CAD SL EDO 4 Mod Mat I

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1 CADERNOS SL EDO PRÁTICAS ATIVAS PROF MARCO A BRASIL 
1 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
CADERNOS SL EDO PRÁTICAS ATIVAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
CADERNOS EDO PRÁTICAS ATIVAS 
U 
 
 
 
 
PROF MARCO A BRASIL
 
 
 
CADERNO 4: 
 
 
 
2 CADERNOS SL EDO PRÁTICAS ATIVAS PROF MARCO A BRASIL 
2 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
CADERNO 4
SUMÁRIO 
 CONTEÚDOS PÁGINA 
CADERNO 4 MODELOS MATEMÁTICOS I 3 
§ 14 O Fenômeno da Radioatividade 4 
§ 15 O Modelo da Radioatividade 5 
§ 16 Medidas de Desintegração Radioativa 6 
§ 17 A Lei do Resfriamento de Newton – O Problema das Misturas 7 
 @ 9 Modelos Matemáticos Associados às EVS 8 
Prática 39 A Radioatividade 8 
Prática 40 A Lei do Resfriamento de Newton 9 
Prática 41 O Problema das Misturas 10 
Prática 42 Equações de Curvas 11 
Prática 43 Crescimento Populacional 11 
Prática 44 Modelo Juros Contínuos 12 
Prática 45 Um Modelo para o Aprendizado 13 
Prática 46 Movimento Linear 13 
Prática 47 Trabalho Realizado por uma Força 14 
Prática 48 Lei de Newton do Movimento 16 
Prática 49 Projétil Lançado Verticalmente para Cima 17 
 
 
3 CADERNOS SL EDO PRÁTICAS ATIVAS PROF MARCO A BRASIL 
3 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I
 
 
 Em geral as variáveis associadas a uma observação são numerosas.
 Procedendo como Galileu, que preconizou o Método Cientifico moderno, devemos 
restringir o campo de estudo a fim de isolar as informações fundamentais. 
O objetivo é representar um fenômeno por uma equação ou sistema de equações 
de modo que a descrição da observação conduza a conclusões aceitáveis. 
Seguindo uma tradição iniciada pelo matemático francês René Descartes, as 
primeiras letras do alfabeto devem indicar grandezas constantes enquanto as últimas 
letras indicam as grandezas variáveis ou as incógnitas de uma equação. 
As letras 𝑥 e 𝑦 tornaram-se variáveis universais tanto em uma equação quanto para 
designar as variáveis independentes e dependentes das relações funcionais. 
Entretanto, na maior parte das observações, a variável independente é o tempo t e 
a variável dependente pode ser uma equação horária 𝑥 = 𝑥 ( 𝑡 ), a massa de um corpo 
𝑚 = 𝑚 ( 𝑡 ), a temperatura 𝑇 = 𝑇 ( 𝑡 ) ou a corrente elétrica 𝑖 = 𝑖 ( 𝑡 ). 
Se a observação pode ser descrita por uma EDO ou um sistema de EDO´s que 
variam ao longo do tempo, a observação se denomina um Sistema Dinâmico, SD. 
As variáveis dependentes do tempo são denominadas Variáveis de Estado. 
Um SD é um conjunto de variáveis dependentes do tempo dotado de uma Regra 
ou Modelo que procura explicar comportamentos em termos de certo instante 𝑡0 . 
Em geral, os SD podem ser Discretos, SDDT, ou Contínuos no Tempo, SDCT. 
Num SDDT as variáveis são definidas num intervalo de valores inteiros de tempo e 
as equações envolvidas são denominadas Equações de Diferenças. 
Num SDCT, também chamado Modelo de Variações Instantâneas as variáveis 
estão definidas num intervalo de valores contínuos de tempo envolvendo uma :Equação 
Diferencial ou Sistema de Equações Diferenciais de modo que, 
 As condições que acompanham as observações caracterizam um PVI e, 
 A solução do PVI é denominada RESPOSTA DO SISTEMA. 
 Nas observações SDCT deve-se seguir a seguinte sequência de procedimentos: 
1º PASSO – Descrição da Observação por uma Equação Diferencial; 
2º PASSO – Resolução da Equação Diferencial; 
3º PASSO – Determinação da Solução Particular; 
4º PASSO – Verificar se a Solução obtida é compatível com a observação. 
Tal sequência coordena um procedimento padrão, pois o modelo pode solicitar 
modificações decorrentes do confronto com dados experimentais. 
4 
 
 
 
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4 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 O FENÔMENO DA RADIOATIVIDADE I 
 
 A descoberta da Radioatividade ou Desintegração Radioativa é devido aos 
físicos Henri Becquerel, Marie Sklodowsaka, nome de solteira de Marie Curie, Pierre 
Joliot Curie, Ernest Rutherford e o químico inglês Frederick Soddy. 
Becquerel havia descoberto a pechblenda, uma variedade mineral da uranita da 
qual se extrai o urânio purificado e concentrado na forma de um sal amarelo chamado 
yellowcake. Em seus experimentos observou que a pechblenda emite uma luz que 
atravessa objetos opacos. 
Em 1896, Becquerel propôs a Marie Curie estudar as emanações emitidas pelos 
sais de urânio como tema de doutoramento. 
Durante seus estudos Marie e Pierre Curie compreenderam as observações de 
Becquerel como um fenômeno totalmente novo que se tornou base de importantes 
experimentações e descobertas. 
Em 26 de dezembro de 1898 o casal Curie anuncia à Academia de Ciências de 
Paris a descoberta de uma substância isolada na pechblenda de atividade mais intensa 
que o Urânio. Esta substancia foi chamada Polônio, em homenagem à Polônia, país natal 
de Marie Sklodowsaka Curie. 
Em 1902, numa amostra de pechblenda, o casal Curie isolou 0,1 g do elemento 
químico Rádio, do latim radius ou raio, do qual criaram as expressões radioativo e 
radioatividade para caracterizar a intensa energia liberada. A radioatividade do Rádio é 
cerca de 1 milhão de vezes mais intensa que a radioatividade do Urânio. 
 A radiação dos elementos radioativos impressiona placas fotográficas, ioniza 
gazes, produz fluorescência e atravessa corpos opacos. 
Em 1903 Becquerel, Marie Curie e Pierre Curie recebem o Nobel de Física. 
Em 1911 Marie Curie recebe o Nobel de Química pela descoberta e isolamento dos 
elementos Rádio e Polônio e o estudo da natureza dos compostos do Rádio. 
Marie Curie foi a primeira mulher a receber o prêmio Nobel e o primeira pessoa a 
receber 2 Prêmios Nobel em áreas cientificas distintas. 
 Marie Curie visitou o Brasil para conhecer as águas radioativas de Águas de 
Lindóia. O Brasil tem a 5ª maior reserva de Urânio do mundo. 
A radioatividade pode ser natural ou artificial. 
A radioatividade natural se manifesta em alguns elementos radioativos ou isótopos 
encontrados na natureza. 
Em geral a radioatividade é característica de elementos instáveis como Urânio, 
Rádio ou Tório, que liberam energia na forma de radiações Partículas , Núcleos de Hélio, 
Partículas , Elétrons e Partículas , Ondas Eletromagnéticas ou Raios X. 
 § 14 
 
