ESTILOS DE QUESTÕES_SEM RESOLUÇÕES

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Conjuntos 
e suas 
variações 
 
 
 
 
QUESTÕES COM DOIS CONJUNTOS 
 
Exemplo. Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras, 174 alunos estudam 
inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma 
além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao 
estudo de apenas um idioma é: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Fac. Albert Einstein - Medicina 2018) Um grupo de 180 turistas estão hospedados 
em um mesmo hotel no estado de São Paulo. As regiões Norte, Sul e Sudeste são as 
regiões do Brasil que já foram visitadas por pelo menos um desses turistas. Desses 
turistas, 89 já estiveram na Região Sul e 78 já estiveram na Região Norte. Sabendo 
que 33 desses turistas só conhecem a Região Sudeste, o número desses turistas que 
já estiveram nas Regiões Norte e Sul é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES COM TRÊS CONJUNTOS 
 
(UFPA 2016) Em uma turma de cinquenta alunos de Medicina, há dezoito cursando 
Anatomia, quinze cursando Citologia e treze cursando Biofísica. Seis alunos cursam 
simultaneamente Anatomia e Citologia, cinco cursam simultaneamente Citologia e Biofísica 
e quatro cursam simultaneamente Anatomia e Biofísica. Dezesseis alunos não cursam 
nenhuma destas disciplinas. O número de alunos que cursam, simultaneamente, exatamente 
duas disciplinas é: 
A.31 
B. 15 
C. 12 
D. 8 
E. 6 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Através de uma pesquisa sobre a frequência de uso das especialidades de 
ortopedia, dermatologia e pediatria, oferecidas numa dada clínica infantil, constatou-se que: 
15 pacientes já fizeram consulta com a ortopedia e dermatologia, mas nunca utilizaram a 
pediatria; 30 pacientes já fizeram consulta com a ortopedia e a pediatria; 20 pacientes já 
fizeram consulta com a ortopedia, dermatologia e com a pediatria; 265 utilizaram a 
dermatologia; 180 utilizaram apenas a dermatologia; 145 já fizeram consulta com a 
ortopedia. Sabendo que a clínica tem o registro de 605 pacientes, quantos deles utilizaram 
apenas a pediatria? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUANDO É NECESSÁRIO O DIAGRAMA DE VENN PARA TRÊS CONJUNTOS 
 
 
Exemplo. Para melhor planejamento do próximo ano letivo, os gestores do IFPB fizeram um 
levantamento sobre o número de projetos de pesquisa desenvolvidos no campus. Esses 
projetos poderiam ser da área de Exatas, de Humanas ou área Técnica. Dos 240 alunos 
matriculados na instituição, constatou-se que: 40 desenvolveram projetos da área de Exatas 
e da área de Humanas, mas não da área técnica; 30 desenvolveram projetos das três áreas; 
120 construíram projetos da área de Exatas; e 80 construíram projetos da área de Humanas. 
Sabendo que 30 alunos não desenvolveram projetos de pesquisa, o número de alunos que 
desenvolveram projetos apenas da área técnica foi: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
Exemplo. Foi feita uma pesquisa com alguns alunos do curso de Informática do campus 
Campina Grande acerca do domínio de três linguagens de programação e os resultados foram 
os seguintes: 90 dominam HTML; 100 dominam Java; 110 dominam Python; 60 dominam 
HTML e Java; 50 dominam HTML e Python; 40 dominam Java e Python; 30 dominam as 
três linguagens; 20 não dominam qualquer uma das três linguagens. Se um aluno é escolhido 
ao acaso, a probabilidade de que ele domine HTML e não domine Java é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA MATRICIAL E FLUXOGRAMA PARA DUAS VARIÁVEIS 
 
(UECE 2018) Em um grupo de 200 estudantes, 98 são mulheres das quais apenas 
60 não estudam comunicação. Se do total de estudantes do grupo somente 60 
estudam comunicação, o número de homens que não estudam esta disciplina é 
A.60 
B. 80 
C. 85 
D. 75 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UNIRIO 1997) Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do CENSO 
POPULACIONAL 96 em uma cidade, descobriu-se, sobre a população, que: I - 44% têm 
idade superior a 30 anos; II - 68% são homens; III - 37% são homens com mais de 30 
anos; IV - 25% são homens solteiros; V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; 
VI - 45% são indivíduos solteiros; VII 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. 
Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que a porcentagem da população desta 
cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de: 
a.6% 
b.7% 
c.8% 
d.9% 
e.10% 
 
 
CONJUNTOS E PROBABILIDADE 
 
Exemplo. Das trinta pessoas de uma determinada igreja, sabe-se que 18 são homens, 13 
são batizadas e 7 são mulheres que não são batizadas. Uma pessoa foi selecionada ao 
acaso, sabendose que é homem, qual a probabilidade de que ele não seja batizado? 
A 17/30 
B 17/18 
C 5/9 
D 1/3 
E 18/17 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UNESP_2000) Numa cidade com 30000 domicílios, 10000 domicílios recebem 
regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal 
do supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois 
jornais. A probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o jornal 
da loja de eletrodomésticos X e não receber o jornal do supermercado Y é 
A 7/30 
B 10/30 
C 7/15 
D 10/15 
E 21/30 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA MATRICIAL PARA TRÊS VARIÁVEIS 
 
(CP2) Em uma creche com 3232 crianças: 
• 55 crianças moram na Tijuca, vão de ônibus e jantam na creche; 
• 33 crianças moram na Tijuca, vão de ônibus, mas não jantam na creche; 
• 99 crianças não moram na Tijuca, não vão de ônibus e não jantam na creche; 
• 1111 crianças moram na Tijuca e jantam na creche; 
• 1616 crianças moram na Tijuca; 
• 99 crianças vão de ônibus e jantam na creche; 
• 1313 crianças vão de ônibus. 
Quantas crianças jantam na creche? 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Em uma escola, uma pesquisa tinha por objetivo classificar os seus 500 alunos 
etnicamente. Para isso fez uma primeira pesquisa em que classificou os alunos em três 
categorias: feminino ou masculino; olhos claros ou escuros; loiros ou morenos. Sabendo-
se que cada aluno foi incluído nas três categorias, os dados obtidos foram: 60% são do 
sexo feminino; 30% tem olhos claros e 55% são morenos. Além disso o número de alunos 
de olhos escuros e do sexo masculino é igual ao total de alunos de olhos claros, todos os 
alunos do sexo masculino de olhos escuros são morenos ,50% dos alunos do sexo 
masculino de olhos claros são loiros e 25 alunas do sexo feminino tem olhos claros e são 
loiras. Com base nesses dados, assinale a alternativa correta. 
a) o número de alunas do sexo feminino e de olhos claros e menor que o número de alunas do sexo 
feminino morenas. 
b) o número de alunas do sexo feminino e loiras e igual ao número de alunos do sexo masculino. 
c) as alunas do sexo feminino estão igualmente distribuídas nas outras categorias. 
d) não há nenhuma do sexo feminino morena com olhos claros. 
e) o número de alunos do sexo masculino de olhos claros e igual ao número de alunos do sexo 
masculino de olhos escuros e loiros. 
 
 
 
 
QUESTÕES DE CONJUNTOS ENVOLVENDO SISTEMAS 
 
(UEFS) em um grupo de 30 jovens, 2 já assistiram a todos os filmes X, Y e Z, e 10 ainda 
não viram nenhum. Dos 14 que viram Y, 5 também assistiram a X, e 6 também viram Z. 
Ao todo 11 jovens assistiram a XCom base nessas informações, é correto concluir que, 
nesse grupo: 
a) ninguém assistiu apenas a X 
b) ninguém assistiu apenas a Z 
c) alguém assistiu a Z, mas não viu Y 
d) nem todos assistiram a Z viram Y 
e) todos que assistiram a X também viram a Z 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UFBA) Sabe-se que 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 
16 visitaram São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador 
e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus 
ou São Paulo foi: 
 
A) 29 
B) 24 
C) 11 
D) 8 
E) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Progressões 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
TERMO GERALDA PA 
 
(Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para 
iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa 
fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 
80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim 
sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que 
o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da praça. Se a prefeitura pode 
pagar, no máximo, R$ 8 000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a 
colocação desses postes é: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UEG 2016) No primeiro semestre de 2015, a empresa “Aço Firme” fabricou 28.000 chapas 
metálicas em janeiro; em fevereiro sua produção começou a cair como uma progressão 
aritmética decrescente, de forma que em julho a sua produção foi de 8.800 chapas. Nessas 
condições, a produção da empresa nos meses de maio e junho totalizou: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO DE PA ENVOLVENDO CICLOS 
 
(Enem 2014) Uma loja decide premiar seus clientes. Cada cliente receberá um dos seis 
possíveis brindes disponíveis, conforme sua ordem de chegada na loja. Os brindes a serem 
distribuídos são: uma bola, um chaveiro, uma caneta, um refrigerante, um sorvete e um CD, 
nessa ordem. O primeiro cliente da loja recebe uma bola, o segundo recebe um chaveiro, o 
terceiro recebe uma caneta, o quarto um refrigerante, o quinto um sorvete, o sexto um CD, 
o sétimo uma bola, o oitavo um chaveiro, e assim sucessivamente, segundo a ordem dos 
brindes. O milésimo cliente receberá de brinde um(a) 
a. A. Bola 
b. B. Caneta 
c. C. Refrigerante 
d. D. Sorvete 
e. E. CD 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem 2013) O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início 
do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. 
Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados. No ano de 
2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número 
a. 32 
b. 34 
c. 33 
d. 35 
e. 31 
 
 
 
SOMA DOS TERMOS DA PA 
 
(Uerj 2017) Um fisioterapeuta elaborou o seguinte plano de treinos diários para o 
condicionamento de um maratonista que se recupera de uma contusão: - primeiro dia – 
corrida de 6 km; - dias subsequentes - acréscimo de 2 km à corrida de cada dia 
imediatamente anterior. O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 42 km. O 
total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do primeiro ao último dia, em quilômetros, 
corresponde a: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem 2012) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional 
é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. 
A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a 
quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, 
e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de 
cartas que forma o monte é: 
a. 21. 
b. 24. 
c. 26. 
d. 28. 
e. 31. 
 
 
 
 
PA ENVOLVENDO ÁREA 
 
Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular as áreas de vários quadrados 
diferentes, dispostos na sequência, da esquerda para a direita, como mostra a figura. 
 
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo quadrado tem lado 
medindo 2 cm, o terceiro quadrado tem lado medindo 3 cm e assim por diante. O objetivo 
do trabalho é identificar em quanto a área de cada quadrado da sequência excede a área do 
quadrado anterior. A área do quadrado que ocupa a posição n, na sequência foi representada 
por An. Para n ≥ 2, o valor da diferença An – An–1, em centímetro quadrado, é igual a 
A. 2n – 1 
B. 2n + 1 
C. –2n + 1 
D. (n – 1)² 
E. n² – 1 
 
ANOTAÇÕES 
(Ufrgs 2014) Nas malhas de pontos da figura abaixo, dois pontos adjacentes, na horizontal 
ou vertical, encontram-se a distância de 1 centímetro. Considerando a sucessão de 
quadriláteros desenhados em cada etapa da figura, a área do quadrilátero da vigésima etapa, 
em cm2 é: 
 
 
 
 
 
 
QUANDO NÃO SÃO INFORMADOS O an E O n 
 
Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: 
correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para 
contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância 
percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 
km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e 
descartado após esgotar o espaço para reserva de dados. Se esse atleta utilizar o chip desde 
o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a 
quilometragem desse plano de treino diário? 
a. 7 
b. 8 
c. 9 
d. 12 
e. 13 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma campanha entre microempresas, para ajudar o Hospital do Câncer, arrecadou 
R$16,500. A primeira microempresa, a menor entre elas, doou quantia de R$350,00; a 
segunda doou R$50,00 a mais que a primeira, e cada umas das microempresas seguintes 
doou R$50,00 a mais que a anterior. Quantas microempresas participam dessa campanha? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOMATÓRIOS COMPARADOS 
 
Dois irmãos começaram juntos a guardar dinheiro para uma viagem. Um deles guardou R$ 
50,00 por mês e o outro começou com R$ 5,00 no primeiro mês, depois R$ 10,00 no segundo 
mês, R$ 15,00 no terceiro e assim por diante, sempre aumentando R$ 5,00 em relação ao 
mês anterior. Ao final de um certo número de meses, os dois tinham guardado exatamente 
a mesma quantia. Esse número de messes corresponde a 
a) pouco mais de um ano e meio. 
b) pouco menos de um ano e meio. 
c) pouco mais de dois anos. 
d) pouco menos de um ano. 
e) exatamente um ano e dois meses. 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
João e Maria iniciam juntos uma corrida, partindo de um mesmo ponto. João corre 
uniformemente 8km por hora e Maria corre 6km na primeira hora e acelera o passo de modo 
a correr mais 1/2 km cada hora que se segue. Assinale a alternativa correspondente ao 
número de horas corridas para que Maria alcance João. 
A) 3 
B) 5 
C) 9 
D) 10 
E) 11 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAÇÃO ESPECIAL (x-r, x, x+r) 
 
Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética crescente. Mostre 
que os lados são proporcionais a 3, 4 e 5. 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Determine as medidas dos ângulos internos de um triângulo, sabendo que elas formam uma 
progressão aritmética e que a diferença entre medidas do maior e do menor é igual a 40º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA 
 
Tendo em vista o número de acidentes ocorridos numa determinada rodovia federal, o DNIT 
instalou radares (medidores de velocidade) ao longo da via. Percorrendo a rodovia no 
sentido crescente das marcas quilométricas, percebe-se o primeiro radar no quilômetro 30. 
A partir daí, um radar a cada 25 km. Quantos radares existem até o quilômetro 300 dessa 
rodovia? 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Mané das Contas decidiu rifar o seu smartphone entre seus amigos e familiares para poder 
angariar fundos para uma viagem de intercâmbio. Para tanto, numerou os cupons somente 
com números múltiplos de 3, de a 99. Cada participante sorteava um dos cupons e, conforme 
o número sorteado, pagava o seu valor em reais, por exemplo, quem retirou o cupom com o 
número 21, pagou R$ 21,00, e no dia do sorteio concorria com o mesmo número que estava 
no cupom. Sabendo que ele vendeu todos os cupons, com exceção de um deles que foi dado 
a sua mãe, o valor arrecadado por Mané foi no máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA 
 
Exemplo. Quantos múltiplos de 4 existem entre 101 e 401? 
 
 
 
Exemplo. Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o 
sexto termo da PA?ANOTAÇÕES 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
TERMO GERAL DA PG 
 
(Unicamp 2018) Dois anos atrás certo carro valia R$ 50.000,00 e atualmente vale R$ 
32.000,00. Supondo que o valor do carro decresça a uma taxa anual constante, daqui a um 
ano o valor do carro será igual a 
a. R$ 25.600,00. 
b. R$ 24.400,00. 
c. R$ 23.000,00. 
d. R$ 18.000,00. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Com a popularização das redes sociais, para um vídeo tornar-se notável ou “viral” em 
poucas horas, bastam alguns milhares de compartilhamentos. Supondo que um vídeo tenha 
sido lançado na internet, e na primeira hora tenha 3.000 compartilhamentos, em 3 horas 
12.000, e em 5 horas 48.000 compartilhamentos, em 10 horas o número de 
compartilhamentos será de: 
a) 3.072.000 
b) 1.536.000 
c) 104.250 
d) 1.425.000 
 
 
 
 
QUESTÕES COM FRACTAIS 
 
(Uma maneira muito útil de se criar belas figuras decorativas 
utilizando a matemática é pelo processo de autossemelhança, uma 
forma de se criar fractais. Informalmente, dizemos que uma figura é 
autossemelhante se partes dessa figura são semelhantes à figura vista 
como um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, criado 
por um processo recursivo, descrito a seguir: 
• Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados 
idênticos (Figura 1). Inicia- se o processo removendo o quadrado 
central, restando 8 quadrados pretos (Figura 2). 
• Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, 
ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-
se o quadrado central de cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3). 
• Passo 3: Repete-se o passo 2. Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se 
cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central 
de cada um deles. O número de quadrados pretos restantes nesse momento é 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(G1 - ifpe 2017) Lopes é aluno do curso de Artes Visuais do campus Olinda e, entre uma aula 
e outra, gosta de desenhar ladrilhos triangulares conforme a figura. 
Seguindo o padrão, quantos 
triângulos pretos Lopes 
desenhará no ladrilho de 
número 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERPOLAÇÃO DE MEIOS GEOMÉTRICOS 
 
(PUC) Para interpolar 3 meios geométricos entre 6 e 4374, a razão deve ser? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Quantos meios geométricos devemos interpolar entre 2/3 e 32/243 
para obtermos uma PG de razão √6/3? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMERO DE ETAPAS (“n”) 
 
(Uespi 2012) Em outubro de 2011, o preço do dólar aumentou 18%. Se admitirmos o mesmo 
aumento, mensal e cumulativo, nos meses subsequentes, em quantos meses, a partir de 
outubro, o preço do dólar ficará multiplicado por doze? Dado: use a aproximação 12 1,1815 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Considere o seguinte procedimento: na primeira etapa, pegue uma folha de papel e corte-a 
ao meio, colocando os dois pedaços um sobre o outro. Em uma próxima etapa, corte 
novamente os papéis ao meio e coloque os pedaços um sobre o outro formando uma pilha 
de papéis. Continue fazendo isso em cada etapa: sempre cortando todos os pedaços de papel 
da etapa anterior ao meio e formando uma nova pilha com todos os pedaços. Se fosse 
possível realizar o que foi exposto, em quantas etapas, no mínimo, poderíamos formar uma 
pilha de papel com cerca de 200 m de altura? (Considere que 100 folhas empilhadas têm 1 
cm de altura e que podemos fazer a aproximação 210 = 1024 ≈ 103). 
(a) 21 etapas 
(b) 201 etapas 
(c) 2001 etapas 
(d) infinitas etapas 
 
 
 
 
 
 
 
 
RETIRADAS SUCESSIVAS E MISTURAS 
 
Um químico está tentando produzir um detergente econômico, utilizando sabão concentrado 
líquido e água. Ele tem 12 litros de sabão concentrado líquido, e retira 4 litros desse volume 
e os substitui por água. Em seguida, retira 4 litros da mistura obtida e os substitui por água 
novamente. Efetuando essa operação por 6 vezes consecutivas, quantos litros de sabão 
concentrado líquido, aproximadamente, sobraram na mistura? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um garrafão contém 3 litros de vinho. Retira-se um litro de vinho do garrafão e acrescenta-
se um litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea. Retira-se, a seguir, um litro da 
mistura e acrescenta-se um litro de água, e assim por diante. A quantidade de vinho, em 
litros, que resta no garrafão, após 5 dessas operações, é aproximadamente igual a 
a)0,396 
b)0,521 
c)0,676 
d)0,693 
e)0,724 
 
 
 
 
 
 
NOTAÇÃO ESPECIAL 
 
Três números estão em progressão geométrica de forma que o produto deles é 729 e a soma 
dos dois últimos termos é 36. Determine esses termos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm 
comprimentos a, b, c e d. Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão 
q > 1, então tan θ é igual a 
 
a. 1/q. 
b q. 
c q2. 
d. 
 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA 
 
(IFPE 2018) Dudu quer se tornar um youtuber famoso, mas, em seu primeiro vídeo, ele 
obteve apenas 5 inscritos em seu canal. Obstinado que é, Dudu pretende, a cada novo vídeo, 
dobrar a quantidade de inscritos em seu canal. Se no primeiro mês ele postar 10 vídeos e 
conseguir atingir a meta estabelecida, ao fim deste mês, seu canal terá 
a. 1.024 inscritos. 
b. 5.120 inscritos. 
c. 5.115 inscritos. 
d. 1.023 inscritos. 
e. 310 inscritos. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas. 
Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir 
na compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, 
no primeiro dia de cada mês, R$600,00 em uma aplicação financeira que rende juros 
compostos de 0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de 
n meses é: 
a 100.600[(1,006)n-1] 
b 100.000[(1,06)n-1] 
c 10.600[(1,006)n-1] 
d 100.600[(1,06)n-1] 
e 100.000[(1,006)n-1] 
 
 
 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA 
 
Considere a área de uma folha de papel A4, com 297mm de comprimento e 210mm de 
largura. Dobrando ao meio a folha de papel por sucessivas vezes, são formados retângulos 
cada vez menores. A tabela a seguir relaciona as medidas e a área dos retângulo obtidos a 
cada dobragem. 
 
Considerando os dados da tabela referentes a área do retângulo obtido a cada dobragem, 
observamos que essas medidas formam uma progressão geométrica. Realizando o processo 
de dobragem infinitas vezes, o valor da soma das áreas dos sucessivos retângulos formados 
a cada dobragem é: 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais 
semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição 
indefinida de um padrão. A figura abaixo segue esse princípio. Para construí-la, inicia-se 
com uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter a segunda linha, uma faixa 
de comprimento m é dividida em três partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. 
Procede-se de maneira análoga para a obtenção das demais linhas, conforme indicado na 
figura. Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento for efetuado 
infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de todas as faixas é 
 
 
 
PRODUTOS DOS TERMOS DE UMA PG 
 
Determine a quantidade de algarismos do número correspondente ao 
produtos dos 10 primeiros termos de uma progressão geométrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
Divisibilidade 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS ENVOLVENDO MMC 
 
(CMRJ 2018) Os povos indígenas têm uma forte relação com a natureza. Suponha que a tribo 
indígena Kayapó Gorotire, do Norte do Brasil, celebre o Ritual do Sol de 20 em 20 dias, o Ritual 
da Chuva de 66 em 66 dias,e o Ritual da Terra de 30 em 30 dias. Se os três rituais acontecerem 
hoje, 10 de setembro de 2017, que é um domingo, o próximo dia da semana em que os três 
rituais serão celebrados juntos novamente será 
a. Sábado. 
b. Terça-feira. 
c. Quarta-feira. 
d. Quinta-feira. 
e. Sexta-feira. 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Upe 2017) Rodrigo estava observando o pisca-pisca do enfeite natalino de sua casa. Ele é 
composto por lâmpadas nas cores amarelo, azul, verde e vermelho. Rodrigo notou que lâmpadas 
amarelas acendem a cada 45 segundos, as lâmpadas verdes, a cada 60 segundos, as azuis, a cada 
27 segundos, e as vermelhas só acendem quando as lâmpadas das outras cores estão acesas ao 
mesmo tempo. De quantos em quantos minutos, as lâmpadas vermelhas acendem? 
a. 6 
b. 9 
c. 12 
d. 15 
e. 18 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS ENVOLVENDO MDC 
 
(Ifba 2018) O Supermercado “Preço Baixo” deseja fazer uma doação ao Orfanato “Me Adote” 
e dispõe, para esta ação, 528 kg de açúcar, 240 kg de feijão e 2.016 kg de arroz. Serão montados 
Kits contendo, cada um, as mesmas quantidades de açúcar, de feijão e de arroz. Quantos quilos 
de açúcar deve haver em cada um dos kits, se forem arrumados de forma a contemplar um 
número máximo para cada item? 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem 2015) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este 
ano, serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão 
noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há 
alguns critérios para a distribuição dos ingressos: 
1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 
2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos). 
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios 
estabelecidos, é: 
a. 2. 
b. 4. 
c. 9. 
d. 40. 
e. 80. 
 
 
 
 
 
 
DIVISORES COMUNS (SEM SER MDC) 
 
Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide 
reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 
cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que 
cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as 
novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. 
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir 
105 peças. 
120 peças. 
210 peças. 
243 peças. 
420 peças. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 432 laranjas e 504 maçãs entre várias famílias de um 
bairro carente. A exigência do feirante é que a distribuição seja feita de modo que cada família 
receba o mesmo e o menor número possível de frutas de uma mesma espécie. A quantidade total 
de frutas recebidas por cada família representa um número: 
a) divisível por 9 
b) múltiplo de 7 
c) múltiplo de 12 
d) entre 40 e 50 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA ENVOLVENDO QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM 
NÚMERO NATURAL 
Exemplo. Daniele quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de 
mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados 2 m e 5 m. Os lados das 
lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. 
Determine o número de possibilidades de tamanhos das lajotas que podem ser colocadas: 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Uma fábrica de tubos de PVC irá lançar um produto no mercado. Em reunião, os 
gestores discutiram as delimitações da sua produção. Foi definido que a metragem máxima do 
tubo inteiriço seja de 18 metros, devido às restrições das máquinas. A gerência concordou, 
também, que cada produto poderá ser fracionado em partes iguais e que os tamanhos serão os 
divisores da medida máxima, em centímetros, do tubo. A quantidade máxima de medidas dos 
tubos que essa fábrica produzirá é de 
A. 6. 
B. 12. 
C. 18. 
D. 30. 
E. 36. 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES DE PERIODICIDADE 
 
Um garoto está construindo uma sequência de polígonos formados por oito palitos de fósforo 
cada um. Sabendo que ele dispõe de 225 palitos, ao formar a maior quantidade possível desses 
polígonos, o número de palitos restantes será igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano, que, por sua vez, tinha como 
base as fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro 
possuem 31 dias, e os demais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de 
certo ano ocorreu em uma terça-feira. Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de 
outubro? 
A Domingo. 
B Segunda-feira. 
C Terça-feira. 
D Quinta-feira. 
E Sexta-feira. 
 
 
 
 
 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
Os critérios de divisibilidade fazem parte da Aritmética elementar e são regras simples que 
permitem verificar se um número é divisível pelo outro. Podemos destacar neste campo, os 
trabalhos de Étienne Bézout, matemático francês que viveu no século XVIII. Para que o número 
5A38B seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 10, os valores de A e de B são 
respectivamente : 
a: 3 e 0 
b:0 e 5 
c: 2 e 0 
d:1 e 2 
e: 1 e 0 
 
 
ANOTAÇÕES 
Verifique se o número 152 489 476 250 é divisível por 6. 
 
 
 
 
 
O número 678 426 258 132 é divisível por 9? 
 
 
 
 
 
(EsPCEx) No número 34n27, qual é o algarismo que substitui n para que ele seja divisível 
por 9? 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENVOLVENDO EQUAÇÕES 
 
Uma pessoa tem uma coleção de papéis de carta e deseja guardá-la em um álbum. Ela vai,então, 
a uma papelaria para comprar um álbum, e lhe são apresentadas duas opções: um álbum A, que 
organiza os papéis em grupo de 15, e o álbum B, um pouco maior, que organiza os papéis em 
grupos de 18. Essa pessoa percebeu que se guardasse os papéis no álbum A, sobraria um grupo 
incompleto com 7 papéis de carta, ao passo que se fossem guardados no álbum B, seriam 
formados 5 grupos a menos, mas, mesmo assim. ainda sobrariam 4 papeis de carta. O número 
de papeis de carta que essa pessoa possui pertence ao seguinte intervalo: 
a) [350,400[ 
b) [400,450[ 
c) [450,500[ 
d) [500,550[ 
e) [500,600[ 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Na tabela abaixo, estão indicadas três possibilidades de arrumar n cadernos em pacotes: 
 
 
Se n é menor do que 1200, a soma dos algarismos do maior valor de n é: 
(A) 12 
(B) 17 
(C) 21 
(D) 26 
 
 
 
 
 
 
OUTROS ESTILOS 
 
O número de degraus de uma escada é um múltiplo de sete, compreendido entre 40 e 100. Se 
ao subirmos essa escada, de dois em dois degraus, falta um degrau para atingir o topo da escada 
e ao subirmos de três em três degraus faltam dois degraus , podemos afir mar corretamente que 
o número de degraus da escada é 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma equipe de professores corrigiu, em três dias de correção de um vestibular, números de 
redações iguais a 702, 728 e 585. Em cada dia as redações form igualmente divididas entre os 
professores. O número de professores na equipe é um divisor de 
a) 52 
b) 54 
c) 60 
d) 68 
e) 77 
 
 
 
 
 
 
 
 
Razão e 
proporção 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAZÃO 
(Enem 2016) No tanque de um certo carro de passeio cabem até 50 L de 
combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada é de 15 km/L de 
combustível. Ao sair para uma viagem de 600 km o motorista observou que 
o marcador de combustível estava exatamente sobre uma das marcas da 
escala divisória do medidor, conforme figura a seguir. Como o motorista 
conhece o percurso, sabe que existem, até a chegada a seu destino, cinco postos de 
abastecimento de combustível, localizados a 150 km, 187 km, 450 km, 500 km e 570 km do 
ponto de partida. Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorreraté ser 
necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem combustível na estrada? 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Em uma noite, a razão entre o número de pessoas que estavam jantando em um restaurante e o 
número de garçons que as atendiam era de 30 para 1. Em seguida, chegaram mais 50 clientes, 
mais 5 garçons iniciaram o atendimento e a razão entre o número de clientes e o número de 
garçons ficou em 25 para 1. O número inicial de clientes no restaurante era: 
a)250 
b)300 
c)350 
d)400 
e)450 
 
 
CONSTRUINDO EXPRESSÕES 
(ENEM 2013) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e 
taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa 
(ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que o “cubo da área S da 
superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. Isso é equivalente a 
dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da 
expressão: 
a. S = k . M 
b. S = k . M1/3 
c. S = k1/3 . M1/3 
d. S = k1/3 . M2/3 
e. S = k1/3 . M 
 
ANOTAÇÕES 
Em mecânica clássica um campo gravitacional gerado por um corpo de massa m em um ponto 
a uma distância d>0 do corpo é diretamente proporcional a m e inversamente proporcional ao 
quadrado de d. Seja G=f(d) a função que descreve a norma G de um campo gravitacional, 
gerado por um corpo de massa constante m em um ponto uma distância d>0 desse corpo. É 
correto afirmar que f(2d) é igual a: 
a)f(d)/2 
b)f(d)/4 
c)f(d) 
d)2f(d) 
e4f(d) 
 
 
 
 
 
ENCONTRANDO A CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE 
Em um jogo on-line, cada jogador procura subir de nível e aumentar sua experiência, que são dois 
parâmetros importantes no jogo, dos quais dependem as forças de defesa e de ataque do participante. A 
força de defesa de cada jogador é diretamente proporcional ao seu nível e ao quadrado de sua experiência, 
enquanto sua força de ataque é diretamente proporcional à sua experiência e ao quadrado do seu nível. 
Nenhum jogador sabe o nível ou a experiência dos demais. Os jogadores iniciam o jogo no nível 1 com 
experiência 1 e possuem força de ataque 2 e de defesa 1. Nesse jogo, cada participante se movimenta em 
uma cidade em busca de tesouros para aumentar sua experiência. Quando dois deles se encontram, um 
deles pode desafiar o outro para um confronto, sendo o desafiante considerado o atacante. Compara-se 
então a força de ataque do desafiante com a força de defesa do desafiado e vence o confronto ao confronto 
aquele cuja força for maior. O vencedor do desafio aumenta seu nível em uma unidade. Caso haja empate 
no confronto, ambos os jogadores aumentam seus níveis em uma unidade. Durante um jogo, o jogador 
J1 de nível 4 e experiência 5, irá atacar o jogador J2, de nível 2 e experiência 6. O jogador J1, venceu esse 
confronto porque a diferença entre sua força de ataque e a força de defesa de seu oponente era 
A. 112. 
B. 88. 
C. 60. 
D. 28. 
E. 24. 
ANOTAÇÕES 
Uma fábrica vende pizzas congeladas de tamanhos médio e grande, cujos diâmetros são 
respectivamente 30 cm e 40 cm. Fabricam-se apenas pizzas de sabor muçarela. Sabe-se que o 
custo com os ingredientes para a preparação é diretamente proporcional ao quadrado do 
diâmetro da pizza, e que na de tamanho médio esse custo é R$ 1,80. Além disso, todas possuem 
um custo fixo de R$3,00, referente às demais despesas da fábrica. Sabe-se ainda que a fábrica 
deseja lucrar R$ 2,50 em cada pizza grande. Qual é o preço que a fábrica deve cobrar pela pizza 
grande, a fim de obter o lucro desejado? 
a. R$ 5,70 
b. R$ 6,20 
c. R$ 7,30 
d. R$ 7,90 
e. R$ 8,70 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES – DIRETAMENTE PROPORCIONAL 
(Enem (Libras) 2017) Uma padaria fabrica biscoitos que são embalados em pacotes com dez 
unidades, e cada pacote pesa 85 gramas. Na informação ao consumidor lê-se: "A cada 15 gramas 
do biscoito correspondem 90 quilocalorias". Quantas quilocalorias tem um desses biscoitos? 
A. 6 
B. 14 
C. 51 
D. 60 
E. 510 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e 
utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por 
descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados 
da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água 
obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros 
por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? 
a. 24 litros 
b. 36 litros 
c. 40 litros 
d. 42 litros 
e. 50 litros 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES – INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
Exemplo. Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros 
para fazer a mesma casa? 
 
 
 
 
Exemplo. Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários 
construiriam essa casa? 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Um grupo de amigos acampou nas margens de um rio, tendo levado mantimentos 
suficientes para 20 dias de pescaria. Passados quatro dias, três outras pessoas se juntaram ao 
grupo. Segundo cálculos feitos pelos líderes do grupo, com o novo número de pessoas, seria 
necessário reduzir a duração da pescaria em exatos dois dias em relação à previsão inicial, caso 
contrário, os mantimentos restantes não seriam suficientes. Com base nesses dados, e 
considerando-se que o consumo diário de mantimentos por pessoa seja constante, o número de 
pessoas que compunha o grupo inicial era 
A. 7. 
B. 10. 
C. 15. 
D. 21. 
E. 30 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
(Enem PPL 2017) Uma indústria tem um setor totalmente automatizado. São quatro máquinas 
iguais, que trabalham simultânea e ininterruptamente durante uma jornada de 6 horas. Após esse 
período, as máquinas são desligadas por 30 minutos para manutenção. Se alguma máquina 
precisar de mais manutenção, ficará parada até a próxima manutenção. Certo dia, era necessário 
que as quatro máquinas produzissem um total de 9.000 itens. O trabalho começou a ser feito 
às 8 horas. Durante uma jornada de 6 horas, produziram 600 itens, mas na manutenção 
observou-se que uma máquina precisava ficar parada. Quando o serviço foi finalizado, as três 
máquinas que continuaram operando passaram por uma nova manutenção, chamada de 
manutenção de esgotamento. Em que horário começou a manutenção de esgotamento? 
a. 16h 45 min 
b. 18h 30 min 
c. 19h 50 min 
d. 21h 15 min 
e. 22h 30 min 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem PPL 2015) Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de 
5.400 camisetas por dia, com uma jornada de trabalho diária dos funcionários de 6 horas. 
Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma nova campanha de marketing, o 
número de encomendas cresceu de forma acentuada, aumentando a demanda diária para 21.600 
camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de 
funcionários para 96. Ainda assim, a carga horária de trabalho necessita ser ajustada. Qual deve 
ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a 
demanda? 
a. 1 hora e 30 minutos. 
b. 2 horas e 15 minutos. 
c. 9 horas. 
d. 16 horas. 
e. 24 horas. 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA – QUANDO HOUVER EFICIÊNCIAS DIFERENTES 
 
Exemplo. Uma empresa K, que tem 48 funcionários contratados, com carga diária de 9 
horas, comprometeu- se a entregar uma obra em 150 dias de trabalho. A empresa D 
contava com 15 funcionários, que, trabalhando 8 horas por dia, era duas vezes mais 
eficiente do que as da empresa K. Para não extrapolar os gastos previstos, a empresa 
D foi contratada. O tempo, em dias, a mais que a empresa D gastou para concluir a 
obra foi de: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAL 
 
 
(ENEM 2020) Antônio, Joaquim e José são sócios de uma empresa cujo capital é dividido, 
entreos três, em partes proporcionais a: 4, 6 e 6 respectivamente. Com a intenção de igualar a 
participação dos três sócios no capital da empresa, Antônio pretende adquirir uma fração do 
capital de cada um dos outros sócios. A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá 
adquirir é? 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(PUCCAMP 2001) Certa empresa paga parcialmente um plano de saúde para seus 
funcionários. Ela contribui com uma quantia que é diretamente proporcional ao tempo de 
serviço do funcionário e inversamente proporcional a seu salário. Se, para um funcionário que 
trabalha há 10 anos e recebe R$ 1.200,00 de salário a empresa contribui com R$ 50,00, qual 
será a contribuição no caso de um funcionário cujo salário é de R$ 960,00 e tem 8 anos de 
serviço na empresa? 
a. R$ 48,00 
b. R$ 50,00 
c. R$ 64,00 
d. R$ 72,00 
e. R$ 80,00 
 
 
 
 
 
 
DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
 
(Unesp 2011) Os professores de matemática e educação física de uma escola organizaram um 
campeonato de damas entre os alunos. Pelas regras do campeonato, cada colocação admitia 
apenas um ocupante. Para premiar os três primeiros colocados, a direção da escola comprou 310 
chocolates, que foram divididos entre os 1.º, 2.º e 3.º colocados no campeonato, em quantidades 
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, respectivamente. As quantidades de 
chocolates recebidas pelos alunos premiados, em ordem crescente de colocação no 
campeonato, foram: 
a. 155, 93 e 62. 
b. 155, 95 e 60. 
c. 150, 100 e 60. 
d. 150, 103 e 57. 
e. 150, 105 e 55. 
 
