Estatística unidade 1 - UNIP

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Estatística
Aplicação da estatística no campo dos negócios
Definição de estatística:
Segundo Houaiss – ramo da matemática que trata da coleta, da análise, da interpretação de massas de dados numéricos;
qualquer coleta de dados quantitativos;
lei de distribuição dos componentes de um sistema pelos diferentes dados dos sistemas.
Apesar de estar correto, também há uma outra definição: a estatística torna-se a linguagem da ciência, fundamental para transformar dados em informações adequadas.
Autores defendem que a palavra estatística, venha de statu, uma disciplina ligada aos negócios do estado. Mesmo tendo o seu uso histórico, apenas no século XIX que começa ganhar importância em diversas áreas de conhecimento e no séc. XX ganha protagonismo no mundo dos negócios e grandes organizações.
Definição: basicamente definimos a estatística como um conjunto de métodos, técnicas e ferramentas envolvendo etapas e aspectos de pesquisa através de passos subsequentes e encadeados.
Estruturação dos passos:
· Planejamento da pesquisa
· Coordenação da sua execução
· Levantamento de dados através da amostragem ou censo (com aplicação questionários, entrevistas ou mensuração coletando a maior quantidade possível de informações a custos adequados)
· Análise de consistência de dados
· Processamento, organização e apresentação de dados, através de tabelas e gráficos
· Calculo de medidas e parâmetros estatísticos
· Análise e interpretação de dados para explicar o fenômeno estudado
· Inferência e a generalização das conclusões obtidas com o cálculo dos valores prováveis, margens de erro e níveis de confiança para fenômenos do tipo estudado.
*censo é a pesquisa estatística em que todos os elementos de um conjunto são considerados. Na amostragem apenas parte dos elementos é considerada.
Processo estatístico
O processo estatístico é um caminho que se inicia com a coleta de dados, passa por seu estudo e entendimento através da estatística descritiva, e chega à extrapolação dos dados para ambientes prováveis, através do cálculo da incerteza expressos pela margem de erro e confiabilidade.
Todo processo e em especial o inferencial são feitos através de métodos científicos aplicados a um determinado fenômeno (tudo aquilo que é percebido pelos sentidos ou consciência) estudado.
A estatística normalmente estuda os fenômenos coletivos ou de massa.
Fenômenos coletivos: aqueles em que a regularidade não está no individuo, e sim na massa de observações. 
Fenômenos de massa ou população: quando estudamos uma ou mais características de elementos de um conjunto ao que normalmente damos o nome de população.
Processo estatístico: pode trabalhar com dois tipos de dados: DADOS PRIMÁRIOS E DADOS SECUNDÁRIOS.
Normalmente as pesquisas se valem de ambos os dados. 
Dados primários: são aqueles coletados especificamente para aquele estudo.
Dados secundários: aqueles que foram coletados com uma finalidade, mas teve outro fim. Muito utilizados em relações entre ambiente futuro (previsão) e ambiente presente/passado (dados já coletados).
Utilização prática da estatística na área de negócios: no campo empresarial, a estatística tem grande valor devido poder obter mais certeza, não completamente ao precificar e demandar uma quantidade de produtos. Evitando o “chute” e baseando em situações já ocorridas.
Para o grande matemático indiano Calyambudi Radhakrishna Rao, a estatística pode ser definida de forma simples pela equação: CONHECIMENTO INCERTO + CONHECIMENTO SOBRE A INCERTEZA = CONHECIMENTO ÚTIL.
Segundo Maximiano, a diferença entre racionalidade e intuição está na quantidade de informações existentes. Quanto maior a base de informações, mais racional, quanto maior a proporção de opiniões e sentimentos, mais intuitivo.
A estatística é um importante fator de aumento de racionalidade.
A estatística pretende, investigar os dados existentes sobre determinado fenômeno e seu grau de incerteza, com isso, prever acontecimentos futuros com uma maior racionalidade e reduzindo o risco de insucesso da tomada de decisão.
Estatística descritiva e indutiva
Estatística descritiva, descreve um ambiente para qual os dados são conhecidos, como presente e passado, podem trazer informações reais e exatas, desde que calculadas corretamente.
