História da Matemática Unicesumar

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HISTÓRIA DA 
MATEMÁTICA
Professora Dra. Clélia Maria Ignatius Nogueira
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; NOGUEIRA, Clélia Maria Ignatius
História da Matemática. Clélia Maria Ignatius Nogueira 
Reimpressão 2021.
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2019. 
248 p.
Graduação - EaD
1. Matemática 2. História . 3. EaD 4. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-8084-928-8
 CDD 22ª Ed. 510.9
NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
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Gerência de Produção de Conteúdo
Diogo Ribeiro Garcia
Gerência de Projetos Especiais
Daniel Fuverki Hey
Supervisora de Projetos Especiais
Yasminn Talyta Tavares Zagonel
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar – 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quan-
do investimos em nossa formação, seja ela pessoal 
ou profissional, nos transformamos e, consequente-
mente, transformamos também a sociedade na qual 
estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando 
oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capa-
zes de alcançar um nível de desenvolvimento compa-
tível com os desafios que surgem no mundo contem-
porâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialó-
gica e encontram-se integrados à proposta pedagó-
gica, contribuindo no processo educacional, comple-
mentando sua formação profissional, desenvolvendo 
competências e habilidades, e aplicando conceitos 
teóricos em situação de realidade, de maneira a inse-
ri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais 
têm como principal objetivo “provocar uma aproxi-
mação entre você e o conteúdo”, desta forma possi-
bilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação pes-
soal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cres-
cimento e construção do conhecimento deve ser 
apenas geográfica. Utilize os diversos recursos peda-
gógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possi-
bilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente 
Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e en-
quetes, assista às aulas ao vivo e participe das discus-
sões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de 
professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
Professora Clélia Maria Ignatius Nogueira
Licenciada em Matemática pela FAFIT – Faculdade de Filosofia, Ciências e 
Letras de Tupã, Mestre em Matemática pela USP – Universidade de São Paulo, 
Especialista em Educação Especial – área da surdez pela UEM – Universidade 
Estadual de Maringá, Doutora em Educação pela UNESP – Universidade 
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. 
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SEJA BEM-VINDO(A)!
Este texto aborda a História da Matemática, ou seja, estamos tratando de mais do que 
a justaposição de dois campos do conhecimento, mas de uma área interdisciplinar, da 
qual a História é a determinante, a que estabelece os métodos de investigação e a Mate-
mática, além de fornecer os fatos, estabelece também o contexto científico em que tais 
fatos foram produzidos. Vamos conhecer um pouco desses campos do conhecimento.
História é o campo do conhecimento que estuda a forma como os homens se orga-
nizaram e viveram no passado para entender o processo de constante transformação 
vivenciado pela humanidade. 
Os historiadores servem-se de vestígios do passado para reconstruir fatos históricos. Os 
diferentes povos, ao construírem o conhecimento matemático, deixaram vestígios di-
versos sobre este processo, que são produções humanas, portanto, sujeitas a equívocos 
e que constituem as fontes históricas.
Para descrever e explicar o passado, os historiadores selecionam os fatos históricos mais 
importantes, e não apenas os narram detalhadamente, mas os organizam no tempo, os 
contextualizam e os explicam. 
Se a História estuda o passado para compreender o presente e vislumbrar o futuro, o 
tempo é essencial para o estudo da História, particularmente para a organização dos 
acontecimentos.
Tradicionalmente, os historiadores dividem a História em cinco grandes períodos, em 
função de fatos históricos que marcaram profundamente a humanidade, provocando 
profundas transformações: Pré-História (até cerca de 4000 a. C, quando acontece a in-
venção da escrita cuneiforme na Mesopotâmia); Idade Antiga ou Antiguidade (de cerca 
de 4000 a. C até 476 d. C, com a queda do Império Romano do Ocidente); Idade Média 
(de 476 d. C até 1453, com a Queda de Constantinopla); Idade Moderna (de 1453 até 
1789, com a Revolução Francesa) e Idade Contemporânea (de 1789 até atualmente). 
Essa divisão foi muito criticada tanto por ser positivista quanto por se basear na história 
da Europa, não correspondendo às transformaçõesque ocorreram em outras partes do 
mundo. Entretanto, a maioria dos livros de História faz referência a esses períodos, razão 
pela qual os mencionamos e nos baseamos para a organização de nossas Unidades. 
Se já pudemos compreender um pouco da História, tratemos agora da Matemática, po-
rém, não apenas com uma definição sobre o campo do conhecimento, do tipo: “A Mate-
mática é a ciência dos padrões, das regularidades”, mas vamos tentar compreendê-la já 
com a contribuição da História.
Segundo Caraça (1984), a Matemática pode ser concebida de duas maneiras bem distin-
tas: uma é a que é apresentada nos livros técnicos e especializados e, particularmente, 
nos didáticos, em que o seu aspecto é de um todo harmonioso, com os assuntos se 
sucedendo por meio de uma cadeia bem definida de pré-requisitos e, principalmente, 
sem nenhuma contradição.
APRESENTAÇÃO
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A outra maneira de se conceber a Matemática é como um conjunto de conheci-
mentos construído através das relações do homem com o meio em que vive, com o 
mundo, profundamente influenciado pelas relações sociais, pelas ideias filosóficas 
dominantes em determinado momento histórico, pelo comércio, pelas guerras, por 
outras ciências, pelas exigências tecnológicas etc. Esta última concepção fica evi-
dente quando se envereda pela via da História da Matemática.
Ao se buscar as origens e evolução do conhecimento matemático, ao se procurar 
entender como foi construído, aparecem dúvidas, hesitações, contradições, mudan-
ças de rumo, novas diretrizes, enfim, a Matemática emerge como um bem cultural, 
que recebeu e recebe influências do meio externo, desmistificando a imagem de 
um saber à parte da humanidade, que é autossuficiente, cuja formação de teorias 
e conceitos obedece apenas a necessidades internas, “impossível para as pessoas 
comuns”, e ao qual apenas os mais bem dotados intelectualmente teriam acesso.
Parafraseando Caraça (1984) – a citação original refere-se à Ciência de um modo 
geral – a Matemática, encarada assim, aparece como um organismo vivo, impreg-
nada de condição humana, com suas forças e fraquezas e subordinada às grandes 
necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela libertação, aparece, 
por fim, como um grandioso capítulo da vida humana.
É preciso ficar claro que, se por um lado, o conhecimento matemático apresenta a 
universalidade, a precisão e a impessoalidade entre suas principais características, 
com a História da Matemática o mesmo não acontece. Aparecem contradições, con-
trovérsias, falta de precisão sobre quando e como aconteceram os fatos, originando, 
então, interpretações particulares e pessoais dos estudiosos sobre o assunto.
Para Struick (1992), novos resultados muitas vezes têm origem numa nova forma 
de escrever resultados já construídos, como os que se seguiram após a introdução 
do Sistema de Numeração Decimal e os que sucederam à notação de Leibniz para o 
cálculo, sem falar, é claro, nos progressos da Matemática a partir do estabelecimen-
to da álgebra simbólica.
Neste texto, vamos conversar sobre História da Matemática. Quando se trata de 
uma história que se confunde com a história da própria humanidade, não se preten-
de, absolutamente, apresentar “toda” essa história, até porque isto seria impossível. 
Nosso objetivo principal é que você conceba a Matemática como construção huma-
na e, conhecendo este processo de construção, você pode compreender as dificul-
dades das crianças e a ideia de que o conhecimento matemático é impossível para 
as pessoas comuns desaparece.
APRESENTAÇÃO
APRESENTAÇÃO
Organizamos nosso livro em cinco unidades, cada uma das quatro primeiras abran-
ge a Matemática de um determinado período histórico, a saber: A Matemática das 
antigas civilizações (Unidade I), A Matemática dos gregos e dos árabes (Unidade II), 
A Matemática na Europa: da Idade Média ao século XVII (Unidade III) e A Matemática 
no século XIX: a libertação do real (Unidade IV). 
Como o principal objetivo deste texto é proporcionar sua reflexão sobre o processo 
de construção do conhecimento matemático, finalizamos com uma discussão filo-
sófica sobre a evolução da Matemática enquanto ciência, inclusive questionando 
se este processo de construção é infinito. Isto é abordado na Unidade V, intitulada 
Filosofia da Matemática: alguns destaques.
Para orientar seus estudos, ao final de cada Unidade são propostas questões e, além 
delas, sugerimos que, após a leitura de cada uma das Unidades, você:
Elabore um texto de no máximo 15 linhas com um resumo do que foi lido, destacan-
do o que você entendeu como o mais importante da leitura realizada.
Destaque uma dúvida que surgiu durante a leitura e que você conseguiu resolver. 
Escreva a dúvida em forma de pergunta e, em seguida, responda-a. Compartilhe a 
dúvida e sua resposta com seus colegas no Fórum, pois além de confirmar sua res-
posta, alguns de seus colegas podem ter tido a mesma dúvida e não ter conseguido 
sanar.
