aula 6

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introdução
FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
BALANÇOS GLOBAISBALANÇOS GLOBAIS
Autor: Me. Rafaela Guimarães
Revisor : Mar io Ca l le f i
IN IC IAR
introdução
Introdução
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, vamos aprender sobre os balanços globais de energia,
determinando se um �uido está fornecendo ou recebendo trabalho, caso das
máquinas e turbinas. Além disso, vamos deduzir a famosa equação de Bernoulli, que,
segundo especialistas, é uma das mais utilizadas em fenômenos de transporte até
hoje.
No capítulo 2, estudaremos o Teorema de Reynolds para relacionar volumes de
controle com superfícies de controle, assim, poderemos utilizar uma massa �xa ou um
volume de controle na resolução de problemas.
No capítulo 3, abordaremos o Teorema de Reynolds para entender os escoamentos
com múltiplas entradas e saídas, assim, podemos analisar as tubulações instaladas na
maioria das aplicações técnicas.
Finalmente, na última parte, faremos a análise dimensional, outra maneira de resolver
os problemas em fenômenos de transporte.
Na dinâmica dos �uidos, estudam-se seus movimentos. Para compreendermos esses
movimentos, precisamos considerar as leis fundamentais que modelam o movimento
das partículas dos �uidos. Começaremos estudando a força e a aceleração.
Segunda Lei de Newton
Quando um �uido escoa, ocorre uma aceleração ou uma desaceleração em suas
partículas. Pela Segunda Lei de Newton, temos que “a força líquida que atua na
partícula �uida que estamos considerando precisa ser igual ao produto de sua massa
pela sua aceleração” (MUNSON, 2004, p. 89), ou seja:
F = m . a                                                                                                                    (1)
Primeiramente, estudaremos os escoamentos com viscosidade nula, isto é, a
condutibilidade térmica do �uido também é nula.
Considerando que o movimento dos �uidos é devido à força gravitacional e à pressão
exercida sobre ele, ainda de acordo com Munson e colaboradores (2004, p. 89),
podemos reescrever a Segunda Lei de Newton como:
(Força líquida na partícula devido à pressão) + (Força na partícula devido à gravidade) =
(massa da partícula x aceleração)                                                                                            (2)
Equação de BernoulliEquação de Bernoulli
Esta é uma das mais importantes análises feitas em fenômenos de transporte: a
análise entre as forças gravitacionais, a aceleração da partícula e o campo de pressão.
Nossa primeira análise da equação (2) será bidimensional, nas direções (x e z), ou seja,
o movimento da partícula será descrito pelo vetor velocidade, que pode ser de�nido
como a taxa de variação temporal da posição da partícula.
Estamos representando a trajetória de uma partícula na Figura 3.1. A localização da
partícula ao longo do eixo x - z é função do local ocupado por ela no instante inicial e
de sua velocidade ao longo da trajetória.
Quando o �uido está escoando em regime permanente, toda partícula �uida escoa ao
longo de sua trajetória e seu vetor velocidade é sempre tangente à trajetória. Também
podemos descrever o escoamento em função das coordenadas da linha de corrente
(MUNSON, 2004, p. 89), conforme a Figura 3.1, item b.
O movimento da partícula será descrito em função da distância, dada por s = s (t), que
pode ser medida ao longo da linha de corrente (adotando uma origem) com um raio de
curvatura local dado por R = R(s).
Como a aceleração é a taxa de variação da velocidade sobre o tempo, dado pela
fórmula a = dV/dt (a indicação da velocidade em negrito quer dizer que estamos nos
referindo ao vetor velocidade) no eixo de coordenadas x - y, essa aceleração terá dois
componentes:
um ao longo da linha de corrente, dado por as
outro normal na linha de corrente, dado por an
A aceleração na coordenada s será dada por:
as = 
dV
dt = 
dV
ds
ds
dt = V 
dV
ds                                                                                                      (3)
Onde s é a distância medida ao longo da linha de corrente considerando um ponto
inicial.
A aceleração normal será a aceleração centrífuga, dada em função da velocidade da
partícula e do raio de curvatura da trajetória. Logo:
an = 
V2
R
                                                                                                                                                (4)
Onde R é o raio de curvatura local da linha de corrente.
Segunda Lei de Newton ao Longo de uma
Linha de Corrente
Considerando a Figura 3.2, em que é mostrado o diagrama de corpo livre de uma
partícula retirada do ar em torno de um avião, temos que a dimensão dessa partícula
na direção normal será dada por δy. Se o regime de escoamento for permanente,
teremos:
∑ δFs = δm . as = δm V 
dV
ds = ρ V 
dV
ds = ρδ Volume V 
dV
ds
Onde V é a velocidade, ∑ δFs representa a soma dos componentes das forças que
atuam na partícula na direção ŝ. A massa da partícula é δ m = ρδ Volume, e V 
dV
ds é a
aceleração da partícula na direção ŝ . Podemos escrever o volume da partícula como δ
Volume = δs δn δy.
