Unidade 1-2

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Definições Básicas de 
Matrizes e Sistemas de 
Equações Lineares
1
1.1 O que é uma matriz? 
1.2 Tipos especiais de matrizes
1.3 Definições de operações elementares com matrizes
1.4 Propriedades da álgebra matricial
1.5 Sistema de equações lineares
1.6 Sistemas e matrizes
1.7 Operações elementares sobre linhas
1.8 Redução pelo método de Gauss-Jordan
1.9 Solução de um sistema de equações com parâmetros
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OBJETIVOS:
01_Reconhecer matrizes reais; 
02_Identificar matrizes especiais e seus principais elementos; 
03_Estabelecer a igualdades entre matrizes; 
04_Obter a matriz transposta de uma matriz dada; 
05_Obter a soma de duas matrizes; 
06_Obter o produto de uma matriz por uma número real (escalar); 
07_Aplicar as propriedades das operações dos cálculos envolvendo matrizes; 
08_Reconhecer quando é possível multiplicar duas matrizes; 
09_Obter a matriz produto de duas matrizes; 
10_Resolver e classificar sistemas lineares usando o método do escalonamento. 
1.1 O QUE É MATRIZ?
É uma representação matemática de uma tabela que possui mn números dispostos em m linhas 
e n colunas. A matriz é denotada através de uma coleção retangular organizada desse números, 
conforme a esquema a seguir: 
COMPONENTES
MATEMÁTICA
PORTUGUÊS
GEOGRAFIA
HISTÓRIA
1º BIMESTRE 2º BIMESTRE 3º BIMESTRE 4º BIMESTRE
5,9
6,6
8,6
6,2
6,2
7,1
6,8
5,6
4,5
6,5
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5,9
5,5
8,4
9,0
7,7
TABELA 1: NOTAS DE UM ALUNO NAS RESPECTIVAS COMPONENTES CURRICULARES BÁSICA CURSADAS
É esse tipo de tratamento que as matrizes possibilitam (por linhas por colunas, por elemento) 
que fazem desses objetos matemáticos instrumentos valiosos na organização e manipulação de 
dados.
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Observe que em uma matriz podemos ter números (reais ou complexos), funções, outras matri-
zes, ou seja, qualquer outro dado organizado e que possa ser manejado matematicamente. 
Uma matriz deve receber um nome, uma denominação, ou ainda uma simbologia. Costumamos 
nomear uma matriz com letras maiúsculas. Então, no caso de notarmos uma matriz A de ordem 
m x n (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos como: 
Note que a delimitação da matriz é feita através do uso de colchetes.
É praxe se referir a uma determinada linha de interesse como a i-ésima LINHA de A , ou seja: 
PARA: i = 1, ... , m. 
No caso de uma coluna de interesse, nos referimos a ela como a j-ésima COLUNA de A:
PARA: j = 1, ... , n 
A m x n =
a11
a21
...
am1
a12
a22
...
am2
...
...
...
...
a1n
a2n
...
amn
ai1 ai2 ... ain
a1j
a2j
...
amj
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o elemento (ou escalar) ( a23 ) é aquele que se encontra na segunda linha e na terceira coluna, ou seja:
Portanto, temos que o primeiro índice da notação acima indica a linha e o segundo índice indica 
a coluna a qual pertence o elemento. E de acordo com a notação que acabamos de introduzir, 
ainda neste exemplo, temos que a13 = 0, a24 = 5, a31 = -1 e a33 = 4.
Nos casos em que fica claro qual é a ordem da matriz podemos omitir essa especificação. Entre-
tanto, a mesma simplificação não poderá ser feita para o elemento que se deseja destacar. Será 
muito útil sabermos identificar e notar um elemento de uma matriz! 
Omitiremos também se a matriz é real ou complexa nos casos em que não existirem dúvidas 
quanto ao resultado esperado.
Usamos ainda a notação A = (aij)mxn em que aij é o ELEMENTO ou a ENTRADA da posição i , j da 
matriz A .
Se desejamos localizar um elemento de uma matriz, informamos a linha e a coluna (exatamente 
nesta ordem) em que se encontra o elemento de interesse. Por exemplo, na matriz: 
A 3 x 4 =
2
3
-1
2
9
7
0
8
4
1
5
6
a23 = 8
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EXEMPLO 1:
Considere as seguintes matrizes: 
A =
1
3
2
4
B =
-2
0
1
3
C =
1
2
3
4
0
-2
D = 1 3 -2
F = 3
E =
1
4
-3
As matrizes A e B são 2 x 2. 
A matriz C é 2 x 3.
A matriz D é 1 x 3. 
A matriz E é 3 x 1. 
A matriz F é 1 x 1 . 
De acordo com a notação que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes 
dadas acima são a12 = 2, C23 = -2, [A]22 = 4 e [D]12 = 3.
MATRIZ LINHA: Uma matriz que só possui uma linha.
MATRIZ COLUNA: Matriz que só possui uma columa. 
Neste exemplo:
A matriz D é uma matriz linha e a matriz E é uma matriz coluna. 
VETORES: Matrizes linha e coluna. 
Se em uma matriz m = n, dizemos que a matriz é quadrada. Esse é o caso dos exemplos das ma-
trizes A e B acima. Neste caso, escrevemos apenas An e dizemos que A é uma matriz quadrada 
de ordem n.
 
