Aula 2-PTV

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Teoria das Estruturas I 
Profª Ma. Tayla Castilho Criado 
Princípio dos Trabalhos 
Virtuais (PTV) 
Generalidades 
 O PTV constitui se em uma das mais simples e versáteis 
ferramentas da Estática das Estruturas, encontrando aplicação 
generalizada no estudo das estruturas lineares: 
 Aplicações do PTV: 
 Determinação das Linhas de Influência de Estruturas Isostáticas 
 Determinação das reações, dos esforços solicitantes e dos 
deslocamentos de estruturas isostáticas. 
3 
Hipóteses de Cálculo 
▪ Continuidade da Linha Elástica: 
4 
Hipóteses de Cálculo 
▪ Os ângulos dos nós rígidos da estrutura permanecem constantes. 
5 
Hipóteses de Cálculo 
▪ Lei de Hooke : tensão normal é diretamente proporcional à 
deformação longitudinal: 
 
 
6 
s 
𝜺 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 
Hipóteses de Cálculo 
▪ Hipótese de Navier: as seções transversais que são planas e 
perpendiculares ao eixo antes da deformação, continuam planas 
e perpendiculares ao eixo encurvado após a deformação. 
7 
Hipóteses de Cálculo 
▪ Hipótese de Bernoulli tensões normais variam linearmente ao 
longo da altura, valendo zero na fibra neutra. 
8 
Hipóteses de Cálculo 
▪ Superposição de Efeitos: Com as hipóteses anteriores, vale o 
Princípio da Superposição dos Efeitos, preconizando que o efeito 
global de um conjunto de esforços externos é igual a soma dos 
efeitos individuais de cada um: 
 
9 
Trabalho 
 
▪ Trabalho é uma grandeza física relacionada a transferência de 
energia devida a atuação de um esforço. Se realiza trabalho 
quando se aplica um esforço em um sólido ( e esse sofre um 
deslocamento) 
 
▪ Apesar do esforço e do deslocamento serem duas grandezas 
vetoriais, o trabalho é uma grandeza escalar, ou seja, fica 
totalmente definida com um valor numérico e uma unidade. 
10 
Trabalho 
Trabalho realizado por uma Força: 
11 
𝑑𝑊 = 𝐹. 𝑑𝑥 
 
Observação: quanto ao sinal do 
trabalho, se o esforço e o 
deslocamento correspondente têm o 
mesmo sentido, o trabalho realizado 
será positivo, caso contrário, será 
negativo. 
Trabalho 
Trabalho realizado por um Momento 
▪ O trabalho dW realizado pela força 
F quando um ponto “a” do disco se 
move a uma distância dv é dado 
por: 
𝑑𝑊 = 𝐹. 𝑑𝑣 
 
▪ Já o comprimento dv é dado por: 
𝑑𝑣 = 𝑅. 𝑑𝜃 
▪ Logo: 
𝑑𝑊 = 𝐹. 𝑟. 𝑑𝜃 = 𝑀. 𝑑𝜃 
12 
Deslocamento Virtual 
▪ Seja um ponto material “m” em equilíbrio estático, isto é, 
submetido a um conjunto de forças 𝑃𝑖, de modo que a resultante 
das forças 𝑅 seja nula: 
▪ Temos que: 
▪ 𝐹𝑥,𝑦,𝑧 = 0 𝑜𝑢 𝑅 = 0. 
 
