Análise de uma experiência através de gráficos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL 
FÍSICA EXPERIMENTAL I
Acadêmicos: Adauto Borges de Morais Junior, Andre Augusto Fernandes, Márcio André Pantoja Gaspar e Marília Lima de Medeiros 			Turma: 6T123
Professor: Edimilson Félix da Silva
Data: 17/08/2018.
Experimento N°1 – Análise de uma experiência através de gráficos
Objetivo
A presente atividade teve o objetivo de trabalhar os dados coletados em uma experiência, previamente realizada, que investigou as características do escoamento da água contida em alguns recipientes, para então construir e analisar gráficos em planilha eletrônica e, também, aplicar os conceitos de algarismos significativos, erros em uma medida e linearização.
Introdução teórica
A análise de dados de um experimento constitui fator de grande importância na realização de uma pesquisa científica.
Sendo o objetivo de esta investigar o tempo de escoamento em função da altura da coluna d’água e do diâmetro do orifício do recipiente, nos foi apresentada uma tabela onde os dados foram coletados a partir de 04 recipientes iguais.
A observação dos dados coletados nos permite constatar uma tendência de comportamento que poderá ser traduzida em forma de equação matemática (aproximada), o que nos possibilitará prever os resultados do experimento com a utilização de outras grandezas para as variáveis em questão.
Isso será possível através do processo de linearização, que poderá ser facilmente realizado com a utilização do software Excel, através da construção de tabelas e gráficos, onde o programa irá analisar a curva (“linha de tendência”) gerada para estabelecer, através de cálculos estatísticos aproximados, a relação matemática que melhor descreve a experiência.
O conceito de Algarismos Significativos (A.S.) é importante nessa atividade pois nos auxilia a identificar a quantidade de casas decimais que devemos utilizar no experimento em questão, tendo como referência para sua determinação, as medidas obtidas no experimento previamente realizado, sendo eles (A.S.) todos os algarismos medidos com precisão mais o primeiro duvidoso. Isso é muito útil quando utilizamos as ferramentas de cálculo, por exemplo, pois elas nos fornecem, muitas vezes, resultados com uma quantidade excessiva de algarismos não significativos. 
	Os erros de medidas são inerentes a um procedimento experimental de baixa precisão, como o aqui desenvolvido. Normalmente podemos calcular a dispersão da média quando temos um conjunto de medidas para o mesmo experimento, o que não é nosso caso, mas podemos utilizar esses princípios para compreender o desvio entorno da curva obtida pelo processo de linearização aqui realizado.
Material utilizado
Em experimento previamente realizado, foram utilizados quatro recipientes iguais, em diâmetro e altura, com orifícios circulares de diâmetros diferentes (pequenos em relação à base do recipiente) e, inicialmente, mesma altura da coluna d’água para os 04 recipientes. O sistema experimental foi esquematizado como na figura 01.
 (
h
) (
h
) (
h
) (
h
)
 (
d
)
 (
d
) (
d
) (
d
)
 (
D
) (
D
) (
D
)
 (
D
)
Figura 01 – Montagem experimental do escoamento da água. (esquema)
Para trabalhar os dados coletados pelo experimento, foi utilizado o software Excel.
Procedimento Experimental
Análise da tabela fornecida:
	h(cm)
	30
	10
	4
	1
	d(cm)
	t(s)
	1,5
	74,0
	44,5
	26,7
	14,1
	2
	41,2
	23,7
	15,0
	7,3
	3
	18,4
	10,5
	6,8
	3,7
	5
	6,8
	3,9
	2,2
	1,5
Tabela 01. Tempo de esvaziamento (em segundos) em função simultânea da altura(h) da coluna de água e do diâmetro (d) do orifício.
Na tabela 01, onde foram registrados os valores dos tempos necessários para esvaziar cada recipiente em função da altura da coluna de água, nota-se que os tempos, devido à dificuldade de se obter uma maior precisão na operação, foram apresentados em até 03 A.S. (Algarismos significativos).
Tendo como base a fornecida Tabela 01 confeccionou-se um gráfico do tempo (t em segundos) de escoamento da água em função do diâmetro (d em centímetros) do orifício em cada recipiente para cada uma das alturas (h em centímetros) sendo a mesma registrada em planilha eletrônica (EXCEL) para tal ação.
Foram geradas no gráfico (Figura 02), 04 curvas distintas, uma para cada altura da coluna de água especificada na Tabela 01.
Figura 02. Gráfico do tempo(t) em função do diâmetro(d) do orifício em cada recipiente para cada altura(h) da coluna de água.
Após a geração dos pontos desenhou-se uma curva média (curva de tendência) para cada conjunto de dados (altura da coluna de água h) sendo que em todas se utilizou a curva base função “potência” a qual mais se adéqua a uma linearização mais precisa de acordo com o coeficiente de correlação (R² ~ 1).
Estando as 04 curvas geradas, descobriram-se as equações para cada uma delas, que relaciona o tempo de escoamento com a altura da coluna de água, apontando que o programa tentou obter uma relação linear entre as grandezas já mencionadas:
	t = 163,7 * X-1,98
	Para h= 30 cm
	t = 98,0 * X-2,01
	Para h= 10 cm
	t= 62,9 * X-2,06
	Para h= 4 cm
	t= 27,9 * X-1,83
	Para h= 1 cm
Tabela 02. Relação algébrica entre t e d para diferentes alturas h.
