UNIDADE 1 - Introducao a Algebra Linear AMPLI

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Introdução da Unidade
Objetivos da Unidade
Ao final desta Unidade, você será capaz de:
· esclarecer a representação de dados na forma matricial; 
· identificar modelagem de problemas aplicados como sistema de equações lineares; 
· aplicar vetores e suas operações na resolução de problemas geométricos aplicados. 
Estudante, quando escutamos o termo “métodos matemáticos”, é natural que o primeiro conceito que vem em nossa cabeça é a relação com a realização de inúmeros cálculos, às vezes até sem-fim. Mas, será que estamos corretos sobre esse conceito? 
Para iniciar seu entendimento sobre os conceitos abordados, trabalharemos com a ideia de matrizes, as quais são, em linguagem popular, tabelas com um gama de dados. As matrizes são objetos matemáticos úteis para organização e manipulação de dados computacionalmente. Após essa ênfase no conceito de matrizes, estudaremos outro conceito que é muito comum, especialmente em modelagem: sistemas lineares. Os sistemas lineares podem ser aplicados em diversas situações, por exemplo, no balanceamento de equações químicas, no cálculo de lucros e dividendos de em empresa, nos problemas de otimização, na resistência de vigas, entre muitas outras aplicações comuns em nosso cotidiano. 
Por fim, encerraremos a unidade com o conceito de autovalores e autovetores, os quais, em geral, são utilizados em problemas de otimização computacional e em aplicações voltadas para a área da física em contexto de mecânica.
Para exemplificar, suponha que você tem que lidar com um problema de construção civil, cujo objetivo é avaliar a resistência das vigas. Para resolver essa questão, você, inicialmente, trabalhará com a experimentação da situação e coletará os dados dela. A partir disso, montará a matriz com os dados. Com a matriz em mãos, por meio de sistemas lineares e operações com matrizes, você poderá validar a sua hipótese sobre a resistência das vigas. Esta, porém, não é a única situação em engenharia que você pode utilizar tais conceitos. Existem muitas outras, como predição de níveis de poluição atmosférica, na engenharia ambiental; concentração de solventes, na engenharia química; relatórios financeiros empresariais, no setor público ou privado; entre muitas outras aplicações. Já se imaginou trabalhando com as matrizes e os sistemas lineares sob essa visão? Para lhe auxiliar, aprenderemos, no decorrer desta unidade, um pouco mais sobre esses objetos. Mãos à obra!
Introdução da Aula
Qual é o foco da aula?
Nesta aula, você estudará sobre Matrizes. 
Objetivos gerais de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
· identificar a importância do papel das matrizes quando se trata de dados dispostos em tabelas; 
· descrever como realizar operações com dados das matrizes; 
· empregar o conceito de matrizes e determinantes. 
Situação-problema
Nesta aula, entenderemos o conceito de matrizes e determinantes por meio de exemplos práticos e das definições dadas pela matemática em si. Com isso, você compreenderá a importância do papel das matrizes quando se trata de dados dispostos em tabelas e como realizar operações com esses dados.
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar uma experimentação de resistência de vigas de uma construção civil, em que se obteve os valores das componentes das forças para cada uma das realizações do experimento. Os dados foram todos dispostos em tabelas, as quais, por sua vez, podem ser dispostas em matrizes para realização de cálculos, a fim de se atingir o objetivo da pesquisa ou do trabalho, que pode ser, por exemplo, o tempo total gasto para realização do experimento ou a escala das forças consideradas nele. Portanto, o uso de operações utilizando-se o conceito de matriz permite um melhor entendimento e interpretações do experimento em questão.
Vamos criar uma situação hipotética para exemplificar o uso de matrizes no dia a dia de trabalho, especialmente em áreas relacionadas à engenharia.
Imagine que você foi convocado e nomeado para realizar uma verificação do último relatório bimestral de uma empresa de construção civil no ano de 2020 em relação às vendas de cimento e cal. Os dados de venda da empresa são descritos pela matriz:
Cada elemento dessa matriz representa o número de unidades dos produtos do tipo i (i = 1). A representação do cimento (i = 2) e a representação da cal vendidos no mês j (j = 1) representam novembro, e j = 2 representa dezembro. De acordo com as exigências, foi-lhe pedido para verificar as seguintes questões:
1. Qual produto e em qual mês foi vendido menos sacos? Qual a maior diferença de vendas entre os produtos nos meses correspondentes?