Escreva uma dúvida que surgiu e você não encontrou a resposta nos textos apre-
sentados e que lhe motive a pesquisar mais sobre o assunto. Compartilhe a dúvida 
com seus colegas no Fórum, pois algum deles pode sanar sua dúvida, além de que, 
discutir o assunto favorece a consolidação de seu conhecimento.
Essas atividades são fundamentais para consolidar sua aprendizagem. Como este é 
o tipo de questão que certamente ocupará bastante tempo, procure realizá-las logo 
após a leitura da Unidade e, embora a aprendizagem seja favorecida pela discussão 
em grupo, a construção do conhecimento é uma ação solitária. É apenas quando 
você reflete que você organiza seus conhecimentos. Assim, nada impede que você 
discuta com seus colegas sobre o que está estudando, na verdade é importante que 
essas discussões aconteçam, mas elabore INDIVIDUALMENTE os textos sobre cada 
Unidade.
Bons estudos!
SUMÁRIO
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UNIDADE I
A MATEMÁTICA DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES 
15 Introdução
17 Os Primórdios, na Pré-História 
25 O Oriente Antigo: os Egípcios, os Babilônios, os Chineses e os Hindus e o 
Sistema de Numeração Decimal
52 As Civilizações da Mesoamérica: Zapotecas, Maias e Incas 
60 Considerações Finais 
UNIDADE II
A MATEMÁTICA DOS GREGOS E DOS ÁRABES
67 Introdução
68 A Matemática Clássica ou Helênica 
86 A Matemática do Período Helenístico 
93 A Matemática Greco-Romana 
98 A Matemática dos Árabes 
104 Considerações Finais 
SUMÁRIO
11
UNIDADE III
A MATEMÁTICA NA EUROPA: DA IDADE MÉDIA AO SÉCULO XVII
113 Introdução
115 A Matemática na Idade Média 
122 A Matemática do Renascimento 
133 O Cálculo Diferencial e Integral 
141 O Século de Ouro da Matemática Francesa e o Sistema Métrico Decimal 
149 Considerações Finais 
UNIDADE IV
A MATEMÁTICA NO SÉCULO XIX: A LIBERTAÇÃO DO REAL
157 Introdução
158 As Geometrias Não Euclidianas 
167 A Aritmetização da Análise 
170 A Álgebra Abstrata 
173 Kronecker, Kummer, Cantor e Poincaré 
179 O Século XX: a Lógica 
190 Considerações Finais 
SUMÁRIO
12
UNIDADE V
FILOSOFIA DA MATEMÁTICA: ALGUNS DESTAQUES
199 Introdução
200 As Diferentes Concepções de Matemática 
204 A Crise dos Fundamentos 
207 Logicismo e Intuicionismo 
210 Poincaré e a Intuição Racional do Número 
213 O Estruturalismo de Nicolas Bourbaki 
216 O Futuro 
221 Considerações Finais 
229 CONCLUSÃO
233 GABARITO
243 REFERÊNCIAS
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Professora Dra. Clélia Maria Ignatius Nogueira
A MATEMÁTICA DAS 
ANTIGAS CIVILIZAÇÕES 
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Compreender a Matemática como construção humana. 
 ■ Conhecer as contribuições dos povos da antiguidade na construção 
do conhecimento matemático.
 ■ Conhecer os diferentes sistemas de numeração e as origens do 
Sistema de Numeração Decimal.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Os primórdios, na Pré-História
 ■ O Oriente Antigo: os egípcios, os babilônios, os chineses e os hindus 
e o Sistema de Numeração Decimal
 ■ As civilizaçõesda mesoamérica: zapotecas, maias e incas
INTRODUÇÃO
Por falta de registros, não é possível precisar o momento exato em que o homem 
começou a fazer Matemática. As mais recentes descobertas científicas acerca da 
presença do homem na Terra demonstram que ela é muito mais antiga do que 
se acreditou durante muito tempo. Foram descobertos registros de que os pri-
meiros hominídeos a andar sobre duas pernas, que é um dos critérios utilizados 
para diferenciar o homem dos demais primatas, surgiram na África, há aproxima-
damente quatro milhões de anos. Os registros sobre a construção das primeiras 
ferramentas de pedra criadas pelo chamado Homo habilis, natural da África, 
datam de dois milhões de anos atrás e, desde o seu aparecimento na Terra, para 
poder sobreviver, o homem contava, media, calculava, mesmo sem ter a menor 
consciência disso ou de si mesmo.
Mas como foi possível reconstruir a História da Matemática? Pelo estudo 
dos elementos matemáticos no trabalho humano. Assim, da análise de fer-
ramentas, armas, ornamentos encontrados em escavações arqueológicas; de 
indícios referentes ao conhecimento da roda, com ou sem raios; das edifica-
ções (moradias e templos); do comércio (relação de trocas) e da orientação no 
tempo e no espaço (calendários); podemos situar o aparecimento da Matemática 
como tal, em algum ponto da História da Humanidade, entre 10 mil e 50 mil 
anos atrás. Uma das fontes mais importantes para a reconstrução da História 
da Matemática é a agricultura.
A agricultura, talvez a mais importante criação da humanidade (superada 
apenas, segundo alguns autores, pela revolução industrial), aparece no Oriente 
Médio, entre os rios Tigre e Eufrates, na região onde hoje é o Iraque, há cerca 
de 10 mil anos atrás.
Antes da agricultura, o homem sobrevivia da coleta imediata de alimentos, da 
caça e da pesca. Passando a plantar e a colher seus alimentos, o homem precisou 
desenvolver métodos para armazenar os produtos colhidos, estabelecer técni-
cas para a divisão da terra e para o plantio. Se na época da coleta a humanidade 
era nômade, isto é, precisava se deslocar sempre que o alimento ficava difícil em 
Introdução
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uma determinada região, a agricultura fixou o homem à terra, criou necessida-
des, como divisão de terras, ferramentas e técnicas de irrigação e estocagem. 
Com os primeiros aglomerados populacionais, surgiram gradualmente os 
ofícios mais elementares, como a carpintaria, a tecelagem e a cerâmica. Foram 
estabelecidas formas de governo com a consequente coleta de impostos, exigindo 
conhecimentos mais aperfeiçoados da Matemática.
Um ponto que é preciso ter clareza, porque permite a compreensão da natu-
reza do conhecimento matemático, é que desde o seu início até o momento 
atual, a Matemática nunca teve sua construção interrompida. Em se tratando da 
construção desse conhecimento pelos matemáticos, uma geração de estudiosos 
formaliza o que a geração anterior construiu. É assim que se produz Matemática. 
Neste sentido, os resultados (teoremas e fórmulas) não são registrados e comu-
nicados da mesma forma e na mesma sequência em que foram obtidos. Para 
terem valor enquanto conhecimento científico, os resultados dos matemáticos 
são comunicados de maneira despersonalizada, generalizada e descontextuali-
zada no tempo e no espaço e escritos de modo que a validade desse resultado 
possa ser testada por qualquer interessado, isto é, demonstrada.
É essa forma de apresentação, harmoniosa, sem contradição dos resultados 
matemáticos, que dá ao conhecimento matemático a impressão de ser acessível 
só aos gênios. A História derruba por terra essa ideia, por isso é fundamental 
que o professor a conheça.
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OS PRIMÓRDIOS, NA PRÉ-HISTÓRIA
Há cerca de 1.400.000 anos atrás, o Homo erectus que, segundo alguns estudiosos, 
já dominava o uso do fogo, partiu da África com destino aos continentes euro-
peu e asiático, garantindo a presença do homem nas demais partes do mundo.
O homem moderno, o chamado Homo sapiens sapiens, que já possuía uma 
linguagem, pensava, criava e procurava intervir na natureza, partiu da mesma 
África, há cerca de 300 mil a 200 mil anos atrás, povoando, assim, os demais 
continentes.
Para Karlson (1961), pode causar estranheza à maioria das pessoas o fato 
de que o mundo “sempre esteve e está repleto de matemática”, pois estão acos-
tumadas com um matemático estereotipado, de óculos grossos, desligado do 
mundo, aparentemente distraído e cujo habitat natural não seria o mundo real. 
Porém, continua Karlson, “desde o seu aparecimento na terra”, o homem contava, 
media, calculava, “mesmo no período em que seu espírito não tinha consciência 
de si mesmo e quando sobre tais assuntos não existiam conceitos e convenções” 
(KARLSON, 1961, p.3).
Ele dividia a presa em partes iguais, com o que criou as frações; corta-
va com a sua clava ou media um pedaço de pele – comparando com-
primentos, admitindo assim as ideias contrárias de “maior” e “menor”. 
A MATEMÁTICA DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES 
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Para encurtar o caminho na curva de um rio, ele abria um atalho re-
tilíneo através do capim da estepe – junto ao leito dos rios – e com isso 
traçava a primeira corda de um arco. Fabricava vasos, que eram seus 
padrões de medida, efetuando assim as primeiras determinações de vo-
lume [...] (KARLSON, 1961, p.3).
