O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, 
logo sua resposta deveria ser 
5
4
. 
 
d) O aluno A acertou, respondendo com uma adição de 
frações cuja soma corresponde à resposta correta. 
O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, 
logo a resposta deveria ser 
5
4
. 
 
 
e) O aluno A acertou, pois dividiu as quatro barras em 4 
partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5 
amigos. O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes 
iguais, logo sua resposta deveria ser 
5
4
. 
 
12.(PSS-SEE/SP) A partir de um valor inicial igual a 16000, 
certa população P1 de bactérias dobra a cada 30 minutos. 
Simultaneamente, partindo de um valor inicial 8 vezes 
menor, outra população P2 de bactérias cresce, 
dobrando de valor a cada 15 minutos. Em qual instante t as 
duas populações terão o mesmo valor? 
a) 60 minutos. 
b) 90 minutos. 
c) 120 minutos. 
d) 150 minutos. 
e) 180 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 13 
 
3. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
3.1. Potenciação 
 Para a  , b  , n  
 
 
 
 
Assim; 
 
 a0 = 1 
 
 a1 = a 
 
 an = a · a · ... · a , se n  2 
 n fatores 
 
 
 a-n = = a ≠ ヰ 
 
 
3.1.1. Propriedades da Potenciação 
 
1) a
m
 · an = a m + n 
 
2) a
m
 : a
n
 = a 
m - n 
 
3) (a
m
)
n
 = a 
m · n 
 
4) (a · b)m = a m · b m 
 
5) (a : b)
m 
 = a 
m 
:
 
b 
m
 , b ≠ ヰ 
 
3.2. Radiciação 
 Para a  , b  , n  * , temos: 
 
 
 
Assim, 
 
 bn = a  b = an 
 
3.2.1. Propriedades da Radiciação 
 
Para a  , b  , n  * , m  *, temos: 
 
1) an · bn = a · bn 
 
2) 
 an bn = abn , b ≠ ヰ 
 
3) amn = am . n 
 
4) ( a n )p = , p  * 
 
5) 
 
Obs.: Para radicais de índice par, devemos ter b  0 e a  
0 
 
3.2.2. Potenciação com expoente racional 
 
Sendo p  , n  *, temos: 
 
a  +  a = 
 
 0 = 0 , para 
p
n
 > 0 
 a = 0 
 0 não é definido para 
p
n
 ≤ 0 
 
 a nem sempre é real se n for par 
a  -  
 a = se n for ímpar 
 
 
Todas as propriedades da potenciação com expoente inteiro são 
válidas também para a potenciação com expoente racional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 14 
 
4. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 São expressões matemáticas que apresentam letras ou 
apenas letras, as quais são chamadas de variáveis ou 
incógnitas. 
 
Ex.: 2a2b + 3xy3 – 7a2x3 – 7a2x2 – b2 y2 
No exemplo acima: 
 
 2; 3; -7 e -1 são chamados de coeficientes numéricos 
 
 a2b ; xy3; a2x3 ; a2x2 e b2 y2 são chamadas de parte 
literal 
 
2a2b + 3xy3 – 7a2x3 – 7a2x2 – b2 y2 
1º termo 2º termo 3º termo 4º termo 5º termo 
 
Os termos são separados apenas por adição ou subtração. 
 
4.1. Classificação das expressões algébricas 
 
a) Racional : Quando não existe variável dentro de uma 
raiz, esses tipos de expressões se subdividem em: 
 
  Inteiras: quando não aparecem variáveis no 
denominador 
 Exs.: 3x + 1 ; 7xy
2
 – by4 
 
  Fracionárias: quando aparecem variáveis no 
denominador
 
 Exs.: 
2
x
 + 5x
3 
-2 ; 
5
ab
 + 
2
c
 
 
 
b) Irracional : Quando existe variável dentro de uma raiz. 
Exs.: 3 3x + 5a2b3 ; 2abc – y 
 
 
 
 
4.2. Termos semelhantes 
 
Termos que apresentam a mesma parte literal, inclusive os 
expoentes das variáveis. 
 
Ex.: 3 xy
2
 - 2 abc + 6 xy
2
 + 10 abc 
 
 
 Termos semelhantes 
 
 Esses termos semelhantes podem ser reduzidos, basta 
conservar a parte literal e fazer as respectivas operações 
com os coeficientes numéricos. Voltando ao exemplo 
anterior temos: 
( 3 xy
2
 + 6 xy
2 
) e ( - 2 abc + 10 abc ), reduzindo esses 
termos temos: 9xy
2
 + 8abc 
 
 
4.3. Polinômio 
Toda expressão racional e inteira é determinada pelo 
número de termos da expressão algébrica. 
 
a) Monômio: polinômio que possui apenas um termo 
 Ex.: 2 x
2
y
4
z 
 
b) Binômio: polinômio que possui dois termos 
 Ex.: 3 x
2
y
4
 + 2ab
2
 
 
c) Trinômio: polinômio que possui três termos 
 Ex.: 5 a
2
y
4
 + 7xb
2
 – 7xy3z 
 
 Acima de três termos, todos os demais são chamados de 
Polinômio. 
 
Cuidado!: Só podemos classificar um polinômio após 
reduzirmos todos os termos semelhantes. 
Por exemplo: 4x
2
 + 3ab + 4x
2
y – 5x2 aparentemente é um 
polinômio porém o primeiro e o quarto termo ( 4x
2
 e – 5x2 ) 
são semelhantes, podendo ser reduzidos. Após a redução 
observamos que o polinômio é um trinômio com esse 
aspecto: 
 -x2 + 3ab + 4x2y 
 
 
4.4. Grau do Polinômio 
 
 O grau de termos é a soma dos expoentes de 
suas variáveis, o termo que possuir maior soma de 
expoentes determinará o grau do polinômio. 
 
Ex.: 3a2b4 – 7b2 + 3 x3y2z 
 
1º Termo : 3 a
2
b
3
 = 2 + 3 = 5 ( Quinto grau) 
2º Termo : -7 b
 2 
= 2 ( Segundo grau) 
3º Termo : 3 x
3
y
2
z = 3 + 2 + 1 = 6 ( Sexto grau) <maior> 
 
Podemos observarque esse trinômio é do sexto grau 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 15 
 
4.5. Valor numérico de uma expressão 
 
Toda expressão algébrica tem o seu valor numérico, esse 
valor é encontrado a partir do momento em que temos 
ou atribuímos valores para as letras. Se em um exercício é 
pedido para que calcule o valor numérico da expressão 
algébrica 2x
2
y é preciso que saibamos ou atribuímos valores 
para as letras x e y. 
 
Então vamos supor que na equação 2x
2
y, os valores das 
letras seja x = -2 e y = 1, agora substituindo esses valores, 
chegaremos em um valor numérico. 
 
 2x
2
y 
 2 · (-2)2 · 1 
 2 · 4 · 1 = 8 
  Valor numérico da expressão 2x2y 
 
Veja mais um exemplo de como achar o valor numérico da 
expressão a + ab + 5. O valor numérico desse e de todas as 
expressões algébricas irão variar dependendo do valor que 
iremos atribuir para as letras. 
Nesse exemplo vamos supor que as letras a = 5 e b = -5. 
 
 5 + 5 · (-5) + 5 
 5 – 25 + 5 
 -20 + 5 = - 15 
  Valor numérico da expressão a + ab + 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 16 
 
5. PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
5.1. Produtos notáveis 
 
 São produtos que aparecem com muita freqüência 
na resolução de equações ou no desenvolvimento de 
expressões. 
Vejamos alguns casos: 
 
a) (a + b)2 = ( a+ b)( a+b ) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 
 
b) (a - b)2 = ( a - b)( a – b ) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2 
 
c) ( a +b )( a – b ) = a2 – ab + ba – b2 = a2 - b2 
Resumindo: 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
 
( a +b )( a – b ) = a2 - b2 
 
 
5.2. Fatoração 
 Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em 
produto. Vejamos alguns casos. 
 
 
1º Caso: Fator comum em evidência 
Ex.: 6x
2
 + 12x
3
z – 8 x4b = 2x2 (3 + 6xz – 4x2b ) 
 
 
2º Caso: Agrupamento 
Ex.: xy + xz + ay + az = x( y + z ) + a (y + z ) = (y + z) ( x + a ) 
 
 
3º Caso: Diferença de dois quadrados 
Ex.: x
2
 – y2 = ( x + y ) ( x – y ) 
 
 
4º Caso: Trinômio quadrado perfeito 
Exs.: 
 a) x
2
 +2xy + y
2
 = ( x + y )
2
 
 
 x 2 y = 2xy 
 
 b) x
2
 -2xy + y
2
 = ( x - y )
2
 
 
 x -2 y = -2xy 
5º Caso: Trinômio do 2º grau 
 São expressões da forma x
2
 - Sx + P, em que S e P 
repre-sentam, respectivamente, a soma e o produto de 
dois núme-ros a e b tal que se pode escrever: 
 
 x2 - Sx + P = ( x –(x1 )) ( x + (x2)) 
Exs.: 
 a) x
2
 + 7x + 12 = ( x+3) (x+4) 
 S P 
 
b) x
2 
 -6x +8 = ( x - 2 ) (x - 4) 
 S P 
 
c) x
2 
 +2x -8 = ( x - 2 ) (x + 4) 
 S P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 17 
 
6. RAZÕES E PROPORÇÕES 
 6.1. Razão 
 
 Razão é a comparação entre grandezas de mesma 
espécie. Essa comparação é representada por uma 
fração, onde o numerador é chamado de antecedente e o 
denominador de conseqüente. 
 
Exs.: 
a) A razão entre 3 e 7 = 
3
7
 , 
 (onde 3 é antecedente e 7 conseqüente) 
 
 Se invertermos , a razão entre 7 e 3 será 
7
3
 , 
 (agora 7 é antecedente e 3 conseqüente) 
 
b) A razão entre 4 e 2 = 2, a razão entre 2 e 4 = 
2
4
 = 
1
2
 
 
c) A razão entre 
3
2
 e 
8
9
 = 
2
3
 : 
8
9
 = 
27
16
 
 
 
 
 
6.2. Proporção 
 
 É uma igualdade entre duas razões. 
 
Exs.: 
A proporção a seguir pode ser representada da seguinte 
maneira: 
 
 
 
Lê-se: 3 está para 2 assim como 9 está para 6 
Nesta proporção, o 3 e 6 são extremos e o 2 e o 9 são 
meios. 
 
 
 
5.2.1. Propriedade fundamental das proporções 
 
 
 さO produto dos meios é igual ao produto dos extremosざ 
 
Ex.: 
3
2
 = 
6
4
  2 · 6 = 3 · 4 
 = 12 
 
Generalizando: 
 
 
 
 
 
Obs. A recíproca também é verdadeira 
 
 a · d = b · c  a
b
 = 
c
d
 
 
Exs.: 
 
aぶ CalIule o valoヴ de さ┝ざ. 
 
x
2
 = 
10
4
 = x · 4 = 2 · 10 
 4x = 20 
 x = 5 
 
 
Hぶ CalIule o valoヴ de さ┞ざ. 
 
9
2
 = 
y
0,2
 = 2 · y = 9 · 0,2 
 2y = 1,8 
 y = 0,9 
 
 
6.3. Números proporcionais 
 
 Duas seqüências de números são proporcionais 
quando a razão entre dois números correspondentes de 
cada uma das seqüências for sempre a mesma. 
 Os números proporcionais são divididos em 2 grupos: 
os diretamente proporcionais e os inversamente 
proporcionais. Há também um outro grupo que não 
pertence a esses chamados números não proporcionais. 
 
6.3.1. Números diretamente proporcionais 
 
 Dada uma seqüência 
 a; H; I; d; ... e a’; H’ ; I’ ; d’; ... eﾐtão: 
 
 
a
a´
 = 
b
b´
 = 
c
c´
 = 
d
d´
 = .... = k onde 
 
 
 k = constante de proporcionalidade 
 
Ex: Considere as seqüências 
 
 2; 4; 8; 16; 32 e 3; 6; 12; 24; 48 
 
 2
3
 = 
4
6
 = 
8
12
 = 
16
24
 = 
32
48
 = 
匝惣 
 
 
2
3
 é a constante de proporcionalidade. 
 
 
軍郡 = 卦袈  a x d = b x c 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 18 
 
 
 Portanto, podemos afirmar que as duas seqüências 
são diretamente proporcionais devido apresentarem 
sempre como resultado a razão entre as grandezas 
relacionadas 
匝惣 
 
 
6.3.2. Números inversamente proporcionais 
 
 Dada uma seqüência 
 a; H; I; d; ... e a’; H’ ; I’ ; d’; ... eﾐtão: 
 
a
1
a´
 = 
b
1
b´
 = 
c
1
c´
 = 
d
1
d´
 = .... = k onde 
 
 a · a´ = b · b´ = c · c´ = d · d´ = .... = k 
 
Ex.: Considere as seqüências 2; 4; 8; 16; 32 e 48; 24; 12; 6; 
3 
 
 
2
1
48
 = 
4
1
24
 = 
8
1
12
 = 
16
1
6
 = 
32
1
3
 = .... = k onde 
 
 2 · 48 = 4 · 24 = 8 · 12 = 16 · 6 = 32· 3 = 96 
96 é a constante de proporcionalidade. 
Portanto, podemos afirmar que as duas seqüências são 
inversamente proporcionais. 
 