 
 
5 CADERNOS SL EDO PRÁTICAS ATIVAS PROF MARCO A BRASIL 
5 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
 
CADERNO MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
 
 
A explicação da Radioatividade decorre dos estudos de 1902 de Rutherford e 
Frederick Soddy quando propuseram que os átomos dos elementos radioativos se 
desintegram lentamente, emitindo radiações e se transformando em outros elementos. 
Mais simplesmente: 
 
 
 
 
 Ou seja, observado que a massa 𝑚 é função do tempo 𝑡 , 𝑚 = 𝑚( 𝑡 ): 
( 1 ) 𝑚( 𝑡 ) indica o número de átomos presentes no instante 𝑡; 
( 2 ) 𝑑𝑚 /𝑑𝑡 indica a taxa de variação de m: o número de átomos que se desintegra por 
unidade de tempo; 
( 3 ) A taxa de variação proporcional a massa presente, é simbolizada 
𝑑𝑚
 𝑑𝑡
∝ 𝑚; 
( 4 ) De ( 3 ) decorre que existe uma constante de proporcionalidade 𝑘  ℝ, chamada 
Constante de Decaimento Radioativo, que é negativa, pois radioatividade implica 
diminuição da massa da substância original, e decorre a EVS 
𝑑𝑚
 𝑑𝑡
= 𝑘𝑚; 
( 5 ) Separando as variáveis da equação 
𝑑𝑚
 𝑑𝑡
= 𝑘𝑚 temos 
𝑑𝑚
𝑚
 = 𝑘 𝑑𝑡; 
( 6 ) ∫
𝑑𝑚
𝑚
 = ∫ 𝑘 𝑑𝑡  ln m = 𝑘𝑡 + 𝐶1  𝑚 = 𝑒𝑘𝑡 𝑒 𝐶1; 
( 7 ) Fazendo 𝑒 𝐶1 = C, segue-se que 𝑚 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑒𝑘𝑡 ; 𝑚0 
( 8 ) Seja 𝑚0 a massa inicial em t = 0: 𝑚( 0 ) = 𝑚0 
( 9 ) Então, 𝑚( 0 ) = 𝑚0  𝑚 ( 0 ) = 𝐶 𝑒
𝑘0  𝑚0 = 𝐶; 
( 10 ) Daí o Modelo Matemático da Radioatividade é 𝑚0/2 
 
 
( 11 ) A medida que o tempo passa, a massa original 0 𝑡̅ 
 diminui cada vez mais: t    m  0: lim
𝑡  
𝑚( 𝑡 ) = 0. 
O MODELO DA RADIOATIVIDADE II § 15 
 
A experiência mostra que toda substância radioativa se decompõe a uma taxa 
proporcional a massa inicialmente presente. 
 
𝑚 ( 𝑡 ) = 𝑚0 𝑒
𝑘𝑡 
 
 
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6 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
CADERNO MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
 
 
Uma medida da taxa de desintegração de uma substância é denominada Meia – Vida: 
 
 
 
Ou seja, é o tempo 𝑡̅ tal que m( �̅� ) = 𝑚𝑜 / 2. 
( 1 ) Substituindo a condição inicial m( �̅� ) = 𝑚𝑜 / 2 no modelo 𝑚 ( 𝑡 ) = 𝑚0 𝑒𝑘𝑡 : 
( 2 ) m( �̅� ) = 𝑚𝑜 / 2  
𝑚𝑜
2
 = 𝑚0 𝑒
𝑘𝑡̅  𝑒𝑘𝑡̅ = 
1
2
; 
( 3 ) 𝑙𝑛 𝑒𝑘�̅� = 𝑙𝑛 1
2
  𝑘𝑡̅ 𝑙𝑛 𝑒 = 𝑙𝑛
1
2
  𝑘𝑡̅ = 𝑙𝑛
1
2
  
 Por exemplo, se tivermos 50 g de uma substância radioativa de meia−vida 500 
anos, depois de 500 anos após o instante inicial teremos 12,5 g da substância, após 1000 
anos teremos 6, 25 g, e assim sucessivamente. 
Enquanto o Carbono 14, cuja meia-vida de 5.730 anos é utilizado para calcular a 
idade de fósseis e elementos radioativos, o Urânio 238 tem meia-vida aproximada de 5 
bilhões de anos, a idade calculada da Terra. 
Alguns elementos transurânicos, aqueles de número atômico acima de 92, tem 
meia-vida de 1 segundo. 
Agora, se durante um tempo t uma substância radioativa decaiu um percentual  
da quantidade inicial 𝑚0, então: 
( 1 ) m ( t ) = ( 1 −

100
 ) 𝑚0 100% 𝑚0 = 1 𝑚0 
( 2 ) Substituindo a condição Inicial ( 1 )  % = 

100
 
no modelo da Radioatividade, temos 
( 1 −

100
 ) 𝑚0 = 𝑚0 𝑒
𝑘𝑡̅ (1 − 
100
 ) 𝑚0 
 
( 3 ) Obtemos uma fórmula que determina o percentual ou o tempo que uma substância 
radioativa decaiu um percentual  da quantidade inicial 𝑚0: 
 