Não é possível deixar de perceber que as atividades anteriormente descritas pas-
savam ao largo de qualquer operação matemática consciente, mas que estava, 
tal como a criança nos estágios iniciais de seu desenvolvimento, agindo sobre os 
objetos e, desta forma, construindo seus conhecimentos sobre formas matemá-
ticas, estabelecendo relações entre objetos e, mais ainda, estabelecendo relações 
entre grandezas. Na verdade, o homem primitivo conhecia e utilizava diferentes 
grandezas antes que a tomada de consciência delas lhe possibilitasse designá-las 
com nomes específicos.
Se noções primitivas relacionadas com os conceitos de forma, grandeza e 
número aparecem já nos primórdios da raça humana, é possível encontrar “vis-
lumbres de noções matemáticas” em outras formas de vida “que podem datar 
de milhões de anos antes da humanidade” e hoje a ciência já estabelece de modo 
claro que “as capacidades de distinguir número, tamanho e forma”, o que constitui 
os rudimentos do pensamento matemático, “[...] não são propriedades exclusi-
vas da humanidade” (BOYER, 1974, p.1).
Para Boyer (1974), inclusive, se existe “[...] validade no princípio biológico 
da sobrevivência do mais apto, a persistência da raça humana provavelmente 
tem relação com o desenvolvimento no homem de conceitos matemáticos” 
(BOYER, 1974, p.1).
Garbi (1997) considera, segundo registros arqueológicos, que há cerca de 
50 mil anos acontece uma “grande revolução intelectual” na espécie humana, 
traduzida pela sofisticação e variedade das ferramentas, pelo uso de tecnologia 
que “[...] lhe permitiu realizar longas viagens pelo mar” – o que é confirmado 
pelo registro dos primeiros homens na Austrália por essa época – viagens estas 
realizadas, novamente, a partir da África, “[...] através de pelo menos 90 km de 
oceano, coisa que exigia a construção de barcos razoavelmente especializados, 
além de algum planejamento”, particularmente no que se refere à quantidade de 
água e alimentos a serem utilizados durante a viagem, o que implica, necessaria-
mente, na utilização de instrumentos matemáticos (GARBI, 1997, p.7).Os Primórdios, na Pré-História
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Por outro lado, a presença de belíssimas pinturas de animais encontradas em 
cavernas da Espanha e da França demonstra que o homem já estava familiarizado 
com as formas e distribuições espaciais, pois descrevem algum tipo de ritual, com 
descrição bidimensional dos objetos no espaço, há cerca da 20 mil anos atrás.
Poucos progressos se fizeram no conhecimento de valores numéricos e 
de relações espaciais até se dar a transição da mera recolha de alimen-
tos para a sua produção, da caça e da pesca para a agricultura. Com 
esta transformação fundamental – uma revolução na qual a atitude do 
homem perante a natureza deixou de ser passiva, para se tornar ativa – 
inicia-se um novo período da idade da pedra, o neolítico (STRUICK, 
1992, pp.29-30).
Como comentamos na Introdução desta Unidade I, a agricultura promove a fixação 
do homem à terra, fazendo surgir o desenvolvimento de métodos para armazenar 
os produtos colhidos, além do estabelecimento de técnicas para a divisão da terra 
e para o plantio. Com o desenvolvimento dos ofícios mais elementares, como a 
carpintaria, a tecelagem e a cerâmica, surgiram os primeiros aglomerados popula-
cionais que exigiram a criação de governos, com a consequente coleta de impostos, 
demandando conhecimentos mais aperfeiçoados da Matemática.
Coziam o pão, fermentavam a cerveja e, nos últimos tempos do neo-
lítico, preparavam e fundiam o cobre e o bronze. Ocorreram algumas 
invenções notáveis: a roda de oleiro e a roda de carro; aperfeiçoaram-se 
os barcos e os abrigos. Estas importantes invenções deram-se somente 
em certas áreas e nem sempre atingiram outras localidades. Os índios 
americanos, por exemplo, pouco sabiam da técnica para usar a roda no 
transporte até a chegada dos Europeus (STRUICK, 1992, p.30).
Você já viu na Introdução que é possível situar o aparecimento da Matemática 
como tal em algum ponto da História, entre 10 mil e 50 mil anos atrás, quando 
surgem os seus primeiros indícios na atividade humana. 
Quando pensamos em Matemática, a primeira ideia que nos vem à mente é 
a de número. Embora a Matemática também tenha como elementos as formas 
geométricas, as equações e outros, o número é talvez o objeto matemático que 
mais represente simbolicamente esta ciência.
Em se tratando especificamente do número, pode-se dizer que seu surgimento 
é impossível de ser precisado. Para Ifrah (1997), é necessário o estabelecimento 
de alguns “limites” para uma aventura na história dos números:
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Se se quisesse esquematizar a história das numerações, dir-se-ia que é 
todo o caminho que separou o Um do Zero, conceitos que se tornaram, 
depois, os símbolos da nossa sociedade técnica (IFRAH, 1997, p.xvi).
A citação acima, hoje, parece estranha, uma vez que basta um pequeno passo, 
subtrair uma unidade do Um para se ter o Zero, ou ainda, pela “falsa certeza” 
de que o Zero sempre precedeu o Um, entretanto, a caminhada da humanidade 
partiu do Um e levou milhares de anos para atingir o Zero, com o prumo desta 
jornada não sendo fornecido pela lógica, e sim pela necessidade prática de cole-
tores de alimentos, caçadores, agricultores, pastores, astrônomos, sacerdotes e, 
somente por último, de matemáticos.
Se o conceito de número inteiro é algo que demorou milênios para ser cons-
tituído pela Matemática, em função de sua complexidade e sutileza, a ideia de 
quantidade que acompanha cada número em particular está intimamente ligada 
às experiências mais simples realizadas pela humanidade, como a de compara-
ção entre duas coleções.
Desde os tempos mais remotos da humanidade, o ser humano é dotado de 
uma faculdade que lhe permite reconhecer variações em pequenas coleções, 
quando um (ou mais) objeto é retirado ou acrescentado. O senso numérico 
não deve ser, todavia, confundido com a contagem, que é muito posterior e que 
demanda, ao contrário do primeiro, um complexo processo mental. Algumas 
espécies animais ditas “irracionais” possuem senso numérico, enquanto que a 
contagem parece ser prerrogativa dos humanos.
“A gênese do número está oculta por trás do véu impenetrável de incontáveis 
eras pré-históricas”, porém estudos arqueológicos e antropológicos (comparativos 
com tribos atuais) permitem concluir que a origem deste conceito foi extrema-
mente modesta, praticamente inexistindo dúvidas de que “[...] o núcleo do qual 
cresceu o conceito de número” foi um rudimentar senso numérico, igual, em 
seus limites, ao possuído pelos pássaros (DANTZIG, 1970, pp.18-19).
Por meio de circunstâncias e processos notáveis, a humanidade aprendeu a 
complementar seu senso numérico com a contagem, responsável pelo extraor-
dinário progresso da capacidade humana de “representar” o universo em termos 
numéricos, tal qual acontece atualmente.
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Foi a contagem que consolidou o concreto e, portanto, as noções he-
terogêneas de pluralidade, tão características do homem primitivo, no 
conceito numérico homogêneo abstrato, o que tornou possível a Mate-
mática (DANTZIG, 1970, p.19).
Para registrar os resultados da contagem nossos antepassados recorriam à cor-
respondência um a um utilizando pedrinhas, nós em cordas e fibras vegetais, ou, 
ainda, marcas em ossos ou madeira, conforme figura a seguir:
Figura 1: Registros de contagem em ossos, pedras e nós
Fonte: Branco e Menta (2010, online)
Inicialmente, a contagem se limitava a uma comparação, por correspondência 
termo a termo, entre duas coleções (cabeças de um rebanho e seixos ou talhos feitos 
numa árvore), e pode parecer que tal processo não avançava além da equiparação, 
não possibilitando o surgimento de números. Todavia, mediante a criação de cole-
ções modelos, cada uma simbolizando uma coleção (asas de um pássaro, trevo, 
patas de um animal, dedos da mão etc.) foi possível a transição de números relati-
vos para absolutos, e a estimativa de uma dada coleção qualquer ficaria reduzida 
à escolha, dentre os modelos disponíveis, do que é mais adequado e, finalmente, 
“[...] uma vez criada e adotada a palavra numérica, ela se torna um modelo tão 
bom quanto o objeto que representava anteriormente” (DANTZIG, 1970, p.20).
Com o aumento da confiança do homem em sua linguagem, gradualmente 
os sons vão substituindo as imagens que representam os objetos concretos, os 
quais tomam a forma de palavras numéricas ou palavras-número (um, dois, 
três, ..., dez, ..., mil, ...). Por fim, após o uso das palavras-número constituir em 
um hábito, a memória (e o próprio hábito) realiza o percurso inverso, ou seja, 
as simples palavras (formas abstratas) assumem contornos concretos e passam 
a significar medidas de pluralidade.
