Livro - Historia e Filosofia das Ciências e da Matemática

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HISTÓRIA E FILOSOFIA DAS 
CIÊNCIAS E DA MATEMÁTICA
Guilherme Augusto Pianezzer
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Este livro foi criado com o objetivo de aprofundar seus conhecimentos acer-
ca da construção do conhecimento científico-matemático, fornecendo aporte 
teórico para que você possa entender a Matemática como uma ciência em 
processo contínuo de criação e desenvolvimento, além de compreender como 
essa visão pode ser introduzida em sala de aula.
As reflexões apresentadas neste livro compreendem o estudo da história da 
Matemática como elemento articulador do processo de ensino-aprendizagem 
da Matemática, assim como a análise da construção do conhecimento cientí-
fico-matemático. São abordados os temas fundamentais e os grandes nomes 
de cada época e é feita uma discussão acerca da Matemática presente nas 
diversas culturas, inclusive na cultura afro-brasileira e indígena. 
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6303-1
9 788538 763031
CAPA_História e filosofia das ciências e da matemática.indd 1 23/06/2017 09:59:26
Guilherme Augusto Pianezzer
IESDE BRASIL S/A
Curitiba
2017
Hist ria e Filosofia 
das Ciências e da 
Matemática
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
P643h Pianezzer, Guilherme Augusto
História e filosofia das ciências e da matemática / Guilherme 
Augusto Pianezzer. - 1. ed. - Curitiba, PR : IESDE Brasil, 2017.
160 p.: il. ; 21 cm.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6303-1
1. Matemática. I. Título.
17-42449 CDD: 510
CDU: 51
Direitos desta edição reservados à Fael.
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© 2017 – IESDE Brasil S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer 
processo, sem autorização por escrito do autor e do detentor dos direitos autorais.
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
Produção
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão IESDE
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Capa Vitor Bernardo Backes Lopes
Imagem Capa aqsandrew/Shutterstock.com
Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim
Sumário
 Carta ao aluno | 5
1. Origens da matemática: A pré-história da matemática | 7
2. A matemática babilônica, egípcia e grega | 25
3. Grandes povos, grandes avanços | 45
4. Grandes revoluções na matemática | 61
5. Ramificações do século XX | 77
6. Etnomatemática e a matemática presente 
nas diversas culturas | 93
7. História da matemática em sala de aula | 109
8. Integrando à matemática a educação ambiental | 125
 Gabarito | 143
 Referências | 149
Carta ao aluno
Este livro foi criado com o objetivo de aprofundar o entendi-
mento acerca da construção do conhecimento científico-matemático, 
fornecendo aporte teórico para que você possa compreender a mate-
mática como uma ciência em processo contínuo de criação e desen-
volvimento, além de reconhecer como essa visão pode ser introduzida 
em sala de aula.
As reflexões apresentadas nesta obra abrangem: o estudo da 
história da matemática como elemento articulador do processo de ensi-
no-aprendizagem da área; a análise da construção do conhecimento 
científico-matemático; os temas fundamentais da matemática e os 
grandes nomes de cada época; a discussão sobre a matemática presente 
nas diversas culturas, inclusive nas culturas afro-brasileira e indígena; 
o estudo da matemática presente na natureza, além de atividades que 
possibilitam ao futuro professor a interação entre a teoria e a prática.
– 6 –
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
Os conteúdos estão estruturados em oito capítulos. O primeiros deles, 
“Origens da matemática: a pré-história da matemática”, discute conceitos 
acerca do desenvolvimento do senso numérico e geométrico, da evolução 
dos processos de contagem e da emergência da escrita. “A matemática babi-
lônica, egípcia e grega” apresenta os primórdios da aritmética e da geome-
tria, enquanto “Grandes povos, grandes avanços” analisa as principais con-
tribuições de matemáticos gregos, árabes e europeus. “Grandes revoluções 
na matemática” reflete sobre as bases históricas da fundação da geometria 
analítica e do cálculo diferencial e integral, ao passo que “Ramificações do 
século XX” apresenta como a matemática se estruturou nas grandes áreas: 
matemática aplicada, matemática pura e educação matemática. Por sua vez, 
“Etnomatemática e a matemática presente nas diversas culturas” discute 
a importância do uso da história da matemática na escola e “História da 
matemática em sala de aula” reflete sobre a história da matemática como 
elemento curricular e instrumento para a interdisciplinaridade. Por fim, 
“Integrando à matemática a educação ambiental” discute os fundamentos 
teóricos para a abordagem da educação ambiental em sala de aula com o uso 
da modelagem matemática.
Boa leitura!
Origens da matemática: 
A pré-história da 
matemática
A matemática só foi formalizada muitos anos depois dos pri-
mórdios da ação humana sobre a Terra. Antes dessa formalização, 
o ser humano desenvolveu, lentamente, um senso numérico e uma 
percepção sobre o mundo que o cerca.
A primeira parte deste capítulo tem como objetivo funda-
mentar e discutir alguns dos resquícios do pensamento matemático 
dos períodos Paleolítico e Neolítico. Tais resquícios permitem com-
preender como a matemática se originou graças a uma necessidade 
que os seres humanos possuíam.
A segunda parte discute o que é e quais são as limitações 
do senso numérico, diferenciando-o do processo de contagem. 
Evidências dos sistemas de contagem assumidos por diversas socie-
dades indicam que elas sofreram forte influência do senso numérico 
de cada época. A terceira parte do capítulo explica como aconteceu 
o processo de contagem e qual a necessidade que levou o homem a 
desenvolver o processo de escrita.
1
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 8 –
1.1 Matemática paleolítica
A Pré-História é definida como a era que antecede a invenção da escrita e 
é dividida em dois períodos: o período Paleolítico e o período Neolítico. Essa 
divisão se trata de uma proposta conceitual que deve ser contextualizada para 
cada povo, visto que algumas culturas persistiram em determinadas eras, em 
algumas partes do mundo, até o século XX. Um dado que exemplifica esse 
fenômeno é o fato de que quando os conquistadores europeus navegaram 
até o sul da África, Austrália e às Américas, durante os séculos XVI e XVII, a 
maior parte dos povos encontrados claramente ainda não haviam desenvol-
vido a escrita e, portanto, poderiam ser considerados pré-históricos.
O Paleolítico, também conhecido como “Idade da Pedra Lascada”, foi o 
primeiro período da era pré-histórica e aconteceu há aproximadamente 2,5 
milhões de anos. Durante esse período, os povos eram nômades caçadores-co-
letores, ou seja, migravam com o objetivo de conseguir seu alimento. Naquela 
época, o ser humano pouco alterava, ou ainda não alterava, o ambiente à sua 
volta, principalmente adaptando-se a ele. No século XX, alguns caçadores 
descobriram uma tribo chamada Tasadays, que vivia no interior das florestas, 
em uma das ilhas do arquipélago das Filipinas, de maneira nômade, caçando 
animais e colhendo frutas e castanhas, o que faz com que possa ser classificada 
como um povo do período Paleolítico.
Já o fim do período Paleolítico e o início do Neolítico, também conhe-
cido como “Idade da Pedra Polida”, é determinado pela fixação dos povos 
por meio do desenvolvimento da agricultura, ou seja, pela Revolução agrária.
As duas características principais do modo de vida dos povos paleolíticos 
eram a capacidade de se adaptar ao ambiente selvagem e o fato de que cada 
integrante do grupo era capaz de sobreviver independentementedas outras 
pessoas presentes no grupo. Assim sendo, não existiam especialistas dentro do 
grupo, com funções bem definidas.
As ferramentas criadas na Idade da Pedra Lascada eram construídas uti-
lizando-se pedras pontudas, que eram esfregadas no chão até que a ponta 
ficasse suficientemente fina e fosse capaz de perfurar ou cortar algum animal 
para que pudessem servir de alimento, como demonstra a figura 1. Com essa 
– 9 –
Origens da matemática: A pré-história da matemática
mesma técnica, também se transformava materiais como ossos e madeira em 
armas para a caça.
Figura 1 – Machado de mão em forma triangular.
O modo de vida de um caçador-coletor exigia apenas um conhecimento 
mínimo de Matemática. O pensamento matemático nessas sociedades era 
subdesenvolvido, não por falta de capacidade intelectual, tempo ou, ainda, 
interesse em atividades intelectuais, mas sim por falta de utilidade diária da 
matemática (DENNY, 1981). A obrigação de contar somente surge quando é 
necessário conhecer um número grande de objetos que não sejam facilmente 
distinguíveis, conforme explica Almeida (2009):
Os números nascem quando há necessidade de contar, enumerar 
coisas. Essa necessidade só surge quando precisamos apreender um 
número relativamente grande de coisas cuja identidade individual 
não seja evidente. Isso não é comum para um caçador-coletor, pois 
todos seus artefatos são de sua lavra, conhece-os um a um. Se ele 
dispõe de uma coleção de facas, conhece-as individualmente, pela 
sua forma, tamanho e uso especializado, não necessita de contá-las. 
Fabricou cada uma de suas pontas de lança, cada um de seus cestos, 
cada uma de suas flechas. Números pequenos são suficientes para as 
necessidades de tais sociedades, seja para contar o número de peixes 
da mesma espécie capturados, ou o número de pássaros da mesma 
espécie flechados, ou ainda o número de canoas de visitantes. Apenas 
em sociedades industrializadas há a necessidade de se contar milhares 
ou milhões de itens iguais. (ALMEIDA, 2009, p. 117, grifos nossos)
Além da falta de necessidade de contar grandes quantidades, também 
eram raras as ocasiões em que era preciso determinar a quantidade de um 
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 10 –
conjunto de objetos ou, ainda, a ausência deles. Dessa forma, a necessidade 
da execução de operações aritméticas era rara.
Alguns povos, como os Lakotas, da tribo Sioux, tinham calendários com 
imagens e registravam várias décadas da história. Esses calendários descre-
viam um evento importante que caracterizava o ano por meio de apenas uma 
imagem, desenhada em uma superfície plana, como mostra a figura 2. Para 
determinar o fim de um ano e o início de outro, o desenho dessa imagem era 
feito quando nevasse pela primeira vez durante o inverno, por isso era cha-
mado de contagem de inverno.