ANOTAÇÕES 
(PUCCAMP 2000) Uma mina d'água localiza-se na divisa de dois sítios. Os dois proprietários, 
Sr. Edson e Sr. José, resolveram construir, na saída da mina, uma caixa de água coberta e vão 
dividir as despesas entre si, em partes inversamente proporcionais às distâncias de suas casas 
em relação à mina. Se as despesas totalizarem R$ 5.600,00 e se as casas do Sr. Edson e do Sr. 
José distam, respectivamente, 5 km e 3 km da mina, então a parte da despesa que caberá ao Sr. 
Edson é 
a. R$ 1.900,00 
b. R$ 2.100,00 
c. R$ 2.200,00 
d. R$ 3.100,00 
e. R$ 3.500,00 
 
 
DIVISÃO DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
Exemplo: Certo mês, o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionários uma 
gratificação no valor de R$ 500,00. Essa gratificação foi dividida entre eles em partes que eram 
diretamente proporcionais aos respectivos números de horas de plantões que cumpriram no mês, 
e ao mesmo tempo, inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se um dos 
funcionários tem 36 anos e cumpriu 24h de plantões e, outro, de 45 anos cumpriu 18h, coube 
ao mais jovem receber: 
a) 302,50 
b) 310,00 
c) 312,50 
d) 325,00 
e) 342,50 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo: Gisele, Mônica e Roberta fazem parte de uma sociedade, conforme o quadro a seguir: 
Sócia Número de 
Assessores 
Participação no 
Capital da Sociedade 
Gisele 1 25% 
Mônica 2 35% 
Roberta 3 40% 
Um lucro de R$ 67.000,00 foi dividido entre as sócias, de forma diretamente proporcional à 
participação no capital da sociedade e inversamente proporcional ao número de assessores. 
Dessa forma, Roberta recebeu: 
a) R$ 16.000,00 
b) R$ 21.000,00 
c) R$ 26.000,00 
d) R$ 28.000,00 
e) R$ 30.000,00 
 
 
REGRA DE SOCIEDADE 
 
(PUCRJ 2015) Os sócios de uma empresa decidem dividir o lucro de um determinado 
período, pelos seus três gerentes, de modo que cada um receba uma parte diretamente 
proporcional ao seu tempo de serviço. Sabendo que o lucro que será dividido é de 
R$18.500,00 e que o tempo de serviço de cada um deles é, respectivamente 5, 7 e 8 
anos, podemos afirmar que o mais antigo na empresa receberá 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Adão, Beto e Caio uniram-se em um investimento e combinaram que, em janeiro de 
cada ano, repartiriam o lucro obtido em partes diretamente proporcionais ao tempo de 
investimento e ao valor investido. Adão investiu R$10.000,00 há nove meses; Beto, 
R$15.000,00 há oito meses, e Caio, R$12.000,00 há cinco meses. Se o lucro a ser 
repartido é de R$54.000,00, o maior recebimento será de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCALAS – QUESTÕES DIRETAS 
 
Um aluno do curso de mecânica, do IFPE, recebeu o desenho de uma peça, fez as 
devidas medicações e, a partir de sua escala, fabricou a peça. Se a largura da peça no 
desenho tinha 1, 5mm e a largura da peça já fabricada tinha 45 cm, qual a escala do 
desenho? 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(ENEM 2020) Uma associação desportiva contratou uma empresa especializada para 
construir um campo de futebol, em formato retangular, com 250 metros de perímetro. 
Foi elaborada uma planta para esse campo na escala 1:2000. Na planta, a medida do 
perímetro do campo de futebol, em metro, é 
a. 0,0005. 
b. 0,125. 
c. 8. 
d. 250. 
e. 500 000. 
 
 
 
 
ESCALAS – AMPLIAÇÃO DE ÁREAS 
(Enem 2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é 
visto em diferentes escalas. Há interesse em estimar o número de vezes que foi 
ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é: 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Sabe-se que em um mapa a cidade de Teixeira está representada numa escala 1:84000 
e em outro mapa, ele está representado na escala 1:60000. Há interesse em estimar a 
porcentagem que foi ampliada a área correspondente à referida cidade. Essa 
porcentagem é aproximadamente: 
a. 14% 
b. 40% 
c. 66% 
d. 80% 
e. 96% 
 
 
 
ESCALAS – COMPARAÇÃO DE ESCALAS 
 
Augusto contratou um desenhista para da fazer uma caricatura. Para tanto, ele enviou 
uma foto na escala 1:10. Para visualizar melhor detalhes do rosto de Augusto, o 
desenhista solicitou que ele enviasse a mesma foto ampliada 2,5 vezes. A nova foto 
enviada por Augusto estará na escala: 
a. 1:4 
b. 1:2 
c. 1:40 
d. 1:20 
e. 1:10000 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um escalímetro apresenta as escalas 1:20, 1:25, 1:50, 1:75, 1:100 e 1:125. Dentre elas, 
se um arquiteto quiser confeccionar a planta de um apartamento com maior riqueza de 
detalhes, ele deverá escolher qual escala? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCALAS E VOLUMES 
 
 
(ENEM 2020) A caixa-d’água de um edifício terá a forma de um paralelepípedo retângulo reto 
com volume igual a 28 080 litros. Em uma maquete que representa o edifício, a caixa d’água 
tem dimensões 2 cm x 3,51 cm x 4 cm. Dado: 1 dm3 = 1 LA escala usada pelo arquiteto foi 
a. 1 : 10 
b. 1 : 100 
c. 1 : 1 000 
d. 1 : 10 000 
e. 1 : 100 000 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
(ENEM 2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento 
construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1:100, foi 
disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que 
deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 
3cm, 1cm e 2cm. O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será 
a. 6 
b. 600 
c. 6.000 
d. 60.000 
e. 6.000.000 
 
 
 
 
 
ESCALAS TEMPORAIS 
 
Em abril de 2009, o observatório espacial americano Swift captou um feixe de raios gama 
proveniente de uma explosão no espaço. Cientistas italianos e ingleses 
apresentaram conclusões de que as luzes captadas provêm do colapso de uma estrela ocorrido 
há 13 bilhões de anos, apenas 630 milhões de anos após o Big Bang, 
expansão súbita que originou o Universo. Batizada de GRB 090423, a estrela é o objeto celeste 
mais antigo já observado pelo homem. Suponha uma escala de 0 h a 24 h e considere que o Big 
Bang ocorreu exatamente à 0 h. Desse modo, a explosão da estrela GRB 090423 teria ocorrido 
à(s) 
A 1,10 h. 
B 1,16 h. 
C 1,22 h. 
D 1,4 h. 
E 2,01 h. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(ENEM/ 2009) Os calendários usados pelos diferentes povos da Terra são muito variados. O 
Calendário Islâmico, por exemplo, é lunar, e nele cada mês tem sincronia com a fase da lua. O 
Calendário maia segue o ciclo de Vênus, com cerca de 584 dias, e cada 5ciclos de Vênus 
corresponde a 8 anos de 365 dias da terra. Quantos ciclos teria, em Vênus, um período terrestre 
de 48 anos? 
a. 384 ciclos 
b. 40 ciclos 
c. 73 ciclos 
d. 30 ciclos 
e. 240 ciclos 
 
 
 
TRABALHO HARMÔNICO – DUAS TORNEIRAS 
(UFG 2007) Para encher um recipiente de 5 litros, uma torneira gasta 12 segundos. 
Uma segunda torneira gasta 18 segundos para encher o mesmo recipiente. Nestas 
condições, para encher um tanque de 1000 litros, usando as duas torneiras ao mesmo 
tempo, serão necessários: 
a. 20 minutos. 
b. 24 minutos. 
c. 33 minutos. 
d. 50 minutos. 
e. 83 minutos. 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um tanque possui duas torneiras, sendo uma de entrada que enche em 5h e outra 
de saída que o esvazia em 7h, supondo que o tanque esteja totalmente vazio e que as 
torneiras sejam abertas ao mesmo tempo às 15h então ele ficara cheio as: 
 
a.8h30mim 
b.8h50mim 
c.20h30mim 
d.20h50mim 
 
 
 
 
 
TRABALHO HARMÔNICO – TRÊS TORNEIRAS 
(UECE 2010) Três torneiras X, Y e Z, abertas simultaneamente, enchem um tanque 
em três horas. Cada uma das torneiras tem vazão constante e, sozinhas, encheriam o 
tanque em x horas, 8 horas e 6 horas, respectivamente. Nestas condições, o valor de x 
será 
a. 18. 
b. 20. 
c. 22. 
d. 24 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Três torneiras enchem um tanque: a primeira em 15 horas; a segunda em 20 
horas; e a terceira em 30 horas. Há um escoadouro que pode esvaziar o tanque em 40 
horas. Estando as três torneiras e o escoadouro a funcionar, calcule em quantas horas 
o tanque poderá ficar cheio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO HARMÔNICO - ENCHENDO E ESVAZIANDO 
(UNIFOR 2014) Uma torneira T1 enche um tanque de volume V em 6 horas. A 
torneira T2 enche o mesmo tanque em 8 horas, e a torneira esvazia esse mesmo tanque 
em 4 horas. Se o tanque está vazio e todas as torneiras foram abertas ao mesmo tempo, 
o percentual do volume do tanque em 6 horas é de: 
a. 25% 
b. 30% 
c. 45% 
d. 60% 
e. 65% 
 
ANOTAÇÕES 
(CFTMG 2011) Um tanque possui duas torneiras, sendo uma de entrada, que o enche 
em 5 horas, e outra de saída, que o esvazia em 7 horas. Supondo que esse tanque esteja 
totalmente vazio e que as torneiras sejam abertas, ao mesmo tempo, às 15 horas, então, 
ele ficara totalmente cheio às 
a. 8h30min. 
b. 8h50min. 
c. 20h30min . 
d. 20h50min . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPORÇÃO 
Exemplo. Uma diretora decidiu reestruturar sua empresa de modo que a proporção 
entre funcionários do gênero feminino e do gênero masculino, nessa ordem, seja de 
6/7. Hoje, a empresa possui 230 funcionários e a proporção de funcionários do gênero 
feminino e masculino, nessa ordem, é de 9/14. Mantendo todos os atuais funcionários 
e almejando alcançar a meta estabelecida, essa empresa deve contratar um número de 
funcionárias igual a: 
A. 20. 
B. 30. 
C. 40. 
D. 50. 
E. 60. 
 
ANOTAÇÕES 
 
Exemplo. No início de um curso de Engenharia, a proporção de mulheres e homens 
entre os alunos era de 2 para 3, respectivamente. Ao longo dos anos de aula, algumas 
pessoas trocaram de curso, de forma que, no fim da graduação, havia 5 mulheres e 5 
homens a menos do que no início. Com isso, a proporção entre mulheres e homens no 
curso passou a ser de 3 para 5, respectivamente. Quantas pessoas concluíram a 
graduação? 
A 20 
B 25 
C 30 
D 40 
E 50 
 
 
 
PROBLEMAS DE CALENDÁRIO 
 
Exemplo: Após sofrer um acidente, o funcionário de uma empresa foi afastado por 180 
dias, a partir de uma quarta- feira. Para atender a legislação trabalhista, esse funcionário 
deve realizar o exame médico de retorno ao trabalho no primeiro dia útil da volta ao 
trabalho. Considerando-se essa situação hipotética, é correto afirmar que o exame será 
realizado em uma: 
a) quarta-feira 
b) terça-feira 
c) segunda-feira 
d) sexta-feira 
e) quinta-feira 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo O aniversário da cidade de Aracaju é o dia 17 de março que, em 2015 
caiu em uma terça-feira. Como o próximo ano será bissexto, o mês de fevereiro terá 
um dia a mais. Portanto, o dia 17 de março de 2016 cairá em: 
a) uma segunda-feira 
b) uma quarta-feira 
c) uma quinta-feira 
d) uma sexta-feira 
e) um domingo 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE CALENDÁRIO 
 
Exemplo Em certo ano, não bissexto, a terça-feira de carnaval caiu no dia 1º de março. 
Nesse ano, o dia 1º de janeiro caiu em: 
a) um domingo 
b) uma segunda-feira 
c) uma quinta-feira 
d) uma sexta-feira 
e) um sábado 
 
Exemplo O aniversário da cidade de Aracaju é o dia 17 de março que, em 2015 caiu 
em uma terça-feira. Como o próximo ano será bissexto, o mês de fevereiro terá um dia 
a mais. Portanto, o dia 17 de março de 2016 cairá em: 
a) uma segunda-feira 
b) uma quarta-feira 
c) uma quinta-feira 
d) uma sexta-feira 
e) um domingo 
 
Exemplo. Num certo ano o primeiro dia caiu numa quarta-feira e o último dia caiu 
numa quinta-feira. Neste ano, o dia do trabalho, ou seja, 1º de maio caiu num(a): 
a) Quarta-feira 
b) Quinta-feira 
c) Sexta-feira 
d) Sábado 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
Porcentagem 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROMOÇÕES 
 
Exemplo: Um supermecado anuncia uma promoção na venda de um determinado 
produto que custa R$ 16,40 a unidade. “Na compra de duas unidades, a primeira 
unidade custa 16,40 e a segunda sai pela metade do preço”. O desconto efetivo 
que um consumidor recebe com essa promção ao comprar duas unidades do referido 
produto é: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Durante uma promoção do tipo “leve 3 e pague 2”, cada pacote com três 
latas de ervilhas era vendido pelo preço de 2 latas. O dono de um restaurante 
aproveitou a promoção e comprou 72 latas de ervilhas por R$ 57,60. Qual era, em 
reais, o preço de cada lata de ervilhas fora da promoção? 
a) 0,80 
b) 1,00 
c) 1,20 
d) 1,50 
e) 1,80 
 
 
 
 
 
PODER DE COMPRA 
 
(Enem PPL 2017) A baixa procura por carne bovina e o aumento de oferta de 
animais para abate fizeram com que o preço da arroba do boi apresentasse queda 
para o consumidor. No ano de 2012, o preço da arroba do boi caiu de R$100,00 
para R$ 93,00. Com o mesmo valor destinado à aquisição de carne, em termos de 
perda ou ganho, o consumidor: 
a. a. ganhou 6,5% em poder aquisitivo de carne. 
b. b. ganhou 7% em poder aquisitivo de carne. 
c. c. ganhou 7,5% em poder aquisitivo de carne. 
d. perdeu 7% em poder aquisitivo de carne. 
e. perdeu 7,5% em poder aquisitivo de carne 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Enem 2011 - A taxa de inflação é um índice que aponta, em percentuais, a evolução 
média dos preços de mercadorias e serviços. Entretanto, cada família percebe a variação 
dos preços de modo particular, pois o peso de cada item no seu orçamento é diferente. 
Assim, se o preço dos medicamentos sobe muito, o impacto da inflação para as famílias 
que têm mais idosos tende a ser maior. Se o preço dos alimentos cai, o impacto da 
inflação para as famílias mais pobres tende a ser menor, já que boa parte de seu 
orçamento é gasto em alimentação. Considere que os salários de determinado grupo de 
pessoas crescem 10,0% ao ano, mas a inflação, para esse grupo, cresce 6,0% ao ano. 
O aumento percentual do poder de compra, em dois anos, das pessoas que pertencem 
ao referido grupo, mais aproximado, será de 
a. 4,0%. 
b. 7,7%. 
c. 8,0%. 
d. 8,6%. 
e. 14,0%. 
 
 
 
 
PREÇO DE CUSTO 
 
(Enem PPL 2017) Em certa loja de roupas, o lucro na venda de uma camiseta é de 25% do 
preço de custo da camiseta pago pela loja. Já o lucro na venda de uma bermuda é de 30% 
do preço de custo da bermuda, e na venda de uma calça o lucro é de 20% sobre o preço de 
custo da calça. Um cliente comprou nessa loja duas camisetas, cujo preço de custo foi R$ 
40,00 cada uma, uma bermuda que teve preço de custo de R$ 60,00 e duas calças, ambas 
com mesmo preço de custo. Sabe-se que, com essa compra, o cliente proporcionou um lucro 
de R$ 78,00 para a loja. Considerando essas informações, qual foi o preçode custo, em real, 
pago por uma calça? 
a. 90 
b. 100 
c. 125 
d. 195 
e. 200 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem 2014) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma 
quantidade de um produto que custa R$10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, 
leva sempre R$6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o 
caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que 
o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o 
dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à 
quantidade habitualmente comprada. A quantia que essa pessoa levava semanalmente para 
fazer a compra era 
a. R$166,00. 
b. R$156,00. 
c. R$84,00. 
d. R$46,00. 
e. R$24,00. 
 
 
 
PREÇO DE VENDA 
 
Uma Sociedade Empresária estabelece o preço de venda de suas mercadorias com base no 
custo de aquisição. A mercadoria A tem custo de aquisição igual a R$12,00 por unidade. 
Segundo a política de formação de preço utilizada pela Sociedade Empresária, o preço de 
venda estabelecido deve proporcionar uma margem de contribuição, líquida de tributos e 
despesas variáveis, de 30% sobre o preço de venda. Os tributos incidentes sobre as vendas 
somam 27,25% e as despesas variáveis de venda somam 2,75%. Considerando-se as 
informações apresentadas, o preço de venda da mercadoria A será de: 
A. R$16,80. 
B. R$19,20. 
C. R$20,00. 
D. R$30,00. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem 2016) Uma pessoa comercializa picolés. No segundo dia de certo evento ela 
comprou 4 caixas de picolés, pagando R$16,00 a caixa com 20 picolés para revendê-los no 
evento. No dia anterior, ela havia comprado a mesma quantidade de picolés, pagando a 
mesma quantia, e obtendo um lucro de R$ 40,00 (obtido exclusivamente pela diferença entre 
o valor de venda e o de compra dos picolés) com a venda de todos os picolés que possuía. 
Pesquisando o perfil do público que estará presente no evento, a pessoa avalia que será 
possível obter um lucro 20% maior do que o obtido com a venda no primeiro dia do evento. 
Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os picolés disponíveis foram vendidos no 
segundo dia, o valor de venda de cada picolé, no segundo dia, deve ser: 
a. R$ 0,96. 
b. R$1,00. 
c. R$1,40. 
d. R$1,50. 
e. R$1,56 
 
 
TAXA DE CRESCIMENTO PERCENTUAL 
 
Exemplo. Uma vila cresce 150 pessoas no começo do ano para 275 no final 
do ano. Calcule a porcentagem de crescimento neste ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Se o salário aumentou 56% e os preços aumentar 30%, em quanto 
aumentou o poder de compra? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXTREMOS POPULACIONAIS 
 
ENEM. Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de 
brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a 
renda média mensal apurada foi de R$ 1 202,00. A soma dos rendimentos mensais dos 10% 
mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos dessa população 
considerada, enquanto que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos 
correspondeu a 44,5% desse total. Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal 
de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro que estava na 
faixa dos 10% mais pobres? 
a. 240,40 
b. 548,11 
c. 1 723,67 
d. 4 026,70 
e. 5 216,68 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
ENEM 2000. O Brasil, em 1997, com cerca de 160 X 106 habitantes, apresentou um 
consumo de energia da ordem de 250.000 TEP (tonelada equivalente de petróleo), 
proveniente de diversas fontes primárias. O grupo com renda familiar de mais de vinte 
salários mínimos representa 5% da população brasileira e utiliza cerca de 10% da energia 
total consumida no país. O grupo com renda familiar de até três salários mínimos representa 
50% da população e consome 30% do total de energia. Com base nessas informações, pode-
se concluir que o consumo médio de energia para um indivíduo do grupo de renda superior 
é x vezes maior do que para um indivíduo do grupo de renda inferior. O valor aproximado 
de x é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORCENTAGEM E SISTEMAS 
 
Um cliente fez um orçamento com uma cozinheira para comprar 10 centos de quibe e 15 
centos de coxinha e o valor total foi de R$ 680,00. Ao finalizar a encomenda, decidiu 
aumentar as quantidades de salgados e acabou comprando 20 centos de quibe e 30 centos 
de coxinha. Com isso, ele conseguiu um desconto de 10% no preço do cento do quibe e de 
15% no preço do cento de coxinha, e o valor total da compra ficou em R$ 1 182,00. De 
acordo com esses dados, qual foi o valor que o cliente pagou pelo cento da coxinha? 
A. R$ 23,40 
B. R$ 23,80 
C. R$ 24,90 
D. R$ 25,30 
E. R$ 37,80 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
AUMENTO SIMPLES 
 
Exemplo. O gerente do setor de recursos humanos de uma empresa está organizando uma 
avaliação em que uma das etapas é um jogo de perguntas e respostas. Para essa etapa, ele 
classificou as perguntas, pelo nível de dificuldade, em fácil, médio e difícil, e escreveu cada 
pergunta em cartões para colocação em uma urna. Contudo, após depositar vinte perguntas 
de diferentes níveis na urna, ele observou que 25% deles eram de nível fácil. Querendo que 
as perguntas de nível fácil sejam a maioria, o gerente decidiu acrescentar mais perguntas de 
nível fácil à urna, de modo que a probabilidade de o primeiro participante retirar, 
aleatoriamente, uma pergunta de nível fácil seja de 75%. Com essas informações, a 
quantidade de perguntas de nível fácil que o gerente deve acrescentar à urna é igual a 
a. 10. 
b. 15. 
c. 35. 
d. 40. 
e. 45. 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. O salário de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 
966,00. Qual foi a porcentagem de aumento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUMENTOS SUCESSIVOS 
 
Exemplo. O preço de um tênis importado sofreu três reajustes seguidos, 
inicialmente um de 10%, outro de 15% e posteriormente um de 20%, sendo assim, 
qual o valor a ser pago pelo tênis, se inicialmente ele custava R$ 300,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Em virtude da elevação da taxa de inflação semanal, um comerciante atentou-se 
para a importância de aumentar os preços das mercadorias em 8%, visando à 
contenção de prejuízos. Na semana seguinte, em decorrência de outra crescente no 
índice inflacionário, se viu obrigado a aumentar novamente o preço das 
mercadorias na faixa de 12%. Determine o preço de uma mercadoria que antes do 
primeiro aumento custava R$ 55,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUMENTOS SIMULTÂNEOS 
 
Exemplo. Suponha que o preço de venda do litro da gasolina seja calculado 
tomando como base o preço de custo na distribuidora que é de R$ 2,00. Além de 
pagar os R$ 2,00 à distribuidora, 50% do preço de custo devem ser pagos ao 
governo, em forma de imposto, mais 30% do preço de custo devem ser reservados 
para manter funcionamento do posto, e outros 40% do preço de custo devem ser o 
lucro do posto, sendo assim, qual deve ser o valor de venda para que os percentuais 
propostos sejam satisfeitos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma concessionária oferece opções e acessórios na compra de um carro novo. Em 
um carro cujo preço é R$ 40000,00, a opção certa cor corresponde a um acréscimo 
de 2,6% de preço, e, de acordo com o kit de acessórios, um acréscimo de 3,5%. 
Quantos reais uma pessoa irá pagar por um carro se optar pela cor e pelo kit de 
acessórios? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESCONTOS SIMPLES 
 
Questão 1 (BB – Cesgranrio). Uma duplicata foi descontada em R$ 700,00, pelos 120 dias 
de antecipação. Se foi usada uma operação de desconto comercial simples, com a utilização 
de uma taxa anual de desconto de 20%, o valor atual do título era de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
ENEM. No dia 12 de janeiro de 2010, o governo da Venezuela adotou um plano de 
racionamento de energia que previa cortes no fornecimento em todo o país.O ministro da Energia afirmou que uma das formas mais eficazes de se economizar energia 
nos domicílios seria o uso de lâmpadas que consomem 20% menos da energia consumida 
por lâmpadas normais. Em uma residência, o consumo mensal de energia proveniente do 
uso de lâmpadas comuns é de 63 kWh. Se todas as lâmpadas dessa residência forem trocadas 
pelas lâmpadas econômicas, esse consumo passará a ser de, aproximadamente, 
A. 9 kWh. 
B. 11 kWh. 
C. 22 kWh. 
D. 35 kWh. 
E. 50 kWh 
 
 
 
 
 
DESCONTOS SUCESSIVOS 
 
Exemplo. Durante uma campanha promocional, foram dados 20% de descontos em todos 
os produtos de uma loja, um a um, todos foram etiquetados com o novo preço. Querendo 
economizar ainda mais, um jovem pediu mais 10% de desconto sobre o preço que estava na 
etiqueta, uma vez que pagaria em dinheiro. Para conceder o desconto, o gerente da loja 
procurou saber o preço original do produto que era R$ 200,00, para avaliar se haveria algum 
prejuízo em fazê-lo. Caso seja concedido ambos os descontos, qual o valor que o jovem 
pagaria? 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços 
de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que 
possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o 
valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 
antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente 
possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, 
em reais, seria de: 
(A) R$ 15,00 
(B) R$ 14,00 
(C) R$ 10,00 
(D) R$ 5,00 
(E) R$ 4,00 
 
 
 
 
 
DESCONTOS SIMULTÂNEOS 
 
Exemplo. O salário bruto de um funcionário é de R$ 3.000,00, sobre esse valor são 
descontados 11% para o pagamento de INSS e 15% do salário bruto ficam retidos na fonte 
para pagamento de imposto de renda, além disso há uma taxa de 1% do salário bruto cobrada 
pelo sindicato que o representa. Sendo assim, qual o valor do salário líquido desse 
trabalhador? 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORCENTAGEM E ÁREA 
 
(Enem 2010) O jornal de certa cidade publicou em 
uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno 
de classificados. Para que a propaganda seja fidedigna a 
porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida 
do lado do retângulo que representa os 4%, deve ser de 
aproximadamente 
a. 1 mm. 
b. 10 mm. 
c. 17 mm. 
d. 160 mm. 
e. 167 mm. 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A taxa anual de desmatamento na Amazônia é calculada com dados de satélite, pelo Instituto 
Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), de 1º de agosto de um ano a 31 de julho do ano 
seguinte. No mês de julho de 2009, foi registrado que o desmatamento acumulado nos 
últimos 12 meses havia sido 64% maior do que no ano anterior, quando o INPE registrou 
4.974 km² de floresta desmatada. Nesses mesmos 12 meses acumulados, somente o estado 
de Mato Grosso foi responsável por, aproximadamente, 56% da área total desmatada na 
Amazônia. De acordo com os dados, determine a área desmatada sob a responsabilidade do 
estado do Mato Grosso, em julho de 2008: 
(A) 3 183,36 km² 
(B) 4 568,12 km² 
(C) 5 678,12 km² 
(D) 6 575,12 km² 
(E) 8 157,36 km² 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORCENTAGEM E VOLUME 
 
(Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, 
tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura. Será produzida uma nova lata, com 
os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25% maiores 
que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida 
em 
 
 
ANOTAÇÕES 
ENEM. A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água 
existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura 
elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar 
antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a 
retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma 
contração, em dimensões lineares, de 20%. Levando em consideração o processo de 
cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de 
aresta a, diminui para um valor que é 
a. 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao 
comprimento de seu lado. 
b. 36% menor que V, porque a área da base diminui de a2 para ((1 − 0,2)a)². 
c. 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a3 para (0,8a)³. 
d. 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original. 
e. 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise 
combinatória 
 e sua variações 
 
 
 
 
PFC 
 
APLICAÇÃO DIRETA 
 
(Enem 2017) O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, 
composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem 
formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores 
da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que 
regiões vizinhas tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes o comitê 
organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas? 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Na sala de reuniões de certa empresa há uma mesa retangular com 10 poltronas dispostas 
da forma como é mostrado na figura abaixo. 
 
Certo dia, sete pessoas foram convocadas para participar de uma reunião a ser realizada 
nessa sala: o presidente, o vice-presidente, um secretário e quatro membros da diretoria. 
Sabe-se que: 
- o presidente e o vice-presidente deverão ocupar exclusivamente as poltronas das 
cabeceiras da mesa; 
- o secretário deverá ocupar uma poltrona ao lado do presidente; 
Considerando que tais poltronas são fixas no piso da sala, de quantos modos as sete 
pessoas podem nelas se acomodar para participar de tal reunião? 
a) 3 360 
b) 2 480 
c) 1 680 
d) 1 240 
e) 840 
 
PFC COM CASOS 
 
No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por 
garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão 
deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo 
desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a 
figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, 
verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a 
mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número 
de variações que podem ser obtidas para a paisagem é: 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
(Enem digital) Um modelo de telefone celular oferece a opção de desbloquear a tela 
usando um padrão de toques como senha. Os toques podem ser feitos livremente nas 4 
regiões numeradas da tela, sendo que o usuário pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques ao 
todo. Qual expressão representa o número total de códigos existentes? 
 
a) 45 - 44 - 43 
b) 45 + 44 + 43 
c) 45 x 44 x 43 
d) (4!)5 
e) 45 
 
 
QUESTÕES COM PIXEL 
 
Um pixel é o menor elemento de uma imagem digital e, em casos de imagens coloridas, é 
composto por um conjunto de 3 pontos: vermelho, verde e azul. Cada um desses pontos é 
capaz de exibir 256 tonalidades distintas. Combinando tonalidades desses três pontos, 
quantas cores diferentes podem ser exibidas? 
A. 3256 
B. 3 . 256 
C. 2563 
D. 256 
E. 27 . 256 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma tela de computador pode ser representada por uma matriz de cores, de forma que cada 
elemento da matriz corresponda a um pixel* na tela. Numa tela em escala de cinza, por 
exemplo, podemos atribuir 256 cores diferentes para cada pixel, do preto absoluto (código 
da cor: 0) passando pelo cinzaintermediário (código da cor: 127) ao branco absoluto (código 
da cor: 255). Suponha que na figura estejam representados 25 pixels de uma tela. 
 
 
A matriz numérica correspondente às cores da figura apresentada é dada por 
 
O número máximo de matrizes distintas que podem ser formadas com 25 pixels de 
tamanho, em que se possa preencher cada pixel com qualquer uma dentre as 256 cores 
da escala de cinza, é igual a 
a) 255256 
b) 12725 
c) 2525 
d) 25625 
e) 0256 
 
 
 
TESTANDO DÍGITOS 
 
O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme ilustrado na 
figura. Um ladrão observa de longe e percebe que: 
- a senha utilizada possui 4 dígitos; 
- o primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha; 
- o segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior. 
 
Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que com 
certeza ele consiga entrar na casa. 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UFES/2002) Num aparelho telefônico, as dez teclas numeradas estão dispostas em fileiras 
horizontais, conforme indica a figura a seguir. Seja N a quantidade de números de telefone 
com 8 dígitos, que começam pelo dígito 3 e terminam pelo dígito zero, e, além disso, o 2o 
e o 3o dígitos são da primeira fileira do teclado, o 4o e o 5o dígitos são da segunda fileira, e 
o 6o e o 7o são da terceira fileira. O valor de N é 
a) 27 
b) 216 
c) 512 
d) 729 
e) 1.331 
 
 
 
EMPLACAMENTOS E SENHAS BANCÁRIAS 
 
Para diminuir o emplacamento de carros roubados, um determinado país resolveu fazer um 
cadastro nacional, em que as placas são formadas com 3 letras e 4 algarismo, sendo que a 1ª 
letra da placa determina um estado desse país. Considerando-se o alfabeto com 26 letras, o 
número máximo de carros que cada estado poderá emplacar será de: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro 
caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os 
algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto 
por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha? O 
número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por 
 
 
 
 
 
 
PERMUTAÇÃO 
 
APLICAÇÃO DIRETA 
 
(Fuvest 1991) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre 
as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis 
sequências dessas músicas serão necessários aproximadamente: 
A. 100 dias. 
B. 10 anos. 
C. 1 século. 
D. 10 séculos. 
E. 100 séculos 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Fac. Albert Einstein - Medicina 2017) Oito adultos e um bebê irão tirar uma foto de 
família. Os adultos se sentarão em oito cadeiras, um adulto por cadeira, que estão dispostas 
lado a lado e o bebê sentará no colo de um dos adultos. O número de maneiras distintas de 
dispor essas 9 pessoas para a foto é 
A.8 x 8! 
B. 9! 
C. 9 x 8! 
D. 89 
E. 98 
 
 
 
 
 
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 
 
(Fatec 2016) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro 
golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-
se para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, 
empregando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e um gancho. Assim, o 
número máximo de sequências que ele poderá criar será de 
 A. 180 
B. 160 
C. 140 
D. 120 
E. 100 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco 
símbolos, onde cada símbolo a primeira letra de seus nomes. Qual o número total de 
siglas possíveis de se formar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PERMUTAÇÃO COM BLOCOS RÍGIDOS 
 
Dez livros diferentes, sendo 3 de ficção e outros 7 diversos são colocados lado a 
lado em uma estante. Em quantas sequências diferentes esses livros podem ser 
dispostos de modo que os de ficção fiquem juntos? 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Ufmg 2010) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o programador musical 
conta com 10 músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock 
e 3 de Pop. Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que, em cada um dos 
programas da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas as 10 músicas. Assim sendo, 
é CORRETO afirmar que o número de programas distintos em que as músicas vão ser 
tocadas agrupadas por estilo é dado por 
A. 4! x 3! x 3! x 3! 
B. 10! / 7! 
C. 4! x 3! x 3! 
D. 10! / (7! X 3!) 
 