Consideramos duas matrizes iguais se elas têm o mesmo tamanho e os elementos correspon-
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dentes são iguais, ou seja, A = ( aij )m x n e B = ( bij)p x q SÃO IGUAIS se m = p, n = q e aij = bij .
Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações va-
riadas, onde os elementos de uma matriz podem ser dados por fórmulas, como ilustra o próximo 
exemplo.
Vamos construir a matriz A є M2 X 4(R), A = (aij) , tal que:
aij =
 i2 + j, se i = j
 i - 2j, se i ≠ j
Solução:
A matriz procurada é do tipo . 
Seguindo a regra de formação dessa matriz, as duas entradas (elementos) em que i = j nos forne-
cem as seguintes expressões matemáticas: 
A =
a11
a21
a12
a22
a13
a23
a14
a24
 a11 = 1
2 + 1 = 2
 a22 = 2
2 + 2 = 6
Para as demais entradas, os valores obtidos são os seguintes:
 a12 = 1
 - 2(2) = -3
 a13 = 1
 - 2(3) = -5
 a14 = 1
 - 2(4) = -7
 a21 = 2
 - 2(1) = 0
 a23 = 2
 - 2(3) = -4
 a24 = 2
 - 2(4) = -6
A =
2
0
-3
6
-5
-4
-7
-6
Logo:
{
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A seguir, vamos definir tipos especiais de matrizes e que serão importantes para obtermos a so-
lução e se possível realizar a análise de um sistema de equações lineares.
1.2 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES
Ao longo do nosso estudo veremos que todas as matrizes possuem uma ordem e uma regra de 
formação. Em posse destas informações é possível encontrar valores e montar a matriz pedida 
num exercício ou num outro tipo de atividade.
Algumas matrizes, no entanto, possuem características específicas que fazem com que elas me-
reçamdenominações especiais. Seja pela quantidade de linhas ou colunas, ou ainda, pela natu-
reza de seus elementos, tais matrizes têm propriedades que as diferenciam de uma matriz qual-
quer. Além disso, esses tipos de matrizes aparecem frequentemente na prática e, por isso, devem 
receber a nossa atenção.
De forma genérica, já sabemos denotar uma matriz que possui m linhas e n colunas. Sua escrita 
é dada por A m x n . Portanto, seguiremos com esse conhecimento prévio a fim de compreender 
as próximas denominações.
MATRIZ QUADRADA
É um tipo especial de matriz que possui o mesmo número de linhas e o mesmo de colunas. Ou 
seja, dada uma matriz A m x n será uma matriz quadrada se, somente se, m = n. 
Um exemplo, seria: 
A 3 x 3 =
1
4
7
2
5
8
3
6
9
No caso de matrizes quadradas Am x m , costumamos dizer que A é uma matriz de ordem m . No 
exemplo acima, poderíamos ter simplesmente denominado a matriz como A3 .
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MATRIZ NULA
Uma matriz nula é aquela na qual todos os seus elementos (linhas e colunas) são iguais a zero, ou 
seja, em que Aij = 0, para todo i e j . Alguns exemplos são: 
O conceito de matriz nula é amplamente abordado em resoluções de problemas que pedem 
para encontrar uma matriz que somada à outra resulte em uma matriz nula, ou ainda em sistema 
de equações matriciais.
MATRIZ TRANSPOSTA
A matriz AT é dita a transposta da matriz A ao se trocar, ordenadamente, as linhas por colunas ou 
as colunas por linhas. Por exemplo, se: 
é a sua transposta. 
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, AT é do tipo n x m . Note que a 1ª linha de A corres-
ponde à 1ª coluna de AT e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de AT.
MATRIZ SIMÉTRICA
Uma matriz simétrica necessariamente dever ser uma matriz quadrada, de ordem m, que satis-
faça a relação: 
AT = A
A 2x2 =
0
0
0
0
A 3 x 2 =
0
0
0
0
0
0
entãoA2 x 3 =
2
-1
3
-2
0
1
A3 x 2 =
2
3
0
-1
-2
1
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i.Um exemplo geral poderia ser o seguinte:
Perceba que os elementos cij são iguais aos elementos cji.
Outro ponto interessante a se destacar é que, no caso de uma matriz simétrica, a parte superior 
é uma REFLEXÃO da parte inferior, em relação a diagonal.
MATRIZ IDENTIDADE:
Seja A uma matriz uma matriz quadrada de ordem m, ou seja, que contém m linhas e m colunas. 
Dizemos que A é uma matriz identidade de ordem m se: 
01_Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 , e; 
02_Os demais elementos são iguais a zero. 
Uma matriz identidade costuma ser representada por Im , onde m é a ordem da matriz. Como 
exemplo, considere I4, que será notada como: 
É interessante notar que a matriz identidade, quando multiplicada por outra matriz quadrada de 
mesma ordem, cumpre o papel do 1 na multiplicação, ou seja, quando multiplicamos uma matriz 
(desde que seja possível - como veremos) por uma identidade, o resultado é a própria matriz.
Outra forma de enunciar esta definição é fazendo as igualdades dos elementos da matriz. Dize-
mos que uma matriz é simétrica quando:
aij = aij , para todo i , j 
C =
a
b
c
d
e
b
f
g
h
i
c
g
j
m
n
d
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1.3 DEFINIÇÕES DE OPERAÇÕES ELEMENTARES COM MATRIZES
Nesta seção vamos definir operações matriciais análogas às operações com números e provar 
propriedades que são válidas para essas operações. Abordaremos inicialmente o conceito de 
soma, seguido do produto de um escalar por uma matriz. 
Veremos também a definição de multiplicação entre matrizes e o cálculo do traço de uma matriz.
 
SOMA OU ADIÇÃO: 
A soma, ou adição, de duas matrizes é definida somente para matrizes de MESMO TAMANHO. 
Portanto, seja A = ( aij )m x n e B = ( bij)m x n a soma, denotada por A + B , dá origem a uma nova 
matriz de mesma dimensão m x n: 
C = A + B
Tal resultado é obtido somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja:
cij = aij + bij 
para i = 1 ,..., m e j = 1 ,..., n . Escrevemos também [ A + B ]ij = aij + bij .
Perceba que ao utilizarmos matrizes, a necessidade de efetuarmos uma operação tão trivial como 
a soma será recorrente. Sendo assim, dominar o processo da sua execução é fundamental para 
o avanço do nosso estudo. A fim de melhor esclarecer o entendimento, acompanhe o exemplo a 
seguir. 
Exemplo:
Considere as matrizes: 
Se chamamos C a soma das duas matrizes A e B, então:
A =
1
3
2
4
-3
0
B =
-2
0
1
3
5
-4
e
C = A + B =
1+(-2)
3 + 0
2 + 1
4 + 3
-3 + 5
0+(-4)
-1
3
3
7
2
-4
 =
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Observe que, pela forma com que foi defi nida, a adição de matrizes tem as mesmas propriedades 
que a adição de números reais. 
Por simplicidade, podemos indicar A = B = [ aij + bij ] para denotar a soma das matrizes A e B . De modo 
análogo, defi nimos a DIFERENÇA das matrizes A e B , que denotamos por A - B = [ aij + bij ] .
Na sequência, veremos a defi nição do produto de um ESCALAR por uma matriz. Um escalar é 
simplesmente um número real. E em multiplicações escalares, cada elemento da matriz é multi-
plica por esse número. Acompanhe a defi nição a seguir.
PRODUTO POR UM ESCALAR: 
A multiplicação de uma matriz A = ( aij )m x n por um escalar (número) α é defi nida pela matriz 
Bm x n : 
B = A obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar . 
Ou seja, Bij = aij . Escrevemos tambem [ A ]ij = aij . Dizemos, portanto, que a matriz B é um 
múltiplo escalar da matriz A. 
A multiplicação de um número real por uma matriz é uma das operações mais simples que po-
dem ser feitas com matrizes. Pela defi nição acima, vemos que para multiplicar um número real 
qualquer por uma matriz Am x n , basta multiplicar cada elemento aij de A por .
Assim, a matriz resultante B será também m x n e bij = aij. Com isso, pode-se pensar também 
na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. 
Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz 
pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número 
por uma matriz.
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Verifiquemos um outro exemplo:
O produto da matriz pelo escalar α = -3 é dado por: 
A seguir apresentaremos a definição de multiplicação de matrizes. Provavelmente ela parecerá 
um pouco misteriosa a princípio. A melhor justificativa que podemos apresentar neste momento 
é que é esta a definição que dá certo, queé útil. Ao longo deste material, justificaremos tal defi-
nição. Mas, por ora, vamos aprender a utilizá-la.
PRODUTO DE DUAS MATRIZES
O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número 
de linhas da segunda, A = ( aij )m x p e B = ( bij )p x n é definido pela matriz Cm x n
C = AB
obtida da seguinte forma:
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
Da definição acima podemos notar que, o produto AB é a matrix C com dimensão m x n , 
tal que a entrada cij de C é a soma dos produtos das respectivas entradas da linha i de A pela co-
luna j de B . 
Antes de prosseguir, analise cuidadosamente a frase a cima!
A =
-2
0
5
1
3
-4
-3A=
(-3)(-2)
(-3)(0)
(-3) 5
(-3) 1
(-3) 3
(-3) (-4)
 =
6
0
-15
-3
-9
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Vejamos um exemplo que ilustra como a conta deverá ser efetuada.
Considere as matrizes:
Calcule C = AB
SOLUÇÃO:
Para começar, percebam que o produto entre as duas matrizes pode ocorrer porque o número 
de colunas da matriz A é exatamente o mesmo número de linhas da matriz B. Essa condição é 
necessária para que a multiplicação possa ocorrer! Se chamarmos C o produto das duas matrizes 
A e B, obteremos: 
Note que a dimensão da matrix C2 x 2 equivale ao número de linhas da matriz A com o número 
de colunas da matriz B . 
A Figura esboça, de maneira intuitiva, a situação descrita acima:
A 2 x 3 =
1
4
2
5
3
6
B 3 x 2 =
7
9
11
8
10
12
C = AB =
1 x 7 + 2 x 9 + 3 x 11
4 x 7 + 5 x 9 + 6 x 11
 =
58
139
64
154
1 x 8 + 2 x 10 + 3 x 12
4 x 8 + 5 x 10 + 6 x 12
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PASSO A PASSO DE UMA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
1
4
2
5
3
6
7
9
11
8
10
12
58
1
4
2
5
3
6
7
9
11
8
10
12
1 x 8 + 2 x 10 + 3 x 12 = 64
58 64
1 x 7 + 2 x 9 + 3 x 11 = 58
1
4
2
5
3
6
7
9
11
8
10
12
4 x 7 + 5 x 9 + 6 x 11 = 139
58
139
64
1
4
2
5
3
6
7
9
11
8
10
12
4 x 8 + 5 x 10 + 6 x 12 = 154
58
139
64
154
X =
X =
X =
X =
Observe que não é possível multiplicar matrizes de qualquer tamanho. A definição exige que o 
número de entradas de cada linha da primeira matriz seja igual ao número de entradas de cada 
coluna da segunda matriz. 
Em particular, a multiplicação de matrizes não é comutativa. Isto é, a multiplicação das matrizes 
A e B apresentam resultados diferentes quando trocamos a ordem da multiplicação: AB ≠ BA
Na próxima sessão apresentamos as principais propriedades da álgebra matricial.
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1.4 PROPRIEDADES DA ÁLGEBRA MATRICIAL
Algumas propriedades da álgebra de números reais são válidas para a álgebra matricial. Outras, 
no entanto, precisam ser observadas com cuidado pois apresentam signifi cantes diferenças. 
Como exemplo, uma propriedade importante que é válida para os números reais, mas que não é 
válida para as matrizes é a comutatividade do produto, conforme demonstraremos a seguir.
As principais propriedades que pretendemos demonstrar são as seguintes. 
OPERAÇÕES ELEMENTARES
Sejam A , B e C matrizes com tamanhos apropriados, α e ß escalares. São válidas as seguintes 
propriedades para as operações matriciais: 
01_COMUTATIVIDADE: 
 A + B = B + A
02_ASSOCIATIVIDADE: 
 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
03_ELEMENTO NEUTRO: 
 A matriz 0, m x n defi nida por [ 0 ]ij = 0,
 para i = 1, ... , m, 
 j =, ... , n 
 é qual que: A + 0 = A 
 para toda matriz A, m x n. A matriz 0 é chamada MATRIZ NULA m x n.
04_ELEMENTO SIMÉTRICO: 
 Para cada matriz A , existe uma única matriz -A , defi nida por[ - A ]ij = -aij , tal que:
 A + ( -A ) = 0
05_ASSOCIATIVIDADE:
 ( ßA ) = ( ß ) A 
06_DISTRIBUTIVIDADE:
 ( + ß)A = A + ßA
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07_DISTRIBUTIVIDADE:
 ( A + B) = A + B
08_ASSOCIATIVIDADE:
 A( BC ) = ( AB) C
09_ELEMENTO NEUTRO: 
 Para cada inteiro positivo p a matriz p x p .
 
