CÁLCULO IV

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Questão
	
	
	A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ?
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	 
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	Respondido em 12/06/2022 11:26:59
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6,  tem como solução e geometricamente define:
	
	 
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área.
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume.
	
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume.
	
	Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente.
	Respondido em 12/06/2022 11:27:40
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2]
	
	
	zero
	 
	(-e + e -1) (pi2/8)
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	1
	
	8
	
	          Questão
	
	
	A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ?
	
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	 
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	Respondido em 12/06/2022 11:29:24
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6,  tem como solução e geometricamente define:
	
	
	Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente.
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume.
	 
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área.
	
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume.
	Respondido em 12/06/2022 11:29:31
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2]
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	1
	
	zero
	 
	(-e + e -1) (pi2/8)
	
	8
	 volume do sólido:∫10 ∫1−z0 ∫20 dxdydz.
	
	
	3
	 
	1
	
	2.5
	
	2
	
	1.5
	Respondido em 12/06/2022 11:31:30
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = ex2, ou seja, eu onde  u = x 2, no intevalo 0 <= x <=1 e  0<= y <= x
	
	 
	 (e−1)/2
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	1/2
	
	e
	
	e - 1
	Respondido em 12/06/2022 11:31:36
	
Explicação:
∫10∫x0eudydxondeu=x2
∫10yex2dx passando os limites de integracao de  y temos  ∫10xex2dx
chame u = x2  e du = 2x dx
∫12eudu=12ex2 aplicando os limites de integracao encontra-se=e−12
	
	 
	          Questão
	
	
	Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2  e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos.
	
	
	3π5
	
	​7π3​
	 
	8π
	
	​2π3​
	
	2 π
	Respondido em 12/06/2022 11:31:43
	
Explicação:
​O domínio D interior a interseção  de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0​ entao temos 0 = 4 - x2 - y2  ou   x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também.
V = ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ
(4r22−r44)|20θ|2π0=8π
	
	 
	          Questão
	
	
	Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos:
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz
	
	
	4/27
	
	7/4
	
	-7/4
	 
	27/4
	
	-27/4
	Respondido em 12/06/2022 11:31:48
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2.
	
	
	23/35
	
	45
	 
	216/35
	
	1/3
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	Respondido em 12/06/2022 11:31:51
	
	
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
	
	
	49
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	40
	 
	48
	
	35
	Respondido em 12/06/2022 11:31:57
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja o sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z = 0. Determite a massa do sólido supondo que a densidade é dada por s(x,y,z) = z.
	
	
	7 π u.m
	
	2π/3  u.m
	 
	Será (17 π) / 8 u.m
	
	2π u.m
	
	π u.m
	Respondido em 12/06/2022 11:32:02
	
	 
	          Questão
	
	
	Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
	
	 
	1 u.v
	
	4 u.v
	
	10 u.v
	
	5 u.v
	
	9 u.v
	Respondido em 12/06/2022 11:32:05
	
Explicação:
Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D.
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy Utilizando a definição dada temos ​∫10∫102−x−ydxdy​
∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1
	
	          Questão
	
	
	Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x  está no intervalo 1≤x≤4  e y esta no intervalo 1≤y≤2 . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy no 1≤x≤4  e  1≤y≤2 . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy no intevalo dado ?
	
	
	A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,5]x[1,2] e altura k = 4
	
	A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,1]x[1,2] e altura k = 2
	
	A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixaretangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 4
	
	A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,1] e altura k = 6
	 
	A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 1
	Respondido em 12/06/2022 11:33:09
	
Explicação:
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x varia 1≤x≤4  e y varia no intervalo 1≤y≤2 e especificar para turma o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy:
∫21∫411dxdy=∫21xdy Passando os limites de integração de x temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy
3∫21dy=3y Passando os limites de integração de y teremos  3 ( 2-1) = 3
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y) = 1
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.
	