2. Qual foi a arrecadação bruta da empresa no bimestre com esses dois tipos de produtos, se o pacote de cimento custa R$30,00 e o pacote de cal custa R$50,00? Qual foi a arrecadação bruta de cada mês?
Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em todo o processo. Iniciaremos com os conceitos fundamentais de matrizes, para que você possa entender a relação delas com a disposição de dados em tabelas e como realizar operações.
Conceito de Matriz
Ao estudar métodos matemáticos, deparamo-nos com diversos conceitos. Nesta aula, abordaremos um conceito usual em muitas áreas do conhecimento, o conceito de matrizes. As matrizes são essenciais para muitos problemas, não apenas porque elas “ordenam e simplificam” mas também porque oferecem novos métodos de resoluções e novos olhares sobre o problema.
Neste aspecto, entende-se por uma matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao coletarmos dados referentes às concentrações de pH do rio Columbia no primeiro trimestre dos anos de 2013 a 2015, podemos dispô-los na tabela a seguir.
Concentrações de pH do rio Columbia de acordo com a estação de monitoramento de água Umatilla do estado de Washington, nos Estados Unidos, no período de 2013 a 2015. Fonte: https://bit.ly/384JRCT. Acesso em: 20 jan. 2021.Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, obtemos a seguinte matriz:
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💭 Reflita
Quando temos uma tabela com uma enorme quantidade de linhas e colunas, isto é, diversas variáveis, é viável a disposição desses dados em forma de matriz?
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Uma questão que você pode estar se perguntando é: quais são os elementos que as matrizes podem incorporar? Na primeira impressão, pode parecer que as matrizes incorporam apenas números, porém elas podem incorporar muitos outros elementos, por exemplo, funções, matrizes, números complexos etc. De fato, considere a matriz:
Essa matriz contém em suas entradas números complexos e equações/funções algébricas. Logo, uma matriz pode também conter uma combinação de elementos de natureza diferente, não sendo exclusivamente formada por apenas números.
Outro fator importante quando se trabalha com matriz é a representação dela em termos algébricos. Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por:
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🔁 Assimile
______ 
Quando se fala de matriz, uma propriedade que merece destaque é a de igualdade de matrizes. Diremos que duas matrizes são iguais se elas têm necessariamente o mesmo número de linhas e colunas e seus termos correspondentes são todos iguais.
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📝 Exemplificando
Considere as matrizes de concentrações de pH de dois rios aleatórios:
Note que, embora os números apresentados em ambas as matrizes sejam iguais, as matrizes não são iguais, pois o número de linhas e colunas são diferentes e os elementos na posição correspondente também são diferentes.
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Uma segunda propriedade das matrizes é a operação de adição de matrizes. Por exemplo, consideramos as tabelas abaixo, as quais descrevem a produção de materiais de construção em dois anos consecutivos em três regiões brasileiras.
Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) no primeiro ano. Fonte: elaborada pelo autor.Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) no segundo ano. Fonte: elaborada pelo autor.
Suponha que nosso interesse seja descrever uma tabela que nos dê a produção por material de construção e por região nos dois anosconjuntamente. Como procederemos? Ora, neste caso, partimos da operação conhecida como adição de matrizes. Para realizá-la, devemos verificar se ambas as tabelas têm o mesmo número de linhas e de colunas. No nosso exemplo, essa condição é satisfeita. Logo, basta somar os elementos correspondentes e teremos a resposta para nosso objetivo! Assim:
Portanto, a produção por material de construção e por região nos dois anos conjuntamente é descrita pela tabela abaixo. 
Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) nos dois anos. Fonte: elaborada pelo autor.
