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Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 1 
CONJUNTOS 
 
 
1 - NOÇÕES BÁSICAS 
 
 É o agrupamento de elementos sob determinadas 
condições. 
 Podemos representar os conjuntos de três formas sempre 
usando letras maiúsculas do alfabeto para nomeá-lo: 
 
• Coloca-se os elementos entre chaves, separados por vírgula. 
Ex: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} ⇒ Conjunto dos números naturais 
 A = {2, 4, 6, 8, ...} ⇒ Conjunto dos números pares positivos 
 
• Representamos por sentença matemática 
Ex: A = {x 0/ >ℜ∈ x } ⇒ x pertence aos Reais tal que x é maior 
que zero representando pelo 
exemplo anterior ficará A = {1, 2, 
3, 4, 5...} 
• Representamos por diagramas (DIAGRAMA DE VENN). 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
1.1 - Relação de pertinência 
 
 Quando queremos indicar se um elemento pertence ou 
não pertence a um conjunto usamos a relação de pertinência. 
 
∈ = pertence a 
∉ = não pertence a 
 
1 ∈ A 
2 ∉ B 
6 ∈ B 
 
 
1.1 - Subconjuntos 
 
 Para afirmarmos que o conjunto A e Subconjunto do 
conjunto B, A tem que está contido em B ou seja todo elemento 
que ∈ a A tem que pertencer também à B. 
 
 
 A ⊂ B ⇒ A está contido em B 
 B ⊃ A ⇒ É a mesma coisa que B contém A. 
 
 
 
 
 
 A ⊄ B = A não está contido em B. 
 B ⊃ A = Então, B não contém A. 
 
 
Vamos ver por outro ângulo. 
A = {1, 3, 5} A ⊂ B ⇒ A está contido em B. 
B = {1, 2, 3, 4, 5} B ⊃ A 
C = {2, 6, 7} C ⊄ B ⇒ Não está contido em B. 
1.3 - Tipos de conjuntos 
 
• Conjunto Unitário - É um conjunto que possui um só 
elemento. Ex: {a} 
• Conjunto vazio - É um conjunto que não possui elementos, 
podemos representa-los por { } ou ∅. 
• Conjunto finito - É um conjunto que possui número limitado 
de elementos. Ex: {1, 2, 3}, {a, e, i, o, u}. 
• Conjunto infinito - É um conjunto que possui número 
ilimitado de elementos. Ex: {1, 2, 3, ...}, {2, 4, 6, 8, ...}. 
 
 
2 - OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
2.1 - União de conjuntos (∪ ) 
 
Dado: A = {1, 3, 5} B = {1, 2, 4} 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ Obs: Quando os conjuntos tem algum 
elemento em comum, como no 
ex: o 1, não é preciso repetí-la. 
 Para unir o conjunto A com o conjunto B, formamos 
outro conjunto com todos os elementos pertencentes ao conjunto 
A ou B. 
 
2.2 - Intersecção de conjuntos (∩ ) 
 
 Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = { 0, 1, 2, 3, 
4}. 
 
 
 A = {0, 2, 4, 6} 
 A ∩ B = {0, 2, 4} 
 B = {0, 1, 2, 3, 4} 
 
 
 A intersecção de dois conjuntos, A e B, é o conjunto 
formado pelos elementos que são comuns a A e a B, isto é, pelos 
elementos que pertencem a A e também pertencem a B. 
 
2.3 - Diferença de conjuntos 
 
 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = { 2, 4, 6, 8}. 
 
A = {0, 1, 3, 4, 5} 
 A - B = {1, 3, 5} 
B = {2, 4, 6, 8} 
 
 
 A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos 
elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. 
 Se B ⊂ A a diferença A - B denomina-se complementar 
de B em relação a A e indica-se CAB. 
 
CAB = A - B 
 
Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então CAB = A 
- B = {0, 1, 4}. Em diagrama, temos: 
 
 
 
 CAB 
 
 
O complementar de B em relação a A é o que falta para 
o conjunto B ficar igual ao conjunto A. 
 
 
 
 
a e 
i o 
u 
A A B
1 2 
3 4 
5 
6 
A = {1, 2, 3, 4} 
B = {2, 3, 5, 6} 
A B 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
B 
A
01 
02 
03 
A B
01 
02 
03 
4 
5 
6 
A
6 
0 
B 
1 
3 4 
2 
A
3 
4
2
B 
6 
8 4 
5 
1 
A
2 3 
1 
0 
4 
B
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 3 - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
3.1 - Conjunto dos números naturais (N). 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4 5, 6, ...} É um conjunto infinito, então usamos 
reticências. 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Quando aparece o asterisco significa que 
o zero está excluído. 
 
 
3.2 - Conjunto dos números inteiros (Z) 
 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} inclui os números naturais e 
os números negativos. 
 
Z+ = Somente os números positivos Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Z-= Somente os números negativos Z-={..., -4, -3, -2, -1, 0} 
Z* = Exclui-se o zero. 
Z *+ = Positivos sem o zero 
Z *− = Negativos sem o zero. 
 
3.3 - Conjunto dos números racionais (Q) 
 
 É um conjunto formado por números que podem ser 
expresso sob a forma 
b
a
 sendo b≠ 0. 
 Então é um conjunto que o pode entrar frações. 
Q = { ,...2,
2
1
1,1,
2
1
} Os conjuntos N e Z são Subconjuntos 
de Q 
 
3.4 - Conjunto dos números irracionais (IR ) 
 
IR = { ,3,2 π , ...} N, Z, Q não são Subconjuntos de IR 
 
3.5 - Conjunto dos números Reais (ℜ ) 
 
ℜ = {-2, -1, 0, 1, 
2
6
,4 , π , ...} 
 É um conjunto que une todos os outros anteriores. 
Quando dizemos que um número ℜ∈ dizemos que pode ser, N, 
Z, Q ou IR. 
 ℜ 
 
 
 IR 
 
 
 
 
 
4 - INTERVALOS 
 
 O conjunto dos números naturais, dos números inteiros, 
dos números racionais e dos números irracionais são subconjuntos 
dos números reais. 
 Existem, ainda, outros subconjuntos de ℜ que são 
determinados por desigualdades. Esses subconjuntos são 
chamados de intervalos. Vejamos alguns: 
 
• Conjunto dos números reais maiores que 5 e menores que 9. 
• 
 
Esse intervalo contém todos os números reais 
compreendidos entre os extremos 5 e 9. A bolinha vazia o indica 
que os extremos não pertencem ao intervalo, por isso, ele é 
chamado de intervalo aberto. 
Indica-se: 
{ 95/ ><ℜ∈ xx } ou ] [9,5 
A notação 5 < x < 9 significa que 5 < x e, também x < 9. 
Assim, x situa-se entre 5 e 9 na reta real. 
 
• Conjunto dos números reais maiores ou iguais a -4 e menores 
ou iguais a 3. 
 
 
 
 Esse intervalo contém todos os números reais de -4 até 
3. A bolinha cheia indica que os extremos pertencem ao 
intervalo, por isso, ele é chamado de intervalo fechado. 
 Indica-se: 
}34|{ ≤≤−ℜ∈ xx ou [-4, 3] 
 
• Conjunto dos números reais maiores ou iguais a 2 e menores 
que 7. 
 
 
Observe que o extremo 2 pertence ao intervalo e o 
extremo 7 não pertence, por isso, ele é chamado de intervalo semi-
aberto à direita. 
 Indica-se: 
}72|{ <≤ℜ∈ xx ou [2, 7] 
 
• Conjunto dos números reais maiores que 
2
5− e menores ou 
iguais a 6. 
 
 
 
 
 Note que o extremo 
2
5− não pertence ao intervalo e o 
extremo 6 pertence, por isso, ele é chamado de intervalo semi-
aberto à esquerda. 
 Indica-se: 
}6
2
5
|{ ≤<−ℜ∈ xx ou 




− 6,
2
5
 
 Sendo a um número real, temos ainda os intervalos: 
{x ℜ∈ |x > a} = ]a, +∞ [ 
 
{x ℜ∈ |x ≥ a} = [a, +∞ [ 
 
{x ℜ∈ |x < a} = ]-∞ , a[ 
 
{x ℜ∈ |x ≤ a} = [- ∞ , a] 
 
 Considera-se como intervalo ]-∞ , +∞ [ = ℜ . 
 
Q Z N 
5 9 
-4 3 
2 7 
-
2
5
 
6 
a 
a 
a 
a 
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EXERCÍCIOS: 
 
1. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = {b, 
d, e, g}. determine: 
a) A-B c) (A∪C)-B 
b) B-A d) (A∪B)∩C 
 
2. Descreva os elementos dos conjuntos abaixo: 
a) A = {x | x2 – 5x – 6 = 0} 
b) {x | x é letra da palavra exercício} 
 
3. Numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois filmes A e B. 
precisamente: 
• Treze pessoas assistiram o filme A; 
• Cinco pessoas assistiram aos dois filmes; 
• Seis pessoas não assistiram a nenhum dos dois filmes. 
 
Quantas pessoas assistiram ao filme B, sabendo que 
todas 29 pessoas opinaram? 
 
4. Quarenta e um alunos de um colégio opinaram numa pesquisa 
em que eram solicitados a responder se eram leitores de jornal ou 
revista. Concluiu-se exatamente que: 
• 24 alunos lêem jornal; 
• 30 alunos lêem revista; 
• 5 alunos não lêem jornal e revista. 
 
Quantos alunos lêem jornal e revista? 
 
 
5. Usando os símbolos ∈ e ∉ , relacione: 
 
a) -7 N 
b) 2 ____Q 
c) 4_______Z 
d) 
2
1
______Z 
e) 10 ____IR 
f)4
9
_____Q 
 
6. Sejam A={1}, B={0, 1}, C={1, 2, 3} e D={0, 1, 2, 4}. 
Usando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione entre si os 
conjuntos. 
a) A e B c) A e D e) B e C 
b) A e C d) B e A f) C e D 
 
7. Represente sobre a reta real cada um dos seguintes conjuntos: 
A = {X ∈ IR | 1≤ X ≤ 2} 
B = {X ∈ IR | 0 < X < 3} 
C = {X ∈ IR | X≤ 0 ou X > 2} 
 
8. Utilizando a representação gráfica dos intervalos sobre a reta 
real, determine: A∩B e A∪B, sendo A = [0,3] e B = [1,4] 
 
9. Sendo A = { X∈ IR | -1 < X≤ 3} e { X ∈ IR | 2 < X≤ 5}, 
calcule A∪B. 
 
10. Determine a intersecção dos conjuntos: 
a) IR∩ ϕ 
b) IN ∩Ζ)∪ ϕ 
Ângulos e retas 
 
Retas e semi-retas 
 Postulado fundamental: "Dois pontos distintos determinam 
uma reta". 
 
 
 
 
 
 Uma rela pode ser dividida em duas semi-retas, 
mudando-se apenas as flechas de indicação 
 
 
 
 
 
 
 
Segmento retilíneo 
 Um segmento retilíneo é um subconjunto de tamanho finito 
determinado por dois pontos distintos pertencentes a uma semi-
reta ou uma reta. 
 
 
 
 
 
Segmentos congruentes 
 Dois segmentos são congruentes quando tem a mesma 
medida em uma mesma unidade padrão. 
 
 
 
 
 
Ângu1os 
 Um ângulo geométrico é a reunião de duas semi-retas de 
mesma origem. 
 
 
 
 
 
 
 Na figura as semi-retas são chamadas de lados e o ponto O é 
chamado de vértice. 
 
Unidades de medidas de ângulos 
 Dividindo a circunferência abaixo em 360 partes iguais, cada 
uma dessas partes será chamada de arco. Um arco tem uma 
unidade de medida chamada grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º = m(arco AB) = 
360
nciacircunferêdaocompriment
 
 
Ângulos congruentes 
 Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida 
da mesma unidade padrão. 
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 AOB = CÔ'D se, e somente se, m(AÔB) = m (CÔ'D). 
Podemos denotar a medida de um ângulo por uma letra maiúscula 
qualquer da seguintes forma: x = m (AÔB). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação dos ângulos 
 Ângulo raso 
 É aquele cujos lados são semi-retas opostas. Um ângulo raso 
também é chamado de ângulo de meia-volta. 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo reto 
Um ângulo é dito reto se sua medida for igual a 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 Ângulo agudo 
 Um ângulo é dito agudo se sua medida for menor que 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 Ângulo abtuso 
 Um ângulo é dito obtuso se sua medida for maior que 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ângulos adjacentes 
 Dois ângulos são adjacentes se possuem um lado em comum 
e pontos internos não comuns. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ângulos complementares 
 Dois ângulos são complementares se a soma de suas 
medidas for igual a 90º. 
 
 
 
 
 
 
 Ângulos suplementares 
 Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas 
for igual a 180º. 
 
 Ângulos opostos pelo vértice 
 Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPV) quando suas 
semi-retas são opostas e têm a mesma origem 
 
 
 
 
 
 
 
 Teorema: dois ângulos opostos pelo vértice possuem a 
mesma medida 
 
 
 
 
 
 
 Bissetriz de um ângulo 
 A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta com origem no 
vértice do ângulo e que divide o seu interior em dois ângulos 
adjacentes e congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Retas paralelas 
 Duas relas são paralelas distintas se são coplanares e não 
possuem pontos em comum. 
 Na figura as retas t e u são paralelas distintas. 
 
 
 
 
 Ângulos definidos por retas paralelas e uma transversal 
 As retas da figura formam oito ângulos que poderemos 
chamá-los aos pares como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Postulado 
 São dadas duas retas paralelas r e s uma transversal t. Então 
dois ângulos alternos internos neste sistema são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
α = β 
 
congruentes 
X=Y 
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EXERCÍCIOS 
 
1 - (Fuvest) Na figura as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 
mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em graus, do 
ângulo 3 é: 
 
 
a) 50 
b) 55 
c) 60 
d) 80 
e) 100 
 
 
 
2 - (FGV) Considere as retas r , s , t e u, todas num mesmo 
plano, com r  u. O valor em graus de 2x + 3y é: 
 
 
a) 64º 
b) 500º 
c) 520º 
d) 660º 
e) 580º 
 
 
 
3 - (UFGO) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. A 
medida do ângulo b é: 
 
a) 100º 
b) 120º 
c) 110º 
d) 140º 
e) 130º 
 
 
 
4 - Dois ângulos são complementares. A soma do dobro de um 
deles e a oitava parte do outro é igual a um ângulo reto. 
Determine os ângulos. 
a) 48º e 42º b) 36º e 54º 
c) 40º e 50º d) 30º e 60º 
e) 24º e 66º 
 
5 - Dois ângulos opostos pelo vértice podem ser expressos 
respectivamente por: º70
3
2x
 e 
4
x3
6
5x −− . 
 Vale afirmar que a medida de seu suplemento é... 
a) 60º b) 70º 
c) 90º d) 120º 
e) 170º 
 
6 - Assinale a alternativa que melhor completa a proposição 
abaixo, a fim de que ela fique verdadeira. “Se dois ângulos 
têm os lados respectivamente paralelos, então estes ângulos 
são...” 
a) congruentes 
b) complementares 
c) suplementares 
d) congruentes ou suplementares 
e) complementares ou congruentes 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES 
 
 Consiste em toda igualdade envolvendo incógnitas essas 
incógnitas são chamadas de variáveis. 
 
Equação do 1º grau 
 Resolver uma equação, consiste em achar o valor da 
incógnita (variável) que satisfaça a igualdade. 
 A equação é dividida em 1º e 2º membro o primeiro membro 
antes do sinal de igual colocamos as variáveis e os números que 
acompanham variáveis, no segundo membro depois do sinal de 
igual colocamos os números sem variáveis. Quando trocamos um 
elemento de membro ele passa na operação inversa que está. Ex: 
se estiver somando + passa - subtraindo, se estiver multiplicando, 
passa dividindo. 
 