 chamada matriz identidade é tal que:
 AIn = ImA = A
 para toda matriz 
 A = ( aij )mxn
10_DISTRIBUTIVIDADE:
 A( B + C ) = AB + AC e ( B + C )A = BA + CA
11_ ( AB ) = ( A )B = A ( B )
12_ ( At )t = A
13_ ( A + B )t = At + Bt
14_ ( A )t = A)t
15_ ( AB )t = BtAt 
Ip =
1
0
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1
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Nesta seção iremos utilizar a notação de somatório para concretizar as demonstrações das pro-
priedades algébricas. Recomendamos ao aluno que tente ao máximo se apropriar de tal notação, 
pois seu uso é muito comum.
Para provar as igualdades acima, devemos motrar que os elementos da matriz do lado esquerdo 
são iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito.
Essa etapa é importante para que possamos, a frente, fazer uso das propriedades acima nas apli-
cações em todos os capítulos que se seguirão.
ESTUDO DETALHADO DAS DEMONSTRAÇÕES A SEGUIR:
01_Observe que a soma de duas matrizes só esta definida quando ambas possuem a mesma 
ordem, ou seja, a mesma dimensão. Uma outra maneira de escrever a matriz A, m x n, é simples-
mente Am x n= ( aij ). Da mesma forma, definimos Bm x n= ( bij ). Utilizaremos as duas maneiras, 
conforme a nossa conveniência. 
A demonstração consiste, basicamente, em somar os elementos correspondentes de A e B. Isto é: 
[ A + B ]ij = aij + bij = bij + aij = [ B + A ]ij
Observe que, pela forma com que foi definida, a adição de matrizes tem a mesma propriedade 
que a adição de números reais.
02_Nesta demonstração, agimos de maneira semelhante ao item anterior.
[ A + ( B + C ) ]ij = aij + [ B + C ]ij = aij + ( bij + cij)
[ A + ( B + C ) ]ij = ( aij + bij ) + cij = [ A + B ]ij + cij
[ A + ( B + C ) ]ij = [ ( A + B ) + C ]ij [ A + B ]ij + cij
03_Seja X uma matriz m x n, tal que:
A + X = A
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para qualquer matriz A , m x n. Comparando os elementos correspondentes, temos que: 
aij + xij = aij
 
ou seja, xij = 0 , para i = 1 ,..., m e j = 1 ,..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz a equação acima é 
a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero, ou seja, x = 0.
04_Dada uma matriz A , m x n, seja X uma matriz m x n, tal que: 
A + X = 0 
 