 
 
 
 
PERMUTAÇÃO DE CAMINHOS E QUARTEIRÕES 
 
(Ufu 2012) Um projeto piloto desenvolvido em um curso de Engenharia Mecânica prevê a 
construção a direita (D). Suponha que Eddie está na posição A e deseja-se que ele se desloque 
até chegar à posição B, valendo-se dos movimentos que lhe são permitidos. Admita que 
cada movimento feito por Eddie o leve a uma posição consecutiva, conforme ilustra um 
esquema a seguir, em que foram realizados 10 movimentos (as posições possíveis estão 
marcadas por pontos e o percurso executado de A até B, é representado pela sequência 
ordenada de movimentos D F D D F F D F F D). 
Com base nas informações acima, o número de maneiras possíveis de Eddie se deslocar 
de A até B, sem passar pelo ponto C, é igual a 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinaladas 
a casa de Antônio (A), a casa de Beatriz (B), a escola (C) e um possível caminho que 
Antônio percorre para, passando pela casa de Beatriz, chegar à escola. Qual o número total 
de caminhos que Antônio poderá percorrer, caminhando somente para norte ou leste, para ir 
de sua casa à escola, passando pela casa de Beatriz? 
 
 
 
 
 
ANAGRAMAS 
 
 
 
(IFPE 2018) Os alunos do curso de Computação Gráfica do campus Olinda estão 
desenvolvendo um vídeo com todos os anagramas da palavra CARNAVAL. Se cada 
anagrama é mostrado durante 0,5s na tela, a animação completa dura: 
 A. menos de 1 minuto. 
B. menos de 1 hora. 
C. menos de meia hora. 
D. menos de 10 minutos. 
 E. mais de 1 hora. 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
(ENEM 2020) Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM 
MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”. Suponha que Harry 
quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais 
e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as 
letras. 
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por 
a) 9! 
b) 4!5! 
c) 2 x 4!x5! 
d) 9!/2 
e) (4!5!)/2 
 
 
 
 
 
ANAGRAMA COM RESTRIÇÃO 
 
Dizemos que uma palavra Q é quase-anagrama de outra palavra P quando Q pode ser obtida 
retirando-se uma letra de P e trocando a ordem das letras restantes, resultando em uma 
palavra com uma letra a menos do que P. Um quase-anagrama pode ter sentido em algum 
idioma ou não. Por exemplo, RARO, RACR e ARCO são quase-anagramas de CARRO. 
Quantos são os quase-anagramas da palavra BACANA que começam com A: 
(A) 48 
(B) 60 
(C) 72 
(D) 96 
(E) 120 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Em um torneio de handebol, os pontos por partida são distribuídos da seguinte maneira: a) 
três pontos por vitória; b) zero ponto por derrota; c) um ponto para cada etapa. Uma equipe 
disputou seis partidas, vencendo duas delas, perdendo uma e empatando três. Uma evolução 
possível da pontuação desse time no torneio está representanda por: 
0 –> 3 –> 4 –> 5 –> 5 –> 6 –> 9. 
O número de possibilidades distintas para a evolução da pontuação dessa equipe é 
igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
 
Exemplo. Um grupo 6 crianças decide brincar de ciranda dando as mãos e fazendo uma 
roda. Dentre elas estão Aline, Bianca e Carla que são muito amigas e querem sempre ficar 
juntas. Nessa condição, qual o número de rodas distintas que podemser formadas? 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Um grupo de 6 pessoas, incluindo Nilton e Lucimar, decide jogar cartas com 
rodadas circulares. Após a vez de um jogador, o próximo a jogar é aquele que está à sua 
direita. 
a) Por questões estratégicas, Nilton decide se posicionar sempre imediatamente à 
direita de Lucimar. De quantas formas esses 6 jogadores podem sentar ao redor da mesa? 
 
 
 
 
 
b) Suponha que agora Nilton deseja ficar em qualquer um dos dois lado de Lucimar. A 
resposta anterior muda? 
 
 
 
 
 
 
ARRANJOS 
 
ARRANJO SIMPLES 
 
(Pucmg 2007) Em um campeonato de dois turnos, do qual participam dez equipes, que 
jogam entre si uma vez a cada turno, o número total de jogos previstos é igual a: 
A.45 
B. 90 
C. 105 
D. 115 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
(CESGRANRIO 2012). Em uma pequena sala de projeção, há cinco cadeiras dispostas em 
linha, lado a lado, e numeradas de 1 a 5. Quatro pessoas vão ocupar quatro dessas cadeiras. 
As possíveis ocupações das cadeiras distinguem-se não só pela cadeira vazia, mas, também, 
pela disposição das pessoas nas cadeiras ocupadas. 
 
 
De quantos modos as cadeiras podem ser ocupadas pelas quatro pessoas? 
A. 5 
B. 20 
C. 24 
D. 120 
E. 1.024 
Exemplo. Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor 
e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do 
conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode 
ser feita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de 
telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 
8. 
 
 
O número 2 deve ser fixado na 1ª posição e o 8 na última. Restaram, por tanto, 6 posições 
e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos 
diferencie dois números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos 6 a 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. 
Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é 
formado por uma sequência de 6 algarismos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARRANJO COMPLETO (COM REPETIÇÃO) 
 
 
Exemplo. Com os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de dois algarismos 
podemos formar? 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Quantos agrupamentos podem ser feitos com dois elementos do conjunto 
Q = {A, B, C, D, E, F}, tomados dois a dois, sendo a ordem relevante e podendo 
haver repetição? 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
COMBINAÇÃO 
 
COMBINAÇÃO SIMPLES 
 
(IFPE 2017) O coordenador de Matemática do campus Recife conta com professores para 
lecionar aulas em um programa do PROIFPE. São aulas semanais e a cada semana um novo 
trio de professores é selecionado para ministrá-las. 
Considerando um mês equivalente a 4 semanas, em quanto tempo esse programa estará 
finalizado 
A. 6 meses. 
B. 4 meses e 1 semana. 
C. 1 ano, 8 meses e 2 semanas. 
D. 2 anos e 3 meses. 
E. 8 meses e 3 semanas. 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(ENEM 2018) O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes 
expõem seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações 
em design e tecnologia. Uma montadora pretende participar desse evento com dois 
estandes, um na entrada e outro na região central do salão, expondo, em cada um deles, um 
carro compacto e uma caminhonete. Para compor os estandes, foram disponibilizados pela 
montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes 
cores para serem escolhidos aqueles que serão expostos. A posição dos carros dentro de 
cada estande é irrelevante. Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes 
que os estandes podem ser compostos é: 
A) A(10,4) 
B) C(10,4) 
C) C(4,2) x C(6,2) x 2 x 2 
D) A(4,2) x A(6,2) x 2 x 2 
E) C(4,2) x C(6,2) 
 
 
 
 
QUESTÕES DE TORNEIO 
 
Dezoito times de futebol vão disputar um torneio em apenas um turno. Cada equipe deve 
jogar, necessariamente, com todas as outras. Nesse caso, quantos jogos vão acontecer nesse 
torneio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Em um torneio de futsal, em que cada equipe jogou uma única vez contra cada uma das 
demais, foram realizados, no total 105 jogos. Quantas equipes participaram desse 
torneio? 
A) 10 
B) 15 
C) 20 
D) 25 
E)55 
 
 
 
 
 
 
COMISSÕES SEM RESTRIÇÕES 
 
(Ufsm 2013) As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no 
Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-
se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores 
que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardíacas. 
Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 
instrumentadores? 
A 200. 
B 300. 
C 600. 
D 720. 
E 1.200. 
 
ANOTAÇÕES 
Num hospital, há três vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e 2 na administração.Se 
6 funcionários se candidatam para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a administração,de 
quantas maneiras distintas essas vagas podem ser preenchidas? 
 
 
 
 
 
 
COMISSÕES COM RESTRIÇÕES ( COM EXIGÊNCIAS) 
 
A câmara de vereadores de uma cidade é composta por 13 vereadores, sendo que 6 destes são de 
partidos políticos da situação (aliados ao governo municipal) e os 7 restantes são de partidos da 
oposição (contrários ao governo municipal). É necessário compor uma comissão especial a ser 
formada por exatamente 5 vereadores, de forma que haja pelo menos dois representantes de cada um 
destes blocos políticos. Além disso, foi definido que o líder da situação e o líder da oposição não 
poderão fazer parte da mesma comissão. Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que 
poder ser constituída é igual a: 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado 
apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sulamericanos (Uruguai, Brasil e 
Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções 
seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro 
e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão 
realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três 
sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é 
a) 140. 
b) 120. 
c) 70. 
d) 60. 
e) 40. 
 
 
A partir de um grupo de 10 pessoas, devemos formar k comissões de pelo menos dois membros, 
sendo que em todas deve aparecer uma determinada pessoa A do grupo. Então, k vale 
 
 
 
 
 
 
 
 
O auditório do IFPE, campus Vitoria de Santo Antão, tem formato retangular e dispõe de quatro 
aparelhos de ar-condicionado, sendo um ar-condicionado instalado em cada uma das suas quatro 
paredes. Em todos os eventos, pelo menos um aparelho deve estar ligado para a refrigeração do 
ambiente. De quantos modos diferentes este auditório pode ser refrigerado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITAMINAS 
 
 
 
Uma lanchonete faz vitaminas com uma, duas, três, quatro ou cinco frutas diferentes, a 
saber: laranja, mamão, banana, morango e maçã. As vitaminas podem ser feitas com um só 
tipo de fruta ou misturando-se os tipos de fruta de acordo com o gosto do freguês. Desse 
modo, quantas opções de vitaminas a lanchonete oferece? 
a. 10 
b. 25 
c. 31 
d. 35 
e. 120 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
Numa lanchonete são vendidos sucos de 8 sabores diferentes, sendo que 3 são de frutas 
cítricas e os demais de frutas silvestres. De quantas maneiras pode-se escolher 3 sucos de 
sabores diferentes, sendo que pelo menos 2 deles sejam de frutas silvestres? 
 
a) 40 
b) 55 
c) 72 
d) 85DESTROS E CANHOTOS 
 
Um clube de esportes dispõe de doze jogadores de vôlei de praia dos quais oito são destros 
e quatro são canhotos. O clube deseja enviar uma dupla para uma competição nacional de 
vôlei de praia e, por uma questão de estratégia, dupla formada será composta por dois destros 
ou dois canhotos, nunca um destro e um canhoto. Qual o número de possibilidades de 
escolha dos dois jogadores dentre os disponíveis para compor a dupla que representará o 
clube na competição nacional? 
a. 32 
b. 34 
c. 44 
d. 56 
e. 66 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio 
de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma 
dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. De quantas maneiras diferentes podem 
ser formadas essas quatro duplas? 
a. 69 
b. 70 
c. 90 
d. 104 
e. 105 
 
 
 
 
 
COMBINAÇÃO E TRIÂNGULOS 
 
Marcam-se, num plano, 10 pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais 4 estão sobre a mesma reta e 
três outros pontos quaisquer nunca estão alinhados, conforme a figura. O número total de triângulos 
que podem ser formados, unindo-se três quaisquer desses pontos, é: 
 
a. 24 
b. 112 
c. 116 
d. 120 
e. 124 
ANOTAÇÕES 
(UFMG-1994) Observe a figura. Nessa figura, o número de triângulos que se obtém com vértices nos 
pontos D, E, F, G, H, I, J é: 
 
 
a) 20 
b) 21 
c) 25 
d) 31 
e) n.d.a. 
 
 
COMBINAÇÃO COMPLETA 
 
Exemplo. Com o objetivo de relaxar um pouco depois do primeiro dia de provas do ENEM, 
Alisson e Abigail vão à sorveteria para tomar um delicioso sorvete. Eles podem três bolas 
cada um e a sorveteria dispõe de seis sabores distintos. Alisson faz questão de que suas três 
bolas de sorvete sejam de sabores distintos, ao passo que Abigail se contenta com qualquer 
combinação de sabores, perdendo, inclusive, seres todas as bolas do mesmo sabor. Dessa 
forma, Abigail tem a mais que Alisson: 
a) 21 opções de escolha 
b) 36 opções de escolha 
c) 45 opções de escolha 
d) 60 opções de escolha 
e) 96 opçoes de escolha 
 
 
 
 
Exemplo. Uma pessoa dispõe de balas de hortelã, caramelo e coco, cada uma com apenas 
um sabor. Ele pretende “montar” saquinhos com 13 balas cada, de modo que em cada 
saquinho haja no mínimo 3 balas de cada sabor. Um saquinho se diferencia do outro pelas 
quantidades de balas de cada sabor. Sendo assim, quantos saquinhos diferentes podem ser 
“montados”? 
 
 
 
 
 
 
 
 
MIX DE COMBINATÓRIA 
A jovem Jenifer vai à corretora de investimentos Ricos do Amanhã para diversificar 
sua carteira de ativos. O consultor para tentar entender melhor o perfil de sua nova 
cliente pede para que ela preencha o formulário abaixo com as seguintes 
informações: 
- a ordem de preferência entre as três modalidades de perfil que ela deseja ter, se 
conservador, moderado ou agressivo; 
- 1ª e 2ª opções dentre cinco produtos financeiros, a saber, poupança, títulos de 
capitalização, renda fixa, fundos de ações e previdência. 
- os nomes de quatro fundos de investimentos diferentes que devem ter escolhidos 
(sem ordem de preferência) de uma lista de oito apresentados pelo consultor. 
PREENCHER TODOS OS CAMPOS (SEM REPETIÇÃO) 
Modalidades de Perfil 
(em ordem de 
preferência) 
Produtos financeiros Fundos de 
Investimentos (ordem 
indeferente) 
1ª 1ª opção 
 
2ª opção 
 
 
2ª 
 
 
3ª 
Supondo que nenhum campo seja deixado em branco, de quantas maneiras 
diferentes pode o formulário ser corretamente preenchido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
Isadora e Caio vão a uma casa de recepções para fazer a uma casa de recepções 
para fazer um orçamento para sua festa de casamento. A gerente da casa de festas, 
para fornecer o orçamento pede ao casal que preencham o formulário abaixo com 
as seguintes informações: 
- a ordem de preferência entre os três tipos de pratos principais que a casa oferece. 
- 1ª e 2ª opções dentre as quatro possíveis bebidas alcóolicas. 
- os nomes de quatro tipos de finger food diferentes a serem servidos, que devem 
ser escolhidas de uma lista de 10 fornecida pela gerente (sem ordem de preferência). 
 
PREENCHER TODOS OS CAMPOS (SEM REPETIÇÃO) 
Pratos principais (em 
ordem de preferência) 
Bebidas alcóolicas Finger foods (ordem 
indeferente) 
1ª 1ª opção 
 
2ª opção 
 
 
2ª 
 
 
3ª 
Supondo que nenhum campo seja deixado em branco, de quantas maneiras 
diferentes pode o formulário ser corretamente preenchido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS 
Exemplo. Qual o número mínimo necessário de pessoas num grupo para que tenhamos 
certeza de que 3 delas façam aniversário no mesmo mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
Exemplo. Considere uma sala de aula em que estão presentes 97 alunos nascidos em 
dias distintos de um mesmo ano. A partir da situação apresentada, é possível garantir 
que, nessa turma, pelo menos 
A. 15 alunos fazem aniversário no mesmo dia da semana, não considerando a data do calendário. 
B. 9 alunos fazem aniversário no mesmo mês do ano. 
C. 5 alunos têm a letra inicial do nome igual. 
D. 2 alunos terão gabaritos idênticos para uma prova de 90 questões com 5 alternativas cada. 
E. 50 alunos nasceram no mesmo semestre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PERMUTAÇÃO CAÓTICA OU DESARRANJO 
Exemplo. Os quatro funcionários de uma repartição trabalham cada um em uma mesa, 
todos na mesma sala. O chefe da repartição determinou que os funcionários trocassem 
de mesa entre si. Os funcionários podem ser realocados na sala de modo que nenhum 
funcionário passe a ocupar a mesa que ocupava antes da realocação 
a) de 4 maneiras diferentes. 
b) de 24 maneiras diferentes. 
c) de 9 maneiras diferentes. 
d) de 6 maneiras diferentes. 
e) de 12 maneiras diferentes. 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem 2009) Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao 
consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos 
algarismos 0, 1, 2 e 5. O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas 
voltadas para baixo. Ao desvirá-las, verificava-se quais delas continham o algarismo na 
posição correta dos algarismos do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção. 
Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se R$ 1,00 de desconto. Por exemplo, se 
a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira 5, ele ganharia 
R$ 2,00 de desconto. Qual a probabilidade de um consumidor não ganhar desconto? 
A. 3/8 
 B. 3/24 
C. 1/3 
D. 1/4 
E. 1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODOS DE ESCOLHA 
 
Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à 
organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, 
então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para 
escolher os atletas que irão realizá-lo: 
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes; 
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas; 
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três 
equipes. 
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) 
e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos 
escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. 
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se 
A. P(I) < P(III) < P(II) 
B. P(II) < P(I) < P(III) 
C. P(I) < P(II) = P(III) 
D. P(I) = P(II) < P(III) 
E. P(I) = P(II) = P(III) 
 
ANOTAÇÕES 
Um aluno de uma escola será escolhido por sorteio para representá-la em uma certa 
atividade. A escola tem dois turnos. No diurno há 300 alunos, distribuídos em 10 turmas de 
30 alunos. No noturno há 240 alunos, distribuídos em 6 turmas de40 alunos. Em vez do 
sorteio direto envolvendo os 540 alunos, foram propostos dois outros métodos de sorteio. 
Método I: escolher ao acaso um dos turnos (por exemplo, lançando uma moeda) e, a seguir, 
sortear um dos alunos do turno escolhido. 
Método II: escolher ao acaso uma das 16 turmas (por exemplo, colocando um papel com o 
número de cada turma em uma urna e sorteando uma delas) e, a seguir, sortear um dos alunos 
dessa turma. Sobre os métodos I e II de sorteio é correto afirmar: 
a. Em ambos os métodos, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados. 
b. No método I, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados, mas, no método II 
a chance de um aluno do diurno ser sorteado é maior que a de um aluno do noturno. 
c. No método II, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados, mas, no método 
I, a chance de um aluno do diurno ser sorteado é maior que a de um aluno do noturno. 
d. No método I, a chance de um aluno do noturno ser sorteado é maior do que a de um aluno 
do diurno, enquanto no método II ocorre o contrário. 
e. Em ambos os métodos, a chance de um aluno do diurno ser sorteado é maior do que a de 
um aluno do noturno. 
 
CHUTES E ACERTOS 
 
Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem cinco alternativas. Um aluno que 
realizava essa avaliação teve certeza da resposta de 60% das questões e assinalou correta 
em cada uma destas. Para as demais questões, ele não sabia qual poderia ser a resposta 
correta e, por isso, chutou aleatoriamente uma alternativa.Considerando que ele acertou a 
primeira questão da prova, a probabilidade de que ele tenha assinalado com certeza essa 
alternativa, e não apenas chutado, é de: 
A)5/34 
B)2/5 
C)1/2 
D)3/5 
E)15/17 
 
ANOTAÇÕES 
O professor de atualidades passou uma avaliação para uma de suas turmas, e cada 
pergunta tinha quatro alternativas, onde apenas uma era correta. Yanne, aluna da turma, 
sabe 20% das respostas da avaliação. Se ela deu a resposta correta para uma das 
perguntas, qual é a probabilidade de que ela tenha chutado essa resposta para a 
pergunta? 
 
 
 
 
 
 
 
JOGOS E PROBABILIDADES 
 
Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n x n, 
com n no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias 
do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão 
na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura 
está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro 
de dimensão 8 x 8. 
 
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda 
peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da 
primeira, seja inferior a 1/5. A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse 
tabuleiro é 
a. 4 x 4. 
b. 6 x 6. 
c. 9 x 9. 
d. 10 x 10. 
e. 11 x 11. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
A figura ilustra uma partida de Campo Minado, o jogo presente em praticamente todo 
computador pessoal. Quatro quadrados em um tabuleiro 16 x 16 foram abertos, e os 
números em suas faces indicam quantos dos seus 8 vizinhos contêm minas (a serem 
evitadas). O número 40 no canto inferior direito é o número total de minas no tabuleiro, 
cujas posições foram escolhidas ao acaso, de forma uniforme, antes de se abrir qualquer 
quadrado. 
 
Em sua próxima jogada, o jogador deve escolher dentre os quadrados marcados com 
as letras P, Q, R, S e T um para abrir, sendo que deve escolher aquele com a menor 
O jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra 
A. P. 
B. Q. 
C. R. 
D. S. 
E. T. 
 
 
 
CAMINHOS EQUIPROVÁVEIS 
 
Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um 
brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema 
ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das cinco áreas com os brinquedos 
disponíveis e dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem 
conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da entrada até chegar à área IV. 
 
 
Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções existentes de percurso pelos 
caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita 
escolhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar um caminho que chegue a uma 
área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna. Nessas 
condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem retornar 
é igual a 
A. 1/96 
B. 1/64 
C. 5/24 
D. 1/4 
E. 5/12 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Pucmg 2016) Dois ciclistas partem do posto onde estão, em direção à Praça das Flores e à 
Praça da Concha, localizadas na cidade, seguindo a ciclovia indicada no esquema: 
 
 
 
Em cada bifurcação encontrada na ciclovia, eles escolhem, com igual probabilidade, 
qualquer um dos caminhos e seguem adiante. Nessas condições, a probabilidade de eles 
chegarem à Praça das Flores é: 
a ) 21 
b ) 32 
c ) 34 
d ) 54 
 
 
 
 
 
CAMINHOS NÃO-EQUIPROVÁVEIS 
 
(Fuvest 2020) Carros que saem da cidade A rumo a alguma das cidades turísticas 
E, F e G fazem caminhos diversos, passando por pelo menos uma das cidades B, C 
e D, apenas no sentido indicado pelas setas, como mostra a figura. Os números 
indicados nas setas são as probabilidades, dentre esses carros, de se ir de uma cidade 
a outra. 
 
 
 
Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A a F é 
(A) 0,120. 
(B) 0,216. 
(C) 0,264. 
(D) 0,336. 
(E) 0,384. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A 
com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de 
pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma 
probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao 
ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas 
probabilidades são independentes umas das outras 
 
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das 
vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de 
engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é 
A. E1E3. 
B. E1E4. 
C. E2E4. 
D. E2E5. 
E. E2E6 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-8n0yGq80eso/X5FyrfYFQqI/AAAAAAAAJ8Q/d4QtUNflSW8hBHR-mxQIvRQsZO0tyZrRgCLcBGAsYHQ/s409/probabilidade-fuvest-2020.png
 
PELO MENOS = TUDO - NENHUM 
 
Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três 
alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma 
sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o 
entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida 
por qualquer um dos alunos. A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua 
pergunta oralmente respondida em inglês é: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A probabilidade de que um componente eletrônico não quebre é chamada de confiabilidade. 
Para aumentar a confiabilidade de um sistema, é comum que se instalem dois componentes 
eletrônicos de mesma confiabilidade em paralelo. Nesse caso, o sistema só irá falhar se 
ambos os componentes instalados falharem simultaneamente. Calcule a probabilidade de 
que um sistema com 2 componentes, cada um de confiabilidade 90%, não falhe. 
 
A. 99% 
B. 90% 
C. 81% 
D. 45% 
E. 1% 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
(Enem (Libras) 2017) Um laboratório está desenvolvendo um teste rápido para detectar a 
presença de determinado vírus na saliva. Para conhecer a acurácia do teste é necessário 
avaliá-lo em indivíduos sabidamente doentes e nos sadios. A acurácia de um teste é dada 
pela capacidade de reconhecer os verdadeiros positivos (presença de vírus) e os verdadeiros 
negativos (ausência de vírus). A probabilidade de o teste reconhecer os verdadeirosnegativos é denominada especificidade, definida pela probabilidade de o teste resultar 
negativo, dado que o indivíduo é sadio. O laboratório realizou um estudo com 150 
indivíduos e os resultados estão no quadro. 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
Exemplo. Um bairro residencial tem cinco mil moradores, dos quais mil são classificados 
como vegetarianos. Entre os vegetarianos, 40% são esportistas, enquanto que, entre os não 
vegetarianos, essa porcentagem cai para 20%. Uma pessoa desse bairro, escolhida ao acaso, 
é esportista. A probabilidade de ela ser vegetariana é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE BINOMIAL OU DO TERCEIRO EXCLUÍDO 
 
(Enem 2017) Numa avenida existem semáforos. Por causa de uma pane no sistema, os 
semáforos ficaram sem controle durante uma hora, e fixaram suas luzes unicamente em 
verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma independente; a probabilidade de 
acusar a cor verde é de 2/3 e a de acusar a cor vermelha é de 1/3. Uma pessoa percorreu a 
pé toda essa avenida durante o período da pane, observando a cor da luz de cada um desses 
semáforos. Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha observado exatamente um sinal 
na cor verde? 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem cancelado 2009) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer exatamente 2 
filhos homens e decide que, se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria procurar uma clínica 
para fazer um tratamento específico para garantir que teria os dois filhos homens. Após os 
cálculos, o casal concluiu que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens é 
A. 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento. 
B. 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento. 
C. 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento. 
D. 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. 
E. 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE COMPLEMENTAR 
 
(Enem 2000) Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, 
que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez. 
1ª opção: comprar três números para um único sorteio. 
2ª opção: comprar dois números para um sorteio e um número para um segundo sorteio. 3ª 
opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios. 
Escolhendo a 2a opção, a probabilidade de o apostador NÃO GANHAR em qualquer dos 
sorteios é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(QUESTÃO 173 SAS 2020) Em uma fábrica de confecção de roupas, as peças produzidas 
passam por uma análise de qualidade. O histórico dessas análises permitiu concluir que cerca 
de 10% da produção possui alguma falha que demanda ajustes. Considere que sejam 
escolhidas, ao acaso, três peças da produção dessa fábrica. A probabilidade estimada de que 
ao menos uma delas apresente necessidade de ajustes é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
BOLAS E URNAS 
 
 
(EsPCEx - 2019) Numa sala existem duas caixas com bolas amarelas e verdes. Na 
caixa 1, há 3 bolas amarelas e 7 bolas verdes. Na caixa 2, há 5 bolas amarelas e 5 
bolas verdes. De forma aleatória, uma bola é extraída da caixa 1, sem que se saiba 
a sua cor, e é colocada na caixa 2. Após esse procedimento, a probabilidade de 
extrair uma bola amarela da caixa 2 é igual a: 
a) 49/110 
b) 51/110 
c) 53/110 
d) 57/110 
e) 61/110 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela 
a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. 
 
 
 
Uma jogada consiste em: 
1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da 
urna 2; 
2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-
a com as que lá estão; 
3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 
4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. 
 
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade 
de ganhar? 
A. Azul. 
B. Amarela. 
C. Branca. 
D. Verde. 
E. Vermelha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE E CONJUNTOS 
 
(Enem 2013) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o 
conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa 
constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um 
desses idiomas.Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala 
inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à Fome (MDS) realizou, em parceria 
com a ONU, uma pesquisa nacional sobre a população que vive na rua, tendo sido ouvidas 
31 922 pessoas em 71 cidades brasileiras. Nesse levantamento, constatou-se que a maioria 
dessa população sabe ler e escrever (74%), que apenas 15,1% vivem de esmolas e que, entre 
os moradores de rua que ingressaram no ensino superior, 0,7% se diplomou. Outros dados 
da pesquisa são apresentados abaixo. 
 
 
 
No universo pesquisado, considere que P seja o conjunto das pessoas que vivem na rua por 
motivos de alcoolismo/drogas e Q seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua 
é a decepção amorosa. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesquisado e supondo-
se que seja igual a 40% a probabilidade de que essa pessoa faça parte do conjunto P ou do 
conjunto Q, então a probabilidade de que ela faça parte do conjunto interseção de P e Q é 
igual a: 
a) 12% 
b) 16% 
c) 20% 
d) 36% 
e) 52% 
 
 
PROBABILIDADE E ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Para fiscalizar determinada entidade, um órgão de controle escolherá 12 de seus servidores: 
5 da secretaria de controle interno, 3 da secretaria de prevenção da corrupção, 3 da 
corregedoria e 1 da ouvidoria. Os 12 servidores serão distribuídos, por sorteio, nas equipes 
A, B e C; e cada equipe será composta por 4 servidores. A equipe A será a primeira a ser 
formada, depois a equipe B e, por último, a C. A respeito dessa situação, julgue o item 
subsequente. A chance de a equipe A ser composta por um servidor de cada unidade é? 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Em um campeonato de futebol, a pontuação acumulada de um time é a soma dos pontos 
obtidos em cada jogo disputado. Por jogo, cada time ganha três pontos por vitória, um ponto 
por empate e nenhum ponto em caso de derrota. Se um time disputou 4 jogos, então a 
probabilidade de a pontuação acumulada desse time ser maior ou igual a 4 e menor ou igual 
a 7 será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE GEOMÉTRICA 
 
Exemplo. Um disco de raio R deve ser repartido em três regiões anulares concêntricas com 
o centro do disco original, como na figura. Deseja-se, que ao lançar aleatoriamente um ponto 
sobre o disco maior, ele tenha a mesma chance de cair em qualquer uma das três regiões. 
Calcule a razão R1/ R2 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UFRGS – 2019) Considere o alvo mostrado na 
figura a seguir, construído com três circunferências 
tangentes duas a duas, com DA = AC = 10 e os pontos 
D, A e C colineares. Um dardo é lançado e atinge o 
alvo. A probabilidade de o dardo atingir a região 
sombreada é de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE INDEPENDENTE 
 
(Enem PPL 2015) No próximo final de semana, um grupo de alunos participará de uma 
aula de campo. Em dias chuvosos, aulas de campo não podem ser realizadas. A ideia é que 
essa aula seja no sábado, mas, se estiver chovendo no sábado, a aula será adiada para o 
domingo. Segundo a meteorologia, a probabilidade de chover no sábado é de 30% e a de 
chover no domingo é de 25% . A probabilidade de que a aula de campo ocorra no domingo 
é de: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem cancelado 2009) Em um determinado semáforo, as luzes completam um ciclo de 
verde, amarelo e vermelho em 1 minuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos são para 
a luz verde, 5 segundospara a amarela e 70 segundos para a vermelha. Ao se aproximar do 
semáforo, um veículo tem uma determinada probabilidade de encontrá-lo na luz verde, 
amarela ou vermelha. Se essa aproximação for de forma aleatória, pode-se admitir que a 
probabilidade de encontrá-lo com uma dessas cores é diretamente proporcional ao tempo 
em que cada uma delas fica acesa. Suponha que um motorista passa por um semáforo duas 
vezes ao dia, de maneira aleatória e independente uma da outra. 
Qual é a probabilidade de o motorista encontrar esse semáforo com a luz verde acesa nas 
duas vezes em que passar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE COM CASOS 
 
Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o 
trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25%. 
Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da 
ocorrência de chuva nessa região. Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o 
serviço no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva? 
 
A. 0,075 
B. 0,150 
C. 0,325 
D. 0,600 
E. 0,800 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
(UEG 2019) Uma urna possui 5 bolas verdes e 4 amarelas. São retiradas duas bolas 
aleatoriamente e sem reposição. A probabilidade de ter saído bolas de cores diferentes é 
 
 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-xKadQn75trg/XQLjS_F-o1I/AAAAAAACV78/3IjRJ_riPyki7ZjLAOumP-vIloezJJisgCLcBGAs/s1600/quest%C3%A3o16.jpg
 
 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS 
 
 
Exemplo. A probabilidade de um cavalo vencer três ou menos corridas é de 58%. A 
probabilidade de um cavalo vencer três ou mais corridas é de 71%. Qual a probabilidade de 
o cavalo vencer exatamente três corridas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(IFAL 2019) Na eleição para o senado em cada estado, o eleitor pode escolher até dois dos 
candidatos do pleito. Foi feita uma pesquisa com 200 eleitores sobre dois candidatos A e B 
e se encontrou os seguintes resultados: 92 votam no candidato A, 86 votam no candidato B 
e 32 não votam em nenhum dos candidatos. Escolhendo, aleatoriamente, uma pessoa do 
grupo pesquisado, qual a probabilidade de que essa pessoa vote em A ou B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA 
 
Exemplo. Para fazer parte do time de basquete de uma escola, é necessário ter, no mínimo, 
11 anos. A média das idades dos cinco jogadores titulares desse time é 13 anos, sendo que 
o mais velho deles tem 17 anos. Dessa forma, o segundo mais velho do time titular pode ter, 
no máximo: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. De acordo com um relatório 
recente da Agência Internacional de 
Energia (AIE), o mercado de veículos 
elétricos atingiu um novo marco em 2016, 
quando foram vendidos mais de 750 mil 
automóveis da categoria. Com isso, o total 
de carros elétricos vendidos no mundo 
alcançou a marca de 2 milhões de unidades 
desde que os primeiros modelos 
começaram a ser comercializados em 2011. 
No Brasil, a expansão das vendas também 
se verifica. A marca A, por exemplo, expandiu suas vendas no ano de 2016, superando em 
360 unidades as vendas de 2015, conforme representado no gráfico. A média anual do 
número de carros vendidos pela marca A, nos anos representados no gráfico, foi de: 
 
 
 
 
 
 
 
MÉDIA COM CHEGADAS, SAÍDAS E SUBSTITUIÇÕES 
 
(ENEM 2020) O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de 
sua equipe de 1,93m para, no mínimo, 1,99m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem 
parte de sua equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78m; 1,82m; 1,84m 
e 1,86m. Para isso, o técnico contratou um novo jogador de 2,02m. Os outros três jogadores 
que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar média das 
estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três jogadores que ainda precisa 
contratar dentro do critério inicialmente estabelecido. Qual deverá ser a média mínima das 
estaturas, em metro, que ele deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá 
contratar? 
A) 1,96 
B) 1,98 
C) 2,05 
D) 2,06 
E) 2,08 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
O preparador físico de um time de basquete dispõe de um plantel de 20 jogadores, com 
média de altura igual a 1,80m. No último treino antes da estreia em um campeonato, um 
dos jogadores desfalcou o time em razão de uma séria contusão, forçando o técnico a 
contratar outro jogador para recompor o grupo. Se o novo jogador é 0,20 m mais baixo que 
o anterior, qual é a média de altura, em metro, do novo grupo? 
A. 1,60. 
B. 1,78. 
C. 1,79. 
D. 1,81. 
E. 1,82. 
 
 
 
 
MÉDIA PONDERADA 
 
(Ueg 2017) Um artesão fabrica certo tipo de peças a um custo de R$10,00 cada e as vende 
no mercado de artesanato com preço variável que depende da negociação com o freguês. 
Num certo dia, ele vendeu 2 peças por R$ 25,00 cada, 4 peças por R$ 22,50 cada e mais 4 
peças por R$ 20,00 cada. O lucro médio do artesão nesse dia foi de 
a. R$ 22,50 
b. R$ 22,00 
c. R$19,20 
d. R$12,50 
e. R$12,00 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. 
De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada 
entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, 
respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por 
questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua 
avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão 
sido divulgadas. O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais. 
 