13 
Deslocamento Virtual 
▪ Imagina-se que seja dado a este ponto um deslocamento 𝑎 , sem 
a introdução de nenhuma força no sistema, isto é, mantendo-se 
𝑅 = 0: 
14 
Deslocamento Virtual 
▪ Dessa forma, o conceito de Deslocamento Virtual é dado por: 
▪ O deslocamento 𝑎 , dado pela condição 𝑅 = 0, deve ser encarado 
como entidade puramente matemática e é chamado de 
deslocamento virtual; 
▪ É hipotético e muito pequeno; 
▪ Deve ser cinematicamente compatível com as vinculações do 
sistema estrutural; 
▪ Não altera a configuração estática e geométrica do sistema 
estrutural e dos esforços que nele agem. 
 15 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ O PTV se divide em duas análises diferentes: 
▪ Princípio das Forças Virtuais (PFV): Calculada por meio da 
imposição de uma condição de compatibilidade a uma 
configuração deformada. Utilizado para cálculo de 
deslocamento, que é compatível com a configuração deformada 
de uma estrutura. 
▪ Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV): Em várias 
situações é necessário impor condições de equilíbrio a um 
sistema de forças. Determinação de valores de forças e 
momentos que equilibram uma estrutura que tem uma 
configuração deformada. 16 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Considere um corpo deformável qualquer 
submetido a um sistema de forças 𝑃𝑖 . 
▪ Um ponto interno qualquer, A, está 
submetido a esforços internos, cuja 
resultante é nula (Equilíbrio). 
17 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Aplica-se um deslocamento 
virtual,𝛿𝑣 em A. 
▪ Todo o corpo se deforma e os esforços 
internos (reais e existentes) realizam 
trabalho sobre os deslocamentos e 
deformações virtuais provocados pela 
aplicação de 𝛿𝑣 
▪ Logo o trabalho 𝑑𝑊 é virtual. 
18 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Divide-se 𝑑𝑊 em duas parcelas: 
▪ 𝑑𝑊𝑟: é o trabalho executado pelas forças externas sobre os 
deslocamentos de corpo rígido. Esta parcela é nula, porque o 
corpo está em equilíbrio e o deslocamento virtual infinitesimal 
não perturba essa configuração. 
▪ 𝒅𝑾𝒅: é o trabalho executado pelas forças internas sobre as 
deformações. 
▪ Dessa forma: 𝑑𝑊 = 𝑑𝑊𝑑 
19 
Reações e 
Esforços 
Solicitantes 
Cálculo de Reações e Esforços Solicitantes 
▪ Dado o sistema de sólidos rígidos em equilíbrio estático a 
determinação dos esforços solicitantes pode ser feita através do 
Processo das Cadeias Cinemáticas. 
 
21 
Cálculo de Reações e Esforços Solicitantes 
▪ O Processo das Cadeias Cinemáticas consiste na retirada de um único 
vínculo de uma estrutura isostática, passando se a ter uma cadeia 
cinemática com somente um grau de liberdade, ou seja, o problema 
estático é transformado em um Problema Geométrico. 
▪ Com isso pode se retirar o vínculo que transmite o esforço EC procurado 
e impor um deslocamento virtual cinematicamente compatível, 
permitindo a aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais na obtenção 
do esforço EC procurado. 
▪ A retirada do vínculo que transmite o esforço EC procurado é feita 
conforme segue. 
22 
Cálculo de Reações e Esforços Solicitantes 
▪ Momento Fletor em Barra Contínua: 
▪ Barras vinculares: 
 
 
▪ Retirada da barra vincular que transmite Momento Fletor: 
 
 
▪ Adição do Momento Fletor procurado: 
 
23 
Cálculo de Reações e Esforços Solicitantes 
▪ Força Cortante em Barra Contínua: 
▪ Barras vinculares: 
 
 
▪ Retirada da barra vincular que transmite Força Cortante: 
 
 
▪ Adição da Força Cortante procurada: 
 
24 
Cálculo de Reações e Esforços Solicitantes 
▪ Força Cortante em articulação: 
▪ Barras vinculares: 
 
 
▪ Retirada da barra vincular que transmite Força Cortante: 
 
 
▪ Adição da Força Cortante procurada: 
 
25 
Cálculo de Reações e Esforços Solicitantes 
▪ Procedimento: 
▪ Retirar o vínculo que transmite o esforço Ec procurado e impor 
um deslocamento virtual cinematicamente compatível. 
▪ O diagrama formado pela posição inicial e a posição deslocada da 
estrutura é a Cadeia Cinemática procurada. 
▪ Uma vez definida a Cadeia Cinemática, aplicar o PTV, ou seja, a 
soma dos trabalhos externos é igual a zero, e determinar o valor 
do esforço EC procurado. 
 
26 
Exemplo 
▪ Determinar VB. 
 
27 
L L L 
Exemplo 
▪ Retirando-se o vínculo B e colocando-se a reação correspondente, tem-
se: 
 
 
 
 
▪ Introduzindo-se um deslocamento virtual 𝛿 compatível com os vínculos, 
tem-se: 
 
28 
L L L 
L L L 
Exemplo 
▪ Aplicando-se o PTV, tem-se: 
𝑇𝑒𝑥𝑡 = 0 
𝑃.
𝛿
2
− 𝑉𝐵 . 𝛿 = 0 
▪ Colocando-se 𝛿 em evidência, tem-se: 
 
𝛿.
𝑃
2
− 𝑉𝐵 = 0 
▪ Como δ ≠ 0: 
𝑃
2
− 𝑉𝐵 = 0 
𝑉𝐵 ==
𝑃
2
 29 
Exemplo 
▪ Determinar MA. 
 