Estatística indutiva: a partir da descrição prevemos situação futura, e essa chamamos de indutiva. São valores dotados de margem de erro de nível de confiança.
Um estudo estatístico adequado permitiria afirmarmos algo do tipo: “Baseados em dados históricos prevemos que as vendas do novo produto serão de 10.000 unidades por mês com uma margem de erro de mais ou menos 1.000 unidades e uma confiança de 95%”.
A análise histórica seria o campo da estatística descritiva, a margem de erro e certeza, campo da estatística indutiva.
Conceitos de população e amostra
Definimos população como o conjunto formado por todos os elementos que apresentam em comum uma característica que está sendo estudada. Exemplo: conjunto de eleitores de determinada cidade na próxima eleição, conjunto de todos os funcionários de uma empresa.
Característica: grande quantidade de elementos que a compõe, facilmente pode se chegar a milhares e/ou se trata de elementos prováveis, não-reais. Evidente exige uma grande necessidade de recursos e isso é o que torna a quantidade de elementos grande, são os recursos disponíveis.
Adequar os recursos ao problema estudado: através de amostras da população. Amostra é um subconjunto finito da população (não é um pedaço é subconjunto), adequadamente selecionado de tal forma que a represente.
Esta seleção adequada compreende 2 aspectos:
1. Forçar que a amostra seja composta de poucos elementos (em relação aos recursos disponíveis), e que o valor seja real.
2. Garantir que a amostra seja uma miniatura da população, de modo que todas as características importantes sejam percentualmente iguais na amostra.
A margem de erro depende da homogeneidade de uma população e do tamanho da amostra. Não é exata, existe uma tolerância.
Calcular a margem de erro e estabelecer a confiabilidade são fundamentais para fazermos previsões utilizáveis na prática. 
ERRO em estatística quer dizer tolerância, variável aceitável, não algo incorreto, inapropriado ou inexato, para este termo chamamos de VIÉS ESTATISTICO que significa algo malfeito.
Vários fatores podem levar ao viés estatístico, o mais importante e notável é a constituição equivocada da amostra, quando ela não representa a população. 
Variáveis qualitativas e quantitativas, discretas e contínuas
Independente de estudar uma população ou amostra, cada elemento envolvido possui grande quantidade de características, mas apenas uma delas é alvo de estudo. (uma pesquisa de renda dos alunos unip, cada pessoa possui outras características, mas apenas a renda é a característica escolhida e relevante).
Essa característica estudada, que nos interessa é chamada de variável estatística, as demais características podem ou não ter importância.
Para as características que não são alvo de estudos, mas podem influenciar na pesquisa, chamamos de CARACTERÍSTICA INTERVENIENTE. Para garantir a não existência do viés estatístico é necessário que as características intervenientes sejam reproduzidas percentualmente idênticas nas amostras retiradas da população.
As variáveis estatísticas são classificadas em vários tipos, que determinas o tipo de pesquisa que será possível fazer, e a potência dos resultados da pesquisa.
Variáveis qualitativas: representam a qualidade ou atributos e são expressas por palavras (ex: cor dos olhos dos alunos da classe pode ser, preta, verde, azul). 
Se podem ser hierarquizadas ou ordenadas são chamadas de variáveis estatísticas ordinais. Ex: nível de instrução do indivíduo, fundamental, médio, superior, pós-graduação etc.) 
Caso não possam ser ordenadas, são chamadas de variáveis estatísticas nominais. Ex: gênero, estado civil, naturalidade, nacionalidade etc. 
Variáveis quantitativas: expressam valores numéricos. 
Variáveis quantitativas discretas: são aquelas que podem assumir apenas númerosinteiros e podem ser contadas. Ex: número de irmãos. 
Variáveis quantitativas contínuas: podem assumir qualquer valor numérico dentro de uma faixa lógica. São resultados de medições. Ex: peso corpóreo.
há diferença entre precisão e instrumento de medida. No limite da precisão, toda variável contínua pode ser considerada discreta. Ex: idade da pessoa em variável continua, 25 anos 8 meses 3 semanas e 15 dias, como ninguém fala desta forma, a variável discreta é 25 anos.