Figura 2– Calendário de Sioux. Lakota winter counts. 270 x 196 cm. Pele 
de búfalo. Museu Nacional de História Natural do Instituto Smithsoniano, 
Washington D.C.
Fonte: SMITHSONIAN INSTITUTE, 2017.
Durante o período Paleolítico, o homem primitivo já distinguia “um” 
e “muitos”, e tal fato originou a diferenciação entre o singular e o plural nas 
línguas. O ser humano tem como capacidade inata a habilidade de lidar com 
quantidades, também conhecida como senso numérico, como veremos mais 
detalhadamente a seguir.
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Origens da matemática: A pré-história da matemática
1.2 Senso numérico
O senso numérico pode ser definido como a compreensão intuitiva de 
números, sua magnitude, seus relacionamentos e como eles são afetados por 
operações. O senso numérico permite reconhecer se alguma coisa mudou em 
um pequeno conjunto quando, sem o conhecimento direto da alteração, um 
objeto foi adicionado ou retirado. Deve-se tomar cuidado para não confun-
dir senso numérico com a habilidade de contar, visto que contar envolve um 
processo mental bastante complexo.
Para exemplificar o senso numérico, Dantzig (1970) narra em seu livro 
uma história, que resumimos a seguir. Um soberano desejava apanhar um 
corvo que havia feito um ninho em uma das torres de seu castelo. O corvo 
abandonava seu ninho sempre que alguém se aproximava da torre e não retor-
nava até que essa pessoa fosse embora. O soberano tentou enganar o corvo: 
mandou 2 homens entrarem na torre; enquanto 1 deveria permanecer na 
torre, o outro deveria ir embora. O pássaro, no entanto, não foi enganado. 
Continuou afastado até que ambos os homens saíssem da torre. O soberano, 
no outro dia, mandou que os homens continuassem tentando pegar o corvo. 
No segundo dia, o soberano enviou 3 homens; 1 deveria esperar na torre 
enquanto os outros 2 deveriam se afastar. O corvo continuou afastado da 
torre, esperando até que todos fossem embora. No terceiro dia, o soberano 
mandou 4 homens para a torre. O corvo novamente não foi enganado. Apenas 
no quarto dia, quando foram enviados 5 homens, o corvo foi enganado, pois 
foi incapaz de distinguir entre 4 e 5.
Apesar de o corvo não dispor de palavras para os números nem da habi-
lidade de contar, tinha a habilidade de, apenas observando, distinguir entre a 
quantidade de homens que entravam e saíam da torre. Dessa forma, é possível 
concluir que o senso numérico é independente da língua e está presente em 
diversas espécies de animais. Entre as espécies em que isso foi observado, temos: 
homens, insetos, aves, primatas, ratos, golfinhos e até mesmo salamandras.
Durante a Segunda Guerra Mundial, o professor Koehler (1956) rea-
lizou uma série de experimentos, procurando estabelecer o senso numérico 
dos pássaros. Esses experimentos, que eram cientificamente controlados e 
sem a presença de humanos, foram filmados. Durante essa pesquisa o pro-
fessor demonstrou que pássaros aprendem os números quando apresentados 
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
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simultaneamente ou quando apresentados em sequência. Para Koehler 
(1956), eles aprendiam a pensar em números sem nome. Infelizmente, os 
filmes foram em sua maioria destruídos durante a guerra.
Os pássaros de uma mesma espécie mostram uma mesma habilidade de 
compreender as quantidades, sejam eles apresentados de forma simultânea 
ou sucessiva, porém o senso numérico se difere entre as espécies. São raros os 
casos de espécies de animais que também possuem senso numérico, e é neces-
sário destacar que nenhum animal domesticado o possui.
No início do século XX, tornou-se famoso o caso de um cavalo conhecido 
como Hans Esperto. Além de contar, Hans conseguia resolver problemas aritmé-
ticos simples. Batia a pata no chão o número de vezes que representava a resposta 
correta de um problema, inclusive quando seu treinador não estava presente.
Figura 3 – Wilhelm von Osten e seu cavalo, Hans Esperto.
Fonte: Karl Krall/Wikimedia Commons, 2017.
Uma comissão, liderada por Carl Sumpf, estudou se Hans era realmente 
capaz de contar. Essa comissão demonstrou que o cavalo na realidade respon-
dia à linguagem corporal de seu treinador e era capaz de detectar a tensão do 
público quando a resposta certa era dada. Da mesma forma que Hans, um 
cachorro que late certa quantidade de vezes para indicar um número foi ades-
trado para latir até que seu dono dê certo sinal. Na maioria dos casos, esses 
– 13 –
Origens da matemática: A pré-história da matemática
animais não são capazes de acertar a resposta se seus treinadores estiverem 
longe deles.
Em seres humanos, admite-se que o senso numérico está presente desde 
as épocas mais remotas, nas quais essa percepção dificilmente ia além do 
número 5, independentemente de suas origens. Com a evolução das socieda-
des, tornou-se inevitável a necessidade de contar, já que as tribos precisavam 
saber quantos eram seus membros ou o tamanho de seu rebanho.
Piaget e Inhelder (1975) fizeram uma distinção entre os números e 
os números perceptuais. Segundo os autores, os números perceptuais são 
números pequenos que podem ser distinguidos apenas utilizando o senso 
numérico, sem exigirem umaestruturação lógico-matemática. Os outros 
números, maiores que 4 ou 5, são chamados de elementares.
Ao nascer, o cérebro de um bebê seria como uma página em branco, sem 
qualquer conhecimento conceitual e, assim, o conceito de número deveria 
ser construído por meio de interações com o ambiente. Portanto, as crian-
ças nasceriam sem qualquer ideia sobre aritmética. Entretanto, no fim do 
século XX foi comprovado experimentalmente que essa percepção sobre os 
bebês está errada (ALMEIDA, 2009). Já nas primeiras experiências, em 1980, 
na Universidade da Pensilvânia, foi comprovado que bebês de seis meses de 
idade eram capazes de empregar certos aspectos do conceito de número. 
Mostrou-se, também por meio de experimentos, que bebês com idade entre 
16 e 30 semanas são capazes de discriminar entre os números 2 e 3. Pouco 
tempo depois, na Universidade de Maryland, apresentou-se que mesmo 
recém-nascidos com apenas poucos dias de vida são capazes de discernir entre 
os números 2 e 3. Já em 1992, foi publicado na revista Nature (ALMEIDA, 
2009) um estudo mostrando que bebês de 4 e 5 meses de idade sabem fazer 
operações simples. Apesar disso, nunca um grupo de bebês com menos de 1 
ano de idade foi capaz de diferenciar 4, 5 ou mais objetos.
Outra abordagem busca definir se crianças e outros primatas possuem um 
entendimento sobre a ordenação (ALMEIDA, 2009). Ou seja, se eles são capa-
zes de definir que 1 < 2, 2 < 3, 3 < 4, e assim sucessivamente. É natural esse 
questionamento, já que com a aptidão de fazer operações aritméticas simples, 
eles também deveriam compreender como esses números estão organizados.
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
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Em 2002, foi realizado um experimento com bebês de 10 e 12 meses de 
idade (ALMEIDA, 2009). Os bebês eram colocados a um metro de distância 
de dois recipientes que continham números diferentes de guloseimas e, então, 
eram liberados para escolher um dos potes, da seguinte maneira:
Figura 4 – Experimento: potes com doces
Situação 1:
Pote 1 – 1 doce Pote 2 – 2 doces
Situação 2:
Pote 1 – 2 doces Pote 2 – 3 doces
Situação 3:
Pote 1 – 3 doces Pote 2 – 4 doces
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Origens da matemática: A pré-história da matemática
Situação 4:
Pote 1 – 4 doces Pote 2 – 6 doces
Fonte: KsushaArt; mirrima/iStockphoto.
Foi observado que os bebês escolhiam o recipiente com mais doces 
quando confrontados com as situações 1 e 2, mas não nas situações 3 e 4. 
Dessa maneira comprovou-se que crianças dessa faixa etária são capazes de 
estabelecer uma relação de ordem entre dois números ao procurarem pelo 
recipiente com mais elementos.
Anteriormente, em 2000, experimento similar foi realizado com o 
macaco rhesus adulto. Foram utilizados recipientes com as quantidades das 
situações 1, 2 e 3, além de recipientes contendo: 4 e 5 unidades; 4 e 6 unida-
des; 4 e 8 unidades; e 3 e 8 unidades. Os macacos demonstraram habilidades 
parecidas às das crianças pequenas, pois escolheram os potes com maiores 
quantidades nas primeiras quatro situações, mas não nas demais. Portanto, 
assim como os bebês humanos, os macacos rhesus também possuem uma 
habilidade inata de ordenação de pequenas quantidades.
Por meio de experimentos, surgiu o questionamento sobre a diferença 
entre a matemática animal e a matemática humana, afinal, ambas são utili-
zadas com o mesmo objetivo: sobreviver para transmitir seus genes às futu-
ras gerações. D’Ambrosio (1993) responde a esse questionamento em seu 
livro: “A Matemática, como conhecimento em geral, é a resposta às pulsões 
de sobrevivência e de transcendência, que sintetizam a questão existencial da 
espécie humana” (D’AMBROSIO, 1993).
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
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Segundo D’Ambrosio (1993), a diferença primordial entre as matemáticas 
animal e humana reside no fato de que, assim que satisfeita a necessidade de 
sobrevivência, o ser humano busca explicações sobre o mundo ao seu redor.
1.3 A evolução dos processos de 
contagem e o surgimento da escrita
O mais antigo instrumento matemático encontrado até hoje é a fíbula1 de 
um babuíno com 29 entalhes que era utilizada como um instrumento de medi-
ção de ciclos lunares: o osso de Lebombo. Esse osso foi encontrado nos Montes 
Libombos, na Suazilândia, um pequeno país africano localizado ao norte da 
África do Sul, e é datado de aproximadamente 35.000 anos a.C (ALMEIDA, 
2009). A aparência desse artefato lembra os bastões-calendário utilizados ainda 
hoje por alguns clãs de bosquímanos2 da Namíbia. Acredita-se que exista uma 
ligação entre o osso e a medição do ciclo menstrual das mulheres, já que o osso 
era utilizado para medir ciclos lunares.