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a 
competição é 
A. 18. 
B. 19. 
C. 22. 
D. 25. 
E. 26 
 
 
 
 
 
MÉDIA HARMÔNICA 
 
Exemplo. Um automóvel subiu uma ladeira a uma velocidade média de 60 km/h e, em 
seguida, desceu a mesma ladeira a velocidade média de 100 km/h. A velocidade média 
desse veículo no percurso inteiro foi de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Três torneiras ligadas sozinhas enchem um tanque em 3h, 4h e 6h 
respectivamente. Ligando as três torneiras simultaneamente, quanto tempo levarão para 
encher o tanque sabendo que há um vazamento capaz de esvaziar o tanque em 12h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉDIA GEOMÉTRICA 
 
Exemplo. Imagine que João recebeu um aumento de 10% no ano passado e de 20% neste 
ano. Não seria correto analisar sob a ótica da média aritmética, pois 
o aumento de 20% também incidiu sobre o aumento anterior de 
10%. Neste caso, a média indicada é a geométrica. Para calcularmos 
a média geométrica de porcentagens, as taxas percentuais devem ser 
transformadas em taxas unitárias: 10% = 1,10; 20% = 1,20 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo: Sabendo que os lados de um retângulo têm 3 e 7 cm, descubra qual a medida dos 
lados de um quadrado com a mesma área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIANA SIMPLES 
 
(Enem 2015) Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa 
olimpíada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos: 
 
A mediana dos tempos apresentados no quadro é 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem 2017) O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em %) para o período de março de 
2008 a abril de 2009, obtida com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de 
Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Porto Alegre. 
 
 
 
A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008 a abril de 2009, foi de: 
 
 
 
 
 
 
 
VALOR MEDIANO – Mesma coisa que mediano 
 
 
(Enem (Libras) 2017) Passar trote nos telefones de emergência da Polícia Militar, Corpo 
de Bombeiros e Serviço de Atendimento Móvel de Urgência (Samu) pode resultar em multa 
para odono do telefone de onde partiu a ligação. Para exemplificar a seriedade dessa 
questão, em uma cidade brasileira, um jornal local publicou a tabela a seguir, mostrando o 
número de trotes telefônicos recebidos pelos bombeiros da cidade, ao longo de um semestre. 
Qual o valor mediano da quantidade de trotes recebidos nesse semestre? 
 
 
ANOTAÇÕES 
Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os 
valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para 
cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 
400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis 
pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária. 
 
O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é 
A. 300,00. 
B. 345,00. 
C. 350,00. 
D. 375,00. 
E. 400,00. 
 
 
 
MODA 
 
(Enem PPL 2015) Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com alguns alunos de um curso, 
coletou as idades dos entrevistados e organizou esses dados em um gráfico. Qual a moda 
das idades, em anos, dos entrevistados? 
 
 
 
 
Exemplo. O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A 
coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos 
o time marcou aquele número de gols. 
 
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então 
A. X = Y < Z. 
B. Z < X = Y. 
C. Y < Z < X. 
D. Z < X < Y. 
E. Z < Y < X. 
 
 
VARIÂNCIA 
 
(Enem 2012) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de 
consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções 
de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m² e 
o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as 
informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare 
(10 000 m²). A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)² é: 
 
 
 
 
 
 
 
(Questão 170 SAS/2020) O setor de recursos humanos de uma empresa de informática 
realizou uma seleção visando preencher três vagas abertas para o cargo de analista de 
sistemas. A seleção foi constituída por uma prova escrita composta por três questões com 
pontuação de 0 a 10 cada uma. Os resultados obtidos pelos cinco candidatos participantes 
estão indicados na tabela a seguir. Sabendo que serão selecionados os três candidatos com as 
maiores médias e que, em caso de empate, o desempate será em favor do que tiver obtido 
desempenho mais regular nas três questões, os três candidatos selecionados serão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Candidato Questão 
1 
Questão 
2 
Questão 
3 
A 9 5 7 
B 7 8 6 
C 5 10 8 
D 9 6 6 
E 8 6 7 
 
 
DESVIO-PADRÃO 
 
(ENEM 2019 PPL) Um fiscal de certa empresa de ônibus registra o tempo, em minuto, que 
um motorista novato gasta para completar certo percurso. No Quadro 1 figuram os tempos 
gastos pelo motorista ao realizar o mesmo percurso sete vezes. O Quadro 2 apresenta uma 
classificação para a variabilidade do tempo, segundo o valor do desvio padrão. 
 
 
 
Com base nas informações apresentadas nos quadros, a variabilidade do tempo é: 
A extremamente baixa. 
B baixa. 
C moderada. 
D alta. 
E extremamente alta. 
 
 
Os administradores de uma empresa fizeram um levantamento estatístico da folha de 
pagamento dos funcionários e obtiveram para o mês de setembro de 2019 os dados dispostos 
na tabela a seguir 
Estatística sobre os salários dos funcionários 
Média Mediana Moda Desvio padrão 
2200,00 2000,00 2000,00 400,00 
 
Um acordo coletivo prevê, para outubro de 2019, um aumento de 20% no salário de uma 
parte fixa de 100,00. Desta forma, em outubto de 2019, os funcionários desta empresa terão 
uma distribuição salarial com: 
a. Média igual a 2640,00 
b. Média igual a 2300,00 
c. Mediada igual a 2100,00 
d. Moda igual a 2200,00 
e. Desvio padrão igual a 480,00 
 
 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO – Médias diferentes 
 
(Enem PPL 2014) Em uma escola, cinco atletas disputam a medalha de ouro em uma 
competição de salto em distância. Segundo o regulamento dessa competição, a medalha de 
ouro será dada ao atleta mais regular em uma série de três saltos. Os resultados e as 
informações dos saltos desses cinco atletas estão no quadro. 
 
A medalha de ouro foi conquistada pelo atleta número 
a. I. 
b. II. 
c. III. 
d. IV. 
e. V. 
 
 
O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de 
combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, 
foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” 
antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre 
o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas 
pesagens dos atletas estão no quadro. 
 
Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se 
enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas 
a. I e III 
b. I e IV 
c. II e III 
d. II e IV 
e. III e IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Afim 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VALORES QUE IGUALAM FUNÇÕES F(X) = G(X) 
 
(Enem 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a 
outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. 
A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de 
R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n), 
acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentam o mesmo 
padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. 
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia 
que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas 
apresentadas? 
a. 100n + 350 = 120n + 150 
b. 100n +150 = 120n + 350 
c. 100(n + 350) = 120(n + 150) 
d. 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000) 
e. 350(n + 100.000) = 150(n + 120.000) 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Unesp 2018) Dois dos materiais mais 
utilizados para fazer pistas de rodagem de 
veículos são o concreto e o asfalto. Uma pista 
nova de concreto reflete mais os raios solares do 
que uma pista nova de asfalto; porém, com os 
anos de uso, ambas tendem a refletir a mesma 
porcentagem de raios solares, conforme 
mostram os segmentos de retas nos gráficos: 
Mantidas as relações lineares expressas nos 
gráficos ao longo dos anos de uso, duas pistas 
novas, uma de concreto e outra de asfalto, 
atingirão pela primeira vez a mesma 
porcentagem de reflexão dos raios solares após 
a. 8,225 anos. 
b. 9,375 anos. 
c. 10,025 anos. 
d. 10,175 anos. 
e. 9,625 anos. 
 
 
 
 
(Enem 2009) Um técnico está testando no laboratório de química a evaporação de dois 
líquidos que possuem evaporação constante. Para isso, pegou dois recipientes idênticos 
que garantiam que a área de evaporação não influenciasse no processo e anotou os 
seguintes dados no relatório final: 
Líquido 1 - Foram colocados 200 ml e a evaporação completa ocorreu no 80.º dia. 
Líquido 2 - Foram colocados 180 ml e a evaporação completa ocorreu no 96.º dia. 
Terminando essa experiência, o técnico quer repetir o mesmo processo, só que parando no 
dia em que os dois líquidos alcançassem o mesmo nível. De acordo com os dados acima, 
o técnico pode prever que deve parar a experiência no 
a. 2.º dia. 
b. 16.º dia. 
c. 32.º dia. 
d. 88.º dia. 
e. 176.º dia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENCONTRAR A LEI DE FORMAÇÃO 
 
(UNCISAL 2017) Em uma concessionária de carros, um vendedor tem o salário fixo 
mensal de R$ 3.000,00. Além disso, ele recebe R$ 500,00 de comissão para cada carro 
queele vender. Nesse contexto, o ganho mensal total do vendedor em função do número 
x de automóveis vendidos e a quantidade que ele precisa vender em um mês para obter um 
salário de R$ 10.000,00 são, respectivamente, 
a. 3 000 + 500x e 6. 
b. 3 000 + 500x e 14. 
c. 3 000x + 500 e 3. 
d. 3 500 + x e 3 500. 
e. 3 500 + x e 6 500. 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
As sacolas plásticas sujam florestas, 
rios e oceanos e quase sempre 
acabam matando por asfixia peixes, 
baleias e outros animais aquáticos. 
No Brasil, em 2007, foram 
consumidas 18 bilhões de sacolas 
plásticas. Os supermercados 
brasileiros se preparam para acabar 
com as sacolas plásticas até 2016. 
Observe o gráfico a seguir, em que 
se considera a origem como o ano 
de 2007. De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão 
consumidos em 2011? 
a) 4,0 
b) 6,5 
c) 7,0 
d) 8,0 
e) 10,0 
 
 
 
(ENEM 2ª APLICAÇÃO 2010) Uma torneira gotejando diariamente é 
responsável por grandes desperdícios de água. Observe o gráfico que indica o 
desperdício de uma torneira: 
 
Se y representa o desperdício de água, em litros, e x representa o tempo, em dias, 
a relação entre x e y é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEI DE FORMAÇÃO COM IMPASSE 
 
Os vendedores de uma empresa de eletrodomésticos recebem um salário de R$ 2 
300,00, para o caso de não alcançarem a meta de vendas, estabelecida em R$ 20 
000,00. No caso de ultrapassarem essa meta, eles passam a receber um acréscimo 
de 2% sobre o valor das vendas acima da meta. Se um vendedor atingiu a meta, 
vendendo no total v reais, a expressão que representa seu salário (S) no mês em 
questão é: 
A. S(v) = 2 300 + 0,02v 
B. S(v) = 1 900 + 0,02v 
C. S(v) = 1 850 + 0,02v 
D. S(v) = 2 300 + 0,2v 
E. S(v) = 1 900 + 0,2v 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, que recebe R$ 1 
000,00 por semana. Os outros funcionários são diaristas. Cada um deles trabalha 
2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado. Chamando de X a 
quantidade total de funcionários da empresa, a quantia Y, em reais, que esta 
empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é expressa por: 
a. Y = 80X + 920. 
b. Y = 80X + 1000. 
c. Y = 80X + 1080. 
d. Y = 160X + 840. 
e. Y = 160X + 1000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Enem 2011) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da 
região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações 
deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 
4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada. 
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o 
mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, 
respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, 
janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão 
algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é 
a. y = 4300x 
b. y = 884 905x 
c. y = 872 005 + 4300x 
d. y = 876 305 + 4300x 
e. y = 880 605 + 4300x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
USANDO A MÉDIA ARITMÉTICA 
 
(Enem 2018) A raiva é uma doença viral e infecciosa, transmitida por mamíferos. A 
campanha nacional de vacinação antirrábica tem o objetivo de controlar a circulação do 
vírus da raiva canina e felina, prevenindo a raiva humana. O gráfico mostra a cobertura 
(porcentagem de vacinados) da campanha, em cães, nos anos de 2013, 2015 e 2017, no 
município de Belo Horizonte, em Minas Gerais. Os valores das coberturas dos anos de 
2014 e 2016 não estão informados no gráfico e deseja-se estimá-Ios. Para tal, levou-se em 
consideração que a variação na cobertura de vacinação da campanha antirrábica, nos 
períodos de 2013 a 2015 e de 2015 a 2017, deu-se de forma linear. Qual teria sido a 
cobertura dessa campanha no ano de 2014? 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(USS 2019) Uma caixa d’água que está inicialmente vazia tem a capacidade de 
1000 L. Essa caixa é abastecida durante 3,5 h até ficar completamente cheia. O 
gráfico a seguir, formado por dois segmentos de retas, representa o volume de água 
na caixa em função do tempo. Após a redução do fluxo de água, o tempo 
necessário, em minutos, para que o volume de água atinja exatamente 900 L é 
igual a: 
 
 
 
O percentual da população brasileira conectada à internet aumentou nos anos de 
2007 a 2011.Conforme dados do Grupo Ipsos, essa tendência é mostrada no 
gráfico. 
 
Suponha que foi mantida para os anos seguintes a mesma taxa de crescimento 
registrada no período 2007-2011.A estimativa para o percentual de brasileiros 
conectados à internet em 2015: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA (QUANDO O GRÁFICO TOCA OS DOIS 
EIXOS) 
 
(UEG 2018) A função que descreve o lucro mensal L de um comerciante, em 
função da quantidade de x produtos vendidos mensalmente, é representada pelo 
gráfico a seguir. 
 
Analisando-se o gráfico, a quantidade de produtos que esse comerciante tem que 
vender para obter um lucro de exatamente R$ 2.000,00 é de 
a. 200 
b. 400 
c. 600 
d. 1.000 
e. 10.000 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem PPL 2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já 
na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do 
mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30. 
 
 
A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é 
 a. L(t) = 20t + 3.000 
b. L(t) = 20t + 4.000 
c. L(t) = 200t 
d. L(t) = 200t -1.000 
e. L(t) =200t + 3.000 
 
Exemplo: Escrever a equação segmentária de uma reta r que passa pelos 
pontos A = (7, 0) e B = (0, 4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 
 
Exemplo. Para pintar sua casa, Marcos encontra dois pintores: Antônio, que 
cobra um valor contratual de R$ 100,00 e mais R$ 10,00 por m2 de área pintada, 
e Benedito, que cobra R$ 200,00 no contrato e mais R$ 6,00 por m2 de pintura. 
Acima de quantos m2 de área pintada é mais econômico contratar Benedito? 
a) 5. 
b) 10. 
c) 15. 
d) 20. 
e) 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UFPR 2020) Uma malharia produz camisetas personalizadas para eventos 
esportivos. Cada novo modelo possui um custo fixo de R$ 450,00 mais R$ 9,00 
por camiseta produzida. Sabendo que cada camiseta será vendida por R$ 20,00, a 
desigualdade que permite calcular o número de camisetas a serem vendidas para 
que se tenha um lucro de no mínimo R$ 1.000,00 é: 
a. 20n + 9(50 + n) ≤ 1000. 
b. 10(2n − 45) − 9n ≤ 1000. 
c. 9(50 + n) − 20n ≥ 1000. 
d. 10(45 + 2n) − 9n ≥ 1000. 
e. 20n − 9(50 + n) ≥ 1000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma pessoa deseja contratar uma empresa de eventos para organizar uma festa de 
aniversário de 50 anos. A empresa Happy oferece um pacote de serviços com valor 
fixo de 4000,00 acrescidos de 60,00 por cada convidado. Já a empresa Party ofereceu 
seu pacote de serviços ao custo fixo de 3000,00 acrescidos de 85,00 por convidado. 
Considerando o custo total pelo serviço de cada uma das empresas, é mais econômico 
contratar a empresa Happy se o número de convidados da festa for: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
USANDO A TABELA 
 
Os cuidados com a saude proporcionados pelos avanços da medicina associados a 
outros fatores têm contribuído enormemente para o aumento da expectativa de 
vida das pessoas. Em determinada região, a expectativa média de vida das pessoas 
era de 74 anos, em 2000, e passou a 74,4 anos em 2006. Admitindo-se um 
crescimento linear nessa expectativa de vida, pode-se estimar a expectativa média 
de vida, em anos, para 2018, em: 
a. 74,8 
b. 75,2 
c. 75,6 
d. 76,0 
e. 76,4 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um 
copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a 
seguir. Como resultado do experimento,concluiu-se que o nível da água é função do 
número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. 
 
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado. 
 
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do 
número de bolas (x)? 
a. y = 30x. 
b. y = 25x + 20,2. 
c. y = 1,27x. 
d. y = 0,7x. 
e. y = 0,07x + 6. 
 
 
 
O valor cobrado por uma empresa, em milhões de reais, para construir uma estrada, 
varia de acordo com o número x de quilômetros de estrada construídos. O modelo 
matemático para determinar esse valor é uma função polinomial do primeiro grau, 
cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos de coordenadas (x, y), dadas abaixo. 
x y 
0 4 
p 5 
15 7 
30 k 
Qual é o valor de p + k? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OUTROS ESTILOS 
 
Exemplo. Numa fazenda, existem galinhas e cabras, havendo 40 cabeças e 128 pés. Determine o número 
de cabras dessa fazenda. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Há cinco anos, a idade de Salete era o dobro da de Fláuber. Daqui a cinco anos a somas das 
idades dos dois será de 65 anos. Quantos anos Salete tem a mais do que Fláuber? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. A idade de uma pessoa é o dobro da de outra. Há cinco anos, a soma das idades das duas pessoas 
era igual à idade atual da mais velha. Quais são as idades atuais das duas pessoas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Um motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo, gastou 1/5 da capacidade do tanque para 
chegar à cidade A; gastou mais 28 L para ir da cidade A até a cidade B; sobrou, no tanque, uma quantidade 
de combustível que corresponde a 1/3 de sua capacidade. Qual a capacidade do tanque? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Uma empresa solicitou que seus funcionários entregassem panfletos nas residências de uma 
certa cidade. Se cada funcionário entregasse os panfletos em 100 residências, 60 delas não seriam 
visitadas. Como, no entanto, todas as residências visitadas e cada funcionário visitou 102 residências, 
quantas casas possui a cidade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função 
quadrática 
 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMA FATORADA – MONTANDO A LEI DE FORMAÇÃO 
 
(Enem (Libras) 2017) A única fonte de renda de um cabeleireiro é proveniente 
de seu salão. Ele cobra R$10,00 por cada serviço realizado e atende 200 clientes 
por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço. Ele sabe 
que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por mês. 
Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor 
de: 
a. R$10,00. 
b. R$10,50. 
c. R$11,00. 
d. R$15,00. 
e. R$ 20,00. 
 
ANOTAÇÕES 
No restaurante da Tia Gó o custo para preparar cada é de 8,00. Se Tia Gó cobrar 
12,00 por refeição, ela terá 200 clientes diários. Além disso, ela também percebeu 
que a cada 1,00 de aumento no preço da refeição, a quantidade de clientes diários 
diminui em 10 pessoas. Qual deve ser o preço que Tia Gó deve cobrar por refeição 
para que o lucro seja o maior possível? 
 
 
 
 
 
 
 
FORMA FATORADA A PARTIR DE GRÁFICOS 
 
(Enem PPL 2018) Um projétil é lançado por um canhão e atinge o solo a uma distância 
de 150 metros do ponto de partida. Ele percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima 
que atinge em relação ao solo é de 25 metros. Admita um sistema de coordenadas xy em 
que no eixo vertical y está representada a altura e no eixo horizontal x está representada a 
distância, ambas em metro. Considere que o canhão está no ponto (150;0) e que o projétil 
atinge o solo no ponto (0;0) do plano xy. A equação da parábola que representa a trajetória 
descrita pelo projétil é: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(G1 - cmrj 2018) Uma ponte metálica, em forma de arco de parábola, será construída. Sua 
sustentação será feita com seis pendurais metálicos, três de cada lado, distando 30m um 
do outro, como ilustra a figura abaixo. Sabendo que a ponte tem 40 m de altura, quantos 
metros de pendurais serão necessários para a construção desta ponte? 
 
 
 
 
 
 
FORMA FATORADA – QUESTÕES DE VITRAIS 
 
Um portal de igreja tem a forma de um arco de parábola, conforme figura abaixo. A medida 
da sua base AB é 4m e da sua altura é 5 m. Um vitral foi colocado 3,2 m acima da base. 
Qual a medida CD da base, em metros? 
 
 
A) 1,44 
B) 1,80 
C) 2,40 
D) 3,00 
E) 3,10 
 
ANOTAÇÕES 
A figura abaixo representa um portal de entrada de uma cidade cuja forma é um arco de 
parábola. A largura da base (AB) do portal é 8 metros e sua altura é de 10 metros. A largura 
MN, em metros, de um vitral colocado a 6,4 metros acima da base é: 
 
 
a) 5,2 
b) 3,6 
c) 6,0 
d) 4,8 
 
 
COTA DE COMPENSAÇÃO PELOS FALTANTES 
 
Exemplo. Os alunos de uma escola irão fretar um ônibus com 50 lugares para um passeio 
ao jardim zoológico. Cada aluno deverá pagar R$40,00, mais R$2,00 para cada lugar vago. 
Para que a quantidade de passageiros a empresa terá receita máxima? 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Um grupo de alunos planejou fazer uma excursão cujo custo era R$684,00. No 
dia do passeio, todos deveriam contribuir igualmente para arrecadar esse valor, no entanto, 
na data marcada, dois alunos faltaram, e a arrecadação ficou incompleta. Com isso, foi 
necessário que cada aluno presente contribuísse com mais R$ 1,00. Desse modo, foi 
possível completar o custo da excursão. A quantidade de alunos que contribuíram para 
custear o passeio foi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS A PARTIR DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Exemplo. Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende 
construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura. A área para o 
público será cercada com dois tipos de materiais: a) nos lados paralelos ao palco será usada 
uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00; b) nos outros 
dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00. 
A empresa dispõe de R$ 5 000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal 
maneira que obtenha a maior área possível para o público. A quantidade de cada tipo de 
tela que a empresa deve comprar: 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem 2017) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, 
em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma 
altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a 
cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas 
laterais. Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro 
seja máxima? 
 
a. a..1 e 49 
b. b. 1 e 99 
c.10 e 10 
d.25 e 25 
e.50 e 50 
 
 
Xv - Qual deve ser o valor dessa grandeza para que aquela grandeza seja 
máxima/mínima 
Enem 2000) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em 
geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que 
conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o 
conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o 
número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k . x . (P - x), onde k é uma 
constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o 
público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando 
o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: 
 
 
 
 
 
Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de 300 reais. Se cada uma 
for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês 600 - x unidades, em que x é 
natural menor ou igual a 600. Assinale a alternativa que representa o número de unidades 
vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
Yv - Qual dever ser o valor máximo/mínimo dessa grandeza? 
 
(Enem 2015) Um estudante está pesquisando 
o desenvolvimento de certotipo de bactéria. 
Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para 
armazenar as bactérias. A temperatura no 
interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada 
pela expressão T(h) = - h2 + 22h - 85, em que 
h representa as horas do dia. Sabe-se que o 
número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima 
e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, 
em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no 
interior da estufa está classificada como: 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um objeto é lançado verticalmente, para cima, de forma que a altura alcançada h, medida 
em metros, e o tempo decorrido após o lançamento t, medido em segundos, estão 
relacionados pela equação h – 120t + 5t2 = 0. Considerando h = 0 e t = 0 no instante do 
lançamento, então o tempo decorrido desde o lançamento até alcançar a altura máxima, e 
a altura máxima atingida são respectivamente 
a) 10 seg e 700 m. 
b) 12 seg e 720 m. 
c) 12 seg e 800 m. 
d) 10 seg e 820 m. 
 
 
 
FORMA CANÔNICA 
 
(G1 - epcar (Cpcar) 2018) De acordo com o senso comum, 
parece que a juventude tem gosto por aventuras radicais. 
Os alunos do CPCAR não fogem dessa condição. Durante 
as últimas férias, um grupo desses alunos se reuniu para 
ir a São Paulo com o objetivo de saltar de “Bungee 
Jumping” da Ponte Octávio Frias de Oliveira, geralmente 
chamada de “Ponte Estaiada”. Em uma publicação na rede 
social de um desses saltos, eles, querendo impressionar, 
colocaram algumas medidas fictícias da aproximação do 
saltador em relação ao solo. Considere que a trajetória que 
o saltador descreve possa ser modelada por uma função 
polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c = 0, cujo eixo das 
abscissas coincida com a reta da Av. Nações Unidas e o 
eixo das ordenadas contenha o “ponto mais próximo da Avenida”, indicados na figura. Considere, também, 
as medidas informadas. O coeficiente de x2 da função com as características sugeridas é igual a: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Uma empresa, após vários anos de estudo, 
deduziu que o custo médio (y) em reais de sua 
produção e venda de x unidades de um determinado 
produto é uma função do segundo grau y = x2 + bx + c 
representada pelo gráfico a seguir: 
Calcule o valor de b e de m? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENCONTRANDO AS RAÍZES 
 
Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, 
de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de 
infectados é dado pela função f(t) = –2t² + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia 
anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da 
epidemia. A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no 
dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda 
dedetização precisou acontecer.A segunda dedetização começou no 
a.19º dia. 
b.20º dia. 
c.29º dia. 
d.30º dia. 
e.60º dia. 
 
ANOTAÇÕES 
Pedro é pecuarista e, com o aumento da criação, ele terá que fazer um novo cercado para 
acomodar seus animais. sabendo-se que ele terá que utilizar 5 voltas de arame farpado e 
que o cercado tem forma retangular cujas dimensões são as raizes da equação x2-
45x+500=0, qual a quantidade mínima de arame que Pedro terá que comprar para fazer 
esse cercado? 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES COM GRÁFICOS 
 
A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo 
z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano 
da figura, é dada pela lei f(x) = 3/2 x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido 
contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da 
parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, 
em centímetros, é 
 
ANOTAÇÕES 
Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária a construção de 
um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por questões relacionadas ao tipo de solo a 
ser escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma 
determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da 
parábola que contém este arco. Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio 
da base da abertura do túnel, conforme Figura 2. A equação que descreve a parábola é: 
 
 
 
 
 
 
TAXA DA TAXA 
 
(ENEM PPL 2019) No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram 
a quantidade Q de uma substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao 
longo do tempo t. Esses pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma 
função quadrática de t. Os dados coletados nas duas primeiras horas foram: 
 
Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os 
pesquisadores querem saber, antecipadamente, a quantidade da substância que estará 
circulando na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado. 
Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a 
A 4. 
B 7. 
C 8. 
D 9. 
E 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-Woxt0Y81hws/YAH6Z7JjdII/AAAAAAAAKq8/c_bLZ6yt6XgwcS42zLzmZJVx4Co_Euh-QCLcBGAsYHQ/s375/tabela.png
 
 
Função 
exponencial 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES PARA ENCONTRAR A LEI DE FORMAÇÃO 
 
(UNIT 2019) A população, em uma cultura bacteriana, aumenta 44% a cada 2 horas. Se 
a população inicial for P0, então a população t, horas depois, será dada por: 
a. P(t) = P0 + (0,44)
2t 
b. P(t) = P0 + (1,2)
t/2 
c. P(t) = P0 . (0,44)
t/2 
d. P(t) = P0 . (1,2)
t 
e. P(t) = P0 + (1,44)
2t 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Uma pessoa com infecção aguda das vias urinárias ingeriu um comprimido 
com 3 g de determinado medicamento, conforme indicação médica. Sabe-se que esse 
medicamento é eliminado pelo organismo à razão de um quarto da quantidade existente 
a cada 5 horas. A função que relaciona a quantidade Q, em miligrama, desse 
medicamento no organismo t horas após a ingestão é 
A. Q(t) = 3 · (0,75)0,2t 
B. Q(t) = 3 · (1 – 0,25t) 
C. Q(t) = 3000 · (0,75)t 
D. Q(t) = 3000 · (0,75)0,2t 
E. Q(t) = 3000 · (0,75)5t 
 
 
 
QUESTÕES PARA ENCONTRAR A LEI DE FORMAÇÃO – A PARTIR 
DE GRÁFICOS 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
Analisando o gráfico, a lei de formação 
dessa função exponencial é: 
A) f(x) = 5x 
B) f(x) = 0,2x 
C) f(x) = 2x 
D) f(x) = 0,5x 
E) f(x) = 0,5-x 
 
 
USANDO A MÉDIA GEOMÉTRICA 
 
A população de marlim-azul foi reduzida a 20% da existente há cinquenta anos (em 1953). 
Considerando que foi constante a razão anual (razão entre a população de um ano e a do 
ano anterior) com que essa população decresceu durante esse período, conclui-se que a 
população de marlim-azul, ao final dos primeiros vinte e cinco anos (em 1978), ficou 
reduzida a aproximadamente: 
 
(A) 10% da população existente em 1953 
(B) 20% da população existente em 1953 
(C) 30% da população existente em 1953 
(D) 45% da população existente em 1953 
(E) 65% da população existente em 1953 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Mackenzie 2003) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número 
de bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas a seguir, decorridos 30 minutos do 
início das observações, o valor mais próximo desse número é: 
 
 
 
QUESTÕES QUE PEDEM O TEMPO 
 
(Ufpr 2014) Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente 
quando a temperatura atingir 65°C será possível segurar um de seus pedaços com as 
mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, 
possa ser descrita em função do tempo t, em minutos, pela expressão T =160 . 2-0,8t + 
25. Qualo tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as 
mãos nuas, sem se queimar? 
A. 0,25 minutos. 
B. 0,68 minutos. 
C. 2,5 minutos. 
D. 6,63 minutos. 
E. 10,0 minutos 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Pucrj 2018) Cientistas brasileiros verificaram que uma determinada colônia de 
bactérias triplica a cada meia hora. Uma amostra de 10.000 bactérias por mililitro 
foi colocada em um tubo de ensaio e, após um tempo x, verificou-se que o total 
era de 2,43 .106 bactérias por mililitro. 
Qual é o valor de x? 
a. duas horas 
b. duas horas e 30 minutos 
c. 3 horas e trinta minutos 
d. 48 horas 
e. 264 horas 
 
 
 
QUESTÕES QUE PEDEM O VALOR FINAL 
 
Exemplo. Biólogos e Matemáticos acompanharam em laboratório o crescimento de uma 
cultura de bactérias e concluíram que esta população crescia com o tempo t ≥ 0, ao dia, 
conforme a lei P(t) = Po.5
kt, onde Po, é a população inicial da cultura (t = 0) e k é uma 
constante real positiva. Se, após dois dias, o número inicial de bactérias duplica, então, 
após seis dias, esse número é: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da 
classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado 
ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de 
serviço (t), em anos, é s(t) = 1800.(1,03)t. De acordo com a proposta do sindicato, o 
salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES QUE PEDEM O VALOR DE UMA CONSTANTE 
 
(Pucrs 2013) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico 
modelado pela fórmula q = 10 . 2kt , onde q representa a quantidade de substância 
radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas) . Quando o tempo t é igual a 
3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. 
Então, o valor da constante k é : 
a. - 35/5 
b. - 33/10 
c. -5/33 
d. -10/33 
e. -100/33 
 
 
 
 
(Espcex (Aman) 2012) Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos 
agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura 
pode ser descrita pela expressão N(t)= No.2
kt , sendo No a população no início do 
tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, que descreve 
a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a 
população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, 
podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é igual a : 
a. 5-1 
b. -5-1 
c. 10 
d. 10−1 
e. -10-1 
 
 
 
USANDO A “TABELINHA” 
 
Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina, quando ingerido, é eliminado pelo 
organismo à razão de metade do volume acumulado a cada 2 horas. Daí, se K é o volume da 
substância no organismo, pode-se utilizar a função f(t) = K. (1/2)t/2 para estimar a sua eliminação 
depois de um tempo t, em horas. Neste caso, o tempo mínimo necessário para que uma pessoa 
conserve no máximo 2 mg desse antibiótico no organismo, tendo ingerido 128 mg numa única 
dose, é de: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem (Libras) 2017) Um modelo de automóvel tem seu valor depreciado em função 
do tempo de uso segundo a função f(t)=b⋅at com t em ano. Essa função está representada 
no gráfico. 
 
Qual será o valor desse automóvel, em real, ao completar dois anos de uso? 
 
 
 
QUESTÃO COM “TRUQUE” 
 
(FGV) A posição de um objeto A em um eixo numerado é descrita pela lei: 
 1/8 - 7/8.2-0,5t , sendo t o tempo em segundos. No mesmo eixo, move-se o objeto B, de 
acordo com a lei 2-t. Os objetos A e B se encontrarão em certo instante tAB. O valor de 
tAB, em segundos, é um divisor de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Resolver a seguinte equação exponencial: 9x – 4. 3x + 3 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função e 
equação 
logarítmicas 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAGNITUDE SÍSMICA 
 
(ENEM 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador 
tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, 
de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), 
deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um 
terremoto na escala Richter pode ser calculada por: 
Sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real 
positiva. Considere que E1 e E2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no 
Japão e na China, respectivamente. Qual a relação entre E1 e E2? 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(ENEM PPL 2018) Em março de 2011, um terremoto de 9,0 graus de magnitude na escala 
Richter atingiu o Japão matando milhares de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro 
daquele ano, um terremoto de 7,0 graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero, 
na Argentina. A magnitude de um terremoto, medida A pela escala Richter, é 𝑅 = log(𝐴/𝐴0 ), em 
que A é a amplitude do movimento vertical do solo, informado em um sismógrafo, A0 é uma 
amplitude de referência e log representa o logaritmo na base 10. A razão entre as amplitudes dos 
movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina é: 
a. 1,28 
b. 2,0 
c. 109/7 
d. 100 
e. 109 - 107 
 
 
Em 2011, a costa nordeste do Japão foi sacudida por um terremoto com magnitude de 8,9 graus 
na escala Richter. A energia liberada E por esse terremoto, em kWh, pode ser calculada por 
Sendo E0 = 7.10-3 kWh e R a magnitude desse terremoto na escala Richter. 
Considere 0,84 como aproximação para log7. Disponível em: 
http://oglobo.globo.com. Acesso em: 2 ago. 2012.A energia liberada pelo 
terremoto que atingiu a costa nordeste do Japão em 2011, em kWh, foi de 
 
a) 1010,83 
b) 1011,19 
c) 1014,19 
d) 1015,51 
e) 1017,19 
 
 
 
A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW), introduzida 
em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a 
magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS 
é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da 
atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. MW e M0 se 
relacionam pela fórmula: 
 
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da 
superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅cm. O terremoto de Kobe, acontecido 
no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na 
comunidade científica internacional. Teve magnitude MW = 7,3. Mostrando que é possível 
determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FINANCEIRA E LOGARITMO 
 
(ENEM 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de 
forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de 
antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de 
uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido 
a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V 
determinado pela fórmula 
V = P ˑ (1 + i )n 
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a 
uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga 
antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor 
da parcela. Utilize 0,2877 como aproximação para ln(4/3) e 0,0131 como aproximação 
para ln(1,0132). 
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a 
a. 56ª 
b. 55ª 
c. 52ª 
d. 51ª 
e. 45ª 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor 
de R$ 5000,00. Para pagar as prestações, dispõede, no máximo, R$ 400,00 mensais. 
Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número 
de prestações (n) segundo a fórmula 
 
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação 
para log 400; 2,525 como aproximação para log 335. De acordo com a fórmula dada, o 
menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa 
é 
A.12 
B.14 
C.15 
D.16 
E.17 
 
 
 
 
 
Exemplo. Uma quantia inicial de R$1000 foi investida em uma aplicação 
financeira de rende juros de 6% compostos anualmente. Qual é o tempo 
necessário para que essa quantia dobre? (Use: log21,06 = 0,084) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESENVOLVIMENTO DAS PROPRIEDADES 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente 
da estrela, Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse 
observada a uma distância padrão de 10 parsecs(1parsec é aproximadamente 3.1013km). As 
magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância 
ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a 
relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula 
 
M = m + 5 . log3 (3 . d-0,48) 
 
onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude 
aparente 0,2 e magnitude absoluta -6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao 
planeta Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um cientista analisou a reprodução de ratos em laboratório. A população inicial de 84 ratos 
passou a 96 após um certo período. Uma modelagem matemática determinou que o crescimento 
populacional desses ratos segue o modelo P(t) = P0 · 1,2t, em que P0 é a população inicial, e t, o 
tempo, em anos. Considere 0,3, 0,48 e 0,85 como aproximação para log 2, log 3 e log 7, 
respectivamente. Considerando o caso anterior, o tempo aproximado do crescimento da 
população de ratos foi de 
A 1,6 meses. 
B 7,5 meses. 
C 1,6 anos. 
D 7,5 anos. 
E 21,6 anos. 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES DE pH 
 
(IFPE_2018) Os alunos do curso de Meio Ambiente do campus Cabo de Santo 
Agostinho observaram que o número de flores em uma árvore X segue o modelo 
matemático f(h) = 16 - log2(3h + 1), onde f(h) é a quantidade de flores após ℎ 
horas de observação. Após quanto tempo de observação esta árvore estará com 
apenas 10 flores? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
O potencial de hidrogênio (pH) das soluções é dado pela função: pH = - log[H+], 
onde [H+] é a concentração do cátion H+ ou H3O+ na solução. Se, em uma solução, 
a concentração de H+ é 2.10−9 , qual o pH dessa solução? Adote: log 2 = 0,3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas análises químicas de soluções, o pH é muito utilizado e, através dele, o 
químico pode avaliar a acidez da solução. O pH de uma solução, na verdade, é 
uma função logarítmica dada por: 
pH = − log[H+] 
 
Onde: [H+] é a concentração de H+ na solução (concentração hidrogeniônica). 
Tendo em vista essas informações, se uma solução apresentou pH=5, podemos 
dizer que a concentração hidrogeniônica vale 
a) 10−3 
b) 10−5 
c) 10−7 
d) 10−9 
e) 10−1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CRESCIMENTO E LOGARITMO 
 
Exemplo. Em 1997, iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do 
país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha 
crescido segundo a função P = 0,1 + log2 
(x - 1996), onde P é a população no ano x, em 
milhares de habitantes. Considerando √2 = 1,4, podemos concluir que a população dessa 
cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o 
número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem 
de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 
bilhões. Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a 
densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 
1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos 
em 0,25 cm² de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que 
se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore). 
Considere 0,30 como aproximação para log102 
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores? 
A.1999 
B.2002 
C.2022 
D.2026 
E.2146 
 
 
 
 
 
 
(Vunesp) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas 
da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantas 
até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções: 
- altura H(t) = 1 + 0,8 . log2 (t + 1) 
- diâmetro do tronco: D(t) = 0,1 . 2t/7 , com H(t) e D(t) em metro e t em ano. 
a)Determine as medidas aproximadas da altura, em metro, e do diâmetro do 
tronco, em centímetro, das árvores no momento em que são plantadas. 
b)A altura de uma árvore é 3,4m. Determine o diâmetro aproximado do tronco 
dessa árvore, em centímetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA E LOGARITMO 
 
Exemplo. Um artista plástico pintou um 
painel na fachada de um prédio, que 
está representado, graficamente, pela 
parte hachurada da figura a seguir. Sabe-
se que a região retangular ABCD 
representa o painel. De acordo com a 
figura, pode-se concluir que a área do 
painel, em m², é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura abaixo, está representada o gráfico da função y=logx. Nesta 
representação estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a: 
 
A] log2 + log3 + log5 
B] log30 
C] 1+ log30 
D] 1 + 2log15 
E] 1 + 2log 30 
 
 
 
 
MEIA-VIDA 
 
Exemplo. Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente é o tempo 
necessário para que o valor dessa grandeza se reduza à metade. Uma substância 
radioativa decresce exponencialmente de modo que sua quantidade, daqui a t 
anos, é q = a . (0,975)t. adotando os valores ln 2 = 0,693 e ln 0,975 = – 0,025, o 
valor da meia-vida dessa substância é aproximadamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
FUNÇÃO LOGARITMO 
 
(PUCRS 2014) O modelo da cobertura que está sendo colocada no Estádio Beira-Rio 
está representado na figura abaixo. 
 