Como as variáveis quantitativas são mais potentes, muitas vezes transformamos um estudo qualitativo em quantitativo.
Vídeoaula 2
Estatística descritiva 
fundamentos
Medidas estatísticas como forma de previsão:
Medidas estatísticas são valores calculados para uma série de dados e usados para descrever e resumir esses dados.
Em princípio os valores de medidas estatísticas correspondentes de uma população e de suas amostras, têm o mesmo valor, levando em conta a margem de erro.
Calcular as medidas estatísticas de uma amostra é o objetivo final da estatística descritiva.
O cálculo das medidas estatísticas segue um passo a passo:
1. COLETA DE DADOS: corresponde a verificação do valor da variável de cada elemento gerando uma relação de valores a serem analisados.
O interesse é contabilizar o valor de diversas características, e não tem por objetivo a indução estatística.
Ex: “as estatísticas do governo federal indicam um aumento do desmatamento”, a afirmação não têm ambição de se fazer uma previsão futura.
2. TABELA DE DADOS BRUTOS: os dados coletados, em qualquer estudo estatístico, vão gerar uma tabela de dados brutos ou rol de valores, que é uma relação dos dados coletados sem organização e ordenação, normalmente são em grande quantidade. Apesar do grande desenvolvimento computacional e métodos para facilitar o manuseio de grandes quant. de dados, ainda é necessário o trabalho de organização e indexação dos dados coletados.
3. FREQUÊNCIAS SIMPLES E FREQUÊNCIAS DECORRENTES: 
A frequência simples é a quantidade de vezes que o valor aparece no rol de dados coletados. Representação simbólica (f característica= x) ex: f jornalismo=8
A frequência simples da origem a outras 3 frequências: 
 frequência total: somatório de todas as frequências simples. Simbolizada e calculada através 
da fórmula simples: fT = f1 + f2 + f3 + ... + fn ou
(a letra sigma maiúscula representa o somatório de 		d	de todas as parcelas de uma série, desde a primeira (1) até a ultima (n), chamada de enésimo termo. 
 frequência relativa: é a relação de uma frequência simples e a frequência total. Dá-nos a ideia de participação de um determinado valor no total. Simbolizada por fri, lidamos com a frequência relativa decimal do valor i e é obtida pela forma fri = . Usa -se mais a frequência relativa percentual de cálculo praticamente idêntico:
fr%i = x100.
 frequências acumuladas: são somatórios das frequências simples ou relativas acima ou abaixo de determinado valor, incluindo esse valor. Podem ser absolutas ou relativas, crescentes ou decrescentes. (Ex: quantos alunos têm mais do que 2 dependências) 
Significa a soma de todos os termos da série x desde 1 até n
decimal
percentual
4. MONTAGEM DE TABELA DE FREQUÊNCIAS: também chamada de distribuição de frequências, é uma relação dos valores que a variável estatística assume no rol de dados e quantas vezes esse valor se repete. É apresentada como uma tabela de duas colunas relacionadas. Uma para os valores e outra para as frequências simples. 
(Cálculos no rascunho do caderno.)
HÁ 4 TIPOS DE FREQUÊNCIAS ACUMULADAS:
· Frequência acumulada absoluta acima de ou também chamada de frequência acumulada absoluta decrescente (simbolizada por faci ). É o somatório das frequências simples dos elementos acima de um determinado valor, incluindo os elementos desse valor. Por exemplo: a frequência absoluta de acima de cinco dependências é 8. (6+1+0+1=8)
· Frequência acumulada absoluta abaixo de, ou também chamada de frequência absoluta crescente faci ↑. É o somatório das frequências simples dos elementos abaixo de um valor, incluindo os elementos desse valor. Por exemplo: a frequência absoluta abaixo de 2 dependências: 47
· Frequência acumulada relativa acima de, frequência acumulada relativa decrescente. fac%i . É o somatório das frequências relativas dos elementos acima de um determinado valor, incluindo os elementos desse valor. Por exemplo, a frequência relativa acima de quatro dependências é (9,7%+8,3%+1,3%+0%+1,3% = 20,6%)
· Frequência acumulada relativa acima de, ou crescente fac%i↑. é a somatória das frequências simples dos elementos acima de um valor, o incluindo. 