2x = 14 
 
 
x = 
2
14
 
x = 7 
 
4x +6 = 5x +9 
 
 
 
 
4x -5x = 9 -6 
 
 
 
-x = 3 (-1) 
 
 
x = -3 
 
Equação do 2º grau 
 É toda equação escrita na forma ax2 + bx + c = 0 tendo a ≠ 0; 
a, b, c ℜ∈ . 
2x2 + 2x + 3 = 0 
 
 
 
 
 
Para achar as raízes de uma equação do 2º Grau é necessário 
utilizar a fórmula de Báskara. 
∆ = b2 - 4 a c 
a
b
x
2
∆±−= 
a
acbb
x
2
42 −±−= 
 
ℜ∈∃⇒<∆
ℜ∈′′=′⇒=∆
ℜ∈′′≠′⇒>∆
x
xx
xx
0
0
 
 
1x2 -4x +4 = 0 
 
∆ = b2 -4 a c→ 
∆ = (-4)2 - 4 . 1 . 4 → 
∆ = 16 - 16 
∆ = 0 
 
Agora vamos achar a raiz 
 
1º membro 
2º membro 
(Para isolar a variável, temos que passar o número 2 para 
o 2º membro) 
(O número 2 esta multiplicando, então passa dividindo) 
2º membro 1º membro 
(Primeiro vamos organizar os elementos com 
variáveis e sem variáveis) 
termos 
semelhantes 
termos 
semelhantes 
(Obs: os elementos que mudaram de membro tiveram 
seus sinais invertidos) 
(quando encontramos a variável negativa, temos que 
multiplicar toda a equação por -1 para que tenhamos a 
variável positiva) 
a b c termo independente 
acompanha x 
acompanha x2 
a b c 
(Vamos encontrar o discriminante ∆ ) 
 (substituir as letras por seus números correspondentes) 
 (agora é só calcular) 
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então 
2
2
4
2
0)4(
2
⇒
+
⇒
±−−=⇒∆±−= x
a
b
x 
 
Soma e Produto 
 Quando se tem a = 1 
 x' + x'' = 
a
b−
⇒ Soma 
 x' . x'' = 
a
c
⇒ Produto 
x2 -4x +3 =0 
 
Soma x'+x'' = 




 −−
a
4
⇒ 4 x'+x''=4 ⇒ x'=3 x''=1 
Produto x' . x'' = 
1
3
 ⇒ 3 x' . x'' = 3 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 - Dê o nome aos elementos da radiciação 
 
242 = 
 
 
2 - Resolva: 
a) =16 k) =10 52 
b) =25 l) =3 32 
c) =3 8 m) =3 27 
d) =2.2 n) =2 
e) =3.2 o) =3 3 
f) =33 3.3 p) =3 2 
g) =
4
8
 q) =−+ 22232 
h) =
6
12
 r) =+ 2712 
i) ( ) =23 s) =+− 82332 
j) ( ) =33 2 
 
3 - Racionalize 
a) =
3
2
 c) =
+ )( ba
x
 
b) =
83
1
 d) =
− 35
2
 
 
4 - Resolva as equações. 
 
a) 2x = 14 e) x2 -5x +6 = 0 
b) 2x + 2x = 28 f) x2 -4x +4 = 0 
c) 4x + 6 = 5x +9 g) x2 +3 -10 = 0 
d) 
5
3
2
=x h) x2 -16x = 0 
 
PROGRESSÕES 
 
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA) 
Progressão aritmética (P.A.) é uma seqüência numérica em 
que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado 
com um número fixo, chamado razão da progressão. 
 
Exemplos: 
 
 
5 = 2 + 3 Nesta seqüência, 
8 = 5 + 3 3 é a razão da 
11 = 8 + 3 progressão 
14 = 11 + 3 aritmética 
 
 
 
7 = 12 + (–5) 
2 = 7 + (–5) Nesta seqüência, 
–3 = 2 + (–5) 5 é a razão da 
–8 = –3 + (–5) progressão aritmética 
13 = –8 + (–5) 
 
Uma progressão aritmética pode ser: crescente, decrescente 
ou constante. 
 
Exemplos: 
 
• é uma P.A. crescente, pois r = 1 > 0. 
 
• é uma P.A. decrescente, pois r = 2 < 0. 
 
• é uma P.A. constante, pois r = 0 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1º exemplo: Calcular r e a5 na P.A. (3, 9, 15, 21, ...) 
Resolução: an+1 = an+1 + r 
9 = 3 + r 
r = 6 
a5 = a4 + r 
a5 = 21 + 6 
a5 = 27 
 
Resposta: r = 6 e a5 = 27 
 
 
2º exemplo: Determinar o valor de x, de modo que os números (x 
+ 4)2, (x – 1)2 e (x + 2)2 estejam, nessa ordem, em P.A. 
 
Resolução: P.A. ((x + 4)2, (x – 1)2 (x + 2 )2) 
 ↓ ↓ ↓ 
 a1 a2 a3 
a2 – a1 = a3 – a2 
(x – 1)2 (x + 4)2 (x + 2)2 ( x – 1)2 
 
x2 – 2x + 1 (x2 + 8x + 16) = x2 + 4x + 4 – (x2 – 2x + 1) 
 
x2 – 2x + 1 – x2 – 8x – 16 = x2 + 4x + 4 – x2 + 2x – 1 
 
– 10x – 15 = 6x + 3 
– 16x = 18 
( 2, 5, 8, 11, 14, ...)
(12, 7, 2, –3, –8, –13)
(3, 4, 5, 6, 7)
(10, 8, 6, 4, ...)
(5. 5, 5, 5)
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x = 
8
9− 
Resposta: x = 
8
9− 
 
 
Exercícios 
 
01. Escreva: 
a) uma P.A. de 5 termos em que o 1º termo (a1) é 10 e a razão (r) é 
3. 
b) uma P.A. de 8 termos em que a1 = 6 e r = –4. 
c) uma P.A. de 6 termos em que a1 = –3 e r = 5 
d) uma P.A. de 4 termos em que a1 = a + 2 e r = a. (a + 2,2a + 2,3a 
+ 2,4a + 2) 
e) uma P.A. de 5 termos em que a1 =1 e r = 2π 
 
02. Determine: 
a) o 5º termo da P.A. (– 5, 2,...). 
b) o 4º termo da P.A. (6, 3,...). 
c) o 6º termo da P.A. (2,4,...). 
d) o 5º termo da P.A. (a + 3b, a + b, ...). 
e) o 4º termo da P.A. 





,...x,
2
x
. 
03. Determine: 
a) o valor de x, tal que os números x2, (x + 2)2 e (x + 3)2 formem, 
nessa ordem, uma P.A. 
b) o valor de x, de modo que os números 3x – 1, x + 3, x + 9 
estejam nessa ordem, em P.A. 
c) o valor de x, de modo que os quadrados dos números (x + 1), 
15x + , (x + 3) formem, nessa ordem, uma P.A. 
 
04. Calcular a razão da P.A., sabendo que a7=
3
1
 e a8=
2
1
. 
 
05. Determinar x para que a seqüência (3 + x, 5x, 2x + 11) seja 
uma P.A. 
 
 
Fórmula do termo geral de uma P.A. 
 Neste item demonstraremos uma fórmula que permite 
encontrar qualquer termo de uma progressão aritmética sem 
precisar escrevê-la completamente: 
 
Seja a PA. (a1, a2, a3,..., an 1, an) de razão r. 
a1= a1 + 0r 
a2 = a1 +1r 
a3 = a2 + r = a1 + 2r 
a4= a3 + r = a1 + 3r 
 ⋅ ⋅ 
 ⋅ ⋅ 
 ⋅ ⋅ 
an = an + r = a1 + (n – 1) r 
 
an= a1 + (n – 1) r 
 
Na fórmula: 
an é o enésimo termo (termo geral); 
a1 é o primeiro termo; 
n é o número de termos; 
r é a razão. 
 
Vejamos alguns exemplos. 
 
 
Exemplo 1: Encontrar o termo geral da P.A. (4, 7,...). 
 
 a1 = 4 
Resolução: r = 7– 4 = 3 
 n = n 
 
an = a1 + (n – 1) r ⇒ an = 4 + (n – 1) ⋅ 3 
 an = 4 + 3n – 3 ⇒ an = 3n + 1 
Resposta: an=3n + 1 
 
Exemplo 2: Qual é o vigésimo termo da P.A. (3, 8,...)? 
 
 a1 = 3 
Resolução: r = 8– 3 = 5 
 n = 20 
 
an = a1 + (n – 1) r ⇒ a20 = 3 + (20 – 1) ⋅ 5 
 a20 = 3 + 95 ⇒ a20 = 98 
Resposta: a20= 98 
 
 
Exemplo 3: Determinar o número de termos da P.A. (-3, 1, 5, ..., 
113). 
 
Resolução: r = 1 – (–3) = 1 + 3 = 4 
 an = a1 + (n – 1) r ⇒ 113 = – 3 + (n – 1) 4 
 
 113 = – 3 + 4n – 4 
 
 120 = 4n ⇒ n = 30 
 
Resposta: n = 30 
 
Exemplo 4: Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos 
entre 21 e 623. 
 
Resolução: 21, 25, 30, .... 620,623 
 ↓ ↓ 
 a1 an 
Aplicando-se a fórmula do termo geral, vem: 
 
 620 = 25 + (n – 1) 5 
 620 = 25 + 5n – 5 
an = a1 + (n – 1)r⇒ 600 = 5n 
 n = 120 
Resposta: n = 120 
 
Exemplo 5: Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30. 
Resolução: 
Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30 é formar uma P.A. 
de sete termos em que o primeiro é 6 e o último é 30, ou seja: 
6, __, ___, ___, ___, ___, 30 
↓ ↓ 
a1 an 
an = a1 + ( n – 1) r ⇒ 30 = 6 + 6r 
 24 = 6r ⇒ r = 4 
Resposta: (6,10,14,18,22,26,30) 
 
Fórmula da soma dos n termos de uma P. A. finita 
 
Propriedades 
Consideremos a P.A. finita (6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34) e 
nela podemos destacar 6 e 34, que são os extremos. 
 
10 e 30 
14 e 26 são termos eqüidistantes dos extremos. 
18 e 22 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 8 
Verifica-se, facilmente, que: 
 6 + 34 = 40 → soma dos extremos 
10 + 30 = 40 
14 + 26 = 40 → soma de dois termos eqüidistantes 
18 + 22 = 40 dos extremos 
 
Daí a propriedade: 
 
Numa P.A. finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos 
extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Assim, dada a P.A. finita: 
 
 , temos: a2 + an–1 = a1 + an 
 a3 = an – 2 = a1 + an 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
01. Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...). 
 
 
02.Determinar o 61º termo da P.A. (9, 13, 17, 21,...) 
 
 
03. Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10....)? 
 
 
04. Qual é o centésimo número natural par? 
 
 
05. Determinar a razão da P.A. (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e 
a8 = 3. 
 
 
06. Ache o sexagésimo número natural ímpar. 
 
 
07. Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a 
posição do termo igual a 44? 
 
 
08. Determinar o número de termos da P.A. (4, 7, 10,..., 
136). 
 
 
09. Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25 
nessa ordem. 
 
 
10. Calcular a soma dos trinta primeiros termos da P.A. (4, 
9, 14, 19,...) 
 
 
11. Calcular a soma dos n primeiros termos da P.A. (2, 10, 
18, 26,...) 
 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G) 
Definição 
 
Vamos analisar algumas seqüências. 
• (4, 8, 16, 32, 64) 
 
Nesta seqüência, observamos que: 
 8 = 4 ⋅ 2 
16 = 8 ⋅ 2 –→ número fixo (razão = 2) 
32 = 16 ⋅ 2 
64 = 32 ⋅ 2 
 
• (6, –18, 54 – 162) 
 
Nesta seqüência, observamos que: 
 
 – 18 = 6 ⋅ (–3) 
 54 = –18 ⋅ (–3) –→ Número fixo (razão = –3) 
– 162= 54 ⋅ (–3) 
 
 
• 





32
1
,
8
1
,
2
1
,2,8 
 
Nesta seqüência, observamos que: 
 
2 = 8 ⋅ 
4
1
 
2
1
 = 2 . 
4
1
 
8
1
 = 
2
1
 ⋅ 
4
1
 –→ número fixo (razão = 
4
1
) 
32
1
 = 
8
1
 ⋅ 
4
1
 
 
Em todas essas seqüências, a lei de formação é: cada termo 
posterior, a partir tio segundo, é igual ao anterior, multiplicado por 
um número fixo. 
Toda seqüência que tiver essa lei de formação será 
denominada progressão geométrica. 
O número fixo pelo qual estamos multiplicando cada termo é 
chamado razão da progressão. 
Progressão geométrica é uma seqüência de números não nulos 
em que cada termo posterior, apartir do segundo, é igual ao 
anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da 
progressão. 
 
Representação de uma progressão geométrica (P.G.) 
A representação matemática de uma progressão geométrica 
(P.G.) é: 
(a1, a2, a3, ... an–1, an,) 
 
Logo: 
an+1 = an ⋅ q –→ para. todo n e IN* e q r= R 
 
ou q
a
a
a
a
a
a
n
1n
2
3
1
2 === + –→ q é a razão da P.G. 
 
Vejamos alguns exemplos. 
Exemplo 1: Escreva uma PC. de cinco termos em que a1 = 2 e q 
= 3. 
Resolução: a1= 2 
 a2 = a1 ⋅ q = 2 ⋅ 3 =6 
 a3 = a2 ⋅ q = 6 ⋅ 3 = 18 
(a1, a2, a3, ..., an-2, an–1, an)
extremos
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 9 
 a4= a3 ⋅ q = 18 ⋅ 3 = 54 
 a5 = a4 ⋅ q = 54 ⋅ 3 = 162 
Resposta: A P.G. pedida é (2, 6, 18, 54, 162). 
 
 
Exemplo 2: Se a seqüência (x, 3x +2, 10x + 12) é uma 
P.G., pede–se: 
a) calcule o valor de x; 
b) escreva essa progressão. 
Resolução: a) (x, 3x + 2, 10x + 12)⇒ 
2
3
1
2
a
a
a
a
= 
 ↓ ↓ ↓ 
 a1 a2 a3 
2x3
12x10
x
2x3
+
+=+ 
 = 9x2 + 12x + 4 
 x2 = 4 
 x = ± 2 
b) Se x = 2, temos: 
(x, 3x + 2, 10x + 12) ⇒ (2, 6 + 2, 20 + 12) 
 (2,8,32) 
Se x = –2, temos: 
(x, 3x + 2, 10x + 12) ⇒ (–2, –6 + 2, –20 + 12) 
 (–2, –4, –8) 
 
Resposta: a) x = 2 ou x= –2 b) (2, 8, 32) e (–2, –4, –8) 
 
EXERCÍCIOS 
01. Determine a razão de cada uma das seguintes P.G.: 
a) (3, 12, 48,...) b) (10, 5, ....) c) (5, –15, ...) 
d) (10, 50,....) e) (5 , 5,... ) f) (2, 25,...) 
g) 





,...
2
5
,5 h) (104, 10, ...) i) (ab, ab3, ...) 
j) 





,...x,
a
x
 
 
02. Determinar o 15º termo da Progressão Geométrica (256, 128, 
64...), 
 
03. Escreva: 
a) uma P.G. de quatro termos em que a = 5 e q=3. 
b) uma P.G. de seis termos em que a = 2 e q = 2. 
c) uma PG, de cinco termos em que a1 = 540 e q = 
3
1
. 
(540,180,60,20,
3
20
) 
d) uma P.G. de quatro termos em que a1 = 2
–3 e q = 22. (2–3 ,2–
1,2,23) 
e) uma P.G. de quatro termos em que a1 = 3y
x
 e q = y2. 







 3
3
xy,xy,
y
x
,
y
x
 
04. Determine o valor de x, de modo que os números x + 1, x + 4, 
x + 10 formem, nesta ordem, uma P.G. 
6. Dados os números 1, 3 e 4. nesta ordem, determine o número 
que se deve somar a cada um deles para que se tenha uma 
progressão geométrica. 5 
 
05. Determinar o número de termos da Progressão Geométrica 
(128, 64, 31,..., 
256
1
) 
Fórmula do termo geral de uma P.G. 
Da mesma forma como fizemos para a progressão aritmética, 
vamos demonstrar a fórmula do termo geral de uma P.G. que 
permite encontrar qualquer termo sem precisar escrevê–la 
integralmente. 
 