	
	56
	 
	36
	
	30
	
	22
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	Respondido em 12/06/2022 11:33:34
	
	 
	          Questão
	
	
	Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
	
	
	10 u.v
	 
	1 u.v
	
	5 u.v
	
	9 u.v
	
	4 u.v
	Respondido em 12/06/2022 11:33:43
	
Explicação:
Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D.
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy Utilizando a definição dada temos ​∫10∫102−x−ydxdy​
∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1
	
	 
	          Questão
	
	
	Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2  e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos.
	
	
	3π5
	
	​2π3​
	
	​7π3​
	
	2 π
	 
	8π
	Respondido em 12/06/2022 11:33:48
	
Explicação:
​O domínio D interior a interseção  de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0​ entao temos 0 = 4 - x2 - y2  ou   x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também.
V = ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ
(4r22−r44)|20θ|2π0=8π
	
	 
	          Questão
	
	
	Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos:
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz
	
	 
	27/4
	
	7/4
	
	-27/4
	
	-7/4
	
	4/27
	Respondido em 12/06/2022 11:33:53
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2.
	
	
	45
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	 
	216/35
	
	23/35
	
	1/3
	Respondido em 12/06/2022 11:33:58
	
	
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
	
	
	49
	 
	48
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	40
	
	35
	Respondido em 12/06/2022 11:34:03
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja o sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z = 0. Determite a massa do sólido supondo que a densidade é dada por s(x,y,z) = z.
	
	 
	Será (17 π) / 8 u.m
	
	7 π u.m
	
	π u.m
	
	2π u.m
	
	2π/3  u.m
	
	          Questão
	
	
	Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2  esta definida em R = [0,1] x[0,1].
	
	
	1/3
	 
	2/3
	
	3
	
	2
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	Respondido em 12/06/2022 11:37:06
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
	
	
	Volume 3 u.v
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Volume 4 u.v
	 
	Volume 1/3 u.v
	
	Volume 2 u.v
	Respondido em 12/06/2022 11:37:11
	
	 
	          Questão
	
	
	Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
	
	
	120
	 
	125
	
	110
	
	115
	
	105
	Respondido em 12/06/2022 11:37:15
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz
	
	
	7/4
	
	4/27
	
	-27/4
	
	-7/4
	 
	27/4
	Respondido em 12/06/2022 11:37:22
	
Explicação:
Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini.
	
	 
	          Questão
	
	
	O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como:
	
	 
	(1, pi/2; 2)
	
	(2, pi/2; 1)
	
	(2, pi/2; 2)
	
	(1, pi/2; -2)
	
	(1, 3pi/2; 2)
	
	          Questão
	
	
	Seja f:R3→R definida por f(x,y,z)=x+3y2+z  e  τ o segmento de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). Calcule ∫τfds
Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t), t∈[0,1] .
	
	
	3√2
	 
	2√3
	
	√5
	
	4√3
	
	√3
	Respondido em 12/06/2022 11:39:55
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1).
	
	 
	2/5
	
	3/5
	
	7/3
	
	7
	
	4/7
	Respondido em 12/06/2022 11:40:00
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine a integral de linha sendo γ o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2).
∫γ(x+y)dx+(y−x)dy
	
	
	5
	
	5/4
	
	10
	 
	11
	
	2/5
	
	          Questão
	
	
	Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalos
R= [0,1]x[0,3].
	
	
	(e-1)(e6-1)
	 
	1/2(e-1)(e6-1)
	
	1/2(e-1)
	
	-1/2(e-1)(e6-1)
	
	1/2(e6-1)
	Respondido em 12/06/2022 11:41:02
	
	 
	          Questão
	
	
	Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
→F(x,y)=−3y5→i+5y2x3→j   para mover uma partícula ao longo
 da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este
 ponto apenas uma vez.
	
	
	70π
	
	150π
	
	90π
	
	180π
	 
	160π
	Respondido em 12/06/2022 11:41:04
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2  tendo com limites de integração  y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8.
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	(cos 64 + 1):3
	
	cos 64
	
	- cos 64
	 
	(- cos 64 +1):3
	Respondido em 12/06/2022 11:41:09
	
	 
	          Questão
	
	
	Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
	
	
	2(u.v.)
	
	17(u.v.)
	 
