Folha teorica 1 Estatistica 2 USTM 2021A

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UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS E EMPRESARIAIS 
 
FOLHA TEORICA 1-TEORIA DE PROBABILIDADE 
 
 
Introdução 
 
A teoria das probabilidades, teve seu início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esta permite que se calcule 
a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório; por outro lado, a palavra probabilidade deriva 
do Latim probare (provar ou testar) e informalmente é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou 
conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, 
dependendo do contexto. 
Os métodos da teoria de probabilidades são amplamente utilizados nos diferentes ramos das ciências naturais e da 
técnica: na teoria de segurança, teoria dos serviços à população, na física teórica, geodesia, astronomia, teoria de 
tiro, teoria de erros de observações, teoria de direcção automática, teoria geral das comunicações, teorias 
administrativas, entre outras. A teoria de probabilidades serve também de base para a estatística, matemática 
aplicada, a qual, por sua vez, é empregada na planificação e organização da produção, na análise de processos 
tecnológicos, no controle preventivo e de obtenção da qualidade da produção e para muitos outros fins. 
A probabilidade é um número que varia de 0 (zero) a 1 (um) e que mede a chance de ocorrência de um determinado 
resultado. Quanto mais próxima de zero for a probabilidade, menores são as chances de ocorrer o resultado e 
quanto mais próxima de um for a probabilidade, maiores são as chances. Pode mostransformar a probabilidade em 
um valor percentual, neste caso variando de 0%a 100%. 
 
Conceitos básicos 
Experimentos aleatórios 
Experimento é usado para descrever qualquer processo que gere resultado. 
Experimento aleatório é aquele que, repetido em idênticas condições, produz resultados que não podem ser 
previstos com certeza, ou seja, produz resultados explicados ao acaso. Embora não saibamos qual o resultado que 
irá ocorrer num experimento, em geral consegue descrever o conjunto de todos resultados possíveis que podem 
ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas 
que não podemos controlar. Por exemplo: se uma moeda for lançada, ela pode cair de tal forma que para cima sai 
cara ou coroa. Cada acontecimento aleatório, em particular a saída de cara, é resultado da acção de numerosas 
causas fortuitas (força com que a moeda foi lançada, a forma da moeda e muito mais). Não se pode considerar o 
efeito de todas estas causas no resultado, pois o seu número é muito grande e as leis de sua actuação são 
desconhecidas. 
 
Características 
 Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições; 
 Não se conhece o resultado do experimento “a priori”, porém pode-se descrever todos os possíveis 
resultados. 
 Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma estabilidade da fracção 
n
r
f  (lei dos Grandes Números). Onde: 
 n – número de repetições 
r – número de sucessos de um particular resultado 
Exemplo 1: 
a) Lançar um dado e observar o número da face de cima; 
b) Lançar duas moedas e observar as sequências de caras e coroas obtidas; 
c) De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, seleccionar uma bola e observar a sua cor; 
d) Observar o tempo que um certo aluno gasta para ir de táxi de sua casa até a escola. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Latim
 
 
Espaço Amostral ou Espaço de Resultados 
O Espaço amostral é o conjunto não vazio de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que 
representa o espaço amostral, é S ou Ω. 
O espaço amostral pode ser: 
Discreto – quando o espaço de resultado é finito ou infinito numerável; 
Continuo – quando o espaço de resultado é infinito não numerável. 
Nota: 
 Cada resultado individual de S é chamado de “elemento”, “membro” ou “ponto amostral”; 
 Se o espaço amostral é finito, pode-se listar seus elementos; 
 Os resultados de um experimento E podem ser descritos por mais de um espaço amostral 
 
Exemplos 2: Laçando um dado com todas faces enumeradas de 1 a 6, e observar o número da face de cima. 
Qual será o espaço amostral desse experimento? 
Solução: 
O espaço de resultados consiste nos seis números possíveis: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 
 
Exemplo 3: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente. Escreve o espaço amostral da experiência. 
Solução: 
Seja K – saída da cara; 
 C – saída da coroa. 
Pelo Princípio Fundamental de Contagem o espaço amostral da experiência terá 2*6 = 12 possibilidades: 
Ω = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, C1, C2, C3, C4, C5, C6} 
Nota: a listagem de todos elementos do espaço amostral (Ω) pode ser feita pelo diagrama de árvore ou por uma 
sentença. 
 