Em 1960, o belga Jean de Heinzelin de Braucort encontrou outro artefato 
do período Paleolítico que merece destaque: o osso de Ishango. Encontrado 
no local conhecido como Congo Belga, o osso de Ishango (Figura 5) foi des-
coberto no lago Eduardo, que fica atualmente na fronteira da Uganda e da 
República Democrática do Congo, perto da região onde o rio Nilo nasce. 
Trata-se da fíbula de um babuíno, com um pedaço de quartzo afiado incrus-
tado em uma das pontas. As inscrições dos ossos são claramente separadas em 
aglomerados de marcas que representam várias quantidades.
No osso de Ishango existem três colunas bem definidas. A coluna 
central começa com 3 traços e depois tem entalhado outros 6 traços. O 
mesmo processo é repetido com o 4, que se duplica a 8 traços. Em seguida 
o processo é invertido, utilizando 10 traços como valor inicial, que, então 
é dividido pela metade, resultando assim em 5 traços. Esses números não 
parecem ser arbitrários, mas sim um indício de cálculos de multiplicação e 
divisão por 2. Nas colunas da esquerda e da direita, todos os números são 
ímpares. Na coluna da esquerda, foram riscados apenas números primos 
1 Osso longo e fino que forma, com a tíbia, o esqueleto da perna.
2 Indivíduos pertencentes ao povo dos boxímanes, nativos do Sudoeste da África.
– 17 –
Origens da matemática: A pré-história da matemática
compreendidos entre 10 e 20. Na coluna da direita são apresentados núme-
ros adicionados e subtraídos (ALMEIDA, 2009).
Figura 5 – Osso de Ishango.
Esses artefatos ajudam a sustentar a teoria de que a maneira mais antiga 
de contar baseava-se em algum método de registro simples de comparação 
entre dois conjuntos. Para contar podia-se dobrar um dedo ou, ainda, uti-
lizar os nós em uma corda, ou as ranhuras em um osso, para cada objeto 
pertencente ao conjunto. Posteriormente, foi desenvolvido um conjunto de 
sons vocais para a comunicação verbal do número de objetos de um grupo 
pequeno. Inicialmente eram utilizados sons diferentes para contar a mesma 
quantidade de objetos diferentes.
Para Piaget (1975), uma criança domina os números em etapas indepen-
dentes do aprendizado, começando com os números de 1 a 7. Em seguida, 
domina os números de 8 a 15 e, em uma etapa seguinte, domina do 16 
até o 30, até que finalmente obtém controle sobre todo o sistema. Contar 
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 18 –
os objetos de um conjunto é uma habilidade cognitiva básica, a qual não 
compreende operações sobre os números. Compreender o relacionamento 
entre a lógica de adição, subtração, multiplicação e divisão é somente obtida, 
segundo Piaget, quando a criança atinge o nível operatório.
É possível que por meio da manipulação física de objetos, como pedri-
nhas, por exemplo, uma criança possa efetuar multiplicações antes do está-
gio operatório, porém ela o faz mecanicamente e não compreende de forma 
integral o que está realmente fazendo. Assim como ocorre com as crianças, 
nas tribos primitivas toda atividade matemática está ligada a situações físicas.
Estudos do fim do século XX demonstram que não existem sociedades 
que não tenham alguma familiaridade com o conceito de número, mesmo 
que esse conceito seja limitado e não se estenda além dos números 1, 1 e 2 
ou 1, 2 e 3 (ALMEIDA, 2009). Apesar de parecer inconcebível que possamexistir seres humanos incapazes de contar para além do 2, existem algumas 
poucas línguas que não contém nenhuma palavra para descrever numerais 
puros. É o caso dos tacanas, grupo étnico que vivia na Bolívia antes da che-
gada dos espanhóis e utilizam palavras emprestadas da língua espanhola ou 
do aymara e do peno para representar números.
O mesmo acontece com os chiquitos, também na Bolívia, que não pos-
suem qualquer numeral e que, para expressar o conceito de um, utilizam a pala-
vra etama, que significa sozinho. Já os falantes da língua canela, no Brasil, não 
possuem termos numéricos específicos, limitando-se apenas a expressões gerais 
como só, um par, alguns e muitos. Nota-se que, mesmo nessas línguas, o senso de 
número é expressado de alguma maneira pela diferenciação entre um e muitos.
Há evidências de que foram utilizados os números 2, 3 e 4 como bases 
primitivas. Os nativos de Queensland contam “um, dois, dois e um, dois 
e dois, muito” ou alguns pigmeus africanos que contam “a, ao, ua, oa-oa, 
oa-oa-a e oa-oa-ao” para 1, 2, 3, 4, 5 e 6 respectivamente. Entretanto, como 
as mãos humanas contém 10 dedos, frequentemente escolhe-se o número 10 
como base.
Considerem-se, por exemplo, as palavras-números atuais da língua 
inglesa, formadas tomando-se 10 como base. Há os nomes espe-
ciais one (um), two (dois),...,ten (dez) para os números 1, 2, ..., 10. 
Quando se chega a 11 a palavra usada é eleven, que, segundo os 
– 19 –
Origens da matemática: A pré-história da matemática
filólogos, deriva de einlifon, cujo significado é “um acima de dez”. 
Analogamente, twelve (doze), provém de twelif (“dois acima de dez”). 
Depois se tem thirteen (“três e dez”) para 13, fourteen (“quatro e dez”) 
para 14, até nineteen (“nove e dez”) para 19. (EVES, 2004, p. 27)
Outro sistema usado extensivamente foi o quinário, que utiliza como 
base o 5. Até hoje algumas tribos da América do Sul utilizam suas mãos para 
contar: “um, dois, três, quatro, mão, mão e um...” sucessivamente. O sistema 
sexagesimal (base 60) foi utilizado pelos povos babilônicos e ainda é utili-
zado para medida de tempo e ângulos em minutos e segundos.
A utilização de bases mistas é rara, como a que existe entre os Yukaghirs, 
na Sibéria. Os Yukaghirs contam da seguinte maneira: “um, dois, três, três e 
um, cinco, dois três, um mais, dois quartos, dez faltando um, dez”. É impor-
tante destacar que apesar de ser uma sociedade que possui um sistema verbal 
extenso de números, somente isso não garante que possua o conceito opera-
cional de número. Destaca-se que provavelmente as sociedades primitivas não 
precisavam do uso de frações. Para se distribuir 20 peixes entre 5 pessoas, 1/5 de 
20, é possível obter o resultado colocando-se 5 montes com 4 peixes cada um.
A professora Denise Schmandt-Desserat (ALMEIDA, 2009) acre-
dita que a evolução dos processos de contagem aconteceu em três estágios: 
1. contagem sem números; 2. contagem concreta; 3. contagem abstrata. A 
contagem sem números acontece quando se entende que existe uma corres-
pondência um-a-um entre o grupo de objetos a ser contado e um conjunto de 
objetos contadores. Por exemplo, os Veddas, no Siri-Lanka, somente utilizam 
palavras gerais para lidar com números (um único, um par, um outro e muitos). 
Se essa tribo deseja contar cocos, reúnem seixos (pedras pequenas arredon-
dadas). Para cada coco, empilham um seixo e, quando terminam, mostram a 
pilha de seixos: “aqueles muitos”. Se no futuro precisarem verificar a integri-
dade da pilha de cocos, podem compará-la novamente com a pilha de seixos.
Já outros povos, como os paiela, na Nova Guiné, utilizam um processo 
conhecido como contagem corporal. Nesse sistema é estabelecida uma corres-
pondência um-a-um entre parte do corpo e os objetos a serem contados. Esse 
sistema de contagem, já apresentado anteriormente, era difundido entre os 
povos caçadores-coletores do Paleolítico e utiliza os dedos da mão, dos pés ou 
até mesmo outras partes do corpo. Esses povos sabem que se tocarem em uma 
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 20 –
determinada ordem em partes de seu corpo, essas partes podem corresponder 
a tantos objetos, homens ou animais quantos pontos existirem na sequência, 
numa ideia de associação própria do sistema de contagem. Outra possibili-
dade é a utilização de artefatos parecidos com o osso de Lebombo ou o osso 
de Ishango.
Entretanto, alguns povos contam de forma concreta. Esses povos empre-
gam diferentes conjuntos de números para contar diferentes tipos de obje-
tos. Os Gilyaks, na Rússia, possuem vinte e quatro conjuntos de números. 
Para a contagem de folhas, panos ou outros itens planos, empregam met para 
o número 2, enquanto para coisas compridas utilizam mex para o mesmo 
número. Para objetos redondos, mik equivale a 2. As sequências numéricas 
dificilmente são maiores que 20 e, portanto, não permitem a contagem de 
grandes quantidades.
Por fim, a Schmandt-Beserat apresenta que a contagem abstrata é aquela 
em que a contagem é abstraída da natureza dos objetos contados. Isto é, cada 
número é abstrato e expresso por uma palavra, que, independentemente de 
qual objeto está sendo contado, permanece a mesma.
A escrita nos povos egípcios surgiu aproximadamente em 3.000 a.C., e 
estes utilizavam numerais hieroglíficos que não nos fornecem pistas se houve 
um estágio de evolução concreta antes da invenção de sua escrita. Assim 
como em nosso sistema de numeração, utilizavam como base o número 10 
(ver figura 6). Cada símbolo possuía um nome próprio, sendo 1 (bastão), 
10 (calcanhar), 100 (corda enrolada), 1.000 (flor de lótus), 10.000 (dedo do 
faraó), 100.000 (peixe), 10.000.00 (homem).
Figura 6 – Hieróglifos de numerais egípcios.
Fonte: JOC, 2000.
– 21 –
Origens da matemática: A pré-história da matemática
Como exemplo do sistema de numeração e representação numérica egíp-
cia, vejamos como era representado os números 276 e 4.622. Para representar 
o número 276, por exemplo, 15 símbolos são utilizados: 2 cordas enroladas, 
7 símbolos de calcanhares e 6 bastões, como mostra a figura 7.
Figura 7 – Representação dos números 276 e 4.622.
276 4.622
Fonte: JOC, 2000.
Destaca-se que ambos os números 276 e 4.622 foram hieróglifos escul-
pidos em pedra no templo de Karnak e, hoje, estão em exposição no museu 
do Louvre, em Paris.