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Uma vez construída a ideia de pluralidade e admitida a possibilidade de 
comparação entre duas coleções mediante o estabelecimento de uma correspon-
dência, a humanidade havia alcançado o conceito de número cardinal.
Assim, para a construção da cardinalidade, o princípio da correspondên-
cia é suficiente, em outras palavras, não há necessidade de contar os elementos 
para se estabelecer uma quantidade, é possível determiná-la por comparação, 
por exemplo, “existem tantas ovelhas quanto os dedos das mãos”.
Todavia, uma ordem heterogênea de modelos do tipo descrito anteriormente 
(asas de pássaro, trevo etc.), por mais que seja de fácil compreensão, não é sufi-
ciente para a determinação de um processo de contagem. Para isso, é necessário 
arranjar tais modelosnuma sequência ordenada e crescente (com variação de 
uma unidade), ou seja, o estabelecimento da sucessão natural um, dois, três, ... 
Uma vez criado esse sistema, contar uma coleção significa designar a 
cada número um termo na sequência natural em sucessão ordenada até 
que a coleção esteja esgotada (DANTZIG, 1970, p.21).
Por sua vez, o último termo da sequência natural pronunciado e que designa 
o último membro da coleção (após todos terem sido contados) é chamado de 
número ordinal da coleção.
Os dois aspectos do número (cardinal e ordinal) são indissociáveis, ou seja, 
para estabelecer a cardinalidade de uma coleção, é feita uma contagem (que pres-
supõe uma ordem), por outro lado, para determinar o ordinal de um número, 
é preciso saber quantos o antecederam (ou seja a cardinalidade do número ao 
qual sucede).
Além disso, a comparação, sozinha, não possibilita o estabelecimento das 
operações aritméticas, uma vez que estas se baseiam na pressuposição tácita de 
que todo número possui um sucessor, ou seja, a ordinalidade, em sua essência.
Nos dedos, o homem possui um artifício que lhe permite passar im-
perceptivelmente dos números cardinais para o ordinal: se quiser in-
dicar que certa coleção tem quatro elementos (cardinal), ele abaixará 
ou erguerá quatro dedos simultaneamente e, se quiser contar a mes-
ma coleção (ordinal), ele erguerá ou abaixará os dedos em sucessão 
(DANTZIG, 1970, p.70).
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Segundo o princípio da cardinalidade, as quantidades podem, também, ser 
representadas por alinhamento, justaposição ou superposição de tantas pedras 
(entalhes, traços, pequenos círculos etc.) simbolizando quantas unidades ou, 
ainda, pela simples repetição, tantas vezes quantos forem os elementos, do nome 
do objeto ou da unidade.
Em contrapartida, no princípio ordinal utilizam-se, também, palavras, ges-
tos, sinais, desenhos e objetos, porém, todos diferentes entre si.
A criação de uma sequência de palavras para designar coleções hierarqui-
camente encaixadas passou por diversos estágios antes de atingir o nível de 
generalização atual, completamente independente dos objetos aos quais se refere, 
enquanto que, em sua origem, estavam indelevelmente vinculadas ao concreto.
Um exemplo do concretismo do conceito numérico é o dos índios Palikur 
do Amapá, que ainda não conseguiram desvincular a natureza do objeto das 
palavras-número que empregam para enumerá-los e possuem seis sequências 
de palavras numéricas; 1) para contar animais e pessoas; 2) para objetos quadra-
dos; 3) para o tempo; 4) para objetos ovais; 5) para objetos cilíndricos e 6) para 
mortos e objetos indefinidos. Outras tribos, como a dos Canelas, do Maranhão, 
e dos Nhambiquaras, no Mato Grosso, contam um, dois e muitos, testemu-
nhando a vinculação do desenvolvimento da enumeração com as necessidades 
práticas dos povos.
De posse de um sistema de representação de quantidades, o homem começou 
a conceber conjuntos cada vez mais extensos, encontrando, entretanto, dificul-
dades de representação tanto cardinal quanto ordinal, o que deu origem a um 
problema de difícil solução, ou seja, o de criar meios de designar números ele-
vados com o mínimo possível de símbolos. De acordo com Ifrah (1997), o fato 
deste delicado problema ter sido solucionado “[...] é uma prova da engenhosi-
dade do espírito humano” (IFRAH, 1997, p.48).
A solução encontrada consiste em privilegiar determinados agrupamentos 
(dezena, dúzia, vintena, sessentena etc.) e “[...] organizar a sequência regular dos 
números segundo uma classificação hierárquica fundada nessa base” (agrupa-
mento particular) (IFRAH, 1997, p.48).
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A partir daí estava, então, estabelecido o princípio de base, que marcou o 
surgimento dos sistemas de numeração, e a aplicação desse princípio a materiais 
intermediários, sinais gráficos ou palavras deu origem à enumeração propria-
mente dita, nas formas concreta, escrita ou oral.
A numeração escrita pode ser dividida em dois grupos. O primeiro é o das 
puramente aditivas, no qual as cifras são totalmente livres e se adicionam para 
formar o número, não sendo, portanto, posicionais. O segundo grupo é o das 
numerações de posição, no qual as cifras são coligadas e é sua posição na escrita 
que determina o seu valor.
A numeração de posição escapou à maioria dos povos da história. Essa 
regra essencial só foi imaginada quatro vezes no curso da história. Apa-
receu pela primeira vez no início do segundo milênio antes de nossa 
era, entre os sábios da Babilônia. Foi redescoberta, em seguida, pelos 
matemáticos chineses, um pouco antes do início da era cristã, depois, 
entre os séculos III e V d.C., pelos astônomos maias e, enfim, pelos ma-
temáticos da Índia, por volta do séc. V (IFRAH, 1997, p.xxii).
A razão principal para que apenas um número tão pequeno de civilizações tenha 
concebido sistemas de numeração posicionais está na dificuldade de se perce-
ber a necessidade de um símbolo para a “ausência de quantidade”, para ocupar 
uma “posição vazia” na escrita de números, ou seja, de um “zero”, imprescindí-
vel ao princípio posicional e, além destes quatro povos, nenhum outro parece 
ter sentido tal necessidade. Porém, apenas o “zero” indiano foi concebido como 
número, os demais indicavam apenas uma coluna vazia.
Como os números estão tão perfeitamente inseridos no cotidiano atual, é 
difícil percebê-los como um dos conceitos mais abstratos e complexos que a 
espécie humana construiu.
Cada uma das antigas civilizações construiu sua linguagem, sua escrita e 
seu sistema de numeração, do qual se origina a aritmética e, embora os regis-
tros de quantidade sejam anteriores à própria escrita, a aritmética foi, dentre as 
três (aritmética, linguagem e escrita), a que mais tempo e esforço exigiu para ser 
assimilada pela humanidade. Entretanto, apesar das diferenças inerentes ao sis-
tema de numeração adotado, que interferem nos procedimentos, as operações, 
as regras e leis aritméticas são idênticas e obedecem a uma mesma sequência de 
construção, independentemente das diferentes culturas.
O Oriente Antigo: os Egípcios, os Babilônios, os Chineses e os Hindus e o Sistema de Numeração Decimal
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O ORIENTE ANTIGO: OS EGÍPCIOS, OS BABILÔNIOS, 
OS CHINESES E OS HINDUS E O SISTEMA DE 
NUMERAÇÃO DECIMAL
O início da civilização acontece na mesma região onde aparece a agricultura, 
nas bacias dos rios Tigre e Eufrates, na Mesopotâmia, concomitantemente com 
o surgimento, no vale do rio Nilo, da civilização egípcia, com os hindus, no cen-
tro-sul da Ásia, nas bacias dos rios Indo e Ganges e os chineses, aglutinados nas 
regiões dos rios Huang Ho e Yang Tsé, na Ásia Oriental. Como as terras nos vales 
desses rios eram extremamente férteis, proporcionando colheitas abundantes, 
surgem os primeiros vilarejos, dando origem a sociedades que se apresentam 
tecnicamente evoluídas já nos milênios III, IV e V a.C.
As principais culturas desse período foram a do Egito, da Mesopotâmia, da 
Índia e da China, localidades que são reunidas sob a expressão “Oriente Antigo”. 
As matemáticas orientais surgiram como uma ciência prática, com o objetivo de 
facilitar o cálculo do calendário, a administração das colheitas, a organização das 
obras públicas e, consequentemente, a cobrança de impostos e taxas.
Apesar das trocas comerciais que existiam entreas antigas sociedades, o 
centro econômico era a agricultura e, portanto, era centrado nas vilas, que se 
caracterizavam pelo seu isolamento e tradicionalismo. O resultado foi que, ape-
sar da similaridade existente na estrutura econômica e nos traços essenciais do 
conhecimento científico, permaneceram diferenças notáveis entre as diversas 
culturas, possibilitando a fácil diferenciação da arte e dos escritos dos egípcios, 
dos babilônicos, dos chineses e dos indianos. No que se refere à Matemática, 
embora a natureza aritmético-algébrica seja globalmente similar, existiam peque-
nas diferenças. Entretanto, mesmo quando o desenvolvimento matemático de 
uma civilização avançava mais que o da outra, num mesmo período, suas carac-
terísticas aproximadas e simbolismo permaneciam preservadas.
