Álgebra Linear Elementar

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
PARFOR MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR ELEMENTAR
Belém - Pará
2012
Sumário
1 Matrizes 5
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Definição de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Matrizes Usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Matrizes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Matriz Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Escalonamento de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Operações Sobre Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Inversão de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Obtenção da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 Cálculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Determinantes de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Desenvolvimento por Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Sistemas de Equações Lineares 34
2.1 Solução de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
2.1.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Eliminação Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Resolução de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 O Método de Eliminação Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 Discussão de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Espaços Vetoriais 43
3.1 Axiomas de Espaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2 Consequências dos axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Operações com Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Combinações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 Definições Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Subespaço Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.1 LI ou LD? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Transformações Lineares 70
4.1 Definições Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.1 Reconhecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Determinação de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.1 Definindo uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3
4.3.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Isomorfismo de Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.1 Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Matriz de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.1 Obtenção da Matriz de uma Transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6.1 Matriz de Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6.2 Matrizes Semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7 Transformações Lineares no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7.1 Transformações Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Ortogonalidade 97
5.1 Espaços Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.2 Distância e Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 Base Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.1 Conjunto Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.2 Base Ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3 Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.1 Projeções ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.2 Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 Autovalores e Autovetores 107
6.1 Autovalor e Autovetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1.1 Cálculo do Autovalor e do Autovetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2 Diagonalização de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.1 Base de Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4
Caṕıtulo 1
Matrizes
Neste caṕıtulo intrudozimos o conceito de matriz. Definimos algumas operações usuais e exibi-
mos alguns tipos especiais de matrizes. Em seguida, apresentamos o escalonamento de matrizes e
aplicamos esse método na obtenção da inversa de uma matriz dada. Por fim mostraremos o cálculo
do determinante para matrizes de ordem 2 e 3.
1.1 Matrizes
Objetivos
• Definir matriz
• Apresentar alguns tipos usuais de matrizes
1.1.1 Definição de Matriz
Podemos pensar informalmente em matrizes como tabelas de números, como por exemplo:
A =
[
8 15
12 3
]
, B =
[
8 75 0
6 3 7
]
e C =
 18 35 4
2 6 29
0 32 −3
.
Matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas: A, B, C, ... O número de linhas e
colunas de uma dada tabela nos permite classifica-las em diversos tipos. A esse respeito, temos a
seguinte definição:
Definição 1.1. Chamamos matriz real de ordem m × n (lê-se: ”m por n”), ou simplesmente
matriz de ordem m×n, a uma tabela de números reais com m linhas e n colunas, em que m,n ∈ N.
Exemplo 1.1. Considerando as matrizes A =
[
8 15
12 3
]
, B =
[
8 75 0
6 3 7
]
e C =
 18 35 4
2 6 29
0 32 −3

vemos que a matriz A é de ordem 2× 2 (lê-se: ”dois por dois”), pois ela possui duas linhas e duas
colunas; já a matriz B é de ordem 2× 3, pois essa matriz tem duas linhas e três colunas. A matriz
C é de ordem 3× 3. �
É muito útil, para resolver problemas com matrizes, pensar em sua ”forma”. Desse modo
chamamos matriz quadrada à uma matriz A de ordem m × n, tal que m = n e, matriz re-
tangular quando m 6= n. Considerando ainda as matrizes do exemplo acima, vemos que A é uma
5
Marcos Raylan
matriz quadrada de ordem 2 × 2 (nesse caso diz-se simplesmente: ”ordem 2”), B é uma matriz
retangular de ordem 2× 3 e C é uma matriz quadrada de ordem 3.
Cada elemento de uma matriz tem sua posição determinada pela linha e coluna em que se
encontra. Podemos pensar na posição de cada elemento como seu endereço na matriz.
Exemplo 1.2. Dada a matriz
A =
[
a b c d
e f g h
]
O elemento c encontra-se no cruzamento da primeira linha com a terceira coluna. Logo sua
posição é 13. Já o elemento h está no cruzamento da segunda linha com a quarta coluna. Segue-se
que a posição do elemento h é 24. A posição de a é 11 e a posição de g é 23. O endereço de b é
12. �
Podemos usar essa idéia para representar os elementos de uma matriz usando uma única letra
com dois ı́ndices.
Exemplo 1.3. A forma genérica de uma matriz de ordem 2 × 3 (lembre-se: ”duas linhas e três
colunas”) é.
D =
[
d11 d12 d13
d21 d22 d23
]
Representamos uma matriz genérica de ordem m× n assim
A =

a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn

Ou ainda, de um modo mais compacto A = [aij]m×n. �
Os elementos a11, a22, a33, ..., ann formam a diagonal principal da matriz, também chamada
simplesmente diagonal.
Exemplo 1.4. A matriz C = [cij]2×2, é uma matriz de ordem 2 cuja forma genérica é
C =
[
c11 c12
c21 c22
]
�
Observamos na matriz acima que sua diagonal é formada por c11 e c22.
Exemplo 1.5. Observemos a matriz
A =

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

6
Marcos Raylan
Marcos Raylan
Trata-se de uma matriz quadrada com 5 linhas e 5 colunas, logo A é uma matriz quadrada de ordem
5. Descrevendo essa matriz de modo genérico, temos
A =

a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55

Essa forma genérica é muito útil, pois desse modo vemos a descrição da posição (endereço) de todos
os elementos da matriz. Comparando as duas formas, vemos, por exemplo, que os elementos não
nulos de A são a11, a22, a33, a44 e a55 (sua diagonal). Notemos que em todos esses elementos os
ı́ndices são iguais e, em todas as demais posições os ı́ndices são diferentes. Logo podemos descrever
essa matriz do seguinte modo:
A = [aij]5×5, tal que aij =
{
1 se i = j
0 se i 6= j
�
Em geral descrevemos matrizes usando a notação mais compacta A = [aij]m×n seguida de uma
fórmula que nos permita obter os elementos da matriz, um por um, como no exemplo a seguir.
Exemplo 1.6. Considere a matriz dada por A = [aij]2012×2012, tal que aij = i + j. Essa matriz
possui 2012 linhas e 2012 colunas! Seria muito trabalhoso descrever explicitamente todos os ele-
mentos dessa matriz. Mas podemos determinar alguns. Por exemplo, o elemento a15×3(que fica no
cruzamento da décima quinta linha com a terceira coluna) é
a15×3 = 15 + 3 = 18
(note que, nesse caso, o ”i vale 15 e, o j vale 3”)
Por outro lado, o elemento a200×200 (que fica na diagonal da matriz) é
a200×200 = 200 + 200 = 400
�
Mais um exemplo.
Exemplo 1.7. Determine a matriz D = [dij]4×4 dada por aij =
{
0 se i ≤ j
i− j se i > j
Primeiro escrevemos a matriz genérica. Temos:
C =

d11 d12 d13 d14
d21 d22 d23 d24
d31 d32 d33 d34
d41 d42 d43 d44

A seguir calculamos cada elemento da matriz. Primeiramente olhemos para os elementos que
estão na diagonal e acima dela. Em todos esses elementos o primeiro ı́ndice (i) é menor do que,
ou igual ao segundo (j). Segundo a fórmula dada, todos esses elementos são nulos. Logo
7
d11 = d22 = d33 = d44 = d55 = d12 = d23 = d34 = d13 = d24 = d14 = 0
Para os demais, temos:
d21 = 2− 1 = 1
d32 = 3− 2 = 1
d43 = 4− 3 = 1
d31 = 3− 1 = 2
d42 = 4− 2 = 2
d41 = 4− 1 = 3
Portanto,
C =

0 0 0 0
1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0

�
1.1.2 Matrizes Usuais
A seguir descrevemos alguns tipos de matrizes que aparecem com bastante frequência no estudo
de matrizes.
Definição 1.2. Chamamos matriz nula de ordem m× n a uma matriz 0m×n = [aij]m×n, tal que
aij = 0, quaisquer que sejam i ∈ {1, ...,m} e j ∈ {1, ..., n}.
Notemos que usamos o mesmo śımbolo 0 para representar a matriz nula e o número zero. Uma
matriz nula é uma matriz que tem 0 em todas as posições. Podemos ter matriz nula de qualquer
ordem. Por exemplo, as matrizes
02×2 =
[
0 0
0 0
]
02×4 =
[
0 0 0 0
0 0 0 0
]
são nulas. Notemos que o śımbolo usado para representa-las é o mesmo. A fim de evitar
confusão costuma-se indicar a ordem da matriz. Entretanto, quando não houver perigo de confusão
indicaremos a matriz nula apenas por 0.
Definição 1.3. Chamamos matriz identidade de ordem n×n, à matriz quadrada In×n = [aij]n×n,
tal que
aij =
{
1 se i = j
0 se i 6= j
Um exemplo de matriz identidade foi dada no exemplo (1.5). As matrizes identidades possuem
valor 1 na diagonal e zero nas demais posições. É importante notar que toda matriz identidade é
necessariamente quadrada.
Definição 1.4. Chamamos matriz diagonal à uma matriz quadrada da forma Dn×n = [dij]n×n,
tal que dij = 0 qualquer que seja i 6= j (fora da diagonal).
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Marcos Raylan
Marcos Raylan
Marcos RaylanMatrizes diagonais são matrizes quadradas que possuem todos os elementos fora da diagonal
nulos (independentemente do que se tem na diagonal). Um exemplo bem estranho de matriz
diagonal é uma matriz quadrada nula, como 02×2 exibida anteriormente. Um exemplo mais usual é
D =

0 0 0 0
0 15 0 0
0 0 0 0
0 0 0 4

As matrizes identidades constituem o exemplo mais importante de matriz diagonal. No caṕıtulo
de diagonalização de operadores, que estudaremos mais adiante, as matrizes diagonais desempenham
um papel fundamental.
Definição 1.5. Chamamos matriz linha à uma matriz de ordem 1×n. Analogamente, definimos
matriz coluna à uma matriz de ordem m× 1.
Matriz linha é uma matriz que possui apenas uma linha e, matriz coluna é uma matriz dada
por apenas uma coluna. Um exemplo de matriz linha é L1×4 =
[
1 2 3 4
]
e, um exemplo de
matriz coluna é L3×1 =
 1
5
8
.
1.1.3 Exerćıcios
1. Escreva explicitamente a matriz genérica dada em cada ı́tem
(a)A = [aij]2×2 (b)B = [brs]3×4 (c)C = [ckl]5×5 (d) D = [dij]n×n
2. Descreva a matriz dada em cada ı́tem.
(a)A = [aij]2×3, tal que aij = 2i+3j (b)B = [bij]3×4, tal que bij =
{
1 se i = j
2i+j se i 6= j
(c) C = [cij]3×3, tal que cij =
{
1 se i = j
0 se i 6= j
(d) D = [dij]4×1, tal que dij = i− j
(e) E = [eij]4×4, tal que eij =
{
2i+ j se i = j
0 se i 6= j
(f) F = [fij]1×4, tal que fij = j − i
(g) G = [gij]2×2, tal que gij = 0 (h) H = [hij]2×4, tal que hij = i+ 5j
3. Dada a matriz A = [aij]2012×2012, tal que aij =
{
ij se i = j
i+ j − 1 se i 6= j
. Determine:
(a) a55 (b) a2000×2000 (c) a1000×200 (d) a2012×2012 (e) a5×2000
1.2 Operações com Matrizes
Objetivos
• Calcular a soma de duas matrizes
• Multiplicar um número real por uma matriz
• Multiplicar duas matrizes
• Usar as propriedades das operações matriciais em equações com matrizes
9
Marcos Raylan
Marcos Raylan
1.2.1 Adição
Pensamos em matrizes reais como tabelas de números e, podemos pensar nesses números como
dados numéricos de algum problema. Seria útil resolver problemas numéricos em que pudéssemos
determinar todos os dados de uma só vez. Motivados por isso definimos operações no conjunto das
matrizes, com o objetivo de resolver equações com matrizes, de modo parecido com o que fazemos
com números reais. O primeiro passo é definir a igualdade de matrizes.
Definição 1.6. Duas matrizes são iguais quando têm mesma ordem e possuem os mesmos ele-
mentos ocupando a mesma posição.
Exemplo 1.8. Sejam A =
[
a b
c d
]
e B =
[
1 3
5 10
]
tais que A = B. Então a = 1, b = 3, c = 5
e d = 10. �
A seguir, temos a definição de adição de matrizes.
Definição 1.7. Dadas duas matrizes de mesma ordem A = [aij]m×n e B = [bij]m×n, definimos
Adição, ou soma das matrizes A e B à matriz A + B, obtida somando cada elemento da matriz
A com o elemento da matriz B que ocupa a mesma posição. Em śımbolos temos A+B = [aij + bij].
É importante notar que definimos a adição de matrizes apenas para matrizes de mesma ordem.
Para esclarecer melhor essa idéia temos o seguinte.
Exemplo 1.9. Dadas A =
 2 5
1 −4
6 2
 e B =
 0 5
5 0
0 5
, temos
A+B =
 2 + 0 5 + 5
1 + 5 −4 + 0
6 + 0 2 + 5
 =
 2 10
6 −4
6 7

Notemos que se tivéssemos calculado B + A, teŕıamos
B + A =
 0 + 2 5 + 5
5 + 1 0 + (−4)
0 + 6 5 + 2
 =
 2 10
6 −4
6 7
 o mesmo resultado!
Isso, como veremos a seguir, é apenas um exemplo de uma propriedade da adição de matrizes.
�
Para somar mais de duas matrizes, é preciso definir quais somas serão efetuadas primeiro, pois
definimos a soma para apenas duas matrizes. A esse respeito, temos o seguinte.
Exemplo 1.10. Sejam as matrizes A, B e C, dadas por A =
[
1 2 6
5 6 0
]
, B =
[
12 3 2
8 4 3
]
e
C =
[
2 5 0
10 −1 1
]
.
A soma (A+B) + C é dada por:
(A+B) + C =
([
1 2 6
5 6 0
]
+
[
12 3 2
8 4 3
])
+
[
2 5 0
10 −1 1
]
=
=
[
1 + 12 2 + 3 6 + 2
5 + 8 6 + 4 0 + 3
]
+
[
2 5 0
10 −1 1
]
=
[
13 5 8
13 10 3
]
+
[
2 5 0
10 −1 1
]
=
=
[
13 + 2 5 + 5 8 + 0
13 + 10 10 + (−1) 3 + 1
]
=
[
15 10 8
23 9 4
]
10
Do mesmo modo, temos:
A+ (B + C) =
[
1 2 6
5 6 0
]
+
([
12 3 2
8 4 3
]
+
[
2 5 0
10 −1 1
])
=
=
[
1 2 6
5 6 0
]
+
[
12 + 2 3 + 5 2 + 0
8 + 10 4 + (−1) 3 + 1
]
=
[
1 2 6
5 6 0
]
+
[
14 8 2
18 3 4
]
=
=
[
1 + 14 2 + 8 6 + 2
5 + 18 6 + 3 0 + 4
]
=
[
15 10 8
23 9 4
]
Notemos que, nesse caso, (A + B) + C = A + (B + C). Ou seja, a soma é associativa. Esse
exemplo também é caso particular de uma propriedade mais geral, exibida abaixo. �
O próximo exemplo nos ensina a somar com uma matriz nula.
Exemplo 1.11. Sejam A =
[
2012 2011 2010
12 11 10
]
e 02×3. Temos que
A+ 02×3 =
[
2012 2011 2010
12 11 10
]
+
[
0 0 0
0 0 0
]
=
[
2012 + 0 2011 + 0 2010 + 0
12 + 0 11 + 0 10 + 0
]
=
=
[
2012 2011 2010
12 11 10
]
Com a finalidade de evidenciar as analogias, em relação a adição, no conjunto das matrizes e no
conjunto dos números reais, definimos o seguinte.
Definição 1.8. Dada a matriz A = [aij]m×n, de ordem m×n, definimos a matriz −A = [−aij]m×n,
de mesma ordem que A, chamada matriz oposta de A.
Dada uma matriz A, para obter sua oposta, basta trocar o sinal de todos os seus elementos.
Exemplo 1.12. Dada A =
[
2 −1
−7 5
]
, temos −A =
[
−2 1
7 −5
]
�
Uma vez definida a matriz oposta, podemos atribuir um sentido para subtração de matrizes.
Dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, definimos A− B = A + (−B). Ou seja, subtrair uma
matriz é o mesmo que somar com a matriz oposta.
A seguir temos as propriedades da adição de matrizes. Essas propriedades nos mostram que,
pelo menos em relação a adição, as matrizes têm um comportamento idêntico aos números reais.
Proposição 1.1. (Propriedades da adição de matrizes) Considere o conjunto de todas as matrizes
reais de mesma ordem m × n. Esse conjunto será denotado por Mm×n(R). Dadas A,B,C ∈
Mm×n(R), temos:
(i) A+B = B + A (comutatividade)
(ii) (A+B) + C = A+ (B + C) (associatividade)
(iii) A+ 0 = 0 + A = A (elemento neutro)
(iv) A+ (−A) = −A+ A = 0 (Inverso aditivo)
Acima, 0 representa a matriz nula de ordem m× n e −A representa a matriz oposta de A. �
Exemplos do uso dessas propriedades foram dados acima em (1.9), (1.10), (1.11) e (1.12).
11
1.2.2 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
Definição 1.9. Dado um número real α e uma matriz A = [aij]m×n, definimos α ·A = [α · aij]m×n.
Dada uma matriz A e um número real α, a fim de obter a matriz α · A, basta multiplicar cada
elemento de A por α.
Exemplo 1.13. Dada a matriz A =
 2 −7 1
3 4 2
5 −9 6
, temos
(a) 2A = 2 ·
 2 −7 1
3 4 2
5 −9 6
 =
 2 · 2 2 · (−7) 2 · 1
2 · 3 2 · 4 2 · 2
2 · 5 2 · (−9) 2 · 6
 =
 4 −14 2
6 8 4
10 −18 12

(b) (−3) ·A = (−3) ·
 2 −7 1
3 4 2
5 −9 6
 =
 (−3) · 2 (−3) · (−7) (−3) · 1
(−3) · 3 (−3) · 4 (−3) · 2
(−3) · 5 (−3) · (−9) (−3) · 6
 =
 −6 21 −3
−9 −12 −6
−15 27 −18

(c) 0 · A = 0 ·
 2 −7 1
3 4 2
5 −9 6
 =
 0 · 2 0 · (−7) 0 · 1
0 · 3 0 · 4 0 · 2
0 · 5 0 · (−9) 0 · 6
 =
 0 0 0
0 0 0
0 0 0
 �
A seguir temos as propriedades da multiplicação de um número real por uma matriz.
Proposição 1.2. Sejam as matrizes A,B ∈Mm×n(R) e o números reais α e β, valem as seguintes
propriedades:
(i) (α · β) · A = α · (β · A) (Associatividade)
(ii) (α + β) · A = α · A+ β · A (distributividade)
(iii) α · (A+B) = α · A+ α ·B (distributividade)
(iv) 1 · A = A (multiplicação por 1) �
A primeira propriedade nos conta que multiplicar dois números e a seguir multiplicar o resultado
por uma matriz, é o mesmo que multiplicar um deles pela matriz e depois o outro. A segunda diz
que o mesmo vale para a soma de dois números: tanto faz somar os números primeiro e depois
multiplicar pela matriz, como multiplicar um de cada vez e depois somar as matrizes obtidas. A
terceira propriedade nos ensina que multiplicar um número por uma soma de matrizes é o mesmo
que multiplicar esse número por cada matriz separadamente e depois somar osresultados. A última
é no mı́nimo curiosa, por parecer totalmente óbvia. Em breve, no caṕıtulo de Espaços Vetoriais,
voltaremos a esse ponto para mostrar que essa propriedade não é tão óbvia quanto parece.
O objetivo de estabelecer essas operações e propriedades é poder tratar os cálculos com matrizes
da mesma forma que já estamos acostumados a efetuar cálculos com números reais e equações com
números reais. O próximo exemplo mostra isso.
Exemplo 1.14. Sejam A =
[
−7 1
4 2
]
, B =
[
5 0
1 3
]
e C =
[
2 −1
0 2
]
.
(a) Calcule 2 · (3A).
Temos, devido ao ı́tem (i) da proposição 1.2, que 2 · (3A) é o mesmo que 6 ·A. Pois 2 · (3A) =
(2 · 3)A. Logo
2 · (3A) = 6 ·
[
−7 1
4 2
]
=
[
−42 6
24 12
]
12
(b) Calcule 5B + 3B.
Devido a propriedade (ii), da proposição (1.2) temos 5B + 3B = 8B. Logo
5B + 3B = 8 ·
[
5 0
1 3
]
=
[
40 0
8 24
]
(c) Calcule a matriz X, de modo que 2X − 10A = 6B + 10C.
Usando as propriedades das proposições (1.2) e (1.1), temos:
2X − 10A = 6B + 10C é o mesmo que 2X − 10A+ 10A = 6B + 10C + 10A que por sua vez
equivale a 2X = 6B+10C+10A. Logo 2X = 6B+10(C+A). Segue-se que X = 3B+5(C+A).
Agora calculamos a matriz X.
X = 3B+5(C+A) = 3
[
5 0
1 3
]
+5
([
2 −1
0 2
]
+
[
−7 1
4 2
])
=
[
15 0
3 9
]
+5
[
−5 0
4 4
]
=
=
[
15 0
3 9
]
+
[
−25 0
20 20
]
=
[
−10 0
23 29
]
�
1.2.3 Multiplicação de Matrizes
Na subseção anterior vimos que as matrizes se comportam de maneira similar aos números reais
em relação a adição e a multiplicação de um número por uma matriz. Isso nos permite resolver
algumas equações de modo análogo ao que fazemos com equações de números reais. Perceber essas
similaridades é um dos principais objetivos da álgebra linear. Entretanto, veremos nesta subseção,
que matrizes e números reais têm comportamento bem distintos com relação a multiplicação de
seus elementos.
MOTIVAÇÃO
Dois times de futebol, FLAZÃO e FLUZINHO, disputaram um torneio nacional, tendo
cada um deles realizado 20 jogos. A matriz X a seguir exibe o número de vitórias (V), empates (E)
e derrotas (D) dos dois clubes. A primeira linha indica os reultados do FLAZÃO e, na segunda
linha temos os resultados do FLUZINHO. A matriz Y indica o número de pontos que o clube
obtém em cada resultado: 3 pontos para vitória, 1 ponto para empate e 0 para derrota.
V E D
X =
[
11 4 5
8 6 6
]
Y =
 3
1
0

Quantos pontos cada time obteve nesse torneio?
Independentemente do que se estudou sobre matrizes até esse ponto, podemos resolver esse
problema efetuando algumas simples contas. Observe:
• O FLAZÃO teve 11 vitórias, 4 empates e 5 derrotas. Como cada vitória vale 3 pontos, cada
empate, 1 ponto e cada derrota vale 0, os pontos do FLAZÃO são: 11×3+4×1+5×0 = 37.
• De modo inteiramente análogo, os pontos do FLUZINHO são: 8× 3 + 6× 1 + 6× 0 = 30
Comparando os cálculos efetuados com as matrizes X e Y , nessa ordem, vemos que para obter
o total do FLAZÃO multiplicamos cada elemento da primeira linha por um elemento da coluna da
matriz Y . Analogamente o resultado 30 foi obtido multiplicando a segunda linha pela coluna de Y .
�
Situações como essa nos levam a definir abstratamente o seguinte.
13
Definição 1.10. Dadas duas matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]n×p a matriz P = [pij]m×p, tal que
pij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + ai4 · b4j + ...+ ain · bnj é chamada matriz produto de A por B.
Escrevemos A ·B = P .
Escrito desse modo, pode parecer a primeira vista bem complicado, mas não é. ”Trocando em
miúdos”, temos o seguinte: as matrizes A e B são
A =

a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
ai1 ai2 ai3 ... ain
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn

m×n
e B =

b11 b12 b13 ... b1j ... b1p
b21 b22 b23 ... b2j ... b2p
b31 b32 b33 ... b3j ... b3p
... ... ... ... ... ... ...
bi1 bi2 bi3 ... bij ... bip
... ... ... ... ... ...
bn1 bn2 bn3 ... bnj ... bnp

n×p
A matriz produto A ·B é
P =

p11 p12 p13 ... p1j ... p1n
p21 p22 p23 ... p2j ... p2n
p31 p32 p33 ... p3j ... p3n
... ... ... ... ... ... ...
pi1 pi2 pi3 ... pij ... pin
... ... ... ... ... ... ...
pm1 pm2 pm3 ... pmj ... pmn

m×p
Raciocinando como na motivação, cada elemento da matriz produto, é obtido multiplicando
certa linha de A, por determinada coluna de B. Por exemplo:
• O elemento p23, que está no cruzamento da segunda linha com a terceira coluna é obtido
multiplicando a segunda linha de A pela terceira coluna de B. Logo
p23 = a21 · b13 + a22 · b23 + a23 · b33 + a24 · b43 + ...+ a2n · bn3
• Já o elemento p2j, que está no cruzamento da segunda linha com a j-ésima coluna é obtido
multiplicando a segunda linha de A, com a j-ésima coluna de B. Temos:
p2j = a21 · b1j + a22 · b2j + a23 · b3j + a24 · b4j + ...+ a2n · bnj
Se ainda parece complicado, vejamos o exemplo a seguir
Exemplo 1.15. Sejam as matrizes A =
[
1 3 2
5 7 0
]
2×3
e B =
 3 1 5 2
0 2 6 5
1 1 1 3

3×4
.
Calcule a matriz produto A ·B.
A primeira tarefa é escrever a matriz produto na forma genérica. Para isso devemos prever a
ordem de P . Temos A2×3 e B3×4. Logo devemos ter P2×4 (número de linhas de A e número de
colunas de B). Logo P = [pij]2×4. Temos
P =
[
p11 p12 p13 p14
p21 p22 p23 p24
]
2×4
Agora calculamos cada elemento da matriz P .
14
• p11 = 1× 3 + 3× 0 + 2× 1 = 5 (primeira linha de A e primeira coluna de B)
• p12 = 1× 1 + 3× 2 + 2× 1 = 9 (primeira linha de A e segunda coluna de B)
• p13 = 1× 5 + 3× 6 + 2× 1 = 25 (primeira linha de A e terceira coluna de B)
• p14 = 1× 2 + 3× 5 + 2× 3 = 23 (primeira linha de A e quarta coluna de B)
• p21 = 5× 3 + 7× 0 + 0× 1 = 15 (segunda linha de A e primeira coluna de B)
• p22 = 5× 1 + 7× 2 + 0× 1 = 19 (segunda linha de A e primeira coluna de B)
• p23 = 5× 5 + 7× 6 + 0× 1 = 67 (segunda linha de A e primeira coluna de B)
• p24 = 5× 2 + 7× 5 + 0× 3 = 45 (segunda linha de A e primeira coluna de B)
Com isso obtemos,
P =
[
5 9 25 23
15 19 67 45
]
2×4
�
É importante notar que para obter o produto de A por B, multiplicamos as linhas de A, pelas
colunas de B. Logo nem sempre será posśıvel calcular A ·B. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 1.16. Considerando as matrizes do exemplo anterior, calcule B · A.
Olhando para o exemplo anterior, vemos que cada linha de B tem 4 elementos e, cada coluna
de A tem 2 elementos. Portanto, não temos como multiplicar as linhas de B pelas colunas de A.
Desse modo não existe, nesse caso, o produto B · A. �
O exemplo anterior exibe claramente certo detalhe impĺıcito na definição do produto de matrizes.
Dadas as matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]r×s, só podemos efetuar o produto A ·B se n = r (número
de colunas de A=número de linhas de B). Caso exista, a matriz produto terá ordem m× s.
Portanto, nem sempre podemos efetuar um produto de matrizes. Caso exista o produto A · B,
pode não existir B ·A. Mesmo que seja posśıvel multiplicar A ·B e B ·A, pode ser que A ·B 6= B ·A,
ou seja o produto não é, em geral, comutativo. Veja!
Exemplo 1.17. Sejam A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[
5 7
6 8
]
. Temos
A ·B =
[
1 2
3 4
]
·
[
5 7
6 8
]
=
[
17 23
39 53
]
Por outro lado,
B · A =
[
5 7
6 8
]
·
[
1 2
3 4
]
=
[
26 38
30 44
]
�
Entretanto, existem casos de matrizes cujo produto é comutativo. Esses casos constituem grande
interesse em álgebra linear. Um deles, talvez o mais importante, será estudado na seção seguinte.
Trata-se da matriz inversa. Outro caso, mais simples, mas não menos importante é mostrado no
exemplo abaixo.
15
Exemplo 1.18. Sejam as matrizes A =
[
3 4
1 2
]
e I =
[
1 0
0 1
]
(matriz identidade de ordem 2).
Temos
A · I =
[
3 4
1 2
]
·
[
1 0
0 1
]
=
[
3 4
1 2
]
e
I · A =
[
1 0
0 1
]
·
[
3 4
1 2
]
=
[
3 4
1 2
]
Logo A · I = I · A �
Para finalizar esta seção temos as propriedades do produto de matrizes.
Proposição 1.3. (Propriedades do produto de matrizes)
(i) Dadas as matrizes Am×n, Bn×p eCp×r, vale a associatividade do produto: (AB)C = A(BC).
(ii) Dadas as matrizes Am×n, Bm×n e Cn×p, vale a distributividade à esquerda: (A + B)C =
AC +BC.
(iii) Dadas as matrizes An×p, Bn×p e Cm×n, vale a distributividade à direita: C(A+B) = CA+CB.
(iv) Se Am×n, então vale a comutatividade com a identidade: Im · A = A · In = A.
(v) Dadas as matrizes Am×n, Bn×p e um número real α, vale a homogeneidade do produto: (αA)B =
A(αB) = α(AB).
(vi) O produto de matrizes não é, de um modo geral, comutativo.
(vii) O produto de duas matrizes ser nulo, não implica que uma delas seja nula.
�
Como já foi dito anteriormente, as propriedades das operações com matrizes nos permitem
manipular equações matriciais, de modo análogo ao que já fazemos com equações de números reais.
Isso ajuda a tornar os cálculos mais ”naturais”. Portanto, vale salientar o que não é permitido
quando se trata de matrizes. Um fato importante, como já vimos, é que o produto não é comutativo.
Outro fato muito usado para resolver equações com números reais que não vale para matrizes é
expresso pela propriedade (vii) acima. Vejamos um exemplo.
Exemplo 1.19. Seja as matrizes A =
[
0 1
0 1
]
e B =
[
1 1
0 0
]
.
Temos que A ·B =
[
0 1
0 1
]
·
[
1 1
0 0
]
=
[
0 0
0 0
]
(matriz nula).
Ou seja, A ·B = 0 (matriz nula). Entretanto A 6= 0 e B 6= 0. �
1.2.4 Exerćıcios
1. Determine x e y de modo que as matrizes A e B sejam iguais.
(a) A =
[
5 3x
26− y 0
]
e B =
[
5 75
6 0
]
(b) A =
[
x2 − 40 y2 + 4
6 3
]
e B =
[
41 13
6 3
]
(c) A =
[
16 25
1 x2
]
e B =
[
16 25
1 10− x2
]
16
2. Dadas as matrizes
A =
[
1 2 5
3 −4 10
]
, B =
[
6 −5 −2
0 1 6
]
e C=
[
2 0 7
0 1 4
]
Calcular:
(a)A+B (b)B + C (c)A+ C
(d)A−B (e)A− C (f)B − C
(g)X = 4A− 3B − 3C (h)X = 2B − 4A− 8C (i)X = 4C + 2A− 6B
3. Considerando ainda as matrizes do exerćıcio anterior, determine a matriz X, de modo que
3(X + A)−B = C +X.
4. Nos ı́tens abaixo, calcular o produto das matrizes A e X
(a) A =
[
2 1
3 −4
]
e X =
[
x
y
]
(b) A =
 1 2 3
0 0 0
1 −1 1
 e X =
 x1
x2
x3

