CONCRETO I - Laura Caroline Fontes Brito

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CENTRO UNIVERSITÁRIO SANTO AGOSTINHO - UNIFSA
CURSO: BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
PROFESSOR (A): RONALDO ALVES SIQUEIRA
TURMA: 26T6A – 2019.1 – TARDE
PROJETO ESTRUTURAL - DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO
TERESINA-PI
2019
LAURA CAROLINE FONTES BRITO
PROJETO ESTRUTURAL - DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO
Trabalho Acadêmico apresentado ao Curso de Engenharia Civil, do Centro Universitário Santo Agostinho, como requisito à complementação de nota referente à 3°avaliaçãoda disciplina de Concreto I, ministrada pelo Professor (a): Ronaldo Alves Siqueira.
TERESINA-PI
2019
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO...................................................................................................................5
2. DESENVOLVIMENTO......................................................................................................6
2.1 PILARES........................................................................................................................6
2.2 CÁLCULO DE PILARES.............................................................................................7
2.3 VIGAS............................................................................................................................8
3. LAJES...................................................................................................................................10
3.1 DEFINIR ALTURA DE LAJES................. ................................................................10
3.2 CLASSIFICAÇÃO COM (LAMBDA).......................................................................10
3.3 CÁLCULO DAS CARGAS ATUANTES..................................................................14
3.4 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES ATUANTES.......................................15
4. CÁLCULO DAS FLECHAS PARA LAJES ARMADAS EM 2 DIREÇÕES....................19
4.1 CÁLCULO DAS CARGAS QUASE PERMANENTES............................................20
4.2 CÁLCULO DO MOMENTO DE FISSURAÇÃO......................................................21
4.3 CÁLCULO DA FLECHA IMEDIATA.......................................................................23
4.4 CALCULO DA FLECHA TOTAL.............................................................................24
4.5 CÁLCULO DA FLECHA MÁXIMA OU LIMITE....................................................26
5. DETERMINAÇÃO DE UMA NOVA ALTURA................................................................27
5.1 DETERMINAÇÃO DE CARREGAMENTO TOTAL...............................................28
5.2 NOVOS MOMENTOS..................... ..........................................................................29
5.2 CÁCULO DAS ARMADURAS NEGATIVAS..........................................................30
5.3 DETERMINAÇÃO DA MENOR ALTURA ÚTIL....................................................31
6. COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS.........................................................................32
6.1 COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS NEGATIVOS........................................33
6.2 COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS POSITIVOS..........................................34
7. CÁLCULO DE ARMADURAS LONGITUDINAIS..........................................................35
7.1 CÁLCULO DAS ARMADURAS POSITIVAS..........................................................36
7.2 CÁLCULO DAS ARMADURAS NEGATIVAS.......................................................38
7.3 LAJE EM BALANÇO.................................................................................................41
8. DETALHAMENTO DA ARMADURA POSITIVA...........................................................41
	8.1 ESPAÇAMENTO ARMADURA POSITIVA........................................................41
9. DETALHAMENTO DA ARMADURA NEGATIVA........................................................44
	9.1 ESPAÇAMENTO ARMADURA NEGATIVA.....................................................44
9.2 DETALHAMENTO ARMADURA DE DISTRUBUIÇÃO NEGATIVA.............45
10. ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO..................................................................................49
10.1 ESPAÇAMENTO ARMADURA DE DISTRIVUIÇÃO.....................................49
10.2 COMPRIMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS......................................50
11. COMRIMENTO E NÚMERO DE BARRAS PARA ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO NEGATIVA..............................................................................................................................56
	11.1 QUANTIDADE DE BARRAS.............................................................................57
12. QUADRO DE ESPECIFICAÇOES....................................................................................58
12.1 ARMADURAS POSITIVAS................................................................................58
12.2 ARMADURAS NEGATIVAS E DE DISTRIBUIÇÃO......................................59
13. QUADROS.........................................................................................................................59
13.1 QUADRO DE AÇO..............................................................................................59
13.1 QUADRO RESUMO............................................................................................61
14. CONCLUSÃO....................................................................................................................61
15. REFERENCIAS..................................................................................................................61
ESPECIFICAÇÕES DO PROJETO: 
ANEXO
· Classe de Agressividade: CLASSE - II
· Tipo de Atividade: EDÍFICIO RESIDENCIAL 
· Localização: Condomínio Solaris Sul, Rua Tibiriçá nº2250 na cidade de Teresina-PI.
· Agregado: BASALTO / αe= 0,9
· Contra piso: Espessura: 4,0 cm 
· Piso: GRANITO / Espessura: 2,0 cm
· Forro: GESSO / Espessura: 2,5 cm
· Bitola da Ferragem das lajes: Ø = 6,3 mm
· Resistência característica à compressão do concreto (Fck) = 25 Mpa
· Aço: CA – 50
· Tempo para retirada das escoras (desfôrma): 14 dias.
1. INTRODUÇÃO
 Concreto armado é a junção do concreto com estrutura de aço em seu interior, por isso se diz ‘armado’, Processo inventado na Europa no século XIX. Normalmente ele é usado para fundação, pilares, vigas e laje. A junção dos dois materiais aumenta a resistência da estrutura: o concreto aguenta o peso sobre ele e a estrutura de aço evita que a estrutura ceda.
Com a evolução da tecnologia, houve um grande incremento tecnológico também na construção civil e com isso a necessidade da criação de estruturas mais seguras que também fossem economicamente viáveis. Devido a essa realidade, estudos feitos acerca do comportamento estrutural possibilitaram o advento de novos métodos, que tornaram possível o surgimento de novas tecnologias e elementos estruturais que tornam uma edificação mais rápida de ser executada. 
As estruturas que são construídas em concreto armado devem ser bem elaboradas e calculadas. Para isso devemos levar em consideração uma série de fatores, como o local que será construído a estrutura, os materiais utilizados, as condições que se encontra o terreno, entre outras características.  Nesse trabalho, será detalhado um pré-dimensionamento de lajes maciças de uma edificação residencial, onde cada passo desenvolvido em sala será aplicado com o objetivo de aplicar e fixar todo o aprendizado adquirido em sala de aula. 
2. DESENVOLVIMENTO
2.1. PILARES
A palavra pilar vem do castelhano pilar, do latim pilare, pila “coluna”. No que se refere à edificação, pilar consiste numa coluna simples que sustenta uma construção; poste, estaca, esteio, pilastra, coluna: prédio com 4 pilares, o que serve de apoio.
As colunas ou pilares ficam acima do solo e faz parte da estrutura de concreto armado que dá sustentação a casa. Cada coluna é um bloco retangular ou cilíndrico feito de concreto armado dimensionado para suportar e distribuir o peso das vigas para as fundações. As colunas ou pilaressão elementos estruturais, por isso devem ser dimensionadas por um engenheiro capacitado e fazem parte do projeto estrutural.
O dimensionamento dos pilares é feito em função dos esforços externos solicitantes de cálculo, que compreendem as forças normais, os momentos fletores (Mdx e Mdy) e as forças cortantes (Vdx e Vdy) no caso de ação horizontal.
Dos pilares, conhece-se apenas a sua altura, sendo necessário se determinar qual a área de sua seção transversal (a x b). As normas técnicas brasileiras recomendam que as dimensões a e b sejam iguais ou maiores que 19 cm, porém, em casos especiais, admitem que uma das dimensões seja de, até, 14 cm, desde que a área da seção seja maior ou igual a 360 cm2. Recomenda-se que a maior dimensão da seção transversal não seja muito superior ao dobro da menor dimensão: b ≤ 2 a.
2.2. CÁLCULO DE PILARES
Os pilares podem apresentar forma circular, retangular ou quadrada. A forma utilizada para o então projeto foi o retangular.
De posse da altura de 2,80 metros correspondendo ao pé direito da edificação, é necessário determinar a seção do pilar. Sabendo-se que uma das dimensões é igual a 14 centímetros, a área é de 360 cm² para encontrar a outra dimensão é preciso realizar um cálculo. 
Dados:
A= 360 cm²
b= 15 cm (é a menor dimensão da seção transversal expressa em centímetros)
	PILAR
	SEÇÃO (CM)
	ORIENTAÇÃO
	P1
	30 X 15
	HORIZONTAL
	P2
	15 X 30
	VERTICAL
	P3
	30 X 15
	HORIZONTAL
	P4
	19 X 19
	QUADRADO
	P5
	15 X 30
	VERTICAL
	P6
	15 X 30
	VERTICAL
	P7
	30 X 15
	HORIZONTAL
	P8
	30 X 15
	HORIZONTAL
	P9
	30 X 15
	HORIZONTAL
	P10
	15 X 30
	VERTICAL
	P11
	15 X 30
	VERTICAL
Observação: Segundo a NBR6118 (Estruturas de Concreto Armado), a menor dimensão para uma seção de um pilar quadrado é de 19 x 19 centímetros.
2.3. VIGAS
Para os cálculos das vigas, deve-se obedecer a um limite que é 2/3<=L1/L2<=3/2 no qual uma de suas medidas bw foi adotado 15 cm. Esse valor consiste em um dos valores que compõe a seção da viga.
Os cálculos das vigas:
Como há vigas que se dividem em dois vãos, é preciso calcular o Lm (comprimento médio).
V1:Lm= 369 + 271 /2= 320 cm
Então, divide o Lm por 10 assim hv1 =320/10 = 32 cm usa 35cm 
V2: hv2 =269/10= 26,9 cm usa 30 cm 
V3:hv3 =271/10= 27,1 cm usa 30 cm
V4: hv4 = 265/10= 26,5 cm usa 30 cm
V5:hv5 = 265/10= 26,5 cm usa 30 cm
V6:Lm= 265 + 265 / 2 = 265 cm
Então, divide o Lm por 10 assim hv6 = 265/10 = 26,5 cm usa 30cm 
V7:Lm= 347 + 383 / 2 = 365 cm
Então, divide o Lm por 10 assim hv7 = 365/10 = 36,5 cm usa 40cm 
V8: hv8 = 232/10= 23,2cm usa 25 cm, sendo a menor dimensão admitida.
V9:Lm= 115 + 383 / 2 = 249 cm
Então, divide o Lm por 10 assim hv9 = 249/10 = 24,9 cm usa 25cm 
V10: hv10 = 448/10= 44,8 cm usa 45 cm
V11: Lm= 146 + 280 / 2 = 213 cm
Então, divide o Lm por 10 assim hv11 = 213/10 = 21,3 cm usa 25cm 
V12: hv12 = 302/10= 30,2 cm usa 30 cm
Após realizar os cálculos das vigas, é possível observar que existe uma condição em que uma viga se apoia na outra. Diante dessa observação, é necessário fazer algumas alterações para que as vigas que servem de apoio tenham a mesma dimensão das que se sustentam nelas. 
Nesse sentido, sabendo que:
	VIGAS
	APOIA
	V1
	V8
	V2
	V9
	V3
	V11
	V4
	X
	V5
	V10
	V6
	X
	V7
	X
	V8
	X
	V9
	V5
	V10
	V2,V3
	V11
	X
	V12
	X
Então: 
V5 terá nova dimensão de 45 cm e V9 terá de 45 cm.
	VIGAS
	DIMENSÕES (CM)
	V1
	15 X 35
	V2
	15 X 30
	V3 
	15 X 30
	V4
	15 X 30
	V5
	15 X 45
	V6
	15 X 30
	V7
	15 X 40
	V8
	15 X 25
	V9
	15 X 45
	V10
	15 X 45
	V11
	15 X 25
	V12
	15 X 30
3. LAJES 
Lajes são elementos planos, em geral horizontais, com duas dimensões muito maiores que a terceira, sendo esta denominada espessura. A principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no andar, ações normais aos seus planos, provenientes do uso da construção (pessoas, móveis e equipamentos), e transferi-los para os apoios.
Sob a visão estrutural, as lajes são placas de concreto com superfícies planas. Existem alguns tipos de lajes, como as nervuradas e pré-moldadas, mas o que será evidenciado nessa atividade são as lajes maciças para pavimentos de edifícios. 
As lajes maciças são aquelas onde toda a espessura é composta por concreto, contendo armaduras longitudinais de flexão e eventualmente armaduras transversais, e apoiada em vigas ou paredes ao longo das bordas. Laje com borda ou bordas livres é um caso particular de laje apoiada nas bordas. Esse tipo de laje pode ser encontrada tanto em concreto armado como protendido. Uma das suas principais características é que elas distribuem suas reações em todas as vigas de contorno, havendo um maior aproveitamento das vigas do pavimento.
Para o dimensionamento das lajes maciças, todo um procedimento deve ser seguido e com base nos dados disponíveis, segue os passos para desenvolvimento do mesmo.
3.1. DEFINIR ALTURAS DAS LAJES
Primeiro define-se a quantidade de lajes do projeto, nesse foram constatadas 7. 
Para encontrar a alturas das lajes devemos definir osλ (lambdas) da seguinte forma lembrando que as medidas delx e ly são de eixo a eixo.
Lx – menor vão;
Ly – maior vão.
3.2. CLASSIFICAÇÃO COM λ (LAMBDA)
Lajes armadas em duas direções (λ ≤ 2)
Lajes armadas em uma direção (λ > 2)
Assim:
Para a laje 1: 
Para a laje 2: 
Para a Laje 3:
Para a laje 4: 
Para a laje 5: 
Para a laje 6: 
Para a laje 7:
Logo depois da determinação dos valores de lambdas, feita sua classificação com base nos critérios mencionados acima, é feita a partição de cada uma em um caso. Os casos são definidos de acordo com a geometria e esclarecem as condições de vinculação da placa.
Deve-se levar em conta a condição de apoio entre duas lajes quando são unidas apenas por uma parte. Para isso, observa-se a dimensão que une as duas lajes e a outra paralela a ela. Com esses dados, faz-se uma divisão da menor dimensão pela maior (dentre as determinadas anteriormente). Nesse sentido, se essa divisão resultar em um valor inferior a 2/3 (0,67), é dito então que só existe engaste do menor lado.
O que foi exposto pode ser visto entre a laje 1 e laje 3 onde será necessário verificar a condição de apoio, ou seja, a existência de engaste. Assim:
 < 0,67
Definindo então, que a laje 1 que se não fosse por esse critério seria de caso 4, agora é classificada como caso 2.
Conforme o quadro encontrado no livro Concreto Armado (2014, p.330), as lajes se caracterizam como:
Laje 1: caso 02
Laje 2: caso 04
Laje 3: caso 09
Laje 4: caso 08
Laje 5: caso 03
Laje 6: caso 07
Laje 7:balanço
Por seguinte, é feito os cálculos da altura útil (D). Em queonde o ᴪ2 é dependente de dois fatores, um é o caso das lajesque foram classificadas com base na figura 7.5 do livro de concreto armado (2014, p.330). O outro, são os valores de lambdas, no qual fazendo a relação dos dois, obtemos o ᴪ2, encontrado no quadro 7.6 do livro de concreto armado (2014,p.339) e também utilizando NBR 6118:2014, temos que para lajes armadas em 1 direção, os valores de serão obtidos em função do tipo de apoio da laje analisada.
	Tipo de laje
	