Exercícios 
 
1.(SENAI) Dos 1.200 funcionários de uma empresa, 60% têm 
idade superior a 30 anos. Se entre o número de homens e o 
de mulheres com idade superior a 30 anos a razão é de 3 
homens para 2 mulheres, pode-se afirmar que a quantidade 
de mulheres com idade superior a 30 anos nessa empresa é 
a. 288. 
b. 296. 
c. 312. 
d. 360. 
e. 374. 
 
2. (Trajano 2008) É possível combater o vibrião colérico 
com o uso de uma solução aquosa de hipoclorito de sódio 
(NaClO) a uma concentração mínima de 0,11g/L. A massa de 
hipoclorito de sódio necessária para se preparar 10 litros 
dessa solução, expressa em miligramas, é 
(A) 0,11. 
(B) 1,10. 
(C) 110. 
(D) 1 100. 
(E) 11 000. 
 
 
 
3.(Trajano 2008) 
 
Se o temor de Eva, a personagem da cena apresentada, se 
confirmar, e os três dias de espera forem venusianos, então 
na Terra terão se passado (Obs. Desconsidere o ano bissexto) 
(A) 1 ano, 10 meses e 19 dias. 
(B) 1 ano, 11 meses e 29 dias. 
(C) 2 anos e 2 dias. 
(D) 2 anos e 5 dias. 
(E) 2 anos e 9 dias. 
 
4.(PSS-SEE/SP)O gráfico abaixo indica o preço em reais de 
cada bolsa que uma fábrica produz, de acordo com o 
número de bolsas compradas pelas lojas. 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 19 
 
 
Considere as afirmações abaixo: 
 
I. As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. 
II. As grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. 
III. As grandezas não são nem diretamente e nem 
inversamente proporcionais. 
IV. Analisando a relação existente entre as grandezas 
envolvidas, percebemos que, quando há aumento de 
uma, ocorre uma diminuição da outra. 
 
Dentre essas afirmações: 
a) Apenas a I está correta. 
b) Apenas a II está correta. 
c) Apenas a III está correta. 
d) I e IV estão corretas. 
e) III e o IV estão corretas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 20 
 
7. REGRA DE TRÊS 
 
7.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Regra de três simples é um processo prático para resolver 
problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos 
três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos 
três já conhecidos. 
 Passos utilizados numa regra de três simples: 
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma 
espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de 
espécies diferentes em correspondência. 
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 Exemplos: 
 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m
2
, uma 
lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 
watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m
2
, 
qual será a energia produzida? 
 Solução: montando a tabela: 
Área (m
2
) Energia (Wh) 
1,2 400 
1,5 x 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar 
aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são diretamente 
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo 
sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e 
resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
 
 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 
400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto 
tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse 
de 480km/h? 
 Solução: montando a tabela: 
Velocidade 
(Km/h) 
Tempo (h) 
400 3 
480 x 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso 
diminui. 
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), 
podemos afirmar que as grandezas são inversamente 
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido 
contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e 
resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 
minutos. 
 
 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela 
pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? 
 Solução: montando a tabela: 
Camisetas Preço (R$) 
3 120 
5 x 
 Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço 
aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são diretamente 
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos: 
 
Logo, a Bianca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas. 
 
 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, 
realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de 
serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o 
mesmo trabalho? 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 21 
 
 Solução: montando a tabela: 
Horas por 
dia 
Prazo para término 
(dias) 
8 20 
5 x 
 Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por 
dia, o prazo para término aumenta. 
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são inversamente 
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos: 
 
 
7.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
A regra de três composta é utilizada em problemas com 
mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais. 
 Exemplos: 
 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m
3
 de 
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários 
para descarregar 125m
3
? 
 Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna 
as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as 
grandezas de espécies diferentes que se correspondem: 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 x 125 
 Identificação dos tipos de relação: 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna 
que contém o x (2ª coluna). 
 
 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela 
onde está o x. 
 Observe que: 
 Aumentando o número de horas de trabalho, podemos 
diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é 
inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o 
número de caminhões. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos 
igualar a razão que contém o termo x com o produto das 
outras razões de acordo com o sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
Logo, serão necessários 25 caminhões. 
 
 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 
carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 
4 homens em 16 dias? 
 Solução: montando a tabela: 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
 Observe que: 
 Aumentando o número de homens, a produção de 
carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). 
 Aumentando o número de dias, a produção de 
carrinhos aumenta. Portanto a relação também é 
diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). 
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o 
produto das outras razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
 
 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro 
com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a 
altura para 4m, qual será o tempo necessário para 
completar esse muro? 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna 
que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 22 
 
para as grandezas diretamente proporcionais com a 
incógnita e discordantes para as inversamente 
proporcionais, como mostra a figura abaixo: 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. 
 
 Exercícios complementares 
 Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando 
fazer esses exercícios: 
 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. 
Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? 
Resposta: 6 horas. 
 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 
dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas 
de carvão? Resposta: 35 dias. 
 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 
18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo 
levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por 
dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 
 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, 
viajando 8 horas por dia, a uma velocidademédia de 50 
km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para 
entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 
60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 
 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 
5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. 
Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de 
largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 
metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 23 
 
8. PORCENTAGEM E PROBLEMAS DE 
...APLICAÇÃO. 
Porcentagem é uma razão centesimal, ou seja, o 
denominador é igual a 100. 
 
Ex.: 
25
100
 que se indica por 25% 
 
Existem dois métodos para se calcular porcentagem: 
a) Fração de um valor: Multiplica-se a fração pelo valor. 
Ex: Calcule 20% de 45 
 
 
20
100
 · 45 = 
900
100
 = 9 
 
 Portanto 20% de 45 é igual a 9 
b) Regra de Três Simples e direta: Comparação entre duas 
grandezas diretamente proporcionais 
Ex: Calcule 30% de 70 
 
Estamos comparando porcentagem e valor. 70 é o valor 
total portanto equivale a 100%. 
 100 % ............ 70 
 20% ................ x 100· x = 20 ·70 
 100 x = 1400 
 
 x = 
1400
100
 
 
 x = 14 
 
Obs.: É mais conveniente resolver por regra de três, pois 
serve para todos os casos. 
8.1. PROBLEMAS DE APLICAÇÃO – LUCROS E 
......PREJUÍZOS 
Todo comerciante compra uma certa mercadoria 
por um determinado preço, que é chamado de preço de 
custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro 
ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi 
passada ao mercado consumidor. 
 Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra 
e venda de mercadorias, temos os seguintes casos 
distintos: 
» porcentagem (%) sobre venda 
 » porcentagem (%) sobre custo 
E porque ter noção desta distinção?? Ela se torna 
muito importante na resolução de problemas envolvendo 
dinheiro. 
 
8.1.1. Porcentagem sobre o preço de custo 
 Quando o cálculo sobre o preço de lucro (ou prejuízo) é 
calculado, em bases percentuais, em cima do preço de 
custo do produto adquirido, temos o que é chamado de 
porcentagem sobre o custo. Este é o processo normal, e que 
é usado e adotado no mercado comercial..................... 
 
 Desta forma, se um comerciante ou pessoa física, 
compra um determinado produto por um valor de R$ 
200,00 (preço de custo) e este for ser revendido com um 
lucro de 30%, isto quer dizer que nesta operação o lucro em 
espécie da operação é de R$ 30,00 (lucro) para cada valor 
de R$ 100,00 do preço do custo. 
 
Acompanhe o raciocínio: 
Custo Lucro 
R$ 100,00 R$ 30,00 
R$ 100,00 R$ 30,00 
Custo total = R$ 200,00 Lucro total = R$ 60,00 
 
Através de um cálculo da regra de três , temos: 
R$ 200,00 .............. 100% 
 X .................... 30% 
 X = 
200 x 30
100
 
 X = 
6000
100
 
 X = R$ 60,00 (valor do lucro total na 
operação) 
Em toda operação, envolvendo problemas 
relacionados com porcentagem sobre o custo do produto, 
as partes obrigatórios de cálculos na operação são: 
» Venda 
 » Custo 
 » Lucro (ou prejuízo, conforme operação) 
Para que haja uma memorização melhor sobre 
estes elementos fundamentais de cálculo sobre 
porcentagem de custo, observe: 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 24 
 
C = CUSTO 
V = VENDA 
L = LUCRO 
P = PREJUÍZO 
 
Dicas importantes! 
1. O preço de custo (ou preço de compra) é sempre igual a 
100% (cem por cento) 
2. A venda do produto (com prejuízo na operação) é 
sempre igual ao preço de custo menos o prejuízo, da 
seguinte forma: 
 C – P = V ou V = C – P 
100% - 30% = 70% 70% = 100% - 30% 
3. a venda do produto (com lucro na operação) é sempre 
igual à soma do custo mais o lucro, da seguinte forma: 
 C + L = V ou V = C + L 
100% + 30% = 130% 130% = 100% + 
30% 
 
 
 
Exs.: 
a) Qual o preço que é possível vender um produto que 
teve seu custo de R$ 700,00, para se ter um lucro final 
de 15%? 
Solução: 
C * L = V » 100% + 15% = 115% 
R$ 700,00 ................ 100% (custo da operação) 
....................X ........................ 115% (venda da operação) 
 X = 
115 x 700
100
 
X = 
80500
100
 = R$ 805,00 
O valor do produto será de R$ 805,00 
 b) Qual o preço que é possível vender um produto que teve 
seu custo de R$ 300,00, para se ter um lucro final de 50%? 
Solução: 
C * L = V » 100% + 50% = 150% 
R$ 300,00 .............. 100% (custo da operação) 
 X ...................... 150% (venda da operação) 
 X = 
150 x 300
100
 
 X = 
45000
100
 = R$ 450,00 
Resposta:O valor do produto será de R$ 450,00 
 
c) Uma pessoa vendeu um automóvel pelo valor de 
R$ 25.000,00, ganhando o valor de 20% (vinte por cento) 
sobre o custo. Qual foi o lucro desta pessoa nesta 
operação? 
Solução: 
C + L = V » 100% + 20% = 120% 
25.000 ................. 120% (venda da operação) 
 X .................... 20% (lucro da operação) 
 X = 
25000 x 20
120
 
 X = 
500.000
120
 = R$ 4.166,67 (valor 
arredondado) 
 
Resposta: O lucro da operação foi de R$ 4.166,67 
 
d) Uma geladeira foi vendida com um lucro final de 35%. 
Calcule o valor da venda, sabendo que o lucro na operação 
foi de R$ 250,00. 
 
Solução: 
C + L = V -à 100% + 35% = 135% 
250 ................ 35% (lucro da operação) 
 X .................... 135% (venda da operação) 
X = 
135 x 250
35
 
X = 
33750
35
 = R$ 964,29 (valor 
arredondado) 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 25 
 
Resposta: O valor da venda foi de R$ 964,29 
 
e) Uma casa foi comprada por R$ 20.000,00, e revendida 
em sucessivos negócios com lucros seqüentes de 15%, 25% 
e 30%. Nesta operação, qual foi o último preço de venda da 
casa? 
Solução: 
 1ª operação de venda (15% de lucro) ### 
 C + L = V » 100% + 15% = 115% 
 20.000 .............. 100% (custo da operação) 
 X ................. 110% (venda da operação) 
 X = 20.000 . 110 / 100 = R$ 22.000,00 
 .... 
2ª operação de venda (25% de lucro) 
 C + L = V » 100% + 25% = 125% 
(valor da casa R$ 22.000,00) 
22.000 ............... 100% (custo da operação) 
 X ................... 125% (venda da operação) 
X = 22.000 . 125 / 100 = R$ 27.500,00 
 .... 
3ª operação de venda (30% de lucro) 
 C + L = V » 100% + 30% = 130% 
(valor da casa R$ 27.500,00) 
 
 27.500 ............ 100% (custo da operação) 
......................X ................ 130% (venda da operação) 
 X = 
27500 x 130
100
 = R$ 35.750,00 
 Resposta: O valor final da casa foi de R$ 35.750,00 
 
f) Uma pessoa vendeu um aparelho de som que custou 
R$ 1.200,00 com 40% de prejuízo sobre o custo. Qual foi o 
prejuízo desta operação? 
 Solução: 
 1.200 ........... 100% (custo da operação) 
.......................X ............ 40% (prejuízo da operação) 
 X = 
1200 x40
100
 
 X = 
48000
100
 = R$ 480,00 
Resposta: O prejuízo desta operação foi de R$ 
480,00. 
Exercícios 
1.(SENAI) Um vendedor ambulante vende, diariamente, 50 
unidades de churrasco grego acompanhado de um copo de 
suco. O churrasco mais o copo de suco são vendidos por R$ 
1,50. O custo do referido produto (churrasco mais suco) é de 
R$ 0,90. Se o vendedor trabalhar dez dias consecutivos nessas 
condições, o lucro obtido corresponderá a 
a. R$ 1.200,00. 
b. R$ 900,00. 
c. R$ 750,00. 
d. R$ 550,00. 
e. R$ 300,00. 
 
