Aplicação dos teoremas de energia de deformação - Resistência dos Materiais Aplicada

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RESISTÊNCIA
DOS MATERIAIS
APLICADA
Douglas Andrini Edmundo
R429 Resistência dos materiais aplicada [recurso eletrônico] / 
Organizador, Douglas Andrini Edmundo. – Porto Alegre : 
SAGAH, 2016.
Editado como livro impresso em 2016. 
ISBN 978-85-69726-85-2
1. Engenharia. 2. Resistência de materiais. I. Edmundo, 
Douglas Andrini.
CDU 620.172.22
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
Aplicação dos teoremas 
de energia de deformação
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Analisar o comportamento de elementos estruturais por meio do
conceito de trabalho externo e energia de deformação.
 � Determinar o deslocamento e rotação de elementos estruturais
utilizando princípio do trabalho virtual.
 � Aplicar o método das forças virtuais para a solução de vigas e pór-
ticos.
Introdução
A análise estrutural aplicada em diversos métodos para determinar o 
comportamento de elementos estruturais, além das reações de apoio 
e dos esforços solicitantes, conhecer os deslocamentos e as rotações 
provocadas pela aplicação de cargas nesses elementos estruturais 
também devem ser objeto de nossa análise.
Neste texto, você vai estudar sobre a conservação de energia e verá 
também a aplicação do método dos Princípios Virtuais para determi-
nar o deslocamento e a rotação em qualquer ponto de um elemento 
estrutural.
Métodos de energia de deformação
Você sabia que os métodos de energia de deformação utilizam o conceito 
de que a energia de deformação de um elemento estrutural está diretamente 
ligada a uma deformação? Com isso podemos definir que a energia de defor-
mação é o trabalho realizado por uma força quando aplicada a um elemento 
estrutural, provocando o aumento no seu comprimento, ou seja, provocando 
um deslocamento.
Trabalho de deformação de uma força
Saiba que uma força realiza trabalho quando provoca um deslocamento 
na mesma direção da força. Veja na Figura 1 uma barra de comprimento L 
e engastada em uma das extremidades, quando submetida a uma força axial 
P, se você aumentar a intensidade da força P gradualmente poderá traçar um 
gráfico de força x deslocamento e obter o gráfico com uma curva de força x 
deformação, conforme está na Figura 2. Confira!
Figura 1.
Figura 2.
A medida que você aumentar a intensidade da força axial P na barra, o 
trabalho dU realizado pela força P sofre deformação no mesmo sentido da 
Resistência dos materiais aplicada78
força de um valor dx enquanto a barra está sendo alongada, ou seja, o trabalho 
realizado pela força P é igual ao produto da intensidade de P pelo valor do 
deslocamento dx e podemos expressar da seguinte maneira,
Essa expressão corresponde a um elemento de área de largura dx, desta-
cado no diagrama força-deformação, como mostra a Figura 3, significa dizer 
que o trabalho que a força axial P realiza enquanto a barra está sendo defor-
mada em uma distância x1 pode ser definida como,
Figura 3.
Se o material tiver comportamento elástico linear a deformação será pro-
porcional a força aplicada e o diagrama de força-deformação será uma linha 
reta. A equação que representa o diagrama será P = kx, Figura 4.
Figura 4.
79Aplicação dos teoremas de energia de deformação
, substituindo o valor de P na equação de trabalho de deformação, 
temos.
Integrando a expressão, temos.
Chamando o deslocamento x1 de ∆, a expressão ficará,
Trabalho de deformação de um momento
Um momento realiza trabalho quando provoca um deslocamento rota-
cional dθ em um elemento estrutural ao longo da linha ação desse momento e 
o trabalho pode ser definido como,
Da mesma forma como você viu no caso de uma força, quando um mo-
mento for aplicado a um elemento estrutural composto de material de com-
portamento elástico linear, na proporção que aumentamos a sua intensidade 
de zero quando θ = 0 até atingir M = θ, podemos dizer que o trabalho reali-
zado pelo momento será,
Densidade da energia de deformação
Sempre que você aplicar um carregamento a um elemento estrutural ou 
a um corpo qualquer, essas cargas ou forças, sempre vão provocar a defor-
mação do material. Considerando que toda a energia seja contida no corpo, 
Resistência dos materiais aplicada80
ou seja, não sejam perdidas através da geração de calor, todo trabalho externo 
provocado pelas cargas externas será transformado em trabalho interno, que 
chamamos de energia de deformação. Lembre-se que a retenção dessa energia 
provocada pelas tensões atuantes no corpo será sempre positiva.