As matemáticas orientais eram, de maneira geral, essencialmente práticas, 
não apresentavam nenhuma tentativa de demonstração, a grande preocupação 
era com o como fazer, sendo que o interesse pelo porquê só aparece com os gre-
gos, muitos séculos depois. Além disso, o caráter estático da estrutura social do 
Oriente Antigo contribuiu para preservar o conhecimento científico da época 
durante séculos, ou mesmo milênios. 
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OS EGÍPCIOS
É bastante comum a afirmação de que é apenas com os egípcios que se pode 
falar em ciência Matemática, uma vez que, premidos pela necessidade de medir 
frequentemente suas terras (as enchentes do rio Nilo alteravam os limites) e pre-
ocupados com suas grandiosas construções, foram obrigados a manejar números 
e retas. Todavia, não existe unanimidade em considerá-los como os primeiros 
matemáticos, conforme opinião de Boutroux: 
Os egípcios conheceram fatos matemáticos; souberam manejar fórmu-
las e raciocinar com figuras geométricas, porém, na medida em que se 
pode julgá-los atualmente, o fizeram, perseguindo fins práticos e uti-
litários. Não parece que tenham tido uma concepção clara da ciência 
teórica, um ideal científico (BOUTROUX, 1962, p.242).
Para Germain (1962), essa controvérsia está longe de ser resolvida, pois um exame 
mais acurado dos papiros egípcios revela resultados que podem fortalecer as opi-
niões contrárias a Boutroux: aparecem problemas que exigem determinado grau 
de abstração, como “o cálculo exato do volume do tronco de pirâmide de base 
quadrada segundo a fórmula h (a² + ab + b²)
3
V ”; a determinação da área de um semi-
-círculo, com o auxílio de uma “fórmula equivalente à usada atualmente, com a 
excelente aproximação para π de (16/9)2 = 3,160...” (GERMAIN, 1962, p.242).
Struick (1992) não aprofunda as discussões acerca do assunto e prefere assu-
mir uma posição intermediária, a de que a Matemática egípcia possuía objetivos 
limitados, essencialmente práticos, embora com alguma sofisticação dentro des-
ses limites. Como não é objetivo deste texto um aprofundamento nas discussões 
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que envolvem atualmente as pesquisas em História da Matemática, adotamos 
a mesma posição de Struick, com o assunto sendo tratado mediante a descri-
ção de fatos.
A origem da civilização egípcia é desconhecida, mas é seguramente ante-
rior ao IV milênio a.C. e, como disse o historiador grego Heródoto, essa terra 
é um presente do rio Nilo, o qual, após suas cheias anuais de cem dias, fertiliza 
com generosidade a terra. Porém, segundo Durant (1957), “[...] cada presente 
tem seu preço; e o campônio sabia que sem o controle das enchentes a força das 
águas poderia destruir tudo” (DURANT, 1957, v. I, p.147).
Essa foi, com certeza a principal fonte propulsora da civilização egípcia: apren-
der a aproveitar a generosidade do rio sem perder, a cada cheia, os benefícios 
conquistados nas inundações precedentes. Assim, o povo egípcio “vem desde tem-
pos imemoriais construindo essas valas que cruzam e recruzam a terra; retendo 
o excesso de água dos canais”; e, no período de seca, transportando a água com 
baldes, criando primitivos sistemas de irrigação (DURANT, 1957, v.I, p.147).
Desde o que se pode considerar como o início da civilização egípcia, em 
torno de 4000 a.C., já aparecia uma forma rudimentar de escrita, com os pri-
mitivos registros pictográficos evoluindo para símbolos linearmente ordenados 
mediante um processo de convencionalização lento e gradual. 
Embora milhares de peças de barro e diversos papiros contendo escritos ante-
riores ao IV milênio a.C. tenham sobrevivido até a atualidade, muito tempo se 
passou para que fossem decifrados. Em 1799, a expedição de Napoleão desco-
briu em Rosetta, antigo porto de Alexandria, uma grande peça contendo escritos 
egípcios, que ficou conhecida como a Pedra de Rosetta. Essa peça continha uma 
mensagem em três línguas: grega, demótica (escrita egípcia do séc. VII a.C. ao 
séc.V d.C., para fins literários, administrativos e comerciais) e hieroglífica (inscri-
ções sagradas e primeira escrita egípcia). Conhecedores do grego, o arqueólogo 
francês Champollion (1778-1867) e o físico inglês Thomas Young (1773-1829) 
fizeram rápido progresso na decifração dos hieróglifos.
Boyer (1974) chama atenção para o fato de que “[...] há um limite para a 
quantidade de informação que se pode retirar de calendários e pedras tumula-
res”, o que restringiria em muito o conhecimento da contribuição egípcia para 
a Matemática, caso não existissem outras fontes, as quais, felizmente, existem. 
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“Um certo número de papiros egípcios de algum modo resistiu ao desgaste do 
tempo por mais de três e meio milênios” (BOYER, 1974, p.9).
Dentre todos os documentos matemáticos que sobreviveram até a época atual, 
os principais são os papiros de Ahmes (ou de Rhind) e o de Moscou. O mais antigo 
deles é o de Moscou, que apresenta 25 problemas e contém a fórmula correta para 
o cálculo do volume de um tronco de pirâmide já mencionado, entretanto, o de 
Ahmes, de cerca de 1650 a.C., ficou notório por ter permitido o registro histórico 
do nome de seu autor, que passa a ser o primeiro matemático de que se tem notícia.
Também conhecido como papiro de Rhind, em homenagem ao egiptólogo 
inglês que o encontrou em 1858, o papiro de Ahmes contém 85 problemas expres-
sos verbalmente, alguns dos quais de interesse apenas matemático (mostrando 
a tendência da Matemática, desde a sua origem, de se desvencilhar do real), por 
exemplo, “uma quantidade, somada a seus dois terços, mais sua metade e mais 
sua sétima parte perfaz trinta e três. Qual é essa quantidade?”.
O sistema de numeração era decimal, ou seja, de base 10, de modo que o 
mesmo símbolo podia ser repetido nove vezes, depois era substituído por outro 
que podia ser repetido até nove vezes e, assim, sucessivamente. Dez símbolos 
iguais eram trocados por um novo símbolo de um agrupamento superior. O 
valor do número escrito é a soma dos valores dos símbolos utilizados. Este sis-
tema de numeração possui mais de cinco mil anos.
SÍMBOLO 
EGÍPCIO
DESCRIÇÃO DO 
SÍMBOLO
O NÚMERO NA 
NOSSSA ROTAÇÃO
bastão 1
calcanhar 10
rolo de corda 100
flor de lôtus 1000
dedo a apontar 10000
peixe 100000
homem 1000000
Figura 2: Símbolos numéricos egípcios e seus respectivos valores
Fonte: Branco e Menta (2010b)
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A numeração egípcia era aditiva e não posicional. Era esculpida em pedra, por 
meio de cinzel e martelo, ou traçada em lascas de rochas, cacos de cerâmica ou 
em folhas de papiro, utilizando um pincel feito de um caniço, com a ponta esma-
gada e mergulhado em tinta.
O mais antigo testemunho arqueológico da numeração egípcia é de cerca 
de 2900 a.C. É uma clava de pedra, encontrada na cidade de Hierakonpolis. Na 
cabeça desta clava está escrito foneticamente “Narmer” (nome do rei que unifi-
cou o Baixo e o Alto Egito) e apresenta o que deve ser um inventário de algumas 
batalhas, com representações numéricas referentes a cabeças de animais e número 
de prisioneiros trazidos por este soberano de suas batalhas.
Percebe-se que a notação encontrada traduzia o resultado de um método 
concreto de enumeração, ou seja, o número é representado pelo alinhamento ou 
acúmulo de objetos que necessitavam para associar a uma ordem de unidades, 
como pedras para as unidades, conchas para as dezenas, bolinhas para cente-
nas, pauzinhos para os milhares, e assim por diante.
A numeração hieroglífica já continha sinais específicos para representar as 
diversas ordens, assim, um traço vertical representava a unidade; um sinal em 
forma de alça indicava a dezena; um sinal parecido com um pedaço de corda 
enrolada valia cem; uma flor de lótus, com seu talo, para representar o mil; um 
dedo humano, dobrado, representava dez mil; com um girino representava cem 
mil; e uma figura humana ajoelhada representava um milhão.
A Aritmética dos egípcios apresentava símbolos hieróglifos para alguns 
números, que eram combinados para formar números intermediários e, como 
na maioria das escritas orientais, o sentido era da esquerda para a direita. 
Essencialmente aditiva, a Aritmética egípcia determinava os resultados das adi-
ções e subtrações mediante a simples combinação de símbolos; as multiplicações 
e divisões eram reduzidas a processos aditivos. 