( )
A força gravitacional pode ser escrita como δW = γδ Volume, onde γ = ρg é o peso
especí�co do �uido (N/m3). Logo, a componente da força peso na direção da linha de
corrente pode ser reescrita como:
δWs = - δW sen θ = - γ δ Volume sen θ                                                           (6)
A força de pressão também pode ser reescrita como:
δFps = - 
dp
ds δ Volume                                                                     (7)
O gradiente de pressão p = 
dp
ds ŝ + 
dp
dn n̂ é o responsável pela força líquida que atua na
partícula.
Assim, a força líquida que atua sobre a partícula representada pelo diagrama de corpo
livre, conforme está representado na Figura 3.3, é dada por:
∑ δFs = δWs + δFps = −γ sen θ − 
dp
ds δ Volume                                           (8)
Figura 3.2 - Remoção de uma partícula de um �uido do campo de escoamento
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 90).
( )
Combinando as equações (8) e (5) nós teremos a equação do movimento ao longo de
uma linha de corrente que é dada por:
- γ sen θ - 
dp
ds = ρ V 
dV
ds = ρ as                                                               (9)
Essa equação pode ser interpretada por “a variação da velocidade da partícula é
provocada por uma combinação adequada do gradiente de pressão com a
componente peso da partícula na direção da linha de corrente” (MUNSON, 2004, p. 93).
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é uma relação entre pressão, energia cinética e energia
potencial muito utilizada em fenômenos de transporte para escoamentos com líquidos
incompressíveis, como a água.
As hipóteses simpli�cadoras, de acordo com Brunetti (2008, p. 87), que devemos
considerar para podermos aplicar a equação de Bernoulli são:
1. Propriedades uniformes na seção, ou seja, não variam ponto a ponto na área
da seção;
2. Fluido ideal, ou seja, o escoamento ocorre sem perdas por atrito com a
parede da tubulação;
3. Fluido incompressível, ou seja, não há variação de massa especí�ca;
4. Energia térmica desprezível, ou seja, não há trocas de calor;
5. Não há máquinas hidráulicas instaladas no trecho em estudo;
6. Regime permanente.
Estudaremos um tubo de corrente com um �uido escoando do ponto 1 para o ponto 2,
conforme a Figura 3.4. Uma massa dm1 passará por esse tubo. A energia acrescentada
ao �uido com massa dm1 será
_dE1 = dm1 . g. h1 + 
dm1 . v
2
1
2 + p1 dV1                                                                                (10)
Na seção 2, uma massa \(\text{d}_{m2} do �uido que pertencia ao trecho (1) - (2) escoa
para fora, levando a energia \(\text{d}_{E2} dada por:
dE2 = dm2 . g. h2 + 
dm2 . v
2
2
2 + p2 dV2                                                                                        (11)
As hipóteses consideradas no início do estudo para obtermos a equação de Bernoulli 2,
4 e 5 garantem que nesse trecho datubulação não houve trocas de calor, então dE1 =  
dE2 , ou:
dm1 .g. h1 + 
dm1 . v
2
1
2 +p1 dV1 = dE2 = dm2 .g. h2 + 
dm2 . v
2
2
2 + p2 dV2
                                                                                                                                                     (12)
Temos que ρ=
dm
dV e que dV=
dm
ρ                                                                                  (13)
Substituindo a equação (3.12) na equação (3.11), obtemos:
dm1 . g. h1 + 
dm1 . v
2
1
2 + 
p1
ρ1
dm1 = dE2 = dm2 . g. h2 + 
dm2 . v
2
2
2 + 
p2
ρ2
dm2
                                                                                                                                                                (14
Como o �uido é incompressível ρ1 = ρ2 e como o regime é permanente  dm1 = dm2,
portanto, a equação (3.13) �cará igual a:
g. h1 + 
v21
2 + 
p1
ρ1
 = g. h2 + 
v22
2 + 
p2
ρ2
                                                                                          (15)
Agora, vamos dividir a equação (15) por g e nos lembrar de que γ = ρ. g, para obtermos:
h1 + 
v21
2 . g+ 
p1
γ = g. h2 + 
v22
2 . g+ 
p2
γ                                                                                            (16)
A equação (16) é a famosa equação de Bernoulli que nos permite relacionar cotas
(altura), velocidades e pressões em duas seções de um tubo, onde há um escoamento
de um �uido. Abaixo indicaremos separadamente o signi�cado de cada termo da
equação (16), de acordo com Brunetti (2008, p. 89):
1. z = h = 
m . g .h
m . g = 
Ep
G - energia potencial por unidade de peso ou energia potencial
de uma partícula de peso unitário. Essa parte da equação é também chamada
de carga potencial;
2. 
v2
2 . g= 
m . v2
2 . g . m= 
m . v2
2 . G = 
Ec
G - energia cinética por unidade de peso ou energia
cinética de uma partícula de peso unitário. Essa parte da equação também é
chamada de carga da velocidade ou carga cinética;
3. 
p
γ = 
p . V
γ . V= 
p . V
G = 
Epr
G - energia de pressão por unidade de peso ou energia de
pressão da partícula de peso unitário. Essa parte da equação é chamada de
carga de pressão.