Considere a energia de deformação por unidade de volume. Dividindo a 
equação do trabalho de deformação pelo volume V = A. L., temos.
Como força dividida pela área P/A corresponde a tensão normal σx atu-
ando em um corpo, da mesma forma a relação do deslocamento dividido pelo 
comprimento x/L, podemos expressar como a deformação específica εx a ex-
pressão ficará da seguinte forma,
O limite superior da integral representa o valor da deformação provocada 
pela aplicação da força axial, correspondendo a deformação específica do ma-
terial e está diretamente relacionada ao deslocamento x1 da barra alongada.
O trabalho de deformação específico μ, é a relação entre o trabalho de 
deformação pelo volume
Na Figura 5, veja o diagrama tensão-deformação σ x ε, onde o trabalho 
de deformação específica é a área do diagrama abaixo da curva de tensão-
-deformação, compreendida entre o intervalo de ε0 ≤ εx ≤ εx1. As tensões de 
deformações específicas surgem à medida que a intensidade da carga aplicada 
aumenta e da mesma forma, se você diminuir a intensidade da carga até ser 
totalmente descarregada as tensões irão cair à zero; porém, as deformações 
não serão totalmente eliminadas, permanecendo uma deformação residual e 
permanente que é representada na Figura 5 como εp. E como pode ser ob-
servado na Figura 5, a recuperação da deformação não será total e ocorrerá 
somente na região entre o intervalo de ε0 ≤ εx ≤ εx1, sabe o que isso significa? 
Que o restante da energia que foi necessária para provocar a deformação nesse 
corpo se perderá em forma de calor.
81Aplicação dos teoremas de energia de deformação
Figura 5.
Por outro lado, ao manter as tensões dentro do limite de proporcionalidade 
da Lei de Hooke, o material responderá no regime elástico e as deformações 
não serão permanentes e podemos escrever a expressão,
Substituindo o valor de
Integrando a equação, 
Expressando a deformação
A Figura 6, apresenta o diagrama tensão-deformação de uma material. 
Observe o final do limite de proporcionalidade do regime elástico quando a 
tensão atinge o escoamento σ1 = σe. O valor do trabalho de deformação espe-
cífico
Resistência dos materiais aplicada82
Figura 6.
Com isso podemos escrever a expressão do trabalho de deformação espe-
cífico da forma adiante,
Agora, observe novamente o diagrama de tensão-deformação de um ma-
terial, como na Figura 7, se você considerar o valor da deformação específica 
igual a deformação específica de ruptura
Figura 7.
83Aplicação dos teoremas de energia de deformação
Conservação de energia de deformação
A conservação de energia está relacionada a um equilíbrio de energia e 
esta é a base do conceito dos métodos de energia que utilizamos. Quando você 
aplica uma carga e aumenta a sua intensidade lentamente sobre um elemento 
estrutural e podendo desprezar a energia cinética, as cargas externas apli-
cadas sobre o elemento provocarão deformações fisicamente neste elemento, 
de modo que essas cargas estarão realizando trabalho externo
Se o limite de elasticidade do material não for ultrapassado pelas tensões 
provocadas pelas cargas, a medida que as cargas são retiradas a energia de de-
formação restitui o elemento estrutural a sua posição inicial não deformada, 
com isso você escreve a energia de deformação como,
Princípio do trabalho virtual
Esse método de análise se baseia no conceito de conservação de energia 
e foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717. Agora, você vai analisaro 
comportamento de elementos estruturais através da aplicação do princípio do 
trabalho virtual e embora possa ser utilizado para diversas aplicações, nesse 
capítulo vamos analisar apenas os deslocamentos e as rotações que esses ele-
mentos sofrerão devida a ação de forças externas.
Entenda que para que um elemento estrutural esteja impedido de se mover, 
as forças que atuam nesse elemento devem satisfazer as condições de equilí-
brio para garantir a estabilidade estável da estrutura, assim como as condições 
de deslocamentos e de compatibilidade. Saiba que as condições de equilíbrio 
exigem que as cargas externas sejam relacionadas apenas às cargas internas e 
as condições de compatibilidade exigem, por sua vez, que os deslocamentos 
externos também estejam relacionados somente às deformações internas.
Como o elemento estrutural é deformável, as forças externas P provocarão 
deslocamentos externos ∆ e as forças internas u provocarão deslocamentos 
internos δ.
Resistência dos materiais aplicada84
Você deve saber que as cargas estão relacionadas pelas condições de equi-
líbrio e os deslocamentos estão relacionados pelas condições de continuidade.
Você sabia que o material que compõem o elemento estrutural não pre-
cisa se comportar de forma elástico linear e por isso os deslocamentos podem 
não estar relacionados diretamente às cargas? Como o corpo é continuo, se 
você conhecer os deslocamentos externos pode determinar os deslocamentos 
internos. A conservação de energia afirma que a somatória do produto das 
forças externas P pelos deslocamentos externos ∆ é igual a somatória do pro-
duto das forças internas u pelos deslocamentos internos δ, ou seja, o trabalho 
externo é igual ao trabalho interno.
Entenda que pela condição de equilíbrio as cargas externas não podem 
mover os apoios, mas podem causar deformação no corpo e podem deformar 
o material além do limite de proporcionalidade do regime elástico.
Equação do trabalho virtual
Com base no conceito da conservação de energia você pode desenvolver o 
princípio do trabalho virtual para determinar o deslocamento e a rotação em 
qualquer ponto de um elemento estrutural. 
Para que você possa determinar os deslocamentos ou as rotações de um 
elemento estrutural deve aplicar os princípios da conservação de energia, mas 
para encontrar esses valores é necessário que uma força esteja atuando exata-
mente no ponto onde se deseja conhecer os deslocamentos e as rotação, como 
essa condição nem sempre poderá ser atendida e isso impõem uma limitação 
na resolução desse problema.
Através do princípio do trabalho virtual você poderá contornar essa limi-
tação aplicando uma carga imaginária ou “virtual” P’ sobre o elemento es-
trutural no ponto onde se deseja conhecer o deslocamento ou a rotação. Saiba 
que a carga virtual deve ser aplicada na mesma direção do deslocamento ∆ 
que deseja conhecer e aplicar o conceito de conservação de energia nas cargas 
virtuais, o resultado é que a cargas P’ e a carga virtual agem simultaneamente 
provocando os deslocamentos ∆ e δ.
85Aplicação dos teoremas de energia de deformação
Essas premissas permite escrever a equação do trabalho virtual.
Onde:
1 = P’ = carga virtual externa aplicada na direção de ∆
μ = carga virtual interna que atua sobre o elemento
∆ = deslocamento externo provocado pelas cargas externas reais
dL = deslocamento interno do elemento na direção de μ, provocado pelas 
cargas reais
Da mesma forma, você pode determinar os deslocamentos rotacionais o 
a inclinação da tangente em um ponto qualquer sobre o elemento estrutural, 
para isso aplica-se um momento virtual M’ de intensidade unitária no ponto 
onde se deseja conhecer a rotação.
O momento virtual provoca o surgimento de uma carga uθ em um elemento 
interno ao material e se você considerar que as cargas reais provocam um des-
locamento dL, a rotação θ também poderá ser determinada pela equação do 
trabalho virtual.
Onde:
1 = M’ = momento virtual externo aplicada na direção de θ
uθ = carga virtual interna que atua sobre o elemento
θ = deslocamento rotacional em radianos provocado pelas cargas externas 
reais
dL = deslocamento interno do elemento na direção de uθ, provocado pelas 
cargas reais
Resistência dos materiais aplicada86
Deformação 
provocado pelos 
esforços
Energia de 
deformação
Trabalho virtual 
interno
Carga axial N
Cisalhamento V
Momento fletor M
Momento de torção T
Quadro 1.
Esforços internos
Você precisa analisar os esforços internos e adotar uma convenção de si-
nais para poder aplicar o método do trabalho virtual e para isso considere o 
triedro que segue na Figura 8.
Figura 8. 
87Aplicação dos teoremas de energia de deformação
Veja que as direções adotadas no triedro representam os sentidos positivos 
dos esforços solicitantes.
Agora, imagine uma viga prismática qualquer e retire dessa viga um ele-
mento infinitesimal de espessura dx e veja as forças internas em equilíbrio 
neste elemento (Fig. 9).
Figura 9.
Você percebe que como o elemento em análise possui espessura infinite-
simal, os esforços positivos e negativos se anulam e mantém o elemento em 
equilíbrio estável?
Considere a estrutura da Figura 10 para analisar qual a relação entre os 
esforços e o carregamento.
Figura 10.
Resistência dos materiais aplicada88
Aplique as condições de equilíbrio para as forças verticais que atuam no 
elemento dx considerado, e tem.
No limite, 
 � As cargas sempre devem satisfazer as condições de equilíbrio e as condições de 
compatibilidade e os deslocamentos.
 � As cargas externas e os deslocamentos externo estão relacionadas as cargas in-
ternas e aos deslocamentos internos.
