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APROFUNDAMENTO: START ! A HORA DO DESAFIO! 
UNIDADE CURRICULAR: COM QUANTAS ESTRATÉGIAS CHEGAMOS A 
UMA SOLUÇÃO? 
 
ATIVIDADE 1 
RITUAIS DE PITÁGORAS 
Prova 1: O objetivo dessa primeira prova é o de preencher as nove seções 
definidas pelos círculos e entre eles cada espaço com um número de 1 a 15, 
sem repetição, algumas seções já foram preenchidas. A soma dos números 
dentro de cada círculo deve ser também igual a um número primo. O total dessas 
somas deve ser o mais alto possível. O grupo que conseguir obter o número 
mais alto vence essa prova. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prova 2: Imagine uma platéia de 36 lugares com dois tipos de pessoas: as que 
usam roupa vermelha e as que usam roupa azul. Quatro de cada tipo devem 
sentar na fila da frente com oito lugares. Os de roupa vermelha preferem sentar 
atrás de um sujeito de roupa vermelha e outro de roupa azul. Os de azul se 
sentem melhor sentando-se atrás de dois de roupa azul ou de dois de roupa 
vermelha. Fora os oito sujeitos da frente, existem 11 de roupa azul e 17 de 
vermelha. Como fica a platéia? 
 
 
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Resposta: 
 
 
Prova 3: Os pitagóricos tinham conceitos estranhos. Por exemplo, eles achavam 
que havia 17 tipos de alimentos proibidos, sendo 17 o mais divino dos números 
primos. Por isso eles imaginaram o seguinte exercício: faça um arranjo 
colocando os três triângulos, um triângulo em cima do outro, de maneira que 
formem 17 polígonos e em cada um deles coloque os números de 1 a 17. Esses 
polígonos são os locais dos alimentos proibidos. Dá para imaginar?
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
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ATIVIDADE 1 - DESENVOLVIMENTO 
1. Num cercado de porcos e galinhas, uma pessoa contou 18 cabeças; a outra, 
50 patas. Quantos são os porcos? 
 
Resolução: 
 
Método de tentativa e erro 
 
Iniciando pelos extremos: 
Porcos Galinhas Patas Análise 
18 0 18 x 4 = 72 Ultrapassa a quantidade de patas. 
0 18 18 x 2 = 36 Quantidade de patas inferior a 50. 
 
O método aleatório de tentativas não é eficiente, pois demanda muito tempo: 
Porcos Galinhas Patas 
3 15 42 
10 8 56 
16 2 68 
12 6 60 
5 13 46 
2 16 70 
7 11 50 
Método Orientado das Tentativas 
Porcos Galinhas Patas Tentativa seguinte 
6 12 48 Acrescentar quantidade de porcos 
8 10 52 Reduzir a quantidade de porcos 
7 11 50 Resolvido 
 
 
Resposta: No cercado há 7 porcos e 11 galinhas. 
 
 
2. A soma de três números pares consecutivos é igual a 78. Determine esses 
números. 
Resolução: 
1º número par: x 
2º número par: x + 2 
3º número par: x + 4 
4 
 
 
x + x + 2 + x + 4 = 78 
3x = 78 – 6 
3x = 72 
x = 
72
3
 
x = 24 
Os números são 24, 26 e 28. 
 
3. Um homem, que pesa 100 quilos, e seus dois filhos, um pesando 40 quilos e 
o outro pesando 60, precisam atravessar um rio. O único barco disponível só 
pode carregar até 100 quilos de cada vez. Como eles poderão chegar à outra 
margem? 
 
Resolução: 
Atravessam primeiro os dois filhos. Um filho f fica e outro volta com a canoa. O 
pai atravessa sozinho e fica. Volta o filho para buscar o irmão. Atravessam os 
dois. 
 
 
4. (ENEM-2009-adaptado) Considere que as médias finais dos alunos de um 
curso foram apresentadas no gráfico a seguir. 
 
 
Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, 
qual foi a porcentagem de alunos aprovados? 
Resolução: 
Total de alunos que obtiveram nota maior ou igual a 6: 36 alunos 
Total de alunos: 50 alunos 
Porcentagem dos alunos aprovados: 
36
50
= 0,72 = 72% 
 
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ATIVIDADE 1 - Sistematização: 
 
1. Em um estacionamento há carros e motos num total de 12 veículos e 40 rodas. 
Qual é a quantidade correta de carros e motos? 
 
Método de tentativa e erro: 
 
Iniciando pelos extremos: 
Carros Motos rodas Análise 
12 0 12 x 4 = 48 Ultrapassa a quantidade de rodas. 
0 12 12 x 2 = 24 Quantidade de rodas inferior a 40. 
 
 
 
O método aleatório de tentativas não é eficiente, pois demanda muito tempo: 
Carros Motos Rodas 
1 11 26 
2 10 28 
3 9 30 
4 8 32 
5 7 34 
6 6 36 
7 5 38 
8 4 40 
 
Resposta: No estacionamento há 8 carros e 4 motos. 
 