Além desses conhecimentos, eles conheciam também as frações (essenciais 
para as medidas) e representavam algumas delas por símbolos especiais. As even-
tuais raízes quadradas que ocorriam em alguns problemas eram simples e foram 
expressas em termos de números inteiros e frações, sendo que a natureza dos 
irracionais não foi reconhecida pelos egípcios.
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Alguns dos problemas contidos nos papiros apresentam, ainda que de forma 
tímida e velada, equações do primeiro grau, as quais eram resolvidas com o uso 
de processos puramente aritméticos sem atingir a ideia de resolução de equa-
ções; não adotavam nenhuma simbologia simplificadora, porém utilizavam um 
artifício bastante engenhoso e que ficou conhecido como a regra da falsa posi-
ção ou a regra do falso.
Por exemplo: qual o número que somado à sua terça parte dá oito? Pela 
Regra da Falsa Posição, fazia-se uma hipótese inicial qualquer a res-
peito do número e verificava-se o que ocorria. Suponhamos, em nosso 
caso, que tal número fosse 3. Ora, 3 somado com sua terça parte dá 
3+1=4, exatamente a metade dos 8 que deveria dar. Portanto, o número 
procurado é o dobro de 3, ou seja, 6 (GARBI,1997, p.13).
De maneira geral, os problemas eram apresentados verbalmente com limitadas 
direções para obter soluções e sem explicação de como os métodos foram usa-
dos. Quanto a equações de grau maior do que 1, apenas o tipo mais simples de 
equações quadráticas (ax2 = b) foi considerado e quando apareciam duas incóg-
nitas, como ax2 + by2 = c, com y = d, eles reduziam a uma equação do tipo mais 
simples, pela eliminação de y.
A maneira como são escritos os papiros, em particular os papiros de Ahmes 
e de Moscou, indica terem sido destinados a estudantes e apresentam, hoje, a 
“[...] direção e as tendências do ensino de Matemática no antigo Egito” (quase 
todo prático e com ênfase nos cálculos, deixando claro que o principal objetivo 
era o domínio da técnica e não a compreensão). Entretanto, tais informações, 
reunidas a “[...] outras evidências fornecidas por inscrições sobre monumen-
tos”, demonstram que os egípcios pouco aproveitaram de seus conhecimentos 
geométricos, e deixam claro, também, que a Aritmética de Ahmes era a de seus 
antepassados e, portanto, bem mais antiga (BOYER, 1974, p.16).
Os progressos da Geometria egípcia são atestados pela sua arquitetura refle-
tida na construção das pirâmides, com as mais antigas, as de Gisé, datando por 
volta de 2900 a.C. De maneira explícita, os egípcios sabiam determinar as áreas 
do triângulo, do círculo, entre outras; calculavam o volume do cubo, do parale-
lepípedo, do tronco de pirâmide e do cilindro circular. Frequentemente se afirma 
que os egípcios conheciam o teorema de Pitágoras, porém isso não aparece nos 
papiros que resistiram até hoje, bem como não há vestígios de nenhum teorema 
O Oriente Antigo: os Egípcios, os Babilônios, os Chineses e os Hindus e o Sistema de Numeração Decimal
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ou demonstração formal. Todavia, as comparações geométricas utilizadas para 
justificar os cálculos realizados para estabelecer determinados perímetros ou 
áreas podem ser consideradas “[...] entre as primeiras afirmações precisas da 
história referentes a figuras não curvilíneas” (BOYER, 1974, p.13).
Para Cajori (2007, p.42), é curioso que os egípcios tenham conseguido resul-
tados tão avançados em período tão remoto. “Mas é estranho, na verdade, o fato 
de que durante os seguintes dois mil anos não fizeram, em absoluto, progresso 
algum neste campo”. Para o autor, a antiga civilização do vale do rio Nilo tinha 
um caráter estático, tanto nos assuntos do governo, como em sua aprendizagem. 
Isto fica demonstrado pelas pesquisas realizadas pelos estudiosos gregos, que 
os visitaram seis séculos antes de Cristo e verificaram que o conhecimento de 
Geometria que os egípcios possuíam naquela época era o mesmo já dominado 
por eles, “[...] desde dois mil anos antes, quando construíram aquelas estupen-
das e gigantescas estruturas – as pirâmides”.
 
 
 
 
 
 
A MATEMÁTICA DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES 
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Por sistema de numeração, entendemos um conjunto de símbolos e de re-
gras utilizadas para escrever números. O sistema de numeração que utiliza-
mos atualmente é o Sistema de Numeração Decimal – SND.
Os símbolos do SND são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, denominados algarismos 
indo-arábicos, e as regras são:
1) O sistema é decimal, isto é, funciona com agrupamentos de dez. 
Esse número dez é chamado de base do sistema.
2) O sistema é posicional, isto é, o valor de um algarismo é determina-
do pela posição que ocupa no numeral.
3) O sistema é multiplicativo, isto é, em um numeral, cada algarismo 
representa um número que é múltiplo de uma potência da base 
dez. Por exemplo, no numeral 543, o algarismo 5 representa o nú-
mero 25 10× , que é múltiplo de 210 , o algarismo 4 representa o 
número 14 10× , que é múltiplo de 110 e o algarismo 3 representa 
o número 03 1 3 10× = × , que é múltiplo de 010 .
4) O sistema é aditivo, istoé, o valor do numeral é dado pela soma 
dos valores individuais de cada símbolo de acordo com a regra 
anterior. Por exemplo, 543 500 40 3= + + .
Embora não se tenha confirmação, acredita-se que a escolha da base dez 
deve-se à quantidade de dedos das mãos. A associação entre dedos e nú-
meros até hoje está presente na palavra dígito. 
Fonte: NOGUEIRA, C. M. I.; BELLINI, M.; PAVANELLO, R. M. O ensino de Mate-
mática e das Ciências Naturais nos Anos Iniciais na perspectiva da Epis-
temologia genética. Curitiba: CRV, 2013.
O Oriente Antigo: os Egípcios, os Babilônios, os Chineses e os Hindus e o Sistema de Numeração Decimal
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A MATEMÁTICA NA MESOPOTÂMIA
Na antiga Mesopotâmia, região compreendida entre os rios Eufrates e Tigre, havia 
por volta do final do IV milênio a.C., milênio este de notável progresso cultural 
(é nele que se desenvolve a escrita, o domínio dos metais e o uso da roda), uma 
civilização bastante avançada.
Originária de antigas civilizações, como a dos caldeus, dos assírios e dos 
sumérios, a Babilônia florescia na região mesopotâmica. De maneira geral, se 
considera pelo termo babilônico apenas o habitante da cidade da Babilônia, 
entretanto, utilizamos aqui, indistintamente, as palavras Suméria, Babilônia e 
Mesopotâmia para designar a região do vale entre os rios Tigre e Eufrates.
É difícil datar com precisão os primórdios da civilização mesopotâmica, par-
ticularmente em função do material usado para o registro de seus conhecimentos. 
Os sumérios utilizavam placas de barro cozido, praticamente indestrutíveis, o 
que, juntamente com o caráter estático da estrutura social desse povo, dificulta 
o estabelecimento, com certo rigor, da data dos tabletes encontrados.
Diferentemente dos escritos egípcios, que embora tenham também apresen-
tado dificuldade para serem decifrados, deixaram de ser um enigma a partir do 
século XVIII, os escritos babilônicos demoraram em torno de um século a mais 
para serem compreendidos.
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Assim, até bem pouco tempo, o que se sabia da Matemática babilônica se 
restringia às informações existentes na literatura grega clássica e aos escritos dos 
matemáticos e astrônomos caldeus. Com base nesses escritos, alguns equívocos 
foram cometidos, como supor que existia algum tipo de misticismo numérico 
ou numerologia na Mesopotâmia, o que demonstrou ser falso em virtude de 
descobertas mais recentes.
De maneira geral, costuma-se dividir em dois períodos as principais infor-
mações existentes acerca da civilização e da Matemática da Babilônia, algumas 
datam de cerca de 2000 a.C., e um número bem maior em torno de 600 a 300 a.C.
A localização privilegiada – era rota de caravanas, em contraste com o isola-
mento do Egito – fez com que o desenvolvimento da Mesopotâmia fosse superior 
ao das demais sociedades da região. Além disso, as inundações dos rios Tigre e 
Eufrates eram imprevisíveis, e o aproveitamento das áreas férteis necessitava de 
mais “[...] perícia técnica e administração do que o Nilo”, exigindo maiores estu-
dos matemáticos, levando, consequentemente, também a Matemática a maiores 
desenvolvimentos (STRUICK, 1992, p.52).
O conhecimento sobre a Matemática dos babilônios foi bastante ampliado 
com as descobertas, em meados do século XX, de O. Neugebauer e F. Thureau-
Dangin, que conseguiram decifrar inúmeras placas de argila, deixando claro 
que a matemática babilônica atingiu um nível mais elevado do que o obtido pela 
matemática egípcia, com evidências de grande habilidade para o cálculo. A pre-
dominância do forte caráter aritmético-algébrico transparece mesmo quando se 
trata da geometria, a qual surge também, a exemplo da egípcia, de problemas prá-
ticos relacionados com a medição, ressaltando-se, porém, que a forma geométrica 
de um problema servia, quase sempre, para apresentar uma questão algébrica.