 
MEDIDAS DE DESINTEGRAÇÃO RADIOATIVA § 16 
 
 A Meia – Vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que metade 
da quantidade de átomos inicialmente presente se desintegre 
𝑡̅ = 
1
𝑘
 𝑙𝑛
1
2
 
( 1 −

100
 ) = 𝑒𝑘�̅� 
 
 
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7 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
CADERNO MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
 
 
 
 
Enunciada por Newton e aplicável aos corpos que não possuem fontes internas 
de calor, a LRN ou Lei do Resfriamento de Newton determina que: 
 
 
 
 Como a temperatura T depende do tempo t: T = T( t ), segue-se: 
 ( 1 ) A LRN é simbolizada 
𝑑𝑇
 𝑑𝑡
∝ ( 𝑇 − 𝑇𝑎 ), onde 𝑑𝑇 / 𝑑𝑡 indica a taxa de variação 
da temperatura T em relação ao tempo t e o símbolo ∝ é lido é proporcional a... 
( 2 ) Decorre que existe uma constante de proporcionalidade 𝑘  ℝ∗ tal que 𝑘 > 0, se há 
aumento da temperatura ou, 𝑘 < 0, se há diminuição; 
( 3 ) Assim, separando as variáveis, integrando 
𝑑𝑇
 𝑑𝑡
= 𝑘( 𝑇 − 𝑇𝑎 ) e fazendo 𝑒
 𝐶1 = C, 
o Modelo da LRN é 
 
 
 
 Basicamente, o Problema das Misturas lida com a seguinte situação: 
( 1 ) Uma certa substancia é despejada em um recipiente a uma taxa fixa ; 
( 2 ) A substancia é misturada no recipiente e após certo instante 𝑡 começa a ser eliminada 
do recipiente a uma taxa também fixa, não necessariamente igual à taxa de entrada; 
( 3 ) 𝑦 = 𝑦( 𝑡) é a quantidade de substância presente no recipiente no instante t; 
( 4 ) 𝑦´ = 𝑦´( 𝑡 ) é a diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída da substância 
no instante t; 
( 5 ) O raciocínio do Problema das Misturas aplica-se aos modelos de Reações Químicas, 
Despejo de Poluentes num Lago ou Injeção de Medicamentos na Corrente Sanguínea. 
A LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON 
 O OPROBLEMA DAS MISTURAS 
 § 17 
 
 A Taxa de Variação da Temperatura T de um corpo é proporcional à diferença 
entre a temperatura do corpo e a temperatura 𝑇𝑎 do meio ambiente. 
𝑻( 𝒕 ) = 𝑪 𝒆𝒌𝒕 + 𝑻𝒂 
O PROBLEMA DAS MISTURAS 
A LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON: LRN 
 
 
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8 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
 MODELOS MATEMÁTICOS ASSOCIADOS ÀS EVS 
 
 
 
 A RADIOATIVIDADE 
 
 
355. Digamos que no instante 𝑡 = 4 segundos temos 10 gramas de uma substância 
radioativa e, em 𝑡 = 12 segundos, 6 gramas. 
. 
① CÁLCULO DA CONSTANTE DE DECAIMENTO RADIOATIVO: 
( 1 ) São dados: m( 4 ) = 10, m( 12 ) = 6 e 𝑚 ( 𝑡 ) = 𝑚0 𝑒
𝑘𝑡 ; 
( 2 ) {
𝑚( 4 ) = 10  𝑚0 𝑒4𝑘 = 10 
𝑚( 12 ) = 6  𝑚0 𝑒12𝑘 = 6
; 
( 3 ) Da 1ª equação acima temos 𝑚0 = 10/ 𝑒
4𝑘 que, substituindo na 2ª equação dá 
 𝑚0 𝑒12𝑘 = 6  
10
 𝑒4 𝑘 
 . 𝑒12𝑘 = 6  10 𝑒8𝑘 = 6  𝑒8𝑘 = 0,6; 
( 4 ) ln 𝑒8𝑘 = ln 0,6  8k  − 0, 512  k = − 0,064 
② CÁLCULO DA MASSA INICIAL 𝒎𝟎: 
( 1 ) Da 1ª equação 𝑚0 𝑒
4𝑘 = 10 temos 𝑚0 𝑒
4( −0,064 ) = 10  0,774 𝑚0 = 10 
( 2 ) Portanto 𝑚0 = 12,92 
③ CÁLCULO DA MEIA−VIDA: 
( 1 ) São dados k = − 0,064, 𝑚0 = 12,92 e 𝑡̅ = 
1
𝑘
 𝑙𝑛
1
2
; 
( 2 ) Temos: 𝑡̅ = 
1
− 0,064
 𝑙𝑛
1
2
  𝑡̅ = 10,83 s 
④ CÁLCULO DA PERCENTAGEM QUE SE DESINTEGRA EM 9 s: 
 
( 1 ) São dados k = − 0,064 e (1 −

100
 ) = 𝑒𝑘𝑡 
( 2 ) (1 −

100
 ) = 𝑒𝑘𝑡  (1 − 
100
 ) = 𝑒9. ( − 0,064 )  1 − 
100
 = 0, 562 
 
( 3 ) 1 −

100
 = 0, 562  
100 − 
100
 = 0, 562  100 −  = 56,2   = 43,8%. 
356. Se 10 g de uma substância radioativa se encontra presente no instante t = 1 min e 5 
g em t = 3 min, qual é a quantidade inicial ? 
 𝑚0  14,14, 𝑘  − 0,3465 
 @ 
Digite a equação aqui.
 PRÁTICA 39 
 
 
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9 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
357. Em 2 segundos temos 3 g de certa substância radioativa e em 7s, 0,5 g. Determine 
𝑚0, a meia-vida e a percentagem que se desintegra em 4 s. 
 𝑚0  6,1424, 𝑘  − 0,3583, 𝑡 ̅ = 1, 93 𝛼 = 76, 14 
358. A meia-vida do Rádio é 1500 anos. Determine a percentagem que desaparece em 
5 anos. 𝑘  − 4,6 𝑥 10−4, 𝛼 = 6,69 
 
359. O Rádio A, isótopo do Polônio, tem meia-vida de 3,05 min. Qual é o tempo 
necessário para que 2 % desse isótopo desapareça. t  0,074 min 
 