	8(u.v.)
	
	15(u.v.)
	
	21(u.v.)
	Respondido em 12/06/2022 11:41:15
	
	 
	          Questão
	
	
	    
Calcule a integral ∫C(x+2y)dS  onde C é uma semicircunferência
centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo.  
	
	
	18
	 
	36
	
	45
	
	10
	
	25
	Respondido em 12/06/2022 11:41:20
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a integral dupla:
∫42 ∫21 (x2 + y2) dydx
	
	 
	70/3
	
	70/13
	
	70/9
	
	70/11
	
	70/15
	Respondido em 12/06/2022 11:41:22
	
	 
	          Questão
	
	
	Encontrar o volume do tetraedro: ∫10 ∫1x ∫y−x0F(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
	
	 
	1/6
	
	1/2
	
	5/6
	
	7/6
	
	2/3
	Respondido em 12/06/2022 11:41:25
	
	 
	          Questão
	
	
	Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo.
	
	
	2/3
	 
	1/43/5
	
	3
	
	2
	
	          Questão
	
	
	Calcule ∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera  x² + y² + z² = 4
com o plano x = y.
	
	
	√8
	
	16
	
	√6
	 
	0
	
	10
	Respondido em 12/06/2022 11:44:23
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a integral ∮Cx2ydx−y2xdy em que C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x2 + y2 = 16.
	
	
	18π
	
	20π
	 
	−32π
	
	−16π
	
	32π
	Respondido em 12/06/2022 11:44:29
	
	 
	          Questão
	
	
	Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo.
	
	
	3/5
	
	3
	
	2
	 
	1/4
	
	2/3
	Respondido em 12/06/2022 11:43:31
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2  tendo com limites de integração  y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8.
	
	
	cos 64
	
	(cos 64 + 1):3
	
	- cos 64
	 
	(- cos 64 +1):3
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	Respondido em 12/06/2022 11:43:14
	
	 
	          Questão
	
	
	Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
	
	
	17(u.v.)
	
	2(u.v.)
	
	15(u.v.)
	 
	8(u.v.)
	
	21(u.v.)
	Respondido em 12/06/2022 11:43:06
	
	 
	          Questão
	
	
	    
Calcule a integral ∫C(x+2y)dS  onde C é uma semicircunferência
centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo.  
	
	
	45
	 
	36
	
	18
	
	25
	
	10
	Respondido em 12/06/2022 11:42:57
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a integral dupla:
∫42 ∫21 (x2 + y2) dydx
	
	
	70/9
	
	70/15
	 
	70/3
	
	70/13
	
	70/11
	Respondido em 12/06/2022 11:42:49
	
	 
	          Questão
	
	
	Encontrar o volume do tetraedro: ∫10 ∫1x ∫y−x0F(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
	
	
	5/6
	
	2/3
	
	7/6
	 
	1/6
	
	1/2
	
	          Questão
	
	
	A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t) definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar:
	
	
	π²r
	
	2πr²
	
	πr
	 
	πr²
	
	2πr
	Respondido em 12/06/2022 11:45:12
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0.
	
	
	3
	 
	5/4
	
	3/5
	
	2
	
	1/2
	Respondido em 12/06/2022 11:45:16
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy
	
	
	0
	
	`pi+senx
	
	`pi
	 
	`2pi
	
	`cos(2pi)-sen(pi)
	Respondido em 12/06/2022 11:45:22
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com  0 ≤  u ≤ 2 π e v ³ 0. Determine o vetor normal a S em j (0,1).
	
	
	O vetor normal será (2,0,1)
	
	O vetor normal será (0,0,-1)
	
	O vetor normal será (0,0,0)
	 
	O vetor normal será (-2,0,-1)
	
	O vetor normal será (-2,3,-1)
	Respondido em 12/06/2022 11:45:26
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	16/3 u.v
	 
	9/2 u.v
	
	24/5 u.v
	
	10 u.v
	
	18 u.v
	Respondido em 12/06/2022 11:45:31
	
Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 0=
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com  0 ≤  u ≤ 2 π e v ³ 0. Determine  a equação do plano tangente a S em j (0,1).
	
	
	z = 2
	
	3x + 5z = 1
	
	5x + 4 = 0
	
	3z + x = 1
	 
	2x + z - 2 = 0
	
	          Questão
	
	
	Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 ,  x = 0 e y = 0.
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	-1/e
	 
	(3/4) ( e - 1/e)
	
	3 e - 1/e
	
	e - 1/e
	Respondido em 12/06/2022 11:47:48
	
	 
	          Questão
	
	
	Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório.
	
