ROTEIRO DE ESTUDOS 3 - HM - GABARITO

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA (UNEB) 
Autorização Decreto nº 9237/86. DOU 18/07/96. Reconhecimento: Portaria 909/95, DOU 01/08-95 
GABINETE DA REITORIA 
UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (UNEAD) 
Criação e Implantação Resolução CONSU nº 1.051/2014. DOU 20/05/14 
 
 
 
CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA A DISTÂNCIA 
COMPONENTE CURRICULAR: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
ROTEIRO DE ESTUDOS 3 
 
Professor Formador: Caio Eduardo Pinheiro Costa 
 
Prezados Cursistas, 
 
Trabalharemos com o tema Resolução das Equações Algébricas. Vale salientar 
que os referidos exercícios deste Roteiro são simples e visam facilitar a 
assimilação do conteúdo abordado. 
 
Desejo sucesso! 
 
 
Continuando a História da Matemática, conheceremos como ocorreu a transição entre 
o período de ouro da matemática grega para a época do renascimento cultural e 
científico vivido na Europa no século 16. Durante toda a Idade Média, o conteúdo 
matemático alcançado pelos gregos foi preservado e enriquecido pelos árabes. 
É um longo capítulo da História da Matemática marcado pelo respeito que a cultura 
árabe teve pelos resultados obtidos anteriormente. Mas não foi só isso, neste período 
também ocorreram grandes contribuições de matemáticos indianos. 
 
Com o declínio das civilizações grega, e depois romana, foi a vez dos árabes se 
expandirem. Em 711 eles cruzaram o Estreito de Gibraltar e ocuparam Córdoba e 
Toledo, na Espanha. Até o século 12 permaneceram também em território português e 
só saíram de Granada, na Espanha, em 1492. Tinham uma cultura rica e eram capazes 
de absorver e transformar os conhecimentos dos povos que dominavam ou das 
culturas com que mantinham contato. 
 
Como os árabes eram originários de regiões de clima inóspito, tinham grande 
conhecimento sobre irrigação e semeadura. Além de tudo isso, o amor que tinham 
pela abstração e pelos números deixou uma marca forte na Matemática. Da Índia 
trouxeram o zero, aperfeiçoaram os algarismos e contribuíram para a parte mais 
abstrata da Matemática, que leva um nome árabe – a Álgebra. 
 
 
 
 
 
O número Zero 
 
Os babilônios usavam um sistema numérico posicional, mas mesmo assim o zero não 
se estabeleceu nessa cultura. Também alguns gregos, astrônomos, usavam um sistema 
numérico posicional, mas isso ficou restrito a um número muito pequeno de pessoas. 
O zero se estabeleceu, definitivamente, como um símbolo para representar números 
num sistema posicional, na Índia. Inscrições que datam do ano 876 descrevem um 
problema (sobre plantações de flores, para a produção de guirlandas) em que os 
números 270 e 50 são denotados como o fazemos hoje. Já sua outra função, como 
número, deu mais trabalho aos matemáticos. Foi um longo caminho do concreto para 
o abstrato. 
 
Alguns matemáticos da Índia definiram regras para as operações aritméticas 
envolvendo números positivos, zero e números negativos. Primeiro Brahmagupta e 
depois Mahavira e, perto de 500 anos depois de Brahmagupta, Bhaskara. Tudo 
funcionou bem, a menos da operação de divisão, onde eles tentavam estabelecer o 
resultado de uma divisão por zero. É difícil crer que a solução para o problema seja tão 
simples: basta estabelecer que não se divide por zero, e pronto! De qualquer forma, 
esta questão afeta muitos iniciantes na Matemática, até hoje. Precisamos lembrar 
nossos alunos constantemente que não se divide por zero. 
 
A representação dos números por um sistema posicional, que demanda dez 
algarismos, bem como as regras que definem as operações básicas da Aritmética, 
envolvendo o zero e números negativos, é um importante avanço matemático que foi 
transmitido para a cultura árabe e, posteriormente, para as culturas europeias. 
Os algarismos hindu-arábicos, com o sistema numérico posicional e as frações 
decimais, são provas de que nossa cultura deve muito aos esforços das gerações 
anteriores. De qualquer forma, esse sistema não foi rapidamente absorvido e, por 
muito tempo, o sistema posicional e o sistema numérico representado por letras 
conviveram lado a lado. 
 
