Excedente_cap14

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Excedente do Consumidor
Idéia: olhar para os ganhos e perdas do consumidor quando os preços/renda mudam
Introdução
Objetivo: como obter uma estimativa da função utilidade a partir do comportamento da demanda.
Começaremos com o caso do bem discreto. 
Demanda de um bem discreto
Bem discreto + utilidade quase-linear
U(x,y) = v(x) + y
bem x disponível apenas em unidades inteiras; px = p é o preço do bem
bem y = quantidade de $ para gastar com os outros bens; py = 1
Demanda de um bem discreto
Nesse caso, o comportamento do consumidor pode ser descrito por uma sequência/lista de preços de reserva.
r1 = v(1) - v(0) ; r2 = v(2) - v(1) ; .... ; rn = v(n) – v(n-1)
E se o consumidor escolher n unidades do bem, isso significa que rn >= p >= rn+1 
Bem discreto – cap. 6
obtendo a curva de preço-consumo e de demanda para o bem discreto
Bem 1 é o bem discreto; se o seu preço for muito alto, consumidor está interessado em adquirir “0” unidade; se o seu preço for suficientemente baixo, consumidor está interessado em consumir “1” unidade; e se seu preço for “r1” o consumidor está exatamente indiferente entre consumir “0” ou “1” unidade do bem
Preço de reserva
Preço de reserva: preço que deixa o consumidor exatamente indiferente entre consumir “0” ou “1” unidade
Curvas de indiferença e curva de demanda
Curvas de indiferença são as tracejadas; Quanto mais alta, mais preferidas são as cestas.
Preço r1 (mais em pé), consumidor tem duas escolhas ótimas (0,y) ou (1, y’); preço diminui para r2, agora tem duas escolhas ótimas (1,y’’) ou (2,y’’’) - retas orçamentárias y = m – r1x ; y = m – r2x
y
y’
Lista de preços de reserva: comportamento de demanda
Diagrama a direita: relação entre o preço de reserva e a quantidade demandada
Ou seja, uma lista de preços de reserva descreve o comportamento da demanda.
Podemos descrever o preço de reserva em termos da função utilidade.
r1 tem que satisfazer: u(0,m) = u(1, m-r1)
r2 tem que satisfazer: u(1,m-r2) = u(1, m-2r2)
Utilidade quase-linear
Se a utilidade for quase-linear, facilita bastante as contas!
U(x,y) = v(x) + y
Admitindo que v(0)=0, temos:
U(0,m) = U(1,m-r1)
m = v(1) + m – r1
r1 = v(1)  ou seja, o valor atribuído a 1ª unidade consumida do bem é exatamente igual a quanto esta unidade te traz de utilidade
Continuando...
U(1,m-r2) = U(2,m-2r2)
v(1) + m – r2 = v(2) – m – 2r2
r2 = v(2) - v(1) .... rn = v(n) – v(n-1)
O preço de reserva mede o incremento na utilidade necessário para convencer o consumidor a escolher mais uma unidade do bem. Ou seja, mede a utilidade marginal para diferentes níveis de consumo do bem 1.
A hipótese de utilidade marginal decrescente implica que r1 > r2 > r3...> rn
Aspecto especial da utilidade quase-linear
A quantidade escolhida do bem 1 não depende de quanto vc possui do bem 2. Assim, para saber quantas unidades do bem 1 o consumidor vai escolher só é preciso saber em qual lugar da lista de preços de reserva, o preço de mercado do bem está.
Se r6 > p > r7  consumidor irá escolher consumir 6 unidades!
Se o consumidor escolhe 6 unidades, então:
v(6) + m – 6p ≥ v(x) + m - xp 
Em particular:
v(6) + m – 6p ≥ v(5) + m - 5p
v(6) – v(5) = r6 ≥ p ; e
v(6) + m – 6p ≥ v(7) + m - 7p
v(7) – v(6) = r7 ≤ p
Ou seja, r6 ≥ p ≥ r7 
Generalizando, se n unidades são escolhidas, então, rn ≥ p ≥ rn+1
--xxxx---
12
Curva de demanda
Assim, a lista de preços de reserva de um consumidor possui toda informação necessária para descrevermos seu comportamento de demanda.
O gráfico da curva de demanda é o no formato de escada dos preços de reserva, como já vimos antes...
Curva de demanda do bem 1 (bem discreto)
Exercício inverso
Podemos pensar que o exercício inverso, também pode ser feito. 
Ou seja, suponha que a gente observe a curva de demanda. Podemos elaborar a função de utilidade que gerou tais escolhas, pelo menos se admitirmos quase-linearidade. 
Definimos os preços de reserva da seguinte forma:
r1 = v(1) - v(0)
r2 = v(2) - v(1)
r3 = v(3) - v(2)
Se quisermos calcular v(3), por exemplo, basta somarmos ambos os lados das igualdades:
r1 + r2 + r3 = v(3)
Vejam que isso representa as primeiras três barras no gráfico anterior.
Da curva de demanda  obtém-se a utilidade
A utilidade de consumir n unidades do bem discreto é exatamente a área das primeiras n barras que formam a função de demanda.
Também chamada de benefício bruto ou excedente bruto.