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🔁 Assimile
Além da adição e da igualdade de matrizes, duas outras operações são comuns ao estudarmos matrizes: a multiplicação de um escalar (número) por uma matriz e a multiplicação de matrizes. Ambas as operações podem ser definidas formalmente como: 
A primeira operação definida é relativamente simples, pois basta multiplicar o número por cada elemento da matriz. Quanto à segunda operação, devemos tomar um certo cuidado com ela. Por quê? Vamos ver algumas observações do produto de matrizes:
· Só podemos multiplicar duas matrizes A e B se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
· O elemento é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz e somando-se esses produtos.
· O produto AB das matrizes A e B geralmente é diferente do produto BA das matrizes B e A. Além disso, em qualquer um dos casos, o produto pode não existir.
Para exemplificar essa operação, consideraremos a matriz A, que representa o quadro com o número de engenheiros de uma construção civil, e B como uma matriz que representa o número de projetos disponíveis em cada área da empresa, em que:
Suponha que o interesse seja multiplicar ambos os quadros, a fim de monitorar os recursos para a disposição dos projetos associados aos engenheiros. Neste caso, queremos trabalhar com o produto da matriz A com a matriz B. Isto é,
Como o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B, podemos realizar o produto, e o resultado é uma matriz dada pelo número de linhas de A com o número de colunas de B, isto é, a ordem da matriz resultante é . Assim:
Portanto, a matriz que representa os recursos para a disposição dos projetos associados aos engenheiros da empresa é dada por:
Tipos de Matrizes
Agora que sabemos algumas das operações básicas de matrizes, interessa-nos saber quais são os tipos de matrizes que podemos encontrar em nossas situações-problema. Dos tipos conhecidos de matrizes, destacaremos dez deles:
Agora que conhecemos os tipos de matrizes e as operações básicas em relação às matrizes, podemos definir o que é um determinante de uma matriz. Esse conceito será útil nas seções posteriores na solução de sistemas lineares envolvendo algumas situações do cotidiano.
O que é determinante? Ora, quando nos referimos a esse termo, estamos nos referindo a um número associado a uma matriz quadrada A. Esse número é denotado como det(A) ou |A|. Mas, como encontra-se esse valor? Depende do tamanho da nossa matriz. Nesta aula, trabalharemos com determinantes de matrizes até a ordem . Vamos lá?
Para as matrizes de ordem 1x1, não temos nenhum cálculo associado ao determinante, uma vez o que ele será o próprio elemento da matriz. No entanto, para uma matriz de ordem 2x2, o cálculo do determinante é feito realizando o produto dos elementos da diagonal principal subtraindo o produto dos elementos da diagonal secundária. Em termos matemáticos, temos:
Para as matrizes , o cálculo é feito da mesma maneira? Não necessariamente. Neste caso, utilizamos a regra de Sarrus para realizar o cálculo. Por esta regra, adicionamos duas novas colunas na matriz inicial, repetindo os valores das duas primeiras colunas. Agora temos três diagonais principais e três secundárias. Procedemos, então, da mesma forma do determinante . Em termos matemáticos, fazemos:
Com isso, encerramos a nossa primeira aula sobre os conceitos básicos e fundamentais de matrizes e determinantes, além das operações com esses objetos. Tais conceitos serão de suma importância para orientar sua equipe no trabalho proposto no início da unidade, especialmente para organização de dados.
Conclusão
Nosso problema aqui é conferir as informações do relatório da empresa, especificamente a matriz que representa as vendas. Para responder à primeira questão, devemos, inicialmente, descrever o que cada linha e cada coluna representa. Para esta empresa, as linhas são os produtos, e as colunas, os meses. Assim, para saber qual produto teve o menor número de sacos vendidos, basta olhar qual é a menor entrada da matriz. Neste caso, é o elemento , sobre o qual se observa que foram vendidos 1.375 sacos de cal. Já para a segunda questão, precisamos identificar a quais elementos a matriz se refere. O número de sacos de cal vendidos em novembro, de acordo com a matriz, é o elemento , e o número de sacos de cimento vendidos em dezembro é representado pelo elemento. Logo, para saber quantos sacos de cal foram vendidos a mais que sacos de cimento, deve-se fazer a seguinte operação:
Portanto, em dezembro, foram vendidos 75 sacos de cal a mais que sacos de cimento nessa empresa. Logo, a maior diferença de vendas foi no mês de novembro. 