	Apoiada 
	1,0
	Mono-engastada
	1,20
	Bi engastadas
	1,70
	Balanço
	0,5
O ᴪ3 em tabela ele vai de pender do tipo de aço, que nesse projeto foi utilizado a aço CA-50 para lajes maciças, ᴪ3= 25, quadro 7.7 do livro de concreto armado (2014, p.340).
Nesse sentido:
Para laje 1:
Para a laje 2: 
Para a laje 3:
Para a laje 4: 
Para a laje 5: 
Para a laje 6: 
Para a laje 7: 
Após encontramos os D das lajes, partimos para o cálculo das alturas (h) que é obtidapela seguinte fórmula , onde o CN é o cobrimento nominal do concreto que é depende da classe de agressividade, que nesse trabalho consiste na Classe II. Essa definição das classes pode ser encontrada na tabela 6.1 da NBR 6118:2003.p,16 e o CN pode ser encontrado na tabela 7.2 na NBR 6118.p,19 e o diâmetro é o menor possível para não provocar fissuras então, o dado no projeto é de 6,3 mm.
Para a laje 1:h= 5,84+2,5+1,5*0,63= 9,29cm; adota 10 cm
Para a laje 2:h= 5,88+2,5+1,5*0,63= 9,33cm; adota 10 cm
Para a laje 3:h= 2,49+2,5+1,5*0,63= 5,94cm; adota08 cm
Para a laje 4:h= 2,23+2,5+1,5*0,63= 5,71cm; adota 08 cm
Para a laje 5: h= 4,10+2,5+1,5*0,63= 7,55cm; adota 08 cm
Para a laje 6: h= 2,18+2,5+1,5*0,63= 5,63cm; adota 08 cm
Para a laje 7: h= 7,60+2,5+1,5*0,63= 11,05cm; adota 12 cm
Todos os dados calculados anteriormente compõem a tabela seguinte:
	LAJE
	Ly
	Lx
	λ= Ly/Lx
	Classificação
	Caso 
	Ψ2
	Ψ3
	d=Lx/(Ψ2 x Ψ3)
	h
	H (final) cm
	L1
	254
	232
	1,09
	2 direções
	2
	1,64
	25
	5,84
	9,29
	10
	L2
	287
	256
	1,12
	2 direções
	4
	1,74
	25
	5,88
	9,33
	10
	L3
	211
	106
	1,98
	2 direções
	9
	1,7
	25
	2,49
	5,94
	8
	L4
	161
	146
	1,10
	2 direções
	8
	1,97
	25
	2,23
	5,71
	8
	L5
	413
	265
	1,56
	2 direções
	3
	1,52
	25
	4,10
	7,55
	8
	L6
	280
	265
	1,06
	2 direções
	7
	1,94
	25
	2,18
	5,63
	8
	L7
	280
	95
	2,94
	1 direção
	balanço
	0,5
	25
	7,6
	11,05
	12
3.3. CÁLCULO DAS CARGAS ATUANTES
Segundo CARVALHO e FILHO de 2014, as cargas atuantes em uma laje maciça (carga por metro quadrado de laje) são calculadas de maneira usual, e devem ser consideradas, geralmente as seguintes:
· Cargas Permanentes (g): peso próprio estrutural, revestimento inferior, peso de contrapiso e piso ou revestimento.
· Cargas Variáveis ou Sobrecarga(q): varia de acordo com a utilização da edificação.
Para o cálculo das cargas atuantes, utiliza-se a fórmula: P=g1+g2+q
Dados para Cálculo de Cargas:
Observação: os pesos específicos dos materiais que compõe a estrutura ɣ (KN/m³) são encontrados na tabela 1, NBR 6120:1980.
· Peso específico do Concreto Armado, ɣc= 25 KN/m³;
· Peso específico do Piso (Granito), ɣG = 28 KN/m³;
· Peso específico do Contra Piso (argamassa de cimento e areia), ɣCp = 21 KN/m³;
· Peso específico do Forro (Gesso)ɣ= 12,5 KN/m³. 
Para obter G1 multiplica-se a altura da laje pelo peso especifico do concreto.
G1 = h (m) x ɣc (kn/m³)
L1= 0,10m*25 kn/m² = 2,5kn/m²
L2= 0,10m*25 kn/m² = 2,5kn/m²
L3 = 0,08m*25 kn/m² = 2 kn/m²
L4= 0,08m*25 kn/m² = 2 kn/m²	
L5= 0,08m*25 kn/m² = 2 kn/m²
L6 =0,08m*25 kn/m² = 2 kn/m²
L7= 0,12m * 25 kn/m² = 3kn/m²
Para definir G2, usa-se a seguinte fórmula, que consiste no produto do peso específico de cada material pela espessura do mesmo. 
G2 = ɣ (kn/m³) x espessura (m)
Piso de granito = 28 * 0,02 = 0,56 kn/m²
Contra piso = 21 * 0,04 = 0,84 kn/m² 
Forro de gesso = 12,5 * 0,025 = 0,3125 kn/m²
Total G2 = 1,71 kn/m² 
Já a carga variável (q), por se tratar de um edifício residencial terá valor q = 3,0 kn/m² para a varanda e de q = 2,0 kn/m² para os demais ambientes. 
Observação: valores arbitrados com base na NBR 6120/1980 (p.03).
Após ter descoberto o valor de G1e G2, soma com o (q) e descobre as cargas das lajes (P).
P = G1 + G2 + q
P (kn/m²)
L1 = 2,5 + 1,71 + 2 = 6,21kn/m² 
L2 =2,5 + 1,71 + 2 = 6,21kn/m²
L3 =2 + 1,71 + 2 =5,71kn/m²
L4 = 2 + 1,71 + 2 = 5,71kn/m²
L5 =2 + 1,71 + 2 = 5,71kn/m²
L6=2 + 1,71 + 2 = 5,71kn/m²
L7= 3 + 1,71 + 2 = 7,71kn/m²
3.4. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES ATUANTES 
Com o cálculo da carga (p), o próximo passo é encontrar os momentos positivos e negativos utilizando a equação a seguir:
Para os momentos positivos:
Para os momentos negativos:
Onde os µ (mi) vai depender dos λ (lambda) de cada laje e dos casos que foram estabelecidos no item 3.1 e a partir do quadro 7.3 até a 7.5 no livro de concreto armado (2014, p.330) encontramos os µ(mi). Logo abaixo, segue a tabela com os valores de µ (mi) referentes ao então trabalho e ao ter encontrado os µ calcula-se os momentos positivos e negativos.
Observação: a laje 7 não tem o µ por conta que é armada em uma direção. Assim, será usado outro procedimento para encontrar o seu respectivo momento.
	COEFICIENTES MOMENTOS
	µ (mi)
	Lajes
	µx
	µy
	µx’
	µy’
	1
	3,77
	3,90
	-
	9,18
	2
	3,53
	2,80
	8,28
	7,50
	3
	4,07
	1,16
	8,33
	5,72
	4
	2,95
	2,04
	6,76
	5,65
	5
	5,98
	1,95
	11,55
	-
	6
	2,63
	2,71
	6,50
	6,75
	7
	-
	-
	-
	-
	LAJES
	P
	Lx(m)
	PLx²
	Plx²/100
	L1
	6,21
	2,32
	33,42
	0,3342
	L2
	6,21
	2,56
	40,70
	0,4070
	L3
	5,71
	1,06
	6,42
	0,0642
	L4
	5,71
	1,46
	12,17
	0,1217
	L5
	5,71
	2,65
	40,10
	0,4010
	L6
	5,71
	2,65
	40,10
	0,4010
	L7
	7,71
	0,95
	6,96
	0,0696
· Para a L1:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
· Para a L2:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
· Para a L3:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
· Para a L4:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
· Para a L5:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
· Para a L6:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
· Para a L7:
Como se trata de uma laje armada em uma direção, do tipo balanço considerada uma varanda, não há momentos positivos. Apenas um momento negativo na direção X que é calculado da seguinte forma:
Segundo a norma NBR 6120/1980(p.04) item 2.2.1.5: Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8 kn/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kn/m.
Assim:
Palv = espessura (m) * altura (h) * ɣalv
 ɣalv = 15,4kn/m 
Palv = 0,15 * 1 * 15,4= 2,31kn/m
Momento negativo:
4. CÁLCULO DE FLECHAS PARA LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
A flecha (deslocamento transversal máximo de uma reta ou placa) para lajes com carregamento uniforme e com as condições de contorno já descritas é calculada pela equação (CARVALHO e FILHO, 2014, pg: 331):
fi= 
Em que:
 – Carregamento uniformemente distribuído sobre a placa;
 - Coeficiente que depende geometria da laje (quadro 7.2 do livro Cálculo e detalhamento de estruturas de concreto armado);
Lx – menor vão da laje;
E – Módulo de deformabilidade do concreto.
Segundo Carvalho e Filho de 2014, para a verificação do estado limite de deformação excessiva, na ABNT NBR 6118:2014, item 14.6.4.1, permite-se utilizar momento de inércia da seção bruta de concreto, como módulo de elasticidade secante do concreto.
Para o cálculo de verificação do estado limite de deformação excessiva, é necessário que se faça o cálculo para encontrar a carga de serviço a que a estrutura estará exposta.
Utilizando alguns conceitos da NBR 8681:2003 temos que para deformações excessivas, fazemos o uso de combinação para cargas quase permanentes. Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase permanentes Ψ2*qk.
Pd,ser = Σgk + Ψ2*qk
Onde:
Pd,ser – carga de serviço para deformação excessiva;
Ψ2 – coeficiente de minoração de cargas variáveis que depende do uso da edificação. (ver tabela 6. NBR 8681:2003);
Ψ2= 0,3 para edificações residenciais;
Ψ2= 0,4 para edificações comerciais;
Ψ2= 0,6 para bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e garagens.
qk – sobrecarga (carga variável).
Além da carga de serviço da laje, para se calcular a flecha imediata é necessário encontrar o valor do módulo de elasticidade secante do concreto, que é definido pela fórmula abaixo:
Ecs= αi*Eci
Onde:
Eci= αE*5600* para fck de 20 MPa a 50 Mpa;
Sendo: 		αi = 0,8 + 0,2* ≤ 1,0
O αE é o coeficiente que depende do tipo de agregado graúdo utilizado.
αE = 1,2 para basalto 
αE = 1,0 para granito 
αE = 0,9 para calcário
αE = 0,7 para arenito
4.1. CÁLCULOS DAS CARGAS QUASE PERMANETES (PQP)
As cargas quase permanentes são encontradas com base na equação seguinte:
PQP = (G1+ G2) + Ψ2 * q
Ψ2= 0,3 para edificações residenciais será o adotado para esse trabalho.
O adotado é q = 3 kn/m² para laje em balanço e q = 2 kn/m² para as outras lajes.
Então:
L1= (2, 5 + 1, 71) + 0,3 * 2 = 4,81kn/m²
L2= (2, 5 + 1, 71) + 0,3 * 2 = 4,81 kn/m²
L3= (2+ 1, 71) + 0,3 * 2 = 4,31 kn/m²
L4= (2+ 1, 71) + 0,3 * 2 = 4,31 kn/m²
L5= (2+ 1, 71) + 0,3 * 2 = 4,31 kn/m²
L6 = (2+ 1, 71) + 0,3 * 2 = 4,31 kn/m²
L7= (3 + 1, 71) + 0,3 * 3 = 5,61 kn/m²
4.2. CÁLCULO DO MOMENTO DE FISSURAÇÃO
O momento de fissuração também é chamado de momento resistente e consiste nos estados limites de serviço que as estruturas trabalham parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II. A separação entre essas duas partes é definida pelo momento de fissuração. (LIBÂNIO e CASSIANE). No estádio I o concreto resiste à tração e não apresenta fissuras, já no estádio II o concreto tracionado é desprezado, pois ele estáfissurado.
Esse momento pode ser calculado pela seguinte expressão:
MR = 0,0525 * 
Onde, o fck = 25mpa, substituindo na fórmula encontramos um valor de MR= 0,4489h² x 10³ (kn.m) depois substituir o h² pela altura das lajes.
Para a L1: MR= 0,4489 x 0,10² x 10³ = 4,49 kn.m
Para a L2: MR= 0,4489 x 0,10² x 10³ = 4,49 kn.m
Para a L3: MR= 0,4489 x 0,08² x 10³ = 2,87 kn.m
Para a L4: MR= 0,4489 x 0,08² x 10³ = 2,87 kn.m
Para a L5: MR= 0,4489 x 0,08² x 10³ = 2,87 kn.m
Para a L6: MR= 0,4489 x 0,08² x 10³ = 2,87 kn.m
Para a L7: MR= 0,4489 x 0,12² x 10³ = 6,46 kn.m
Para a classificação segundo o momento de serviço, ou seja, definição do estádio I ou II usa-se o critério seguinte:
Estádio I: (MS ≤ MR) ∴ Estádio II: (MS > MR)
	
