Questão resolvida - Determine o comprimento do caminho percorrido por um carro que se move ao longo de uma estrada cuja equação vetorial é (et cos t, et sen t) durante o tempo t1 0 a t2 3 - Cálculo II

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• Determine o comprimento do caminho percorrido por um carro que se move ao longo 
de uma estrada cuja equação vetorial é durante o tempo a e cos t , e sen tt ( ) t ( ) t = 01
.t = 32
 
Resolução:
 
Seja a curva representada pelo vetor , o comprimento de arco decrito por este vetor é tv( )
dado por;
 
L = ‖ t ‖dt
b
a
∫ v'( )
 
Onde: é a norma da derivada do vetor ‖v' t ‖( ) tv( )
 
Assim, primeiro é preciso encontrar a derivada do vetor que descreve a trajetória do tv( )
carro;
 
t = e cos t , e sen tv( ) t ( ) t ( )
Derivando , fica;tv( )
 
' t = e cos t + -sen t ⋅ e , e sen t + cos t ev ( ) t ( ) ( ( )) t t ( ) ( ) t
 
' t = e cos t - e sen t , e sen t + e cos tv ( ) t ( ) t ( ) t ( ) t ( )
 
 
Fazemos, agora, a norma (também chamado de módulo) de ;' tv ( )
 
Com isso, o comprimento do caminho percorrido pelo carro, sendo os limites de integração 
variando de a , é;0 3
 
L = e dt = e dt = e - e
3
0
∫ 2 t 2
3
0
∫ t 2 3 0
 
L = e - 12 3
 
 
‖ ' t ‖ =v ( ) e cos t - e sen t + e sen t + e cos tt ( ) t ( )
2
t ( ) t ( )
2
 
‖ ' t ‖ =v ( ) e cos t + 2 e cos t -e sen t + -e sen t + e sen t + 2 e cos t e sen t + e cos tt ( )
2
t ( ) t ( ) t ( )
2
t ( )
2
t ( ) t ( ) t ( )
 
‖ ' t ‖ =v ( ) e cos t -2e cos t sen t + e sen t + e sen t + 2e cos t sen t + e cos t2t 2( ) 2t ( )) ( ) 2t 2( ) 2t 2( ) 2t ( )) ( ) 2t 2( )
 
‖ ' t ‖ = ‖ ' t ‖ =v ( ) 2e cos t + 2e sen t2t 2( ) 2t 2( ) → v ( ) 2e cos t + sen t2t 2( ) 2( )
 
Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica : sen x + x = 12( ) cos2( )
 
‖ ' t ‖ = ‖ ' t ‖ = ‖ ' t ‖ = ⋅ ‖ ' t ‖ = ⋅ ‖ ' t ‖ = ⋅ ev ( ) 2e 12t( ) → v ( ) 2e2t → v ( ) 2 e2t → v ( ) 2 et
2
→ v ( ) 2 t
 
 ‖ ' t ‖ = ev ( ) 2 t
(Resposta )