Comparando os elementos correspondentes, temos que: 
aij + xij = 0
ou seja, xij = - aij , para i = 1 ,..., m e j = 1 ,..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz a equação 
acima é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos simétricos dos elementos de A. 
Denotamos a matrizX por -A .
05_ [ ( ßA )]ij = [ ßA ]ij = ( ßaij ) = ( ß )aij = [( ß ) A ]ij
06_Para a propriedade da distributividade, as demonstrações serão muito parecidas. Observem:
[( + ß)A]ij = ( + ß )aij = ( aij ) + ( ßaij) 
= [ A ]ij +[ ßA]ij = [ A + ßA ]ij
07_Como na demonstração acima, façamos: 
[ ( A + B )ij = [ A + B ]ij = ( aij + bij) 
= aij + bij = [ A ]ij + [ B ]ij
= [ A + B ]ij
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08_A demonstração deste item é a mais trabalhosa. Sejam A , B e C matrizes m x p , p x q e q x r, 
respectivamente. A notação de somatório aqui pode ser muito útil, pelo fato de ser compacta.
[ A (BC) ]ij = ∑ aik[ BC ]kj = ∑ aik ( ∑ bkl clj )
= ∑ ∑ aik( bkl clj ) = ∑ ∑ ( aikbkl ) clj 
= ∑ ∑ ( aikbkl ) clj = ∑ ( ∑ aikbkl ) clj 
= ∑ [ AB ]ilclj
=[ ( AB ) C ]il
09_Podemos escrever a matriz identidade em termos do delta de Kronecker, que é definido por:
como [ In ]ij = бij . Assim,
[ AIn ]ij = ∑ aik[ In ]kj = ∑ aikб akj = aij
A outra igualdade é análoga.
10_Ainda continuando com o uso dos somatórios, temos: 
[ A (B + C) ]ij = ∑ aik[ B + C ]kj = ∑ aik ( bkj ckj )
= ∑ ( aikbkj + aikckj ) = ∑ aikbkj + ∑ aikckj 
= [ AB ]ij + [ AC ]ij = [ AB + AC ]ij
A outra igualdade é inteiramente análoga a anterior.
k=1
p
l=1
q
k=1
p
k=1
p
l=1
q
k=1
p
l=1
q
l=1
q
k=1
p
l=1
q
k=1
p
l=1
q
бij =
1, se i = j
0, se i ≠ j{
k=1
n
k=1
n
k=1
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k=1
p
k=1
p
k=1
p
k=1
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11_ [ ( AB )]ij = ∑ aik bkj = ∑ ( aik ) bkj = [ ( A )B]ij
12_ [( At )t ]ij
 = [ At ]ji = aij
13_ [( A + B )t ]ij
 = [ A + B ]ji = aji + bji = [ A
t ]ij + [ B
t ]ij
14_ [( A )t ]ij
 = [ A ]ji = aji = [ A
t ]ij = [ A
t ]ij
15_Nesta última demonstração é necessário ter bastante atenção com a defi nição básica de multi-
plicação entre matrizes. É ela que justifi ca a mudança de ordem que apresentamos.
[ ( AB)t ]ij = [ AB ]jI = ∑ ajk bkj
= ∑ [ At ]kj [ B
t ]ik
= ∑ [ Bt ]ik[ A
t ]kj
= [ Bt At ]ij
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO DO CONHECIMENTO
Conside as matrizes: 
01_Determine: 
 (a) A + B
 (b) A - B 
 (c) 3A 
 (d) 2A - 3B 
02_Encontre At e Bt , onde A e B são as matrizes do exercício anterior. 
k=1
p
k=1
p
k=1
p
k=1
p
k=1
p
A =
1
1
0
2
2
3
-3
5
3
B =
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0
-3
-2
0
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03_Em cada um dos casos abaixo, encontre (AB)C e A(BC) . 
 
(a) 
(b) 
(c) 
 
1.5 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Muitos problemas, nas mais diversas áreas da ciência, podem ser representados por sistemas 
(conjunto) de equações lineares. Quase todos os problemas que enfrentaremos na primeira parte 
do curso se reconduzirão, do ponto de vista prático, à discussão de um sistema linear e, reciproca-
mente, discutindo os sistemas lineares já encontraremos as noções fundamentais de combina-
ção linear e independência linear, a serem desenvolvidas mais adiante.
Por isso, acredito que uma discussão adequada acerca dos sistemas lineares é o ponto de partida 
natural para toda a teoria que devemos enfrentar no curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear.
Antes de avançarmos, porém, seria interessante termos completa noção do que é uma equação 
linear. Em seguida, analisaremos os sistemas com um número qualquer de equações. Sendo as-
sim, acompanhe a próxima definição.
EQUAÇÃO LINEAR - UMA VARIÁVEL
Considere a equação: 
ax = b
com a, b є R. Ela é chamada de equação de primeiro grau, ou linear, por envolver somente uma 
possível soma com uma constante e o produto da constante com o termo independete . As se-
A =
1
1
2
2
B =
-2
-3
1
7
C =
-1
2
5
-3
A =
1
1
2
2
-1
5
B =
-2
-3
7
1
7
-1
C =
-1
2
A =
-1
7
1
1
2
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0
5
0
B =
-2
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C =
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guintes soluções são possíveis:
01_se a ≠ 0 , então x = é a ÚNICA SOLUÇÃO da equação linear. 
02_se a = 0 e b ≠ 0 , então a equação linear NÃO POSSUI SOLUÇÃO. 
03_se a = 0 e b = 0, então a equação linear possui INFINITAS SOLUÇÕES. 
Acreditamos que o leitor já esteja familiarizado com as possíveis soluções da definição acima. Por 
isso, daremos continuidade a nossa discussão. 
EQUAÇÃO LINEAR - ŋ VARIÁVEIS
Uma equação polinomial de primeiro grau (linear) nas ŋ variáveis x1 , x2, ... , xn é a soma da quan-
tidade finita de termos, dando origem a uma equação da forma 
a1 x1 , a2 x2 , ... , an xn = b
 
em que a1, a2, ... , an e b são constantes reais ( R ).
 
São ainda pertinentes as seguintes observações: 
01_Se a1 , a2 , ... , an = 0 a equação é chamada de DEGENERADA, possuindo dois casos: 
A) Se b ≠ 0 , então a equação linear degenerada não possui solução. 
B) Se b = 0 , então a equação linear degenerada possui infinitas soluções. 
02_Se a1 , a2 , ... , an são todos não nulos, ou seja diferentes de zero, a equação linear é chamada 
de NÃO-DEGENERADA. 
Perceba que de propósito não apresentamos na definição qual o aspecto da solução de uma 
equação linear não-degenerada. Tentaremos esclarecer o motivo dessa ausência com o exemplo 
a seguir.
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EXEMPLO
Considere a equação linear: 
2x + 6y - 4z = 10
nas incógnitas (variáveis)x, y e z. 
A solução deste problema pode ser obtida se, por exemplo, reescrevermos a equação da seguinte 
forma: 
x = 5 - 3y + 2z
ou seja, 
Ѕ = { ( x , y , z ) є R3 / x = 5 - 3y + 2z, com y , z є R }
 
onde tornamos x a nossa variável básica, com y e z chamadas de variáveis livres. 
Sendo assim, apresentaríamos uma solução genérica, porém, somente após nos informarem os 
valores de y e z é que teríamos encontrado o valor de x . 
Do exemplo acima, podemos perceber que uma única equação linear, apesar de modelar um 
problema real, ainda é imprecisa para determiar todas as condições naturais que deu origem a 
sua expressão matemática. Na verdade, como a equação possuia três variáveis, seriam necessá-
rias (no mínimo) um conjunto de três equações para obtermos a completa solução do problema.
Ainda antes de prosseguirmos, vamos rapidamente avaliar esses dois exemplos de ciência do 
ensino médio que facilmente nos esclarecem como surgem os problemas de sistemas lineares.
O primeiro exemplo é da estática. Suponha que tenhamos três objetos, em que sabemos que um 
tem massa igual a 2 kg e queremos encontrar as duas massas desconhecidas ( h e C ). O experi-
mento com uma balança produz duas situações de equilíbrio. 
15
h C 2
40 50
25
h2
25 50
C
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Para que as massas se equilibrem é preciso que a soma dos momentos à esquerda seja igual à 
soma dos momentos à direita, onde o momento de um objeto é sua massa vezes sua distância 
do ponto de equilíbrio. Isso dá um sistema de duas equações lineares.
40h + 15C = 100
25C = 50 + 50h
 