Segue abaixo um texto retirado do site Só Matemática www.somatematica.com.br: 
 
Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos 
parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de 
numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o 
efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno 
do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro. 
O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era 
essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse 
plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço 
entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de 
maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, 
pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos 
a.C.) usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no 
interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o 
http://www.somatematica.com.br/
desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema 
sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações 
unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às 
vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de 
Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo 0̅ ou 0 para indicar isto. Bem 
mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a 
primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a 
representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular. 
Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor 
relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo 
maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias 
ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, 
provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos 
computacionais. 
É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que 
aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., 
embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do 
pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria 
apenas uma conjectura. 
Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usada em inscrições e 
manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando 
“lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. 
Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, 
mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, 
passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e 
“zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do 
zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu. 
FONTE: Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; números e 
numerais, de Bernard GUNDLACH. 
 
 
Surgimento da Álgebra 
 
Abu Jafar Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi foi o primeiro matemático da Casa da 
Sabedoria, uma espécie de universidade fundada pelo califa al-Mamum, no início do 
século 9, em Bagdá. Ele escreveu um livro sobre matemática elementar: uma 
compilação de regras para solução aritmética de equações lineares e de segundo grau, 
baseado nos trabalhos de Diofante, chamado Hisab al-jabr w’almuqabalah. A palavra 
árabe al-jabr significa combinar, reunir, e a tradução latina desse título deu origem à 
palavra álgebra. O livro inicia com uma frase do tipo “Assim faloual-Kwarizmi... ”, cuja 
tradução latina resultou no termo algoritmo. 
 
Também entre os matemáticos da Índia floresceu a Álgebra. Com a introdução da 
teoria de números negativos, Brahmagupta (598 - 670) podia dar a solução completa 
para equações lineares diofantinas, do tipo 4𝑥 + 6𝑦 = 2. Vamos compreender melhor. 
 
 
 
Equações Diofantinas Lineares 
 
Diofanto de Alexandria viveu provavelmente no século III dC. De sua produção 
matemática conhecem-se apenas os fragmentos de uma obra que trata de números 
poligonais e a extremamente original e criativa Arithmetica, graças à qual ele é às 
vezes considerado o pai da Álgebra. Devido à Arithmetica, hoje são chamadas 
equações diofantinas todas as equações polinomiais (não importando o número de 
incógnitas) com coeficientes inteiros, sempre que seu estudo seja feito tomando como 
universo das variáveis o conjunto dos números inteiros. Isso não obstante Diofanto só 
ter trabalhado com alguns poucos casos particulares dessas equações e seu universo 
numérico ter sido o dos números racionais estritamente positivos. 
 
Uma equação diofantina linear em duas incógnitas é uma equação do tipo 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 
em que 𝑎 𝑒 𝑏 são inteiros não nulos. Uma solução da equação é, nesse contexto, um 
par (𝑥0, 𝑦0) de inteiros tais que a sentença 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = 𝑐 é verdadeira. 
 
Proposição: Uma equação diofantina linear 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 tem solução se, e somente 
se, 𝑑 = 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) é um divisor de 𝑐. 
 
Exemplo: Encontrar uma solução da equação: 26𝑥 + 31𝑦 = 2. 
 
Solução: Como 𝑚𝑑𝑐(26,31) = 1, que é divisor de 2, então a equação possui solução. 
Usaremos o método das divisões sucessivas (visto no Roteiro de Estudos II) para 
exprimir o máximo divisor de 26 e 31. Veja: 
 
31 = 26 . 1 + 5 
26 = 5 . 5 + 1 
5 = 1 . 5 
 
Assim: 1 = 26 − 5 . 5 = 26 − (31 − 26 . 1). 5 = 26 . 6 + 31 . (−5) 
 
Então, o par (𝑥0, 𝑦0) = (6, −5) e, portanto, o par (2 . 6 , 2 . (−5)) = (12, −10) é uma 
solução da equação dada. 
 