Como z é uma cota (altura, é dado em metros), logo 
v2
2 . g , assim como 
p
γ também
devem ser medidos em m.
A energia total (representada pela letra H) por unidade de peso pode ser calculada por:
H = 
p
γ + 
v2
2 . g+ z                                                                                            (17)
O enunciado dessa equação pode ser de�nido como “se, entre duas seções do
escoamento, o �uido for incompressível, sem atritos, e o regime, permanente, se não
houver máquina nem trocas de calor, então, as cargas totais se manterão constantes
em qualquer seção, não havendo nem ganhos nem perdas de carga” (BRUNETTI, 2008,
p. 89).
Se a energia total tiver sinal positivo, o escoamento estará recebendo trabalho, ou seja,
o sistema se comporta como uma bomba. Já se H for negativo, o sistema estará
fornecendo energia, ou seja, o escoamento estará exercendo a função de uma turbina
hidráulica.
praticar
Vamos Praticar
Na �gura a seguir, vemos um reservatório de grandes dimensões fornecendo água para o
tanque indicado com uma vazão de 10 l/s. Queremos fazer um estudo da função da máquina
representada pela letra M na �gura a seguir e de sua energia total. Dados γágua = 104 N/m3,
Atubos = 10 cm2 e g = 9,81 m/s2.
a) a máquina é uma turbina com energia de aproximadamente 10 m.
b) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 10 m.
c) a máquina é uma turbina com energia de aproximadamente 20 m
d) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 20 m.
e) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 5 m.
Podemos de�nir trabalho, segundo Livi (2017, p. 98), como o produto escalar de uma
força aplicada sobre um �uido multiplicado pelo deslocamento que essa força provoca.
δW = F . dS                                                                                          (18)
Agora, podemos calcular a taxa de trabalho realizada no tempo:
δW
dt = 
F− . ds
_
dt = F . V                                                                                  (19)
Onde V é a velocidade de escoamento do �uido. Observação: podemos representar os
vetores de duas maneiras: F− e F.
A Segunda Lei de Newton a�rma que a força F exercida pela vizinhança sobre o volume
de controle, de forma que o �uido escoa através da superfície de controle, exerce uma
força (- F) sobre a vizinhança, resultando, ainda segundo Livi (2017, p. 98), que a taxa de
Teorema deTeorema de
Transporte deTransporte de
Reynolds Aplicado àReynolds Aplicado à
Lei de ConservaçãoLei de Conservação
de Quantidade dede Quantidade de
MovimentoMovimento
trabalho realizada pelo �uido pelas tensões normais σn em um elemento de área dA
da superfície de controle será dada por:
δWf
dt = - F− . V− = - σn dA−V−                                                                    (20)
Agora, podemos calcular a potência de escoamento que é de�nida como a taxa de
trabalho realizado pelas forças devidas às tensões normais considerando toda a
superfície de controle:
δWescoamento
dt = - ∫ ∫
S .C .
σndA−V− = - - ∫ ∫
S .C .
σn(V− . n− ) dA                                 (21)
A pressão é a componente da tensão normal σn, sendo que
σn = - p                                                            (22)
Agora, podemos reescrever a equação (21) por
δWescoamento
dt =  ∫ ∫
S .C .
 p (V−n−) dA                                               (23)
A potência resultante será dada por:
δW
dt = 
δWeixo
dt + ∫ ∫
S .C .
 p (V−n−) dA + 
δWμ
dt                                                 (24)
Analisemos a equação (25):
δQ
dt - 
δW
dt = ∫ ∫
S .C .
e ρ V− . n− dA + 
d
dt ∫ ∫ ∫
V .C .
e ρ dvol                            (25)
Que é uma expressão da Primeira Lei da Termodinâmica em relação a um volume de
controle, pode ser reescrita por:
δQ
dt - 
δWeixo
dt - ∫ ∫
S .C .
 p (V−n−) dA = ∫ ∫
S .C .
 e ρ (V−n−) dA + 
d
dt ∫ ∫ ∫
V .C .
e ρdvol                 (26)
Onde e é a energia total especí�ca (por unidade de massa) do sistema e vol é o menor
volume, em torno de um ponto. Ou
δQ
dt - 
δWeixo
dt = ∫ ∫
S .C .
e + 
p
ρ ρ (V−n−) dA + 
d
dt ∫ ∫ ∫
V .C .
e ρdvol                             (27)
( )
( )
Essa equação é conhecida como equação de energia porque ela fornece um balanço
global da energia para um volume considerado (LIVI, 2017).