360. A meia-vida do Carbono 14 é em torno de 5.730 anos. Que percentagens 
desaparecem em 100, 500, 2000 e 3500 anos? 
361. O elemento radioativo Césio 137 tem meia-vida igual a 30 anos. Determine a 
percentagem que se desintegra em 1 ano. E em 10 anos? 2, 3 e 20,55 
 
 
 
 
362. Uma esfera de cobre aquecida a 300 C é imersa em água mantida a 60C. Se após 
5 min a temperatura da esfera é 154, 46 C, determine o instante em que a temperatura 
da esfera está em 72 C. 
① Dados do Problema: 
1 ) No instante 𝑡 = 0 a temperatura da esfera é 300 C: T( 0 ) = 300; 
2 ) A esfera é imersa em água mantida à temperatura constante de 𝑇𝑎 = 60; 
3 ) Após 5 minutos temos T ( 5 ) = 154, 46 
② Resolução 
1 ) O Modelo é 𝑇( 𝑡 ) = 𝐶 𝑒𝑘𝑡 + 60 
2 ) T( 0 ) = 300  300 = 𝐶 𝑒𝑘.0 + 60  C = 240 e daí 𝑇( 𝑡 ) = 240 𝑒𝑘𝑡 + 60; 
3 ) T( 5 ) = 154,46  154,46 = 240 𝑒5𝑘 + 60  𝑒5𝑘 = 94,46 240⁄  𝑘  − 0, 1865; 
4 ) T( t ) = 72  72 = 240 𝑒−0,1865 𝑡 + 60  t  16, 2 min. 
 
363. Uma peça de metal a 40C é colocada num recipiente mantido a − 18C. Após 20 
minutos a temperatura da peça é 10 C. Encontre o instante em que a temperatura da 
peça está em − 4C e a temperatura após 8 minutos. 𝑘  − 0,03641, 𝑡 = 39,04, 𝑇 ( 8 ) = 25,34 
 
364. Uma esfera de cobre aquecida a 100  C é imersa em água mantida a 30C. Após 5 
minutos a temperatura da esfera é 60 C. Determine o tempo necessário para que a 
temperatura da esfera esteja em 31 C. 25 min 
PRÁTICA 40 A LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON: LRN 
 
 
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365. Um objeto é colocado num recipiente mantido à 1C. Após 10 min sua temperatura 
é −1C e após 20 minutos, −9C. Determine a temperatura inicial. –0,4  C 
 
366. Você está numa sala mantida a 22 C e a xicara com o café que acabou de ser 
coado está em 95  C. Depois de quanto tempo o café estará em 40 C ? 
 
 
 
 
367. UMA MISTURA DE SALMOURA: 
Um tanque contém 15 𝑘𝑔 de sal dissolvidos em 5000 litros de água. Num dado instante 
𝑡, água salgada com uma concentração de 0,05 𝑘𝑔/ 𝑙 é despejada no tanque a uma taxa 
de 20 𝑙 / 𝑚𝑖𝑛. A solução, completamente misturada, sai do tanque a uma taxa de 25 
𝑙 / 𝑚𝑖𝑛. Determine a quantidade de sal que permanece no tanque após 30 minutos. 
Resolução do Problema: 
( 1 ) No instante 𝑡 = 0 temos 15 𝑘𝑔 de sal no tanque: 𝑦( 0 ) = 15; 
( 2 ) 𝑦´ = 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 = taxa de entrada  taxa de saída: 
 ( a ) taxa de entrada = 0,05 𝑘𝑔/ 𝑙 . 20 𝑙 / 𝑚𝑖𝑛 = 1,0 𝑘𝑔/ 𝑚𝑖𝑛 
 ( b ) taxa de saida = 
𝑦( 𝑡 )
5000
 𝑘𝑔/ 𝑙 . 25 𝑙 / 𝑚𝑖𝑛 = 
𝑦( 𝑡 )
200
 𝑘𝑔/ 𝑚𝑖𝑛, pois o tanque contém 
5000 litros de água e a concentração no instante 𝑡 é 
𝑦( 𝑡 )
5000
 𝑘𝑔/ 𝑙; 
( 3 ) Assim, 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 = 1,0 𝑘𝑔/ 𝑚𝑖𝑛  
𝑦( 𝑡 )
200
 𝑘𝑔/ 𝑚𝑖𝑛 = 
200 − 𝑦( 𝑡 )
200
 𝑘𝑔/ 𝑚𝑖𝑛 
( 4 ) Temos a EVS 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 = 
200 − 𝑦
200
 ou 
𝑑𝑦
200 − 𝑦
 = 
𝑑𝑡
200
   ln| 200 − 𝑦 | = 
𝑡
200
 + C 
( 5 ) 𝑦( 0 ) = 15   ln| 200 − 15 | = 
0
200
 + C  C =  𝑙𝑛 185 
( 6 ) Temos a SP  𝑙𝑛 | 200 − 𝑦 | = 
𝑡
200
  𝑙𝑛 185  | 200 − 𝑦 | = 185 𝑒− 𝑡 200⁄ 
( 7 ) | 200 − 𝑦 | = 200 − 𝑦, pois 𝑦( 𝑡 ) é contínua, 𝑦( 0 ) = 15 e 𝑒− 𝑡 200⁄ > 0; 
( 8 ) Daí 𝑦( 𝑡 ) = 200  𝑒− 𝑡 200⁄ e 𝑦( 30 ) = 40,769 é a quantidade de sal após 30 min. 
 
368. Um tanque contém 40 kg de sal dissolvidos em 10000 litros de água. Salmoura 
com 0,05 kg de sal por litro é despejada no tanque a uma taxa de 25 litros por minuto. 
A solução é misturada e passa a escoar para fora do tanque a mesma taxa de 
entrada da salmoura. Determine a quantidade de sal. 
 