 
2. (SENAI 2008) Um comerciante descontou em um banco um 
cheque pré-datado para trinta dias no valor de 
R$ 12.000,00. Se o banco utiliza uma taxa de desconto de 5,2% 
ao mês, o valor líquido recebido 
pelo comerciante foi de 
a. R$ 11.994,80. 
b. R$ 11.376,00. 
c. R$ 9.692,30. 
d. R$ 6.952,80. 
e. R$ 5.760,00. 
 
 
3. (SENAI 2008) Para participar de uma novela, uma atriz 
que pesava 100 kg em 1º de março de 2006, submeteu-se a 
um regime alimentar. O resultado obtido foi tal que o seu 
peso, a cada mês, sofreu uma perda de 10% em relação ao 
seu peso do mês anterior. Nessas condições, em 1º de 
junho de 2006, a atriz passou a さpesarざ. 
Nota: o teヴﾏo さpesoざ Ioヴヴespoﾐde a ﾏassa. 
a. 58,6 kg. 
b. 60,0 kg. 
c. 65,4 kg. 
d. 70,0 kg. 
e. 72,9 kg. 
 
4.(Trajano 2008) Na sua edição de 27 de julho de 2008, o 
jornal Folha de S. Paulo divulgou uma pesquisa sobre o 
perfil do jovem brasileiro, a qual apresenta indicadores que 
contribuem com os estudos sobre a exclusão social no 
Brasil. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 26 
 
Paヴa a peヴguﾐta さVoIZ estuda?ざ, os dados oHtidos foヴaﾏ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para os joveﾐs ケue estudaﾏ foi feita a peヴguﾐta さEﾏ ケue 
aﾐo voIZ está?ざ, e os dados oHtidos foヴaﾏ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com os dados fornecidos e admitindo que há 
cerca de 35 milhões de jovens brasileiros, então o número 
de jovens brasileiros que estão no Ensino Superior é 
(A) 3 430 000. 
(B) 3 570 000. 
(C) 4 000 000. 
(D) 7 000 000. 
(E) 8 918 000. 
 
5.(Trajano 2007) Analise o texto e a tabela a seguir. 
 A possibilidade de ser mais ou menos cidadão depende, 
em larga medida, do ponto do território onde se vive. 
Muitos moradores da periferia tornam-se cidadãos 
incompletos por terem menos acesso aos serviços urbanos 
e direito à cidade como um todo. Morar na periferia é se 
condenar duas vezes à 
pobreza: além das desigualdades socioeconômicas, o pobre 
sofre com a má distribuição territorial dos serviços públicos 
como saúde, educação, segurança e lazer. 
(Adaptado de: SANTOS, Milton. O espaço do cidadão. São Paulo, Nobel, 
1987, pp. 81 e 115.) 
 O município do Rio de Janeiro pode ser dividido em 
três grandes zonas. Nas Zonas 1 e 2 (formadas 
respectivamente pelo centro histórico e seis bairros nobres 
com melhor poder aquisitivo) o território e a quantidade de 
moradores são muito menores do que os da Zona 3 
(formada por cerca de trinta bairros, em geral periféricos e 
com pior poder aquisitivo). 
 
 
 
 De acordo com as idéias do texto e as informações 
auxiliares, é correto afirmar que 
 
(A) a distribuição territorial desses equipamentos de lazer 
atende com justiça e igualdade às necessidades de 
todos os moradores do município. 
(B) os moradores das Zonas 1 e 2 são cidadãos privilegiados 
entre os moradores restantes do município, pois 
estes últimos fi cam mal servidos territorialmente de 
diversas oportunidades de lazer. 
(C) os moradores da Zona 3 podem ser considerados mais 
cidadãos por terem mais facilidade de acesso às 
múltiplas oportunidades de lazer do município. 
(D) os moradores da Zona 2 são menos cidadãos e sofrem 
duas vezes com a pobreza, pois são contemplados 
territorialmente com menos oportunidades de lazer que os 
outros moradores do município. 
(E) a distribuição territorial desigual dos equipamentos de 
lazer não agrava a pobreza e não interfere nos direitos 
de exercício de cidadania dos moradores do município. 
 
 
 
 
 
6.(PSS-SEE/SP) Em um determinado condomínio, paga-se 
atualmente um salário mensal de R$ 1418,00 para um 
zelador. Com todos os encargos, esse funcionário custa ao 
condomínio R$ 2392,00. Após uma análise de mercado e 
algumas reflexões junto à associação de trabalhadores que 
representa essa classe, a empresa administradora concluiu 
que deveria atualizar esse salário em 4,5% referentes ao 
ano de 2007, e mais 4% referentes ao ano de 2008. 
A taxa de reajuste do salário do zelador, após essas 
atualizações, será: 
a) 8,5%. 
b) Maior que 8,5%. 
c) 16,5%. 
d) 18%. 
e) Maior que 18%. 
 
 
 
Nível de Ensino Porcentagem 
Ensino Médio 52% 
Ensino Superior 20% 
Ensino Fundamental 16% 
Cursinho 4% 
Pós-graduação 2% 
Supletivo 2% 
Outras 4% 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 27 
 
9. EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS 
....PROBLEMAS DE APLICAÇÃO 
9.1. Equação do 1º grau 
 É toda equação do tipo ax + b = 0, com a  *, e b  
. 
Para determinar a solução de uma equação do 1º grau, 
procedemos assim: 
 ax + b = 0  ax = - b  
 
 Logo, S = - 
b
a
 
9.1.1. Problemas de aplicação 
 
 
9.2. Equação do 2º grau 
 
 Toda equação na variável x do tipo ax2 + b + c = 0, 
com a  *, b  e c  
 
 Discriminante:  = b2 - 4ac 
Se  > 0 ou  = 0 , Então x1 e x2 são as raízes da 
equação. 
 
 Para calcularmos as raízes fazemos: 
 
x1 e x2 =
−決± 
2欠 , sabendo que 
 
 
Exs. 
(1º Tipo)  > 0 
 
» Resolva a equação: x2 – 7x + 12= 0 
1º Passo : 
» Determinar os coeficientes a, b, e c em x2 – 7x + 12= 
0 
a = 1 
b = -7 
c = 12 
2º Passo: 
» Substituir esses coeficientes no discriminante:  = b2 - 4ac 
 = b2 - 4 a c 
 = ( -7 )2 - 4 ( 1 ) · (12 ) 
 = 49 – 48 
 = 1 
3º Passo : 
» OHseヴvaヴ o valoヴ de さざ e veヴifiIaヴ se teﾏ ヴaiz(es) reais 
Podemos observar que  = 1 , 
 
então  >0, a equação terá duas raízes diferentes 
 
4º Passo : 
» Calcular essa(s) raízes... 
x1 e x2 =
−決± 
2欠 
x1 e x2 =
− −7 ± 1
2( 1)
 
x1 e x2 =
7 ±1
2
 
 x1 = 
7+1
2
  x1 = 82  x1 = 4 
 x2 = 
7−1
2
  x2 = 62  x2 = 3 
 
5º Passo : 
» Representar a resposta: 
 
 S = { -3, 4 } 
 
(2º Tipo)  = 0 
 
» Resolva a equação: x2 – 8x + 16= 0 
1º Passo : 
» Determinar os coeficientes a, b, e c em x2 – 8x + 16 = 
0 
a = 1 
b = -8 
c = 16 
2º Passo: 
» Substituir esses coeficientes no discriminante:  = b2 - 4ac 
x = - 
郡軍 
Obs. Quaﾐdo ﾐão さapaヴeIeヴ 
um número na frente do さ x2 ざ, 
ou do さxざ devemos lembrar 
que lá está o 1. 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 28 
 
 = b2 - 4 a c 
 = ( -8 )2 - 4 ( 1 ) · (16 ) 
 = 64 – 64 
 = 0 
3º Passo : 
» OHseヴvaヴ o valoヴ de さざ e veヴifiIaヴ se teﾏ ヴaiz(es) reais 
Podemos observar que  = 0 , 
 
então  = 0, a equação terá duas raízes iguais 
 
4º Passo : 
» Calcular essa(s) raízes caso existam... 
x1 e x2 =
−決± 
2欠 
x1 e x2 =
− −8 ± 0
2( 1)
 
x1 e x2 =
8 ±0
2
 
 x1 = 
8+0
2
  x1 = 82  x1 = 4 
 x2 = 
8−0
2
  x2 = 82  x2 = 4 
 
5º Passo : 
» Representar a resposta: 
 
S = { 4 } 
(3º Tipo)  < 0 ( negativo) 
 
» Resolva a equação: 3x2 – 4x + 2= 0 
1º Passo : 
» Determinar os coeficientes a, b, e c em 3x2 – 4x + 2= 
0 
a = 3 
b = -4 
c = 2 
2º Passo: 
» Substituir esses coeficientes no discriminante:  = b2 - 4ac 
 = b2 - 4 a c 
 = ( -4 )2 - 4 ( 3 ) · (2 ) 
 = 16 – 24 
 = -8 
3º Passo : 
» OHseヴvaヴ o valoヴ de さざ e veヴifiIaヴ se teﾏ ヴaiz(es) reais 
Podemos observar que  = -8 , 
 
então  < 0, a equação não admite raízes reais 
 さ negativoざ 
 
 
4º Passo : 
» Representar a resposta: 
 
S = { } 
 
Resumindo 
 > 0  duas raízes reais diferentes = 0  raízes reais e iguais 
 
 < 0  não possui raízes reais 
 
9.2.1. Problemas de aplicação 
1.(SENAI 2008) Na temporada do verão passado, um 
comerciante vendeu picolés, cuja renda (p) em reais, no 
final de cada dia, varia de acordo com a expressão p = x
2
 - 
11x - 10, em que x indica a quantidade de picolés vendidos 
no dia. Se num determinado dia, a renda final foi de R$ 
200,00, pode-se afirmar que o comerciante vendeu naquele 
dia 
a. 12 picolés. d. 21 picolés. 
b. 15 picolés. e. 27 picolés. 
c. 19 picolés. 
 
 
2.(Trajano 2008) Considere um número inteiro positivo tal 
que quatro quintos da soma desse número com 36 é igual à 
diferença entre o dobro desse número e 6. A soma dos 
algarismos do número considerado é 
(A) 11. (B) 12. (C) 13. (D) 14. (E) 15. 
 
 
 
3.(PSS-SEE/SP) Deseja-se construir uma calçada 
contornando-se dois lados consecutivos de um jardim cuja 
forma é 
retangular, conforme mostra a figura abaixo: 
Obs.: Podemos representar 
um único número, pois as 
respostas são iguais 
Obs.: Podemos também 
representar o conjunto 
vazio desta forma: S =  
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 29 
 
 
 
 
 
 
 
Deseja-se que a calçada ocupe uma área de 15m². A 
equação que permite calcular o valor de x é: 
 
a) x² − 9x + 15 = 0. 
b) x² − 15x + 10 = 0. 
c) x² − 15x + 20 = 0. 
d) x² − 20x − 15 = 0. 
e) x² − 9x − 20 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 30 
 
10. SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
....DO 1º GRAU 
10.1. Métodos de resolução de sistemas de 
equações do 1º grau 
 
 Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a 
escolha pelo método mais rápido de resolução. 
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é 
o método da adição. 
 
10.1.1. Método da adição 
 
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma 
incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a 
membro as duas equações recai-se em um equação com 
uma única incógnita. 
 
Ex: 
 
 
 
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para 
podermos cortar –2x com 2x 
 
 
 
2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações 
acima e encontrar o valor de x. 
 
 
 
3º passo: dar a solução do sistema. 
 
S = { (4, -2) } 
 
10.1.2. Método da substituição 
 
Este método consiste em isolar uma incógnita numa 
equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, 
recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única 
incógnita. 
 
Ex: 
 
 
 
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para 
podermos substituir na Segunda equação. 
 
 
 
2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para 
encontrar o valor de x. 
 
 
 
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o 
valor de y. 
 
y = 6 – 2x 
y = 6 – 2.4 
y = 6 – 8 
y = -2 
 
4º passo: dar a solução do sistema. 
 