Análise da “constante” C¹(h)
Verificou-se, então, analisando a Tabela 02, que as expressões correlacionam o tempo de escoamento (t), o diâmetro do orifício (d) do recipiente e a variação da altura (h) e que há uma “constante” (C¹) que varia com a altura, sendo sua expressão geral:
 t = C¹(h) 		 (Equação 01: Relação entre o tempo de 
 d²		 escoamento e o diâmetro e a altura)
		
Da análise acima se criou uma tabela de relação das alturas(h) com a “constante” C¹.
	h (cm)
	30
	10
	4
	1
	C¹
	163,7
	98,0
	62,9
	27,9
Tabela 03. Relação algébrica entre a “constante” C¹ e altura h.
A partir da tabela e com o uso do software de planilha eletrônica confeccionou-se um gráfico tipo dispersão com a relação C¹ versus h.
Figura 03: Gráfico da “constante” C¹ versus a altura (h em cm)
Tendo como base o gráfico (Figura 03) já linearizado, sendo a linha de tendência a função potência, a expressão que descreve os dados da Tabela 03 é:
C¹(h) = 29,02*X0,519 (Equação 2: C1 obtida pelo gráfico C1 X h)
Determinação da Expressão Geral
Notou-se, a partir das observações da Equação 02 (C1 obtida pelo gráfico C1 X h) e da Equação 01 (Relação entre o tempo de escoamento e o diâmetro e a altura, obtida através da Tabela 02) que poderíamos substituir C¹ da Equação 02 em C¹ na Equação 01 obtendo-se uma expressão geral que determina o tempo (t) de esvaziamento como função simultânea da altura (h) da coluna de água e do diâmetro (d) do orifício do recipiente:
	
t(h,d) = 29,02*h0,519 * d-2
(Equação 03: Expressão Geral)
A partir da determinação da Expressão Geral pudemos explicar as expressões obtidas na Tabela 02, quando da análise das curvas dos gráficos de t(s) versus d(cm) constantes na Figura 02, onde o tempo (t) vai variar proporcionalmente com as dimensões do recipiente, altura(h) e o diâmetro. Isso significa que quanto maior altura e menor diâmetro do recipiente, maior será o coeficiente angular (inclinação) da curva.
Resultados e discussão
Utilizando os dados de entrada da Tabela 01 [altura(h) e diâmetro do orifício(d)] e fazendo uso da Expressão Geral acima, obtivemos uma tabela com valores do tempo de escoamento da água(t):
	h(cm)
	30
	10
	4
	1
	d(cm)
	t(s)
	1,5
	75,4
	42,6
	26,5
	12,8
	2
	42,4
	23,9
	14,9
	7,25
	3
	18,8
	10,6
	6,62
	3,22
	5
	6,79
	3,83
	2,38
	1,16
Tabela 04: Tempo de esvaziamento (em segundos) em função simultânea da altura(h) da coluna de água e do diâmetro (d) do orifício, mas calculados com o uso da Expressão Geral para obtenção dos dados.
Após a comparação da Expressão Geral (Equação 03) com as expressões da Tabela 02, e também, comparando os dados da Tabela 01 com os dados obtidos e constantes na Tabela 04, notou-se que são praticamente os mesmos com algumas, mas pequenas diferenças nas casas decimais, considerando sempre 03 A.S.
Considerandoque a Expressão Geral (Equação 03) obtida pode servir não apenas para explicar o que foi observado, mas também para fazer previsões do que ainda não o foi, realizaram-se novas previsões com dados de diferentes alturas (h) e diferentes diâmetros do orifício (d) dos constantes na Tabela 01, obtendo-se assim a seguinte tabela:
	h(cm)
	d(cm)
	t(s)
	6
	1
	73,6
	50
	6
	6,15
	60
	4
	15,2
Tabela 05: Previsões para valores de altura(h) e diâmetro(d) com o uso da Expressão Geral.
Conclusão
Pôde ser analisada, a partir dos dados obtidos pelos gráficos, uma diferença pequena, mas ainda sim significativa entre os valores medidos empiricamente (Tabela 01) e os valores calculados com a Expressão Geral (Equação 03), provenientes de erros sistemáticos (quando da elaboração da tabela 01 ainda no início do experimento analisado) e erros estatísticos ou generalizações.
Podendo ser esses: 
1. Erros sistemáticos: O uso de um cronômetro ou medidor de tempo cuja medida não passava de uma casa decimal;
2. Erros estatísticos: A não utilização de todas as casas decimais dos números trabalhados; o R² (coeficiente de correlação) obtido na construção do gráfico a partir de uma equação ‘potência’, que apesar de próximo, é diferente de 01(um); e o arredondamento do expoente do diâmetro (d) na fórmula para -2(menos dois), onde para cada altura seu valor oscila desse modo causando uma margem de erro maior em algumas medidas.
Tendo isso em vista, pode-se afirmar que os valores previstos na tabela 5, são apenas uma aproximação, pois estão passíveis a erros sistemáticos e estatísticos, além das generalizações já estabelecidas
Por fim, verificou-se que o tempo de escoamento depende diretamente da altura da coluna da água e inversamente ao diâmetro do orifício do recipiente, porém a conclusão é válida apenas para este líquido ensaiado (água), não se podendo afirmar quanto a outro líquido de viscosidade diferente, assim como também não se pode afirmar quanto a recipientes cujos diâmetros dos mesmos sejam diferentes.
Portanto a Expressão Geral (Equação 03) encontrada limita-se não somente ao mesmo líquido (água), mas como também o mesmo diâmetro dos recipientes utilizados, assim como às mesmas condições de temperatura e principalmente pressão em que o ensaio empírico foi realizado.
Bibliografia
[1] TAKEYA,Mario e MOREIRA,José A. M., Apostila de Física Experimental I - Laboratório de Física 1 - UFRN,Natal (2010)
C¹xh
Cxh	
30	10	4	1	163.72999999999999	98.043999999999997	62.911999999999999	27.920999999999989	h(cm)
C(s.cm²)