	 
	7 pi /96
	
	7/96
	
	pi/96
	
	7pi
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	Respondido em 12/06/2022 11:47:50
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
	
	
	4
	
	4 * (2)^(1/2)
	
	14 * (2)^(1/2)
	
	2 * (14)^(1/2)
	 
	4 * (14)^(1/2)
	Respondido em 12/06/2022 11:47:55
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
	
	
	3π2
	
	2π
	
	2π3
	
	π2
	 
	2π2
	Respondido em 12/06/2022 11:48:00
	
	 
	          Questão
	
	
	Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em:
	
	
	(sqrt(3);pi/4 ; 1)
	
	(sqrt(2);pi/4 ; 2)
	
	(sqrt(2);2pi/4 ; 1)
	 
	(sqrt(2);pi/4 ; 1)
	
	(sqrt(2);pi/4 ; -1)
	
	          Questão
	
	
	Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z).
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S.
S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h.
	
	
	8 p ah
	
	8p a2h
	
	p a2h
	 
	2p a2h
	
	22ph
	Respondido em 12/06/2022 12:02:25
	
	 
	          Questão
	
	
	Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro
( x - 1)2 + y2 = 1.  Determine a massa dessa lâmina se a densidade no
 ponto (x,y,z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy.
 
	
	
	2π u.m.
	
	k u.m.
	
	k√3 u.m.
	 
	k√2πu.m.
	
	√2 u.m.
	Respondido em 12/06/2022 12:02:29
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2.
	
	
	14
	
	10
	 
	16
	
	20
	
	12
	Respondido em 12/06/2022 12:02:34
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem.
	
	
	9
	
	3
	
	5
	 
	-1/2
	
	24
	Respondido em 12/06/2022 12:02:38
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine a integral `int_0^1 int_0^2 int_0^(1-z)dydxdz
	
	
	2
	
	2-2z
	
	0
	 
	1
	
	1-z
	Respondido em 12/06/2022 12:02:41
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por d(x,y,z) = y2.
	
	 
	M = [ ( 2 ) 1/2 π]/4  u.m
	
	M = [ π]/4 u.m
	
	M = [ ( 2 ) 1/2 π] u.m
	
	M = 3 π u.m.
	
	M = π u.m
	
	          Questão
	
	
	Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima,
	
	 
	16
	
	3/2
	
	5/2
	
	5
	
	20
	Respondido em 12/06/2022 12:03:23
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas  y = 2x2  e  y = 1 + x 2.
	
	
	1/3
	 
	32/15
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	32/25
	
	36
	Respondido em 12/06/2022 12:03:27
	
	 
	          Questão
	
	
	Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de:
	
	 
	8pi
	
	64pi
	
	9pi
	
	4pi
	
	16pi
	Respondido em 12/06/2022 12:03:29
	
Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2)
quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de
raio 2 que esta no primeiro octante,na direção anti-horária quando vista por cima.
	
	
	22
	
	10
	
	12
	
	8√5
	 
	16
	Respondido em 12/06/2022 12:03:33
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫20 ∫06(4-x2)dydx
	
	
	24
	
	54
	
	10
	 
	32
	
	18
	Respondido em 12/06/2022 12:03:36
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo
0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e.
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	pi
	 
	pi/4
	
	2 pi
	
	pi / 5
	
	          Questão
	
	
	Seja S a parte do cilindro x2 + y2  = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por  ʃ  ʃ z dS
	
	
	6 π
	
	5/2 π
	 
	3 π/2
	
	π
	
	2π
	Respondido em 12/06/2022 12:04:28
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z).
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S.
S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0.
	