	 Momentos de Serviço
	
	LAJES
	H (m)
	MR
	Mx
	My
	Xx
	Xy
	ESTÁDIO
	L1
	0,10
	4,49
	1,26
	1,30
	-
	3,07
	I
	L2
	0,10
	4,49
	1,44
	1,14
	3,37
	3,05
	I
	L3
	0,08
	2,87
	0,26
	0,07
	0,53
	0,37
	I
	L4
	0,08
	2,87
	0,36
	0,25
	0,82
	0,69
	I
	L5
	0,08
	2,87
	2,40
	0,78
	4,63
	-
	II
	L6
	0,08
	2,87
	1,05
	1,09
	2,61
	2,71
	I
	L7
	0,12
	6,46
	-
	-
	8,37
	-
	II
4.3. CÁLCULO DAS FLECHAS IMEDIATA 
Passo a passo:
1° Cálculo das cargas de serviço para deformações excessivas. (edificação residencial).
PQP = (G1 + G2) + Ψ2 * q
2° Calcular o Módulo de Elasticidade Secante do Concreto (Ecs).
Observação: Resistência característica à compressão do concreto de acordo com especificações de projeto, é fck = 25MPa.
Ecs= αi*Eci
O valor do módulo de elasticidade encontrado, será utilizado para todas as lajes.
αi = 0,8 + 0,2* ≤ 1,0
Valor para o fck = 25 MPa
αi = 0,8 + 0,2*< 1,0 ;
αi = 0,8625 < 1,0 Ok!
Sendo Eci = αE * 5600 * , e sabendo que o agregado graúdo é o basalto, temos:
Eci = 1,2 * 5600 * 
Eci = 33 600 mpa = 33 600 000 kn/m²
Ecs= αi*Eci
Ecs= 0,8625 * 33 600 = 28 980 mpa = 28 980 000 kn/m²
3° Verificação das flechas imediatas (lajes em armadas em duas direções) o coeficiente α é encontrado na tabela 7.2 do livro de concreto armado (2014, p.332) vai depender também do valor do .
fi= 
Para a L1 = 
Para a L2 =
Para a L3 = 
Para a L
Para a L5 =
Para L6 = 
Para a L7 usa-se outra fórmula, pois trata-se de uma laje armada em 1 direção em que a flecha é obtida por:
 