Para criar uma tabela com dados quantitativos contínuos, um grande problema é a proximidade de valores, podendo causar grande confusão na análise. Desta forma, o indicado é realizar o agrupamento de dados próximos.
Sturges recomenda a fórmula: n = 1 + 1,44InN
Onde n é o número de classes recomendadas, N é o total de número de elementos da amostra (frequência total) e In é o símbolo de logarítmico neperiano ou natural.
Após encontrar a quant. de classes recomendadas, o próximo passo é estabelecer os limites de classe. Onde começa e onde termina.
Limite mínimo de distribuição: é o menor valor (Lmin)
Limite máximo de distribuição: é o maior valor (Lmax)
A tabela de frequência deve começar pelo menor valor e terminar no maior valor, contento 7 classes seguindo o exemplo. A diferença entre os limites mínimos e máximos são chamados de amplitude total é dada por: At = Lmax - Lmin. 
Após calcular o valor da amplitude deve-se dividir pelas 7 classes, dando R$1373,00 e cada classe terá um intervalo ou amplitude de classe desse mesmo valor. 
Dessa forma a primeira classe começará com o valor de R$956 (menor valor da tabela) e terá o intervalo de R$1373 
	Classe 1 (R$)
	Classe 2
	Inicia com 956 956+1373= 2329
E termina com 2329
	Inicia com 2329
Termina com 3702
(2329+1373)
	Classes
	Li (limite inferior)
	Ls (limite superior)
	I
	956
	2329
	II
	2329
	3702
	III
	3702
	5075
	IV
	5075
	6448
	V
	6448
	7821
	VI
	7821
	9194
	VII
	9194
	10567
Representação Gráfica
Vantagem de uma fácil visualização e entendimento dos dados coletados. 
A tabela nos dá informações precisas e exatas, mas o entendimento em si fica mais complexo. Em compensação o gráfico permite ver o comportamento da situação, mas não a informação exata.
A combinação de tabela e gráfico pode atender as duas dimensões: precisão e visualização. 
Gráficos ortogonais
Os gráficos estatísticos, exceto os setogramas, se baseiam nos planos ortogonais (conhecidos como xy), no qual um dos eixos é reservado aos valores envolvidos, normalmente o eixo X e as frequências simples no eixo Y.
Os gráficos ortogonais são muito utilizados na estatística e frequentemente representam series temporais, o valor de uma variável ao longo do tempo.
A partir do conceito do plano ortogonal, são elaborados alguns dos gráficos mais utilizados em estatística. 
Histograma: é a representação da frequência simples. Sua representação pictórica é feita através de colunas ou barras, cuja altura ou comprimento determina a frequência correspondente a frequência simples. 
Setogramas: são as representações das frequências relativas, conhecidas como gráfico de pizza ou pie. O gráfico representa as participações das frequências relativas através de setores circulares, onde o círculo representa o todo, e o ângulo do setor circular é proporcional à importância da frequência correspondente.
Algumas regras são adotadas:
· a primeira “fatia” se inicia sempre na vertical superior, onde no relógio marca 12h.
· sempre seguindo em sentido horário, as fatias se iniciam onde termina a primeira.
Ogivas de Galton: 
Representa as frequências acumuladas no plano cartesiano através da união por segmentos de retas dos pares ordenados (valor; frequência acumulada até o valor), também são chamadas de ogivas acumuladas.
Os exemplos anteriores envolvem variáveis quantitativas discretas. Caso fosse contínua o processo seria o mesmo,mas com importante observação.
A seguir uma representação fictícia de vendas de um representante de vendas:
Para criarmos uma ogiva de Galton é necessário definirmos os pares ordenados. O par ordenado para a classe A de frequências acumuladas absolutas decrescentes seria (R$2000 a R$3000; 263). 