O segundo exemplo é da química. Podemos misturar, sob condições controladas, tolueno C7H8 e 
ácido nítrico HNO3 para produzir trinitrotolueno C7H5O6N3 juntamente com a água do subprodu-
to (as condições têm que ser muito bem controladas - o trinitrotolueno é mais conhecido como 
TNT). Em que proporção devemos misturá-los? O número de átomos em cada elemento presen-
te antes da reação:
 
xC7H8 + yHNO3 → zC7H5O6N3 + wH20
 
deve ser igual ao número presente após a reação. 
Aplicando esse conceito, por sua vez, aos elementos C , H , N e O obtemos o seguinte sistema 
linear: 
7x = 7z
8x + 1y = 5z + 2w
1y = 3z
3y = 6z + 1w
Ambos os exemplo se resumem a resolver um sistema de equações. Em cada sistema, as equa-
ções envolvem apenas a primeira ordem de cada variável - e por isso é chamada de linear. Sen-
do assim, a partir dessas considerações, estamos prontos para apresentar uma definição sobre 
os sistemas lineares.
SISTEMAS LINEARES
Um conjunto finito de equações lineares nas variáveis x1 , x2, ... , xn é chamado um sistema de 
equações lineares ou simplesmente um sistema linear. Uma sequência de números Ѕ1 , Ѕ2, ... , Ѕn 
é chamada uma solução do sistema se x1 = Ѕ1 , x2 = Ѕ2 , ... , xn = Ѕn é uma solução de cada equa-
ção do sistema. 
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Sua representação matemática costuma ser feita da seguinte forma:
a11x1
a21x1
...
am1x1
a12x2
a22x2
...
am2x2
...
...
...
...
a1nxn
a2nxn
...
amnxn
= b1
= b2
...
 = bm
=
em que aji e bk são constantes reais, para i, k = 1 ,..., m e j = 1 ,..., n . 
É evidente que você já sabe resolver alguns tipos de sistemas lineares. Entretando, quando o nú-
mero de equações se torna muito grande, ou temos menos equações do que incógnitas, podem 
surgir dúvidas, até mesmo sobre a existência ou não de solução para o sistema.
A fim de explorarmos um pouco melhor essa discussão, considere o sistema de equações lina-
res não-degeneradas dado por: 
nas incógnitas x e y .
Podemos observar facilmente que cada uma das equações do sistema linear representa a equa-
ção na forma canônica de uma reta contida no plano numérico R2 . Assim, podemos dar uma 
interpretação geométrica ao conjunto solução do sistema linear.
São três as situações geométricas para o conjunto solução, a saber: 
01_O gráfico das equações lineares são retas que se interceptam em um único ponto, isto é, são 
retas concorrentes. Assim, o sistema linear possui somente uma única solução. 
02_O gráfico das equações lineares são retas paralelas distintas. Assim, o sistema linear não 
possui solução. 
03_O gráfico das equações lineares são retas paralelas coincidentes. Portanto, o sistema linear 
possui infinitas soluções. 
a11x1+ a12y = b1
a21x + a22y = b2{
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Vejamos através de exemplos alguns desses casos.
EXEMPLO
Resolva o seguinte sistema linear: 
SOLUÇÃO:
Para resolvermos esse sistema vamos optar por eliminar a variável x das duas últimas equações. 
Para isso, vamos multiplicar -2 na primeira equação e somar com a segunda. Depois, multipli-
camos a primeira equação do sistema por -3 e somamos com a terceira. Obtemos, assim, o 
seguinte sistema equivalente: 
Observe que a segunda e a terceira equações agora formam um sistema de duas equações com 
duas variáveis: y e z . Procedendo de forma semelhante a anterior, vamos multiplicar a segunda 
equação acima por 3 e a terceira por -2 , e em seguida somamos as duas a fim de encontrar o 
seguinte sistema equivalente:
Agora que temos o valor de z , basta substituir na segunda e encontrar que y = 2 . E finalmente, 
com os valores de y e z substituidos na primeira equação, encontramos que X = 1. 
Portanto, temos que a solução do sistema dado é x = 1 , y = 2 e z = 3, que é única! 
No exemplo acima utilizamos o método básico de resolver um sistema de equações lineares, 
que consiste em substituir o sistema dado por um sistema novo que tem o mesmo conjunto-
 x
2x
3x{
y
4y
6y
2z
3z
5z
9
1
0
 +
+
+
+
-
-
=
=
=
 x{ y2y3y
2z
7z
11z
 9
- 17
- 27
 + +
-
-
=
=
=
 x{ y6y 2z21z z
 9
- 51
 3
 + +
+
=
=
=
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-solução, mas que é mais simples de resolver. Este sistema novo é geralmente obtido em uma 
sucessão de passos aplicando os seguintes três tipos de operac oes para eliminar sistematica-
mente as incógnitas: 
01_Multiplicar uma equação inteira por uma constante não nula; 
02_Trocar duas operações entre si; 
03_Somar um múltiplo de uma equação a uma outra equação. 
Observamos ainda que se existir ao menos uma solução do sistema dizermos que ele é consis-
tente. Por outro lado, um sistema de equações que não possui solução é chamado de inconsis-
tente. Para ilustrar essa possibilidade, vejamos um outro exemplo.
EXEMPLO
Resolva o seguinte sistema linear: 
Solução:
Multiplicando a segunda equação do sistema por ½ , encontramos o seguinte sistema equivalente: 
que resulta em um sistema contraditório. Ora, não faz sentido ao soma de X e y em uma equa-
ção oferecer como resultado 4 e na outra o resultado ser 3 . 
Portanto, esse sistema linear é inconsistente.
Resumindo, podemos afirmar que um sistema de equações lineares é CONSISTENTE se possui 
solução. Quando não possui solução, dizemos que é INCONSISTENTE. O diagrama a seguir pode 
ajudá-lo a fixar melhor essa conclusão. 
 x
2x{ y2y 4 6++ ==
 x
 x{ yy 4 3++ ==
{SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES INCONSISTENTESCONSISTENTES
NÃO POSSUI SOLUÇÃO
POSSUI UMA ÚNICA SOLUÇÃO
POSSUI INFINITAS SOLUÇÕES{
{
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Nas próximas seções veremos métodos que nos permitirão encontrar a solução de sistemas line-
ares para um número considerável de variáveis. Alertamos que esses métodos, a primeira vista, 
não parecerão muito atraentes, porém existe a vantagem deles serem facilmente implementa-
das em computadores e calculadoras na forma de um algoritmo.
Até este ponto em que chegamos na nossa discussão porém é muito importante que compre-
enda a seguinte afirmativa: todo sistema de equações lineares tem ou nenhuma solução, ou exa-
tamente uma ou então uma infinidade de soluções. Tal compreensão é relevante se você deseja 
reconhecer quando os sistemas possuem uma solução, são impossíveis ou possuem infinitas so-
luções.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO DO CONHECIMENTO
01_Encontre todas as soluções do seguinte sistema de equação lineares. Ao final, avalie o resulta-
do encontrado frente ao que estudamos até aqui. 
02_Resolva o seguinte sistema de equações lineares:
03_Encontre todas as soluções do seguinte sistema de equaçõeslineares:
 2x
4x{ 3y y 57+- ==
 2x
 x
 x{
3y
2y
4y
z
z
z
 0
1
2
+
-
+
+
-
+
=
=
=
 3x
 x
 4x{
 y
 y
2y
 z
z
2z
 1
0
1
+
+
+
+
+
+
=
=
=
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1.6 SISTEMAS E MATRIZES
Se mantivérmos o registro e a localização dos sinais de soma e subtração, das variáveis e das 
constantes de um sistema de equações lineares, podemos reescrever esse sistema na forma de 
uma matriz.
Considere, por exemplo, o seguinte sistema de equações lineares: 
cuja representação matricial teria a seguinte forma:
Note como carregamos para dentro da matriz apenas as constantes (os valores numéricos) acom-
panhados dos seus respectivos sinais. A matriz acima é chamada de MATRIZ AUMENTADA do 
sistema. Perceba, ainda, que cada linha da matriz corresponde a uma das equações, e que por 
isso temos uma matriz com três linhas.
É importante destacar também que quando construímos a matriz aumentada, as incógnitas de-
vem ser escritas na mesma ordem em cada uma das equações. Isso quer dizer que cada coefi-
ciente da primeira equação, por exemplo, corresponderá ordenadamente a uma entrada da pri-
meira linha. O termo independente será a quarta entrada desta primeira linha. E por isso a matriz 
terá quatro colunas, no caso do nosso exemplo. Portanto, o sistema exemplificado possui uma 
matriz aumentada de dimensão 3 x 4.
A matriz acima se chama aumentada para se distinguir da matriz: 
1
2
3
1
4
6
 2
-3
-5
9
1
0
 2
-3
-5
1
2
3
1
4
6
 x
 2x
 3x{
 y
4y
6y
2z
3z
5z
 9
1
0
+
+
+
+
-
-
=
=
=
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que é conhecida como MATRIZ DE COEFICIENTES do sistema. Utilizaremos, na sequência, as 
duas matrizes que não podem ser confundidas. 
Podemos destacar ainda as matrizes: 
que é chamada de MATRIZ DOS COEFICIENTES INDEPENDENTES e:
chamada de MATRIZ DAS VARIÁVEIS.
Considerando que já aprendemos a multiplicar matrizes, podemos representar um sistema de 
equações lineares, além de uma matriz aumenta, através da seguinte relação matricial: 
ou ainda: 
A . x = b
 