Observação: a inércia I vai depender do estágio de fissuração da laje, se ocorre fissura, a inércia equivalente será definida por 0,3*I. Se não existe fissura usa a normal de seção retangular b*h³/12.
Para lajes armadas em uma direção, as flechas imediatas irão variar de acordo com o tipo de apoio da laje, podendo ser:
· fi = (simplesmente apoiada);
· fi = (mono-engastada);
· fi = (bi engastada);
· fi = (balanço).
Assim, a laje 7 é armada em uma direção (varanda) e possui guarda corpo.
 fi = 
Inércia: b * h³ / 12 = 1 * 0,12³ / 12 = 1,44 x 10-4
Inércia = 0,3 I por estar em estádio II
Inércia = 0,3 * 1,44 x 10-4 = 4,32 x 10-5
O EI = Eci * I = 33 600 000 * 4,32 x 10-5
EI = 1 451, 52 kn/m² = 1,45 mpa
L7 = 
4.4. CÁCULO DA FLECHA TOTAL
Para a obtenção desses deslocamentos, a NBR 6118:2014 item 17.3.2.1.2, recomenda o cálculo da flecha adicional diferida, ou seja, a flecha total decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, de uma forma aproximada por meio da multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão abaixo:
αf = 
Onde:
 - Taxa de armadura comprimida do elemento;
 - é um coeficiente função do tempo, sendo = ;
· Cálculo do fator αf
αf = 
 = 
Como o foi previsto no projeto, as escoras seriam retiradas em 14 dias. Porém, o valor de t é dado em meses, assim é necessário que se divida a quantidade de dias fornecida, pelo os dias referente a um mês para que se tenha um resultado equivalente.
t = 14/30 = 0,47 meses
· CÁLCULO DE 
 = 
 = 
αf = 1,47
Sendo a flecha total: ft = fi*(1+ αf)
O cálculo do efeito da fluência também será feito com a carga obtida da combinação de serviço quase permanente.
Depois de obter o fator αf, pode-se fazer o cálculo para encontrar as flechas diferidas no tempo das lajes ft = fi * (1+ αf)
Para L1 = 0,19 * (1 + 1,47) = 0,47 mm
Para L2 = 0,22 * (1 + 1,47) = 0,54 mm
Para L3 = 0,011 * (1 + 1,47) = 0,03 mm
Para L4 = 0,03 * (1 + 1,47) = 0,07 mm
Para L5 = 0,73 * (1 + 1,47) = 1,80 mm
Para L6 = 0,33 * (1 + 1,47) = 0,82 mm
Para L7 = 0,82 * (1 + 1,47) = 2,02 mm
4.5. CÁCULO DA FLECHA MÁXIMA OU LIMITE
As flechas máximas ou deslocamentos-limites como definidos pela NBR 6118, “são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado-limite de deformações excessivas da estrutura.”
Mesmo deslocamento para todas as lajes com exceção da laje em balanço.
fmáx= - para lajes em balanço; e para as demais lajes, fmáx= .
· Armada em 2 direções:
Para L1 = 
Para L2 = 
Para L3 = 
Para L4 = 
Para L5 = 
Para L6 = 
· Armada em 1 direção:
Para L7 = 
Para título de verificação de modo a estabelecer se deve ou não redimensionar a estrutura, a característica a ser observada é:
Ver se fmáx > ft (flecha total), atendendo a isso, não é necessário fazer redimensionamento.
Segue a tabela com as representações dos dados anteriormente calculados:
	Lajes
	Lx
	Pqp
	αf
	fi (mm)
	ft
	flim ou fmáx
	Redimensionar
fmáx> ft
	L1
	2,32
	4,81
	1,47
	019
	0,47
	6,19
	NÃO
	L2
	2,56
	4,81
	1,47
	0,22
	0,54
	6,83
	NÃO
	L3
	1,06
	4,31
	1,47
	0,011
	0,03
	2,83
	NÃO
	L4
	1,46
	4,31
	1,47
	0,03
	0,07
	3,89
	NÃO
	L5
	2,65
	4,31
	1,47
	0,73
	1,80
	7,07
	NÃO
	L6
	2,65
	4,31
	1,47
	0,33
	0,82
	7,07
	NÃO
	L7
	0,95
	5,61
	1,47
	0,82
	2,02
	5,07
	NÃO
5. DETERMINAÇÃO DE UMA NOVA ALTURA PARA AS LAJES (hnova)
A determinação da nova altura (h) das lajes, será em função do maior deslocamento (flecha) obtido através do cálculo de flecha imediata.
Observa-se que as flechas de cada laje são bem menores que as limites, sendo possível dessa maneira, diminuir a altura das lajes. Igualando a maior das flechas das lajes (flecha da laje 5 para estado limite de carga quase permanente) com a flecha limite correspondente; em metros, obtém-se uma nova altura, destacando a flecha calculada utilizando a equação para flechas imediatas, que deve ser multiplicada por 2,57 devido ao efeito de fluência da estrutura. (CARVALHO e FILHO, 2014).
Em suma, para determinação da nova altura comum a todas as lajes, devemos observar dentre as flechas totais já calculadas aquela que apresenta maior valor. Encontrada o valor e questão referente a uma laje, extraímos o valor da flecha limite, é esse valor que será utilizado no cálculo para determinação da nova altura.
fi=
· Maior flecha total encontrada: Laje 5 (ftmáx = 1,80 mm)
· Flecha limite correspondente: flim 7,07 mm
Dados da Laje em questão.
-Lx = 2,65 m
-E= 28.980.000 KN/m²
Pqp = 4,31 kn/m2
-fmáx(m) = 0,00707 m
- α = 5,09
- αf = 1,47
Substituindo os valores na equação acima, temos:
hnova³= = = 0,00013m
hnova = = 0,0507m = 5,07 cm
Valor mínimo da nova altura adotado, hnova = 8 cm.
5.1. DETERMINAÇÃO DE CARREGAMENTO TOTAL DAS LAJES PARA NOVA ALTURA.
Deve-se calcular um novo carregamento devido a adoção de uma nova altura para as lajes, alterando de forma direta seu carregamento.
· Carregamento atuante nas lajes:
-Cargas Permanentes: Peso próprio da estrutura, peso do contra piso, peso do forro e peso do piso.
-Cargas Variáveis: Sobrecarga de utilização então aplica na fórmula
P= G1+G2+q = 2,0 KN/m² +2kn/m²+3kn/m² =7kn/m²
Para G1:
G1= ɣconcreto*hnova = 25 kn/m³ * 0,08 m = 2 kn/m² (demais lajes)
G1= ɣconcreto*hnova = 25 kn/m³ * 0,12 m = 3 kn/m² (laje em balanço)
G2= 1,71 kn/m²
E a carga variável q continuará tendo valor de 2 kn/m² para as demais lajes e de 3 kn//m² para a laje em balanço.
Lembrando que as cargas G1 terá o mesmo valor para: L1=L2=L3=L4=L5=L6
Assim:
P1=P2=P3=P4=P5=P6= 2 + 1,71 + 2 = 5,71 kn/m²
E para a laje em balanço (L7):
L7= 3 + 1,71 + 3 = 7,71 kn/m²
Após ter realizado o cálculo das novas cargas, recalcularemos o momento fletor para todas as lajes.
5.2. NOVOS MOMENTOS.
	Lajes 
	PLx²/100
	L1
	0,3073
	L2
	0,3742
	L3
	0,0641
	L4
	0,1217
	L5
	0,4010
	L6
	0,4010
Utilizaremos o mesmo procedimento do item 3.4
· Para a L1:
Momentos positivos:
Momentosnegativos:
· Para a L2:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
· Para a L3:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
· Para a L4:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
· Para a L5:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
· Para a L6:
Momentos positivos:
Momentos negativos:
Em relação a Laje 7, nada foi alterado ainda. Como a altura dela se manteve, o momento fletor dela não precisou ser recalculado.