Como não dá para representar um par ordenado sem um valor, pela faixa que representa a coordenada Y, temos que conceituar O PONTO MEDIO DE CLASSE (pmi) 
 			
Medidas estatísticas
Medidas de tendência: média simples, médias ponderadas, mediana e moda, quartis e percentis
Relembrando as primeiras etapas do processo estatístico: coleta de dados e a organização e apresentação de forma analítica e gráfica. Esses passos são fundamentais para a estatística descritiva (estatística que se utiliza de dados já existentes).
A maioria das ferramentas estatísticas se encontra na área das medidas estatísticas, em certos casos, também em parâmetros estatísticos.
Essas medidas são valores que, resumidamente, oferecem uma visão da amostra ou população. Elas se dividem em dois grandes grupos:
1. MEDIDAS ESTATÍSTICAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO (médias, separatrizes e moda)
2. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE (podem ser absolutas ou relativas, as principais medidas absolutas são o desvio médio, o desvio padrão e a variância, enquanto as relativas são os coeficientes de variação).
MEDIDAS ESTATÍSTICAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO 
Média
A média é o valor que todos os elementos de um conjunto teriam se todos fossem iguais. Para calcular a média, juntamos todos os valores da amostra e rateamos (dividimos) uniformemente entre todos os elementos. 
 Em duas regiões do mundo, a média de suas temperaturas são:
Atibaia – SP: 18,4°
Deserto do Saara: 18°
A média ignora o fato de Atibaia em seu dia mais quente tem em média 21,3° e no dia mais frio 14,8°. Já no deserto as temperaturas variam de 50° a -5° em um único dia. 
A média isoladamente pode ser insuficiente para caracterizar plenamente um fenômeno. Dessa forma, é preciso de uma outra medida estatística complementar – o desvio padrão.
 
MÉDIA ARITMÉTICA: 
Onde: X é a média aritmética
xi: os valores dos elementos da amostra
N: número total dos elementos da amostra
Exemplo: (2; 3; 5; 7; 8)
 			
 = = = 5
Apesar de menos frequente, existem outros tipos de média:
Média geométrica: Juntam-se os valores por multiplicação e rateia-se por radiciação:
O símbolo da letra grega pi (dentro da raiz quadrada) significa o produto de todos os valores de um conjunto, do primeiro ao último.
Na nossa amostra teríamos:
		 = = = 4,42
A média geométrica é mais utilizada em problemas financeiros em substituição da média aritmética, em situações que os valores crescem sucessivamente, a exemplo cotação de uma ação na bolsa de valores.
Exemplo: um investimento de R$1000,00 rendeu 15% no primeiro ano e 22% no segundo. Qual o investimento médio desse investimento?
Montante: C (1+i)t = 1000(1+0,15)(1+0,22) = 1000*1,15*1,22 = 1403,00
Cálculo por média aritmética: 
Ma: = = 0,185 ou 18,5%
Se aplicássemos essa média no capital por dois anos, teríamos:
Montante: 1000 (1+0,185)2 = 1000 (1,185)2 = 1000 * 1,404 = 1404,23 (o que não bate com a realidade).
 Calculo por média geométrica:
			
Mg= = = 1,184483 ou 18,448%
Montante: 1000(1+0,18448)2 = 1000(1,18448)2 = 1403,00 (é exatamente a realidade)
Média harmônica: juntam-se os valores pela soma dos inversos e rateia-se pela divisão inversa. 
A média harmônica tende a aliviar os impactos de grandes valores atípicos, em relação a aritmética, e acentuar os impactos de valores menores e mais típicos.
			
			
Mh = = = = 3,84
Um exemplo é o cálculo da velocidade média em um percurso de ida e volta em uma mesma rodovia, em que a ida é percorrida a 75 km/h e a volta a 50km/h. A média aritmética de 62,5 não é a mais correta. 
A velocidade média no percurso total seria a média harmônica de:
Mh= = = = 60,0 km/h
Média quadrática: juntam-se os valores pela soma dos quadrados, rateiam-se pela raiz quadrada da divisão.