(c) A =
 −1 0 1 5
2 0 1 −3
−4 0 7 2
 e X =

x1
x2
x3
x4

5. Dadas as matrizes
A =

1 2
3 1
7 −4
5 9
, B =
[
1 3 −5 −7
6 2 −8 3
]
, C =
[
2 4
−3 5
]
e D =

1 7 3 −8
−3 −1 −1 −3
4 1 9 0
5 3 2 −3

Calcular:
(a) AB (b) BA (c) CB (d) (AB)D
(e) A(BD) (f) (BA)C (g) B(AC) (h) C2
1.3 Matrizes Especiais
Objetivos
• Determinar a transposta de uma matriz
• Reconhecer uma matriz simétrica
• Conhecer a definição de matriz inverśıvel
1.3.1 Matriz Transposta
Definição 1.11. Dada uma matriz A = [aij]m×n, chamamos matriz transposta de A, à matriz
AT = [aji]n×m.
Segundo essa definição, dada uma matriz A = [aij]m×n, obtemos a transposta de A trocando os
ı́ndices ij, por ji. Notemos que A é de ordem m × n, enquanto que AT tem ordem n × m. Isso
significa que para obter a transposta, trocamos as linhas por colunas. Veja o exemplo.
17
Exemplo 1.20. Dada a matriz A =
[
2 5 7
1 3 8
]
, sua transposta AT é
AT =
 2 1
5 3
7 8

Notemos que a primeira linha de A, se tornou a primera coluna de AT e, a segunda linha de A
se tornou a segunda coluna de AT . Cada linha em A vira uma coluna em AT . Notemos também
que a ordem de A é 2× 3, enquanto que a ordem de AT é 3× 2. �
Matrizes transpostas possuem propriedades muito úteis para o cálculo matricial. Vejamos as
mais notáveis.
Proposição 1.4. Sejam A e B matrizes de mesma ordem e α ∈ R. valem as seguintes igualdades.
(i) (A+B)T = AT +BT
(ii) (α · A)T = α · AT
(iii) (AT )T = A
(iv) (A ·B)T = BT · AT
A primeira propriedade diz que somar duas matrizes e tomar a transposta do resultado, é o
mesmo que tomar a transposta de cada matriz e a seguir somar as matrizes obtidas. Veja um
exemplo:
Exemplo 1.21. Dadas A =
[
1 1
2 5
]
e B =
[
2 3
7 9
]
, temos:
A+B =
[
1 1
2 5
]
+
[
2 3
7 9
]
=
[
3 4
9 14
]
. Logo (A+B)T =
[
3 9
4 14
]
. Por outro lado,
AT +BT =
[
1 2
1 5
]
+
[
2 7
3 9
]
=
[
3 9
4 14
]
. Ou seja, (A+B)T = AT +BT . �
A segunda propriedade conta que multiplicar uma matriz por um número real e a seguir tomar
a transposta do resultado, é o mesmo que calcular primeiro a transposta e depois multiplicar pelo
número dado. Veja um exemplo.
Exemplo 1.22. Dada a matriz A =
[
3 4
9 14
]
e o número real
√
2. temos que:
(
√
2 · A) =
√
2 ·
[
3 4
9 14
]
=
[
3
√
2 4
√
2
9
√
2 14
√
2
]
. Logo (
√
2 · A)T =
[
3
√
2 9
√
2
4
√
2 14
√
2
]
. Por outro
lado,
√
2 · AT =
√
2 ·
[
3 9
4 14
]
=
[
3
√
2 9
√
2
4
√
2 14
√
2
]
. O mesmo resultado! �
A terceira propriedade das matrizes transpostas, diz que a transposta da transposta é a própria
matriz. Isso é simples de verificar. Construa um exemplo! Por fim a última propriedade não é
nada trivial. Ela nos ensina que a transposta do produto é o produto das transpostas na ordem
contrária. Vejamos um exemplo.
18
Exemplo 1.23. Sejam as matrizes A =
[
2 9
4 1
]
e B =
[
1 5
3 7
]
. O produto dessas matrizes é
dado por:
A ·B =
[
2 9
4 1
]
·
[
1 5
3 7
]
=
[
29 73
7 19
]
. Logo (A ·B)T =
[
29 7
73 19
]
. Por outro lado,
AT ·BT =
[
2 4
9 1
]
·
[
1 3
5 7
]
=
[
22 34
14 34
]
6=
[
29 73
7 19
]
. Entretanto,
BT · AT =
[
1 3
5 7
]
·
[
2 4
9 1
]
=
[
29 73
7 19
]
= (A ·B)T .
1.3.2 Matriz Simétrica
Definição 1.12. Uma matriz A é chamada simétrica, quando A = AT .
Isso significa que uma matriz é simétrica quando for igual a sua transposta. Ou seja, quando a
troca de linhas por colunas não mudar a matriz.
Exemplo 1.24. A matriz A =
 1 2 3
2 5 7
3 7 9
 é simétrica pois sua transposta é dada por AT = 1 2 3
2 5 7
3 7 9
. Notemos que A = AT . �
Existe um truque simples para reconhecer matrizes simétricas. Basta pensar na diagonal da
matriz como um espelho e notar que os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal
são iguais.
Há também um truque para se obter matrizes simétricas. Dada uma matriz A, obtemos uma
matriz simétrica multiplicando A pela sua transposta. Veja o exemplo.
Exemplo 1.25. Seja A =
 2 0 2
1 −1 2
0 3 0
. Temos AT =
 2 1 0
0 −1 3
2 2 0
. Logo
A · AT =
 2 0 2
1 −1 2
0 3 0
 ·
 2 1 0
0 −1 3
2 2 0
 =
 8 6 0
6 4 −3
0 −3 0
 que é uma matriz simétrica. �
1.3.3 Matriz Inversa
Recordemos, sobre números reais, que dado um número real não nulo a, seu inverso multiplicativo
b, deve ser tal que a · b = 1. Logo o inverso de a é b = 1
a
. Por exemplo, o inverso de 2 é 1
2
, pois
2 · 1
2
= 1. De um modo parecido, definimos para matrizes o seguinte.
Definição 1.13. Dadas duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem n× n. Dizemos que B
é a inversa de A quando A ·B = B · A = In. Neste caso denotamos B = A−1.
Exemplo 1.26. Considere as matrizes A =
[
8 5
3 2
]
e B =
[
2 −5
−3 8
]
. Notemos que
A ·B =
[
8 5
3 2
]
·
[
2 −5
−3 8
]
=
[
1 0
0 1
]
19
e
B · A =
[
2 −5
−3 8
]
·
[
8 5
3 2
]
=
[
1 0
0 1
]
Logo B é a inversa de A e, escrevemos B = A−1.
(Faça as contas e confirme os resultados!) �
Recordando o exemplo (1.17), no qual foi afirmado que o produto de matrizes não é, em geral,
comutativo. As matrizes inversas constituem um importante exemplo de produto comutativo. Pode-
mos afirmar que: matrizes inverśıveis comutam com sua inversa.
Fica claro na definição e mais ainda no exemplo acima que se B for a inversa de A, então A será
inversa de B. Logo, se B = A−1, então A = B−1.
É fato que todo número real, não nulo, a possui um inverso multiplicativo 1
a
. Isso torna prático
resolver equações, como por exemplo 2x + 5 = 10. Temos 2x = 10 − 5. Ou seja, 2x = 5. Logo
x = 5
2
. Gostaŕıamos de fazer contas análogas com matrizes. Por exemplo, dadas as matrizes A, B e
C, gostaŕıamos de resolver equações do tipo A ·X +B = C, em que se deseja determinar a matriz
X. Temos o seguinte
• A ·X +B = C, logo
• A ·X = C −B, tomando a oposta de B. Segue-se que
• X =
C −B
A
, logo
• X =
1
A
· (C −B), finalmente• X = A−1 · (C −B)
Entretanto, para que isso faça sentido, precisamos da inversa da matriz A, que nem sempre
existe! E, caso exista, como determina-la? Vamos desenvolver mais alguns resultados e voltaremos
a esse ponto na seção de inversão de matrizes.
1.3.4 Exerćıcios
1. Dada a matriz A =
[
1 2 5 2
0 −3 1 4
]
, determine AT .
2. Dadas as matrizes A =
 1 0
−3 2
5 3
, B =
[
4 2 1 −3
6 5 −1 0
]
, C =
 1 2 3
0 −1 2
5 4 1
 e
D =

0 0 0 1
−1 0 0 2
−1 0 1 0
0 1 0 2

calcule:
(a) (AB)T (b) (AB)DT (c) A(BDT ) (d) BTC
20
3. Dadas as matrizes A =
 1 −2 5
2 3 4
1 5 −8
, B =
[
0 1 −3
2 7 2
]
e C =
 1 5 3
2 −1 −5
1 2 −1

Calcule
(a) A+ AT (b) C + CT (c) A · AT (d) C − CT
4. Nos ı́tens que se seguem, verifique se B é a inversa de A.
(a) A =
 5 −1 1
5 5 5
0 2 3
 e B =
 2 4 1
2 0 −2
−2 0 1

(b) A =
 −4 −2 0
2 −6 −2
10 −8 −4
 e B =
 −1 1 −0, 5
1, 5 −2 1
−5, 5 6, 5 −3, 5

(c) A =
 4 5 0
2 3 0
−6 −1 −2
 e B =
 9 3 4
−7 2 5
1 6 8

5. Nos ı́tem a seguir, calcule m e n para que a matriz B seja inversa da matriz A.
(a) A =
[
m −22
−2 n
]
e B =
[
5 22
2 9
]
(b) A =
[
2 5
3 8
]
e B =
[
8 m
n 2
]
6. Determine a matriz X em cada ı́tem a seguir, supondo que as matrizes A, B, C e D são
quadradas, de mesma ordem e inverśıveis.
(a)ADX = ABC (b)DXT = DC (c)ABCX2D2 = ABCXD
(d)D−1XD = AC (e)CX + 2B = 3B
1.4 Escalonamento de Matrizes
Objetivos
• Conhecer as três operações elementares sobre linhas de uma matriz
• Obter a forma escalonada de uma matriz
• Obter o posto de uma matriz.
O principal objetivo desta seção é desenvolver uma ferramenta para a obtenção da inversa de
uma matriz. Essa ferramenta terá diversas aplicações no decorrer do curso, como por exemplo:
resolução de sistemas lineares, cálculo da dimensão de subespaços vetoriais. A partir desse ponto
trataremos apenas, salvo menção em contrário, de matrizes quadradas.
21
1.4.1 Operações Sobre Linha
Considere uma matriz A. As operações indicadas a seguir são chamadas operações ele-
mentares sobre as linhas de A.
(i) Permutar duas linhas.
(ii) Multiplicar uma linha por um número real, não nulo.
(iii) Substituir uma linha pela soma dela com outra linha, previamente multiplicada por um número
real.
As linhas da matriz serão indicadas por L1, L2, L3,... As operações acima descritas serão
denotadas da seguinte forma:
(i) Li ↔ Lj para a permutação da linha Li com a linha Lj.
(ii) Li ↔ α · Li para a troca da linha Li pela linha Li multiplicada pelo número real α.
(iii) Li ↔ Lk + α · Lj para a substituição da linha Li pela linha Lk + α · Lj.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.27. Dada a matriz A =
 8 5 7
3 2 0
3 3 3
, temos o seguinte.
(a) Aplicando em A a operação L1 ↔ L3, obtemos a matriz
A1 =
 3 3 3
3 2 0
8 5 7

(b) Aplicando em A a operação L3 ↔ 2 · L3, obtemos:
A2 =
 8 5 7
3 2 0
6 6 6

(c) Aplicando agora, a operação L1 ↔ L1 + 2 · L3 em A, obtemos:
A3 =
 14 11 13
3 2 0
3 3 3

�
Veremos mais exemplos a seguir. Agora temos mais uma definição.
Definição 1.14. Dada uma matriz A, dizemos que outra matriz B é equivalente a A, se B puder
ser obtida a partir de A, por meio de uma sequência de operações elementares. Denotamos por
B ∼ A.
Quando aplicamos uma operação elementar sobre uma matriz, alteramos os elementos da matriz.
Após aplicarmos seguidas operações elementares em uma matriz podemos obter como resultado uma
matriz com muitos zeros.
22
Exemplo 1.28. Dada a matriz A =
 2 1 7
1 3 2
5 3 4
. Aplicamos as seguintes operações elementares:
• A1 =
 1 1
2
7
2
1 3 2
5 3 4
, fazendo L1 ↔ 1
2
· L1 em A
• A2 =
 1 1
2
7
2
0 5
2
−3
2
5 3 4
 fazendo L2 ↔ L2 + (−1) · L1 em A1
• A3 =
 1 1
2
7
2
0 5
2
−3
2
0 1
2
−27
2
 fazendo L3 ↔ L3 + (−5) · L1 em A2
• A4 =
 2 1 7
0 5
2
−3
2
0 1
2
−27
2
 fazendo L1 ↔ 2 · L1 em A3
• A5 =
 2 1 7
0 5 −3
0 1
2
−27
2
 fazendo L2 ↔ 2 · L2 em A4
• A6 =
 2 1 7
0 5 −3
0 1 −27
 fazendo L3 ↔ 2 · L3 em A5
• A7 =
 2 1 7
0 1 −27
0 5 −3
 fazendo L2 ↔ L3 em A6
• A8 =
 2 1 7
0 1 −27
0 0 132
 fazendo L3 ↔ L3 + (−5)L2 em A7
Após sucessivas operações elementares a matriz A se transformou em A8. Logo A8 ∼ A.
�
1.4.2 Escalonamento
Na subseção anterior, vimos que a aplicação sucessiva de operações elementares em uma matriz
pode produzir uma matriz com muitos zeros. Isso é, como veremos, particularmente útil para a
obtenção da inversa de uma matriz e para a resolução de um sistema linear. Nesta subseção vamos
estabelecer a ferramenta nessária para esse fim.
Definição 1.15. Dizemos que uma matriz A está na forma escalonada, se satifaz as seguintes
condições:
(i) Todas as linhas nulas de A, se existirem, ficam abaixo de todas as linhas não nulas.
(ii) A quantidade de zeros antes do primeiro elemento não nulo de cada linha aumenta a cada
linha.
23
Exemplo 1.29. Observe as seguintes situações.
(a) A matriz A =
 1 2 7
0 3 5
0 0 4
 está na forma escalonada. Há um zero antes do 3 e, dois zeros
antes do 4 (aumentou a quantidade de zeros).
(b) A matriz B =
 3 1 5
0 0 5
0 1 4
 não está na forma escalonada, pois a segunda linha tem dois zeros
antes do 5 e, a terceira linha tem apenas um zero antes do 1. Contradizendo a condição (ii)
da definição.
(c) A matriz C =
 0 3 1 5
0 0 0 5
0 0 0 1
 não está na forma escalonada, pois a segunda linha tem três
zeros antes do 5 e, a terceira linha tem, também três zeros antes do 1. Contradizendo a
condição (ii) da definição.
(d) A matriz D =
 0 3 0 0 0
0 0 0 5 2
0 0 0 0 1
 está na forma escalonada. Só importam os zeros antes de
cada elemento não nulo em uma linha. Na primeira linha há 1 zero antes do 3. Na segunda,
temos 3 zeros antes do 5 e, na terceira, 4 zeros antes do 1.
(e) A matriz E =

0 3 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 0 0 4 5
 não está na forma escalonada. Pois, há uma linha nula (a
segunda), acima de linhas não nulas.
�
Agora que já sabemos reconhecer matrizes na forma escalonada, podemos aprender a escalonar
matrizes. Toda matriz pode ser reduzida a sua forma escalonada por meio de operações elementares.
Você pode tentar fazer isso, desenvolvendo seu próprio método. Esse processo é, em geral, traba-
lhoso e exige muito cuidado na sua execução. A seguir sugerimos um método para obter a matriz
escalonada.
Método do escalonamento
(1) Usando permutação de linhas, coloque todas as linhas nulas, se existirem, abaixo de todas as
linhas não nulas. Se alguma linha se anular no processo, use permutação, novamente, e a
coloque abaixo de todas as linhas não nulas.
(2) Novamente usando permutações, arrume as linhas da matriz de modo que o número de zeros
antes do primeiro elemento não nulo em cada linha não diminua linha após linha.
(3) Identifique o primeiro elemento não nulo na primeira linha. Chamamos esse elemento de pivô
da primeira linha. Usando operações elementares, obtenha 0 para todos os elementos abaixo
dele.
(4) Repita o passo (2).
24
(5) Repita o passo (3) para cada linha seguinte, após a primeira.
Vejamos um exemplo de aplicação desse método.
Exemplo 1.30. Considere a matriz A =
 1 2 3
4 1 7
6 5 12
. Essa matriz não têm elementos nulos.
Começamos o escalonamento do passo (3).
(i) O pivô da primeira linha é 1 (fica mais fácil quando o pivô é 1. Se não for, procure obtê-lo.
Trocando linhas, por exemplo ou dividindo a linha por uma constante). Devemos ”zerar”os
elementos abaixo do pivô, que são 4 e 6. Para ”zerar”o 4 fazemos a seguinte operação:
L2 ↔ L2 + (−4)L1. Para ”zerar”o 6, fazemos o seguinte: L3 ↔ L3 + (−6)L1. Obtemos:
A1 =
 1 2 3
0 −7 −5
0 −7 −6

(ii) Identificamos o pivô da segunda linha, que é −7. O objetivo agora, é ”zerar”os elementos
abaixo do pivô. Nesse caso só há um elemento para tornar zero, o −7. Aplicamos a seguinte
operação elementar: L3 ↔ L3 + (−1)L2.Note que não usamos mais a primeira linha. Após
os cálculos, obtemos:
A2 =
 1 2 3
0 −7 −5
0 0 −1

A matriz, agora, encontra-se na forma escalonada.
�
Definição 1.16. Chamamos posto de uma matriz ao número de linhas não nulas de sua forma
escalonada. Denotamos o posto da matriz A assim posto(A).
A fim de saber o posto de uma matriz, escalonamos essa matriz e contamos o número de linhas
não nulas da forma escalonada.
Exemplo 1.31. Observe os casos a seguir
(a) A matriz P =
 1 2 3
0 −7 −5
0 0 −1
 está na forma escalonada. E nenhuma linha é nula. Logo seu
posto é 3
(b) A matriz Q =
 1 2 3
2 4 6
3 6 9
, após escalonada toma a forma Q1 =
 1 2 3
0 0 0
0 0 0
, com apenas
uma linha não nula.
Logo posto(Q) = posto(Q1) = 1
�
25
1.4.3 Exerćıcios
1. Decida em cada ı́tem se a matriz dada está ou não na forma escalonada.
(a) A =
 1 2 3
0 −3 8
4 0 0
 (b) B =
 3 1 5
0 2 8
0 0 0
 (c) C =
 0 0 1
0 0 0
0 0 2

(d) F =

1 0 0 1
0 1 0 3
0 0 0 1
0 0 0 0
 (e) E =

1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
 (f) G =

0 2 3 1
0 0 −1 3
0 0 0 1
0 0 0 0

2. Obtenha uma forma escalonada para cada matriz a seguir e dê seu posto
(a) A =
[
1 2
3 4
]
(b) B =
 1 2
3 4
5 7
 (c) C =
 1 2 3
2 −3 8
4 15 10

(d) D =
 1 3 2
5 −1 10
3 12 1
 (e) E =

1 2 5
1 −2 0
2 3 10
0 5 4
 (f) F =
 1 3 7 1
2 −1 0 3
1 3 5 0

(g) G =
 −1 10 −7
−1 −4 3
1 −2 1
 (h) H =
 2 2 2
3 4 7
1 2 5
 (i) J =

−1 −2 −3
−2 −4 −5
−3 −5 −6
−2 −7 −6

1.5 Inversão de Matrizes
Objetivo
• Obter a inversa de uma matriz
1.5.1 Obtenção da Inversa
No final da seção (1.3) levantamos a questão sobre quando uma matriz possui inversa e, caso
exista, como obter tal inversa. Essa seção tem o objetivo de responder essas questões. E a resposta
está em um resultado bem conhecido.
Proposição 1.5. Considere uma matriz quadrada A. A mesma sequência de operações elementares
que transforma a matriz A na matriz identidade I, transforma a matriz I na matriz inversa de A.
Portanto, uma matriz quadrada será inverśıvel quando for posśıvel, por meio de operações ele-
mentares, obter a matriz identidade. Isso responde a primeira questão discutida acima. Para a
obtenção da inversa, vejamos o seguinte.
Método da Inversa
Considere uma matriz A, cuja inversa queremos determinar.
(1) Primeiramente escrevamos a matriz A e, ao lado dessa, a matriz identidade I de mesma ordem.
Com isso obtemos a matriz A. Vamos denotar A = [A||I].
26
(2) Agora aplicamos operações elementares sobre a matriz A, objetivando transformar a matriz A
em I. Para isso usaremos uma variação do método do escalonamento.
Vejamos um exemplo.
Exemplo 1.32. Determine, se posśıvel, a inversa da matriz A =
 2 1 3
4 2 2
2 5 3
.
• Primeiro escrevemos a matriz A. Temos A =
 2 1 3
4 2 2
2 5 3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
• Agora identificamos o pivô da primeira linha, que é 2. Devemos ”zerar”os elementos 4 e
2, abaixo do pivô. Aplicamos as seguintes operações elementares: L2 ↔ L2 + (−2)L1, para
”zerar”o 4 e, L3 ↔ L3 + (−1)L1, para ”zerar”o 2. Após os cálculos, temos:
A1 =
 2 1 3
0 0 −4
0 4 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
−1 0 1

• Agora permutamos a segunda linha com a terceira. Obtemos:
A2 =
 2 1 3
0 4 0
0 0 −4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−1 0 1
−2 1 0

• A matriz à esquerda já está escalonada. Entretanto, precisamos transforma-la na matriz
identidade. Para isso, vamos olhar para a segunda linha e Zerar o elemento acima do 4.
Primeiro vamos dividir a segunda linha por 4, para facilitar as contas. façamos a seguinte
operação elementar L2 ↔ 1
4
L2. Ficamos com:
A3 =
 2 1 3
0 1 0
0 0 −4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−1
4
0 1
4
−2 1 0

• Agora sim, vamos olhar para a segunda linha e ”zerar”o elemento acima do 1, que é também
1. Façamos o seguinte: L1 ↔ L1 + (−1)L2. Resulta em:
A4 =
 2 0 3
0 1 0
0 0 −4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
5
4
0 −1
4
−1
4
0 1
4
−2 1 0

• O próximo passo é simplificar a terceira linha, fazendo L3 ↔ −1
4
L3. Vem que:
A5 =
 2 0 3
0 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
5
4
0 −1
4
−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

• Olhando para a terceira linha, precisamos ”zerar”os elementos acima do 1. Nesse caso, só
falta o 3. Logo fazemos L1 ↔ L1 + (−3)L3. Obtemos:
A6 =
 2 0 0
0 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
−1
4
3
4
−1
4
−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

27
• Finalmente, basta dividir a primeira linha por 2. Para isso, usamos a seguinte operação
elementar: L1 ↔ 1
2
L1. Resulta em:
A7 =
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
−1
8
3
8
−1
8
−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

Como a matriz à esquerda foi reduzida a identidade, segue-se, pela proposição 1.5, que a
matriz resultante à direita é a inversa de A. Temos:
A−1 =
 −1
8
3
8
−1
8
−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

�
Caso a matriz A, não seja inverśıvel, não será posśıvel reduzi-la a identidade. Veja um exemplo
disso.
Exemplo 1.33. Considere a matriz A =
 1 2 3
2 4 6
5 1 4
. Vamos tentar aplicar o método da inversa
nessa matriz.
• Primeiramente escrevemos
A =
 1 2 3
2 4 6
5 1 4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1

• A seguir, identificamos o pivô da primeira linha, que é 1 e, objetivando ”zerar”os elementos
abaixo dele, fazemos L2 ↔ L2 + (−2)L1. Após os cálculos, obtemos:
A1 =
 1 2 3
0 0 0
5 1 4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
0 0 1

Notemos que a segunda linha da matriz à esquerda se anulou! Isso significa que não há como
transforma-la na matriz identidade. Segue-se que a matriz A não é inverśıvel.
�
1.5.2 Exerćıcios
1. Transforme a matriz dada na matriz identidade, por meio de operações elementares.
(a) A =
[
3 5
1 2
]
(b) B =
 −3 4 −5
0 −1 2
3 −5 4
 (c) C =

1 0 0 0
−2 1 0 0
1 −2 1 0
0 1 −2 1

28
2. Obtenha, se posśıvel, a inversa da matriz a seguir.
(a) A =
[
5 2
1 3
]
(b) B =
[
3 1
2 3
]
(c) C =
[
3 1
9 3
]
(d) D =
 2 0 0
0 3 0
0 0 7
 (e) E =
 −1 0 0
−1 −1 0
−1 −1 −1
 (f) F =
 −1 10 −7
−1 −4 3
1 −2 1

(g) G =
 2 2 2
3 4 7
1 2 5
 (h) H =
 0 2 −1
1 4 −2
−1 −7 3
 (i) I =
 −1 10 −7
−1 −4 3
1 −2 1

(j) J =

1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
 (k) K =
 −3 4 −5
0 1 2
3 −5 4
 (l) L =
 −1 −2 −3
−2 −4 −5
−3 −5 −6

(l)
 −4 0 −10
−2 −4 −4
2 −2 6
 (q)
 0 0 5
0 6 0
9 0 0
 (r)