30 
L L L 
Exemplo 
▪ Retirando-se o vínculo correspondente à incógnita em A e colocando-se 
a reação correspondente, tem-se: 
 
 
 
 
▪ Introduzindo-se um deslocamento virtual 𝛿 compatível com os vínculos, 
tem-se: 
 
31 
L L L 
L L L 
Exemplo 
▪ Aplicando-se o PTV, tem-se: 
𝑇𝑒𝑥𝑡 = 0 
𝑀𝐴. 0 + 𝑀𝐴. 𝜃 + 𝑃.
𝜃. 𝐿
2
= 0 
▪ Colocando-se θ em evidência, tem-se: 
𝜃. 𝑀𝐴 + 𝑃.
𝐿
2
= 0 
▪ Como θ é diferente de zero, tem-se: 
𝑀𝐴 + 𝑃.
𝐿
2
= 0 
𝑀𝐴 = −𝑃.
𝐿
2
 
 
 
32 
Deslocamentos 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ O trabalho virtual realizado pelas forças externas quando se 
aplica um 𝛿𝑣 é igual ao trabalho virtual dos esforços internos. 
𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑊𝑖𝑛𝑡 
 
▪ O trabalho externo é o produtodas forças externas pelo 
deslocamento virtual imposto. 
▪ O trabalho interno é dado pelo produto entre tensões 
decorrentes do carregamento externo e as deformações que 
surgem ao aplicar o deslocamento virtual. 
▪ O princípio também pode ser usado, aplicando uma força externa 
virtual. 
 
34 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Utiliza-se um sistema auxiliar chamado sistema virtual, que 
trabalha com a mesma estrutura mas carregamentos 
diferentes. 
▪ Aplicação: Método de uma carga unitária para cálculo de 
deformações e deslocamentos. 
▪ O método consiste de duas etapas de carregamento. 
▫ Etapa 1 – A estrutura submetida ao carregamento externo 
que provoca o deslocamento procurado; 
▫ Etapa 2 – A estrutura submetida a um carregamento virtual 
unitário correspondente ao deslocamento procurado; 
35 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Seja ∆ o deslocamento procurado 
▪ O trabalho externo é igual a: 
𝑊𝑒𝑥𝑡 = 1. ∆ 
▪ 1 é a carga virtual externa aplicada no ponto e direção de ∆. 
▪ O trabalho interno é igual ao produto dos deslocamentos internos 
reais pelos esforços internos virtuais provocados pela aplicação 
da carga unitária. 
𝑊 = 𝑁 . 𝑑𝛿 + 𝑀 . 𝑑𝜑 + 𝑉 . 𝑑𝑉 + 𝑀𝑡. 𝑑 ∝ 
36 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Deslocamento dδ devido a N: 
▪ Tensão Normal: 
𝜎 =
𝑁
𝐴
 
 
▪ Deformação longitudinal: 
𝜀 =
∆𝐿
𝐿
=
𝑑𝛿
𝑑𝑥
 
 
▪ Lei de Hooke: 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 
 
 
 
37 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Substituindo-se: 
𝑁
𝐴
= 𝐸.
𝑑𝛿
𝑑𝑥
 
 
𝑑𝛿 =
𝑁
𝐸. 𝐴
. 𝑑𝑥 
38 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Deslocamento d𝝋 devido a 
M: 
∆𝑑 𝑦 = ∆𝑑 𝑦 1 + ∆𝑑 𝑦 2 
 
𝑑𝜑 = 𝜃1 + 𝜃2 
 
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝑟. 𝑑𝜑 
 
𝑑𝑥
𝑟
=
∆𝑑(𝑦)
𝑦
 
 
 
39 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Deformação longitudinal: 
 