Seja a P. C. (a1, a2, a3,..., an–1, an) de razão q. 
a1 = a1 ⋅ q0 
a2 = a1 ⋅ q1 
a3 = a2 ⋅ q = a1 q2 
a4 = a3 ⋅ q = a1q3' 
. . . 
. . . 
. . . 
an = an–1 ⋅ q = a1 ⋅ qn–1 ⇒ an=a1qn–1 
 
Na fórmula: 
an = termo geral; a1 = primeiro termo; 
q = razão; n = número de termos. 
 
Vejamos alguns exemplos. 
 
Exemplo 1: Encontrar o termo geral da P.G. (2, 4, ...) 
Resolução: a1 =2 
 q = 
2
4
 = 2 
 n = n 
 
an= a1q
n–1⇒ an = 2
1 ⋅ 2n–1 = 2n 
 
Resposta: an = 2
n 
 
Exemplo 2: Achar o décimo termo da P.G. (2, 6,...) 
Resolução: a1 =2 
q = 3 
n = 10 
an= a1q
n–1⇒ a10 = 2 ⋅ 310–1 = 2 ⋅ 39 
 
Resposta: a10 = 2 ⋅ 39 
 
Exemplo 3: Numa P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o último 
termo é 375. Calcular o primeiro termo dessa P.C. 
 
Resolução: n =4 a4= a1q
3 
q = 5 375 = a1 ⋅ 53 
a4 = 375 375 = 125a1 
 a1 = 3 
 
Resposta: a1 = 3 
 
Exemplo 4: Numa P.G. de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o 
último termo é 486. Calcular a razão dessa P.G. 
 
Resolução: n =6 a6= a1q
5 
a1 = 2 486 = 2 ⋅ q5 
a6 = 486 q
5 = 243 
 q = 5 243 
 q = 3 
 
Resposta: q = 3 
 
Exemplo 5: Numa P.G. de razão 4, o primeiro termo é 8 e o 
último é 231. Quantos termos tem essa P.G.? 
 
 
 32 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 10
 
Resolução: q =4 an= a1q
n–1⇒ 231 = 8 ⋅ 4n–1 
a1 = 8 2
31 = 23 ⋅ 22n–2 
an = 2
31 231 = 22n–2 
 2n + 1 = 31 
 2n = 30 
 n = 15 
Resposta: n = 15 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Encontre o termo geral da P.G. (1, 5, ...) 
 
 
02. Encontre o termo geral da P.G. (2, 1, ...) 
 
 
03. Qual é o 6º termo da P.G. (512, 256, ...)? 
 
 
04. Qual é o 7º termo da P.G. 




 − ,...1,
2
1 ? 
 
 
05. Numa P.G., tem-se: a1 = 1, q = 3 . Calcule a1. 
 
 
06. Determine o número de termos da P.G. (1, 2, ..., 256). 
 
 
07. Interpolar quatro meios geométricos entre 1 e 243, 
nessa ordem. 
 
 
08. Determinar o décimo termo da P.G. (3, 6, 12 ...) 
 
 
09. Uma P.G. tem 6 termos, sendo 2 o último termo e 
4
1
 a 
razão. Qual é o primeiro termo dessa P.G.? 
 
 
10. Determinar a razão da P. G., sendo a1 = 28
3
1
 
a10 = 10
3
1
 . 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
TRIGONOMETRIA 
Tri 
três 
gono 
ângulos 
metria 
medição 
 
Assim, trigonometria significa medição de três ângulos. 
Este ramo da Matemática estuda a relação entre as medidas dos 
lados e dos ângulos de um triângulo. A trigonometria é empregada 
na navegação, na aviação. na topografia etc, sendo indispensável à 
Engenharia e à Física. 
 
Cateto adjacente, cateto oposto e hipotenusa 
 Seja o triângulo retângulo ABC da figura e seus ângulos 
agudos α e β. 
 
Em relação ao ângulo α: 
 
• c é o cateto oposto. 
• b é o cateto adjacente. 
 
Em relação ao ângulo β: 
 
• b é o cateto oposto. 
• c é o cateto adjacente. 
 
 
Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo 
Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo definimos 
seno, cosseno e tangente como segue: 
 
Seno 
O seno do ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo 
e a hipotenusa 
h
CO
Sen= . 
 
Cosseno 
O cosseno do ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao 
ângulo e a hipotenusa 
h
CA
Cos= . 
 
Tangente 
A tangente do ângulo é a razão entre o cateto oposto 
e o cateto adjacente ao ângulo 
CA
CO
Tg = . 
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo 
recebem o nome de razões trigonométricas desse ângulo. 
As razões seno e cosseno são sempre números reais 
menores que 1, pois a hipotenusa é o lado de maior medida. 
 
Ângulos notáveis 
As razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º 
aparecem freqüentemente nos problemas. Por isso, vamos 
apresentar essas razões na forma fracionária. 
 
Veja a tabela: 
 30º 45º 60º 
Seno 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
Cosseno 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
Tangente 
3
3
 
 
1 
 
3 
O ângulo oposto ao 
ângulo de 90º é a 
hipotenusa 
c 
b 
. 
α 
β 
3 
3 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 11
EXERCÍCIOS 
 
 
01. Encontre x na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
a) x = 6 cm b) x = 5 cm c) x = 4 cm 
 
d) x = 3 cm e) x = 2 cm 
 
 
 
02. Encontre x na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
a) x = 2 cm b) x = 3 cm c) x = 5 cm 
 
d) x = 6 cm e) x = 7 cm 
 
 
 
03. Um engenheiro, situado a 100m de uma torre avista o topo da 
torre sob umângulo de 30º. A altura da torre vale: 
 
a) m350 b) m
3
3100
 c) 3100 
d) m
3
350
 e) n.d.a 
 
 
04. Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º em relação à 
pista. Qual será a altura do avião quando este percorrer 4000m 
em linha reta? 
 
a) 1000m b) 2000m c) 3000m 
 
d) 4000m e) 5000m 
 
 
 
05. Uma escada de 8m é encostada em uma parede, formando com 
ela um ângulo de 60º. A que altura da parede a escada se apóia? 
a) 2m b) 3m c) 4m 
d) 5m e) 6m 
TRIÂNGULOS 
 
 
 Definição 
 São dados os pontos A, B e C, distintos e não colineares. 
Tomemos as retas AB , AC , BC . Sobre estas retas tomamos 
os segmentos AB, AC , BC . A figura formada é chamada a 
de triângulo. Os pontos A, B e C são chamados de vértices e os 
segmentos AB , AC , BC de lados do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos simplificar o nome do triângulo da seguinte forma: 
∆ABC. Lê-se "triângulo ABC". 
 Na figura abaixo os ângulos i1 , i2 e i3 são chamados de 
ângulos internos e ângulos e1 , e2 e e3 são chamados de ângulos 
externos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Classificação dos triângulos 
 Quanto aos lados, podemos classificar os triângulos em 
três tipos: 
a) Triângulo equilátero - possui três lados congruentes. 
b) Triângulo isósceles - possui dois lados congruentes. 
c) Triângulo escaleno - possui os três lados não congruentes 
dois a dois. 
 
 Quanto aos ângulos, podemos classificar os triângulos 
em três tipos: 
a) Triâgulo retângulo - possui um ângulo igual a 90º. 
b) Triângulo acutângulo - possui todos os ângulos com 
medidas menores que 90º. 
c) Triângulo obtusângulo - possui um ângulo com medida 
maior que 90º. 
 
Mediana 
A mediana de um triângulo qualquer é um segmento com 
extremidades e um vértice e no ponto médio do lado oposto ao 
vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interior do triângulo ABC 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 12
 Altura 
 A altura relativa a um dos lados de um triângulo é o segmento 
perpendicular ao lado, com extremidades no vértice oposto ao 
mesmo lado e no lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mediatriz 
 A mediatriz relativa a um dos lados de um triângulo é a reta 
perpendicular ao lado que passa elo seu ponto médio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M é o ponto médio. 
 t é a mediatriz relativa ao lado AB. 
 
 Bissetriz 
 Uma bissetriz de um triângulo é a bissetriz de um dos ângulos 
do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 s é a bissetriz relativa ao ângulo interno BAC 
 t é a bissetriz relativa ao ângulo externoDBA ˆ 
 s pode ser chamada de bissetriz interna 
 e t pode ser chamada de bissetriz externa 
 
 Ângulos em um triângulo 
 Em um triângulo qualquer a soma de um ângulo interno com 
um ângulo externo é igual a 180º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A soma dos ângulos internos em um triângulo qualquer vale 
180º. 
i1 + i2 + i3 = 180º 
 
 A soma dos ângulos externos de um triângulo qualquer é 
igual a 360º. 
e1 + e2 + e3 = 360º 
 
 
 Teorema do ângulo externo 
 Qualquer ângulo externo em um triângulo qualquer tem 
medida igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a 
ele. 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
EXERCÍCIOS 
 
1- Num triângulo acutângulo isósceles um ângulo é o 
quádruplo do outro. Qual o menor ângulo do triângulo? 
 
2 - As medidas em graus, dos ângulos internos de um triângulo 
são x, 2x 3x. Quanto mede o menor ângulo interno desse 
triângulo? 
 
3 - Um ângulo agudo de um triângulo retângulo mede o 
quádruplo da medida do outro ângulo agudo. Quanto mede o 
menor ângulo interno desse triângulo? 
 
4 - (PUC) na figura, BC ≡ CA ≡ AD ≡ DE . O ângulo 
CAD mede: 
 
a) 10º 
b) 20º 
c) 30º 
d) 40º 
e) 60º 
 
 
5 - (UC-MG) Na figura abaixo, o ângulo ADC é reto. O valor, 
em graus, do ângulo CBD é 
 
 
a) 95º 
b) 100º 
c) 105º 
d) 110º 
e) 120º 
 
 
6 - (UF-MG) Os ângulos α e β da figura medem: 
a) α = 20º e β = 30º 
b) α = 30º e β = 20º 
c) α = 60º e β = 20º 
d) α = 20º e β = 20º 
e) α = 10º e β = 20º 
 
 
 
7 - (PUC) Na figura abaixo, a = 100º e b = 110º. Quanto mede 
o ângulo x? 
a) 30º 
b) 50º 
c) 80º 
d) 100º 
e) 220º 
 
 
8 - (PUC) Em um triângulo isósceles a média aritmética das 
medidas de dois de seus ângulos é 50º. A medida de um dos 
ângulos do triângulo pode ser: 
a) 100º b) 90º c) 60º 
d) 30º e) 20º 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 13
 Polígonos Convexos 
 Tomando-se um número n (n ≥ 3) de pontos ordenados A1 , A2 
, A3 , ... , An e tal forma que três pontos consecutivos não estejam 
em uma mesma reta, podemos montar os segmentos consecutivos 
21AA , 32 AA , ... , 1AAn . Chamaremos de polígono A1A2 , 
... , An à figura formada pelos pontos dos segmentos considerados 
acima. A cada um dos n pontos formados chamaremos de vértice e 
cada um dos segmentos chamaremos de lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação dos polígonos quanto ao número de lados 
 
Triângulo n = 3 
Quadrilátero n = 4 
Pentágono n = 5 
Hexágono n = 6 
Heptágono n = 7 
Octógono n = 8 
Eneágono n = 9 
Decágono n = 10 
Undecágono n = 11 
Dodecágono n = 12 
Tridecágono n = 13 
Icoságono n = 20 
 
 
 Elementos de um polígono 
 Diagonal 
 Diagonal de um polígono é o segmento obtido através de dois 
vértices não consecutivos do polígono. 
 
 
 
Na figura: AC , AD , BE , 
BD e EC são as diagonais de um 
pentágono. 
 
 
 
 
 Número de diagonais (D) de um polígono convexo com n 
lados 
2
)3( −⋅= nnD 
 
 Soma dos ângulos internos 
 A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n 
lados (n ≥ 3) é: 
 
 
 
Si = (n - 2) . 180º , Si = i1 + i2 + i3 
... + in 
 
 
 
 
 
 
 Soma dos ângulos externos 
 
Se = 360º , Se = e1 + e2 + e3 + ... + en 
 
 
 Polígonos regulares 
 Um polígono será chamado de regular quando: 
a) possuir todos os lados iguais. 
b) Possuir todos os ângulos internos iguais. 
 
 Para um polígono regular, teremos as seguintes relações 
com ângulos internos e externos. 
n
S
i i= 
n
S
e e= 
onde i e e representam ângulos internos e externos, 
respectivamente, e n é o número de lados do polígono. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
9 - Qual é o polígono que possui 14 diagonais? 
 
10 - O número de diagonais de um polígono é o triplo do número 
de lados. Que polígono é esse? 
 
11 - Considere um hexágono regular em que todos os ângulos 
internos e todos os lados são congruentes. Determine: 
a) O total de diagonais desse polígono. 
b) Quantas dessas diagonais passam pelo centro do hexágono? 
c) Quantas diagonais não passam pelo centro? 
 
12 - (IME) A soma dos ângulos internos de um polígono 
convexo é 1.080º. Calcule o número de diagonais desse 
polígono. 
 
13 - (Fuvest) Na figura abaixo, os ângulos a , b , c e d medem, 
respectivamente, 
2
x
 , 2x , 
2
3x
 e x. O ângulo e é reto. Qual 
a medida do ângulo f ? 
 
 
a) 16º 
b) 18º 
c) 20º 
d) 22º 
e) 24º 
 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 14
FUNÇÕES: INEQUAÇÕES 
 
1º caso: inequações simultâneas (sistemas) 
Resolver um sistema de inequações é determinar o intervalo 
em que todas elas são satisfeitas. 
O conjunto-solução é determinado pela intersecção das 
soluções. 
 
Exemplo 1: 
f(x) = 2 x –6 
g(x) = -2x –8 
 
Determinar o conjunto-solução do sistema: 
f(x) < 0 
g(x) > 0 
 
Solução: 
 2x - 6 < 0 -2x - 8 < 0 
 x < 3 (A) -2x < 8 
 2x > -8 
 x > -4 (B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º caso: inequações em multiplicações e divisões 
Dicas para resolução 
• Encontre as raízes das funções; 
• Coloque o sinal de y “antes” e “depois” de cada raiz, isto é, à 
direita e à esquerda; 
• Aplique a regra de sinal para multiplicação e divisão de 
número reais. 
 