S = { (4, -2) } 
 
10.1.3. Método da comparação 
Esse método consiste em compararmos as duas equações 
do sistema, após termos isolado a mesma variável ( x ou y) 
nas duas equações: 
Ex.: 
Resolver o sistema pelo método da comparação 
 x + 2y = 2 
 x + y = 3 
 
1º passo: vamos isolar as mesmas variáveis nas duas 
equações 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 31 
 
 x + 2y = 2 »isolaﾐdo さ┝ざ teﾏos x = 2 - 2y 
 x + y = 3 »isolaﾐdo さ┝ざ teﾏos x = 3 - y 
2º passo: vamos igualar essas variáveis e calcular o valor de 
x 
Exercícios 
1.(Trajano 2008) Imagine que antes de posar para a foto de 
família, o pai, não resistindo à tentação diante de um 
maravilhoso bolo recheado e de uma divina torta de limão, 
comeu uma e meia fatia de bolo recheado e duas fatias de 
torta de limão, consumindo 1 482 quilocalorias. Por sua vez, 
a mãe comeu meia fatia do mesmo bolo e três quartos de 
uma fatia da mesma torta, consumindo 606 quilocalorias. 
Preocupada com o abuso das iguarias consumidas, a mãe se 
peヴguﾐtou: さQuaﾐtas ケuiloIaloヴias teﾏ uﾏa fatia de Holo 
ヴeIheado? E ケuaﾐtas teﾏ uﾏa fatia de toヴta de liﾏão?ざ 
Para resolver o problema, a mãe montou um sistema de 
duas equações, representando por b a quantidade de 
quilocalorias de uma fatia do bolo recheado e por t a 
quantidade de quilocalorias de uma fatia da torta de limão, 
levando em consideração que o bolo foi fatiado 
uniformemente e a torta também. 
Assim sendo, o sistema que ela montou é equivalente ao 
sistema 
(A) 3b + 4t = 1 482 
 b + 2t = 1 212 
 
(B) 3b + 4t = 2 964 
 2b + 3t = 2 424 
 
(C) 3b + 4t = 1 212 
 b + 3t = 2 964 
 
(D) 3b + 2t = 2 964 
 b + 2t = 1 212 
 
 3b + 2t = 1482 
(E) b + 3t = 606 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 32 
 
11. PLANO CARTESIANO 
11.1. INTRODUÇÃO 
 
Traçando dois eixos – Ox, ao qual chamaremos de eixos das 
abscissas, e Oy, que chamaremos eixos das ordenadas – de 
forma que ambos se interceptem perpendicularmente em 
O, o plano sobre o qual construímos esses eixos fica dividido 
em quatro quadrantes. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 Todos os pontos do plano poderão ser identificados 
por dois valores ordenados que chamamos par ordenado e 
representamos por ( x, y ). Assim, para todo ponto no 
plano cartesiano temos um par ordenado, e para todo par 
ordenado temos um ponto correspondente no plano. 
 Essa correspondência chamaremos de sistema cartesiano 
ortogonal e o plano será chamado de plano cartesiano ( o 
termo ortogonal refere-se ao perpendicularismo entre os 
eixos). Vamos ver os pontos do plano correspondentes aos 
pares ordenados A(3,1), B(-2,3), C(-4,-3), D(0,-2) e E(-5,0) 
 
EXERCÍCIOS 
1. (COTIL 2002) Observando o plano cartesiano a seguir, 
dê os pares ordenados de cada ponto representado no 
gráfico. 
 
COTIL ( , ) 
Restaurante ( , ) 
Cantina ( , ) 
Gráfica ( , ) 
 
2.(SENAI) Um mapa rodoviário foi desenhado sobre o sistema 
de coordenadas cartesianas, para localizar uma reserva 
florestal. O segmento AB indica um trecho da rodovia principal, 
o segmento AC a estrada de acesso à reserva e M é o ponto 
médio de AB. No mapa, a estrada AC mede, em quilômetros, 
 
 
 
a. 4. c. 6. e. 8. 
b. 5. d. 7. 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 33 
 
12. FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
12.1.Definição 
 
 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função 
afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da 
forma 
f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. 
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de 
coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. 
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: 
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
 
12.2.Gráfico 
 
 O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + 
b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. 
 Exemplo: 
 Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: 
 Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus 
pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: 
 a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um 
ponto é (0, -1). 
 
 b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x = 
1
3
 e 
outro ponto é ( 
1
3
 , 0 ) 
 Marcamos os pontos (0, -1) e ( 
1
3
 , 0 ) no plano 
cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 
x y 
0 -1 
 
0 
 
 
 Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma 
reta. 
 O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da 
reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da 
reta em relação ao eixo Ox.O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da 
reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente 
linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1.(SENAI 2008) A função horária de um ponto material é 
dada por S = 15 - 3 t, com t em segundos e S em metros. 
Podemos afirmar que o ponto material passa pela origem 
dos espaços no instante igual a 
a. 3 s. 
b. 4 s. 
c. 5 s. 
d. 6 s. 
e. 10 s. 
 
 
2.(SENAI 2008) Duas forças horizontais, de sentidos 
opostos, com intensidades 10 e 15 N, atuam num corpo que 
está livre de atrito e que tem massa de 2,5 kg. A aceleração 
que a força resultante imprime ao corpo é, em m/s
2
, de 
a. 1,5. 
b. 2,0. 
c. 4,0. 
d. 5,0. 
e. 7,5. 
 
3.(SENAI 2008) A energia mecânica de um sistema 
conservativo é de 180 J. Se num dado instante a energia 
cinética é de 120 J, a energia potencial é, nesse mesmo 
instante, de 
a. 180 J. 
b. 120 J. 
c. 100 J. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 34 
 
d. 80 J. 
e. 60 J. 
 
 
4.(TRAJANO 2008) Imaginando-se que o barco de Hagar 
desloque-se por um mar, onde a densidade da água é 
constante em qualquer ponto, pode-se afirmar que a força 
de empuxo que age no navio 
(A) diminui com o aumento da carga transportada. 
(B) diminui com a diminuição da carga transportada. 
(C) aumenta com a diminuição de carga transportada. 
(D) aumenta o espaço percorrido devido ao aumento de 
velocidade média. 
(E) diminui a velocidade média, provocando uma 
diminuição no espaço percorrido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 35 
 
13. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
13.1.Definição 
 
 Função exponencial é uma função na qual a 
variável (incógnita) se encontra no expoente. 
 
 A função exponencial pode ser escrita de forma geral, 
veja como: 
 
 f : R → R*+ tal que f(x) = ax, seﾐdo ケue a R*+ e a ≠ ヱ. 
 
 
 Essa representação significa: dada uma função dos 
reais para os reais positivos, menos o zero, sendo que a 
função exponencial terá base さaざ onde さaざ só poderá 
assumir valores positivos diferentes de zero e diferentes 
de 1. 
 
 
Veja alguns exemplos de funções exponenciais: 
 
f(x) = 3
x
, função exponencial de base 3 e expoente x 
(variável). 
 
f(y) = 3
 y
, função exponencial de base 3 e expoente y 
(variável). 
 5 
 
f(x) = 0,5
x
, função exponencial de base 0,5 e expoente x 
(variável). 
 
f(x) = , função exponencial de base 5 e expoente x 
(variável). 
 
 
 
 
13.1. Gráfico de função exponencial 
 
 A construção de gráficos de função exponencial segue 
dois modelos, quando o valor da base é maior que 1 e 
quando o valor da base está entre 0 e 1. Veja esses modelos 
esboçados: 
 
 Dada a função f(x) = a
x
, veja como ficarão os 
gráficos dependendo do valor de a (base). 
 
 
 
• Esse gヴáfiIo ヴepヴeseﾐta uﾏa função exponencial 
crescente onde a > 1. 
 
 
• Iﾏageﾏ e doﾏíﾐio: ┝1 e x2 são os valores do domínio 
dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da 
imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre 
(quando o valor da base é maior que 1) um valor real 
positivo diferente de zero. 
 
 
 
• Esse gヴáfiIo ヴepヴeseﾐta uﾏa fuﾐção e┝poﾐeﾐIial 
decrescente onde 
0 < a < 1. 
 
• Iﾏageﾏ e domínio: x1 e x2 são os valores do domínio 
dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da 
imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre 
(quando o valor da base é maior que 1) um valor real 
positivo diferente de zero. 
 
 Os dois tipos de gráficos possuem características 
semelhan-tes, essas são características para qualquer 
gráfico de função exponencial. 
 
• O gヴáfiIo ふIuヴvaぶ ﾐunca irá interceptar o eixo x, pois a 
função exponencial não possui raiz. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 36 
 
 
• O gヴáfiIo ふIuヴvaぶ iヴá Ioヴtaヴ apeﾐas o ei┝o ┞ e seﾏpヴe seヴá 
no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão 
positivos. 
 
EXERCÍCIOS 
1.(SENAI 2008) O voluﾏe d’água ケue ヴesta, após abrir o 
ヴegistヴo de uﾏa Iai┝a Ioﾏpletaﾏeﾐte Iheia d’água, pode 
ser obtido por meio da expressão: V = 900 ( 
2
3
 )t - 2, em que 
V iﾐdiIa o voluﾏe eﾏ litヴos d’água ケue resta na caixa após o 
registro ficar aberto t minutos. O tempo para que restem na 
caixa 600 L é 
a. 2,0 minutos. 
b. 2,6 minutos. 
c. 2,8 minutos. 
d. 3,0 minutos. 
e. 3,5 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 37 
 
14. ELEMENTOS FUNDAMENTAIS 
DA ...GEOMETRIA PLANA E 
SEMELHANÇA ...DE FIGURAS 
PLANAS. 
 
14.1. Introdução a geometria 
14.1.1. Conceitos primitivos 
 São conceitos que não tem definição, aceitamos como 
verdadeiro para a partir disso formar uma teoria. 
a) Ponto: Ponto não tem definição, apenas uma idéia 
intuitiva. O ponto é adimensional, isto é, não tem 
dimensão, e podemos representá-lo por uma letra 
maiúscula do nosso alfabeto. 
 
 
 Exs.:  A ふ Poﾐto さAざぶ 
 
  G 
 
 
 
b) Reta: Podemos ter uma idéia de uma reta como infinitos 
pontos alinhados. A reta é unidimensional, uma 
dimensão, e podemos representá-la por uma letra 
minúscula do nosso alfabeto, ou por dois de seus 
pontos. 
 
Exs.: 
 
 ou 
 
 
 
 
 
c) Plano: Podemos ter uma idéia de plano como sendo uma 
superfície plana de tamanho infinito. O plano é 
bidimensional, duas dimensões, e podemos representá-
lo por uma letra minúscula do alfabeto grego. 
 
Ex. 
 
 α 
 
 Plano Alfa 
 
 
 
Ponto, reta e plano relacionam-se entre si de certas 
proprie-dades não demonstráveis, chamadas postulados. 
Entre os postulados da geometria plana, é importante que 
você guarde os dois seguintes: 
 
 Toda reta é formada por infinitos pontos. 
 Todo plano contém infinitas retas e também infinitos 
pontos 
 
 
14.1.2. Elementos básicos 
 
a) Semi-reta: Dada uma reta qualquer, um ponto dessa 
reta divide a mesma em duas semi-retas. 
 
Ex. 
 
 
Indica-se AB 
 
b) Segmento de reta: Dada uma reta qualquer e dois pontos 
dessa reta, o segmento e a região limitada entre esses dois 
po 
 
 Ex. 
 
 
 Indica-se AB 
 
c) Semiplano: Sabemos que um plano contém infinitas 
retas. Com uma reta r, dividimos o plano em dois 
Ioﾐjuﾐtos de poﾐtos, situados Iada uﾏ eﾏ uﾏ dos さlados 
da ヴetaざ 
 Chama-se semiplano (de origem r) cada um dos 
conjuntos de pontos em que um plano fica dividido por 
uma reta r, incluindo a própria reta. 
 
 Ex. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 38 
 
14.2. Ângulos 
 
14.2.1. Definição 
 
 Ângulo é a região formada por duas semi-retas a partir 
da mesma origem. Cada semi-reta é chamada de lado do 
ângulo e o ponto de origem é denominado vértice. 
 
 â = ângulo 
 
 OA = semi-reta 
 
 OB = semi-reta 
 
Podemos também representar o ângulo como: 
 AÔB, BÔA ou Ô. 
 
 
14.2.2. Classificação dos ângulos 
a) Ângulo agudo: ângulo menor que 90º 
 
Exs.: 
 
 
 
 
 
b) Ângulo obtuso: ângulo que possui uma medida maior 
que 90º e menor que 180º 
 
Exs.: 
 
 
 
 
 
c)Ângulo reto: ângulo que possui uma medida igual a 90º 
 
Exs.: 
 
 
Obs.: Quando duas retas formam entre si um ângulo de 90º, 
denominamos retas perpendiculares. 
 
d) Ângulo raso ou de meia volta: ângulo que possui uma 
medida igual a 180º 
 Ex.: 
 
e) Ângulos complementares: Dois ângulos são complemen-
tares quando a soma de suas medidas é igual a 90º 
 
Exs.: 
 70º + 20º = 90º α + β = 90º 
 70º é o complementar de α Y o Ioﾏpleﾏeﾐtaヴ 
........... 20º e vice-versa de β e viIe-versa 
 
 
f) Ângulos suplementares: Dois ângulos são suplementares 
quando a soma de suas medidas é igual a 180º 
 
Ex.: 
 
 
 
g) Ângulos replementares: Dois ângulos são replementares 
quando a soma de suas medidas é igual a 360º 
 
Ex.: 
 
 
 h) Ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulos são opostos 
pelo vértice quando os lados de um são semi-retas opostas 
dos lados do outro 
 
Ex. 
 
