Multiplicadores de Lagrange

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INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIAS E LINGUAGENS
IM420 - MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA II
LISTA DE EXERCÍCIOS 4
Extremos Condicionados de Funções de Várias Variáveis
1) Suponha que U seja uma função utilidade∗ para a qual
U(x, y, z) = xyz
onde x, y e z representam o número de unidades das mercadorias A, B
e C, respectivamente, que são consumidas semanalmente por uma pessoa.
Suponha que R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 4,00 sejam os preços unitários de A, B e
C, respectivamente, e que a despesa semanal para as mercadorias está orçada
em R$ 90,00. Quantas unidades de cada mercadoria deveriam ser compradas
por semana para maximizar o ı́ndice de utilidade∗ do consumidor?
*Função utilidade mede a satisfação em termos de quantidade de
vários bens. Um valor funcional da função utilidade é chamado de ı́ndice
de utilidade e descreve numericamente a preferência de um indiv́ıduo pelos
bens.
2) Use o método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar os
extremos relativos de f sujeitos à restrição indicada. Ache também os pontos
nos quais ocorrem os extremos.
a) f(x, y) = x2 + y com restrição x2 + y2 = 9
b) f(x, y) = 3x2 + 4y2 − xy com restrição 2x + y = 21
3) Uma fábrica manufatura 2 tipos de máquinas para serviço pesado em
quantidades x e y. A função de custo-conjunto é dada por
C(x, y) = x2 + 2y2 − xy
Para minimizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzi-
das se deve haver um total de 8 máquinas?
4) Usando Multiplicadores de Lagrange, determine quais devem ser as
dimensões de uma caixa retangular, sem tampa, com volume de 32 cm3, se
a menor quantidade de material deve ser usada em sua fabricação?
Respostas:
1) O número de unidades das 3 mercadorias que devem ser compradas
por semana é 15, 10 e 7,5. O ı́ndice de utilidade máximo é 1125.
2)
a) f(±
√
35
2 ,
1
2) =
37
4 , máx relativo ; f(0, 3) = 3, mı́nimo relativo; f(0,−3) =
−3, mı́nimo relativo
b) (8.5, 4)
3) Deve produzir 5 máquinas de um tipo e 3 de outro tipo.
4) A caixa deve ter uma base quadrada de 4 cm de lado e profundidade
de 2 cm.