Exemplo 2: 
1
102
1 ≥
+
−
x
x
 
 
Solução 
Denominador ≠ 0 
 
2x + 10 ≠ 0 e 01
102
1 ≥−
+
−
x
x
 
x ≠ -5 0
102
1012 ≥+
−−
x
xx
 
0
102
11≥
+
−−
x
x
 0≥
B
A
 
 
(A) – x – 11 = 0 (B) 2x +10 =0 
 x = -11 x = -5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
Resolva a inequação (x – 1) (5 x- x) ≥ 0 
Solução 
( ) ( ) 051 ≥−−
321321
BA
xx 
 
Vamos determinar as raízes de cada função e 
esboçarmos os gráficos: 
(A) x – 1 = 0 (B) 5 – x = 0 
 x = 1 x = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 - O conjunto verdade da inequação 
 x 5
3 -x 
+
≥ 0 é: 
a) {x ∈ R-5 < x ≤ 3} 
b) {x ∈ Rx < -5 e x ≥ 3} 
c) {x ∈ Rx < -5 ou x ≥ 3} 
d) {x ∈ Rx ≠ -5} 
e) {x ∈ Rx ≤ 5 ou x ≥ 3} 
 
2 – (PUC-SP) O menor numero inteiro k que satisfaz a 
inequação 8 – 3 (2k – 1) < 0 é: 
a) – 2 
b) – 1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
3 – (Cesgranrio) O número 
5
23 +x
 é o seno de um ângulo. 
Pode-se afirmar que: 
a) – 1 ≤ x ≤ 5 
b) – 1 ≤ x < 
3
7
 
c) – 1 ≤ x ≤ 2 
d) - 
3
7
 ≤ x ≤ 1 
e) - 
7
3
 ≤ x ≤ 
3
7
 
 
4 – (Cesgranrio) Os valores positivos de x, para os quais 
(x – 1) (x – 2) (x + 3) < 0, constituem o intervalo aberto: 
a) (1, 3) 
b) (2, 3) 
c) (0, 3) 
d) (1, 0) 
e) (1, 2) 
 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 15
5 – (EU-Londrina) Quantos números inteiros satisfazem a 
inequação ?0
1
4 ≥
+
−
x
x
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
6 – (UFR-PE) Quantas soluções possui o sistema: 
y < 3x 
y < - 3x + 6 
x > 0 
tais que x e y pertençam a Z? 
a) 0 b) 1 
c) 2 d) 3 
e) 6 
 
7 – (Fatec) Os gráficos cartesianos das funções f e g, de R 
em R, interceptam-se num ponto do 1º quadrante. Se f(x) = x 
+ 7 e g(x) = -2x + k, onde k é constante, então k satisfaz à 
condição: 
a) k > 7 
b) 1 < k ≤ 7 
c) 0 < k ≤ 1 
d) – 1 < k ≤ 0 
e) – 7 < k ≤ -1 
 
8 – (UF-Uberlândia) O domínio da função real 
f(x) = 
2
1
+−
+
x
x
 é: 
a) { x ∈ R / -1 < x < 2 } 
b) { x ∈ R / -1 ≤ x < 2 } 
c) { x ∈ R / -1 ≤ x ≤ 2 } 
d) { x ∈ R / x ≤ - 1 ∧ x > 2 } 
e) { x ∈ R / x ≤ -1x > 2 } 
9 – (UF-SE) O conjunto-solução da inequação 0
52
3 ≤
−
+
x
x
, 
em R, é: 
a) [- 3 ; 
2
5
 [ 
b) ]- 3 ; 
2
5
 [ 
c) [- 3 ; 
2
5
 ] 
d) ]-∞ ; -3 ] 
e) ] –∞ ; -3] ∪ ] 
2
5
 ; + ∞ [ 
10 – (UF-CE) O domínio da função real g(x) = 
7
2
−
−
x
x
 é: 
a) { x ∈ R / x > 7} 
b) { x ∈ R / x ≤ 2} 
c) { x ∈ R / 2 ≤ x < 7} 
d) { x ∈ R / x ≤ 2 ou x > 7} 
11 – (Eaesp-FGV) Resolver a inequação: 1
2
43 >
−
+
x
x
. 
a) 2 < x < 3 
b) 2 ≤ x ≤ 3 
c) – 3 ≤ x < - 1/2 
d) x ≥ 3 
e) n.d.a. 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
• f(x) = ax2 + bx + c 
a, b, c reais como a ≠ 0 
• Concavidade: 
a > 0 para cima 
a < 0 para baixo 
• Raízes da função: f(x) = 0 ax2 + bx + c = 0 (forma 
normal) 
a (x – x1) (x – x2) = 0 (forma fatorada) 
 ∆ = b2 – 4ac 







 ∆±−=
a
b
x
2
 Bhaskara 
 
 
S = x1 + x2 = 
a
b−
 
P = x1 . x2 = 
a
c
 
 
• Vértice da parábola: 
 
Xv = 
a
b
2
−
 
a
Yv 4
∆−
 
 
 
eixo de simetria 
 valor máximo 
 ou mínimo de uma 
 função 
• É pelo valor de yv que você determina o conjunto-imagem da 
função. 
• Se “adivinhar” as raízes da função por soma e produto está 
difícil, não perca tempo! Aplique Bhaskara. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
12 – (UF-MG) O gráfico da função quadrática y = ax2 + bx + c é: 
 
Pode-se afirmar que: 
a) a > 0 , b = 0 , c < 0 
b) a > 0 , b = 0 , c > 0 
c) a > 0 , b > 0 , c = 0 
d) a < 0 , b = 0 , c > 0 
e) a < 0 , b < 0 , c = 0 
 
13 – (Vunesp) A equação cujo gráfico está inteiramente abaixo 
do eixo dos x é: 
a) y = 2x2 – 4x – 5 
b) y = -x2 + 4x 
c) y = x2 – 10 
d) y = - x2 + 5 
e) y = -2x2 + 4x – 4 
 
14 – (F-Santana) Sejam 5/2 e –3/2, respectivamente, a soma e o 
produto das raízes da equação 2x2 + bx + c = 0. O valor de b 
+ c é: 
a) –8 
b) –2 
c) 1 
d) 2 
e) 8 
 
Soma e produto 
das raízes 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 16
15 – (Fuvest) a equação 01
2
1
=−−+
− x
x
x
x
 tem duas 
raízes. A soma e o produto dessas raízes são iguais a: 
a) -2 
b) 0 
c) 3 
d) -4 
e) 1 
 
16 – (PUC-MG) O ponto extremo V da função quadrática f(x) 
= x2 – 6x + 8 é: 
a) um máximo, sendo V = (3, -1) 
b) um mínimo, sendo V = (-3, +1) 
c) um máximo, sendo V = (-3, + 1) 
d) um mínimo, sendo V = (3, +1) 
e) um mínimo, sendo V = (3, -1) 
 
 
17 – (U-Fortaleza) Considere a função f: R → R, definida por 
f(x) = x2 – 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: 
a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4). 
b) F possui dois zeros reais distintos. 
c) F atinge um máximo para x = 1. 
d) O gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas. 
 
 
18 – (U-Mack) Em y = ax2 + bx + c, (a≠0), com a, b e c reais, 
tem-se y máximo para x = 2. Então: 
a) 4−=
a
b
 e a < 0 
 
b) b = - 4 e a > 0 
 
c) 
a
b
 = 4 e a qualquer 
 
d) 
a
b
 = 4 e c < 0 
 
e) b = 4a com a e c quaisquer 
 
19 – (PUC – MG) Uma função do 2º grau é tal que f(0) = 5, f(1) 
= 3 e f(-1) = 9. Então f(2) é: 
a) 0 
b) 2 
c) 3 
d) -3 
e) -5 
 
20 – (Fuvest) O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c são 
constantes, passa pelos pontos (0 , 0) e (1 , 2). Então f(-2/3) 
vale: 
a) -2/9 
b) 2/9 
c) -1/4 
d) 1/4 
e) 4 
 
21– (Vuynesp) Sempre que o discriminante da equação ax2 + 
2bx + c = 0 é igual a zero, com a ≠ 0 e b ≠ 0, então a, b e c: 
a) formam uma progressão geométrica 
b) formam uma progressão aritmética 
c) são positivos 
d) são negativos 
e) são diferentes 
 
22 – (Fuvest) A equação x2 - x + c = 0, para um conveniente 
valor de c, admite raízes iguais a: 
a) -1 e 1 
b) zero e 2 
c) - 1 e zero 
d) 1 e - 3 
e) - 1 e 2. 
 
23 – (Cesgranrio) Se m e n são as raízes de x2 – bx + 10 = 0, 
então 1/m + 1/n vale: 
a) 6 
b) 2 
c) 1 
d) 3/5 
e) 1/6 
 
24 – (UF-MG) Uma das raízes de f(x) = (x – a) (x – b) é igual a 4 
e o gráfico de f passa pelo ponto (5, 12). Pode-se afirmar 
que o mínimo da função é: 
a) 
4
121
 
b) 
2
3
 
c) 
4
121
 
d) 
8
3− 
 
e) – 28 
 
25 – (UF-MG) Para que o trinômio do segundo grau y = ax2 + bx 
+ c tenha um mínimo ponto (0, 4), os números reais a, b e c 
devem satisfazer às seguintes condições: 
a) a < 0, b = 0, c = 4 
b) a > 0, b = 0, c = 4 
c) a = 1, b = 0, c > 4 
d) a = 4, b < 0, c = 0 
e) a = 4, b > 0, c = 0 
 
26 - Uma função do 2º grau é tal que f(0) = 5, f(1) = 3 e f(1) = 9. 
Então f(2) é: 
a) 0 b) 2 c) 3 
d) -3 e) -5 
 
27 – A equação x2 – x + c = 0, para um conveniente valor de c, 
admite raízes iguais a: 
a) -1 e 1 b) zero e 2 
c) -1 e zero d) -1 e 2 
 
 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 17
INEQUAÇÕES E PROBLEMAS 
 
Variação de sinal da função 
 
Para descobrirmos o sinal de y na função y = f(x), 
podemos utilizar um conceito geral: 
 
a) Nas raízes reais ⇒ y = 0 
O gráfico intercepta o eixo dos x. 
 
b) Se o gráfico estiver abaixo do eixo dos x. 
y < 0. 
c) Se o gráfico estiver acima do eixo dos x. 
y > 0. 
 Você poderá encontrar seis casos possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1 – Resolva a inequação: 2x2 – 76 x + 3 < 0. 
 
Solução 
 
2x2 – 7x + 3 = 0 
∆ = b2 – 4ac 
∆ = 49 – 4 . 2 . 3 
∆ = 25 
 
3
2
1
4
57
21 ==⇒
±= xexx 
 
 
 
 
 
 
S = {x ∈ R / 
2
1
 < x < 3} 
 
 
2 – Resolva a inequação: 
 
)520)(96(
252
22
2
xxxx
xx
−+−
+−
≥ 0 
 
 Solução: 
 
0≥
BC
A
, com B ≠ 0 e C ≠ 0 (denominadores) 
Determinação das raízes: 
(A) 2 x2 – 5 x + 2 = 0 
∆ = 25 – 16 
∆ = 9 
 
4
35 ±=x 
2
1
1 =x 22 =x 
 
 
 
 
 
 
(B) x2 – 6x + 9 = 0 
∆ = 0 
x1 = 3 x2 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(C) 20 x – 5 x2 = 0 
x.(20 – 5x) = 0 
x1 = 0 x2 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 S = {x ∈ R / 0 < x ≤ 1/2 ou 2 ≤ x < 4 , x ≠ 3}EXERCÍCIOS 
 
 
1 – (EU-BA) O trinômio y = -2x2 + 3 x – 1 é: 
a) negativo, ∀x ∈ R 
b) positivo se x ≠ 1 e x ≠ 1/2 
c) negativo se – 1 < x < 1 
d) positivo se 1/2 < x <1 
e) negativo se x > - 1/2 
 
2 – (UC-MG) A solução da inequação x2 ≤ x é o intervalo real: 
a) ( - ∞; -1] 
b) [ -1; + ∞) 
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Apostila Brasil Cultural 18
c) [- 1; 0] 
d) [-1; 1] 
e) [0; 1] 
 
 
3 – (FGV) O lucro L de uma empresa é dado por L =- x2 + 8x – 
7, onde x é quantidade vendida. O lucro será positivo se, e 
somente se: 
a) 2 < x < 5 
b) x > 7 ou x < 1 
c) 1 < x < 7 
d) 0 < x < 12 
e) x > 12 
 
 
4 – (Cesesp) Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de 
um determinado artigo por V(x) = x2 – x, sendo o custo de 
produção dado por c(x) = 2x2 – 7x + 8. Assinale a 
alternativa correspondente ao número de artigos que devem 
ser vendidos mensalmente de modo que obtenha o lucro 
máximo. 
a) 15 unidades 
b) 5 unidades 
c) 1.000 unidades 
d) 3 unidades 
e) nenhuma unidade. 
 
 
5 – (FGV) Dado o sistema de inequações: 
 
- 2x2 + 3x + 2 ≤ 0 
 
x2 + x – 2 ≤ 0 
 
O intervalo que satisfaz essas inequações tem amplitude: 
a) 3/2 
b) 1/2 
c) infinito 
d) 1 
e) n.d.a 
 
 
6 – (UF-RS) As funções reais f e g são definidas em D por f(x) 
= 122 +− xx e g(x) = x – 1. Se f = g, então D é 
subconjunto de: 
a) [-1; 0] 
b) [0; 1] 
c) (- ∞; -1) 
d) (-∞; 0] 
e) (1; + ∞ ) 
 
7 – (UC-Salvador) No universo R, o conjunto-solução da 
inequação 
( )( )( )
0
4
221
2
>
−
+−+
x
xxx
 é: 
a) { x ∈ R  x > -1} 
b) { x ∈ R  x > 2} 
c) { x ∈ R  x > -1 e x ≠ 2} 
d) { x ∈ R  - 1 < x < 2} 
e) { x ∈ R  x < -2 ou x > 2} 
 
 
8 – (Eaesp-FGV) Determinar o domínio da função 
f(x) = 
3 2
2
1
5
−
−
x
x
. 
a) {x ∈ R / x ≤ - 5 ou x ≥ 5 } 
b) {x ∈ R / x ≤ -1 ou x ≥ 1} 
c) {x ∈ R / - 5 ≤ x ≤ 5 
d) {x ∈ R / x < -1 ou x > 1} 
e) n.d.a. 
 
 
9 – (FGV) Uma empresa produz quantidades x e y de duas 
substâncias químicas, utilizando o mesmo processo de 
produção. A relação entre x e y é dada por: (x – 2) (y – 3) = 
48. 
Essa equação é denominada curva de transformação de 
produto. As quantidades x e y que devem ser produzidas de 
modo a se ter x = 2y são tais que: 
a) x < 20 e y > 10 
b) x < 20 e y < 10 
c) x < 10 e y < 10 
d) x > 20 e y < 10 
e) x < 10 e y < 5 
 
 
10 – (F. Santana) Considerem-se dois números cuja soma é 18 e 
cujo produto é –32. A soma dos inversos desses números é 
igual a: 
a) – 9 
b) – 16/9 
c) –9/16 
d) 1/18 
e) 9/16 
 
 
11 – (PUC-RJ) A diferença entre dois números é 28 e seu 
produto é 333. Então sua soma é: 
a) 16 
b) 26 
c) 36 
d) 46 
e) 56 
 
12 – (FGV) Equação de oferta (Eo) é uma função econômica que 
relaciona o preço de venda unitário (p) com a quantidade (x) 
oferecida pelo produtor. Equação de demanda (Ed) é uma 
função econômica que relaciona o preço de venda unitário 
(p) com a quantidade (x) demandada pelo consumidor. 
Seja: 
Eo = 2x + p – 10 = 0 
Ed = p2 – 8x – 5 = 0 
Determinar o ponto de equilíbrio (PE) entre as duas funções: 
Nota: 
1. O PE é dado por um par de valores (x, p) que satisfaz as duas 
equações. 
2. Em economia, só interessam valores x ≥ 0, p ≥ 0. 
a) (-9,00; 0,50) 
b) (2,90; 4,00) 
c) (0; 0) 
d) (2,50; 5,00) 
e) n.d.a 
 
13 – A solução da equação 3x - 5 = 5x – 1 é: 
a) {-2} b) {3/4} 
c) {1/5} d) {2} 
e) {3/4, -2} 
 
14 – Os valores de x que satisfazem a equação x2 - 4x + 4=0 
são dois números: 
a) ímpares b) múltiplos de três 
c) primos d) divisores de três 
e) positivos 
 
 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 19
15 – Determine o conjunto solução da inequação 35 -x 3 < . 
 
16 – Dadas as funções f e g de R em R definidas por f(x) = x2 – x 
e g(x) = x + 1, qual das funções abaixo representa (fog) (x)? 
a) x2 + 1 
b) x2 –x + 1 
c) x2 - 13 
d) x2 + 2x + 1 
e) x2 + x 
 
17 – Sejam as funções: f(x) = 2x + 1 e g(x) = x – 3. O valor de 
g[f(3)] é: 
a) -1 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
18 – Determine as funções inversas f-1 (x): 
a) f(x) = 3x - 1 
b) f(x) = 4x - 3 
c) y = 
7 -x 
3 x +
 
d) f(x) = 2 x + 
 
19 – Dada f(x) = 4x – 1, determine f-1 (-3). 
 
20 – Represente graficamente as funções modulares dando o 
domínio e a imagem. 
a) f(x) = x . 
b) f(x) = x - 3. 
c) f(x) = x 2 – 3 x – 4. 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
 
 Numa equação exponencial a incógnita aparece uma ou mais 
vezes nos expoentes. 
 Didaticamente as equações exponenciais são divididas em 
tipos, porém, na realidade, essa divisão é apenas uma forma de 
ajudarmos você a se organizar para estudar a matéria. 
 Seu objetivo => encontrar os possíveis valores para a 
incógnita que fica no expoente. 
 Raciocínio => reduzir a equação à igualdade de potências de 
mesma base. 
 