Mq = = = = = 5,5
Se aplica quando há valores positivos e negativos se alternando, como na física ocorre os diversos tipos de ondas. Em estatística tem importância especial no cálculo de desvio de padrão de populações.
As médias mostradas anteriormente são válidas quando obtidas em AMOSTRAS com valores não dotados de frequência e são chamadas de médias simples. Ex: média aritmética simples.
Quando trabalhamos com dados dotados de frequências, utilizamos o termo: média ponderada, a exemplo, média aritmética ponderada.
O cálculo da média ponderada é o mesmo da média simples, com algumas alterações para facilitar o processo. 
O exemplo a seguir mostra o cálculo detalhado de médias ponderadas para de frequências para dados isolados e para dados agrupados.
Exemplo - Cálculo da média ponderada para dados isolados
A tabela a seguir apresenta o consumo mensal de embalagens especiais na produção de um produto. Queremos saber a média ponderada aritmética do consumo mensal de embalagens.
Pela fórmula, teríamos a seguinte operação:
Ma = = = 7
Apesar de correto, é muito trabalhoso, para facilitar multiplicamos os valores: 
Total: 21 					total: 147
A média aritmética ponderada será a divisão do valor da 3ª coluna, pelo número de elementos.
Map = = 7 embalagens
Exemplo 2 - Cálculo da média ponderada para dados agrupados
A tabela de frequências a seguir relaciona as rentabilidades das ações da carteira de uma corretora de valores ao longo de um determinado período. Qual a variação média da rentabilidade das ações dessa carteira?
 A única diferença no cálculo é por estarmos trabalhando com uma faixa de valores e não um determinado valor, sendo assim, devemos nomear um valor representante desta classe, o ponto médio de classe. Feito isso montamos a tabela necessária para cálculo.
Relembrando: o ponto médio de classe é a divisão da soma do limite inferior pelo limite superior de cada classe por dois; representa o valor da classe, que não compromete a precisão dos cálculos.
Aplicando a fórmula:
Portanto, podemos afirmar que a rentabilidade dessa carteira foi de 9,44% no período considerado.
Sempre que trabalharmos com dados agrupados, será substituído xi por pmi.
Exemplo de aplicação:
O gráfico a seguir mostra a distribuição por idade dos pacientes atendidos em uma unidade do SUS durante a última semana. Qual a idade média (aritmética) dos pacientes dessa unidade?
Frequentemente o termo ‘média ponderada’ assume significado ligeiramente diferente, os valores têm pesos diferentes.
Exemplo: suponha que em uma escola as avaliações anuais são através de 4 provas bimestrais com pesos diferentes (importância)
1º bim: 1 		Note que é 4x mais importante tirar uma boa nota no 4º bim do que
2º bim: 2
 		no 1º.
3º bim: 3
4º bim: 4 
Dois alunos tiraram a mesma nota em momentos diferentes, o que impacta na média ponderada em decorrência da ponderação estabelecida pelos pesos.
perceba que o peso se comporta como uma frequência e a nota é o valor vinculado, podemos usar a formula da média aritmética:
Ma Joao: = 6,2			Apesar te terem as mesmas notas durante o ano, o momento Ma Maria: = 7,8 		em que cada nota foi obtida influi pesadamente no final.
Exemplo de aplicação: página 74
Sazonalidade em estatística representa variações que ocorrem em intervalos regulares inferiores a um ano, como semanal, mensal, semestral. 
Importante!
Como já falamos, as medidas de tendência central ou de posição são insuficientes para caracterizar sozinhas um fenômeno, devido as variações entre os elementos. Conceituamos um tipo de média que reduz essas variações aumentando nossa capacidade de análise. 
As Médias móveis são aplicadas as séries temporais de modo geral, ou seja, numa série de dados relacionados à data que ocorreram. O cálculo é feito utilizando os conceitos da média aritmética simples, com um determinado número de períodos, variando a cada cálculo, o primeiro elemento, ou seja, a cada cálculo sai o primeiro elementodo cálculo anterior e entra o próximo elemento. 