Note que x e b foram propositalmente escritos em negrito. Isso será evidenciado em discussões 
futuras.
Nosso objetivo na próxima seção é estudar um método de solução de sistemas lineares em geral. 
E a técnica a ser explorada envolve sermos capazes de converter um sistema inicial em sua for-
b =
9
1
0
x =
X
y
z
 2
-3
-5
1
2
3
1
4
6
X
y
z
=
9
1
0
.
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ma matricial, de maneira que a cada passo do método encontramos um sistema mais simples, 
porém equivalente ao original.
Esse novo sistema será obtido depois de aplicar sucessivamente uma série de operações, que não 
alteram a solução do sistema, sobre as equações. As operações que utilizaremos serão: 
01_Trocar a posição de duas equações do sistema; 
02_Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero; 
03_Somar a uma equação outra já multiplicada pelo escalar escolhido. 
Essas operação são chamadas de OPERAÇÕES ELEMENTARES. Como veremos, quando aplica-
mos operações elementares sobre as equações de um sistema linear somente os coeficientes são 
alterados. Assim, podemos aplicar as operações sobre a matriz aumentada do sistema.
1.7 OPERAÇÕES ELEMENTARES SOBRE LINHAS
Voltemos ao exemplo do último sistema apresentado, que por uma questão de conveniência es-
creveremos ao lado da sua respectiva matriz aumentada. 
Como brevemente informamos na seção anterior, nosso objetivo é desenvolver um procedimen-
to sistemático para encontrar soluções do sistema linear, através de operações matemáticas ele-
mentares, de modo que o sistema original não tenha sua solução alterada. Em outras palavras, 
vamos reescrever os sistemas tal que ele apresente um formato mais simples.
Para que você possa acompanhar melhor o nosso raciocínio, perceba que numeramos as linhas 
do sistema (e consequentemente da matriz aumentada). 
Nosso primeiro passo será eliminar a variável X das linhas ( l2 ) e ( l3 ). Para isso, precisamos 
multiplicar a linha ( l1 ) por -2 e somamos a equação obtida com a linha ( l2 ), obtendo uma nova 
equação ou uma nova linha ( ľ2 ). Da mesma maneira, produziremos a linha ( ľ3 ), obtida ao mul-
tiplicarmos a linha ( l1 ) por -3, somando esta nova equação à linha ( l3 ). Vamos simbolizar essas 
operações da seguinte maneira: 
 x
 2x
 3x{
 y
 4y
6y
2z
3z
5z
 9
1
0
+
+
+
+
-
-
=
=
=
1
2
3
1
4
6
 2
-3
-5
9
1
0
( l1 )
( l2 )
( l3 )
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operações da seguinte maneira: 
Antes de prosseguirmos é importante aprendermos a ler a simbologia das operações que fare-
mos. Por exemplo, a expressão ľ2 ← l2 - 2 · l1 deve ser lida assim: linha 2' , recebe a linha 2 
menos duas vezes a linha 1! 
Entenda que a expressão ( ľ2 ) ← l2 - 2 · l1 é na verdade a representação de uma operação ma-
temática, que deverá ser executada termo a termo entre as duas linhas ( l1 e l2 ). Vejamos: 
 x
 2x
 3x{
 y
 4y
6y
 2z
3z
5z
 9
1
0
+
+
+
+
-
-
=
=
=
1
2
3
1
4
6
 2
-3
-5
9
1
0
( ľ2 ) ← l2 - 2 · l1
( l3 ) ← l3 - 3 · l1
( ľ2 ) ← l2 - 2 · l1 ▷
 a’21
 a’22
 a’23
 a’24
{
 a21
 a22
 a23
 a24
2a11
2a12
2a13
2a14
 2
 4
-3
1
=
=
=
=
-
-
-
-
=
=
=
=
 2(1)
 2(1)
2(2)
2(9)
-
-
-
-
 2
 4
-3
1
=
=
=
=
 2
 2
4
18
-
-
-
-
 0
 2
-7
-17
=
=
=
=
E da mesma forma:
( l3 ) ← l3 - 3 · l1 ▷
 a’31
 a’32
 a’33
 a’34
{
 a’31
 a’32
 a’33
 a’34
2a11
2a12
2a13
2a14
 3
 6
-5
0
=
=
=
=
-
-
-
-
=
=
=
=
 3(1)
 3(1)
3(2)
3(9)
-
-
-
-
 3
 6
-5
0
=
=
=
=
 3
 3
6
27
-
-
-
-
 0
 3
-11
-27
=
=
=
=
O nosso sistema linear então adquiriu a seguinte configuração:
 x
 { y 2y3y
 2z
 7z
11z
 9
-17
-27
+ +
-
-
=
=
=
1
0
0
1
2
3
 2
-7
-11 
 9
-17
-27
Nosso segundo passo será tornar o coeficiente de y em l2 igual a 1 (ou seja, precisamos converter 
a22 em uma unidade). Para isto, podemos dividir toda a linha l2 por 2. A representação matemá-
tica desse comando seria:
 x
 { y 2y3y
 2z
 7z
11z
 9
-17
-27
+ +
-
-
=
=
=
1
0
0
1
2
3
 2
-7
-11 
 9
-17
-27
 ľ2 ←
(l2)
2
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que nos fornece:
 x
 { y y3y
 2z
 7/2z
11z
 9
-17/2
-27
+ +
-
-
=
=
=
1
0
0
1
1
3
 2
-7/2
-11 
 9
-17/2
-27
O terceiro passo será eliminar a variável y da linha l3 . Para isso, somaremos a linha l3 a linha l2 
multiplicada por -3, ou seja:
 x
 { y y3y
 2z
 7/2z
11z
 9
-17/2
-27
+ +
-
-
=
=
=
1
0
0
1
1
3
 2
-7/2
-11 
 9
-17/2
-27
 ľ3← l3 - 3l2
Então, vejamos cuidadosamente as operações algébricas básicas relacionadas a expressão 
ľ3 ← l3 - 3l2 :
ľ3 ← l3 - 3 · l2 ▷
 a’31
 a’32
 a’33
 a’34
{
 a’31
 a’32
 a’33
 a’34
3a21
3a22
3a23
3a24
 0
3
-11
-27
=
=
=
=
-
-
-
-
=
=
=
=
 3(0)
 3(1)
3(-7/2)
3(-17/2)
-
-
-
-
 0
 3
-11
-27
=
=
=
=
 0
3
21/2
51/2
-
-
+
+
 0
 0
-1/2
-3/2
=
=
=
=
E com esse novos valores para a linha nosso sistema linear fica:
 x
 { y y 2z 7/2z1/2z
 9
-17/2
-3/2
+ +
-
-
=
=
=
1
0
0
1
1
0
 2
-7/2
-1/2 
 9
-17/2
-3/2
Vamos indicar o quarto passo como sendo a multiplicação de toda a linha l3 por -2, ou seja:
 x
 { y y 2z 7/2z1/2z
 9
-17/2
-3/2
+ +
-
-
=
=
=
1
0
0
1
1
0
 2
-7/2
-1/2 
 9
-17/2
-3/2
 ľ3 ← -2l3
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le
i.
que nos fornece, finalmente:
 x
 { y y 2z 7/2zz
 9
-17/2
3
+ +
-
=
=
=
1
0
0
1
1
0
 2
-7/2
1 
 9
-17/2
3
De imediato, PERCEBA O QUANTO O SISTEMA LINEAR FICOU MAIS SIMPLES! Agora, já sabe-
mos que z = 3. Portanto, se substituirmos o valor de na linha do sistema conseguimos encontrar 
o valor de y . Verifiquemos essa afirmação:
 y z - =
7
2
17
2
 -
 y (3) - =
7
2
17
2
 -
 y - =
21
2
17
2
 -
 y =
21
2
17
2
 -
 y =
4
2
 y = 2
E agora, além do valor de z, sabemos também o valor de y . Logo, é possível encontrarmos o valor 
de x através da equação da linha ľ . Vamos às contas:
 x
 x
 x
 y
 2
 2
 x
 2z
2(3)
6
8
x
x
 9
9
9
9
9
1
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
 