 
 α e θ = são opostos pelo vértice 
 β e σ = são opostos pelo vértice 
 
 Atenção: 
 
 Todos os ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) são 
congruentes, isto é, possuem a mesma medida: 
 α = θ e β = σ 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 39 
 
 Duas retas concorrentes que formam quatro Ângulos 
retos são chamadas de retas perpendiculares. 
 
 
 
14.2.3. Bissetriz de um ângulo 
 É a semi-reta de origem no vértice do ângulo e que o 
divide em dois outros ângulos de mesma medida. 
 
 
 
14.2.4 Medidas de ângulos 
 A principal unidade usada para se medir ângulos (tanto 
na geometria quanto na vida prática) é o grau. 
 A unidade grau é subdividida em unidades menores ( 
submútiplos) que são o minuto e o segundo, de tal modo 
que: 
  Cada grau é formado poヴ ヶヰ ﾏiﾐutos: ヱº = ヶヰ’ 
  Cada ﾏiﾐuto Y foヴﾏado poヴ ヶヰ seguﾐdos ヱ’ = ヶヰざ 
 
14.3. Paralelismo de Retas 
 Duas retas são paralelas quando, estando contidas no 
mesmo plano, não possuem nenhum ponto em comum. 
 
 
 
 
 
14.3.1. Postulado de Euclides 
 
 Por um ponto fora de uma reta, existe uma única reta 
paralela à reta dada. 
Obs.: Duas retas coincidentes também são paralelas; neste 
caso eles tem todos os pontos em comum. 
 
 
14.3.2. Paralelas com transversais 
 
 Dadas duas retas paralelas, chama-se reta transversal 
qualquer reta que intercepte ambas as paralelas. Essa 
transversal determina, na intersecção com uma das 
paralelas, quatro ângulos e, na intersecção com outra 
paralela, mais quatro ângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura certos pares de ângulos recebem nomes especiais 
 
 Ângulos correspondentes: â e m, b e n, c e p, d eq 
 Ângulos alternos internos: c e m, d e n 
 Alternos externos : a e p, b e q 
Ângulos colaterais internos: d e m, c e n 
 Ângulos colaterais externos: a e q, b e p 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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^ ^ ^ ^ 
^ ^ ^ ^ 
Teorema fundamental do paralelismo de retas 
 Duas restas paralelas, cortadas por uma transversal, 
determinam ângulos correspondentes congruentes, 
isto é de mesma medida. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 40 
 
 
Na figura acima temos: b = n , c = p , d = q, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.4. Polígonos 
 
Observe as figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas figuras B, C e D, o contorno é formado exclusiva-
mente por segmentos; nas figuras A e E, o contorno tem 
partes curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
 Dessa forma, as figuras B, C e D são polígonos, enquanto 
que A e E não. 
 Em todos os polígonos temos os seguintes elementos: 
...........................Lados, vértice e diagonais. 
Observe a figura que segue: 
 
Lados: 
São segmentos que cortam os contornos: AB, BC, CD, etc. 
 
Vértices: 
São pontos comuns a dois lados consecutivos: A, B, C, D, 
etc. 
 
Diagonais: 
São os segmentos que unem dois vértices não consecutivos: 
AE, AD, BF, CE, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, 
determinam ângulos alternos congruentes 
^ ^ ^ ^ ^ ^ 
Duas retas paralelas cortadas por uma transversal, 
determinam ângulos colaterais suplementares, isto 
é, suas medidas somam 180º 
Chamaremos de polígonos as regiões do plano cujos 
contornos são formados apenas por segmentos 
__ __ __ 
__ __ __ __ 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 41 
 
14.4.1 Classificação 
 A classificação dos polígonos pode ser feita de dois modos 
diferentes: ou em relação ao número de lados, ou em 
relação ao número de ângulos. 
Assim temos: 
 Ao nº de lados Ao nº de lados 
3 Trilátero Triângulo 
4 Quadrilátero Quadrilátero 
5 Pentalátero Pentágono 
6 Hexalátero Hexágono 
7 Heptalátero Heptágono 
8 Octalátero Octógono 
9 Enealátero Eneágono 
10 Decalátero Decágono 
11 Undecalátero Undecágono 
12 Dodecalátero Dodecágono 
..
. 
..
. 
..
. 
15 Pentadecalátero Pentadecágono 
..
. 
..
. 
..
. 
20 Icosalátero Icoságono 
Os polígonos ainda podem ser : 
REGULARES: quando possuem: 
- todos os ângulos internos congruentes 
- todos os lados também congruentes 
IRREGULARES: 
- quando pelo menos uma das duas condições acima não é 
verificada 
 
14.4.2. Diagonal 
Denomina-se diagonal de um polígono o segmento de reta 
que une dois vértices não-consecutivos dele. 
Número de diagonais: d = 
� �−惣 匝 
 
 
 
 
 
14.5. Semelhança de figuras planas 
 
14.5.1. Semelhança de Triângulos 
Teorema (AAA) 
 Dois triângulos são semelhantes quando possuem 
respectivamente congruentes as medidas dos ângulos, e 
as medidas dos lados correspondentes, respectivamente 
proporcionais. 
 
Lados correspondentes ou homólogos: lados que se opõem 
a ângulos congruentes 
 
A A´ 
B B´ 
C C´ ABC ~A´B´C´ 
 
AB
A´B´
 = 
BC
B´C´
 = 
CA
C´A´
 
Nota: ~ ....lê-se: semelhante 
 
Teorema (LAL) 
 Dois triângulos são semelhantes quando possuem 
congruente a medida de um ângulo compreendido entre 
lados proporcionais. 
 
^ ^ 
^ ^ 
^ ^ ^ ^ 
^ ^ 
^ ^ 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 42 
 
A A´ 
 ABC ~ A´B´C´ 
AB
A´B´
 = 
AC
A´C´
 
 
Teorema (ALA) 
 Dois triângulos são semelhantes quando possuem as 
mesmas medidas de dois ângulos congruentes. 
 
A A´ 
 ABC ~A´B´C´ 
C C´ 
 
Teorema (LLL) 
Dois triângulos são semelhantes quando possuem as 
medidas dos três lados respectivamente proporcionais. 
 
AB
A´B´
 = 
BC
B´C´
 = 
CA
C´A´
  ABC ~A´B´C´ 
 
14.5.2. Semelhança de Polígonos 
Definição 
 Dois polígonos são semelhantes quando possuem o 
mesmo número de lados, as medidas dos ângulos 
respectivamente congruentes e as medidas dos lados 
respectivamente proporcionais. 
Teorema 
 Dois polígonos são semelhantes quando for possível a 
sua decomposição em triângulos respectivamente 
semelhantes. 
Teorema 
 As medidas dos perímetros de dois polígonos 
semelhantes estão entre si assim como a razão de dos lados 
correspondentes. 
 
Obs.: 
Perímetro  é a soma das medidas dos lados de um 
polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
^ ^ 
^ ^ 
^ ^ 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 43 
 
15. RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
.....TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
15.1. Introdução 
 
 Triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto 
(90º graus). 
 
 
 
 
 
 
15.2. Teorema de Pitágoras 
 
 Num triângulo retângulo, o quadradoda hipotenusa é 
igual a soma dos quadrados dos catetos. 
 
 
 
Exs.: 
 Aplicando o teorema de Pitágoras, calcule o valor de x; 
a) 
 
 
 
 
Solução: 
 a
2
 = b
2
 + c
2
 
x
2
 = 3
2
 + 4
2
 
x
2 
= 9 + 16 
x
2
 = 25 
x = 25 
x = 5 
 
b) 
 
 
 
Solução: 
 a
2
 = b
2
 + c
2
 
 6
2
 = x
2
 + x
2
 
 2x
2 
= 36 
 x
2
 = 18 
 x = 18 
 x = 3 匝 
 
15.3. Elementos de um triângulo retângulo 
 Seja o triângulo retângulo: 
 
 
 
 
 
a = medida da hipotenusa BC 
b = medida do cateto AC 
c = medida do cateto AB 
h = medida da altura AE 
m = medida da projeção AC sobre a hipotenusa 
n = medida da projeção AB sobre a hipotenusa 
 
 No triângulo ABC, são válidas as relações métricas: 
 
a2 = b2 + c2 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exs: 
Calcule o valor de x, nos seguintes triângulos retângulos: 
a) 
 
Solução: y
2
 = 2 · 8 
 y
2
 = 16 
 y = 16 
 y = 4 
 
b) 
 
 
Solução: y
 
 · 3 = 2 · 3 
 3 y = 6 
 y = 
6 3 · 3 3 
 y = 
6 3
3
 
 y = 2 惣 
 
 
c) 
 
 
Solução: y
2
 = 4 ·9 
 y
2
 = 36 
 y = 36 
 y = 6 
 
15.3.1. Cálculo da altura de um triângulo eqüilátero 
 Considerando o triângulo ABC abaixo, temos: 
 
 L 
2
 = (L /2)
2
 + h
2 
 e a altura será dada 
pela .......fórmula: 
 
 
 
 
b2 = m · a c2 = n · a 
a · h = b · c 
h2 = m · n 
h = 
L 3
2
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 45 
 
15.3.2. Cálculo da diagonal de um quadrado 
 Considerando o quadrado ABCD e uma diagonal BC. 
 No triângulo BCD, temos: 
 
 d
2
 = L
2
 + L
2
 
 d
2
 = 2 L
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d = L 2 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 46 
 
16. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Definimos no triângulo retângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seno (Sen)= 
cateto oposto
hipotenusa
 
Cosseno(Cos) = 
cateto adjacente
hipotenusa
 
Tangente(Tg) = 
cateto oposto
cateto adjacente
 
 
Exs.: 
1) Calcular o seno, cosseno e a tangente do ângulo α 
 
 
 
 α 
 
 
Sen α = cateto oposto
hipotenusa
 = 
c
a
 
Cos α = cateto adjacente
hipotenusa
 = 
b
a
 
Tg α = cateto oposto
cateto adjacente
 = 
c
b
 
 
 
 
2) Calcular Sen, Cos e Tg de α 
 
 
 
 
Sen α = cateto oposto
hipotenusa
 = 
9
15
  Sen α = 3
5
 
Cos α = cateto adjacente
hipotenusa
 = 
12
15
  Cos α = 4
5
 
Tg α = cateto oposto
cateto adjacente
 = 
9
12
  Cos α = 3
4
 
 
16.1. Ângulos Notáveis 
 As razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 
60º aparecem freqüentemente nos problemas, tornando-
se conveniente a memorização desses valores. 
 30º 45º 60º 
Sen 
1
2
 
 2
2
 
 3
2
 
Cos 3
2
 
 2
2
 
1
2
 
Tg 3
3
 1 3 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 47 
 
Exs.: 
1) Calcule o valor de x no triângulos retângulo que segue: 
Solução: 
....................Cos 60º = 
x
10
 
 
1
2
 = 
x
10
 
 2x = 10 
 x = 5 
2) No triângulo ABC da figura seguinte, determine as 
medidas a e c indicadas. 
 Solução 
 Sen 30º = 
10欠 
 
1
2
 = 
10
a
 
 a = 2 · 10 
 a = 20 
 
 
 Aplicando o Teorema de Pitágoras 
 a
2
 = b
2
 + c
2
 
.....................................................................20
2
 = 10
2
 + c
2
 
 c
2
 = 300 
 c = 300 
 c = 10 惣 
Funções trigonométricas 
Função Seno 
Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, 
chama-mos de função seno à função que associa a cada x ∈ 
R o nu-mero (senx) ∈ R. Indicamos essa função por: 
f(x) = sen(x) 
O gráfico da função seno, no plano cartesiano, será uma 
curva denominada senóide. Atribuindo valores ao arco x, 
pode-se chegar ao gráfico. 
 
Propriedades: 
- Domínio: R 
- Imagem: [-1;1] 
- Período: 2πrad 
 
 
Função Co-seno 
Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, 
chamamos de função co-seno à função que associa a cada x ∈ R o número (cosx) ∈ R. Indicamos essa função por: 
f(x) = cos(x) 
O gráfico da funcão co-seno, no cartesiano, será uma curva 
denominada co- senóide. Atribuindo valores ao arco x, 
pode-se chegar ao gráfico. 
 