Por fim, para a última questão, temos duas operações a se fazer. A primeira delas é somar o número de sacos de cal e de cimento, individualmente. 
Assim, a arrecadação do último bimestre de 2020 pela empresa foi um total de R$ 273.600,00. Por outro lado, em relação à arrecadação total no bimestre, podemos também trabalhar com o produto de matrizes definido, como:
Em que a primeira matriz representa os valores de cada produto, e a segunda matriz 2x2 representa as vendas. Para obter o total arrecadado, basta realizar o produto e somar as entradas, o que, nesse caso, é R$ 273.600,00. A vantagem desse método é que a matriz resultante do produto traz a arrecadação bruta em cada mês, e ela é dada por:
Introdução da Aula
Qual é o foco da aula?
Nesta aula, você estudará sobre Sistemas Lineares. 
Objetivos gerais de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
· definir os sistemas de equações lineares; 
· descrever operações elementares, matrizes equivalentes e escalonamento;
· esclarecer os sistemas não-homogêneos e matrizes inversíveis. 
Situação-problema
Estudante, nesta aula, entenderemos o conceito de sistemas lineares por meio de exemplos práticos e de definições dadas pela matemática em si. Com isso, você compreenderá a importância do papel dos sistemas lineares e como eles podem ser utilizados em situações do dia a dia.
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar o balanceamento de equações químicas, muito comuns em aplicações de engenharia química. Balancear uma equação pode nos dizer muitas coisas sobre o comportamento de uma molécula em determinada reação, e os sistemas lineares são fundamentais para trabalharmos com esse conceito, por permitirem calcular com precisão a quantidade de átomos necessários para que se tenha um equilíbrio químico na reação.
Estudante, criaremos uma situação hipotética para exemplificar o uso de sistemas lineares no dia a dia de trabalho, especialmente em áreas relacionadas à engenharia.
Em engenharia elétrica, uma das aplicações mais comuns de sistemas lineares é a que envolve circuitos elétricos. Suponha que você tenha sido contratado para identificar os valores da corrente elétrica em um circuito elétrico composto por quatro ciclos fechados, no qual as correntes são denotadas como I1, I2, I3, I4, e as direções atribuídas a cada uma dessas correntes são arbitrárias, isto é, se uma corrente tem valor negativo para sua intensidade, então sua direção real é inversa à direção estipulada na situação considerada. Lembrando-se de que o fluxo de corrente num ciclo é governado pelas leis de Kirchhoff (a soma algébrica das quedas de voltagem em torno do ciclo é igual à soma algébrica das fontes de voltagem na mesma direção desse ciclo), foiobtido o seguinte sistema linear para o problema:
No relatório que você deve escrever, há as seguintes perguntas: quais são os valores das correntes elétricas nessa situação, de acordo com o sistema de equações obtido? Quais são as direções dessas correntes? Para responder a essas questões, sugere-se trabalhar com a forma linha-reduzida do sistema linear em questão. Além disso, para entregar o relatório completo com suas observações, foi-lhe solicitada a indicação dos campos: nome da empresa, problema, solução, custo e assinatura.
Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em todo o processo. Iniciaremos com os conceitos fundamentais de sistemas lineares e suas aplicações em engenharia química; em seguida, trabalharemos com métodos de soluções desses sistemas, especialmente em forma de matrizes.
Sistema Linear de Equações
Anteriormente, exploramos o conceito de matrizes e suas principais características. Será que é somente esse tipo de estrutura que encontramos no nosso dia a dia? Para responder a essa questão, consideraremos a situação em que você deseja, por exemplo, saber quantas moléculas de hidrogênio (H2) e de oxigênio (O2) são necessárias para formar a água (H2O). Podemos escrever essa relação como:
Se conseguir resolver o sistema apresentado, temos o número de moléculas necessárias para satisfazer a reação e, assim, entender um pouco sobre reações químicas na natureza. Essa estrutura aqui introduzida é chamada de sistema linear de equações e será nosso objeto de estudo desta unidade.