−1 2 0 −8
0 −1 2 1
0 0 −1 1
0 0 0 −1

1.6 Cálculo de Determinantes
Objetivo
• Calcular determinantes de ordem 2
• Desenvolver um determinante por uma linha, ou coluna
Determinantes são funções que surgem naturalmente em cálculos matriciais. Precisamos
desse conceito em diversas áreas da matemática que usam matrizes como, por exemplo no cálculo de
funções de várias variáveis. Usaremos determinantes no último caṕıtulo desse texto para determinar
os autovalores e autovetores de um operador linear.
1.6.1 Determinantes de ordem 2
Definição 1.17. Dada a matriz quadrada de ordem 2, A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, chamamos determinante
de A ao número real:
a11 · a22 − a21 · a12
Denotamos o determinante da matriz A, por detA, ou |A|. Nesse caso, temos:
detA =
∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11 · a22 − a21 · a12
Como trata-se de um determinante de uma matriz de segunda ordem, chamaremos determi-
nante de ordem 2.
29
Exemplo 1.34. Calcule o determinante da matriz A =
[
2 1
5 3
]
.
Usando a fórmula dada na definição acima, temos: detA =
∣∣∣∣ 2 1
5 3
∣∣∣∣ = 2 · 3− 5 · 1 = 1 �
Pode parecer sem sentido efetuar um cálculo sem um sentido estabelecido, como estamos fazendo
ao calcular um determinante. Entretanto, por se tratar de um cálculo trabalhoso, é relevante estudá-
lo a parte, para que as idéias possam fluir mais naturalmente quando aplicarmos esse conceito em
uma teoria mais abrangente.
1.6.2 Desenvolvimento por Linha
O determinante, segundo a definição que demos, é um número real, obtido a partir de uma
matriz. Não faz sentido falar em linhas ou colunas de um determinante. Contudo, o faremosdeliberadamente, com a simples intenção de tornar mais fácil a compreensão dos cálculos.
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem maior que dois, usamos a
definição a seguir. Para facilitar a compreensão concentremos nossa atenção na linha i. Esse
método de calcular o determinante é chamado de desenvolvimento a partir de uma linha, no
caso em questão, i-ésima linha.
Definição 1.18. O determinante de uma matriz quadrada A =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
ai1 ai2 ... ain
... ... ... ...
an1 an2 ... ann

n×n
, com
n > 2 é dado por:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
... ... ... ... ...
ai1 ai2 ai3 ... ain
... ... ... ... ...
an1 an2 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
= (−1)i+1ai1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a12 a13 ... a1n
a22 a23 ... a2n
... ... ... ...
a(i−1)2 a(i−1)3 ... a(i−1)n
a(i+1)2 a(i+1)3 ... a(i+1)n
... ... ... ...
an2 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
30
+(−1)i+2ai2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a13 a14 ... a1n
a21 a23 a24 ... a2n
... ... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)3 a(i−1)4 ... a(i−1)n
a(i+1)1 a(i+1)3 a(i+1)4 ... a(i+1)n
... ... ... ... ...
an1 an3 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
+(−1)i+3ai3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a14 a15 ... a1n
a21 a22 a24 a25 ... a2n
... ... ... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)2 a(i−1)4 a(i−1)5 ... a(i−1)n
a(i+1)1 a(i+1)2 a(i+1)4 a(i+1)5 ... a(i+1)n
... ... ... ... ... ...
an1 an2 an4 an5 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+ ...
...
...+ (−1)i+nain
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 ... a1(n−1)
a21 a22 ... a2(n−1)
... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)2 ... a(i−1)(n−1)
a(i+1)1 a(i+1)2 ... a(i+1)(n−1)
... ... ... ...
an1 an2 ... an(n−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Observemos atentamente a fórmula acima. O determinante foi desenvolvido a partir da i-ésima
linha de A. Vamos analisar a primeira parcela:
(−1)i+1ai1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a12 a13 ... a1n
a22 a23 ... a2n
... ... ... ...
a(i−1)2 a(i−1)3 ... a(i−1)n
a(i+1)2 a(i+1)3 ... a(i+1)n
... ... ... ...
an2 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ela foi determinada pelo primeiro elemento dessa linha, no caso: ai1, que está cruzamento da
linha i, com a coluna 1 de A.
Primeiro temos (−1)i+1. Notemos que i+1 é a soma dos ı́ndices de ai1. Agora compare a matriz
A, com essa expressão que estamos analizando. O determinante que aparece nessa expresão foi
obtido da matriz A, eliminando a linha e a coluna do elemento ai1. Por isso, nesse determinante,
está faltando a linha i e a coluna 1. Aparecem as linhas 1, 2, ... até a linha (i−1). A linha seguinte,
é a linha (i+ 1) (observe!). Eliminamos a linha i.
O segundo elemento da linha i é ai2 (estamos desenvolvendo a linha i). Esse elemento está no
cruzamento da linha i, com a coluna 2. Eliminando essa linha e essa coluna, obtemos o determinante
que aparece na segunda parcela. Desse modo, a segunda parcela é
31
(−1)i+2ai2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a13 a14 ... a1n
a21 a23 a24 ... a2n
... ... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)3 a(i−1)4 ... a(i−1)n
a(i+1)1 a(i+1)3 a(i+1)4 ... a(i+1)n
... ... ... ... ...
an1 an3 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Enfatizando mais ainda, notemos que as colunas que aparecem nesse determinante são a coluna
1, depois a coluna 3, a seguir vem a coluna 4, ... até a coluna final. A coluna 2 foi, de fato,
eliminada.
Seguindo esse racioćınio, obtemos cada parcela do desenvolvimento do determinante. É impor-
tante notar que, para calcular o determinante de A, o desenvolvemos em uma soma com determi-
nantes ”menores”(uma linha e uma coluna a menos). Vejamos agora alguns exemplos numéricos.
Exemplo 1.35. Dada a matriz de ordem 3, A =
 2 1 5
3 0 2
10 5 1
, calcule detA.
A fórmula dada nos permite desenvolver o determinante por uma linha i qualquer. Vamos
desenvolvê-lo a partir da primeira linha. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣
2 1 5
3 0 2
10 5 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · 2 ·
∣∣∣∣ 0 2
5 1
∣∣∣∣+ (−1)1+2 · 1 ·
∣∣∣∣ 3 2
10 1
∣∣∣∣+ (−1)1+3 · 5 ·
∣∣∣∣ 3 0
10 5
∣∣∣∣
Notemos que estamos desenvolvendo a primeira linha. Os elementos em questão são: 2, 1 e 5.
Olhando para o 2, vemos que ele está no cruzamento da primeira linha com a primeira coluna. Isso
justifica o (−1)1+1. Analogamente, o elemento seguinte, 1, está no cruzamento da primeira linha
com a segunda coluna. Por isso, aparece o fator (−1)1+2. Analogamente para o 5.
Agora, como já sabemos calcular determinantes de segunda ordem, conclúımos o cálculo. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣
2 1 5
3 0 2
10 5 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · 2 ·
∣∣∣∣ 0 2
5 1
∣∣∣∣+ (−1)1+2 · 1 ·
∣∣∣∣ 3 2
10 1
∣∣∣∣+ (−1)1+3 · 5 ·
∣∣∣∣ 3 0
10 5
∣∣∣∣ =
2 · (−10) + (−1) · (−17) + 5 · 15 = 72
�
Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 1.36. Calcule detA =
∣∣∣∣∣∣
3 −1 4
0 0 3
8 1 2
∣∣∣∣∣∣.
Vamos calcular esse determinante, desenvolvendo-o a partir da segunda linha. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣
3 −1 4
0 0 3
8 1 2
∣∣∣∣∣∣ = (−1)2+1 · 0 ·
∣∣∣∣ −1 4
1 2
∣∣∣∣+ (−1)2+2 · 0 ·
∣∣∣∣ 3 4
8 2
∣∣∣∣+ (−1)2+3 · 3 ·
∣∣∣∣ 3 −1
8 1
∣∣∣∣ =
(−1) · 3 · 11 = −33
�
Notemos que o cálculo ficou bem mais simples, pois a linha escolhida tinha dois zeros. Calcu-
lamos a seguir um determinante de ordem 4.
32
Exemplo 1.37. Calcule detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 2 1
3 1 0 3
4 0 1 0
1 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Desenvolveremos a terceira linha. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 2 1
3 1 0 3
4 0 1 0
1 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)3+1 · 4 ·
∣∣∣∣∣∣
5 2 1
1 0 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣+ (−1)3+3 · 1 ·
∣∣∣∣∣∣
1 5 1
3 1 3
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ =
Notemos que não escrevemos todas as parcelas. Usamos apenas os elementos não nulos da
terceira linha. Calculando cada determinante separadamente, temos
•
∣∣∣∣∣∣
5 2 1
1 0 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)2+1 · 1 ·
∣∣∣∣ 2 1
0 1
∣∣∣∣+ (−1)2+3 · 3 ·
∣∣∣∣ 5 2
1 0
∣∣∣∣ = (−1) · 2 + (−1) · 3 · (−2) = 4
•
∣∣∣∣∣∣
1 5 1
3 1 3
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · 1 ·
∣∣∣∣ 1 3
1 1
∣∣∣∣+ (−1)1+2 · 5 ·
∣∣∣∣ 3 1
3 1
∣∣∣∣+ (−1)1+3 · 1 ·
∣∣∣∣ 3 1
1 1
∣∣∣∣ =
−2 + (−1) · 5 · 0 + 2 = 0
Desenvolvemos a linha 2, para o primeiro e a linha 1 para o segundo.
Retomando, temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 2 1
3 1 0 3
4 0 1 0
1 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)3+1 · 4 ·
∣∣∣∣∣∣
5 2 1
1 0 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣+ (−1)3+3 · 1 ·
∣∣∣∣∣∣
1 5 1
3 1 3
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ =
= 1 · 4 · 4 + 1 · 1 · 0 = 16 �
1.6.3 Exerćıcios
1. Calcule os determinantes abaixo
(a)
∣∣∣∣ 2 1
5 3
∣∣∣∣ (b)
∣∣∣∣ 2 3
10 19
∣∣∣∣ (c)
∣∣∣∣ 20 5
9 8
∣∣∣∣ (d)
∣∣∣∣ 3 1
6 9
∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣
0 0 5
0 6 0
9 0 0
∣∣∣∣∣∣ (f)
∣∣∣∣∣∣
3 1 1
2 0 0
1 2 2
∣∣∣∣∣∣ (g)
∣∣∣∣∣∣
1 1 2
0 1 −1
3 2 5
∣∣∣∣∣∣
(h)
∣∣∣∣∣∣
5 3 1
2 0 3
4 6 0
∣∣∣∣∣∣ (i)
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
3 6 9
−3 0 0
∣∣∣∣∣∣ (j)
∣∣∣∣∣∣
3 0 5
1 2 1
0 2 3
∣∣∣∣∣∣
(k)
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 1 0 1
1 2 1 3
0 1 0 0
3 5 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ (l)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 5 2
2 0 5 6
1 0 5 7
0 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
33
Caṕıtulo 2
Sistemas de Equações Lineares
2.1 Solução de Sistemas
Objetivos
• Conhecer equações e sistemas lineares
• Saber o que é solução de um sistema linear
• Escrever um sistema linear em notação matricial
2.1.1 Equações Lineares
Definição 2.1. Chamamos equação linear a coeficientes reais a uma expressão do tipo
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b
Na qual, x1, x2, ..., xn são chamadas variáveis. Os termos a1, a2, ..., an são números reais,
chamados coeficientes das variáveis x1, x2,...,xn, respectivamente. O valor b é denominado termo
independente. No caso particular em que b = 0, ficamos com
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = 0
e, chamamos equação homogênea.
Observação: Neste texto, vamos tratar apenas de equações com coefientes reais. Portanto,
diremos apenas, equação linear.
O que caracteriza uma equação linear é que as variáveis estão sujeitas a apenas duas operações
(operações lineares), quais sejam: soma e multiplicação por um número real.
Exemplo 2.1. Considere a equação linear 2x1 + 5x2 − 8x3 + 3x4 = 1
Nessa equação os coeficientes são 2, 5, −8 e 3. O número 1, à direita da igualdade é o termo
independente. �
Caso estejamos considerando uma equação com poucas variáveis, costumamos escrevê-la usando
letras diferentes como no exemplo a seguir.
Exemplo 2.2. A equação 2x+ 3y + 5z = 0 é uma equação linear homogênea. �
34
Definição 2.2. Uman-upla de números reais (s1, s2, ..., sn) é chamada solução da equação linear
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b quando a igualdade a1s1 + a2s2 + a3s3 + ... + ansn+ = b é
verdadeira.
Exemplo 2.3. Considere a equação 2x + 3y = 17. O par de valores (4, 3) é uma solução dessa
equação. Pois, substituindo na equação, obtemos 2 ·4+3 ·3 = 17. Por tentativas podemos encontrar
outras soluções para essa equação. Tente encontrar algumas! O par (2, 5) não é solução dessa
equação, pois substituindo na equação, obtemos 2 · 2 + 3 · 5 = 19 6= 17.
�
Exemplo 2.4. Considere a equação linear homogênea x + 2y + z = 0. A terna de valores (0, 0, 0)
é solução dessa equação, pois substituindo na equação obtemos: 0 + 2 · 0 + 0 = 0. �
O exemplo acima evidencia uma propriedade, simples, mas muito útil sobre equações lineares.
Toda equação linear homogênea a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = 0 admite a solução (0, 0, ..., 0),
chamada solução trivial. Uma solução da equação linear homogênea a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +
anxn = 0, diferente da solução trivial será chamada não-trivial. Considerando ainda o exemplo
anterior, vemos que (2, 3,−8) é também solução da equação dada, trata-se de uma solução não-
trivial.
2.1.2 Sistemas Lineares
Definição 2.3. Um sistema linear com coeficientes reais é um conjunto de equações lineares.
Denotamos assim: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
Quando ocorre b1 = b2 = b3 = ... = bm = 0, dizemos que o sistema é homogêneo.
Vale uma observação análoga quanto a denominação que usamos para equações lineares. Diremos
apenas sistema linear, ou ainda, simplesmente sistema, para nos referirmos a um sistema linear com
coeficientes reais.
Exemplo 2.5. O sistema
4x− y − 3z = 0
3x− 2y + 5z = 0
2x+ 3y + 4z = 0
é um sistema linear homogêneo, que possui três variáveis e três equações.
�
Definição 2.4. Uma n-upla de números reais (s1, s2, ..., sn) é chamada solução do sistema linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
35
quando 
a11s1 + a12s2 + a13s3 + ...+ a1nsn = b1
a21s1 + a22s2 + a23s3 + ...+ a2nsn = b2
a31s1 + a32s2 + a33s3 + ...+ a3nsn = b3
... ... ...
am1s1 + am2s2 + am3s3 + ...+ amnsn = bm
Ou seja, quando (s1, s2, ..., sn) é solução de cada equação do sistema. O conjunto S de todas as
soluções do sistema linear é chamado conjunto solução do sistema.
Exemplo 2.6. Considere o sistema
2x+ y + 3z = 8
4x+ 2y + 2z = 4
2x+ 5y + 3z = −12
Notamos que (2,−5, 3) é solução de cada equação desse sistema. Vejamos:
• 2 · 2 + 1 · (−5) + 3 · 3 = 8
• 4 · 2 + 2 · (−5) + 2 · 3 = 4
• 2 · 2 + 5 · (−5) + 3 · 3 = −12
Isso significa que (2,−5, 3) é solução do sistema. �
Até esse ponto, nosso objetivo é apenas reconhecer uma solução por simples substituição. Na
seção seguinte estudaremos como obter soluções de um sistema linear.
Definição 2.5. Considere um sistema linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
A matriz
A =

a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b11
b21
b31
...
bm1

cujos elementos são todos os coefientes do sistema, é chamada matriz ampliada do sistema.
Exemplo 2.7. O sistema
x+ y + 5z = −7
x+ 2y + 3z = 5
2x− 5y = 2
possui a seguinte matriz ampliada
36
A =
 1 1 5
1 2 3
2 −5 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
−7
5
2

�
Definição 2.6. Dizemos que temos um sistema escalonado, ou na forma escalonada, quando
sua matriz ampliada está na forma escalonada.
2.1.3 Exerćıcios
1. Obtenha uma solução particular, não trivial, de cada equação linear a seguir.
(a) 2x+ y − z = 0 (b) x− 2y + z = 0 (c) 5x+ y + z − w = 0
2. Escreva a matriz ampliada de cada sistema. A seguir, determine a forma escalonada da matriz
ampliada.
(a)
{
x+ y = 4
x+ 2y = 5
(b)
{
x+ 2y = 16
x− 3y = 20
(c)
{
5x+ 8y = 34
10x+ 16y = 50
(d)

x+ y + z = 15
x+ 2y − z = 25
−x+ y − z = 8
(e)
{
x+ 3y − 5z = 0
x− y + z = 0
(f)

−x+ 2y + 5z = 0
x+ 3y + z = 0
y + 2z = 1
2.2 Eliminação Gaussiana
Objetivos
• Resolver um sistema linear
• Discutir a solução de um sistema linear
2.2.1 Resolução de um Sistema Linear
A seguir veremos exemplos de como resolver alguns sistemas lineares.
Exemplo 2.8. Considere o seguinte sistema
x+ y − 3z = 15
y + z = 10
z = 7
Da última equação conclúımos que z = 7. Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos:
y + 7 = 10. Logo y = 3. Substituindo os valores z = 7 e y = 3 na primeira equação, podemos
escrever: x + 3 − 3 · 7 = 15. Ou seja, x = 33. Reunindo os valores encontrados conclúımos que a
terna (33, 3, 7) é solução do sistema dado. �
Considerando a matriz ampliada do sistema acima, vemos que
A =
 1 1 −3
0 1 1
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
15
10
7

ela se encontra na forma escalonada. Logo o sistema foi dado na forma escalonada. Nesses casos
é bastante simples obter a solução do sistema, como vimos no exemplo.
37
2.2.2 O Método de Eliminação Gaussiana
Nesta seção estudaremos como obter soluções de um sistema linear qualquer.
Definição 2.7. Dois sistemas lineares são ditos equivalentes quando possuem o mesmo conjunto
solução.
Teorema 2.1. Dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se suas matrizes ampliadas
são equivalentes.
�
Esse teorema é a base do que chamamos método da eliminação gaussiana. Dado um sistema
linear qualquer, escrevemos sua matriz ampliada e a seguir, escalonamos essa matriz. Devido ao
teorema acima, o sistema escalonado obtido por esse processo, é equivalente ao sistema inicial. Isso
significa que o sistema escalonado tem a mesma solução do sistema original. E, como já vimos, é
bastante simples resolver um sistema escalonado. Desse modo obtemos a solução, caso exista, de
um sistema qualquer.
Exemplo 2.9. Considere o seguinte sistema:
x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + z = 10
Sua matriz ampliada é  1 2 3
3 4 6
3 2 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
23
10

Escalonamos a matriz ampliada
(1) Primeiro usamos as seguintes operações elementares: L2 ↔ L2 + (−3)L1 e L3 ↔ L3 + (−3)L1.
Obtemos:  1 2 3
0 −2 −3
0 −4 −8
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
−7
−20

(2) Agora aplicamos L3 ↔ L3 + (−2)L2. Com isso chegamos a: 1 2 3
0 −2 −3
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
−7
−6

Após o escalonamento, retornamos a forma de sistema:
x+ 2y + 3z = 10
−2y − 3z = −7
−2z = −6
e, resolvemos por substituição. A última linha nos dá z = 3. Substituindo esse valor na segunda
equação obtemos: −2y − 3 · 3 = −7. Segue-se que y = −1. Substituindo esses valores na primeira
38
equação, temos: x+ 2 · (−1) + 3 · 3 = 10. Logo x = 3. Reunindo os resultados obtidos, conclúımos
que (3,−1, 3) é solução do sistema escalonado. Portanto, (3,−1, 3) é solução do sistema original.
Verifique! �
Vejamos outro exemplo.
Exemplo 2.10. Considere o seguinte sistema:
x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + 3z = 10
Sua matriz ampliada é  1 2 3
3 4 6
3 2 3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
23
10

Escalonando (faça as contas!), obtemos: 1 2 3
0 −2 −3
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
−7
−13

Retornando a forma de sistema, temos:
x+ 2y + 3z = 10
−2y − 3z = −7
0 = −13
A última equação é no mı́nimo curiosa, pois afirma algo sem sentido. Portanto, o sistema
escalonado não possui solução. Consequentemente, o sistema original também não possui solução.
�
Vejamos um último exemplo.
Exemplo 2.11. Seja o sistema

x+ 3y + 2z = 10
x+ y + z = 14
2x+ 2y + 2z = 28
Sua matriz ampliada é  1 3 2
1 1 1
2 2 2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
14
28

apóso escalonamento, obtemos  1 3 2
0 −2 −1
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
4
0

Portanto, o sistema escalonado é
39
{
x+ 3y + 2z = 10
−2y − z = 4
Não há como obter um valor numérico para z nesse caso. Isolando z na última equação obtemos:
z = −2y − 4. Podemos supor que y é um valor conhecido e substituir o valor de z na primeira
equação. Segue-se que: x + 3y + 2(−2y − 4) = 10. Logo x + 3y − 4y − 8 = 10. Como estamos
supondo que y é um valor conhecido, podemos calcular x. Temos: x = y + 18. Portanto, os valores
obtidos são: 
x = y + 18
y = y
z = −2y − 4
Conclúımos que a solução do sistema é (y+18, y,−2y−4), supondo y um número real conhecido.
Para cada valor fixado de y obtemos uma solução diferente. Por exemplo, fixando y = 1, obtemos
a solução (19, 1,−6). Portanto, esse sistema possui infinitas soluções. �
2.2.3 Discussão de um Sistema Linear
Definição 2.8. Dizemos que um sistema linear é
1. Imposśıvel caso seu conjunto solução seja vazio.
2. Posśıvel quando ele possui alguma solução.
(a) Posśıvel e determinado quando ele possui exatamente uma solução.
(b) Posśıvel e indeterminado caso possua mais de uma solução
Para melhor entender o teorema a seguir, considere o seguinte. Quando aplicamos o método da
eliminação gaussiana em um sistema
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
Temos que escalonar a matriz ampliada
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b11
b21
b31
...
bm1

que vamos representar de um modo mais compacto assim [A|B]. Denotemos o posto da matriz
A como posto(A) e, da matriz ampliada [A|B], posto([A|B]). Naturalmente, existem apenas duas
possibilidades:
• posto(A) <posto([A|B])
40
• posto(A) =posto([A|B])
O estudo da discussão de um sistema linear é baseado no seguinte teorema
Teorema 2.2. Considerando o exposto acima temos que o sistema linear dado é:
1. Imposśıvel, se posto(A) <posto([A|B]).
2. Posśıvel, se posto(A) =posto([A|B])
(a) Posśıvel e determinado, se posto([A|B]) = n
(b) Posśıvel e indeterminado, se posto([A|B]) < n
Observe que n é o número de variáveis do sistema. �
Discutir um sistema linear significa classifica-lo segundo a definição 2.8. Vimos, no final da
subsessão anterior, alguns exemplos de como resolver um sistema. Vimos que nem sempre existe
solução para um dado sistema e, mesmo que exista a solução pode não ser única, como se viu no
último exemplo daquela subsessão. O teorema acima nos permite obter essa classificação sem que,
para isso, seja necessário resolver o sistema. Vejamos isso em um exemplo.
Exemplo 2.12. Vamos discutir o seguinte sistema
3x+ 9y + 12z = 24
4x+ 16y + 26z = 46
x+ 7y + 14z = 20
• O primeiro passo é escrever a matriz A, dos coeficientes e a matriz ampliada A. Temos
A =
 3 9 12
4 16 26
1 7 14
 e A =
 3 9 12
4 16 26
1 7 14
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
46
20

• Agora, devemos escalonar a matriz ampliada. Após o escalonamento, obtemos:
A =
 3 9 12
0 4 10
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
14
−2

• Agora comparamos o posto da matriz A, (parte à esquerda da matriz ampliada) com o posto
da matriz ampliada. Vemos que posto(A) = 2 e para a matriz ampliada, posto([A|B)] = 3.
Devido ao teorema 2.2, o sistema dado é imposśıvel. �
�
Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 2.13. Consideremos o sistema
2x− 5y − z = −8
3y − 2y − 4z = −11
−5x+ y + z = −9
Sua matriz ampliada é A =
 3 9 12
4 16 26
1 7 14
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
46
20
. Que após o escalonamento se torna
41
A =
 3 9 12
0 11 −5
0 0 −74
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
2
−296

Vemos que posto(A) = 3 e posto[(A|B)] = 3. Devido a parte 2 do teorema 2.2, como
posto(A) =posto[(A|B)], trata-se de um sistema posśıvel. Agora, vemos que o sistema dado tem
3 variáveis e que posto[(A|B)] = 3. Portanto, o sistema é posśıvel e determinado. �
É relevante comentar que a forma escalonada de uma matriz não é única. Talvez você obtenha
uma forma escalonada diferente. Mas, o posto é o mesmo, independentemente da forma escalonada.
Vale a pena enfatizar que, a discussão de um sistema é apenas para classifica-lo, ou seja, nesse caso,
não estamos interessados em resolver o sistema.
2.2.4 Exerćıcios
1. Resolva os seguintes sistemas.
(a)

x− y − 3z = 15
y + 5z = −7
z = 7
(b)

x+ y + 2z = 10
y − z = 3
z = 1
(c)

x+ y + z = 25
y + z = 3
z = 12
2. Resolva os seguintes sistemas pelo método do escalonamento.
(a)

x+ y − z = 2
2x+ 3y + z = 15
x− y − z = −14
(b)

x+ 2y + z = 10
2x− y + 2z = 15
x− 2y + z = 4
(c)

x+ y + z = 15
2x− y + z = 7
x+ y − 2z = −8
(d)

4x− y − 3z = 15
3x− 2y + 5z = −7
2x+ 3y + 4z = 7
(e)

3x− 8y − 9z = 14
7x+ 3y + 2z = −12
−8x− 9y + 6z = 11
(f)

5x+ y + z = 7
6x− y − z = 4
7x+ 2y + 2z = 14
(g)
{
6x+ 2y + 4z = 0
−9x− 3y − 6z = 0
(h)

−8x+ 3y + 2z = 16
4x− 2z = 0
3y + 4z = −32
(i)

3x+ 2y − 3z = 18
2x− 4y + 4z = 12
−4x+ 3y − 5z = −24
3. Discuta os seguintes sistemas
(a)

2x+ 3y − 2z = 2
3x− 5y + 4z = 5
x− 2y − 7z = −24
(b)

x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + 3z = 10
(c)

x+ 4y + 6z = 11
2x+ 3y + 4z = 9
3x+ 7y + 10z = 20
(d)

2x+ 2y + 4z = 0
3x+ 5y + 8z = 0
5x+ 25y + 20z = 0
(e)

x− 3y − z = 0
4x− y − z = 0
5x− 4y − 2z = 0
(f)
{
x− 8y − 9z = 14
7x+ 3y + 2z = −12
(g)

4x+ 8y + 12z = 24
x− z = 0
−5x− 8y − 11z = −24
(h)

x− y = 0
2y + 4z = 6
x+ y + 4z = 6
4. Determine que condições devem satisfazer os coeficientes a, b e c, para os sistemas abaixo
sejam posśıveis.
(a)

x+ 2y + 8z = a
2x+ 5y + 3z = b
x+ 4y − 4z = c
(b)