	NOVOS MOMENTOS FLETORES
	LAJES
	Mx
	My
	Xx
	Xy
	H (cm)
	L1
	1,16
	1,20
	-
	2,82
	8
	L2
	1,32
	1,05
	3,10
	2,81
	8
	L3
	0,26
	0,07
	0,53
	0,37
	8
	L4
	0,36
	0,25
	0,82
	0,69
	8
	L5
	2,40
	0,78
	4,63
	-
	8
	L6
	1,05
	1,09
	2,61
	2,71
	8
	L7
	-
	-
	8,37
	-
	12
5.3. DETERMINAÇÃO DA MENOR ALTURA ÚTIL (dmin)
É a menor altura necessária (dmin), onde a linha neutra acarreta o maior momento que a estrutura é capaz de resistir, ou seja, o momento aplicado será igual ao momento resistente máximo da seção.
dmin = 2*,
Onde:
dmin – menor altura útil que pode resistir ao momento máximo;
Md – 1,4*Mk (onde Mk é o maior momento calculado);
fcd – resistência de cálculo do concreto (fcd= )
bw – base da laje 
· De acordo com os cálculos, o maior momento positivo atuante na estrutura acontece na laje 5.
Laje 5
MkL5 = 4,63 Kn.m
Md = 1,4 x 4,63 = 6,482 kn.m
-fcd = 17 857
-fck = 25 MPa = 25000 KN/m² ;
dmin = 2,0 *
dmin= 0,0381 m = 3,81 cm 
· Para encontrar o D real positivo aplica-se na fórmula:
Onde 
H = 8cm 
CN= 2,5 cm
H= d + CN + 1,5
Drealpositivo = 8 - 2,5 - 1,5 * 0,63 = 4,55 cm
Comparação da altura útil utilizada, com o dmin encontrado.
Dreal > dmin, logo ok!
· Para encontrar o D real negativo aplica-se na fórmula os mesmos dados do item anterior, lembrando que o diâmetro vai ser multiplicado por 0,5:
H= d+CN+0,5
Drealnegativo = 8 - 2,5 - 0,5 * 0,63 = 5,18 cm
Comparação da altura útil utilizada, com o dmin encontrado.
Drealnegativo > dmin, logo ok!
6. COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS
Em um mesmo pavimento pode ocorrer o caso de que lajes adjacentes se diferenciem nas condições de apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos, resultando, no apoio comum, dois valores diferentes para o momento negativo. Daí a necessidade de promover a compatibilização desses momentos.
Na compatibilização dos momentos negativos, o critério usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável aproximação quando os dois momentos são da mesma ordem de grandeza. 
X1> X2 = 
6.1. COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS NEGATIVOS
L1/L2
Xc ≥ usa 2,96 kn.m
L1/L3
Xc ≥ usa 0,37 kn.m
Observação: só existe esse momento entre as lajes, o outro tem valor nulo.
L2/L3
Xc ≥ usa 2,48 kn.m
L2/L4
Xc ≥ usa 2,25 kn.m
L3/L5
Xc ≥ usa 3,70 kn.m
L3/L4
Xc ≥ usa 0,61 kn.m
L3/L6
Xc ≥ usa 2,17 kn.m
L4/L6
Xc ≥ usa 2,17 kn.m
L5/L6
Xc ≥ usa 4,49 kn.m
L6/L7
Xc ≥ usa 8,37 kn.m
6.2. CÁLCULO DE COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS POSITIVOS.
Como consequência da compatibilização dos momentos negativos, convém corrigir os momentos positivos, conforme for o caso, de um valor correspondente a metade da diferença entre o momento compatibilizado, e o momento negativo da laje calculada isoladamente. 
Para realizar a compatibilização dos momentos positivos, é necessário analisar os momentos não compensados e compensados negativos. A compatibilização será feita do lado do maior negativo das lajes envolvidas. A esse procedimento, aplica-se a fórmula:
M = Mx+ ΔX
MC = MC + 
ΔX (momento negativo não compensado – momento negativo compensado)
Para L1/L2
MC1 = MC + = 1,32 + = 1,39 kn.m
Para L1/L3
MC2 = MC + = 0,07+ = 0,07 kn.m
Para L2/L3
MC3 = Mc + = 1,32+ = 1,63 kn.m
Para L3/L5
MC4 = MC + = 2,40 + = 2,86 kn.m
Para L3/L4
MC5 = MC + = 0,25 + = 0,29 kn.m
Para L2/L4
Mc6 = MC + = 1,05 + = 1,33 kn.m
Para L4/L6
Mc7 = MC + 1,09 + = 1,36 kn.m
Para L5/L6
Mc8 = MC + = 2,40 + = 2,86 kn.m
Para L3/L6
Mc9 = MC + = 1,09 + = 1,36 kn.m
Observação: Quando for compensado o mesmo valor de momento positivo, deve-se adotar o maior valor calculado. Ocasião essa que pode ser vista na compensação de L1/L2 com L2/L3, em L3/L5 com L5/L6 e em L4/L6 com L3/L6.
7. CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS
Recomenda-se que seja tomada como altura útil da laje a distância entre a borda comprimida superior e o centro de gravidade das barras da camada superior da armadura positiva (no caso ds, que é menor que dv), possibilitando que, na construção, as barras de cada direção sejam posicionadas em qualquer uma das camadas. 
Assim, será empregado no cálculo de todas as armaduras a altura útil de 8 cm, altura essa que foi estabelecida anteriormente para as lajes. No caso das armaduras negativas, esse valor está a favor da segurança.
KMD = 
Onde:
Mk – é o momento de serviço da laje;
bw - base unitária da laje em metros;
d – altura útil da laje em metros
Onde:
H = D + CN + 1,5 * 0,63
D = 8 - 2,5 - 1,5 * 0,63 = 4,55cm
fck – resistência à compressão de cálculo do concreto em kn/m².
Para o cálculo da área de aço da seção, temos:
As = 
Onde:
As – área de aço na seção em cm²/m;
KZ – Valor adimensional tabelado que depende de KMD;
fyk – resistência característica de cálculo do aço em kn/cm²;
Antes dos cálculos devemos definir a área de aço mínima.
Asmin = 0,15 * bw * h
Em que:
0,15 é encontrado na tabela de acordo com o tipo de aço
bw = 1 
h é a altura compatibilizada (8cm)
Asmin = 0,15 * 1 * 8 = 1,2cm²/m
7.1. CÁLCULO DAS ARMADURAS POSITIVAS
KMD = = 0,04*Mk 
KMD = 0,04*Mk 
As = 0,71
· Armadura L1:
Mx = 1,16 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*1,16 = 0,0464 
Kz = 0,9697 ∴ As = 0,71 = 0,71* = 0,85 cm²/m
My = 1,20 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*1,20 = 0,0480
Kz = 0,9697 ∴ As = 0,71 = 0,71* = 0,88 cm²/m
· Armadura L2:
Mx = 1,63 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*1,63 = 0,0652
Kz = 0,9602 ∴ As = 0,71 = 0,71* = 1,21 cm²/m
My = 1,33 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*1,33 = 0,0532
Kz = 0,9665 ∴ As = 0,71 = 0,71* = 0,98 cm²/m
· Armadura L3:
Mx = 0,26 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*0,26 = 0,0104
Kz = 0,9941 ∴ Asx = 0,71 = 0,71* = 0,19cm²/m (adota 1,2 cm²/m)
My = 0,07 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*0,07 = 0,0028
Kz = 0,9941 ∴ Asy = 0,71 = 0,71* = 0,05 cm²/m (adota 1,2 cm²/m)
· Armadura L4:
Mx = 0,36 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*0,36 = 0,0144
Kz = 0,9941 ∴ Asx = 0,71 = 0,71* = 0,26cm²/m (adota 1,2 cm²/m)
My = 0,29 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*0,29 = 0,0116