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🔁 Assimile
Matematicamente, definimos um sistema linear com m equações e n incógnitas como sendo um conjunto de equações do tipo:
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Os sistemas lineares são utilizados em muitas situações, por exemplo, tráfego de veículos, balanceamento de equações químicas, funções polinomiais, ruído acústico, sistemas GPS, mecanismos de busca (como o Google), entre muitas outras. Nosso foco será, em especial, as aplicações voltadas para a engenharia.
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📝 Exemplificando
Como primeiro exemplo, consideremos a combustão da gasolina. Embora a gasolina seja uma mistura de hidrocarbonetos, o composto que predomina é o C8H18. Em estudos de engenharia química, estabelece-se que a combustão completa da gasolina acontece quando reage com o gás oxigênio, que resulta em gás carbônico e água, isto é,
Assim, observa-se que:
· a relação para os átomos de carbono é: 8x=w;
· a relação para os átomos de hidrogênio é: 18x=2z;
· a relação para os átomos de oxigênio é: 2y=2w+z.
A partir dessas informações, podemos escrever o seguinte sistema linear:
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Para responder à questão do nosso exemplo, introduziremos um novo conceito: matriz ampliada de um sistema linear. Considere o sistema linear em sua forma geral:
Essa matriz é chamada de matriz ampliada do sistema. Nela, cada linha é apenas uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. Voltando ao nosso exemplo, podemos reescrever o sistema da combustão de gasolina em forma matricial como:
Qual é o próximo passo? Para prosseguir, necessitamos de um outro conceito, o qual chamamos de operações elementares. Elas são operações que realizamos na matriz ampliada do sistema, a fim de obter uma matriz equivalente, que nos trará a solução, caso exista, do sistema. São três tipos de operações que podemos considerar:
Veja que agora nossa matriz equivalente tem um aspecto mais simples para obtermos a solução do sistema. Assim, podemos retornar para as equações do sistema, reescrevendo-o de acordo com a matriz equivalente. Portanto,
Observe que temos três equações para quatro variáveis. Neste caso, dizemos que o sistema é possível (visto que nenhuma linha é do tipo, por exemplo, 2 = 0) e indeterminado, ou seja, admite infinitas soluções, já que temos uma variável livre. Seja w essa variável livre, logo, temos que:
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💭 Reflita
Em que outra situação do cotidiano você poderia utilizar sistemas lineares e resolvê-los partindo da ideia de operações elementares?
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No nosso exemplo, consideramos o conceito de possível e indeterminado em relação à solução do sistema. No entanto, é somente esse conceito que temos em relação a isso? A resposta é não! Um sistema linear pode ser classificado de três formas:
1. possível e determinado (SPD): quando não há variáveis livres e todos os valores das variáveis considerados podem ser encontrados (observação: a solução (0, 0, ..., 0) é chamada de solução trivial do sistema e será excluída dessa classificação);
2. possível e indeterminado (SPI): quando o número de equações é menor que o número de variáveis, obtendo-se, assim, uma variável livre, a qual gerará infinitas soluções para o sistema;
3. impossível (SI): quando não há variáveis livres e não é possível determinar uma solução do sistema em questão.
Neste aspecto, trabalhamos com um novo conceito, que é o de matriz linha-reduzida à forma escada. Tal conceito pode ser definido como: 
Definição: uma matriz mxn é linha-reduzida à forma escada se:
· o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é igual a 1;
· cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero;
· toda linha nula está sempre abaixo de todas as linhas não nulas;
· se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas e se o primeiro elemento não nulo da linha i está na coluna ki, então k1<k2<...kr.
Essa definição descreve o que chamamos de escalonamento de uma matriz. Em sistemas lineares, tal escalonamento é útil para definir a solução do mesmo de acordo com a classificação anterior. Um outro conceito que nos auxilia nisso é o conceito de posto e nulidade da matriz reduzida (ou equivalente) do sistema. Tal conceito pode ser definido como:
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🔁 Assimile
Dada uma matriz A de ordem mxn, seja uma matriz B de ordem mxn a matriz-linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B, e a nulidade de a é o número n-p.
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Assim, podemos reescrever a classificação dos sistemas lineares de acordo com o tipo de solução da seguinte forma:
· possível e determinado (SPD): quando o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. Ele terá solução única se n=p;
· possível e indeterminado (SPI): quando o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. Ele terá infinitas soluções se p<n;
· impossível (SI): quando o posto da matriz ampliada é diferente do posto da matriz dos coeficientes. 