x+ 4y + 2z = a
3x+ 8y + 5z = b
4x+ 12y + 7z = c
42
Caṕıtulo 3
Espaços Vetoriais
Neste caṕıtulo começamos o estudo da álgebra linear propriamente dita. Nosso objetivo é
estudar os espaços vetoriais e as transformações lineares entre eles.
3.1 Axiomas de Espaço Vetorial
Objetivos
• Definir os axiomas de espaço vetorial
• Conhecer os principais exemplos de espaço vetorial
• Conhecer as principais consequências dos axiomas de espaços vetoriais
3.1.1 Axiomas
Definição 3.1. Um espaço vetorial real, ou simplesmente espaço vetorial é um conjunto,
cujos elementos chamamos vetores. Para que um conjunto V seja um espaço vetorial, é preciso
que, nesse conjunto, estejam definidas duas operações: uma chamada adição, que a cada par de
vetores u, v ∈ V associa um terceiro vetor u+v ∈ V e, uma outra operação chamada multiplicação
por um número real, que a cada número real α e a cada vetor u ∈ V , associa um vetor αu ∈ V .
Essas operações devem satisfazer a lista de propriedades abaixo, quaisquer que sejam u, v, w ∈ V e
α, β ∈ R. Essas propriedades são chamadas axiomas de espaço vetorial.
As propriedades da adição são:
(A1) u+ v = v + u chamada comutatividade;
(A2) (u+ v) + w = u+ (v + w) chamada associatividade;
(A3) Deve existir um vetor representado por 0 chamado vetor nulo, tal que u + 0 = 0 + u = u.
Essa propriedade é chamada elemento neutro. Observamos que usamos o mesmo śımbolo
para representar o número zero e o vetor nulo.
(A4) Para todo vetor u ∈ V deve existir um vetor representado por −u, chamado oposto de u, tal
que u+ (−u) = −u+ u = 0. Essa propriedade é chamada elemento oposto.
As propriedades da multiplicação por um número real são:
43
(M1) (αβ)u = α(βu) chamada associatividade.
(M2) α(u+ v) = αu+ αv chamada distributividade.
(M3) (α + β)u = αu+ βu chamada também distributividade.
(M4) 1u = u
Espaços vetoriais, são estruturas bastante comuns. Já nos deparamos com diversos exemplos
de espaços vetoriais como por exemplo: as matrizes, os polinômios, o R2 da geometria anaĺıtica,
o próprio conjunto dos números reais entre outros. Por esse motivo, essas propriedades são tão
familiares. A propriedade M4, por exemplo, é tão familiar que pareceóbvia e fica dif́ıcil imaginar
que isso possa não ocorrer.
O fato é, que a partir de agora estudaremos esses conjuntos de um ponto de vista mais geral. Uma
matriz, um polinômio ou um ponto do R2 serão chamados simplesmente vetor. Estabeleceremos
agora os primeiros exemplos de espaço vetorial.
Exemplo 3.1. Começaremos com o exemplo mais simples e mais importante, o R2. Considere o
conjunto
R2 = {(x, y); x, y ∈ R}
Definimos nesse conjunto as seguintes operações:
• (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
• α(x, y) = (αx, αy)
Essas são as definições usuais. Desse modo, podemos fazer operações com os elementos desse
conjunto. Por exemplo, dados (1, 2), (3, 5) ∈ R2, temos: (1, 2) + (3, 5) = (1 + 3, 2 + 5) = (4, 7).
Afirmamos que esse conjunto, com essas operações, é um espaço vetorial. Para verificar que isso
é, de fato, verdade, devemos verificar que valem as 8 propriedades da definição 3.1.
Primeiramente as propriedades da adição. Definimos u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w = (x3, y3).
(A1) u+ v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = v+ u
(A2) (u + v) + w = ((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3) = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3) = ((x1 + x2) +
x3, (y1 + y2) + y3) = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)) = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1, y1) +
((x2, y2) + (x3, y3)) = u+ (v + w)
(A3) Definindo o vetor nulo por 0 = (0, 0), temos: u + 0 = (x1, y1) + (0, 0) = (x1 + 0, y1 + 0) =
(x1, y1) = u. Analogamente, temos 0 + u = u.
(A4) Dado u = (x1, y1), definimos −u = (−x1,−y1). Desse modo, u + (−u) = (x1, y1) +
(−x1,−y1) + (x1, y1) = (−x1 + x1,−y1 + y1) = (0, 0) = 0
Agora verificaremos as propriedades da multiplicalção por um número real.
(M1) (αβ)u = (αβ)(x1, y1) = ((αβ)x1, (αβ)y1) = (α(βx1), α(βy1)) = α(βx1, βy1) = α(β(x1, y1)) =
α(βu)
(M2) α(u + v) = α((x1, y1) + (x2, y2)) = α(x1 + y1, x2 + y2) = (α(x1 + y1), α(x2 + y2)) = (αx1 +
αy1, αx2 + αy2) = (αx1, αy1) + (αx2 + αy2) = α(x1, y1) + α(x2, y2) = αu+ αv
44
(M3) (α+ β)u = (α+ β)(x1, y1) = ((α+ β)x1, (α+ β)y1) = (αx1 + βx1, αy1 + βy1) = (αx1, αy1) +
(βx1, βy1) = α(x1, y1) + β(x1, y1) = αu+ βu
(M4) 1u = 1(x1, y1) = (1x1, 1y1) = (x1, y1) = u
�
Segue-se, agora demonstrado, que o conjunto R2 é um espaço vetorial. De modo inteiramente
análogo, podemos mostrar que R3 = {(x, y, z); x, y, z ∈ R} é um espaço vetorial. De um modo
mais geral ainda, estabelecemos que o conjunto Rn = {(x1, x2, ..., xn); x1, x2, ..., xn ∈ R} é um
espaço vetorial, qualquer que seja o número natural n.
Exemplo 3.2. Considere agora o conjunto das matrizes m × n sobre R. Usando as definições
usuais, para A = [aij], B = [bij] e C = [cij], ou seja
• A+B = [aij + bij]
• αA = [αaij]
vemos que esse conjunto é um espaço vetorial. De fato, temos:
(A1) A+B = [aij + bij] = [bij + aij] = B + A
(A2) (A+B) +C = ([aij + bij]) + [cij] = [(aij + bij) + cij] = [aij + (bij + cij)] = [aij] + ([bij + cij]) =
A+ (B + C)
(A3) Definindo o vetor nulo por 0 = [0ij], temos: A + 0 = [aij + 0ij] = [aij] = A. Analogamente,
temos 0 + A = A.
(A4) Dada a matriz A = [aij], definimos −A = [−aij]. Desse modo, A + (−A) = [aij + (−aij)] =
[0ij] = 0. Analogamente, temos −A+ A = 0
Agora verificaremos as propriedades da multiplicalção por um número real.
(M1) (αβ)A = (αβ)[aij] = [(αβ)aij] = [α(βaij)] = α[βaij] = α(βA)
(M2) α(A + B) = α([aij] + [bij]) = α[aij + bij] = [α(aij + bij)] = [αaij + αbij] = [αaij] + [αbij] =
α[aij] + α[bij] = αA+ αB
(M3) (α + β)A = (α + β)[aij] = [(α + β)aij] = [αaij + βaij] = [αaij] + [βaij] = α[aij] + β[aij] =
αA+ βA
(M4) 1A = 1[aij] = [1aij] = [aij] = A
�
Para provar que um conjunto com certas operações é um espaço vetorial, devemos provar que
valem as oito propriedades da definição de espaço vetorial. Entretanto, é importante saber re-
conhecer quando, dada estrutura não é um espaço vetorial. Para isso precisamos apenas mostrar
que alguma propriedade, entre as 8 da definição 3.1, não é válida. Vejamos um exemplo de uma
estrutura que não é um espaço vetorial.
Exemplo 3.3. Considere o conjunto R2, com as seguintes operações não usuais.
45
• (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
• α(x1, y1) = (α + x1, α + y1)
Como a definição de soma é a mesma já estudada acima, valem as 4 propriedades da adição.
Testando as propriedades da multiplicação por um número real, vemos que escrevendo u = (2, 5),
temos:
1u = 1(2, 5) = (1 + 2, 1 + 5) = (3, 6) 6= u
Conclúımos que não vale a propriedade M4.
Isso mostra que o conjunto R2 equipado com as operações definidas nesse exemplo não é um
espaço vetorial. �
O exemplo acima mostra que modificando as definições das operações de uma dada estrutura,
essa pode perder a condição de ser um espaço vetorial. A fim de provar que não se tem um espaço
vetorial, basta excontrar um exemplo numérico para o qual alguma propriedade ”fura”. Portanto,
a noção de espaço vetorial depende das operações definidas num dado conjunto. Quando nos
referirmos a um conjunto V como um espaço vetorial, sem mencionar as opreações definidas nesse
conjunto. fica impĺıcito que se tratam das operações usuais.
Exemplo 3.4. O conjunto dos polinômios, Pn(R), de grau menor do que, ou igual a n ∈ N, sobre
o corpo dos reais, dados por
p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ...+ a2x
2 + a1x+ a0
com an, an−1, ..., a2, a1, a0 ∈ R, é um espaço vetorial, com as operações usuais definidas do
seguinte modo. Dados p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 e q(x) = bnx
n + bn−1x
n−1 +
...+ b2x
2 + b1x+ b0 definimos
• p(x) + q(x) = (an + bn)xn + (an−1 + bn−1)x
n−1 + ...+ (a2 + b2)x
2 + (a1 + b1)x+ (a0 + b0)
• α · p(x) = p(x) = αanx
n + αan−1x
n−1 + ...+ αa2x
2 + αa1x+ αa0
O vetor nulo desse espaço é 0(x) = 0xn + 0xn−1 + ... + 0x2 + 0x + 0 e o oposto de p(x) =
anx
n+an−1x
n−1 + ...+a2x
2 +a1x+a0 é é o vetor −p(x) = (−an)xn+(−an−1)xn−1 + ...+(−a2)x2 +
−(−a1)x+ (−a0).
Existem diversos outros exemplos de espaço vetorial. Alguns aparecerão nos exerćıcios. Outros
aparecem como subespaços na próxima seção.
3.1.2 Consequências dos axiomas
Lembremos que no contexto que estamos estudando um vetor pode ser uma matriz, uma função,
um polinômio, etc. Isso significa que quando nos referimos a um vetor v, não estamos interessados
na natureza do objeto v (se é uma matriz ou outra coisa.), mas sim no fato de ser um elemento de um
espaço vetorial, sujeito aos axiomas de espaço vetorial (ou seja, valem as propriedades comutativa,
associativa, elemento neutro e etc.). Portanto, o que ficar estabelecido para o vetor v, valerá para
qualquer vetor v de qualquer espaço vetorial.
Mostraremos agora algumas propriedades muito úteis para manipulações em cálculos com vetores
que decorrem diretamente dos axiomas que definem um espaço vetorial.
46
Proposição 3.1. Seja V um espaço vetorial. Supondo u, v, w ∈ V e α ∈ R valem as seguintes
afirmações.
(i) u+ v = u+ w implica em v = w
(ii) u+ v = 0 implica em u = −v
(iii) αv = 0 implica em α = 0 ou v = 0
(iv) (−1)v = −v
�
A primeira propriedade significa que em qualquer espaço vetorial vale a lei do corte para adição.
Lembrando que −v é um śımbolo usado para representar o oposto do vetor v (não confundir com
(−1) · v), a segunda afirmação quer dizer que se u + v = 0, então o vetor u é o oposto de v. A
última afirmação quer dizer que multiplicar um vetor por −1 é o mesmo que tomar o seu oposto.
3.1.3 Exerćıcios
1. Em cada ı́tem a seguir prove que se tem um espaço vetorial.
(a) V = R3, com as operações usuais.
(b) V = M2×3(R), com as operações usuais.
(c) V = P3(R), com as operações usuais.
(d) V = F(R ;R), o conjunto de todas as funções de R em R. Dadas f, g ∈ V e α ∈ R,
definimos f + g e α · f , como
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (αf)(x) = αf(x).
2. Considere o conjunto R2. Em cada ı́tem abaixo, vamos manter a definição usual de produto
de um número por um vetor e modificar a soma u+ v dos vetores u = (a, b) e v = (c, d). Para
cada ı́tem,dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(a) u+ v = (a+ d, b+ c)
(b) u+ v = (a · c, b · d)
(c) u+ v = (3a+ 3c, 5b+ 5d)
(d) u+ v = (ac, bd)
(e) u+ v = (a− c, b− d)
3. Em cada ı́tem a seguir apresentamos um conjunto com as operações nele definidas. Verifique
quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, diga quais
axiomas não se verificam.
(a) V = {(x, 2x, 3x);x ∈ R} com as operações usuais de R3.
(b) V = R2, (x, y) + (x1, y1) = (x+ x1, y + y1) e α · (x, y) = (α2x, α2y)
(c) V = R2, (x, y) + (x1, y1) = (x+ x1, y + y1) e α · (x, y) = (α + x, α + y)
(d) M =
{[
0 a
b 0
]
∈M(2, 2); a, b ∈ R
}
com as operações usuais de M2×2(R).
47
3.2 Subespaço Vetorial
Objetivos
• Definir Subespaço
• Conhecer exemplos de subespaços
• Decidir se um conjunto é um subespaço
3.2.1 Subespaços
Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto, não vazio de V . Digamos que se tome dois
elementos u, v ∈ W . Como W é subconjunto de V , temos u, v ∈ V . Como V é um espaço vetorial,
podemos afirmar que u + v = v + u. Isso mostra que em W vale a propriedade comutativa da
adição. Podemos concluir o mesmo a respeito de outras propriedades da lista de axiomas de espaço
vetorial. Ou seja, o simples fato de W ser subconjunto de um espaço vetorial implica que em W
valem alguns axiomas de espaço vetorial. Isso nos motiva a definir o seguinte.
Definição 3.2. Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V . Dizemos que W
é um subespaço vetorial, ou simplesmente subespaço de V , quando W munido das operações
definidas em V é um espaço vetorial.
Vejamos um exemplo.
Exemplo 3.5. Considere o espaço vetorial V = R2, com as operações usuais. Seja W o subconjunto
de R2 dado por W = {(x, y) ∈ R2; y = x + 1}. Os elementos de W são da forma (x, y) em que
y = x + 1, ou seja, a segunda coordenada deve ser igual a primeira mais 1. Alguns elementos de
W são, por exemplo (1, 2), (2, 3), (π, π + 1), entre outros. Notemos que (0, 0) não é um elemento
de W . Portanto, W não é um espaço vetorial. �
O exemplo acima mostra que não basta ser subconjunto de um espaço vetorial, para ser sube-
spaço.
Dado um espaço vetorial V , temos que 0 e V são subespaços de V , chamados subespaços
triviais de V.
Para garantir que uma certa estrutura é um espaço vetorial, precisamos verificar os oito axiomas
de espaço vetorial, como já foi dito. Portanto, para verificar que um subconjunto de um espaço
vetorial é um subespaço, precisamos verificar, para esse subconjunto, todos os axiomas de espaço
vetorial. Mas, como foi mostrado na introdução dessa seção algumas propriedades tem verificação
imediata. O teorema a seguir resume essas informações exibindo um critério simples para se verificar
quando um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço.
Teorema 3.1. Dado um espaço vetorial V e um subconjunto W ⊂ V . Nessas condições, W é
subespaço de V se, e somente se valem as seguintes afirmações:
(i) 0 ∈ W
(ii) u+ v ∈ W , quaisquer que sejam u, v ∈ W .
(iii) αu ∈ W , quaisquer que sejam o número real α e o vetor u ∈ W .
�
48
A seguir veremos alguns exemplos de utilização desse teorema.
Exemplo 3.6. Considere o espaço vetorial V = R2 e o subconjunto W = {(x, y) ∈ R2; y = 5x}.
Mostre que W é subespaço de V .
Notemos que a definição de W é dada por y = 5x. Ou seja, para um vetor (x, y) pertencer a W
a segunda coordenada y deve ser igual a cinco vezes a primeira coordenada x. Em vista do teorema
3.1, temos que:
• 0 ∈ W . De fato, nesse caso o elemento neutro é (0, 0) e (0, 0) ∈ W , pois 0 = 5 · 0.
• Dados u, v ∈ W , queremos saber se o vetor u + v pertence a W . Como u, v ∈ W , devemos
ter u = (x1, y1) e v = (x2, y2), com y1 = 5 · x1 e y2 = 5 · x2. Quanto a u + v, Temos
que u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2). Para saber se esse vetor pertence a W ,
devemos testa-lo segundo a definição de W . Ou seja, devemos verificar se vale y1 + y2 =
5 · (x1 + x2). Como já temos y1 = 5 · x1 e y2 = 5 · x2, somando essas equações, obtemos:
y1 + y2 = 5 · x1 + 5 · x2 = 5 · (x1 + x2). Como queŕıamos. Portanto, u+ v ∈ W .
• Finalmente, dados α ∈ R e u ∈ W , devemos verificar se αu ∈ W . Devemos ter u = (x, y),
com y = 5x, pois u ∈ W . Quanto a αu, temos αu = α(x, y) = (αx, αy). Para saber se
αu ∈ W , devemos saber se αy = 5 ·αx. Ora, sabemos que y = 5x. Multiplicando essa equação
por α, vem que αy = αx. Como queŕıamos. Logo α ∈ W .
Portanto, W é subespaço de V . �
Acima temos um importante exemplo de subespaço, por se tratar de um modelo de fácil in-
terpretação geométrica. Trata-se de uma reta passando pela origem. De um modo geral, W =
{(x, y) ∈ R2; y = kx} é subespaço de R2. Ou seja, as retas que passam pela origem de R2 são
os subespaços não triviais de R2. Os triviais são {(0, 0)} e R2. Para tudo o que vai ser estudado
sobre subespaços é muito útil pensar nos subespaços como as retas que passam pela origem de R2,
mesmo que não se trate de retas, mesmo que não se trate do R2. Isso torna as idéias mais simples.
Exemplo 3.7. Seja V = M2×2(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 e W =
{
[
a b
c d
]
∈ V ; a = d = 0 e b = 2c}, um subconjunto de V . Mostre que W é subespaço de V .
Para facilitar as coisas, primeiramente vamos exibir os elementos de W . Devido a definição de
W , seus elementos são da forma [
a b
c d
]
com a = d = 0 e b = 2c. Logo os elementos de W devem ser da forma
[
0 2c
c 0
]
. Posto isso
vamos verificar as condições do teorema 3.1.
• 0 ∈ W , pois nesse caso 0 =
[
0 0
0 0
]
é obtido tomando c = 0.
• Dados u e v em W , devemos ter u =
[
0 2c1
c1 0
]
e v =
[
0 2c2
c2 0
]
. Logo u+v =
[
0 2c1
c1 0
]
+[
0 2c2
c2 0
]
=
[
0 2c1 + 2c2
c1 + c2 0
]
=
[
0 2(c1 + c2)
(c1 + c2) 0
]
∈ W
49
• Por fim, dado α ∈ R, temos que α ·
[
0 2c
c 0
]
=
[
0 2αc
αc 0
]
∈ W .
Segue-se que W é subespaço de V . �
Exemplo 3.8. Dado o espaço vetorial V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ R3; x + y + z = 1}. Verifique
se W é subespaço de V .
Para decidir essa questão, primeiramente vamos exibir a forma dos elementos de W . Tratam-se
de vetores da forma (x, y, z), tais que x+ y + z = 1. Ou seja, z = 1− x− y. Logo os vetores de W
são da forma
(x, y, 1− x− y)
A seguir, testamos as condições do teorema 3.1. Primeiro devemos ter 0 ∈ W . Nesse caso
0 = (0, 0, 0), que não tem a forma (x, y, 1 − x − y), dos elementos de W (nem se tomássemos
x = y = 0!!!). Logo 0 /∈ W . Portanto, W não é subespaço de V .
�
3.2.2 Exerćıcios
1. Verifique quais conjuntos abaixo são subespaços de R3:
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3;x = 0} (b) W = {(x, y, z) ∈ R3;x, y, z ∈ Z}
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3;x− y − z = 0} (d) W = {(x, y, z) ∈ R3;x− 3z = 0}
(e) W = {(x, y, z) ∈ R3;x+ 2y − z = 2} (f) W = {(x, y, z) ∈ R3;x = 1}
(g) W = {(x, y, z) ∈ R3;x = y2} (h) W = {(x, y, z) ∈ R3; z = x+ 2y}
(i) W = {(x, y, z) ∈ R3;x = y = z} (j) W = {(x, y, z) ∈ R3; z = x+ 1}
2. Verifique quais dos conjuntos abaixo são subespaços do espaço P2(R) dos polinômios reais de
grau menor do que, ou igual a 2.
(a) W = {p(x) ∈ P2(R); p(x) tem grau 1} (b) W = {ax2 + bx+ c ∈ P2(R); c = a+ b}
(c) W = {ax2 + bx+ c ∈ P2(R); a+ b+ c = 0} (d) W = {ax2 + bx+ c ∈ P2(R); a = 1}
(e) W = {ax2 + bx+ c ∈ P2(R); c = a+ 1} (f) W = {ax2 + bx+ c ∈ P2(R); b = c}
(g) W = {ax2 + bx+ c ∈ P2(R); c = a+ 2b} (h) W = {ax2 + bx+ c ∈ P2(R); a+ 3c = 0}
3. Verifique se o conjunto abaixo é subespaço de M2(R):
(a) W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R); y = −x
}
(b) W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R); y = z + t
}
(c) W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R);x+ y + z + t = 0
}
(d) W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R); y = 1
}
(e) W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R);x = y = z = t
}
(f) W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R); z = x2
}
50
3.3 Operações com Subespaços
Objetivos
• Determinar a interseção de subespaços
• Determinar a soma de subespaços
• Reconhecer quando se tem soma direta de subespaços
3.3.1 Operações
Definição3.3. Dados dois subespaços W1 e W2 de um mesmo espaço vetorial V , definimos a
interseção de W1 e W2 como o conjunto
W1 ∩W2 = {u; u ∈ W1 e u ∈ W2}
Proposição 3.2. Dados dois subespaços W1 e W2 de um mesmo espaço vetorial V , a interseção
W1 ∩W2 é um subespaço de V . �
Exemplo 3.9. Considere o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2, V = M2×2(R).
Sejam os subespaços S1 e S2, dados por
S1 = {
[
0 b
0 d
]
; b, d ∈ R}
S2 = {
[
0 0
c d
]
; c, d ∈ R}
A interseção S = S1 ∩ S2 é o subespaço de V , dado por
S = {
[
0 0
0 d
]
; d ∈ R}
�
Exemplo 3.10. Seja o espaço vetorial V = R3. Tomemos em V os subespaços S1 e S2 dados por
S1 = {(a, 0, c) ∈ R3; a, c ∈ R} e S2 = {(0, b, 0) ∈ R3; b ∈ R}. A interseção S = S1 ∩ S2 é o
subespaço de V , dado por:
S = {(0, 0, 0)}
�
Definição 3.4. Considere um espaço vetorial V e W1,W2 ⊂ V , subespaços de V . Chamamos soma
de W1 e W2 ao conjunto
W1 +W2 = {u+ v; u ∈ W1 e v ∈ W2}
Proposição 3.3. Seja um espaço vetorial V e W1,W2 ⊂ V , subespaços de V . O conjunto soma
W1 +W2 é um subespaço de V . �
51
Exemplo 3.11. Considere os subespaços de V = M2×2(R) S1 = {
[
0 b
0 d
]
; b, d ∈ R} e S2 =
{
[
0 0
c d
]
; c, d ∈ R}
dados no exemplo 3.9. Sua soma S1 + S2 é dada por
S1 + S2 = {
[
0 b
c d
]
; b, c, d ∈ R}
�
Exemplo 3.12. Considere o espaço vetorial V = R3 e os subespaços dados no exemplo 3.10,
S1 = {(a, 0, c) ∈ R3; a, c ∈ R} e S2 = {(0, b, 0) ∈ R3; b ∈ R}. Temos: S1 + S2 = R3 �
Definição 3.5. Sejam V um espaço vetorial e W1,W2 ⊂ V , subespaços de V . Suponhamos que
• V = W1 +W2
• W1 ∩W2 = 0
Nesse caso, dizemos que V é soma direta de W1 e W2. Denotamos assim V = W1 ⊕W2.
Exemplo 3.13. No exemplo 3.12, vimos que S1 + S2 = R3 e no exemplo 3.10 foi mostrado que
S1 ∩ S2 = {(0, 0, 0)}. Portanto, R3 = S1 ⊕ S2. �
3.4 Combinações Lineares
Objetivos
• Reconhecer quando um vetor é combinação linear de outros vetores
• Obter o subespaço gerado por um conjunto
• Obter um conjunto gerador de um subespaço
3.4.1 Definições Iniciais
A definição de espaço vetorial diz implicitamente que dados dois vetores u, v de um espaço
vetorial V , sua soma u+ v e o produto por um número real αu ainda são vetores de V . Traduzimos
isso, dizendo que V é fechado para somas e multiplicação por um número real (as somas de vetores
e o produto de um número real por um vetor não escapam do espaço V ). Começamos essa subseção
com um exemplo.
Exemplo 3.14. Considere o espaço vetorial V = R2 e os vetores v1 = (1, 5) e v2 = (2, 3). Calcule-
mos 2v2 + 5v2. Temos:
2v1 + 5v2 = 2 · (1, 5) + 5 · (2, 3) = (2, 10) + (10, 15) = (12, 25), que ainda é um vetor de R2. Isso
não deveria ser surpresa, pois V , sendo um espaço vetorial, é fechado para somas e multiplicação
por número real. �
Esse exemplo nos motiva a definir o seguinte.
52
Definição 3.6. Considere um espaço vetorial V e os vetores v1, v2, ..., vn ∈ V . Uma expressão da
forma
a1v1 + a2v2 + ...+ anvn
com a1, a2, ..., an ∈ R, é um vetor de V , chamado combinação linear de v1, v2, ..., vn.
Exemplo 3.15. Considere o espaço vetorial V = R2. Sejam v1 = (1, 2) e v2 = (3, 5). Escreva o
vetor v = (10, 15) como combinação linear de v1 e v2.
Devemos encontrar dois números reais a1 e a2, tais que a1v1 + a2v2 = v. Essa equação significa
que a1(1, 2)+a2(3, 5) = (10, 15). Logo (a1, 2a1)+(3a2, 5a2) = (10, 15). Ou seja, (a1+3a2, 2a1+5a2) =
(10, 15). A partir dessa igualdade obtemos,{
a1 + 3a2 = 10
2a1 + 5a2 = 15
Resolvendo esse sistema, temos a1 = −5 e a2 = 5. Portanto, v = −5v1 + 5v2. Ou seja,
(10, 15) = −5(1, 2) + 5(3, 5). �
O exemplo acima mostra que escrever um vetor como combinação linear de outros vetores, recai
no problema de resolver um sistema linear. Como vimos no caṕıtulo anterior, um sistema pode não
ter solução. Portanto, nem sempre é posśıvel escrever um vetor como combinação linear de outros
vetores.
Exemplo 3.16. Em R3, considere os vetores v1 = (1, 2, 3) e v2 = (2, 4, 6). Escreva o vetor v =
(1, 4, 0) como combinação linear de v1 e v2.
Devemos encontrar a1 e a2, tais que a1v1 + a2v2 = v. Temos a1(1, 2, 3) + a2(2, 4, 6) = (1, 4, 0).
Logo (a1, 2a1, 3a1)+(2a2, 4a2, 6a2) = (1, 4, 0). Desse modo, (a1+2a2, 2a1+4a2, 3a1+6a2) = (1, 4, 0).
Por conseguinte, 
a1 + 2a2 = 1
2a1 + 4a2 = 4
3a1 + 6a2 = 0
Escrevendo a matriz ampliada temos 1 2
2 4
3 6
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1
4
0
 ∼
 1 2
0 0
0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1
2
−3
. Logo temos o sistema

a1 + 2a2 = 1
0 = −2
0 = −3
Esse sistema é imposśıvel, logo não é posśıvel escrever v = (1, 4, 0) como combinação linear de
v1 = (1, 2, 3) e v2 = (2, 4, 6). �
Exemplo 3.17. Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor do que, ou igual a 2,
sobre o corpo dos reais, V = P2(R). Sejam p1(x), p2(x) ∈ V , tais que p1(x) = x2 + 5x − 1 e
p2(x) = x2 + x+ 5. Verifique se p(x) = x2 + 9x− 7 é combinação linear de p1 e p2.
Devemos verificar se existem a1, a2 ∈ R, tais que a1p1(x) + a2p2(x) = p(x). Temos:
• a1(x2 + 5x− 1) + a2(x2 + x+ 5) = x2 + 9x− 7
• a1x2 + 5a1x− a1 + a2x
2 + a2x+ 5a2 = x2 + 9x− 7
• (a1 + a2)x
2 + (5a1 + a2)x+ (5a2 − a1) = x2 + 9x− 7
53
Comparando os coeficientes de x2 à esquerda e à direita dessa equação, bem como os coeficientes
de x e os termos indepententes de x, temos o seguinte sistema:
a1 + a2 = 1
5a1 + a2 = 9
5a2 − a1 = −7
Resolvendo esse sistema, obtemos a1 = 2 e a2 = −1 (faça as contas!). Portanto, p(x) é com-
binação linear de p1(x) e p2(x). Temos p(x) = 2p1(x) + (−1)p2(x). �
Esses exemplos mostram que, para saber se um certo vetor v é combinação linear dos vetores
v1, ..., vn. Devemos encontrar a1, ..., an ∈ R, tais que a1v1 + ...anvn = v. Isso equivale a resolver um
sistema com variáveis a1, ..., an.
3.4.2 Subespaço Gerado
Proposição 3.4. Dados um espaço vetorial V e um subconjunto, não vazio, A = {v1, v2, ..., vn} de
vetores de V . O conjunto S de todos os vetores que são combinações lineares dos vetores de A é
um subespaço vetorial de V . Denotamos esse espaço do seguinte modo S = [v1, v2, ..., vn]. �
Definição 3.7. O espaço vetorial S = [v1, v2, ..., vn], é chamado subespaço vetorial gerado,
ou simplesmente gerado, pelo vetores v1, v2, ..., vn em V . Denotando A = {v1, v2, ..., vn}, dizemos
também, que S é gerado por A, e escrevemos S = G(A). O conjunto A é chamado conjunto
gerador de S e os vetores v1, v2, ..., vn são os geradores de S.
A fim de obter o subespaço S = [v1, ...vn] de V , devemos descobrir quais vetores de V pertencem
a S. Ou seja, precisamos determinar um critério, uma fórmula, que nos permita decidir se um dado
vetor pertence, ou não a S.
Usamos a estratégia é a seguinte.
• Primeiro tomamos um vetor arbitrário em v ∈ V , que vamos supor conhecido.
• A seguir, escrevemos uma combinação linear do tipo a1v1 + ...anvn = v e recáımos em um
sistema.
• Agora, precisamos discutir esse sistema e impor alguma condição para que ele tenha solução.
Essa condição necessária para que o sistema tenha solução é o que define S.
Exemplo 3.18. Determine em V = R3, o subespaço S = [(1, 0, 0), (0, 2, 1), (2, 4, 2)].
• Primeiramente, tomamos um vetor arbitrário v ∈ V . Nesse caso v = (x, y, z), o qual vamos
supor conhecido.
• A seguir, escrevemos uma combinação linear desses vetores. Temos:
a1(1, 0, 0) + a2(0, 2, 1) + a3(2, 4, 2) = (x, y, z)
Logo (a1, 0, 0)+(0, 2a2, a2)+(2a3, 4a3, 2a3) = (x, y, z). Ou seja, (a1+2a3, 2a2+4a3, a2+2a3) =
(x, y, z). Dessa igualdade, obtemos o seguinte sistema.
a1 + 2a3 = x
2a2 + 4a3 = y
a2 + 2a3 = z
54
• Agora, precisamos discutir esse sistema. Lembrando que v = (x, y, z) é supostamente conhe-
cido e as variáveis são a1, a2 e a3, sua matriz ampliada é
A =
 1 0 2
0 2 4
0 1 2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
x
y
z

Escalonando essa matriz, obtemos:
A =
 1 0 2
0 1 2
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
x
z
−2z + y

Logo a condição para que o sistema tenha solução é −2z + y = 0.
Portanto, S = {(x, y, z) ∈ R3; −2z + y =0}. �
Exemplo 3.19. Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor do que, ou igual a 4 sobre
R, V = P4(R). Sejam p1(x), p2(x), p3(x) ∈ V , dados por p1(x) = x4+5x2−1, p2(x) = x3+x2+x+1
p3(x) = x4 + x+ 1. Determine o subespaço gerado S = [p1(x), p2(x), p3(x)].
• Primeiramente, tomamos um vetor arbitrário p(x) ∈ V . Seja p(x) = αx4+βx3+γx2+δx+θ,
o qual vamos supor conhecido.
• A seguir, escrevemos a seguinte combinação linear
a1p1(x) + a2p2(x) + a3p3(x) = p(x)
Isso nos leva a
a1(x
4 + 5x2 − 1) + a2(x
3 + x2 + x+ 1) + a3(x
4 + x+ 1) = αx4 + βx3 + γx2 + δx+ θ
Desenvolvendo, temos
a1x
4 + 5a1x
2 − a1 + a2x
3 + a2x
2 + a2x+ a2 + a3x
4 + a3x+ a3 = αx4 + βx3 + γx2 + δx+ θ
Agrupando os termos semelhantes, obtemos
(a1 + a3)x
4 + a2x
3 + (5a1 + a2)x
2 + (a2 + a3)x+ (−a1 + a2 + a3) = αx4 + βx3 + γx2 + δx+ θ
Igualando os coeficientes das potências, chegamos ao seguinte sistema
a1 + a3 = α
a2 = β
5a1 + a2 = γ
a2 + a3 = δ
−a1 + a2 + a3 = θ
55
• Devemos discutir esse sistema. Lembrando que α, β, γ, δ, θ são supostamente conhecidos e as
variáveis são a1, a2 e a3, a matriz ampliada desse sistema é
A =

1 0 1
0 1 0
5 1 0
0 1 1
−1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
α
β
γ
δ
θ

Escalonando essa matriz, obtemos
A =

1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
α
β
−β + δ
α + β − 2δ + θ
−5α− 6β + 5δ + γ