	
	3 a3p
	
	5p a3
	 
	4p a3
	
	3/5 p a3
	
	2p a3
	Respondido em 12/06/2022 12:04:33
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine o fluxo do campo vetorial →F(x,y,z)=z→i+y→i+x→k
 sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.
	
	
	2/5π
	 
	4/3π
	
	2π
	
	3π
	
	2/3π
	Se f(x,y) = 1 - x e a região de integração é definida por R = [0,1] x [0,1]. Defina a integral dupla e seu resultado.
	
	
	​∫10∫10(1−x)dxdy=3​
	
	​∫10∫10dxdy=1​
	 
	∫10∫10(1−x)dxdy=1/2
	
	​∫10∫10(1−x)dxdy=2​
	
	​∫10∫10xdxdy=2​
	Respondido em 12/06/2022 12:11:40
	Explicação:
∫10∫10(1−x)dxdy=x−(x2/2)=1−1/2=1/2
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Aplicando a teoria de integral dupla na função f(x,y) = ∫ ∫ (1 - x)dxdy, definida em R= [0.1] x [0,1] podemos encontrar:
	
	
	3
	 
	1/2
	
	4
	
	2
	
	1
	Respondido em 12/06/2022 12:12:26
	Explicação:
∫10∫101−xdxdy=∫10x−x22dy
∫1012dy=12y
que aplicando o intervalo 0 a 1 temos como resultado 1/2
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
	
	
	Volume 3 u.v
	 
	Volume 1/3 u.v
	
	Volume 2 u.v
	
	Volume 4 u.v
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	Respondido em 12/06/2022 12:12:55
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Um  homem dirigi em um estrada γ. Supondo que a estrada percorrida é definida pela integral abaixo sendo γ o arco da parábola y=x2 da origem ao ponto A(2,4). Determine o valor da integral.
∫γxy2dx
	
	
	33
	 
	32/3
	
	34
	
	24/5
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	Respondido em 12/06/2022 12:14:25
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalos
R= [0,1]x[0,3].
	
	
	1/2(e6-1)
	
	1/2(e-1)
	 
	1/2(e-1)(e6-1)
	
	(e-1)(e6-1)
	
	-1/2(e-1)(e6-1)
	Respondido em 12/06/2022 12:14:57
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale:
	
	
	144π
	 
	288π
	
	188π
	
	244π
	
	36π
	Respondido em 12/06/2022 12:16:33
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Uma industria possui um equipamento para armazenamento de substâncias para fabricação do produto X. Este equipamento possui um volume específico. O volume deste sólido é delimitado pelos cilindros x2 + y2= 4 e x2 + z2 = 4. Determine o volume deste sólido.
	
	
	128
	
	45
	
	28
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	 
	128∕3
	Respondido em 12/06/2022 12:18:44
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Seja S a superfície parametrizada por ϕ(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2) onde 0≤u≤2π,v≥0 . Identifique esta superfície.
	
	 
	A superfície S definida acima é um parabolóide circular.
	
	A superfície S definida acima é uma esfera
	
	A superfície S definida acima é um plano.
	
	Não temos como definir quem é a superfície S.
	
	A superfície S definida acima é um cilindro.
	Respondido em 12/06/2022 12:24:36
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de:
	
	
	4pi
	
	16pi
	
	64pi
	 
	8pi
	
	9pi
	Respondido em 12/06/2022 12:24:57
	Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Na cidade de Carmel existe um reservatório de água. Deseja-se calcular o volume deste reservatório. Sabendo que o reservatório tem o formato de um cilindro de raio R e altura h. Determine o volume do reservatório.
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	 
	pi R2 h
	
	pi R h
	
	R h
	
	pi R
	Encontre o valor da integral dupla da função f(x,y) = x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 e classifique o tipo de região utilizado.
	