Teorema de Transporte de Reynolds
Aplicado à Lei de Conservação de
Quantidade de Movimento
Considerando um volume de controle estacionário e localizado entre a tubulação entre
as seções (1) e (2) da Figura 3.5, vamos analisar o �uido que ocupa o volume de
controle no instante t. O sistema está se deslocando para a direita um instante depois,
dado por t + δt. O �uido está se deslocando com uma velocidade v.
A Figura 3.5 ilustra o escoamento nos instantes t - volume I + CV e no instante  t + δt, o
volume é dado por volume II + CV - I.
Se B é um parâmetro do sistema, o volume associado a esse parâmetro para o sistema
no instante t é dado por:
Bsist (t) = Bvc (t)                                                                   (28)
Ou seja, o sistema e o �uido contido no volume de controle no instante t são os
mesmos.
Agora, no instante t + δt, o parâmetro B será dada por:
Bsis (t + δt) = Bvc (t + δt) - BI (t + δt) + BII (t + δt)                          (29)
E a variação da quantidade de B no sistema no intervalo de tempo δt dividido por esse
intervalo de tempo será:
δBsis
δt = 
Bsis ( t + δt ) − Bsis ( t ) 
δt = 
Bvc ( t + δt ) − BI ( t + δt ) + BII ( t + δt ) − Bsis ( t ) 
δt                         (30)
No instante inicial Bsis (t) = Bvc (t). Então, temos:
δBsis
δt = 
Bvc ( t + δt ) − Bvc ( t ) 
δt - 
BI ( t + δt ) 
δt + 
BII ( t + δt ) 
δt                                        (31)
No limite em que δt → 0, o primeiro termo do lado direitoda equação (31) representa
a taxa de variação temporal da quantidade B no volume de controle.
limδt → 0 
Bvc ( t + δt ) − Bvc ( t ) 
δt = 
dBvc
dt = 
d ∫
vc
ρ b dvol
dt                                      (32)
O terceiro termo do lado direito da equação (32) representa a taxa com que o
parâmetro extensivo B escoa do volume de controle através da superfície de controle,
representada pelo número II (romano) na Figura 3.6.
Então,
BII (t + δt) = ρ2 b2 δ volII = ρ2 b2 A2 V2 δt                             (33)
Onde ρ2 b2 são os valores de ρe b na seção II (que são constantes). Então, a taxa com
que a propriedade b escoa do volume de controle Bs será:
Bs = limδt → 0 
BII ( t + δt ) 
δt = ρ2 b2 A2 V2                                               (34)
Temos o mesmo resultado no lado I, ou seja,
BI (t + δt) = ρ1 b1 A1 V1 δt                                                          (35)
Onde ρ1 b1 também são valores constantes de ρe b na seção I. De modo análogo:
( )
( )( )
Be = limδt → 0 
BI ( t + δt ) 
δt = ρ1 b1 A1 V1                                           (36)
Agora, vamos juntar as equações (300) a (36) para que possamos encontrar a taxa de
variação no tempo de B para o sistema e para o volume de controle:
DBsis
Dt = 
dBsis
dt + Bs - Be                                                          (37)
DBsis
Dt = 
dBsis
dt ρ2 b2 A2 V2 - ρ1 b1 A1 V1                                           (38)
Essa é a equação de transporte de Reynolds para um escoamento com uma entrada
(alimentação) e uma saída (descarga). É importante ressaltar que a taxa de alimentação
(ρ2 b2 A2 V2) e a taxa de descarga (ρ1 b1 A1 V1) não precisam ser iguais no volume de
controle.
praticar
Vamos Praticar
Um motor trabalhando em regime permanente fornece 30 HP, equivalentes a 22,40 kW, a
uma bomba para bombear água à taxa de 0,04 m3/s, conforme está ilustrado na �gura a
seguir. O diâmetro da entrada é de 15 cm e o de saída é de 12,5 cm. Considera-se que a
entrada e a saída da bomba estejam na mesma elevação e, ainda, que o escoamento possa
ser considerado uniforme através da entrada e da saída e desconsiderando os termos que
envolvam as trocas de calor ou variações de energia interna.
a) entre 0 e 200 kPa.
b) entre 201 e 400 kPa.
c) entre 201 e 400 kPa.
d) entre 401 e 600 kPA.
e) entre 601 e 800 kPa.
Figura 3.6 - Sistema motor - bomba
Fonte: Braga Filho (2012, p. 87).