Carros = x 
Motos = y 
x+ y = 12 
4x + 2y= 40 
 
Resolvendo o sistema: 
y = 12 – x 
Substituindo na segunda equação: 
4x + 2(12 – x) = 40 
4x + 24 – 2x = 40 
2x = 16 
x = 8 
y= 12- x 
y = 4 
 
6 
 
 
2. A soma de dois números é 37. A diferença entre eles é 9. Quais são esses 
números? 
 
Vamos identificar os números que procuramos como x e y. Vamos supor ainda 
que x > y. Temos então que x + y = 37 e x – y = 9. 
 
Utilizaremos o método da adição, somando as duas equações: 
x + y = 37 
x – y = 9 
2x = 46 
x = 46 
 2 
x = 23 
Substituindo esse valor em alguma das equações, teremos: 
x + y = 37 
y = 37 – x 
y = 37 – 23 
y = 14 
Portanto, os números procurados são 23 e 14. 
 
3. Um pastor pretende atravessar um rio levando um lobo, uma ovelha e a couve, num 
barco onde só cabe ele e mais um item. Pode fazer as viagens que quiser, mas nenhum 
item deve perder, o que pode ser difícil de conseguir, já que, se ele não estiver presente, 
a ovelha come a couve, ou o lobo come a ovelha! Como deve ser feito o transporte de 
todos para a outra margem do rio? 
Reposta: 
1ª viagem: O pastor leva a ovelha. 
2ª viagem: O pastor volta sozinho. 
3ª viagem: O pastor leva o lobo. 
4ª viagem: O pastor volta com a ovelha. 
5ª viagem: O pastor leva a couve. 
6ª viagem: O pastor volta sozinho. 
7ª viagem: O pastor leva a ovelha. 
 
 
4. (ENEM-2013-adaptado) As notas de um professor que participou de um 
processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, 
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são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas 
notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de 
atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do 
professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca 
avaliadora. 
 
Fonte: ENEM_2013 
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e 
a menor notas atribuídas ao professor. Compare as médias obtidas antes e 
depois do novo critério. Em qual situação seria atribuída uma média maior ao 
professor? 
Resolução: 
Calcular a média aritmética de todas as 10 notas dos avaliadores: 
𝑀1 = 
18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 1 + 19 + 14 + 16 + 12
10
 
 
𝑀1 = 
140
10
= 14 
 
Calcular a média descartando a maior e a menor nota: 19 e 1, calculando a média para 
8 notas: 
𝑀1 = 
18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 14 + 16 + 12
8
 
𝑀1 = 
120
8
= 15 
Ao descartar as duas notas, a média do professor terá um ponto a mais do que a média 
considerando todas as notas. Com o novo critério o professor terá uma média maior. 
 
 
8 
 
ATIVIDAE 2 - DESENVOLVIMENTO 
1. Ana tinha uma quantia, gastou 35% e ainda ficou com R$ 97,50. Qual valor 
Ana tinha inicialmente? 
Resolução: 
65% corresponde a R$ 97,50 
100% corresponde a R$ 150,00 
Ana tinha inicialmente R$ 150,00 
 
2. A empresa em que Carlos trabalha atualmente possui 320 funcionários. 30 
funcionários realizam atendimento ao público no horário comercial das 8h às 
17h. Na estrutura da empresa há um setor de produção, com dois grupos de 
funcionários que se revezam em dois horários: diurno das 7h às 16h e noturno 
das 22h às 6h. Carlos sai todos os dias às 7h para trabalhar. Seu horário de 
almoço é das 12h às 13h. Sabendo que os dois grupos que fazem o revezamento 
possuem a mesma quantidade de funcionários, quantos funcionários trabalham 
no período noturno? 
Resolução: 
Total de funcionários: 320 
Atendimento ao público: 30 
Funcionários do revezamento: 
320 - 30 = 190 
 190 ÷ 2 = 85 
Em cada grupo há 85 funcionários para o revezamento da empresa. 
 
3. (OBMEP) Um rei concedeu uma chance a um prisioneiro de ser libertado se 
resolvesse corretamente um problema. O prisioneiro foi levado perante o rei e 
recebeu um pedaço de papel onde se lia: 
Nesse bilhete exatamente uma sentença é falsa.Nesse bilhete exatamente duas sentenças são falsas. 
Nesse bilhete, exatamente três sentenças são falsas. 
Nesse bilhete, exatamente quatro sentenças são falsas. 
 
O rei pergunta então ao prisioneiro: “Quantas sentenças nesse bilhete são 
falsas?” 
Qual deve ser a resposta para que o prisioneiro seja libertado? Qual é a sentença 
verdadeira? 
Justifique sua resposta. 
 