Para o cálculo da média móvel o primeiro passo é determinar o horizonte de análise, ou seja, quantos períodos serão considerados a cada cálculo.
O exemplo a seguir clareia o processo de cálculo e o efeito esperado da média móvel. Considere a demanda da empresa XPTO da tabela a seguir. Calcular as médias móveis de 3 meses, 5 e 6 meses.
Separatrizes
São outro conjunto de visão das amostras, as separatrizes dividem a amostra em subconjuntos de mesma quantidade:
Mediana: divide a amostra em 2 partes iguais
Quartis: divide a amostra em 4 partes iguais
Percentis: divide a amostra em 100 partes iguais
Os cálculos das separatrizes são iguais.
Mediana: 
O termo refere-se a “meio”, dado um conjunto numérico o valor central corresponde à mediana desse conjunto. Dessa forma é necessário colocar os valores em ordem, crescente ou decrescente. Se houver uma quantidade ímpar, a mediana será o valor central do conjunto. Se a quantidade for par, deve-se fazer uma média aritmética dos dois números centrais, e esse resultado será o valor da mediana.
Símbolo do elemento mediano: Eme e a mediana por Me 
Uma forma para calcular a posição da mediana é utilizar a fórmula: Eme: 
Amostra A– {2;5;7;9;15}
Elemento mediano é o 3º e a mediana é o 7
Se realizar a mesma formula em uma amostra com números pares, irá obter um número decimal, e evidentemente, números ordinais são naturais e não fracionários.
Amostra B – {10;12;18;20;25;29}
Eme: = = 7/2 = 3,5º
Dessa forma, representa que o elemento se encontra entre o 3º e o 4º elemento e o seu valor é a média dos dois valores:
Me: = 38/2 = 19 	A mediana é igual 19, um valor que não existe na amostra, mas divide a amostra em 2 grupos de mesma quantidade de elementos. Três abaixo (10;12;18) (20;25;29)
A mediana exige que a amostra esteja ordenada, crescente ou decrescente.
Tabela de frequências para dados não agrupados:
O elemento mediano é dado por:
Me: = = 96	Portanto, a mediana será o 96º elemento. Perceba que ele se encontra acima da classe 1, em que o maior número é o 62. Dessa forma a mediana é a família que possui 2 filhos.
Tabela de frequências de dados agrupados:
Primeiro, realizamos o cálculo do elemento mediano:
Me: = = 120,5 	O elemento é fictício, está entre a 120º e a 121º posição.
Esses elementos estão na classe C, portanto a classe mediana e a mediana é um valor entre R$3000 e R$4000.
Para encontrar o valor exato, é necessário interpolar(linearmente) os valores.
*interpolação linear é o método utilizado para determinar um par ordenado intermediário a dois pares ordenados conhecidos. Conhecidos os pares ordenados (x1; y1) e (x2; y2) e dado um determinado valor xA podemos determinar yA pela regra de três, como mostra a firgura a seguir* 
Para não utilizar a interpolação a cada repetição, iremos utilizar uma formula:
Onde: 
Li: limite inferior de classe 		Eme: elemento mediano
Facant: frequência acumulada até a classe anterior à mediana
Fclasse: frequência simples da classe mediana
H: amplitude da classe mediana (relembrando que a amplitude de classe é a diferença do limite superior e do limite inferior – h: ls-li
Me= 3000 + ] x 1000 = 3000 + 0,4523 x 1000 = 3000+ 452,3 = 3.452,3
Significa que o salario mediano é de R$3452,30, ou seja, 50% dos funcionários ganham acima desse valor e 50% ganham abaixo.
Exemplo: A partir de 50% as vendas serão bonificadas, acima de qual valor?
Eme: 322/2 = 161º posição. Classe E
Me: 600 +[161-108/79] x 200 = 600 +0,6708 x 200 =600+134,17 = 734,17
Quartis e Percentis
Os quartis, em número de três (quartil 1; 2 e 3, simbolizados respectivamente por Q1; Q2; Q3), dividem a amostra em quatro partes de mesma quantidade de mesmo tamanho (quantidade de elementos).