O aumento na pressão d’água será um número:
A Primeira Lei da Termodinâmica nos diz que:
Quando escrevemos essa lei na forma matemática, temos:
Balanços Globais:Balanços Globais:
Balanço Global deBalanço Global de
Quantidade deQuantidade de
MovimentoMovimento
D
Dt ∫
sis
e ρdVol = ∑ Qe − ∑ Qsis sis + ∑ We − ∑ Wsis sis = Qliq . e + Qliq . e sis(Equação
3.38)
Ou seja, segundo Munson (2004), a energia total por unidade de massa (energia total
especí�ca) e está relacionada com a energia interna especí�ca u, com a energia cinética
por unidade de massa V2 /2 e com a energia potencial por unidade de massa, dada por
g . z pela equação:
e = u + 
V2
2 + g z                                                                          (40)
Vamos analisar mais profundamente, de acordo com Munson (2004), a equação da
energia para escoamentos em regime permanente em média, dada por:
m us − ue +
p
ρ s
 − 
p
ρ e
 + 
V2s − V
2
e
2 + g (zs − ze = Qliq.e + Wliq.e                 (41)
Quando essa equação é aplicada a um escoamento em regime permanente, a equação
resultante é:
m us − ue +
p
ρ s
 − 
p
ρ e
 + 
V2s − V
2
e
2 + g (zs − ze = Qliq.e              (42)
A diferença entre as equações (41) e (42) é o termo Wliq.e, que representa a potência
no eixo que, nesse caso, é nulo em todas as equações. Se o escoamento for
incompressível, a equação (42) pode ser simpli�cada por:
ps
ρ + 
V2s 
2 + g zs = 
pe
ρ + 
V2e 
2 + g ze - (us - ue - qliq.e)                                         (43)
Sendo que:
qliq.e = 
Qliq . e
m                                                                   (44)
É a taxa de transferência de calor por unidade de massa que escoa no volume de
controle. Se os efeitos do atrito puderem ser desprezados, teremos:
ps + 
ρ V2s 
2 + γ zs = pe + 
ρ V2e 
2 + γ ze                                            (45)
( ) ( ) ( )
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
Sendo que γ = ρ g é o peso especí�co do �uido. Agora, vamos dividir a equação (45)
pela massa especí�ca do �uido:
ps
ρ + 
V2s 
2 + g zs = 
pe
ρ + 
V2e 
2 + g ze                                                  (46)
Comparando as equações (43) e (46), temos que:
us - ue - qliq.e = 0                                                                    (47)
Para escoamentos permanentes, incompressível e sem atrito. Logo,
 us - ue - qliq.e> 0                                                                      (48)
Nos escoamentos incompressíveis, permanentes e com atrito. Logo, podemos de�nir,
segundo Munson (2004), a equação (48) como a perda do nosso sistema, ou seja:
ps
ρ + 
V2s 
2 + g zs = 
pe
ρ + 
V2e 
2 + g ze - perda                                       (49)
Teorema de Transporte de Reynolds
Aplicado à Lei de Conservação de
Quantidade de Movimento
Agora, vamos estudar um campo de escoamento com várias entradas e saídas
representados pela Figura 3.7. No instante t, temos o �uido contido no volume de
controle delimitado pela superfície não hachurada na �gura. No instante t + δt, uma
porção de �uido (região II) saiu do volume de controle e uma quantidade adicional de
�uido (região I) entrou no volume de controle, lembrando que essa quantidade não
estava presente no instante inicial.
Um exemplo de um sistema complexo é mostrado na �gura 3.8, que pode ser a
representação da tubulação de água de uma rua com várias derivações interligando
casas e prédios. Nesta representação temos v1 e v2 entrando no volume de controle e v
3, v4, v5 e v6 saindo (basta seguir o sentido das setas).
O termo B representa a vazão líquida da propriedade B do volume de controle. Seu
valor é o resultado da integração das contribuições de cada elemento. Considerando a
área desses elementos como in�nitesimal, ela pode ser representada por δA.
Figura 3.7 - Volume de controle e sistema em um escoamento através de um volume de
controle �xo
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 168).
Figura 3.8 - Volume de controle com várias seções de alimentação e descarga
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 168).