Kz = 0,9941 ∴ Asy = 0,71 = 0,71* = 0,21 cm²/m (adota 1,2 cm²/m)
· Armadura L5:
Mx = 2,86 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*2,86 = 0,1144
Kz = 0,9270 ∴ Asx = 0,71 = 0,71* = 2,19 cm²/m
My = 0,78 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*0,78 = 0,0312
Kz = 0,9820 ∴ As = 0,71 = 0,71* = 0,56 cm²/m (adota 1,2 cm²/m)
· Armadura L6:
Mx = 1,05 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*1,05 = 0,0420
Kz = 0,9759 ∴ Asx = 0,71 = 0,71* = 0,76 cm²/m (adota 1,2 cm²/m)
My = 1,36 kn.m ∴ KMD = 0,04*Mk = 0,04*1,36 = 0,0544
Kz = 0,9665 ∴ Asy = 0,71 = 0,71* = 1,00 cm²/m (adota 1,2 cm²/m)
VERIFICAÇÃO
Laje armada em 2 direções (As ≥ 2/3 Asmin)
Asmin = h = = 1,2 cm²/m
Asmin = 1,2 cm²/m
As ≥ 2/3 Asmin ∴ As ≥ 2/3 * 1,2 ∴ As = 0,8 cm²/m
Nesse sentido, os valores das áreas de aço inferiores a 0,8 cm²/m devem adotar o mesmo como sua nova área de aço.
7.2. CÁLCULO DAS ARMADURAS NEGATIVAS 
Como já definido no item anterior, o KMD e a Área de aço se dão pelas fórmulas seguintes:
KMD = 0,04*Mk 
As = 0,71
· Armadura L1/L2:
Mk = 2,96 kn.m
KMD = 0,04*Mk = 0,04*2,96 = 0,1184 
Kz = 0,9236
As = 0,71 = 0,71* = 2,28 cm²/m
· Armadura L1/L3:
Mk = 0,37 kn.m
KMD = 0,04*Mk = 0,04*0,37 = 0,1184 
Kz = 0,9941
As = 0,71 = 0,71* = 0,26 cm²/m (adotar 0,8 cm²/m)
· Armadura L2/L3:
Mk = 2,48 kn.m
KMD = 0,04*Mk = 0,04*2,48 = 0,0992 
Kz = 0,9372
As = 0,71 = 0,71* = 1,88 cm²/m
· Armadura L2/L4:
Mk = 2,25 kn.m
KMD = 0,04*Mk = 0,04*2,25 = 0,0900 
Kz = 0,9439
As = 0,71 = 0,71* = 1,69 cm²/m
· Armadura L3/L5:
Mk = 3,70 kn.m
KMD = 0,04*Mk = 0,04*3,70 = 0,1480 
Kz = 0,9022
As = 0,71 = 0,71* = 2,91 cm²/m
· Armadura L3/L4:
Mk = 0,61 kn.m
KMD = 0,04*Mk = 0,04*0,61 = 0,1480 
Kz = 0,9820
As = 0,71 = 0,71* = 0,44 cm²/m (adotar 0,8 cm²/m)
· Armadura L3/L6:
Mk = 2,17 kn.m
KMD = 0,04*Mk= 0,04*2,17 = 0,0868 
Kz = 0,9439
As = 0,71 = 0,71* = 1,63 cm²/m
· Armadura L4/L6:
Mk = 2,17 kn.m
KMD = 0,04*Mk = 0,04*2,17 = 0,0868 
Kz = 0,9439
As = 0,71 = 0,71* = 1,63 cm²/m
· Armadura L5/L6:
Mk = 3,70 kn.m
KMD = 0,04*Mk = 0,04*3,70 = 0,1480 
Kz = 0,9022
As = 0,71 = 0,71* = 2,91 cm²/m
VERIFICAÇÃO
Laje armada em 2 direções (As ≥ 2/3 Asmin)
As ≥ 2/3 Asmin ∴ As ≥ 2/3 * 1,2 ∴ As = 0,8 cm²/m
Nesse sentido, os valores das áreas de aço inferiores a 0,8 cm²/m devem adotar o mesmo como sua nova área de aço.
7.3. PARA A LAJE EM BALANÇO:
Como a L7 se trata de uma laje armada em 1 direção do tipo balanço, teremos que encontrar um outro KMD e outra equação para a área de aço.
h = 12 cm
d = h – CN – 1,5*Ø
D= 12 – 2,5 – 1,5*0,63
D= 8,55 cm = 0,0855 m
KMD = = 
KMD = 0,12
Kz = 0,9236
Área de aço: 
As = 
As = 4,61 cm²/m ( As ≥ Asmin) está certo.
VERIFICAÇÃO
Asmin = 
Asmin = 1,8 cm²/m 
Para as lajes armadas em 1 direção, na verificação deve-se observar se As ≥ Asmin, se essa condição for atendida, a laje tem área de aço a ser considerada.
8. DETALHAMENTO DA ARMADURA POSITIVA
8.1. Espaçamento para armadura positiva (dmín)
S
Sx = 
Onde: 
Ab – área da barra (Ab = )
As – área de aço calculada
· Para L1
Sx = 
Ab6.3 = () = 
Sx6.3 =36,70 cm
Ab5.0 = () = 
Sx5.0 =23,05 cm (adota 20 cm)
Observação: quando o espaçamento calculado ultrapassa o espaçamento máximo, deve-se adotar outra área de barra com bitola menor e assim segue até encontrar uma bitola que atenda ao requisito.
Sy5.0 = 22,27 cm (adota 20 cm)
Número de barras L1
Ny = 
Nx = 
Ny= 11,6 = 12N1
Nx= 12,7 = 12N2
· Para L2
Sx6.3 = 25,79 cm (adota 20 cm)
Sy6.3 = 31,84 cm 
Sy5.0 = 20 cm 
Número de barras L2
Ny = 12,8 = 13N4
Nx = 
· Para L3
Sx6.3 = Sy6.3 = 39 cm
Sx5.0 = Sy5.0 = 24,5 cm (adota 20 cm)
Número de barras L3
Ny = 5,3 = 6N5
Nx = 
· Para L4
Sx6.3 = Sy6.3 = 39 cm
Sx5.0 = Sy5.0 = 24,5 cm (adota 20 cm)
Número de barras L4
Ny = 7,3 = 8N8
Nx = 
· Para L5
Sx6.3 = 14,24 cm (adota 14 cm)
Sy6.3 = 39 cm 
Sy5.0 = 24,5 cm (adota 20 cm)
Número de barras L5
Ny = 18,9 = 19N9
Nx = 
· Para L6
Sx6.3 = Sy6.3 = 39 cm
Sx5.0 = Sy5.0 = 24,5 cm (adota 20 cm)
Número de barras L6
Ny = 13,25 = 14N12
Nx = 
9. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS
9.1. ESPAÇAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS (dmáx)
Parte de grande importância, pois assim como nas armaduras positivas, é nesta etapa onde serão indicadas, área de aço, bitola utilizada, quantidade de barras utilizadas e espaçamentos necessários, para que a execução aconteça de maneira eficiente. 
Utilizando os mesmos critérios usados para armaduras positivas, temos:
S
Sx = 
Onde: 
Ab – área da barra (Ab = ) 
	Aço (cm)
	Área (cm²)
	0,5
	0,196
	0,63
	0,312
	0,8
	0,503
	0,10
	0,785
As – área de aço calculada
· Para L1/L2
S6.3 = 13,68 cm 
S8.0 = 22,06 cm (adota 20 cm)
· Para L1/L3
S6.3 = 39 cm 
S5.0 = 24,50 cm (adota 20 cm)
· Para L2/L3
S6.3 = 16,60 cm (adota 16 cm)
· Para L2/L4
S6.3 = 18,46 cm (adota 18 cm)
· Para L3/L5
S6.3 = 10,72 cm 
S8.0 = 17,28 cm (adota 17 cm)
· Para L3/L4
S6.3 = 39 cm 
S5.0 = 24,50 cm (adota 20 cm)
· Para L3/L6
S6.3 = 19,14 cm (adota 19 cm) 
· Para L4/L6
S6.3 = 19,14 cm (adota 19 cm) 
· Para L5/L4
S6.3 = 10,72 cm 
S8.0 = 17,28 cm (adota 17 cm)
9.2. DETALHAMENTO DA ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO NEGATIVA
 	É uma armadura complementar, posicionada na laje no sentido transversal e longitudinal, para a distribuição das tensões oriundas de cargas concentradas e para o controle da fissuração.
· Área de aço para armadura de distribuição.
Definir um espaçamento em função da bitola da ferragem utilizada.
Para todas as lajes (com exceção à laje em balanço) com a presença de armaduras negativas, usou-se bitola de 6.3, será feita uma comparação onde adota-se o maior valor para determinar uma área necessária de armadura de distribuição para as lajes.
Asdistribuída ≥ 
· Para L1/L2
Dados:
As, final = 2,28 cm²/m
As, min = 0,8 cm²/m
Comparações:
0,90 cm²/m
0,20*As, final = 0,456 cm²/m
0,5*As, min = 0,4 cm²/m
As, distribuição = 0,90 cm²/m
· Para L1/L3
Dados:
As, final = 0,8 cm²/m
As, min = 0,8 cm²/m
Comparações:
0,90 cm²/m
0,20*As, final = 0,16 cm²/m
0,5*As, min = 0,4 cm²/m
As, distribuição = 0,90 cm²/m
· Para L2/L3
Dados:
As, final = 1,88 cm²/m
As, min = 0,8 cm²/m
Comparações:
0,90 cm²/m
0,20*As, final = 0,376 cm²/m
0,5*As, min = 0,4 cm²/m
As, distribuição = 0,90 cm²/m
· Para L2/L4
Dados:
As, final = 1,69 cm²/m