Exemplo 1 
0,25 = 64 
34
4
1 =





x
 
3
4
1
4
1
3
−=⇒




=





−
x
x
 
 
{ }3−=S 
 
 Exemplo 2 
 18 65
2
=+− xx 
065 88
2
=+− xx 
 
Então, temos: 
0652 =+− xx 
32 21 == xx 
{ }3,2=S 
 
 Exemplo 3 
 55 3 −=+x 
 como: { }==⇒>+ φSx 05 3 
 
 Exemplo 4 
 4823 4 =⋅ x 
 1624 =x 
 4
4
22 44 =⇒= x
x
 
 x = 16 
 S = {16} 
 
 Nosso segundo passo é estudar equações exponenciais 
redutíveis à forma: 
k . a2x + m . ax + n = 0 
 
 Artifício: 
 
 Faça ax = y que resulta: 
K . y2 + m . y + n = 0 
 
 Observe que, assim, você resolverá uma equação do 2º grau na 
variável y. 
 Exemplo 5 
 42x - 17 . 4x + 16 = 0 
 
 Solução: 
 Fazendo 4x = y , temos: 
 y2 - 17y + 16 = 0 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 20
 Resolvendo a equação em y, temos: 
 y = 1 e y2 = 16 
 
 Logo: 
 
 4x = 1 ou 4x = 16 
 
 4x = 4º 4X = 42 
 
 x = 0 x = 2 
 
 S = {0 , 2} 
 
 Finalmente, uma outra situação permite que você "enxergue" a 
base conveniente para trabalhar, exigindo, porém, algum trabalho 
algébrico para chegar a uma igualdade de apenas duas potências. 
 
 Exemplo 6 
 Resolva a equação: 
 
 3x+1 -4 . 3x + 5 . 3x - 1 = 6 
 
 Solução: 
 
3x + 1 - 4 . 3x + 5 . 3x - 1 = 6 pode ser escrita de 
 outra forma: 
 3 . 3x -4 . 3x + 5 . 
3
3x
= 6 
 MMC = 3 => 9 . 3x - 12 . 3x + 5 . 3x = 18 
 
 (9 - 12 + 5) 3x = 18 
 
 2 . 3x = 18 => 3x = 9 3x = 32 = x = 2 
 
 S = {2} 
 
 Se você preferir, faça 3x = y 
 
 3 . y - 4y + 
3
5y
= 6 
 9y - 12y + 5y = 18 
 
 2y = 18 => y = 9 
 
 3x = 9 => x = 2 
 
 Outra solução: 
 
 3x + 1 -4 . 3x + 5 . 3x - 1 = 6 
 
 Colocando 3x - 1 em evidência, temos: 
 
 3x - 1 . (32 -4 . 3 + 5) = 6 
 
 2 . 3x-1 = 6 => 3x-1 = 3 
 então, x - 1 = 1 => x = 2 
 
 S {2} 
 
 A Segunda solução é mais rápida, mas é também aquela em 
que os alunos cometem mais erros. Portanto, decida com calma! 
 
 Atenção: 
 Você pode estar diante de uma armadilha! Aparecem 
equações exponenciais com bases diferentes em que a saída requer 
mais cuidado. 
 
 
Exemplo 7 
 Resolva a equação: 
 
 4x + 9x = 2 . 6x 
 
 Solução: 
 
 4x + 9x - 2 . 6x = 0 
 
 Dividindo a equação por 6x, temos: 
 
 02
6
9
6
4 =−+
x
x
x
x
 ou ainda: 
 
 02
32
3
32
2 22 =−
⋅
+
⋅ xx
x
xx
x
 
 
 02
2
3
3
2 =−




+





xx
 
 
 Fazendo y
x
=





3
2
 , temos: 
 
 01202
1 2 =+−⇒=−+ yy
y
y 
 
 Resolvendo a equação na variável, vem: 
 
 y1 = y2 = 1 
 
 Então, 1
3
2 =





x
 
 
 
0
3
2
3
2





=





x
 
 
 x = 0 => S = {0} 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1 – (Mack) Se (0 , 1)x - 5 = 10, determine x. 
 
 
2 – (Fatec) O valor de x, tal que 10x = 10-0,2 . 4 10 é: 
a) 0,05 
b) -0,05 
c) 0,5 
d) -0,5 
e) 0,005 
 
3 – (Fuvest) Se 416 . 525 = α . 10n , com 1 ≤ α < 10, então n é 
igual a: 
a) 24 
b) 25 
c) 26 
d) 27 
e) 28Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 21
4 – O valor de x que satisfaz a equação 33x-1 ⋅ 92x+3 = 273-x é: 
a) 1 b) 3 c) 5/2 
d) 1/3 e) 2/5 
 
5 – Seja a equação [2x – 3]x – 2 = 1. A soma e o produto de suas 
soluções são, respectivamente, os números: 
a) 3 e 2 b) 9 e 8 c) -5 e – 24 
d) -2 e – 8 e) 5 e 6 
 
6 – Se (x, y) é solução do sistema 
 




=−
=+
5 32
11 32
yx
yx
 então x + y é: 
a) 11 b) 3 c) 6 
d) 4 e) 5 
 
7 – A raiz da equação 2x-1 + 2x+1 + 2x = 7 é: 
a) um número primo 
b) um número negativo 
c) um número irracional 
d) um número maior ou igual a 1 
e) um múltiplo de 5 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL: INEQUAÇÕES 
 
 Função exponencial 
 Dado a ∈ R*+ e a ≠ 1, chama-se função exponencial de 
base e a a função: 
f : R → R, f(x) = ax 
 
 Exemplo 1 
 Construa o gráfico de f(x) = 2x. 
 Determine o conjunto-imagem. 
 
x 2x 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
1/8 
1/4 
1/2 
1 
2 
4 
8 
 
 Completando a tabela, notamos que y = 2x é uma função 
crescente. O seu gráfico será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No gráfico, você confirma que: 
 
a) aumentando x => y também aumenta; 
b) o gráfico passa pelo ponto (0 , 1); 
c) o domínio da função é R; 
d) o conjunto-imagem é R*+ . 
 
 
Exemplo 2 
 
Construa o gráfico de 
x
y 




=
2
1
 
 
 
x 2x 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
8 
4 
2 
1 
1/2 
1/4 
1/8 
1/16 
 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 22
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f2 (x) = 
x






2
1
 é uma função decrescente/ 
 
 No gráfico, observe que: 
 
a) aumentando x => y diminui 
b) o gráfico passa pelo ponto (0 , 1); 
c) o domínio da função é R; 
d) Im (f) = R*+ . 
 
 
f(x) = ax a > 0 a ≠ 1 
 
a > 1 => função crescente; 
 
0 < a < 1 => função decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 Desigualdades 
 
 Para resolvermos inequações exponenciais, devemos 
aplicar o conceito de função crescente ou decrescente. 
 
 1º caso a > 1 função crescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 



>
>
34
22 34
 



<
<
42
55 42
 
 
 
 Note que o sinal da desigualdade é mantido quando 
comparamos os expoentes. 
 
 Exercício resolvido 
 
1 - Qual o conjunto solução? 
 
a) 2x > 128 
b) 6
1
)25,1(
4
5 >





+x
 
 
Solução 
 
a) 2x > 128 
 
2x > 27 => x > 7 
 
 
mesmo sentido da desigualdade 
 
S = {x ∈ R / x > 7) 
 
b) 6
1
)25,1(
4
5 >





+x
 
 
61
4
5
4
5
61
>+⇒




>





+
x
x
 
 
 
 
 mantenha o sentido da desigualdade, pois a base 
4
5
 é 
maior do que 1. 
Se x + 1 > 6x > 5 
 
 
S = {x ∈ R / x > 5} 
 
 
 2º caso 0 < a < 1 função decrescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos: 
 
a) 23
2
1
2
1
23
>⇒




<





 b) 2
3
2
3
2
2
<⇒




>





x
x
 
 
 
 
 
Sentido invertido Inverta o sentido 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 23
 
 Exercícios resolvidos 
 
1 - Para que valores de m, a função abaixo é crescente? 
 
y = (m2 - 24)x 
 
 Solução: 
 Para que a função y = ax seja crescente, devemos ter a > 
1. 
m2 - 24 > 1 => m2 -25 > 0 
 Resposta: { m ∈ R / m < -5 ou m > 5} 
 
2 - Para que valores de m, a função f(x) = (2m - 1)x é decrescente? 
 Solução 
 Para que a função seja decrescente, devemos fazer: 
 
 0 < 2m - 1 < 1 
 
 2m -1 > 0 e 2m -1 < 1 
 m > 
2
1
 e m < 1 
 Resposta: S = {m ∈ R 
2
1
 < m < 1} 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – (PUC) Seja a função exponencial f(x) = ax. É correto afirmar 
que: 
a) ela é crescente se x > 0 
b) ela é crescente se a > 0 
c) ela é crescente se a > 1 
d) ela é decrescente se a ≠ 1 
e) ela é decrescente se 0 < x < 1. 
 
2 – (PUC-MG) Os valores de a ∈ R que tornam a função 
exponencial f(x) = (a - 3)x decrescentes são: 
a) a < 3 
b) 0 < a < 3 
c) 3 < a < 4 
d) a < 3 e a ≠ 0 
e) a > 3 e a ≠ 4 
 
3 – (FGV) Assinale a afirmação correta: 
a) (0,57)2 > (0,57)3 
b) (0,57)7 < (0,57)8 
c) (0,57)4 > (0,57)3 
d) (0,57)0,57 > (0,57)0,50 
e) (0,57)-2 < 1 
 
4 – (PUC-SP) Se y = 10x é um número entre 1.000 e 10.000, 
então x está entre: 
a) -1 e 0 
b) 2 e 3 
c) 3 e 5 
d) 5 e 10 
e) 10 e 100 
 
5 – (PUC-RS) Seja a função f: R → R definida por f(x) = 2x. 
Então, f(a + 1) - f (a) é igual a: 
a) 2 
b) 1 
c) f(a) 
d) f(1) 
e) 2 f(a) 
 
6 – (PUC-SP) Os gráficos das funções f(x) = ax e g(x) = x2 - 1 se 
interceptam em um ponto de abscissa 3. O valor de a é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 8 
e) 9 
 
7 – O gráfico da função real de variável real definida por 
 
x
x
212
101-
131
 f(x) −= 
a) intercepta o eixo das ordenadas no ponto -1 
b) intercepta o eixo das abscissas no ponto –1 
c) intercepta o eixo das ordenadas no ponto 2 
d) intercepta o eixo das abscissas no ponto 2 
e) não intercepta o eixo das abscissas 
 
8 – Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a solução da inequação f(x) > g(2 
– x) é: 
a) x > 0 b) x > 0,5 c) x > 1 
d) x > 1,5 e) x > 2 
 
9 –Determine o conjunto solução da inequação 
3
2
1
−






x
 ≤ 





4
1
. 
 
10 – A expressão P(n) = 40 - 40 ⋅ 2-0,34n permite calcular o número 
de artigos que um operário recém contratado é capaz de 
produzir diariamente, após n dias de treinamento. Para que 
esse operário produza pelo menos 30 artigos por dia, o 
menor valor inteiro de n é: 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
11 – Observe a figura. Nessa figura, está representado o gráfico de 
f(x) = Kax, sendo K e a constantes positivas. O valor de f(2) 
é: 
a) 3/8 
b) 1/2 
c) 3/4 
d) 1 
e) 2 
 
12 
f(x) 
3/2 
-3 x 0 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 24
OPERAÇÕES COMERCIAIS 
 
Operações comerciais são as operações feitas com 
mercadorias com a finalidade de lucro. Exemplos de operações 
comerciais são compras, vendas, permutas, etc. 
Na realização dessas operações, cálculos são necessários para 
a fixação de preços ou determinação de lucro. Embora esses 
cálculos não sejam objeto da Matemática Financeira, mas da 
Matemática Comercial, alguns deles serão analisados neste 
capítulo, a título de pré-requisito, pois sua compreensão poderá 
facilitar o estudo dos cálculos necessários à realização das 
operações financeiras. Estes, sim, objeto da Matemática 
Financeira, terão seu estudo iniciado a partir do próximo capítulo. 
 
PORCENTAGEM 
 
A expressão por cento que costuma ser usada na linguagem 
comum, e é indicada pelo símbolo %, pode sempre ser entendida 
com o mesmo significado de centésimo. Assim, quando se diz que 
dos 80 milhões de habitantes adultos de um país, 30% são 
analfabetos, isto significa que os analfabetos representam uma 
fração igual a 30/100 do total de habitantes adultos e corresponde 
a 24 milhões de habitantes. De fato, 
30% = 30/100 = 0,30 
e 30% de 80 = 0,30 ⋅ 80 = 24 
 
O valor total, 80 milhões, que corresponde ao total de 
habitantes adultos do país, sobre o qual foram calculados os 30%, 
é chamado principal. Os 24 milhões, que correspondem aos 30% 
desse total, chamam-se porcentagem. A fração 0,30, razão entre a 
porcentagem e o principal, é chamada taxa de porcentagem ou 
simplesmente taxa. Quando a taxa é escrita na forma de fração 
(centésimos), é chamada taxa unitária, quando é multiplicada por 
100 e seguida do símbolo %, é chamada taxa centesimal ou taxa 
percentual. 
Indicando por P o principal e por p a porcentagem, a taxa 
unitária i será dada por: 
 
i = 
P
p
 
 
e a taxa centesimal r será dada por: 
 
i = 
P
p
⋅ 
100 
 
A taxa unitária é mais cômoda quando se efetuam cálculos e, 
por essa razão, será sempre empregada nas fórmulas que são aqui 
deduzidas e utilizadas.O cálculo percentual é usado quando se quer comparar partes 
de totais diferentes ou quando se quer estudar a variação de valor 
de uma grandeza, de ordem financeira ou não. Serão abordadas 
aqui apenas algumas aplicações que envolvem operações 
comerciais, tais como acréscimos, descontos ou taxas de lucro em 
transações comerciais. 
 
ACRÉSCIMOS 
São calculados acréscimos sempre que se quer atualizar 
preços de bens ou de serviços, calcular preços de venda a partir 
dos preços de custo das mercadorias de modo a garantir ao 
comerciante certa taxa de lucro, enfm numa série de ocasiões. 
Chamando de Po o preço inicial ou valor inicial que deve ser 
acrescido e de i a taxa (unitária) de acréscimo, o acréscimo (ou 
porcentagem) AP será a fração (centésimos) calculada sobre Po, 
isto é: 
 
(1) 
∆P = 
P0 i 
 
O valor acrescido ou valor final será a soma do acréscimo 
com o valor inicial: 
 
P = Po + ∆P 
P = Po + Po i 
 
ou, ainda: 
 
(2) 
P = P0 (1 
+ i) 
 
Para calcular o valor inicial a partir do valor final, tem-se: 
 
(3) 
P0 = 
i)(1
P
+
 
 
A taxa também pode ser calculada a partir de (1) ou de (2): 
 
(4) 
i = 
oP
P∆
 
 
ou: 
 
(5) 
i = 
oP
1-P
 
 
Exemplo: 
Em janeiro de 1987, o salário mínimo estava fixado em R$ 
804,00. Em fevereiro desse mesmo ano, teve um acréscimo de 
20%. Qual foi o acréscimo e qual o valor do novo salário mínimo? 
 
Solução: 
∆P = Po i = 804 ⋅ 0,20 = 160,80 
P = Po + ∆P = 804 + 160,80 = 964,80 
O valor de P poderia também ser calculado diretamente 
como: 
P = Po (1 + i) = 804 (1 + 0,20) = 804 ⋅ 1,20 = 964,80 
 
Resposta: Houve um acréscimo de R$ 160,80 e o salário 
passou a ser R$ 964,80. 
 