Para que o sistema tenha solução, devemos impor as seguintes condições α + β − 2δ + θ = 0
e −5α− 6β + 5δ + γ = 0.
Portanto, a definição do subespaço gerado é
S = {p(x) = αx4 + βx3 + γx2 + δx+ θ ∈ V ; α + β − 2δ + θ = 0 e − 5α− 6β + 5δ + γ = 0}
�
Exemplo 3.20. Determine em R2 o subespaço S = [(1, 0), (0, 1)] gerado pelos vetores (1, 0) e (0, 1).
• primeiro tomamos um vetor arbitrário v ∈ V , que vamos supor conhecido. Tomamos v =
(x, y).
• A seguir, escrevemos a combinação linear a1(1, 0)+a2(0, 1) = (x, y). Temos: (a1, 0)+(0, a2) =
(x, y). Logo (a1, a2) = (x, y). Temos o seguinte sistema{
a1 = x
a2 = y
• Agora vamos discutir o sistema encontrado. Lembrando que x e y são dados e as variáveis
são a1 e a2, sua matriz ampliada será
A =
[
1 0
0 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ xy
]
Que já se encontra na forma escalonada. Logo não há condição alguma a impor. Esse sistema
é sempre posśıvel, qualquer que seja o vetor v = (x, y) dado. Dito de outro modo, qualquer
vetor v = (x, y) ∈ R2 pode ser obtido.
Portanto o subespaço gerado é todo o R2. �
O exemplo acima mostra que os vetores (1, 0) e (0, 1) formam um conjunto gerador para o espaço
vetorial R2.
56
Exemplo 3.21. Um caso análogo ao exemplo acima é o subespaço gerado pelos vetores (1, 0, 0),
(0, 1, 0) e (0, 0, 1) em R3. Podemos demonstrar, do mesmo modo como foi feito acima, que S =
[(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] = R3. Isso mostra que os vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) formam um
conjunto gerador para o R3. �
Definição 3.8. Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existir algum subconjunto finito
A ⊂ V , tal que S = G(A).
Exemplo 3.22. No exemplo 3.20, mostramos que o conjunto finito {(1, 0), (0, 1)} gera o R2. Logo
R2 é finitamente gerado. Analogamente, o espaço vetorial R3 é finitamente gerado, de acordo com
o exemplo 3.21. �
A seguir veremos um exemplo de como obter um conjunto gerador de um espaço finitamente
gerado.
Exemplo 3.23. Calcule um conjunto gerador para S = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y − z = 0}.
Basta tomar um elemento genérico desse espaço. Temos (x, y, z), com a condição x+y− z = 0,
que é o mesmo que z = x+ y. Logo o vetor (x, y, z) se escreve como (x, y, x+ y).
Agora a idéia é escrever o vetor (x, y, x+ y) como uma soma de vetores do R3, de modo que em
cada parcela apareça apenas uma das variáveis. Temos:
(x, y, x+ y) = (x, 0, x) + (0, y, y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)
Segue-se que os vetores (1, 0, 1) e (0, 1, 1) formam um conjunto gerador para S. �
Agora vejamos um exemplo com matrizes.
Exemplo 3.24. Considere o espaço das matrizes quadradas de ordem 2 sobre R, V = M2×2(R).
Seja S o subespaço de V , dado por S =
{[
a b
c d
]
; a+ b = 0 e c− 2d = 0
}
. Encontre um con-
junto gerador para S.
Como no exemplo anterior, escrevemos um elemento genérico de S. Temos
[
a b
c d
]
, sujeito as
condições a+ b = 0 e c− 2d = 0. Logo a = −b e c = 2d. Ficamos com[
−b b
2d d
]
Agora, nossa tarefa é escrever essa matriz como uma soma de matrizes 2, de modo que em cada
parcela apareça uma única variável. Desse modo:[
−b b
2d d
]
=
[
−b b
0 0
]
+
[
0 0
2d d
]
= b
[
−1 1
0 0
]
+ d
[
0 0
2 1
]
Segue-se que um conjunto gerador para S é dado por A =
{[
−1 1
0 0
]
,
[
0 0
2 1
]}
�
57
3.4.3 Exerćıcios
1. Em cada ı́tem, exprima o vetor u como combinação linear dos vetores v1 e v2.
(a) u = (2, 5), v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1).
(b) u = (2, 5), v1 = (1, 1) e v2 = (0, 1).
(c) u = (3, 4), v1 = (1, 1) e v2 = (1,−1).
(d) u = (3, 4), v1 = (1, 2) e v2 = (2, 1).
(e) u = (−1, 2), v1 = (2, 3) e v2 = (4, 5).
(f) u = (−2,−1), v1 = (1, 1) e v2 = (0,−1).
(g) u = (1, 0), v1 = (1, 1) e v2 = (1,−1).
2. Em cada ı́tem, exprima o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.
(a) u = (2, 5, 3), v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1).
(b) u = (2, 5, 3), v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1).
(c) u = (3, 1, 0), v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (1, 0, 1).
(d) u = (−2, 3, 5), v1 = (−1, 0, 1), v2 = (1,−1, 0) e v3 = (1, 1,−1).
(e) u = (1,−5,−1), v1 = (1, 2,−1), v2 = (0, 1, 3) e v3 = (1,−2, 1).
(f) u = (0, 0, 1), v1 = (1, 1,−1), v2 = (−1, 1, 1) e v3 = (1,−1, 1).
(g) u = (2, 1, 4), v1 = (2, 1,−1), v2 = (2, 1, 4) e v3 = (1,−1, 1).
(h) u = (−1, 5, 3), v1 = (4,−1,−1), v2 = (2, 1, 4) e v3 = (−1, 5, 3).
3. Em cada ı́tem, diga se o vetor u é, ou não combinação linear dos vetores v1 e v2.
(a) u = (1, 2), v1 = (2, 5) e v2 = (4, 3)
(b) u = (−2, 1), v1 = (1, 3) e v2 = (−2, 1)
(c) u = (1, 3), v1 = (−1, 4) e v2 = (3,−2)
(d) u = (1, 2, 3), v1 = (2, 5, 4) e v2 = (1, 3, 1)
(e) u = (1,−2, 5), v1 = (2, 5, 4) e v2 = (1, 3, 1)
(f) u = (−1, 5, 2), v1 = (4, 1,−2) e v2 = (5,−4,−5)
4. Mostre que a matriz d =
[
4 −4
−6 16
]
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
a =
[
1 2
3 4
]
, b =
[
−1 2
3 −4
]
e c =
[
1 −2
−3 4
]
5. Prove que qualquer vetor em R2 pode ser expresso como combinação linear dos vetores v1 =
(1, 1) e v2 = (1,−1).
6. Prove que qualquer vetor em R3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores v1 =
(1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1) e v3 = (1, 0, 1).
7. Em cada ı́tem, determine o espaço gerado pelos vetores u e v.
(a) u = (1, 1) e v = (2, 5)
(b) u = (1,−1) e v = (2,−2)
58
(c) u = (1, 1, 1) e v = (2, 1, 2)
(d) u = (1,−1, 2) e v = (0, 1, 1)
(e) u = (6, 2, 4) e v = (3, 1, 2)
(f) u =
[
1 0
1 1
]
e v =
[
0 1
0 −1
]
(g) u =
[
2 1
−1 2
]
e v =
[
0 2
−1 3
]
8. Determine um conjunto gerador para cada subespaço a seguir.
(a) V = {(x, y) ∈ R2; y = 2x}
(b) V = {(x, y) ∈ R2; x+ y = 0}
(c) V = {(x, y) ∈ R2; x+ 2y = 0}
(d) V = {(x, y) ∈ R2; 2x− 3y = 0}
(e) V = {(x, y) ∈ R2; y = 0}
(f) V = {(x, y, z) ∈ R3; z = 5x}
(g) V = {(x, y, z) ∈ R3; z = x+ y}
(h) V = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y + z = 0}
(i) V = {(x, y, z) ∈ R3; x+ 2y + 5z = 0}
(j) V = {
[
a b
c d
]
∈M2×2(R); a = b = c = d}
(k) V = {
[
a b
c d
]
∈M2×2(R); a = 2b e c = −d}
(l) V = {
[
a b
c d
]
∈M2×2(R); a− b = 0 e c+ 3d = 0}
(l) V = {
[
a b
c d
]
∈M2×2(R); a+ b+ c = 0}
9. Seja W um subespaço vetorial de V. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Se u ∈ W e v ∈ W , então u+ v ∈ W ;
( ) Se u ∈ W e v ∈ W , então u− v ∈ W ;
( ) Se u ∈ W e α 6= 0, então αu /∈ W .
( ) Se u /∈ W e v /∈ W , então u+ v /∈ W ;
( ) Se u /∈ W e α 6= 0, então αu /∈ W .
10. Prove que os vetores u = (1, 2, 1), v = (−1, 1, 1) e w = (0, 1,−1) geram o espaço vetorial R3.
59
3.5 Dependência e Independência Linear
Objetivos
• Definir dependência e independência linear
• Decidir se um dado conjunto é LI ou LD
Analisemos o seguinte exemplo
3.5.1 LI ou LD?
Exemplo 3.25. Considere o espaço R3 e os vetoresv1 = (1, 3, 5), v2 = (0, 1, 2) e v3 = (2, 7, 12).
Determine os coeficientes a1, a2 e a3 de modo que
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
Naturalmente, se tomarmos a1 = a2 = a3 = 0 a igualdade acima será verdadeira. Essa solução
é chamada trivial. Queremos saber se existe alguma solução dessa equação, com algum coeficiente
não nulo. Substituindo os vetores dados nessa equação, obtemos a1(1, 3, 5)+a2(0, 1, 2)+a3(2, 7, 12) =
(0, 0, 0). Logo (a1, 3a1, 5a1) + (0, a2, 2a2) + (2a3, 7a3, 12a3) = (0, 0, 0). Ou seja,
(a1 + 2a3, 3a1 + a2 + 7a3, 5a1 + 2a2 + 12a3) = (0, 0, 0)
Isso nos leva ao seguinte sistema
a1 + 2a3 = 0
3a1 + a2 + 7a3 = 0
5a1 + 2a2 + 12a3 = 0
Cuja matriz ampliada é A =
 1 0 2
3 1 7
5 2 12
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
0
0
0
. Escalonando temos A =
 1 0 2
0 1 1
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
0
0
0
.
Votando ao sistema {
a1 + 2a3 = 0
a2 + a3 = 0
Supondo a3 conhecido, temos a2 = −a3 e a1 = −2a3. Logo a solução do sistema é (a1, a2, a3),
ou seja (−2a3,−a3, a3). Portanto, há infinitas soluções para esse sistema. Fixado um valor para
a3, obtemos uma solução particular. Tomando a3 = 1, por exemplo, temos a solução (−2,−1, 1).
Portanto, a equação
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
admite pelo menos uma solução não trivial. �
O exemplo acima nos motiva a pensar no seguinte. Consideremos um espaço vetorial V e
A = {v1, ..., vn} ⊂ V . A equação
60
a1v1 + a2v2 + ...+ anvn = 0
admite pelo menos a solução trivial a1 = a2 = ... = an = 0. Como saber se existe alguma solução
não trivial? A esse respeito temos a seguinte definição.
Definição 3.9. Considerando o exposto acima dizemos que A é linearmente independente ou,
abreviadamente LI, quando a equação
a1v1 + a2v2 + ...+ anvn = 0
admite apenas a solução trivial. Nesse caso, dizemos também que os vetores v1, v2, ..., vn são LI.
Entretanto, se existir alguma solução a1, ..., an, com algum coefiente ai não nulo, então diremos que
A é linearmente dependente, ou simplesmente LD. Nesse caso dizemos ainda que os vetores
v1, v2, ..., vn são LD.
Exemplo 3.26. No exemplo 3.25, segundo o que foi mostrado, os vetores (1, 0, 2), (3, 1, 7) e (5, 2, 12)
são LD. �
A fim de decidir se um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é LI ou LD, devemos proceder como
no exemplo 3.25. Escrevemos a combinação linear nula
a1v1 + ...+ anvn = 0
que nos leva a um sistema homogêneo. Esse sistema sempre admite, pelo menos, a solução
trivial. Para saber se há outras soluções, escalonamos o sistema para discuti-lo.
Quando se trata de vetores em Rn, todo esse processo sempre recai em uma matriz cujas colunas
não os vetores dados. Escalonamos essa matriz para discutir o sistema. Caso alguma linha se anule
no escalonamento, os vetores serão LD. Se nenhuma linha se anular, eles serão LI.
Exemplo 3.27. Decida se o conjunto A = {(1, 1, 2), (0, 2, 5), (1, 3, 7)} é LI ou LD.
Basta escrever a matriz dos vetores e escalonar. Temos
 1 0 1
1 2 3
2 5 7
. Após o escalonamento
teremos
 1 0 1
0 2 2
0 0 0
. Portanto, os vetores são LD. �
Exemplo 3.28. Decida se as matrizes M1 =
[
−1 2
−3 1
]
, M2 =
[
2 −3
3 0
]
e M3 =
[
3 −4
3 1
]
são
LI ou LD.
Nesse caso escrevemos a combinação linear nula a1M1 + a2M2 + a3M3 = 0. Temos:
a1
[
−1 2
−3 1
]
+ a2
[
2 −3
3 0
]
+ a3
[
3 −4
3 1
]
=
[
0 0
0 0
]
Logo [
−a1 + 2a2 + 3a3 2a1 − 3a2 − 4a3
−3a1 + 3a2 + 3a3 a1 + a3
]
=
[
0 0
0 0
]
que nos leva ao sistema
61

−a1 + 2a2 + 3a3 = 0
2a1 − 3a2 − 4a3 = 0
−3a1 + 3a2 + 3a3 = 0
a1 + a3 = 0
A matriz ampliada desse sistema é
A =

−1 2 3
2 −3 −4
−3 3 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣
0
0
0
0

Cuja forma escalonada é
A =

−1 2 3
0 1 2
0 0 0
0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣
0
0
0
0

Como houve anulamento de linhas no processo do escalonamento, o sistema possui solução não
trivial. Logo as matrizes dadas são LD. �
A seguir temos algumas propriedades da dependência e independência linear.
Proposição 3.5. Seja V um espaço vetorial.
(i) Todo subconjunto constitúıdo por um único vetor não nulo A = {v} ⊂ V é LI.
(ii) Se um subconjunto A ⊂ V contém o vetor nulo, então A é LD.
(iii) Se uma parte de um subconjunto A ⊂ V é LD, então A é LD.
(iv) Se um subconjunto A ⊂ V é LI, então qualquer parte de A também é LI. �
Veremos mais exemplos de como provar que um conjunto é LI ou LD na seção seguinte.
3.5.2 Exerćıcios
1. Verifique, em cada ı́tem a seguir, se o conjunto dado é LI ou LD.
(a) V = {(1, 2), (3, 5)}
(b) V = {(1, 2, 1), (3, 5,−1)}
(c) V = {(1, 2, 1), (2, 4, 2)}
(d) V = {(5, 1,−2), (4, 8, 3)}
(e) V = {(1, 2, 4), (2, 1, 3), (3, 3, 7)}
(f) V = {(1, 2,−5), (3, 1, 0), (2, 1,−4), (1, 3, 2)}
(g) V = {(1, 1, 1), (0, 1, 2), (3,−1,−2)}
(h) V = {(2, 1,−2), (1, 0, 3), (5, 7, 8)}
(i) V = {(1,−1, 1), (0, 0,−2), (4,−4,−5)}
62
(j) V = {
[
1 −2
3 2
]
,
[
−1 1
0 1
]
,
[
3 1
3 0
]
}
(k) V = {
[
2 1
3 5
]
,
[
1 3
−4 2
]
,
[
4 7
−5 9
]
}
(l) V = {x3 − 5x2 + 1, 2x4 + 5x− 6, x2 − 5x+ 2}
(m) V = {x3 − 3x2 + 5x+ 1, x3 − x2 + 6x+ 2, x3 − 7x2 + 4x}
63
3.6 Base e Dimensão
Objetivos
• Definir base e dimensão de um espaço vetorial
• Reconhecer as bases canônicas
• Determinar a base de um espaço vetorial
3.6.1 Definições e Exemplos
Definição 3.10. Dizemos que um subconjunto B ⊂ V é uma base do espaço vetorial V , quando:
(i) B é LI
(ii) B gera V
Exemplo 3.29. O exemplo mais simples de base de um espaço vetorial é a base canônica. Considere
o espaço V = R2. Afirmamos que o conjunto B = {(1, 0), (0, 1)} é uma base de V . Para demonstrar
essa afirmação precisamos mostrar duas coisas.
• B é LI. De fato, escrevendo os vetores de B em uma matriz, temos
[
1 0
0 1
]
. Essa matriz já
se encontra na forma escalonada e nenhuma linha é nula. Logo esses vetores são LI.
• B gera V . Ou seja, qualquer vetor v = (x, y) ∈ R2 se escreve como combinação linear dos
vetores de B. De fato, basta notar que v = (x, y) = 1 · (1, 0) + 1 · (0, 1). �
Os vetores (1, 0) e (0, 1) formam a chamada base canônica do R2. Costumamos escrever
i = (1, 0) e j = (0, 1). Escrito desse modo, qualquer vetor de R2 tem a forma v = (x, y) =
x · (1, 0) + y · (0, 1) = x · i+ y · j. Existem infinitas bases em R2. A base canônica é especialmente
útil por sua simplicidade que facilitam os cálculos. �
Cada espaço vetorial possui sua base canônica. Em R3, por exemplo, a base canônica é B =
{i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Logo qualquer vetor do R3 se escreve como, v = (x, y, z) =
x · (1, 0, 0) + y · (0, 1, 0) + z · (0, 0, 1) = x · i+ y · j+ z ·k. Por outro lado, considerando o conjunto das
matrizes quadradas de ordem 2 sobre R, temos a base
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
.
Para cada matriz quadrada de ordem 2, tem-se
M =
[
a b
c d
]
= a ·
[
1 0
0 0
]
+ b ·
[
0 1
0 0
]
+ c ·
[
0 0
1 0
]
+ d ·
[
0 0
0 1
]
Vejamos um outro exemplo de base em R2 .
Exemplo 3.30. Considere em V = R2 o conjunto B = {(1, 2), (3, 5)}. Afirmamos que B é uma
base de V . De fato,
• B é LI. Para ver isso, escrevemos a matriz dos vetores. Temos
[
1 3
2 5
]
. Escalonando essa
matriz, temos
[
1 3
0 −1
]
. Como nenhuma linha se anulou no escalonamento, conclúımos que
esses vetores são LI.
64
• B gera V . Dado v = (x, y) ∈ R2, precisamos mostrar que v se escreve como combinação linear
dos vetores de B. Ou seja, precisamos determinar a1 e a2, tais que a1(1, 2) + a2(3, 5) = v.
Temos a1(1, 2) + a2(3, 5) = (x, y). Logo (a1 + 3a2, 2a1 + 5a2) = (x, y). Isso implica no sistema{
a1 + 3a2 = x
2a1 + 5a2 = y
Resolvendo esse sistema temos a1 = −5x + 3y e a2 = 2x − y. Levando esses valores na
combinação linear que escrevemos, segue-se que qualquer vetor v = (x, y) ∈ R2 se escreve
como v = (x, y) = (−5x+ 3y) · (1, 2) + (2x− y) · (3, 5). �
Vejamos um exemplo com polinômios.
Exemplo 3.31. Mostre que os polinômios p1(x) = x2 + x + 1, p2(x) = x2 + 1 e p3(x) = x + 1
formam uma base de P2(R), o espaço vetorial dos polinômios de grau menor do que, ou igual a 2
sobreR.
De fato,
• B = {p1(x), p2(x), p3(x)} é LI. Para justificar essa afirmação, escrevemos a combinação linear
nula a1p1(x) + a2p2(x) + a3p3(x) = 0. Temos
a1(x
2 + x+ 1) + a2(x
2 + 1) + a3(x+ 1) = 0x2 + 0x+ 0
Logo a1x
2 + a1x + a1 + a2x
2 + a2 + a3x + a3 = 0x2 + 0x + 0. Ou seja, (a1 + a2)x
2 + (a1 +
a3)x+ (a1 + a2 + a3) = 0x2 + 0x+ 0. Essa igualdade implica no sistema
a1 + a2 = 0
a1 + a3 = 0
a1 + a2 + a3 = 0
Cuja matriz ampliada é A =
 1 1 0
1 0 1
1 1 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
0
0
0
. Escalonando, temos A =
 1 1 0
0 −1 1
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
0
0
0
.
Como nenhuma linha se anulou no escalonamento, os vetores são LI.
• B gera P2(R). Para provar isso, devemos tomar um vetor genérico em P2(R) e mostrar que
ele se escreve como combinação linear dos vetores de B. Tomamos p(x) = ax2 + bx + c e
a1p1(x) + a2p2(x) + a3p3(x) = p(x). Dessa igualdade, temos
a1(x
2 + x+ 1) + a2(x
2 + 1) + a3(x+ 1) = ax2 + bx+ c
Desenvolvendo essa igualdade, como foi feito acima, obtemos o sistema
a1 + a2 = a
a1 + a3 = b
a1 + a2 + a3 = c
cuja matriz ampliada é
A =
 1 1 0
1 0 1
1 1 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a
b
c
. Escalonando, temos A =
 1 1 0
0 −1 1
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a
−a+ b
−a+ c
.
65
De volta ao sistema, temos

a1 + a2 = a
− a2 + a3 = −a+ b
a3 = −a+ c
. Cuja solução é a1 = a+ b− c,
a2 = −b + c e a3 = −a + c. Levando esses valores na combinação linear que escrevemos,
conclúımos que qualquer vetor p(x) = ax2 + bx+ c se escreve como
p(x) = (a+ b− c)p1(x) + (−b+ c)p2(x) + (−a+ c)p3(x)
�
Exemplo 3.32. Determine uma base para o subepaço S = {(x, y, z) ∈ R3; x− y − z = 0} de R3.
Precisamos determinar um conjunto B que seja LI e ao mesmo tempo seja um conjunto gerador
de S. Escrevemos um vetor genérico de S. Temos (x, y, z), sujeito a condição x − y − z = 0. Ou
seja, z = x− y. Logo um vetor genérico de S é dado por (x, y, x− y). Segue-se que
(x, y, z) = (x, 0, x) + (0, y,−y) = x(1, 0, 0) + y(0, 1,−1)
Formamos o conjunto B = {(1, 0, 0), (0, 1,−1)}. Afirmamos que B é uma base de S. De fato,
• B é LI. Para ver isso, basta escrever a matriz dos vetores, temos
[
1 0 0
0 1 −1
]
. Essa matriz
já está escalonada e nehnuma linha é nula. Logo B é LI.
• B gera S. Para ver isso, basta mostrar que qualquer vetor de S se escreve como combinação
linear dos vetores de B. Mas, isso já foi feito. Obtivemos acima (x, y, z) = (x, 0, x) +
(0, y,−y) = x(1, 0, 0) + y(0, 1,−1), para todo (x, y, z) ∈ S.
Teorema 3.2. Se B = {v1, ..., vn} é uma base de um espaço vetorial V , então qualquer conjunto
com mais de n vetores será LD. �
Corolário 3.6.1. Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores. �
Definição 3.11. Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. O número de vetores n em uma
base de V é chamado dimensão de V . Denotamos dimV = n.
Segundo o teorema 3.2, dado um espaço vetorial V de dimensão n, qualquer conjunto com mais
de n vetores será LD. Em R2, por exemplo, qualquer conjunto com 3 vetores ou mais será LD. A
base de um espaço vetorial é, portanto, um conjunto com o menor número posśıvel de vetores que
gera esse espaço.
Exemplo 3.33. Temos a seguir alguns exemplos.
• Vimos no exemplo 3.29, que os vetores (1, 0), (0, 1) formam uma base de R2. Logo dimR2 = 2.
• Analogamente, como B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de R3, temos dimR3 = 3.
• Vimos também que as matrizes
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
formam uma base
(base canônica) do espaço das matrizes quadradas de ordem 2 sobre R, M2×2(R). Logo
dimM2×2(R) = 4.
• No exemplo 3.31. Mostramos que o conjunto B = {x2+x+1, x2+1, x+1} é uma base do espaço
dos polinômios de grau menor do que, ou igual a dois sobre R, P2(R). Logo dimP2(R) = 3.
�
66
Exemplo 3.34. Considere em R3 o espaço gerado S = [(1, 2, 3), (2, 1, 5), (1,−1, 2), (3, 3, 8)]. De-
termine a dimensão de S.
A dimensão de S é dada pelo menor número de vetores que gera S. Há dois modos de obter
esse resultado.
Podemos obter S, definido por uma condição. Primeiro tomamos um vetor genérico em R3.
Seja (x, y, z). A seguir, escrevemos esse vetor como combinação linear dos vetores (1, 2, 3), (2, 1, 5),
(1,−1, 2) e (3, 3, 8). Queremos saber quais são os vetores (x, y, z) de R3 que são gerados por S.
Escrevemos a1(1, 2, 3) + a2(2, 1, 5) + a3(1,−1, 2) + a4(3, 3, 8) = (x, y, z) e
recáımos no seguinte sistema 
a1 + 2a2 + a3 + 3a4 = x
2a1 + a2 − a3 + 3a4 = y
3a1 + 5a2 + 2a3 + 8a4 = z
Sua matriz ampliada é  1 2 1 3
2 1 −1 3
3 5 2 8
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
x
y
z

que após o escalonamento obtemos 1 2 1 3
0 1 1 1
0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
x
3x− z
7x+ y − 3z

Para que o sistema tenha solução, devemos ter 7x + y − 3z = 0. Segue-se que S é dado por
S = {(x, y, z) ∈ R3; 7x + y − 3z = 0}. Um vetor genérico de S é da forma (x, y, z), sujeito a
condição 7x + y − 3z = 0. Ou seja, y = 3z − 7x. Segue-se que S é dado por (x, 3z − 7x, z) =
x(1,−7, 0) + z(0, 3, 1). Segue-se que S é gerado apenas pelos vetores (1,−7, 0) e (0, 3, 1). Logo
dimS = 2.
Outro modo mais simples é obtido, tomando a matriz dos vetores e escalonando. O posto da ma-
triz é a dimensão do espaço gerado por esses vetores. Nesse caso, temos a matriz
 1 2 1 3
2 1 −1 3
3 5 2 8