O volume de �uido que passa por cada elemento de área está representado na Figura
3.9 e é dado por:
δvol = δln δA                                                                        (50)
Onde δln = δl cos θ é a altura (normal a base δA) do pequeno elemento de �uido eθ é o
ângulo entre o vetor velocidade e a normal que aponta para fora da superfície, n̂. Como
δl = V δt, a quantidade da propriedade B transportada através do escoamento de área δ
A no intervalo de tempo δt será:
δB = b ρδVol = b ρ (V cos θδt ) δtA                                          (51)
B é transportado através do elemento de área δA para fora do volume de controle a
uma taxa de transporte dada por:
δBs = limδt → 0 
ρ b δ Vol 
δt = limδt → 0 
( ρ b cos θ δt ) δA
δt = ρb V cos θδA                        (52)
Agora, vamos integrar a equação (52) em toda a sua porção da superfície de controle
que possui descarga de �uido, SC:
Bs = ∫
SCs
dBs = ∫
SCs
ρb V cos θ dA                                             (53)
Sendo que V cos θ é a componente da velocidade na direção normal à área δA, que é
dada pelo produto escalar V . n̂. Agora, temos uma forma alternativa para a equação
(53) que é:
Bs = ∫
SCs
ρb V . V . n̂ dA                                                       (54)
Com o mesmo raciocínio, obtemos para a superfície de controle representada na
Figura 3.10:
Be = ∫
SCs
ρb V . cos θ dA = -∫
SCe
ρb V . n̂ dA                             (55)
A convenção normal do versor normal à superfície aponta para a superfície,ou nas
regiões com descarga de �uido temos V . n̂ > 0, para - 90º < θ< 90º e nas regiões com
alimentação de �uido temos V . n̂ < 0, para 90º < θ< 270º, conforme está mostrado na
Figura 3.11.
Figura 3.10 - Escoamento em uma região da superfície de controle (alimentação)
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 170).
Podemos notar que o valor de cos θ é positivo nas porções da superfície de controle
que possuem descarga e negativo nas regiões com alimentação. E, nas regiões sem
alimentação ou descarga, a V   n̂ = V cos θ= 0, ou seja, o �uido se encontra preso na
superfície ou está escoando ao longo da superfície do volume de controle.
Figura 3.11 - Con�gurações da velocidade em uma região da superfície de controle. a)
alimentação, b) sem escoamento através da superfície e c) descarga do �uido
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 171).
Agora, o �uxo líquido do parâmetro B através da superfície de controle será dado por:
reflita
Re�ita
Os fenômenos de transporte, apesar de
serem estudados há mais de 200 anos,
estão sendo utilizados em áreas totalmente
novas ultimamente. O entendimento de
como os �uidos se comportam dentro de
tubulações levou os engenheiros a
�rmarem uma parceria para estudarem e
entenderem como os �uidos (sangue e
nutrientes) são transportados dentro do
nosso corpo. A área de atuação para
engenheiros junto à medicina tem crescido
vertiginosamente com estudos para
medicamentos que só começarão a agir no
local exato que precisamos até mesmo
órgãos arti�ciais que funcionarão como
bombas ou �ltros (rins e coração), passando
por máquinas que podem �ltrar nosso
sangue, controlar o funcionamento dos
órgãos vitais ou substituírem nosso
coração. Os cientistas acreditam que no
futuro seremos capazes de imprimir em
impressoras 3D órgãos humanos
perfeitamente compatíveis com partes que
apresentarem doenças.
Fonte: Çengel e Cimbala (2007, p. 5).
Bs - Be = ∫
SCs
ρb V . n̂ dA - − ∫
SCe
ρb V . n̂ dA = ∫
SC
ρb V . n̂ dA (56)
Também podemos escrever essa equação como:
DBsis
Dt = 
dBvc
dt + ∫
SC
ρb V . n̂ dA                                           (57)
Como Bvc = ∫
SC
ρb dV, então, a equação (57) �ca sendo:
DBsis
Dt = 
d
dt ∫
vc
ρb dvol + ∫
SC
ρb V . n̂ dA                                    (58)
Essa equação é a forma geral do teorema de transporte de Reynolds para volumes de
controle �xos e não deformáveis.
O lado esquerdo da equação representa a variação temporal de um parâmetro, que
pode ser a variação de massa ou o movimento do sistema. O segundo termo
representa a taxa de variação de B no volume de controle e o último termo representa
a vazão líquida do parâmetro B através de toda a superfície de controle.
praticar
Vamos Praticar
Dois orifícios localizados em uma parede com espessura igual a 120 mm são mostrados na
�gura a seguir. Os orifícios são cilíndricos e o de baixo apresenta uma entrada arredondada.
O ambiente apresenta pressão constante e igual a 1,0 kPa acima do valor atmosférico. A
descarga dos dois orifícios ocorre na atmosfera. Pode ser demonstrado que a perda de
energia disponível no orifício com entrada brusca é igual a 
0 , 5 V22
2 onde V2 é a velocidade
uniforme da seção de descarga do orifício superior. Já a perda de energia disponível no
escoamento do orifício com entrada arredondada é igual a 
0 , 05 V22
2 , onde V2 também é a
velocidade uniforme da seção de descarga do orifício inferior. Nessas condições, a vazão no
orifício de menor perda será um número entre (BRUNETTI, 2008, p. 109):
( )
a) Entre 0 e 0,010 m³/s
b) Entre 0,011 e 0,020 m³/s
c) Entre 0,021 e 0,030 m³/s
d) Entre 0,031 e 0,040 m³/s
e) Entre 0,041 e 0,050 m³/s
A maioria dos escoamentos estudados em Fenômenos de Transporte são
tridimensionais e precisam de vários cálculos matemáticos para encontrarmos as
  variáveis que queremos controlar. Por isso, foram desenvolvidos outros métodos
envolvendo que possibilitam produzir modelos matemáticos de acordo com a
realidade e mais fáceis de serem trabalhados matematicamente. Um desses modelos é
a análise dimensional.