Os babilônios utilizavam em seus hábeis cálculos um sistema numérico sexa-
gesimal o qual, supõe-se, tenha dado origem à divisão das horas em 60 minutos 
e cada minuto em 60 segundos, bem como a divisão do círculo em 360 graus. 
Esse sistema era posicional, mas eles não possuíam nenhum símbolo especial 
para indicar a ausência de um número em determinada posição, ou seja, não 
existia nada parecido com o “0”. 
Esta base e a notação posicional eram também utilizadas para representar fra-
ções, entretanto, a base 60 – embora de maior predominância e de uso consistente 
O Oriente Antigo: os Egípcios, os Babilônios, os Chineses e os Hindus e o Sistema de Numeração Decimal
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em textos de matemática e astronomia – não era absoluta, aparecendo também 
sistemas numéricos envolvendo múltiplos e submúltiplos de 60, 24, 12, 10, 6 e 
2, para área, medidas de peso, datas e cunhagem de moedas, da mesma forma 
que atualmente se usa 12 para horas e polegadas e 10 para a contagem usual.
O sistema de numeração de base 10 da Babilônia era aditivo e tinha símbo-
los especiais para o Um, o Dez, o Cem, o Mil e o Dez Mil. O de base sessenta, 
que predominava nos textos matemáticos, possuía apenas dois símbolos que 
eram representados em pedaços de argila ainda mole. O aspecto era seme-
lhante às cunhas, daí o nome de escrita cuneiforme para essa escrita. A unidade 
era representada por um símbolo mais fino, na posição vertical, que era repe-
tido para números até nove. Outro símbolo, mais largo e na posição horizontal, 
representava o valor dez e era repetido e usado junto com o símbolo da uni-
dade, conforme fosse necessário, para representar os números de 11 até 59. De 
60 em diante, era utilizado o princípio da posição para indicar potências de 60: 
na segunda posição, o símbolo deixava de valer um pra valer 60, na terceira 
posição valia 60 vezes 60, e assim por diante. Assim, a partir de 60, o sistema se 
tornava complexo e utilizavam o princípio da posição para indicar múltiplos de 
potências de 60, como 600, 3 600 e 36 000.
 
Figura 3: Símbolos numéricos babilônicos
Fonte: Pimentel e Andrade (2010)
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Em algumas tábuas, surgem números por justaposição aditiva e por subtração 
com o auxílio da expressão “lal”, que significava “menos” para valores simbóli-
cos, como o setenta e nove, que é escrito como sessenta mais vinte menos um, 
o trinta e sete como quarenta menos três etc.
O sistema de numeração da Babilônia, encontrado em escavações arqueo-
lógicas na Mesopotâmia, foi criado há aproximadamente 4 mil anos. Entre 1600 
e 1800 a.C., nenhum símbolo para o zero era utilizado, apenas um espaço em 
branco era deixado para qualquer potência de 60 e o valor do número só ficava 
claro de acordo com o contexto, causando muita confusão. Nos últimos três 
séculos a.C., os escritos cuneiformes encontrados indicam que os babilônios 
passaram a utilizar o símbolo para indicar a posição vazia, criando o zero de 
seu sistema de numeração. 
Aos babilônios se deve a invenção do sistema posicional. Com apenas 
símbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer número por 
repetição e mudançade posição, independente da grandeza deste número. É 
essa mudança de valor de um símbolo, quando muda sua posição, que caracte-
riza um sistema posicional.
A civilização mesopotâmica conhecia – e utilizava com precisão – as quatro 
operações aritméticas fundamentais e criou tábuas expressando multiplicações 
(precursoras das “tabuadas”), além de listas de recíprocos, quadrados, raízes 
quadradas, cubos e raízes cúbicas. 
Para Aaboe (1984), uma enorme desvantagem de uma base grande, como 
60, é o tamanho desconfortável de uma tábua (tabela) de multiplicação que mos-
tra o produto de dois números quaisquer de um algarismo.
Treme-se ao imaginar os pobres alunos babilônios tentando memori-
zar uma tal tábua de dimensões 59 por 59, e sentimos alívio de saber 
que havia grande quantidade de tábuas de vários tipos, incluindo as de 
multiplicação; de maneira que se torna clara que uma tal memorização 
era desnecessária (AABOE, 1984, p.28).
No mesmo período em que os egípcios apresentavam alguns esboços de equações 
lineares, os babilônios já trabalhavam com equações do 2º grau utilizando para 
a sua resolução um método fundado no “complemento do quadrado”, o mesmo 
raciocínio empregado por Bhaskara quase três milênios depois e, embora os 
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resultados fossem corretos, a exemplo dos papiros egípcios, os tabletes que tra-
tam de “soluções de equações do 2º grau apresentam apenas sequências do tipo 
‘faça isto’, ‘faça aquilo’, ‘este é o resultado’, sem qualquer justificativa lógica sobre 
o caminho seguido” (GARBI, 1997, p.13).
É preciso destacar que, a exemplo também de Bhaskara, os mesopotâmicos 
negligenciavam as raízes negativas das equações quadradas porque não conhe-
ciam os números negativos.
Existem registros de que os babilônios conheciam as triplas pitagóricas e um 
pouco de teoria dos números, além de poderem ser considerados os precursores 
na utilização de uma designação especial para as incógnitas, que não eram repre-
sentadas por letras, pois o alfabeto ainda não era conhecido, mas pelas palavras 
comprimento, largura, área e volume, não porque as incógnitas representassem 
estas medidas geométricas, mas em sentido realmente abstrato, visto que eles 
operavam com estas palavras, ou seja, não hesitavam “em somar um ‘compri-
mento’ com uma ‘área’, ou uma ‘área’ com um ‘volume’. Tais problemas tomados 
literalmente, não podiam ter base em mensuração”, fazendo crer que pelo fato 
de muitos problemas algébricos derivarem de problemas geométricos, a utiliza-
ção da terminologia geométrica se tornasse padrão (BOYER, 1974, p.23).
Devido a esse uso especial de termos para as incógnitas, a solução de deter-
minados tipos de equações, especialmente as quadráticas, envolvendo uma ou 
mais incógnitas e, particularmente, devido ao fato de apresentarem um leve e 
parcial envolvimento com a abstração matemática mediante o reconhecimento 
de que alguns procedimentos eram típicos de certa classe de equações, pode-se 
dizer que a matemática dos sumérios constituiu o começo do estudo da Álgebra. 
Entretanto, a exemplo dos egípcios, não há o menor vestígio de que empregas-
sem demonstrações matemáticas, com os processos algébricos e aritméticos 
(assim como as regras da Geometria) resultando de observações físicas bastante 
acuradas, e de tentativas e erros decorrentes da preocupação principal que era 
o como fazer.
Quanto à Geometria, alguns autores estabelecem que se a Matemática da 
Mesopotâmia superou a dos egípcios na Aritmética e na Álgebra, o mesmo não 
aconteceu em relação à Geometria devido ao fato de que esta última era tratada 
como um assunto à parte da Matemática, isto é, não como uma disciplina ou 
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tópico integrante do corpo de conhecimento matemático, mas como uma espécie 
de Álgebra ou Aritmética aplicada que relacionava números e figuras. Todavia, 
o principal argumento utilizado para confirmar tal assertiva se prende, “[...] em 
geral, à medida do círculo ou ao volume do tronco de pirâmide”, uma vez que os 
babilônios determinavam a área do círculo “[...] tomando três vezes o quadrado 
do raio e, em precisão isso é bem inferior à medida egípcia”, que apresentava uma 
melhor aproximação para o valor de π (BOYER, 1974, p.28).
Descobertas mais recentes, como o conjunto de tabletes matemáticos desen-
terrado em Susa (cerca de 300 quilômetros da Babilônia) dão conta, todavia, de 
resultados geométricos mais significativos, como o estabelecimento das razões 
entre as áreas e os quadrados dos lados dos polígonos regulares de três até sete 
lados, expressas em uma tabela, tão ao gosto mesopotâmico. Nessa mesma tabela, 
a razão entre o perímetro do hexágono regular e a circunferência do círculo ins-
crito é 0,5736, donde se conclui que o valor estimado para π foi de 31/8, que não 
difere em muito do adotado pelos egípcios.
Quanto ao teorema de Pitágoras, ele não aparece de forma explícita ou mesmo 
implícita em nenhum documento egípcio encontrado, ao contrário do que acon-
tece na Babilônia, onde tabletes dos mais antigos (referentes ao primeiro período) 
mostram que ele era largamente usado, possibilitando inclusive aos sumérios a 
expressão de um valor aproximado em cerca de um milionésimo para a raiz qua-
drada de 2, embora, em cálculos mais gerais, eles utilizassem o valor 1,25 como 
uma estimativa mais grosseira. Além disso, o “[...] conhecimento babilônio do 
teorema de Pitágoras não se limitava ao caso do triângulo retângulo isósceles” 
(BOYER, 1974, p.29).
