Calculo-Aula 03

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MAT – 001 – CÁLCULO 1 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 03 
 
1.6 - TIPOS DE FUNÇÕES: 
 
1.6.1 – FUNÇÃO PAR: 
 
Uma função f definida pela lei ( )xfy = é chamada de Função Par se, e somente se, 
tivermos: 
( ) ( )xfxf =− para todo ( )fDx∈ 
 
A conseqüência desta definição é que o gráfico de uma função par possui uma simetria em 
relação ao eixo y (eixo das ordenadas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) 24 xxf −= é uma função Par, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf =−=−−=− 22 44 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) ( )
2
1
x
xf = é uma função Par, pois ( )
( )
( )xf
xx
xf ==
−
=−
22
11
. 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
y 
x x− 0 
( ) ( ) fyxfyx ∈−⇒∈ ,,
 
y 
x 
2 2− 
4 
0 
( ) 24 xxf −= ( )
( ) { }4/Im ≤ℜ∈=
ℜ=
yyf
fD
 
y 
x 
0 
( )
2
1
x
xf = ( )
( ) *
*
Im +ℜ=
ℜ=
f
fD
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1.6.2 – FUNÇÃO ÍMPAR: 
 
Uma função f definida pela lei ( )xfy = é chamada de Função Ímpar se, e somente se, 
tivermos: 
 
( ) ( )xfxf −=− para todo ( )fDx∈ 
 
 
A conseqüência desta definição é que o gráfico de uma função ímpar possui uma simetria em 
relação à origem dos eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) xxf 2= é uma função Ímpar, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf −=−=−=− 2.2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) ( ) 3xxf = é uma função Ímpar, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf −=−=−=− 33 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
y 
y− 
x 
x 
x− 
0 
( ) ( ) fyxfyx ∈−−⇒∈ ,,
 
y 
x 
0 
( ) xxf 2= ( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
 
y 
x 
0 
( ) 3xxf = ( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
 
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OBSERVAÇÃO: 
 
O fato de havermos definido funções pares ou ímpares não significa, necessariamente, que 
toda função deva ter uma dessas classificações. Existem funções que não são pares e nem 
ímpares. 
 
EXEMPLO: 
 
A função f definida por ( ) xxxf −= 2 não é par e nem ímpar, pois: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )


−≠−
≠−
⇒+=−−−=−
xfxf
xfxf
xxxxxf 2
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.3 – FUNÇÃO POLINOMIAL: 
 
É toda função f definida da forma ( ) nnnn AxAxAxAxf ++++= −− ...22110 , onde 
ℜ∈nAAAA ,...,,, 210 são os coeficientes e ℵ∈n representa o grau da função polinomial. 
 
CASOS PARTICULARES: 
 
A) Função Constante: É toda função f definida por uma equação da forma ( ) kxf = , onde 
ℜ∈k . O seu gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 
( ) xxxf −= 2 
1 
41 
( )
( )





 ≥ℜ∈=
ℜ=
4
1
/Im yyf
fD
 
y 
x 
k 
0 
ky = 
( )
( ) { }kf
fD
=
ℜ=
Im
 
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B) Função Linear: É toda função f definida por uma equação do tipo ( ) baxxf += , onde 
ℜ∈ba, . 
Nesta função a é chamado de Coeficiente Angular e b é chamado de Coeficiente Linear. 
O seu gráfico é uma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C) Função Identidade: É a função f definida por ( ) xxf = . O seu gráfico é a bissetriz dos 
quadrantes ímpares do sistema de coordenadas cartesianas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D) Função Quadrática: É toda função f definida pela equação cbxaxy ++= 2 , com *ℜ∈a e 
ℜ∈cb, . O Domínio ( )fD de qualquer Função Quadrática é o conjunto dos Reais e o seu gráfico 
é uma parábola que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo, dependendo do 
sinal do coeficiente a . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 
( ) baxxf += ( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
 
y y 
x x 
0 
0 
0>a
0<a
y 
x 
0 
( ) xxf = ( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
 
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Observação: 
 
O ponto de ordenada máxima da parábola (quando 0>a ) ou o ponto de ordenada mínima 
(quando 0<a ) é chamado de Vértice dessa parábola e as suas coordenadas podem ser 
determinadas tomando-se: 
a
b
xV
2
−= e 
a
yV
4
∆
−= , sendo acb 42 −=∆ o Discriminante da 
equação 02 =++ cbxax . 
 
 
1.6.4 – FUNÇÃO RACIONAL: 
 
É toda função definida da forma ( ) ( )
( )xQ
xP
xf = , com ( ) 0≠xQ , onde ( )xP e ( )xQ são funções 
polinomiais. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( )
1
1
2 ++
+
=
xx
x
xf 
02) ( )
32
4
2
3
++
−
=
xx
x
xf 
03) ( ) 52 += xxf 
 
 
1.6.5 – FUNÇÕES ALGÉBRICAS: 
 
São funções que podem ser obtidas através de um número finito de operações algébricas 
elementares, isto é, adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) 2xxxf += 
02) ( ) 753 2 +−= xxxf 
03) ( )
xx
x
xf
+
−
=
4 3
1
 
 
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1.6.6 – FUNÇÕES TRANSCEDENTES: 
 
Chamamos de Transcedente a toda função que não á algébrica, isto é, toda função que não 
possa ser definida usando somente as operações algébricas elementares. São transcedentes as 
funções: 
• Exponenciais; 
• Logarítmicas; 
• Trigonométricas; 
• Hiperbólicas. 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) xxf 2= 
02) ( ) xxf log= 
03) ( ) xxf sen= 
04) ( ) 43cos2 −+−= xxxxf 
 
 
1.6.7 – FUNÇÕES MODULARES: 
 
São funções definidas com o uso do Módulo. De maneira geral, poderemos definir essas 
funções na forma ( )xfy = , lembrando que ( ) ( ) ( )
( ) ( )


<−
≥
=
0,
0,
xfsexf
xfsexf
xf . 
 
EXEMPLOS: 
 
01) ( ) xxf = 
De acordo com a definição teremos ( )



<−
≥
=
0,
0,
xsex
xsex
xf 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 
( ) xxf = 
( )
( ) +ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
 
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02) ( ) ( ) ( )



−<−−
−≥+
=⇒



<+−−
≥++
=⇒+=
3,3
3,3
03,3
03,3
3
xsex
xsex
xf
xsex
xsex
xfxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) ( ) 652 +−= xxxf 
 ( ) ( )




<<−+−
≥≤+−
=⇒




<+−−+−
≥+−+−
=
32,65
32,65
065,65
065,65
2
2
22
22
xsexx
xouxsexx
xf
xxsexx
xxsexx
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.8 – FUNÇÃO PERIÓDICA: 
 
 
Dizemos que uma função f é periódica se existir um número positivo T tal que: 
 ( ) ( )xfTxf =± para todo ( )fDx∈ 
Ao menor valor de T que satisfaz esta condição damos o nome de Período da função f . 
Os exemplos mais conhecidos de funções periódicas são as funções trigonométricas, que 
serão estudadas futuramente. 
 
 
 
 
y 
x 
3− 0 
( ) 3+= xxf 
( )
( ) +ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
 
y 
x 
0 2 3 
( ) 652 +−= xxxf ( )
( ) +ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
 
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EXEMPLO: ( ) ( ) ( )xfxfe
xse
xsex
xf =±



<<
≤≤
= 2
21,1
10,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4