Determine o comprimento do caminho percorrido por um carro que se move ao longo de uma estrada cuja equação vetorial é (et cos t, et sen t) durante...

Para determinar o comprimento do caminho percorrido pelo carro ao longo da estrada, podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica. A fórmula é dada por: L = ∫(t1 até t2) ||r'(t)|| dt Onde r(t) = (et cos t, et sen t) é a equação vetorial da estrada e ||r'(t)|| é a norma do vetor derivada de r(t). Calculando a derivada de r(t), temos: r'(t) = (et cos t - et sen t, et sen t + et cos t) A norma de r'(t) é dada por: ||r'(t)|| = √((et cos t - et sen t)^2 + (et sen t + et cos t)^2) = √(e^2t(cos^2 t + sen^2 t) + e^2t(cos^2 t + sen^2 t)) = √(2e^2t) = √2e^t Agora, podemos calcular o comprimento do caminho percorrido integrando ||r'(t)|| de t1 = 0 a t2 = 3: L = ∫(0 até 3) √2e^t dt Integrando, temos: L = [√2e^t] de 0 até 3 L = √2e^3 - √2e^0 L = √2e^3 - √2 Portanto, o comprimento do caminho percorrido pelo carro durante o tempo t1 = 0 a t2 = 3 é dado por √2e^3 - √2.