Colocada devidamente em um plano cartesiano, é possível afirmar que, na forma em 
que está, a linha em destaque pode ser considerada uma restrição da representação da 
função dada por 
a. 𝑦 = log𝑥 
b. 𝑦 = 𝑥2 
c. 𝑦 = |𝑥| 
d. 𝑦 = √−𝑥 
e. 𝑦 = 10𝑥 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros 
das portas dianteiras foram desenhados de forma 
que suas bordas superiores fossem representadas 
pela curva de equação y = log (x), conforme a 
figura. 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo 
x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base 
do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas 
condições, o engenheiro determinou uma expressão 
que fornece a altura h do vidro em função da medida 
n de sua base, em metros.A expressão algébrica que 
determina a altura do vidro é: 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função 
trigonométrica 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENCONTRAR A LEI DE FORMAÇÃO 
 
Exemplo. Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, 
utiliza uma função do tipo P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais 
positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um 
batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões 
máximas. Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados: 
 
A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi: 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um terremoto de magnitude 8 graus daescala Richter atingiu, em setembro de 2009, a 
região de Samoa. O terremoto causou ondas de até 3 metros. A maré alta neste local 
ocorreu à meia-noite. Suponha que o nível de água na maré alta era de 3 metros; mais 
tarde, na maré baixa, era de 3 cm. Supondo que a próxima maré alta seja exatamente ao 
meio-dia e que a altura da água é dada por uma curva seno ou cosseno, qual das 
alternativas abaixo corresponde à fórmula para o nível da água na região em função do 
tempo? 
a) 1,515 + 1,485.cos (πt/6) 
b) 1,515 + 1,485.sen (πt/6) 
c) 1,485.cos (πt/6) 
d) 1,485.sen (πt/6) 
e) 1,485 + 1,515. cos (πt) 
 
 
IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS 
 
(IFBA 2016) A partir do solo, o pai observa seu filho numa roda gigante. Considere a 
altura A, em metros, do filho em relação ao solo, dada pela função 
A(t)= 12,6 + 4 sen[(π /18) – (t - 26)], onde o tempo (t) é dado em segundos e a medida 
angular em radianos. Assim sendo, a altura máxima e mínima e o tempo gasto para uma 
volta completa, observados pelo pai, são, respectivamente: 
a. 10,6 metros; 4,6 metros e 40 segundos. 
b. 12,6 metros; 4,0 metros e 26 segundos. 
c. 14,6 metros; 6,6 metros e 24 segundos. 
d. 14,6 metros; 8,4 metros e 44 segundos. 
e. 16,6 metros; 8,6 metros e 36 segundos. 
 
 
ANOTAÇÕES 
(ACAFE 2014) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras 
e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na 
região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante três dias 
consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do 
primeiro dia (t 0) = e os dados foram representados pela função periódica T(t) = 24 + 3cos 
(πt/6 + π/3), em que t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da medição e T(t), 
a temperatura (em Cº) no instante t. O período da função, o valor da temperatura máxima e 
o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, 
respectivamente: 
a. 6h,25,5 Cº e 10h. 
b. 12h,27 Cº e 10h. 
c. 12h,27 Cº e 15h. 
d. 6h,25,5 Cº e 15h. 
 
 
IDENTIFICAÇÃO DO GRÁFICO A PARTIR DA LEI DE FORMAÇÃO 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na vida de várias 
espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em metros, em 
um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função: 
A(t)=1,6 - 1,4 sen( /6 . t) 
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite 
de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está 
representada pelo gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENCONTRANDO O “t” 
 
 
 
Cerca de 24,3% da população brasileira é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo 
consumo excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmHg) de um certo 
indivíduo é expressa em função do tempo por 
 
onde t é dado em segundos. Cada período dessa função representa um batimento 
cardíaco. Analise as afirmativas. Está(ão) correta(s) 
 
I - A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto. 
II - A pressão em t = 2 segundos é de 110 mmHg. 
III - A amplitude da função P(t) é de 30 mmHg. 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS 
 
Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de 
distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o 
satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de 
r em função de t seja dado por 
 
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da 
Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada 
por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de 
A.12 765 km. 
B.12 000 km 
C.11 730 km 
D.10 965 km. 
E.5 865 km 
 
ANOTAÇÕES 
A quantidade de peixes de certa espécie, medida em toneladas, presente num trecho do Rio 
Sanhauá foi modelada pela equação: 
Q(t) = 
700
7+3cos(
𝜋𝑡
6
)
 
Onde t representa o número de meses transcorridos após o início da análise. A quantidade 
máxima de peixes observados duarante esse estudo foi: 
a. 70 000kg 
b. 100 000kg 
c. 175 000kg 
d. 233 000kg 
e. 700 000kg 
 
 
VALORES MENSAIS 
 
Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves 
problemas a toda a população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se 
dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. Suponha que 
a função 
 
represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de 
Saúde, com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, o mês de fevereiro e assim 
por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses 
de janeiro, março, maio e julho é igual a: 
a 693 
b 720 
c 747 
d 774 
e 939 
 
 
 
 
 
(FGV-SP) A previsão mensal de venda de sorvetes para 2012, em uma sorveteria, é dada 
por P=6000 + 50x + 2000 cos (πx/6), em que P é o número de unidades vendidas no mes 
x; x=0 representa janeiro de 2012, x=1 representa fevereiro de 2012, x=2 representa 
março de 2012, e assim por diante. Se essas previsões se verificarem, em julho haverá 
uma queda na quantidade vendida, em relação a março, da aproximadamente: 
A)39.5% 
B)38,5% 
C)37,5% 
D)36,5% 
E)35,5% 
 
 
 
 
PARÂMETRO “D” 
 
 
O gráfico mostra a quantidade de animais que uma certa área de pastagem pode sustentar 
ao longo de 12 meses. Propõe-se a função Q (t) = a sen (b + ct) + d para descrever essa 
situação. De acordo com os dados, Q (0) é igual a: 
a) 100. 
b)97. 
c)95. 
d)92. 
e) 90. 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
OUTROS ESTILOS 
(ENEM 2019) Um grupo de engenheiros está 
projetando um motor cujo esquema de 
deslocamento vertical do pistão dentro da 
câmara de combustão está representado na 
figura. 
A função ℎ(𝑡) = 4+4𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑡/2−𝜋/2) 
definida para 𝑡 ≥ 0 descreve como varia a 
altura h, medida em centímetro, da parte 
superior do pistão dentro da câmara de 
combustão, em função do tempo t , medido 
em segundo. Nas figuras estão indicadas as 
alturas do pistão em dois instantes distintos. 
O valor do parâmetro 𝛽, que é dado por um 
número inteiro positivo, está relacionado 
com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa 
potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do 
funcionamento (instante t =0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor 
de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para 𝜋. O menor valor inteiro a 
ser atribuído ao parâmetro 𝛽, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, 
é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(QUESTÃO 160 SAS/2020) Durante um experimento em condições controladas, a 
temperatura T do ambiente, em grau Celsius, é modelada pela função T(t) = 36 – t/2 + 
sen(πt/18), em que t representa o tempo de duração do experimento, em minuto. 
 
Caso necessário, considere √2 = 1,41 e √3 = 1,73. 
Decorrida uma hora após o início do experimento, a temperatura do 
ambiente é mais próxima de 
A. 5,1 °C. 
B. 5,3 °C. 
C. 5,5 °C. 
D. 6,5 °C. 
E. 6,9 °C. 
 
 
 
(UFSM 2008) Em determinada cidade, a concentração diária, em gramas, de 
partículas de fósforo na atmosfera é medida pela função C(t) = 3 + 2sen(πt/6), 
em que t é a quantidade de horas para fazer essa medição. O tempo mínimo 
necessário para fazer uma medição que registrou 4 gramas de fósforo é de 1/2 
hora. 
a. 1 hora. 
b. 2 horas. 
c. 3 horas. 
d. 4 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trigonometria 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCADA ESCORREGADIA 
 
(Unicamp) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua 
casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamenteraiz de 14 
m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar 
o muro paralelo à parede, conforme ilustração ao lado. Refeito do susto, Roberto reparou 
que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45º com a horizontal. A 
distância entre a parede da casa e o muro, e o comprimento da escada são, 
respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma escada de 25m está encostada na parede vertical de um edifício, de forma que o pé 
da escada está a 7m da base do prédio. Se o topo da escada escorrega 4m, o pé da escada 
escorregará 
A)14m. 
B)8m. 
C)15m. 
D)9m. 
 
Considere uma escada de 2,5m de comprimento apoiada numa parede da qual seu pé 
dista 70cm dessa parede. Considerando que a escada desloque mais 80cm da parede, 
haverá um deslocamento da extremidade superior da escada de. 
A)50cm. 
B)30cm. 
C)60cm. 
D)40cm. 
 
 
 
 
ALTURA EM FUNÇÃO DO ÂNGULO (LEI DE FORMAÇÃO 
 
(UNIFOR 2014) Uma cama de hospital, equipada com um ajustador hidráulico, 
move-se de acordo com um controle manual de subir e descer. 
 
A altura y que a cama varia em função de θ é de: 
a. y = 2 senθ 
b. y = 2 senθ + 2 
c. y = tgθ + 2 
d. y = 2 cosθ 
e. y = 2 cosθ + 2 
 
ANOTAÇÕES 
(Faap-1996) A figura a seguir mostra um painel 
solar de 3 metros de largura equipado com um 
ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o 
painel é ajustado automaticamente de modo que os 
raios do sol incidam perpendicularmente nele. O 
valor de y (em metros) em função de θ: 
 
 
 
 
 
 
 
MESMO CATETO ADJACENTE 
 
(UNESP) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente 
ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé 
do edifício X (ponto P), mede um ângulo α em relação 
ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo 
do edifício X, num ponto R, de forma que RPTS 
formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, 
esse observador mede um ângulo β em relação ao 
ponto Q no edifício Y. Sabendo que a altura do 
edifício X é 10m e que 3tgα = 4tgβ, a altura h do 
edifício Y, em metros, é: 
a) 40/3 
b) 50/4 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
 
 
ANOTAÇÕES 
Em um determinado edifício, os primeiros andares 
são destinados às garagens e ao salãode festas e os 
demais andares, aos apartamentos. Interessado nas 
dimensões desseprédio, um topógrafo coloca um 
teodolito (instrumento óptico para medir 
ânguloshorizontais e ângulos verticais) a uma 
distância d do pré dio. Com um ângulo vertical 
de30°, esse topógrafo observou que o primeiro piso 
de aparta men tos está a uma altura de11,80 m do 
solo; e com um ângulo verti cal de 60°, avistou o 
topo do edifício, conformea figura a seguir. De 
acordo com esses dados e sabendo-se que a luneta 
do teodolito está a 1,70 m do solo, a altura do 
edifício é: 
 
 
 
 
 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
(UNIFOR 2014) Uma rampa retangular, medindo 
10m2, faz um ângulo de 25º em relação ao piso 
horizontal. Exatamente embaixo dessa rampa, foi 
delimitada uma área retangular A para um jardim, 
conforme figura. Considerando que cos 25º = 0,9, 
a área A tem aproximadamente: 
 
 
 
 
 
 
Do alto de sua casa, uma pessoa avista o topo de um edificil sob um ângulo a. Sabe-se 
que a distância entre a casa e o edificio é AB = 8,4m, que senα = 4/5 e que a altura dessa 
casa é AM = 4,8m, pode-se estimar que a altura BN do edifício em metros, é: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
INCLINAÇÃO DA RAMPA 
 
Um terreno inclinado traz dificuldades para a construção 
civil, para a agricultura e para um caminhante 
aventureiro. Seja α a medida do ângulo que a superfície 
do terreno faz com o plano horizontal, conforme a figura. 
A taxa de declividade, ou apenas declividade, de um 
terreno é a tangente desse ângulo α. A declividade de um 
terreno é, normalmente, expressa em porcentagem, por 
exemplo, se tg α = 0,23, então, a taxa de declividade é 23%. Um excursionista sobe uma montanha 
que tem declividade de 50%. Considere que, do ponto que o excursionista partiu até o topo da 
montanha, o desnível vencido foi de 1 000 metros. Nessas condições, a menor distância percorrida 
pelo excursionista até o topo da montanha é, em quilômetros, 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro 
degraus, cada um medindo 24cm de comprimento por 12cm de altura. Para atender à política de 
acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma 
inclinação, conforme mostra a foto acima. Com o objetivo de verificar se a inclinação está de 
acordo com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do ângulo que a 
rampa faz com o solo. O valor encontrado pelo fiscal 
 a)estava entre 30º e 45º. 
 b)era menor que 30º. 
 c)foi exatamente 45º. 
 d)era maior que 45º 
 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO: 𝑎 e 2𝑎 
 
(Enem 2011) Para determinar a distância de um 
barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte 
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o 
ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da 
praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele 
seguiu até um ponto B de modo que fosse possível 
ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2𝑎. Suponha que o navegante 
tenha medido o ângulo 𝑎 = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a 
distância AB 2000 m = . Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância 
do barco até o ponto fixo P será: 
 
 
 
 
 
 
 
O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma rota 
retilínea AC orientado por um farol F, localizada numa ilha. 
Ele pretendia determinar as distâncias do farol F à rota AC e 
do ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o 
comandante obteve a medida FAC= 30° e , após percorrer 6 
milhas marítimas, localizando-se em B, ele fez a medição do 
ângulo FBC, obtendo 60°. De acordo com as informações, as 
distâncias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F, obtidas pelo 
comandante foram, respectivamente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA E PITÁGORAS 
 
Queremos desenhar, no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com 
vértice I sobre o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as medidas 
dos lados do retângulo são AB = 25cm e BC = 15cm, então a medida do lado do 
losango é: 
a)13cm 
b)15cm 
c)17cm 
d)18cm 
e) 152√2 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Duas vilas na zona rural de um 
município localizam-se na 
mesma margem de um trecho 
retilíneo de um rio. Devido a 
problemas de abastecimento de 
água, os moradores fizeram 
várias reivindicações à 
prefeitura, solicitando a 
construção de uma estação de 
bombeamento de água para 
sanar esses problemas. Um 
desenho do projeto, proposto 
pela prefeitura para a construção da estação, está mostrado na figura a seguir. No 
projeto, estão destacados: 
 Os pontos V1V1 e V2V2, representando os reservatórios de água de cada vila, 
e as distâncias desses reservatórios ao rio. 
 Os pontos A e B, localizados na margem do rio, respectivamente, mais 
próximos dos reservatórios V1V1 V2V2. 
 O ponto E, localizado na margem do rio, entre os pontos A e B, onde deverá 
ser construída a estação de bombeamento. 
 
Com base nesses dados, para que a estação de bombeamento fique a uma mesma 
distância dos dois reservatórios de água das vilas, a distância entre o ponto A e E deverá 
ser de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO 30, 60 E 90 GRAUS - DICA 
(Unifor 2014) Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio e vê o topo do prédio 
sob um ângulo de 30º, como mostra a figura abaixo. 
 
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de distância do solo, então 
podemos afirmar que a altura do prédio em metros é: 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO 45, 45 E 90 GRAUS - DICA 
Quando o Sol se encontra a 45º acima do horizonte, uma árvore projeta sua 
sombra no chão como comprimento de 15 m. Determine a altura dessa árvore: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arcos e ciclos 
trigonométricos 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULO ENTRE PONTEIROS 
 
O relógio Tower Clock, localizado em Londres, Inglaterra, é muito conhecido pela sua 
precisão e tamanho. O ângulo interno formado entre os ponteiros das horas e dos minutos 
deste relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 20 minutos é: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Observando os movimentos dos ponteiros em um relógio, João percebeu que o ponteiro 
dos minutos percorre 30º a cada cinco minutos e o das horas percorre 30º a cada hora. 
Sendo assim, quando for 12h15min, o menor ângulo formado entre o ponteiro das horas 
e o dos minutos será: 
A)90º. 
B)85º30’. 
C) 85º. 
D) 82º30’ 
 
 
MESMO MERIDIANO 
 
A localização de um ponto qualquer na superfície da 
Terra (considerada como uma esfera) é feita, em geral, 
a partir de duas coordenadas, sendo uma delas a latitude 
– que é o ângulo (em grau) entre o plano que contém a 
linha do equador e o segmento que une o centro da 
esfera ao ponto em questão. Sabe-se que as cidades de 
Porto Alegre e de Macapá situam-se, praticamente, no 
mesmo meridiano. Considere que a cidade de Macapá 
(ponto M) localiza- se bem próximo da linha do equador 
(latitude = 0°02’20" ao norte); que a latitude de Porto 
Alegre (ponto P) é de 30°01’59" ao sul e que o valor do diâmetro da Terra é de 12 750 
quilômetros. Tendo em vista tais considerações, pode-se afirmar que a distância, em 
quilômetro, entre as duas cidades é de aproximadamente: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Uel 2013) Uma família viaja para Belém (PA) em seu automóvel. Em um dado instante, o 
GPS do veículo indica que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 21°20’ Sul e 
longitude 48°30’ Oeste. O motorista solicita a um dos passageiros que acesse a Internet em 
seu celular e obtenha o raio médio da Terra, que é de 6730 km, e as coordenadas geográficas 
de Belém, que são latitude 1°20’ Sul e longitude 48°30’ Oeste. A partir desses dados, 
supondo que a superfície da Terra é esférica, o motorista calcula a distância D, do veículo a 
Belém, sobre o meridiano 48° 30’ Oeste. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, 
o valor da distância D, em km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MESMO PARALELO 
 
(Uel 2006) Os primeiros relógios baseavam-
se no aparente movimento do Sol na abóboda 
celeste e no deslocamento da sombra 
projetada sobre a superfície de um corpo 
iluminado pelo astro. Considere que: a Terra é 
esférica e seu período de rotação é de 24 horas 
no sentido oeste-leste; o tempo gasto a cada 
15° de rotação é de 1 hora; o triângulo 
Brasília/Centro da Terra/Luzaka (Zâmbia) 
forma, em seu vértice central, um ângulo de 
75°. A hora marcada em Luzaka, num relógio solar, quando o sol está a pino em 
Brasília é: 
a) 5 horas. 
b) 9 horas. 
c) 12 horas. 
d) 17 horas. 
e) 21 horas. 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede 6.400 km. 
Na representação abaixo, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto 
C, passando por B. 
 
Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x ; y), em que x 
representa a longitude e y, a latitude. 
As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir. 
 
Considerando π igual a 3, a distância mínima, em quilômetros, a ser percorrida 
pelo navio no trajeto ABC é igual a: 
A)11.200 
B)10.800 
C)8.800 
D) 5.600 
 
 
 
 
 
DESLOCAMENTO NO SISTEMA CARTESIANO 
 
Sobre um sistema cartesiano considera-se 
uma malha formada por circunferências de 
raios com medidas dadas por números 
naturais e por 12 semirretas 
com extremidades na origem, separadas 
por ângulos de conforme a figura. 
Suponha que os objetos se desloquem 
apenas pelas semirretas e pelas 
circunferências dessa malha, 
não podendo passar pela origem (0;0). 
Considere o valor de π com 
aproximação de, pelo menos, uma casa 
decimal. Para realizar o percurso mais 
curto possível ao longo da malha, do 
ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a: 
 
 
 
 
 
 
No jogo mostrado na figura, uma bolinha 
descola-se somente de duas formas: ao 
longo de linhas retas ou por arcos de 
circunferências centradas no ponto O e 
raios variando de 1 a 8. Durante o jogo, a 
bolinha que estiver no ponto P deverá 
realizar a seguinte sequência de 
movimentos: 2 unidades no mesmo 
sentido utilizado para ir do ponto O até o 
ponto A e, no sentido anti-horário, um 
arco de circunferência cujo ângulo 
central é 120°. 
Após a sequência de movimentos 
descrita, a bolinha estará no ponto 
 
a) B. 
b) D. 
c) E. 
d) F. 
e) G. 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
OUTROS ESTILOS 
 
(Unesp-SP) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma 
de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A 
parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo 
de abertura mede 1 rad. O perímetro do “monstro”, em 
centímetros, é: 
 
a) π - 1 
b) π + 1 
c) 2π - 1 
d) 2π 
e) 2π + 1 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(PUCCamp) Ao descrever o tipo de salto de uma ginasta, um entendido a ele referiu: 
"Era como se seus dedos dos pés decrevessem no espaço um arco de circunferência de 
124cm de comprimento." Considerando que cada perna dessa ginasta, juntamente com 
seu pé esticado, estejam em linha reta e perfazem 60cm, o cosseno do ângulo de abertura 
de suas pernas era: (use pi=3,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado 
“Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate 
vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação 
“900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, 
que, no caso, corresponde a 
A) uma volta completa. 
B) uma volta e meia. 
C) duas voltas completas. 
D) duas voltas e meia. 
E) cinco voltas completas 
 
 
 
 
 
No protótipo antigo de uma bicicleta, conforme figura abaixo, 
a roda maior tem 55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de 
raio. O número mínimo de voltas completas da roda maior 
para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é: 
 
A) 5 voltas. 
B) 7 voltas. 
C) 9 voltas. 
D) 11 voltas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
financeira 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
(Fac. Albert Einstein - Medicina 2018) Um produto foi comprado em 2 parcelas, a 
primeira à vista e a segunda após 3 meses, de maneira que, sobre o saldo devedor, incidiram 
juros simples de 2% ao mês. Se o valor das 2 parcelas foi o mesmo, em relação ao preço do 
produto à vista, cada parcela corresponde à 
a. 51/101 
b. 53/103 
c. 55/105 
d. 57/107 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(G1 - cftmg 2016) O pagamento de uma televisão foi feito, sem entrada, em 5 parcelas 
mensais iguais, corrigidas a juros simples pela taxa de 0,7% ao mês. Dessa forma, no final 
do período, o valor total pago, em percentual, será maior do que o inicial em 
a. 2,1. 
b. 3,5. 
c. 4,2. 
d. 7,3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Uepa 2015) Um agricultor financiou junto a uma cooperativa os insumos utilizados na 
lavoura em 2014. Pagou 20% do valor dos insumos no ato da compra, utilizando parte do 
lucro obtido no ano anterior, e financiou o restante em 10 meses a uma taxa de 2% ao mês 
a juros simples. Observou que havia gastado o montante de R$ 208.800,00 com a parte 
financiada. Neste caso, o valor financiado dos insumos pelo agricultor foi de: 
a. R$ 217.500,00 
b. R$ 174.000,00 
c. R$ 164.000,00 
d. R$ 144.500,00 
e. R$ 136.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(CFTMG 2011) A quantia de R$17.000,00 investida a juros simples de 0,01% ao dia, gera, 
após 60 dias, um montante de 
a. R$102,00 
b. R$1.020,00 
c. R$17.102,00 
d. R$18.020,00JUROS COMPOSTOS 
 
(Uemg 2018) Júlio dispõe de uma quantia Q, em reais, e pretende aplicá-la, no sistema de 
juros compostos, à taxa de 4% ao mês. Considerando log2 = 0,3010 e log1,04 = 0,0086, 
quanto tempo será necessário para que essa quantia seja quadruplicada? 
a. 4 anos e meio. 
b. 5 anos e 8 meses. 
c. 5 anos e 10 meses. 
d. Mais de 6 anos. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(FGV-SP 2020) Estima-se que em cada um dos próximos 5 anos o PIB de um país cresça 
5%. Qual deverá ser a taxa de crescimento x constante, em cada um dos 5 anos seguintes, 
para que o PIB dobre daqui a 10 anos, em relação ao deste ano? 
Use a tabela: 
 
A) 8,7% aproximadamente 
B) 10,4% aproximadamente 
C) 9,5% aproximadamente 
D) 9,1% aproximadamente 
E) 9,9% aproximadamente 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SOMA DOS TERMOS DE UMA PA 
 
(BB – FCC). Um empréstimo de R$ 
800.000,00 deve ser devolvido em 5 
prestações semestrais pelo Sistema de 
Amortizações Constantes (SAC) à taxa de 
4% ao semestre. O quadro demonstrativo 
abaixo contém, em cada instante do tempo 
(semestre), informações sobre o saldo 
devedor (SD), a amortização (A), o juro (J) 
e a prestação (P) referentes a esse 
empréstimo. Observe que o quadro 
apresenta dois valores ilegíveis. Se o 
quadro estivesse com todos os valores 
legíveis, o valor correto da prestação P, no 
último campo à direita, na linha 
correspondente ao semestre 5, da tabela, 
seria de: 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Um empréstimo de R$ 30 000,00 deve ser devolvido de acordo com o sistema de 
amortizações constantes em 60 prestações mensais a taxa de juros de 1% ao mês. Determine 
o valor da prestação de número 38 e o valor dos juros cobrados dessa prestação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INVESTIMENTO COM APORTES MENSAIS – SOMA DOS TERMOS DE UMA PG 
 
(Espm 2016) Em todos os 10 dias dos meses de Janeiro, Fevereiro e Março de um certo 
ano, o Sr João aplicou a mesma quantia de R$ 1000,00 á taxa de juros compostos de 10% 
ao mês. Podemos concluir que o montante dessa aplicação no dia 10 de Abril desse mesmo 
ano foi de: 
A) R$ 4.203,00 
B) R$ 3.641,00 
C) R$ 4.015,00 
D) R$ 3.135,00 
E) R$ 3.968,00 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Pensando em montar seu próprio consultório, Nathalia começou a economizar desde que 
entrou no curso de Medicina. Ao passar no vestibular, ela ganhou R$ 5 000,00 de seus pais 
e os aplicou a uma taxa de 0,5% ao mês a juros compostos. Além disso, mensalmente, ela 
depositou R$ 100,00 à mesma taxa de juros compostos. Hoje, passados 5 anos, ou seja,60 
meses, qual o montante do rendimento dos R$ 5 000,00 e qual o valor economizado por 
Nathália com suas aplicações mensais? (Considere 1,00560 = 1,35) 
 
a) R$ 6 750,00 e R$ 7 000,00 
b) R$ 6 500,00 e R$ 7 800,00 
c) R$ 6 500,00 e R$ 7 000,00 
d) R$ 6 750,00 e R$ 7 800,00 
e) R$ 7 800,00 e R$ 6 500,00 
 
 
 
 
 
 
 
COM DUAS OU MAIS TAXAS DE JUROS 
 
Um capital de R$ 1 000,00 foi aplicado a juros compostos de taxa positiva durante dois anos. 
Sabendo que o montante final foi R$ 1 155,00 e que a taxa de juro do 2º ano foi o dobro da 
taxa do 1º ano, pode-se afirmar que a taxa de juro do 2º ano foi: 
a) 8% 
b) 7% 
c) 9% 
d) 6% 
e) 10% 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
O comendador José Alfredo vendeu um de seus diamantes por R$ 200.000,00 e aplicou o 
dinheiro num fundo de renda fixa durante um ano. A rentabilidade desse fundo nos cinco 
primeiros meses do referido ano foi de 0,8% a.m., enquanto que nos sete meses restantes a 
rentabilidade foi de 1,2%. O valor obtido por José Alfredo no prazo é dado, em milhares de 
reais, por: 
a. 200. (1,008)5.(1,012)7 
b. 200. (1,008)7.(1,012)5 
c. 200. (1,08)5.(1,12)7 
d. 200. (1,02)12 
e. 200. (1,01)12 
 
 
 
 
 
 
FINANCIAMENTO NO SISTEMA PRICE (Sistema francês de amortização) – 
PARCELAS IGUAIS 
 
Considere um empréstimo bancário realizado no valor de R$ 100.000,00 para ser liquidado 
em 100 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira ao final do 1º mês. 
Sabe-se que o empréstimo foi realizado pelo regime do Sistema Francês (Tabela Price) de 
Amortização, à taxa de juros compostos de 2% ao mês, obtendo-se o valor de R$ 2.800,00 
para cada prestação. Com base nos dados apresentados, o saldo devedor do empréstimo, 
após o pagamento da 2ª prestação, será de 
AR$ 99.380,00. 
BR$ 99.200,00. 
CR$ 98.384,00. 
DR$ 98.551,68. 
ER$ 98.702,71. 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma Sociedade Empresária tomou um empréstimo de R$60.000,00, a ser pago em três 
parcelas anuais e consecutivas. Considerando-se apenas as informações apresentadas, o 
valor desembolsado anualmente para pagamento de cada prestação será de, 
aproximadamente: 
 
: 
 
 
 
JUROS ACUMULADOS 
 
Um investidor aplicou 20% de seu capital a 15% ao ano, 25% de seu capital a 18% ao ano 
e o restante a 12 % ao ano. Determine o valor do capital inicialmente aplicado, sabendo 
que os juros acumulados no final de dois anos foram iguais a 14.100,00. 
a) Juros Simples 
b) Juros Compostos 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Patrícia aplicou, num investimento bancário, determinado capital que, no regime de juros 
compostos, durante um ano e seis meses, à taxa de de 8% a.m., gerou um juro de R$ 
11960,00. Qual é o capital aplicado por ela nesse investimento? Use (1,08)18=3,99 
 
a. 3.800 
b. 4.000 
c. 4.600 
d. 5.000 
e. 5.200 
 
 
 
 
VALOR À VISTA 
 
Uma mercadoria é vendida com entrada de R$ 500,00 mais 2 parcelas fixas mensais de R$ 
576,00. Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros compostos de 20% ao mês, 
o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual a 
 
a) 1.380,00. 
b) 1.390,00. 
c) 1.420,00. 
d) 1.440,00. 
e) 1.460,00. 
 
ANOTAÇÕES 
Uma pessoa se interessou em adquirir um produto anunciado em uma loja. Negociou com o 
gerente e conseguiu comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O primeiro 
pagamento será um mês após a aquisição do produto, e no valor de R$ 202,00. O segundo 
pagamento será efetuado um mês após o primeiro, e terá o valor de R$ 204,02. Para 
concretizar a compra, o gerente emitirá uma nota fiscal com o valor do produto à vista 
negociado com o cliente, correspondendo ao financiamento aprovado. O valor à vista, em 
real, que deverá constar na nota fiscal é de 
a. 398,02 
b. 400,00 
c. 401,94 
d. 404,00 
e. 406,02 
 
 
 
ANTECIPAÇÃO DE PARCELAS – QUITAÇÃO ANTECIPADA 
 
(Enem 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, 
conceder-se- á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o 
valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data 
futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, 
produz um valor futuro V determinado pela fórmula: 
 Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$820,00, 
a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma 
outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela. Utilize 0,2877 como 
aproximação para In e 0,0131 como aproximação para In (1,0132). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um empréstimo foi feito à uma taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas 
iguais a P. O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, 
pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após a 5ª parcela, resolve quitar a dívida 
no ato de pagar a 6 parcela. A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do 
empréstimo é 
 
 
 
 
 
 
 
ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS MENSAIS 
 
Uma cliente fez um empréstimo, a juros simples, de 600 reais, em um banco, a uma taxa de 
4% ao mês, por dois meses. Quando ela foi pagar, o gerente do banco informou-lhe que 
poderia sortear uma taxa i para ter um desconto sobre o valor de sua dívida. Fez-se o sorteio 
e lhe foi concedidoo desconto, resultando no pagamento de 602, 64 reais. Dessa forma, o 
valor da taxa i sorteada foi de: 
a) 5% 
b) 6% 
c) 7% 
d) 8% 
 
 
 
 
 
 
Uma concessionária anunciou um veículo no valor de R$30.000,00 à vista. Após 
negociação, um cliente adquiriu o veículo pagando R$20.000,00 de entrada e R$11.200,00 
após 30 dias. A taxa mensal de juros cobrada nessa venda foi de 
a) 4%. 
b) 6,6%. 
c) 11,2%. 
d) 12%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matrizes 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES DO ENEM 
 
Um professor aplica, durante os cinco dias úteis de uma semana, testes com quatro 
questões de múltipla escolha a cinco alunos. Os resultados foram representados na 
matriz. 
 