Matrizes inversas
Com isso, encerramos a primeira parte desta aula o que lida com os sistemas lineares. Agora, vamos à segunda parte, que é referente às matrizes inversas.
Para trabalhar com inversão de matrizes, lidaremos necessariamente com as operações elementares e a forma matriz-linha reduzida à forma escada. Neste aspecto, dizemos que uma matriz A é invertível se sua matriz-linha reduzida à forma escada é a matriz identidade. Além disso, sendo A-1 a inversa de A, o produto A . A-1 resulta na matriz identidade. Veremos como esse procedimento funciona na prática. Como exemplo, considere a matriz A dada por:
Para começar o processo de inversão da matriz A, colocamos a matriz identidade junto à matriz A e aplicamos as operações elementares com as linhas, a fim de reduzir a parte esquerda (que corresponde a A) à forma escada da linha reduzida. Além disso, as operações devem ser feitas simultaneamente na parte direita. Isto é,
Conclusão
Usando o conceito de forma linha-reduzida por meio de operações elementares, obtém-se que o sistema pode ser reduzido ao sistema:
A solução é . Portanto, o valor da intensidade da primeira corrente é 1 amp; da segunda, 2 amp; da terceira, 2 amp; da quarta, -2 amp. Além disso, em termos de direção, as direções das correntes I1, I2, I3 são as mesmas do que foi estipulado no problema, e da corrente I4 a direção é oposta. Por fim, resta escrever o relatório, no qual, você deve seguir este modelo:
Nome da empresa
XXXXX
Problema
Intensidade e direções das correntes elétricas em quatro ciclos fechados de umcircuito elétrico.
Solução
De acordo com o sistema linear apresentado, obteve-se que os valores das correntes elétricas são: primeira corrente é 1 amp; da segunda, 2 amp; da terceira, 2 amp; da quarta, -2 amp. Além disso, em termos de direção, as direções das correntes I1, I2, I3 são as mesmas do que foi estipulado no problema, e da corrente I4 a direção é oposta.
Custo
XXXX
Assinatura
XXXX
Introdução da Aula
Qual é o foco da aula?
Nesta aula, você estudará sobre autovalores e autovetores. 
Objetivos gerais de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
· definir espaços vetoriais e diagonalização;
· explicar as transformações lineares e operadores;
· comparar autovalores e autovetores.
Situação-problema
Estudante, nesta aula, abordaremos o conceito de espaços vetoriais e transformações lineares. Os espaços vetoriais são uma das estruturas algébricas mais importantes da álgebra, cujas aplicações são encontradas em diversos aspectos do nosso dia a dia, por exemplo, no espectro de cores, que nos permite fazer mudanças de coordenadas desses espectros baseando-se no conceito dos espaços vetoriais e das transformações lineares. E falando em transformações lineares, esses tipos de operações são a base fundamental da álgebra linear, podendo ser aplicada em engenharia da computação quando trabalhamos com criptografia, por exemplo.
Já os autovalores, os autovetores e a diagonização são outras ferramentas que podem ser utilizadas em engenharia biomédica nas questões de crescimento populacional e transformações, e na computação em mecanismos de busca, como o Google. 
Criaremos uma situação hipotética para exemplificar o uso das transformações lineares em situações do cotidiano.
Em um estudo envolvendo engenharia biomédica, um determinado pesquisador trabalhou com espectro de cores, em particular, coordenadas em espectro de cores. Em sua pesquisa, ele tinha por interesse mudar o sistema de cores, a fim de ampliar o espectro visível na retina. Sabe-se que, em geral, o espectro de cores é baseado em RGB (red-green-blue), porém esse pesquisador tinha interesse em criar um novo sistema de cores para determinar o espectro de cores. Ele chamou esse novo padrão de YGM (yellow-gray-magenta), que se baseia em mudanças de coordenadas por meio da transformação linear 
definida por . No entanto, ele tinha dúvidas em como verificar se a transformação era, de fato, linear e lhe contratou para fazer tal verificação, pois, se ela fosse linear, o sistema de cores dele faria sentido no espectro. Então, baseando-se nos conceitos de transformação linear, como você verificaria se a transformação é linear? O sistema criado pelo pesquisador fez sentido em relação ao espectro de cores?