Diagrama de árvore 
 
Exemplo 4: Um experimento consiste em jogar uma moeda. Joga se a mesma pela segunda vez, caso ocorra uma 
cara. Se uma coroa ocorre no primeiro lançamento, então um dado é lançado uma única vez. 
a) Qual será o espaço amostral do experimento. 
 
 
O espaço amostral será: Ω = {CC, CK, K1, K2, K3, K4, K5, K6} 
b) Qual é a probabilidade de sair cara e numero par? 
 
Sentença ou regra 
É aplicado caso o espaço amostral tenha um número muito grande de elementos (infinito). 
Exemplo 5: observar o número total da população de Maputo que compra pacotes iniciais da telefonia móvel da 
de uma dada operadora por dia. 
Seja X” o número total da população de Maputo que compra pacotes iniciais da telefonia móvel dessa operadora 
por dia” 
Ω = {X l X 0 } 
 
Eventos ou Acontecimentos 
Evento ou Acontecimento é qualquer subconjunto do espaço amostral Ω, incluindo o conjunto vazio. Em geral 
indicamos um evento por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C,..., Z. 
Diremos que um evento A ocorre se, realizado o experimento, o resultado obtido for pertencente a A. 
 
Exemplo 6: Do exemplo 2 escreve o evento A constituído por todos os números pares. 
O sub espaço amostral constituído pelo conjunto de números pares é: A = {2, 4, 6} 
Exemplo 7: Do Exemplo 3 escreve o acontecimento B que consiste na saída de uma cara e de um número impar. 
O Subconjunto procurado é: B = {K1, K3, K5} 
 
 
Tipos de Eventos 
a) Evento nulo ou impossível – é aquele que nunca se verifica quando se realiza uma ou mais experiências. 
Exemplo 8: São eventos impossíveis: 
 Saída de cara e coroa no lançamento de uma moeda uma única vez; 
 Saída de um número impar maior que 5 no lançamento de um dado. 
 
b) Evento certo – aquele que sempre se verifica quando se realiza uma ou mais experiências. 
 Exemplo 9: são acontecimentos (eventos) certos os seguintes: 
 Saída de cara ou coroa no lançamento de uma moeda equilibrada; 
 Saída de um número natural menor que 7 no lançamento de um dado. 
 
c) Evento aleatório – aquele que a sua verificação depende do acaso, ou melhor, aquele que é impossível 
prever o seu resultado. 
Classificação dos eventos aleatórios 
a) Eventos independentes – são aqueles que o acontecimento de um deles, não depende de outro. 
b) Eventos dependentes – são aqueles que o acontecimento de um deles, depende de outro. 
Eventos incompatíveis ou mutuamente exclusivos – são aqueles que o acontecimento de um deles exclui o outro; 
isto é, se a intersecção entre eles é o conjunto vazio. 
 
Os eventos A e B são mutuamente 
excludentes, porque não se interceptam 
 
Eventos Complementares – são aqueles mutuamente exclusivos cuja união é o espaço amostral; 
 
Os eventos A e A’ são complementares 
a) Eventos elementares – são aqueles formados por um só resultado (elemento) da experiência; 
b) Eventos não elementares – são aqueles formados por dois ou mais resultado (elemento) da experiência; 
 
Exemplo 10: um dado é lançado e observado o número de faces de cima. 
 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Sejam os eventos: 
A: ocorrência de número impar;D: ocorrência do número 4; 
B: ocorrência de um número par; E: ocorrência de um número menor que 7; 
C: ocorrência de múltiplo de 3; F: ocorrência do número 8. 
Classifica os eventos acima. 
 
Solução: A = {1, 3, 5}; B = {2, 4, 6}; C = {3, 6}; D = {4}; E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; F = {} 
Os eventos A, B, C e E são não elementares 
O evento D é elementar; 
O evento F é nulo ou impossível; 
Os eventos A e B são independentes e mutuamente exclusivo; 
O evento E é certo. 
 