Nessa matriz os elementos das linhas de 1 a 5 representam as quantidades de questões 
acertadas pelos alunos Ana, Bruno, Carlos, Denis e Érica, respectivamente, enquanto 
que as colunas de 1 a 5 indicam os dias da semana, de segunda-feira a sexta-feira, 
respectivamente, em que os testes foram aplicados. 
O teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado na 
A. segunda-feira. 
B. terça-feira. 
C. quarta-feira. 
D. quinta-feira. 
E. sexta-feira. 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma transação financeira de valores 
entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio 
de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe 
esses valores em uma matriz A = [aij], em que e , e o 
elemento aij corresponde ao total proveniente das operações feitas via TED, em milhão 
de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos 
aij = 0, uma vez que TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz 
obtida para essa análise: 
 
Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via TED é o 
banco 
A. 1. 
B. 2. 
C. 3. 
D. 4. 
E. 5. 
 
Uma empresa avaliou os cinco aparelhos de celulares (T1, T2, T3, T4 e T5) mais 
vendidos no último ano, nos itens: câmera, custo-benefício, design, desempenho da 
bateria e tela, representados por I1, I2, I3, I4 e I5respectivamente. A empresa atribuiu 
notas de 0 a 10 para cada item avaliado e organizou essas notas em uma matriz A, em 
que cada elemento aij significa a nota dada pela empresa ao aparelho Ti no item Ij. A 
empresa considera que o melhor aparelho de celular é aquele que obtém a maior soma 
das notas obtidas nos cinco itens avaliados. 
Com base nessas informações, o aparelho de celular que a empresa avaliou como 
sendo o 
melhor é o 
A. T1 
B. T2 
C. T3 
D. T4 
E. T5 
 
 
 
DEFININDO A MATRIZ 
 
A matriz Aij(2x3) tem elementos definidos pela expressão aij = i3 – j2 . Portanto, a matriz A 
é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UEG 2019) A matriz triangular de ordem 3, na qual aij = 0 para i > j e aij = 4i – 5j + 2 
para i ≤ j é representada pela matriz 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR MATRIZ 
 
 
O levantamento sobre a dengue no Brasil tem como objetivo orientar as ações de controle, que 
possibilitam aos gestores locais de saúde antecipar as prevenções a fim de minimizar o caos 
gerado por uma epidemia. O Ministério da Saúde registrou 87 mil notificações de casos de dengue 
entre janeiro e fevereiro de 2014, contra 427 mil no mesmo período em 2013. Apesar do resultado 
expressivo de diminuição da doença, o Ministério da Saúde ressalta a importância de serem 
mantidos o alerta e a continuidade das ações preventivas. Os principais criadouros em 2014 são 
apresentados na tabela a seguir. 
 
Seja A a matriz formada pelos elementos aij , em que i são as regiões e j os tipos de criadouros 
apresentados na tabela. Considerando que cada região tenha seus tipos de criadouros aumentados 
em 10%, devido a um desequilíbrio ambiental, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, 
a matriz B resultante. 
 
a) B3×5 = k · A3×5, em que k = 10, 0 
b) B3×5 = (1 + k) · A3×5, em que k = 0, 1 
c) B5×3 = (1 + k) · A5×3, em que k = 0, 1 
d) B5×3 = (10 + k) · A5×3, em que k = 0, 1 
e) B5×3 = k · A5×3, em que k = 0, 1 
 
ANOTAÇÕES 
https://1.bp.blogspot.com/-SXuKM1zi6L8/XKqrNhwMvII/AAAAAAACVG8/lQiQEbwI8ccyJYv3FKj1bd7PRspx40SCACLcBGAs/s1600/q25.jpg
 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
(UEG 2019) Em um torneio de vôlei, as equipes A, B, C e D obtiveram os resultados 
registrados na tabela a seguir. 
 
 
Sabendo-se que cada resultado, pelo regulamento do torneio, tem a pontuação 
correspondente segundo a tabela a seguir, a matriz que corresponde à pontuação total no 
torneio de cada equipe é 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Para combater a subnutrição infantil, foi desenvolvida uma mistura alimentícia composta 
por três tipos de suplementos alimentares: I, II e III. Esses suplementos, por sua vez, 
contêm diferentes concentrações de três nutrientes: A, B e C. Observe as tabelas a seguir, 
que indicam a concentração de nutrientes nos suplementos e a porcentagem de 
suplementos na mistura, respectivamente. 
 
A quantidade do nutriente C, em g/kg, encontrada na mistura alimentícia é igual a: 
a) 0,235 
b) 0,265 
c) 0,275 
d) 0,295 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-bd7dcsmITm8/XQLl92HtHoI/AAAAAAACV88/nwU0hsXVz1AD7IXVZ-xy3Sw9tWWpoqxOQCLcBGAs/s1600/tabela-1.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-625tPObreEY/XQLmFiEwv0I/AAAAAAACV9A/_an68HkskMMNsrKlGfyuhWuO41pTZ14gQCLcBGAs/s1600/tabela-2.jpg
 
Teorema de 
Tales 
 
Semelhança de 
triângulos 
 
Relações 
métricas 
 
 
TEOREMA DE TALES – APLICAÇÃO DIRETA 
 
(UFSM 2003) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a 
buscarem alternativas na geração de energia 
elétrica para a manutenção do maquinário. Uma 
alternativa encontrada por uma fábrica foi a de 
construir uma pequena hidrelétrica, 
aproveitando a correnteza de um rio que passa 
próximo às suas instalações. Observando a figura 
e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam 
paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para 
rua B. as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para 
a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2 para a rua B 
mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3? 
 
 
 
 
TEOREMA DE TALES – COM INCÓGNITAS 
 
Na figura a seguir, as retas R, s, t e w são paralelas e, a, b e c representam medidas de 
segmentos tais que a + b + c = 100. Conforme esses dados, os valores de a, b e c são, 
respectivamente iguais a: 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Cefet/MG - 2014) Considere a figura em que r // s // t. 
 
O valor de x é? 
A)3 
B)4 
C)5 
D)6 
 
 
 
 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS – APLICAÇÃO DIRETA 
 
Exemplo: Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, 
em forma de disco que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do 
exército, situado aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, 
sendo assim, pode se afirmar que o raio do disco voador mede, em m, aproximadamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto 
do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do 
desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras 
projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 25 dm e 125 
dm. Portanto, a altura do “pau de sebo”, em metros, é: 
a) 5,0. 
b) 5,5. 
c) 6,0. 
d) 6,5. 
 
 
 
 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS – APLICAÇÃO DIRETA 
 
Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi também um próspero comerciante. Certa 
vez, visitou o Egito em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele assombrou o faraó e toda a 
corte egípcia, medindo a sombra da pirâmide de Quéops, cuja base é um quadrado de 230 
metros de lado. Para calcular a altura dapirâmide, Tales fincou verticalmente no solo uma 
estaca que fincou com altura de 1 metro acima do solo. As medidas dos comprimentos da 
sombra da pirâmide e da sombra da estaca são, respectivamente, 255 metros e 2,5 metros: 
 
Com base nas informações do texto e das figuras, é válido afirmar que a altura da pirâmide, 
em metros, é: 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de 
outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam 
separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm. Adotando-se um modelo muito 
simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro 
médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 
1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é A) 1. 
B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS – APLICAÇÃO DIRETA 
 
Exemplo: Se ABC é um triângulo retângulo em A, o valor de n é: 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Dois jovens pesquisadores, João e Diogo, decidiram lançar um único balão 
meteorológico para fazer um estudo. Após o lançamento, em um dado momento, João estava 
a 8 km do balão e Diogo a 15 km. Sabe-se que o balão subiu verticalmente durante todo o 
percurso e que a distância entre os pesquisadores naquele momento era de 17 km. Observe 
a figura abaixo, representativa da situação: Desconsiderando a curvatura da Terra, pode-se afirmar 
que a altura aproximada desse balão era de: 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS – APLICAÇÃO DIRETA 
 
Exemplo: Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 
cm. Nessas condições, determine: 
a) a medida da altura relativa à hipotenusa 
b) a área do triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo: Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja 
hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígonos 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS 
 
Na figura, as retas r e s são paralelas. A soma α+β+γ+δ das medidas dos ângulos 
indicados na figura é: 
 
a) 180° 
b) 270° 
c) 360° 
d) 480° 
e) 540° 
 
ANOTAÇÕES 
As formas geométricas aparecem em vários objetos do 
nosso cotidiano. Observe, na imagem abaixo, um relógio 
octogonal, objeto que fascina qualquer admirador de 
relógios. A soma das medidas dos ângulos internos de um 
octógono como o da imagem acima é: 
a) 180° 
b) 360° 
c) 900° 
d) 1 080° 
e) 1 440° 
 
 
 
 
ÂNGULOS DOS POLÍGONOS 
 
(UNIFESP 2003) Pentágonos regulares 
congruentes podem ser conectados, lado a 
lado, formando uma estrela de cinco pontas, 
conforme destacado na figura. 
 
ANOTAÇÕES 
O mosaico a seguir é formado por pentágonos 
regulares e losangos. A soma das medidas dos 
ângulos x, y e z é igual a: 
A) 252º. 
B) 288º. 
C) 324º. 
D) 360º. 
 
 
 
 
ÃNGULO INTERNO 
 
Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do 
ângulo α é: 
 
 
ANOTAÇÕES 
Alguns polígonos regulares, quando postos juntos, preenchem o plano, isto é, não 
deixam folga, espaço entre si. Por outro lado, outras combinações de polígonos não 
preenchem o plano. A seguir, exemplos desse fato: a Figura 1, formada por 
hexágonos regulares, preenche o plano; a Figura 2, formada por pentágonos e 
hexágonos regulares, não preenche o plano. Na Figura 2, a medida do ângulo x é 
igual a 
a) 14° 
b) 12° 
c) 10° 
d) 8° 
e) 6° 
 
NÚMERO DE DIAGONAIS A PARTIR DO ÂNGULO INTERNO/EXTERNO 
 
Sabe-se que a medida de cada ângulo interno de um polígono regular é 144°, então 
qual é o número de diagonais de tal polígono? 
a)10 
b)14 
c)35 
d)72 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Os ângulos externos de um polígono regular medem 15 graus. O número de 
diagonais desse polígono é: 
a) 56 
b) 24 
c) 252 
d) 128 
e) 168 
 
 
 
 
NÚMERO DE DIAGONAIS 
 
(CP2 2016) A figura a seguir mostra um polígono regular de 14 lados e todas 
as suas diagonais. O número de diagonais traçadas é? 
 
a. 77 
b. 79 
c. 80 
d. 98 
 
 
(UECE 2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço 
do número de diagonais, então o valor de n é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGONAIS QUE PASSAM PELO CENTRO 
 
Tomando-se ao acaso uma das diagonais formadas pelos vértices de um 
octógono regular, a probabilidade de que a diagonal passe pelo centro do 
octógono é de: 
a)50% 
b)40% 
c)20% 
d)0% 
 
 
 
 
De um icoságono regular são escolhidos dois vértices. Qual a probabilidade 
de que o segmento formado seja uma diagonal que passe pelo centro do 
icoságona? 
a) 1/10 
b) 1/19 
c) 9/170 
d) 1/17 
e) 2/17 
 
 
 
 
 
 
 
TRAÇANDO AS RETAS PARA VISUALIZAR MELHOR 
 
Os quatro hexágonos da imagem a seguir são 
regulares e cada um tem área de 48 cm². Os 
vértices do quadrilátero ABCD coincidem com 
vértices dos hexágonos. Os pontos E, D, B e F são 
colineares. 
A área do quadrilátero ABCD , em cm², é 
a)8. 
b)10. 
c)16. 
d)24. 
e)36. 
 
 
 
 
Um hexágono regular de área 12 cm2 e de centro 
P foi pintado em duas tonalidades, conforme a 
figura. A área pintada na tonalidade mais clara, em 
cm2, é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6. 
 
 
 
 
PENTÁGONO 
 
Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma 
casa lidava com placas de gesso com formato de 
pentágono regular quando percebeu que uma 
peça estava quebrada, faltando uma parte 
triangular, conforme mostra a figura. 
Para recompor a peça, ele precisou refazer a 
parte triangular que faltava e, para isso, anotou 
as medidas dos ângulos x=EÂD e y=EDA do 
triângulo ADE. As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, 
respectivamente, 
a) 18, 18 e 108. 
b) 24, 48 e 108. 
c) 36, 36 e 108. 
d) 54, 54 e 72. 
 
 
 
(UFRGS 2015) O emblema de um super-herói 
tem a forma pentagonal, como representado na 
figura abaixo. A área do emblema é: 
 
 
 
 
 
 
https://servimg.com/r/2420080995/0_36c210.png
 
HEXÁGONO 
 
A figura a seguir descreve o movimento 
executado por uma máquina para o corte de uma 
placa metálica. Partindo de A, ela 
sistematicamente avança 6 cm e gira 60º para 
esquerda, até retornar ao ponto A. A área da 
superfície recortada é: 
 
 
 
 
 
 
Uma das piscinas do Centro de Práticas 
Esportivas da USP tem o formato de três 
hexágonos regulares congruentes, 
justapostos, de modo que cada par de 
hexágonos tem um lado em comum, 
conforme representado na figura abaixo. A 
distância entre lados paralelos de cada 
hexágono é de 25 metros. Assinale a alternativa que mais se aproxima da área 
da piscina. 
a. 1.600m2 
b. 1.800m2 
c. 2.000m2 
d. 2.200m2 
e. 2.400m2 
 
 
 
OCTÓGONO 
 
(UFMG 2008) O octógono regular de vértices 
ABCDEFGH, cujos lados medem 1 dm cada um, está 
inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme 
mostrado nesta figura:Então, é CORRETO afirmar que 
a área do quadrado PQRS é: 
A) 1 + 2√2 dm² 
B) 1 + √2 dm² 
C) 3 + 2√2 dm² 
D) 3 + √2 dm² 
 
 
 
A figura abaixo representa um octógono regular tal que CH = 6 cm 
 
 
A área desse polígono, em cm2, é igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://cdng.estuda.com/sis_questoes/posts/302839_pre.jpg?1531414164
 
 
 
Ângulos e 
conceitos 
básicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E SUPLEMENTARES 
 
O suplemento do complemento de um ângulo excede a terça parte do complemento do 
dobro desse ângulo em 85º. O valor desse ângulo em graus é: 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Calcule o valor de x, em graus, na figura: 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
 
A medida de y na figura, em graus, é: 
a) 42°. 
b) 32°. 
c) 142°. 
d) 148°. 
e) 24°. 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A medida do ângulo Y na figura é: 
A)62° 
B)72° 
C)108° 
D)118° 
E)154° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL 
 
 
(MACKENZIE) Na figura abaixo, a e b são retasparalelas. A afirmação correta a 
respeito do número que expressa, em graus, a medida do ângulo "α" é: 
 
a) um número primo maior que 23. 
b) um número ímpar. 
c) um múltiplo de 4. 
d) um divisor de 60. 
e) um múltiplo comum entre 5 e 7. 
 
ANOTAÇÕES 
 
Duas retas paralelas "r " e "s", cortadas por uma transversal "t", formam ângulos 
colaterais internos, dos quais um excede o outro em 20°. O ângulo colateral interno 
agudo mede: 
a)20° 
b)35° 
c)55° 
d)80° 
 
(CFTRJ 2017) Uma fita de papel retangular é 
dobrada conforme a figura a seguir. O valor do 
ângulo a marcado na figura é: 
 
A) 155 
B) 150 
C) 140 
D) 130 
 
 
 
 
 
As retas R e s são interceptadas por uma transversal t,conforme a figura.O valor 
de x para que r e s seja paralelas é? 
 
 
Numa gincana, a equipe “Já Ganhou” recebeu o seguinte desafio: Na cidade de Curitiba, 
fotografar a construção localizada na rua Marechal Hermes no número igual à nove vezes 
o valor do ângulo  da figura a seguir. Se a equipe resolver corretamente o problema, 
irá fotografar a construção localizada no número: 
 
 
 
 
DIVISÃO DE UM SEGMENTO 
 
Três cidades, A, B e C, situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre 
A e C, e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um 
encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da 
estrada, localizado entre as cidade B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-
se que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que 
o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois nadadores, posicionados em lados opostos de uma piscina retangular e em 
raias adjacentes, começam a nadar em um mesmo instante, com velocidades 
constantes. Sabe-se que, nas duas primeiras vezes em que ambos estiveram lado 
a lado, eles nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a 15 m de uma borda 
e, na segunda vez, a 12 m da outra borda. Considerando-se essas informações, é 
correto afirmar que o comprimento dessa piscina é 
a) 21 m. 
b) 27 m. 
c) 33 m. 
d) 54 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Pucsp) Três amigos - Astolfo, Benito e Conrado - disputaram umacorrida cujo 
percurso era de 20 km e chegaram em primeiro, quinto edécimo lugares, 
respectivamente. Sabe-se que, ao cruzar a linha dechegada, Astolfo estava a 4 km 
de Benito e a 6 km de Conrado. Con-siderando que, ao longo de todo o percurso, 
cada um deles manteve avelocidade constante, então, quando Benito cruzou a 
linha dechegada, quantos quilômetros estava à frente de Conrado? 
a) 2,5 
b) 3 
c) 3,5 
d) 4 
e) 4,5 
 
 
 
 
 
 
 
ROTAÇÃO E DESDOBRAMENTO DE FIGURAS 
 
Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou 
o local da festa com bandeirinhas de papel. Essas 
bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: 
inicialmente, recortaram as folhas de papel em 
forma de quadrado, como mostra a Figura 1. Em 
seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio 
sobrepondo os lados BC e AD, de modo 
que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B, 
conforme ilustrado na Figura 2. Marcaram os 
pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de 
modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas 
pontilhadas ao longo da folha dobrada. 
Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha está pronta. A figura que representa a 
forma da bandeirinha pronta é 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras 
mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova 
figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O. 
 
A imagem que representa a nova figura é: 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulos 
e suas 
variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA – DESIGUALDADE TRIANGULAR 
 
(ENEM 2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando 
palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será 
construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos 
lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 
palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas 
características. A quantidade máxima de triângulos não 
congruentes dois a dois que podem ser construídos é 
A.3 
B.5 
C.6 
D.8 
E.10 
 
ANOTAÇÕES 
(UFPE 2005) Um barco está sendo rebocado para a 
margem de um porto por um cabo de aço. 
Inicialmente, o barco está no ponto A da ilustração, 
quando o cabo tem comprimento de 100 m. Após 
puxar o cabo de 20 m, o barco ocupa a posição B. 
Nessas condições, a distância AB é 
A.maior que 20 m. 
B.B igual a 20 m. 
C.C igual a 19 m 
D.D igual a 18 m. 
E.E menor que 18 m. 
 
 
 
 
TEOREMA DA SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM 
TRIÂNGULO 
 
 
 
Exemplo: Calcular cada um dos 
ângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO 
 
 
 
 
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA 
 
 
Exemplo. No triângulo ABC, de perímetro igual a 88 cm, a bissetriz do ângulo A 
determina sobre o lado BC, que mede 22 cm, segmentos de 12 e 10 cm. Calcule os outros 
dois lados do triângulo. 
a) 28 e 34 
b) 26 e 40 
c) 22 e 44 
d) 30 e 36 
 
 
 
 
Exemplo. Nas figuras mostradas as cevianas indicadas são bissetrizes. Calcule 
o valor de x em cada uma. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Determine o valor de x no triângulo abaixo sabendo que AP é bissetriz 
do ângulo A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA 
 
Os aspersores são alguns dos 
principais componentes de um 
sistema de irrigação por 
aspersão. Eles operam sob 
pressão e fazem o lançamento do 
jato de água no ar, o qual é 
fracionado em gotas, caindo 
sobre a área em forma de chuva 
artificial. Um fazendeiro, 
visando reduzir seu consumo de 
água, decidiu reestruturar seu 
sistema de irrigação por aspersão conectando, em um terreno plano, canos 
lineares com aspersores a uma linha principal fornecedora de água, conforme 
indicado na figura. Para uma distribuição uniforme de água no terreno, foram 
inseridos os canos BD e BP ao sistema de irrigação antigo de tal forma que ABD 
≡ CBD e CBP ≡ EBP. Sabendo que os pontos A, B e E estão alinhados, a 
distância, em metro, entre os pontos C e P no novo sistema de irrigação é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
MEDIANA E BARICENTRO 
 
Exemplo: Fernando, um dos homens mais ricos 
da atualidade, possui mais de mil terrenos, dentre 
os quais, um em formato de triângulo ABC, 
ilustrado na figura abaixo, na qual, marcações 
iguais indicam dimensões iguais. Para se adequar 
as leis do município, teve que reservar uma área 
de 600 m2 do terreno para preservação ambiental. 
Se a região denotada por S1 possui exatamente a 
área desejada, qual a área total do terreno ABC? 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3), o baricentro (ponto de encontro 
das medianas) é: a) (1, 3/2) 
b) (3/2, 1) 
c) (3/2, 3/2) 
d) (1, 5/3) 
e) (0, 3/2) 
 
 
(Ulbra) As coordenadas do baricentro G do triângulo ABC onde M (-1/2,3/2), N(1,3/2) 
e P(1/2,0) são os pontos médios dos lados do triângulo ABC, são: 
a) (1/2,2/3) 
b) (1/3,1) 
c) (1/2,3/2) 
d) (1/4,2) 
e) (2/3,1) 
 
 
BISSETRIZ E INCENTRO 
 
Os parklets surgiram em São Francisco, nos EUA, em 2005, com o objetivo 
de gerar uma discussão sobre a igualdade do uso do solo. Em síntese, são 
minipraças que ocupam o lugar de uma ou duas vagas de estacionamento 
em vias públicas. São uma extensão da calçada que funcionam como um 
espaço público de lazer e convivência para qualquer um que passar por ali. 
Podem possuir bancos, mesas, palcos, floreiras, lixeiras, paraciclos, entre 
outros elementos de conforto e lazer. Um parklet diferente foi instalado em 
São Francisco, de tal forma que bancos contornam os três lados do seu 
formato triangular Na intenção de iluminar o espaço de convivência, 
deseja-se colocar um pequeno poste, no interiordo triângulo de modo que 
a distância do poste a cada banco seja a mesma. Esse ponto específico do triangulo é o 
A.Baricentro 
B.Incentro 
C.Circuncentro. 
D.Ortocentro 
E.Vértice. 
 
ANOTAÇÕES 
(UFES) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100°. Qual é a medida 
do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos internos? 
A) 20° 
B) 40° 
C) 60° 
D) 80° 
E) 140° 
 
 
 
 
 
MEDIATRIZ E CIRCUNCENTRO 
 
(CFTMG 2011) Um parque ecológico com formato circular, 
cujo diâmetro AC mede 500 metros, tem 3 entradas M, N e P que 
dão acesso ao espaço triangular ABC, reservado ao plantio de 
árvores, conforme figura abaixo. Se o lado BC do triângulo mede 
300 m, então, a área do parque, externa ao espaço plantado, em 
m2, é igual a: 
A. 93.700 
B. 127.500 
C. 147.500 
D. 153.750 
E. 162.800 
 
ANOTAÇÕES 
(Enem 2013) Nos últimos anos, a televisão tem passado por 
uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, 
som e interatividade com o telespectador. Essa transformação 
se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. 
Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova 
tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma 
emissora de televisão pretende construir uma nova torre de 
transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes 
nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas 
no plano cartesiano. A torre deve estar situada em um local 
equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao 
ponto de coordenadas 
A (65;35). 
B (53;30) 
C (45;35). 
D (50;20). 
E (50;30). 
 
 
ALTURA E ORTOCENTRO 
 
Exemplo. Dentre os quatro centros principais do triângulo qualquer, há dois deles que 
podem se situar no seu exterior, conforme o tipo de triângulo. Assinale a alternativa em 
que os mesmos são citados. 
A)O baricentro e o ortocentro. 
B)O baricentro e o incentro. 
C)O circuncentro e o incentro. 
D)O circuncentro e o ortocentro. 
E)O incentro e o ortocentro. 
 
Exemplo. Considerando seus conhecimentos sobre triângulos, cevianas e pontos 
notáveis, julgue os itens a seguir em V (verdadeiro) ou F (falso). 
( ) O baricentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo. 
( ) A mediatriz é um segm. de reta com extremidades no vértice do triângulo e no ponto 
médio do lado oposto a ele. 
( ) As três medianas de um triângulo encontram-se num ponto chamado baricentro. O 
ortocentro sempre é um ponto interno ao triângulo. 
( ) Uma mediatriz pode não intersectar nenhum vértice do triângulo. 
 
Exemplo. Relacione os pontos notáveis de um triângulo (primeira coluna) à respectiva 
propriedade (segunda coluna). 
I.Baricentro 
II.Incentro 
III.Circuncentro 
IV.Ortocentro 
( ) Centro de massa do triângulo. 
( ) Centro da circunferência que passa pelos vértices do triângulo. 
( ) Ponto de encontro das três alturas do triângulo. 
( ) Centro da circunferência interna ao triângulo e tangente aos seus lados. 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
PONTOS E SEGMENTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
 
(Enem 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são 
soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para 
posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os 
canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de 
metal, conforme a figura. Utilize 1,7 como aproximação para √3. O valor de R, em 
centímetros, é igual a 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Unicamp, 1991) Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio r, disposto como 
indica a figura, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo 
a ficarem presos sem folga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja 
possível. 
 
 
 
ÁREA E ALTURA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
 
(Enem 2015) O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por 
outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um 
prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm. Uma 
loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, 
cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja 
adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base 
superior do suporte da mesa. Considere 1,7 como aproximação para √3. O tampo a ser 
escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Um terreno com formato de triângulo equilátero será concretado. Sabendo 
que esse terreno possui perímetro de 450 metros, calcule quantos metros quadrados de 
concreto serão gastos nessa obra. 
a) 2000,00 m2 
b) 129,9 m2 
c) 9742,5 m2 
d) 1000 m2 
e) 9800 m2 
 
 
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER 
 
 (IFMS 2016). Para a festa junina do bairro onde mora, Jairo – o presidente do 
bairro – propõe dois tipos de bandeirola. O primeiro tipo tem o formato de um 
quadrado de 5 cm de lado. O segundo tipo deve ser triangular, em formato de 
triângulo isósceles, de modo que a base deve ter a mesma medida do lado da 
bandeirola quadrada. Qual deve ser a altura da bandeirola triangular para que as 
áreas das bandeirolas quadradas e triangulares sejam iguais? Figura 1: bandeirolas 
de bases iguais e áreas iguais, mas com alturas diferentes. Imagens fora de escala. 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
(PM AC 2012). A área de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 4, e 
dois de seus ângulos medem 45º, corresponde a: 
A)4 u.a. 
B)8 u.a. 
C)12 u.a. 
D)16 u.a. 
E)20 u.a. 
 
 
 
 
ÁREA EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E UM ÂNGULO ENTRE ELES 
 
 
Exemplo. Sabendo que um triângulo escaleno possui lados com medidas iguais 
a = 5 cm e b = 8 cm, e um ângulo entre esses lados de 30°. Calcule a área deste 
triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Calcular a área do seguinte triângulo: 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
ÁREA ATRAVÉS DO SEMIPERÍMETRO E DO RAIO DO CÍRCULO 
INSCRITO 
 
(Enem 2010). Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande 
quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas 
dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser 
vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja 
tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Calcule a medida do raio do círculo inscrito a um triângulo isósceles 
de base 12 e altura 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA EM FUNÇÃO DOS LADOS – FÓRMULA DE HERON 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Determine a área do triângulo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA 
CIRCUNSCRITA 
 
Exemplo. Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triangulo isósceles 
de base 6 tendo outro lado medindo . 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Dado um triângulo ABC inscrito a uma circunferência de centro O e raio R=4 cm, 
cujas medidas de seus lados medem a=4√2cm, b=2(√6+√2) e c=4√3cm. 
Determinar a área do triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
BASE FIXA E VÉRTICE PERCORRENDO 
 
Dois irmãos herdaram um terreno que, conforme consta no registro de imóvel, pode 
ser representado pelo triângulo retângulo da figura a seguir. 
 
Os irmãos pretendem murar esse terreno e, ao mesmo tempo, dividi-lo por um muro, 
representado pelo segmento AD, em dois terrenos triangulares de mesma área. O preço 
de construção do metro quadrado de muro foi orçado em R$90,00, e em toda extensão 
o muro terá 3 m de altura. A parte inteira do custo da construção do muro, em milhares 
de reais, é 
A) 25. 
B) 23. 
C) 24. 
D) 26. 
 
 
 
 
Triângulos 
quaisquer 
e suas 
variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEI DOS SENOS 
 
(UNESP 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um 
rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastrode uma bandeira, ponto B. Com o objetivo 
de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto 
em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos 
BÂC e BCD valem 30°, e o ACB vale 105°, como mostra a figura: 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UFJF 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir 
da planta a seguir. Os segmentos AB, BC e CA simbolizam 
ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB = 80m. 
De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO 
afirmar que a medida de R é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEI DOS COSSENOS 
 
(UFSM 2013) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com 
frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade 
de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos 
B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. Quantos quilômetros ela 
terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
João está procurando cercar um terreno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe 
que dois lados desse terreno medem, respectivamente, 10 m e 6 m e formam entre si um 
ângulo de 120o. O terreno será cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço do 
metro do arame custa R$ 5,00, qual será o valor gasto por João com a compra do arame? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPASSO 
 
 
(Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. 
Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento 
das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para 
esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado 
por elas fosse de 120º. A ponta seca está representada pelo ponto C. a ponta do grafite está 
representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a 
figura. 
 
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o 
desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá 
o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados. Considere 1,7 como 
aproximação para √3 . 
 
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UFU - 2018 - 1a FASE) O compasso é um instrumento 
usado no desenho artístico e no desenho técnico. Um 
exemplo de compasso especial é o compasso 
articulável, que possui cabeça de fricção para ajuste 
preciso e suave do raio, um braço articulável e outro 
com barra prolongadora do braço, onde fica a ponta 
seca, conforme ilustra a figura abaixo. O esquema 
abaixo mostra um compasso articulável ajustado de 
modo que o braço articulável AO é perpendicular a AB 
e OP. Para essa configuração, a 
medida, em cm, do raio da 
circunferência traçado com o 
compasso é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEDUZIR O ÂNGULO CENTRAL 
 
Um grupo de escoteiros pretende 
escalar uma montanha até o topo, 
representado na figura abaixo pelo 
ponto D, visto sob ângulos de 40° 
do acampamento B e de 60° do 
acampamento A. Considerando que o 
percurso de 160 m entre A e B e 
realizado segundo um angulo de 30° 
em relaçãoa base da montanha, então, a 
distância entre B e D, em m, e de, 
aproximadamente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas 
paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal 
de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir. 
 
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: 
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com 
uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro 
(ponto C); 
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, 
sem parada intermediária. 
Supondo que AB = 300√3, BC = 200m, BÂP = 20º e CBN = 50º, é correto afirmar que 
a distância entre os pontos A e C é de: 
a) 700m 
b) 702m 
c) 704m 
d) 706m 
e) 708m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOVENDO-SE EM DIREÇÕES DIFERENTES, PARTINDO DO MESMO PONTO 
 
Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 
16 km/h em um curso de 45o em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a 
uma velocidade 6 km/h em um curso de 105o em relação ao norte, também no sentido 
horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, 
supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o 
porto? 
a) 10 km. 
b) 14 km. 
c) 15 km. 
d) 17 km. 
e) 22 km. 
 
 
 
 
 
 
 
Os drones 1 e 2 (veículos aéreos não tripulados) saem em missão de um mesmo 
ponto geográfico P às 20h. Conforme a figura abaixo, o drone 1 tem sua rota dada 
na direção 60º nordeste, enquanto o drone 2 tem sua rota dada na direção 15º 
sudeste. Após 1 minuto, o drone 1 percorreu 1,8Km e o drone 2 percorreu 1 , Km 
ambos em linha reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A distância aproximada, considerando √2 e √3 aproximadamente 1,4 e 1,7, 
respectivamente, em quilômetros, entre os dois drones, após 1 minuto, é igual a: 
a) 1,8 km. 
b) 2,2 km. 
c) 2,6 km. 
d) 3,4 km. 
e) 4,7 km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadriláteros 
e suas variações 
 
 
 
 
TRAPÉZIO 
 
PERÍMETRO 
 
(CFTMG - 2019) A região sombreada da figura 
é formada pela junção de três trapézios 
congruentes ao trapézio isósceles ABCD. Sendo 
o perímetro do trapézio ABCD igual a 30 m e a 
soma das medidas das bases igual a 20 m, o 
perímetro da região sombreada, em m, é igual a 
a) 45 
b) 60 
c) 70 
d) 90 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(PUCMG 2001) A pista representada na 
figura tem a forma de um trapézio 
retângulo e as dimensões 
indicadas em metros. Um atleta que 
queira percorrer 6km deverá dar m voltas 
completas nessa pista. O valor de m é: 
a) 9 
b) 10 
c) 11 
d) 12 
e) 13 
 
 
 
COM O DISPOSITIVO DE TRAÇAR UMA RETA PARALELA 
 
 
O trapézio representado, na figura, tem bases medindo 12cm e 4cm, e os 
ângulos internos da base maior medem 60° e 30°. Seu perímetro, em cm, é 
igual a: 
a) 16 + 4√2 
b) 16 + 4√3 
c) 20 +3√2 
d) 20 + 4√2 
e) 20 + 4√3 
 
ANOTAÇÕES 
Os alunos do curso de Agricultura do campus Vitória de Santo Antão dispõem de 
um terreno em forma de trapézio para construir uma horta de orgânicos. As bases 
do trapézio medem 10 m e 35 m. Já os lados não paralelos medem 15 m e 20 m. 
Qual a área total do terreno desta horta? 
a)120 m² 
b)150 m² 
c)210m² 
d)270 m² 
e)540 m² 
 
 
 
https://cdng.estuda.com/sis_questoes/posts/184020_pre.jpg?1519930214
 
BASE MÉDIA 
 
Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 
degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras 
respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura: Os 
degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo 
comprimento mínimo, em cm, deve ser: 
a)144. 
b)180. 
c)210. 
d)225. 
e) 240. 
 