8-
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i.
Encontramos, assim, a solução que satisfaz o sistema linear, ou seja:
x = 1
y = 2
z = 3{
ou ainda, expressando essa solução de uma outra forma, temos:
Ѕ = { ( x , y , z ) є R3 / x = 1, y = 2, z = 3 }
Como vimos, o processo utilizado para resolver sistemas por eliminação das incógnitas corres-
ponde a passar a matriz aumentada do sistema inicial para matrizes-linhas equivalentes a esta, 
até que cheguemos a uma matriz conveniente que indique a solução do sistema original. Note 
que a matriz final obtida é um exemplo do que chamaremos de matriz reduzida à forma de esca-
da. Observe a figura a seguir.
1
0
0
1
1
0
 2
-7/2
1 
 9
-17/2
3
Figura: Forma de escada, em destaque, na matriz reduzida do exemplo estudado.
A definição a seguir formaliza as operações que fizemos como um processo matemático a ser 
seguido.
DEFINIÇÃO: FORMA ESCALONADA
Uma matriz m x n é reduzida por linha à forma escada se: 
01_Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não-nulo da linha é 1 . Cha-
mamos este número 1 de líder ou pivô. 
02_Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas 
inferiores da matriz. 
03_Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o líder da linha inferior 
ocorre mais à direita que o líder da linha superior. 
04_Cada coluna que contém um líder tem zeros nas demais entradas. 
Dizemos que uma matriz que tem essas três primeiras propriedades está na forma escalonada. 
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i.
Entretanto, se considerarmos também o ítem (d) da lista na definição acima, definimos o método 
de Gauss para resolução de sistemas - um dos mais adotados em computadores, por oferecer um 
menor número de operações algébricas.
O método de eliminação de Gauss ou eliminação gaussiana consiste em se reduzir a matriz au-
mentada do sistema, da forma escalonada, a uma matriz reduzida por linhas que tem zeros abai-
xo e acima de cada pivô. Não se trata de sorte - o método de Gauss é o que chamamos de algorit-
mo - que sempre funciona. E este algoritmo, na prática, obedece às seguintes etapas: 
01_ETAPA 1: obtenção da matriz aumentada [ A|b ] do sistema. 
02_ETAPA 2: transformação da matriz aumentada [ A|b] a uma matriz aumentada [ A|b] , onde 
A é uma matriz triangular superior, através dos seguintes passos: 
 A) Uma equação é trocada por outra; 
 B) Uma equação tem ambos os lados multiplicados por uma constante diferente de zero, e; 
 C) Uma equação é substituída pela soma de si mesma e um múltiplo de outra. 
Então os dois sistemas têm o mesmo conjunto de soluções. 
Uma dúvida freqüente que ocorre ao aplicarmos processo que acabamos de concluir para re-
solver o sistema utilizando a matriz aumentadao é a seguinte: neste processo de obter a forma 
escalonada, o que é legítimo fazer e o que não é? 
Para responder a esta pergunta lembre-se de como obtivemos a matriz aumentada a partir de 
um sistema de equações e da sua experiência anterior com equações. Dada uma equação, você 
sabe que se multiplicar todos os seus termos por uma constante isso não altera suas soluções. Da 
mesma forma, dado um sistema de duas equações, você sabe que suas soluções não se alteram 
se você troca as equações de ordem ou substitui uma delas por ela multiplicada por uma cons-
tante mais a outra multiplicada por uma outra constante. São estas as operações legítimas que 
você pode efetuar em uma matriz de forma a trazê-la à forma escalonada reduzida por linhas: 
01_Trocar as linhas da matriz. 
02_Multiplicar as entradas de uma linha por uma constante não nula. 
03_Substituir uma linha por ela multiplicada por uma constante mais uma outra multiplicada 
por outra constante. 
O leitor pode escolher, livremente, se completa o duplo escalonamento ou se resolve o sistema a 
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i.
partir da matriz escalonada.
A seguir apresentamos algumas atividades de fixação. 
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO DO CONHECIMENTO
Resolva os seguintes sistemas lineares com o método de escalonamento de Gauss. 
 2x
 -x
 -3x {
 4y
 y
y
 6z
 z
z
 13
1/2
- 11/2
+
+
-
-
-
-
=
=
=
02_
 x
 2x
 