Acréscimos simultâneos 
Às vezes ocorre que um mesmo valor Po está sujeito a dois 
ou mais acréscimos ∆1P, ∆2P, ..., ∆nP, que incidem sobre ele ao 
mesmo tempo, com taxas i1, i2, ..., in. Nesse caso, o valor final P 
será calculado como: 
 
P = Po + ∆1P + ∆2P + ... + ∆nP 
 
onde se tem: 
∆1P – Poi1 
∆2P – Poi2 
. 
. 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 25
. 
∆nP – Poin 
 
Tem-se, então: 
P = Po + Poi1 + Poi2 + ... + P0in 
 
ou ainda: 
 
(6) 
P – Po (1 + i1 + i2 + ... + 
in) 
 
O valor inicial Po também pode ser obtido a partir do valor 
final P e tem-se: 
 
(7) 
Po = 
n21 i...ii1
P
++++
 
 
A taxa total de acréscimo i também pode ser obtida e será a 
soma das taxas parciais. De fato, tem-se: 
 
i = 
oP
1-P
 
i = 
o
n21o
P
1)i...ii1(P −++++
 
Exemplo: 
Um funcionário recebe um salário-base de R$ 120.000. Tem 
um adicional de 20% de acréscimo para responder pela chefia da 
seção e outro adicional de tempo de serviço correspondente a 5% 
de acréscimo, ambos calculados sobre o salário-base. 
a) Quanto recebe ao todo? 
b) Qual a taxa total de acréscimos que tem sobre o salário-
base pela incidência dos adicionais? 
Solução: 
a) ∆1P = Poi1 = 120.000 ⋅ 0,20 = 24.000 
∆2P = Poi2 = 120.000 ⋅ 0,05 = 6.000 
P = Po + ∆1P + ∆2P = 120.000 + 24.000 + 6.000 = 150.000 
b) i = i1 + i2 = 0,20 + 0,05 = 0,25 
Se o item (b) fosse resolvido antes, o item (a) poderia ser 
resolvido como se segue: 
P = Po (1 + i) = 120.000 (1 + 0,25) = 150.000 
Resposta: 
a) Recebe o total de R$ 150.000,00 
b) Tem 25% de acréscimo sobre o salário-base 
 
Acréscimo sucessivos 
Suponha-se, agora, um valor inicial Po que sofreu vários 
acréscimos sucessivos taxas i1, i2, ..., in, de tal forma que cada 
acréscimo, a partir do segundo, incide sobre o valor já acrescido 
dos acréscimos anteriores. Nesse caso, tem-se, a cada acréscimo, 
valores P1, P2, ..., Pn, que podem ser calculados da seguinte forma: 
P1 = Po (1 ++ i1) 
P2 = P1 (1 ++ i2) = (1 ++ i1) (1 ++ i2) 
. 
. 
. 
Pn = Pn-1 (1 ++ in) = Po (1 ++ i1) (1 ++ i2) ... (1 = in) 
O valor final P = Pn será, então: 
(9) 
P – Po (1 ++ i1) (1 ++ i2) ... (1 ++ in) 
 
Se o problema é calcular Po ou i, tem-se; 
(10) 
Po = 
)i1)...(i(1 )i(1
P
n21 ++++++
 
e 
 i = 
o
n21o
o P
1)i(1 ... )i(1 )i1(P
P
1-P −++++++= 
ou 
(11) 
i = (1 ++ i1) (1 ++ i2) ... (1 ++ in) –1 
onde i é a taxa de acréscimo, resultante de vários acréscimos 
sucessivos. 
 
Exemplo: 
O preço de fábrica de uma mercadoria é R$ 3.500,00 mas, ao 
comprá-la na fábrica, o revendedor deve pagar ainda um imposto 
no valor de 10% desse preço. Quando a mercadoria é comprada no 
varejo por um consumidor, seu preço final é acrescido de 20%. 
Calcular seu preço no varejo a taxa total de acréscimo sobre o 
preço de fábrica que paga o consumidor. 
Solução: 
P = Po (1 + i1) (1 + i2) = 3.500 ⋅ 1,1 ⋅ 1,2 = 4.620 
I = (1 + i1) (1 + i2) –1 = (1 + 0,1) (1 + 0,2) – 1 = 1,1 ⋅ 1,2 – 1 
= 0,32 
Se a taxa i fosse calculada antes, o preço P poderia ser 
calculado como segue: 
P = Po (1 + i) = 3.500 (1 + 0,32) = 3.500 ⋅ 1,32 = 4.620 
Resposta: O preço no varejo foi R$ 4.620,00 e o acréscimo 
total sobre o preço de fábrica foi 32%. 
 
Exemplo: 
O preço de uma mercadoria foi remarcado três vezes neste 
mês, passando, a custar R$ 27.716,00. Quanto custava no mês 
passado se a primeira remarcação correspondeu a um acréscimo 
de 2,5% e as duas seguintes de 4% cada uma? 
Solução: 
Po = 
000.25
04,104,1025,1
716.27
)i(1 )i (1 )i (1
P
321
=
⋅⋅
=
++++++
 
 
Resposta: Custava R$ 25.000,00. 
 
Exemplo: 
O salário mínimo, que em janeiro de 1987 era R$ 804,00, 
passou a R$ 964,80 em fevereiro e sofreu novo aumento em 
março, passando para R$ 1.368,00. Qual a taxa de aumento que 
sofreu nos três primeiros meses daquele ano? 
 
Solução: 
i1 = 20,01
804
80,964 =− 
i2 = 4179,01
80,964
368.1 =− 
i = (1 ++ i1) (1 ++ i2) – 1 = 1,20 ⋅ 1,4179 – 1 = 0,7015 
 
Outra solução: 
i = 
804
368.1
 - 1 = 0,7015 
 
Resposta: A taxa total foi de 70,15%. 
 
 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 26
REGRA DE TRÊS SIMPLES E 
COMPOSTA 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
É o método prático empregado para resolver problemas do 
seguinte tipo: 
Quando compararmos duas grandezas A e B proporcionais, 
relacionando dois valores de A com dois valores correspondentes 
de B, determinar um dos quatro valores, uma vez que sejam 
conhecidos os outros três. 
 
 Grandeza A Grandeza B 
 • a1 .................................. b1 
 
Valores 
 → 
 
 
 • a2 .................................. b2 
 
A e B 
Serão G.D.P. se: 
Quando A aumenta, B também 
aumenta 
Quando A diminui B também 
aumenta 
Se A e B forem G.D.P. (produto 
em cruz a1, ⋅ b2 a2 ⋅ b2) 
Serão G.I.P. se: 
Quando A aumenta B diminui 
Quando A diminui B aumenta 
Se A e B forem G.I.P. (produto na 
horizontal a1 ⋅ b1 a2 ⋅ b2) 
(um dos quatro é a incógnita do problema) 
 
Exercícios: 
a) Se um pedreiro assenta 80 tijolos, trabalhando 5 horas, 
quantos tijolos ele assentará trabalhando 6 horas? 
Solução: (A) tijolos (B) horas 
 80 ...................... 5 Aumenta as 
horas, aumenta também a quantia de tijolos 
 x ...................... 6 
A e B ======= G.D.P. 
 80 ⋅ 6 = 5x → x = 
5
6080⋅
= 96 
 
b) Uma pessoa gasta 25 minutos para percorrer certa 
distância, caminhando 54 passos por minuto. Quanto tempo 
levaria para vencer a mesma distância se desse 45 passos por 
minutos? 
Solução: 
(A) tempo (B) passos/minutos 
 25 ..................................... 54 
 x ...................................... 45 Para percorrer a mesma 
distância, se ele diminui os passos, o tempo 
 aumenta, 
portanto, um aumenta, o outro diminui. 
 x ⋅ 45 = 25 ⋅ 54 ... x = 30 minutos G.I.P. 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
É o método prático empregado para resolver problema 
análogo ao da regra de três simples, só que envolvendo MAIS DE 
DUAS GRANDEZAS PROPORCIONAIS. 
A grandeza que tiver a incógnita será denominada 
GRANDEZA FUNDAMENTAL. 
 
 
 
 
 
Grandeza 
A 
(fundamental) 
Grandeza 
B 
Grandeza 
C 
Grandeza 
D 
A1 
 
Xb1 
 
d 
 
 b2 
 c1 
 
i 
 
 c2 
 d1 
 
d 
 
 d2 
 
Comparamos cada grandeza (B, C, D, etc.) com a grandeza 
fundamental A (a que contém a incógnita) separadamente. 
Suponhamos que ocorra: B e A (GDP), C e A (GIP), e D e A 
(GDP) 
Neste caso, montamos a proporção → x ⋅ b1 ⋅ c2 ⋅ d1 = a1 ⋅ b2 ⋅ 
c1 ⋅ d2 
Lembrando: G.D.P. → produto em cruz 
 G.I.P. → produto na horizontal 
 
Exercício: 
a) Na abertura de um canal, 15 homens, trabalhando 8 horas 
diárias escavaram 400m3 de terra em 10 dias. Quantos homens 
serão necessários para escavar 600m3 trabalhando 15 dias de 6 
horas? 
 
Solução: 
(A) homens (B) horas/diárias (C) m3 (D) Dias 
 
 
x 
 8 
 
i 
 
 6 
 400 
 
d 
 
 600 
 10 
 
i 
 
 15 
A e B – G.I.P. 15 ⋅ 8 ⋅ 600 ⋅ 10 = X ⋅ 6 ⋅ 400 ⋅ 15 
A e C – G.D.P. X = 15 ⋅ 8 ⋅ 900 ⋅ 10 = 20 
homens 
A e D – G.I.P. 6 ⋅ 400 ⋅ 15 
 
A e B são G.I.P. porque: Trabalhando 8 horas por dia para 
cavar o túnel são necessários 15 homens, se diminuir para 6 por 
dia para cavar o mesmo túnel serão necessários mais homens (uma 
diminui e outra aumenta). 
A e C são G.D.P. porque: Se para cavar 400 m3 são 
necessários 15 homens, para cavar 600 m3 serão necessários mais 
homens (das duas grandezas aumentam). 
A e D são G.I.P. porque: Se para cavar o túnel em 10 dias são 
necessários 15 homens, se aumentarmos os dias diminuirão os 
homens (uma aumenta e outra diminui). 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 27
PROBABILIDADES 
 
NOÇÕES BÁSICAS 
 No estudo das probabilidades, utilizamos alguns 
termos que devem fazer parte do seu vocabulário. 
 Você sabe que alguns sorteios são feitos com 
chances iguais para todos. Já em uma corrida de cavalos, o 
resultado final não é tão imprevisível. Uma loteria esportiva 
também apresenta resultados prováveis, mas tome cuidado! 
 Você se lembra de quando o Japão ganhou do 
Brasil por 1 x 0 na Olimpíada de Atlanta? 
 Nem os japoneses esperavam o resultado. 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 Um experimento é chamado de aleatório quando o 
resultado é imprevisível. Podemos dizer que o resultado de um 
experimento aleatório depende do acaso. 
 
 Exemplo: Ao lançarmos um dado, o resultado pode ser 
qualquer número do conjunto U = {1, 2, 3, 4 ,5 , 6}. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL 
 O conjunto de todos os resultados possíveis é 
denominado espaço amostral. 
 Imagine que este ano nós temos quatro alunos 
concorrendo a duas vagas para oradores da festa de formatura. 
 Vamos considerar A = {a, b, c, d} = conjunto dos alunos. 
 
RESULTADOS POSSÍVEIS 
 E = }(a, b) (a, c) (a, d) (b, c) (b, d) (c, d)} 
 
 Embora esteja escrito em forma de par ordenado, neste 
exemplo, o par (a, b) eqüivale ao par (b, a). Portanto, o nosso 
espaço amostral tem seis resultados possíveis. 
 
EVENTO 
 Qualquer subconjunto do espaço amostral é um evento. 
 
Exemplo: 
 Você tem um tetraedro regular com faces numeradas de 
1 a 4. 
 Você joga o tetraedro sobre uma mesa e anota o número 
da face que fica em contato com a mesa. 
 U = {1, 2, 3, 4} 
 
 Podemos imaginar os seguintes eventos: 
a) sair um número par: A = {2,4} 
b) sair um número primo: B = {2,3} 
c) sair o número 1: C = {1} 
d) sair um número menor do que 5: D = {1, 2, 3, 4} 
e) sair o número 5: E = ∅ = {} 
 
PROBABILIDADE EM UM ESPAÇO FINITO 
 Você tem em uma urna dez bolas, sendo duas brancas, 
três verdes e cinco pretas. 
 Cada bola branca tem probabilidade 
10
1
 de sair. 
 
 Logo, a probabilidade de sair uma bola branca é: 
 P (A) = 
10
2
= 0,2 = 20% 
 A probabilidade de sair uma bola verde é: 
 
 P (B) = 
10
3
 = 0,3 = 30% 
 
 Finalmente, a probabilidade de tirarmos uma bola preta é 
de: 
 
 P (C) = 
10
5
 = 0,5 = 50% 
 
 Os números 
10
5
e
10
3
,
10
2
 são as probabilidades de cada 
evento. 
 
Importante: 
 
 Note que p(A), p(B) e p(C) são somas de eventos 
unitários. 
 Cada evento unitário tem probabilidade pi = 
10
1
. 
 p1 + p2+p3+ ... p10 = 1 = 100% 
 
 No nosso exemplo: 
 
 P(A) + P(B) + P(C) = 1
10
5
10
3
10
2 =++ . 
 
 Quando todos os eventos unitários têm igual 
probabilidade, o espaço amostral é denominado eqüiprovável. 
 Logo, se um evento A tem probabilidade 
 
 P(A) = 
)E(n
1
...
)E(n
1
)E(n
1 +++ 
 
P(A) = 
)E(n
)A(n
 
 
 No caso das dez bolas: 
 
 Cada bola tem probabilidade 
10
1
 de sair. 
 
 Brancas: )A(P
10
2
10
1
10
1 ==+ 
 
 Verdes: )B(P
10
3
10
1
10
1
10
1 ==++ 
 
 Pretas: )C(P
10
5
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1 ==++++ 
 
Exercícios resolvidos 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 28
1 – Num certo programa de TV, o participante joga dois dados 
com faces numeradas de 1 a 6 e ganha, se a soma dos pontos não 
der 7 nem 11. 
 Qual a probabilidade que ele tem de ganhar? 
 
Solução: 
 Vamos representar cada resultado possível em forma de 
par ordenado. 
 Assim: 1 no primeiro dado e 5 no segundo, escrevemos 
(1,5). 
 Então, nosso espaço amostral será: 
 
 E = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
 (3,1) (3,2) ...................................(3,6) 
 M M 
 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)} 
 n(E) = 36 pares ordenados. 
 
 Você perderá com os eventos: 
 (1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (4,3) (3,4) (6,5) (5,6) e ganhará com 
os demais resultados. 
 n (A) = 36 – 8 = 28. 
 
 P(A) = 
)E(n
)A(n
 
 P(A) = 
36
28
 
 P(A) = 
9
7
 
 
2. Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes 
mais provável do que sair coroa. Qual a probabilidade de sair cara 
no lançamento dessa moeda? 
Solução: 
 PC= 2x = probabilidade de sair cara. 
 PK = x = probabilidade de sair coroa. 
 2x + x = 1 
 
 x = 
3
1
 ⇒ PC = 
3
2
 
 Logo, a probabilidade de sair cara é 
3
2
. 
3. Uma urna contém dez bolas brancas, oito vermelhas e seis 
pretas, todas iguais e indistingüíveis ao tato. Retirando-se uma 
bola ao acaso, qual a probabilidade de ela não ser preta? 
Solução: 
 Para que a bola retirada não seja preta, ela deve ser 
branca ou vermelha. 
 Logo, temos: 
 n (A) = 8 vermelhas + 10 brancas = 18. 
 
 
)E(n
)A(n
)A(P = 
 
4
3
)A(P
24
18
)A(P =⇒= 
4. um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 
100. A probabilidade de o número ser múltiplo de 11 é: 
a) 
10
9
 
b) 
9
11
 
c) 
11
1
 
d) 
25
2
 
e) 
11
9
 
Solução: 
 
100 11 ⇒ temos 9 múltiplos de 11 de 1 a 100 
1 9 
 P(A) = 
)E(n
)A(n
 
 P(A) = 
100
9
 
 Alternativa : a 
 
EXERCÍCIOS 
01. Efetue os seguintes desenvolvimentos: 
a) (x + 2)5 
b) (x - 3)4 
c) 
5
3
1





 +x 
d) ( 5 - 3 )3 
 
02. Determinar o 6º termo (x - 2)7 
 
03. Determinar o 5º termo do desenvolvimento (x + 3)5, de acordo 
com as potências decrescentes. 
 
04. Determine o espaço amostral em um possível evento. 
a) Lançamento de um dado. 
b) Retirar uma carta de um baralho. 
c) Lançamento de uma moeda. 
 
05. Calcular a possibilidade de sair cara no lançamento de uma 
moeda perfeita. 
 
06. No lançamento de um dado perfeito, qual é a possibilidade de 
sair número maior do que 4? 
 
07. Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual a 
probabilidade de, ao acaso, retirar: 
a) Uma bola vermelha? 
b) Uma bola branca? 
 
