Vamos analisar cada uma das afirmações sobre o polinômio \((x_1 + x_2 + x_3)^5\): 1. I. O coeficiente de \(x_1^2 x_2^2 x_3\) é 30. - Para encontrar o coeficiente de \(x_1^2 x_2^2 x_3\), usamos a fórmula do coeficiente multinomial: \[ \frac{5!}{2!2!1!} = \frac{120}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{120}{4} = 30. \] - Esta afirmação é verdadeira. 2. II. O coeficiente de \(x_1' x_2' x_3'\) é (1,5). - A notação \(x_1', x_2', x_3'\) não é clara, mas se considerarmos que se refere a \(x_1^0 x_2^0 x_3^5\), o coeficiente seria: \[ \frac{5!}{0!0!5!} = 1. \] - Portanto, essa afirmação é falsa. 3. III. O coeficiente de \(x_2^2 x_3^2\) é (0,2,2). - Para encontrar o coeficiente de \(x_2^2 x_3^2\), precisamos de \(x_1^1\) (já que a soma dos expoentes deve ser 5): \[ \frac{5!}{1!2!2!} = \frac{120}{1 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{120}{4} = 30. \] - Portanto, essa afirmação é falsa. 4. IV. O coeficiente de \(x_1^2 x_2 x_3^2\) é 20. - Para encontrar o coeficiente de \(x_1^2 x_2^1 x_3^2\): \[ \frac{5!}{2!1!2!} = \frac{120}{2 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{120}{4} = 30. \] - Portanto, essa afirmação é falsa. Agora, analisando as afirmações: - I é verdadeira. - II é falsa. - III é falsa. - IV é falsa. A única afirmação verdadeira é a I. Portanto, a alternativa correta é: a) I.