A base de toda a matemática se seguiu do processo de escrita, como será 
discutido nos próximos capítulos.
Ampliando seus conhecimentos
Recomendamos como leitura complementar a dissertação de 
mestrado de Cleomar Luiz da Costa, intitulada A história da 
matemática como recurso ao ensino-aprendizagem. O traba-
lho é interessante, pois discorre sobre os conceitos e conhe-
cimentos tratados neste capítulo e aprofunda-os ao tratá-los 
como objeto de ensino da Matemática em sala de aula.
Transcrevemos um trecho a seguir.
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 22 –
A história da matemática como recurso ao 
ensino-aprendizagem
(COSTA, 2016, p. 16-18)
A afirmação de que a Matemática é “uma ciência do número e 
grandeza” já não encontra mais adeptos desde as últimas déca-
das do final do século passado, registra Boyer (2002, p. 1).
A Matemática vai além desses aspectos e sofre mutações 
conforme as necessidades sociais dos indivíduos, de acordo 
com Rosa Neto (1988), pois se desenvolve e evolui. Saito 
e Dias (2013) ratificam essa ideia quando afirmam “que o 
conhecimento matemático afigurou-se de forma diferenciada 
em determinados momentos da história, atendendo a uma 
necessidade não só interna, como, também, a uma demanda 
extramatemática.”
Essas assertivas se confirmam por meio da História da 
Matemática que atesta que o homem, no período Paleolítico 
inferior, vivia apenas de caça e utilizava paus e pedras para 
essa atividade. Àquela época, noções de mais, menos, 
menor, maior, perto, longe, comprido, curto, fino e grosso 
eram o bastante para sua sobrevivência.
Devlin (2010) afirma que essa evolução social mudou o signifi-cado de Matemática no decorrer do tempo: até 500 a.C. era 
algo relacionado a números; entre 500 a.C e 300 d.C., se 
expandiu e os matemáticos gregos preocupavam-se mais com 
a geometria resultando na Matemática de números e formas.
Nos dias atuais, a Matemática conta com cerca de 60 a 70 
categorias distintas, além dos dois conteúdos adquiridos até 
300 d.C., e “alguns assuntos como álgebra ou topologia, se 
– 23 –
Origens da matemática: A pré-história da matemática
dividiram em subáreas; outros, como a teoria da complexidade 
ou a teoria dos sistemas dinâmicos, são inteiramente novos” 
(DEVLIN, 2010, p. 25).
Roque (2013 p. 6) afirma que “a História da Matemática 
pode perfeitamente tirar do esconderijo os problemas que 
constituem o campo de experiência do matemático, ou seja, o 
lado concreto do seu fazer, a fim de que possamos entender 
melhor o sentido de seus conceitos.”
Ao utilizar a História da Matemática como recurso ao pro-
cesso de ensino e aprendizagem o professor demonstra as 
“necessidades e preocupações de diferentes culturas, em 
diferentes momentos históricos”, estabelece “comparações 
entre os conceitos e processos matemáticos do passado e 
do presente” e “cria condições para que o aluno desenvolva 
atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento” 
(BRASIL, 1998, p. 42).
Os benefícios desse recurso vão além do exposto, uma vez 
que “conceitos abordados em conexão com sua história cons-
tituem veículos de informação cultural, sociológica e antropo-
lógica de grande valor formativo. A História da Matemática 
é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria iden-
tidade cultural” (BRASIL, 1998, p. 42). Além do mais, é 
quase impossível dissociar as raízes da Matemática com a 
própria história da humanidade, afirma D’Ambrosio (1999), 
reforçando, assim, o valor de ensinar a disciplina recorrendo a 
fundamentos históricos e suas interpretações.
[...]
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 24 –
Atividades
1. Quais eram as características da matemática no período Paleolítico?
2. Discuta sobre a capacidade de seres humanos e animais de possuir 
senso numérico.
3. Diferencie senso numérico de processo de contagem.
4. Descreva como ocorreram os primeiros processos de contagem.
A matemática babilônica, 
egípcia e grega
Após a fixação dos povos discutidos no capítulo anterior, por 
meio da revolução agrícola, grandes períodos de prosperidade e paz 
surgiram, permitindo não só o avanço econômico como também o 
cultural. Neste capítulo iremos discutir a matemática dos egípcios, 
dos mesopotâmicos e introduziremos o avanço trazido pelos gregos 
– o qual detalharemos no terceiro capítulo a partir da discussão dos 
trabalhos de Euclides, em seu livro Os elementos.
Caracterizaremos, em um primeiro momento, o período do 
Antigo Egito e sua matemática, explicitando os artifícios utilizados 
por esse povo para realizar operações de multiplicação e divisão sem 
o uso de calculadoras, além de sua contribuição com outros campos 
da matemática. Em um segundo momento, iremos refletir sobre 
a matemática mesopotâmica, com a inclusão da base sexagesimal, 
utilizada até hoje para contagem do tempo. Discutiremos também 
o uso da notação posicional, ainda usada para representar núme-
ros maiores que a base utilizada, e as contribuições no campo da 
2
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 26 –
geometria. Finalizaremos apresentando o início do desenvolvimento do povo 
grego até o final do período Helênico, verificando nomes importantes dessa 
época, como Tales de Mileto, Pitágoras, Eudoxo, Platão e outros.
2.1 Matemática egípcia: primórdios 
da aritmética e da geometria
Durante o período Paleolítico, o clima no Egito, assim como em todo o 
Saara, sofria diversas variações. Essa variação causou épocas de extrema seca e 
desertificação, ao contrário de outros períodos, em que havia um clima favo-
rável e úmido. Nas fases úmidas, o Saara era dominado por uma savana rica 
tanto em fauna quanto em flora. Assim, a caça teria sido muito importante 
para esses povos, já que fornecia carne para o consumo (SALIMA, 1992).
No fim do período Paleolítico, o clima árido do Norte da África se 
tornou mais seco e quente. Essa mudança forçou as populações da região 
a se concentrarem ao longo do vale do Nilo. Essa região bastante fértil deu 
a possibilidade de desenvolvimento de uma economia agrícola e sedentária, 
formando-se assim um complexo de civilizações chamadas de civilização do 
Vale do Nilo. Essas pequenas comunidades, em 5.500 a.C. já tinham um 
amplo domínio da agricultura, pecuária, cerâmica, assim como um comércio 
primitivo. Entre 3.800 e 3.200 a.C. existia um comércio intenso na região e 
importava-se do Oriente Médio, da região conhecida como Alto Egito, e do 
Deserto Oriental. Exportavam-se cereais, conchas e cerâmica para o Oriente 
e, para o Alto Egito, cobre, basalto e sílex. No fim desse período também se 
verificou o surgimento dos primeiros cemitérios. A escrita dos povos egípcios, 
os hieróglifos, surgiu por volta do ano 3000 a.C. (TRIGGER, 1983), finali-
zando assim o período pré-histórico da região.
A história do Antigo Egito se desenvolveu durante três grandes reinos mar-
cados pela estabilidade política, com avanço econômico e florescimento artístico. 
Esses três grandes reinos são separados por períodos instáveis conhecidos como 
Períodos Intermediários. Com inundações previsíveis do rio Nilo e irrigação con-
trolada do vale, eram produzidas colheitas abundantes e com excedentes.
– 27 –
A matemática babilônica, egípcia e grega
Um pouco antes do fim do período pré-histórico, em 3150 a.C. ocorreu 
a unificação dessas civilizações do Alto e Baixo Egito, sob o comando do pri-
meiro faraó. Os funcionários do Estado arrecadavam impostos, comandavam 
projetos de irrigação, recrutavam os camponeses para trabalhar em constru-
ções, exploração mineral do vale e nas regiões do deserto. Os funcionários do 
Estado também estabeleceram um sistema de justiça que mantinha a ordem 
e a paz. Devido à importância da administração centralizadora e burocrática, 
surgiram os escribas e os oficiais letrados.
O maior império Egípcio durou de 1.580 a.C. até 1.200 a.C., período 
em que os faraós foram responsáveis por campanhas militares que alargaram a 
influência desse povo. Entretanto, após esse período, o Egito foi conquistado 
por uma sucessão de potências estrangeiras e o governo dos faraós terminou 
oficialmente em 31 a.C., com o domínio do Império Romano.
Segundo relatos históricos, a necessidade de estudar e aprofundar 
conhecimentos em geometria surgiu da necessidade dos egípcios 
medirem seus terrenos, que inundavam frequentemente com as 
cheias do Rio Nilo, apagando os limites entre suas propriedades. 
(COUCEIRO, 2016, p. 15)
Foi durante esse período de paz e prosperidade que o Egito reinou, tanto 
economicamente como culturalmente, desenvolvendo uma matemática pró-
pria. Exemplo disso é que existem aproximadamente 80 pirâmides em todo 
o Egito. No deserto em Gizé, próximo ao Cairo, existem três pirâmides. A 
maior delas ficou famosa por ser uma das Sete Maravilhas do Mundo Antigo: 
A Grande Pirâmide de Gizé (figura 1), que foi construída por volta de 2.600 
a.C. envolvendo a resolução de problemas de engenharia e de matemática. A 
precisão que os egípcios possuíam era fantástica; a estrutura foi construída uti-
lizando mais de dois milhões de blocos de pedra pesando individualmente 2,5 
toneladas. Os tetos de certas câmaras foram construídos com blocos de granito 
medindo 27 pés de comprimento por 4 pés de largura e pesam 54 toneladas. 
A estrutura de toda a pirâmide cobre uma área de 526 acres. O erro relativo 
envolvendo os lados da base quadrada é menor que 1/27.000, o que mostra 
o grande avanço de engenharia, arquitetura e matemática do Período Antigo 
(EVES, 2004).
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 28 –
Figura 1 – Grande Pirâmide de Gizé.
Fonte: photoaliona/iStockphoto.
Os egípcios utilizam numeraishieroglíficos que não nos fornecem pistas 
se houve um estágio de contagem concreta antes da invenção de sua escrita, 
como foi discutido no Capítulo 1. As informações sobre o conhecimento 
matemático dos egípcios antigos foram extraídas de documentos da época: o 
Papiro de Moscou e o Papiro de Ahmes.