𝜀 =
∆𝐿
𝐿
=
𝑑𝛿
𝑑𝑥
 
 
𝑑𝑥
𝑟
=
∆𝑑(𝑦)
𝑦
 
 
𝜀 =
𝑦
𝑟
 
40 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Lei de Hooke: 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 
▪ O efeito do momento fletor é dado por: 
𝜎 =
𝑀𝑧
𝐼𝑧
. 𝑦 
 
𝑀𝑧
𝐼𝑧
. 𝑦 = 𝐸.
𝑦
𝑟
 
 
1
𝑟
=
𝑀
𝐸. 𝐼𝑧
 
 
 
41 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Para pequenas deformações: 
 
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝑟. 𝑑𝜑 
 
𝑑𝜑 =
1
𝑟
. 𝑑𝑥 
▪ Portanto: 
𝑑𝜑 =
𝑀
𝐸. 𝐼𝑍
. 𝑑𝑥 
 
42 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Para vigas e pórticos planos, com predomínio da flexão, o 𝑊 é 
dado por: 
𝑊 = 
𝑀.𝑀 
𝐸. 𝐼𝑍
. 𝑑𝑥 
 
▪ Para treliças , o 𝑊 é dado por: 
𝑊 = 
𝑁𝑖 . 𝑁𝑖
𝐸𝑖 . 𝐴𝑖
. 𝑙𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
 
43 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Calculando-se, agora, o trabalho virtual externo da força F que 
age sobre o sistema estrutural, obtém-se o trabalho virtual 
externo 𝑊 𝑒𝑥𝑡 dado por: 
𝑊𝑒𝑥𝑡 = F. ∆ 
▪ Convém notar que 𝑊 𝑒𝑥𝑡 é igual ao produto entre a força F e o 
respectivo deslocamento real ∆ procurado. 
▪ A força F pode ser substituída por qualquer esforço de interesse, 
em função do deslocamento a ser calculado. 
▪ Quando tal esforço for igual a unidade, tem-se o Método do 
Esforço Unitário. 
 
44 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Permite cálculo de deslocamentos e rotações de forma 
generalizada; 
▫ As cargas podem ser quaisquer 
▫ Deslocamento em qualquer ponto 
▪ Por exemplo, o cálculo de deslocamentos em estruturas que 
trabalham à flexão resulta num cálculo de uma integral que 
combina diagramas de momentos fletores nos sistemas reais e 
virtuais. 
45 Utilização de Tabelas! 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Quando da aplicação do PTV, convém observar que pode ser 
utilizada a tabela formulada por KURT BEYER para a resolução 
das integrais do produto de funções ao longo do comprimento 
das barras. 
▪ Tal tabela fornece diretamente o resultado da integral do produto 
de duas funções: 
 
 
 
 
46 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
▪ Convém notar que para alguns casos, que não estejam tabelados, 
o resultado pode ser obtido por superposição de efeitos. 
 
47 
= + 
 
48 
Exemplo 
▪ Dada uma estrutura em equilíbrio estático com um determinado 
carregamento real P, sendo dados L, E e Iz. 
 
 
 
 
▪ Pode-se calcular o deslocamento Δb da estrutura: 
 
49 
Exemplo 
▪ Com a aplicação do carregamento real P em “ surge “o esforço solicitante 
M e com a aplicação da força unitária em “ surge” o esforço solicitante 𝑀 : 
50 
Exemplo 
▪ Da tabela tem-se: 
 
 
 
 
 
 
▪ Logo, para funções tracionando a mesma fibra (positivo),tem-se: 
1. ∆𝑏=
1
𝐸.𝐼𝑧
.
1
3
. 𝐿. 𝑃. 𝐿 . 𝐿 ∆𝑏=
𝑃.𝐿3
3.𝐸.𝐼𝑧
 
 
 
51 
Obrigada! 
Alguma dúvida? 
Vocês podem me encontrar em: 
tayla.criado@unifran.edu.br 
Referências 
▪ Este material foi desenvolvido a partir de notas de aula 
elaboradas pelo Prof. Dr. Rogério de Oliveira Rodrigues (UNESP-
ILHA SOLTEIRA). 
▪ MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas: conceitos e 
métodos básicos. Rio de Janeiro: Campus, 2010. 524 p. ISBN 
9788535234558. 
▪ CAMPANARI, Flavio Antonio. Teoria das estruturas : V 1. Rio de 
Janeiro Guanabara dois 1985 1274 ISBN 8570300476. 
 
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