que após o escalonamento obtemos
 1 2 1 3
0 1 1 1
0 0 0 0
, com duas linhas não nulas. Logo dimS = 2.
Proposição 3.6. Se dimV = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V . �
Segundo essa proposição 2 vetores LI em R2 formam uma base de R2. Analogamente, três
vetores LI em R3 formam uma base de R3. Do mesmo modo, 4 matrizes LI em M2×2, formam uma
base desse espaço. Isso nos permite obter bases de um modo mais prático.
Exemplo 3.35. Prove que os vetores (1, 2, 3), (0, 1, 5), (0, 0, 3) formam uma base de R3.
Segundo o comentário acima, como temos três vetores em R3, precisamos apenas mostrar que
esses vetores são LI. Para isso, basta escrever a matriz dos vetores escalonar. Temos
 1 0 0
2 1 0
3 5 3
.
67
Escalonando, temos
 1 0 0
0 1 0
0 0 3
. Como nenhuma linha se anulou no escalonamento, os vetores
são, de fato LI. Logo, formam uma base de R3. �
Teorema 3.3. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Qualquer conjunto LI de vetores
em V é parte de uma base. Logo pode ser completado até formar uma base de V . �
Exemplo 3.36. Complete o conjunto (1, 2, 5), (2, 3, 4) até formar uma base de R3.
Qualquer base de R3 deve ter 3 vetores LI. Logo devemos tomar um vetor que não seja com-
binação linear dos vetores dados. Por tentativas obtemos (3, 5, 10) (na verdade, usamos um truque:
somamos os vetores e mudamos a última coordenada da soma). Agora, basta confirmar que o
conjunto obtido (1, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 5, 10) é LI, escalonando a matriz dos vetores.
Teorema 3.4. Seja B = {v1, ..., vn} uma base de um espaço vetorial V . Qualquer vetor v ∈ V se
escreve de modo único
v = a1v1 + ...+ anvn
como combinação linear dos vetores da base B. �
O teorema acima serve para garantir que faça sentido a definição abaixo.
Definição 3.12. Considerando o enunciado do teorema acima, os coeficientes a1, a2, ..., an são
chamados coordenadas do vetor v em relação à base B. Denotamos vB = (a1, a2, ..., an).
Quando escrevemos um vetor v = (x1, ..., xn) sem fazer referência à base, fica impĺıcito que
(x1, ..., xn) são as coordenadas de v em relação à base canônica.
Exemplo 3.37. Escreva as coordenadas do vetor v = (2, 3) em relação à base B = {(1, 2), (0, 1)}.
Basta escrever v como combinação linear dos vetores da base dada. Temos: a1(1, 2) +a2(0, 1) =
v. Logo (a1, 2a1 + a2) = (2, 3). De onde conclúımos,
{
a1 = 2
2a1 + a2 = 3
, cuja solução é a1 = 2 e
a2 = −1. Segue-se que v = 2(1, 2) + (−1)(0, 1). Logo as coordenadas de v em relação à base B são
vB = (2,−1). �
3.6.2 Exerćıcios
1. Prove que cada um dos conjuntos a seguir é uma base do R2.
(a) B = {(1, 2), (2,−1)}
(b) B = {(1, 1), (1,−1)}
(c)B = {(2, 3), (0, 2)}
2. Dê as coordenadas do vetor u = (2, 5) em relação à base B, para cada ı́tem do exerćıcio
anterior.
3. Prove que cada um dos seguintes conjuntos de vetores é uma base de R4.
(a) B = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}
(b) B = {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (−1, 0, 1, 1), (0,−1, 0, 1)}
68
4. Expresse as coordenadas do vetor (2,−2, 1, 3) em relação à base B, para cada ı́tem do exerćıcio
anterior.
5. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 9) formam uma base de R3.
Exprima cada um dos vetores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) da base canônica do R3
como combinação linear de u, v e w.
6. Determine as coordenadas dos vetores seguintes em R3 em relação à base
B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.
(a) (0,1,0) (b) (-2,1,1) (c) (1,3,2) (d) (4,-2,2)
7. Complete o conjunto A = {(1, 2, 1), (2, 1, 5)} para formar uma base do R3.
8. Complete o conjunto A{(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0)} para formar uma base do R4.
9. Determine uma base e a dimensão de cada subespaço a seguir
(a) V = {(x, y) ∈ R2; y = x}
(b) V = {(x, xy, z) ∈ R3; z = y + 3x}
(c) V = {(x, y, z) ∈ R3; x+ 2y − 3z = 0}
(d) V = {(x, y, z) ∈ R3; z = −2y}
(e) V = {(x, y, z, w) ∈ R4; w = x+ y + z}
(f) V = {
[
a b
c d
]
; a = c e c = −d}
(g) V = {
[
a b
c d
]
; a− b+ c− d = 0}
(h) S = [(1, 2, 3), (2, 1, 5), (3, 3, 8), (1,−1, 2)]
(i) S = [(2, 1, 5), (3,−1, 4), (1, 2, 3)]
(j) S = [(2, 1,−1), (3, 2, 1), (1, 0,−3)]
(k) S = [(1,−1, 2), (0, 2, 1), (−1, 0, 1)]
(l) S = [(−1, 0, 3, 1), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 1), (−1, 1, 6, 2)]
69
Caṕıtulo 4
Transformações Lineares
Neste caṕıtulo vamos estudar as funções lineares entre espaços vetoriais. Veremos de que modo
a estrura de espaço vetorial nos permite definir essas funções de um modo mais simples. Essas
aplicações nos permitirão evidenciar similaridades entre espaços vetoriais. Faremos uma conexão
com as matrizes e no fim algumas aplicações geométricas.
4.1 Definições Iniciais
Objetivos
• Conhecer a definição de transformação linear
• Conhecer exemplos de transformações lineares
• Reconhecer quando uma função é linear
4.1.1 Reconhecimento
Definição 4.1. Considere os espaços vetoriais V e W . Uma transformação linear de V em W
é uma função T : V −→ W tal que:
(i) T (u+ v) = T (u) + T (v)
(ii) T (αu) = αT (u)
quaisquer que sejam u, v ∈ V e α ∈ R
Dito de outro modo, uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que preserva
a soma e o produto por um número real. Preservar a soma, quer dizer que somar dois vetores u
e v e depois calcular sua transformação T (u + v), é o mesmo que calcular transformar cada vetor
T (u), T (v) e depois somar. Por outro lado, preservar o produto por um número, quer dizer que
multiplicar um vetor v por um número α e depois transformar, é o mesmo que calcular T (u) e só
depois multiplicar por α, obtendo α · T (u).
Exemplo 4.1. Sejam V = R2 e W = R3. Considere a função T : V −→ W , tal que cada
u = (x, y) ∈ V é levado em T (x, y) = (x+ y, 2y, 0) ∈ R3. Trata-se de uma função entre os espaços
vetoriais R2 e R3. Dados o vetor u = (1, 5), temos T (u) = T (1, 5) = (1 + 5, 2 · 5, 0) = (6, 10, 0).
Afirmamos que T é uma transformação linear. De fato,
70
• T preserva a soma. Para ver isso, tomamos dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) no espaço
de partida R2 e calculamos T (u+v) em R3. Temos u+v = (x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2, y2+y2).
Logo
T (u+ v) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), 2 · (y1 + y2), 0) = (x1 + x2 + y1 + y2, 2y1 + 2y2, 0)
Por outro lado,
T (u) + T (v) = (x1 + y1, 2y1, 0) + (x2 + y2, 2y2, 0) = (x1 + x2 + y1 + y2, 2y1 + 2y2, 0)
Segue-se que T (u+ v) = T (u) + T (v).
• T preserva o produto por um número real. Para mostrar que isso é verdade, tomamos um
número α ∈ R e calculamos T (αu). Temos αu = α(1, 5) = (α, 5α). Logo T (αu) =
T (α, 5α) = (α + 5α, 2 · 5α, 0) = (6α, 10α, 0). Por outro lado, αT (u) = α(6, 10, 0). Logo
αT (u) = (6α, 10α, 0). Portanto, T (αu) = αT (u). �
Exemplo 4.2. Sejam V = R2 e W = M2×2(R). Prove que T : V −→ W , tal que
T (x, y) =
[
x y
0 2x
]
é uma transformação linear. Para isso, tomamos u = (x1, y1), v = (x2, y2)
e α ∈ R e provamos duas coisas.
• T (u+ v) = T (u) + T (v). De fato, u+ v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2). Logo
T (u+ v) = T (x1 + x2, y1 + y2) =
[
x1 + x2 y1 + y2
0 2(x1 + x2)
]
=
[
x1 + x2 y1 + y2
0 2x1 + 2x2
]
.
Por outro lado,
T (u) + T (v) = T (x1, y1) + T (x2, y2) =
[
x1 y1
0 2x1
]
+
[
x2 y2
0 2x2
]
=
[
x1 + x2 y1 + y2
0 2x1 + 2x2
]
.
Portanto, T (u+ v) = T (u) + T (v).
• T (αu) = αT (u). Com efeito, αu = α(x1, y1) = (αx1, αx2). Logo
T (αu) = T (αx1, αx2) =
[
αx1 αy1
0 2αx1
]
. Por outro lado, αT (u) = αT (x1, y1) = α
[
x1 y1
0 2x1
]
=[
αx1 αy1
0 2αx1
]
. Portanto, T (αu) = αT (u). �
Em muitos casos podemos reconhecer que dada função não é uma transformação linear usando
um teste muito simples. Isso é o que diz a proposição seguinte.
Proposição 4.1. Seja T : V −→ W . Se T (0) 6= 0, então T não é uma transformação linear. �
Notemos que ao escrever T (0) = 0 usamos duas vezes o śımbolo 0, representando coisas diferen-
tes. O primeiro zero representa o elemento neutro de V e o segundo, o elemento neutro de W .
Exemplo 4.3. Seja T : R2 −→ R, tal que T (x, y) = x+ y + 5. Temos que T (0, 0) = 0 + 0 + 5 6= 0.
Portanto T não é linear. �
Cuidado, a proposição acima afirma o que ocorre quando T (0) 6= 0 e nada diz a respeito de
T (0) = 0. Caso tenhamos T (0) = 0, não podemos concluir que T seja linear. Pode ser que sim,
pode ser que não. Nesse caso, devemos verificar se T é linear usando a definição de transformação
linear.
71
Exemplo 4.4. Seja T : R2 −→ R2, tal que T (x, y) = (x, y2). Temos T (0, 0) = (0, 0), logo T (0) = 0.
Entretando, T não é linear. Pois dados u = (x1, y1) e v = (x2, y2), temos (x1, y1) + (x2, y2) =
(x1+x2, y1+y2). Logo T (u+v) = T (x1+x2, y1+y2) = (x1+x2, (y1+y2)
2) = (x1+x2, y
2
1+2y1y2+y22).
Por outro lado, T (u)+T (v) = T (x1, y1)+T (x2, y2) = (x1, y
2
1)+(x2, y
2
2) = (x1+x2, y
2
1 +y22). Segue-se
que T (u+ v) 6= T (u) + T (v). Portanto T não é linear. �
A seguir, damos alguns exemplos usuais de transformações lineares.
Exemplo 4.5. Os ı́tens abaixo exibem exemplos de transformações lineares.
1. A transformação linear nula. 0 : V −→ W , tal que 0(u) = 0, qualquer que seja u ∈ V .
2. A transformação identidade. I : V −→ W , tal que I(v) = v, qualquer que seja v ∈ V .
3. A projeção ortogonal de R3 no plano xy. P : R3 −→ R3, tal que P (x, y, z) = (x, y, 0), qualquer
que seja (x, y, z) ∈ R3.
4. A porjeção ortogonal, no eixo x. P : R3 −→ R3, tal que P (x, y, z) = (x, 0, 0), qualquer que
seja (x, y, z) ∈ R3. �
4.1.2 Exerćıcios
1. Para cada ı́tem a seguir, temos uma função T : R2 −→ R2. Determine se a função dada é
uma transformação linear. Em caso afirmativo, prove que é uma tranformação linear. Caso
não seja, justifique.
(a) T (x, y) = (x− 3y, 2x+ 5y) (b) T (x, y) = (y, x) (c) T (x, y) = (x2, y3)
(d) T (x, y) = (x+ 1, y) (e) T (x, y) = (y − x, 0) (f) T (x, y) = (3y,−2x)
(g) T (x, y) = (2x+ 3y, x− 5y) (h) T (x, y) = (x+ 2y, y + 1) (i) T (x, y) = (0, y)
2. Para cada ı́tem a seguir, temos uma função T : R2 −→ R3. Determine se a função dada é
uma transformação linear. Em caso afirmativo, prove que é uma tranformação linear. Caso
não seja, justifique.
(a) T (x, y) = (x+ y, x− 2y, y+ 2x) (b) T (x, y) = (2y,−x, y− 2x) (c) T (x, y) = (x, x, x)
(d) T (x, y) = (−y, 0, x) (e) T (x, y) = (0, x+ 1, y) (f) T (x, y) = (0, x, y)
3. Assinale verdadeiro ou Falso:
É dada uma transformação linear T : V −→ W .
( ) T (0) = 0
( ) Se v ∈ V é tal que T (v) = 0 então v = 0.
( ) Se w = u+ v, então T (w) = T (u) + T (v).
( ) Se Tw = Tu+ Tv então w = u+ v.
4. Para cada ı́tem a seguir, determine se a função dada é uma transformação linear. Em caso
afirmativo, prove que é uma tranformação linear. Caso nãoseja, justifique.
(a) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (3x− y,−3x+ y)
(b) T : R2 −→ R3, T (x, y) = (x+ y, 1, 2y)
(c) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (x− 2y, x+ y)
(d) T : R3 −→ R2, T (x, y, z) = (x+ 2y − z, 2x− y + z)
72
(e) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x− y − 2,−x+ 2y + z, x− 3z)
(f) T : R3 −→ R3, T (x, y) = (x− 3y, x− y, z − x)
(g) T : P1 −→ R3, T (ax+ b) = (a, 2a, a− b)
(h) T :M2(R) −→ R2, T
([
a b
c d
])
= (a− b, a+ b)
73
4.2 Determinação de uma Transformação Linear
Objetivos
• Obter uma transformação linear a partir de uma base dada
4.2.1 Definindo uma Transformação Linear
Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que tem propriedades lineares.
Dizemos que uma função está definida, ou dada, quando se conhece três coisas:
• O domı́nio, ou conjunto de partida.
• O contradomı́nio, ou conjunto de chegada.
• A lei de formação. Em geral, dada por uma fórmula que permita calcular a imagem de cada
ponto do domı́nio.
Por exemplo, seja f : R −→ R que para cada x ∈ R, temos f(x) = x2. Temos o domı́nio R,
o contradomı́nio R e a lei de formação f(x) = x2. Dado um ponto qualquer do domı́nio, sabemos
calcular sua imagem. Basta tomar seu quadrado. Dizemos então que f está dada, ou definida.
O que torna as transformações lineares muito atraentes é que devido a estrutura de base, que
existe nos espaços vetoriais, podemos dar uma transformação linear de um modo mais simples,
devido a proposição seguinte.
Proposição 4.2. Se T : V −→ W uma transformação linear, então
T (a1v1 + a2v2) = a1T (v1) + a2T (v2)
quaisquer que sejam v1, v2 ∈ V e a1, a2 ∈ R. �
Essa proposição afirma que uma transformação linear leva combinações lineares em combinaçãoes
lineares. Podemos usar isso para definir transformações lineares. Para definir uma tranformação
linear T de V em W , fazemos o seguinte.
• Primeiro tomamos uma base de V , B = {v1, ..., vn}.
• Depois, definimos livremente T (v1), T (v2), ..., T (vn).
Pronto, a transformação linear T : V −→ W está dada. Pois, qualquer que seja v ∈ V , como B
é uma base, temos v = a1v1 + ...+anvn. Logo T (v) = T (a1v1 + ...+anvn) = a1T (v1) + ...+anT (vn).
Portanto, sabemos calcular T (v), qualquer que seja v ∈ V . Vejamos isso em um exemplo.
Exemplo 4.6. Defina uma transformação linear T : R2 −→ R2.
Primeiramente devemos tomar uma base em R2. Tomamos a base canônica B = {(1, 0), (0, 1)}.
Agora escolhemos livremente uma imagem para cada vetor da base. Façamos, por exemplo, T (1, 0) =
(1, 1) e T (0, 1) = (1, 3). Pronto, isso é suficiente! A transformação linear T está dada. Caso
precisemos calcular a imagem de algum ponto do R2, usamos a proposição 4.2. Digamos se queira
calcular T (5, 11). Fazemos assim.
74
• Primeiro escrevemos o vetor (5, 11) como combinação linear da base escolhida, no caso B =
{(1, 0), (0, 1)}. Temos (5, 11) = 5 · (1, 0) + 11 · (0, 1).
• Agora, usando a proposição 4.2, calculamos T (5, 11) = T (5 · (1, 0) + 11 · (0, 1)) = 5 · T (1, 0) +
11 · T (0, 1). Finalmente, usamos a definição que demos para T (1, 0) e T (0, 1). Obtemos
T (5, 11) = T (5 · (1, 0) + 11 · (0, 1)) = 5 · T (1, 0) + 11 · T (0, 1) = 5 · (1, 1) + 11 · (1, 3) =
(5, 5) + (11, 33) = (16, 38). �
Exemplo 4.7. Seja T : R2 −→ M2×2(R), tal que T (1, 2) =
[
−1 4
2 7
]
e T (3, 5) =
[
10 0
1 −6
]
.
Calcule T (6, 11).
• Primeiramente escrevemos o vetor (6, 11) como combinação linear dos vetores (1, 2) e (3, 5).
Escrevemos a1(1, 2) + a2(3, 5) = (6, 11) para obter a1 e a2. Após os cálculos temos a1 = 3 e
a2 = 1. Logo (6, 11) = 3 · (1, 2) + 1 · (3, 5).
• O próximo passo é calcular T (6, 11) usando a proposição 4.2. Temos
T (6, 11) = T (3 ·(1, 2)+1 ·(3, 5)) = 3 ·T (1, 2)+1 ·T (3, 5) = 3 ·(
[
−1 4
2 7
]
)+1 ·(
[
10 0
1 −6
]
) =[
−3 12
6 21
]
+
[
10 0
1 −6
]
=
[
7 12
7 15
]
�
Exemplo 4.8. Dada a transformação linear T : R3 −→ R2, tal que T (1, 0, 0) = (1, 5), T (0, 1, 1) =
(2, 3) e T (1, 0, 1) = (0, 2). Obtenha T (x, y, z).
Primeiro, devemos escrever o vetor (x, y, z), supostamente conhecido, como combinação linear
dos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1). Escrevemos a1(1, 0, 0)+a2(0, 1, 1)+a3(1, 0, 1) = (x, y, z). Logo
(a1 + a3, a2, a2 + a3) = (x, y, z). Desse modo, temos o sistema
a1 + a3 = x
a2 = y
a2 + a3 = z
Resolvendo esse sistema, obtemos a1 = x + y − z, a2 = y e a3 = z − y. Por fim, usamos a
proposição 4.2 e calculamos
T (x, y, z) = T (a1(1, 0, 0)+a2(0, 1, 1)+a3(1, 0, 1)) = T ((x+y−z)(1, 0, 0)+y(0, 1, 1)+(z−y)(1, 0, 1))
Logo T (x, y, z) = (x+y−z)T (1, 0, 0)+yT (0, 1, 1)+(z−y)T (1, 0, 1) = (x+y−z)(1, 5)+y(2, 3)+
(z − y)(0, 2) = (x+ y − z, 5x+ 5y − 5z) + (2y, 3y) + (0, 2z − 2y) = (x+ 3y − z, 5x+ 6y − 3z). �
Usaremos sistematicamente esse método de obter transformações lineares na última seção deste
caṕıtulo, quando faremos algumas aplicações geométricas.
4.2.2 Exerćıcios
1. Determine a transformação linear T (x, y), em cada ı́tem a seguir.
(a) T (1, 0) = (2, 1) e T (0, 1) = (1, 3)
(b) T (1, 0) = (−3, 5) e T (0, 1) = (2,−2)
75
(c) T (1, 1) = (0, 1) e T (1,−1) = (2, 0)
(d) T (1,−1) = (0, 0) e T (0,−1) = (1, 1)
2. Seja f : R2 −→ R um funcional linear. Sabendo-se que f(1, 1) = 3 e f(2, 3) = 1, calcule
f(1, 0) e f(0, 1).
3. (a) Determine a transformação linear T : R2 −→ R3 tal que T (−1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, 1) =
(1, 1, 0).
(b) Encontrar v ∈ R2 tal que T (v) = (−2, 1,−3)
4. (a) Determinar a transformação linear T : R3 −→ R2 tal que T (1,−1, 0) = (1, 1), T (0, 1, 1) =
(2, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 3).
(b) Achar T (1, 0, 0) e T (0, 1, 0)
5. Seja T : R3 −→ R2 uma tranformação linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3)
e T (1, 0, 0) = (3, 4).
(a) Determine T (x, y, z).
(b) Determine v ∈ R3 tal que T (v) = (−3,−2).
(c) Determine v ∈ R3 tal que T (v) = (0, 0)
6. Dada a transformação linear A : V −→ W , tal que T (u) = 3u e T (v) = u − v, calcule em
função de u e v:
(a) T (u+ v) (b) T (3v) (c) T (4u− 5v) (d) T (u− 2v)
7. Determinar a transformação linear T : P2 −→ P2 tal que T (1) = x, T (x) = 1− x2 e T (x2) =
x+ 2x2.
76
4.3 Núcleo e Imagem
Objetivos
• Conhecer as definições de núcleo e imagem de uma transformação linear
• Determinar o núcleo e a imagem de uma transformação linear
• Conhecer e aplicar o teorema do núcleo e da imagem
4.3.1 Definições
Definição 4.2. Dada uma transformação linear T : V −→ W , chamamos núcleo de T o conjunto
N(T ) = {v ∈ V ; T (v) = 0}
O núcleo de uma transformação linear T : V −→ W é formado pelos vetores do domı́nio V que
são levados no 0 de W pela transformação.
Exemplo 4.9. Determine o núcleo da transformação linear T : R2 −→ R2, tal que T (x, y) =
(x+ y, 2x− y).
Precisamos determinar os vetores v = (x, y) ∈ R2 que são transformados em (0, 0) ∈ R2. Para
isso resolvemos a equação T (x, y) = (0, 0). Temos (x+ y, 2x− y) = (0, 0). Logo{
x+ y = 0
2x− y = 0
. Resolvendo esse sistema, obtemos x = 0 e y = 0. Portanto, apenas o vetor
nulo é transformado em (0, 0). Segue-se que N(T ) = {(x, y) ∈ R2; T (x, y) = 0} = {(0, 0)}. �
Exemplo 4.10. Seja T : R3 −→ R2, dada por T (x, y, z) = (x + y + 5z, 2x + y − z). Determine o
núcleo de T .
Basta resolver a equação T (x, y, z) = (0, 0). Temos (x+ y + 5z, 2x+ y − z) = (0, 0). Logo{
x+ y + 5z = 0
2x+ y − z = 0
. Segue-se que x = 6z, y = −11z e z = z. Logo o núcleo de T é formado por
vetores (x, y, z), tais que x = 6z, y = −11z e z = z. Ou seja, N(T ) = {(x, y, z) ∈ R3; T (x, y, z) =
(0, 0)} = {(6z,−11z, z); z ∈ R}. �
Proposição 4.3. O núcleo de uma transformação linear T : V −→ W é subespaço de V . �
Definição 4.3. Uma transformação linear T : V −→ W é chamada injetora, se T for uma função
injetora.
Isso significa que vetores distintos em V têm sempre imagens distintas em W . Existe uma
importante relação entre o conceito de injetividade e o núcleo de uma transformação linear. Essa
relação é expressa na seguinte proposição.
Proposição 4.4. Uma transformaçãolinear T : V −→ W é injetora se, e somente se N(T ) = {0}
�
Exemplo 4.11. Considere a transformação linear T : M2×2(R) −→ R2, dada por T
([
a b
c d
])
=
(a+b, c+d). O núcleo de T é obtido a partir da equação T
([
a b
c d
])
= (0, 0). Logo (a+b, c+d) =
(0, 0). Segue-se que
77
{
a+ b = 0
c+ d = 0
Logo a = −b, b = b, c = −d e d = d. Desse modo, o núcleo de T é formado pelos vetores[
a b
c d
]
, tais que a = −b, b = b, c = −d e d = d. Ou seja,
N(T ) =
{[
a b
c d
]
∈M2×2(R); T
([
a b
c d
])
= (0, 0)
}
=
{[
−b b
−d d
]
; b, d ∈ R
}
. Vemos
que o núcleo de T não é formado apenas pelo vetor
[
0 0
0 0
]
. Logo T não é injetora. �
Definição 4.4. Chamamos imagem de uma transformação linear T : V −→ W o conjunto
Im(T ) = {w ∈ W ; w = T (v) , v ∈ V }
Proposição 4.5. A imagem de uma transformação linear T : V −→ W é subespaço de W . �
Para determinar a imagem de uma transformação linear, precisamos determinar os vetores w ∈
W de modo que exista algum v ∈ V , com
T (v) = w
Dito de uma outra forma, vamos procurar por vetores w de modo que a igualdade acima tenha
solução.
Exemplo 4.12. Determine a imagem de T : R3 −→ R3, dada por T (x, y, z) = (x+ y + z, x− 3y−
2z, 4x− 4y − 2z).
Procuramos por vetores w = (a, b, c), do contradomı́nio R3, tais que a igualdade
T (x, y, z) = (a, b, c)
Tenha solução. Essa igualdade significa que (x + y + z, x − 3y − 2z, 4x − 4y − 2z) = (a, b, c).
Isso implica no seguinte sistema
x+ y + z = a
x− 3y − 2z = b
4x− 4y − 2z = c
Agora devemos discutir esse sistema. Sua matriz ampliada é
A =
 1 1 1
1 −3 −2
4 −4 −2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a
b
c

cuja forma escalonada é  1 1 1
0 −4 −3
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a
−a+ b
−2a− 2b+ c

Portanto, esse sistema terá solução se, e somente se −2a− 2b + c = 0. Essa condição é o que
define a imagem de T . Temos
78
Im(T ) = {(a, b, c) ∈ R3; (a, b, c) = T (x, y, z) , (x, y, z) ∈ R3} = {(a, b, c) ∈ R3; −2a−2b+ c = 0}
�
Exemplo 4.13. Considere o subespaço Im(T ) = {(a, b, c) ∈ R3; (a, b, c) = T (x, y, z) , (x, y, z) ∈
R3} = {(a, b, c) ∈ R3; −2a− 2b+ c = 0} obtido no exemplo acima. Calcule dim Im(T ).
Vemos que qualquer vetor de Im(T ), tem a forma (a, b, c), com −2a − 2b + c = 0. Ou seja,
c = 2a + 2b. Logo os vetores de Im(T ) são da forma (a, b, 2a + 2b). Temos (a, b, 2a + 2b) =
a(1, 0, 2) + b(0, 1, 2). Isso mostra que os vetores (1, 0, 2) e (0, 1, 2) geram Im(T ). Como esses
vetores são LI, conclúımos que B = {(1, 0, 2), (0, 1, 2)} é uma base de Im(T ). Logo dim Im(T ) = 2.
�
Podemos determinar a imagem de T de um modo mais simples. Dada uma transformação linear
T : V −→ W , fazemos o seguinte:
• Primeiro tomamos uma base de V , em geral a base canônica. Seja B = {e1, e2, ..., en} essa
base.
• A seguir calculamos T (e1), T (e2), ..., T (en).
Então a imagem de T será o espaço gerado pelos vetores T (e1), T (e2), ..., T (en). Basta repre-
sentar Im(T ) = [T (e1), T (e2), ..., T (en)].
Exemplo 4.14. Determine a imagem de T : R2 −→ R2, dada por T (x, y) = (x+ y, x− 3y).
Primeiro tomamos uma base do domı́nio R2. Seja B = {(1, 0), (0, 1)} essa base. Agora calcu-
lamos T (1, 0) e T (0, 1). Temos T (1, 0) = (1, 1) e T (0, 1) = (1,−3). Logo Im(T ) = [(1, 1), (1,−3)].
�
Definição 4.5. Dizemos que a transformação linear T : V −→ W é sobrejetora, quando a
função T é sobrejetora. Isso significa que a imagem de T é todo o contradomı́nio W . Ou ainda,
dim Im(T ) = dimW .
Teorema 4.1. (do núcleo e da imagem) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T :
V −→ W uma transformação linear. Então,
dimV = dimN(T ) + dim Im(T )
�
Esse teorema relaciona as dimensões do núcleo, da imagem e do espaço V de uma transformação
linear T : V −→ W . Supondo que já se tenha calculado dois desses valores, podemos obter o terceiro
usando essa relação. Outra aplicação desse teorema é a seguinte. Suponhamos que N(T ) = {0}.
Nesse caso, devido ao teorema do núcleo e da imagem, temos dimV = dim Im(T ).
Exemplo 4.15. No exemplo 4.13, calculamos a dimensão da imagem da transformação T : R3 −→
R3, dada por T (x, y, z) = (x + y + z, x − 3y − 2z, 4x − 4y − 2z). Obtivemos Im(T ) = 2. Sabemos
também que dimR3 = 3. Usando o teorema do núcleo e da imagem, temos
dimR3 = dimN(T ) + dim Im(T )
Logo 3 = dimN(T ) + 2. Ou seja, dimN(T ) = 1. Isso mostra que o núcleo de T não é formado
apenas pelo vetor nulo. Logo T não é injetora. �
79
Para finalizar essa seção façamos um exemplo bem geral.
Exemplo 4.16. Seja T : R3 −→ R2, tal que T (1, 0, 0) = (1, 2), T (0, 1, 0) = (0, 1) e T (1, 0, 0) =
(−1, 3).
(a) Determine o núcleo de T , dimN(T ) e responda se T é injetora.
(b) Determine a imagem de T , dim Im(T ) e responda se T é sobrejetora.
Primeiro precisamos de T (x, y, z). Do mesmo modo como fizemos no exemplo 4.8, devemos
escrever (x, y, z) como combinação linear dos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Temos (x, y, z) =
x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). Agora calculamos T (x, y, z). Temos
T (x, y, z) = T (x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)) = xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1). Logo
T (x, y, z) = x(1, 2) + y(0, 1) + z(−1, 3) = (x, 2x) + (0, y) + (−z, 3z) = (x − z, 2x + y + 3z).
Portanto,
T (x, y, z) = (x− z, 2x+ y + 3z)
Agora vamos responder o ı́tem (a). Para calcular o núcleo, devemos resolver a equação T (x, y, z) =
(0, 0). Temos (x− z, 2x+ y + 3z) = (0, 0). Logo{
x− z = 0
2x+ y + 3z = 0
Cuja solução é dada por x = z, y = −5z e z = z. Portanto, o núcleo de T é dado pelos vetores
(x, y, z), tais que x = z, y = −5z e z = z. simbolicamente, temos:
N(T ) = {(z,−5z, z); z ∈ R}
Um vetor genérico do núcleo tem a forma (z,−5z, z), que pode ser reescrito, como (z,−5z, z) =
z(1,−5, 1). Portanto, o vetor (1,−5, 1) gera o núcleo. Logo dimN(T ) = 1. Finalmente T não é
injetora, pois não se tem N(T ) = {0}.
Para responder o ı́tem (b), notamos que os vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) formam uma
base do domı́nio de T (base canônica). Logo suas imagens T (1, 0, 0) = (1, 2), T (0, 1, 0) = (0, 1) e
T (0, 0, 1) = (−1, 3) geram a imagem de T . Temos Im(T ) = [(1, 2), (0, 1), (−1, 3)]. Para calcular
dim Im(T ) podemos usar o teorema do núcleo e da imagem. Temos
dimV = dimN(T ) + dim Im(T )
Segue-se que dimR3 = dimN(T )+dim Im(T ). Ou seja, 3 = 1+dim Im(T ). Logo dim Im(T ) =
2. Finalmente, como se trata de uma transformação linear T : R3 −→ R2 e dim Im(T ) = 2 =
dimR2, conclúımos que T é sobrejetora.
�
4.3.2 Exerćıcios
1. Determine N(T ), Im(T ), dimN(T ) e dim Im(T ) em cada ı́tem a seguir
(a) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (3x− y,−3x+ y)
(b) T : R2 −→ R3, T (x, y) = (x+ y, x, 2y)
80
(c) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (x− 2y, x+ y)
(d) T : R3 −→ R2, T (x, y, z) = (x+ 2y − z, 2x− y + z)
(e) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x− y − 2z,−x+ 2y + z, x− 3z)
(f) T : R3 −→ R3, T (x, y) = (x− 3y, x− y, z − x)
(g) T : P1 −→ R3, T (ax+ b) = (a, 2a, a− b)
(h) T :M2(R) −→ R2, T
([
a b
c d
])
= (a− b, a+ b)
2. Seja T o operador linear no R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 2, 0), T (0, 1, 0) = (0, 0,−2) e T (0, 0, 1) =
(−1, 0, 3). Determinar T (x, y, z) e o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = (5, 4,−9).
3. Seja o operador linear em R2 dado por T (x, y) = (2x + y, 4x + 2y). Determine kerT , ImT ,
dimN(T ) e dim Im(T ).
4. Seja a transformação linear T : R2 −→ R3 tal que T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1,−2) = (0,−1, 0).
(a) Determine T (x, y)
(b) Determine kerT e ImT
(c) Decida se T é injetora e ou sobrejetora.
5. Seja T : R4 −→ R3 a transformação linear tal que T (1, 0, 0, 0) = (1,−2, 1), T (0, 1, 0, 0) =
(−1, 0,−1), T (0, 0, 1, 0) = (0,−1, 2) e T (0, 0, 0, 1) = (1,−3, 1).
(a) Determine o núcleo e a imagem de T .
(b) Determine bases para o núcleo e a imagem.
6. Encontrar um operador linear T : R3 −→ R3 cujo núcleo é gerado por (1, 2,−1) e (1,−1, 0).
7. Encontrar uma transformação linear T : R3 −→ R2 tal que N(T ) = [(1, 0,−1)].
8. Encontrar uma transformação linear T : R3 −→ R4 cuja imagem é gerada por (1, 3,−1,2) e
(2, 0, 1,−1).
81
4.4 Isomorfismo de Espaços Vetoriais
Objetivos
• Reconhecer isomorfismo de espaços vetoriais
4.4.1 Isomorfismo
Definição 4.6. Chamamos isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a uma trans-
formação linear T : V −→ W que é bijetora.
Definição 4.7. Dizemos que dois espaços vetoriais V e W são isomorfos quando existe um
isomorfismo T : V −→ W .
Exemplo 4.17. Considere a seguinte transformação linear T : R4 −→M2×2(R), dada por T (x, y, z, w) =[
x y
z w
]
. Afirmamos que T é um isomorfismo de espaços vetoriais. De fato:
• T é injetora. Para provar essa afirmação, devemos estudar a seguinte equação T (x, y, z, w) =[
0 0
0 0
]
.
Temos
[
x y
z w
]
=
[
0 0
0 0
]
. Logo x = 0, y = 0, z = 0 e w = 0. Segue-se que N(T ) =
{(0, 0, 0, 0)}. Isso mostra que T é, de fato, injetora.
• T é sobrejetora. Para provar isso, precisamos mostrar que dim Im(T ) = dimM2×2(R). Usa-
mos o teorema do núcleo e da imagem que afirma dimR4 = dimN(T ) + dim Im(T ). Logo
4 = 0 + dim Im(T ). Ou seja, dim Im(T ) = 4. Como dimM2×2(R) = 4, temos dim Im(T ) =
dimM2×2(R), como queŕıamos.
Desse modo, estabelecemos que os espaços vetoriais R4 e M2×2(R) são isomorfos. �
Exemplo 4.18. Verifique se a transformação linear T : P2(R) −→ R3, dada por T (ax2 + bx+ c) =
(a+ b, b, b+ c) é um isomorfismo.
Devemos verificar se T é uma bijeção.
• Primeiro verificamos a injetividade. Para isso determinamos o núcleo de T . Temos T (ax2 +
bx+ c) = (0, 0, 0) implica em (a+ b, b, b+ c) = (0, 0, 0). Logo
a+ b = 0
b = 0
b+ c = 0
Resolvendo esse sistema, obtemos a = b = c = 0. Logo N(T ) = {0x2 + 0x+ 0}. Isso significa
que T é injetora.
• Agora vamos verificar a sobrejetividade. Precisamos saber se dim Im(T ) = dimR3. Para isso,
usaremos o teorema do núcleo e da imagem. Temos dimP2(R) = dimN(T ) + dim Im(T ).
Logo 3 = 0 + dim Im(T ). Ou seja, dim Im(T ) = 3. Mas dimR3 = 3. Portanto, dim Im(T ) =
dimR3. Isso mostra que T é sobrejetora, como queŕıamos.
Segue-se que T é um isomorfismo. �
82
Quando dois espaços V e W são isomorfos, existe uma bijeção T : V −→ W . Como T é
injetora, temos dimN(T ) = 0. Como T é sobrejetora, temos dim Im(T ) = dimW . Devido ao
teorema do núcleo e da imagem, segue-se que dimV = dimN(T ) + dim Im(T ). Logo dimV =
0 + dimW . Ou seja, dimV = dimW . Mostramos que dois espaços isomorfos têm sempre a
mesma dimensão. Portanto, por exemplo, não pode existir um isomorfismo entre R2 e R3.Podemos
demonstrar, a rećıproca dessa afirmação. Dados dois espaços vetoriais de mesma dimensão, existe
uma transformação linear bijetiva entre esses espaços. Como uma transformação linear T preserva
as operações de espaço vetorial, espaços isomorfos são indistingúıveis em relação as operações de
espaço vetorial. Portanto, por exemplo, trabalhar com R4 de certo modo, é o mesmo que trabalhar
com M2×2(R) (que tem a mesma dimensão). Em vez de considerar os cálculos com P2(R), podemos
trabalhar com R3, que é isomorfo.
Exemplo 4.19. Verifique se T : R2 −→ R2, dada por T (x, y) = (x, 0) é um isomorfismo.
Verifiquemos a injetividade de T . Seja a equação T (x, y) = (0, 0). Temos (x, 0) = (0, 0). Logo
x = 0 e nada foi exigido de y. O que significa que todo vetor da forma (x, y) com x = 0 e y
qualquer pertence ao núcleo de T . Ou seja, os vetores da forma (0, y) definem o núcleo de T . Logo
N(T ) = {(0, y); y ∈ R} 6= {(0, 0)}. Logo T não é injetora. Portanto, não é um isomorfismo.
Apesar de R2 ser isomorfo a R2. �
4.4.2 Exerćıcios
1. Verifique se T é um isomorfismo.
(a) T : R3 −→ R3, dada por T (x, y, z) = (x+ y, 2x+ y, y − x)
(b) T : R2 −→ R2, dada por T (x, y) = (x+ y, 3x+ 2y)
(c) T : R3 −→ R2, dada por T (x, y, z) = (x+ y, 2x+ y)
(d) T : P2 −→ R3, dada por T (ax2 + bx+ c) = (a+ 3b, b− a, 0)
(e) T : M2×2 −→ R4, dada por T
([
a b
c d
])
= (a, b+ c, 2d, a− d)
(f) T : R3 −→ R3, dada por T (x, y, z) = (x+ y, 2x+ 2y, x+ z)
(g) T : R3 −→ R3, dada por T (x, y, z) = (x, y, 0)
4.5 Matriz de uma Transformação Linear
Objetivos
• Obter a matriz de uma trasformação linear
A matriz de uma tranformação linear nos permite uma caracterização de uma transformação
linear por meio de matrizes. A partir de então poderemos estudar propriedades das transformações
lineares por meio de suas matrizes.
4.5.1 Obtenção da Matriz de uma Transformação
Exemplo 4.20. Seja a transformação linear T : R3 −→ R2, dada por T (x, y, z) = (2x+ y, x+ z).
Podemos ver a definição de T como um produto de matrizes. Suponhamos que se queira saber a
83
imagem de (x, y, z) pela trasformação T . Temos T (x, y, z) = (a, b). Logo (2x + y, x + z) = (a, b).
Ou seja,{
2x+ y = a
x+ z = b
Escrevendo a matriz ampliada desse sistema, temos[
2 1 0
1 0 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ab
]
Portanto,[
2 1 0
1 0 1
]
·
 x
y
z
 =
[
a
b
]
e já sabemos que T (x, y, z) = (a, b).
Isso nos mostra que a imagem de (x, y, z) pode ser obtida de dois modos: pela definição de T ,
ou multiplicando à direita da matriz
[
2 1 0
1 0 1
]
. Essa matriz pode substituir a definição de T . �
De um modo geral, considere uma transformação linear T : V −→ W . Suponhamos que
dimV = n e dimW = m. Sejam também A = {v1, ..., vn} e B = {w1, ..., wn} bases de V e W
respectivamente. Temos a seguinte definição.
Definição 4.8. De acordo com o descrito acima, chamamos matriz da transformação linear
T em relação as bases A e B à matriz representada por [T ]AB de ordem m× n, cuja j-ésima coluna
é formada pelas coordenadas do vetor T (vj) na base B.
A matriz da tranformação linear [T ]AB é tal que, dado um vetor de V escrito na base A, [v]A,
podemos obter sua imagem por T , escrito na base B, [T (v)]B. Para isso, basta multiplicar [v]A à
direita da matriz de T , [T ]AB. Simbolicamente temos:
[T ]AB · [v]A = [T (v)]B
É importante ratificar que se for dada uma tranformação linear T : V −→ W , com dimV = n
e dimW = m, então a matriz da transformação T será de ordem m× n.
Exemplo 4.21. Seja T : R3 −→ R2 , tal que T (x, y, z) = (2x − y + z, 3x + y − 2z). Tomemos as
bases A = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e B = {(2, 1), (3, 5)}. Determine [T ]AB.
Primeiro calculamos as imagens dos vetores de A. Temos
T (1, 1, 1) = (2, 2)
T (0, 1, 1) = (0,−1)
T (0, 0, 1) = (1,−2)
Agora precisamos escrever cada vetor obtido na base B. Temos
(2, 2) = a1(2, 1) + a2(5, 3). Após os cálculos, obtemos a1 = −4 e a2 = 2.
Logo (2, 2) = −4(2, 1) + 2(5, 3). Isso significa que [(2, 2)]B = (−4, 2).
Analogamente obtemos [(0,−1)]B = (5,−2) e [(1,−2)]B = (13,−5). Agora podemos escrever a
matriz [T ]AB, na qual a j-ésima coluna é o transformado do j-ésimo vetor escrito na base B. Temos
[T ]AB =
[
−4 5 13
2 −2 −5
]
�
84
Exemplo 4.22. Considere as mesmas definições do exemplo anterior. Calcule T (3,−4, 2) usando
a matriz [T ]AB.
Notemos que o vetor (3,−4, 2) está escrito na base canônica. Para usar a matriz [T ]AB, pre-
cisamos primeiro escrever (3,−4, 2) na base A. Temos
a1(1, 1, 1) + a2(0, 1, 1) + a3(0, 0, 1) = (3,−4, 2)
Resolvendo essa igualdade, obtemos a1 = 3, a2 = −7 e a3 = 6. Logo [(3,−4, 2)]A = (3,−7, 6).
Agora basta multiplicar
[
−4 5 13
2 −2 −5
]
·
 3
−7
6
 =
[
31
−10
]
O resultado obtido usando a matriz [T ]AB, é um vetor na base B. Ou seja, (31,−10) = [T (3,−4, 2)]B.
Queremos T (3,−4, 2) na base canônica. Para isso, basta usar a base B. Temos
T (3,−4, 2) = 31(2, 1) + (−10)(5, 3) = (12, 1)
É claro que podeŕıamos ter obtido esse resultado simplesmente usando a definição de T . Teŕıamos
T (3,−4, 2) = (2 · 3− (−4) + 2, 3 · 3 + (−4)− 2 · 2) = (12, 1). �
Caso estejamos trabalhando apenas com bases canônicas representamos a matriz da trans-
formação linear T , simplesmente por [T ], chamada matriz canônica de T . Nesse caso a obtenção
da matriz da tranformação linear pode ser obtida de um modo mais direto.
Exemplo 4.23. Seja T : R2 −→ R3, dada por T (3x− 2y, 4x+ y, x). Determine a matriz canônica
de T .
Queremosdeterminar [T ]. Primeiro tomamos a base canônica de R2. Temos B = {(1, 0), (0, 1)}.
Transformamos cada vetor da base canônica. Temos
T (1, 0) = (3, 4, 1)
T (0, 1) = (−2, 1, 0)
Pronto! Agora basta escrever cada vetor obtido em forma de coluna. Temos
[T ] =
 3 −2
4 1
1 0