O Papiro de Moscou é datado aproximadamente de 850 a.C. e tem 5,5 
metros de comprimento e 8 centímetros de largura. Ele contém 25 problemas 
matemáticos gravados em escrita hierática, uma espécie de escrita taquigráfica 
para uso contábil e matemático (EVES, 2004).
O Papiro de Ahmes, também conhecido como Papiro de Rhind (Figura 2) 
por ter sido adquirido por Alexander Henry Rhind em 1858, é um documento 
de cerca de 1.650 a.C. em que um escriba de nome Ahmes descreve a solução 
de 85 problemas matemáticos.
– 29 –
A matemática babilônica, egípcia e grega
Figura 2 – Papiro de Rhind.
Entre os problemas matemáticos descritos, constam os de aritmética, 
frações, cálculo de áreas, volumes, regras de três simples, equações linea-
res, trigonometria básica, geometria e outros. Além disso, esse papiro não 
foi escrito utilizando hieróglifos convencionais, mas a escrita hierática1. 
Infelizmente o papiro foi segmentado em três livros. Os Livros I e II estão no 
Museu Britânico, enquanto o Livro III se encontra no Museu do Brooklin, 
em Nova Iorque. O Livro I é composto por 40 problemas algébricos; o II, é 
composto por 20 problemas de geometria e medições; e o Livro III contém 
1 A escrita hierática permitia aos escribas escrever rapidamente, simplificando os hieróglifos 
quando eram redigidos em papiros.
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 30 –
14 multiplicações, frações e progressões e é composto por vários fragmentos. 
No papiro de Ahmes é descrito o método de multiplicação e divisão utilizado 
pelos antigos egípcios por meio do uso de frações unitárias, assim como a 
solução para determinar a área de um círculo, o emprego da regra de falsa 
posição e a solução de muitos problemas práticos. Em ambos os papiros, 
embora a maioria dos problemas sejam de origem prática, existem alguns 
problemas de natureza teórica (EVES, 2004).
O método de multiplicação dos egípcios, apresentado no Papiro de 
Rhind, assim como no Papiro de Moscou, não precisava de uma tabela de 
multiplicação. Apenas precisava que o escriba soubesse adicionar 1, além de 
multiplicar e dividir por 2. Consistia em decompor um dos multiplicadores, 
preferencialmente o menor, em uma soma de potências de 2 e uma tabela 
com duplicações do segundo multiplicando. De forma empírica os egíp-
cios sabiam que uma potência de 2 estaria presente uma única vez em um 
número. Portanto, utilizavam o seguinte método para decompor o menor 
multiplicador: primeiro encontrava-se a maior potência de 2, presente em um 
número; em seguida subtraia-se essa potência do número a ser multiplicado. 
Do resultado dessa subtração, novamente encontrava-se a maior potência de 
2 possível e, mais uma vez, subtraia-se a maior potência no resultado da sub-
tração. Essas operações eram realizadas até que nada sobrasse. Destaca-se que 
os egípcios não conheciam o número zero (WELLS, 1987).
Por exemplo, na multiplicação de 25 por 7, inicialmente decompõe-se o 
25 em potências de 2. Para o caso do 25, obtemos a operação a seguir.
A maior potência de 2, igual ou menor a 25, é 16. Tirando 16 de 25, 
sobra 9. Nesse caso, a maior potência de 2, igual ou menor a 9, é 8. Tirando 8 
de 9, sobra 1. Nesse último caso, a maior potência de 2, igual ou menor a 1, 
é 1. Nada resta. Isso significa que 25 pode ser decomposto como uma soma 
de potências de 2: 16 + 8 + 1.
Após a decomposição do menor multiplicador, construía-se uma tabela 
com duas colunas. Na primeira coluna são apresentadas as potências de dois, 
enquanto na segunda, os dobros do outro multiplicador. No caso de 25 por 
7, obtemos a seguinte tabela.
– 31 –
A matemática babilônica, egípcia e grega
Tabela 1 – Potências de 2 e dobros do multiplicador.
1 7
2 14
4 28
8 56
16 112
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para obter o resultado de 25 multiplicado por 7, somam-se os elementos 
da segunda coluna correspondente à decomposição do 25. Nesse caso
25 = 1 + 8 + 16
25 x 7 = 7 + 56 + 112 = 175
Para multiplicar 26 por 33, decompõe-se o número 26: 16 + 8 + 2. Na 
tabela a seguir, apresenta-se na primeira coluna as potências de 2 e na segunda 
coluna, os dobros do outro multiplicador.
Tabela 2 – Potências de 2 e dobros do multiplicador.
1 33
2 66
4 132
8 264
16 528
Fonte: Elaborada pelo autor.
Somam-se os elementos da segunda coluna correspondente à decompo-
sição do 26. Nesse caso:
26 = 2 + 8 + 16
26 x 33 = 66 + 264 + 528 = 858
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 32 –
Outros problemas matemáticos aparecem no Papiro de Rhind, em espe-
cial, o problema de número 79. Esse problema é de difícil interpretação, ao 
contrário dos outros. Nele está presente apenas o seguinte conjunto de dados:
Tabela 3 – Problema de número 79.
Casas 7
Gatos 49
Ratos 343
Espigas de trigo 2.401
Hecates de grãos 16.807
Fonte: Elaborada pelo autor.
Inicialmente acredita-se que o escriba talvez estivesse introduzindo a ter-
minologia simbólica de casas, gatos, ratos, espigas de milho, hecates de grãos 
para representar a primeira, segunda potência, e assim por diante. Afinal, 
é possível reconhecer os números como as cinco primeiras potências de 7 
(EVES, 2004). Entretanto, o historiador Mortiz Cantor deu uma nova inter-
pretação para esse problema em 1907. Cantor o viu como um precursor de 
um problema bastante popular na Idade Média, presente no livro Liber Abaci, 
de Leonardo Fibonacci. Nesse livro há a seguinte descrição:
Há sete senhoras idosas na estrada de Roma. Cada senhora tem sete 
mulos; cada mulo transporta sete sacos; cada saco contém sete pães; 
com cada pão há setes facas; para cada faca há sete bainhas. Entre 
mulheres, mulos, sacos, pães, facas e bainhas, quantos estão na estrada 
de Roma? (EVES, 2004, p. 56)
Outra versão mais familiar está presente em versos infantis ingleses:
Quando ia a Santo Ivo, encontrei um homem com sete esposas. Cada 
esposa tinha sete sacos. Cada saco carregava sete gatos. Cada gato 
tinha sete gatinhos. Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, quantos esta-
vam indo para Santo Ivo? (EVES, 2004, p. 57)
Segundo a interpretação dada por Cantor (EVES, 2004), o problema 
apresentado no Papiro de Rhind poderia ser formulado da seguinte forma:
Uma relação de bens, consistia em sete casas; cada casa tinha sete 
gatos; cada gato comeu sete ratos; cada rato comeu sete espigas de 
– 33 –
A matemática babilônica, egípcia e grega
trigo; e cada espiga de trigo produzia sete hecates de grãos. Casas, 
gatos, ratos, espigas de trigo e hecates de grãos, quanto havia disso 
tudo? (EVES, 2004, p. 57)
A solução encontrada por Ahmes sugere a compreensão de séries geo-
métricas finitas.
Os papiros também apresentaram como era feita a divisão no Antigo 
Egito. Para essa operação também é construída uma tabela com duas colunas. 
A primeira coluna contém potências de 2 até o valor do dividendo, enquanto 
a segunda coluna contém múltiplos do divisor, ou seja, são múltiplos do divi-
sor, mas sempre o dobro. Somam-se os valores da segunda coluna em que os 
valores da primeira coluna estão presentes na decomposição do dividendo.
As tabelas a seguir mostram melhor o funcionamento dessa operação. A 
soma dos valores da primeira coluna dará o resultado da divisão. No caso em 
que se divide 753 por 26, constrói-se a seguinte tabela:
Tabela 4 – Potências de 2 e múltiplos do divisor.
1 26
2 52
4 104
8 208
16 416
32 832
Fonte: Elaborada pelo autor.
Decompõe-se, então, o 753 com o uso da tabela:
753 = 416 + 337
Decompõe-se o 337, e em sequência, os outros restos:
753 = 416 + 208 + 129
753 = 416 + 208 + 104 + 25
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 34 –
Como 25 não é divisível por 26, observa-se a primeira coluna dos elemen-
tos selecionados:16 + 8 +4 = 28. Portanto, a divisão de 753 por 26 é de 28 com 
resto de 25.
2.2 Matemática mesopotâmica: 
o povo babilônico
Mesopotâmia é o nome dado para a região entre os rios Tigres e o Eufrates 
e hoje corresponde à maior parte do Iraque e do Kuwait, assim como a partes 
orientais da Síria e regiões na fronteira entre Turquia e Síria e Irã e Iraque. A 
sedentarização dos povos sumérios, acádios, os antigos babilônios, assírios, 
elamitas e os neobabilônicos na região da Baixa Mesopotâmia ocorreu por 
volta de 5000 a.C. A Mesopotâmia foi um dos primeiros locais em que acon-
teceu a transição entre o Paleolítico e o Neolítico no mundo.
O surgimento das primeiras cidades ocorreu em 3.000 a.C. e está asso-
ciado ao desenvolvimento de um sistema hidráulico que possibilitava o armaze-
namento de água para ser utilizada durante as épocas mais secas. As enchentes 
causadas pelos rios Tigre e Eufrates são muito mais irregulares e drásticas se 
forem comparadas com as do Nilo. A agricultura era baseada nesse sistema 
de irrigação e eram cultivados trigo, cevada, linho, gergelim, árvore frutíferas, 
raízes e legumes.
Destaca-se que nessa região não houve uma unidade política e, dessa 
forma, entre os povos presentes sempre predominaram cidades-Estado. Cada 
cidade-Estado controlava seu próprio território e sua própria rede de irriga-
ção. Como os vestígios arqueológicos são limitados, não é possível definir 
como era a organização interna política e social nas primeiras cidades-Estado.