Utilidade final
r1 + r2 + r3 = v(3) é utilidade de consumir 3 unidades do bem 1. 
Utilidade total = v(n) + (m – pn)
v(n)– pn = excedente do consumidor ou excedente líquido do consumidor do bem 1 = v(n)– pn
Outras interpretações do excedente do consumidor (1)
Suponha que o preço do bem discreto seja p. Suponha que o consumidor esteja disposto a pagar r1 para consumir a primeira unidade do bem; a diferença entre r1 e p é o excedente do consumidor para a 1ª unidade; para a 2ª unidade, o mesmo vale r2 –p e, assim, por diante. Assim, se somarmos esses excedentes: r1 - p + r2 – p + .... + rn – p = (r1 + r2 + .... + rn ) – np = v(n) - np
Outras interpretações do excedente do consumidor (2)
Suponha que o consumidor esteja consumindo n unidades do bem discreto e gastando $pn. Quanto ele estaria disposto a receber para levar o consumo desse bem a zero? 
R + m = v(n) + m – pn
R = v(n) – pn  excedente do consumidor 
Excedentes dos consumidores
A soma dos excedentes individuais dos consumidores nos dá o excedente de todos os consumidores.
Fornece uma medida dos ganhos agregados obtidos com as trocas no mercado. 
A aproximação da demanda contínua
Até agora vimos que a área abaixo de uma curva de demanda de um bem discreto mede a utilidade do consumo do bem. 
Isso pode ser aproximado para o bem disponível em unidades contínuas  podemos aproximar a curva de demanda contínua à curva de demanda de escada  a área abaixo da curva de demanda contínua ficará então aproximadamente igual a área abaixo da curva do tipo escada. 
FIGURA 14.2 A Aproximação de uma demanda contínua. O excedente do consumidor relacionado a uma curva de demanda contínua pode ser aproximado pelo excedente do consumidor relacionado a uma aproximação discreta.
Apêndice
Mostrar que a área abaixo da curva de demanda de um bem, disponível em unidade contínua, com utilidade quase-linear, é o excedente do consumidor. 
Apêndice
Max v(x) + y suj a px + y = m
Max v(x) + m – px
CPO: v’(x) = p
Demanda inversa do bem: p(x) = v’(x)
Analogia com o bem discreto: o preço pelo qual o consumidor está disposto a adquirir x unidades é igual a utilidade marginal de consumir o bem
 
x1 contínuo + preferência quase-linear
Demanda inversa do bem: p(x) = v’(x)
Podemos integrar a curva de demanda inversa para obter a função de utilidade 
 Portanto, a utilidade associada ao consumo do bem x é justamente a área embaixo da curva de demanda. 
Utilidade quase-linear
O uso da área abaixo da curva de demanda para medir a utilidade só será completamente correto quando a função utilidade for quase-linear.
Mas não deixa de ser uma boa aproximação.
Variações no excedente do consumidor
Em geral, estamos interessados nas variações!
Como interpretar??
Q2
P2
Como um preço mais baixo aumenta o bem-estar do consumidor?
Quantidade
Preço
0
Demanda
Excedente do Consumidor Inicial
Excedente adicional aos consumidores que já estavam no mercado
Excedente do Consumidor devido aos novos consumidores
Q1
P1
D
E
F
B
C
A
29
21
17
Exemplo
D(p) = 20 – 2p
p = 2 passa para p = 3
Outras medidas
Quando não temos utilidade quase-linear, as variações do excedente do consumidor podem não ser tão boas aproximações assim para a variação no bem-estar do consumidor 
Então utilizaremos outras medidas para medir a variação de utilidade sem utilizar o excedente do consumidor.
Duas medidas de variação de bem estar
Variação compensatória na renda:
Dada uma variação em um preço, de quanto a renda do consumidor deve variar para que ele retorne ao seu nível original de bem-estar aos novos preços?
Interpretação: quanto que eu tenho que dar de rendaa mais para um consumidor, depois de uma alteração de preço, para que ele fique do mesmo jeito que estava inicialmente aos novos preços.
Variação compensatória
x1
x2
Restrição orçamentária original
Restrição orçamentária após redução em p1
Restrição orçamentária após compensação na renda
Duas medidas de variação de bem estar
Variação equivalente na renda:
Dada uma variação em um preço, qual seria a variação em sua renda que faria com que, aos preços iniciais, o consumidor tivesse a mesma variação em sua utilidade?
Quanto tenho que pagar para o consumidor ficar na posição final (após alteração de preços) mas aos preços iniciais??
Variação Equivalente
x1
x2
Restrição orçamentária original
Restrição orçamentária após redução em p1
Ajuste de renda que geraria o mesmo ganho que a redução em p1
Exemplo
U(x1, x2) = x11/2 x21/2
Preços iniciais = (p1, p2) = (1,1)
Preços finais = (p1, p2) = (2,1)
M=100 
Preferências quase lineares – um caso particular.
Caso as preferências sejam quase lineares para o bem 1 (neste caso, a quantidade demandada do bem 1 independe da renda), a variação compensatória será igual a de excedente do consumidor que, por sua vez, será igual à variação equivalente.
2
p
VC
2
p
VE