Conseguiu ver a importância desses conceitos? Que tal começarmos a trabalhar com eles e entender melhor sob o ponto de vista matemático e prático? Não se preocupe, vamos lhe acompanhar em todo o processo, e os conceitos serão construídos de forma gradual.
Espaço vetorial
Nas aulas anteriores, exploramos os conceitos de matrizes e sistemas lineares munidos das suas principais aplicações. Nesta aula, trabalharemos o conceito de uma das estruturas algébricas mais importantes da álgebra linear: o espaço vetorial.
Um espaço vetorial V (sobre um campo F) é um conjunto, cujos elementos são chamados de vetores, de modo que se pode adicionar (e subtrair) vetores e multiplicar um vetor por uma constante de F. Essas constantes são chamadas escalares. Matematicamente, os axiomas que definem um espaço vetorial são:
· V é um grupo Abeliano isto é, valem as propriedades:
· Lei comutativa: v + w = ​​w + v.
· Lei associativa:  u + (v + w) = (u + v) + w.
· Elemento neutro: u + 0 = 0 + u = u.
· Elemento oposto: u − u = 0.
· V admite uma multiplicação escalar por elementos de F, isto é, valem as propriedades:
·   −u = (−1)u.
·  Distributiva: a(u + v) = au + av.
·   Associativa: a(bu) = (ab)u.
Dentre as aplicações de espaços vetoriais, uma que se faz interessante é a que envolve a mudança de coordenadas nos espectros de cores em relação ao sistema de cores RGB (red-green-blue). Por exemplo, em física, o modelo matemático que se adequa à representação do espaço espectral de cores é necessariamente um espaço vetorial de dimensão finita, em que o processo de reconstrução de cor utiliza uma base de cores primárias, que seria a base do espaço vetorial, gerando o modelo tricromático de Young-Helmholtz, baseado no padrão RGB. Mas, antes de entrar no conceito de base e dimensão, definiremos o que chamamos de subespaço vetorial.
Popularmente, dizemos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é chamado de subespaço quando se torna um espaço vetorial com as operações herdadas de V, ou seja, quando somas e múltiplos escalares de vetores em W pertencem a W. Matematicamente, dizemos que W é um subespaço vetorial de V quando W⊂V, tal que o ∈ W; u+ v ∈ W e au ∈ W.
Uma vez definido o que é subespaço vetorial, podemos trabalhar com o conceito de base e dimensão abordado no exemplo sobre espectro de cores descrito anteriormente. Neste aspecto, dizemos que uma base é uma coleção de vetores B de um espaço vetorial V quando cada vetor em V pode ser escrito de uma maneira única como combinação linear de elementos de B. As bases são precisamente os conjuntos máximos independentes de vetores. As bases também são precisamente os conjuntos de abrangência mínima de vetores e, em particular, cada conjunto de abrangência pode ser reduzido a uma base. Vale lembrar também que todo espaço vetorial tem uma base.
Definimos o que é base, mas e o que é dimensão? Para definir esse conceito, tome quaisquer duas bases de V que têm o mesmo “tamanho”. Esse “tamanho” é chamado de dimensão de V, e denotamos por dim(V). 
______
📝 Exemplificando
Transformação linear
Agora, já sabemos o que é um espaço vetorial e o que é uma base, que são ferramentas de suma importância para definir a nossa próxima estrutura de trabalho, as transformações lineares. E o que é uma transformação linear? Considere V e W dois espaços vetoriais sobre um corpo F. Uma transformação linear de V em W é uma função T : V→W que satisfaz:
Para todo e todo escalar . Como primeiro exemplo, consideraremos V um espaço vetorial qualquer, a transformação identidade, definida por definida por I(v) =v, que é uma transformação linear de V em V. De fato:
______
📝 Exemplificando
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Quais são as propriedades de uma transformação linear? Para verificarmos isso, sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo F. A transformação linear T: V→ W satisfaz as seguintes propriedades:
· T(0) = 0 (T transforma o vetor nulo de V no vetor nulo de W).