Entre os povos presentes na Mesopotâmia, os sumérios são conhecidos 
pelo desenvolvimento da escrita cuneiforme. Devido à falta de papiros e o 
difícil acesso a pedras de fácil entalhe, os sumérios utilizavam a argila como 
material para escrita. Eram feitas tábulas de argila úmida, que recebiam inscri-
ções feitas com um estilete de cana em formato triangular que gravava traços 
verticais, horizontais e oblíquos. Ao inclinar o estilete, era possível pressionar 
a argila com o ângulo do vértice ou com um dos ângulos da base do triângulo. 
Assim, ao ajustar a posição do estilete em relação à tábua, o escritor podia usar 
– 35 –
A matemática babilônica, egípcia e grega
uma única ferramenta para fazer uma grande quantidade de signos. Dessa 
maneira eram produzidas duas formas parecidas com cunhas, chamadas de 
cuneiformes. As tábulas então eram cozidas em um forno até que endureces-
sem e, assim, os registros tornavam-se permanentes. A datação dessas tábuas 
cuneiformes e dos hieróglifos egípcios é bastante próxima e, portanto, impede 
a determinação de qual deles foi o primeiro sistema de escrita.
As principais ciências estudadas pelos povos da Mesopotâmia foram a 
astronomia, a medicina e a matemática – sendo a astronomia principal deles. 
As torres dos templos eram utilizadas como observatórios astronômicos, e 
o conhecimento dos sacerdotes nesse campo era notável. Foram capazes de 
dividir o ano em 12 meses, os meses, em semanas de sete dias, cada dia em 24 
horas, as horas em 60 minutos, e os minutos, em 60 segundos.
Os médicos da Mesopotâmia utilizavam medicamentos à base de plantas 
e realizavam tratamentos cirúrgicos. Ao contrário de grande parte da medi-
cina dessa época, a medicina mesopotâmica não era confundida com magia 
e já se acreditava que todos os males tinham origem científica. Entretanto, 
um médico comumente trabalhava junto de um exorcista, com o objetivo 
de expulsar os demônios, e recorria aos adivinhos para diagnosticar os males.
Assim como o nosso sistema de numeração, os babilônicos utilizavam 
um sistema de numeração posicional. Entretanto, eles não tinham uma forma 
de representar o vazio, conhecido hoje como zero. Como indica Eves,
Nosso próprio sistema de numeração é um exemplo de um sistema 
de numeração posicional. Para esse sistema, depois de se escolher uma 
base b, adotam-se símbolos para 0,1,2,..., b –1. Assim, há no sistema 
b símbolos básicos, no caso de nosso sistema frequentemente cha-
mamos de dígitos. Qualquer número N pode ser escrito de maneira 
única na forma
N = anb
n + an–1b
n–1 + ... + a2b
2 + a1b + a0
Na qual 0 ≤ ai< b, i = 0,1,..., n. Por isso então representamos o 
número N na base b pela sequência de símbolos.
N = anan – 1...a2a1a0
Assim, um símbolo básico em qualquer numeral dado representa um 
múltiplo de alguma potência da base, potência essa que depende da 
posição ocupada pelo símbolo básico. (EVES, 2004, p. 59)
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 36 –
No caso de nosso sistema de numeração atual de base 10, adotam-se sím-
bolos para 0, 1, 2, ..., 9. Como tratamos anteriormente, em algum momento 
entre 3.000 e 2.000 a.C. os babilônios desenvolveram um sistema sexagesi-
mal, com base 60, mas sem o zero. Por isso ele é considerado misto, já que 
apesar de os números maiores que 60 serem escritos utilizando-se o princípio 
posicional sem um modo claro de representar o vazio, às vezes deixava-se 
um espaço vazio que tornava o número ambíguo, já que números diferentes 
poderiam ser representados da mesma maneira.
Muito processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de tábuas. De 
cerca de 400 tábuas matemáticas encontradas, aproximadamente metade 
envolviam tábuas de multiplicação, de inversos multiplicativos, quadrados e 
cubos e até mesmo tábuas exponenciais. Estas últimas provavelmente eram 
utilizadas para problemas de juros compostos. Já as tábuas de inversos deve-
riam ser utilizadas com o objetivo de reduzir problemas de divisão em pro-
blemas de multiplicação.
Já a geometria babilônica era intimamente ligada à mensuração. Existem 
diversos exemplos que nos levam à conclusão de que os babilônios estavam fami-
liarizados com as regras gerais da área do retângulo, do triângulo-retângulo, do 
triângulo isósceles, do trapézio retângulo. Existem outros exemplos que mostram 
que estavam também familiarizados com o cálculo do volume de paralelepípedos 
reto-retângulo e do volume de um prisma reto de base trapezoidal.
Nesse período era considerado que o valor de π era igual a 3. Portanto, 
os cálculos da área e circunferência de um círculo e os cálculos de volume de 
um cilindro ou de um cone estavam incorretos. Uma tábula recentemente 
traduzida mostra que eles já conheciam o teorema de Pitágoras e que os lados 
de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais (EVES, 2004).
Em torno de 2000 a.C. a aritmética babilônica já estava bem desenvol-
vida e já se resolviam equações quadráticas, tanto por substituição em uma 
fórmula geral como pelo método de completar quadrados. Também se discu-
tiam algumas cúbicas e biquadradas (EVES, 2004).
– 37 –
A matemática babilônica, egípcia e grega
2.3 Grécia: período Helênico
O início do período Neolítico, com o assentamento dos povos paleo-
líticos pela revolução agrícola, ocorreu na região da Grécia Antiga por 
volta de 2.000 a.C. Portanto, na Grécia Antiga a transição das tribos de 
caçadores-coletores ocorreu ao mesmo tempo em que se fundou o impé-
rio mesopotâmico.
Em apenas 300 anos, na ilha de Creta, prosperava uma civilização que 
dominava a escrita e a leitura, a civilização minoica, enquanto o continente 
também era habitado por um povo guerreiro, também alfabetizado, porém 
menos desenvolvido, os micênicos. Ambas civilizações foram destruídas por 
invasores, os dórios, vindos da Ásia entre 1.200 e 1.150 a.C. Os dórios se insta-
laram nessas terras que conquistaram e acabaram adotando parte da cultura dos 
habitantes anteriores. Com o desaparecimento das civilizações minoica e micê-
nica, a escrita também desapareceu na região, sendo somente reintroduzida por 
volta de 800 a.C., por mercadores fenícios do Oriente Médio.
Durante a Grécia Antiga, os antigos gregos nunca se chamaram de gre-
gos, nem a sua civilização de Grécia. As palavras gregos e Grécia são latinas e 
foram a denominação dada pelos romanos a esse povo. Os antigos gregos se 
autodenominavam helenos e seu país chamavam de Hélade.
O seguinte período na história da Grécia Antiga foi o chamado períodoArcaico ou período Helênico, que ocorreu entre 776 a.C. e 332 a.C. e tem seu 
início marcado com a data dos primeiros Jogos Olímpicos e seu fim com a 
morte de Alexandre, o Grande.
Em Mileto, por volta de 623 a.C. a 546 a.C., viveu um dos setes sábios 
da Grécia Antiga: Tales de Mileto. Tales começou sua vida como mercador e 
tornou-se rico o bastante para dedicar o fim de sua vida ao estudo e a algumas 
viagens. No decorrer de sua vida, viveu um tempo no Egito, e isso o permitiu 
calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra desta2. Quando voltou 
a Mileto, ganhou reputação por ser um conselheiro, estadista, engenheiro, 
2 Esse cálculo é feito pelo Teorema de Tales, nome dado ao teorema em sua homenagem.
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 38 –
mercador, filósofo, matemático e astrônomo. Entre as demonstrações mate-
máticas atribuídas a Tales de Mileto, temos:
 2 Os ângulos da base dos triângulos isósceles são iguais.
 2 Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado respectivamente 
iguais, então são iguais.
 2 Todo diâmetro divide um círculo em partes iguais.
 2 Ao unir qualquer ponto C de uma circunferência aos extremos de 
um diâmetro AB obtém-se um triângulo retângulo C.
 2 Um ângulo inscrito num semicírculo é reto.
O matemático e filósofo Pitágoras de Samos viveu entre 570 a.C. e 
495 a.C. A maioria das informações foram escritas muito tempo depois de 
sua morte, portanto existem poucos dados confiáveis sobre ele. Sabe-se que 
ele nasceu na ilha de Samos, viajou pelo Egito, Grécia e, possivelmente, 
para a Índia. A palavra matemática, em grego mathematike, surgiu com 
Pitágoras, que foi o primeiro a descrevê-la como um sistema de pensa-
mento centralizado em provas dedutivas. Na cidade de Crotona, fundou 
uma escola mística.
Na escola pitagórica eram estudadas as propriedades dos números, já 
que, segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. Por 
meio desse estudo, os pitagóricos descobriram propriedades interessantes 
sobre os números, como os números perfeitos, números deficientes, números 
abundantes, números figurados e o teorema de Pitágoras.
Os números perfeitos são números em que a soma das divisões, com 
exceção dele mesmo, é o próprio número. Já um número é deficiente se a 
soma de seus divisores excede o próprio número, enquanto um número 
abundante tem o somatório de seus divisores menor que ele.
No livro Os elementos, Euclides provou que se 2n –1 é um número primo, 
então 2n –1 (2n –1) é um número perfeito.
No século XVIII, Euler provou que todo número perfeito par tem esse 
formato. Entretanto, a existência ou não de números perfeitos ímpares é 
ainda uma questão aberta.
– 39 –
A matemática babilônica, egípcia e grega
Os números figurados são números que podem ser representados por um 
conjunto de pontos equidistantes e formam uma figura geométrica. Quando 
a figura formada é um polígono regular, temos um número poligonal, como 
mostra a figura 3. Todo número perfeito é também um número triangular, 
assim como um número hexagonal.
Figura 3 – Exemplo de figuras geométricas formadas por números figurados.
Fonte: EVES, 2004.
Já vimos que o teorema de Pitágoras já era conhecido pelos babilônios 
contemporâneos de Hamurabi, entretanto sua demonstração é atribuída a 
Pitágoras. Muitas conjecturas são feitas em relação a como Pitágoras fez essa 
demonstração, mas aparentemente foi por meio de uma demonstração por 
decomposição, como a que segue ilustrada na figura 4.
Figura 4 – Decomposição para a demonstração do Teorema de Pitágoras.
Fonte: EVES, 2004.