O PROBLEMA DAS MISTURAS PRÁTICA 41 
 
 
 
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369. Determine a equação da curva que passa pelo ponto P ( 1, 5 ) e possui em cada um 
de seus pontos coeficiente angular igual a 3𝑥². 𝑦 = 𝑥³ + 4 
 
370. Determine a equação da curva que passa pelo ponto P ( 3, 4 ) e possui em cada um 
de seus pontos coeficiente angular igual a − 
y
x
. 𝑥² + 𝑦² = 25 
371. Determine a equação da curva que passa pelo ponto P ( 3, 0 ) e possui em cada um 
de seus pontos coeficiente angular igual a − 
y
x
4
. 𝑥² + 4𝑦² = 9. 
372. Determine a equação da curva que passa pelo ponto P ( 0, 1 ) e possui em cada um 
de seus pontos coeficiente angular igual a 5𝑥 + 2𝑦 𝑦 = 9
4
 𝑒2𝑥 − 
5
2
𝑥 − 
5
4
 
 
 
 
 
373. Numa cultura de bactérias a taxa de crescimento da população é proporcional à 
população inicialmente presente. Se a população triplica em 2 horas, qual é a população 
prevista após 10 horas ? 
( A ) Modelo Populacional: 
( 1 ) Seja 𝑃 = 𝑃( 𝑡 ) a população de bactérias; 
( 2 ) Temos 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
 = 𝑘 𝑃, de onde decorre 𝑃( 𝑡 ) = 𝐶 𝑒𝑘 𝑡; 
( 3 ) Seja 𝑃 a população inicial no instante t = 0: 𝑃( 0 ) = 𝑃0 
( 4 ) 𝑃( 0 ) = 𝑃0  𝑃0 = C  Modelo Populacional é 𝑃( 𝑡 ) = 𝑃0 𝑒
𝑘 𝑡; 
( B ) Resolução 
1 ) Do Modelo 𝑃( 𝑡 ) = 𝑃0 𝑒𝑘 𝑡 temos 𝑃( 2 ) = 3 𝑦0  3 𝑃0 = 𝑃0 𝑒
2 𝑘  k  0,54931; 
3 ) O Modelo é 𝑃( 𝑡 ) = 𝑃0 𝑒0,54931 𝑡 
4 ) P( 10 ) = 𝑃0 𝑒
0,54931 .10  P( 10 )  243 𝑃0. 
 
374. Numa cidade a população cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes. 
Se após 5 anos a população duplica e após 8 anos a população é 100.000 habitantes, 
determine a população inicial.7816 
 
375. Se a população de uma cultura de bactérias quadruplica em 3 horas, mantida a 
mesma taxa de crescimento, qual é a população prevista para 2 dias. 4.295. 354,81 
PRÁTICA 42 
PRÁTICA 43 
EQUAÇÕES DE CURVAS 
CRESCIMENTO POPULACIONAL 
 
 
12 CADERNOS SL EDO PRÁTICAS ATIVAS PROF MARCO A BRASIL 
12 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
376. A taxa de disseminação de uma doença numa população de ratos é proporcional ao 
produto do número de ratos infectados pelo número de ratos sem a doença. Se 5 ratos 
numa população de 100 são infectados, em quanto tempo metade da população adoece? 
 
( 1 ) Seja 𝑃 = 𝑃( 𝑡 ) o número de ratos infectados num instante 𝑡 
( 2 ) O número de ratos infectados é 𝑃( 0 ) = 5 e o número de ratos que não foram infectados no instante 𝑡 
é 100 – 𝑃( 𝑡 ) e a teoria afirma que 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
 = 𝑘 𝑃 ( 100 – 𝑃 )  
𝑑𝑃
𝑃 ( − 100 ) 
 = 𝑘 𝑑𝑡 
( 3 ) 
1
𝑃 ( 𝑃 − 100 ) 
 = 
𝐴
𝑃 
+ 
𝐵
 𝑃 − 100 
 = 
1
𝑃 ( 𝑃 − 100 ) 
  
1
𝑃 ( 𝑃 − 100 ) 
=
1
100 
 
1
𝑃 
+ 
1
100 
 
1
𝑃 − 100 
 
( 4 ) ∫
𝑑𝑃
𝑃 ( 𝑃 − 100 ) 
= ∫ 𝑘 𝑑𝑡  
1
100 
 𝑙𝑛 𝑃 − 
1
100 
 𝑙𝑛 𝑃( 100 – P ) = 𝑘𝑡 + 𝐶1  
1
100 
 𝑙𝑛 
𝑃
100 − 𝑃
 = 𝑘𝑡 + 𝐶1 
( 5 ) 𝑙𝑛 
𝑃
100 − 𝑃
= 100 (𝑘𝑡 + 𝐶1 )  
𝑃
100 − 𝑃
= 𝑒100 𝑘𝑡 +100 𝐶1 = 𝑒100 𝑘𝑡 𝑒100 𝐶1  
𝑃
100 − 𝑃
= 𝐶 𝑒100 𝑘𝑡 
( 6 ) P( 0 ) = 5  
5
100 − 5
= 𝐶 𝑒100 .0  𝐶 = 1 19⁄ 
( 7 ) Para determinar o instante t tal que P( t ) = 50, metade da população inicial, temos 
( 9 ) 
50
100 − 50
=
1
19
 𝑒100 𝑘𝑡  𝑒100 𝑘𝑡 = 19  100 𝑘𝑡 = 𝑙𝑛19  kt = 
𝑙𝑛19
100
  𝑡 = 
𝑙𝑛19
100 𝑘
 
377. De acordo com o exercício anterior, determine o valor da constante k se após uma 
semana 24 ratos estão infectados. 𝑘  2,56 𝑥 10−3, 11,5 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
 
 
378. X$ 50.000, 00 é aplicado em um fundo a juros compostos contínuos de 6,5 % ao 
ano. Se não houver depósitos nem retiradas, qual é o saldo após 10 anos ? 
 ( A ) Modelo Financeiro Associado: 
( 1 ) Em um modelo de juros compostos creditados continuamente, a taxa de variação 
do capital C é proporcional ao capital em cada instante t; 
( 2 ) Ou seja, 
𝑑𝐶
 𝑑𝑡
 ∝ 𝐶 e 
𝑑𝐶
 𝑑𝑡
= 𝑘 𝐶  
𝑑𝐶
 𝐶
= 𝑘 𝑑𝑡  𝐶( 𝑡 ) = 𝐷 𝑒 𝑘 𝑡 
( 3 ) Se 𝐶0 é o capital inicial no instante t = 0, então 𝐶( 0 ) = 𝐶0  𝐶0 = D; 
( 4 ) O Modelo Financeiro é 𝐶( 𝑡 ) = 𝐶0 𝑒
𝑘 𝑡, onde 𝑘 representa a taxa de juros; 
 ( B ) Resolução 
1 ) Do Modelo 𝐶( 𝑡 ) = 𝐶0 𝑒𝑘 𝑡 decorre 𝐶( 𝑡 ) = 50.000 𝑒
𝑘 𝑡 
2 ) A taxa de juros k = 6,5 % = 
6,5
100
 = 0,065 e o modelo é 𝐶( 𝑡 ) = 50.000 𝑒0,065 𝑡 
3 ) Após 10 anos, C( 10 ) = 50.000 𝑒0,065 .10 = 95.777,04. 
PRÁTICA 44 MODELO JUROS CONTÍNUOS 
 