	
	(-1 ∕ 6 ) e tipo de região I
	
	(- 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I I
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	 
	(-cos 1 - 1) e tipo de região I
	 
	(-1 ∕ 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I
	
	
	 2.
	Ref.: 1176483
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	Pedro precisa resolver um problema de cálculo e para isso precisa utilizar mudança de variável utilizando coordenadas polares.  Para isto considerou o círculo de raio r e centro na origem. A equação de tal círculo é dada por x²+y²=r². Pedro encontrou em coordenadas polares, o mesmo círculo como sendo:
	
	 
	x=r.cos⁡(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	x=r.cos⁡(θ),y= r.tan(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	x=r.tan(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	 
	x=r.cos⁡(θ),y= r.cos(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	x=r.sen(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	
	 3.
	Ref.: 1176496
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	Paulo precisa apresentar a integral multipla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] aos colegas de classe. Qual o resultado encontrado por Paulo ao desenvolver a integral multipla ?
	
	
	5/12
	 
	7/12
	 
	8/12
	
	10/12
	
	9/12
	
	
	 4.
	Ref.: 1176979
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	A integral de linha ∫(2x + y) dx − (x − 4xy) dy no circulo x²+y²= 1, percorrido (uma vez) em sentido anti-horário satisfaz as condições do Teorema de Green. Portanto ao aplicar o teorema encontraremos:
	
	 
	-4π
	
	2π
	
	4π
	
	-2π
	 
	0
	
	
	 5.
	Ref.: 3543451
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	Calcule ∫Cx2−y22dx+(x22+y4)dy, onde C é fronteira da região D definida por D={(x,y)∈R2|1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0}
orientada no sentido anti horário
	
	
	zero
	
	53
	 
	143
	 
	23
	
	4
	
	
	 6.
	Ref.: 3543495
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	Considere a superfície parametrizada por φ(r,θ)=(rcosθ,rsenθ,θ),0≤r≤1,0≤θ≤4π
Encontre a expressão para o vetor normal a superficie
	
	 
	N = (cosθ,senθ,r)
	 
	N = (senθ,−cosθ,r)
	
	N = (senθ,−tgθ,r)
	
	N = (tgθ,−cosθ,r)
	
	N = (−senθ,cosθ,1)
	
	
	 7.
	Ref.: 3543501
	Pontos: 1,00  / 1,00
	
	Calcule a área da porcão da superficie cônica x2 + y2 = z2 entre os planos z = 0 e x + 2z = 3
	
	
	2√7
	
	2π√7
	
	π√11
	 
	2π√6
	
	π√5
	
	
	 8.
	Ref.: 3051954
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	Um corpo move-se ao longo da parábola y=x² do ponto (0,0) ao ponto (2,4). O trabalho total (w) realizado, se o movimento é causado pelo campo de forças F(x,y)=(x²+y²)i+x²yj, sabendo-se que o arco é medido em metros e a força é medida em Newtons, é:
	
	 
	577/32N.m
	
	w=777/33N.m
	
	w=833/5N.m
	
	w=540/7N.m
	 
	w=456/15 N.m
	
	
	 9.
	Ref.: 3543573
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	Calcule ∫∫σrotF.nds onde σ é a porção do paraboloide z = 1 - x2 - y2  com z≥0 , n é normal cuja componente z é não-negativa e F(x,y,z) = (y,z,x)
 
	
	 
	−π/2
	
	π/7
	 
	−π
	
	3π/2
	
	5π
	
	
	 10.
	Ref.: 710822
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	 
Calcule , ∫∫σ→F.→ndS
onde →F(x,y,z)=xy→i+(y2+exz2)→j+sen(xy)→k
 e σ  é a superfície do sólido Q limitado pelo cilindro parabólico z = 1 - x2  e pelos planos  z = 0 , y = 0 e y + z = 2.
	