Proposição: Se a equação diofantina linear 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 tem solução (𝑥0, 𝑦0), então 
possui infinitas soluções e o conjunto destas é: 
𝑆 = {𝑥0 +
𝑏
𝑑
𝑡 , 𝑦0 −
𝑎
𝑑
𝑡} , 𝑡 ∈ ℤ 
em que 𝑑 = 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏). 
 
Equações Cúbicas 
 
Problemas cuja solução recaía numa equação cúbica já eram conhecidos desde a 
Antiguidade. No entanto, o completo entendimento dessas equações levou bastante 
tempo. O exemplo mais famoso é a questão da duplicação do cubo. 
 
Omar Khayyam (1050 - 1123), que, além de poeta, foi matemático, dedicou sua 
atividade a estudar a equação cúbica: 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
Bem longe de Khayyam, um matemático italiano se ocupa com o sistema numérico 
árabe e lida com equações cúbicas. O ano de 1202 assistiu à publicação de um livro 
chamado Liber Abaci (Livro dos Ábacos), que apresentaria para a Europa o sistema 
numérico árabe. Esse livro fora escrito por um matemático genial, Leonardo de Pisa, 
mais conhecido pelo apelido de Fibonacci. Um dos problemas apresentados no livro é 
o que gera a famosa sequência de Fibonacci. 
 
A vida dos matemáticos nos dias de Fibonacci não era nada fácil. A competência era a 
principal segurança de cada um. Os problemas mais difíceis que circulavam naquela 
época eram aqueles que demandavam a resolução de uma equação de grau três, as 
chamadas equações cúbicas, ou simplesmente cúbicas, para os íntimos. 
 
Em 1225, Frederico II organizou um torneio que foi vencido de maneira brilhante por 
Fibonacci. Ele simplesmente resolveu todos os problemas propostos. Um desses 
problemas consistia em resolver a equação 
 
𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 = 20 
 
Fibonacci afirma que 𝑥 ≅ 1 +
22
60
+
7
602
+
42
603
+
33
604
+
4
605
+
40
606
 , o que dá 
𝑥 ≅ 1,368808108. 
 
No caso da equação quadrática, basta usarmos a fórmula de Bhaskara, 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
A busca de uma fórmula semelhante para o caso das cúbicas, e demais equações de 
maior grau, era a grande questão que ocupava os matemáticos naqueles dias. O 
primeiro matemático a encontrar uma fórmula que se aplica a um certo tipo de cúbica 
foi Scipione dal Ferro (1465 - 1526). Ele descobriu como resolver as chamadas cúbicas 
comprimidas, isto é, equações da forma 𝑦3 + 𝐴𝑦 = 𝐵, com 𝐴 𝑒 𝐵 positivos. 
Scipione descobriu que, neste caso, bastava determinar 𝑠 𝑒 𝑡 tais que 
 
{
3𝑠𝑡 = 𝐴
𝑠3 − 𝑡3 = 𝐵
 
 
pois 𝑦 = 𝑠 − 𝑡 é solução de 𝑦3 + 𝐴𝑦 = 𝐵. 
 
 
 
 
 
Scipione guardou esse segredo até quase seu último suspiro. Antes de morrer, passou-
o para seu assistente, Antonio Fior. Este não esperou muito. Em 1535 desafiou para 
um duelo um dos melhores matemáticos da época, Niccolo Fontana Tartaglia (1499 - 
1557). Tartaglia, acostumado às vicissitudes da vida, sabia que os lobos estavam à 
porta. Em pouco tempo resolveu o problema das cúbicas comprimidas e foi além. 
Descobriu uma maneira de resolver equações do tipo 𝑥3 + 𝑎𝑥2 = 𝑐, onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 são 
constantes positivas, e conseguiu vencer o desafio de Fior. 
 
Em 1539, Girolamo Cardano (1501 - 1576) recebeu Tartaglia em sua casa para uma 
longa visita. Ele só conseguiu que Tartaglia lhe revelasse o segredo da cúbica após ter 
jurado que guardaria o segredo para si. Assim, com a ajuda de Tartaglia, Cardano e seu 
aluno, Ludovico Ferrari (1522 - 1565), dominaram o método de resolver equações 
cúbicas. Cardano foi o primeiro matemático a divisar os números complexos. Isso lhe 
permitiu dar um tratamento mais completo às cúbicas. 
 