08. Qual é a probabilidade de, ao retirar, ao acaso, uma carta de 
um baralho de 52 cartas, obter: 
a) Uma carta de Copas? 
b) Um Às? 
c) Um Às de Copas? 
d) Uma carta de naipe Vermelho? 
 
09. No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de 
que o resultado seja: 
a) Um número par? 
b) Um número primo? 
c) O numero 3? 
d) Um número menor que 3? 
e) Um número menor que 1? 
 
10. Escrevas em pedaços iguais de papel os números de 1 a 13. 
Dobre-os igualmente, de modo que qualquer um deles tenhaa 
mesma chance de ser retirado de uma caixa. Qual a probabilidade 
de que o número retirado seja: 
a) Par? 
b) Divisível por 3? 
c) Um número primo? 
d) Maior que 8? 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 29
 PROBABILIDADES 
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO 
 
UNIÃO DE EVENTOS 
 Você se lembra de que 
 n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B). 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). 
 
 
 
Exercício resolvido 
 
 Em uma reunião temos 100 vendedores e 50 
gerentes de venda. Metade dos vendedores e metade dos 
gerentes são de São Paulo. 
 Escolhendo um participante ao acaso, qual a 
probabilidade de ser ele de São Paulo ou um vendedor? 
Solução: 
 
 n(E) = 100 + 50 = 150 participantes. 
 
 n(A) = 25 gerentes são de São Paulo. 
 
 n(B) = 100 são vendedores. 
 
 Logo, 125 são de São Paulo ou vendedores. 
 
 P(C) = 
)E(n
)C(n
 
 P(C) = 
6
5
150
125 = 
 
Importante: 
 Dois eventos são mutuamente exclusivos se A ∩ B 
= ∅ 
 
 Logo, P(A ∩ B) = 0 
 
 Portanto: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
 
 
EVENTO COMPLEMENTAR 
 
 P(A ) = 1 – P(A) 
 
 A = evento complementar de A. 
 
Exercício resolvido 
 
 Escolhendo-se ao acaso um número inteiro de 1 a 
100, qual a probabilidade de que ele não seja múltiplo de 5? 
 
Solução: 
 De 1 a 100 temos 
5
100
 = 20 múltiplos de 5. 
 
 P(A) = 
)E(n
)A(n
 
 P(A) = 2,0
100
20 = 
 Logo: P (A ) = 1 – p(A) 
 P(A ) = 1 – 0,2 
 P(A ) = 0,8 probabilidade de não ser múltiplo de 5. 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
 Se você supõe que um evento já ocorreu, você tem 
uma probabilidade condicional para que ocorra um segundo 
evento. 
 
Exemplo: 
 
 Você joga dois dados e sabe que a soma é igual a 7. 
Qual a probabilidade de em um dos dados ter-se o número 
6? 
 
 Soma dos números igual a 7. 
 {(1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3) 
 
 Logo, o novo espaço amostral tem 6 elementos, 
pois já sabemos que a soma dos pontos é 7. 
 
 Os pares que têm o número 6 são (6, 1) e (1,6), 
Então: 
 
 P(A) = 
7
2
 
 
 
EVENTOS INDEPENDENTES 
 
 Se um evento B ocorreu e não influi na ocorrência 
do evento A, dizemos que A e B são eventos 
independentes. 
 A probabilidade condicional pode ser escrita da 
seguinte maneira: 
 
P(AIB) = 
)B(P
)BA(P ∩
 
P(AIB) = probabilidade de ocorrer A, dado que ocorreu B. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 Em uma urna temos dez bolas idênticas numeradas 
de 1 a 10. Sorteia-se uma delas e sabe-se que o número 
obtido é ímpar. Qual a probabilidade de o número ser 
múltiplo de 3? 
 
 
 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 30
Solução: 
 
 Evento A: ser múltiplo de 3 
 
 Evento B: ser ímpar 
 
 A = {3, 6, 9} 
 B = {1, 3, 5, 7, 9} 
 A ∩ B = {3, 9}. 
 
 P(B) = ==
2
1
10
5
 probabilidade de ser ímpar. 
 P(A ∩ B) = 
10
2
 = probabilidade de ser ímpar e 
múltiplo de 3. 
 P(AB) = 
)B(P
)BA(P ∩
 
 P(AB) = 
5
2
10
5
10
2
= 
 
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO 
 
 No caso de mais eventos, A, B, C... a probabilidade 
de ocorrer uma seqüência deles é obtida multiplicando-se: a 
probabilidade de :A pela probabilidade de B, supondo que 
A ocorreu, pela probabilidade de C, supondo que A e B 
ocorreram e, assim, sucessivamente. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
 1. Um professor tem 30 testes numerados de 1 a 30. 
Ele irá sortear dois deles para completar um exame 
simulado de vestibular. 
 Determinar a probabilidade de: 
a) ambos serem números pares; 
b) um deles ser par e o outro ser 
 
 
Solução: 
 
 a) E = {1, 2, 3, 4, ... 30} 
 
 Primeiro teste: p1 = 
2
1
30
15 = 
 Segundo teste: p2 = 
29
14
 supondo que o primeiro 
teste é par. 
 
 P(A) = p1 . p2 
 
 P(A) = 
29
14
2
1 ⋅ ⇒ P(A) = 
29
7
 
 
 b) Observe que você pode optar pelo primeiro 
sorteio com resultado par ou ímpar. 
 
 p1 = 1 (qualquer resultado serve!) 
 
 Supondo que o primeiro teste seja par, o segundo 
deverá ser ímpar e vice-versa. Sobram 29 testes dos quais 
15 não são do tipo do primeiro sorteio. 
 
 p2 = 
29
15
 
 P(B) = p1 . p2 
 
 P(B) = 1 ⋅ 
29
15
 ⇒ P(B) = 
29
15
 
 
 
Importante: 
 
 No caso de eventos independentes, isto é, o fato de 
um deles Ter ocorrido não altera a probabilidade de os 
próximos ocorrerem, podemos escrever: 
 
P(A∩ B) = P(A) ⋅ P(B) 
 
Um problema interessante 
 
 Em uma urna temos duas bolas azuis e quatro 
vermelhas. Uma Segunda urna contém uma azul e três 
vermelhas. Uma bola é retirada, ao acaso, da primeira urna 
e passada para a segunda. Sorteia-se, aleatoriamente, uma 
bola da segunda urna. Qual a probabilidade de que a bola 
escolhida seja vermelha? 
 
 Primeira urna: A, A, V, V, V, V. 
 A bola retirada da primeira urna passa para a 
segunda com 
6
2
 de probabilidade de ser azul e 
6
4
 de ser 
vermelha. 
 
 Segunda urna: 
 
 
 
 
A V V V V ( A
3
1
e V
3
2
) 
 
 P = 
15
11
P
5
3
2
3
=⇒
+
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Ao se tentar abrir uma porta com um chaveiro com 
várias chaves parecidas, das quais apenas uma destranca a 
referida porta, muitas pessoas acreditam que é mínima a 
chance de se encontrar a chave certa na primeira tentativa, e 
chegam mesmo a dizer que essa chave só vai aparecer na 
última tentativa, para esclarecer essa questão, calcule, no 
caso de um chaveiro contendo cinco chaves: 
a) a probabilidade de se encontrar a chave certa depois da 
primeira tentativa; 
b) a probabilidade de se acertar na primeira tentativa; 
c) a probabilidade de se acertar somente na última tentativa. 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 31
02. Escolhendo-se aleatoriamente três dos seis vértices de 
um hexágono regular, qual a probabilidade de que os 
vértices escolhidos formem um triângulo eqüilátero? 
 
03. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Sorteiam-
se, com reposição, duas bolas. A probabilidade de que o 
número da segunda bola seja estritamente maior do que o 
da primeira é: 
a) 
81
72
 
b) 
9
1
 
c) 
81
36
 
d) 
81
30
 
e) 
81
45
 
 
04. num grupo de 100 pessoas da zona rural, 25 estão 
afetadas por uma parasitose intestinal A e 11 por uma 
parasitose intestinal B, não se verificando nenhum caso de 
incidência conjunta de A e B. Duas pessoas desse grupo são 
escolhidas, aleatoriamente, uma após a outra. 
Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a primeira 
pessoa esteja afetada por A e a segunda por B. 
 
05. Considere todas as 32 seqüências, com cinco elementos 
cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 
1. Qual a probabilidade de escolhermos aleatoriamente uma 
delas e encontrarmos pelo menos três zeros em posições 
consecutivas? 
 
06. João lança um dado sem que Antônio veja. João diz que 
o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade agora 
de Antônio acertar é: 
a) 
2
1
 
b) 
6
1
 
c) 
6
4
 
d) 
3
1
 
e) 
36
3
 
 
07. Três pessoas A, B e C vão participar de um concurso 
num programa de televisão. O apresentador faz um sorteio 
entre A e B e, em seguida, faz um sorteio entre C e o 
vencedor do primeiro sorteio, para decidir quem iniciará o 
concurso. Se em cada sorteio as duas pessoas têm a mesma 
“chance” de ganhar, qual é a probabilidade de A iniciar o 
concurso? 
 
a) 12,5% 
b) 25% 
c) 50% 
d) 75% 
e) 90% 
 
08. Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao 
acaso. A probabilidade de que a soma dos resultados 
obtidos seja 3 ou 6 é: 
a) 
18
7
 
b) 
18
1
 
c) 
36
7
 
d) 
12
7
 
e) 
9
4
 
 
 
09. Os resultados de 1.200 lançamentos de um dado estão 
dispostos na listagem abaixo. 
 
Nº de face 1 2 3 4 5 6 
freqüência 100 200 200 300 100 300 
 
Admitindo-se, para dois novos lançamentos desse dado, as 
mesmas condições experimentais anteriores, tem-se: 
a) pelo menos uma ocorrência da face de nº 4. 
b) a ocorrência de uma face de nº 4 ou nº 6. 
c) quea probabilidade da ocorrência de pelo menos uma face de 
nº 6 é 
16
7
 
d) a ocorrência de uma face de nº par. 
e) que a probabilidade de ocorrência de uma face nº par é 
2
1
. 
 
10. Uma moeda é viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer 
cara numa jogada é 30% a mais do que a de ocorrer coroa. Se essa 
moeda for jogada duas vezes consecutivamente, a probabilidade 
de ocorrência de cara nas duas jogadas é: 
a) 49% 
b) 42,25% 
c) 64% 
d) 64,25% 
e) 15% 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 32
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
 
Média simples e ponderada 
 
Introdução 
 Os professores utilizam a média para calcular as notas 
bimestrais de seus alunos. Em estatística, a média é utilizada como 
medida de posição central, destacando a média aritmética como 
uma das medidas de tendência central. 
 
 
Tipos de Médias 
1. Média Aritmética 
A média aritmética de vários números é obtida pelo 
quociente da soma desses números pelo número de parcelas. 
Exemplo: 
Calcular a média aritmética dos números 2; 4 e 6. 
 
4
3
12
3
642 =⇒=⇒++= AAA mmm 
 
2. Média Geométrica 
A média geométrica de vários números é a raiz de índice 
igual ao número de fatores, do produto desses números. Exemplo: 
Calcular a média geométrica dos números 1 e 0,04. 
2,0
10
2
100
4
100
4
104,01
=⇒=⇒=
⇒⋅=⇒⋅=
mgmgmg
mgmg
 
 
3. Média Ponderada 
A média ponderada é obtida pelo quociente da soma dos 
produtos de cada número pelo respectivo peso, pela soma dos 
pesos. Exemplo: 
3
5
15
5
834
212
241322
=⇒=⇒++=
⇒
++
⋅+⋅+⋅=
mpmpmp
mp
 
 
4. Média Harmônica 
A média harmônica de vários números é igual ao inverso 
da média aritmética dos inversos desses números. Exemplo: 
Calcular a média harmônica dos números 2 e 3. 
 
4,2
5
12
12
5
1
2
1
6
5
1
1
2
6
23
1
2
3
1
2
1
1
=⇒=
⇒=⇒
⋅
=
⇒
+
=⇒
+
=
mhmh
mhmh
mhmh
 
EXERCÍCIO COMO EXEMPLO 
 
1) Dados os números 1; 2 e 4, calcule: 
a) A média Aritmética 
b) A média Geométrica 
c) A média ponderada cujos pesos são 2; 1 e 
1; 
d) A média harmônica. 
 
Solução: 
a) ...333,2
3
7
3
421 =⇒=⇒++= mamama 
b) 228421 3 333 =⇒=⇒=⇒⋅⋅= mgmgmgmg 
 
c)
2
4
8
4
422
112
141221
=⇒=⇒++
⇒
++
⋅+⋅+⋅=
mpmpmp
mp
 
 
d) Esta é com vocês!! 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 33
GEOMETRIA ESPACIAL: 
ÁREAS E VOLUMES SÓLIDOS 
 
 Para medir o volume de um corpo utilizamos como 
unidade fundamental o metro cúbico, que corresponde ao volume 
de um cubo de 1 m de aresta. 
 
 
 NOME SÍMBOLO VALOR 
Quilômetro cúbico Km3 1.000.000.000 m3 
Hectômetro cúbico hm3 1.000.000 m3 
M
úl
tip
lo
s 
Decâmetro cúbico dam3 1.000 m3 
 Metro cúbico m3 1 m3 
Decímetro cúbico dm3 0,001 m3 
Centímetro cúbico cm3 0,000.001 m3 
S
ub
-
m
úl
tip
lo
s 
Milímetro cúbico mm3 0,000.000.001 m3 
 
 Cada unidade é 1000 vezes maior que a unidade 
imediatamente inferior ou 1000 vezes menor que a unidade 
superior. 
 
Mudança de unidade 
 A conversão da unidade é feita deslocando-se a vírgula 
de três em três casas decimais para a direita ou para a esquerda. 
 
A escala é: 
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 
Exemplo: 
a) 0,0021 hm3 = 2,1 dam3 
b) 1,21 m3 = 1.210.000 cm3 
c) 0,61 mm3 = 0,00061 cm3 
 
VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS 
GEOMÉTRICOS 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Transforme: 
a) 2,6 hm3 = 2600 dam3 
b) 0,016 Km3 = 
c) 1,06 = 
 
2. O volume de um cubo é 27 cm3. Calcule a medida da aresta 
desse cubo. 
 
 
 a 
 
a 
 a 
 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 34
3. O volume de um paralelepípedo retângulo é 24 cm3, sabendo-
se que o comprimento é 4 cm, a largura é 3 cm. A altura desse 
paralelepípedo é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. O volume de um paralelepípedo retângulo é 1.620 m3. Calcular 
as arestas, sabendo que estas estão proporcionais aos números 3, 4 
e 5. 
 
 
 
 
 
 
5. Um prisma tem 3,5 cm de altura tem como base um retângulo 
de área 20 cm2. qual o volume desse prisma? 
 
 
6. Calcule o volume de uma caixa cilíndrica com 4m de diâmetro 
e 8m de altura. 
 
 
___________________RASCUNHO______________________
PRINCIPIO DE CONTAGEM OU PRINCIPIO 
MULTIPLICATIVO 
 
 
 O princípio fundamental da contagem estabelece o 
numero de maneira distintas de ocorrência de um evento composto 
de duas ou mais etapas independentes. 
 Se uma ação pode ocorrer de n modos e uma outra pode 
ocorrer de m modos, o numero total de maneiras de se realizar este 
acontecimento será n · m. Exemplos: 
 
1) João foi a uma loja e comprou 2 camisas diferentes e 3 calças 
diferentes. De quantas maneiras ele poderá se vestir? 
Solução: O primeiro acontecimento poderá ocorrer de duas 
maneiras distintas; o segundo, de três modos diferentes. 
O número de modos distintos de ocorrer os 
acontecimentos é 2 · 3, João poderá se vestir de 6 modos 
diferentes. 
Representemos as calças por {c1; c2; c3} e as camisas 
por {C1; C2}, fixamos uma camisa por vez e variamos as calças, 
esquematizando faremos. 
 Resposta: O número total de maneiras de se vestir será 2 · 3 = 6. 
 
