5_Eq_Nao_lin_Siclab

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Resolução de Equações não 
Lineares em Scilab
Matemática Aplicada
Práticas Laboratoriais
2020/2021
Eulália Santos
 Permite a localização dos zeros de uma função não linear num
intervalo, por inspeção visual do gráfico da função.
 Permite utilizar métodos numéricos (iterativos) estudados nas
aulas TP (método da Bisseção e método de Newton-Raphson)
para calcular valores aproximados da solução de uma equação
não linear (ou do zero de uma função não linear).
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Resolver Equações não Lineares em Scilab
Eulália Santos Ano letivo 2020/2021 
O software Scilab: 
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Localização Gráfica das soluções de Equações não 
Lineares em Scilab (Método Gráfico)
Exemplo 1:
𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = cos(𝑥𝑥)Localize graficamente os zeros da
função 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥 .
Por observação do gráfico, no intervalo
𝐼𝐼 = [0,1], 𝑓𝑓 tem um único zero.
Eulália Santos Ano letivo 2020/2021 
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Comando do Scilab: fsolve
[app, fval] = fsolve (x0, f, df, tol)
Parâmetros de entrada:
x0: aproximação inicial do zero da função f
f: nome da função (definida previamente)
df: derivada da função f (definida previamente)
tol: tolerância para o erro relativo (utiliza por defeito 1d-10)
Sintaxe:
O comando fsolve permite aproximar raízes de equações não lineares do
tipo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.
Nota: Os parâmetros fval, df e tol
são opcionais.
Parâmetros de saída:
app: valor aproximado do zero da função f
fval: valor da função f no ponto app
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Comando do Scilab: fsolve
Exemplo 2:
Calcule um valor aproximado do (único) zero da função 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − cos(𝑥𝑥), utilizando o
comando fsolve do Scilab, com a precisão máxima do software (tol=%eps)
Eulália Santos Ano letivo 2020/2021 
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Estudo da Existência e Unicidade de solução
Exemplo 3:
Prove que no intervalo 𝐼𝐼 = [0, 1], 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥 tem um único zero.
Eulália Santos Ano letivo 2020/2021 
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Estudo da Existência e Unicidade de solução
Exemplo 3 (cont):
No intervalo 𝐼𝐼 = [0, 1] a derivada de 𝑓𝑓 é positiva,
logo 𝑓𝑓 é estritamente crescente neste intervalo e a
função 𝑓𝑓 tem um único zero.
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Método Iterativos para resolução de equações não 
lineares
 A função bissec (código a implementar completando o ficheiro bissec0.sci
disponível em http://ead.ipleiria.pt) permite aproximar raízes de equações
não lineares do tipo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0, usando o Método da Bisseção.
 A função newton (código disponível em http://ead.ipleiria.pt) permite
aproximar raízes de equações não lineares do tipo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0, usando o
método de Newton-Raphson.
No Scilab podem ser implementados métodos numéricos iterativos que
permitem calcular valores aproximados da solução de equações não
lineares.
Eulália Santos Ano letivo 2020/2021 
http://ead.ipleiria.pt/
http://ead.ipleiria.pt/
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Método da Bisseção no Scilab
[x, e] = bissec (f, a, b, tol, maxit )
Parâmetros de entrada:
f: nome da função (definida previamente)
a, b: os limites do intervalo que contém o zero da função f 
tol: tolerância para |b-a|/2 que é o majorante para o erro absoluto
maxit: número máximo de iteradas
Sintaxe da função bissec:
Parâmetros de saída:
it: valor aproximado do zero da função f (última iterada)
e: estimativa do erro absoluto da última iterada
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Método da Bisseção no Scilab
Exemplo 4:
Calcule um valor aproximado, com 2 casas decimais corretas, do (único) zero da
função 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − cos(𝑥𝑥), utilizando o método da bisseção, implementado na função
bissec.sci.
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Método de Newton-Raphson
[it, X, E] = newton (f, df, x0, tol, maxit)
Sintaxe da função newton:
Parâmetros de entrada:
f: nome da função (definida previamente)
df: derivada da função f (definida previamente)
x0: aproximação inicial para o zero da função f
tol: tolerância para o erro absoluto entre duas iteradas consecutivas
maxit: número máximo de iteradas
Parâmetros de saída:
it: valor aproximado do zero da função f
X: vetor coluna com todas as iteradas
E: vetor coluna com as estimativas do erro absoluto das iteradas
Dados de saída 
opcionais
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Exemplo 5:
Método de Newton-Raphson
Calcule um valor aproximado do (único) zero da função 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − cos(𝑥𝑥), utilizando o
método de Newton-Raphson, implementado na função newton.sci. Efetue 3 iteradas,
partindo da iterada inicial 𝑥𝑥0 = 1.
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Exemplo 6:
Erro Absoluto e Relativo
Considere z* (solução obtida no Exemplo 2) para o valor exato do zero da função
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥 . Calcule o erro absoluto e o erro relativo da aproximação obtida pelo
método da bisseção (bissec.sci) com tol=1d-5.
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Exemplo 7:
Estimativa a posteriori do Erro Absoluto
Calcule uma estimativa a posteriori para o erro absoluto da aproximação obtida pelo
método da bisseção no Exemplo 6.
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Exemplo 8:
Multiplicidade de uma Raiz
Mostre que 𝑧𝑧 = 0 é um zero de multiplicidade 2 da função 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ln cos 𝑥𝑥 .
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