�
Definição 4.9. Chamamos operador linear à uma transformação linear T : V −→ V , de um
espaço vetorial V nele mesmo.
Caso estejamos trabalhando com um operador linear T e apenas uma base A, denotamos a
matriz [T ]AA por [T ]A.
Exemplo 4.24. Sejam T : R2 −→ R2, dado por T (x, y) = (2x− y, x+ y) e A = {(1,−2), (−1, 3)}
uma base de R2. Determine [T ]A.
O procedimento é o mesmo, mudamos apenas a notação. Primeiro calculamos as imagens dos
vetores da base A. Temos
T (1,−2) = (4,−1)
T (−1, 3) = (−5, 2)
85
Agora escrevemos cada vetor obtido em relação à base A. Temos
(4,−1) = a1(1,−2) + a2(−1, 3). Resolvendo, obtemos a1 = 11 e a2 = 7. Segue-se que (4,−1) =
11(1,−2) + 7(−1, 3). Ou seja, [(4,−1)]A = (11, 7). Analogamente obtemos [(−5, 2)]A = (−13,−8).
Portanto, a matriz [T ]A, de T relativa à base A é:
[T ]A =
[
11 −13
7 −8
]
�
Vimos até agora que dada uma transformação linear T : V −→ W e duas bases A e B, de V e
W respectivamente, podemos obter uma matriz representada por [T ]AB. Supondo que dimV = n e
dimW = m, a ordem da matriz obtida será m× n.
Reciprocamente, se tivermos uma matriz de ordem m× n, dois espaços V e W e, duas bases A
e B, de V e W , respectivamente, podemos obter uma transformação linear T : V −→ W .
Exemplo 4.25. Considere os espaços R2 e R3, bem como as bases A e B de R2 e R3, respecti-
vamente, dadas por A = {(1, 1), (1, 0)} e B = {(1, 2, 0), (1, 0,−1), (1,−1, 3)} . Obtenha a trans-
formação linear T : R2 −→ R3 cuja matriz relativa as bases A e B é
[T ]AB =
 2 0
1 −2
−1 3

De acordo com a definição de [T ]AB, dado um vetor [v]A, na base A, podemos obter sua imagem
[T (v)]B, escrita na base B, bastando para isso multiplicar [T ]AB · [v]A. Queremos obter T (x, y). Pois
bem, primeiro escrevemos (x, y) na base A. Após alguns cálculos obtemos
[(x, y)]A = (y, x− y)
Agora multiplicamos
[T ]AB · [(x, y)]A =
 2 0
1 −2
−1 3
 · [ y
x− y
]
=
 2y
−2x+ 3y
3x− 4y

Segue-se que [T (x, y)]B = (2y,−2x+ 3y, 3x− 4y). Isso significa que
T (x, y) = 2y(1, 2, 0) + (−2x+ 3y)(1, 0,−1) + (3x+ 4y)(1,−1, 3) = (x+ y,−3x+ 8y, 11x− 15y)
Portanto, T (x, y) = (x+ y,−3x+ 8y, 11x− 15y) �
Os cálculos ficam mais simples quando usamos a base canônica.
Exemplo 4.26. Sejam os espaços R2 e R3, bem como as bases canônicas desses espaços, A =
{(1, 0), (0, 1)} e B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Obtenha a transformação linear T : R2 −→ R3
cuja matriz relativa as bases A e B é
[T ] =
 1 2
1 5
−1 4

Basta tomar um vetor genérico (x, y) do R2 e multiplicar à direita da matriz dada. Temos
86
[T ] · [(x, y)] =
 1 2
1 5
−1 4
 · [ x
y
]
=
 x+ 2y
x+ 5y
−x+ 4y

Segue-se que T (x, y) = (x+ 2y, x+ 5y,−x+ 4y). �
4.5.2 Exerćıcios
1. Em cada ı́tem a seguir, V e W são espaços vetoriais com bases A e B, respectivamente.
Determine a matriz [T ]AB, da transformação linear T : V −→ W , em relação às bases A e B.
(a) V = W = R2, A = B = {(1, 0), (0, 1)} e T (x, y) = (2x+ 3y, 5x− y)
(b) V = W = R2, A = B = {(1, 0), (0, 1)} e T (x, y) = (2x, 0)
(c) V = R2, W = R3, A = {(1, 0), (0, 1)}, B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e T (x, y) =
(x+ 3y, x− y, 2x+ 5y)
(d) V = R3, W = R2, A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, B = {(1, 0), (0, 1)} e T (x, y, z) =
(2x+ y, x+ y + z)
(e) V = R3, W = R2, A = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}, B = {(1,−1), (1, 1)} e T (x, y, z) =
(2x+ y, x+ y + z)
(f) V = R3, W = R2, A = {(1, 2, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}, B = {(2,−1), (1, 3)} e T (x, y, z) =
(x+ z, y − x)
(g) V = W = R2, A = {(1, 2), (2, 1)}, B = {(1,−1), (1, 3)} e T (x, y) = (x+ y, y − x)
(h) V = W = R2, A = B = {(1, 2), (2, 1)} e T (x, y) = (2x+ y, y − 5x)
2. Seja [T ]AB a matriz da transformação linear T : V −→ W em relação às bases A e B. Dado o
vetor v obtenha [T (v)]B.
(a) V = R2, W = R3, A = {(1, 2), (3, 5)}, B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, [T ]AB =
 2 1
5 3
2 5

e v = (2, 7).
(b) V = R2, W = R3, A = {(1, 2), (3, 5)}, B = {(1, 1, 1), (0, 2, 3), (0, 0, 5)}, [T ]AB =
 2 1
5 3
2 5

e v = (2, 7).
(c) V = W = R2, A = B = {(1, 2), (3, 5)}, [T ]A =
[
2 −1
3 5
]
e v = (1, 3).
(d) V = R2, W = R3, A = {(1,−2), (−1, 5)}, B = {(1,−1, 1), (0, 1,−2), (0, 0, 1)}, [T ]AB = −2 0
3 4
−1 2
 e v = (1, 8).
3. Considere os espaços R2 e R3, bem como as bases A e B de R2 e R3, respectivamente, dadas
por A = {(1,−1), (0, 1)} e B = {(1, 1, 0), (1, 1,−1), (0, 1, 3)} . Obtenha a transformação linear
T : R2 −→ R3 cuja matriz relativa as bases A e B é
[T ]AB =
 1 1
0 −1
1 −3

87
4. Considere os espaços R3 e R2, bem como as bases A e B de R3 e R2, respectivamente, dadas
por A = {(1,−1, 1), (1, 0, 1), (2, 1, 2)} e B = {(−1, 1), (0, 1)} . Obtenha a transformação linear
T : R3 −→ R2 cuja matriz relativa as bases A e B é
[T ]AB =
[
1 1 1
2 0 −1
]
5. Sejam os espaços R3 e R3, bem como as bases canônicas desses espaços,
A = B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Obtenha a transformação linear T : R3 −→ R3 cuja
matriz relativa as bases A e B é:
[T ] =
 1 2 3
1 1 5
0 −1 4

6. Considere a transformação linear T : R3 −→ R2 definida por T (x, y, z) = (2x+ y − z, x+ 2y)
e as bases A = {(1, 0, 0), (2,−1, 0), (0, 1, 1)} do R3 e B = {(−1, 1), (0, 1)} do R2. Determine a
matriz [T ]AB.
7. Seja a transformação linear T : R2 −→ R3 dada por T (x, y) = (2x− y, x+ 3y,−2y) e as bases
A = {(−1, 1), (2, 1)} do R2 e B = {(0, 0, 1), (0, 1,−1), (1, 1, 0)} do R3. Determine a matriz
[T ]AB. Determine também a matriz [T ]AC , em que C é a base canônica do R3.
8. Sabendo que a matriz de uma transformação linear T : R2 −→ R3 nas basesA = {(−1, 1), (1, 0)}
do R2 e B = {(1, 1,−1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} do R3 é:
[T ]AB =
 3 1
2 5
1 −1

encontre a expressão de T (x, y) e a matriz [T ].
9. Seja
[T ] =
 1 −2
2 0
−1 3

a matriz canônica de uma transformação linear T : R2 −→ R3. Se T (v) = (2, 4,−2), calcule
v.
10. Seja T : R2 −→ R3 uma transformação linear com matriz
[T ]AB =
 1 −1
0 1
−2 3

para B = {i, j}, base do R2, e A = {(1, 0, 1), (−2, 0, 1), (0, 1, 0)}, base do R3. Qual a imagem
do vetor (2,−3)?
11. Seja T : R3 −→ R2 tal que
[T ]AB =
[
1 0 −1
−1 1 1
]
sendo A = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B = {(−1, 0), (0,−1)} bases do R3 e do R2, respecti-
vamente.
88
(a) Encontre a expressão de T (x, y, z).
(b) Determine Im(T ) e uma base para esse subespaço.
(c) Determine N(T ) e uma base para esse subespaço.
(d) Decida se T é injetora e, ou sobrejetora.
12. Considere o operador linear T : R2 −→ R2, tal que T (x, y) = (x + 2y, x − y) e as bases
A = {(−1, 1), (1, 0)}, B = {(2,−1), (−1, 1)} e C = {(1, 0), (0, 1)}. Determine [T ]A, [T ]B e
[T ]C .
89
4.6 Mudança de Base
Objetivos
• Obter as coordenadas de um vetor em diferentes bases
• Determinar a matriz de mudança de base
• Reconhecer matrizes semelhantes
4.6.1 Matriz de Mudança de Base
Exemplo 4.27. Considere o espaço vetorial R2 bem como A = {(1, 0), (0, 1)} e B = {(1, 2), (3, 5)}
duas bases nesse espaço. Seja I : R2 −→ R2 o operador linear identidade, dado por T (x, y) = (x, y).
Vamos obter a matriz [I]AB, do operador identidade em relação às bases A e B.
Primeiro transformamos cada vetor da base A.
I(1, 0) = (1, 0)
I(0, 1) = (0, 1)
Agora escrevemos cada vetor obtido como combinação linear da base B. Temos
(1, 0) = a1(1, 2) + a2(3, 5)
Logo a1 = −5 e a2 = 2. Desse modo, as coordenadas de (1, 0) em relação à base B são
[(1, 0)]B = (−5, 2). Analogamente obtemos [(0, 1)]B = (−3, 1). Desse modo, obtemos a matriz
[I]AB =
[
−5 −3
2 1
]
O operador I transforma cada vetor nele mesmo. Logo a matriz obtida acima transforma cada
vetor do R2 escrito na base A, no mesmo vetor escrito na base B.
�
De um modo mais geral,temos a seguinte definição.
Definição 4.10. Seja V um espaço vetorial de dimenção finita n. Consideremos em V duas bases
A e B. Chamamos matriz de mudança de base de A para B à matriz [I]AB, da transformação
identidade em relação às bases A e B.
Exemplo 4.28. Considere em R3 as bases A = {(1, 2, 1), (1, 3, 1), (0, 0, 1)} e
B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Determine a matriz de mudança de base de A para B.
Basta obter a matriz [I]AB, do operador identidade em relação às bases A e B. Transformamos
cada vetor, obtendo o mesmo vetor (pois trata-se do operador identidade). A seguir, escrevemos
cada vetor obtido como combinação linear dos vetores de B. Temos
(1, 2, 1) = a1(1, 1, 1) + a2(0, 1, 1) + a3(0, 0, 1). Logo a1 = 1, a2 = 1 e a3 = −1. Desse modo,
[(1, 2, 1)]B = (1, 1,−1). De modo análogo, obtemos [(1, 3, 1)]B = (1, 2,−2) e [(0, 0, 1)]B = (0, 0, 1).
Portanto, a matriz de mudança de base de A para B é dada por
[I]AB =
 1 1 0
1 2 0
−1 −2 1