As, min = 0,8 cm²/m
Comparações:
0,90 cm²/m
0,20*As, final = 0,338 cm²/m
0,5*As, min = 0,4 cm²/m
As, distribuição = 0,90 cm²/m
· Para L3/L5
Dados:
As, final = 2,91 cm²/m
As, min = 0,8 cm²/m
Comparações:
0,90 cm²/m
0,20*As, final = 0,582 cm²/m
0,5*As, min = 0,4 cm²/m
As, distribuição = 0,90 cm²/m
· Para L3/L4
Dados:
As, final = 0,8 cm²/m
As, min = 0,8 cm²/m
Comparações:
0,90 cm²/m
0,20*As, final = 0,16 cm²/m
0,5*As, min = 0,4 cm²/m
As, distribuição = 0,90 cm²/m
· Para L3/L6
Dados:
As, final = 1,63 cm²/m
As, min = 0,8 cm²/m
Comparações:
0,90 cm²/m
0,20*As, final = 0,326 cm²/m
0,5*As, min = 0,4 cm²/m
As, distribuição = 0,90 cm²/m
· Para L4/L6
Dados:
As, final = 1,63 cm²/m
As, min = 0,8 cm²/m
Comparações:
0,90 cm²/m
0,20*As, final = 0,326 cm²/m
0,5*As, min = 0,4 cm²/m
As, distribuição = 0,90 cm²/m
· Para L5/L6
Dados:
As, final = 2,91 cm²/m
As, min = 0,8 cm²/m
Comparações:
0,90 cm²/m
0,20*As, final = 0,582 cm²/m
0,5*As, min = 0,4 cm²/m
As, distribuição = 0,90 cm²/m
· Laje em balanço
Dados:
As, final = 4,61 cm²/m
As, min = 1,8 cm²/m
Comparações:
0,90 cm²/m
0,20*As, final = 0,922 cm²/m
0,5*As, min = 0,9 cm²/m
As, distribuição = 0,922 cm²/m
10. ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO
10.1. ESPAÇAMENTO PARA ARMADURAS DE DISTRIBUIÇÃO
O espaçamento máximo previsto em norma para armadura de distribuição é de 33 cm.
Smáx distribuído ≤ 33 cm
Para o cálculo de espaçamento, é usada a seguinte fórmula:
S = *100
DEMAIS LAJES
Asdistribuição = 0,9 cm²/m
Ab6.3 = () = 
S6.3 = = 
Ab5.0 = () = 
S5.0 = = (adotar S5.0 = 20 cm)
LAJE EM BALANÇO
Asdistribuição = 4,61 cm²/m
S6.3 = *100 = 6,77 cm 
Observação: com valor obtido é muito baixo, recomenda-se que troque por uma bitola que aproxime o espaçamento do espaçamento máximo. Isso acontece por conta do fato de que quanto menor o espaçamento, mais armadura será utilizada, ou seja, gastando mais.
10.2. COMPRIMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS
L1 = (a1 + b1 + c1)
L2 = (a2 + b2 + c2)
L = L1 + L2 (comprimento total da barra negativa)
· Para o engaste entre L1 e L2
Dados:
= 8.0 mm
h de ambas = 8 cm
Lx da laje 01 = 232 cm
Lx da laje 02 = 256 cm
CN = 2,5cm
L1 = = 
L1 = 130cm
Observação: quando c for menor ou igual a 3 (c ≤ 3 cm), valor de b deverá ser dobrado e não haverá gancho na armadura em questão.
L2 = = 
L2 = 136 cm
Ltotal = L1 + L2 = 130 + 136 = 266cm
· Para o engaste entre L1 e L3
Dados:
= 5.0 mm
h de ambas = 8 cm
Lx da laje 01 = 232 cm
Lx da laje 03 = 146 cm
CN = 2,5 cm
L1 = = 
L1 = 102 cm
L3 = = 
L3 = 81 cm
Ltotal = L1 + L3 = 102 + 81 = 183cm
· Para o engaste entre L2 e L3
Dados:
= 6.3 mm
h de ambas = 8 cm
Lx da laje 02 = 256 cm
Lx da laje 03 = 106 cm
CN = 2,5cm
L2 = = 
L2 = 120 cm
L3 = = 
L3 = 83 cm
Ltotal = L2 + L3 = 120 + 83 = 203 cm
· Para o engaste entre L2 e L4
Dados:
= 6.3 mm
h de ambas = 8 cm
Lx da laje 02 = 256 cm
Lx da laje 04 = 146 cm
CN = 2,5 cm
L2 = = 
L2 = 120 cm
L4 = = 
L4 = 93 cm
Ltotal = L2 + L4 = 120 + 93 = 213 cm
· Para o engaste entre L3 e L5
Dados:
= 8.0 mm
h de ambas = 8 cm
Lx da laje 03 = 106 cm
Lx da laje 05 = 265 cm
CN = 2,5 cm
L3 = = 
L3 = 99 cm
L5 = = 
L5 = 139 cm
Ltotal = L3 + L5 = 99 + 139 = 238 cm
· Para o engaste entre L3 e L4
Dados:
= 5.0 mm
h de ambas = 8 cm
Lx da laje 03 = 106 cm
Lx da laje 04 = 146 cm
CN = 2,5 cm
L3 = = 
L3 = 71 cm
L4 = = 
L4 = 81 cm
Ltotal = L3 + L4 = 71 + 81 = 152 cm
· Para o engaste entre L3 e L6
Dados:
= 6.3 mm
h de ambas = 8 cm
Lx da laje 03 = 106 cm
Lx da laje 06 = 265 cm
CN = 2,5 cm
L3 = = 
L3 = 83 cm
L6 = = 
L6 = 123 cm
Ltotal = L3 + L6 = 83 + 123 = 206 cm
· Para o engaste entre L4 e L6
Dados:
= 6.3 mm
h de ambas = 8 cm
Lx da laje 04 = 146 cm
Lx da laje 06 = 265 cm
CN = 2,5cm
L4 = = 
L4 = 93 cm
L6 = = 
L6 = 123 cm
Ltotal = L4 + L6 = 93 + 123 = 216 cm
· Para o engaste entre L5 e L6
Dados:
= 8.0 mm
h de ambas = 8 cm
Lx da laje 05 = 265 cm
Lx da laje 06 = 265 cm
CN = 2,5 cm
L5 = = 
L5 = 139 cm
L6 = = 
L6 = 139 cm
Ltotal = L5 + L6 = 139 + 139 = 278 cm
O que pode ser observado é que todas as lajes calculadas acima não possuirão ganchos, devido a condição estabelecida de (c ≤ 3 cm).
· Para laje em balanço, essa formulação tem uma pequena mudança.
Levando esses conceitos em consideração, temos:
· Para o engaste entre L5 e L6
Dados:
= 10.0 mm
h5 = 8 cm
h6 = 12 cm
Lx da laje 05 = 265 cm
Lx da laje 06 = 95 cm
CN = 2,5cm
L5 = 
L5 = 155 cm
L6 = = 
L6 = 131 cm
Ltotal = L5 + L6 = 131 + 155 = 286 cm
11. COMPRIMENTO E NÚMERO DE BARRAS PARA ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO NEGATIVA
O comprimento para armadura de distribuição para armaduras negativas difere um pouco do comprimento de armaduras positivas, veja um esquema abaixo.
Ldistribuição = Eixo a eixo.
Assim:
N12 = 232 cm
N13 = 106 cm
N14 = 271 cm
N15 = 103 cm (desconto da escada)
N16 = 383 cm
N17 = 106 cm
N18 = 161 cm
N19 = 265 cm
11.1. QUANTIDADE DE BARRAS NEGATIVAS E DISTRIBUIÇÃO
De acordo com os conhecimentos obtidos em sala de aula, as armaduras de distribuição se aplicam às armaduras negativas e na laje em balanço. Assim, segue em anexo a planta que demonstra a locação e numeração dessas armaduras em cada laje. Em suma, a armadura de distribuição vai “fixar” a armadura negativa com intuito de evitar fissuras.
Assim sendo, para a determinação da quantidade de barras negativas se usa o comprimento da barra de distribuição que fixa ela, utilizando a seguinte fórmula:
N = + 1
S – Espaçamento referente
· NEGATIVAS
N1 = ADOTA 13
N5 = ADOTA 16
N6 = ADOTA 10
N8 = ADOTA 24
N9 = ADOTA 24
N2 = ADOTA 06
N3 = ADOTA 07
N4 = ADOTA 06
N7 = ADOTA 07
N10=N11 = ADOTA 17
· DISTRIBUÍDAS
N12 = ADOTA 14
N14 = ADOTA 12
N18 = ADOTA 12
N16 = ADOTA 13
N16 = ADOTA 15
N13 = ADOTA 10
N15 = ADOTA 11
N15 = ADOTA 09
N17 = ADOTA 11
N19 = ADOTA 08
12. QUADRO DE ESPECIFICAÇÕES
12.1. ARMADURAS POSITIVAS
	L1
	12 N1 ø 5.0 c/20 = 232
	L1
	13 N2 ø 5.0 c/20 = 254
	L2
	15 N3 ø 6.3 c/20 = 287
	L2
	13 N4 ø 5.0 c/20 = 256
	L3
	06 N5 ø 5.0 c/20 = 106
	L3
	11 N6 ø 5.0 c/20 = 211
	L4
	09 N7 ø 5.0 c/20 = 161
	L4
	08 N8 ø 5.0 c/20 = 146
	L5
	19 N9 ø 5.0 c/20 = 413
	L5
	21 N10 ø 6.3 c/14 = 265
	L6
	14 N11 ø 5.0 c/20 = 265
	L6
	14 N12 ø 5.0 c/20 = 280
12.2. ARMADURAS NEGATIVAS E DE DISTRIBUIÇÃO
	L1
	13 N1 ø 8.0 c/20 = 266
	