2) Uma padaria oferece 4 sanduíches e 4 tipos de refrigerantes. De 
quantos modos uma pessoa poderá fazer um lanche (um sanduíche 
e um refrigerante) 
Solução: Representando os sanduíches por: {S1; S2; S3; S4} e os 
refrigerantes por: { R1; R2; R3; R4}; 
Fixando um sanduíche por vez e variando os refrigerantes, 
teremos a seguinte esquematização: 
 
 
 
 
 c 
3 cm 
 
 4 cm 
 
 c 
a 
 
 b 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 35
 
Totalizando, obtemos 4 · 4 = 16 lanches diferentes que 
uma pessoa pode fazer. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
JUROS SIMPLES 
 Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física 
ou jurídica), recebemos de volta a quantia emprestada mais um 
quantia que denominamos de juros. 
 Chamamos de juros simples a remuneração de um 
capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um período de tempo 
determinado (n). 
 A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa 
unidade de tempo, e será expresso em porcentagem do capital. 
Exemplos: 
a) A taxa de juro de 5% a.d. – significa que o valor do juro 
é igual a 5% do capital, por dia. 
b) A taxa de juro de 20% a.m. – significa que o valor do 
juro é igual a 20% do capital, por mês. 
 
Capital (principal ou valor presente): 
 É a quantia aplicada ou emprestada por um período de 
tempo. 
 
Prazo (ou tempo) 
 É o período de aplicação do capital. 
 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
 
 O regime de capitalização pode ser simples ou 
composto. 
 
 Regime de capitalização simples: 
 No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide 
sobre o capital inicial, e no final de cada período os juros obtidos 
serão iguais ao produto do capital pela taxa do período. 
 
CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES E MONTANTE 
 
 Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, 
durante n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização 
simples. 
 Os juros formados no final de cada período serão iguais, e 
portanto teremos: 
 
 | | | | | | 
0 1 2 3 . . . n-1 n 
 
J1 = J2 = J3 = ...............................= Jn = Ci 
 
O juro total dos n períodos será: 
J = J1 + J2 + J3 + .................+ Jn 
J = Ci + Ci + Ci + ..............+Ci 
 
J = Cin 
 
Para o caso do montante teremos: 
M = C + J 
M = C +Cin 
 
M = C (1 + in) 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 1. Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de 
R$ 200,0 para que renda R$ 80,00 de juros, sendo a taxa de 1% 
a.m.? 
Solução: 
C = R$ 200,00 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 36
J = R$ 80,00 
i = 1% a.m. 
n = ? 
 
J = C · i · n 
80 = 200 · 0,01 ·n 
80 = 2n 
n = 80 = 40 
 2 
R: n = 40 meses ou 3 anos e 4 meses 
 
 2. Um capital de R$ 4.000,00 rendeu em 1 mês a importância 
de R$1.000,00 de juros. Calcule a taxa? 
Dados: 
C = R$ 4.000,00 
n = 1 mês 
i = ? 
J = R$ 1.000,00 
 
J = C · i · n 
1.000 = 4000 · i ·1 
1.000 = 4000i 
i = 1.000 = 0,25 
 4.000 
R: i = 0,25 ou i = 25% a.m. 
 
3. Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz 
em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,000. 
Solução : 
i = 1% a.m. 
n = 13 meses 
J = R$ 650,00 
 
J = C · i· n 
650 = C · 0,01· 13 
650 = C · 0,13 
C = 650 ⇒ 5.000 
 0,13 
 
 
TAXAS PROPORCIONAIS 
 
 Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando 
seus valores formam uma proporção com os seus respectivos 
períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade. 
 
 Assim, sendo teremos: i1 = i2 
 n1 n2 
 
 
Exemplos: 
1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a. 
Solução: 
..%22412
12
24
1 11
1
2
2
1
1 maii
i
n
i
n
i =⇒=⇒=== 
R. 2% a.m. 
 
2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m. 
 ..%18
12
5,1
12 1
1
2
2
1
1 aai
i
n
i
n
i =⇒
=
=⇒= 
R. 18% a.a. 
TAXAS EQUIVALENTES 
 
 Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando 
aplicadas a um mesmo capital, num mesmo período de tempo, 
produzem juros iguais. Exemplo: 
 
 Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 
1.000,00: 
a) A taxa de 2% a.m., durante 3 meses 
b) A taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos. 
 
Solução: 
a) J = ? 
C = R$ 1.000,00 
i = 2% a.m. 
n = 4 anos 
 
b) J = ? 
C = R$ 1.000,00 
i = 1,5% a.a. 
n = 4 anos 
 
 Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% 
a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a. 
 
PRAZO MÉDIO 
 Para o cálculo do prazo médio, mencionaremos quatro casos 
a saber: 
 
Capitais e taxas iguais: 
 Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética 
simples dos prazos dados. 
 Exemplo: Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% 
a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa, durante 4 
meses. Qual o prazo médio dessa aplicação? 
Solução: 3
2
6
2
42 ==+ meses (prazo médio) 
 
Capitais diferentes e taxas iguais: 
 Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo 
médio é calculado pela média aritmética ponderada dos prazos 
pelos capitais. 
 Exemplo: Determine o prazo médio de aplicação de dois 
capitais, de R$ 1.200,00, e de R$ 1.800,00, aplicadas durante 1 
ano e 3 anos, respectivamente, a taxas iguais? 
 Solução: Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais. 
 
 1 . 1.200 = 1.200 
 3. 1.800 = 5.400 
 
 Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais 
teremos: 6.600 = 2.2 anos. 
 3.000 
R: O prazo médio é de 2,2 anos. 
 
Capitais iguais e taxas diferentes: 
 Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução 
é idêntica ao caso anterior. 
 
Capitais e taxas diferentes: 
 Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é 
calculado pela soma dos produtos dos capitais pelo tempo de 
aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos 
produtos do capital por essa referida taxa de aplicação. 
 
 Exemplo: Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais: 
R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 
dias? 
 
Tempo capitais taxas = valor ponderado 
 20 800 0,015 = 240 
 30 1.000 0,02 = 600 
 840 
 
prazo médio = soma dos valores ponderados ⇒ 
 soma dos produtos dos capitais pela taxa 
J = C · i · n 
J = 1000 · 0,012 · 3 
J = 60,00 
J = C · i · n 
J = 1000 · 0,015 · 4 
J = 60,00 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 37
⇒ prazo médio = 840 ⇒ 
 (800.0,015) + (1.000 . 0,02) 
⇒ prazo médio = 840 = 840 = 26,24 dias 
 12+20 32 
 
TAXA MÉDIA 
 
 Sejam os capitais C1; C2; C3...Cn, aplicamos as taxas i1; i2; 
i3...in respectivamente, durante o mesmo período de tempo. 
 A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, 
aplicados a esta taxa e no mesmo prazo, obtendo um total de 
rendimentos idênticos as aplicações originais. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Um capital de R$ 6.000,00 aplicado durante 2 meses, a juros 
simples, rende R$ 2.000,00. determinar a taxa de juros cobrada. 
a) 16,67% a.m. 
b) 6,67% a.m. 
c) 15,76% a.m. 
d) 10,76% a.m. 
e) N.R.A 
 
2. Calcular o juro e o montante de uma aplicação R$ 10.000,00 
durante 1 ano, a taxa de juros simples de 0,5% a.m. 
a) J = R$ 400,00 e M = R$ 10.000,00 
b) J = R$ 600,00 e M = R$ 10.600,00 
c) J = R$ 500,00 e M = R$ 11.000,00 
d) J = R$ 800,00 e M = R$ 10.500,00 
e) N.R.A. 
 
3. Em quanto tempo um capital colocado a 0,4%a.m., rende 
5
2 do 
seu valor? 
a) 60 meses 
b) 70 meses 
c) 80 meses 
d) 100 meses 
e) N.R.A 
 
4. Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros 
de 1,8% a.m., e parte a 3% a.m. Se os juros mensais forem de R$ 
480,00, quais as partes correspondentes do investimento? 
a) R$ 3.000,00 e R$ 17.000,00 
b) R$ 5.000,00 e R$ 15.000,00 
c) R$ 4.000,00 e R$ 20.000,00 
d) R$ 6.000,00 e R$ 18.000,00 
e) N.R.A 
 
5. A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de 
valor ao fim de: 
a) 18 meses 
b) 24 meses 
c) 25 meses 
d) 50 meses 
e) N.R.A. 
 
6. Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços 
rendendo 3% a.a. e a parte restante rendendo 3%a.a. No fim de 
um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 
500,00. Qual era o capital inicial? 
a) R$ 30.000,00 
b) R$ 25.000,00 
c) R$ 20.000,00 
d) R$ 15.000,00 
e) N.R.A. 
 
7. Um banco efetuou os seguintes empréstimos com juros simples 
conforme tabela abaixo. Calcule a taxa média mensal destas 
operações: 
Principal (R$) Taxa mensal Prazo (meses) 
10.000,00 20% 2 
20.000,00 10% 4 
a) 10% a.m. 
b) 11% a.m. 
c) 13,33% a.m. 
d) 12% a.m. 
e) N.R.A. 
 
8. Três capitais iguais a R$ 2.000,00 foram aplicados a mesma 
taxa durante 2, 3 e 4 meses respectivamente. Qual o prazo médio? 
a) meses 
b) meses 
c) meses 
d) 1,5 mês 
e) N.R.A. 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
 No regime de capitalização composta os juros de cada 
período são calculados da seguinte maneira: 
 
C = M0 M1 = M0 + J1 M2 = M1 + J2 M3 = M2 + J3 
 | | | | 
 1 2 3 
 J1 = M0 
. i J2 = M1 
. i J3 = M2 
. i … 
 Calculando os montantes a partir da época zero e 
substituindo o resultado obtido, numa época, tem-se no montante 
seguinte: 
M0 = C 
M1 = M0 + M0 · i = M0 (1+i) = C (1 + i) 
M2 = M1 + M1 · i = M1 (1 + i) = C (1 + i) · (1+i) = C (1+i)
2 
M3 = M2 + M2 · i = M2 (1 + i) = C (1 + i)
2 · (1+i) = C (1+i)3 
 Podemos escrever para a época n: 
 Montande no final de n períodos: 
M = C (1 + i)n 
 Os juros obtidos no final de n períodos serão obtidos por: 
 J = M – C 
 J = C (1 + i)n – C 
 J = C [(1 + i)n – 1] 
 
Exemplo: 
 Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% 
a.m. durante 8 meses. Calcular o montante. 
SOLUÇÃO: 
1º Processo com uso de tabela 
C = R$ 2.000,00 
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
n = 8 meses 
M = ? 
 
M = C (1 + i)n 
M = 2.000 (1 + 0,02)8M = 2.000 (1,02)8 
M = 2.000 · 1,17 
M = 2.343,32 
 
2º Processo com uso de logaritmos 
M = C (1 + i)n 
M = 2.000 · (1 + 0,02)8 
M = 2.000 · (1,02)8 
log M = log [2.000 · (1,02)8] 
log M = log 2.000 + log (1,02)8 
log M = log 2.00 + 8 · log 1,02 
log M = 3,3010 + 8 · 0,0086 
log M = 3,3010 + 0,0688 
log M = 3,3698 ⇒ M = 103,698 = 2.343,15 
 
 
 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 38
TAXAS EQUIVALENTES 
 Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando, 
aplicadas a um mesmo capital, em um mesmo período de tempo, 
produzem montantes iguais. 
 
Exemplo: 
 Calcular o montante produzido por um capital de R$1.000,00 
durante 1 ano, nas seguintes condições: 
a) 1% a.m. b) 13% a.a. 
SOLUÇÃO: 
a) M1 = C ⋅ (1+i)n 
 M1 = 1.000 ⋅ (1+0,01)12 
 M1 = 1.000 ⋅ (1,01)12 
 M1 = 1.000 ⋅ 1,13 
 M1 = 1.130 
b) M2 = C ⋅ (1 + i)n 
 M2 = 1.000 ⋅ (1 + 0,13)1 
 M2 = 1.000 ⋅ 1,13 
 M2 = 1.130 
 
 As taxas são equivalentes pois produziram o mesmo 
montante ao final do período de aplicação. 
(1 + id)
360 = (1 + is)
2 = (1 + it)
4 = (1 + iM)
12 = (1 + iA)
1 
id: taxa diária de juros compostos; 
iM: taxa mensal de juros compostos; 
i t: taxa trimestral de juros compostos; 
is: taxa semestralmente de juros compostos; 
iA: taxa anual de juros compostos. 
 
TAXA NOMINAL EFETIVA 
TAXA NOMINAL 
 É a taxa em que o período de capitalização é diferente do 
período a que se refere a taxa. 
Exemplos: 
• 10% a.a. capitalizados trimestralmente 
• 15% a.a. capitalizados mensalmente 
 
CÁLCULO DA TAXA EFETIVA 
Sendo: 
i: taxa efetiva no período inteiro; 
iK: taxa nominal correspondente a i; 
K: número de capitalização no período; 
i = 
K
i K
 
TAXA REAL E APARENTE 
 Num contexto inflacionário, a taxa aparente de juros, 
praticada nos contratos, é formada por uma taxa real de juros e 
por uma taxa de inflação. 
 Para termos o ganho real de uma operação financeira, 
devemos calcular a taxa de juros real, usando a expressão: 
(1+ i) = (1 + r) ⋅ (1+if) 
 
 onde: i = taxa aparente (nominal) 
 r = taxa real 
 if = taxa de inflação 
 Estamos considerando que a taxa nominal e a taxa efetiva 
estejam relacionadas no mesmo período. 
Exemplo: 
 Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 6% a.a. 
capitalizada mensalmente? 
SOLUÇÃO: 
i = 005,0
12
06,0 ==
K
i k
 
i = 0,5% a.m. 
 
EXERCÍCIOS 
1. A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% 
a.m. irá chegar, após 4 meses, o montante de: 
a) R$ 10.358,00 
b) R$ 10.368,00 
c) R$ 10.,78,00 
d) R$ 10.388,00 
e) N.R.A 
 
2. Considerando um depósito de R$ 5.000,00 em um banco que 
lhe pague juros compostos de 6% a.a., calcule os juros e o 
montante após decorrido o prazo de 1 ano. 
a) M = R$ 5.000,00 e J = R$ 200,00 
b) M = R$ 5.100,00 e J = R$ 100,00 
c) M = R$ 5.200,00 e J = R$ 150,00 
d) M = R$ 5.300,00 e J = R$ 300,00 
e) N.R.A 
 
3. O capital de R$ 10.000,00 colocado a juros compostos, 
capitalizados mensalmente, durante 3 meses, elevou-se no final 
desse prazo para R$ 15.000,00. Calcule a respectiva taxa de juros. 
a) 11,5% a.m. 
b) 12% a.m. 
c) 14,47% a.m. 
d) 13,5%a.m. 
e) N.R.A. 
 
4. Certo capital foi colocado a juros composto de 12% a.a., com 
capitalização semestral, durante 2 anos. Sabendo que rendeu R$ 
2.600,00 de juros, qual o montante obtido? 
a) R$ 12.504,76 
b) R$ 9.504,76 
c) R$ 3.540,76 
d) R$ 6.450,36 
e) N.R.A. 
 
5. Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., com 
capitalização trimestral, durante 1 ano e meio. Calcule os juros 
obtidos. 
a) R$ 96,00 
b) R$ 100,00 
c) R$ 126,20 
d) R$ 105,00 
e) N.R.A. 
 
6. Um capital foi aplicado, a juros compostos, a uma taxa i dada 
para um certo período. O montante no fim de n períodos é M. O 
capital C pode ser determinado pela seguinte expressão: 
a) M⋅ (1 - i)n 
b) M⋅ (1 + i)n 
c) 
ni
M
)1( −
 
d) 
ni
M
)1( +
 
e) N.R.A. 
 
7. Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por dois anos. Oferecem-
lhe o dinheiro com as seguintes taxas de juros: 
• 2% compostos trimestralmente. 
• 2% compostos bimestralmente. 
• 1% ao mês a juros compostos. 
• 2% ao mês a juros simples. 
Qual a melhor opção? 
a) 2% ao mês a juros simples. 
b) 2% compostos bimestralmente. 
c) 2% compostos trimestralmente. 
d) 1% ao mês a juros compostos 
e) N.R.A 
 
8. A taxa anual de juros compostos equivalente a 10% a.s. é: 
a) 5% a.a. 
b) 11% a.a. 
c) 21% a.a. 
d) 18% a.a. 
e) N.R.A. 
Banco do Brasil Matemática 
Apostila Brasil Cultural 39