90
�
A matriz de mudança de base é particularmente útil, quando se precisa mudar as coordenadas
de vários vetores de uma base para outra, de um mesmo espaço vetorial.
Exemplo 4.29. Dados os vetores u = (1, 2), v = (3, 5) e w = (2, 10) do R2, obtenha as coordenadas
de u, v e w em relação à base B = {(1, 3), (7, 20)}.
Os vetores u, v e w foram dados na base canônica. Portanto, precisamos da matriz de mudança
de base, da base canônica A = {(1, 0), (0, 1)} para a base B. Basta escrever cada vetor da base
canônica na base B. Temos [(1, 0)]B = (−20, 3) e [(0, 1)]B = (−7, 1). Segue-se que
[I]AB =
[
−20 −7
3 1
]
Agora, podemos mudar as coordenadas de qualquer vetor, da base canônica A, para a base dada,
B. Basta multiplicar o vetor na base A, à direita da matriz obtida. Em particular, temos:[
−20 −7
3 1
]
·
[
1
2
]
=
[
−34
5
]
= [u]B[
−20 −7
3 1
]
·
[
3
5
]
=
[
−95
14
]
[v]B[
−20 −7
3 1
]
·
[
2
10
]
=
[
30
16
]
= [w]B �
Considere um espaço vetorial V e duas bases A e B. Podemos demonstrar que a matriz de
mudança de base de B para A é a inversa da matriz de mudança de base de A para B. Portanto,
se conhecemos [I]AB, também conhecemos [I]BA = ([I]AB)−1.
No exemplo anterior, a matriz de mudança de base de B para A é dada por
([I]AB)−1 =
[
1 7
−3 −20
]
4.6.2 Matrizes Semelhantes
Considere T : V −→ V um operador linear. Sejam A e B, duas bases de V . Sejam ainda [T ]A e
[T ]B as matrizes de T em relação às bases A e B, respectivamente. Pode-se demonstrar que:
[T ]B = M−1 · [T ]A ·M
em que M = [I]BA é a matriz de mudança de base de B para A.
Definição 4.11. Duas matrizes X e Y são chamadas semelhantes, quando existe uma matriz
M , tal que Y = M−1XM .
Segue-se que as matrizes [T ]A e [T ]B, que definem um dado operador em diferentes bases são
semelhantes.
Vimos que ([I]BA)−1 = [I]AB. Portanto, a relação entre [T ]A e [T ]B é dada por
[T ]B = [I]AB · [T ]A · [I]BA
91
Exemplo 4.30. Seja T : R2 −→ R2. Considere A = {(1, 1), (−1, 1)} e B = {(3, 4), (5, 7)}, bases
de R2. Seja ainda [T ]A =
[
−2 4
2 −1
]
. Determine [T ]B.
Precisamos primeiro determinar [I]AB e [I]BA. Usando o método mostrado na subseção anterior,
obtemos
[I]AB =
[
2 −12
−1 7
]
Calculando a inversa dessa matriz, obtemos
[I]BA =
[
7/2 6
1/2 1
]
Agora usamos a relação entre [T ]A e [T ]B. Temos [T ]B = [I]AB · [T ]A · [I]BA. Logo
[T ]B =
[
2 −12
−1 7
]
·
[
−2 4
2 −1
]
·
[
7/2 6
1/2 1
]
=
[
−88 −148
101/2 85
]
�
4.6.3 Exerćıcios
1. Considere o espaço R2. Em cada ı́tem é dado um par de bases A e B de R2. Obtenha as
matrizes de mudança de base [I]AB, de A para B e [I]BA, de B para A. Note que [I]BA = ([I]AB)−1.
(a) A = {(1, 0), (0, 1)} e B = {(1, 1), (1,−1)}
(b) A = {(1, 2), (2,−1)} e B = {(1, 0), (0, 1)}
(c) A = {(1, 3), (2, 5)} e B = {(1, 1), (1,−1)}
(d) A = {(1, 0), (0, 1)} e B = {(1, 2), (2,−1)}
(e) A = {(1, 3), (−2, 5)} e B = {(3, 4), (1, 2)}
2. Considere em R2, as bases A = {(1, 2), (2, 1)}. Dados os vetores u = (3, 5), v = (1, 7) e
w = (6, 6), determine [u]B, [v]B e [w]B.
3. Considere em R2 as bases A = {(1, 1), (1, 2)} e B = {(1,−1), (2, 1)}. Dados [u1]A = (5, 6),
[u2]A = (3,−2) e [u3]A = (−5, 4), obtenha [u1]B, [u2]B e [u3]B.
4. Considere o espaço R3. Em cada ı́tem é dado um par de bases A e B de R3. Obtenha as
matrizes de mudança de base [I]AB, de A para B [I]BA, de B para A. Note que [I]BA = ([I]AB)−1.
(a) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {(1, 1, 1), (1,−1, 1), (1, 1,−1)}
(b) A = {(1, 1, 1), (0,−1, 1), (−1, 1, 0)} e B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
(c) A = {(1, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 1, 1)} e B = {(−1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}
(d) A = {(1, 2,−1), (0, 1, 1), (0, 0, 2)} e B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}
(e) A = {(0,−1, 0), (−1, 0, 0), (0, 0,−1)} e B = {(1, 1, 0), (2, 0,−1), (1, 0, 0)}
5. Considere em R3, as bases A = {(1, 2, 1), (0, 2, 1), (1, 1, 0)}. Dados os vetores u = (1, 3, 5),
v = (−1, 1, 7) e w = (2, 5, 2), determine [u]B, [v]B e [w]B.
92
6. Considere em R3 as basesA = {(1, 1, 1), (−1, 1, 2), (0, 1,−1)} eB = {(2, 1,−1), (1, 2, 1), (0, 1,−2)}.
Dados [u1]A = (3, 5, 6), [u2]A = (−4, 3,−2) e [u3]A = (8,−5, 4), obtenha [u1]B, [u2]B e [u3]B.
7. Considere no espaço P2(R), dos polinômios reais de grau menor do que, ou igual a dois, as
bases A = {1, x, x2} e B = {x + 1, x2 − 2, x2 + x}. Determine a matriz de mudança de base
[I]AB, de A para B. Dados os polinômios p1(x) = 3x2 + 5x − 6, p2(x) = −x2 + 3x + 1 e
p1(x) = x2 + x− 2, descreva as coordenadas de p1(x), p2(x) e p3(x) em relação à base B.
8. Considere no espaço vetorial M2×2(R) as bases
A =
{[
1 0
1 1
]
,
[
1 −1
0 1
]
,
[
0 1
1 −1
]
,
[
1 −1
1 0
]}
e
B =
{[
2 1
1 −1
]
,
[
1 −1
2 1
]
,
[
−1 1
1 2
]
,
[
1 1
−1 2
]}
.
Determine a matriz de mudança de base [I]AB.
9. Considere em R2 as bases A = {(1, 3), (2,−1)} e B = {(1, 5), (−5, 1)}. Seja também o
operador linear T : R2 −→ R2, cuja matriz [T ]A, de T na base A é dada por [T ]A =
[
2 5
3 1
]
.
Determine [T ]B.
10. Considere em R2 as bases A = {(1, 2), (−2, 1)} e B = {(1, 0), (0, 1)}. Seja também o operador
linear T : R2 −→ R2, cuja matriz [T ]A, de T na base A é dada por [T ]A =
[
−3 4
5 −7
]
.
Determine [T ]B.
93
4.7 Transformações Lineares no Plano
Objetivos
• Conhecer algumas transformações lineares no plano
4.7.1 Transformações Planas
Definição 4.12. Chamamos reflexão em torno do eixo x à transformação linear dada por
T (x, y) = (x,−y).
Essa função leva cada vetor (x, y) do R2 em seu reflexo em relação ao eixo x. A matriz canônica
dessa transformação é
[T ] =
[
1 0
0 −1
]
Definição 4.13. Chamamos reflexão em torno do eixo y à transformação linear dada por
T (x, y) = (−x, y).
Essa função leva cada vetor (x, y) do R2 em seu reflexo em relação ao eixo y. A matriz canônica
dessa transformação é
[T ] =
[
−1 0
0 1
]
Definição 4.14. Chamamos reflexão em relação à origem à transformação linear dada por
T (x, y) = (−x,−y).
A matriz canônica dessa transformação é
[T ] =
[
−1 0
0 −1
]
Definição 4.15. Chamamos reflexão em torno da reta y = x à transformação linear dada por
T (x, y) = (y, x).
Essa função leva cada vetor (x, y) do R2 em seu reflexo em relação à reta y = x. A matriz
canônica dessa transformação é
[T ] =
[
0 1
1 0
]
Definição 4.16. Chamamos reflexão em torno da reta y = −x à transformação linear dada
por T (x, y) = (−y,−x).
Essa função leva cada vetor (x, y) do R2 em seu reflexo em relação à reta y = −x. A matriz
canônica dessa transformação é
[T ] =
[
0 −1
−1 0
]
94
Definição 4.17. Chamamos dilatação na direção do vetor à transformação linear dada por
T (x, y) = α(x, y), |α| > 1.
A matriz canônica dessa transformação é
[T ] =
[
α 0
0 α
]
Definição 4.18. Chamamos contração na direção do vetor à transformação linear dada por
T (x, y) = α(x, y), |α| < 1.
A matriz canônica dessa transformação é
[T ] =
[
α 0
0 α
]
Definição 4.19. Chamamos rotaçãode ângulo θ em tono da origem à transformação linear
Tθ : R2 −→ R2 cuja matriz canônica é dada por
[T ] =
[
cosθ −senθ
senθ cosθ
]
Exemplo 4.31. Dado o vetor v = (2, 1). Determine o vetor obtido após:
(a) uma reflexão em torno do eixo x;
(b) uma rotação de ângulo θ = 30◦ em torno da origem;
(c) uma contração de fator α = 1
3
.
Para responder o ı́tem (a), consideramos a matriz [T ] =
[
1 0
0 −1
]
. Temos[
1 0
0 −1
]
·
[
2
1
]
=
[
2
−1
]
Portanto, após uma reflexão do vetor (2, 1) em torno do eixo x, obtemos (2,−1).
Para o ı́tem (b), consideramos a matriz de rotação com θ = 30◦. Temos[ √
3
2
−1
2
1
2
√
3
2
]
·
[
2
1
]
=
[ √
3− 1
2
1 +
√
3
2
]
Para resolver o ı́tem (c), usamos a matriz de contração com α = 1
3
. Temos[
1
3
0
0 1
3
]
·
[
2
1
]
=
[
2/3
1/3
]
�
95
4.7.2 Exerćıcios
1. Considere o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (5, 1) e C = (2, 7). Determine a imagem de
cada vértice usando:
(a) a reflexão em torno do eixo x.
(b) a reflexão em torno do eixo y.
(c) a reflexão em torno da origem.
(d) a relexão em torno da reta y = x.
(e) a reflexão em torno da reta y = −x.
(f) a contração na direção do vetor de fator α = 1/2.
(g) a rotação de ângulo θ = 30◦ em torno da origem.
2. Faça um esboço da figura obtida em cada ı́tem do exerćıcio anterior.
3. Considere em R2, o vetor u = (7, 3). Determine a imagem de u, usando:
(a) a reflexão em torno do eixo x.
(b) a reflexão em torno do eixo y.
(c) a reflexão em torno da origem.
(d) a relexão em torno da reta y = x.
(e) a reflexão em torno da reta y = −x.
(f) a contração na direção do vetor de fator α = 1/5.
(g) a rotação de ângulo θ = 60◦ em torno da origem.
4. Faça um esboço da figura obtida em cada ı́tem do exerćıcio anterior.
5. Considere o triângulo equilátero de vértices A = (0, 0), B = (5, 2) e C. Determine o ponto C.
6. Considere o quadrado de vértices A = (0, 0), B = (2, 0), C e D. Determine os pontos C e D.
7. Considere o segmento de extremos A = (2, 2) e B = (5, 7) (faça uma figura!). Cada ponto do
segmento AB é rotacionado de um ângulo de 45◦ em relação à origem. Com isso obtemos um
novo segmento CD. Obtenha os pontos C e D.
96
Caṕıtulo 5
Ortogonalidade
5.1 Espaços Euclidianos
Objetivos
• Calcular produto interno, norma, ângulo e distância em espaços vetoriais
• Conhecer os espaços euclidianos
5.1.1 Produto Interno e Norma
Definição 5.1. Dado um espaço vetorial V , chamamos produto interno em V à uma função de
V ×V em R, que a cada par de vetores de V (u, v) associa um número real u ·v, tal que as seguintes
propriedades sejam válidas
(i) u · v = v · u
(ii) u · (v + w) = u · v + u · w
(iii) (αu) · v = α(u · v)
(iv) u · u ≥ 0 e u · u = 0 se, somente se u = 0
quaisquer que sejam u, v, w ∈ V e α ∈ R
Definição 5.2. Um espaço vetorial V no qual está definido um produto interno é chamado espaço
vetorial euclidiano.
Quando nos referirmos ao produto interno de um espaço vetorial V , fica impĺıcito que V é um
espaço vetorial euclidiano.
Exemplo 5.1. A definição usual de produto interno em Rn é a seguinte. Dados u = (x1, ..., xn) e
v = (y1, ..., yn) em Rn, definimos:
u · v = x1y1 + ...+ xnyn
As propriedades da definição 5.1 podem ser verificadas sem dificuldade. �
97
Exemplo 5.2. Em analogia ao exemplo anterior, o produto interno usual no espaço vetorial dos
polinômios é dado da seguinte maneira. Dados p(x) = a0 + a1x1 + ... + anxn e q(x) = b0 + b1x1 +
...+ bnxn, definimos o produto interno de p por q como
p(x) · q(x) = a0b0 + a1b1 + ...+ anbn
�
Vejamos um exemplo de um produto interno diferente.
Exemplo 5.3. Sejam, em R3, os vetores u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3). Definimos
u · v = x1y1 + 2x2y2 + 5x3y3
Pode-se demonstrar, sem dificuldades, que essa igualdade define um produto interno em R3. De
acordo com essa definição, dados u = (1, 1, 1) e v = (0, 1, 2), temos u ·v = 1 ·0+2 ·1 ·1+5 ·1 ·2 = 12.
�
Exceto menção em contrário usaremos sempre as definições usuais de produto interno.
Exemplo 5.4. Usando as definições usuais dadas nos exemplos anteriores, calcule u · v, sendo:
(a) u = (2, 1) e v = (5, 3)
(b) u = (1, 2, 6) e v = (2, 1,−3).
(c) p(x) = 2x2 + 5x− 3 e q(x) = x2 + x+ 7
(d) p(x) = x3 + 5x2 + x− 2 e q(x) = x2 + 1
No ı́tem (a) temos u · v = 2 · 5 + 1 · 3 = 13.
Para o ı́tem (b) temos, u · v = 1 · 2 + 2 · 1 + 6 · (−3) = −14.
No ı́tem (c) calculamos 2 · 1 + 5 · 1 + (−3) · 7 = −14
Finalmente, no ı́tem (d) temos, 1 · 0 + 5 · 1 + 1 · 0 + (−2) · 1 = 3 �
Definição 5.3. Seja V um espaço vetorial euclidiano. Chamamos comprimento ou norma do
vetor v ao número real definido por
|v| =
√
v · v
De acordo com essa definição e, usando a definição usual de produto interno, o comprimento de
um vetor v = (x1, ..., xn) em Rn é dado por
|v| =
√
(x1, ..., xn) · (x1, ..., xn) =
√
x21 + ...+ x2n
Analogamente, em Pn(R), a norma de um vetor p(x) = a0 + a1x1 + ...+ anxn é dado por
|p(x)| =
√
a20 + a21 + ...+ a2n
Exemplo 5.5. Calcule o comprimento dos seguintes vetores
98
(a) u = (1, 3, 5)
(b) v = (1
2
,
√
3
2
)
(c) p(x) = x2 + x− 2
No ı́tem (a), temos |u| =
√
12 + 33 + 52 =
√
35
No ı́tem (b), o comprimento de v é |v| =
√
(1
2
)2 + (
√
3
2
)2 =
√
1
4
+ 3
4
= 1
Para o ı́tem (c), |p(x)| =
√
12 + 12 + (−2)2 =
√
6 �
Quando calulamos a norma de um vetor v e obtemos |v| = 1, dizemos que v é unitário. No
ı́tem (b) do exemplo acima o vetor v é unitário. Em algumas situações precisamos de um vetor
unitário e dispomos, apenas, de um vetor não unitário. Podemos, nesse caso, usar um processo
chamado normalização, que consiste no seguinte: multiplica-se o vetor v por
1
|v|
. Desse modo,
obtemos o vetor
1
|v|
· v que é unitário. De fato,
| 1
|v|
· v| = 1
|v|
· |v| = 1
O vetor obtido por esse processo tem a mesma direção e sentido de v e, é chamado versor de v.
Exemplo 5.6. Normalize o vetor v = (1, 2, 5).
Primeiro calculamos a norma de v. Temos |v| =
√
12 + 22 + 52 =
√
30. A seguir, obtemos o
versor de v
1
|v|
· v =
1√
30
· (1, 2, 5) = (
1√
30
,
2√
30
,
5√
30
)
�
Proposição 5.1. Seja V um espaço vetorial euclidiano. As seguintes propriedades são válidas
(i) |v| ≥ 0 e |v| = 0 se, e somente se v = 0.
(ii) |αv| = |α| · |v|
(iii) |u · v| ≤ |u| · |v| (desigualdade de Cauchy-Schwarz)
(iv) |u+ v| ≤ |u|+ |v| (desigualdade triangular)
quaisquer que sejam u, v ∈ V e α ∈ R. �
5.1.2 Distância e Ângulo
Definição 5.4. Chamamos distância entre os vetores u e v o número real dado por
d(u, v) = |u− v|
99
Em Rn a distância usual é obtida usando a definição usual do produto interno. Para os vetores
u = (x1, ..., xn) e v = (y1, ..., yn), temos
d(u, v) = |u− v| = |(x1, ..., xn)− (y1, ..., yn)| = |(x1 − y1, ..., xn − yn)| =
√
(x1 − y1)2 + ...(xn − yn)2
Exemplo 5.7. Dados u = (1, 2) e v = (5, 3), calcule a distância entre u e v.
Temos d(u, v) = |u−v| = |(1, 2)−(5, 3)| = |(1−5, 2−3)| = |(−4,−1)| =
√
(−4)2 + (−1)2 =
√
17.
�
Exemplo 5.8. Dados os polinômios p(x) = x2 + 1 e q(x) = x + 2, obtenha a distância entre p(x)
e q(x). Usando as definições usuais, temos
d(p(x), q(x)) = |p(x)− q(x)| = |(x2 + 1)− (x+ 2)| = |x2 − x− 1| =
√
12 + (−1)2 + (−1)2 =
√
3
�
Definição 5.5. Sejam V um espaço euclidiano e u, v ∈ V , vetores não nulos. Definimos ângulo
entre os vetores u e v como o menor ângulo θ, tal que
cosθ =
u · v
|u| · |v|
Exemplo 5.9. Calcule o ângulo entre os vetores u = (2, 1,−5) e v = (5, 0, 2).
Primeiro calculamos as normas
|u| =
√
22 + 12 + (−5)2 =
√
30
|v| =
√
52 + 02 + 22 =
√
29
A seguir calculamos o produto interno
u · v = 2 · 5 + 1 · 0 + (−5) · 2 = 0
Agora usamos a fórmula do ângulo, cosθ =
u · v
|u| · |v|
. Desse modo, temos
cosθ =
0√
30 ·
√
29
Logo cosθ = 0. Portanto, θ = 90◦. �
Exemplo 5.10. Calcule o ângulo entre os vetores u = (1, 2) e v = (2, 3).
Temos o seguinte: |u| =
√
5, |v| =
√
13 e u · v = 8. Segue-se que
cosθ =
8√
5 ·
√
13
=
8√
65
Logo θé o menor ângulo, tal que cosθ =
8√
65
. Ou seja, θ = arccos
8√
65
.
5.1.3 Exerćıcios
1. Dados os vetores u e v, calcule o produto interno u · v.
100
(a) u = (1, 5) e v = (−3, 4)
(b) u = (−1, 3) e v = (4,−8)
(c) u = (2, 0) e v = (0, 5)
(d) u = (1, 5) e v = (−5, 1)
(e) u = (1, 3, 4) e v = (2, 1, 7)
(f) u = (−1, 2, 5) e v = (1,−2, 0)
(g) u = (4, 2, 8) e v = (7, 5, 5)
(h) u = (1, 0, 2) e v = (0, 1, 0)
(i) u = (−3, 2,−5) e v = (3, 0, 5)
(j) u = (2, 1, 5) e v = (3, 0, 1)
(k) u = (1, 1, 1, 2) e v = (2, 5,−7, 3)
(l) p(x) = x2 + 2x− 1 e q(x) = x3 + x2 + 5x+ 2
(m) p(x) = −x2 + x e q(x) = x2 + x− 3
2. Calcule o comprimento do vetor u em cada ı́tem.
(a) u = (1, 2) (b) u = (−1, 2) (c) u = (1,−2) (d) u = (−1,−2)
(e) u = (3, 5) (f) u = (3, 4) (g) u = (8, 1) (h) u = (0, 2)
(i) u = (2, 1, 2) (j) u = (3,−1, 2) (k) u = (4, 2,−2) (l) u = (1, 1, 1)
(m) u = (1, 0, 1, 2) (n) p(x) = 1 + x+ 2x2 (o) p(x) = x3 + 3x2 + 2x− 1
3. Normalize cada vetor do exerćıcio anterior.
4. Calcule a distância entre os vetores u e v para cada ı́tem do exerćıcio 1.
5. Determine o ângulo entre os vetores u e v, para cada ı́tem do exerćıcio 1.
5.2 Base Ortonormal
Objetivos
• Reconhecer conjuntos ortogonais e ortonormais
• Reconhecer bases ortogonais e ortonormais
5.2.1 Conjunto Ortonormal
Definição 5.6. Sejam V um espaço euclidiano e u, v ∈ V . Dizemos que os vetores u e v são
ortogonais quando u · v = 0. Denotamos a ortogonalidade de u e v assim u ⊥ v.
Exemplo 5.11. Os vetores u = (2, 5) e v = (−5, 2) são ortogonais, pois u · v = 2 · (−5) + 5 · 2 = 0.
�
Notamos que a ortogonalidade dos vetores u e v depende do produto interno usado.
Proposição 5.2. Sejam um espaço vetorial V e 0 o vetor nulo de V . Valem as seguintes pro-
priedades.
101
(i) 0 ⊥ v, qualquer que seja v ∈ V .
(ii) Se u ⊥ v, então αu ⊥ v, qualquer que seja α ∈ R.
(iii) Se u1 ⊥ v e u2 ⊥ v, então (u1 + u2) ⊥ v. �
Definição 5.7. Seja V um espaço euclidiano. Dizemos que o conjunto de vetores {v1, ..., vn} ⊂ V
é um conjunto ortogonal quando vi · vj = 0, quaisquer que sejam i 6= j.
Essa definição afirma que um conjunto de vetores {v1, ..., vn} é um conjunto ortogonal, quando
os vetores v1, ..., vn são dois a dois ortogonais.
Exemplo 5.12. Consdere em R3 o conjunto O = {(1, 2,−3), (3, 0, 1), (1,−5,−3)}. Efetuando todos
os produtos dois a dois, temos
(1, 2,−3) · (3, 0, 1) = 1 · 3 + 2 · 0 + (−3) · 1 = 0
(1, 2,−3) · (1,−5,−3) = 1 · 1 + 2 · (−5) + (−3) · (−3) = 0
(3, 0, 1) · (1,−5,−3) = 3 · 1 + 0 · (−5) + 1 · (−3) = 0
Logo o conjunto O é ortogonal. �
Definição 5.8. Seja V um espaço euclidiano. Dizemos que o conjunto de vetores O = {v1, ..., vn} ⊂
V é ortonormal quando O é ortogonal e |vi| = 1, qualquer que seja i ∈ {1, ..., n}.
Exemplo 5.13. Consideremos em R2 a base canônica {(1, 0), (0, 1)}. Temos
(1, 0) · (0, 1) = 1 · 0 + 0 · 1 = 0
Além disso,
|(1, 0)| = |(0, 1)| = 1
Portanto, a base canônica do R2 é um exemplo de conjunto ortonormal. �
5.2.2 Base Ortogonal
Conjuntos ortogonais e ortonormais serão mais usados como bases de espaços vetoriais. Temos
a seguinte definição.
Definição 5.9. Sejam V um espaço euclidiano e B uma base de V . Dizemos que B é uma base
ortogonal quando a base B é um conjunto ortogonal.
Proposição 5.3. Seja V um espaço euclidiano. Se O = {v1, ..., vn} ⊂ V é um conjunto ortogonal,
então O é LI. �
Segundo essa proposição, dado um conjunto ortogonal, com três vetores em R3. Então esse
conjunto é LI. Portanto, uma base de R3. Vale um racioćınio inteiramente análogo para Rn.
Definição 5.10. Sejam V um espaço euclidiano e B uma base de V . Dizemos que B é uma base
ortonormal quando a base B é um conjunto ortonormal.
Exemplo 5.14. Os seguintes ı́tens exibem exemplos de bases ortonormais.
(a) Em R2, a base canônica {(1, 0), (0, 1)} é um exemplo de base ortonormal, conforme foi mostrado
no exemplo 5.13.
102
(b) Analogamente, a base canônica do R3 é ortonormal.
(c) O conjunto {(
√
3
2
, 1
2
), (−1
2
,
√
3
2
)} é uma base ortonormal em R2. Pois,
(
√
3
2
, 1
2
) · (−1
2
,
√
3
2
) =
√
3
2
· (−1
2
) + 1
2
·
√
3
2
= 0. Isso mostra que os vetores são ortogonais.
Além do mais,
|(
√
3
2
, 1
2
)| =
√
(
√
3
2
)2 + (1
2
)2 =
√
3
4
+ 1
4
= 1. Analogamente, |(−1
2
,
√
3
2
)| = 1. Isso mostra que os
vetores são unitários. �
Exemplo 5.15. Mostre que o conjunto O = {( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
), (− 2√
6
, 1√
6
, 1√
6
), (0,− 1√
2
, 1√
2
)} é uma base
ortonormal de R3.
Vejamos passo a passo
1. Os vetores são dois a dois ortogonais. Para ver isso, devemos calcular os produtos dois a dois.
Temos
( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
) · (− 2√
6
, 1√
6
, 1√
6
) = 1√
3
· (− 2√
6
) + 1√
3
· 1√
6
+ 1√
3
· 1√
6
= − 2√
18
+ 1√
18
+ 1√
18
= 0
Do mesmo modo, vemos que
( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
) · (0,− 1√
2
, 1√
2
) = 0
e
(− 2√
6
, 1√
6
, 1√
6
), (0,− 1√
2
, 1√
2
) = 0
2. Como os vetores dados são ortogonais, então pela proposição 5.3, esses vetores são LI. Logo
formam uma base de R3. Até agora sabemos que essa base é ortogonal.
3. Para verificar que a base O é ortonormal, calculamos a norma de cada vetor. Temos
|( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)| =
√
( 1√
3
)2 + ( 1√
3
)2 + ( 1√
3
)2 =
√
1
3
+ 1
3
+ 1
3
= 1
|(− 2√
6
, 1√
6
, 1√
6
)| =
√
(− 2√
6
)2 + ( 1√
6
)2 + ( 1√
6
)2 =
√
4
6
+ 1
6
+ 1
6
= 1
|(0,− 1√
2
, 1√
2
)| =
√
02 + (− 1√
2
)2 + ( 1√
2
)2 =
√
0 + 1
2
+ 1
2
= 1 �
5.2.3 Exerćıcios
1. Verifique em cada ı́tem se a base dada é ortonormal.
(a) B = {(1, 1), (1,−1)}
(b) B = {(1, 0), (0, 5)}
(c) B = {(
√
2
2
,
√
2
2
), (−
√
2
2
,
√
2
2
)}
(d) B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}
(e) B = {(0, 1,−1), (1,−1, 0), (−1, 0, 1)}
(f) B = {(0,
√
3
2
, 1
2
), (
√
2
2
,−1
2
, 0), (−
√
2
2
, 0, 1
2
)}
2. Considere a base ortogonal B. Obtenha, apartir de B uma base ortonormal.
(a) B = {(1, 3), (−3, 1)}
(b) B = {(2, 0), (0, 7)}
(c) B = {(2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0,−3)}
(d) B = {(1, 2,−3), (3, 0, 1), (1,−5,−3)}
103
5.3 Projeção Ortogonal
Objetivos
• Calcular projeções ortogonais
• Usar o método de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal
• Reconhecer subespaços ortogonais
5.3.1 Projeções ortogonais
Definição 5.11. Sejam V um espaço vetorial euclidiano, bem como u, v ∈ V vetores não nulos.
Chamamos projeção ortogonal de u sobre v ao vetor Pv(u) = αu, tal que
α =
u · v
v · v
O número α definido acima é chamado coeficiente de Fourier.
Exemplo 5.16. Determine a projeção ortogonal do vetor u = (3, 4) sobre o vetor (1, 0).
Primeiro calculamos o coeficiente de Fourier α =
u · v
v · v
. Temos
α =
(3, 4) · (1, 0)
(1, 0) · (1, 0)
=
3
1
= 3
Agora calculamos a projeção Pv(u) = αu = 3 · (3, 4) = (9, 12). �
5.3.2 Gram-Schmidt
Há uma vantagem significativa em trabalhar com bases ortonormais. Entretanto, nem sempre
temos uma base ortonormal. Veremos um método de contrução de uma base ortonormal, conhecido
como algoŕıtmo de ortonormalização de Gram-Schmidt.
Algoŕıtmo de Ortonormalização de Gram-Schmidt
Considere um espaço vetorial V , dimensão finita n. Suponhamos que seja dada B = {u1, ..., un}
uma base de V . Primeiro vamos obter uma base B = {v1, ..., vn} que seja ortogonal.
(i) No primeiro passo, tomamos v1 = u1.
(ii) A seguir, tomamos v2 = u2 − Pv1(u2)
(iii) No próximo passo, fazemos v3 = u3 − Pv1(u3)− Pv2(u3)
iv De um modo geral, tomamos
vn = un − Pv1(un)− Pv2(un)− ...− Pvn−1(un)
Por fim, tomamos o versor de cada vetor vi obtido acima.
104
Exemplo 5.17. Considere o espaço vetorial R3, bem como a base B = {u1, u2, u3}, tal que u1 =
(1, 1, 1) u2 = (0, 1, 1) e u3 = (0, 0, 1). Obtenha, a partir de B, uma base ortonormal para R3.
Usaremos o algoŕıtmo de Gram-Schmidt.
(i) No primeiro passo, tomamos v1 = u1. Logo v1 = (1, 1, 1).
(ii) No segundo passo, tomamos v2 = u2 − Pv1(u2). Temos
v2 = u2 −
u2 · v1
v1 · v1
v1 = (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)
(1, 1, 1) · (1, 1, 1)
(1, 1, 1) = (0, 1, 1)− 2
3
(1, 1, 1) =
= (0, 1, 1)− (2
3
, 2
3
, 2
3
) = (−23
, 1
3
, 1
3
).
No passo seguinte, calculamos v3 = u3 − Pv1(u3)− Pv2(u3).Temos
v3 = u3 −
u3 · v1
v1 · v1
v1 −
u3 · v2
v2 · v2
v2
Calculamos separadamente.
u3 · v1
v1 · v1
v1 =
(0, 0, 1) · (1, 1, 1)
(1, 1, 1) · (1, 1, 1)
(1, 1, 1) =
1
3
(1, 1, 1) = (
1
3
,
1
3
,
1
3
)
e
u3 · v2
v2 · v2
v2 =
(0, 0, 1) · (−2
3
, 1
3
, 1
3
)
(−2
3
, 1
3
, 1
3
) · (−2
3
, 1
3
, 1
3
)
(−2
3
,
1
3
,
1
3
) =
1
3
4
9
+ 1
9
+ 1
9
(−2
3
,
1
3
,
1
3
) =
1
2
(−2
3
,
1
3
,
1
3
) = (−1
3
,
1
6
,
1
6
)
Segue-se que
v3 = u3 −
u3 · v1
v1 · v1
v1 −
u3 · v2
v2 · v2
v2 = (0, 0, 1)− (
1
3
,
1
3
,
1
3
)− (−1
3
,
1
6
,
1
6
) = (0,−1
2
,
1
2
)
Obtemos a base ortogonal {(1, 1, 1), (−2
3
, 1
3
, 1
3
), (0,−1
2
, 1
2
)}. Agora devemos normalizar cada
vetor obtido. Temos
|(1, 1, 1)| =
√
12 + 12 + 12 =
√
3. Logo 1√
3
(1, 1, 1) = ( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
|(−2
3
, 1
3
, 1
3
)| =
√
(−2
3
)2 + (1
3
)2 + (1
3
)2 =
√
2
3
. Logo
√
3
2
(−2
3
, 1
3
, 1
3
) = (−2
3
√
3
2
, 1
3
√
3
2
, 1
3
√
3
2
)
|(0,−1
2
, 1
2
)| =
√
02 + (−1
2
)2 + (1
2
)2 =
√
1
2
= 1√
2
. Logo
√
2(0,−1
2
, 1
2
) = (0,−1
2
√
2, 1
2
√
2).
Portanto, a base ortonormal obtida é B = {( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
), (−2
3
√
3
2
, 1
3
√
3
2
, 1
3
√
3
2
), (0,−1
2
√
2, 1
2
√
2)}
�
5.3.3 Exerćıcios
1. Determine a projeção do vetor u na direção do vetor v.
(a) u = (7, 3) e v = (1, 0)
(b) u = (2, 8) e v = (2, 0)
(c) u = (3,−5) e v = (1, 2)
(d) u = (1, 2, 8) e v = (1, 0, 0)
(e) u = (2, 5,−3) e v = (1, 2, 0)
(f) u = (2,−3,−4) e v = (0, 1, 2)
(g) u = (−2,−5, 10) e v = (0, 0, 1)
105
2. Usando o algŕıtmo de Gram-Schmidt obtenha uma base ortonormal, a partir da base dada.
(a) B = {(1, 2), (3, 5)}
(b) B = {(2, 1), (3, 3)}
(c) B = {(2, 0), (1, 1)}
(d) B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
(e) B = {(2, 0, 1), (0, 3, 0), (1, 1,−1)}
(f) B = {(0, 0, 1), (1,−1, 0), (1, 0,−2)}
106
Caṕıtulo 6
Autovalores e Autovetores
6.1 Autovalor e Autovetor
Objetivos
• Definir autovalor e autovetor
• Calcular os autovalores e autovetores de um operador linear
• Conhecer o polinômio caracteŕıstico
6.1.1 Cálculo do Autovalor e do Autovetor
Definição 6.1. Seja T : V −→ V um operador linear. Um vetor não nulo v ∈ V é chamado
autovetor de T , quando existe λ ∈ R, tal que T (v) = λv.
O número real λ é chamado autovalor de T associado ao vetor v.
Exemplo 6.1. Considere a transformação linear T : R2 −→ R2 dada por T (x, y) = (4x+5y, 2x+y).
O vetor (5, 2) é autovetor de T associado a λ = 6. De fato, T (5, 2) = (30, 12) = 6(5, 2). �
Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Considere um operador linear T : V −→ V , cujos
autovalores queremos determinar. Tomamos a matriz canônica de T , dada por A = [T ] e tentamos
resolver a equação
A[v] = λ[v]
Essa equação equivale a A[v]− λ[v] = 0, que por sua vez é equivalente a A[v]− λI[v]. Em que
I representa a matriz identidade de ordem n. Logo (A − λI)[v] = 0. Essa equação equivale a um
sistema linear homogêneo com n variáveis. Para que este sistema tenha alguma solução não nula,
devemos ter
det(A− λI) = 0
Esse determinante é, na verdade, uma equação em λ. Resolvendo essa equação, quando posśıvel,
obtemos os autovalores λ de T . A seguir, com esses autovalores obtemos os autovetores correspon-
dentes.
107
Definição 6.2. A equação det(A−λI) = 0 é chamada equação caracteŕıstica do operador T ou
da matriz A. O determinante det(A−λI) é um polinômio em λ chamado polinômio caracteŕıs-
tico.
Exemplo 6.2. Determinar os autovalores e autovetores do operador linear T : R3 −→ R3, dado
por T (x, y, z) = (3x− y + z,−x+ 5y − z, x− y + 3z)
Vamos resolver passo a passo.
(i) Primeiramente escrevemos a matriz canônica de T , que representaremos por A. Temos
A =
 3 −1 1
−1 5 −1
1 −1 3

(ii) A seguir obtemos a expressão A− λI. Temos
A− λI =
 3 −1 1
−1 5 −1
1 −1 3
− λ
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
 =
 3 −1 1
−1 5 −1
1 −1 3
−
 λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ
 =
 3− λ −1 1
−1 5− λ −1
1 −1 3− λ
.
(iii) Agora escrevemos a equação caracteŕıstica det(A− λI) = 0. Temos
det(A− λI) =
∣∣∣∣∣∣
3− λ −1 1
−1 5− λ −1
1 −1 3− λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
(iv) O próximo passo é resolver esse determinante. Desenvolvendo-o a partir da primeira linha,
temos
(3− λ)
∣∣∣∣ 5− λ −1
−1 3− λ
∣∣∣∣− (−1)
∣∣∣∣ −1 −1
1 3− λ
∣∣∣∣+ 1
∣∣∣∣ −1 5− λ
1 −1
∣∣∣∣ = 0
Logo
(3− λ)(15− 8λ+ λ2 − 1) + 1(−3 + λ+ 1) + 1(1− 5 + λ) = 0
Ou seja,
λ3 − 11λ2 + 36λ− 36 = 0
Por tentativas, obtemos uma raiz λ1 = 2. Logo a equação se reduz a λ2 − 9λ+ 18 = 0. Cujas
ráızes são λ2 = 3 e λ3 = 6. Portanto, os autovalores de T são λ1 = 2, λ2 = 3 e λ3 = 6.
(v) Por fim, usamos os autovalores obtidos para encontrar os autovetores correspondentes. Re-
solvemos a equação (A− λI)[v] = 0 para cada λ. Essa equação equivale a 3− λ −1 1
−1 5− λ −1
1 −1 3− λ
 x
y
z
 =
 0
0
0

que por sua vez, equivale a um sistema para cada λ.
108
• Para λ = 2, temos  1 −1 1
−1 3 −1
1 −1 1
 x
y
z
 =
 0
0
0

Logo 
x− y + z = 0
−x+ 3y − z = 0
x− y + z = 0
Cuja solução é dada por z = −x e y = 0. Logo os vetores próprios associados a λ = 2, são
vetores da forma (x, y, z), tais que z = −x e y = 0. Ou seja, (x, 0,−x) = x(1, 0,−1).
• Analogamente, para λ = 3, temos 0 −1 1
−1 2 −1
1 −1 0
 x
y
z
 =
 0
0
0

Logo 
−y + z = 0
−x+ 2y − z = 0
x− y = 0
Cuja solução é dada por y = x e z = x. Portanto, os autovetores associados a λ = 3 são da
forma (x, x, x) = x(1, 1, 1).
• Finalmente, tomando λ = 6, temos −3 −1 1
−1 −1 −1
1 −1 −3
 x
y
z
 =
 0
0
0

Logo 
−3x− y + z = 0
−x− y − z = 0
x− y − 3z = 0
A solução desse sistema é dada por y = −2x e z = x. Segue-se que os autovetores associados
a λ = 6 são (x,−2x, x) = x(1,−2, 1) �
Proposição 6.1. Sejam um operador linear T : V −→ V , v ∈ V um autovetor de T e, λ o autovalor
associado a v. Valem as seguintes propriedades.
αv é também autovetor de T associado ao mesmo λ, qualquer que seja α 6= 0.
O conjunto Sλ formado pelo vetor nulo e por todos os autovetores de T associados a λ, é um
subespaço de V �
Definição 6.3. O subespaço Sλ definido na proposição 6.1 é chamado autoespaço associado a λ.
Exemplo 6.3. No exemplo 6.2 o autoespaço associado a λ = 2 é V2 = {(x, 0,−x) ∈ R3; x ∈ R}.
Já o autoespaço associado a λ = 3 é V3 = {(x, x, x) ∈ R3; x ∈ R}. Finalmente, o autoespaço
associado a λ = 6 é V6 = {(x,−2x, x) ∈ R3; x ∈ R}. �
109
6.1.2 Exerćıcios
1. Em cada ı́tem, [T ] representa a matriz canônica de um operador linear T . Verifique se o vetor
v é autovalor de T .
(a) [T ] =
[
2 2
1 3
]
e v = (−2, 1)
(b) [T ] =
 1 1 1
0 2 1
0 2 3
 e v = (1, 1, 2)
(c) [T ] =
 1 −1 0
2 3 2
1 2 1
 e v = (−2, 1, 3)
2. Determine os autovalores e autovetores do operador dado em cada ı́tem.
(a) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y)
(b) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (2x+ 2y, x+ 3y)
(c) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (5x− y, x+ 3y)
(d) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (y,−x)
(e) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x+ y + z, 2y + z, 2y + 3z)
(f) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z)
(g) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x+ y, y, z)
3. Determine os autovalores e autovetores do operador linear T , cuja matriz canônica é dada
por:
(a) [T ] =
[
1 3
−1 5
]
(b) [T ] =
[
2 1
3 4
]
(c) [T ] =
 1 −1 0
2 3 2
1 1 2

(d) [T ] =
 3 −1 −3
0 2 −3
0 0 −1

6.2 Diagonalização de Operadores
Objetivos
• Obter uma base de autovetores
• Reconhecer quando um operador é diagonalizável
110
6.2.1 Base de Autovetores
Dados um operador linear T : V −→ V e uma base B de V , sabemos como obter a matriz de T
em relação à base B. Portanto, a matriz de um operador está intimamente ligada a base escolhida
B. Gostaŕıamos de obter uma base em relação a qual a matriz de T seja a mais simples posśıvel.
Veremos que essa matriz é uma matriz diagonal.
Proposição 6.2. Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T : V −→ V
são LI. �Corolário 6.2.1. Seja T : V −→ V um operador linear sobre um espaço vetorial V de dimensão
finita n. Se T possui n autovalores distintos, então o conjunto {v1, ..., vn} formado pelos autovetores
correspondentes formam uma base de V . �
Exemplo 6.4. Seja o operador linear do exemplo 6.2. Temos T (x, y, z) = (3x− y + z,−x + 5y −
z, x− y + 3z). Sua matriz canônica é
A =
 3 −1 1
−1 5 −1
1 −1 3

Os autovalores obtidos foram λ1 = 2, λ2 = 3 e λ3 = 6. Os auto espaços correspondentes são
V2 = {(x, 0,−x) ∈ R3; x ∈ R}, V3 = {(x, x, x) ∈ R3; x ∈ R} e V6 = {(x,−2x, x) ∈ R3; x ∈ R}.
Tomando um gerador de cada um desses autoespaços, obtemos (1, 0,−1), (1, 1, 1) e (1,−2, 1)
para V1, V2 e V3 respectivamente. Segue-se que o conjunto {(1, 0,−1), (1, 1, 1), (1,−2, 1)} é uma
base de V . �
Definição 6.4. Um operador linear T : V −→ V é diagonalizável, quando existe uma base de V
formada por autovetores de T .
Exemplo 6.5. De acordo com o exemplo 6.4 o operador T , dado por T (x, y, z) = (3x− y+ z,−x+
5y − z, x− y + 3z) é diagonalizável, pois possui uma base formada por autovetores. A matriz de T
em relação a essa base é  2 0 0
0 3 0
0 0 6

�
Exemplo 6.6. Seja T : R2 −→ R2 um operador linear dado por T (x, y) = (4x + 5y, 2x + y).
Determine uma base de R2 em relação à qual a matriz de T é diagonal. A seguir, escreva a matriz
diagonal correspondente à essa base.
Primeiro determinamos os autovalores de T . Após alguns cálculos obtemos λ1 = 6 e λ2 = −1.
A seguir, determinamos os autoespaços correspondentes. Mais alguns cálculos e obtemos V6 =
{(5x, 2x) ∈ R2; x ∈ R} e V−1 = {(x,−x) ∈ R2; x ∈ R}. Tomando um gerador para cada
autoespaço obtido, temos (5, 2) e (1,−1) para V6 e V−1 respectivamente. Portanto, uma base de
autovetores de T para o R2 é dada por
{(5, 2), (1,−1)}
Em relação à essa base a matriz de T tem a forma diagonal
111
[
6 0
0 −1
]
�
6.2.2 Exerćıcios
1. Considere o operador T : R2 −→ R2 dado por T (x, y) = (7x− 4y,−4x+ y).
(a) Determine uma base do R2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal.
(b) Escreva a matriz de T nessa base.
2. Em cada ı́tem a seguir é dada a matriz canônica de um operador T . Verifique se T é diago-
nalizável. Em caso afirmativo, determine sua forma diagonal.
(a) [T ] =
[
2 4
3 1
]
(b) [T ] =
[
9 1
4 6
]
(c) [T ] =
[
5 −1
1 3
]
(d) [T ] =
 0 0 2
0 −1 0
2 0 0
 (e) [T ] =
 1 0 0
−2 3 −1
0 −4 3
 (f) [T ] =
 2 3 −1
0 1 −4
0 0 3

(g) [T ] =
 1 2 1
−1 3 1
0 2 2
 (h) [T ] =
 3 −1 1
−1 5 −1
1 −1 3
 (f) [T ] =
 6 0 6
0 −2 0
6 0 1

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