Propriedades: 
- Domínio: R 
- Imagem: [-1;1] 
- Período: 2πrad 
Função Tangente 
Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, 
chamamos de função tangente à função que associa a cada 
x ∈ R/┝ ≠ π/ヲ+kπ o ﾐúﾏeヴo ふtgx) ∈ R. Indicamos essa função 
por: 
f(x) = tg(x) 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 48 
 
O gráfico da função tangente, no cartesiano, será uma curva 
denominada tangentóite. Atribuindo valores ao arco x, 
pode-se chegar ao gráfico. 
 
Propriedades: 
- Domínio: 
 
- Imagem: R 
- Período: πrad 
 
Exercícios 
1.(SENAI 2008) Numa determinada região, onde lobos são 
predadores e ovelhas são as presas, a população de ovelhas 
P (em milhares) variou de acordo com a função dada por 
P(t) = 4 + 1,5.sen (45°t), sendo o tempo t medido em anos, a 
partir de janeiro de 2004. Nessas condições, após 4 anos 
dessa data, a população de ovelhas nessa região será igual a 
a. 4.000. 
b. 4.500. 
c. 5.000. 
d. 5.500. 
e. 6.000. 
 
2.(SENAI 2008) Uma caixa é arrastada por uma corda que 
forma 60° com a direção do deslocamento. A força de 
tração na corda é de 20 N e a caixa se desloca em 12 m. 
Dado que cos 60° = 
1
2
 , o trabalho da força de tração é, em 
joules, de 
a. 120. 
b. 150. 
c. 160. 
d. 200. 
e. 240. 
 
3.(Trajano 2008) O quadrilátero ABCD pode ser 
decomposto nos triângulos ABD e BCD, conforme a figura. 
(A) 0,4. 
(B) 0,5. 
(C) 0,6. 
(D) 0,7. 
(E) 0,8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 49 
 
Tabela Trigonométrica de Ângulos de 1º a 90º 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 50 
 
17. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
17.1. Área dos principais polígonos 
Quadrado 
 A = lado · lado 
 A = lado 2 
 
Retângulo 
 A = b · h 
 
 
Losango 
 
 
 A = 
� · 袈匝 
 
 
Trapézio 
 
 
 A = 
 �+郡 · �匝 
 
 
Paralelogramo 
 
 A = b· h 
 
 
 
Triângulo 
 
 A = 
郡 · �匝 
 
 
 
Círculo 
 A =  · r2 
 
 
Coroa Circular 
 
A = R2 - r2 
A =  (R2 – r2) 
 
Setor Circular 
 Todo ângulo central determina no círculo uma região 
chamada circular. 
Podemos calcular a área A do setor 
circular pela regra de três 
 r2 360º 
 A n 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 51 
 
Exercícios 
1.(SENAI 2008) Um hotel fazenda dispõe de uma área 
retangular, medindo 60 m de comprimento e 30 m de 
largura onde serão construídos três depósitos para 
armazenamento de materiais e um jardim, conforme indica 
a figura: 
 
 
Se o jardim deverá ocupar uma área de 120 m
2
, cada 
armazém terá, em m2, uma área igual a 
a) 740. 
b) 720. 
c) 680. 
d) 600. 
e) 560. 
 
2.(SENAI 2008) Uma roda gigante, de raio 8 m, dista do solo 
1,5 m. A roda está girando com três rapazes: João,Paulo e 
Francisco. À distância entre João e Francisco é a mesma que 
entre Francisco e Paulo, que é a mesma entre João e Paulo, 
como mostra a figura: 
Dados: sen 30° = 0,5. 
cos 30° = 0,87. 
tg 30° = 0,58. 
 
 
 
 
 
 
 
No momento em que Francisco está no ponto mais alto da 
roda gigante, a altura de João em relação 
ao solo é de 
 
a) 5,5 m. 
b) 5,0 m. 
c) 4,5 m. 
d) 4,0 m. 
e) 3,5 m. 
 
3.(SENAI 2008) Uma cafeteira de forma cilíndrica reta, 
medindo 4 cm de raio da base e 20 cm de altura, armazena 
80% de sua capacidade de café. A quantidade de café existente 
na cafeteira corresponde.a: 
 Considere:  = 3. 
a) 384 mL. 
b) 576 mL. 
c) 768 mL. 
d) 982 mL. 
e) 1.536 mL. 
 
 
PARA RESPONDER ÀS QUESTÕES 4 E 5, 
CONSIDERE O TEXTO E A FIGURA A SEGUIR. 
 
 A pipa, também conhecida como papagaio ou 
quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores 
portugueses no século XVI. 
Para montar a pipa, representada na figura, foram 
utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de 
seda, cola e linha. As varetas são fixadas conforme a fi 
gura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada 
em todas as pontas da estrutura, e o papel é colado de 
modo que a extremidade menor da estruturada pipa 
fique de fora. 
 
 
4. (Trajano 2007) O comprimento da linha que passa pelos 
pontos A, B e C do contorno da estrutura da pipa, em 
centímetros, é: 
a) 4 • (4 + 17). d) 18 • 19. 
b) 2 • (8 + 19). e) 20 • √17 . 
c) 16 + 17. 
 
5. (Trajano 2007) Na figura, a superfície sombreada 
corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A 
área dessa superfície sombreada, em centímetros 
quadrados, é 
 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 52 
 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
6. (Cotil 2004) Durante anos, uma indústria despejou seus 
detritos em uma área de terra demarcada entre os pontos 
representados na figura abaixo. Agora essa área precisa ser 
despoluída paヴa a Ioﾐstヴução do paヴケue aケuátiIo さNeto 
Baヴヴetoざ. “aHeﾐdo ケue: 
 
AC = 3 Km 
AB=BC=CD=AD = 1,7 Km e 
AC é perpendicular a BD 
 
 
 
 
A área (em km
2
 ) a ser despoluída será de: 
 
a) 48 
b) 4,8 
c) 2,4 
d) 24 
e) 1,2 
 
7. (Cotil 2005) Segundo repórteres da revista Mundo 
Estranho – Especial Olimpíadas 2004, uma piscina olímpica 
faz qualquer piscina de prédio parecer uma banheira metida 
a besta. E não é só no tamanho que serve de documento: os 
blocos de largura têm piso antiderrapante, a água é 
mantida a 27 graus e a divisão entre as raias evita a 
formação de marola. Além disso, fazem parte do show 
bandeiras sensores, cordas, juízes. Sabendo que a piscina 
olímpica possui 150m de perímetro e 1.250 m
2
 de área, 
quais devem ser as suas dimensões? 
 
a) 40m e 35m 
b) 45m e 30m 
c) 55m e 20m] 
d) 50m e 25m 
e) 39m e 36m 
 
 
 
 
 
 
 
8.(PSS-SEE/SP) Observe as afirmações abaixo: 
 
I. Se dobrarmos as dimensões de um reservatório de água 
que tem a forma de um cubo, dobramos também o seu 
volume. 
II. Se dobrarmos as dimensões de um terreno quadrado, sua 
área também dobrará. 
III. Se dobrarmos as dimensões de um terreno quadrado, 
seu perímetro também dobrará. 
IV. Se dobrarmos as dimensões de um reservatório de água 
que tem a forma de um cubo, o seu volume será 
multiplicado por 8. 
 
São verdadeiras apenas: 
a) I e III. 
b) II e III. 
c) III e IV. 
d) II, III e IV. 
e) I, II e III. 
 
5.(PSS-SEE/SP) O tangram é um quebra cabeças chinês 
muito utilizado pelos professores para desenvolver e/ou 
aplicar 
diversos conceitos. Ele é composto de 7 peças e construído 
a partir de um quadrado. Sabe-se que a área da 
região assinalada (paralelogramo, triângulo menor e 
triângulo maior ) é de 28 cm². 
 
 
 
 
Assim, a área do quadrado maior (composto pelas 7 peças) 
é 
a) 8cm
2
 . d) 32cm
2
 . 
b) 16cm
2
 . e) 64cm
2
 . 
c) 24cm
2
 . 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 53 
 
18. SÓLIDOS..GEOMÉTRICOS 
 
Volumes de Sólidos 
 Este tema é complexo para os alunos, uma vez que têm 
grande dificuldade em reduzir à mesma unidade de medida, 
os valores dados para o cálculo de áreas e volumes. Vai ser 
dividido em três partes, na primeira apresenta-se um 
esquema que os alunos podem ter sempre presente, quando 
necessitarem de reduzir as unidades de medida . Na 
segunda e terceira parte apresentam-se as fórmulas para o 
cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas mais 
utilizadas. 
 
1. Unidades de medida de áreas e de volumes; 
2. Áreas de Sólidos; 
3. Volumes de Sólidos; 
 
 
 
18.1 Unidades de medida de volume; 
 
 O cálculo de volumes, os valores dados têm que estar 
sempre na mesma unidade de medida e que quando tal não 
acontece temos de efetuar a redução à mesma unidade. 
Relembrar, como tal se efetuar, recorrendo ao seguinte 
esquema: 
 
Unidades de Área: 
 
 
 
 
Unidades agrárias: 
 
 
Unidades de Volume: 
 
 
 
 
Unidades de Capacidade: 
 
 
 
 
Quando se calcula a área de uma figura geométrica a sua 
unidade de medida aparece sempre ao quadrado (por 
exemplo, em metros quadrados). 
 
 
 
 
 
 
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Unidades de medida de área e de volume
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Áreas de Sólidos;
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Áreas de Sólidos;
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Volumes de Sólidos;
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Volumes de Sólidos;
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Unidades de medida de área e de volume
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 54 
 
18.2 Volumes de Sólidos; 
 
O cálculo do volume de figuras geométricas, 
 
 
 
a) A figura representa tridimensionalmente um prisma reto; 
b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área 
da base pela altura do sólido, isto é 
 
 
c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas; 
d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma 
forma que o volume de um prisma reto. 
Formulário das figuras geométricas 
 
Figuras Geométricas: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1.(SENAI 2008) Um designer foi contratado por um fabricante 
de perfumes para projetar uma embalagem do seu novo 
perfume que será lançado com o nome de Cleópatra. A 
embalagem idealizada pelo designer foi uma pirâmide 
quadrangular cuja área da base mede 25 cm
2
. Se o volume da 
embalagem deve 
ser de 50 cm
3
, a altura dessa embalagem deverá medir 
a. 2 cm. 
b. 4 cm. 
c. 5 cm. 
d. 6 cm. 
e. 8 cm. 
 
 
 
 
2.(SENAI 2008) Uma companhia de transporte rodoviário 
transporta objetos de tamanho tal que a soma de suas 
dimensões (comprimento, largura e altura) não exceda a 15 m. 
Assim, uma caixa na forma de um cubo cujo volume é 64m3 
a. poderá ser transportada pois a soma de suas dimensões é 16 
m. 
b. não poderá ser transportada, pois a soma de suas dimensões 
é 18 m. 
c. poderá ser transportada pois a soma de suas dimensões é 6 
m. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 55 
 
d. não poderá ser transportada, pois a soma de suas dimensões 
é 20 m. 
e. poderá ser transportada pois a soma de suas dimensões é 12 
m. 
 
 
3. (TRAJANO 2008) 
 
Para Hagar, a Terra tem a forma de um cubo, porém, na 
realidade, pode-se considerá-la uma esfera de raio R. 
Sabendo-se que o volume de uma esfera de raio R é dado 
por 
想惣  r3 e imaginando-se que a Terra cúbica de Hagar 
tenha o mesmo volume da Terra real, então a aresta desse 
cubo, escrita em função de R, é igual a: 
a. ( 4
3
 3
 ) . R 
 
b. 4R
3
 3
 
 
c. ( 
 43
3
 )R 
 
d. 
2
3
  R 
 
e. . 
4
3
  R 
 
 4.(Trajano 2008) A Lei de Gravitação Universal, proposta 
por Isaac Newton, permite dizer que a força de atração 
entre duas massas diminui conforme aumenta a distância 
entre elas. Sendo mais preciso, quando aumenta a distância 
entre seus centros de massa. Dependendo da geometria do 
corpo, o centro de massa coincide com o centro 
geométrico. 
Considerando o mundo cúbico de Hagar, inclinado 
exatamente como o mostrado na tirinha, a força de atração 
entre a massa desse mundo e a massa do navio terá maior 
intensidade quando o navio estiver situado 
(A) na face inferior do cubo. 
(B) em qualquer aresta do cubo. 
(C) em qualquer vértice do cubo. 
(D) no ponto médio da face superior do cubo. 
(E) apenas nos pontos médios das arestas do cubo. 
 