9 
 
Resposta: 
Se mais de uma sentença fosse verdadeira, uma contradiria a outra. 
Temos duas possibilidades: 
• apenas uma sentença é verdadeira; 
ou 
•não há sentença verdadeira nesse bilhete. 
Supondo que todas fossem falsas, a última sentença do bilhete seria verdadeira, 
pois teríamos exatamente quatro sentenças falsas no bilhete. 
Dessa forma há apenas uma sentença verdadeira no bilhete e as outras três são 
falsas. 
A única sentença verdadeira no bilhete é a terceira que afirma: 
Neste bilhete exatamente três sentenças são falsas. 
 
ATIVIDADE 3 – DESENVOLVIMENTO 
Estação 1 - Num acampamento militar, o sargento ordenou ao soldado que ele fosse 
ao poço pegar exatamente quatro litros de água. O sargento entregou ao soldado um 
balde com a capacidade para cinco litros e outro com capacidade para três litros. O 
que o soldado deve fazer para entregar ao sargento os exatos quatro litros de água 
exigidos? 
Resolução: 
Encher o menor balde até a boca. Esvaziar o conteúdo do menor balde no maior. 
Encher novamente o menor balde e jogar seu conteúdo no maior até que este fique 
cheio e o primeiro com apenas 1 litro. Esvaziar o maior balde, jogar o conteúdo do 
menor balde no maior, encher o menor balde e novamente esvaziar o conteúdo do 
menor balde no maior. 
 
Estação 2: Descubra a senha correta do cadeado formada por três dígitos, 
sabendo que: 
682 - um número está correto e bem posicionado. 
614 - um número está correto, mas mal posicionado. 
738 - nada está correto. 
206 - dois números estão corretos, mas mal posicionados. 
780 - um número está correto, mas mal posicionado. 
 
Resolução: Senha: 
0 4 2 
 
 
 
 
10 
 
Analisar cada frase: 
682 – com a afirmação poderá se qualquer um desses números. 
 Com a afirmação 1, o número 2 é correto e está bem posicionado. Vamos colocar 
na posição do código. 
614 – Considerando a frase 1 e a frase 2, elas se contradizem, logo não pode ser o 6, 
vamos pintar de vermelho. A frase, diz um número está correto, mas mal posicionado, 
logo o 1 não pode ser pois ele deveria ser o primeiro ou último, que já descobrimos que 
não. Logo, deve ser o 4, pois está na última posição e mal posicionado, logo deve estar 
na segunda posição. 
738 – Como nada está correto, não pode ser nenhum desses números. Vamos deixar 
em vermelho os números que não servem. 
206 – Pela frase 3, temos que o 2 está mal posicionado, mas já encontramos sua 
posição. O "0" é correto e como está mal posicionado e não pode ser o último, pois já é 
o 2, logo ele deve ficar na primeira posição. 
780 – Como um número está correto e mal posicionado, temos o "0" que não pode estar 
na terceira posição. Vamos pintar de verde o número que serve. 
 
Estação 3: Guilherme tinha uma certa quantia. Foi ao Shopping Center e ao 
entrar na primeira loja gastou a metade da quantia que tinha. Em seguida, foi à 
praça de alimentação e gastou 20 reais. Continuou o seu passeio e entrou em 
outra loja. Nesta segunda loja Guilherme gastou a metade do dinheiro que tinha 
sobrado. Em seguida, ele foi ao boliche e gastou 50 reais. Logo após, Guilherme 
foi a outra loja e gastou a metade do dinheiro que tinha sobrado. Finalmente, 
pagou R$ 8,00 de estacionamento. Neste momento, ele percebeu que ainda 
tinha 35 reais na carteira. Quantos reais Guilherme levou para o Shopping 
Center? 
Resolução: 
Resolver de trás para frente. 
Guilherme no final do problema tinha R$ 35,00. E o que ele fez por último? Pagou R$ 
8,00 de estacionamento. Isto significa que ele estava com 35 + 8 = R$ 43,00. 
Antes de ficar com R$ 43,00, Guilherme tinha ido a uma loja e gastado a metade do 
dinheiro que possuía, ou seja, Guilherme tinha R$ 86,00. 
Antes de ir a esta loja, Guilherme tinha gastado R$ 50,00 no boliche. Isto quer dizer que 
ele tinha R$ 86,00 + R$ 50,00 = R$ 136,00. 
Antes do boliche, ele tinha gastado metade do dinheiro, ou seja, ele tinha 2×136 = 272 
reais. 
Antes desta loja, Guilherme tinha gastado R$ 20,00 na praça de alimentação. Portanto, 
ele tinha 272 + 20 = R$ 292,00. 
E antes da praça de alimentação? Ele tinha gastado a metade do dinheiro na primeira 
loja. Isto significa que ele tinha 2×292 = 584 reais. 
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Estação 4: Este triângulo com círculos é um triângulo mágico. Basta que se 
disponham os números de 1 a 6 nos círculos, para que cada lado some 9. Onde deve 
ficar cada um dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6? 
Resolução: