6_Sist_Eq_Nao_lin_Siclab

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Resolução de Sistemas de 
Equações não Lineares em Scilab
Matemática Aplicada
Práticas Laboratoriais
2020/2021
Eulália Santos
 Permite a representação gráfica, em 2D, de curvas de nível de
funções e a observação do número de soluções do sistema de
equações não lineares numa dada região.
 Permite utilizar o método numérico (iterativo) estudado nas aulas
TP (método de Newton) para calcular valores aproximados da
solução de sistemas de equações não lineares.
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Resolver Sistemas de Equações não 
Lineares em Scilab
Eulália Santos Ano letivo 2020/2021 
O software Scilab: 
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Sistemas de Equações não Lineares em Scilab
Exemplo 1:
Defina, na forma, 𝐹𝐹 x = 0 com x = (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2), o sistema não linear que permite calcular o
ponto de interseção da curva 𝑦𝑦 = 2sin(𝑥𝑥) com a circunferência de centro (0, 0) e raio 2.
Defina também a matriz Jacobiana da função 𝐹𝐹 x .
�
𝑥𝑥2 − 2sin 𝑥𝑥1 = 0
𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 4 = 0
⇔
𝑥𝑥2 − 2sin 𝑥𝑥1
𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 4
= 00
𝐹𝐹 x =
𝑥𝑥2 − 2sin 𝑥𝑥1
𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 4
com x = (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2)𝐽𝐽𝐹𝐹 x =
−2cos(𝑥𝑥1) 1
2𝑥𝑥2 2𝑥𝑥2
Eulália Santos Ano letivo 2020/2021 
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Sistemas de Equações não Lineares em Scilab
Exemplo 1 (cont.):
Em Scilab:
Eulália Santos Ano letivo 2020/2021 
Ou:
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Localização Gráfica das Soluções de um Sistema 
de Equações não Lineares em Scilab
Exemplo 2: Considere o sistema de equações não lineares do Exemplo 1:
�
𝑓𝑓1(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) ≔ 𝑥𝑥2 − 2 sin 𝑥𝑥1 = 0
𝑓𝑓2(𝑥𝑥1,𝑥𝑥2) ≔ 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 4 = 0
Represente graficamente a curva de nível 0 das funções 𝑓𝑓1 e 𝑓𝑓2 na região −3, 3 × [−3,3]
do plano 𝑥𝑥1𝑂𝑂𝑥𝑥2
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Localização Gráfica das Soluções de um Sistema 
de Equações não Lineares em Scilab
Observam-se duas soluções, 𝒛𝒛 no 1º quadrante e 𝒘𝒘 = − 𝒛𝒛 no 3º quadrante.
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Comando do Scilab: fsolve
[app, Fval] = fsolve (X0, F, JF, tol)
Parâmetros de entrada:
X0: aproximação inicial do zero da função vetorial F
F: nome da função vetorial (definida previamente)
JF: matriz Jacobiana da função F (definida previamente)
tol: tolerância para o erro relativo (utiliza por defeito 1d-10)
Sintaxe:
O comando fsolve permite aproximar soluções de sistemas de equações não
lineares (método de Powell híbrido).
Nota: Os parâmetros Fval, JF e tol
são opcionais.
Parâmetros de saída:
app: valor aproximado do zero da função vetorial F
Fval: valor da função F no ponto app
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Comando do Scilab: fsolve
Exemplo 3:
Calcule um valor aproximado da solução do sistema de equações não lineares do Exemplo
2 que se situa no 1º quadrante. Considere como aproximação inicial o vetor x(0) = 1, 1 .
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Método de Newton
[X, MX, E] = newtonS (F, J, X0, tol, maxit)
Sintaxe da função newtonS:
Parâmetros de entrada:
F: nome da função vetorial (definida previamente)
J: matriz Jacobiana da função F (definida previamente)
x0: vetor coluna com a aproximação inicial
tol: tolerância para a distância Euclidiana entre duas iteradas consecutivas (estimativa para 
o erro absoluto)
maxit: número máximo de iteradas
Parâmetros de saída:
X: valor aproximado do zero da função vetorial F
MX: matriz contendo (por linha) todas as iteradas
E: vetor coluna com as estimativas do erro absoluto das iteradas
Dados de saída 
opcionais
(código disponível em http://ead.ipleiria.pt) 
Eulália Santos Ano letivo 2020/2021 
http://ead.ipleiria.pt/
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Exemplo 4:
Método de Newton
Calcule um valor aproximado da solução do sistema de equações não lineares do
Exemplo 2 que se situa no 1º quadrante utilizando o método de Newton, implementado
na função newtonSYS.sci. Considere como aproximação inicial o vetor x(0) = 1, 1 e
efetue 3 iterações.
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Exemplo 5:
Erro Absoluto e Relativo
Considere z* (solução obtida no Exemplo 3) para a solução exata do sistema de
equações não lineares do Exemplo 2. Calcule o erro absoluto e o erro relativo da
aproximação obtida no Exemplo 4. Utilize a norma Euclideana.
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