 
 
5.(Trajano 2006) 
 
さ Eﾏ ヱΒΓΒ, aos ヲヵ aﾐos, 
Santos Dumont construiu o 
Halão さBヴasilざ, ケue 
apresentava a forma esférica 
e sua cor, quase 
transparente, se devia à 
criatividade de Santos 
Dumont, que adotou a seda 
japonesa, mais resistente e 
mais leve para sua 
construção. O balão depois 
de pronto apresentava 
volume igual a 113 metros 
cúbicos de gás hidrogênio e 
área da superfície igual a 113 metros quadrados de seda 
japoﾐesaざ 
 
 
Marcelo estava lendo o texto anterior sobre a vida e obra 
de Santos Dumont e questionou: Será que é possível o 
número que expressa o volume de um balão ser igual a 
número que expressa a área da superfície?. 
Para tirar a dúvida, ele foi pesquisar e descobriu que numa 
esfera de raio R, R > 0 o volume é dado por: 
 
E a área da superfície e dada por: A = 4  R2 
 
Logo concluiu que esses números: 
a. Nunca podem ser iguais 
b. Seriam iguais para um único valor de raio 
c. Seriam iguais para dois valores distintos de raio 
d. Seriam iguais para três valores distintos de raio 
e. Seriam iguais para mais de três valores distintos de raio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 56 
 
19. Análise combinatória e 
probabilidade 
 
 
19.2. Princípio fundamental da contagem 
 Se uma tarefa tem k etapas, e cada etapa pode ser 
feita de ni maneiras diferentes, então o número total de 
alternativas é 
 n1n2 ... np 
 
19.3. Permutação 
 Considere n objetos diferentes. De quantas 
maneiras podemos dispor (permutar) esses objetos? 
Exemplo: 
 Objetos a, b, c. Permutações: abc, acb, bac, bca, cab, cba. 
 
Para さnざ objetos, o número de permutações é: 
 Pn = n(n-1)...1 
 
 
19.4. Arranjo 
 Considere n objetos diferentes. De quantas 
maneiras podemos escolher p (p ≤ ﾐぶ desses oHjetos? “e a 
ordem de escolha é importante, temos um arranjo de n 
objetos, tomados p a p. 
Exemplo: Arranjo de 3 objetos (a, b, c), tomados 2 a 2 (n = 3 
e p = 2): ab, ac, ba, bc, ca, cb. 
Número de arranjos de n objetos, tomados p a p: 
A(n, p) = n(n-1)...(n-k+1) ou 
 
 
19.5. Combinação 
 Considere n objetos diferentes. De quantas 
maneiras podemos escolher p (p ≤ ﾐぶ desses oHjetos? “e a 
ordem de escolha não é importante, temos uma 
combinação de n objetos, tomados p a p. 
Exemplo: Combinação de 3 objetos (a, b, c), tomados 2 a 2 
(n = 3 e p = 2): ab, ac, bc. 
 
Número de combinações de n objetos, tomados k a k: 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Com as letras a, b, c, d, e, f quantos códigos de quatro 
letras poderão ser construídos se: 
a) nenhuma letra puder ser repetida? R: 360 
b) qualquer letra puder ser repetida qualquer número de 
vezes? R: 1.296 
 
2. Uma urna contém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra 
por letra, sem reposição. Qual é a probabilidade de sair a 
palavra ARARAS? R: 1/60 
 
 
3. Ao retirar quatro cartas, ao acaso e sem reposição, de um 
baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de se obter 
uma quadra (quatro cartas de mesmo número, uma de cada 
naipe)? R: 0,000048 
 
4. Qual é a probabilidade de sair três caras e duas coroas 
em cinco lançamentos de uma moeda?R: 5/16 
 
5.Seja um lote com 20 peças, sendo 5 defeituosas. Escolha, 
aleatoriamente, 4 peças do lote (uma amostra aleatória de 
quatro peças). Qual é a probabilidade de se obter, 
exatamente, duas defeituosas na amostra?R: 0,217 
 
)!(
!
),(
pn
n
pnA 
!)!(
!
ppn
n
p
n



Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 57 
 
6. (Difícil) Numa turma de n alunos, qual é a probabilidade 
de haver alguma coincidência de aniversário? 
R: 
 
7. Com auxílio de uma calculadora científica ou do 
computador, faça o exercício 6 para n = 30. R: 0,7063 
 
8.(SENAI 2008) Seis alunos fizeram um trabalho para a 
feira de ciências da escola, e dois deles deverão fazer a 
apresenta-ção em multimídia. O número de duplas que 
poderá ser for-mado para a apresentação 
desse trabalho é 
a. 15 
b. 20 
c. 25 
d. 30 
e. 35 
 
9.(SENAI) Numa partida de futebol, a probabilidade de 
Francis, o manhoso, ser escalado é de 
1
4
 , enquanto 
que a probabilidade de James, o destemido, ser escalado é 
de 
1
5
 . A probabilidade de apenas um deles ser escalado é 
 
a. 
1
20
 
 
b. 
2
9
 
 
c. 
7
20
 
 
d. 
11
20
 
 
e. 
7
9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
nA
P
365
),365(
1o)aniversári de iacoincidênc( 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 58 
 
20. NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
20.1. Definição 
 
 A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados 
pa-ra obtenção de dados, sua organização em tabelas e 
gráficos e a análise dos dados. 
 Através de análises feitas, a partir dos dados 
organizados, podemos, em muitos casos, fazer previsões, 
auxiliar na toma- da de desições e, assim, elaborar planos 
mais precisos para chegar a objetivos pretendidos. 
 
20.2. Conceitos Fundamentais 
 
População e Amostra – Em Estatística ao estudarmos um 
conjunto de objetos, de indivíduos ou de ocorrências, 
podemos considerar todo o conjunto, chamado de 
população, ou parte deste conjunto, chamado de amostra. 
Imagine, por exemplo, um campeonato quadrangular entre 
Flamengo, Botafogo, Atlético Mineiro e Grêmio, sendo 
realizado em um único dia, no Maracanã. Se quisermos 
saber qual é a composição da torcida que está no estádio, 
podemos desenvolver o estudo 
entrevistando:......................................... 
 
▪ o conjunto de todos os torcedores que estão no estádio 
(população); 
▪ ou parte desse conjunto de torcedores (amostra). 
 
Portanto: 
 
População são grupos, geralmente numerosos de mesmas 
características que podem ser estudados estatisticamente. 
 
 
Exemplos: 
 
 48 alunos que estudam na 5ª série de uma escola; Clubes 
campeões paulistas de futebol, etc. 
 
Amostras são partes de grupos de mesmas características, 
que geralmente são muito numerosos e que para ser 
verificado em sua totalidade seria muito dispendioso. 
 
Exemplos: 
 
10 alunos de uma escola com 995 alunos; 
2000 brasileiros ouvidos para uma pesquisa de opinião 
política, etc. 
 
 
 
 
20.3. Representação Gráfica 
 
 Dados estatísticos podem ser representadostanto por 
tabelas e por quadros de distribuição por freqüência quanto 
por gráficos. O uso gráfico para representar uma situação 
estatística pode muitas vezes expor melhor visualmente do 
que uma tabela estatística, porém o seu uso deve ser feito 
com bastante cautela, utilizando o gráfico adequado em 
cada situação, veja alguns casos: 
 
A) Gráfico de Colunas - é um tipo de gráfico muito 
utiliza-do em diversas situações, indica quantidades, 
porcentagens e de fácil comparação entre suas variáveis. 
 
 
 O gráfico acima mostra o desempenho de 3 alunos 
durante o ano num determinado curso, pode-se 
perfeitamente verifi-car que João teve o melhor 
desempenho, seguido de Maria e José teve o pior 
desempenho. 
 
 
B) Gráfico de Barras – também é um tipo de gráfico 
muito utilizado para comparar diversos tipos de dados e é 
uma outra variante do gráfico de colunas, sendo 
amplamente utilizado em jornais, revistas, 
empresas, etc. 
 
O gráfico demonstra a mesma situação do gráfico de 
colunas acima, ou seja, as notas de 3 alunos. 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 59 
 
 
C) Histograma – é um gráfico construído no plano 
cartesiano por retângulos em número igual ao número de 
classes da distribuição. Cada classe é representada por uma 
coluna de altura correspondente a sua freqüência. 
Trata-se também de um gráfico de área. É utilizado para 
variáveis contínuas, por isso, o gráfico também é contínuo: 
as colunas são justapostas. A área de cada coluna é 
proporcional à freqüência da classe que representa. Logo, a 
área de todo histograma é proporcional à soma total das 
freqüências. 
Para construir um histograma, representamos as classes no 
eixo das abscissas de um sistema cartesiano, utilizando 
segmentos de mesma medida. Para cada um deles, 
registramos os limites superior e inferior. No ápice do eixo 
das ordenadas, registramos o maior valor da freqüência, 
dividindo o restante proporcionalmente aos outros valores. 
Levantamos então as colunas, justapostas. 
................................................... 
 
 
 
 
 Quantidade de alunos 
 
 
 
 
D) Setores – Dos gráficos de Estatística, mais importante 
que a contribuição de Descartes foi a doescocês William 
Playfair, que trabalhava com estatísticas comerciais. Em 
1786 ele começou a inventar maneiras de representar 
dados numéricos por meio de figuras. Uma de suas criações 
foram os gráficos de barras ou colunas, como aqueles de 
João, José e Maria e suas notas bimestrais. Depois de 1801, 
ele 
inventou os gráficos de setores, também chamados de 
さtoヴtasざ ou さpizzasざ. Vejaﾏos uﾏ e┝eﾏplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico acima mostra a distribuição populacional nas 
grandes metrópoles brasileiras e permite um comparativo 
entre as quantidades de habitantes existentes em cada 
metrópole, sendo que não confunde o leitor e sim permite 
uma análise mais ampla da situação no momento. Veja 
tabela a seguir, geratriz desse gráfico: 
 
REGIÕES METROPOLITANAS POPULAÇÃO PERCENTUAL 
Grande S.P. (37 municípios) 15.444.900 37,30% 
Grande R.J. (15 municípios) 9.814.600 23,70% 
Grande B.H. (14 municípios) 3.436.100 8,30% 
Grande Porto Alegre (14 municípios) 3.026.800 7,30% 
Grande Recife (9 municípios) 2.874.500 6,90% 
Grande Salvador (8 municípios) 2.496.500 6% 
Grande Fortaleza (5 municípios) 2.307.000 5,60% 
Grande Curitiba (14 municípios) 2.000.800 4,80% 
TOTAL 41.401.200 100% 
 
 
 
 
Outro exemplo: Foi feita uma enquete a 1200 alunos de 
uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de 
ter na escola. O resultado obtido foi o seguinte: 
 
Atividade 
Esportiva 
Número de 
Alunos 
Voleibol 600 
Basquete 200 
Futebol 100 
Natação 50 
Outras 250 
 
 
Com esses dados pode-se construir uma representação 
gráfica de setores dessa distribuição, em que usaremos um 
círculo. Lembrando que uma circunferência completa tem 
360º, podemos calcular por meio 
de uma regra de três simples e direta o ângulo central 
correspondente a cada uma das atividades desejadas pelos 
alunos. 
 
Assim, temos: 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 60 
 
1200 ------------ 360º à v = 600 x 360º = 180º 
600 ------------ v 1200 
 
1200 ------------ 360º à b = 200 x 360º = 60º 
200 ------------ b 1200 
 
1200 ------------ 360º à f = 100 x 360º = 30º 
600 ------------ f 1200 
 
1200 ------------ 360º à n = 50 x 360º = 15º 
50 ------------ n 1200 
 
1200 ------------ 360º à o = 250 x 360º = 75º 
250 ------------ o 1200 
 
 
Com essas medidas, poderemos, então construir com o uso 
de régua e compasso um gráfico de setores de forma 
correta, utilizando-se de cores e legenda para representar 
melhor a opinião dos alunos quanto ao esporte praticado. 
Veja a construção com o professor. 
 
 
20.4. – Medidas de tendência central 
 
Há certas medidas que são típicas numa distribuição: as de 
tendência central (médias, medianas) e as de dispersão. 
 
20.4.1. Médias aritméticas 
 
Consideremos, em ordem crescente, um rol de notas 
obtidas por alunos de da turma A: 
Turma A: 2 3 4 4 5 6 7 7 7 7 8 
 
Sua média aritmética será a soma de todas as notas (60) 
dividido pela quantidade de notas (11) 
 
Média Turma A: 
2+3+4+4+5+6+7+7+7+7+8 
11
 = 
60
11
 
= = 5,45 
 
A média aritmética da turma A será 5,45 
 
Exercícios 
1.(SENAI 2008) Uma avaliação de Matemática foi aplicada em 
duas turmas, A e B, da segunda série de uma determinada 
escola. A média das notas dos alunos da turma A foi de 6,0, 
enquanto que na turma B foi de 7,0. Se a turma A possui 30 
alunos e a turma B, 20 alunos, a média geral da segunda série 
dessa escola será de 
a. 6,2 
b. 6,3 
c. 6,4 
d. 6,5 
e. 6,6 
 
2.(SENAI 2008) Segundo dados do IBGE, em 2000, a 
expectativa de vida para os homens brasileiros era de 64,8 
anos. Admitindo que a partir de 2000 a expectativa de vida 
dos homens brasileiros esteja aumentando 0,267 anos de 
vida por ano, pode-se dizer que em 2020 o brasileiro 
atingirá a.expectativa de vida ao nascer para os homens de 
a. 67,47 anos. 
b. 68,80 anos. 
c. 69,29 anos. 
d. 70,14 anos. 
e. 71,47 anos. 
 