A solução das cúbicas mostrou que a Matemática estava pronta para vôos mais altos. 
Nesse período destacam-se, também, os trabalhos de François Viète (1540 1603). Ele 
foi o responsável pelo uso de letras para representar incógnitas e usou trigonometria 
para resolver equações de grau maior do que 3 e 4. Foi nesse período que se passou a 
usar os símbolos =, + e −. Um passo gigantesco foi dado no momento em que os 
matemáticos passaram a usar estes símbolos, combinados com letras para representar 
valores a serem determinados, causando o surgimento das equações. Fora uma 
caminhada milenar para se atingir essa etapa da Matemática. É preciso ter isso em 
mente quando vemos alunos tendo dificuldades em resolver um problema literal. 
 
 
 
Exercícios Propostos: 
 
 
Questão 1: Resolva as seguintes equações diofantinas lineares: 
a) 3𝑥 + 4𝑦 = 20 
b) 18𝑥 − 20𝑦 = −8 
c) 24𝑥 + 138𝑦 = 18 
 
Solução: 
a) Pelo Método das divisões sucessivas: 
 
4 = 3 . 1 + 1 
3 = 1 . 3 
 
Logo, 𝑚𝑑𝑐(4,3) = 1. Disto, obtemos: 1 = 4 − 3 . 1. Assim, 𝑥 = −1 𝑒 𝑦 = 1. 
Multiplicando por 20, temos: 𝑥0 = −20 𝑒 𝑦0 = 20. Como solução geral, 
obtemos: 
𝑥 = −20 +
4
1
. 𝑡 = −20 + 4𝑡 
𝑦 = 20 −
3
1
. 𝑡 = 20 − 3𝑡 
b) Pelo Método das divisões sucessivas: 
 
20 = 18 . 1 + 2 
18 = 2 . 9 
 
Logo, 𝑚𝑑𝑐(18,20) = 2. Disto, obtemos: 2 = 20 − 18 . 1, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, −2 =
18 . 1 − 20. Assim, 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 1. Multiplicando por 4, temos: 𝑥0 = 4 𝑒 𝑦0 =
4. Como solução geral, obtemos: 
𝑥 = 4 +
−20
2
. 𝑡 = 4 − 10𝑡 
𝑦 = 4 −
18
2
. 𝑡 = 4 − 9𝑡 
c) Pelo Método das divisões sucessivas: 
 
138 = 24 . 5 + 18 
24 = 18 . 1 + 6 
18 = 6 . 3 
 
Logo, 𝑚𝑑𝑐(24,138) = 6. Disto, obtemos: 18 = 138 − 24 . 5 𝑒 6 = 24 −
18 . 1 = 24 − (138 − 24 . 5) = 24 + 24 . 5 − 138, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 6 = 24 . 6 − 138. 
Assim, 𝑥 = 6 𝑒 𝑦 = −1. Multiplicando por 3, temos: 𝑥0 = 18 𝑒 𝑦0 = −3. 
Como solução geral, obtemos: 
𝑥 = 18 +
138
6
. 𝑡 = 18 + 23𝑡 
𝑦 = −3 −
24
6
. 𝑡 = −3 − 4𝑡 
 
Questão 2: Bhaskara, como vimos, foi um matemático da Índia, cujo nome permanece 
até hoje. Como era comum em sua época, ele redigia os problemas propostos de 
forma poética. Bhaskara tinha uma filha chamada Lilavati, cujo nome foi dado a um de 
seus livros. Veja um problema típico do Lilavati: 
 
Oh, sábio homem! Um certo rei deu a cinco cavaleiros 57 moedas. Cada um, por 
ordem, obteve o dobro e mais uma moeda do que o seu antecessor. Quantas moedas 
obteve o primeiro cavaleiro, assim como cada um dos outros? 
 
Obtenha asolução desse problema. 
 
