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UNIVERSIDADE FEDERAL RURALDOSEMI-ÁRIDO CENTROMULTIDISCIPLINARDE PAUDOS FERROS DEPARTAMENTODECIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS LABORATÓRIO DE MECÂNICA CLÁSSICA Profª. Thatyara Freire de Souza TÍTULO: ANÁLISE DE UMA EXPERIÊNCIA OBJETIVO: - Aplicar os conceitos de algarismos significativos, erro em uma medida e linearização; - Construir e analisar gráficos numa planilha eletrônica; - Elaborar um modelo que descreva o escoamento de um líquido contido em um recipiente. DESCRIÇÃO DA EXPERIÊNCIA: Nesta atividade vamos trabalhar com o conjunto de dados obtidos através de uma experiência cuja intenção foi de investigar o escoamento de água contida em um recipiente. Partiu- se da hipótese de que o tempo de escoamento dependeria da altura da coluna de água e do diâmetro do orifício na base do recipiente. Poderíamos ter escolhido outros parâmetros para a análise. Para estudar a dependência deste tempo de escoamento em relação ao tamanho do orifício, foram considerados quatro recipientes iguais, com orifícios circulares de diferentes diâmetros, relativamente pequenos, em suas bases. Considerando que todos tinham a mesma altura h de água, mediu-se o tempo de escoamento. Em seguida, para estudar a dependência do escoamento com relação à altura da coluna de água contida no recipiente, variou-se a altura da coluna de água que foi escoada por orifícios com diâmetros idênticos. Os dados obtidos estão disponíveis na tabela 1. h (cm) 30,0 10,0 4,0 1,0 Tempo (t) de esvaziamento (s) d (cm) 1,5 74,0 44,5 26,7 14,1 2,0 41,2 23,7 15,0 7,3 3,0 18,4 10,5 6,8 3,7 5,0 6,8 3,9 2,2 1,5 Construa uma figura/imagem/esquema que permita visualizar a situação investigada nesse experimento. Em seguida, faça uma análise mental dos resultados prevendo a natureza desse processo e investigando os possíveis resultados destas experiências. Buscando predizer o comportamento das grandezas envolvidas e como elas se relacionam. ANALISANDO OS DADOS (Tabela de dados e Gráficos): - Tabela de dados Estão registrados na tabela os valores dos tempos necessários para esvaziar cada recipiente. Devido à dificuldade de se medir precisamente intervalos de tempo usando um relógio/cronômetro/celular, há um número menor de algarismos significativos nas medidas de pequenos intervalos de tempo, do que nas de longos intervalos de tempo. Você sabe o que são algarismos significativos? Examinando os dados referentes ao diâmetro d , consegue identificar quantos são os algarismos significativos de cada medida? Ainda com relação ao diâmetro d, sugira um tipo de instrumento utilizado na medição (uma característica importante associada aos algarismos significativos é que eles nos permitem identificar o tipo de instrumento utilizado na medição). No caso do diâmetro d, qual seria a menor divisão de escala utilizada? Com relação ao tempo de escoamento t, qual a menor divisão de escala utilizada? Em função disso, que tipo de instrumento foi utilizado na medição dos tempos de esvaziamento dos recipientes? Além disso, cada resultado apresentado na tabela 1 tem um erro inerente ao processo de medida que, nesse caso, é chamado de erro de escala. Note que as medidas foram realizadas uma única vez para cada situação. Ou seja, não há valor médio, nem desvio padrão nesse caso. Já o erro do aparelho em relação ao objeto medido denominado erro relativo, pode ser expresso em porcentagem. Perceba que cada medida de diâmetro d tem um mesmo erro absoluto (dado pelo instrumento), mas um erro relativo diferente para cada medida (que depende do valor da medida). Qual o erro estimado nas leituras do diâmetro d, da altura h e do tempo t de escoamento? Qual das alturas tem maior erro relativo e qual tem o menor? Qual dos tempos tem o maior erro relativo e qual tem o menor? Qual dos diâmetros tem maior erro relativo e qual tem o menor? GRAFICOS A importância da utilização de gráficos na análise de experiências em laboratório decorre da possibilidade de analisar o comportamento de uma grandeza (variável dependente) em relação à outra (variável independente). Como vimos, nesta atividade estudaremos como o tempo de escoamento da água varia em função da altura e do diâmetro de um orifício. Procuraremos estudar essas questões separadamente. Todos os dados necessários, encontram-se na tabela 1. Uma representação gráfica desses dados possibilita o estabelecimento de uma relação matemática entre os mesmos. Os gráficos serão feitos no computador utilizando-se de ferramentas de planilha eletrônica. COMO O TEMPO DE ESCOAMENTO DEPENDE DO DIÂMETRO DO ORIFÍCIO? A tabela 1 nos permite estudar como o tempo de escoamento depende da altura da coluna de água do recipiente e do diâmetro do orifício por onde a água escoa. Para analisar a relação entre o diâmetro do orifício e o tempo de escoamento da água, podemos utilizar gráficos, os quais são mais fáceis de interpretar do que tabelas. Assim, vamos construir o gráfico do tempo (t) de escoamento versus o diâmetro (d) do orifício, para cada uma das alturas h. Registre numa planilha eletrônica a tabela 1, tal qual ela aparece na apostila (inclusive com as legendas). Construa o gráfico para cada uma das alturas, sobrepondo elas para que apareçam juntas conforme o exemplo abaixo. Em seguida, no mesmo gráfico faça o ajuste dos dados utilizando “a linha de tendência” que melhor se adapta