	 
	18435
	 
	18370
	
	1435
	
	18135
	
	435
	
1�
�
2�
�
3�
�
1�
�
2�
�
3�
�
∫01
∫01-z
∫02
2�
�
ex2
(e−1)2
∫01∫0xeudydxondeu=x2∫01yex2dx
∫01xex2dx
∫12eudu=12ex2
=e−12
3�
�
3π5
7π3
8π
2π3
π
∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r2)rdrdθ
(4r22−r44)|02θ|02π=8π
4�
�
5�
�
6�
�
7�
�
π
π
π
π
π
8�
�
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
∫01∫012−x−ydxdy
∫012x−x2/2−xydy=∫01(3/2)−ydy=1
1�
�
1≤x≤4
1≤y≤2
∫∫1dxdy
1≤x≤4
1≤y≤2
∫∫1dxdy
1≤x≤4
1≤y≤2
∫∫1dxdy
∫∫1dxdy
∫12∫141dxdy=∫12xdy
∫12xdy=∫12(4−1)dy=∫123dy=3∫12dy
3∫12dy=3y
2�
�
3�
�
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
∫01∫012−x−ydxdy
∫012x−x2/2−xydy=∫01(3/2)−ydy=1
4�
�
3π5
2π3
7π3
π
8π
∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r2)rdrdθ
(4r22−r44)|02θ|02π=8π
5�
�
6�
�
7�
�
8�
�
π
π
π
π
π
1�
�
2�
�
3�
�
4�
�
5�
�
1�
�
f:R3→R
f(x,y,z)=x+3y2+z
τ
(0,0,0)
(1,1,1)
∫τfds
r(t)=(t,t,t)
t∈[0,1]
32
23
5
43
3
2�
�
3�
�
γ
∫γ(x+y)dx+(y-x)dy
1�
�
e6
e6
e6
e6
2�
�
F→(x,y)=-3y5i→+5y2x3j→
70π
150π
90π
180π
160π
3�
�
4�
�
∫
∫
5�
�
∫C(x+2y)dS
6�
�
∫24
∫12
x2
y2
7�
�
∫01
∫x1
∫0y-x
8�
�
1�
�
∫CxzdS
8
6
2�
�
∮Cx2ydx-y2xdy
18π
20π
-32π
-16π
32π
3�
�
4�
�
5�
�
∫
∫
6�
�
∫C(x+2y)dS
7�
�
∫24
∫12
x2
y2
8�
�
∫01
∫x1
∫0y-x
1�
�
2�
�
3�
�
4�
�
π
5�
�
6�
�
π
1�
�
2�
�
3�
�
4�
�
3π2
2π
2π3
π2
2π2
5�
�
1�
�
2�
�
k3
k2
π
2
3�
�
4�
�
5�
�
6�
�
π
π
π
π
π
1�
�
2�
�
3�
�
4�
�
85
5�
�
∫02
6�
�
1�
�
π
π
π
π
π
2�
�
3�
�
F→(x,y,z)=zi→+yi→+xk→
25π
43π
2π
3π
∫01∫01(1−x)dxdy=3
∫01∫01dxdy=1
∫01∫01(1−x)dxdy=1/2
∫01∫01(1−x)dxdy=2
∫01∫01xdxdy=2
∫01∫01(1−x)dxdy=x−(x2/2)=1−1/2=1/2
2a�
�
∫01∫011−xdxdy=∫01x−x22dy
∫0112dy=12y
3a�
�
4a�
�
γ
γ
y=x2
∫γxy2dx
5a�
�
e6
e6
e6
e6
6a�
�
144π
288π
188π
244π
36π
7a�
�
8a�
�
ϕ(u,v)
0≤u≤2π,v≥0
9a�
�
10a�
�
∫Cx2−y22dx+(x22+y4)dy,
D={(x,y)∈R2|1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0}
53
143
23
φ(r,θ)=(rcosθ,rsenθ,θ),0≤r≤1,0≤θ≤4π
(cosθ,senθ,r)
(senθ,−cosθ,r)
(senθ,−tgθ,r)
(tgθ,−cosθ,r)
(−senθ,cosθ,1)
27
2π7
π11
2π6
π5
∫∫σrotF.nds
σ
z≥0
−π/2
π/7
−π
3π/2
5π
∫∫σF→.n→dS
F→(x,y,z)=xyi→+(y2+exz2)j→+sen(xy)k→
σ
18435
18370
1435
18135
435