 
13 CADERNOS SL EDO PRÁTICAS ATIVAS PROF MARCO A BRASIL 
13 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
379. Qual é o capital final de uma aplicação de X$ 1.000,00 a juros contínuos de 12 % ao 
ano ao fim de 20 anos ? 11.023,2 
 
380. O saldo de uma aplicação de X$ 25.000,00 sem nenhum saque ou depósito durante 
3 anos é 29.930, 43. Determine a taxa de remuneração do capital aplicado e, mantidas 
as mesmas condições, em quantos anos a quantia inicialmente aplicada duplica. 11,5 
 
381. Uma aplicação paga juros compostos contínuos. Determine o saldo após 8 anos de 
um depósito de X$ 20.000,00 a uma taxa de 12,5% durante os 5 primeiros anos e 15% 
nos últimos 3 anos. 59.540, 85 
 
382. Mostre que a taxa 𝑘 de juros contínuos necessária para que um depósito numa conta 
duplique em 𝑡 anos segue a formula 𝑘 = 
1 
𝑡
 𝑙𝑛2 . 
 
 
 
383. Um modelo para o aprendizado de uma habilidade é dado pelo EDO( 1 ) 
 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
 = 𝑘 ( M – A ), 
onde A = A( 𝑡 ) mede desempenho de aprendizado após certo tempo 𝑡 de treinamento, 
M é o nível máximo de desempenho e 𝑘 > 0. 
Determine a expressão de P( 𝑡 ), faça um esboço gráfico e dê o seu valor limite.
 
 
 
 
Um interessante estudo do movimento de objetos como carros, projéteis, bolas ou 
planetas é compreende-los como partículas, sem considerar formas ou comprimentos. 
Digamos que estamos interessados no deslocamento 𝑠 de uma partícula P ao longo 
de um eixo orientado, digamos o eixo 𝑠. 
A equação do movimento é dado pela equação 𝑠 = 𝑠( 𝑡 ), onde 𝑠 dá a posição da 
partícula P em cada instante 𝑡 ≥ 0. 
 A velocidade 𝑣 e a aceleração 𝑎 de P são dados 
𝑠1 = 𝑠1( 𝑡1) P pelas equações 𝑣 = 𝑣( 𝑡 ) e 𝑎 = 𝑎( 𝑡 ) onde 
 𝑣( 𝑡 ) = 𝑠´( 𝑡 ) = 
𝑑 𝑠 
𝑑𝑡
, 𝑎( 𝑡 ) = 𝑣´( 𝑡 ) = 
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
 
 𝑠0 = 𝑠0( t ) ou 𝑎( 𝑡 ) = 𝑣´( 𝑡 ) = [ 𝑠´( 𝑡 )]´ = 𝑠´´( 𝑡 ) = 
𝑑²𝑠 
𝑑𝑡²
. 
 𝑡0 𝑡1 𝑡 
PRÁTICA 45 
PRÁTICA 46 
UM MODELO PARA O APRENDIZADO 
MOVIMENTO LINEAR 
 
 
14 CADERNOS SL EDO PRÁTICAS ATIVAS PROF MARCO A BRASIL 
14 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
384. Equação do movimento cuja aceleração é 𝑎 = 2𝑡  3𝑡², a velocidade 𝑣 e a 
distância percorrida 𝑠 são nulas em 𝑡 = 0. 
( 1 ) 𝑎( 𝑡 ) = 
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
  
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
 = 2𝑡  3𝑡²  𝑑𝑣 = (2𝑡  3𝑡² ) 𝑑𝑡 
( 2 ) ∫ 𝑑𝑣 = ∫(2𝑡  3𝑡² ) 𝑑𝑡  𝑣( 𝑡 ) = 𝑡²  𝑡³ + 𝐶1 
( 3 ) Como 𝑣 = 0 quando 𝑡 = 0, então 0 = 0²  0³ + 𝐶1  𝐶1 = 0 e daí, 𝑣( 𝑡 ) = 𝑡²  𝑡³; 
( 4 ) Agora, 𝑣( 𝑡 ) = 𝑠´( 𝑡 ) = 
𝑑𝑠 
𝑑𝑡
  
𝑑𝑠 
𝑑𝑡
 = 𝑡²  𝑡³  𝑑𝑠 = ( 𝑡²  𝑡³ ) 𝑑𝑡, 
( 5 ) ∫ 𝑑𝑠 = ∫( 𝑡²  𝑡³ ) 𝑑𝑡  𝑠( 𝑡 ) = 
1
3
 𝑡³  
1
4
 𝑡4 + 𝐶2; 
( 6 ) Como 𝑠 = 0 quando 𝑡 = 0, segue-se 𝐶2 = 0 e daí, 𝑠( 𝑡 ) = 
1
3
 𝑡³  
1
4
 𝑡4 
385.Equação do movimento do móvel que percorre 200 m com desaceleração constante 
até parar após 10s. 
( 1 ) Temos: 𝑠 = 0 quando 𝑡 = 0; 𝑠 = 200 quando 𝑡 = 10 e 𝑣 = 0 quando 𝑡 = 10: 
( 2 ) 𝑎( 𝑡 ) = 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄  𝑑𝑣 = a 𝑑𝑡  𝑣( 𝑡 ) = 𝑎𝑡 + 𝐶1; 
( 3 ) 𝑣( 𝑡 ) = 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄  𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ = 𝑎𝑡 + 𝐶1  𝑑𝑠 = (𝑎𝑡 + 𝐶1 ) 𝑑𝑡  𝑠 = 𝑎𝑡² 2⁄ + 𝐶1𝑡 + 𝐶2 
( 4 ) Substituindo 𝑠 = 0 e 𝑡 = 0 em ( 3 ), então 𝐶2 = 0 e 𝑠( 𝑡 ) = 𝑎𝑡² 2⁄ + 𝐶1𝑡; 
( 5 ) Substituindo 𝑣 = 0 e 𝑡 = 10 em ( 2 ), segue-se 0 = 10 𝑎 + 𝐶1  𝐶1 = 10𝑎; 
( 6 ) 𝑠 = 𝑎𝑡² 2⁄ + 𝐶1𝑡  𝑠 = 𝑎𝑡² 2⁄ – 10 𝑎 𝑡 
( 7 ) Como 𝑠 = 200 quando 𝑡 =10  200 = 𝑎10² 2⁄ – 10 𝑎 10  a =  4 m/s² . 
 Assim a equação do movimento é 𝑠( 𝑡 ) =  2𝑡² + 40. 
 