 
 
3.(SENAI 2008) Paulo fez uma viagem de automóvel para o 
sul do país e levou 8 horas para chegar ao seu destino. 
O gráfico abaixo mostra a velocidade média do automóvel, 
em função do tempo. Lembrando que 
velocidade corresponde a quantos quilômetros foram 
percorridos num determinado intervalo de 
tempo; sabendo que 40 km/h significa que em cada uma 
hora foram percorridos 40 km, podemos 
dizer que em 5 horas de viagem, Paulo percorreu 
 
 
a. 150 km. 
b. 250 km. 
c. 350 km. 
d. 450 km. 
e. 550 km. 
 
 
 
4.(Trajano 2008) Nas Ciências Humanas, a linguagem gráfica 
auxilia no entendimento das grandes tendências da 
sociedade, de seu tempo e espaço. Analise o gráfico a 
seguir. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 61 
 
 
A partir da charge, que ilustra o conflito histórico entre 
patrões e empregados, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e dos dados fornecidos no gráfico, foram feitas as seguintes 
afirmações sobre o salário mínimo e a distribuição da renda 
nacional no período 1940-2000. 
I. Os trabalhadores de baixa renda obtiveram alguns ganhos 
em determinados períodos, mas, sobretudo, acu-
mularam perdas históricas. 
II. A maior parte da renda nacional historicamente se 
concentrou entre os mais pobres, sendo eles a maioria 
da população que ganha até 4 salários mínimos. 
III. Em determinados períodos, o salário mínimo tende a 
declinar, em especial quando os trabalhadores são im-
pedidos de lutar e se manifestar, como no período pós-
1964, durante os regimes militares. 
É válido afirmar o contido em 
(A) I, II e III. 
(B) I e II,apenas. 
(C) I e III, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) II, apenas. 
 
5.(Trajano 2007) Em dezembro de 2002, a Empresa 
Brasileira de Turismo (EMBRATUR) apresentou um relatório 
sobre o turismo praticado em ambientes naturais 
conservados, que são aqueles que têm garantida a proteção 
de seus recursos naturais originais. Para a elaboração do 
relatório, foi feita uma pesquisa com freqüentadores de 
algumas dessas unidades de conservação. Após o 
levantamento dos dados, 
construiu-se um gráfico referente aos meios de informação 
que levaram os turistas a escolher um desses ambientes 
naturais conservados para a sua viagem de férias. 
 
 
Analisando o gráfico, pode-se dizer que 
 
(A) mais da metade dos pesquisados obtiveram a 
informação por intermédio de amigos ou parentes. 
(B) agências de viagens e revistas juntas tiveram, 
porcentualmente, mais infl uência na decisão do que a 
Internet. 
(C) a influência de amigos e parentes é o triplo da influência 
de publicações especializadas. 
(D) menos de um quinto dos pesquisados obtiveram 
informações via televisão. 
(E) a maioria dos pesquisados obtiveram a informação 
via Internet. 
 
6.(Trajano 2008) Pesquisadores descobriram que devido 
ao aquecimento global, os pingüins-reis da Antártida 
correm o sério risco de virar uma espécie em extinção, já 
que, a cada 0,26°C que a temperatura da superfície 
marítima sobe, a população adulta deles diminui em 9%. 
Além disso, também notaram que esses animais são 
さiﾐdiIadoヴes seﾐsíveisざ das ﾏudaﾐças ﾐo eIossisteﾏa 
marinho e sofrem de forma ampliada os efeitos da 
mudança climática. 
De acordo com estudos, feitos, por meio de marcações 
subcutâneas de identificação eletrônica, percebeu-se 
que o aumento da temperatura dos mares afeta não só 
a oferta de alimentos perto da colônia de pingüins-reis 
das Ilhas Crozet, um arquipélago subantártico, como 
interfere no processo de acasalamento das aves. 
(Adaptado de: http://www1.folha.uol.com.br/folha/ambiente/ult10007u371815.shtml- 
13/08/2008) 
Sobre esse assunto é correto afirmar que 
(A) os pingüins, para sobreviverem nas vastas regiões 
descongeladas da Antártida, se adaptarão variando 
constantemente a temperatura corporal. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 62 
 
(B) os pingüins são dotados de penas, glândulas mamárias, 
bico e asas, as quais não servem para voar, mas sim 
para nadar, o que favorece a migração no degelo. 
(C) as emissões de nitrogênio e enxofre são condições 
fundamentais para proteger o continente gelado e a 
saúde de todo o planeta. 
(D) os pingüins são consumidores primários, e a gordura 
subcutânea atua na proteção contra as temperaturas 
baixas da água e do vento. 
(E) com a mudança de temperatura e salinidade do oceano, 
os peixes e os camarões poderão desaparecer, os 
pingüins não terão forças para migrar para outras 
regiões e provavelmente morrerão de fome. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 63 
 
21. Lógica e seqüências 
21.1. NOÇÕES DE LÓGICA 
 
21.1.1. Sentença ou proposição 
 
Sentença ou proposição é um conjunto de palavras ou 
símbolos que exprimem uma idéia. 
Exemplos: 
a) O elefante é um mamífero 
b) As árvores falam. 
c) Há infinitos números primos. 
 
21.1.2. Seqüências 
 
SEQÜÊNCIAS 
Questões de Amostra: 
 
Estude cuidadosamente as seguintes questões de amostra 
antes de começar os exercícios. 
1. Você terá de fazer comparações entre desenhos. 
Exemplo: Qual dos cinco faz a melhor comparação? 
 
 
A resposta é C. Um círculo que é dividido em duas partes 
pode ser comparado a um quadrado que é dividido em duas 
partes também. 
 
2. Esta questão também poder vir com desenhos. 
Exemplo: Qual dos cinco desenhos é menos similar aos 
outros quatro? 
 
A resposta é D. Os outros todos são feitos com linhas retas. 
Um círculo é uma linha curva. 
 
3. Em algumas questões será pedido para fazer uma 
comparação entre palavras. 
Exemplo: Qual dos cinco itens faz a melhor comparação? 
Barco está para água como avião está para: 
 SOL - CHÃO - ÁGUA - CÉU - ÁRVORE 
A resposta é céu. Um barco viaja através da água. Isto pode 
ser comparado a um avião que viaja pelo céu. 
 
4. Em algumas questões será dado um grupo de cinco 
coisas. Quatro delas terão alguma coisa em comum, elas 
serão similares de alguma forma. Você será levado a 
escolher aquela que não é similar às outras quatro. 
Exemplo: Qual dos cinco elementos é menos parecido com 
os outros quatro? 
 CÃO - CARRO - GATO - PÁSSARO - PEIXE 
A resposta é carro. Os outros são seres vivos. Um carro é 
inanimado. 
 
 
5. Em algumas questões serão dados números, ou letras, as 
quais estarão em uma certa ordem. Eles seguem algum 
critério de arranjo. Entretanto, um deles não. Você terá de 
escolher aquele que não se encaixa dentro daquele critério. 
Exemplo: Qual desses números não pertence à seguinte 
série? 
 
 1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 10 - 11 - 13 
 
A resposta é 10. Começando do 1, os números ímpares são 
arranjados em ordem, sendo que 10 não se enquadra nessa 
seqüência. 
6. Haverá também alguns problemas que você terá de 
resolver. Estes não requerem nenhuma matemática difícil. 
Pelo contrário, eles estarão testando o quão lógico você é, 
ou seja, quão bem você pensa. 
 
OBS: Se uma questão parece ter mais de uma resposta ou 
nenhuma resposta correta, escolha aquela que você 
considera ser a melhor dentre as alternativas dadas. Estas 
questões são formuladas propositalmente para testar sua 
habilidade de pensamento e razão. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 64 
 
Exercícios sobre Seqüências: 
 
A. Seqüências de Figuras 
[1] Escolha a figura correta, dentre as cinco 
alternativas colocadas abaixo, para preencher o 
espaço do ponto de interrogação: 
 
 
 
 
[2] Qual das imagens abaixo completa melhor a seqüência 
superior? 
 
 
 
[3] Qual das imagens abaixo completa melhor a seqüência 
superior? 
 
4. Três candidatos a um emprego José, João e Joaquim 
submeteram-se a bateria de testes reproduzidas a seguir. 
Em todos os testes eles deveriam escolher entre as figuras 
enumeradas, aquela que deveria ocupar a vaga assinalada 
pelo ponto de interrogação. 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 65 
 
5. 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
9.(Trajano 2007) Um dos passatempos de Júlia é jogar o 
sudoku, um quebra-cabeça lógico que virou uma febre 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 66 
 
mundial. Como estratégia para preencher a grade de 
sudoku 
a seguir, Júlia começou analisando as possibilidades de 
preenchimento da oitava linha e deduziu, corretamente, 
qual o número a ser colocado na casa marcadacom a 
bolinha preta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O número colocado por Júlia foi 
(A) 1. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 7. 
(E) 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.(Trajano 2008) Considere, da esquerda para a direita, a 
seguinte seqüência de figuras: 
 
Logo, a próxima figura da seqüência será: 
 
(A) 
 
 
 
(B) 
 
 
 
 
(C) 
 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
(E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 67 
 
Anexos 
Conteúdo Programático 
Vestibulinho 2010 
Português 
Gramática : - Ortografia. Estrutura e formação das palavras. 
Classes de palavras. Análise sintática do período simples e 
composto. Conjunção de verbos regulares e irregulares - 
emprego de tempos e modos. Vozes do verbo. 
Concordâncias verbal e nominal. Emprego e colocação dos 
pronomes. Regências verbal e nominal. Figuras de 
linguagem. 
 
Matemática 
Números naturais, inteiros, racionais e irracionais. 
Potenciação, radiciação. Expressões algébricas. Produtos 
notáveis e fatorações.Razões e proporções. Porcentagem e 
Equações de 1º e 2º graus - Problemas de aplicações. 
Sistemas de equações de 1º grau. Elementos fundamentais 
da geometria plana e semelhança de figuras 
planas.Relações métricas no triângulo retângulo.Área de 
figuras planas. Noções de estatística. 
 
Ciências Físicas 
Ar: Massa de ar. Pressão atmosférica. Relação entre pressão 
atmosférica e altitude. 
Movimento: Conceito de movimento e repouso. 
Características do movimento e repouso. Características do 
movimento uniforme. Características do movimento 
uniformemente variado. 
Força: Medida de força. Diferença entre peso e massa. 
Forças que se opõem ao movimento. Resultante de sistema 
de força. 
Energia: Trabalho. Potência. Formas de energia. 
Transformação de energia. 
Calor: Temperatura e calor. Propagação do calor. Bons e 
maus condutores de calor. Dilatação térmica. 
Ondas: Propriedades do som. Propagação do som. 
Eletricidade: Bons e maus condutores de eletricidade. 
Eletricidade estática. A corrente elétrica. 
Magnetismo: Ímãs e suas propriedades. Magnetismo 
terrestre. 
Propriedades da Matéria: Gerais. Específicas. Mudanças do 
estado físico da matéria. 
Constituição da Matéria: O átomo. Cargas elétricas. Íons. 
Número atômico e número de massa. 
Elemento químico: Simbologia e representação. Isótopos, 
isóbaros e isótonos. Classificação periódica dos elementos: 
metais, não metais e gases nobres. 
Ligações químicas: Substâncias simples e substâncias 
compostas. Ligação iônica e ligação covalente. 
Misturas e reações químicas: Processos de separação de 
misturas homogêneas e heterogêneas. Reações químicas - 
equação química. Classificação das reações químicas. Lei de 
Lavoiser ( conservação das massas). Funções inorgânicas ( 
ácido/base). 
 
 
Ciências Biológicas e Programas de 
Saúde 
Corpo Humano: Organização celular. Organização e 
funcionamento dos aparelhos humanos. Órgãos do sentido. 
Hereditariedade: reprodução e transmissão de 
características. 
Programas de saúde: Doenças sexualmente transmissíveis: 
contágio, conseqüências e prevenção. Nutrição e 
saúde:tipos de alimentos e alimentação equilibrada. O 
problema das drogas. 
Seres vivos: Características gerais dos seres vivos: bactérias, 
fungos, protozoários, vírus, animais vertebrados e 
invertebrados e vegetais superiores. 
Meio Ambiente: Organização do ecossistema. Relações 
ecológicas entre os seres vivos. Interação homem e meio 
ambiente: Importância da qualidade da água, tratamento 
de lixo e esgoto e poluição atmosférica, desmatamento. 
Ciclo biogeoquímicos: Ciclo da água, do oxigênio e do 
carbono