 
 
 
 
 
A B 
A’ 
A 
 
 
Operações com eventos 
a) União de dois eventos 
Sejam A e B dois eventos; então A B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B (ou ambos) 
ocorrerem. 
 
 
b) Intersecção de dois eventos 
Sejam A e B dois eventos; então A B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem 
simultaneamente. 
Em particular, se A B =  , A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos. 
 
 
c) Complementar de um evento 
Seja A um evento; então 
cA ou �̅� será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer. 
 
 
Exemplo 11: um dado é lançado e observado o número de faces de cima. 
 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Sejam os eventos: 
A: ocorrência de número par; A = {2, 4, 6} 
B: ocorrência de número maior ou igual a 4; B = {4, 5, 6} 
C: ocorrência de um número impar. C = {1, 3, 5} Indica: 
 
a) O evento que consiste na saída de um número par ou número maior ou igual a 4; 
A B = {2, 4, 5, 6} 
b) O evento que consiste na saída de um número par e um número maior ou igual a 4; 
A B = {4, 6} 
c) O evento que consiste na saída de um número par e um número impar; 
AC = { } =  
d) O evento que consiste na saída de um número menor que 4. 

B = {1, 2, 3, 4} 
Diagrama de Venn 
Exemplo 12: seja dados os conjuntos abaixo, represente os num diagrama de venn 
M = {4, 5, 6, 7, 8} 
N = {6, 7, 8, 9, 10, 11} 
 
 
 
 
4.2 Conceitos de probabilidades 
Na introdução ao estudo da teoria de probabilidades, foi defenido o Experimento aleatório como sendo aquele 
que repetido muitas vezes em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, resultados explicados 
ao acaso. Foi com intuito de querrer medir o quão provável um evento pode ocorrer num experimento aleatório que 
se desenvolveu o estudo da Probabilidade. 
A probabilidade de um evento A, denotado por P(A), é um número que caracteriza o grau de possibilidade da 
ocorrência do acontecimento A. Este número varia de 0 a 1 (0 a 100%) e quanto mais próximo de um, maior é a 
chance de ocorrência do evento, e quanto mais próximo de zero, menor é achance de ocorrência do evento. 
Definição frequenciasta de probabilidade 
Num esperimento aleatório, embora não saibamos qual o evento que irá ocorrer, sabemos que alguns eventos 
ocorrem frequentimente e outros, raramente quando a experiência se repete muitas vezes. 
Exemplo 13: Consideremos a seguinte tabela relativa ao lançamento de uma moeda. 
Nº de lançamentos 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
Nº de caras 14 12 25 19 30 39 48 42 49 
Frequência relativa 0.7 0.4 0.63 0.38 0.5 0.56 0.6 0.47 0.49 
 
Pode-se observar que à medida que aumenta o número de lançamentos, as frequências relativas do acontecimento 
“sair a cara” estabiliza-se a volta do valor 0.5. 
O valor na qual se estabiliza a frequência relativa de um acontecimento, quando o número de experências cresce 
consideravelmente, representa a probabilidade do acontecimento. 
A frequência relativa (defenição frequencista de probalidade) é a relação entre o número de provas, nas quais o 
acontecimento ocorreu, e o número total de provas efectuadas de fato. 
n
m
Af )( Onde: m – é o número de verificações do acontecimento; n – é o número total de provas. 
Definição clássica de probabilidade 
Para calcular a probabilidade de um acontecimento, pela definição frequencista de probabilidade, teriamos que 
repetir a experiência em um grande número de vezes. Além disso, por esse procedimento nunca se obteria um número 
exato. Como forma de evitar esta inconveniência, Laplace (1749 – 1827) anuciou a definição clássica de 
probabilidade.Probabilidade clássica do acontecimento A é a relação entre o número de casos favoráveis a esse 
acontecimento e o número total de casos elementares igualmente possíveis que se excluem mutuamente e formam um 
grupo completo. 
n
m
possiveiscasosdetotalNumero
AntoacontecimeaofavoraveiscasosdeNumero
AP )( ; m  n 
Exemplo 14: Numa urna existem duas bolas brancas e seis vermelhas. Sorteando-se uma bola, qual é a 
probabilidade de ela ser branca? 
Solução: seja A” A bola sorteada na urna é branca” 
Os casos elementares, nos quais se verifica o acontecimento que nos interessa (casos favoráveis “saida de bola 
branca”), é igual a 2 e o número total de casos possíveis é igual à 8; isto é: m =2 e n = 8. Logo: 
%2525.0
8
2
)( 
n
m
AP 
Resposta: A probabilidade de sortear uma bola branca é de 25%. 
 
 
 Definição Subjectiva de probabilidade (conceito personalizado) 
A probabilidade subjectiva constituinte uma aproximação quantitativa a credibilidade que se atribui a um 
acontecimento, ou seja exprime o grau de credibilidade que um indivíduo, com o conhecimento que possui da situação, 
associa a certo acontecimento. É neste sentido que em geral, a palavra probabilidade aparece na linguagem 
corrente. 
Exemplo 15: A taxa de desemprego no próximo ano vai cair para 30%. Um especialista em economia e com todos 
os seus conhecimentos, pode afirmar tal acontecimento tem uma probabilidade de ocorrência de 0.8 
Propriedades 
1. A probabilidade de um acontecimento certo é igual à unidade; 
1)( 
n
m
AP ; Neste caso m = n 
2. A probabilidade de um acontecimento impossível é igual à zero; 
0)( 
n
m
AP ; Neste caso m = 0 
3. A probabilidade de um acontecimento aleatório é um número positivo, compreendido entre zero e a unidade. 
1)(0  AP ; Neste caso, nm 0 , o que significa que 1/0  nm ; 
4. A probabilidade de um acontecimento contrário é a diferença entre a unidade e a probabilidade do 
econtecimento; 
)(1)( APAP 

 
5. A probabilidade de dois acontecimentos complementares é igual à unidade; 
1)(...)()()( 321  nAPAPAPAP 
Exemplo 16: Em uma urna há 25 bolas das quais 10 vermelhas e 15 brancas. Tirando uma bola deste conjunto ao 
acaso, achar a probabilidade de que: 
a) A bola seja branca; 
b) A bola seja vermelha; 
c) A bola não seja branca. 
Solução: 
Seja B “A bola retirada da urna é branca” 
 V “A bola retirada da urna é vermelha” 
 10)(1 Bm ; 15)(2 Vm ; 25)()( 21  VmBm 
a) 4.0
25
10)(
)( 1 
n
Bm
BP 
b) 6.0
25
15)(
)( 2 
n
Vm
BP 
c) 6.04.01)(1)( 

BPBP 
Operações com probabilidades 
Teorema de soma 
A probabilidade de soma de dois eventos A e B, é igual a soma das probabilidades destes eventos 
a) Eventos incompatíveis: 
 )()()( BPAPBAP  
 
b) Eventos compatíveis: 
)()()()( BApBPAPBAP  
A 
 
B 
 
 
Teorema de produto 
A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B, é igual ao produto das probabilidades destes 
eventos. 
a) Acontecimentos independetes: 
)(*)()( BPAPBAP  
b) Acontecimentos dependentes: 
)/(*)()( ABPAPBAP  
Probabilidade Condicional 
)/( ABP é a probabilidade do acontecimento B, calaculada com a suposição de que o acontecimento A já ocorreu. 
0)(;
)(
)(
)/( 

 AP
AP
BAP
ABP 
Exemplo 17: Numa certa comunidade existem apenas dois jornais disponíveis, o jornal de Notícias e o Público. Sabe-
se que 91% das pessoas desta comunidade são assinantesde pelo menos um dos jornais, 58% são assinantes do 
jornal de Notícias e 14% são assinantes de ambos os jornais. Qual é a probabilidade de que uma pessoa escolhida 
ao acaso seja assinante: 
 
a) Do jornal o Público? 
b) Do jornal o Público sabendo que já é assinante do jornal de Notícias? 
Solução: 
Seja: A “A pessoa escolhida é assinante do jornal de Notícias” 
 B “ A pessoa escolhida é assinante do jornal o Público” 
Dados: 
;91.0)(  BAP 58.0)( AP ; 14.0)(  BAP 
a) %4747.0)(14.0)(58.091.0)()()()(  BPBPBAPBPAPBAP 
b) 2414.0
58.0
14.0
)(
)(
)/( 


AP
BAP
ABP = 24.14% 
Corolário 1: A probabildade de que ocorra apenas um dos n eventos é: 
)(*...*)(*)(...)(*...*)(*)()(*...*)(*)()( 212121 nnn APAPAPAPAPAPAPAPAPAP

 
Corolário 2: a probabilidade de que ocorra pelo menos um dos n eventos independentes é: 

 )(*...*)(*)(1)( 21 nAPAPAPAP 
Exemplo 18: Três aparelhos de alarme funcionam independentes um do outro. As probabilidaes de um bom 
funcionamento dos aparelhos são: 0.9, 0.89 e 0.93 respectivamente. Achar a probabilidade de que em um 
determinado dia: 
a) Todos aparelhos funcionem; 
b) Funcione apenas dois aparelhos; 
c) Todos os aparelhos não funcionem; 
d) Funcione pelo menos um dos aparelhos. 
 
Seja: p – a probabilidade do funcionamento do aparelho; 
q – a probabilidade de avaria do aparelho. Então: p1 = 0.9; q1 = 0.1; p2 = 0.89; q2 = 0.11; p3 = 0.93; q3 = 0.07. 
a) Seja A “ todos os aparelhos funcionam” 
Tendo em conta que o funcionamento de um dado aparelho não influencia o funcionamento do outro, odemos 
aplicar o Teorema de produtos para eventos independentes. 
P(A) = p1 * p2 * p3 = 0.9 * 0.89 * 0.93 = 0.7449 
b) Seja B”funcionam apenas dois aparelhos” 
 
 
Como funcionam apenas dois aparelhos dos três disponíveis, podemos aplicar o primeiro Corolário da 
probabilidade condicional. 
P(B) = p1 * p2 * q3 + p1 * q2 * p3 + q1 * p2 * p3 = 0.9 * 0.0.89 * 0.07 + 0.9 * 0.11 * 0.93 + 0.1 * *0.89 * 0.93 = 
0.2309 
c) Seja C” Não funcionam todos os aparelhos” 
P(C) = q1 * q2 * q3 = 0.1 * 0.11 * 0.07 = 0.0008 
d) Seja D” Funcione pelo menos um dos aparelhos” 
Como funcionam pelo menos um dos aparelhos, podemos aplicar o primeiro Corolário da probabilidade 
condicional. 
P(D) = 1 – P(C) = 1 – 0.0008 = 0.9992 
Probabilidade Total e Teorema de Bayes 
Probabilidade Total 
Suponhamos que o acontecimento A possa ocorrer se ocorrer um dos acontecimenteos que se excluem mutuamente 
B1, B2, ..., Bn, os quais formam um grupo completo. Suponhamos que sejam conhecidas as probabilidades condicionais 
P(A/B1), P(A/B2), ..., P(A/Bn), do acontecimento A. Para achar a probabilidade do acontecimento A, aplica-se o 
seguinte teorema: 
A probabilidae do acontecimento A (probabilidade total) que pode ocorrer sob condição de que ocorra um dos 
acontecimentos que se excluem mutuamente B1, B2, ..., Bn e que formam um grupo completo, é igual à soma dos 
produtos das probabilidades de cada um desses acontecimentos, pela correspondente probabilidade condicional do 
acontecimento A. 
P(A) = P(B1) * P(A/B1) + P(B2) * P(A/B2) + ... + P(Bn) * P(A/Bn) 
 
Exemplo 19: As peças produzidas numa fábrica caem para a verificação da sua standaridade a um de dois 
controladores. A probabilidade de que a peça caia ao primeiro controlador é igual a 0.6, e ao segundo, 0.4. 
Aprobabilidade de uma peça acabada ser reconhecida como standartizada pelo primeiro controlador é igual a 
0.94, e pelo segumdo, 0.98. Achar a probabilidade de que a peça seja estandartizada. 
Solução: 
Seja A” A peça acabada foi reconhecida como standartizada” 
 B1” A peça foi verificada pelo primeiro controlador” 
 B2” A peça foi verificada pelo primeiro controlador” 
Pelas condições do problema, tem-se: 
 