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 40 –
Essa demonstração é explicada por Eves (2004, p. 60):
Denotemos por a, b, c os catetos e a hipotenusa de um triângulo 
retângulo e consideramos os dois quadrados da Figura [..], cada um 
de lados iguais a + b. O primeiro quadrado está decomposto em seis 
partes – a saber, os dois quadrados sobre os catetos e quatro triângulos 
retângulos congruentes ao triângulo dados. O segundo quadrado está 
decomposto em cinco partes - a saber, o quadrado sobre a hipote-
nusa e quatro triângulos retângulos congruentes ao triângulo dado. 
Subtraindo-se iguais de iguais, se conclui que o quadrado sobre a 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os catetos.
Para provar que a parte central da segunda decomposição é efetiva-
mente um quadrado de lado c, precisamos usar o fato de que a soma 
dos ângulos de um triângulo retângulo é igual a dois ângulos retos. 
O problema de encontrar quais números inteiros possam representar os 
catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo é bastante próximo ao Teorema 
de Pitágoras. Esse terno de números recebe a designação de terno pitagórico.
Os números inteiros são abstrações naturais ao processo de contagem de 
objetos. Entretanto, não é raro necessitar de frações para representar medidas 
como comprimento, largura, peso e tempo. Define-se um número racional 
como uma divisão de dois números inteiros p e q, em que q ≠ 0. Essa defini-
ção é suficiente para propósitos práticos que envolvem medições, já que con-
tém todas as frações e números inteiros. Até aquela época portanto, não havia 
conhecimento sobre os números irracionais. Os gregos não tinham um sím-
bolo para mostrar a raiz quadrada de 2 e simplesmente afirmavam: o número 
que multiplicado por si mesmo é dois. Afinal não tinham conhecimento sobre 
a existência de números racionais. Um dos seguidores de Pitágoras, Hipaso de 
Metaponto, foi responsável por provar a existência de números irracionais.
A ideia de números irracionais era extremamente perturbadora para a 
época, já que ela não só parecia alterar a suposição básica da escola pitagórica 
de que tudo era dependente de números inteiros, como também ofendia a 
definição pitagórica de proporção, a qual previa que tudo poderia ser medido 
utilizando-se duas grandezas quaisquer similares. Apenas por volta de 370 
a.C. Eudoxo apresenta uma nova definição de proporção, que aparece no 
livro Elementos de Euclides.
– 41 –
A matemática babilônica, egípcia e grega
Era tão inconcebível a descoberta de números irracionais que, por algum 
tempo, os pitagóricos tentaram manter essa descoberta em segredo. A lenda 
conta que o Hipaso, um filósofo pré-socrático membro da escola pitagórica, 
foi lançado ao mar por ter revelado esse segredo a estranhos. Ou, ainda, que 
Hipaso foi banido da comunidade pitagórica e foi erguido um túmulo como 
se ele estivesse morto. Durante algum tempo, a raiz de 2 era o único número 
irracional conhecido. Algum tempo depois, segundo Platão, as raízes de 3, 5, 
7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 foram mostradas como irracionais também 
por Teodoro de Cirene.
A resolução desses problemas matemáticos abriu portas para a continua-
ção do desenvolvimento da matemática, como veremos nos próximos capítulos.
Ampliando seus conhecimentos
Recomendamos como leitura complementar o texto sobre 
Aristóteles, disponível no material Introdução à história da 
matemática, de Rogério Santos Mol. A leitura é interessante 
porque amplia o conhecimento sobre esse grande pensador, 
que contribuiu, além de outras áreas, para a construção do 
pensamento matemático.
Transcrevemos o trecho a seguir.
Introdução à história da matemática
(MOL, 2013, p. 40-41)
[...] Aristóteles
Aristóteles (384-322 a.C.) foi o discípulo mais famoso 
de Platão, tendo estudado e trabalhado em sua Academia. 
Aristóteles foi tutor de Alexandre, o Grande, e teria sido 
professor de outro futuro rei, que viria a ter um papel essencial 
na ciência do mundo clássico, Ptolemeu Sóter.
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 42 –
Aristóteles discordava de seu mestre em relação à natureza 
da matemática e de seus objetos. Para Aristóteles, as formas 
geométricas e numéricas não existem como entidades inde-
pendentes do mundo real. Os objetos matemáticos existem 
como abstração dos objetos reais, mas sua existência depende 
da existência do próprio objeto. Aristóteles tem umavisão 
empirista que contrasta com a visão racionalista de Platão, na 
qual os entes matemáticos têm vida independente no “mundo 
das ideias”. Para Aristóteles, o que a matemática faz é abstrair 
certos aspectos dos objetos físicos e estudar essas abstrações. 
Por exemplo, ao representar uma bola do mundo real por uma 
esfera matemática perfeita, um objeto matemático abstrato, 
considera-se apenas a propriedade – satisfeita de forma imper-
feita – de que os pontos da bola são equidistantes de seu 
centro. A visão aristotélica da matemática tem o mérito de 
favorecer sua aplicabilidade, pois a matemática é, em essência, 
uma maneira de descrever o mundo sensível.
Segundo Aristóteles, é fundamental para o conhecimento 
produzir um discurso capaz de explicá-lo de acordo com cer-
tas regras. Essas regras foram estabelecidas através da lógica 
formal, criada e sistematizada por esse filósofo. Aristóteles 
entendia uma ciência dedutiva como um edifício estruturado 
por verdades encadeadas através de relações lógicas, fundado 
sobre alguns pressupostos fundamentais não demonstrados. 
Na Grécia Clássica, esse modelo teria a sua melhor materiali-
zação nos Elementos de Euclides, onde um corpo significativo 
de resultados sobre geometria e aritmética é produzido tendo 
como ponto de partida um conjunto pequeno de axiomas 
e postulados básicos. O modelo aristotélico de lógica foi 
dominante no Ocidente até o século XIX, quando ele foi 
incorporado à moderna lógica formal.
Aristóteles analisou a noção do infinito e o classificou em duas 
formas: o infinito atual e o infinito potencial. O primeiro seria 
uma quantidade infinita acabada, enquanto o segundo, uma 
– 43 –
A matemática babilônica, egípcia e grega
quantidade finita que poderia aumentar indefinidamente. Para 
Aristóteles, bastaria aos matemáticos o infinito potencial. E essa 
noção que viria a ser usada na construção do conceito de limite 
na teoria do cálculo, muito embora a matemática moderna tenha 
incorporado, em diversas situações, o infinito atual.
Aristóteles analisou e esclareceu noções matemáticas funda-
mentais, como as de axioma, definição, hipótese e demons-
tração. Criticou as demonstrações por redução ao absurdo, 
já presentes no método de exaustão de Eudoxo. Segundo 
Aristóteles, essas demonstrações eram não explicativas: sabia-
-se que um fato era verdade apenas por ser verdade. Sua 
posição viria a criar, ao longo da história da matemática, certas 
predileções na busca por demonstrações diretas.
Aristóteles, assim como Platão, não produziu resultados nem 
teorias matemáticas. No entanto, suas contribuições no campo 
da filosofia influenciaram de forma marcante a maneira como a 
matemática seria construída nos séculos vindouros.
[...]
Atividades
1. Discuta as características da notação posicional e as relações entre a 
base decimal e a base sexagesimal.
2. Durante o período grego helênico, diversos matemáticos contribuí-
ram de alguma forma com o avanço da matemática. Discuta as prin-
cipais contribuições desses matemáticos.
3. Discuta as características da matemática egípcia e quais os elementos 
que motivaram seu desenvolvimento.
Grandes povos, 
grandes avanços
Neste capítulo apresentaremos o grande desenvolvimento 
da matemática grega que surgiu após a vida e a obra do matemá-
tico Euclides. Este famoso matemático lançou um dos livros mais 
influentes de todos os tempos, chamado Os elementos, em que apre-
senta um compilado dos principais resultados conhecidos até a época 
sobre a geometria. Primeiramente apresentaremos os principais 
avanços matemáticos discutidos por Euclides e indicaremos como 
esses avanços impactaram na matemática posterior. Veremos, tam-
bém, outros matemáticos importantes do período Helenista grego, 
como Arquimedes, Eratóstenes, Apôlonio, Hiparco, Ptolomeu, 
Diofanto e outros. No segundo momento trataremos das matemá-
ticas chinesa, hindu e árabe e discutiremos os avanços determinados 
por essas sociedades. Na terceira parte, mostraremos como todo esse 
conhecimento matemático voltou a florescer após a Idade Média.
3
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 46 –
3.1 Grécia: período helenista
Poucos nomes foram tão importantes no desenvolvimento da matemá-
tica como o do famoso matemático Euclides, escritor do livro Os elementos, 
que viveu durante o período Helenista, na Grécia. Euclides fundou a fan-
tástica escola de matemática de Alexandria, da qual também foi professor e 
teve um papel fundamental em consolidar e formalizar boa parte do conheci-
mento matemático existente até aquela época.
Figura 1 – Frontispício da primeira edição de Sir Henry Billingsley, em 
língua inglesa, dos Elementos de Euclides, de 1570.
Euclides escreveu várias obras ao longo de sua vida, mas Os elementos 
é considerado o livro que historicamente exerceu mais influência no pensa-
mento científico e, com exceção da Bíblia, foi a obra mais usada e estudada 
de todas as eras (EVES, 2004).
– 47 –
Grandes povos, grandes avanços 
A principal contribuição de Euclides foi formalizar e escrever na forma 
axiomática os principais conhecimentos matemáticos da sua época. Os axio-
mas, verdades inquestionáveis aceitas sem demonstração e que estruturam sua 
forma de argumentação na matemática, foram escolhidos de forma que as 
demonstrações que surgem na sequência podem descrever a maior parte dos 
resultados já conhecidos.
A obra está dividida em 13 livros (capítulos), os quais serão discutidos a 
seguir e permitirão o entendimento do nível de compreensão da matemática 
dos povos gregos.
O primeiro livro traz definições, postulados e axiomas famosos que per-
mitiram ao autor construir a base axiomática da matemática. As primeiras 
demonstrações versam sobre propriedades de triângulos e teoremas de con-
gruência e sobre a teoria das retas paralelas, além de provar que a soma de três 
ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Também há demonstrações 
sobre paralelogramos, triângulos e quadrados e a área de cada um deles. Nesse 
mesmo capítulo há a demonstração do Teorema de Pitágoras, atribuída ori-
ginalmente ao próprio Euclides, o que evidencia o papel que o autor teve 
em formalizar o conhecimento prévio matemático existente até aquela época 
(EVES, 2004).