 
 
 
Uma partícula P desloca-se sobre o eixo 𝑠 por uma força F agindo paralela ao eixo 
𝑠 cujas posiçãoinicial e final são identificadas pelas coordenadas 𝑠0 e 𝑠1 
 
 𝑠0 𝑠1 F 
 
PRÁTICA 47 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA 
 
 
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15 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
① Uma força F constante realiza uma quantidade de trabalho T sobre a partícula P 
dada por T = F ( 𝒔𝟎  𝒔𝟏 ); 
 
② Se F é variável, quando P se desloca de 𝑠 para 𝑠 +  𝑠, ocorre uma variação no 
trabalho de T para T +  T de modo que  T  F  𝑠: 
Fazendo  𝑠  0, temos 
𝑑 𝑇
𝑑 𝑠
 = 𝒍𝒊𝒎 𝑠  0 
 𝑻
 𝒔
 = F 
 
 
 𝒔 𝑠 + 𝑠 
③ O trabalho realizado pela força F é descrito pela equação diferencial 𝒅 𝑻 = 𝑭 𝒅𝒔 de 
acordo com a Condição Inicial T = 0 quando 𝑠 = 𝑠0. 
386. Se F( s ) = 𝑠², determine o trabalho realizado para mover uma partícula P de 𝑠 = 1 
à 𝑠 = 9. 
( 1 ) 𝒅 𝑻 = 𝑭 𝒅𝒔  𝒅 𝑻 = 𝒔² 𝒅𝒔  ∫ 𝒅 𝑻 = ∫ 𝑠2 𝑑𝑠  𝑇 = 
𝑠³
3
 + 𝐶 
( 2 ) Quando 𝒔 = 1 temos T = 0: 0 = 
1³
3
 + C  C =  
1
3
 ; 
( 3 ) Portanto, T = 
𝑠³
3
  
1
3
 e quando 𝑠 = 9, T = 
9³
3
  
1
3
  T = 
728
3
 unidades de trabalho 
387. Uma partícula ligada a uma mola perfeitamente elástica presa a uma escora num 
plano horizontal, desliza sem fricção puxada por uma força F paralela ao eixo 𝑠. 
 Mola não-estendida 
0 s 
 
( 1 ) Como a mola é perfeitamente elástica, pela lei de Hooke a força F é proporcional ao 
seu deslocamento 𝑠: 𝐹 = 𝑘 𝑠, onde 𝐾 é constante da mola; 
( 2 ) O trabalho para deslocar a partícula da posição 𝑠 = 0 é 𝑑𝑇 = 𝐹 𝑑𝑠 = 𝑘𝑠 𝑑𝑠 
( 3 ) ∫ 𝑑 𝑇 = ∫ 𝑘 𝑠 𝑑𝑠  T = 
𝑘 𝑠²
2
 + C 
( 4 ) Como 𝑠 = 0 acarreta T = 0 e C = 0, temos T = 
𝑘 𝑠²
2
 
( 5 ) Na posição 𝑠 = 𝑏, teremos T = 
𝑘 𝑏²
2
 
 𝑚 
 
 
16 CADERNOS SL EDO PRÁTICAS ATIVAS PROF MARCO A BRASIL 
16 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
 
 
 
Se uma partícula P de massa 𝑚 se move ao longo de um eixo 𝑠 devido a uma 
força F, então, da 2ª Lei de Newton 𝐹 = 𝑚𝑎, decorre: 
( 1 ) A equação diferencial: 𝐹 = 𝑚𝑎  𝐹 = 𝑚 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 ou 𝐹 = 𝑚 
𝑑²𝑠
𝑑𝑡²
 ; 
( 2 ) De 𝐹 = 𝑚 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 temos 𝐹 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑑𝑣  
 ∫ 𝐹 𝑑𝑡 = ∫ 𝑚 𝑑𝑣  ∫ 𝐹 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑣 + C 
( 3 ) A quantidade 𝒎𝒗 é denominada 𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓 da partícula P: a ideia de 
momento decorre de uma integração em relação ao tempo 𝑡; 
( 4 ) Mutiplicando 𝐹 = 𝑚 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 por 𝑑𝑠, temos 𝐹 𝑑𝑠 = 𝑚 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 𝑑𝑠 = 𝑚 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 𝑑𝑣 = 𝑚 𝑣 𝑑𝑣 
( 5 ) Agora, ∫ 𝐹 𝑑𝑠 = ∫ 𝑚 𝑣 𝑑𝑣  ∫ 𝐹 𝑑𝑠 = 
1
2
 𝑚 𝑣² + C 
( 6 ) A quantidade 𝐸𝑐 = 
1
2
𝑚𝑣² é denominada 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝑪𝒊𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒂 da partícula P: o 
conceito de energia cinética decorre de uma integração em relação à distância 𝑠; 
( 7 ) Como 𝑇 = ∫ 𝐹 𝑑𝑠, segue-se por ( 5 ) que T = 
1
2
 𝑚 𝑣² + C: o trabalho realizado por 
uma força variável F sobre uma partícula P é igual a energia cinética da partícula a menos 
de uma constante arbitrária C; 
( 8 ) A quantidade 𝐸𝑝 =  𝑻 =  ∫ 𝐹 𝑑𝑠 é chamada 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 de P; 
( 9 ) A 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 E da partícula P é a soma das energia cinética e potencial: 
 𝑬 = 
1
2
 𝑚 𝑣² + C  T = 
1
2
 𝑚 𝑣²  
1
2
 𝑚 𝑣²  C  𝑬 = C 
( 10 ) Ou seja, a energia total 𝑬 de uma partícula P permanece constante, de acordo com 
a Lei da Conversação da Energia. 
( 11 ) Todo corpo na superfície da terra ou próximo da superfície da terra sofre a ação da 
força da gravidade 𝒈 = 9,8 m/ s² ; 
( 12 ) Se a partícula é solta de uma altura h, sua aceleração é 𝒂 = 𝒈 e dai 𝑭 = 𝒎𝒈, 
onde a força F = P é o peso da partícula; 
( 13 ) Se a partícula é lançada verticalmente para cima da superfície da terra, então a força 
da gravidade 𝑔 age no sentido contrário ao do movimento da partícula, ou seja, para baixo, 
e por consequência é considerada negativa; 
( 14 ) Nestas condições: 
A ) A aceleração da partícula P é também negativa e 
 𝑎 =  𝑔 e daí, 𝐹 = 𝑚𝑎 =  𝑚𝑔 
 B ) Quando 𝑡 = 0, 𝑠 = 0 e a energia potencial é 𝑉 = 0. 
PRÁTICA 48 
LEI DE NEWTON DO MOVIMENTO 
 