	14 N12 ø 5.0 c/20 = 232
	
	
	L2
	10 N5 ø 6.3 c/18 = 213
	
	12 N14 ø 5.0 c/20 = 171
	
	
	L3
	06 N2 ø 5.0 c/20 = 183
	
	10 N13 ø 5.0 c/20 = 106
	
	
	
	07 N3 ø 6.3 c/20 = 203
	
	11 N15 ø 5.0 c/20 = 103
	
	
	
	06 N4 ø 5.0 c/20 = 152
	
	09 N15 ø 5.0 c/20 = 103
	
	
	
	07 N7 ø 6.3 c/19 = 206
	
	17 N17 ø 5.0 c/20 = 106
	
	
	L4
	09 N6 ø 6.3 c/19 = 216
	
	12 N18 ø 5.0 c/20 = 161
	
	
	L5
	24 N8 ø 8.0 c/17 = 238
	
	13 N16 ø 5.0 c/20 = 383
	
	
	
	24 N9 ø 8.0 c/17 = 278
	
	15 N16 ø 5.0 c/20 = 383
	
	
	L6
	17 N10 ø 10.0 c/17 = 286
	
	08 N19 ø 5.0 c/20 = 265
	
	
	L7
	17 N11 ø 10.0 c/17 = 352
13. QUADROS
13.1. QUADRO DE AÇO
	QUADRO DE AÇO ARMADURA POSITIVA (comprimento cm)
	Numeração
	Ø (bitola)
	Quantidade
	UNI
	Total
	N1
	5.0
	12
	232
	2784
	N2
	5.0
	13
	254
	3302
	N3
	6.3
	14
	287
	4018
	N4
	5.0
	13
	256
	3328
	N5
	5.0
	06
	106
	636
	N6
	5.0
	11
	211
	2321
	N7
	5.0
	09
	161
	1449
	N8
	5.0
	08
	146
	1168
	N9
	5.0
	19
	413
	7847
	N10
	6.3
	21
	265
	5565
	N11
	5.0
	14
	265
	3710
	N12
	5.0
	14
	280
	3920
	QUADRO DE AÇO ARMADURA NEGATIVA E DE DISTRIBUIÇÃO (comprimento cm)
	Numeração
	Ø (bitola)
	Quantidade
	UNI
	Total
	N1
	8.0
	13
	266
	3458
	N2
	5.0
	06
	183
	1098
	N3
	6.3
	07
	203
	1421
	N4
	5.0
	06
	152
	912
	N5
	6.3
	10
	213
	2130
	N6
	6.3
	09
	216
	1944
	N7
	6.3
	07
	206
	1442
	N8
	8.0
	24
	238
	5712
	N9
	8.0
	24
	278
	6672
	N10
	10.0
	17
	286
	4862
	N11
	10.0
	17
	352
	5984
	N12
	5.0
	14
	232
	3248
	N13
	5.0
	10
	106
	1060
	N14
	5.0
	12
	171
	2052
	N15
	5.0
	11
	103
	1133
	N16
	5.0
	15
	383
	5745
	N17
	5.0
	11
	106
	1166
	N18
	5.0
	12
	161
	1932
	N19
	5.0
	08
	265
	2120
13.2. QUADRO RESUMO
	AÇO
	Ø (BITOLA)
	QUANTIDADE (m)
	Kg/m
	MASSA (Kg)
	CA-50
	5.0
	509,31
	0,154
	78,43
	
	6.3
	578,68
	0,245
	141,78
	
	8.0
	123,84
	0,395
	48,92
	
	10.0
	108,46
	0,617
	66,92
	
	
	TOTAL=
	336,05
	PERDA 5% =
	16,80
	TOTAL=
	352,85
14. CONCLUSÃO
Através desse projeto de dimensionamento de lajes maciças, foi possível aplicar todo o conhecimento adquirido na disciplina de Estruturas de Concreto Armado. Por meio dele, tivemos a experiência real da função do Engenheiro Estrutural, que assim como no presente trabalho calculamos o espaçamento do aço, a bitola dentre outros elementos utilizados, são eles que os responsáveis por essa parte nos projetos. 
Nesse sentido, foi praticado todos os passos que nos levam a conhecer e a ser capaz de dimensionar uma laje que compõe esse tipo de estrutura mais aplicada nas edificações atuais. 
15. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
UNESP. Lajes. Disponível em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Lajes.pdf Acesso em: 31 de maio de 2019.
SET. Lajes maciças. Disponível em: http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/11%20Lajes%20Macicas.pdf /
Acesso em: 31 de maio de 2019.
CARVALHO, Roberto Chust. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014 / Roberto Chust Carvalho, Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho. – 4.ed. – São Carlos: EdUFSCar, 2014.