O segundo livro demonstra e formaliza resultados sobre a álgebra geo-
métrica da escola pitagórica. Já era conhecido, desde aquela época, resultados 
famosos como os produtos notáveis que seguem:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b) (a – b) = a² – b²
A diferença crucial entre a matemática daquele período e a matemática 
atual é a falta de símbolos práticos para representar os resultados, como o 
produto notável. Todos os resultados e as demonstrações eram realizados de 
forma textual, com pouco ou quase nenhum símbolo para representar variá-
veis. Isso fazia com que o resultado fosse expresso, por exemplo, desta forma:
Livro II: Proposição 6: Caso uma linha reta seja cortada em duas, e 
seja adicionada a ela alguma reta sobre uma reta, o retângulo con-
tido pela reta toda junto com a adicionada e pela adicionada, com o 
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 48 –
quadrado sobre a metade, é igual ao quadrado sobre a composta tanto 
da metade quando da adicionada. (EUCLIDES, 2009)
O uso de símbolos faz parte do conjunto de saberes associados à matemática 
moderna e permitiu ampliar as formas de representação de cada conhecimento.
O terceiro livro de Euclides apresenta teoremas familiares sobre círculos, 
cordas, secantes, tangentes e medidas de ângulos associados que são utilizados 
até hoje e podem ser encontrados nos livros de Geometria Básica dos Ensinos 
Fundamental e Médio.
O quarto livro traz resultados importantes sobre desenho geométrico 
discutindo a construção, com régua e compasso, de polígonos regulares de 
três, quatro, cinco, seis e quinze lados, bem como a inscrição e a circunferên-
cia desses polígonos em círculos dados (EVES, 2004). É interessante notar 
que toda demonstração realizada na épocaera feita pelo uso de régua e com-
passo, evidenciando o forte vínculo entre a aritmética e a geometria.
O quinto livro mostra a formalização e a consolidação dos conhecimen-
tos propostos por Eudoxo em sua teoria das proporções. Eudoxo apresentou a 
resolução de um dos maiores problemas que os gregos buscavam entender na 
época. Os pitagóricos acreditavam que todas as grandezas podiam ser associa-
das a um número inteiro ou a uma razão entre dois números inteiros, ou seja, 
a um número racional (BONGIOVANNI, 2005). Entretanto, a descoberta 
de grandezas incomensuráveis, como a diagonal de um quadrado de lado 1, 
cujo resultado é 2 , o qual se trata de um número irracional, abalou essa 
crença e trouxe dificuldades de novas compreensões. Eudoxo ignorou essa 
dificuldade e permitiu que a descrição de medidas incomensuráveis adequa-
damente descrevesse a realidade. A definição se encontra no quinto livro dos 
Elementos de Euclides, como segue:
Diz-se que quatro grandezas estão na mesma razão, a primeira para a 
segunda e a terceira para a quarta se, quando equimúltiplos quaisquer 
são tomados da primeira e da terceira e equimúltiplos quaisquer da 
segunda e da quarta, os primeiros equimúltiplos são ambos maiores 
que, ou ambos iguais a, ou ambos menos que, os últimos equimúl-
tiplos considerados em ordem correspondente. (EUCLIDES, 2009)
Essa foi a fundamentação que permitiu que Dedekind e Weierstrass defi-
nissem os números reais e formalizassem resultados importantes da análise 
matemática (EVES, 2004).
– 49 –
Grandes povos, grandes avanços 
O sexto livro dá continuidade à aplicação das proporções eudoxianas 
agora à geometria plana. A maior parte dos teoremas, a semelhança de triângu-
los, as médias proporcionais, as equações quadráticas, entre outras, eram todas 
conhecidas pelos Pitagóricos antigos. Entretanto, a maioria dessas demonstra-
ções possuíam falhas conceituais, que foram redefinidas por Euclides.
O livro VII apresenta o algoritmo euclidiano para encontrar o máximo 
divisor comum de dois ou mais números inteiros, o qual é utilizado ainda hoje 
com algumas poucas adaptações. Por sua vez, o livro VIII apresenta resultados 
sobre proporções contínuas que se caracterizam hoje como progressões aritmé-
ticas e geométricas. O livro IX também discute resultados importantes sobre as 
progressões geométricas, em especial a dedução geométrica da fórmula da soma 
dos primeiros n termos de uma progressão geométrica (EVES, 2004).
Já o livro X apresenta resultados relativos aos números irracionais. Como 
indica Eves,
Para muitos especialistas, este livro é, talvez, o mais notável dos 
Elementos. Atribui-se grande parte de seu conteúdo a Teeteto, mas 
sua inteireza, classificação elaborada e acabamento são creditas a 
Euclides. Custa a crer que se provaram esses resultados por raciocí-
nios abstratos sem o apoio de uma notação algébrica conveniente. 
(EVES, 2004, p. 175)
Nessa seção, Euclides discute o método da exaustão, que é o precursor 
do cálculo diferencial e integral ao resolver o problema de calcular a área de 
diversas formas geométricas a partir da divisão em diversas partes menores, 
fundamentação teórica que está inserida no conceito da integral definida.
Os últimos livros tratam de geometria espacial, em especial aqueles 
temas que também são tratados nos livros fundamentais de matemática.
A importância dos Elementos reside, portanto, na capacidade que o autor 
teve em formalizar e apresentar novas demonstrações sobre o conhecimento 
matemático que possuía. Depois de Euclides, outros nomes relevantes surgi-
ram para trazer avanços nas áreas de matemática, física, engenharia e outros 
campos da ciência, como: Arquimedes, Eratóstenes, Apôlonio, Hiparco, 
Ptolomeu e Diofanto, que serão discutidos na sequência.
Arquimedes, de Siracusa, foi um proeminente matemático que escre-
veu alguns livros famosos, como A medida de um círculo, A quadratura da 
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 50 –
parábola, Sobre as espirais, Sobre a esfera e o cilindro, Sobre os cones e os esferoi-
des, entre outros. Suas principais contribuições foram nas áreas de geometria 
plana e espacial, aritmética, física de corpos flutuantes e hidrostática. Além 
disso, também trouxe contribuições no Método da Exaustão, fato que o fará 
reaparecer na eterna discussão sobre a origem do cálculo, que aprofundare-
mos no próximo capítulo.
Eratóstenes, de Cirene, teve trabalhos importantes na matemática, na 
astronomia, na geografia, na história, na filosofia e na poesia. Seu principal 
resultado foi a medida da circunferência da Terra, além de um dispositivo 
que permitia encontrar todos os números primos menores que um número 
dado n.
Apolônio, junto de Euclides e Arquimedes, foi um dos três gigantes 
matemáticos do século III a.C. Suas principais contribuições se deram no 
campo da astronomia. No campo da matemática, Apolônio foi responsável 
por classificar as cônicas, dando os nomes famosos que são conhecidos até 
hoje: elipses, parábolas e hipérboles, e obter as principais relações entre elas, 
que são determinadas pelas equações discutidas nas disciplinas de Geometria 
Analítica e Álgebra Linear modernas. Apolônio classificou as cônicas de 
acordo com suas principais propriedades.
Hiparco e Ptolomeu também foram proeminentes astrônomos da 
Antiguidade. Vale ressaltar que os principais avanços matemáticos de todos 
os tempos aconteceram em consonância com a evolução e a necessidade de 
diversos outros conhecimentos, como a física, a astronomia, as ciências bioló-
gicas, as engenharias e tantas outras.
Por fim, Diofanto, de Alexandria, foi o responsável pelo desenvolvimento 
da álgebra, que influenciou os europeus que desenvolveram a teoria dos núme-
ros (EVES, 2004). A abordagem analítica que o autor faz no seu livro Aritmética 
mostra a capacidade que o povo grego possuía, à sua forma, de resolver os pro-
blemas matemáticos. Diofanto, um dos últimos matemáticos gregos, iniciou a 
inserção de símbolos para descrever resultados matemáticos.
A Grécia teve um tempo de florescimento e desenvolvimento cultural 
e intelectual cujos resultados podem ser vistos até hoje, nos mais diversos 
aspectos da sociedade.
– 51 –
Grandes povos, grandes avanços 
3.2 A matemática chinesa, hindu e árabe
É interessante notar que o desenvolvimento da matemática não aconteceu 
de forma linear, mas possuiu várias vertentes, que continham apenas alguns 
pontos em comum. Ao mesmo tempo em que a matemática egípcia e grega se 
desenvolveram, desenvolvia-se também a matemática chinesa, hindu e árabe.
A fonte que permite que tenhamos uma noção do nível de desenvolvi-
mento intelectual da matemática chinesa é um livro intitulado K’ui-ch’ang 
Suan-shu, traduzido como Nove capítulos sobre a arte da matemática, o qual 
compila os principais resultados da matemática chinesa antiga, assim como o 
faz os Elementos de Euclides. No caso chinês, o livro apresenta os principais 
conhecimentos da época, os quais envolvem áreas de triângulos, porcentagem 
e proporções, regra de três, cálculo de raízes quadradas e cúbicas, volumes, 
problemas de movimento, sistema de equações lineares e matriciais e triângu-
los retângulos pitagóricos, além de outros.
Figura 2 – Página de K’ui-ch’ang Suan-shu (Nove capítulos sobre a arte da 
matemática).
História e Filosofia das Ciências e da Matemática
– 52 –
Entre as principais contribuições da matemática chinesa, as quais se tor-
naram inovadoras, estão aquelas apontadas por Eves:
Notemos que a China foi a primeira a (1) criar um sistema de nume-
ração posicional, (2) reconhecer os números negativos, (3) obter 
valores precisos de π, (4) chegar ao método de Horner para solu-
ções numéricas de equações algébricas, (5) apresentar o triângulo 
 aritmético de Pascal, (6) se inteirar do método binomial, (7) empre-
gar métodos matriciais para resolver sistemas de equações lineares, (8) 
resolver sistemas de congruências pelo método hoje consubstanciado 
no Teorema Chinês dos Restos,