Outro ponto importante a ser mencionado é que, a exemplo do teorema de 
Pitágoras, os babilônios também “[...] conheciam o fato que o ângulo inscrito 
num semicírculo é reto, proposição geralmente conhecida como teorema de 
Tales, apesar de Tales ter vivido bem mais de um milênio depois dos babilônios 
terem começado a usá-la” (BOYER, 1974, p.30).
É interessante notar que dois importantes resultados da Matemática da 
Babilônia foram “apropriados” pelos gregos e as razões para isso não são conhe-
cidas, o que demonstra a dificuldade de se avaliar a influência do conhecimento 
dos mesopotâmicos em culturas posteriores. Também não se tem notícia de 
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que os textos cuneiformes fossem lidos pelas civilizações próximas, os gregos, 
em particular. Todavia, pela sua localização, é plausível supor que hindus e gre-
gos possam ter adquirido conhecimentos por meio das caravanas que passavam 
pela Babilônia e, embora ela não fosse um centro político importante, continuou 
durante muitos séculos como o “[...] centro da cultura de um grande império, 
onde os Babilônios se misturaram com os Persas, Gregos, Judeus, Hindus e mui-
tos outros povos” (STRUICK, 1992, p.62).
Ainda segundo Struick (1992), é possível perceber nos textos cuneiformes 
uma tradição que parece apontar para um desenvolvimento local contínuo, que 
foi sem dúvida estimulado pelo contato com outras civilizações na mesma medida 
em que as influenciava, como atesta a forte presença da Astronomia babilônica 
na Astronomia grega ou como o cálculo aritmético, de maneira geral, foi influen-
ciado pela Matemática da Mesopotâmia. É ainda “[...] razoável suporque, por 
intermédio das escolas babilônicas de escribas, as ciências grega e hindu tenham 
se encontrado” (STRUICK, 1992, p.63).
 
 
 
 
 
 
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OS CHINESES
Seguindo o mesmo padrão das civilizações estudadas anteriormente, a chinesa 
também se localiza entre rios, no caso os rios Huang-Ho ou rio Amarelo e o Yang 
Tsé. Cercada pelo Pacífico, o maior dos oceanos, de um lado e por um imenso 
deserto do outro, a China sempre esteve isolada, o que explica a imutabilidade 
e estagnação dos seus conhecimentos, bem como a tradição arraigada e que só 
recentemente vem recebendo influências externas. Assim, a matemática chinesa 
goza de um estatuto excepcional, pois pela sua tradição – praticamente intacta 
até tempos recentes – permite analisar melhor a sua influência do que em rela-
ção às do Egito e da Babilônia.
Numa tal atmosfera cultural estagnada, as novas descobertas torna-
vam-se exceções, o que garantia mais uma vez a invariabilidade da 
tradição matemática. Tal tradição podia ser transmitida através de mi-
lênios, sendo somente abalada ocasionalmente por grandes catástrofes 
históricas (STRUICK, 1992, p.67).
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A civilização chinesa começa, então, às margens do Huang-Ho e do Yang Tsé, a 
exemplo dos egípcios e babilônios, lutando contra secas e enchentes; drenando 
pântanos, canalizando a água em canais e “construindo dia a dia, durante sécu-
los, cabanas e casas, templos e escolas, aldeias, cidades e Estados” (DURANT, 
1957, v.III, p.91).
A origem deste povo é desconhecida, assim como também não se sabe ao 
certo quando sua civilização teve início, porém, pesquisas indicam que há 20 mil 
anos a.C., a Mongólia era densamente povoada por uma raça cujos utensílios 
encontram correspondentes entre os do mesolítico europeu e cujos descentes 
povoaram a Sibéria e China ao migrarem para estas regiões quando o sul da 
Mongólia secou e se transformou no deserto de Gobi.
Outras descobertas arqueológicas, particularmente no sul da Manchúria, 
indicam a presença de sociedades neolíticas, com uma anterioridade de dois mil 
anos em relação ao mesmo período na Suméria e no Egito.
Entretanto, apesar de seu isolamento e longevidade, não é possível estabele-
cer uma homogeneidade absoluta tanto do povo como da cultura chinesa, uma 
vez que nas artes e nas indústrias primitivas é possível detectar traços da cul-
tura da Mesopotâmia e, ainda mais, a cerâmica neolítica da região dos vales do 
Huang-Ho e Yang Tsé é quase idêntica à encontrada em Susa. Além disso, o atual 
tipo predominantemente “mongólico” do povo é uma mistura bastante com-
plexa de elementos primitivos com povos invasores ou migrados da Mongólia, 
da antiga Rússia e da Ásia Central.
Como já foi comentado anteriormente, foi fácil diferenciar a arte, a escrita 
e a Matemática dos egípcios, babilônios, chineses e hindus, pois as aldeias eram 
tradicionalistas e, de maneira geral, isoladas. Todavia, no que concerne particu-
larmente à Matemática, embora os simbolismos utilizados fossem específicos 
de cada sociedade, as características gerais do conhecimento matemático eram 
idênticas e o que é surpreendente e sugestivo, do ponto de vista da constru-
ção do conhecimento matemático é que, mesmo tendo seu desenvolvimento 
ocorrido de forma separada, tanto física como cronologicamente, esta iden-
tificação permaneceu.
É difícil precisar cronologicamente as descobertas no vale dos rios Huang-Ho 
e Yang Tsé, não apenas em função do caráter estático da estrutura social que, tal 
O Oriente Antigo: os Egípcios, os Babilônios, os Chineses e os Hindus e o Sistema de Numeração Decimal
A MATEMÁTICA DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES 
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
qual aconteceu com os egípcios e mesopotâmicos, resguardou por séculos ou 
milênios o conhecimento científico e cultural da época, como particularmente 
e, neste ponto, existe uma diferença enorme em relação ao Egito e Babilônia, em 
função do material utilizado para os registros. Enquanto os mesopotâmicos usa-
vam placas de barro cozido, que são praticamente indestrutíveis, e os egípcios 
usavam o papiro que se conservou graças ao clima seco, os chineses (assim como 
os hindus) utilizavam cascas de árvore e bambu, materiais de fácil deterioração.
De acordo com Struick (1992), os chineses começam a utilizar o papel em 
torno do século I a.C., porém poucos escritos anteriores a 700 a.C. foram conser-
vados. Finalmente, e talvez seja essa a principal razão para a falta de informação 
acerca da China antiga, grande parte dos registros de caráter técnico foi destru-
ída por mudanças dinásticas, guerras ou inundações.
Conta-se que em 221 a.C., a China foi unificada por um déspota, conhecido 
por Shi Huang-ti, que ordenou a destruição de todo material destinado a estu-
dos, todavia, como era costume que os estudiosos citassem de memória livros 
inteiros, muitos livros foram reescritos de memória muito tempo depois, o que 
dificulta a determinação das datas dos escritos descobertos, além do fato de que, 
por serem conhecidos de memória, os conhecimentos também foram transmitidos 
oralmente, de geração para geração, por milênios, podendo ter sido registrados 
em tempos bastante distintos dos que foram produzidos.
Os principais textos acerca da antiga matemática chinesa são os Chiu chang 
suan shu, ou Nove Capítulos da Arte Matemática e o Chou Pei Suang Ching, que 
datam, na sua forma atual, da época da dinastia Han (206 a.C. – 220 d.C.), mas, 
pelas razões anteriormente expostas, devem conter material bem mais antigo.
Os Nove Capítulos são inteiramente dedicados à matemática chinesa e tra-
tam de cálculo aritmético, raiz cúbica, sistemas de equações utilizando matrizes 
e números negativos, que aparecem pela primeira vez na história apresen-
tando, enfim, as características gerais da Matemática chinesa que perduraram 
por milhares de anos.
A exemplo dos escritos matemáticos do Egito e da Babilônia, a Matemática 
dos Nove Capítulos é apresentada mediante problemas, com as regras gerais para 
a sua solução. Estas soluções apresentam características de cálculo aritmético e 
levam a equações algébricas com coeficientes numéricos, das quais se obtinham 
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raízes quadradas e cúbicas. As equações lineares são resolvidas mediante o recurso 
da falsa posição e alguns problemas conduzem a sistemas de equações lineares 
escritos na forma de matriz de coeficientes com a solução encontrada por um 
processo semelhante ao de transformações de matrizes. São nessas matrizes que 
aparecem, pela primeira vez, números negativos.
A ideia de números negativos parece não ter causado muitas dificulda-
des aos chineses, pois estavam acostumados a calcular com duas cole-
ções de barras – uma vermelha para os coeficientes positivos ou núme-
ros e uma preta para os negativos. No entanto, não aceitavam a ideia 
de um número negativo poder ser solução de uma equação (BOYER, 
1974, p.147).
O número π, parâmetro utilizado por muitos autores para avaliar