Formulário GA

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Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Formulário 
Prof. Conrad 
 
 |�⃗�𝑣| = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 
𝑑𝑑(𝐴𝐴,𝐵𝐵) = �(𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝐴𝐴)2 + (𝑦𝑦𝐵𝐵 − 𝑦𝑦𝐴𝐴)2 + (𝑧𝑧𝐵𝐵 − 𝑧𝑧𝐴𝐴)2 
 
Produto escalar 
𝑢𝑢�⃗ ⋅ �⃗�𝑣 = 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦1.𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧1. 𝑧𝑧2 
𝑢𝑢�⃗ ⋅ �⃗�𝑣 = |𝑢𝑢�⃗ |. |�⃗�𝑣|. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 = 𝑢𝑢�⃗ ⋅ �⃗�𝑣|𝑢𝑢�⃗ |. |�⃗�𝑣| 
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑢𝑢��⃗ �⃗�𝑣 = �𝑢𝑢�⃗ ⋅ �⃗�𝑣𝑢𝑢�⃗ ⋅ 𝑢𝑢�⃗ � 𝑢𝑢�⃗ 
 
Produto vetorial 
𝑢𝑢�⃗ × �⃗�𝑣 = � 𝚤𝚤 𝚥𝚥 𝑘𝑘�⃗𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 𝑧𝑧1
𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2
� 
 
𝐴𝐴𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = |𝑢𝑢�⃗ × �⃗�𝑣| 
 
 
Produto misto 
 
𝑢𝑢�⃗ ∙ (�⃗�𝑣 × 𝑤𝑤��⃗ ) = �𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 𝑧𝑧1𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2
𝑥𝑥3 𝑦𝑦3 𝑧𝑧3
� 
 
𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝í𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = |𝑢𝑢�⃗ ∙ (�⃗�𝑣 × 𝑤𝑤��⃗ )| 
 
Reta 
Vetor diretor: �⃗�𝑣 = (𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐) 
Equação vetorial: (𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (𝑥𝑥1,𝑦𝑦1, 𝑧𝑧1) + 𝑡𝑡(𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐) 
Equações paramétricas: 
�
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑡𝑡 
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1 + 𝑏𝑏𝑡𝑡
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧1 + 𝑐𝑐𝑡𝑡 
Equações simétricas: 
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
𝑎𝑎
= 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1
𝑏𝑏
= 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧1
𝑐𝑐
 
 
Plano 
Vetor normal: 𝑛𝑛�⃗ = (𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐) 
Equação geral: 
𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑧𝑧 + 𝑑𝑑 = 0 
 
Circunferência 
Centro: 𝐶𝐶(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) 
Equação reduzida: (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)2 + (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2 = 𝑝𝑝2 
 
Equação geral: 
 
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 2𝑎𝑎𝑥𝑥 − 2𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 − 𝑝𝑝2 = 0 
 
 
Parábola 
 
Eixo de simetria é o eixo dos y 
Foco: 𝐹𝐹 �0, 𝑝𝑝
2
� 
Diretriz: 𝑦𝑦 = −𝑝𝑝
2
 
Equação: 𝑥𝑥2 = 2𝑝𝑝𝑦𝑦 com V(0,0) 
Equação com translação (𝑥𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝𝑝(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘) com V(h,k) 
 
 
Eixo de simetria é o eixo dos x 
Foco: 𝐹𝐹 �𝑝𝑝
2
, 0� 
Diretriz: 𝑥𝑥 = − 𝑝𝑝
2
 
Equação: 𝑦𝑦2 = 2𝑝𝑝𝑥𝑥 com V(0,0) 
Equação com translação (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = 2𝑝𝑝(𝑥𝑥 − ℎ) com V(h,k) 
 
Elipse 
 
Eixo maior sobre o eixo dos x 
𝑥𝑥2
𝑝𝑝2
+ 𝑦𝑦2
𝑏𝑏2
= 1 com C(0,0) 
 (𝑥𝑥−ℎ)2
𝑝𝑝2
+ (𝑦𝑦−𝑘𝑘)2
𝑏𝑏2
= 1 com C(h,k) 
 
Eixo maior sobre o eixo dos y 
𝑥𝑥2
𝑏𝑏2
+ 𝑦𝑦2
𝑝𝑝2
= 1 com C(0,0) 
 (𝑥𝑥−ℎ)2
𝑏𝑏2
+ (𝑦𝑦−𝑘𝑘)2
𝑝𝑝2
= 1 com C(h,k) 
 
Hipérbole 
 
Eixo real sobre o eixo dos x 
Vértices: 𝐴𝐴1(𝑎𝑎, 0) 𝑒𝑒 𝐴𝐴2(−𝑎𝑎, 0) 
Equação: 𝑥𝑥
2
𝑝𝑝2
−
𝑦𝑦2
𝑏𝑏2
= 1 
Assíntotas: 𝑦𝑦 = ± 𝑏𝑏
𝑝𝑝
𝑥𝑥 
Equação com translação: (𝑥𝑥−ℎ)2
𝑝𝑝2
−
(𝑦𝑦−𝑘𝑘)2
𝑏𝑏2
= 1 com C(h,k) 
 
Eixo real sobre o eixo dos y 
Vértices: 𝐴𝐴1(0, 𝑎𝑎) 𝑒𝑒 𝐴𝐴2(0,−𝑎𝑎) 
Equação: 𝑦𝑦
2
𝑝𝑝2
−
𝑥𝑥2
𝑏𝑏2
= 1 
Assíntotas: 𝑦𝑦 = ± 𝑝𝑝
𝑏𝑏
𝑥𝑥 
Equação com translação: (𝑦𝑦−𝑘𝑘)2
𝑝𝑝2
−
(𝑥𝑥−ℎ)2
𝑏𝑏2
= 1 com C(h,k)