P(B1) = 0.6; P(B2) = 0.4; P(A/B1) = 0.94; P(A/B2) = 0.98 
Pela fórmula da probabilidade total teremos: 
P(A) = P(B1) * P(A/B1) + P(B2) * P(A/B2) = 0.6*0.94 + 0.4*0.98 = 0.564 + 0.392 = 0.956 
Exemplo 20: uma urna I tem 3 bolas vermelhas (V) e 4 brancas (B); a outra urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 branca. 
Uma urna é escolhida ao acaso e nela é escolhida uma bola, também ao acaso. Qual é a probabilidade de 
observarmos bola vermelha? 
Seja A “a bola escolhida é vermelha” 
 B1 “a bola escolhida provêm da urna I” 
 B2 “a bola escolhida provêm da urna II” 
P(B1) = ½ ; P(B2) = ½ ; P(A/B1) = 3/7; P(A/B2) = 6/8 
 P(A) = P(B1) * P(A/B1) + P(B2) * P(A/B2) = ½ * 3/7 + ½ * 6/8 = 33/56 



1
1)(
i
iBP
 
 
Teorema de Bayes 
Suponhamos que um certo acontecimento A pode ocorrer, sob a condição de que ocorra um dos acontecimentos que 
se excluem mutuamente B1, B2, ..., Bn e que formam um grupo completo. Visto que anteriormente não se sabe qual 
desses acontecimentos ocorrerá, eles são denominados hipóteses (probabilidade à posterior). O problema em 
determinar as probabilidades à posterior foi resolvido por Thomas Bayes sendo conhecido por Teorema de Bayes 
)/(*)(...)/(*)()/(*)(
)/(*)(
)/(
2211 nn
i
i
BPABPBAPBPBAPBP
BAPBiP
ABP

 ; 
P(A) = P(B1) * P(A/B1) + P(B2) * P(A/B2) + ... + P(Bn) * P(A/Bn) >0 
Exemplo 21: do exemplo 6, achar a probabilidade de que a peça reconhecida como standartizada tenha sido 
verificada pelo primeiro controlador. 
59.0
956.0
94.0*6.0
)/(*)()/(*)(
)/(*)(
)/(
2211
11
1 


BAPBPBAPBP
BAPBP
ABP 
Exemplo 22: do exemplo 7, se a bola observada foi vermelha, achar a probabilidade de que tenha vindo da 
urna I. 
11
4
56
33
7
3
*
2
1
)/(*)()/(*)(
)/(*)(
)/(
2211
1
1 


BAPBPBAPBP
BAPBP
ABP i 
Independência de eventos 
Diz-se que o evento B é independente do evento A, se a ocorrência do evento A não altera a probabilidade do 
evento B, ou seja, a probabilidade condicional do evento B é igual a sua probabilidade incondicional. 
P(B/A) = P(B) 
Assim, dois eventos denominam-se independentes, se a probabilidade de ocorrência simultânea é igual ao produto 
das probabilidades destes acontecimentos; em caso contrário, os eventos denominam-se dependentes. 
)(*)()( BPAPBAP  
Exemplo 23: numa sala existem 4 homens e 6 mulheres. Uma mosca entra na sala e pousa numa pessoa, ao acaso. 
a) Qual é a probabilidade de que ela pouse num homem (P(H))? 
b) Qual é a probabilidade de que ela pouse numa mulher (P(M))? 
c) Os eventos H e M são independentes? 
Solução: 
Seja H” a mosca pouse num homem” 
 M” a mosca pouse numa Mulher” 
a) 4.0
10
4
)( HP 
b) 6.0
10
6
)( MP 
c) 24.06.0*4.0)(*)()(  MPHPMHP 
Os eventos H e M são independentes; poi o sexo do indivíduo não influencia na pessoa na qual a mosca 
pousará.