Ela é uma teoria matemática que, aplicada à Física, e especi�camente à Mecânica dos
Fluidos, permite tirar maiores proveitos dos resultados experimentais, assim como
racionalizar a pesquisa e, portanto, diminuir seus custos e as perdas de tempo. A teoria
da semelhança, ou teoria dos modelos, é baseada em princípios abordados pela
análise dimensional e resolve certos problemas através da análise de modelos
convenientes do fenômeno em estudo (BRUNETTI, 2008).
Grandezas Fundamentais e Derivadas
As grandezas como espaço, tempo, velocidade descrevem os fenômenos físicos. Uma
pesquisa no conjunto de grandezas mostra a existência de somente três grandezas
independentes, a partir das quais podem ser relacionadas todas as demais. A escolha
em geral é feita com base no termo FLT (força, comprimento e tempo) ou no MLT
(massa, comprimento e tempo). Com exceção dessas três grandezas, as demais serão
Análise Dimensional eAnálise Dimensional e
Teoria da SemelhançaTeoria da Semelhança
derivadas delas. A equação dimensional relaciona a grandeza escolhida como base e
sua derivada.
Sistemas Coerentes de Unidades
A escolha do sistema de unidades é importante. Denominamos Sistema Coerente de
Unidades aquele que de�ne somente as unidades das grandezas fundamentais. Para o
sistema FLT, temos no MKS as seguintes unidades:
L = metro ou unidade de L;
K = kilograma-força ou unidade de F;
S = segundo ou unidade de tempo.
Outras unidades serão produto de potência dessas três. Por exemplo, a massa
especí�ca é dada por:
un ρMKS = kgf. m-4 . s2 = 
kgf . s2
m4
Teorema dos Pi ou Teorema de
Buckingham
O Teorema dos π nos diz que: “seja um fenômeno físico em que intervêm n variáveis,
x1, x2, …, xn, interligadas por uma função: f (x1, x2, …, xn) = 0. Pode-se demonstrar que
existe outra função, chamada de Φ(π1, π2, …, πn) = 0 rigorosamente equivalente à
anterior para o estudo do fenômeno indicado, onde:
os πi são números adimensionais independentes, construídos por
combinações adequadas das n variáveis ou grandezas que intervêm no
fenômeno;
a quantidade de números adimensionais é m = n - r, onde n = número de
grandezas envolvidas no fenômeno e r = número de grandezas fundamentais
contidas nas grandezas do fenômeno (para o nosso caso, sabemos que r ≤
3);
os adimensionais são obtidos por expressões do tipo:
π1= x
α1
1 . x
α2
2 … x
αr
r . x
αr+ 1
r+ 1
π2= x
β1
1 . x
β2
2 … x
βr
r . x
βr+ 1
r+ 1                                                         (59)
…………………………..
πm= x
δ1
1 . x
δ2
2 … x
δr
r . x
δr+ 1
r+ 1
Podemos notar que todos os adimensionais são os mesmos com exceção dos
expoentes. Chamamos esse conjunto de r fatores de base das grandezas dos
fenômenos e eles devem ser independentes.
Grupos Adimensionais Importantes na
Mecânica dos Fluidos
Algumas grandezas aparecem repetitivamente no estudo de Mecânica dos Fluidos.
Esse conjunto é formado por quatro adimensionais, que são:
Número de Reynolds
Número de Euler
Número de Froude
Número de Mach
Número de Reynolds (Re)
O número de Reynolds, representado por Re, é obtido pela fórmula:
Re = 
ρ v L 
μ                                                               (60)
Onde L é um comprimento característico do escoamento. Vamos denominar:
Fi = m . a como as forças de inércia do escoamento e,
Fμ = σ. A como as forças viscosas. Então, a divisão entre essas duas forças será dada
por:
Fi
Fμ
= 
m . a
σ . A α
ρ V 
v
T
μ 
v
L A
\                                                                 (61)
Sendo que V α L3 e A α L3, teremos:
Fi
Fμ
α
ρ L3 
v
T
μ 
v
L L
2
= 
ρ v2 L2
μ 
v
L L
2
= 
ρ v L
μ                                                         (62)
Então, temos que:
Re = 
ρ v L
μ α
Fi
Fμ
                                                            (63)
Desse modo, provamos que o número de Reynolds é proporcional ao quociente das
forças de inércia e viscosas do escoamento.Como foi visto, Re < 2.000 caracteriza escoamentos laminares e Re > 2.400,
escoamentos turbulentos, ou seja, as turbulências denotam um domínio das forças de
inércia sobre as viscosas, enquanto, em escoamentos laminares, temos um predomínio
das forças viscosas sobre as inerciais. Essa predominância faz com que o �uido �ua
suavemente, sem agito. Em compensação, quando tivermos valores muito elevados do
número de Reynolds, os efeitos da viscosidade poderão ser desprezados.