ANOTAÇÕES 
Na figura tem-se o trapézio isósceles ABCD no 
qual as bases medem 15cm e 27cm. Os lados AB 
é CD foram divididos em quatro partes iguais, e 
pelos pontos de divisão, foram traçados três 
segmentos paralelos às bases. A soma das 
medidas dos três segmentos traçados é, em 
centímetro 
a) 52 
b) 58 
c) 59 
d) 61 
e) 63 
 
 
ÁREA 
 
(UFPR 2006) Uma pessoa pretende adquirir um 
terreno de esquina para construir sua casa, porém ela 
não sabe a área do terreno. As únicas informações 
disponíveis são que o terreno possui o formato de um 
trapézio retângulo com um dos lados medindo 10 m 
e outro medindo 24 m. Além disso, o ângulo entre 
esses lados é de 120 graus, conforme a figura abaixo. 
Qual é a área desse terreno? Considere3 = 1,73. 
a) 314,32 m2 
b) 346,54 m2 
c) 360,58 m2 
d) 308,70 m2 
e) 332,16 m2 
 
 
ANOTAÇÕES 
Observe a figura abaixo.A figura 
representa a divisão de um terreno; o 
proprietário pretende vender somente a 
área B. Sabe-se que o valor de venda do 
m2 é de R$ 2000,00. Após a venda e 
retirada da área B da figura, assinale a 
alternativa que apresenta, 
respectivamente, o valor da venda da 
área B e quanto sobrou da área do 
terreno para o proprietário. 
a) R$ 30000,00 / 58,5 m2 
b) R$ 60000,00 / 73,5 m2 
c) R$ 15000,00 / 42,0 m2 
d) R$ 18000,00 / 46,5 m2 
e) R$ 45000,00 / 61,5 m2 
 
 
 
 
PARALELOGRAMO 
 
ÁREA 
 
(UPE 2013) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou um 
paralelogramo, como mostra a figura abaixo: Sabendo-se que um dos lados do 
paralelogramo mede 4,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo? 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(IFPE 2012) O Sr. Joaquim comprou um 
terreno em um loteamento numa praia do 
litoral sul de Pernambuco. O terreno tem a 
forma de um paralelogramo (figura abaixo) 
com a base medindo 20 metros e a altura 
medindo 15 metros. Os pontos M e N dividem 
a diagonal BD em três partes iguais. No 
triângulo CMN, ele vai cultivar flores. Qual é a área que o Sr. Joaquim destinou 
para esse cultivo, em m2? 
a) 37 
b) 39 
c) 45 
d) 48 
e) 50 
 
 
ÁREA EM FUNÇÃO DO ÂNGULO 
 
(PUCMG 2003) Em um mapa no qual 1 cm corresponde a 10 m, um terreno é 
representado por um paralelogramo cujos lados medem, respectivamente, √3 cm e 
4 cm. Sabendo-se que o menor dos ângulos desse paralelogramo mede 60° e que 
sen 60°= √3/2, pode-se afirmar que a medida real da área desse terreno, em metros 
quadrados, é: 
a) 200 
b) 400 
c) 600 
d) 800 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UFAM/2015) O piso de uma sala possui a 
forma de um paralelogramo como na figura a 
seguir. A área desse piso, em metros 
quadrados, mede: OBS.: Considere √2 = 1,41 
a) 0,141 
b) 1, 41 
c) 14,1 
d) 141 
e) 1410 
 
 
 
 
 
LOSANGO 
 
ÁREA 
 
(UPE 2013) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou um 
paralelogramo, como mostra a figura abaixo: Sabendo-se que um dos lados do 
paralelogramo mede 4,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo? 
 
ANOTAÇÕES 
(IFPE 2012) O Sr. Joaquim comprou um 
terreno em um loteamento numa praia do 
litoral sul de Pernambuco. O terreno tem a 
forma de um paralelogramo (figura abaixo) 
com a base medindo 20 metros e a altura 
medindo 15 metros. Os pontos M e N dividem 
a diagonal BD em três partes iguais. No 
triângulo CMN, ele vai cultivar flores. Qual é a área que o Sr. Joaquim destinou 
para esse cultivo, em m2? 
a) 37 
b) 39 
c) 45 
d) 48 
e) 50 
 
PERÍMETRO 
 
(IFSC 2014) Todos os anos, no mês de Setembro, comemora-se a Independência 
do Brasil. Durante uma semana, muitas Instituições exibem a Bandeira do Brasil 
como forma de homenagear a Pátria. A maioria dos brasileiros desconhece que a 
fabricação da Bandeira Nacional obedece a rígidos critérios em relação às 
dimensões das figuras geométricas (retângulo, losango e círculo), das letras e das 
estrelas. Considere que as diagonais maior e menor do losango amarelo da Bandeira 
do Brasil medem 16 dm e 12 dm, respectivamente. Então é CORRETO afirmar que 
a linha que delimita a parte amarela mede: 
a) 40 dm 
b) 28 dm 
c) 20 dm 
d) 48 dm 
e) 96 dm 
 
ANOTAÇÕES 
(ENEM 2012) O losango representado na Figura 1 foi formado 
pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de 
raios de mesma medida. Dobrando-se o raio de duas das 
circunferências centradas em vértices opostos do losango e 
ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma 
situação conforme ilustrada pela Figura 2. O perímetro do 
losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do 
losango da Figura 1, teve um aumento de 
a) 300%. 
b) 200%. 
c) 150%. 
d) 100% 
e) d. 50%. 
 
 
 
 
ÂNGULOS INTERNOS 
 
(IFSP 2014) Considerando que as medidas de dois ângulos opostos de um losango 
são dadas, em graus, por 3x + 60° e 135° - 2x, a medida do menor ângulo desse 
losango é 
a) 75° 
b) 70° 
c) 65° 
d) 60° 
e) 55° 
 
 
Na figura abaixo tem-se representado o losando ABCD cuja diagonal menor mede 4 
cm. A medida do lado desse losângulo, em cm é. 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
ÁREA 
 
Na figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos 
lados do quadrado MNPQ de lado de medida L. Os pontos 
E e F pertencem ao segmento BD de modo que BE = FD = 
L/4. A área do quadrado MNPQ é igual a k vezes a área da 
superfície destacada em cinza. Assim sendo, o valor de k é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10 
 
 
(ENEM 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um 
arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de 
quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. 
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos 
lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da 
medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são 
usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da 
figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e 
BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual é o custo dos 
materiais usados na fabricação de um vitral? 
a) R$ 22,50 
b) R$ 35,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 42,50 
e) R$ 45,00 
 
 
 
Calcule a área de um losango que possui diagonal maior medindo 8cm e 
diagonal menor medindo 5cm. 
 
 
 
 
 
 
 
QUADRADO E RETÂNGULO 
 
DIAGONAL 
 
 
(FGV) Um canteiro com formato retangular tem área igual a 40 m2 e sua diagonal 
mede √89m. O perímetro desse retângulo é: 
a) 20 m 
b) 22 m 
c) 24 m 
d) 26 m 
e) 28 m 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
Qual o perímetro de um quadrado que possui uma das diagonais medindo 72 cm? 
a) 24 cm 
b) 25 cm 
c) 28 cm 
d) 36 cm 
e) 6 cm 
 
 
ENVOLVENDO EQUAÇÃO QUADRÁTICA 
 
(UNESP 2016) Renata pretende decorar parte de uma 
parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede, 
um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O 
projeto prevê que a parede seja dividida em um quadrado 
central, de lado x, e quatro retângulos laterais, conforme 
mostra a figura. Se o total da área decorada com cada um 
dos dois tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é 
igual a 
a) 1 + 2√3 
b) 2 + 2√3 
c) 2 + √3 
d) 1 + √3 
e) 4 + √3 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(G1 - cp2 2019) Nas salas de aula do Colégio Pedro II 
serão colocados pisos conforme a figura a seguir: Cada 
piso é formado por quatro retângulos iguais de lados 10 
𝑐𝑚 e (𝑥 + 10) 𝑐𝑚, respectivamente, e um quadrado de 
lado igual a 𝑥𝑐𝑚. Sabendo-se que a área de cada piso 
equivale a 900 𝑐𝑚2, o valor de 𝑥, em centímetros, é 
a)10. 
b)23. 
c)24. 
d)50. 
 
 
 
 
 
 
ÁREA 
 
(ENEM 2014) A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está 
localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno de 8 hectares 
de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. Qual é o 
valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina? 
a) 8 
b) 80 
c) 800 
d) 8.000 
e) 80.000 
 
 
 
No quadrado ABCD de lado x, representado na figura a 
seguir, os pontos R e S são pontos médios dos lados AB e 
BC, respectivamente, e O é o encontro das duas diagonais. 
A razão entre a área do quadrado pequeno (pintado) e a 
área do quadrado ABCD é: 
A) 1/16 
B) 1/12 
C) 1/10 
D) 1/8 
E) 1/4 
 
 
 
 
TANGRAM – PREENCHENDO COM RETAS 
 
O TANGRAM é um quebra-cabeças chinês formado por 5 
triângulos retângulos isósceles, um paralelogramo e um 
quadrado que, ao serem colocadas lado a lado, sem sobreposição, 
formam um quadrado ABCD, conforme mostra a figura 01. Com 
as peças desse TANGRAM, pode-se formar uma casinha, como 
a representada na figura 02. Suponha que as superfícies I, II, III 
e IV serão revestidas com pedaços de isopor que foram 
comprados em quadrados de área igual a 45 mm². Se o quadrado 
ABCD tem lado igual a 32 cm, a quantidademínima “inteira” de 
pedaços de isopor necessária para cobrir toda a superfície 
desejada é 
a)853. 
b)854. 
c)1137. 
d) 1138. 
 
 
 
 
O tangran é um jogo chinês formado por uma peça quadrada, 
uma peça em forma de paralelogramo e cinco peças 
triangulares, todas obtidas a partir de um quadrado de lado , 
como indica a figura abaixo.Três peças do tangran possuem a 
mesma área. Essa área é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES ENVOLVENDO VALORES NÃO NUMÉRICOS 
 
(G1 - cftmg 2017) Seja A um quadrado de lado a cuja área é nove vezes maior do 
que a área de um outro quadrado B, de lado b. A fração irredutível que representa 
a razão entre a diagonal do quadrado B e a diagonal do quadrado A possui como 
denominador um número : 
 
a) par. 
b) primo. 
c) múltiplo de 5. 
d) múltiplo de 9. 
 
 
(UFRGS 2013) Na figura abaixo, os triângulos retângulos são congruentes e 
possuem catetos com medidas a e b. 
 
 
A área da região sombreada é : 
a) 2ab 
b) a² + b² 
c) a² + 2ab + b² 
d) a² - 2ab + b² 
e) a² - b² 
 
 
 
 
Círculo e 
circunferência 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
(FGV 2017) Suponha que fosse possível dar uma volta completa em torno da linha 
do Equador caminhando e que essa linha fosse uma circunferência perfeita na 
esfera terrestre. Nesse caso, se uma pessoa de 2m de altura desse uma volta 
completa na Terra pela linha do Equador, o topo de sua cabeça, ao completar a 
viagem, teria percorrido uma distância maior que a sola dos seus pés em, 
aproximadamente, 
A. 63 cm. 
B. 12,6 m. 
C. 6,3 km. 
D. 12,6 km. 
E. 63 km 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A figura é uma representação simplificada do 
carrossel de um parque de diversões, visto de 
cima. Nessa representação, os cavalos estão 
identificados pelos pontos escuros, e ocupam 
circunferências de raios 3 m e 4 m, 
respectivamente, ambas centradas no ponto O. 
Em cada sessão de funcionamento, o carrossel 
efetua 10 voltas. Quantos metros uma criança 
sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que 
uma criança no cavalo C2 , em uma sessão? Use 
3,0 como aproximação para S. 
A. 55,5 
B. 60,0 
C. 175,5 
D. 235,5 
E. 240,0 
 
 
 
(SAS 2019) Um arbelos é uma região plana delimitada por três semicírculos com 
centros alinhados e raios iguais a, respectivamente, a, b e e a+b, como mostra a 
figura a seguir. 
 
 
O perímetro do arbelos apresentado na figura é dado por: 
a) 4π(a+b) 
b) 2π(a+b) 
c) π(a+b) 
d) 2πab 
e) πab 
 
 
 
 
COMPRIMENTO DO ARCO 
 
(UFES) Uma curva numa linha férrea deve ser traçada em círculo. O raio que deve 
ser dado ao círculo para que os trilhos mudem 25º de direção numa distância de 
40π metros é: 
a) 308 m 
b) 268 m 
c) 258 m 
d) 278 m 
e) 288 m 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
(UFRGS 2016) Considere o setor circular de 
raio 6 e ângulo central 60º da figura abaixo. Se P 
e Q são pontos médios, respectivamente, de OS 
e OR, então o perímetro da região sombreada é: 
A) π + 6. 
B) 2π + 6. 
C) 3π + 6. 
D) π + 12. 
E) 3π + 12. 
 
 
 
 
 
 
SETOR CIRCULAR (L = 𝜶 ) 
 
(ENEM 2015) O proprietário de um 
parque aquático deseja construir uma 
piscina em suas dependências. A figura 
representa a vista superior dessa piscina, 
que é formada por três setores circulares 
idênticos, com ângulo central igual a 60°. O 
raio R deve ser um número natural. O 
parque aquático já conta com uma piscina 
em formato retangular com dimensões 50 m 24 m. ́O proprietário quer que a área ocupada 
pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente. Considere 3,0 como 
aproximação para π. O maior valor possível para R, em metros, deverá ser 
A 16. 
B 28. 
C 29. 
D 31. 
E 49 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Pucrs 2016) Uma pracinha com formato circular ocupa 
uma área de 100 π m2. No terreno dessa área, foram 
colocados 3 canteiros em forma de setor circular, cada um 
formado por um ângulo central de 30 graus como na figura. 
A área total ocupada pelos canteiros é, em : 
a) π 
b)3 π 
c)25 π 
d)50 π 
e) 75 π 
 
 
 
 
 
ÁREA DO SETOR CIRCULAR 
 
Um fazendeiro precisou construir uma parte de uma tampa de concreto para sua cisterna. 
Essa parte corresponde a uma semicircunferência, ou seja, ao setor circular de ângulo 180 
graus. O diâmetro da cisterna é de 3 metros, conforme constatou o fazendeiro. Sabendo 
que o custo de construção dessa tampa é de R$100,00 por metro quadrado, qual o valor 
gasto? 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Calcule a área da região sombreada na 
figura a seguir: 
 
 
 
Determine a área de um setor circular, sabendo que o produto do arco e do raio é 
igual a 18π cm². 
 
 
 
 
 
ÁREA DO CÍRCULO 
 
Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m 
de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será 
reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma 
de um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado 
na figura. Na parte compreendida entre o contorno da 
circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada 
terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de 
terra para cada m2. A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 
3 como valor aproximado para π. O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários 
para cobrir a parte descrita do jardim : 
a) 100 
b)140 
c)200 
4)800 
e)1000 
 
 
(Upe-ssa 3 2018) Na figura, os vértices de um triângulo 
equilátero de lado 4 cm são centros de três círculos que 
se tangenciam mutuamente, determinando a região 
hachurada de preto no interior do triângulo. Qual é a 
medida da área dessa região? Considere π  3,0 e √3  
1,7. 
a) 0,6 
b) 0,3 
c) 0,5 
d) 0,8 
e) 0,4 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO DE BANDEJAS 
 
Um garçom precisa escolher uma bandeja de base retangular para 
servir quatro taças de espumante que precisam ser dispostas em uma 
única fileira, paralela ao lado maior da bandeja, e com suas bases 
totalmente apoiadas na bandeja. A base e a borda superior das taças 
são círculos de raio 4 cm e 5 cm, respectivamente. A bandeja a ser 
escolhida deverá ter uma área mínima, em centímetro quadrado, 
igual a 
A.192. 
B. 300. 
C. 304. 
D. 320. 
E. 400. 
 
 
Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com 
bases quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o 
formato representado na figura: Considere que AC= 7/5BD e 
que L é a medida de um dos lados da base da bandeja. Qual 
deve ser o menor valor da razão L/BD para que uma bandeja 
tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só 
vez? 
A. 2 
B. 14/5 
C. 4 
D. 24/5 
E. 28/5 
 
 
COROA CIRCULAR 
 
 
Exemplo. Um fazendeiro resolveu marcar seus tratores pintando os pneus, apenas pelo 
lado de fora, com uma tinta vermelha. Sabendo que o metro quadrado de tinta custa R$ 
1,20, que o fazendeiro pintou 4 pneus e que a parte pintada de cada pneu representa uma 
coroa circular com raio menor igual a 1 metro e o raio maior igual a 1,5 metros, quanto 
esse fazendeiro gastou com tinta? Considere π = 3,1. 
a) R$ 10,60 
b) R$ 12,60 
c) R$ 14,60 
d) R$ 15,60 
e) R$ 18,60 
 
 
 
 
A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz 
em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos 
que definem a praça e o chafariz são concêntricos. O passeio 
terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de 
calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro 
fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao 
chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, 
conforme a figura. Com isso, obteve a medida do 
segmento de reta AB: 16 m. 
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou 
corretamente a medida da área do passeio, em metro 
quadrado. A medida encontrada pelo engenheiro foi 
A. 4π. 
B. 8π. 
C. 48π. 
D. 64π. 
E. 192π. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. A moeda de 1 real é formada de uma parte 
prateada (círculo interior onde aparece o valor da 
moeda e o ano de fabricação) e uma partedourada 
(coroa circular). Sabendo que a moeda tem 27 mm de 
diâmetro e que a parte prateada tem 24 mm de 
diâmetro (usando a aproximação π = 3,1), podemos 
afirmar que a área, em milímetros quadrados, da parte 
dourada, é 
A. 79,05 
B. 6,975 
C. 14,415 
D. 367,5825 
E. 118,575 
 
 
Na figura a seguir, há 4 circunferências concêntricas 
cujos raios medem 1,0 cm; 0,9 cm; 0,8 cm; 0,7 cm. A 
área da região sombreada, em cm2, é: (Use 3 como 
aproximação para π) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR 
 
 
Exemplo. Qual é a área do um segmento circular de uma circunferência que possui 
raio 6cm, sendo que o ângulo do setor circular correspondente é 30º? 
a. (3 π - 9) cm² 
b. (2 π - 9) cm² 
c. (6 π - 18) cm² 
d. (2 π - 18) cm² 
e. (6 π - 9) cm² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADE DA TANGENTE 
 
 
Exemplo. As circunferências da figura abaixo são tangentes entre si e tangentes à 
reta r nos pontos A e B. Se os raios medem 8cm e 2 cm, determine a medida do 
segmento AB. 
 
 
 
 
Exercício. Calcular o comprimento da tangente exterior, comum a duas 
circunferências tangentes externas de raios 4 cm e 9 cm? 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADE DA SECANTE 
 
 
Exemplo. Em uma circunferência de raio 15 cm, determine o tamanho da corda 
(BA) que se encontra a 12 cm (OM) do seu centro. 
 
 
 
 
 
Exemplo. Em uma circunferência de 13 cm de raio, uma corda, de 24 cm de 
comprimento está a que distância do centro dessa circunferência? 
 
 
 
 
 
 
 SEGMENTOS TANGENTES – TEORIA DO BICO 
 
Exemplo. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o raio da 
circunferência inscrita mede 1 cm. Calcule o perímetro do triângulo. 
 
 
 
 
Exemplo. Na figura abaixo, PA = 12 cm. Determine o perímetro do triângulo 
PDE. 
 
 
 
 
 
ÂNGULO CENTRAL E ÂNGULO INSCRITO 
 
 
Exemplo. Na figura, o arco BC mede 120∘. Calcule o valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO – TEOREMA DE PITOT (TEOREMA 
DO QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITÍVEL) 
 
 
Exemplo. Determine o perímetro do quadrilátero abaixo. 
 
 
 
 
 
 
(Dolce/Pompeo) Calcule o valor do raio 𝒓 do círculo inscrito no trapézio abaixo. 
 
 
 
QUADRILÁTERO INSCRITO –TEOREMA DO QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL 
 
Exemplo. Na figura, A, B, C e D são pontos da circunferência λ de centro em O. 
Determine a medida x, em graus, indicada na figura. 
 
 
 
 
 
 
ARCO CAPAZ 
 
 
Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A soma das medidas 
m + n, em graus, é: 
 
a) 70 
b) 90 
c) 110 
d) 130 
 
ANOTAÇÕES 
Os pontos O,P,Q e R pertencem à uma circunferência; 
sabe-se que POQ=3x+2∘ e que PRQ=110∘–6x. Determine 
o valor de x. 
 
ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO 
 
Exemplo. Na figura, o arco EFA mede 112º e o BCD mede 86∘. Calcule o valor 
de x. 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Determinar a medida do ângulo x conforme a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO 
 
 
Exercício. Na figura, o arco BC mede 130∘ e o DE mede 32∘. Qual o valor de 
α? 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
Exemplo: Determine o valor de α. 
 
 
 
 
POTÊNCIA DE PONTO OU TEOREMA DAS CORDAS – PONTO INTERNO 
 
Exemplo. Encontre o valor de x: 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
POTÊNCIA DE PONTO OU TEOREMA DAS CORDAS – PONTO EXTERNO 
 
Exemplo. Encontre o valor de x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Poliedros 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO DE EULER 
 
 
(IFSP 2013) A figura mostra uma peça feita em 1587 por Stefano 
Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em Florença, na 
Itália. Esse instrumento tem a forma de um dodecaedro regular e, em 
cada uma de suas faces pentagonais, há a gravação de um tipo 
diferente de relógio. Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707- 
1783) descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: em todo 
poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, vale a relação 
V + F = A + 2. Ao se aplicar a relação de Euler no poliedro da figura, 
o número de arestas não visíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência 
típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito 
cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um 
modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos correspondentes 
às faces.Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a 
quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual 
a: 
 
 
 
 
 
 
SÓLIDOS TRUNCADOS 
 
Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos 
vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o 
canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face 
do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces. Com base nas 
informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do 
troféu? 
a) 6 
b) 8 
c) 14 
d) 24 
e) 30 
 
ANOTAÇÕES 
De cada vertice de um prisma hexagonal regular 
foi retirado um tetraedro, como exemplificado 
para um dos vértices do prisma desenhado a 
seguir. O plano que definiu cada corte feito para 
retirar os tetraedros passa pelos pontos médios 
das três arestas que concorrem num mesmo 
vertice do prisma. O número de faces do poliedro 
obtido depois de terem sido retirados todos os 
tetraedros é 
a) 24. 
b) 20. 
c) 18. 
d) 16. 
e) 12. 
 
 
 
 
ARESTAS PARTINDO DOS VÉRTICES 
 
 
(UE-CE) Um poliedro convexo de nove vértices possui quatro triédricos e cinco 
ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 
a) 12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
e) 8 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
De um poliedro convexo de 12 vértices, partem 5 aresta de cada vértice. 
Determine o número de faces e arestas desse poliedro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE TODAS AS FACES DE UM POLIEDRO 
 
Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato 
de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O 
número de vértices deste cristal é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se 
que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se do mundo que o 
número de faces vale. 
a) 6 
b) 4 
c) 5 
d) 12 
e) 9 
 
 
 
O poliedro representado na figura (octaedro truncado) é construído a partir de 
um octaedro regular, cortando-se, para tal, em cada vértice, uma pirâmide regular 
de base quadrangular. A soma dos ângulos internos de todas as faces do octaedro 
truncado é: 
a)2160 graus 
b) 5760 graus 
c)7920 graus 
d)10080 graus 
e)13680 graus 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE A QUANTIDADE DE ARESTAS DE UM POLIEDRO E A 
QUANTIDADE DE LADOS DE 
TODOS OS POLÍGONOS QUE FORMAM O POLIEDRO 
 
 
 
(UERJ 2016) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, 
têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão 
justapostos por uma de suas faces, que coincidem 
perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra 
a figura. Considere o número de vértices V, de faces F e de 
arestas A desse poliedro côncavo. A soma V +F +A é igual a: 
A. 102 
B. 106 
C. 110 
D. 112 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UFJF 2007) A figura a seguir representa a planificação de um poliedro convexo. O 
número de vértices deste poliedro: 
A.12. 
B.14. 
C.16. 
D.20. 
E.22. 
 
 
(UEMA 2015) A bola de futebol evoluiu ao longo do tempo e, 
atualmente, é um icosaedro truncado, formado por 32 peças, 
denominadas de gomos e, geometricamente, de faces. Nessa 
bola, 12 faces são pentágonos regulares, e as outras, hexágonos, 
também regulares. Os lados dos pentágonos e dos hexágonos 
são iguais e costurados. Ao unirem-se os dois lados costurados 
das faces,formam-se as arestas. O encontro das arestas forma 
os vértices. Quando cheio, o poliedro é similar a uma esfera. O 
número de arestas e o número de vértices existentes nessa bola de futebol são, 
respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de 
vértices deste polígono 
a) 90 
b) 72 
c) 60 
d) 56 
 
 
 
 
Um poliedro convexo possui 8 faces, todas triangulares. Nessas condições, assumindo 
que tal poliedro exista, o número esperado de vértices para este será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUANDO É NECESSÁRIO DIVIDIR O NÚMERO DE ARESTAS POR 2 
 
Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares. O 
número de arestas deste poliedro é 
a) 100 
b) 120 
c) 90 
d) 80 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
O número de faces de um poliedro convexo com 20 vértices e com todas as faces 
triângulos e igual a: 
a) 28 
b) 30 
c) 32 
d) 34 
e) 36 
 
 
(Enem 2016) Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas 
congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número 
de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles 
são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e 
no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos 
de Platão respeitam a relação de Euler V - A + F = 2, em que V, A e F são os 
números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente. Em um cristal, 
cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação 
entre o número de vértices e o número de faces? 
A) 2V – 4F = 4 
B) 2V – 2F = 4 
C) 2V – F = 4 
D) 2V + F = 4 
E) 2V + 5F= 4 
 
 
 
 
 
 
 
Prismas 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
VOLUME 
 
 
(UPE 2017) Um sólido foi construído removendo-se 
um cubo menor de um cubo maior, como mostra a 
figura a seguir. A diferença entre as medidas das 
arestas dos dois cubos é de 4 cm e a medida do volume 
do sólido é 208 cm3. De acordo com as informações 
apresentadas calcula-se que a medida da área lateral da 
superfície do sólido será igual a? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UERJ 2017) Dois cubos cujas arestas medem 2 cm são 
colados de modo a formar o paralelepípedo 
ABCDA’B’C’D’. Esse paralelepípedo é seccionado pelos 
planos ADEF e BCEF, que passam pelos pontos médios 
F e E das arestas A’B’ e C’D’, respectivamente. A parte 
desse paralelepípedo compreendida entre esses planos 
define o sólido ABCDEF, conforme indica a figura a 
seguir. O volume do sólido ABCDEF, em cm3, é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA TOTAL 
 
(PUC-RJ 2018) Uma caixa de chocolate, com a forma de um paralelepípedo, 
tem dimensões 4 cm x 4 cm x 16 cm. Quantos cm² de papel são necessários para 
cobrir completamente essa caixa? 
a) 256 
b) 272 
c) 288 
d) 304 
e) 320 
 
 
ANOTAÇÕES 
(IFSC 2018) Uma caixa de leite de determinada marca possui 22cm de altura e 
perímetro da base medindo 28 cm. Sabendo-se que a base da caixa é formada por 
um quadrado, calcule a quantidade de papel necessária, em cm2, para 
confeccionar a caixa, desprezando-se as dobras. Assinale a alternativa 
CORRETA. 
a) 600 
b) 665 
c) 714 
d) 564 
e) 832 
 
 
 
 
QUESTÕES DE CAIXAS E OBJETOS 
 
Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão 
um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à 
disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito: O casal precisa 
escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em 
seu interior. A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número 
• Caixa 1: 86 cm x 86 cm x 86 cm 
• Caixa 2: 75 cm x 82 cm x 90 cm 
• Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm 
• Caixa 4: 82 cm x 95 cm x 82 cm 
• Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma empresa especializada em embalagem de papelão 
recebeu uma encomenda para fabricar caixas para um 
determinado modelo de televisor, como o da figura. A 
embalagem deve deixar uma folga de 5 cm em cada 
uma das dimensões. Esta folga será utilizada para 
proteger a televisão com isopor. O papelão utilizado na 
confecção das caixas possui uma espessura de 0,5 cm. 
A empresa possui 5 protótipos de caixa de papelão, na 
forma de um paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas externas: comprimento, altura 
e largura, em centímetro, são respectivamente iguais a: O modelo de caixa de papelão 
que atende exatamente as medidas das dimensões especificadas é a 
 Caixa 1: 68,0 x 50,0 x 18,5 
 Caixa 2: 68,5 x 50,5 x 19,0 
 Caixa 3: 72,5 x 54,5 x 23,0 
 Caixa 4: 73,0 x 55,0 x 23,5 
 Caixa 5: 73,5 x 55,5 x 24,0 
 
 
 
 
Em uma confeitaria, um cliente comprou um cupcake 
(pequeno bolo no formato de um tronco de cone regular 
mais uma cobertura, geralmente composta por um creme), 
semelhante ao apresentado na figura:Como o bolinho não 
seria consumido no estabelecimento, o vendedor verificou 
que as caixas disponíveis para embalar o doce eram todas 
em formato de blocos retangulares, cujas medidas estão 
apresentadas no quadro: A embalagem mais apropriada 
para armazenar o doce, de forma a não deformá-lo e com 
menor desperdício de espaço na caixa, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGONAL DO CUBO E DO PARALELEPÍPEDO 
 
 
(ACAFE-SC) Num paralelepípedo reto, as arestas da base medem 8dm e 6dm e a altura mede 
4dm. Calcule a área da figura determinada pela diagonal do paralelepípedo, com a diagonal 
da base e a aresta lateral. 
a) 20 dm2 
b) 24 dm2 
c) 32 dm2 
d) 40 dm2 
e) 48 dm2 
 
ANOTAÇÕES 
(Ufop) A área total de um cubo cuja diagonal mede 5√3 cm é: 
a) 140 cm² 
b) 150 cm² 
c) 120√2 cm² 
d) 100√3 cm² 
e) 450 cm² 
 
 
 
 
PRISMAS ATÍPICOS 
 
 
 
Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar 
a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la 
com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais 
comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma 
reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. 
Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de 
topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais 
do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m3 desse tipo de silo. 
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um tanque, inicialmente vazio, tem a forma de prisma 
triangular regular e suas paredes têm espessuras 
desprezíveis. Após algum tempo despejando água no 
tanque, um cano de vazão por minuto o encheu 
parcialmente, tendo a água ocupado o espaço de um 
prisma triangular regular, conforme indicado na figura. 
Funcionando na mesma vazão, o tempo necessário para 
que o cano acabe de encher o tanque é de minutos e t segundos, sendo que t é um número no 
intervalo 
 a) [1, 12] 
b) [13, 24] 
c) [25, 36] 
d) [37, 48] 
e) [49, 59] 
 
 
A peça geométrica, desenvolvida através de um software de modelagem em 
três dimensões por um estudante do curso de engenharia e estagiário de uma 
grande indústria, é formada a partir de dois prismas de base hexagonal regular 
e assemelha-se ao formato de uma porca de parafuso.Considerando que o 
lado do hexágono maior mede 8 cm; que o comprimento do prisma é igual a 
35 cm; e,que o lado do hexágono menor mede 6 cm, então o volume da peça, de forma que se 
possa calcular,posteriormente, a quantidade de matéria-prima necessária à sua produção em 
massa em determinado período de tempo é, em cm3: 
(Considere raiz de 3= 1,7) 
a) 1.064. 
b) 1.785. 
c) 2.127. 
d) 2.499. 
 
 
 
 
 
 
RESERVATÓRIO 
 
Uma fábrica comercializa chocolates e uma caixa de 
madeira, como a da figura abaixo. A caixa de 
Madeira tem as dimensões de um paralelepípedo 
reto retângulo, cujas dimensões externas, em 
centímetros,estão indicadas na figura. Sabe- se 
também que a espessura da madeira, em todas as 
suas faces, é de 0,5 cm. Qual é o volume de madeira 
utilizado, em cm3, na construção de uja caixa de 
madeira como a descrita? 
A)654 
B)666 
C)673 
D)681 
E)693 
 
ANOTAÇÕES 
Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para 
tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL 
desse produto para cada 1 000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para 
cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com 
largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d’água 
dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina. A quantidade desse produto, em 
mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações 
técnicas é 
a) 11,25. 
b) 27,00. 
c) 28,80. 
d) 32,25. 
e) 49,50. 
 
Alguns objetos, durante a sua fabricação, 
necessitam passar por um processo de 
resfriamento. Para que isso ocorra, uma 
fábrica utiliza um tanque de resfriamento, 
como mostrado na figura. 
O que aconteceria com o nível da água se 
colocássemos no tanque um objeto cujo 
volume fosse de 2 400 cm³? 
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. 
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. 
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. 
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. 
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 
 
 
 
Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas 
partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da 
parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da 
parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem 
vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo. 
Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o 
restante do depósito? 
a) 8 
b) 10 
c) 16 
d) 18 
e) 24 
 
 
 
 
 
 
 
PLANIFICAÇÃO 
 
 
Uma empresa necessita colorir parte de suas 
embalagens, com formato de caixas cúbicas, para que 
possa colocar produtos diferentes em caixas distintas 
pela cor, utilizando para isso um recipiente com tinta, 
conforme Figura 1. Nesse recipiente, mergulhou-se um 
cubo branco, tal como se ilustra na Figura 2. Desta forma, a parte do cubo que ficou 
submersa adquiriu a cor da tinta. Qual é a planificação desse cubo após subermerso? 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
PRISMAS CONVEXOS 
 
A figura indica, em linha cheia, um prisma reto com faces, duas a duas, em planos 
perpendiculares ou em planos paralelos. Três de suas arestas medem 2x, 2x – 2 e x + 1, 
como indicado no desenho. O prisma está no sistema cartesiano XYZ, com uma face 
contida no plano XY e com arestas paralelas ao eixo x ou ao eixo y. Sabe-se, ainda, que 
P, Q, R, S, T, U e V são vértices do prisma, que O é a origem do sistema XYZ e que 
todas as medidas de comprimento da figura estão em centímetros. 
 
 
Se os volumes do prisma, indicado na figura, e do paralelepípedo reto-retângulo 
MRSUNQTV, tracejado na figura, são, respectivamente, iguais a 1 264 cm3 e 80 cm3, 
então a medida de x, em centímetros, é um número 
A) múltiplo de 11. 
B) múltiplo de 3. 
C) primo. 
D) par. 
E) múltiplo de 13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato 
de um paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de 
dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro 
degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. 
 