· T (−v) = −T(v), para todo v ∈ V. 
· T(v1 − v2) = T(v1) − T(v2), para todo v1,v2∈ V.
· Se U é um subespaço de V, então a imagem de U por T é um subespaço de W. 
· Sendo T: V→W linear, então:
Baseando-se nessas propriedades, podemos trabalhar com o conceito de base também. Isto é, dados V e W dois espaços vetoriais sobre um corpo F e dada uma base de V={ v1, …, vn}, sejam w1, …, wn elementos arbitrários de W. Existe uma única transformação linear T: V→ W, tal que 
Então:
T(αv+u)= (αx1+y1)w1+…+(αxn+ yn)wn
Por outro lado:
O núcleo da transformação linear tem algumas propriedades importantes para nosso trabalho. Dentre todas elas, destacamos:
· Ker(T) é um subespaço vetorial de V.
· A transformação T é injetora se, e somente se, Ker(T) = {0}. 
Teorema do Núcleo e da Imagem e Isomorfismo
Agora, com o núcleo e a imagem de uma transformação linear definidos, podemos definir o resultado fundamental da teoria de transformações lineares, que é o Teorema do Núcleo e da Imagem. Esse teorema traduz a dimensão do espaço vetorial.
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🔁 Assimile 
Teorema do Núcleo e da Imagem: sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo F. Dada a transformação linear T: V→W, então: 
dim(V) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T))
Portanto, a soma das dimensões do Ker(T) e da Im(T) é igual à dimensão do espaço vetorial V.
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T(x, y, z)= x + y − z = 0⇒ x = −y +z
Um outro conceito importante que diz respeitoàs transformações lineares é o conceito de isomorfismo. Para definir tal conceito, sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo F, suponha que T: V→W é uma transformação linear. Dizemos que T é um isomorfismo se T for bijetora (isto é, T deve ser injetora e sobrejetora).
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💭 Reflita
Matriz de uma transformação linear
Para finalizar nosso estudo de transformações lineares, trabalharemos com a matriz de uma transformação linear, porém, antes, precisamos definir algumas coisas.
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🔁 Assimile
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A partir dessa definição, podemos escrever a matriz de ordem mxn da transformação linear F como sendo:
É chamada de matriz da transformação linear F em relação às bases B e C e é denotada por (F)B,C.
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🔁 Assimile 
Seja V um espaço vetorial de dimensão n e T:V→V uma transformação linear. Dizemos que pT(t) é um polinômio característico de T se for obtido como pT(t)= det (A− kI), em que A é a matriz de T e I é a matriz identidade de ordem. 
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As raízes são 1, -1 nos números reais. As raízes dos polinômios característicos são conhecidas como autovalores de T, que é uma outra definição desse conceito. Uma vez que sabemos o que é autovalor e autovetor, podemos definir o que é diagonalização de operações, que é a definição final desta aula. Vamos lá?
Conclusão
Isto é:
Ou seja:
Portanto, T é uma transformação linear e traduz uma reflexão em torno do eixo x, isto é, o sistema proposto pelo pesquisador faz sentido por T ser linear e é baseado na reflexão em torno do eixo x.
Referências
BORGES, R. S.; SOUZA, L. F. M.; CRUZ, P. G. G.; VANCONCELOS, B. S. Aplicação de matrizes no cotidiano de um engenheiro. In: COLÓQUIO ESTADUAL DE PESQUISA MULTIDISCIPLINAR, III, 2018, Mineiros. Anais [...]. Mineiros, GO: UNIFIMES, 2018.
BONAT, W. H. Sistemas de Equações Lineares. Curitiba, PR: UFPR, [s.d.]. Disponível em: https://bit.ly/3gouSbs. Acesso em: 16 mar. 2022. 
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FRANCO, N. Álgebra Linear. São Paulo: Pearson , 2016.
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RINCON, M.; FAMPA, M. Álgebra linear. Aula 13: método de eliminação de Gauss. Rio de Janeiro, RJ: CEDERJ, [s.d.]. Disponível em: https://bit.ly/3835pjr. Acesso em: 16 mar. 2022.