 
17 CADERNOS SL EDO PRÁTICAS ATIVAS PROF MARCO A BRASIL 
17 UNIDADE A: EQUAÇÔES DE 1ª E 2ª ORDEM CADERNO 4: MODELOS MATEMÁTICOS I 
 
 
 
Uma Partícula P de massa m é lançada verticalmente para cima da superfície da 
Terra no instante 𝑡 = 0 com velocidade inicial 𝒗𝟎. 
 ( 1 ) 𝑎 = 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 e 𝑎 =  𝑔  
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 =  𝑔  𝑑𝑣 =  𝑔𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑔 𝑑𝑡 𝑣 =  𝑔𝑡 + 𝐶1; 
( 2 ) Quando t = 0 temos 𝑣 = 𝑣0. Assim, 𝒗𝟎 =  𝑔 . 0 + 𝐶1  𝐶1 = 𝑣0 e 𝑣 = 𝑣0  𝑔 𝑡 
( 3 ) Como 𝑣 = 
𝑑 𝑠
𝑑𝑡
  𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡  𝑑𝑠 = ( 𝑣0  𝑔 𝑡) 𝑑𝑡. 
Portanto, ∫ 𝑑𝑠 = ∫( 𝑣0 𝑔 𝑡 ) 𝑑𝑡  s =  
1
2
 𝑔𝑡² 𝑣0𝑡  
1
2
 𝑔𝑡² + 𝐶2, 
( 4 ) Agora, como 
A ) 𝑣 = 𝑣0  𝑔 𝑡 então  𝑔 𝑡 = 𝑣  𝑣0 ou 𝑡 = 
𝑣0 − 𝑣
𝑔
; 
B ) Substituindo ( 4 A ) em s = 𝑣0𝑡  
1
2
 𝑔𝑡² + 𝐶2, temos: 
𝑠 = 𝑣0 
 𝑣0 − 𝑣
𝑔
  
1
2
 𝑔 (
 𝑣0 − 𝑣
𝑔
) ² + 𝐶2  𝑠 = 𝑣0 
 𝑣0 − 𝑣
𝑔
 
1
2
 𝑔 
𝑣0
2 − 2 𝑣 𝑣0 +𝑣²
𝑔²
 + 𝐶2 
 𝑠 = 
 𝑣0² − 𝑣0 𝑣
𝑔
 
𝑣0
2 − 2 𝑣 𝑣0 +𝑣²
2 𝑔
 + 𝐶2  𝑠 = 
2 𝑣0
2 − 2 𝑣0 𝑣 − 𝑣0
2 + 2 𝑣 𝑣0 − 𝑣²
2 𝑔
 
 𝑠 = 
 𝑣0
2 − 𝑣²
2 𝑔
  2 𝑠 𝑔 = 𝑣02 − 𝑣²  𝑣² = 𝑣02 − 2 𝑠𝑔  𝑣 =  √𝑣0
2 − 2 𝑠𝑔 
( 5 ) No ponto de altura máxima ℎ temos 𝑣 = 0 e 𝒔 = ℎ: 
De ( 4 B ), 0 =  √𝑣0
2 − 2 ℎ𝑔  elevando ambos os membros ao quadrado  
 𝑣0
2 − 2 ℎ 𝑔 = 0  −2 ℎ 𝑔 = − 𝑣0
2  ℎ = 
 𝑣0
2
2 𝑔
 
( 6 ) Dado que a Energia Cinética é 𝐸𝑐 = 
1
2
𝑚𝑣², então 𝐸𝑐 = 
1
2
𝑚 (𝑣0 𝑔 𝑡 )² 
( 7 ) A Energia Potencial 𝐸𝑝 =  ∫ 𝐹 𝑑𝑠 é tal que 
 𝐸𝑝 =  ∫( −𝑚𝑔 ) 𝑑𝑠  𝐸𝑝 = 𝑚𝑔𝑠 + C 
( 8 ) Quando t = 0, s = 0 e 𝐸𝑝 = 0, segue-se 𝐸𝑝 = 𝑚𝑔𝑠 + C  C = 0 e daí, 𝐸𝑝 = 𝑚𝑔𝑠 
( 9 ) A Energia Total 𝑬 é 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝  𝐸 = 
1
2
𝑚𝑣² + 𝑚𝑔𝑠. 
 Então, por ( 4 B ), quando 𝑠 = 0 toda a energia é cinética, pois 
𝐸 = 
1
2
𝑚 ( 𝑣0
2 − 2 𝑠𝑔 ) + 𝑚𝑔𝑠 = 
1
2
𝑚 𝑣0
2  𝑚𝑔𝑠 + 𝑚𝑔𝑠  𝐸 = 
1
2
𝑚 𝑣0
2; 
( 10 ) Quando 𝑠 = ℎ, toda a energia é potencial, pois ℎ = 𝑣0² 𝟐𝒈⁄ . 
 
PRÁTICA 49 
PROJÉTIL LANÇADO VERTICALMENTE PARA CIMA