 � As condições de compatibilidade exigem que os deslocamentos externos este-
jam relacionados apenas as deformações internas.
 � Para determinar o deslocamento em um ponto qualquer em um elemento es-
trutural pelo princípio do trabalho virtual você deve utilizar uma carga virtual de 
valor unitário P’=1.
 � E para determinar a rotação de um ponto qualquer em um elemento estrutural 
aplicando o princípio do trabalho virtual adote um momento virtual de valor 
unitário M’-1.
89Aplicação dos teoremas de energia de deformação
PROBLEMA RESOLVIDO 1
Dada a viga, determine o deslocamento no ponto C. Considere a viga em aço, 
Ix=250.10-6 mm4 e E=200GPa.
Solução:
DCL (Diagrama de corpo livre)
Através do DCL determinamos as seções que serão necessárias para a análise estru-
tural. As seções devem abranger toda a viga em cada condição de apoio ou carrega-
mento.
1. Momentos Virtuais: m
Para determinar os momentos provocados pela carga virtual, é adicionado no ponto 
C onde se deseja determinar o deslocamento devido as cargas aplicadas.
É redesenhado o DCL somente com a carga virtual unitária.
Exemplo
Resistência dos materiais aplicada90
Observe que as seções escolhidas no DCL original da viga devem ser as mesmas para 
a análise da carga virtual.
Em seguida determine as reações de apoio provocadas pela carga virtual:
Aplicando o método das seções analisa-se os momentos em cada uma das seções 
definidas no DCL original e determina-se as equações dos momentos fletores: DCLx1 , 
DCLx2, DCLx3, DCLx4 e DCLx5 .
DCLx1
91Aplicação dos teoremas de energia de deformação
DCLx2
DCLx3
DCLx4
Resistência dos materiais aplicada92
DCLx5
2. Momentos Reais: M
Ao seguir com a análise; porém, agora, ao considerar as cargas reais na análise dos 
momentos reais. Pelo DCL original determina-seo valor das reações de apoio provo-
cadas pelas cargas reais.
93Aplicação dos teoremas de energia de deformação
Pelo método das seções os momentos são analisados em cada uma das seções defi-
nidas no DCL original e determina-se as equações dos momentos fletores provocados 
pelas cargas reais: DCLx1 , DCLx2, DCLx3, DCLx4 e DCLx5
DCLx1
DCLx2
Resistência dos materiais aplicada94
DCLx3
DCLx4
DCLx5
95Aplicação dos teoremas de energia de deformação
Trabalho virtual: Deslocamento
Aplica-se a equação do trabalho virtual para osmomentos fletores virtuais e reais:
Como m1 e m5 são iguais a zero,
Para, , temos:
Resistência dos materiais aplicada96
1. Determine o deslocamento no ponto 
D e a rotação no ponto C. Considere 
E = 200 GPa e Ix = 300.106 mm4. 
Deslocamento: P’ = 1kN
Rotação: M’ = 1kN.m
Trabalho virtual:
Deslocamento: 
Rotação: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Determine o deslocamento no ponto 
C e a rotação no ponto B. Considere 
E = 200 GPa e Ix = 102.106 mm4. 
Deslocamento: P’ = 1kN
Rotação: M’ = 1kN.m
Trabalho virtual:
Deslocamento: 
Rotação: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. Determine o deslocamento hori-
zontal no ponto B e a rotação no 
ponto A. Considere E = 200 GPa e IAB 
= 249.106 mm4; IBC = 374.10
6 mm4; ICD = 
249.106 mm4. 
Deslocamento: P’ = 1kN
Rotação: M’ = 1kN.m
Trabalho virtual:
Deslocamento: 
Rotação: 
a) 
b) 
97Aplicação dos teoremas de energia de deformação
c) 
d) 
e) 
4. Determine o deslocamento hori-
zontal no ponto C. Considere E = 200 
GPa e Ix = 380.106 mm4.
Deslocamento: P’ = 1kN
Trabalho virtual:
Deslocamento: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. Determine o deslocamento hori-
zontal no ponto D e a rotação no 
ponto A. Considere E = 200 GPa e Ix = 
235.106 mm4. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resistência dos materiais aplicada98
BEER, F. P.; DEWOLF, J. T.; JOHNSTON Jr., E. R.; MAZUREK, D. F. Estática e mecânica dos 
materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., E. R.; DEWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica dos materiais. 7. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2015.
Leituras recomendadas
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1983. v. 1.
99Aplicação dos teoremas de energia de deformação