Os percentis ou centil, em número de 99 (percentis de 1 a 99, simbolizados por P1 até P99), dividem a amostra em 100 partes de mesma quantidade de elementos.
A relação das separatrizes.
O cálculo é o mesmo da mediana, o que muda é apenas a determinação do elemento divisor (elem. quartílico ou percentil) dados por:
		
i em ambos os casos é o número da 
separatriz.
Calculado o elemento divisor, localizamos o valor ou a classe de valores a que ele pertence e determinamos o valor da separatriz, se necessário através da formula de interpolação.
Exemplo de aplicação:
Um determinado produto pode ser vendido em caixas contendo 10,20,30,40 ou 50 unidades. A tabela mostra a quant. de caixas vendidas ao longo de determinado período, pede-se calcular os 3 quartis e os percentis 10; 50 e 95.
Quartil 1=20
Eq1: = 1 (1171/4) = 292,75
Significa que o elemento fictício 292,75 está entre 292º e 293º, que corresponde a caixas com 20 unidades, portanto o quartil 1 é igual a 20.
Quartil 2 = 30
Eq2: = 2 x 1171 / 4 = 585,5 	O quartil 2 corresponde ao valor da mediana, 50% dos produtos vendidos foram caixas com 30 ou menos, e 50% dos produtos vendidos possuía 30 ou mais unidades.
Quartil 3: 40
EQ3 : = 3 x 1171 / 4 = 878,25
Percentil 10: 10
Epi: = = 11.710/100 = 117,10
O elemento fictício está entre o 117º e o 118º. Ambos correspondem as caixas de 10 unidades, portanto o percentil 10 é igual a caixas com 10 unidades.
Percentil 50: 30
Epi: = 58.550/100 = 585,50
Percentil 95: 50
Quando o calculo ocorrer em tabelas de dados agrupados, será necessário a interpolação de valores assim como na mediana.
Para quartis:
Para percentis:
Exemplo:
Uma grande empresa paga uma grande quantidade de contas diárias, as contas pagas durante um mês estão sintetizadas na tabela. 
Qual o valor máximo que limita as 25% contas de menor valor?
O item que limita a 25% é o quartil 1 (ou o percentil 25).
Encontrar o Elemento quartil 1 5455 = Classe 2 (R$1000 a R$5000)
Eq1 = = = 21820/4 = 5455
Qual o valor exatamente? Através da interpolação conseguimos encontrar:
Q1: 1000 + [5455-2500/3850] x 4000 = 1000+ [2955/3850] x4000 = 1000+0,76753x4000
3070,12+1000 = 4070,12
R: O valor que limita as contas inferiores a 25% é igual ou menor a R$4070,12.
Qual o valor mínimo que limita as 25% contas de maior valor?
O valor que limita as 25% contas de maior valor é o quartil 3 ou 75.
Eq3: 3x21820/4 = 65460/4 = 16365 Classe 4
Q3: 10000 +0,87392 x 10000 = 8739,2+10000 = 18739,20
25% das contas pagas tem valor superior a 18739,20
O pagamento das 10% contas de maior valor deve ser autorizado pelo diretor administrativo. Acima de que valor é obrigatória essa autorização?
Ep90: 19.638 classe 5
P90: 20000 + [19638-17100/3220] x 30000 = 20000 + 0,788198 x 30000 = 43.645,96
Modas
Moda ou norma em estatística é o valor em que mais aparece em uma amostra, que representam a maior frequência simples.
Quando um único valor se repete mais vezes, é chamado de unimodal ou modal. Quando se repete duas vezes é chamado de multimodal ou plurimodal. Quando não existe nenhum valor de maior frequência é chamada de amodal.
Na tabela, o número de filhos modal é o 65, portanto Mo:2
Quando se tem dados agrupados, o valor exato não é possível saber, mas possuem três recomendações:
· King:
· Czuber:
· Pearson:
A amostra que Pearson é a mais recomendada para amostras simétricas (quando há distribuição normal)
Medidas de dispersão e relativas
Desvio padrão
Variância
Coeficientes de variação