Número de Euler (Eu)
O número de Euler, representado por Eu, é calculado por:
Eu = 
Δp
ρ v2
                                                                              (64)
Multiplicando o numerador e o denominador pela área, temos:
Eu = 
Δp . A
ρ v2 . A
α
F
ρ v2 L2
                                                                               (65)
O número de Euler ou coe�ciente de pressão indica a relação entre as forças de
pressão, chamadas de Fp, e as forças de inércia no escoamento de um �uido.
Utilizamos o número de Euler no estudo de escoamentos em torno de per�s, em
tubos, em máquinas hidráulicas etc.
Número de Froude (Fr)
O número de Froude é representado por Fr e obtido pela equação:
Fr = 
v2
L . g                                                                                     (66)
Que representa a relação entre as forças de inércia e as forças devidas à aceleração da
gravidade. Usamos o Fr no estudo da ação das ondas em embarcações, escoamento
em canais, vertedores, orifícios etc., ou seja, escoamentos que possuem uma queda
que podem formar ondas.
Número de Match (M)
(M) = 
v
c                                                                           (67)
Onde c é a velocidade do som no �uido em escoamento. Temos que usar o número de
Match �uidos compressíveis, como o ar. Temos que (M) < 1 produzem escoamentos
subsônicos,   (M) = 1 produzem escoamentos sônicos e   (M) > 1 produzem os
supersônicos.
praticar
Vamos Praticar
O teorema dos π nos diz que a função equivalente pode ser construída por números
adimensionais independentes formados com as grandezas envolvidas no fenômeno. A
velocidade de um corpo em queda livre é função somente da aceleração da gravidade g e da
altura da queda h. A função de número adimensional referente ao fenômeno é igual a
(BRUNETTI, 2008, p. 149):
a) v = 
g . h
v2
.
b) π = g . h. v2 .
c) π = g . h. v.
d) v = 
g . h
v .
e) v = 
g . h
v3
.
indicações
Material
Complementar
FILME
Poseidon
Ano: 2006
Comentário: Na virada de ano novo, a força de um tsunami
de 150 pés consegue virar o transatlântico Poseidon de cabeça
para baixo. Os passageiros que sobrevivem a esta guinada de
180º no eixo do navio têm que escolher entre a sensação de
conforto de estar no salão de festas e terem sobrevivido a
essa tragédia ou a subir até o casco do navio para atingir a
superfície e assim poderem sair da embarcação. Vale notar a
combinação das forças gravitacionais, da velocidade da água e
da pressão inundando todos os cantos do transatlântico.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer a seguir.
TRA ILER
LIVRO
Mecânica dos �uidos: Fundamentos e Aplicações
Editora: Mc Graw Hill Editora
Autores: Çengel, Y. & Cimbala, J. M.
Comentário: O capítulo 7 deste livro nos traz maiores
informações sobre a Análise Dimensional. Recomendamos a
leitura das páginas 232 a 237, onde um gol�nho é citado como
exemplo para a obtenção dos 4 números adimensionais
básicos.
conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, estudamos o balanço global de energia, para
podermos obter a equação de Bernoulli e as hipóteses utilizadas para sua obtenção,
uma das equações mais utilizadas em Fenômenos de Transporte.
Depois, estudamos o Teorema de Reynolds e aprendemos a equacionar superfícies de
controle com volumes de controle para abordarmos escoamentos em que a massa ou
o volume variam no tempo.
Estudamos a aplicação do Teorema de Reynolds ao balanço global da quantidade de
movimento para escoamentos com múltiplas saídas, como é na realidade a maioria da
nossa instalação hidráulica e de gás natural.
Finalmente, aprendemos uma nova metodologia para resolvermos os problemas de
fenômenos de transporte. A análise dimensional e a teoria dos π nos ensinam que é
possível resolver situações reais baseados em três grandezas fundamentais. 
referências
Referências
Bibliográ�cas
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall Revisada,
2008.
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: Fundamentos e Aplicações.
Tradução de Roque, K. A.; Fecchio, M. M. Revisão técnica de Saltara, F. Baliño, J. L.; Burr,
K. P. Consultoria Técnica de Castro, H. M. São Paulo: Mc Graw Hill Editora, 2007.
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para cursos básicos.
2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos.
Tradução de Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard Blucher, 2004.