 
Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, 
seu volume será igual a 
a) 2,1 m3 
b) 2,3 m3 
c) 3,0 m3 
d) 4,2 m3 
e) 6,0 m3 
 
 
 
 
 
Pirâmides 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA DA PIRÂMIDE 
 
 
A cobertura de uma tenda de lona tem formato de uma pirâmide de base quadrada e é 
formada usando quatro triângulos isósceles de base y. A sustentação da cobertura é feita 
por uma haste de medida x. Para saber quanto de lona deve ser comprado, deve-se 
calcular a área da superfície da cobertura da tenda. A área da superfície da cobertura 
da tenda, em função de y e x, é dada pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. 
O lado da base mede 8 m e a altura da pirâmide 3 m. As telhas para cobrir esse telhado 
são vendidas em lotes que cobrem 1 m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas 
desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado 
é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GERATRIZ 
 
Determine a geratriz da pirâmide, a área da face, a área lateral, a área total e o 
volume de uma pirâmide regular quadrangular de altura 30 cm e aresta da base 
20 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma pirâmide de base quadrada tem 18m de altura e 20m de apótema lateral 
(geratriz). Calcule a área da base e o volume da pirâmide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA DA BASE 
 
(UFTPR 2017) Uma barraca de camping foi projetada com a forma de uma 
pirâmide de altura 3 metros, cuja base é um hexágono regular de lados medindo 
2 metros. Assim, a área da base e o volume desta barraca medem, 
respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A figura indica um prisma reto triangular e uma pirâmide regular de base 
quadrada. A altura desses sólidos, em relação ao plano em que ambos estão 
apoiados, é igual a 4 cm, como indicam as figuras. Se os sólidos possuírem o 
mesmo volume, a aresta da base da pirâmide, em centímetros, será igual a: 
 
 
 
 
 
RAZÃO DE SEMELHANÇA ENTRE PIRÂMIDES 
 
 
 
 
 
a) 6,4 
b) 5.4 
c) 0,4 
d) 0,8 
e) 3,2 
 
ANOTAÇÕES 
Para obter um objeto de decoração, um artista plástico utiliza uma pirâmide de base 
hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice o artista deve cortá-la por um plano 
paralelo a base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da 
pirâmide original: 
a) 2 m 
b) 4 m 
c) 5 m 
d) 6 m 
e) 8 m 
 
 
 
 
 
PROJEÇÃO ORTOGONAL 
 
 
 
O Museu do Louvre, localizado em Paris, na 
França, é um dos museus mais visitados do 
mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de 
Vidro, construída no final da década de 1980. 
A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da 
Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, 
uma pirâmide reta de base quadrada que a 
ilustra. Considere os pontos A, B, C, D como 
na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa 
fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B, deslocando-se pela aresta 
AB; 2) ir de B até C, deslocando-se pela aresta que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo 
caminho de menor comprimento; 4) deslocar-se de D até B pela aresta que contém esses dois 
pontos. A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
SECÇÃO DE PLANOS 
 
É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, 
por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em 
uma de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções 
de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada. 
a) Quadrados, apenas 
b) Triângulos e quadrados, apenas 
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas 
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas. 
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, 
apenas. 
 
ANOTAÇÕES 
Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um 
plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas 
poderia ter uma das facespentagonal. 
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? 
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide 
intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados. 
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa 
pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. 
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um 
segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção 
tem 5 lados. 
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano 
é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados. 
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é 
igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono 
tem 4 lados. 
 
 
 
 
PLANIFICAÇÃO 
 
 
A planificação de um sólido geométrico é uma figura geométrica bidimensional 
formada pela superfície de objetos tridimensionais. Assim, a planificação de uma 
pirâmide de base pentagonal será formada por: 
a) Dois pentágonos e cinco retângulos congruentes. 
b) Dois pentágonos e cinco retângulos. 
c) Um pentágono e cinco triângulos congruentes. 
d) Um pentágono e cinco triângulos. 
e) Um pentágono e cinco triângulos equiláteros. 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Ufpr 2016) Temos, abaixo, a planificação de uma 
pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são 
triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa 
pirâmide? 
 
 
16√3 cm3 
32 cm3 
 
64/3 cm3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VOLUME DE PIRÂMIDE 
 
(EPCAR 2012) Um sólido maciço foi obtido quando 
a base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 
cm foi colada à base de uma pirâmide reta de base 
retangular e altura 3 cm, de forma que 4 dos 6 vértices 
da base da primeira coincidam com os vértices da base 
da segunda, conforme figura. Desprezando-se o 
volume da cola, se a aresta da base da pirâmide 
hexagonal mede 5 cm, então, o volume do sólido 
obtido, em cm3, é igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
(Ucs) Aumentando-se a medida "a" da aresta da base de uma pirâmide 
quadrangular regular em 30% e diminuindo- se sua altura "h" em 30% qual será 
a variação aproximada no volume da pirâmide? 
a) Aumentará 18%. 
b) Aumentará 30%. 
c) Diminuirá 18%. 
d) Diminuirá 30%. 
e) Não haverá variação. 
 
 
 
 
 
(UFSM 2015) Desde a descoberta do primeiro plástico sintético da história, esse 
material vem sendo aperfeiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve ao fato de 
o plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. Uma peça plástica usada 
na fabricação de um brinquedo tem a forma de uma pirâmide regular 
quadrangular em que o apótema mede 10mm e a aresta da base mede 12mm. A 
peça possui para encaixe, em seu interior, uma parte oca de volume igual a 
78mm3. O volume, em mm3, dessa peça é igual a 
A. 1152 
B. 1074 
C. 402 
D. 384 
E. 306 
 
 
 
 
 
 
Na molécula do Metano (CH4), o átomo de 
carbono ocupa o centro de um tetraedro regular 
em cujos vértices estão os átomos de 
hidrogênio. Considerando que as arestas ℓ do 
tetraedro regular medem 6 cm e que a altura 
mede h = 1/3ℓ√6, assinale a alternativa que 
apresenta, corretamente, o volume desse 
tetraedro. 
a) 3√3 cm3 
b) 18√2 cm3 
c) 18√3 cm3 
d) 36√2 cm3 
e) 54√2 cm3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRONCO DE PIRÂMIDE 
 
Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide 
quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da 
base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 
3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte 
superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base 
superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco 
sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de 
cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Se o dono da fábrica 
resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte 
superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o 
mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? 
a) 156 cm³. 
b) 189 cm³. 
c) 192 cm³. 
d) 216 cm³. 
e) 540 cm³. 
 
 
 
 
As rapaduras, fabricadas no Engenho JB , têm a forma de um 
tronco de pirâmide regular, conforme ilustra a figura a seguir. 
Sabendo-se que os segmentos AB e EF medem, 
respectivamente, 15 cm e 12 cm, e que a altura da pirâmide 
VABCD mede 20 cm, calcular o volume de cada rapadura, em 
centímetros cúbicos: 
 
 
 
 
 
 
 
Um engenheiro esta projetando uma caixa d'água de concreto em forma de tronco de 
pirâmide regular e reta, com as seguintes medidas internas: base menor de lado 6 m, 
base maior de 16 m de lado e com altura da face lateral de 13 m. A capacidade de 
armazenamento da caixa d’água é de: 
a)1.432.000 litros 
b)1.552 litros 
c)1.552.000 litros 
d)1.681,33 litros 
e)1.681.333 litros 
 
 
 
(Puccamp 2017) Considere dois troncos de pirâmides retas exatamente iguais. A base maior 
é um quadrado de lado igual a 2 metros, a base menor um quadrado de lado igual a 2 metro, 
e a distância entre as bases igual a 2 metro. Um monumento foi construído justapondo-se 
esses dois troncos nas bases menores, apoiando-se em um piso plano por meio de uma das 
bases maiores, formando um sólido. Desta maneira, a medida da área da superfície exposta 
do monumento é, em m2 igual a: 
a) 4 + 6√5 
b) 8 
c) 12√2 + 4 
d) 16/3 
e) 12√2 - 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cilindro 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
VOLUME 
 
 
(ENEM 2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa 
reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato 
cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá 
comportar 81m3 de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a 
inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação 
para π. Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume 
desejado? 
A. 0,5 
B. 1,0 
C. 2,0 
D. 3,5 
E. 8,0 
 
ANOTAÇÕES 
(ENEM 2013) Num parque aquático existe uma piscina 
infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de 
profundidade e volume igual a 12m3, cuja base tem um raio R 
e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no 
interior dessa piscina, também na forma de um cilindro 
circular reto, cuja base estará no fundo e com centro da base 
coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a 
figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a 
construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina 
tenha um volume de, no mínimo, 4m3. Considere 3 como valor aproximado para π. Para 
satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais 
próximo de: 
A 1,6. 
B 1,7. 
C 2,0. 
D 3,0. 
E 3,8 
 
 
 
Um fabricante de bebidas, numa jogada de 
marketing, quer lançar no mercado novas 
embalagens de latas de alumínio para os seus 
refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser 
substituídas por uma nova embalagem com metade 
desse volume, conforme mostra a figura. De acordo 
com os dados anteriores, qual a relação entre o raio 
r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem 
de 350 mL? 
a) r’ = √r 
b) r’ = r/2 
c) r’ = r 
d) r’ = 2r 
e) r’ = ∛r 
 
ANOTAÇÕES 
Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura 
(de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, 
contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 
e tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual: 
a) R$ 230,40. 
b) R$124,00. 
c) R$ 104,16. 
d) R$ 54,56. 
e) R$ 49,60. 
 
 
 
 
COMPRIMENTO 
 
Para decorar um cilindro circular reto será usada 
uma faixa retangular de papel transparente, na 
qual está desenhada em negrito uma diagonal que 
forma 30° com a borda inferior. O raio da base do 
cilindro mede 6/π cm, e ao enrolar a faixa obtém-
se uma linha em formato de hélice, como na 
figura. O valor da medida da altura do cilindro, 
em centímetro, é: 
a) 36√3 
b) 24√3 
c) 4√3 
d) 36 
e) 72 
 
 
ANOTAÇÕES 
Com o objetivo de reformar os tambores cilíndricos de uma escola de samba, um 
alegorista decidiu colar adereços plásticos na forma de losango, como ilustrado na Figura 
1, nas faces laterais dos tambores. Nesta colagem, os vértices opostos P e Q do adereço 
deverão pertencer às circunferências do topo e da base do tambor cilíndrico, 
respectivamente, e os vértices opostos R e S deverão coincidir após a colagem do adereço 
no tambor, conforme ilustra a Figura 2. Considere que o diâmetro do cilindro 
correspondente ao tambor meça 0,4 metro. Utilize 3,14 como aproximação para pi. 
 
A diagonal RS do adereço a ser confeccionado pelo alegorista deve medir, em metro: 
A 0,124. 
B 0,400. 
C 0,496. 
D 1,240. 
E 2,480. 
 
 
ÁREA TOTAL 
 
 
 
 
Seja um cilindro com altura de 34 cm e raio de base igual a 2 cm. Calcule a áreal 
total do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UECE) Um cilindro circular reto de altura 7 cm tem volume igual a 28π cm³. A área 
total desse cilindro, em cm², é: 
a) 30π 
b) 32π 
c) 34π 
d) 36π 
 
 
 
 
 
 
 
https://servimg.com/r/6219847285/sem_ty10.png
 
 
SEMICILINDRO 
 
 
(UFSM 2014) Uma alternativa encontrada para a 
melhoria da circulação em grandes Cidades e em 
rodovias é a construção de túneis. A realização 
dessas obras envolve muita ciência e tecnologia. 
Um túnel em formato semicircular, destinado ao 
transporte rodoviário, tem as dimensões conforme 
a figura a seguir. Qual é o volume, em m3, no interior desse túnel? 
a) 4.800 
b) 7.200 
c) 14.400 
d) 28.800 
e) 57.600 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um telhado retangular ABCD tem 
área igual a 120 m² e está conectado 
a uma calha de escoamento de água 
da chuva. A calha tem a forma de 
um semicilindro reto, de diâmetro 
AF = DE = 0,4 m e capacidade igual 
a 720 litros. Considerando DG = 5 
m e adotando π = 3, a medida do 
ângulo agudo CDG, indicada na 
figura por α, é igual a: 
a) 75º. 
b) 60º. 
c) 45º. 
d) 30º. 
e) 15º. 
 
 
 
 
TRONCO DE CILINDRO 
 
Exemplo. Um cilindro reto com diâmetro da base igual a 6 cm é secionado por um plano 
oblíquo a ela, que determina, no cilindro, alturas entre 2 cm e 8 cm, como indicado na 
figura. Determine o volume resultante. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma tora de madeira sob a forma de um tronco de cilindro circular reto, em que a geratriz 
maior e menor medem 5 m e 3 m, tem volume 4 . Calcule o raio de uma secção reta 
dessa tora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CILINDRO INCLINADO 
 
 
Um copo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 6 cm e cuja altura interna mede 
10 cm contem certo volume de agua. Inclinando o máximo possível esse copo, 
sem derramar água, obtemos a medida descrita na figura abaixo. Qual o volume 
de água contido no copo? 
 
 
 
(UNIFOR 2014) Um copo, em forma de cilindro circular reto de raio 5 cm e altura 20 
cm, tem um nível h de água. O ângulo máximo que o fundo do copo forma com a 
horizontal, de modo que a água não transborde é de 60°. O nível h da água é de: 
A) 20−2√3 
B) 20−3√3 
C) 20−5√3 
D) 20−6√3 
E) 20−7√3 
 
 
 
A figura A mostra um copo cilíndrico reto 
com diâmetro da base de 10 cm e altura de 
20 cm, apoiado sobre uma mesa plana e 
horizontal, completamente cheio de água. 
O copo foi inclinado lentamente até sua 
geratriz formar um ângulo de 45° com o 
plano da mesa, como mostra a figura B. 
Então, o volume de água derramada, em 
cm3, foi: 
a) 125π 
b) 250π 
c) 500π 
d) 120π 
e) 300π 
 
 
 
 
 
Num recipiente em forma de cilindro circular 
reto, com raio da base 2cm e altura mostrada 
na figura 1(dimensões internas), há volume de 
água também mostrado na figura(figura 1). 
Qual deve ser o maior ângulo α que o plano da 
base do cilindro deve fazer com o plano de 
apoio para que a água não se derrame ao se 
inclinar o cilindro? 
 a) 60º 
b) 40º 
c) 45º 
d) 90º 
e) 30º 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cones 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS LATERAL E TOTAL 
 
 
Um desafio matemático construído pelos alunos do curso de matemática tem as 
peças no formato de um cone. A figura abaixo representa a planificação de uma 
das peças construídas a área dessa peça é de: 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Em um triângulo retângulo, a medida do menor cateto é 6cm. Rotacionando esse 
triângulo ao redor desse cateto, obtém-se um sólido de revolução, cujo volume é 
128╥cm3. Nessas condições, a área total da superfície do sólido obtido na revolução, em 
cm2, é 
a) 144╥ 
b) 120╥ 
c) 80╥ 
d) 72╥ 
e) 64╥ 
 
 
 
 
 
GERATRIZ 
 
Exemplo. Uma pessoa decidiu reformar um 
antigo abajur trocando o tecido da cúpula. Esta 
pode ser interpretada geometricamente como a 
superfície lateral de um tronco de cone, cujos raios 
medem 6 cm e 12 cm e a altura mede 8 cm, como 
na figura a seguir. Considere que a área lateral do 
tronco do cone é AL= π (R + r) · gt, em que R, r e 
gt são, respectivamente, o raio maior, o raio menor 
e a geratriz do tronco. Utilize 3 como aproximação 
para π. A quantidade de tecido, em centímetro quadrado, necessária para cobrir a cúpula 
do abajur será de 
A 777,6. 
B 723,6. 
C 540,0. 
D 432,0. 
E 324,0. 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Fuvest – SP) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, 
de base quadrada, como mostra a figura. A razão b a entre as dimensões do 
paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é π. Determine o comprimento g da geratriz do 
cone. 
 
 
 
 
RAIO DE SETOR VIRANDO GERATRIZ DO CONE 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Acafe 2017) Com uma chapa de um certo material na forma de um setor circular de 
ângulo central igual a π/4 radianos e raio igual a 5 dm, constrói-se um cone circular de 
volume V. Diminuindo-se em 20% o valor do raio e mantendo-se o mesmo ângulo 
central, a capacidade do novo cone diminui: 
a) entre 49% e 50% 
b) entre 48% e 49% 
c) entre 50% e 51% 
d) entre 51% e 52% 
 
 
 
 
 
 
 
 
VOLUME 
 
 
(UNESP 2012) Um cone circular reto, de vértice V 
e raio da base igual a 6 cm, encontra-se apoiado em 
uma superfície plana e horizontal sobre uma 
geratriz. O cone gira sob seu eixo de revolução que 
passa por V, deslocando-se sobre a superfície plana 
horizontal, sem escorregar, conforme mostra a 
figura. O cone retorna à posição inicial após o 
círculo da sua base ter efetuado duas voltas 
completas de giro. O volume do cone da figura, em cm3, é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um vasilhame na forma de um cilindro circular 
reto de raio de base de 5 cm e altura de 30 cm 
está parcialmente ocupado por 625pi cm³ de 
álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja 
fixado um funil na forma de um cone circular 
reto de raio da base de 5 cm e altura 6 cm, 
conforme ilustra a firgura1. O conjunto, como 
mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a 
distância da superfície do álcool até o fundo do 
vasilhame. Considerando essas afirmações, qual 
é o valor da distância H? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÓLIDOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS 
 
Um cone reto está inscrito num cubo de aresta 8 cm. Se a altura do cone e o diâmetro de 
sua base têm medidas iguais, qual é a diferença entre as medidas dos seus volumes? 
Considere π = 3,0 
a) 128 cm³ 
b) 256 cm³ 
c) 384 cm³ 
d) 424 cm³ 
e) 512 cm³ 
 
ANOTAÇÕES 
Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é 
um sólido de revolução obtido pela rotação de um trapézio 
isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a seguir. 
As dimensões do trapéziosão: base maior igual a 15 cm, base 
menor igual a 7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm. 
Considerando-se π = 3, o volume, em litros, da peça fabricada 
corresponde a: 
 a)0,212. 
 b)0,333. 
 c)0,478. 
 d)0,536. 
 
 
 
 
 
 
 
RAZÃO DE SEMELHANÇA ENTRE CONES 
 
 
Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base 
(que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A 
partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu 
enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto 
para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente, 
 
 
 
 
 
 
(UFU 2017) Um recipiente cônico utilizado em experiências de química deve ter duas 
marcas horizontais circulares, uma situada a 1 centímetro do vértice do cone, marcando 
um certo volume v, e outra marcando o dobro deste volume, situada a H centímetros do 
vértice, conforme figura. Nestas condições, a distância H, em centímetros, é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRONCO DE CONE 
 
 
Após mergulhar um ovo em um copo de água de bases (inferior e superior) circulares 
de diâmetros 4,8 cm e 7,2 cm, respectivamente, um estudante registrou uma elevação 
no nível de água de 6 cm para 8 cm, tal como mostra a figura seguinte. Considerando 
pi=3, o volume aproximado do ovo, em cm3, encontra se no intervalo: 
 
 
 
 
 
 
A Marinha do Brasil comprou um reservatório para armazenar combustível com o 
formato de um tronco de cone conforme figura abaixo. Qual é a capacidade em litros 
desse reservatório? 
 
 
 
 
 
 
 
MEDADE DA ALTURA: v/8 e 7v/8 
 
O rótulo de uma embalagem de suco concentrado sugere que o mesmo seja preparado 
na proporção de sete partes de água para uma parte de suco, em volume. Carlos decidiu 
preparar um copo desse suco, mas dispõe apenas de copos crônica, mais precisamente 
na forma de cones circulares retos. Para seguir exatamente as instruçõesdo rótulo, ele 
deve acrescentar no copo, inicialmente vazio, uma quantidade de suco até 
 a) metade da altura. 
 b) um sétimo de altura. 
 c) um oitavo da altura. 
 d) seis sétimos da altura. 
 e) sete oitavos da altura. 
 
 
Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base 
e altura , está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que 
a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na 
metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira 
que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado 
na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante 
em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, 
medida a partir do vértice será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esferas 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VOLUME DA ESFERA 
 
 
No desenho abaixo, em cada um dos vértices do cubo está centrada uma esfera cuja medida do 
diâmetro é igual à medida da aresta do cubo. A razão entre o volume da porção do cubo ocupado 
pelas esferas e o volume do cubo é: 
 
ANOTAÇÕES 
Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro 
com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas 
pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm 
de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. Um medicamento é 
produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse 
medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a 
reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para π. A 
redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será 
igual a: 
 
 
 
 
 
 
Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular 
reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes quea massa secasse, ele 
resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. Analisando as caracteristicas das figuras 
geometricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é igual a: 
 
 
ESFERAS TANGENTES 
 
Duas esferas que se tangenciam estão em repouso sobre um plano horizontal. Os volumes das 
esferas são respectivamente 2304πm³ e 36πm³. A distância, em metros, entre os pontos de contato 
das esferas com o plano é igual a: 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
A bocha é um esporte jogado em canchas, que são 
terrenos planos e nivelados, limitados por tablados 
perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é 
lançar bochas, que são bolas feitas de um material 
sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível 
do bolim, que é uma bola menor feita, 
preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que 
foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, 
que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a figura 2. Considere o ponto 
C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são pontos 
em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e 
B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim? 
A. 1 
B. 2√10/5 
C. √10/2 
D. 2 
E. √10 
 
 
 
ÁREA DA ESFERA 
 
 
 
 
Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura. Sabendo-se 
que o volume da bola é 2304 cm3, então a área da superfície de cada faixa é de: 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UFSM 2012) Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, 
considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura 
moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma 
doação de um croqui, para a construção do planetário da 
UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de 
Santa Maria. Suponha que a cobertura da construção seja 
uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 
partes iguais, as quais são aproximadas por semicírculos 
de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 39 m2 de área, qual a 
quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do 
planetário? (Use π = 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES COM ESCALAS 
 
 
Uma bolha de sabão, esférica, não estouraria se sua área superficial fosse, no máximo, 
44% maior.Logo, ela poderia conter um volume de ar em seu interior, sem estourar, até 
a) 32,4% maior 
b) 44% maior 
c) 53,6% maior 
d) 66% maior 
e) 72,8% maior 
 
 
ANOTAÇÕES 
Um círculo de raio R gira em torno de seu diâmetro, gerando uma esfera de volume V. 
Se o raio do círculo é aumentado em 50%, então o volume da esfera é aumentado em: 
A) 100,0 %. 
B) 125,0 %. 
C) 215,0 %. 
D) 237,5 %. 
 
 
 
 
Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 
20%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 
 a) 60% 
 b) 63,2% 
 c) 66,4% 
 d) 69,6% 
 e) 72,8% 
 
 
 
 
ÁREA DA SEÇÃO ESFÉRICA 
 
Seja S uma seção de uma esfera determinada pela interseção com um plano. Se 
S está a 3 cm do centro da esfera e tem área igual a 16pi cm², então o volume desta 
esfera é: 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
(UERJ 2013) Na fotografia abaixo, observam- se duas bolhas de sabão unidas. Quando 
duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, 
conforme ilustra o esquema: Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, 
unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede 
de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida: 
 
 
 
 
 
 
 
FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA 
 
 
Calcule a área de um fuso esférico de ângulo 30° e cujo raio mede 2 metros., 
 
 
 
 
 
Exemplo. Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12cm e ângulo 
central de 60º. 
 
 
 
 
 
 
 
Considereque uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 
gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria 
analítica 
e suas variações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo do Ponto 
(ENEM_Libras_2017) Foi utilizado o plano cartesiano para a representação de um pavimento 
de lojas. A loja A está localizada no ponto A(1;2). No ponto médio entre a loja A e a loja B está 
o sanitário S, localizado no ponto S(5;10). Determine as coordenadas do ponto de localização da 
loja B. 
A (-3; -6). 
B (-6; -3). 
 C (3; 6). 
D (9; 18). 
E (18; 9). 
 
ANOTAÇÕES 
Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea 
que receberá uma rede de canos para o transporte de água 
de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). 
Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o 
trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que 
atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que 
contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de 
coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida 
nos eixos é o quilômetro. Estudos de viabilidade técnica 
mostraram que, pelas características do solo, a construção 
de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, 
enquanto que 1 m de construção de galeria via 
semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro. Use 3 
como aproximação para π e 1,4 como aproximação para √2 . O menor tempo possível, em hora, 
para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de 
a) 1 260. 
b) 2 520. 
c) 2 800. 
d) 3 600. 
e) 4 000. 
 
 
Um construtor pretende murar um terreno e, para isso, precisa 
calcular o seu perímetro. O terreno está representado no plano 
cartesiano, conforme a figura, no qual foi usada a escala 1 : 
500. Use 2,8 como aproximação para √8. De acordo com essas 
informações, o perímetro do terreno, em metros, é 
a) 110. 
b)120. 
c)124. 
d)130. 
e)144. 
 
 
(ENEM_2011) Um bairro de uma cidade foi planejado 
em uma região plana, com ruas paralelas e 
perpendiculares, delimitando quadras de mesmo 
tamanho. No plano de coordenadas cartesianas 
seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, 
e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A 
reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do 
percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará 
o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P=(-5,5), 
localiza-se um hospital público. A comunidade 
solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista 
uma estação do metrô de modo que sua distância ao 
hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, 
o comitê argumentou corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava 
prevista a construção de uma estação no ponto 
A (-5,0). 
B (-3,1). 
C (-2,1). 
D (0,4). 
E (2,6) 
 
 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
(CFSD/PM-PA) Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo 
retângulo. A área desse triângulo é: 
A)5ua 
B)6ua 
C)7ua 
D)8ua 
E)9ua 
 
 
ANOTAÇÕES 
(Uel) - Seja AB uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a 
área de ABCD, em unidades de área, é 
a) 4 
b) 4√2 
c) 8 
d) 8√2 
e) 16 
 
 
(Cesgranrio) - A distância entre os pontos M(4, -5) e N(-1, 7) do plano x0y vale: 
a) 14. 
b) 13. 
c) 12. 
d) 9. 
e) 8. 
 
 
 
 
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO 
 
 
 
 
Dado um segmento de reta AB cujas extremidades estão nas coordenadas A=(1,3) e B 
= (-5, -6), quais são as coordenadas do seu ponto médio? 
a) M = (– 1,5; – 2) 
b) M = (– 2; – 1,5) 
c) M = (2; 1,5) 
d) M = (1,5; 2) 
e) M = (2,5; – 1) 
 
 
ANOTAÇÕES 
 Dadas as coordenadas do ponto médio M = (2, 5), quais são as coordenadas da 
extremidade A do segmento de reta que o contém, sabendo que a outra extremidade está 
no ponto B = (5, 5)? 
a) M = (– 1, 5) 
b) M = (– 1, 1) 
c) M = (1, 5) 
d) M = (1, – 5) 
e) M = (5, – 1) 
 
 
 
 
 
Um segmento de reta tem uma de suas extremidades no ponto A = (a, 2a) e seu ponto 
médio no ponto M = (6a, 3a). Quais são as coordenadas da outra extremidade desse 
segmento de reta em função de a? 
a) (11, 4) 
b) (4, 11) 
c) (11a, 4a) 
d) (4a, 11a,) 
e) (a, a) 
 
 
 
 
BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO 
 
 
Exemplo. Quais as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices (1, 3), (3, 
4) e (5, -1)? 
a.(3, 2) 
b.(3, 3) 
c.(3, 7/2) 
d.(1, 2/3) 
e.(4, 1) 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Calcule as coordenadas do vértice C de um triângulo, cujos pontos são: 
A (3, 1), B (–1, 2) e o baricentro G (6, –8).? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(PUCCAMP 2005) No gráfico abaixo têm-
se: 
- um triângulo ABC de vértices A(3;3), B(-
5;-1) e C (-2; -7); 
- o círculo inscrito no triângulo ABC; 
- região sombreada R. 
O baricentro do triânguloABCé 
a) (-2: -2). 
b) (-2; -5/3). 
c) (-4/3; -2). 
d) (-4/3; -5/3). 
e) (-5/3; -4/3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo da Reta 
 
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS 
 
(PUC-MG) Calcule o valor de t sabendo que os pontos A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(–
1, 6) são colineares. 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Verifique se os pontos A(0, 4), B(–6, 2) e C(8, 10) estão alinhados. 
 
 
 
 
 
 
 
(UFMG) Determine o valor de m para que os pontos A(2m+1, 2), B(–6, –5) e 
C(0, 1) sejam colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
 
 
 
 
 
Para criar um logotipo, um profissional da área de design 
gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos 
do plano na forma de um triângulo, exatamente como 
mostra a imagem. Para construir tal imagem utilizando 
uma ferramenta gráfica, será necessário escrever 
algebricamente o conjunto que representa os pontos desse 
gráfico. Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x ; y) 
∈ N×N, tais que 
A) 0 ≤ x ≤ y ≤ 10 
B) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10 
C) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10 
D) 0 ≤ x + y ≤ 10 
E) 0 ≤ x + y ≤ 20 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
(EBSERH – AOCP 2016). Seja a reta cuja equação é dada por y – 2x -10 = 0, é correto 
afirmar que essa reta passa por quais dos dois pontos citados a seguir? 
a) A(5 ; 0) e B(-20 ; 35). 
b) C(12 ; 21) e D(0 ; 20). 
c) E(14 ; -15) e F(-7 ; 7). 
d) G(5 ; 30) e H(0,5 ; 4). 
e) A(0 ; 10) e B(-13 ; -16). 
 
 
 
 
 
 
 
(UDESC 2008) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que passa 
pelos pontos A (1, 5) e B (4, 14) é: 
A) 4 
B) -5 
C) 3 
D) 2 
E) 5 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA 
 
 
(Enem 2016). Uma região de uma fábrica deve ser 
isolada, pois nela os empregados ficam expostos a 
riscos de acidentes. Essa região está representada pela 
porção de cor cinza (quadrilátero de área S) na figura. 
Para que os funcionários sejam orientados sobre a 
localização da área isolada, cartazes informativos serão 
afixados por toda fábrica. Para confeccioná-los, um 
programador utilizará um software que permite 
desenhar essa região a partir de um conjunto de 
desigualdades algébricas. As desigualdades que devem 
ser utilizadas no referido software, para o desenho da 
região de isolamento, são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Uma reta s possui inclinação de 120°. Sabendo que a reta passa pelo ponto P (4,3), 
ache a equação reduzida da reta e o ponto Q (5, y). Considere duas casas decimais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reta r passa pelos pontos A (1, 2) e B (-2, 5). Determine a equação reduzida de 
r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INCLINAÇÃO DA RETA 
 
(UFSC-2011) A reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento AB com 
A=(0,3) e B=(5,0) tem qual coeficiente angular? 
a) 3/5 
b) 2/5 
c) 3/2 
d) 1 
 
 
 
 
(UDESC-2008) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta 
que passa pelos pontos A (1, 5) e B (4, 14) é: 
a) 4 
b) -5 
c) 3 
d) 2 
e) 5 
 
 
 
 
PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS 
 
Exemplo.Encontre a equação da reta s, perpendicular à reta t: 2x + 3y – 4 =0, 
sabendo que ela passa pelo ponto P(3,4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Prove que as retas s: x + 2y – 1 = 0 e r: 4x – 2y +12 = 0 são 
perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Dadas as equações gerais das retas r e s a seguir, verifique se elas são 
paralelas entre si. 
r: -2x + y + 2 = 0 
s: -2x + y + 4 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
 
Exemplo. Dado o ponto B com coordenadas (2, 6) e reta s: 2x + 4y – 1 = 0, 
determine a distância entre eles de acordo com os conceitos e fundamentos da 
geometria analítica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Fuvest-SP). Calcule a distância entre a reta r1, de equação 3y = 4x – 2, e a reta 
r2, de equação 3y = 4x + 8, sabendo que r1//r2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Cesgranrio-RJ). O ponto A (–1, –2) é um vértice de um triângulo equilátero 
ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x + 2y – 5 = 0. Determine a 
medida h da altura desse triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo da Circunferência 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA 
 
(ENEM 2017) A figura mostra uma 
criança brincando em um balanço no 
parque. A corda que prende o assento do 
balanço ao topo do suporte mede 2 
metros. A criança toma cuidado para não 
sofrer um acidente, então se balança de 
modo que a corda não chegue a alcançar 
a posição horizontal. Na figura, considere 
o plano cartesiano que contém a trajetória 
do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, 
o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima. A 
curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Determine a equação reduzida da circunferência que tem: 
a) C(2,5) e r = 3 
 
 
 
 
 
 
b) b) C(-1,-4) e r = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
(SEDUC RJ – CEPERJ 2013). Seja (x – 2)² + (y – 4)² = 8 a equação reduzida 
de uma circunferência. A razão entre a área da circunferência e a área do 
quadrado inscrito na circunferência, nesta ordem, é: 
a) π/4 
b) π/2 
c) π 
d) 3π/2 
e) 3π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO GERAL – DETERMINAÇÃO DO CENTRO E DO RAIO 
 
 
 
 
(Enem 2017) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma 
interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os 
alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano 
dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar 
pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve 
escrever em uma janela do programa a equação 
cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que 
passa pelos pontos e pela origem do sistema de 
coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da 
circunferência, cada ponto diferente da origem que for 
atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da 
equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em 
uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), 
B(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0 ; 2 ). Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a 
maior pontuação? 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
Exemplo. Determine as coordenadas do centro e do raio das circunferências abaixo: a) 
X2 + Y2 – 8Y – 6X – 11 = 0 
 
 
 
 
 
b) 4X2 + 4Y2 - 4X – 12Y + 6 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Determine a equação reduzida da circunferência de cento C (0, 2) e 
raio igual a 3. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Qual é a equação da circunferência do centro C (2, -1) que passa por 
P (3, 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONVERSÃO ENTRE EQUAÇÃO GERAL E EQUAÇÃO REDUZIDA 
 
 
Exemplo. Transforme a forma geral da equação das circunferências em 
reduzidas. 
a) 2X2 + 2Y2 + 4X – 8Y +2=0 
 
 
 
b) X2 +Y2 – 4Y= 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
Exemplo. Transforme a forma reduzida da equação das circunferências em 
gerais. 
 
 
 
 
 
 
 
(x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA 
 
Dado o ponto P (-2, -2) e a circunferência de equação C: x2 + y2 = 5, podemos dizer que: 
 
a.P pertence à C 
b.P é externo à C 
c.P é interno à C 
d.O centro da circunferência é dado por (5, -5) 
e.O raio da circunferência é 5 
 
 
 
 
 
 
Dos pontos a seguir, qual deles é externo à circunferência de equação (x + 1)2 + 
(y – 1)2 = 5? a.(0, 0) 
b.(-1, 1) 
c.(-1, 2) 
d.(-3, 2) 
e.(-5, 1) 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 
 
(Pucrs 2007) A distância entre o centro da circunferência de equação (x – 2)2 + (y + 5)2 = 
9 e a reta de equação 2 y + 5 x = 0 é 
a) – 5 
b) 0 
c) 2 
d) 5 
e) 9 
 
 
(FGV) Dada a circunferência de equação x2 + y2 = 9 e o ponto P(3, 5), obtenha 
as equações das retas tangentes à circunferência, passando por P. 
 
 
 
 
 
 
(Esam-RN) A equação da circunferência com centro no ponto (28, 3), tangente 
externamente à circunferência (x – 4)2 + (y – 2)2 = 64, é: 
a) (x – 8)2 + (y – 3)2 = 5 
b) (x + 8)2 + (y – 3)2 = 25 
c) (x + 8)2 + (y + 3)2 = 25 
d) (x – 8)2 + (y + 3)2 = 25 
e) (x + 8)2 + (y + 3)2 = 5 
 
 
Analisando a equação da reta r: x - 2y = 0 e da circunferência é: x2 + y2 - 10y + 5 = 0, 
podemos afirmar que: 
a. a reta é tangente a circunferência. 
b. a reta e secante a circunferência. 
c. a reta é exterior a circunferência. 
d. a reta está em plano distinto da circunferência. 
 
 
 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE CIRCUNFERÊNCIAS 
 
(Uft 2010) Considere as equações das circunferências 
C1: x
2 – 2x + y2 – 2y = 0 e 
C2: x
2 – 4x + y2 – 4y = 0 cujos gráficos estão 
representados ao lado. A área da região hachurada é: 
a) 3𝜋 unidades de área. 
b) 𝜋 unidades de área. 
c) 5𝜋 unidades de área. 
d) 6𝜋 unidades de área. 
e) 𝜋/2 unidades de área. 
 
 
 
(UFRGS 205) Considere as circunferências definidas por 
e , representadas no mesmo plano cartesiano. As 
coordenadas do ponto de interseção entre as circunferências são