Questão resolvida - Calcule o comprimento da curva dada pelo gráfico da função vetorial dada por F(t) = -sen(t)i+cos(t)j, onde 0 t π - Cálculo vetorial - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o comprimento da curva dada pelo gráfico da função vetorial dada por 
, onde .t = - sen t + cos tF( ) ( ) i ( )j 0 ≤ t ≤ 𝜋
 
Resolução:
 
Seja a curva representada pelo vetor , o comprimento de arco de curvas é dado por;tv( )
 
L = ‖ t ‖dt
b
a
∫ v'( )
Onde: é a norma da derivada do vetor ‖v' t ‖( ) tv( )
 
Assim, primeiro é preciso encontrar a derivada do vetor , vamos mudar a notação do tF( )
vetor da seguinte forma;
 
t = - sen t + cos t = ⟨- sen t , cos t ⟩F( ) ( ) i ( )j ( ) ( )
Derivando , fica;tF( )
 
' t = ⟨- cos t , - sen t ⟩F ( ) ( ) ( )
Fazemos, agora, a norma (também chamado de módulo) de ;' tF ( )
 
‖ ' t ‖ = =F ( ) -cos t + -sen t( ( ))2 ( ( ))2 cos t + sen t2( ) 2( )
 
Com isso, o comprimento de arco, sendo os limites de integração variando de 0 a , fica;𝜋
 
L = dt
0
∫
𝜋
sen t + cos t2( ) 2( )
 
Mas, sen t + cos t = 1; substituindo :2( ) 2( )
 
L = dt = 1dt = t = 𝜋- 0
0
∫
𝜋
1
0
∫
𝜋 𝜋
0
 
 
 
L = 𝜋 u. c.
 
 
(Resposta )