Solução: 
Considere 𝑥 = 𝑛° 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑜 1° 𝑐𝑎𝑣𝑎𝑙𝑒𝑖𝑟𝑜. Assim: 
𝑥 + (2𝑥 + 1) + 2(2𝑥 + 1) + 1 + 2(2(2𝑥 + 1) + 1) + 1 + 2(2(2(2𝑥 + 1) + 1) + 1)
+ 1 = 57 
31𝑥 + 26 = 57 
𝑥 = 1 
 
Assim, o primeiro cavaleiro recebeu 1 moeda, o segundo 3 moedas, o terceiro 7, o 
quarto 15 e o último cavaleiro recebeu 31 moedas. 
 
Questão 3: Ninguém sabe exatamente quando nasceu ou morreu Diofanto. No 
entanto, sabemos quantos anos ele viveu, devido ao enigma elaborado por um de seus 
discípulos para descrever a vida do mestre: 
 
A juventude de Diofanto durou 1/6 de sua vida; depois de mais 1/12, nasceu-lhe a 
barba. Ao fim de mais 1/7 de sua vida, Diofanto casou-se. Cinco anos depois teve um 
filho. O filho viveu exatamente metade do que viveu o pai, e Diofanto morreu quatro 
anos depois da morte de seu filho. Tudo isso somado é o número de anos que Diofanto 
viveu. 
 
Então, quantos anos Diofanto viveu? 
 
Solução: 
Considere 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐷𝑖𝑜𝑓𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑣𝑒𝑢. Assim: 
1
6
𝑥 +
1
12
𝑥 +
1
7
𝑥 + 5 +
1
2
𝑥 + 4 = 𝑥 
14𝑥 + 7𝑥 + 12𝑥 + 420 + 42𝑥 + 336
84
= 𝑥 
75𝑥 + 756 = 84𝑥 
𝑥 = 84 
 
 
Questão 4: Use o truque de Tartaglia para transformar a equação de Fibonacci 
𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 = 20 na equação 𝑦3 +
26
3
𝑦 =
704
27
. Em seguida, use a solução de 
Scipione ou Cardano, para cúbicas comprimidas, e calcule a raiz 
√352 + 6√3930
3
+ √352 − 6√3930
3
− 2
3
≅ 1,368808108 
 
 
Solução: 
Usando o truque de Tartaglia, fazemos 𝑥 = 𝑦 −
2
3
. Substituindo na equação 𝑥3 +
2𝑥2 + 10𝑥 = 20 , ficamos com: (𝑦 −
2
3
)
3
+ 2 (𝑦 −
2
3
)
2
+ 10 (𝑦 −
2
3
) = 20 
Desenvolvendo os termos e simplificando, obtemos: 𝑦3 +
26
3
𝑦 =
704
27
. 
 
Agora, utilizando a solução de Scipione, adquirimos a equação: 
𝑡6 +
704
27
𝑡3 −
17576
27
27
= 0 
 
𝑡6 +
704
27
𝑡3 −
17576
729
= 0 
Fazendo a substituição 𝑡3 = 𝑧, temos: 
𝑧2 +
704
27
𝑧 −
17576
729
= 0 
Resolvendo a equação quadrática e realizando simplificações, obtemos como solução 
positiva: 𝑧 =
−704
27
+
12√3930
27
2
=
6√3930−352
27
. 
Lembrando que 𝑡3 = 𝑧, encontramos: 𝑡 =
√6√3930−352
3
3
 
Utilizando 𝑠3 − 𝑡3 =
704
27
, segue que: 𝑠3 =
704
27
+
6√3930−352
27
=
352+6√3930
27
 , e então, 𝑠 =
√352+6√3930
3
3
. 
Agora, como 𝑦 = 𝑠 − 𝑡, obtemos: 𝑦 =
√352+6√3930
3
3
−
√6√3930−352
3
3
=
√352+6√3930
3
+ √352−6√3930
3
3
. 
Por fim, como 𝑥 = 𝑦 −
2
3
, encontramos: 𝑥 =
√352+6√3930
3
+ √352−6√3930
3
3
−
2
3
=
√352+6√3930
3
+ √352−6√3930
3
−2
3
, como desejávamos.