às curvas, apresentando a representação matemática da mesma. h (cm) 30,0 10,0 4,0 1,0 α C1 Analise e identifique quais são as unidades de medida das grandezas C1 e α. t = Para h = 30 cm t = Para h = 10 cm t = Para h = 4 cm t = Para h = 1 cm Você deve ter percebido que quando nos itens anteriores pedimos que fosse adicionada a linha de tendência, sugerimos no primeiro caso uma função do tipo potência, e no segundo caso, uma função do tipo linear. Em princípio, a razão para essa escolha está no valor do R2 (termo que aparece no ajuste feito e representado matematicamente) que pode ser definido como uma medida do grau de ajuste (índice de correlação) entre a equação determinada pelo programa utilizado e os seus dados experimentais. Quanto mais próximo R2 estiver do valor 1, melhor o ajuste estará, ou seja, mais confiável sua modelagem matemática. Podem ocorrer casos em que duas ou mais funções apresentam valores R2 próximos, então devemos analisar as funções obtidas levando em consideração o fenômeno físico envolvido no experimento, descartando a equação que apresenta incompatibilidade teórica com a situação investigada. Entenda por que escolhemos o ajuste tipo potência para o primeiro gráfico: Faça novamente o gráfico (tipo dispersão) do tempo versus diâmetro somente para a altura h = 30 cm, seguindo o procedimento e nomeando como gráfico A. Em seguida, faça quatro cópias do gráfico e então insira em um deles a linha de tendência do tipo linear e verifique o valor de R2 para este. Compare com o valor de R2 para o gráfico (B) com a linha de tendência polinomial. Faça o mesmo com outro gráfico (C) , inserindo uma linha de tendência exponencial e verificando o valor de R2 em comparação com os demais. E, por fim, no gráfico D insira a linha de tendência do tipo logaritmo e exiba a equação com o valor de R2 para compará-lo com o tipo polinomial. Ao comparar os valores de R2 para cada tipo de função, quais conclusões você obteve? Na tabela 1 altere o valor de t para a altura de 30,0cm e diâmetro de 3,0cm. Inicialmente altere o valor de 18,4s para 10,0s e verifique os efeitos do gráfico, na equação e no valor de R2. Em seguida, mude de 10,0s para 8,0s. Qual o efeito dessas alterações no valor de R2? O que esse exemplo mostra se pensarmos que esses tempos diferentes foram medidos com um instrumento de menor precisão? Tentamos ilustrar o procedimento seguido para a escolha da função tipo potência nesta atividade. Entretanto, devemos também analisar e considerar a natureza dos fenômenos físicos em estudo. C1 h(cm) 30 10 4 1 Você deve ter notado que o melhor ajuste para o gráfico C1 versus h tem a forma de potência com expoente aproximadamente igual a 0,5. Para determinar a relação matemática C1 em função de h, você deve fazer a linearização do gráfico. Isto é, fazer o gráfico C1 versus h 1/2. A partir do gráfico linearizado, formate a linha de tendência e escreva a função de C1(h) que melhor descreve os seus dados: É importante observar que a equação obtida para C1 faz parte da equação que já havíamos determinando anteriormente. Portanto, substituindo a expressão de C1 teremos uma expressão geral mais completa. Estabeleça uma função geral para o tempo de fluxo como uma função simultânea de h e d para este experimento, determinando o valor numérico da nova constante C2: Se a expressão obtida acima é realmente válida para este experimento, ela deve ser capaz de explicar as expressões particulares obtidas na tabela 2. Portanto, obtenha as equações da tabela 2 a partir da função geral encontrada. Além de explicar as equações da tabela 2, a função geral deve também explicar qualquer dado da tabela 1. Para isto volte à sua planilha onde está registrada a tabela 1 e ao lado desta registre uma outra como apresentada abaixo. A partir da expressão geral determinada acima, calcule os tempos t de esvaziamento preenchendo as células vazias. Os cálculos devem ser feitos através do recurso que a planilha eletrônica possui. Insira a equação geral na célula correspondente ao tempo para h = 30 cm e d = 1,5 cm. Complete toda a tabela através desse procedimento e, em seguida, compare com a tabela inicial. DETERMINANDO UMA EXPRESSÃO GERAL: O TEMPO (t) DE ESVAZIAMENTO COMO FUNÇÃO SIMULTÂNEA DA ALTURA (h) DA COLUNA DE ÁGUA E DO DIÂMETRO (d) DO ORIFÍCIO. h (cm) 30,0 10,0 4,0 1,0 d (cm) t(s) t(s) t(s) t(s) 1,5 2,0 3,0 5,0 Voltando ao que foi colocado inicialmente, estas generalizações devem explicar não apenas o caso observado, mas também para fazer previsões quanto ao que ainda não foi de fato medido. Inclusive podendo evitar que para cada necessidade de determinação da grandeza, seja necessário montar uma situação de medida. E mesmo que se faça a medida em si, é possível ter antecipadamente uma previsão do possível resultado a ser obtido durante a realização. De posse da expressão geral, façamos algumas previsões de tempo de esvaziamento t para os pares de h e d sugeridos na tabela a seguir: h (cm) d (cm) t (s) 6,0 1,0 50,0 6,0 60,0 4,0 Com base no que foi realizado nesta atividade: A expressão obtida é válida para qualquer tamanho de lata? Para qualquer tipo de líquido? Afinal qual é a limitação da função geral encontrada? Em sua opinião, que grandezas físicas determinam o valor da constante C2? A partir do que pôde ser notado, como você avalia a sua hipótese inicial?
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