 -x{
 2y
2y
y
y
 3z
 6z
3z
3z
w
3w
2 w
w
-
+
-
-
+
+
+
-
-
-
+
+
 1
3
-1
-1
=
=
=
=
 x
 2x
 -2x {
 y
 y
3y
 z
 3z
z
 -1
-2
2
-
-
+
+
+
-
=
=
=
03_
 x
 x
 -2x {
 y
 y
4y
 z
 z
2z
 1
-1
1
+
+
-
+
+
-
=
=
=
04_
1.8 REDUÇÃO PELO MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Retornando ao sistema linear utilizado na seção anterior, novamente, por uma questão de conve-
niência para que o leitor possa acompanhar a evolução a ser proposta, temos: 
 x
 2x
 3x {
 y
 4y
6y
 2z
 3z
5z
 9
1
0
+
+
+
+
-
-
=
=
=
01_
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i.
cuja forma escalonada é a seguinte:
 x
 { y y 2z 7/2z z
 9
-17/2
3
+ +
-
=
=
=
Para obtermos a forma escalonada reduzida por linhas precisamos de mais um passo. Sendo 
assim, retornemos a últimaversão da matriz aumentada, estudada na contextualização desta 
seção, ou seja:
Começando da última linha não-nula e trabalhando para cima, vamos somar múltiplos conve-
nientes de cada linhas às linhas superiores para introduzir zeros acima dos líderes. Isso equivale 
a eliminarmos agora as variáveis restantes em cima de cada pivo. Então, observando o sistema 
acima, precisamos eliminar a variável z das linhas l2 e l1. As transformações linares a serem feitas 
serão indicadas ao lado da matriz aumentada, como antes:
 x
 { y y 2z 7/2z z
 9
-17/2
3
+ +
-
=
=
=
1
0
0
1
1
0
 2
-7/2
1 
 9
-17/2
3
 x
 { y y 2z 7/2z z
 9
-17/2
3
+ +
-
=
=
=
1
0
0
1
1
0
 2
-7/2
1 
 9
-17/2
3
( ľ1 ) ← l1 - 2 · l3
( l2 ) ← l2 + 7/2 · l3
Vamos às contas. Na linha l2, temos:
ľ2 ← l2 + 7/2 · l3 ▷
 a’21
 a’22
 a’23
 a’24
{
 a’21
 a’22
 a’23
 a’24
3a31
3a32
3a33
3a34
 0
1
-7/2
-17/2
=
=
=
=
-
-
-
-
=
=
=
=
 7/2(0)
 7/2(0)
7/2(1)
7/2(3)
+
+
+
+
 0
1
-7/2
-17/2
=
=
=
=
 0
0
7/2
21/2
-
+
+
+
 0
 1
-0
2
=
=
=
=
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i.
e a linha l1 , fica:
ľ1 ← l1 - 2 · l3 ▷
 a’11
 a’12
 a’13
 a’14
{
 a’11
 a’12
 a’13
 a’14
3a31
3a32
3a33
3a34
1
1
2
9
=
=
=
=
-
-
-
-
=
=
=
=
2(0)
 2(0)
2(1)
2(3)
-
-
-
-
1
1
2
9
=
=
=
=
 0
0
2
6
-
+
-
-
 1
1
0
3
=
=
=
=
E assim, o novo sistema é o seguinte:
{ x y yz
3
2
3
+ =
=
=
1
0
0
1
1
0
 0
0
1
 3
2
3
 ľ1 ← l1 - l2
obtendo:
ľ1 ← l1 - l2 ▷
 a’11
 a’12
 a’13
 a’14
{
 a’11
 a’12
 a’13
 a’14
3a21
3a22
3a23
3a24
1
1
0
3
=
=
=
=
-
-
-
-
=
=
=
=
0
 1
0
2
-
-
-
-
1
0
0
1
=
=
=
=
Finalmente, encontramos a versão mais simplificada do sistema linear original, que é:
{ x yz
1
2
3
=
=
=
1
0
0
0
1
0
 0
0
1
 3
2
3
O custo de usar a redução de Gauss-Jordan para resolver um sistema é a aritmética adicional. O 
benefício é que podemos obter em um único algoritmo o conjunto solucão do sistema linear.
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i.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO DO CONHECIMENTO
Use o método de redução de Gauss-Jordan para resolver cada um dos sistemas a seguir 
 2x
 x { y 3y y
 
 z
2z
 -1
 5
 5
-
+
-
-
+
=
=
=
03_
 x
 2x
 3x {
 y
 y
 y
 z
 z
2z
 3
1
0
+
-
+
-
-
+
=
=
=
04_
 x
 x 
 y
 y
 2
 0
+
-
=
=
01_ {
 3x
 6x 
 2y
 y
1
1/2
-
+
=
=
02_ {
1.9 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES COM PARÂMETROS
Podemos ter sistemas de equações lineares cujos coeficientes, ao invés de serem números fixa-
dos, dependem de um parâmetro real. Neste caso, dependendo do valor dos parâmetros, pode-
remos ter uma solução, infinitas soluções ou até mesmo nenhuma solução. 
Podemos aplicar o método de Gauss e avaliar quantos e quais são os pivos, dependendo do valor 
do parâmetro apresentado. Considere o seguinte exemplo.
EXEMPLO
Resolva o seguinte sistema de equaçõs lineares: 
 x
 2x
 {
 y
 3y
 ay
 z
az
2z
 1
1
2
+
+
+
-
+
+
=
=
=
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i.
SOLUÇÃO:
Para resolver o sistema passamos à matriz aumentada, como anteriormente, sem nos preocupar-
mos com a presença do parâmetro que deve ser pensado como um número qualquer. No final, 
estudaremos as possibilidades para o sistema a partir do valor de a . 
1
2
1
1
3
a
-1
a
3
1
3
2
O nosso método será novamente encontrar a forma escalonada da matriz aumentada. Aplicadas 
as equações de transformação para zerar as entradas em relação ao pivô da primeira linha, os 
resultados são os seguintes:
1
2
1
1
3
a
-1
a
3
1
3
2
ľ2 ← l2 - 2 · l1 
ľ3 ← l3 - l3 
▷
1
0
0
1
1
a-1
-1
2+a
3
1
1
1
Agora, para zerarmos abaixo do pivô da segunda linha, admitimos a seguinte transformação line-
ar: ľ3 ← l3 - l3 - ( a-1 ) · l2. A nova configuração da matriz é apresentada na sequência.
ľ3 ← l3 - (a-1) l2 ▷
1
0
0
1
1
0
-1
2+a
-(a-1)(2+a)+4
1
1
- (a-1) + 1
1
0
0
1
1
a-1
-1
2+a
3
1
1
1
Efetuando a álgebra pertinente é possível simplificar nossa matriz aumenta, a fim de que fique 
com a seguinte forma:
1
0
0
1
1
0
-1
2+a
(a+3)(2-a)
1
1
2-a
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i.
Para finalizarmos, precisamos analisar a dependência do sistema com o parâmetro . Por exem-
plo, se , a última linha da matriz se anula, obtendo a seguinte forma:
1
0
0
1
1
0
 -1
4
0 
1
1
0
Para encontrarmos as soluções do sistema escrevemos as equações correspondentes às duas 
linhas não nulas y - 2z = 2 e x + z = 2 . Neste caso, temos infinitas soluções para o sistema. Fazendo 
z = t, temos x = 2 - t e y = 2 + 2t . Qualquer valor de t nos fornece uma solução. Para t = 1 temos x = 
1, y = 4, z = 1; para t = 2 temos x = 0, y = 4, z = 2 e assim por diante. Portanto, se a = 2 existe uma 
infinidade de soluções possíveis para o Sistema Linear.
Se, por outro lado, a = -3 , a última equação se torna 0z = 5 , e o sistema é claramente impossível 
pois a expressão da última linha seria 0x + 0y + 0z = 5 , que não possui significado matemático 
válido.
Por fim, em todos os outros casos, ou seja, para a ≠ { 2 ; 3 } o sistema possui uma única solução.
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as
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le
i.
RESUMO:
Vimos nesta unidade o conceito de matriz e conhecemos seus tipos especiais. Aprendemos a 
comparar duas matrizes, a identificar a matriz nula, bem como vimos algumas matrizes quadradas 
que se destacam por suas características e que serão especialmente úteis no desenvolvimento 
da teoria. 
Os sistemas de equações algébricas lineares e suas soluções também foram abordados, quando 
demonstramos que constituem um dos principais tópicos estudados em cursos conhecidos 
como “álgebra linear”. De maneira sutil, introduzimos a aplicação de algumas terminologias 
importantes para compreensão dos conteúdos. 
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a 
le
i.
REFERÊNCIA:
BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan. Geometria Analítica: um tratamento 
vetorial. Pearson / Prentice Hall (Grupo Pearson), 2004.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. Makron Books (Grupo 
Pearson), 2000.
ANTON, Howard. Álgebra Linear com Aplicações -8ª edição. Bookman, 2001.
MACHADO, Antonio dos Santos. Álgebra Linear e Geometria Analítica -2ª 
edição. São Paulo: Atual Editora,1996.
MURDOCK, David D. Geometria Analítica -2ª edição. Rio de Janeiro: LCT 
Editora, 1971.
BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lucia; 
WETZLER, Henry G. Álgebra Linear - 3ª edição. São Paulo: Harper e How do 
Brasil, 1980.
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